FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

Título: CÁLCULO MENTAL: MANTENDO AS HABILIDADES EM TRABALHAR AS OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS

Autor OLGA DO NASCIMENTO CALDAS

Escola de Atuação INSTITUTO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE

MARINGÁ,

Município da escola MARINGÁ

Núcleo Regional de

Educação

MARINGÁ

Orientador DOHERTY ANDRADE

Instituição de Ensino

Superior

Universidade Estadual de Maringá

Disciplina/Área MATEMÁTICA

Produção Didático-

pedagógica

UNIDADE DIDÁTICA

Relação Interdisciplinar

Público Alvo ALUNOS DA 7ª SÉRIE/8º ANO

Localização

Localizado na Rua Martin Afonso n. 50, Centro em

Maringá/PR

Apresentação:

A dificuldade em trabalhar as operações

fundamentais envolve a maioria dos aluno. O

projeto consiste na aplicação de exercícios para os

alunos, principalmente os da sétima série, para

trabalharem com as operações fundamentais

ajudando a manter suas habilidades de realização

de cálculos simples, mentalmente. Inicialmente,

será feito uma avaliação diagnóstica com a

finalidade de mostrar o grau de dificuldade de cada

aluno. Os exercícios serão elaborados aumentando

o grau de dificuldade de acordo com a capacidade

individual de cada aluno, até que adquira

habilidades de resolver mentalmente as operações.

Será feito uma avaliação comparativa para verificar

o grau de desenvolvimento da cada aluno após a

aplicação do projeto.

Palavras-chave CÁLCULO MENTAL; OPERAÇÕES

FUNDAMENTAIS; PROPRIEDADES.

CÁLCULO MENTAL: MANTENDO AS HABILIDADES EM TRABALHAR AS

OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS.

“...ensinar não é transferir conhecimentos,

mas criar as possibilidades para

a sua própria produção..”

(Paulo Freire).

I – INTRODUÇÃO

Este trabalho será dirigido especialmente aos alunos da sétima série (oitavo

ano) do Ensino Fundamental das escolas públicas do Estado do Paraná. Pois,

como professora de matemática, tenho percebido durante muitos anos as

dificuldades que os alunos encontra no que se refere à capacidade de resolver

mentalmente questões simples envolvendo as operações fundamentais.

O PDE, Programa de Desenvolvimento Educacional, no qual estamos inseridos

atualmente, tem nos proporcionado uma pausa para refletir nossas práticas

educativas. Nesse espaço de tempo, temos analisados as dificuldades e os

desafios educacionais e que, sem nenhum espanto temos verificado que muito

além da sala de aula estão os entraves que emperram o desenvolvimento

eficaz de uma educação de qualidade e não apenas de quantidade.

No ambiente escolar nos deparamos com as múltiplas diferenças individuais

que precisamos compreender ou mesmo a decifrar, entender, e aceitar cada

uma delas, para que possamos desenvolver o conteúdo programado de forma

eficiente e satisfatória. E, nesse ponto, acredito eu, é onde está nossa maior

dificuldade. Dificuldade essa que faz parte do processo educativo e que o

professor deve enfrentar acreditando que é possível uma educação de

qualidade para todos.

Os resultados das avaliações nacionais realizadas nas séries iniciais do ensino

fundamental mostram que os alunos não têm um bom desempenho. Dados do

INEP – Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais mostram que

menos da metade dos alunos do terceiro ano do ensino médio, sabem calcular

uma porcentagem simples. Isso é assustador, diante das exigências da vida

moderna e globalizada em que estamos inseridos. Não pode um jovem sair da

educação básica sem o domínio desse conhecimento tão importante!

Nem precisamos aprofundar o assunto, pois está explícito nas atividades

comuns e em transações comerciais simples o uso freqüente de porcentagens

quando vivemos rodeados de conceitos como juros, impostos, poupança,

aplicações financeiras, produção, etc..

A escola pública, que tem a missão de atender a diversidade da população não

pode distanciar-se de seu papel, pois os sujeitos da educação básica têm o

direito garantido constitucionalmente a uma educação de qualidade e não

apenas de quantidade. Passamos pelo desafio da inclusão dos jovens nas

escolas, mas ainda precisamos vencer o obstáculo da qualidade, assim o

principal objetivo é dar reais oportunidades para que todos tenham acesso ao

ensino de qualidade e ao conhecimento produzido pela humanidade através da

aprendizagem dos conteúdos das disciplinas escolares. Assim, o nosso desafio

é conciliar quantidade com qualidade.

Muitos fatores interferem na qualidade do ensino, mas não podemos dizer que

o fator econômico é o único responsável pela má qualidade do ensino

brasileiro, pois como exemplo, podemos citar a China, no último Pisa

(Programa Internacional de Avaliação de Alunos), o teste de educação mais

conceituado do mundo que, pode sim haver educação de alto nível em cenário

de pobreza, pois Xangai que tem nível de renda per capita muito parecida com

a brasileira, apareceu em primeiro lugar em todas as disciplinas estudadas,

enquanto o Brasil não ficou nem entre os cinqüentas melhores.

Como professora da rede estadual de educação, percebo que é necessário

encontrar caminhos que nos levem a desenvolver um ensino de qualidade,

propiciando ao aluno conhecimentos matemáticos básicos essenciais a todo

cidadão, como contar, medir, calcular, resolver problemas, construir

estratégias, argumentar logicamente, analisar e interpretar criticamente as

informações, etc., os quais são indispensáveis para o engajamento no mundo

do trabalho e nas relações sociais, culturais e políticas do mundo em que

vivemos.

Nesse trabalho enfocaremos a aplicação de atividades que irão ajudar o aluno

a resolver questões simples envolvendo as operações fundamentais e que ele

possa manter as habilidades adquiridas nas séries anteriores de forma rápida

principalmente com desenvoltura para que a falta dessas habilidades não se

torne um obstáculo para a aprendizagem de novos conhecimentos.

Uma das maiores dificuldades que enfrentamos na sala de aula, é fazer o aluno

envolver-se com as atividades, concentrando-se, pensar, prestar atenção

integralmente no conteúdo que está sendo ensinado. Notamos, muitas vezes,

que a maioria dos alunos espera um pelo outro ou até mesmo pelo professor

para dar respostas a questionamentos feitos e que se referem a conteúdos já

estudados em séries anteriores ou até mesmo em dias anteriores e que

precisam estar na mente dos alunos para avançarmos em outros conteúdos

que se interligam.

