Aula 11: Indutância

Curso de Física Geral III F-328

1o semestre, 2014

F328 – 1S2014 1

Auto-Indutância e Indutância Mútua Quando estudamos campo elétrico, relacionamos a quantidade de cargas em um par de condutores com a diferença de potencial entre eles. A constante de proporcionalidade, que é a capacitância, depende apenas das geometrias dos condutores:

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Qlivre = εo!E ⋅ n dA"∫

ΔV = −!E ⋅d!l∫

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒Qlivre = CV

Iremos agora fazer algo análogo ao relacionar as leis de Ampère e Gauss (para campo magnético) e mostrar que poderemos escrever o fluxo magnético em função das correntes elétricas geradoras de campo magnético. Novamente a constante de proporcionalidade depende apenas da geometria dos condutores envolvidos. A grande diferença é que a proporcionalidade é feita através de uma relação matricial, dando origem a auto-indutância e indutâncias mútuas:

φB =!B ⋅ n dA∫

ienv =!B ⋅d!l"∫

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒φn = Ln,mim

Ln,n = Auto-Indutância; Lm,n = Indutância Mútua;

Solenoide: Indutância Mútua

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Considere o sistema ao lado. Iremos analisar quatro situações: i) i1 = constante, i2=0 à fluxo produzido na bobina 2:

!B1 = µ0

N1

li1z

φ2, (1) = N2

!B1 ⋅ n dA = N2B1A1

A2

∫1 2

21 0 1N NL Al

µ=

i) i2 = constante, i1=0 à fluxo produzido na bobina 1:

22 0 2 ˆ

NB zliµ=

r

φ1, (2) = N1

!B2 ⋅ n dA = N1B2A1

A1

∫

1(2) 12 2iLφ = 112 1

20N NL Al

µ=

12 21L L= Note que apesar de L12 =L21 não se obtém L21 de L12 trocando-se 1 à 2.

1H = 1T ⋅m2

A=1Wb

A

A unidade SI de indutância é o henry (H):

2(1) 21 1L iφ =

Solenoide: Auto-Indutância

4

iii) i1 = constante, i2=0 à fluxo produzido na bobina 1:

!B1 = µ0

N1

li1z

φ1, (1) = N1

!B1 ⋅ n dA = N1B1A1

A1

∫

1(1) 11 1iLφ =21

11 0 1NL Al

µ=

iv) i2 = constante, i1=0 à fluxo produzido na bobina 2:

!B2 = µ0

N2

li2 z

φ2, (2) = N2

!B2 ⋅ n dA = N2B2A2

A2

∫

2(2) 22 2iLφ =22

22 0 2NL Al

µ=

F328 – 1S2014

Solenoide ideal:

(Indutância por unidade de comprimento)

22

0 0L AN Ll n Al l

µ µ→⎛= =⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Auto-Indutância e Indutância Mútua

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Quando ambas os solenoides carregam correntes, o fluxo total é então proporcional a estas correntes e às auto-indutâncias e indutâncias mútuas. Pelo princípio de superposição podemos escrever esta relação na forma matricial como:

φ1φ2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

L11 L12L21 L22

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟i1i2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

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Observações: 1) As auto-indutâncias (que nomearemos apenas como indutâncias a partir deste ponto) são constantes reais positivas diferente de zero; 2) A indutância mútua pode assumir qualquer valor real (menor, maior ou igual a zero); 3) Ambas dependem apenas de fatores geométricos

N espiras

r

Vimos que o campo magnético no interior de um toroide é:

riN

Bπµ2

0=

==== ∫ ∫∫b

aB r

iNhdrBhdrdAnBπ

µφ2

ˆ. 0!

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=abiNh ln

20

πµ

Então: ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛==abhN

iNL B ln

2

20

πµφ

Indutância de um toroide

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( = fluxo concatenado)

Consideremos uma bobina de N voltas, chamada de indutor, percorrida por uma corrente i que produz um fluxo magnético ϕB através de todas as espiras da bobina. Se i = i(t), pela lei de Faraday aparecerá nela uma fem dada por:

fem induzida em indutores

dtNd B

L)( φε −=

LiN B =φ

Na ausência de materiais magnéticos, é proporcional à corrente:

ou: iNL Bφ=

Então:

dtdiL

dtLid

L −=−= )(ε

(fem auto-induzida)

(L: auto-indutância)

O sentido de é dado pela lei de Lenz: ela deve se opor à variação da corrente que a originou (figura).

i crescendo i decrescendo

BNφ

BNφ

Lε

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Dois cilindros maciços paralelos de mesmo comprimento l e raio a transportam correntes iguais em sentidos opostos. Sabendo-se que a distância entre os eixos dos cilindros é d, mostre que a indutância por unidade de comprimento desse sistema é:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=aad

lL ln0

πµ

Despreze o fluxo no interior dos cilindros.

