Universidade Iguaçu, Unig

Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas, FACET

(Engenharia Mecânica)

Notas de Aula

Introdução à Mecânica dos Fluidos

Prof. Fis. José Luiz Gatto Pereira, MSc

Nova Iguaçu, 15 de dezembro de 2021

Sumário

Introdução 2

1 Pequena história da Mecânica dos Fluidos 3

2 Propriedades Básicas dos Fluidos 5

3 Viscosidade 9

4 Hidrostática: Lei de Pascal 13

5 Hidrostática: Variação da Pressão 16

6 Variação da pressão para fluidos incompressíveis 20

7 Variação da pressão para fluidos compressíveis 23

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Introdução

Este texto sobre Introdução à Mecânica dos Fluidos corresponde às notas de aulas de parte dadisciplina de Mecânica dos Fluidos, ministrada na Faculdade de Ciências Exatas e Tenológicas, Facet,da Universidade Iguaçu, Unig. Tradicionalmente, esta disciplina é parte integrante do currículo docurso de graduação em Engenharia Mecânica e destinada aos alunos que já concluíram o ciclo básicodeste curso. Estas notas estão de acordo com uma parte da bibliografia indicada na Ementa da disciplina.Os direitos autorais são respeitados com as citações das fontes utilizadas e apresentadas no referencialbibliográfico no último capítulo.

Não há pretensão de originalidade, nem de ser notas completas sobre o tema, pois estes conhe-cimentos são estabelecidos e amplamente expostos nos livros didáticos adotados de Mecânica dosFluidos em universidades de engenharias do Brasil e do Mundo, onde o aluno necessáriamente deveráconsultar para alicerçar seus estudos.

O objetivo destas notas é auxiliar o estudo introdutório deste tema, ainda que parcialmente, pois osconhecimentos básicos em hidrostática e hidrodinâmica entre os estudantes de engenharia mecânica,na maioria das vezes, apresentam certas deficiências. Além disso, este texto busca provocar nos alunosa necessidade da utilização dos livros adotados para uma compreensão mais ampla dos fenômenosfísicos investigados por esta temática.

Frank White explica a importância da Mecânica dos Fluidos com as seguintes palavras:

"Uma vez que 75% da Terra está coberto por água e 100% por ar, o escopo da mecâ-

nica dos fluidos é vasto e faz parte da vida diária de todos os seres humanos. As ciências

da meteorologia, oceanografia física e hidrologia estão relacionadas com escoamentos

de fluidos que ocorrem naturalmente, bem como os estudos médicos da respiração e da

circulação sanguínea. Todos os problemas de transporte envolvem movimento de fluidos,

com especialidades bem desenvolvidas em aerodinâmica de aeronaves e foguetes e em

hidrodinâmica de navios e submarinos. Quase toda a nossa energia elétrica é gerada do

escoamento de água ou do escoamento de vapor através de turbinas geradoras. Todos

os problemas de combustão envolvem movimento de fluido, assim como problemas mais

clássicos de irrigação, controle de cheias, abastecimento de água, disposição de esgotos,

movimento de projéteis, oleodutos e gasodutos." (Frank M. White)

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Capítulo 1

Pequena história da Mecânica dos Fluidos

Frank White, em seu livro Mecânica dos Fluidos, explica que esta área da Física evoluiu comdificuldades e erros assim como a maioria das outras que interpretam os fenômenos naturais. Suaevolução, nos séculos XVIII e XIX, contribuiu para o início de uma era de descobertas fundamentaisno século XX.

Entretanto, civilizações antigas já resolviam vários problemas de escoamento, por exemplo, em-barcação movida a vela e sistemas de irrigação. No século III a.C., Arquimedes (285–212 a.C.) eHeron de Alexandria postularam a lei do paralelogramo para a soma de vetores. Arquimedes, também,formulou as leis para a flutuação de corpos e as aplicou a corpos flutuantes e submersos, incluindouma forma de cálculo diferencial como parte da análise. Além disso, os romanos, no século IV a.C., jáconstruíam grandes sistemas de aquedutos.

Após o nascimento de Cristo até a Renascença, houve o crescimento dos projetos de sistemasde escoamento, por exemplo, navios, canais e condutores de água, mas sem o avanço na análise deescoamentos. De certo, Leonardo da Vinci (1452–1519) foi o pensador da equação da conservação damassa em escoamento permanente unidimensional. Além de experimentalista, este pensador preparouanotações com descrições precisas de ondas, jatos, ressaltos hidráulicos, formação de turbilhões eprojetos de dispositivos de baixo arrasto (aerodinâmicos) e alto arrasto (paraquedas). Já o francêsEdme Mariotte (1620–1684), abade, físico e hidráulico, foi quem construiu o primeiro túnel de vento ecom ele testou modelos.

A análise de fluidos ganhou "novos rumos"com Isaac Newton (1642–1727), que postulou suasleis do movimento e a lei da viscosidade dos fluidos lineares, chamados de fluidos newtonianos.Resolveu, assim, problemas envolvendo a quantidade de movimento dos fluidos. Primeiro a teorialevou à hipótese de um fluido “perfeito” ou isento de atrito, e os matemáticos do século XVIII(Daniel Bernoulli, Leonhard Euler, Jean d’Alembert, Joseph-Louis Lagrange e Pierre-Simon Laplace)produziram soluções de problemas de escoamento sem atrito. Euler, em especial, desenvolveuas equações diferenciais de movimento e sua forma integral, conhecida por equação de Bernoulli.