Sabemos que os conteúdos de matemática não são trabalhados de forma

isolado, sempre necessitam de um conteúdo anterior para prosseguir, como

por exemplo, um aluno não consegue trabalhar com frações, se ele não domina

as operações fundamentais com números naturais.

Para Vygotsky (1991), “o aprendizado adequadamente organizado resulta em

desenvolvimento mental e põe em movimento vários processos de

desenvolvimento que, de outra forma seriam impossíveis de acontecer”. Assim

entendemos que cabe ao professor, que tem o conhecimento específico, a

tarefa de organizar o aprendizado para propiciar o desenvolvimento mental dos

alunos.

Um dos objetivos de nossa proposta no presente trabalho, é a de organizar o

conteúdo relacionado às operações fundamentais de maneira que leve o aluno

a dominar de forma consciente e não mecânica as técnicas operatórias. Vários

autores e estudiosos do assunto têm proposto que sejam aplicadas atividades

práticas na sala de aula de modo que proporcione o desenvolvimento das

habilidades de trabalhar mentalmente com operações fundamentais.

II – CÁLCULO MENTAL

Primeiramente, vamos definir o significado da Expressão “cálculo mental”.

Popularmente conhecido como conta de cabeça, isto é, sem fazer nenhuma

notação escrita. Para algumas pessoas, significa a repetição de memória das

tabuadas e que só alguns possuem essa capacidade, outras afirmam que,

cálculo mental é sinônimo de cálculo decorado, como saber de memória os

resultados da tabuada da multiplicação e de outras operações. Outros pensam

em alguma habilidade especial, algum talento que poucas pessoas possuem.

Há ainda os que acreditam que se trata de um conhecimento matemático como

outros, que pode e deve fazer parte dos conteúdos programáticos de

matemática das escolas.

PARRA (1996), define cálculo mental, como “...o conjunto de procedimentos

em que, uma vez analisados os dados a serem tratados, estes se articulam,

sem recorrer a um algoritmo pré-estabelecido para obter resultados exatos ou

aproximados”. (PARRA; 1996: p.189).

O desenvolvimento da habilidade de cálculo mental é apontada por vários

autores como sendo necessária para uma real compreensão do número e de

suas propriedades, estabelecimento de estimativas e para o uso prático nas

atividades cotidianas, e pode ainda fornecer notável contribuição à

aprendizagem de outros conceitos matemáticos.

Muitos são os argumentos para justificar a presença do cálculo mental nos

programas escolares são apresentados. Por exemplo, que o cálculo mental

ajuda o desenvolvimento da atenção, da concentração e da memória,

permitindo que as crianças desenvolvam seus próprios procedimentos sem se

limitar a um único processo, e isso as tornam mais autônomas, pois oferece

maior liberdade na escolha de caminhos para obter soluções e exige o

completo entendimento do Sistema de Numeração Decimal. Além disso, fazer

cálculo mental, possibilita compreender com mais facilidade técnicas que

envolvem cálculos mais elaborados. Ainda, a prática do cálculo mental, pode

ser usado para estimular o raciocínio das crianças, pois, diante de desafios

envolvendo cálculos, elas procuram encontrar o melhor procedimento. As

crianças que dominam técnicas de cálculo mental demonstram, em geral, mais

segurança ao resolver situações-problema do dia-a-dia.

Em situações quotidianas, nas quais há pouco tempo para se tomar decisões,

nem sempre precisamos determinar a quantidade exata, basta uma

aproximação. Assim o cálculo mental aparece, com frequência, junto com a

necessidade de se fazer estimativas. O cálculo mental aparece também em

situações para as quais necessitamos de cálculos exatos. Para essa forma de

realizar operações aritméticas, há um universo inesgotável de estratégias a

serem utilizadas, dentre elas a decomposição, composição e associação.

Quando realizamos um cálculo mentalmente, sempre usamos cálculos

intermediários que facilitam a compreensão das regras que determinam os

algoritmos do cálculo escrito. Resolver um cálculo mentalmente exige do

sujeito a elaboração de estratégias que a maioria das vezes não são ensinadas

nas escolas. O sujeito desenvolve essa habilidade de forma natural. Porém, os

conceitos embasadores das estratégias para a resolução de um cálculo mental

são aprendidos nos primeiros anos escolares.

No cotidiano temos muitas ações ligadas ao cálculo mental, tais como: a

estimativa de gastos que posso ter durante um mês frente ao salário recebido;

o orçamento de gasto de uma festa; quanto deve poupar para comprar um

automóvel ou um imóvel, etc. A maioria das pessoas economicamente ativa

realiza cálculos mentais rotineiramente.

A compreensão das regras do Sistema de Numeração Decimal é apontada por

vários autores como sendo fundamental para o desenvolvimento da habilidade

de realizar operações. Assim, a habilidade com o cálculo mental pode fornecer

notável contribuição a aprendizagem de conceitos matemáticos e ao

desenvolvimento da aritmética, pois ao realizá-lo o aluno será confrontado com

a necessária compreensão do SND e outras propriedades.

Na realização do cálculo mental podemos constatar que um mesmo cálculo

pode ser realizado de diferentes formas. Pode-se escolher o que melhor se

adapta àquela determinada situação problema, considerando os números e as

operações que necessitam ser realizadas. Desta forma, cada situação de

cálculo mental se coloca como um problema em aberto, onde pode ser

solucionada de diferentes maneiras, sendo necessário ao sujeito recorrer a

procedimentos originais, construídos por ele mesmo, a fim de chegar ao

resultado. A satisfação do sujeito frente à criação de suas próprias estratégias

de cálculo mental, favorecem a atitudes mais positivas frente à Matemática.

Conforme pontuam Mendonça, Lellis (1989):

“Enfrentar e vencer desafios aumenta a autoconfiança das pessoas. E quando ocorre a invenção de um novo processo de cálculo (novo, ao menos para aquela turma) parece que todos repartem a sensação de que a Matemática não é inatingível. Cada aluno começa a sentir-se capaz de criar, nesse domínio. Além de tudo isso, é perceptível o aumento da capacidade do aluno de concentrar-se e estar atento nas aulas em decorrência da prática continuada do cálculo mental” (Mendonça,Lellis,1989:p.52).

