Física 2 - Aula 2.

Prof. Afonso Henriques Silva Leite

25 de agosto de 2016

1 Plano da aula.Nesta seção, serão apresentados os seguintes conceitos:

• Momento de Força ou torque.

2 Introdução.Na primeira parte do curso de Física, estudou-se a dinâmica de corpos pontuais,que são aqueles que não tem dimensão, ou que tem dimensões desprezíveis frenteas demais dimensões do sistema em questão. Nesses sistemas, conhecidas asforças, pode-se determinar como ele irá se mover; ou, de outra forma, determina-se sua evolução temporal. Então, quando sujeitos a forças resultantes não nulas,eles aceleram e o conhecimento dessa aceleração permite determinar todo omovimento, desde que as condições (forças envolvidas) não se alterem.

Agora, serão considerados sistemas cujas dimensões se comparam com asdemais dimensões em questão, e nesse caso, o equilíbrio se torna uma situaçãomais complexa, que vai demandar conceitos adicionais aos conceitos de força jávistos.

Um deles é o conceito de torque.Será apresentada uma definição a grosso modo de momento de uma força,

ou torque, depois, alguns exemplos para ilustrar sua utilidade, e por fim, seráconsiderado o equilíbrio de um corpo extenso.

3 Torque ou momento de força.O conceito de torque é similar ao conceito de força. Ele pode ser consideradode forma análoga.

Essa similaridade será explorada agora. Considere que uma força estejaagindo sobre um sistema livre para se movimentar. Ora, sob a ação dessaforça ele deve acelerar. Mas e se o sistema estiver restringido para acelerar emqualquer direção, como é o caso ilustrado na Figura 3.1? Como explicar que aspás desse ventilador são capazes de girar? O sistema não acelera, não sai dolugar!! Como estudar esse fato?

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Figura 3.1: Sistema incapaz de acelerar, um ventilador. Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Mechanical_fan

Será necessário aplicar o conceito de torque ou momento de força.Assim como a força é uma interação capaz de produzir aceleração em um

sistema, um torque ou momento de força é capaz de imprimir uma aceleraçãoangular em um sistema. De forma mais simples, um torque ou momento deforça é um tipo de interação capaz de produzir um giro, caso o sistema esteja emrepouso, ou intensificá-lo ou arreferecê-lo (diminuí-lo) caso já esteja em rotação.A grosso modo, o torque é uma medida da tendência de um sistema girar.

Essa propriedade do torque ou momento de força não será explorada nessecurso de Física 2, mas ela é costumeiramente abordada em cursos de Enge-nharia, Física e de áreas afins. Os interessados podem se remeter a leituradas obras relacionadas na bibliografia Halliday and Resnick [1997], Tipler andMosca [1995]

O torque será analisado sob o ponto de vista de sua determinação. O estudode seus efeitos será postergado para cursos mais avançados.

Pode-se então passar a próxima etapa do estudo e questionar como se ana-lisam as variáveis do momento de força.

Pra responder essa questão será analisado um modelo que possibilita a in-vestigação de forma didática. Considere que uma pessoa está tentando abrir oufechar uma porta. Veja uma ilustração desse sistema na Figura 3.2. Você podecorroborar essa experiência em sua casa.

Perceba que se o ponto de aplicação da força não for alterado, e diversasforças forem aplicadas a esse mesmo ponto, a força mais intensa irá produzirum giro mais intenso. Isso indica que a força é uma das variáveis a influenciaro torque. O momento de força ou torque será tão mais intenso quanto maisintenso for a força aplicada. Em outras palavras o momento de força deveser diretamente proporcional à força aplicada. A representação dessa relação édenotada pelo símbolo ∝. Assim, se o torque for representado pela letra greta

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Figura 3.2: Diagrama esquemático de um pessoa abrindo uma porta.

Figura 3.3: Diagrama esquemático da investigação das variáveis que determinamo torque. Perceba que as distâncias foram ampliadas, ou seja, d1 < d2 < d3.

τ , é verdade queτ ∝ F.

Agora que a força já foi identificada como uma das variáveis que compõema determinação do torque, considere uma ligeira variação de sistema. Dessa veza força será mantida constante Mais um ponto de aplicação será variado. Vejauma ilustração disso nas Figuras 3.3. Conforme ilustrado em (a), (b) e (c) oponto de aplicação da força pode ser alterado. No caso, ele foi ampliado emcada figura consequente.

Pode-se verificar que o giro produzido será tanto mais intenso quanto maisdistante for o ponto de aplicação da força em relação ao eixo de rotação. Issoimplica dizer que a distância do ponto de aplicação da força ao eixo de rotaçãoé também uma das variáveis a influenciar o torque. Da mesma forma que seconcluiu que o torque é diretamente proporcional à força, pode-se concluir queo torque é também diretamente proporcional à distância do ponto de aplicação.Quanto maior for essa distância mais intenso será o torque produzido. Em

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Figura 3.4: Diagrama esquemático da investigação da influência da inclinaçãodentre a força aplicada e a distância.

notação matemática:τ ∝ d.