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D’Alembert as utilizou para mostrar seu famoso paradoxo: um corpo imerso em um fluido sem atritotem arrasto nulo.

Esses resultados duraram até exceder a sua validade. Pois a hipótese do fluido perfeito tem aplicaçãolimitada na prática e na maioria dos escoamentos. Por exemplo, o efeito da viscosidade que dominaem várias aplicações da engenharia. Assim, se desenvolveu a ciência chamada hidráulica, que tem umaexpressiva base experimental. Experimentalistas como Chézy, Pitot, Borda, Weber, Francis, Hagen,Poiseuille, Darcy, Manning, Bazin e Weisbach produziram dados sobre experimentos realizados emuma variedade de escoamentos em canais abertos, resistência de embarcações, escoamentos em tubos,ondas e turbinas. Muito frequentemente os dados eram usados em sua forma bruta sem levar em contaos fundamendos da física do escoamento.

Frank White afirma que no final do século XIX, começou a unificação entre a hidráulica expe-rimental e a hidrodinâmica teórica. Cientistas e engenheiros como William Froude (1810–1879) eseu filho Robert (1846–1924) desenvolveram leis para teste de modelos; Lord Rayleigh (1842–1919)propôs a técnica da análise dimensional; e Osborne Reynolds (1842–1912) publicou, em 1883, oclássico experimento em tubo que mostrou a importância do adimensional número de Reynolds, assimdenominado em sua homenagem.

Enquanto isso, a teoria do escoamento viscoso foi disponibilizada, mas não explorada, desde queNavier (1785–1836) e Stokes (1819–1903) acrescentaram termos viscosos Newtonianos às equaçõesde movimento. As equações resultantes, chamadas de equações de Navier-Stokes, eram muito difíceisde analisar para escoamentos arbitrários. Foi então, em 1904, que um engenheiro alemão, LudwigPrandtl (1875–1953) publicou talvez o mais importante artigo já escrito sobre mecânica dos fluidos.Prandtl observou que os escoamentos de fluidos com baixa viscosidade, como os escoamentos deágua e de ar, podem ser divididos em uma camada viscosa delgada, ou camada-limite, próxima àssuperfícies sólidas e interfaces, ligada a uma camada externa que pode ser considerada não viscosa,em que são válidas as equações de Euler e Bernoulli. A teoria da camada-limite mostrou ser umaferramenta muito importante na moderna análise de escoamento.

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Capítulo 2

Propriedades Básicas dos Fluidos

A Mecânica dos Fluidos tem muita aplicação prática na engenharia. Dentre algumas, temos:projetos de bombas, compressores, sistemas de controle de processos, calefação e resfriamento,turbinas (eólicas, água, ar), aquecimento solar, movimentos de tornados e furações, flutuabilidadede aeronaves e navios, túnel de vento, projetos de veículos e peças, sistemas de propulsão, canais dedrenagem, fenômenos atmosféricos, rios, lagos e oceanos, rede de distribuição de águas, sistemas decoleta e tratamento de esgotos, represas/barragens, tanques de pressão, veias e artérias em sistemasbiológicos. Além de inúmeras aplicações em Astronomia, Astrofísica, por exemplo, ventos emitidospor estrelas, dinâmica dos gases de galáxias e aglomerados.

O tema fluidos é dividido em três categorias principais: Hidrostática - que considera as forças queatuam sobre um fluido em repouso. Cinemática dos Fluidos - que considera o movimento do fluido.Dinâmica dos fluidos - sobre as forças que causam aceleração de um fluido.

Os fluidos são substâncias que se deformam ou fluem continuamente quando sujeitas a uma forçade cisalhamento ou força tangencial. O estudo dos fluidos requer a compreensão das Leis de Newton,da Conservação da Massa, da Primeira e Segunda Leis da Termodinâmica e das Propriedades Físicasde um Fluido. Imagine uma superfície qualquer e uma pequena área demarcada nesta superfície quesofre a ação de duas forças, uma na direção normal e no sentido positivo do eixo dos y, Fn; outra nadireção tangencial, no sentido positivo dos eixo dos x, Ft . A força resultante é a soma vetorial destasduas forças e aponta para a direção que a superfície sofrerá deformação. Figura 2.1 abaixo.

Figura 2.1: Força Normal e Força Tangencial.

Segundo Hibbeler, existem 5 grandezas básicas utilizadas no estudo dos fluidos: comprimento,

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tempo, massa, força e temperatura. Destas, comprimento, tempo, massa e força estão relacionadaspela Segunda Lei de Newton, F = ma. As quantidades destas grandezas podem ser medidas em doissistemas de unidades diferentes: o FPS, foot-pound-second, pé-libra-segundo; e o Sistema Internacionalde unidades, SI.

Observe no quadro abaixo (Figura 2.2) que no sistema FPS, o comprimento é medido em pés, otempo em segundos e a força F e o Peso W são medidos em libra, lb. A massa é derivada de m = F/a.A unidade de massa é chamada de slug. A aceleração é medida em pes/s2. O valor da aceleração dagravidade g em FPS é g = 32,2pes/s2.

Figura 2.2: Fonte: Imagem adaptada de Hibbeler.

No Sistema Internacional, SI, o comprimento é medido em metros, o tempo em segundos e a forçaF e o Peso W são medidos em Newton N. A massa é derivada de m = F/a. A unidade de massa échamada de quilograma. A aceleração é medida em m/s2. O valor da aceleração da gravidade g no SIé g = 9,81m/s2. Ver Figuras abaixo.