É muito importante verificarmos que ao realizar o cálculo mental a reflexão

sobre o significado dos cálculos intermediários, facilitando a compreensão das

regras que determinam os algoritmos do cálculo escrito. Desta forma, o

constante exercício e a sistematização dos procedimentos de cálculo mental,

podem vir a favorecer, ao longo do tempo, como estratégias de resolução e

controle do cálculo escrito, conforme pontuam as orientações dos PCN-

Parâmetros Curriculares Nacional (BRASIL, 1998) para o trabalho com cálculo

mental no ensino fundamental. Vamos encontrar nesse documento, na parte

referente aos dois últimos ciclos, várias menções aos cálculos mentais,

associados aos cálculos escritos, exatos e aproximados, bem como à

calculadora. No que diz respeito aos procedimentos sobre números e

operações no terceiro ciclo do Ensino Fundamental, o primeiro tópico proposto

enfatiza precisamente:

“Cálculos (mentais ou escritos, exatos e aproximados) envolvendo operações – com números naturais, inteiros e racionais -, por meio de

estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos, utilizando a calculadora para verificar e controlar resultados” (BRASIL, 1998, p. 71).

As estratégias cognitivas desenvolvidas a partir da utilização do cálculo mental

em situações práticas favorecem a generalização numérica, a imaginação e a

memorização. Parra (1996), ao discutir a importância do cálculo mental no

ensino da Matemática, defende que o trabalho com o cálculo mental habilita

para uma forma de construção do conhecimento que vem a favorecer uma

melhor relação do aluno com a própria Matemática. Trata-se de um processo

de resolução dos problemas de maneira criativa, na busca de diferentes formas

de resolução e não fixados em um único algoritmo capaz de dar conta da

resolução.

Devemos constatar que as estratégias desenvolvidas durante o cálculo mental

possibilitam reflexões sobre as propriedades dos números, divisibilidade,

multiplicidade, exercícios mentais de composição e decomposição de números,

enfim, pode-se trabalhar vários conceitos aritméticos e aplicá-los a situações

reais de cálculo.

As pesquisas que discutem o assunto têm mostrado que a habilidade para o

cálculo mental, em situações escolares, é construída a partir da resolução de

uma série de situações-problema, através da interação do aluno com seus

colegas e com o professor. A partir destas interações e resolução dos desafios

propostos, o aluno é capaz de elaborar suas estratégias pessoais de resolução

dos problemas de cálculo mental.

É de fundamental importância, o trabalho com o cálculo mental no ensino da

Matemática. Nesse sentido, Parra (1996) aponta quatro razões para a inclusão

do ensino de cálculo mental nas escolas, vejamos:

1) As aprendizagens no terreno do cálculo mental favorecem na capacidade de

resolver problemas. (Parra; 1996: p.195)

O enriquecimento das relações numéricas (decomposições de um número, por

exemplo) através do cálculo mental ajuda os alunos a realizarem com mais

facilidades suas estratégias de resolução de um problema, quando já

conseguem moldá-lo, estabelecer relações entre os dados, por refletirem sobre

as possíveis soluções.

2) O cálculo mental aumenta o conhecimento no campo numérico (números,

operações, propriedades das operações, etc. Verificamos que durante a

realização de uma série de cálculos o aluno pode descobrir a aplicação das

propriedades das operações, as quais podem no início ficarem implícitas,

sendo que depois serão aplicadas na resolução de cálculos, segundo Parra

(1996):

Com atividades deste tipo, se busca que os alunos encontrem uma maneira de fazer matemática que não se reduza a usar algoritmos e produzir resultados numéricos, mas que inclua analisar os dados, estabelecer relações, tirar conclusões, ser capaz de fundamentá-las, provar o que se afirma de diversas maneiras, reconhecer as situações em que não funciona, estabelecer os limites de validade que se encontrou. (Parra;1996:p.198)

Quando o aluno realiza as ações acima expostas, busca estabelecer uma

significação numérica para os cálculos que realiza, estabelecendo os limites e

as possibilidades de realização de um cálculo.

3) “O trabalho de cálculo mental habilita para uma maneira de construção do

conhecimento que, ao nosso entender, favorece uma melhor relação do aluno

com a matemática” (Parra,1996:p.198).

Situações com cálculo mental propiciam aos alunos articularem o que sabem

com o que necessitam aprender. Além disso, trata-se de um dos meios mais

eficazes para o estabelecimento de uma relação mais pessoal do aluno com o

conhecimento matemático, evitando as dificuldades que algumas pessoas

apresentam diante da Matemática.

4) O trabalho com o cálculo mental (“cálculo pensado”) deve ser acompanhado

de um aumento progressivo do cálculo mecânico (algoritmos). Parra (1996)

acredita que o cálculo mental represente uma via de acesso para a

compreensão e construção de algoritmos, através da observação de

regularidades e construção de leis. Parra (1996) defende a importância de

situações que propiciem uma reflexão sobre o cálculo realizado, a fim de

envolver os alunos, gradualmente, na resolução de cálculos dos mais fáceis

para os mais difíceis e neste sentido ressalta que:

Um dos primeiros requisitos é que os alunos comecem a tomar consciência dos procedimentos que utilizam; eles necessitam saber o que é que sabem (no sentido de ter disponível este conhecimento) e como podem apoiar-se no que sabem para obter outros resultados(...) Os cálculos que eram uma ferramenta para resolver situações e expressar o que havia sido feito, tornam-se objeto de reflexão.(Parra,1996:p.216)

Tratando ainda sobre o cálculo mental Parra (1996) ressalta como sendo um

caminho particularizante, no qual cada problema é novo e na resolução dos

mesmos há que se ter consciência de que para uma mesma situação

determinados cálculos são mais simples que outros e, para uma eficiente

aplicação em suas aulas, o professor necessita:

– ter bem claro para si quais são os conhecimentos que a cada nível deve estar

disponíveis para cada aluno, a fim de tornar possível a abordagem e a

aquisição de novos conhecimentos;

- dispor de ferramentas que lhe permitam diagnosticar os conhecimentos de

seus alunos;

- conhecer propostas didáticas através das quais consiga inserir em suas

aulas, os avanços dos conhecimentos de seus alunos. (Parra, 1996: p. 202).

