Física 2Equilíbrio e Elasticidade

Prof. Dr. Walmor Cardoso GodoiDepartamento de Física - DAFIS

Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPRURL: http://dafis.ct.utfpr.edu.br/~godoi

E-mail: walmorgodoi@utfpr.edu.br

Agenda

• Equilíbrio de corpos rígidos• Elasticidade dos objetos não rígidos

Dubai - 829,84 m Ed. Liberdade, Rio de JaneiroDesabou no Centro da cidade, deixando 22 mortos em 25 de janeiro de 2012 

Introdução

“Dê-me um ponto de apoio, e moverei o mundo.” Arquimedes (Siracusa, 287 a.C. – 212 a.C.)

N

θ

mgc

osθ

famgsenθ

Qual é o ângulo máximo para o bloco não se deslocar?a) Para µ=0,57 (aço sobre aço sem lubrificação)b) Para µ=1,73 (silicone sobre plástico)

Condição

fa=mgsenθµmgcosθ=mgsenθ

µ=tanθ (máximo)

Portanto

θ=29,7 , µ=0,57θ=60,0 , µ=1,73

Correto?

Bloco em um plano inclinado

P

Bloco em um plano inclinado

N

θ = 60o

CM

𝜏

Equilíbrio

instável estável indiferente

Equilíbrio

Centro de massa

Requisitos para o Equilíbrio

• Um corpo rígido está em equilíbrio se

�⃗�=𝑐𝑡𝑒 �⃗�=𝑐𝑡𝑒

�⃗�=0 �⃗�=0

Equilíbrio estático

Condições de Equilíbrio

𝑑𝑃𝑑𝑡

=∑ �⃗�𝑖 ,𝑒𝑥𝑡= �⃗�𝑟𝑒𝑠Translaçãodo CM

�⃗� 𝑟𝑒𝑠=0∑ �⃗�𝑖 ,𝑒𝑥𝑡=0Equilíbrio das forças

Rotaçãodo CM

𝑑 �⃗�𝑑𝑡

=∑ �⃗�𝑖 ,𝑒𝑥𝑡=�⃗�𝑟𝑒𝑠

𝜏𝑟𝑒𝑠=0Equilíbrio dos torques ∑𝜏 𝑖 ,𝑒𝑥𝑡=0

Condições de Equilíbrio

Rotaçãodo CM

𝑑 �⃗�𝑑𝑡

=∑ �⃗�𝑖 ,𝑒𝑥𝑡=�⃗�𝑟𝑒𝑠

𝜏𝑟𝑒𝑠=0Equilíbrio dos torques ∑𝜏 𝑖 ,𝑒𝑥𝑡=0

Condições de Equilíbrio

Forças coplanares

𝐹 𝑟𝑒𝑠 , 𝑥=0 𝐹 𝑟𝑒𝑠 , 𝑦=0 𝜏𝑟𝑒𝑠 , 𝑧=0

* Outro requisito é necessário para o equilíbrio estático: O momento linear do corpo deve ser nulo.

Teste 1

• Em que condições a barra está em equilíbrio?

x2

O Centro de GravidadeA age efetivamente sobre um único ponto de um corpo, denominado centro de gravidade CG.

diminui com a altitude-> desprezível -> CM=CG

Precisamos calcular o torque causado por

Petronas Towers, Malásia, g é 0,014% maior na base que no topo (452 m)CG está 2 cm abaixo do CM

O Centro de Gravidade

Lembrando...

• Coordenadas do CM

𝑥𝑐𝑚=𝑚1 𝑥1+𝑚2𝑥2+𝑚3𝑥3+…

𝑚1+𝑚2+𝑚3+…=∑𝑚𝑖𝑥 𝑖∑𝑚𝑖

𝑦 𝑐𝑚=𝑚1𝑦 1+𝑚2 𝑦2+𝑚3 𝑦3+…

𝑚1+𝑚2+𝑚3+…=∑𝑚𝑖 𝑦 𝑖∑𝑚𝑖

𝑧 𝑐𝑚=𝑚1 𝑧1+𝑚2𝑧 2+𝑚3𝑧 3+…

𝑚1+𝑚2+𝑚3+…=∑𝑚𝑖 𝑧𝑖∑𝑚𝑖

𝑟𝑐𝑚=𝑚1 �⃗�1+𝑚2 �⃗�2+𝑚3𝑟3+…

𝑚1+𝑚2+𝑚3+…=∑𝑚𝑖𝑟 𝑖∑𝑚𝑖

Coordenadas do vetor posição

𝜏= �⃗�𝐶𝑀×𝑀�⃗�=𝑟 𝐶𝑀× �⃗�𝑔

é igual para todos os elementos de um corpo

• Torre de Pisah=55 m, d = 7 m, x = 4,5 m, θ=4,68o

Quais seriam os valores de x e θ para a torre ficar prestes a cair?

