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Milton Luiz Neri Pereira (UNEMAT/FACET/DEE) 1

Princípios de Comunicações

Aulas 31 e 32

FACULADADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA


4 MODULAÇÃO E DEMODULAÇÃO ANALÓGICA LINEAR

4.8 Modulação AM - (Amplitude Modulation) / Modulação em amplitude com

portadora de alta potência.

𝑓(𝑡) Φ𝐷𝑆𝐵−𝑆𝐶−𝐴𝑀 = 𝑓 𝑡 𝐴𝑐𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑐𝑡)

𝐴𝑐cos(2𝜋𝑓𝑐𝑡)(portadora)

𝑘𝑎𝑓(𝑡)Φ𝐴𝑀 = 𝐴𝑐𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 𝐴𝑐𝑘𝑎𝑓 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑓𝑐𝑡

𝐴𝑐cos(2𝜋𝑓𝑐𝑡)(portadora)

+ Φ𝐴𝑀 = 𝐴𝑐[1 + 𝑘𝑎𝑓 𝑡 ] 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑓𝑐𝑡

Φ𝐷𝑆𝐵−𝑆𝐶−𝐴𝑀 = 𝑓 𝑡 𝐴𝑐𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐𝑡

Φ𝐴𝑀 = 𝐴𝑐[1 + 𝑘𝑎𝑓 𝑡 ] 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐𝑡



𝑘𝑎𝑓(𝑡)Φ𝐴𝑀 = 𝐴𝑐𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 𝐴𝑐𝑘𝑎𝑓 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑓𝑐𝑡

𝐴𝑐cos𝜔𝑐𝑡(portadora)

+ Φ𝐴𝑀 = 𝐴𝑐[1 + 𝑘𝑎𝑓 𝑡 ] 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑓𝑐𝑡

𝐴𝑐cos(2𝜋𝑓𝑐): Onda portadora com fase igual a zero.

𝑘𝑎: Constante chamada sensibilidade de amplitude do sinal modulador 𝑓(𝑡)responsável pela geração do sinal modulado Φ𝐴𝑀.

Φ𝐴𝑀 = 𝐴𝑐[1 + 𝑘𝑎𝑓 𝑡 ] 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐𝑡: Sinal modulado em amplitude (AM)

𝐴𝑐: Medida em 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 [ V ]

𝑓(𝑡): Medido em 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 [ V ]

𝑘𝑎: Medida em 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠−1 [ 𝑉−1 ]

Φ𝐴𝑀 = 𝐴𝑐[1 + 𝑘𝑎𝑓 𝑡 ] 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐𝑡



Multiplicador

𝐴𝑐cos𝜔𝑐𝑡(portadora)

𝑘𝑎𝑓(𝑡) 𝐴𝑐𝑘𝑎𝑓 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐𝑡Transdutor deentrada

𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒Transmissor

Φ𝐴𝑀 = 𝐴𝑐𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐𝑡 + 𝐴𝑐𝑘𝑎𝑓 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐𝑡+

A Figura abaixo mostra o sinal de mensagem 𝑓 𝑡 e seu respectivo espectro no

domínio da frequência 𝐹 𝜔 com largurade banda 𝐵𝑇 = 2𝜔

𝑓 𝑡 𝐹(𝜔)

𝑡 𝜔+𝜔𝑓−𝜔𝑓

𝐹(0)


Já vimos que o espectro da onda portadora 𝐴𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐𝑡 é formado por dois

impulsos centrados em ±𝜔𝑐 e o espectro do produto de sinal 𝑓 𝑡 pela

portadora nos fornece no domínio do tempo a função 𝐴𝑐𝑘𝑎𝑓 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐𝑡 e no

domínio da frequência:

𝜔𝑐 + 𝜔𝜔𝑐 − 𝜔−𝜔𝑐 + 𝜔-𝜔𝑐 −𝜔

𝑘𝑎𝑓 𝑡 𝐴𝑐𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐𝑡 ⇔1

2𝑘𝑎𝐴𝑐 𝐹(𝜔 + 𝜔𝑐 ) + 𝐹(𝜔 − 𝜔𝑐)

1

2𝑘𝑎𝐴𝑐𝐹(0)


O espectro de Φ𝐴𝑀 = 𝐴𝑐𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐𝑡 + 𝐴𝑐𝑘𝑎𝑓 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐𝑡 é o mesmo que o

𝐴𝑐𝑘𝑎𝑓 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐𝑡, exceto que há dois impulsos adicionais em ±𝜔𝑐 , conforme

Figura baixo.

