8/14/2019 Fsica - B2 30 Princpio de Huygens

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30 aula

Sumrio:

Princpio de Huygens. Interferncia, experincia de Young e rede de difraco

Princpio de Huygens

Muitos fenmenos com radiao electromagntica s podem ser explicados

evocando a natureza ondulatria da luz.

Existe um princpio emprico o chamado Princpio de Huygens (ou de

Huygens-Fresnel) que muito til para a explicao de numerosos fenmenos que

envolvam ondas. Segundo este princpio, proposto por Huygens no sc. XVII, cada

ponto de uma frente de ondas um centro emissor de ondas esfricas. Assim, as frentes

de onda so o resultado da sobreposio de ondculas esfricas, tal como ilustra a

Fig. 30.1 para uma situao geral (do lado esquerdo) e para o caso particular da onda

plana (do lado direito).

B

B'

A'

t

t+t

A

t+tt

B B'

A'A

Figura 30.1

Nesta figura, AB uma frente de onda num determinado instante, t. A frente de onda

num instante posterior t+t pode ser vista como a sobreposio de ondas esfricasoriginadas em cada ponto da frente AB.

De acordo com o prprio Huygens, s as ondculas que se propagavam para a

frente eram fortes e interferiam construtivamente (este assero s viria a ser

justificada no sc. XIX). Assim, ao utilizarmos o Princpio de Huygens devemos ter

presente que a interferncia das ondculas s para a frente.

O Princpio de Huygens pode ser vizualizado numa tina de ondas. Com um

agitador produzem-se ondas planas na tina na qual foi colocada uma barreira, a toda a

largura do recipiente, com uma fenda muito estreita. Apesar de l estar a barreira,

surgem ondas do outro lado. A onda que aparece do lado direito da barreira (Fig. 30.2)

pode ser vista como a ondcula produzida pelo ponto da frente de onda plana incidente

que no encontra qualquer obstculo sua frente. Mas a abertura na barreira tem de sermuito estreita para que, do lado direito, as ondas sejam esfricas!

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Figura 30.21

Nos esquemas da Fig. 30.3 mostra-se a propagao da onda plana do ladoesquerdo da barreira e o aparecimento da onda esfrica do lado direito.

d

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Figura 30.4

Interferncia, experincia de Young e rede de difraco

Vimos, logo nas primeiras aulas, que as ondas podiam interferir, sendo a

perturbao resultante dessa interferncia, a soma das perturbaes devidas a cada onda.

Historicamente, foi precisamente o fenmeno da interferncia que serviu para

demonstrar inequivocamente o carcter ondulatrio da luz.

Consideremos que uma onda plana incide num anteparo onde h dois pequenos

orifcios. De acordo com o princpio de Huygens, cada um dos orifcios uma fonte de

ondas esfricas (de facto, circulares, a duas dimenses). A experincia pode ser feita

numa tina de ondas e o resultado o que se mostra na Fig. 30.5.

Figura 30.5

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As ondculas geradas em cada um dos orifcios vo sobrepor-se, por vezes

construtivamente, por vezes destrutivamente...

A experincia foi feita por Young, em 1803, que fez incidir luz numa dupla

fenda (experincia de Young). A Fig. 30.6 mostra as ondculas geradas em cada fenda

estreita, representando, as curvas azuis a cheio, as cristas das onda e as curvas

vermelhas a tracejado as suas cavas. Vai haver direces de mxima interfernciaconstrutiva e direces de total interferncia destrutiva (indicadas por claro e escuro

na Fig. 30.6). Mas para se ter este padro necessrio que a luz (ou a onda em causa)

seja coerente o que significa que atinja os orifcios com a mesma fase e frequncia. No

caso da Figura 30.6 a onda incidente plana e paralela barreira pelo que os pontos da

frente de onda em A e B esto na mesma fase.

crista

cava

claro

claro

claro

escuro

escuro

escuro

escuro

/2

/2

A

B

D.........

(distncia ao alvo)

d ..................O

alvo

Figura 30.6

Colocado um alvo a uma grande distncia, D, das fendas, o resultado vai ser o

aparecimento no alvo de figuras de interferncia que, no caso da luz, ser uma

sequncia de zonas claras e escuras. Por grande distncia queremos significar dD >> .

A Fig. 30.6 mostra que na direco que passa pelo ponto mdio dos orifcios, a

interferncia construtiva (ponto O no alvo). Em suma, espera-se que o padro de

interferncia num alvo seja uma sequncia de zonas claras e escuras de acordo com o

esquema da Fig. 30.7 (o ponto O o centro da imagem no alvo).