Figura 2.3: Sistema FPS.W = mg

1lb = 1slug ·32,2pes/s2

Figura 2.4: Sistema Internacional.W = mg

1N = 1kg ·9,81m/s2

A primeira propriedade básica dos fluidos é a massa específica ρ (rô), que refere-se à massa dofluido que está contida em uma unidade de volume. Ela é medida em kg/m3 ou slug/(pes)3 e édeterminada a partir de:

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ρ =mV

A outra propriedade é o peso específico γ (gama) de um fluido, que é o seu peso por unidade devolume. Ele é medido em N/m3 ou lb/(pes)3. Logo,

γ =WV

Uma outra propriedade básica dos fluidos é a densidade relativa ou gravidade específica S de umasubstância, que é uma quantidade adimensional definida a partir de:

S =ρsubstancia

ρgua=

γsubstancia

γgua

Outra importante propriedade é a relação entre o peso específico e a massa específica, assim:

γ =WV

=m.gV

= ρ ·g

Uma importante ferramenta para avaliar as propriedades dos fluidos são os Volumes dos sólidos,por exemplo, o cilindro ou o cubo. Estas representações geométricas são em três dimensões. Estaconveniência é utilizada para criar o que chamamos de elemento de controle infinitesimal. Ao criareste elemento imaginário nos moldes dos volumes dos sólidos podemos aplicar uma modelagemmatemática para extrair as informações dos fenômenos físicos que ocorrem.

Por exemplo, os volumes destes sólidos podem ser obtidos através da expressão genérica, Volume= (Área da Base) x (Altura), assim, V = Abase · h. Esta área escolhida no elemento controle será aregião que sofrerá a ação da força dos fluidos. Por estratégia de cálculo e por uma melhor aproximaçãocom a realidade física está área será infinitesimal, ou seja, muito pequena. Este elemento é escolhidoarbitrariamente no interior do fluido e a posição pode variar dentro do fluido, isto é, escolher diferentesprofundidades a partir da superfície do fluido, para o caso de líquidos, ou posicionar o elemento emdiferentes altitudes, para o caso de atmosferas (gases). Ver figura abaixo.

Então, outras propriedades básicas dos fluidos podem ser avaliadas, por exemplo, a pressão. Estagrandeza física é a força por unidade de área, assim como é a tensão aplicada em sólidos. A pressão émedida no Sistema Internacional como Newtons por metros quadrados, N/m2, esta unidade de medida

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Figura 2.5: Cilindro.V = Abase ·hV = πr2 ·h

Figura 2.6: Cubo.V = Abase ·hV = (a ·a) ·h

Figura 2.7: Elemento de Controle.(dy é a altura infinitesimal doelemento controle de área A)

representa 1 Pascal, 1Pa, nome dado em homenagem ao Físico, Matemático, Filósofo e TeólogoBlaise Pascal, que contribuiu significativamente para o estudo dos fluidos em 1660. Ele esclareceu osconceitos de pressão e vazio, estendeu o trabalho de outro físico importante da é poca, o EvangelistaTorricelli (1660). Eles viveram no período de Isaac Newton (nasceu em 1640) e de Galileu (morreu em1642). A expressão para o cálculo da pressão é:

PM =FA

A equação acima é a pressão média que atua numa área para o caso em que a superfície possuiuma área finita e a pressão é, então, uniformemente distribuída sobre essa área. Quando a pressão édefinida como a força que atua na direção normal em uma área infinitesimal e considerarmos o fluidocomo um meio contínuo, esta área se aproxima de zero e, portanto, a pressão torna-se:

P = lim∆A→0

∆F∆A

=dFdA

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Capítulo 3

Viscosidade

Viscosidade é uma propriedade de um fluido que mede a resistência ao movimento de uma camadamuito fina de fluido sobre uma camada adjacente. Essa resistência que varia por lâminas de fluidosocorre somente quando uma força tangencial ou de cisalhamento é aplicada ao fluido. A deformaçãoresultante ocorre em diferentes taxas para diferentes tipos de fluidos, isto é, para diferentes pesosespecíficos (mel, água, gasolina, sangue). Por exemplo, quando o fluido for água ou gasolina asdeformações permitem escoamentos mais rápidos (baixa viscosidade) do que quando o fluido for mel(alta viscosidade). Figura abaixo.

Figura 3.1: Cisalhamento.

Figura 3.2: Lâminas.

Figura 3.3: Velocidades.

Na figura 3.1 acima a placa superior se desloca com velocidade U de acordo com a aplicação daforça F . O fluido é confinado entre a superfície fixa da placa de baixo, e a superfície móvel da placade cima, que está sujeita a ação da força no sentido positivo do eixo dos x. Esta placa, ao se mover,interage com o fluido. A resistência (viscosidade) do contato do fluido com a placa móvel faz surgir asdiferentes lâminas (camadas) da figura 3.2. As moléculas do fluido apresentam velocidades diferentesem cada lâmina. Assim, as camadas (lâminas) de fluido deslizam uma sobre a outra. A velocidade émaior próxima da placa móvel e menor ou zero próxima da placa fixa. Explica Hibbeler que, como asmoléculas que compõem o fluido sempre estão em movimento contínuo, então, na Figura 3.3, temosque quando a molécula A na camada superior mais rápida desce para a camada inferior mais lenta, elaterá um componente de movimento para a direita. As colisões que ocorrem com qualquer moléculade movimento mais lento da camada inferior farão com que ela seja empurrada devido à troca dequantidade de movimento com A. O efeito contrário acontece quando a molécula B na camada inferiormigra para cima. Aqui, essa molécula de movimento mais lento retardará uma molécula de movimento

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mais rápido através de sua troca de quantidade de movimento. Em grande escala, esses dois efeitoscausam resistência ou viscosidade.