𝜔𝑐 + 𝜔𝜔𝑐 − 𝜔−𝜔𝑐 + 𝜔-𝜔𝑐 −𝜔 −𝜔𝑐 𝜔𝑐

Φ𝐴𝑀=(𝜔)

𝐵𝑎𝑛𝑑𝑎 𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟(USB)

𝐵𝑎𝑛𝑑𝑎 𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟(LSB)

𝐴𝑐2𝛿(𝜔 − 𝜔𝑐)

𝐴𝑐2𝛿(𝜔 − 𝜔𝑐)

1

2𝑘𝑎𝐴𝑐𝐹(0)


Na modulação em amplitude, a informação contida no sinal de mensagem 𝑓 𝑡está somente no envelope, o qual é definido como a amplitude da onda

modulada Φ𝐴𝑀, ou seja, 𝐴𝑐[1 + 𝑘𝑎𝑓 𝑡 ]. Desta expressão, observamos que o

envelope de Φ𝐴𝑀 possui, essencialmente, a mesma forma do sinal de

mensagem 𝑓 𝑡 desde que duas condições sejam satisfeitas:

1. A amplitude de 𝑘𝑎𝑓 𝑡 é sempre menor que a unidade, ou seja:

𝑘𝑎𝑓 𝑡 < 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑡

Esta condição é ilustrada na Figura abaixo.


A condição anterior garante que a função 1 + 𝑘𝑎𝑓 𝑡 é sempre positiva e, neste caso,

podemos expressar o envelope da onda AM (Φ𝐴𝑀) simplesmente como 𝐴𝑐[1 + 𝑘𝑎𝑓 𝑡 ].

Quando a sensibilidade 𝑘𝑎 do modulador é grande o suficiente para garantir 𝑘𝑎𝑓 𝑡 >1 para qualquer t, a onda portadora se torna sobremodulada, resultando em inversões

de fase da portadora sempre que o fator 1 + 𝑘𝑎𝑓 𝑡 cruzar o zero. A onda modulada,

então, exibe uma distorção do envelope, como mostrado na Figura abaixo.


Portanto, é aparente que evitando-se a sobremodulação, uma relação de um-

para-um é mantida entre o envelope da onda AM e a onda modulante para todos

os valores de tempo. O valor máximo absoluto de 𝑘𝑎𝑓 𝑡 multiplicado por 100 é

chamado de percentual de modulação.

2. A frequência da portadora 𝑓𝑐 é muito maior do que a maior componente de

frequência W do sinal de mensagem 𝑓 𝑡 , ou seja, 𝑓𝑐 ≫ W.

Chamamos W de largura de faixa da mensgem. Se a condição acima

não for satisfeita, um envelope não pode ser visualizado (e portanto não

detectado) satisfatoriamente.


Desde que as duas condições sejam satisfeitas, a demodulação da onda AM é

realizada utilizando um detector de envelope, o qual é definido como um

dispositivo cuja saída acompanha o envelope da onda AM que atua como sinal

de entrada. O processo de detecção de envelope será discutido mais adiante.

Exemplo: Modulação de tom único

Considere a onda modulante 𝑓 𝑡 constituída por um único tom, ou

componente de freqüência, ou seja, 𝑓 𝑡 = 𝐴𝑚cos(2𝜋𝑓𝑚𝑡), na qual 𝐴𝑚 é a

amplitude da onda senoidal modulante e 𝑓𝑚 é a sua freqüência.

𝑓 𝑡𝐹 𝑓


A portadora senoidal possui amplitude 𝐴𝑐 e freqüência 𝑓𝑐.

𝑐 𝑡 𝐶 𝑓

A onda correspondente é, portanto, dada por:

Φ𝐴𝑀 = 𝐴𝑐[1 + 𝜇cos(2𝜋𝑓𝑚𝑡)]cos(2𝜋𝑓𝑐𝑡)

Na qual

𝜇 = 𝑘𝑎𝐴𝑚


A constante adimensional 𝜇 é chamada de fator de modulação, ou percentual

de modulação, quando é expressa numéricamente como um percentual. Para

evitar a distorção de envelope devido a sobremodulação, o fator de modulação

𝜇 deve ser mantido abaixo da unidade.

A Figura abaixo mostra um rascunho de Φ𝐴𝑀 para 𝜇 menor do que a unidade.



Sejam 𝐴𝑚𝑎𝑥 (quando cos 2𝜋𝑓𝑚𝑡 = 1) e 𝐴𝑚𝑖𝑛 (quando cos 2𝜋𝑓𝑚𝑡 = −1) os

valores máximos e mínimo, respectivamente, do envelope da onda modulada.