Mas há mais um fator a influenciar o giro produzido. Perceba isso na Figura3.4. Em cada caso ilustrado, a força tem sempre a mesma magnitude, assim coma distância do ponto de aplicação dela em relação ao eixo de rotação. Em (a),aplica-se uma força perpendicularmente à direção da distância. No diagrama(b), a força passa a ser aplicada com uma inclinação maior do que a de umângulo reto em relação a essa mesma direção e em (c) ela é menor do que umângulo reto. Percebe-se que o giro produzido é mais intenso quando a força éaplicada perpendicularmente a distância e que as intensidade vai diminuindoconforme as inclinação vai aumentando ou diminuindo, entre os extremos 0 e180 graus.

Isso sugere que a inclinação influencia o torque de acordo com a função senopois esta é máxima para o ângulo de 90 graus e se anula para os ângulos de0 e 180 graus. Refinamentos dessa experiência mostram que essa hipótese écorreta: valores experimentais obtidos corroboram a escolha da função seno.Logo pode-se concluir que:

τ = Fd sin θ,

sendo θ a inclinação entre a força e a distância.Mas ainda há uma questão a ser decidida a respeito do torque. Em várias

situações, as forças atuantes apontam em sentido contrário, e sendo assim ostorques produzidos por cada uma delas tem que ser subtraídos para que se con-sidere o torque resultante que age no sistema. Mas então, é preciso determinaro sinal desses torques.

Isso é feito pela seguinte convenção: considera-se cada um dos torques emseparado, e que o sistema se torna hipoteticamente livre para girar em torno doeixo de rotação. O torque que produziram giro hipotético no sentido horário vaiser considerado negativo e o torque que produzir um giro no sentido anti-horárioé considerado positivo.

Há uma regra prática bastante utilizada nesses casos: ela é chamada de regrada mão direita. Com ela, ela faz se o movimento que simula o giro produzido

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Figura 3.5: Diagrama esquemático ilustrando a regra da mão direita. Use amão direita para simular o giro produzido pelo torque considerado. Se o polegarapontar para fora do plano da superfície do sistema, então o torque é positivo.Se apontar para o plano, então é negativo. Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Right-hand_rule

pelo torque. Se o polegar apontar num sentido que diverge do plano que con-tém a distância, então esse torque é positivo. Se o Polegar apontar no sentidocontrário, então o torque é negativo. Isso está ilustrado na Figura 3.5.

A unidade do torque é o Newton metro, Nm.Veja agora um exemplo desse conceito, para ilustrar sua aplicação.

Exemplo 1. Determine o torque produzido por uma força F de intensidade10N, ao ser aplicada na maçaneta de uma porta, cuja distância ao eixo derotação é de 1,5m. A inclinação θ ilustrada na Figura 3.6 é de 30◦.

Solução: o torque é determinado pela expressão

τ = Fd sin θ,

sendo θ a inclinação entre a força e a distância. O ângulo exibido na Figura 3.6é de fato esse ângulo. A Figura 3.7 ilustra isso.

Considere agora o exemplo 2.

Exemplo 2. Determine o torque produzido pelo pirata na prancha do barcoilustrado na Figura 3.8, considerando que ele possui uma massa de 75kg, e queesteja a uma distância de 5m da origem da prancha.

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Figura 3.6: Diagrama esquemático do exemplo 1.

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Figura 3.7: Diagrama esquemático ilustrando que a inclinação entre ~F e ~d é defato θ. Em (a), os vetores estão dispostos conforme no enunciado. Em (b), ~F e~d foram rearranjados para determinação do ângulo dentre os vetores. Em (c), ovetor ~F foi transladado da origem para a extremidade de ~d, a fim de se mostrarque os dois ângulos ilustrados são congruentes por serem alternos internos.

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Figura 3.8: Diagrama esquemático do exemplo 2. Fonte da imagem: https://en.wikipedia.org/wiki/Piracy.

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Solução: o torque por ele produzido será devido ao seu peso;

P = mg

= (75kg)(10

m

s2

)= 750N.

A inclinação entre o peso e a distância será de 90◦, já que a prancha é paralelaao solo, e a força peso é sempre perpendicular ao solo, por apontar sempre parao centro da Terra.

Daí, tem-se que o torque será dado por

τ = Pd sin 90◦.

O seno de 90◦, conforme será visto nas aulas de trigonometria em semestresposteriores é igual a unidade: sin 90◦ = 1.

Então, nesse caso, o torque assume uma forma mais simples,

τ = Pd,

e por fim, sua intensidade será de τ = (750N) (5m) = 3750Nm.

Há duas questões a serem destacadas aqui. A primeira delas é que se a forçafor se for perpendicular à distância então o torque pode ser calculado de formamais simples: τ = Fd. Isso ocorre várias vezes com a força peso (mas nemsempre).

A outra diz respeito à inclinação entre a força e a distância: ela pode assumirum valor maior que 90◦, e isso é um problema, já que até esse semestre aindanão foram estudadas as ferramentas matemáticas necessárias para o cálculo desenos de ângulos maiores que 90 graus.

Isso pode ser contornado conforme será visto nas próximas aulas. O torqueserá calculado utilizando-se duas técnicas equivalentes a definição τ = Fd sin θ:o método da decomposição das forças e o método do braço de alavanca.

ReferênciasDavid Halliday and Robert Resnick. Fundamentos de física. In Fundamentos

de Física. Compañía Editorial Continental, 1997.

Paul A Tipler and Gene Mosca. Física para cientistas e engenheiros. Macmillan,1995.

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