Para modelar matematicamente este fenômeno vamos considerar uma força horizontal muitopequena F aplicada à placa de cima. Este movimento fará com que os elementos do fluido se distorçam.Após uma breve aceleração, a resistência viscosa do fluido levará a placa ao equilíbrio, de modo que aplaca começará a se mover com uma velocidade constante U . Entre essas duas superfícies, camadasmuito finas de fluido são arrastadas, figura 9 acima. Assim, surgirá uma velocidade u que vai variarpor camada e no sentido positivo do eixo dos x, o mesmo da placa móvel. A distribuição da velocidadeu dentro de uma camada fina do fluido vai variar com a distância y entre as placas. Quanto mais pertoda placa fixa, menor a velocidade u. Estas diferentes velocidades causam uma tensão de cisalhamento,τ , letra grega Tau, que deforma o fluido. Estas velocidades e deformações estão representadas nasfiguras abaixo. Por analogia geométrica, a deformação faz o fluido se transformar de retângulo emparalelogramo formando um ângulo muito pequeno ∆α devido ao deslocamento δx, letras gregasDelta maiúsculo (∆) e delta minúsculo (δ ).

Figura 3.4: Velocidades. Figura 3.5: Tensão. Figura 3.6: Deformação.

Se a altura y da camada é infinitesimal, dy, e o elemento de controle também, temos para aexpressão da Tensão:

τ = lim∆A→0

∆F∆A

=dFdA

Nas figuras 3.4, 3.5 e 3.6 a deformação de Cisalhamento é o pequeno ângulo ∆α , (delta alfa),que durante um curto intervalo de tempo, ∆t, delta t, deforma o elemento para uma forma deparalelogramo. Da Trigonometria temos que este ângulo pode ser expresso como a tg(∆α) =

(cateto oposto)/(cateto ad jacente). Se este ângulo é muito pequeno, também da Trigonometriatemos que a tangente do ângulo é aproximadamente o próprio ângulo, assim:

∆α ∼= tan(∆α) =δx∆y

(3.1)

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Se o topo do elemento se move a uma taxa ∆u relativa à sua parte inferior, então, da Física I, temos:

∆u =δx∆t

⇒ δx = ∆u ·∆t (3.2)

Substituindo a equação 3.2 na equação 3.1 e obtendo a variação da velocidade em função de y,temos:

∆α =δx∆y

∆α =∆u ·∆t

∆y∆α

∆t=

∆u∆y

lim∆A→0

∆α

∆t=

dα

dt=

dudy

(3.3)

A equação 3.3 relaciona a deformação que o fluido sofre por cisalhamento, em um pequenointervalo de tempo, dα/dt, com as diferentes velocidades, por camadas, ao logo do eixo y. A expressãodu/dy chama-se Gradiente de velocidade. No século XVII, Isaac Newton propôs que a tensão decisalhamento no fluido é diretamente proporcional a essa taxa de deformação (gradiente de velocidade).Esta proporção foi chada de coeficiente de viscosidade, µ , então, a expressão da tensão de cisalhamentono fluido entre as placas é:

τ = µdudy

(3.4)

Para avaliar os valores de µ traçou-se um gráfico com os valores de τ no eixo y e os valores dogradiente de velocidade, du/dy, no eixo x. As curvas obtidas permitiram os cálculos dos coeficienteslineares para diversos valores de µ , através da expressão:

µ =τ(

dudy

) (3.5)

Nas figuras adaptadas de Hibbeler, abaixo, estão representados os comportamentos de diversosfluidos e seus coeficientes de viscosidade µ .

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Figura 3.7: Fluidos Newtonianos. Figura 3.8: Fluidos Não Newtonianos.

O coeficiente de viscosidade µ é uma constante de proporcionalidade. Esta propriedade física medea resistência ao movimento do fluido. Sua unidade de medida é no Sistema Internacional é [N · s/m2]e no Sistema FPS é [lb · s/(pes)2]. Os fluidos que obedecem a Lei de Newton da Viscosidade sãochamados de fluidos newtonianos, figura 3.7, e os que não obedecem são chamados de fluidos nãonewtonianos, figura 3.8. Observe que a inclinação da reta (viscosidade) aumenta, a partir do ar, quepossui uma viscosidade muito baixa, para a água e depois ao petróleo bruto, que tem uma viscosidademuito mais alta. Em outras palavras, quanto maior a viscosidade, maior a resistência do fluido aoescoamento.

O fluido chamado de Invíscido possui viscosidade zero, µ = 0, não oferece resistência à tensãode cisalhamento, isto é, sem atrito entre o fluido e o recipiente. Se além de invíscido, o fluido forincompressível, então ele é chamado de fluido perfeito. A diferença entre a frente de propagação deum fluido real e de um fluido perfeito, numa tubulação, por exemplo, pode ser visualizado na figuraadaptada de Hibbeler abaixo.

Figura 3.9: Fluido Real. Figura 3.10: Fluido Perfeito.