Recente trabalho realizado por Heitor Antonio Gonçalves, em Tese de

Doutorado pela Universidade Federal Fluminense, destaca que:

O cálculo mental torna-se importante devido ao papel que pode desempenhar quando é contemplado na sala de aula como cálculo pensado, inteligente, lúdico e não somente como um conjunto de regras que simplesmente fomentam um grupo de habilidades. As propostas didáticas mais antigas são baseadas na rapidez, exercitação da memória e desenvolvimento da agilidade da mente. Aos poucos estas propostas começam a considerar as propostas derivadas das mudanças sociais, das novas teorias da aprendizagem e das mudanças de foco sobre a finalidade do ensino da matemática. Para o pesquisador a escola hoje pede um ensino de exploração e reflexão e não um ensino mecânico. Ao invés de padronização são estimuladas autonomia e flexibilidade. Em vez de cálculo em solidão e silêncio, onde o professor só vê se a resposta está correta, hoje se pede verbalização, explicitação, diálogo, olhar para os erros e aprender com eles. É em relação a estas exigências que se deveria pensar em qualquer proposta didática com o cálculo mental. Gómez (1995) enfatiza a importância de uma exploração que permita, não só conhecer a existência de certas estratégias, mas também refletir sobre elas para escolher ou utilizar a mais apropriada dentro de cada situação. A flexibilidade se mostra importante na procura de soluções

e na capacidade para relacionar, comparar, selecionar ou dar prioridade a alguns dados em detrimentos de outros, no momento de realizar as operações matemáticas necessárias. A aprendizagem do cálculo mental supõe a reflexão e verbalização de diversas estratégias usadas em uma determinada operação. Para o professor na escola, será bom ele tirar proveito de erros, avaliar e reorientar o processo escolhido (DCB5 1989, apud GÓMEZ, 1995, p. 34). O autor acrescenta que mostrar mais de uma regra que pode ser aplicada em uma situação é fundamentalmente algo promovido por meio do diálogo e da explicitação das diversas estratégias usadas na solução dos problemas que possuem um enunciado”. (Disponível em: http://www.uff.br/pos_educacao/joomla/images/stories/Teses/mental.pdf )

III – BASES DE CONSTRUÇÃO DAS ESTRATÉGIAS DO CÁLCULO

MENTAL

Embora seja uma prática constante na vida dos cidadãos brasileiros, os

autores de livros didáticos fazem pouca referência ao assunto. Por outro lado,

muitos autores estrangeiros são consultados pelos pesquisadores do assunto.

Um dos mais citados e traduzidos é CECILIA PARRA, argentina. Portanto,

temos firmado nosso trabalho nas propostas apresentadas por essa autora na

obra: Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas.

Nessa obra, verificamos que a autora destaca a necessidade do professor

projetar atividades específicas orientadas com a finalidade de desenvolver o

cálculo mental de acordo com os conteúdos a serem ensinados. Além do mais

o professor deve diagnosticar o nível de domínio de seus alunos para, a partir

deles iniciar um trabalho específico de desenvolvimento do cálculo mental.

Assim, com base nos ensinamentos de Parra (1996), consideramos como

bases de construção das estratégias do cálculo mental, o conhecimento dos

seguintes conteúdos básicos:

- adições do tipo: a + b = 10; a+b = 100; a+b = 1000, de acordo com o nível de

escolaridade do aluno;

- subtrações do tipo: 10 – a = b; 100 – a = b, também de acordo co o nível de

escolaridade do aluno;

- contar de 100 em 100 a partir de qualquer número;

- Múltiplos de 10;

- Múltiplos dos primeiros números: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...

- Divisões e multiplicações especiais x 2; ÷ 2, saber que um número x 4 é igual

multiplicar duas vezes por 2; um número x 8 é o mesmo que multiplicar 3 vezes

por 2, etc.; ÷ 4 é o mesmo que dividir duas vezes por 2, etc.; tudo de acordo

com o nível de escolaridade do aluno;

- Dobros e metades de números de um, dois três e quatro algarismos, de

acordo com o nível de escolaridade do aluno;

- triplos e terços;

- Regras do Sistema de Numeração decimal;

- Propriedades das operações fundamentais (comutativa, associativa, elemento

neutro, elemento inverso, etc.;

- Composição e decomposição dos números;

- diferentes maneiras de encontrar um produto, como por exemplo: 6 x 12 = 3 x

2 x 12 ou, = 6 x 2 x 6 ou = (6 x 10) + ( 6 x 2), etc.;

- somas e subtrações com medidas do tipo: tempo (ano, mês, dia, semana,

horas, minutos, segundos), comprimento (kilômetro, metro, centímeto,

milímetro), área (kilômetros quadrados, metros quadrados, centímetros,

quadrados), capacidade (litro, mililitro), massa (tonelada, kilograma, grama),

ângulos mais usuais (30º, 45º, 60º, 90º), tudo de acordo como nível de

escolaridade do aluno;

- cálculo de quantidade de algarismos de um quociente;

- estimativa de resultados de divisão de números naturais;

- comparação de frações com números inteiros;

- cálculos com moedas e notas em uso;

- aproximações e arredondamento de resultados das quatros operações;

- frações mais comuns de números inteiros;

- dobros e metades de frações;

- dobros e metades de números decimais;

- somas e subtrações de frações mais comuns;

- somas e subtrações de decimais simples;

- enquadramento de décimas entre dois números;

- cálculos e porcentagens mais usuais: 10%, 20%, 25%, 50%, 75%, 100%;

- relações mais usuais entre frações e porcentagens (exemplo: ¼ e 25%; ½ e

50% ; ¾ e 75%; 1 + ½ e 150%; etc.,);

- complementos de decimais do inteiro mais próximo ( exemplo: 25, 6 + .... =

26);

- cálculos de potências;

- cálculos da raiz quadrada de números quadrados perfeitos;

- estimativa das raízes quadradas não exatas de números naturais;

- estimativa de comprimentos ou distâncias e superfícies de objetos lugares e

espaços da vida diária.

