física cinemática - aula 2
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Física Cinemática
Aula 2
Professor: Sérgio Aranha
Objetivos:O(s) objetivo(s) desta aula
(apresentação, conteúdo, etc.) é xxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Vivemos num mundo que tem com uma das principais
característica o movimento. Mesmo corpos que
aparentemente estão em repouso, só estão neste estado
em relação a um certo referencial.
Movimento Retilíneo
Quando estamos deitados em
nossa cama, tudo à nossa volta
parece estar em repouso. E de
fato, tudo está em repouso em
relação ao nosso corpo, mas
não está em repouso em
relação à Lua, ou ao Sol.Criação: DI - CETEC
Se estivéssemos deitado em uma cama de um vagão de
um trem dormitório, todos os objetos do quarto ainda nos
pareceriam parados, apesar desse conjunto se mover em
relação aos trilhos.
Movimento RetilíneoContinuação
Daí concluirmos que
movimento (ou repouso) é
uma característica de um
corpo em relação a um
certo referencial
específico.Criação: DI - CETEC
Movimento Retilíneo
Quando um objeto real está em movimento, além de sua
translação ele também pode tanto girar quanto oscilar. Se
fôssemos sempre considerar essas características, o
movimento de um corpo seria sempre um fenômeno
bastante complicado de se estudar.
Continuação
Movimento Retilíneo
Acontece, que em diversas situações o fenômeno mais
importante é a translação, desse modo, sem incorrer em
grande erro, podemos isolar este tipo movimento e
estudá-lo como o único existente, chamado de
Movimento Retilíneo.
Continuação
Posição e deslocamento
A localização de uma partícula é fundamental para a
análise do seu movimento. O seu movimento é
completamente conhecido se a sua posição no espaço é
conhecida em todos os instantes.
Vamos considerar que esse movimento componha-se de
uma trajetória retilínea que tem como posição inicial o
ponto P com coordenada xi no instante ti e posição final
com coordenada xf no instante tf .
Posição e deslocamento
O deslocamento Δx é uma medida da
diferença entre as posições inicial xi
que a partícula ocupou e a sua posição
final xf .
Δx = xf - xi
e o intervalo de tempo é expresso
como:
Δt = tf - ti
Obs.: A letra grega delta (Δ) na Física significa variação, ou seja,
(final – inicial).
Sendo: xi = posição inicial
xf = posição final
ti = tempo inicial
tf = tempo final
Continuação
A velocidade de uma partícula é a razão segundo a qual a sua
posição varia com o tempo. Podemos analisar um movimento
de diversas maneiras, dependendo da sofisticação dos nossos
instrumentos de medida.
A velocidade escalar média é definida como a razão entre o
deslocamento (Δx) o tempo intervalo de tempo Δt, durante o
qual ocorre esse deslocamento.
Velocidade média
Velocidade média
titf
xixf
t
xvméd
No gráfico x contra t, vméd é o coeficiente angular da reta que liga dois
pontos particulares sobre esta curva x(t)
Continuação
Velocidade escalar média
A velocidade média, envolve o deslocamento da partícula
(Δx), enquanto a velocidade escalar média envolve a
distância total percorrida pelo móvel, independente da
direção ou sentido.
t
totaldistânciaSméd
(Halliday R.W.)
Velocidade escalar média
Como a velocidade escalar média não envolve direção e
sentido, ela não possui sinal algébrico. Em algumas
situações, Sméd é igual a vméd (exceto pela ausência de
sinal).
A velocidade escalar média, também é chamada de
velocidade média de repouso, que é sempre positiva.
Observação: Cuidado para não confundir Sméd (Speed em
inglês) com S (Space em inglês).
t
S
totaltempo
totaldistânciarepousodemédiavelocidade
( Tipler P.A.)
Continuação
À medida que o intervalo de tempo Δt diminui o ponto Q se
aproxima do ponto P. No limite quando Δt → 0 , quando o
ponto Q tende ao ponto P , a reta que os une passa a coincidir
com a própria tangente à curva no ponto Q , ou seja v = tanα .
Assim, a velocidade instantânea em um dado ponto do gráfico
espaço versus tempo é a tangente à curva neste ponto
específico.
Velocidade Instantânea
A velocidade instantânea v nos dá
informações sobre o que está
acontecendo num dado momento.
Ela é definida como:
Velocidade Instantânea
A velocidade instantânea v pode ser chamada simplesmente de velocidade.
