Ficha 3 – Forças e movimentos

Considere g = 10 m s-2

Grupo I

De uma janela a 6,0 m de altura do solo, uma bola, de massa 100 g, é lançada verticalmente para cima, com

velocidade de módulo . A força de resistência do ar que atua sobre a bola é desprezável.

1. Selecione a opção que melhor representa o esboço do gráfico da intensidade da força gravítica, , em função do

tempo, , desde o instante em que a bola é lançada até atingir o solo.

2. Selecione a opção que melhor representa a velocidade, , e a aceleração, , da bola num instante

imediatamente após o seu lançamento.

(A) (B) (C) (D)

3. Considerando como referencial o eixo dos , com origem no solo e apontando para cima, a equação que permite

determinar a posição, da bola em função do tempo, , em unidades SI, é…

(A) . (C) .

(B) . (D) .

4. Determine a distância percorrida pela bola desde o instante em que foi lançada até chegar ao solo. Apresente

todas as etapas de resolução.

5. Qual é o módulo da velocidade da bola quando, na descida, volta a passar na posição inicial?

6. Selecione a opção que melhor representa o esboço do gráfico do módulo da velocidade da bola, , em função

da altura, , medida em relação ao solo, desde o instante em que a bola é lançada até atingir o solo.

Grupo II

Lançou-se um corpo, de massa 250 g, do

ponto P. O corpo sobe o plano inclinado,

de atrito não desprezável, deslocando-se

até ao ponto Q em que inverte o sentido

do seu movimento. No referencial

escolhido a abcissa do ponto P é 0,84 m.

Com o sensor colocado no ponto R obtiveram-se os

dados relativos ao movimento. A figura, à direita,

representa o gráfico velocidade-tempo, , do corpo

no seu movimento no plano.

1. Indique, justificando, qual foi o sentido arbitrado

como positivo.

2. Apresente um esboço do gráfico da componente

escalar da posição do corpo, , em função do tempo,

, desde o instante em que o corpo foi lançado

( ) até ao instante em que, sobre o plano, o

corpo inverteu o sentido do movimento (ponto Q).

Na sua resposta deve reproduzir o gráfico, no

intervalo de tempo considerado, indicando:

‒ as grandezas representadas e as respetivas unidades;

‒ as coordenadas dos pontos que correspondem ao instante em que o corpo foi lançado e ao instante em que, sobre

o plano, o corpo inverteu o sentido do movimento.

3. A aceleração do corpo na subida…

(A) tem direção da reta PQ e sentido de Q para P.

(B) tem sentido oposto à sua aceleração na descida, e é maior.

(C) é simétrica da sua aceleração na descida.

(D) é igual à sua aceleração na descida.

4. Selecione a opção em que se representa corretamente a resultante das forças, , que atuam no corpo durante a

subida de P para Q.

(A) (C)

(B) (D)

Grupo III

Em 1945, Arthur C. Clarke, numa revista de eletrónica amadora, avançou com uma das maiores ideias das ciências

espaciais: o satélite geoestacionário.

Um satélite geoestacionário devia situar-se numa órbita circular especial, a chamada órbita de Clarke. Essa órbita,

sobre o equador da Terra e a cerca de 3,6 × 104 km de altitude, está hoje povoada de satélites, não só de

comunicações, como de meteorologia. Porquê 3,6 × 104 km? É só fazer as contas, usando a Segunda Lei de Newton

e a Lei da Gravitação Universal. […] um satélite a essa altitude demora um dia a dar a volta à Terra.

Carlos Fiolhais, «Arthur C. Clarke: da órbita ao elevador espacial», Gazeta de Física, vol. 30, n.o 3/4, 2007 (adaptado)

1. Verifique, partindo da Segunda Lei de Newton e da Lei da Gravitação Universal, que um satélite a 3,6×104 km de

altitude demora um dia a dar a volta à Terra.

O raio da Terra é 6,4 × 106 m e a massa 5,97 × 1024 kg.

Apresente todas as etapas de resolução.

2. Conclua, justificando, qual o efeito que a força gravítica exercida sobre um satélite geoestacionário tem sobre a

velocidade do satélite.

3. Selecione o esquema onde estão representadas corretamente a resultante das forças exercidas sobre o satélite

S1, , e sobre o satélite S2, , de massas iguais, com órbitas circulares em torno da Terra de raios 1r e 12 rr 2 ,

respetivamente. As forças e foram representadas à escala.

(A) (C)

(B) (D)

FICHA 3 – FORÇAS E MOVIMENTOS

GRUPO I

1. (A)

A bola sobe e, a seguir, desce, mas a força gravítica permanece constante dado que a variação da distância entre a bola e o centro

da Terra, comparada com o raio da Terra, é desprezável.

2. (D)

A seguir ao lançamento a bola sobe, assim a sua velocidade aponta para cima (tem o sentido do movimento).

Como já foi lançada, a única força a atuar é a força gravítica cujo sentido é para baixo. A aceleração tem o mesmo sentido da

resultante das forças, ou seja, da força gravítica, apontando, também, para baixo.

3. (A)

, inicialmente a bola está a da origem (no sentido positivo), , e a componente

escalar da sua velocidade, , é (aponta para cima, sentido positivo); a componente escalar da sua aceleração, , é

(aponta para baixo, sentido negativo, pois é este o sentido da resultante das forças).

