física - b2 26 indutância

8/14/2019 Fsica - B2 26 Indutncia

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26 aula

Sumrio:

Indutncia. Circuitos com indutncias:RL eRLC

Indutncia

Sempre que num circuito haja oscilaes de corrente ocorrem fenmenos deinduo magntica. A variao da corrente num circuito causa variao do fluxo docampo magntico com origem nessa mesma corrente e essa variao de fluxo, de acordocom a lei de Faraday origina uma fora electromotriz induzida. A correspondentecorrente induzida tal que tende a contrariar a variao de corrente que ocorreu. Porexemplo se a corrente cresce, a corrente induzida em sentido contrrio e aquelecrescimento mais limitado. E vice-versa. Diz-se que qualquer circuito sofre

auto-induo criando uma tenso que se ope tenso aplicada.A existncia de uma auto-induo leva a que uma corrente no possa variar

dando saltos bruscos. A variao da corrente num circuito contnua. Pode fazer-seuma analogia com os sistemas mecnicos, dizendo-se que os circuitos apresentam umainrcia. A existncia de uma auto-induo leva a que uma corrente no possa variar porsaltos brusco. A variao da corrente num circuito contnua. Tal como a velocidade deuma partcula, a intensidade tambm uma funo contnua.

Um exemplo do dia-a-dia do fenmeno de auto-induo a pequena fasca quepor vezes se observa quando tiramos a ficha de uma torradeira, por exemplo, com oaparelho ligado. A corrente na torradeira grande e, ao interromper-se repentinamenteessa corrente, cria-se uma fora electromotriz suficientemente grande para impedir quea corrente caia instantaneamente para zero. O campo elctrico associado to forte quepode originar uma descarga.

No se pense, porm, que a existncia de induo uma contrariedade. Pelocontrrio, h elementos de circuitos, chamados indutores ou indutncias, que soenrolamentos de fios (bobinas) com muitas voltas, o que permite assim aumentar a reada superfcie delimitada pelo circuito, e, portanto, a sua indutncia. A Fig. 26.1 mostra asmbolo da indutncia.

Figura 26.1

A indutncia caracterizada por um parmetro L que se define como ocoeficiente de proporcionalidade entre o fluxo do campo magntico e a corrente nocircuito (recordemos que a relao entreB eI linear, de acordo com a lei fundamentalde Biot-Savart). Podemos portanto escrever:

IL= (26.1)


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Ao parmetro L tambm se chama indutncia 1. A indutncia s depende dascaractersticas geomtricas tal como sucede, de resto, com os condensadores ou asresistncias. No SI a unidade de indutncia o henry (smbolo H).

Usando a lei de Faraday na Eq. (26.1) obtm-se

tILddi = (26.2)

Esta , portanto a fora electromotriz induzida num circuito de indutncia L quando

ocorre a variao temporal de correntet

I

d

d.

Resumindo o que at agora dissemos sobre circuitos, para alm da bateria, defora electromotriz , podemos ter resistncias, condensadores e bobinas (o outro nomepor que as indutncias so designadas). A diferena de potencial em cada uma destascomponentes est indicada na Fig. 26.2.

C

R

L

RIV=

C

QV=

t

ILV

dd

=

Figura 26.2

Num circuito, a queda de tenso nos terminais de uma bobina

t

ILV

d

d= . (26.3)

, portanto, necessria uma variao no tempo da intensidade de corrente para que haja

uma diferena de potencial nos terminais de uma bobina. Se a corrente for constante(regime estacionrio) no existe essa queda de tenso.A potncia dissipada ou fornecida numa parte de um circuito onde a corrente I

e a diferena de potencial V , como sabemos, VIP = . Tambm sabemos que, num

condensador, a energia electrosttica armazenada 22

1CVE= . Vamos ver que uma

bobina armazena energia (energia do campo magntico) que pode ser calculada a partirda potncia VI e da expresso (26.3). Num intervalo de tempo td a energia acumuladana bobina

1 No estranho que assim seja: resistncia no s o nome da componente do circuito como tambmo do parmetroR que a caracteriza.


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IILtt

IILtIVtPE dd

d

dddd ==== . (26.4)

Por integrao obtm-se a energia:

2

0 21dd LIIILEE

I

=== . (26.5)

Quando a corrente na bobina I, esta a energia armazenada. Um condensadorarmazena energia do campo elctrico. Uma bobina armazena energia do campomagntico.

Circuitos com indutncias:RL eRLC

O circuito da Fig. 26.3 um circuitoRL com uma bateria de fora electromotriz .