𝑥 ´=𝑟𝑎𝑖𝑜𝑑𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒Para ficar prestes a cair

deve aumentar 3,5m - 2,25m=1,25 m

deve aumentar 2,5 m

x

hCG

x’

𝑥 ´=𝑥2=2,25𝑚

𝜃=atan(𝑥h )=atan( 755 )≅ 7,3𝑜

θ

uso de contrapesos de chumbo

Teste 2

a) Nãob) No ponto de aplicação de F1c) 45 N

Exemplo 1

• Na fig. abaixo uma viga homogênea, de comprimento L e massa m=1,8 kg, está apoiada sobre duas balanças. Um bloco homogêneo, de massa M= 2,7 kg, está apoiado na viga, com o centro a uma distância L/4 da extremidade esquerda da viga. Quais são as leituras das balanças?

�⃗� 𝑟𝑒𝑠=0

𝜏𝑟𝑒𝑠=0

eixo de rotação

-

Generalizando o problema da barra e balança ...

xx

�⃗�𝐷�⃗�𝐸

𝑚1 �⃗�𝑚2 �⃗�

d x

L

pivô

𝑁𝐸=(𝑚1+𝑚2 )𝑔−𝑁𝐷

𝑁𝐷=

𝑔[𝑚1( 𝐿2 −𝑑)+𝑚2𝑥 ]𝐿−𝑑

Equilíbrio (limite normal D =0)

=0

Se d=0

𝑁𝐷=𝑔𝐿 (𝑚1

𝐿2

+𝑚2𝑥)=

𝑑=𝐿4→ 𝑥=−

𝑚1

𝑚2

𝐿4

Exemplo 2

Resposta: 30 kg

Exemplo 3Escada de comprimento LQual o ângulo máximo permitido?

piso com atrito

paredesem atrito

p=mg

n1fa=µ.n1

n2

pivô

x

y

P = 50 N, Ps = 20 N, Fbíceps = ?

a = 5 cm, b = 15 cm, c = 30 cm

Exemplo 4

#experimente

Estruturas indeterminadas

• 3 equações• Supomos

corpos rígidos

• Solução: Considerar deformações- Elasticidade

Propriedades Elásticas

• Propriedades mecânicas

 

Imperfeições nos sólidos

R

Átomo de uma barra de ouro

Trabalho necessário para arrancar 1 átomo de ouroW= 3,75 eV -> (1eV = 1,6 x 10-19J)

Nanotecnologia -> Para arrancar um único átomo é necessário uma distância d= 4x10-10 m = 0,4 nm

1. Qual é a força necessária para arrancar um único átomo? Resposta: 1,5 nN

2. Se uma seção transversal da barra de ouro possui 1,6 x 1015 átomos/cm2, qual é a força necessária para arrancar átomos de uma seção de 2 cm2?

Resposta 4,8 x 106 N

Tração e compressão

• Tensão trativa (tração)

Tensão (stress) e Deformação (strain)

• Máquina de Ensaio

Extensômetro de 9,8 mm x 4,6 mm

http://dolbow.cee.duke.edu/TENSILE/applet.html

𝑡𝑒𝑛𝑠 ã𝑜=𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜𝑑𝑒𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒×𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 çã𝑜

Tração e Compressão

𝐹𝐴

=𝐸∆ 𝐿𝐿

onde E é o módulo de Young

tensão

𝐸=𝐹 /𝐴∆ 𝐿 /𝐿

stress

strain

deformação

Tração e Compressão

Tensão (stress)

• Tensão de cisalhamento

Cisalhamento

𝐹𝐴

=𝐺∆𝑥𝐿

onde G é o módulo de cisalhamento

A

Exemplo 5

Tensão Hidrostática

𝑝=𝐵∆𝑉𝑉

onde B é o módulo de elasticidade volumétrico

𝐵=∆𝑝∆𝑉 /𝑉

Produção de teias de aranha - Desafio para a nanotecnologia!

Exemplo 6

• Uma mesa tem 3 pernas com 1,0000 m de comprimento e uma quarta perna com 1,0005 m (um adicional de d= 0,50 mm). Todas feitas de madeira com área de seção reta de A=1,0 cm2 (E=1,3 x1010N/m)

• Cilindro de aço M=290 kg (massa da mesa muito menor)

• Quais são os módulos das forças que o chão exerce sobre as pernas da mesa?

Referências

• Halliday & Resnick - Fundamentos de Física, vol. 2, Cap. 12, 9ª edição, editora LTC.

• Sears & Zemanski – Física I, Mecânica, 12ª edição, Pearson, Cap 11, 2008.