(Halliday)
dt
dx
t
xtv
t
0lim)(
Continuação
Velocidade escalar
A velocidade escalar, é o módulo da velocidade instantânea, ou
seja, a velocidade escalar é a velocidade destituída de
qualquer indicação de direção ou sentido .
Exemplo, o velocímetro de um automóvel, ele marca a
velocidade escalar, porque o velocímetro não pode determinar
a direção e o sentido do movimento.
dt
dx
t
xv
t
lim
0
Assim como , temos:
dt
dxv Velocidade escalar : ou simplesmente v
Velocidade escalar
Observação: tanto a velocidade escalar, quanto a
velocidade escalar média, podem ser completamente
diferentes, por exemplo, a velocidade de + 10 m/s e a
velocidade – 10 m/s, possuem a mesma velocidade
escalar, que é 10 m/s.
Continuação
Resumo
VELOCIDADE MÉDIA:
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA:
VELOCIDADE INSTANTÂNEA:
VELOCIDADE ESCALAR:
titf
xixf
t
xvméd
t
totaldistânciaSméd
dt
dx
t
xtv
t
0lim)(
dt
dxv
Aceleração média
A aceleração de uma partícula é a razão segundo a qual a sua
velocidade varia com o tempo. Ela nos dá informações de como
a velocidade está aumentando ou diminuindo à medida que o
corpo se movimenta.
Para analisar a variação da velocidade durante um certo
intervalo de tempo Δt nós definimos a aceleração média deste
intervalo como:
Aceleração média
t
v
titf
vivfaméd
Onde temos:
vf = velocidade final do movimento;
vi = velocidade inicial;
Δv = variação da velocidade;
Δt = variação do tempo.
A aceleração média, também é representada por , porque
não informa como a velocidade varia com o tempo, durante o
intervalo de tempo Δt, a aceleração média, nos fornece
apenas a variação total da velocidade e o intervalo de tempo
em que se verificou essa variação.
a
Continuação
Aceleração instantânea
A aceleração instantânea, ou simplesmente, aceleração ,
é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
dt
dv
t
va
t
0lim
A aceleração de uma partícula em qualquer instante, é a taxa
com que sua velocidade está variando naquele instante.
Graficamente, a aceleração em qualquer ponto é a declividade
da curva de v(t) naquele ponto.
Como vimos anteriormente, a velocidade é a derivada de sua
posição em relação ao tempo, assim, podemos definir a
aceleração como sendo a derivada segunda da posição, em
relação ao tempo.
2
2
dt
xd
dt
dx
dt
d
dt
dva
Aceleração Constante
Um caso especial e bem comum na Física, é o do movimento
unidimensional com aceleração constante, ou movimento
retilíneo uniformemente acelerado.
Em virtude da aceleração ser constante, a aceleração média
é igual a aceleração instantânea, por isso, a velocidade
aumenta ou diminui numa mesma taxa temporal durante todo
o movimento.
Com algumas pequenas mudanças na notação podemos
escrever a equação da velocidade em função de qualquer
tempo, partindo do tempo inicial igual a zero.
0
0
tt
vvaaa méd
tavv .0
(com a = constante)
Movimento Unidimensional
com aceleração constante
A expressão , nos possibilita prever a velocidade
em qualquer instante de tempo t, se a velocidade inicial, a
aceleração e o tempo forem conhecidos.
tavv .0
O gráfico da velocidade contra
o tempo, está representado
por uma reta cujo coeficiente
angular é a aceleração a , o
que está de acordo com o fato
da aceleração ser:
dt
dva = constante
O gráfico da
aceleração contra
o tempo é uma
constante cujo
coeficiente
angular é igual a
zero.
Movimento Unidimensional
com aceleração constanteContinuação
Equações do Movimento
Unidimensional
De forma análoga a dedução da equação da velocidade ( v = v0
+ at) , podemos escrever a equação da velocidade média para
um movimento unidimensional com aceleração constante e
partindo do tempo t = 0, como:
Com essa equação e algumas mudanças de notação podemos
escrever:
0
0
t
xx
titf
xixf
t
xvméd
tvxx méd .0
Equações do Movimento
Unidimensional
Como essa equação do
deslocamento é uma
função do 1º grau, o
gráfico da posição X
contra o tempo , é uma
reta.