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Capítulo 4

Hidrostática: Lei de Pascal

No século XVII, o matemático francês Blaise Pascal conseguiu mostrar que a intensidade dapressão atuando em um ponto em um fluido é a mesma em todas as direções (Lei de Pascal). EmboraGiovanni Benedetti e Simon Stevin a tivessem deduzido anteriormente, no final do século XVI. Esteestudo impulsionou a Engenharia Mecânica no Mundo e gerou a construção de muitas máquinashidráulicas, por exemplo, o elevador hidráulico que é largamente utilizado nos dias de hoje, inclusive,é um processo semelhante aos freios ABS, que é um acrônimo para a expressão alemã Antiblockier-

Bremssystem, frequentemente traduzido para a língua inglesa como Anti-lock Braking System. Estesistema de frenagem (travagem) evita que as rodas se bloqueiem quando o pedal de freio é acionadofortemente e entrem em derrapagem, deixando o automóvel sem aderência à pista. Os exercícios sobreelevador hidráulico e freios ABS estão bem explicados no livro do Serway (ver referência bibliográfica).Para ver uma prática laboratorial do elevador hidráulico consulte o canal do Youtube da USP.

Para elaborar a modelagem matemática sobre a Lei de Pascal consideraremos um elemento controleem forma de cunha, dentro do fluido, a uma determinada profundidade. A cunha será um elementoimaginário infinitesimal que é a metade de um cubo quando cortado na diagonal. Assim, poderemosavaliar a pressão do fluido em cada face da cunha. Se este elemento estiver em equilíbrio dentro dofluido, ele atenderá a Segunda Lei de Newton, F = m ·a, com a aceleração igual a zero. O somatóriodas forças em cada uma das três direções, eixos x, y e z, deste elemento, será zero. A força em cadaface da cunha é determinada multiplicando a pressão pela área da face deste elemento.

As imagens abaixo apresentam dois momentos da cunha. Na figura 4.1 estão as suas faces e nafigura 4.2 o diagrama do corpo livre com a decomposição das forças. Por exemplo, o plano y-z possuitrês forças atuando. A primeira é o peso do elemento, W = m ·g, se representarmos o peso em funçãodo peso específico, γ =W/V , e substituindo o valor de W no peso específico, temos, γ = (m ·g)/V ,então, o peso do elemento será W = m ·g = γ ·V . Esta força peso é normal e na direção negativa doeixo z, pois é devido a gravidade. O volume V do elemento é a metade do volume de um cubo, pois acunha corta o cubo na diagonal dividindo-o em duas parte iguais, assim, o volume do elemento emcunha é V = 1

2 ·∆x ·∆y ·∆z. Então o peso do elemento será W = γ · 12 ·∆x ·∆y ·∆z, conforme apresentado

na figura 19.

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Figura 4.1: Elemento Controle.

Figura 4.2: Diagrama do Corpo Livre.

Portanto, sabemos que a pressão é força sobre área, então F = P ·A, onde A é área de cada face(base x altura) da cunha, que sofre a força do fluido. Então, no plano y-z, além da força peso temosas forças nas duas áreas, uma de baixo para cima, na face de área ∆x ·∆y, e outra na face inclinadada cunha, ∆x ·∆s, de cima para baixo. De forma semelhante podemos descrever as forças nas outrasfaces. A face inclinada da cunha tem o comprimento ∆s, então, as dimensões das outras faces são∆y = ∆s · cosθ e ∆z = ∆s · senθ .

Agora, vamos aplicar a Segunda Lei de Newton para as forças que atuam nas faces do elemento decontrole. Inicialmente, na direção do eixo y, que são apenas duas forças atuando em sentidos contráriose, depois, na face da direção do eixo z, que são três forças atuando, as duas em sentidos contrários e aforça peso do elemento no sentido da ação da gravidade.

Para o somatório das forças na direção y, temos:

∑y

Fy = m ·0 = 0

∑y

Py ·A = m ·0 = 0

Py · [∆x ·∆z]−P · (∆x ·∆s) · senθ = 0

Py∆x∆ssenθ −P∆x∆ssenθ = 0

Py = P (4.1)

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Para o somatório das forças na direção z, que tem a componente do peso do elemento de controle:

∑z

Fz = m ·0 = 0

∑z

Pz ·A = 0

Pz · [∆x ·∆y]−P · (∆x ·∆s) · cosθ − γ · 12·∆x ·∆y ·∆z = 0

Pz∆x∆scosθ −P∆x∆scosθ − γ12

∆x∆scosθ∆ssenθ = 0 (4.2)

Se dividirmos a equação 4.2 por ∆x∆s e considerando que ∆s −→ 0, pois o elemento é infinitesimal,temos:

Pz∆x∆scosθ −P∆x∆scosθ − γ12

∆x∆scosθ∆ssenθ = 0

Pz cosθ −Pcosθ − γ12

cosθ∆ssenθ = 0

Pz cosθ −Pcosθ = 0

Pz = P (4.3)

O ângulo θ da face inclinada pode ser arbitrário, mesmo assim, a pressão em um ponto é amesma em todas as direções para qualquer fluido que não tenha movimento relativo entre suas camadasadjacentes, pois Py =P e Pz =P, consequentemente, Px =P, fica como exercício apresentar o somatóriono eixo x. Isso é a Lei de Pascal.

