física - b2 26 indutância

Upload: fisica-caderno-de-resolucoes

Post on 31-May-2018

214 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 8/14/2019 Fsica - B2 26 Indutncia

    1/7

    1

    26 aula

    Sumrio:

    Indutncia. Circuitos com indutncias:RL eRLC

    Indutncia

    Sempre que num circuito haja oscilaes de corrente ocorrem fenmenos deinduo magntica. A variao da corrente num circuito causa variao do fluxo docampo magntico com origem nessa mesma corrente e essa variao de fluxo, de acordocom a lei de Faraday origina uma fora electromotriz induzida. A correspondentecorrente induzida tal que tende a contrariar a variao de corrente que ocorreu. Porexemplo se a corrente cresce, a corrente induzida em sentido contrrio e aquelecrescimento mais limitado. E vice-versa. Diz-se que qualquer circuito sofre

    auto-induo criando uma tenso que se ope tenso aplicada.A existncia de uma auto-induo leva a que uma corrente no possa variar

    dando saltos bruscos. A variao da corrente num circuito contnua. Pode fazer-seuma analogia com os sistemas mecnicos, dizendo-se que os circuitos apresentam umainrcia. A existncia de uma auto-induo leva a que uma corrente no possa variar porsaltos brusco. A variao da corrente num circuito contnua. Tal como a velocidade deuma partcula, a intensidade tambm uma funo contnua.

    Um exemplo do dia-a-dia do fenmeno de auto-induo a pequena fasca quepor vezes se observa quando tiramos a ficha de uma torradeira, por exemplo, com oaparelho ligado. A corrente na torradeira grande e, ao interromper-se repentinamenteessa corrente, cria-se uma fora electromotriz suficientemente grande para impedir quea corrente caia instantaneamente para zero. O campo elctrico associado to forte quepode originar uma descarga.

    No se pense, porm, que a existncia de induo uma contrariedade. Pelocontrrio, h elementos de circuitos, chamados indutores ou indutncias, que soenrolamentos de fios (bobinas) com muitas voltas, o que permite assim aumentar a reada superfcie delimitada pelo circuito, e, portanto, a sua indutncia. A Fig. 26.1 mostra asmbolo da indutncia.

    Figura 26.1

    A indutncia caracterizada por um parmetro L que se define como ocoeficiente de proporcionalidade entre o fluxo do campo magntico e a corrente nocircuito (recordemos que a relao entreB eI linear, de acordo com a lei fundamentalde Biot-Savart). Podemos portanto escrever:

    IL= (26.1)

  • 8/14/2019 Fsica - B2 26 Indutncia

    2/7

    2

    Ao parmetro L tambm se chama indutncia 1. A indutncia s depende dascaractersticas geomtricas tal como sucede, de resto, com os condensadores ou asresistncias. No SI a unidade de indutncia o henry (smbolo H).

    Usando a lei de Faraday na Eq. (26.1) obtm-se

    tILddi = (26.2)

    Esta , portanto a fora electromotriz induzida num circuito de indutncia L quando

    ocorre a variao temporal de correntet

    I

    d

    d.

    Resumindo o que at agora dissemos sobre circuitos, para alm da bateria, defora electromotriz , podemos ter resistncias, condensadores e bobinas (o outro nomepor que as indutncias so designadas). A diferena de potencial em cada uma destascomponentes est indicada na Fig. 26.2.

    C

    R

    L

    RIV=

    C

    QV=

    t

    ILV

    dd

    =

    Figura 26.2

    Num circuito, a queda de tenso nos terminais de uma bobina

    t

    ILV

    d

    d= . (26.3)

    , portanto, necessria uma variao no tempo da intensidade de corrente para que haja

    uma diferena de potencial nos terminais de uma bobina. Se a corrente for constante(regime estacionrio) no existe essa queda de tenso.A potncia dissipada ou fornecida numa parte de um circuito onde a corrente I

    e a diferena de potencial V , como sabemos, VIP = . Tambm sabemos que, num

    condensador, a energia electrosttica armazenada 22

    1CVE= . Vamos ver que uma

    bobina armazena energia (energia do campo magntico) que pode ser calculada a partirda potncia VI e da expresso (26.3). Num intervalo de tempo td a energia acumuladana bobina

    1 No estranho que assim seja: resistncia no s o nome da componente do circuito como tambmo do parmetroR que a caracteriza.

