ESCOLA BÁSICA INTEGRADA ELIAS GARCIA

Matemática 9º Ano

UNIDADE 7: TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RECTÂNGULO.

Nome:_________________________________________________________nº_______Turma:______

1. Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos.

1.1 - O Que é a Trigonometria?

A trigonometria é o ramo da Matemática que trata dos processos e noções que permitem calcular medidas desconhecidas de lados ou ângulos num triângulo, a partir das medidas de lados ou ângulos conhecidos.

A trigonometria tem inúmeras aplicações práticas, em astronomia, engenharia, arquitectura, topografia, etc.

Desde a antiguidade que é utilizada em situações em que não é possível medir directamente determinadas distâncias...

Exemplos:

1. Como determinar a largura de um rio 2 . Como determinar a altura de um monumento?

sem ter de o atravessar de uma margem à outra ?

3. Já alguma vez observaste um avião a levantar voo? 4. Como determinar o raio da Terra a partir

Que altura atinge ao fim de 5 segundos ? de um laboratório espacial que gira em

volta da Terra ?

Neste capítulo irás aprender a responder a questões como estas.

A TRIGONOMETRIA dá-te as “ferramentas” necessárias.

1.2 - O Que Sabes Sobre Triângulos Rectângulos?

Um triângulo rectângulo é um triângulo que tem um ângulo recto.

Os lados de um triângulo rectângulo têm nomes especiais.

O lado oposto ao ângulo recto chama-se hipotenusa, os outros dois chamam-se catetos.

Relativamente a um dos ângulos agudos de um triângulo rectângulo, um cateto é oposto e o outro cateto é

adjacente (junto a) a esse ângulo.

Também sabemos que num triângulo rectângulo se verifica o Teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras: Num triângulo rectângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à

soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.

Exercício 1

Na figura está representado o triângulo ABC rectângulo em B.

No triângulo está assinalado um dos ângulos agudos.

Na figura foi também inserida, uma legenda com as designações dos lados do triângulo.

Escreve a respectiva legenda, nos triângulos seguintes.

Exercício 2

Usa o Teorema de Pitágoras para determinar o valor de x, em cada um dos triângulos.

2.1 - 2.2 - 2.3 –

2 . Seno, Co-Seno e Tangente de um Ângulo Agudo.

Observa a figura.

Os triângulos SAD , SBC e SOL são semelhantes: têm em comum um ângulo recto e o ângulo em S.

Assim, pode dizer-se, por exemplo, que DA está para AS assim como CB está par BS , assim como LO está

para OS e escreve-se:

Relativamente ao ângulo , são constantes as razões entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento do cateto

adjacente.

A esta constante dá-se o nome de Tangente de ângulo ( tg ou tan ).

Relativamente ao ângulo são também constantes as razões entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento da

hipotenusa.

A esta constante chama-se seno do ângulo ( sin ou sem ).

Ainda são constantes as razões entre o comprimento do cateto adjacente e o comprimento da hipotenusa.

A essa constante chama-se co-seno do ângulo ( cos ).

Para o triângulo SOL , tem-se:

Exercício 3

Calcula o valor exacto e um valor aproximado às centésimas para a tangente, seno e co-seno do ângulo .

3.1. 3.2. 3.3.

3.4. 3.5. 3.6.

3 . Aplicações da Trigonometria.

3.1. Determinação da amplitude de um ângulo conhecida a razão trigonométrica.

Observemos a figura.

Qual será a amplitude do ângulo ?

O que sabemos?

; ;

Das três razões trigonométricas, qual delas vamos utilizar para resolver o problema?

Acerca do triângulo rectângulo ABC conhecemos o cateto oposto a e a hipotenusa.

Logo, vamos utilizar o seno de .

ou seja, se utilizares a tua calculadora, é só fazeres:

ou seja,

Podemos concluir que:

Conhecidos dois dos lados de um triângulo rectângulo é possível determinar a amplitude dos seus ângulos

internos, agudos.

Exercício 4

Observa as figuras e, de acordo com os dados, determina a amplitude do ângulo desconhecido assinalado:

4.1. 4.2.

4.3. 4.4.

4.5. 4.6.

4.7.

4.8.

3.2. Determinação de distâncias inacessíveis.

Observa a figura que representa uma situação da vida real já por nós observada muitas vezes.