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Capítulo 5

Hidrostática: Variação da Pressão

Se um fluido como o ar fosse removido do seu recipiente, haveria um vácuo e a pressão dentro dorecipiente seria zero. Isso normalmente é conhecido como pressão absoluta zero. Qualquer pressãoque seja medida acima desse valor é conhecida como a pressão absoluta, Pabs. Por exemplo, pressãoatmosférica padrão é a pressão absoluta medida no nível do mar, a uma temperatura de 15◦C (59◦F).Seu valor é Patm = 101,3kPa ou 14,70psi.

1atm = 1,01 ·105Pa = 760mmHg = 14,7 lb/pol2 = 1psi

psi = Pound-Force per Square Inch (libra-força por polegada quadrada)

Quando a pressão apresenta valores acima ou abaixo da pressão atmosférica ela é chamada depressão manométrica, Pm, pois os manômetros normalmente são usados para medir a pressão relativaà pressão atmosférica. A pressão absoluta e a pressão manométrica, portanto, são relacionadas porPabs = Patm+Pm . Vários exercícios exemplos podem ser vistos nos livros que estão na referência destaapostila, principalmente, os do livro do Hibbeler, que é a principal referência desta disciplina.

Figura 5.1: barômetro. Figura 5.2: manômetro.Figura 5.3: esfigmo-manômetro.

Figura 5.4: Medidor Di-gital.

Para determinar como a pressão varia dentro de um fluido estático devido ao peso do fluido vamosconsiderar um elemento controle cilíndrico de fluido pequeno e delgado, horizontal e vertical, com

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seções transversais (face) ∆A e comprimentos ∆y e ∆z, respectivamente.

Os diagramas de corpo livre mostram apenas as forças que atuam nas direções y e z sobre cadaelemento, como aparecem nas Figuras abaixo. Para o elemento que se estende na direção z, o peso estáincluído, na direção negativa do eixo z. Ele é o produto do peso específico do fluido γ e do volume doelemento, ∆V = ∆A ·∆z.

O gradiente ou a variação na pressão de um lado e de outro de cada face variam nos sentidospositivos e negativos dos eixos y e z, sendo expresso pelas derivadas parciais (∂ p

∂y )∆y e (∂ p∂ z )∆z,

respectivamente. As derivadas parciais são utilizadas porque as variações da pressão são nos três eixoscoordenados x, y e z.

Por simplificação consideraremos apenas os eixos y e z. Para compreender a variação da pressãoé necessário aplicar o Cálculo Diferencial e Integral nas três dimensões junto com a Segunda Lei deNewton, pois o elemento de controle é infinitesimal. Visto que a pressão é força sobre área, temos:

Figura 5.5: Elemento Controle em y.

Figura 5.6: Elemento de Controle em z.

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o volume é ∆V = ∆A ·∆z

a pressão é P = lim∆A→0

∆F∆A

=dFdA

as derivadas nos eixos: lim∆x→0

F(x+∆x)−F(x)∆x

=∂F∂x

lim∆y→0

F(y+∆y)−F(y)∆y

=∂F∂y

lim∆z→0

F(z+∆z)−F(z)∆z

=∂F∂ z

o somatório das forças em y: ∑y

Fy = m ·0 = 0

∑y

Py ·A = m ·0 = 0

(P∆A)−(

P+∂P∂y

∆y)

∆A = 0

P∆A−P∆A− ∂P∂y

∆y∆A = 0

− ∂P∂y

∆y∆A = 0

∂P∂y

= 0 ou ∂P = 0 (5.1)

A equação 5.1 mostra que a pressão em um ponto de um fluido em repouso, ou em movimentosem viscosidade, é independente da direção (Lei de Pascal). Esse mesmo resultado também ocorrerána direção x, fica como exercício realizar estas operações acima para o eixo x. Como a variação napressão é zero, isso indica que a pressão permanece constante no plano horizontal. No eixo z atuatambém, além da variação da pressão nas duas faces opostas, a componente peso do elemento decontrole. Então:

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o somatório das forças em z: ∑z

Fz = m ·0 = 0

∑z

Pz ·A = m ·0 = 0

(P∆A)−(

P+∂P∂ z

∆z)

∆A− γ(∆A∆Z) = 0

P∆A−P∆A− ∂P∂ z

∆z∆A− γ(∆A∆Z) = 0

− ∂P∂ z

∆z∆A− γ(∆A∆Z) = 0

∂P∂ z

=−γ ou ∂P =−γ∂ z (5.2)

O sinal negativo na equação 5.2 indica que a pressão diminui enquanto se move para cima no fluido(positivo de z), ou aumenta com a profundidade. Voltando para 1 dimensão, apenas no eixo z, temos:

dP =−γ dz (5.3)

Essas equações se aplicam a fluidos em que o peso específico γ pode variar ou não, ou seja, parafluidos compressíveis ou incompressíveis. Todos os livros sobre Mecânica dos Fluidos que estão nasreferências explicam isto. Nas próximas seções vamos analisar separadamente cada caso deste.

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Capítulo 6

Variação da pressão para fluidosincompressíveis

Quando o fluido é incompressível, como no caso de um líquido, o seu peso especifico γ é constante,pois seu volume não varia. Então, a equação 5.2 pode ser integrada verticalmente a partir de z = z0,onde p = p0. Para líquidos, em geral, é conveniente colocar a origem do sistema de coordenadasna superfície livre (nível de referência - cota) e medir distâncias para baixo a partir dessa superfíciecomo positivas. Escolhe-se o local de interesse para analisar a pressão em P > P0. A figura abaixoapresenta um layout para está situação. O eixo de referência está na superfície do fluido, que representaa cota. Este ponto é o que separa o ar do líquido, então a pressão na superfície é a pressão atmosférica.Vamos utilizar a equação 5.2 para obter a variação da pressão com a profundidade em um líquidoincompressível. Assim:

Figura 6.1: cota.