  • 8/14/2019 Fsica - B2 26 Indutncia

    3/7

    3

    IILtt

    IILtIVtPE dd

    d

    dddd ==== . (26.4)

    Por integrao obtm-se a energia:

    2

    0 21dd LIIILEE

    I

    === . (26.5)

    Quando a corrente na bobina I, esta a energia armazenada. Um condensadorarmazena energia do campo elctrico. Uma bobina armazena energia do campomagntico.

    Circuitos com indutncias:RL eRLC

    O circuito da Fig. 26.3 um circuitoRL com uma bateria de fora electromotriz .

    R

    L

    Figura 26.3

    A queda de tenso nos terminais da bateria igual soma das quedas de tenso nabobina e na resistncia, o que se exprime pela seguinte equao:

    RIt

    IL +=

    d

    d (26.6)

    que se pode escrever ainda na forma

    ( )( )LtI

    L

    R

    t

    tI +=

    d

    d. (26.7)

    Esta equao semelhante equao (19.14) que encontrmos na 19 aula para a cargade um condensador. Relativamente a essa equao temos agora a funo carga elctrica,

    )(tq , substituda pela funo corrente, )(tI . Trata-se, em qualquer caso, de uma

    equao diferencial de primeira ordem. A soluo de (26.7) a funo )(tII= que

  • 8/14/2019 Fsica - B2 26 Indutncia

    4/7

    4

    derivada em ordem ao tempo d essa mesma funo [multiplicada pelo factor R/L]mais a constante L/ . a funo

    =

    tL

    R

    RtI e1)(

    . (26.8)

    A derivada temporal desta funo

    tL

    R

    Lt

    I = e

    d

    d (26.9)

    e para confirmar que (26.8) soluo de (26.7), basta inserir )(tI no lado direito de(26.7) e verificar que se obtm o lado esquerdo dessa equao, ou seja (26.9). A formada Eq. (26.8) garante que, para 0=t , a corrente seja zero. Podia assim no ser, o que

    levaria alterao do primeiro termo do parntesis da soluo (26.8) o 1 por outrovalor. Na Fig. 26.4 mostra-se a dependncia da corrente com o tempo. O que determinaa rapidez do crescimento da corrente a razo entre a indutncia e a resistncia,chamada justamente constante de tempo:

    R

    L= . (26.10)

    t

    1 2 1>

    I

    I

    Figura 26.4

    A corrente final no depende da constante de tempo mas o intervalo de tempo em quedecorre o aumento da corrente depende. Na Fig. 26.4 as curvas referem-se a duasconstantes de tempo diferentes. Quanto maior for a constante de tempo mais tempodemora a corrente a atingir o seu valor estacionrio.

    Vale a pena comparar a anlise que se fez do circuito RL com o que se fez na 19aula para o circuito RC: pode, de facto, estabelecer-se uma completa analogia.

    Vejamos agora um circuito semelhante ao da Fig. 26.3 mas incluindo umcondensador (Fig. 26.5).

  • 8/14/2019 Fsica - B2 26 Indutncia

    5/7

    5

    C

    R

    L

    Figura 26.5

    Agora, a fora electromotriz na bateria iguala a soma das quedas de tenso em cada uma

    das restantes componentes do circuito, ou seja, Eq. (26.6) junta-se o termo relativo aocondensador:

    C

    qRIt

    IL ++=

    d

    d (26.11)

    A corrente relaciona-se directamente com a derivada temporal da carga elctrica peloque esta equao uma equao diferencial de segunda ordem na funo )(tq .