Então,

Reorgaizando a expressão encontramos para 𝜇 a seguinte expressão:


A amplitude da onda AM é dada pela expressão

Φ𝐴𝑀 = 𝐴𝑐[1 + 𝜇cos(2𝜋𝑓𝑚𝑡)]

𝐴𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝑐 1 + 𝜇 𝑒 𝐴𝑚𝑖𝑛 = 𝐴𝑐 1 − 𝜇


Seja, agora, encontrar o espectro de frequência do sinal AM.


Φ𝐴𝑀 = 𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 +1

2𝜇𝐴𝑐cos [ 2𝜋 𝑓𝑐 + 𝑓𝑚 𝑡] +

1

2𝜇𝐴𝑐cos [ 2𝜋 𝑓𝑐 − 𝑓𝑚 𝑡]

Φ𝐴𝑀 = 𝐴𝑐cos(2𝜋𝑓𝑐𝑡) + 𝐴𝑐𝜇[cos 2𝜋𝑓𝑚𝑡 cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 ]

Mas. cos 𝑥 . 𝑐𝑜𝑠𝑦 = .1

2[cos 𝑥 − 𝑦 + cos 𝑥 + 𝑦 ]

Φ𝐴𝑀 = 𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 𝐴𝑐𝜇1

2cos(2𝜋𝑓𝑚𝑡 +2𝜋𝑓𝑐𝑡 + cos(2𝜋𝑓𝑚𝑡 −2𝜋𝑓𝑐𝑡]


A transformada de Fourier de Φ𝐴𝑀 é, portanto,

Φ𝐴𝑀 = 𝐴𝑐 cos 2𝜋𝑓𝑐𝑡 +1

2𝜇𝐴𝑐cos [ 2𝜋 𝑓𝑐 + 𝑓𝑚 𝑡] +

1

2𝜇𝐴𝑐cos [ 2𝜋 𝑓𝑐 − 𝑓𝑚 𝑡]

Φ𝐴𝑀 𝜔

=1

2𝐴𝑐[𝛿 𝑓 − 𝑓𝑐 + 𝛿 𝑓 + 𝑓𝑐 ]

+1

4𝜇𝐴𝑐 𝛿 𝑓 − 𝑓𝑐 − 𝑓𝑚 + 𝛿 𝑓 + 𝑓𝑐 + 𝑓𝑚

+1

4𝜇𝐴𝑐 𝛿 𝑓 − 𝑓𝑐 + 𝑓𝑚 + 𝛿 𝑓 + 𝑓𝑐 − 𝑓𝑚

Logo, o espectro da onda AM, para o caso especial de modulação senoidal, é

constituído por funções delta em ±𝑓𝑐; 𝑓𝑐 ± 𝑓𝑚; −𝑓𝑐 ± 𝑓𝑚. A Figura a seguir mostra

o espectro do sinal AM.


Φ𝐴𝑀 𝜔

=1

2𝐴𝑐[𝛿 𝑓 − 𝑓𝑐 + 𝛿 𝑓 + 𝑓𝑐 ]

+1

4𝜇𝐴𝑐 𝛿 𝑓 − 𝑓𝑐 − 𝑓𝑚 + 𝛿 𝑓 + 𝑓𝑐 + 𝑓𝑚

+1

4𝜇𝐴𝑐 𝛿 𝑓 − 𝑓𝑐 + 𝑓𝑚 + 𝛿 𝑓 + 𝑓𝑐 − 𝑓𝑚

funções delta em ±𝑓𝑐; 𝑓𝑐 ± 𝑓𝑚; −𝑓𝑐 ± 𝑓𝑚


Outra importante consideração é sobre a potência transmitida.

Na prática, a onda AM é uma onda de tensão ou corrente. Em qualquer um dos

casos, a potência média entregue em um resistor de 1 ohm pela onda AM é

composta por três componentes.

𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 =1

2𝐴𝑐2

𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 =1

8𝜇2𝐴𝑐

2

𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 =1

8𝜇2𝐴𝑐

2

Para uma carga resistiva diferente de 1 ohm, o que geralmente acontece na prática, asexpressões para potência da portadora, potência da freqüência lateral superior epotência da freqüência lateral inferior são meramente escalonadas pelo fator 1/R ou R,dependendo se a onda modulada s(t) é tensão ou corrente, respectivamente;.


Em qualquer caso, a relação da potência total das faixas laterais pela potência

total na onda modulada é igual a𝜇2

1+𝜇2, a qual depende somente do fator de

modulação 𝜇. Se 𝜇 = 1, ou seja, 100% de modulação é utilizado, a potência total

das duas freqüências laterais da onda AM é somente um terço da potência total

da onda modulada.

A Figura mostra o percentual da potênciatotal das duas freqüências laterais e daportadora, traçados em função dopercentual de modulação. Note que,quando o percentual de modulação émenor do que 20%, a potência em umafreqüência lateral é menor do que 1% dapotência total da onda AM.

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