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dP =−γ dz

integrando...∫ P

P0

dP =−γ

∫ z

z0

dz

(P)∣∣∣∣PP0

=−γ (z)∣∣∣∣zz0

(P−P0) =−γ (z− z0)

da figura 26 temos que: h = z0 − z

então: P = P0 + γ h (6.1)

A equação 6.1 é a equação da hidrostática para fluido sem viscosidade. A pressão aumenta com aprofundidade, ou diminui quando se aproxima da superfície. Se a pressão na superfície é a pressãoatmosférica, P0 = Patm, então o termo γh representa a pressão manométrica no líquido.

P = γ h

h =Pγ

(6.2)

Onde h, na equação 6.2, é chamado de carga de pressão, que indica a altura de uma coluna delíquido que produz a pressão (manométrica) p. Muitos exercícios de reservatórios que possuemlíquidos incompressíveis podem ser resolvidos agora, por exemplo, o elevador hidráulico, o freioABS, o barômetro, a barragem, a represa, o tanque de armazenamento de líquidos etc. Nos livrosindicados na referência existem vários exercícios. Como sugestão, os exercícios do livro do Hibbeler,Mecânica dos Fluidos, referentes aos três primeiros capítulos, devem ser trabalhados pelos alunos, poisapresentam bons exemplos sobre este tema.

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Exercício: Dois métodos para o bombeamento da água deum poço. Em um método, a bomba está submersa na água eposicionada no fundo do poço; no outro, ela está localizada nonível do chão. Se o poço for raso, qualquer uma das técnicaspode ser usada. Entretanto, se o poço for muito fundo, apenasum dos métodos de bombeamento funciona. Qual deles, (a)com a bomba submersa ou (b) com a bomba posicionada nonível do chão? (Cutnell, Física - Vol. 1 (p. 318). LTC.)

Figura 6.2: Bomba D´água.

A explicação do problema acima é a seguinte: A bomba no fundo do poço empurra a água paracima do cano, enquanto a bomba no nível do chão não é capaz de puxar a água. Em vez disso, a bombano nível do chão remove ar do cano, criando um vácuo parcial dentro dele. (Ela está funcionandoexatamente como quando você está bebendo com um canudo. Você extrai parte do ar do canudo, ea pressão do ar no exterior faz subir o líquido para dentro dele.). A resposta (a) está correta. Paraum poço muito fundo, a coluna d’água se torna muito alta, e a pressão no ponto mais baixo do canose torna grande, devido ao incremento de pressão γ ·h na relação P = P0 + γ ·h. Porém, desde que abomba consiga empurrar a água com uma intensidade suficiente para superar a pressão elevada, elaconsegue empurrar para dentro do cano o próximo incremento de água, permitindo que o método sejausado para poços muito fundos.

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Capítulo 7

Variação da pressão para fluidoscompressíveis

Quando o fluido é compressível, como no caso de um gás, então seu peso específico γ não seráconstante por todo o fluido, como é o caso da Atmosfera (Figura abaixo).

Figura 7.1: Atmosfera Terrestre.

Observe na figura acima que existe na atmosfera um intervalo de aproximadamente 10km em que atemperatura é constante, −56,5◦C, na faixa de altitude da estratosfera. Da Lei dos Gases Perfeitostemos:

P = ρ ·R ·T

Os valores típicos de R para diversos gases são tabelados. Por exemplo, para o ar, R = 286,9J/(kg ·K), onde 1J( joule) = 1N ·m. Substituindo na equação dos Gases Perfeitos acima a massa específicapelo peso específico, onde γ = ρg, temos:

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P =γ

g· R ·T

Explicitando o peso específico, temos::

γ =P ·gR ·T

dP =−γ dz

dP =− P ·gR ·T

dz

separando as variáveis:dPP

=− gR ·T

dz

integrando:∫ P

P0

dPP

=− gR ·T

∫ z

z0

dz

ln(P)∣∣∣∣PP0

=− gR ·T

(z)∣∣∣∣z0

z

ln(P−P0) =− gR ·T

(z− z0)

ln(

PP0

)=− g

R ·T(z− z0)

PP0

= e[−g

RT (z−z0)]

P = P0 · e−(g

RT )·(z−z0) (7.1)

P e T representam a pressão absoluta e a temperatura absoluta. A equação 14 é uma equaçãoexponencial e negativa, isto é, a pressão diminui com a altitude. Essa equação é usada para calculara pressão na parte baixa da estratosfera que apresenta uma temperatura constante, veja figura 7.1. Opeso específico não apareceu na equação 7.1. O peso específico varia, pois a atmosfera é um fluidocompressível, como gerar uma equação para a atmosfera em que apareça o peso específico γ naequação? Uma equação mais completa que poderá ser utilizada para analisar a variação de γ com aaltitude.

O peso específico do ar γ é proporcional à pressão. A previsão é que a pressão diminui exponen-cialmente com a altitude, como na equação 7.1. Então vamos considerar um elemento de controleinfinitesimal de forma cilíndrica, em algum ponto, em uma certa altura na atmosfera, de forma que apressão na face de baixo deste elemento seja maior do que a pressão na face de cima. Na figura abaixoapresentamos esta configuração para o elemento controle. Vamos elaborar a modelagem matemáticaconhecida como Lei das Atmosferas.