Exemplo 01

O fluxo produzido pelas duas corrente na região entre os dois fios é dado por:

0

0

1 1)2

ˆ ˆ(

ln

a

E

d

T Da

B ndA B ndAr

iB Ldrd r

L d iaa

µφπ

µπ

− ⎛ ⎞⋅ ⋅ += = + ⎜ ⎟⎝ ⎠=

−

−= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫urr r

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⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=aad

lL ln0

πµ

Duas bobinas circulares compactas, a menor delas (raio R2 e N2 voltas) sendo coaxial com a maior (raio R1 e N1 voltas) e no mesmo plano. Suponha R1 >> R2 . a) deduzir uma expressão para a indutância mútua deste arranjo ; b) Qual o valor de M para N1 = N2 =1200 voltas, R2 = 1,1 cm e R1 = 15 cm?

Exemplo 02

2122122121 ABNNAB =→= φφa)

11

22210

212 2i

RRNN

Nπµφ =

mHm

mmHM 29,2

)015(2)011,0)(1200)(1200)(/104( 27

=×

×=

−ππb)

Mi

NM ==

1

21221

φ1

22210

2RRNN

Mπµ

=

Então: 1

1011 2RiNB µ=

Circuitos RL são aqueles que contêm resistores e indutores. Neles, as correntes e os potenciais variam com o tempo. Apesar das fontes (fem) que alimentam estes circuitos serem independentes do tempo, a introdução de indutores provoca efeitos dependentes do tempo. Estes efeitos são úteis para controle do funcionamento de máquinas e motores.

Circuito básico para analisar correntes em um indutor.

a) Fechando-se a chave S, no instante t = 0, estabelece-se uma corrente crescente no resistor .

Resolver (estudar) este circuito é encontrar a expressão para a corrente i(t) que satisfaça à equação:

0=−−dtdiLRiε

i

Lε

Circuito RL

)(00)0(0 titit ⇒≠→=⇒=

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Resolvendo esta equação diferencial para i(t), vamos ter:

(I : corrente máxima, assintótica)

LiLR

dtdi ε=+

Para t muito grande, a corrente atinge um valor máximo constante, como se o indutor fosse um fio de ligação comum.

: voltagem no indutor

A equação anterior fica:

Circuito RL

RI

RL

eItieR

ti

L

tLRt L

ετ

ε τ

==

−=⇒−= −−

e

onde),1()()1()( //

( : constante de tempo indutiva) Lτ

Lε

a

b

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Circuito RL

tLR

L eL

LdtdiLV

−== ε

LRtL eV /−= ε

εε

εε

37,0

63,0)1(1

1

==

=−=−

−

eVR

eR

i

L

Voltagens no resistor e no indutor – figura abaixo

RiVR = e

→== máximo,0 LVt

Interpretação de :

:RLt L ==τPara

equivalente a um circuito aberto

Lτ

circuitocurtoumaeequivalent0, −→=>> LL Vt τ

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Ao lado, temos gráficos das tensões Em VL, VR e VR+VL= ε para várias situações a) e b).

b) Fechando-se a chave S2: neste caso, a equação das quedas de potencial será:

A solução desta equação é:

Variações das voltagens com o tempo:

Circuito RL

0=+dtdiLRi

i

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LtLRt eIeR

ti τε /0

/)( −− ==

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Os termos εi, Ri2 e Lidi/dt são, respectivamente, a potência fornecida pela bateria, a potência dissipada no resistor e a taxa com que a energia UB é armazenada no campo magnético do indutor, isto é:

Energia armazenada no campo magnético

LididUdtdiLi

dtdU

BB =→=

∫∫ =iU

B LididUB

00

2

21 iLUB =

Do circuito abaixo tem-se:

dtdiLiiRi

dtdiLiR +=→+= 2εε

a

b

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Densidade de energia do campo magnético

A densidade de energia será dada por:

Lembrando que resulta que: inB 0µ=

É a energia por unidade de volume armazenada em um ponto qualquer do campo magnético. Consideremos o campo magnético de um solenoide longo de comprimento l e seção transversal A, transportando uma corrente i.

220

20

2

21Como

21

inulAnL

AlLi

AlUu

B

BB

µµ =→=

==

0

2

2µBuB = (densidade de energia magnética)

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Indutância mútua Fluxos conectados: variação de fluxo da bobina 1 produz uma fem na bobina 2 e vice-versa.

Indução mútua 2121 ML →1

21221 i

NM

φ=

dtdi

Mdtd

NouNiM 121

212212121 ==

φφ

dtdi

M 1212 −=εA fem induzida na bobina 2:

A fem induzida na bobina 1: dtdi

M 2121 −=ε

dtdi

M

dtdi

M

12

21

−=

−=

ε

ε

A indução é de fato mútua

MMM == 2112

Pode-se provar que:

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Os exercícios sobre Lei de Faraday estão na página da disciplina : (http://www.ifi.unicamp.br). Consultar: Graduação ! Disciplinas ! F 328-Física Geral III

Aulas gravadas: http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) ou UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)

Lista de exercícios do Capítulo 30

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