FIS-15Mecânica I

Ronaldo Rodrigues Pela

Objetivos● Referenciais não inerciais

– Cinética● Movimento de rotação

– Exemplos

ResumoF. de Einsten Força de Euler Força centrífuga Força de Coriolis

Condições de equilíbrioTeor. Trab. En. Cin.

Desprezando termos de ordem w2 ou mais

Normalmente, aproximamos geff

para g

Tópicos● Cinética

– Movimento de rotação● Exemplos

– Efeitos da rotação da Terra

Tópicos● Motivação● Cinemática● Cinética● Exemplos

Cinética● Consideremos um referencial em mov. de

rotação e translação– Rotação: os versores i, j, k variam no tempo

Cinética● Consideremos um referencial em mov. de

rotação e translação

Cinética● Consideremos um referencial em mov. de

rotação e translação

Cinética● 2a. Lei de Newton no referencial inercial (XYZ)

● 2a. Lei de Newton no referencia não inercial A

Força de Einsten

Força de EulerForça centrífuga Força de Coriolis

Cinética● Condição de equilíbrio de uma partícula num

referencial não inercial

– É claro que se uma partícula está em equilíbrio num referencial inercial, ela não está em equilíbrio em relação a um referencial inercial

Cinética● Teorema do trabalho energia para referenciais

não inerciais

OBS.: estamos enxugando a notação

OBS.:

Tópicos● Motivação● Cinemática● Cinética● Exemplos

Tópicos● Cinética

– Movimento de rotação● Exemplos

– Efeitos da rotação da Terra

1 – Efeito da F. Coriolis● Mesmo movimento

sob 2 pontos de vistas diferentes

2 – Velocidade angular Terra● Calcule a velocidade angular da Terra em

torno do seu eixo.

2 – Velocidade angular Terra● Calcule a velocidade angular da Terra em torno do

seu eixo.● Considerando 24h=86400s, temos

● Na verdade, o período real é 86164s e a velocidade angular em módulo é

3 – Gravidade aparente● Mostre que, devido à rotação da Terra, o peso

aparente de um objeto de massa m na colatitude l é

onde R é o raio da Terra

3 – Gravidade aparente

3 – Gravidade aparente

N S

Hemisfério Norte

Direção radial

N S

Hemisfério Sul

Direção radial

3 – Gravidade aparente

N S

Hemisfério Norte

Direção radial

Conclusão: |DgMAX

| = 35 mm/s2, e |bMAX

|=0,1°

4 – Aceleração de Coriolis

● Um veículo experimental A viaja com velocidade constante v em relação à Terra ao longo de uma estrada de ferro ligando o norte ao sul. Determine a intensidade da aceleração de Coriolis em função da latitude q. Se a velocidade do veículo é 500 km/h, determine o módulo da aceleração de Coriolis no equador e no pólo Norte.

4 – Aceleração de Coriolis

Coriolis:

Equador:

Pólo Norte:

5 – Mov. em relação à Terra● Vamos modelar o movimento de uma partícula

em relação à Terra, considerando que a Terra é um referencial não inercial

Usamos o referencial xyz da Figura para descrever o movimento de um ponto P de massa m

é o vetor posição do nosso referencial xzy em relação a um referencial XYZ inercial

Note que

Por simplificação, vamos considerar que a Terra não gira em torno do Sol, apenas em torno de seu próprio eixo

5 – Mov. em relação à Terra● 2a. Lei de Newton para o ref. xyz

5 – Mov. em relação à Terra● 2a. Lei de Newton para o ref. xyz

Se desprezarmos

5 – Mov. em relação à Terra● 2a. Lei de Newton para o ref. xyz

5 – Mov. em relação à Terra● 2a. Lei de Newton para o ref. xyz

Definindo

Há várias maneiras de resolver a equação anterior. Vamos usar o método das aproximações sucessivas

Aproximação de ordem zero:

Aproximação de ordem um:

5 – Mov. em relação à Terra● 2a. Lei de Newton para o ref. xyz

Desprezando termos da ordem de w2

Aproximação de ordem dois:

O que significa que, dentro do grau de aproximação desejado, obtivemos uma solução “convergida”

6 – Ciclones

Perto de Santa Catarina

Perto da Florida

7 – Pêndulo de Foucault

Spectrum Science Center - Berlin

7 – Pêndulo de Foucault● Modelar o pêndulo de Foucault

7 – Pêndulo de Foucault

Assumindo pequenas oscilações do pêndulo com frequência angular W, e escrevendo no plano xy:

No caso do pêndulo simples

7 – Pêndulo de Foucault

Equação característica

Definimos a variável auxiliar:

Solução geral

Supondo que o pêngulo parte do repouso

7 – Pêndulo de Foucault

Módulo do número complexo

Fase do número complexo

Conclusão: a solução é um pêndulo simples cujo plano de oscilação “gira” com um período

8 – Pia ● Vídeo

9 – Balde em rotação● Um balde com formato de um cilindro de raio R

contém um líquido em repouso. No instante t = 0, o balde é posto em movimento de rotação com velocidade angular constante ω em torno do eixo do centro do cilindro. É sabido que a superfície do líquido adquire a forma de um parabolóide de revolução. Escolhendo um elemento dm na superfície do líquido, situado a distância x do eixo de rotação, mostre que a forma da superfície do líquido é descrita por

9 – Balde em rotaçãoElemento (dm) da superfície

10 – Desvio para o leste● Um objeto de massa m inicialmente em

repouso é solto da superfície da Terra de uma altura pequena comparada com o raio terrestre. Mostre que após um tempo t, o objeto é desviado para o leste de

10 – Desvio para o leste● Desprezando termos com w2, resta somente a

Força de Coriolis (como força inercial)

10 – Desvio para o leste● Exemplo: Condições iniciais:

10 – Desvio para o leste● Exemplo:

Note que , desprezando termos da ordem de w2

Desvio para o leste de

11 – Ef. Coriolis no rio● Um rio de 2,0 km de largura corre em direção

norte com uma velocidade de 5,0 km/h na latitude 45°N. De quanto a água na margem direita será mais alta que a esquerda?

11 – Ef. Coriolis no rio● Exemplo:

Formato do rio

Esq Dir

V: entrando no plano do papel

Para uma porção de água na superfície

Coriolis

PesoForça trocada com outras moléculas de água

11 – Ef. Coriolis no rio● Exemplo:

Fazendo os cálculos

OBS.: Este efeito também implica mais erosão na margem direita (o que já foi observado em alguns rios)