elasticidade aplicada à infraestrutura de transportes
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SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO
Pós-graduação em Engenharia de Transportes
Elasticidade aplicada à Infraestrutura de TransportesMAJ MONIZ DE ARAGÃO
PROBLEMAS PLANOS EM COORDENADAS CARTESIANAS:
Estado Plano de Deformação (EPD); Estado Plano de Tensão (EPT);Condições de ContornoCondições de Contorno.
Referência bibliográfica:• Introdução à Teoria da Elasticidade, Villaça, S. F., Taborda Garcia,
L. F., COPPE/UFRJ, 4ª Ed., 2000.
Problemas Planos em Coordenadas Cartesianas
• Hipótese que os estados de tensão e de deformação independem de• Hipótese que os estados de tensão e de deformação independem de uma coordenada (z)
• O fenômeno elástico ocorre igualmente em todos os planos paralelos a xy.
ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD):
0z
00xz
0yz
Carregamentos auto-equilibrados de direção paralela ao plano xy e independentes de z
ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD)ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD)
xz
yxz
0
00
xz
z
bordos “lisos”
Correspondentes componentes de
ã
yz
xz
0 0yz
bordos lisostensão:
xyyx ,,funções de (x,y)
Cada lâmina entre seções adjacentes, que tenderia a se deformar na direção z pelo efeito de Poisson, tem essa deformação impedida pelas lâminas vizinhas.
Verifica-se assim a existência de tensões normais na direção longitudinal do sólido prismático;
ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD)ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD)
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIOEQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
0
xxzxyx Bzyx
0
yz
yyzyxyt Bzyx
0Bτ
0
zzyzxz B
zyx
0xxyx B
0
xz
yxz
0y
yxy
x
B
yx
00
Bz
yzEPD
yyx 0z
z
ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD)ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD)
EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕESEQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
0
2
2
2
2
2xyyx reduzem-se à somente uma:
02
2
2
2
2
22
zxxz
yxxyxzzx xyyx
2
2
2
2
2
02
2
2
2
2
zyyz
zxxzyzzy
yxxy 22
2
22222
xzxyxzyyzxyxzx
2222
2
2222
2yxyzyzx
yy
xzyzyxy 00
2
22222
zxzyzyxxyzyzxz
ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD)ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD)
LEI DE HOOKE GENERALIZADALEI DE HOOKE GENERALIZADA
zy
xx EE
yxx EE
11 2
zxy
y
y
EE
EE EE
xyy EE
11 2
yx
zz EE 0 yxz
0
xyxy G
Substituindo essas expressões na equação de compatibilidade de deformações do EPD, tem-se:
00
xy
xy
0212
2
2
2
2
2
2
2
2
yxyxxyxyyxyx
Obs: campos de tensões lineares sempre satisfarão a compatibilidade de deformações
ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD)ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES (EPD)
EQUAÇÕES DO EPD:EQUAÇÕES DO EPD:GARANTIA DO EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
0
xxyx Byx
0
yyxy B
yx
02122222
xyyxyx
yyx
021 2222
yxyxxy
Assim, tem-se o problema de EPD regido por três equações diferenciais em termos das três componentes de tensão.
Problemas Planos em Coordenadas CartesianasESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)
ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT):ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT):
Carregamentos auto-equilibrados de direção paralela ao plano xye distribuídos uniformemente na direção zç
Faces livres deFaces livres de forças externas
00
xz
z
00
yz
xz
Ex: chapa delgada de espessura uniforme
ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)
chapas e vigas
eixoseixos
vasos de parede finareservatórios
ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)
Correspondentes componentes de d f ã
00z
01
xz
yxz
deformação:
xyyx ,,
00
yz
xz
0yz
xz
funções de (x,y)
No EPT não há impedimento à deformação do sólido na direção z (faces livres), que ocorre pelo efeito de Poisson.
Verifica-se assim a existência de deformações na direção transversal (da espessura) do sólido;
ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIOEQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
0
xxzxyx Bzyx
0
yz
yyzyxyt Bzyx
0Bτ
0
zzyzxz B
zyx0 z
0xxyx Byx0
0xz
EPT
0y
yxy Byx
y00
z
yz
B
yx
(idênticas ao EPD)
ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)
EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕESEQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
0
2
2
2
2
2xyyx xyyx
2
2
2
2
2
02
2
2
2
2
22
zxxz
yxxyxzzx
yxxy
22
0
2z
02
2
2
2
2
zyyz
zxxzyzzy
0
0
2
2
2
y
xz
z
2
22222
xzxyxzyyzxyxzx
00
ysó se verificam quando z for constante ou função
2222
2
2222
2yxyzyzx
yy
xzyzyxy
00
2
constante ou função linear de x e/ou y
podem ser
2
22222
zxzyzyxxyzyzxz 0
2
yxz
pdesconsideradas para chapas delgadas
ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)
LEI DE HOOKE GENERALIZADALEI DE HOOKE GENERALIZADA
y
xx EE
xy
xy
y
y
EE
EE
0xy
yxy G
yxz E
0xy
Substituindo essas expressões na equação de compatibilidade de deformações do EPT, tem-se:
222 012
2
2
2
2
2
2
2
2
2
yxyxxyxyyxyx
Obs: campos de tensões lineares sempre satisfarão a compatibilidade de deformações
ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)ESTADO PLANO DE TENSÕES (EPT)
EQUAÇÕES DO EPT:EQUAÇÕES DO EPT:GARANTIA DO EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
0
xxyx Byx
0
yyxy B
yx
yyx
01222222
xyyxyx
0122222
yxyxxy
Assim, tem-se o problema de EPT regido por três equações diferenciais em termos das três componentes de tensão (sendo as duas primeiras iguais ao EPD).
TENSÕES EM VIGASTENSÕES EM VIGAS
My
Ix
bIVQ
xy bI
TENSÕES EM VIGASTENSÕES EM VIGAS
x
(b) Tensões planas em x e y(c) Tensões Principais(d) Tensões de cisalhamento máximas(d) Tensões de cisalhamento máximas
Na figura acima, as linhas cheias representam as trajetórias das tensões principais de tração, e as linhas p p ç ,pontilhadas para as tensões principais de compressão
TENSÕES EM VIGASTENSÕES EM VIGAS
Trajetórias das tensões principaisTrajetórias das tensões principais de tração e compressão na viga engastada e livre.
Tensões em x e y Tensões principais
CONDIÇÕES DE CONTORNOCONDIÇÕES DE CONTORNO
No problema plano, as condições de contorno de forças (forças prescritas)No problema plano, as condições de contorno de forças (forças prescritas) são expressas sempre nas faces de normal paralela ao plano xy:
coscos
m
mmxyxx
0n myxyy
N
N – normal à superfície do sólido no ponto de análise
– força prescrita no ponto de análiseρNτρ força prescrita no ponto de análiseρ
CONDIÇÕES DE CONTORNOCONDIÇÕES DE CONTORNO
Bordos retos e perpendiculares aos eixos:
0 1
2/0
bordo x=a:
00
nm
xyy
xx
2/
bordo y=-b:
1
0m
bordo y b:
01
nm
yy
yxx