Segundo PARRA (1996), a construção paralela e vinculada do cálculo pensado

e do cálculo autônomo requer que sejam executadas, sistematicamente

atividades de memorização de repertórios e regras com um trabalho coletivo,

lento e detalhado, de aprendizagem do cálculo mental pensado, que se apóia

na comparação de diversos procedimentos utilizados por diferentes alunos,

regra básica para que o professor possa organizar o ensino visando alcançar

as finalidades propostas para o cálculo mental.

Os alunos produzem resultados pelos seus próprios meios O professor

seleciona e propõe cálculos que favoreçam procedimentos reconstrutivos.

Nessa perspectiva, é necessário que os alunos comecem a tomar consciência

dos procedimentos que utilizam, ou seja, saber o que é que sabem, para

apoiar-se nos seus conhecimentos e obter outros resultados.

IV – ALGUMAS SUGESTÕES PARA A REALIZAÇÃO DE CÁLCULO

MENTAL.

1 – ADIÇÃO

1.1 – Uso da propriedade comutativa: A seguir sugerimos alguns exemplos

simples que o professor pode propor aos alunos. O professor deve solicitar que

os alunos verbalizem suas estratégias, que podem ser como as indicadas nos

exemplo.

Exemplo: 3 +7 é mais fácil iniciar com 7 → 7 + 3 = 10; 6 + 18 = 18 + 6 = 24.

1.2– Somando os iguais. Exemplo: 7 + 8 = 7 + 7 + 1 = 14 + 1 = 15.

1.3- Apoiando-se no número 10. Exemplo: 7 + 8 = 7 + 3 + 5 = 10 + 5 = 15.

1.4– Relacionando uma parcela com um número redondo: Exemplo: 23 + 39 =

23 + 40 – 1 = 63 – 1 = 62; 152 + 680 = 152 + 700 – 20 = 852 – 20 = 832.

1.5 - Decompondo uma das parcelas e associando convenientemente.

Exemplos: 123 + 36 = 123 + 30 + 6 = 153 + 6 = 159; 25 + 37 = 20 + 5 + 30 + 7

= 20 + 30 + 5 + 5 + 2 = 50 + 10 →+ 2 = 62; 285 + 123 = 200 + 100 + 80 + 20 +

5 + 3 = 300 + 100 + 8 = 408.

1.6 - Soma das parcelas ou do algarismo de suas unidades. Exemplo: 36 + 74 =

74 + 6 + 30 = 80 + 30 = 110.

2– SUBTRAÇÃO

2.1) Decomposição do número do subtraendo em duas partes de modo que

uma contenha o mesmo valor da unidade expressa no minuendo. Exemplo: 25

– 8 = 25 – (5 + 3) = (25 – 5) - 3 = 20 – 3 = 17.

2.2) Tira as dezenas do subtraendo e depois as unidades. Exemplo: 200 – 38 =

200 – 30 – 8 = 170 – 8 = 162

2.3) Quando o algarismo da ordem das unidades do minuendo for menor que o

número do subtraendo, decompor o valor do minuendo ou, decompor o valor

do subtraendo de modo que um dos valores seja igual ao da unidade do

minuendo. Exemplos: 73 – 9 = 60 + (13 – 9) = 60 + 4 = 64; 73 – 9 = 73 – ( 6 + 3

) = (73 – 3) – 6 = 70 – 6 = 64.

2.4) Aproxima o subtraendo ao minuendo o que foi acrescentado é o resultado.

Exemplo: 52 – 38→ 38 + 2 = 40 + 10 = 50 + 2 = 52→52-38= 2 + 10 + 2 = 14;

105 - 64→ 64 + 6 = 70 + 30 = 100 + 5 = 105 → 105 – 64 = 6 + 30 + 5 = 41.

2.5) Duplica-se ou triplica-se o subtraendo e verifica quanto falta para igualar

ao minuendo, ao dobro ao triplo... acrescenta-se o que falta para igualar ao

minuendo. Exemplo: 36 – 14 → dobro de 14=28 +8 = 36 → 28 – 14 = 14 + 8 =

22→ 36 – 14 = 22 ; 49 – 12 → quádruplo de 12 = 48 + 1 = 49→ 48 – 12 = 36

+1 = 37 → 49 – 12 = 37

2.6) Separação do minuendo e do subtraendo em suas dezenas e unidades

separadamente e posterior soma dos dois subtotais. Exemplos: a) Quando a

unidade do minuendo é maior que do subtraendo. 36 – 14 = (30 – 10) + ( 6 –

4) = 20 + 2 = 22.

b) Quando a unidade do minuendo é menor que a do subtraendo, diminuímos

uma dezena do minuendo e acrescentamos a unidade do próprio minuendo. 36

– 19 = (20 – 10) + (16 – 9) = 10 + 7 = 17.

2.7) Arredondamento das unidades, dezenas e centenas do minuendo e do

subtraendo, de modo que os dois fiquem igual ou o mais próximo possível. Se

aumentar unidades ou dezenas ou centenas ao minuendo, no final eu desconto

do resultado; se aumentar no subtraendo, eu acrescento ao resultado.

Exemplos: 1235 – 840 = 1240 – 840- 5 = 400 – 5 = 395; 1240 – 835 = 1240 –

840 + 5= 400 + 5 = 405.

2.8) Se os algarismos das dezenas forem iguais, basta diminuir os algarismos

das unidades. Exemplos: 28 – 25 = (20-20) + (8-5) = 0 + 3 = 3; 57 – 52 = (50-

50)+ 7-2 = 0 + 5 = 5

3 – MULTIPLICAÇÃO

A base para efetuar multiplicações é a memorização da “tabuada” do 2 até o 9

pois as demais operações estão subordinadas a esses cálculos. Aliado a esse

domínio é necessário que os alunos dominem as propriedades da

multiplicação, quais sejam: comutatividade, associatividade, distributividade e

ainda, as propriedades das classes e ordens do Sistema de Numeração

decimal. Adiante propomos algumas atividades que ajudarão o aluno a

desenvolver essas habilidades, lembramos que para mantê-las é necessária a

prática reiterada de exercícios individuas e coletivos, com a orientação do

professor.