O António pode determinar a altura da árvore medindo a distância, AB, que o separa da mesma e o ângulo de elevação

do cimo da árvore.

O António tem 1,8 m de altura, a sua distância a B é 6 m e o ângulo de elevação que mediu, é de 42º.

Qual é a altura da árvore?

Sabemos que: ; ;

Qual das três razões vamos utilizar?

Considerando os dados, verificamos que conhecemos AB e pretendemos saber BC , daí considerarmos a

tangente de .

;

Consideramos

Logo, a árvore tem, aproximadamente 7,2 m de altura.

Exercício 5

Observa as figuras e para cada uma determina o valor de x.

5.1. 5.2.

5.2. 5.4.

5.5. 5.6.

5.6. 5.8.

Exercício 6

Observa a figura.

Determina a distância entre os barcos.

Exercício 7

A figura representa o Padrão dos Descobrimentos, em Lisboa. Foi necessário medir a sua altura. Para isso utilizou-se

um aparelho – teodolito – que permite calcular amplitudes de ângulos. Registaram-se as medidas seguintes, conforme o

esquema da figura:

;

distância do Padrão P ao aparelho T : 60 metros;

Qual é a altura aproximada do Padrão?

Exercício 8

Um submarino ( em S) deverá seguir a rota representada na figura, na qual estão assinalados os ângulos e .

Sabe-se que:

;

;

Determina a profundidade do submarino quando se encontra em S.

Exercício 9

Um avião, representado na figura por P, é observado de dois pontos do solo, A e B, sob os ângulos de 50º e 70º,

respectivamente.

A distância de A a B é igual a 200 metros.

9.1. Apresenta uma expressão que relacione h com x no triângulo BOP .

9.2. Apresenta uma expressão que relacione h com x no triângulo AOP .

9.3. Determina h . ( tan 50º = 1,2 ; tan 70º = 2,7 )

Exercício 10

Na sua casa o Vítor via o cume de uma montanha com um ângulo de elevação de 15º. Andou até à casa da Nini que

ficava a 2000 metros e via agora o cume da montanha segundo um ângulo de 23º.

Determina a altura da montanha a distância da casa da Nini ao cume da montanha.

( Utiliza valores aproximados com 2 c.d)

Exercício 11

Observa a figura e determina a altura da árvore.

Exercício 12

O Pedro quer conhecer a largura de um rio e a altura de uma árvore.

Colocou-se na berma do rio ( posição O ), mediu o ângulo de elevação do topo da árvore e obteve 50º. Afastou-se 50 m

e na posição C mediu novamente o ângulo de elevação do topo da árvore, obtendo 30º.

Qual é a largura do rio? E a altura da árvore?

4 . Relações Entre As Razões Trigonométricas do Mesmo Ângulo.

Na figura ao lado temos: ; ;

Calculando vem :

logo,

Calculemos:

Logo, ou

Esta é a chamada Fórmula Fundamental da Trigonometria

Aplicando as fórmulas trigonométricas é possível determinar uma qualquer das razões trigonométricas do ângulo

conhecida outra trigonométricas do mesmo ângulo.

Exemplo:

Seja um ângulo agudo.

Determina .

Resolução:

Como conhecemos o , podemos determinar o pela fórmula fundamental da trigonometria:

Exercício 13

Sabendo que e que é um ângulo agudo, calcula o valor aproximado, com erro inferior a uma

centésima, de e de .

Exercício 14

Sabe-se que e que é um ângulo agudo.

Calcula, com erro inferior a uma décima:

14.1.

14.2.

14.3.

Exercício 15

Partindo da fórmula fundamental da trigonometria, mostra que:

( sendo um ângulo agudo).

Determina , sabendo que

Exercício 16

Sabendo que e que é um ângulo agudo, calcula .

Exercício 17

O ângulo x é um ângulo agudo e 0,2 – cos x = 0.

Determina sin x .

Exercício 18

Determina , sabendo que e que é um ângulo agudo.

Exercício 19

19.1. Mostra que :

( Utiliza a fórmula fundamental da trigonometria. Divide ambos os membros da

equação por )

19.2. Determina , se é um ângulo agudo e .

19.3. Simplifica a expressão:

Bom Trabalho!

Professora: Carla Varela