    Em vez de resolvermos esta equao, vamos antes considerar a situao sem abateria mas estando o condensador inicialmente carregado com carga 0q (Fig. 26.6). Por

    instante inicial entende-se o instante em que se fecha o circuito.

    R

    L

    q

    q

    + + +

    - - -C

    I

    Figura 26.6

    O que vai acontecer? O condensador comea a descarregar atravs da resistncia e dabobina e continua a haver alguma analogia com a que se mostra na Fig. 19.10,relativamente descarga de um condensador atravs de uma resistncia (na situao

    presente h tambm uma bobina). Comot

    qI

    d

    d= , a Eq. (26.11) reduz-se a

    0d

    d

    d

    d2

    2

    =++ LC

    q

    t

    q

    L

    R

    t

    q

    (26.12)

  • 8/14/2019 Fsica - B2 26 Indutncia

    6/7

    6

    Trata-se de uma equao diferencial de segunda ordem na funo )(tq . A soluo daEq. (26.12) a funo que derivada duas vezes, somada sua primeira derivadamultiplicada pelo factor LR/ , e somada ainda prpria funo multiplicada pelo factorLC/1 conduz ao valor zero (para qualquer t). Qual , ou quais sero essas funes?

    A soluo formal de (26.12) exige ferramentas matemticas que esto para alm

    do que pressupe neste curso. Contudo, recordamos que esta equao j apareceuanteriormente, no contexto do... oscilador harmnico amortecido!

    De facto, recordamos que na 33 aula de Fsica Geral / Elementos de Fsicaobtivemos a seguinte equao diferencial para o oscilador harmnico amortecido [Eq.(33.7)]

    0d

    d2

    d

    d 202

    2

    =++ xt

    x

    t

    x (26.13)

    onde 0 a frequncia natural de oscilao e o parmetro relativo ao amortecimento.

    Vimos ento, pormenorizadamente, que a soluo desta equao [Eq. (33.8)]

    )cos(e)( += tAtx t (26.14)

    ou seja, trata-se de uma funo oscilante mas com amplitude exponencialmente

    amortecida. Nesta expresso, a frequncia = 220 = [ver Eq. (33.14)].

    Basta pois comparar (26.13) com (26.12) para concluir queL

    R

    2= e que

    120 )(

    = LC . Portanto, a soluo de (26.12)

    +=

    24

    1cose)(

    2

    22

    0

    tL

    R

    LCqtq

    tL

    R

    (26.15)

    Nesta expresso, a fase 2/ e a amplitude 0q foram escolhidos parra se ter

    0)0( qtq == comeando carga a decrescer (Fig. 26.7).

    q0e

    tcos (t+/2)

    q

    t Figura 26.7

  • 8/14/2019 Fsica - B2 26 Indutncia

    7/7

    7

    A resistncia responsvel pela diminuio da carga e consequente extino da correnteaps algum tempo. Sem a resistncia, a Eq. (26.12) reduz-se ao oscilador harmnicosimples com frequncia 2/10 )(

    = LC . Trata-se do circuito LC que se mostra na

    Fig. 26.8. Neste circuito no h dissipao de energia: a energia no condensador vai

    variando ao longo do tempo, e a energia na bobina varia tambm, sendo constante asoma das duas energias.

    L

    C

    Figura 26.8

    Ainda a propsito da analogia de circuitos RLC com a mecnica (osciladorharmnico), um circuito como o da Fig. 26.5 com bobina, resistncia e condensador,alimentado por uma fonte de tenso alternada (AC) em vez do gerador de correntecontnua (DC) de fora electromotriz , semelhante a um oscilador harmnicoamortecido e forado. Tal como vimos na 34 aula de Fsica Geral I / Elementos de

    Fsica, tambm aqui h uma frequncia de ressonncia...