x
x0
t
(reta)
Continuação
Para a função linear da velocidade v = v0 + a.t, dentro de um
intervalo de tempo qualquer, digamos de t = 0 até um tempo
posterior t, a velocidade média é a média da velocidade no
início do intervalo ( v0), até a velocidade no fim do intervalo
(v). Assim, para um intervalo de tempo posterior a t, a
velocidade média é:
)(2
10 vvvméd
Equações do Movimento
UnidimensionalContinuação
Como , podemos substituir na equação acima:
Substituindo vméd na equação
da posição
teremos:
tavv .0
tavvtavvv médméd .2
1)).((
2
1000
tvxx méd .0
2
00 .2
1tatvxx
Equações do Movimento
Unidimensional
(curvatura)x0
x
t
Continuação
Equação de TorricelliVamos considerar o movimento com velocidade constante de
uma partícula, entre um instante inicial t0 e um instante
posterior t . No instante inicial t0 a partícula se
encontrava na posição inicial x0 com velocidade inicial v0 e no
instante t ela se encontrava na posição x com velocidade v .
A velocidade média da partícula neste intervalo entre t0 e t é
dada por:
onde a última igualdade é válida
apenas para movimentos com
aceleração constante, como esse
caso específico.
V = x – xo = v+vo
t - t0 2
Podemos colocar as equações anteriores com a seguinte
forma que define x :
Como a aceleração é constante, podemos usar a definição de
aceleração média
que é a própria aceleração constante neste caso presente:
Equação de TorricelliContinuação
Usando este valor de v na equação que define x,
encontraremos:
e rearrumando os vários termos teremos:
Equação de TorricelliContinuação
Usando o valor de (t - to) na equação que define x
encontraremos:
ou seja:
e finalmente:
)(.2 0
2
0
2 xxavv
Equação de TorricelliContinuação
Derivada e integral
Como vimos anteriormente:
Se derivarmos a equação do espaço, chegaremos na
velocidade, e se derivarmos a velocidade, chegaremos
na aceleração.
dt
dva
dt
dxv
2
2
dt
xda
Derivada e integral
O processo inverso, também pode ser aplicado:
O que integrando fornece:
Onde C´ = x0
dtv
dxedtadv.
.
dttadtvdx 0
Ctatvx o 2
2
1
**Halliday , 6ª Edição
Página 21.
Continuação
Aplicação - Gráficos
Um motorista viaja ao longo de uma estrada reta
desenvolvendo uma velocidade de 15m/s quando resolve
aumentá-la para 35m/s usando uma aceleração constante de
4m/s2 . Permanece 10s com essa velocidade, quando resolve
diminuí-la para 5m/s usando uma aceleração constante de
10m/s2 . Trace os gráficos de x versus t , v versus t e a versus t
para o todo o movimento mencionado.
Intervalo Aceleração
O — 5s Nula
5s —, lOs Positiva
lOs —, 20s Nula
20s — 23s Negativa
> 23s Nula
Aplicação - Gráficos
Velocidade -
Constante
Reta ascendente
Constante
Reta descendente
Constante
Espaço
Reta ascendente
Parábola com concavidade
voltada para cima
Reta ascendente
Parábola com concavidade
voltada para baixo
Reta ascendente
Continuação
Intervalo
O — 5s
5s —, lOs
1Os —, 20s
20s — 23s
> 23s
Intervalo
O — 5s
5s —, lOs
lOs —, 20s
20s — 23s
>23s
Exercício: Halliday – 6ª edição
pág 25 seção 2.3 – 1E
1. Se um lançador de beisebol lança uma bola rápida a
uma velocidade horizontal de 160 Km/h, quanto
tempo a bola leva para alcançar a base principal
distante 18,4 m ?
2. Uma partícula percorre uma distância entre dois
pontos A e B , sendo que na primeira metade dessa
distância a velocidade média foi de 20 m/s , e na
segunda metade foi de 60 m/s . Determine a
velocidade média no percurso total ?
Exercícios: Tipler P.A.
pág 27 – 2-7
Um guepardo pode acelerar de 0 a 96 km/h (60 mi/h)
em 2s, enquanto um veículo médio necessita de 4,5
segundos. Calcule as acelerações médias daquele
felino e do veículo e compare-as com a aceleração de
queda livre pelo feito da gravidade, g = 9,8 m/s2.
Respostas: Felino: 13,33 m/s2 ; 1,36g ; carro:
5,92 m/s2 ; 0,60 g