3.1 – Propriedade comutativa: Se o aluno já domina bem os produtos de

números menores, ele pode usar o recurso da comutatividade para realizar

cálculos que ainda não estão automatizados na memória. Exemplos:

8x2=2x8=16; 9x3=3x9=27, etc.

3.2 – Propriedade distributiva: consiste decompor em soma um dos fatores,

recorrendo a cálculos já automatizados. Exemplos: 12 x 3 = (6 + 6) x 3=18 + 18

= 36 ou (10 + 2) x 3= 30 + 6 = 36.

3.3 – Propriedade associativa: que consiste em associar parcelas recorrendo a

cálculos mais fáceis. Exemplos: 35 x 2 = 7x5x2=7x(2x5)=7x10=70.

3.4 – Multiplicação por múltiplos de 10. Bastando acrescentar a quantidade de

zeros ao número multiplicado. Exemplos: 12x10=120;

12x100=1200;12x1000=12000 etc.

Para auxiliar os alunos no trabalho com a tabuada propomos atividades como

confeccionar a tabuada, montar réguas de Neper, multiplicar com as mãos,

etc..

4 – DIVISÃO

Para a divisão, devemos empregar a reversibilidade com relação a

multiplicação. Observando as propriedades cabíveis na divisão, verificando que

não valem as mesmas propriedades da multiplicação.

É fundamental que o aluno compreenda o mecanismo da propriedade da

divisão, qual seja: se multiplicando os fatores obtêm-se um produto então é

possível obter um dos fatores dividindo o produto pelo outro fator.

Também, torna-se necessário trabalhar com os alunos a divisão por múltiplos

de 10, quando o dividendo também é múltiplo de 10, caso em que eliminamos

zeros conforme o caso. Exemplos: 230:10=23; 2300:100=23; 23000;1000=23,

etc.. Vejamos ainda algumas estratégias:

4.1 – Decomposição. Alguns números podemos decompor e dividir em partes.

Exemplos: 369:3=(300+60+9):3=100+20+3=123;

115:5=(100+10+5):5=20+2+1=23.

4.2 – Busca do resultado por tentativas. Exemplo: 108:9=(9x10=90→108-

90=18→9x2=18) →108:9=12.

5 - ARREDONDAMENTOS

Em algumas situações, não há necessidade de saber o resultado exato, basta

ter um valor aproximado. Exemplo: 396:17≃400:20=20.

6 – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM.

É muito importante o cálculo do Mínimo múltiplo comum. Principalmente,

quando temos que fazer operações envolvendo frações ou na resolução de

problemas e desafios. Uma regra essencial que podemos socializar com

nossos alunos é: Para calcular o mmc entre dois números, devemos primeiro

verificar se o maior é divisível pelo menor, se for, o maior é o mmc. Caso não

seja, vamos tentando com o dobro, o triplo, o quádruplo, etc., e dividimos

sempre pelo menor, deu exato, o mmc é o dobro, o triplo, quádruplo, etc., do

número maior. Exemplos: mmc (12, 4) → 12:4 é divisão exata. Logo

mmc(12,4)=12; mmc(8,5) → 7:2 não é divisão exata →14:2 é divisão exata.

Logo mmc (7,2)=14.

V – ATIVIDADES DE CÁLCULO MENTAL

Como vimos acima, o cálculo mental pode desenvolver a concentração e

melhora a capacidade de fazer estimativas, aumentando a compreensão e

procedimentos matemáticos, uma vez que os alunos ficam com a habilidade de

fazer rapidamente cálculos básicos.

Nesse item apresentaremos sugestões de atividades para sem aplicadas na

sala de aula que auxiliam no desenvolvimento da habilidade de cálculo mental,

as quais devem ser trabalhadas gradativamente de acordo com o nível de

conhecimento dos alunos envolvidos. Vale dizer que as atividades abaixo são

resultados de várias pesquisas realizadas sobre o assunto em questão.

Para a prática do cálculo mental o professor deve verificar o momento

adequado, mas sugerimos que seja uma prática constante para ajudar o aluno

a adquirir essa habilidade e mantê-la durante toda sua vida. Aconselhamos que

essa prática não se torne cansativa, o professor deve utilizar no máximo 15

minutos de uma aula (no final) duas vezes por semana. Sugerimos ainda, que

o professor motive bem os alunos para essa prática e que, prepare com

antecedência os cálculos que serão propostos (no máximo dez). Com a turma

em silêncio propor os cálculos oralmente e pedir que cada aluno anote

somente a solução, dando tempo adequado pra que todos pensem. Em

seguida, dar as respostas dos cálculos e propor que alguns alunos exponham

como fizeram seus cálculos discutindo-os com a turma toda e verificando se

existem outras possibilidades.

PARRA (1996) destaca que os jogos representam um papel muito importante

para o cálculo mental, assim indicaremos o uso de alguns jogos simples que

estimulam os alunos a realizarem cálculo mental que estão disponíveis em:

http://educacao.uol.com.br/operacoes-matematicas/ensino-

fundamental.jhtm;revistaescola.abril.com.br/matematica/praticapedagogica/jogo

tabuada428051.shtml;revistaescola.abril.com.br/matematica/praticapedagogica/

jogo-castelo-428059.shtml;revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-

pedagogica/feche-caixa-428064.shtml;

revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/sjoelbak-

428032.shtml;www.escolovar.org/hotpot_mat.htm;http://www.mathsisfun.com/q

uiz/fourteentimes.html.

ATIVIDADE 1:

Essa atividade está relacionada à identificação do número de acordo com as

regras do Sistema de Numeração Decimal, sendo importante para a

compreensão do processo de decomposição de um número em unidade,

dezena, centena, milhar, etc..

1)Que números correspondem aos valores seguintes:

50

dezenas

20

centenas

45

dezenas

30

centenas

22

dezenas e

8 unidades

5

centenas e

10

unidades

300

dezenas

142

centenas

300

centenas

2100

centenas

2000

dezenas

1350

centenas

620

dezenas

15

centenas e

2 unidades

8 milhares

3 centenas

12

milhares e

4 dezenas

e 6

unidades

2)Quantas dezenas existem nos números do quadro abaixo:

52 795 3258 280

864 1235 456 600

2000 754 6578 56

1920 23 543 975

3)Quantas centenas existem nos números constantes do quadro.