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Figura 7.2: Elemento Controle Infinitesimal e o diagrama do corpo livre.

Então, vamos preparar as áreas infinitesimais do elemento controle onde atuação as forças newtoni-anas, assim:

a massa específica: ρ =mV

o volume: V = A ·h

então: m = ρ ·V = ρ · (A ·h)

o elemento de massa infinitessmal: dm = ρ ·A ·dy

em termos de peso específico: dm =γ

g·A ·dy (7.2)

Supondo que no nível do mar o peso específico é proporcional à pressão, e conhecemos a pressão eo peso específico do ar nesse nível, em y = 0, são y0 e P0. Então, o peso específico e a pressão em umadeterminada altitude são proporcionais ao peso específico e a pressão no nível do mar, assim:

γ

P=

γ0

P0

o peso específico em uma determinada altitude: γ = P · γ0

P0(7.3)

A plicando a segunda lei de Newton F = m.a através do diagrama do corpo livre no elementocontrole da figura 7.2, temos:

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∑y

Fy = m ·0 = 0

∑y

Py ·A = m ·0 = 0

(P ·A)− (P+dP)A− (dm ·g) = 0

substituindo eq 15: (P ·A)− (P+dP)A− (γ

g·A ·dy) ·g = 0

(P ·A)− (P ·A)−A ·dP− γ ·A ·dy = 0

−A ·dP− γ ·A ·dy = 0

dP =−γ ·dy

substituindo eq 16: dP =−(

P · γ0

P0

)·dy

separando as variáveis:dPP

=−(

γ0

P0

)·dy (7.4)

Antes de integrar a equação 7.4 para obter a variação da pressão P com a altitude y devemos fazeralgumas considerações baseadas nas figuras 7.1 e 7.2. O y0 é zero, pois o eixo coordenado está nosolo e vamos considerá-lo no nível do mar (Datun). P0 é conhecido e não varia no nível do mar, poisé a pressão atmosférica. O peso específico γ0 no nível do mar será considerado aproximadamenteconstante, γ0 = γatm = 12,9N/m3 e a pressão atmosférica neste nível será P0 = Patm = 1,01 ·105Pa,que é também aproximadamente constante. Então, P0 e γ0 podem ser considerados constantes e vêmpara fora do sinal de integral, assim:

dPP

=−(

γ0

P0

)·dy∫ P

P0

dPP

=−(

γ0

P0

)·∫ y

0dy

ln(P)∣∣∣∣PP0

=−(

γ0

P0

)· (y)

∣∣∣∣y0

ln(P−P0) =−(

γ0

P0

)· (y−0)

ln(

PP0

)=−

(γ0

P0

)· y

PP0

= e−(

γ0P0

)·y

P = P0 · e−(

γ0P0

)·y (7.5)

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A equação 7.5 é utilizada para calcular a pressão no ar na altitude y que você escolher baseadosnos valores da pressão P0 e do peso específico γ0, no nível do mar, que são conhecidos. Ela diminuiexponencialmente com a altitude. Por exemplo, como exercício, determine a altura y (altitude) em quea pressão atmosfera cai pela metade. Para calcular y, temos:

P = P0 · e−(

γ0P0

)·y

12·P0 = P0 · e

−(

γ0P0

)·y

12= e−

(γ0P0

)·y

ln(

12

)=−

(γ0

P0

)· y

−0,693 =−(

γ0

P0

)· y

y =0,693 ·P0

γ0

y =(0,693) · (1,01 ·105Pa)

12,9N/m3

y = h = 5,4km (7.6)

Tipler explica em seu livro de Física, vol 1, que a pressão doar diminui exponencialmente com a altitude. A pressão do ardiminui por uma fração constante para um dado aumento dealtura. À altura de cerca de 5,5km, a pressão do ar é a metadede seu valor no nível do mar. Se subimos outros 5,5km, até auma altitude de 11km (uma altitude típica para os aviões), apressão novamente é reduzida à metade, passando a um quartode seu valor no nível do mar, e assim por diante. Nas elevadasaltitudes de voo dos jatos comerciais, as cabines devem serpressurizadas. O peso específico do ar é aproximadamenteproporcional à pressão, logo diminui com a altitude. Hámenos oxigênio disponível no alto de uma montanha, imagineno pico Everest? A figura 7.3 apresenta a Lei das Atmosferas.

Figura 7.3: Lei das Atmosferas.

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Referências Bibliográficas

[1] HIBBELER, R. C. Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016

[2] WHITE, Frank. Mecânica dos Fluidos. 8 Ed. Porto Alegre: Editora AMGH, 2018.

[3] ÇENGEL, Y.A.; CIMBALA, J.M. Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações. 3 Ed. SãoPaulo: McGraw-Hill, 2015.

[4] FOX, Robert W.; MCDONALD, Alan T. Introdução à mecânica dos fluidos. 8ed. Rio de Janeiro:LTC, 2015.

[5] BRAGA FILHO, Washington. Fenômenos de transporte para engenharia. Rio de Janeiro: LTC,2014.

[6] JEWETT e SERWAY, John W. e Raymond A. Serway Física para Cientistas e Engenheiros -Mecânica, Vol.1. Tradução da 8 Ed. norte-americana. São Paulo: Cengage, 2017.

[7] TIPLER, Paul Allen. Física para cientistas e engenheiros, vol 1. Rio de Janeiro: LTC, 2011.

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