R

L

Figura 26.3

A queda de tenso nos terminais da bateria igual soma das quedas de tenso nabobina e na resistncia, o que se exprime pela seguinte equao:

RIt

IL +=

d

d (26.6)

que se pode escrever ainda na forma

( )( )LtI

L

R

t

tI +=

d

d. (26.7)

Esta equao semelhante equao (19.14) que encontrmos na 19 aula para a cargade um condensador. Relativamente a essa equao temos agora a funo carga elctrica,

)(tq , substituda pela funo corrente, )(tI . Trata-se, em qualquer caso, de uma

equao diferencial de primeira ordem. A soluo de (26.7) a funo )(tII= que


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derivada em ordem ao tempo d essa mesma funo [multiplicada pelo factor R/L]mais a constante L/ . a funo

=

tL

R

RtI e1)(

. (26.8)

A derivada temporal desta funo

tL

R

Lt

I = e

d

d (26.9)

e para confirmar que (26.8) soluo de (26.7), basta inserir )(tI no lado direito de(26.7) e verificar que se obtm o lado esquerdo dessa equao, ou seja (26.9). A formada Eq. (26.8) garante que, para 0=t , a corrente seja zero. Podia assim no ser, o que

levaria alterao do primeiro termo do parntesis da soluo (26.8) o 1 por outrovalor. Na Fig. 26.4 mostra-se a dependncia da corrente com o tempo. O que determinaa rapidez do crescimento da corrente a razo entre a indutncia e a resistncia,chamada justamente constante de tempo:

R

L= . (26.10)

t

1 2 1>

I

I

Figura 26.4

A corrente final no depende da constante de tempo mas o intervalo de tempo em quedecorre o aumento da corrente depende. Na Fig. 26.4 as curvas referem-se a duasconstantes de tempo diferentes. Quanto maior for a constante de tempo mais tempodemora a corrente a atingir o seu valor estacionrio.

Vale a pena comparar a anlise que se fez do circuito RL com o que se fez na 19aula para o circuito RC: pode, de facto, estabelecer-se uma completa analogia.

Vejamos agora um circuito semelhante ao da Fig. 26.3 mas incluindo umcondensador (Fig. 26.5).


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C

R

L

Figura 26.5

Agora, a fora electromotriz na bateria iguala a soma das quedas de tenso em cada uma

das restantes componentes do circuito, ou seja, Eq. (26.6) junta-se o termo relativo aocondensador:

C

qRIt

IL ++=

d

d (26.11)

A corrente relaciona-se directamente com a derivada temporal da carga elctrica peloque esta equao uma equao diferencial de segunda ordem na funo )(tq .

Em vez de resolvermos esta equao, vamos antes considerar a situao sem abateria mas estando o condensador inicialmente carregado com carga 0q (Fig. 26.6). Por

instante inicial entende-se o instante em que se fecha o circuito.

R

L

q

q

+ + +

- - -C

I

Figura 26.6

O que vai acontecer? O condensador comea a descarregar atravs da resistncia e dabobina e continua a haver alguma analogia com a que se mostra na Fig. 19.10,relativamente descarga de um condensador atravs de uma resistncia (na situao

presente h tambm uma bobina). Comot

qI

d

d= , a Eq. (26.11) reduz-se a

0d

d

d

d2

2

=++ LC

q

t

q

L

R

t

q

(26.12)


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Trata-se de uma equao diferencial de segunda ordem na funo )(tq . A soluo daEq. (26.12) a funo que derivada duas vezes, somada sua primeira derivadamultiplicada pelo factor LR/ , e somada ainda prpria funo multiplicada pelo factorLC/1 conduz ao valor zero (para qualquer t). Qual , ou quais sero essas funes?

A soluo formal de (26.12) exige ferramentas matemticas que esto para alm

do que pressupe neste curso. Contudo, recordamos que esta equao j apareceuanteriormente, no contexto do... oscilador harmnico amortecido!

De facto, recordamos que na 33 aula de Fsica Geral / Elementos de Fsicaobtivemos a seguinte equao diferencial para o oscilador harmnico amortecido [Eq.(33.7)]

0d

d2

d

d 202

2

=++ xt

x

t

x (26.13)

onde 0 a frequncia natural de oscilao e o parmetro relativo ao amortecimento.

Vimos ento, pormenorizadamente, que a soluo desta equao [Eq. (33.8)]

)cos(e)( += tAtx t (26.14)

ou seja, trata-se de uma funo oscilante mas com amplitude exponencialmente

amortecida. Nesta expresso, a frequncia = 220 = [ver Eq. (33.14)].

Basta pois comparar (26.13) com (26.12) para concluir queL

R

2= e que

120 )(

= LC . Portanto, a soluo de (26.12)

+=

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1cose)(

2

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0

tL

R

LCqtq

tL

R

(26.15)

Nesta expresso, a fase 2/ e a amplitude 0q foram escolhidos parra se ter

0)0( qtq == comeando carga a decrescer (Fig. 26.7).

q0e

tcos (t+/2)

q

t Figura 26.7


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A resistncia responsvel pela diminuio da carga e consequente extino da correnteaps algum tempo. Sem a resistncia, a Eq. (26.12) reduz-se ao oscilador harmnicosimples com frequncia 2/10 )(

= LC . Trata-se do circuito LC que se mostra na

Fig. 26.8. Neste circuito no h dissipao de energia: a energia no condensador vai

variando ao longo do tempo, e a energia na bobina varia tambm, sendo constante asoma das duas energias.

L

C

Figura 26.8

Ainda a propsito da analogia de circuitos RLC com a mecnica (osciladorharmnico), um circuito como o da Fig. 26.5 com bobina, resistncia e condensador,alimentado por uma fonte de tenso alternada (AC) em vez do gerador de correntecontnua (DC) de fora electromotriz , semelhante a um oscilador harmnicoamortecido e forado. Tal como vimos na 34 aula de Fsica Geral I / Elementos de

Fsica, tambm aqui h uma frequncia de ressonncia...

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