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alvozona

escura

zona clara

Figura 30.7

Vejamos como explicar quantitativamente esta sequncia de claros e escuros. Na

Fig. 30.8, os pontos A e B so os orifcios que geram as ondas esfricas de Huygens e O

o ponto no alvo onde sabemos ocorrer interferncia construtiva (zona clara). A Fig. 30.8

no est, evidentemente, escala, pois o alvo est muito afastado da barreira com os

dois orifcios (repetimos: dD >> ).

P

B

A

C

CB

A

d

D

d

L1

L2

y

O

alvo

ymax

Figura 30.8

Designamos por P um ponto do alvo onde a interferncia construtiva e porL1 e

L2 as distncias percorridas pelos raios que partem de A e de B e atingem P. Haver

interferncia construtiva se a diferena entre estes dois comprimentos segmento BC

na figura forem iguais, se diferirem de um comprimento de onda ou de um nmerointeiro de comprimentos de onda:

,2,1,0,12 == nnLL (30.1)

Este critrio impe, de imediato, que O seja um ponto com interferncia construtiva

(n = 0). Insistimos no facto de a parte esquerda da Fig. 30.8 no estar escala: de facto,

as linhas AP e BP na realidade so praticamente paralelas. O ngulo , portanto,

muito pequeno: 0 . O tringulo APC issceles: os ngulos internos nos vrtices A

e C so iguais, sendo estes ngulos muito prximos de 90. Assim, boa aproximao

considerar que o tringulo ABC rectngulo em C como se mostra na parte direita daFig. 30.8. Note-se que o ngulo nesse tringulo igual ao ngulo que a direco do

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ponto P relativamente ao ponto mdio dos orifcios A e B faz com a direco horizontal.

O segmento 12BC LL = um cateto desse tringulo, tendo-se

sinBC 12 dLL == . (30.2)

Combinando com a expresso (30.1), obtm-se

nd =sin . (condio de mximo) (30.3)

Voltando novamente ao lado esquerdo da Fig. 30.8, e dado que um ngulo pequeno

(o seno tem praticamente o mesmo valor da tangente), conclui-se que

D

ymaxtansin = , (30.4)

onde ymax a ordenada do ponto P onde h um mximo de interferncia. Das duasltimas expresses obtm-se, finalmente,

),2,1,0(max == nd

Dny

. (30.5)

Esta expresso indica-nos onde esto os pontos sobre o alvo para os quais a

interferncia construtiva. A posio no alvo dada pela coordenada y, sendo o ponto

O escolhido para origem (ver Fig. 30.8). A separao entre dois mximos

dDy

= (30.6)

[notar que dois mximos consecutivos correspondem a dois valores sequenciais de n na

expresso (30.5)].

A Fig. 30.9 uma imagem real de trs casos de interferncia de luz por duas

fendas separadas de distncias diferentes. Na figura da esquerda a separao das zonas

claras e escuras, y , menor pelo que a separao entre as fendas, d, maior

Figura 30.9

O estudo que fizemos refere-se experincia de Young, ou seja, interferncia

de duas ondas esfricas produzidas por luz coerente que incide em duas fendas. E se em

vez de dois orifcios tivermos muitas fendas? A condio de mximo continua a ser a

mesma. Mostra-se que, se tivermos N+1 fendas (igualmente espaadas) a condio de

mximo ainda a condio (30.3) com ambos os membros multiplicados por ummesmo factor N: do ponto de vista terico chega-se, portanto expresso (30.5) para a

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posio dos mximos. Do ponto de vista prtico, os mximos so muito mais ntidos e

as manchas claras muito mais estreitas: quando h sobreposio de muitas ondas em

fase o efeito maior do que quando s h duas. Por outro lado, quando h pequenas

diferenas de fase entre muitas ondas os cancelamentos que ocorrem so maiores e o

resultado a amplitude tornar-se nula. Se o nmero de fendas for muito grande temos

uma rede de difraco e no alvo obtm-se uma sequncia de riscas. A medioexperimental de y fica muito mais facilitada como se pode inferir da Fig. 30.10 que

representa o mesmo que a Fig. 30.7 mas agora para vrias fendas.

= 2

= 4

N

Figura 30.10

A posio de um mnimo, ou seja de um ponto onde a interferncia seja destrutiva,

determinada usando um raciocnio anlogo ao seguido para encontrar a posio dos

mximos. H um mnimo quando as distncias 1L e 2L diferem de meio comprimento

de onda ou de um nmero inteiro de comprimentos de onda mais meio comprimento de

onda, o que matematicamente se exprime por

2

12

2sin

+=+=

nnd (condio de mnimo) (30.7)

que substitui a expresso (30.3).