4. A distância percorrida, , pode obter-se a partir da soma da distância percorrida pela bola no seu movimento de subida, , com

a distância na descida, .

Determina-se se se conhecer o instante, , em que ocorre inversão do sentido do movimento da bola:

.

Durante os primeiros (subida), a componente escalar do deslocamento da bola é

; conclui-se que .

A distância (descida) coincide com a altura máxima, :

.

Assim, conclui-se que

.

5. 4,

Sobre a bola atua apenas a força gravítica, dado a força de resistência do ar ser desprezável. Como a força gravítica é conservativa, a

energia mecânica do sistema bola + Terra, soma da energia cinética e da energia potencial, permanece constante.

A bola ao passar na mesma posição tem a mesma energia potencial gravítica, e sendo a energia mecânica constante, conclui-se que

a energia cinética é também a mesma, logo o módulo da velocidade da bola mantém-se igual.

6. (A)

Quando a altura, , aumenta, o módulo da velocidade, , diminui, assim a função é decrescente (as opções (B) e (C) são

incorretas;

(B) corresponderia ao gráfico de em função do tempo).

Pode determinar-se em função de , partindo da conservação da energia mecânica do sistema bola + Terra:

em que é uma constante; esta expressão mostra que a

dependência de com não é linear (a opção (D) é incorreta).

GRUPO II

1. No instante inicial, , o corpo sobe e a componente escalar da sua velocidade, , é negativa, o que indica que o corpo se

move no sentido negativo. Portanto, o sentido positivo é o de descida (sentido de R para P).

2. Para a posição do corpo (ponto P) é . A inversão do sentido do movimento dá-se quando , o que

ocorre no instante .

A componente escalar do deslocamento do corpo na subida, no intervalo , obtém-se da área do gráfico abaixo do

eixo das abcissas (área de um triângulo):

.

Pode, pois, determinar-se a posição do corpo no instante :

.

O gráfico é uma função decrescente (o movimento é no sentido negativo) e, em módulo, o declive da tangente ao gráfico diminui

(o movimento é retardado), sendo nulo para .

OU

Para a posição do corpo (ponto P) é e a componente escalar da velocidade é .

A inversão do sentido do movimento dá-se quando , o que ocorre no instante .

A componente escalar da aceleração do corpo na subida, no intervalo , é . Como a

aceleração é constante (no intervalo considerado o declive das tangentes ao gráfico é constante), a posição do corpo é dada

por:

(SI). Com base nesta equação, e escolhendo uma janela adequada na calculadora gráfica, obtém-se o

gráfico pretendido.

3. (A)

O declive do gráfico dá a componente escalar da aceleração, , e é sempre positivo (quer na subida quer na descida). Segue-se

que a aceleração aponta sempre no sentido positivo, de Q para P (sentido contrário ao do movimento inicial do corpo).

OU

O corpo sobe com movimento retardado, logo a aceleração tem sentido oposto à velocidade. Como a velocidade aponta de P para Q

(sentido ascendente), segue-se que a aceleração no intervalo aponta de Q para P (descendente).

4. (C)

No movimento retilíneo a resultante das forças tem a direção do movimento, a da reta QP. Como o corpo sobe com movimento

retardado, a aceleração tem sentido oposto à velocidade, e, portanto, também a resultante das forças, apontando de Q para P.

GRUPO III

1. A única força que atua sobre o satélite, de massa , é a força gravítica, de módulo , exercida pela Terra, de massa , sendo,

portanto, a resultante das forças: ( é a constante de gravitação universal, é o módulo da

aceleração do satélite e o raio da sua órbita, considerada circular).

Sendo a órbita circular, a força gravítica é sempre perpendicular à velocidade (tangente à trajetória), i. e., a sua direção é radial e o seu

sentido centrípeto, logo a aceleração também é centrípeta :

a velocidade apenas varia em direção, sendo o seu módulo, , constante (movimento circular e uniforme).

Designando por o tempo necessário para o satélite dar a volta à Terra, i.e., percorrer uma distância igual ao perímetro da sua órbita,

segue-se que:

.

Este tempo corresponde a , como se pretendia verificar.

2. A força gravítica exercida sobre o satélite é, constantemente, perpendicular à sua velocidade, dado que para uma órbita circular a

força gravítica é radial, e igual à resultante das forças que atuam sobre o satélite.

Uma vez que a componente da resultante das forças na direção do movimento, tangente à circunferência, é nula, a força gravítica

provoca apenas alteração na direção da velocidade, mantendo-se o seu módulo constante

OU

A força gravítica exercida sobre o satélite é, constantemente, perpendicular à sua velocidade, dado que para uma órbita circular a

força gravítica é radial, e igual à resultante das forças que atuam sobre o satélite.

Assim, o trabalho da resultante das forças é nulo e, por isso, a energia cinética permanece constante, o que significa que o módulo

da velocidade é constante. Todavia, não sendo nula a resultante das forças, há alteração da velocidade que, neste caso, só pode ser

na sua direção.

3. (A)

A resultante das forças que atua sobre um satélite é a força gravítica. Sendo as massas dos satélites iguais, a força gravítica é

inversamente proporcional ao quadrado da distância entre cada satélite e o centro da Terra (raio da órbita ): ; como o

raio da órbita do satélite S1 é vezes menor do que o raio da órbita de S2, conclui-se que a força gravítica sobre S1 é vezes

maior do que sobre S2:

.