530 7435 639 1867

20740 955 9700 3000

4270 5300 877 1450

10000 25600 328 4320

ATIVIDADE 2

Relacionada a adições envolvendo todas as combinações possíveis com os

números de 2 a 9 que são fundamentais par elaboração de outros cálculos

envolvendo números maiores.

1)Calcule as somas do quadro abaixo:

2+2= 3+3= 4+4= 5+5= 6+6= 7+7=

8+8= 9+9= 2+3= 3+4= 4+5= 5+6=

6+7= 7+8= 8+9= 6+8= 7+9= 6+9=

2+4= 2+5= 3+5= 4+6= 5+7= 2+6=

3+6= 4+7= 5+8= 2+7= 3+7= 4+8=

5+9= 2+8= 3+8= 4+9= 2+9= 3+9=

1) Complete para chegar a 10 os números da tabela:

2+.......=10 5+.......=10 8+.........=10 4+........=10

7+.....=10 1+......=10 6+.........=10 3+........=10

Obs. O professor deve elaborar outros exercícios para que o aluno complete os

números até 100, até 1000, ou até a dezena mais próxima ou até a centena

mais próxima.

2) Efetue mentalmente as adições da tabela abaixo:

266+4= 1018+4= 70+30= 3000+7000=

70+70= 4000+5000= 600+400= 80+20=

650+320= 235+125= 5000+70= 7650+300=

80+80= 333+33= 999+1= 355+25=

3)Resolva mentalmente as operações abaixo:

a) 23+8+7= b) 30 + 26 + 24= c) 54 + 10 + 6 =

d) 3+ 2727 e) 100+50+30= f) 7+15+8+5=

g) 375+34 h) 18+37+23 i) 20 + 234+80=

ATIVIDADE 3

Essa atividade está relacionada a subtração.

1)Efetue mentalmente as subtrações da tabela abaixo:

10-3= 9-4= 25-7= 42-5=

15-8= 8-6= 18-8= 33-7=

54-9= 69-12= 77-10= 86-18=

93-39= 123-64= 245-65= 480-28=

2)Dos números da tabela abaixo, quanto devemos subtrair para que fique com

a dezena inteira inferior a dezena do número dado.

235 126 1168 347 695

1764 3892 891 2966 799

997 653 555 444 628

3)Resolva as expressões mentalmente:

a) 28 + 12 – 8 = b) 76 -15 + 4 = c) 300+20-300=

d) 100+25-15= e) 27 +13 – 30= f) 40+40-20+20=

ATIVIDADE 4

Multiplicações e divisões.

1)Multiplique as operações mentalmente, fazendo os registros que você

pensou.

7 x 200= 35 x 40= 55x60= 263x30=

40x75= 330:5= 728:7 37x5000=

662:2= 20x36= 416:8= 707:7=

75:25= 30000:600= 315:15= 23x500=

2)Calcule mentalmente o valor das expressões:

a) 8 x (10 + 2) = e) 10 x ( 5 + 4) =

b) 20: ( 5 + 4)= f) 45: (5 – 9) =

c) 100: (4 + 10)= g) 8 x ( 5 - 4) =

d) 4 : (2 – 4)= h) 6 x (3 + 5) =

ATIVIDADE 05

Essa atividade está relacionada com o cálculo do MMC

Calcule mentalmente o MMC dos números abaixo:

1) 6 e 9= 2) 5 e 15= 3) 14 e 4= 4) 12 e 18=

5) 3 e 7= 6) 10 e 9 = 7) 8 e 6= 8) 35 e 7=

ATIVIDADE 06

Essa atividade está relacionada a estimativas.

SORTEIO DE NÚMEROS PARA ESTIMAR O RESULTADO DA SOMA.

Procedimento: Escreva duas colunas de números no quadro de giz ou em um

cartaz da seguintes forma:

A=120 M=585

B=304 N=784

C=524 O=293

D=251 P=147

E=342 Q=694

F=624 R=478

G=213 S=189

H=411 T=395

100-299 900-1099

300-499 1100-1299

500-699 1300-1499

700-899 1500-1699

Escreva as letras separadamente em um papel pequeno de A a H dobre e

coloque em uma caixinha; faça o mesmo com as letras de M a T e coloque em

outra caixinha.

Peça para um aluno tirar um papel de cada caixinha e veja que números

correspondem as letras sorteadas. Peça para que o aluno indique em que

intervalo dos números acima, está o resultado da soma dos números

sorteados. (adaptado PARRA:1986; pg.231

ATIVIDADE 7

JOGO. AÇÃO sobre cálculo mental.

O TIME COM MAIS GOLS É...

Dividir a classe em time. Nomear os times. Em cada rodada, o professor

apresenta um cálculo e espera cerca de 10 segundos.

Os alunos tentam fazer a conta mentalmente e anotam o resultado num papel

branco. Depois, o professor escreve os resultados no quadro de giz. Cada time,

honestamente, conta seus gols. Cada acerto vale 1 gol. Cada membro do time

contribui no máximo com 6 gols. O time com mais gols ganha a rodada. Outras

rodadas podem ser realizadas em outros dias. Quem prepara os cálculos é o

professor. Aqui vai uma sugestão:

RODADA 1 RODADA 2 RODADA 3

3+7+11+9 13+19 8+9-7

6+15+4+7 18+18 17-8-5

13+7+5+8 27+35 13+8-14

2+17+8+13 18+15 8+6-9

6+9+12+8 34+47 8+5-7

7+6+21+9 26+35 9+12-13

RODADA 4 RODADA 5 RODADA 6

70-45 5x16 300÷15

60-18 6x12 120÷24

72-26 7x13 104÷8

66-39 8x15 630÷6

53-28 8x14 84÷7

85-77 9x16 78÷13

(CENTÚRIÓN,2010, p.37)

VI - SUGESTÃO DE ATIVIDADES PARA AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA DA

HABILIDADE DE CALCULO MENTAL.

1ª AVALIAÇÃO

CONTEÚDO: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

ALUNO(A):............................................................................. SÉRIE:........DATA:

Tempo máximo: 3 minutos.

1)15+2=

2)24+5= 3)13 7= 4)18+6=

5)17+9= 6)35+3= 7)46+4= 8)54+8=

9)134+252= 10)1050+1024= 11)25-4= 12)36-

18=

13)16-7= 14)47-6= 15)59-8= 16)118-

10=

17)84-5= 18)77-9= 19)99-3= 20)135-

86=

2ª AVALAÇÃO

CONTEÚDO: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS (A

PARTIR DA 7ª SÉRIE;8º ANO)

ALUNO(A):..............................................................SÉRIE:........... DATA:

Tempo máximo: 5 minutos

1)-7+4= 2)+10-11= 3)-3-4-6= 4)(-6)+(-4)=

5)(-8)-(-8)= 6)-3-4+7= 7)-35-7= 8)-20-20=

9)+30- 10)-23+(- 11)-4+3-5= 12)+1+1+1=

40+10= 3)=

13)-4+0= 14)(+7)-(-

7)=

15)-

45+40=

16)+28+8-

18=

17)-6-6+6= 18)0+(-

10)=

19)-50-50= 20)-2-2-2-2-

2=

3ª AVALIAÇÃO

CONTEÚDO: MULTIPLICAÇÕES E DIVISÕES

ALUNO(A):......................................................SÉRIE:............. DATA:.......

Tempo máximo: 5 minutos

1)24X9= 2)56X4= 3)85X2= 4)42X5=

5)25X6= 6)38X7= 7)63X8= 8)74X3=

9)97X10= 10)44X11= 11)244:4= 12)243X6=

13)432:6= 14)2226:7 15)906:3= 16)625:5=

17)1000:8= 18)280:10= 19)6327:9= 20)850:5=

4ª AVALIAÇÃO

CONTEÚDO: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS

ALUNO(A):.............................................SÉRIE:............DATA:........

Tempo máximo: 05 minutos

1)2,5+1,5= 2)12,3+9,7= 3)3,7+5,3+9= 4)5+0,75=

5)10,75+2,25= 6)18,65+4,35= 7)4,2+2,8= 8)3,25+0,75=

9)14,36+0,64= 10)9,45+3,55= 11)1-0,25= 12)2-0,5=

13)8-0,75= 14)15,5-8,8= 15)85,75-3,50-

2,25=

16)1-0,75-0,25=

17)50-24,50= 18)18,35-6,15-

2,2=

19)4580-5,80= 20)84,10-23,05=

5ª AVALIAÇÃO

CONTEÚDO: ADIÇÕES E SUBTRAÇÕES DE FRAÇÕES

ALUNO(A):.............................................SÉRIE:............DATA:........

Tempo máximo: 05 minutos

1) + = 2) + 3) = 4) - =

5) = 6) = 7) + = 8) =

9) – 10) 1 + = 11) 5+ = 12) 8 - =

13) 7 + = 14) = 15) 16) +

1=

17) = 18) 19) 20)2

+1 =

6ª AVALIAÇÃO

CONTEÚDO: FRAÇÕES DE NÚMEROS INTEIROS E PORCENTAGENS

SIMPLES

ALUNO(A):.............................................SÉRIE:............DATA:........

Tempo máximo: 05 minutos

1) 2) 3) 25% de 100= 4)

5) 5% de 600= 6) 10% de 865= 7) 20% de 1300= 8) 90% de 200=

9) 1 + 10) 120% de 60 = 11) 100% de 8 = 12) 75% de 40 =

13) 15% de 900= 14) 15) 16)0,5% de 80=

VII - CONSIDERAÇÕES FINAIS

A aritmética mental é uma valiosa destreza, porém o conhecimento de

tabuadas com as operações básicas é fundamental. Não é possível o aluno de

sétima série ou oitavo ano, fazer cálculos mais elaborados sem que antes

tenha memorizado os mais simples como a adição, subtração, multiplicação e

divisão, envolvendo números até 100.

Finalmente, observamos que estratégias de composição e decomposição

exigem dos alunos um conhecimento completo do sistema de numeração

decimal, permitindo aos alunos a utilização de estratégias diversas, pois as

pessoas usam métodos com os quais se sentem seguras, mesmo que esse

método não seja tão “óbvio” sob o ponto de vista da matemática. A

verbalização das estratégias usadas pelos alunos mostra que mais de uma

regra pode ser aplicada na resolução de problemas.

Regras de aproximação dos números é apenas uma maneira para tornar os

números mais manejáveis para o cálculo mental. Dar tempo aos alunos, pois

são necessários muitos exercícios para criar boas “calculadoras Mentais”.

É necessário valorizar a memorização da tabuada, pois saber alguns cálculos

básicos de memória (cálculos automáticos) ajuda a desenvolver a habilidade

de realizar cálculos mentais.

“Pensar com a cabeça” em vez de só “pensar na cabeça”, aumenta a duração

do tempo de atenção, sabendo que, o resultado não é o mais importante e sim

a construção do processo para obtê-lo.

VIII – BIBLIOGRAFIA

CARRAHER, T. N. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1988.

CENTURIÓN, M. Ramos;JAKUBOVIC, José. Matemática na Medida Certa: 6º

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FLORIANI, V. José; Professor Pesquisador: (exemplificação apoiada na

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http://www.uff.br/pos_educacao/joomla/images/stories/Teses/mental.pdf

GRANDO, C. Regina, Tese Doutorado - Universidade Estadual de Campinas –

Faculdade de Educação.Título:O conhecimento matemático e o uso de jogos

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(http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/cont

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GUIMARÃES, D. Sheila, Tese Doutorado – Universidade Federal de Mato

Grosso do Sul – 2009 Titulo: A PRÁTICA REGULAR DE CÁLCULO MENTAL

PARA AMPLIAÇÃO E CONSTRUÇÃO DE NOVAS ESTRATÉGIAS DE

CÁLCULO POR ALUNOS DO 4º e 5º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede

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2008.

PARRA,C.; SAIZ (Orgs). Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas.

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TAHAN, M. O homem que calculava. Rio de Janeiro. Record.2000.

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VYGOTSKY, L. A formação social da mente. 4 ed. Tradução José Cipolla Neto

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