Matemática  II  2011-­‐2012  �  2.º  Semestre  �  1.ª  Frequência  

26  de  Março  de  2012

1/8

Pedro Raposo; Carla Cardoso; Pedro Henriques; Vasco Simões

O teste tem a duração de 2:30 horas. Deve resolver os grupos em folhas separadas.

Grupo I

1. Calcule se possível, a soma da série 7 3n!1

! n + 42n +1

! 42n !5

"#$

%&'2

(

) . (2 valores)

2. Sabendo que a série de termos positivos 1

nU∞

∑ é convergente e tem por soma S, diga qual a

natureza da série 1 1

3 3 3 3( ) ...1 5 3 7 5 9 7 11n nV U

∞ ∞

= + + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ ∑ e, no caso de ser convergente, qual

a sua soma (o ponto entre os números nos denominadores indica uma multiplicação).

(2 valores)

Grupo II

3. Considere a seguinte função de produção Cobb-Douglas, 1 12 25( , )

6f x y x y= . Nesta função x

representa o trabalho e y representa o capital. Num momento inicial o país utiliza 2 unidades de trabalho e 2 unidades de capital. Se x variar positivamente 0,1 unidades, utilize o conceito de diferencial para calcular quanto tem de variar o y para a função ( , )f x y não variar. (2 valores)

(Não vai ser avaliado por saber ou não mas, se tiver tempo indique o conceito económico que acabou de utilizar para responder a esta questão)

4. Calcule f fx yx y

∂ ∂+∂ ∂

no ponto ( , ) (1,2)x y = , sendo

( ) 2 2, com arcsen( 1)uf x y x uv u x y e v x= + = − = − . (2 valores)

5. Calcule derivada da função, no ponto ( , ) (2,2)P x y = segundo a direção da reta 3y x= no 1º

quadrante.

( ) 2, com ; ; ; ( )rf u v u v u r s v r x y s xys

ϕ= + = = = + =

Considere ainda que ( ) ( )4 5 e 4 1ϕ ϕ′= = . (2 valores)

2/8

Grupo III

6. Seja 1 2( , ) ( , ) ( , )g x y f x y f x y= + onde 4

2 ( , ) arcsenx xf x yx y y

=+

e 1( , )f x y é homogénea de grau 2.

a) Verifique o grau de homogeneidade da função 2f . (0.5 valores)

b) Calcule o valor de (1,2) (1,2)

3 6g gx y

⎛ ⎞⎛ ⎞ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ∂⎝ ⎠

∂ ∂∂

sabendo que 1( 2, 4) 2f − − = (2 valores)

7. Seja ( , )f x y homogénea de grau 2 . Seja λ a designação genérica da direção do vetor (1,1)v→=

Mostre que, em qualquer ponto ( , )P a b da bissetriz dos quadrantes impares (exceto na origem) se

tem ( , )

P

f a ba

fλ

=∂⎛ ⎞

⎜ ⎟∂⎝ ⎠. (2 valores)

Grupo IV

8. Calcule os pontos de estacionaridade (se existirem) da seguinte função (1.5 valores):

3 2 2 25( , ) 2f x y x xy x y+ + +=

9. Considerando 1z ≠ − , calcule os máximos e mínimos livres (se existirem) da seguinte função (2 valores):

2 2 2 3 2( , , , ) 6 3yf x y z u xy x x z u z− + − + + −=

10. Considere a função 2 2( , )f x y x y= + sujeita a ( )2 2

2 2 1, 0x y a ba b

+ = > > . Utilize o método dos

multiplicadores de Lagrange para calcular os extremos da função. (2 valores)

Boa sorte.

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PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

Grupo I

1. Calcule se possível, a soma da série 1

2

3 4 472 1 2 5

n

n n nπ

−∞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

∑ .

73n!1

! n + 42n +1

! 42n !5

"#$

%&'2

(

) = 73

3n

! n

"#$

%&'2

(

) ! 4 12n !5

! 12n +1

"#$

%&'2

(

) = 21! (! ! 3)

! 43

Cálculo da série de Mengoli:

( ) ( )1 1 logo 3 32 5 2 1

f n f n kn n

= + = → =− +

( ) ( ) ( ) 1 1 11 2 3 3lim 1 12 5 3 3MS f f fn

⎛ ⎞= + + − = − + + =⎜ ⎟−⎝ ⎠

Cálculo da série geométrica:

3 3 1 , logo a série é convergenter rππ

= → = <

( )2 293 9

3 3 ( 3)1GSπ π

π π ππ π= = =− −−

então 73n!1

! n + 42n +1

! 42n !5

"#$

%&'2

(

) = 73

9! (! ! 3)

! 413= 21! (! ! 3)

! 43

.

2. Sabendo a soma de nU só temos de calcular a soma da 2a parte da série:

1 1 1

3 3 3 3 13 11 5 3 7 5 9 7 11 (2 1)(2 3)n nV U S S

n n

∞ ∞ ∞

= + + + + = + = +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − +∑ ∑ ∑

1

1 1

1(2 1)(2 3) (2 1) (2 3)

A Bn n n n

∞ ∞

= +− + − +∑ ∑

Cálculo auxiliar:

( )( )

1 1/ 4 1/ 42 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3

A Bn n n n n n

= + = −− + − + − +

31/22

1 1 2 1 2 3 4 2 1 4n n

A Bn n= =−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ∧ = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Mengoli 2k =

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1lim(2 1)(2 3) 4 (2 1) (2 3) 4 1 3 (2 1) 3n n n n n

∞ ∞ ⎛ ⎞= − = + − =⎜ ⎟− + − + −⎝ ⎠

∑ ∑

1 Ver cálculo auxiliar a seguir.

4/8

Grupo II

3. Considere a seguinte função de produção Cobb-Douglas, 1 12 25( , )

6f x y x y= .

Temos (2,2) 5 / 3f = e se não há variação da finção é

0 0f

f f f f dy xdf dx dy dx dy fx y x y dxy

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = ⇔ + = ⇔ = − ∂∂ ∂ ∂ ∂

∂

No nosso caso, 1/2 1/2

1/

(2,2)

2 1/2

5 16 2 15 10,16 2

x ydy ydx x y

−

−

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟Δ≈ = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

e 110

yΔ = − .

Utilizou-se o conceito de tx marginal e substituição entre 2 recursos df=0:f

dy xfdxy

∂∂= − ∂∂

4. ( )( )1

2

1log .21 (

.)

11

u uf f u f v ux x x v x ux u x v x x

fx

−∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = + + +∂

∂∂ ∂ ∂ − −∂ ∂

( )( ) ( )l1 og 2 0uf u f v x x v yu y v y

fy

∂ ∂ ∂ ∂= + = + ⋅ − +∂ ∂∂ ∂

∂∂

No ponto ( , )P x y : 3 ; 0 ; 6 ; 0fu v fx y

= −∂

= ∂= ∂∂

− = logo: 6fx fx yy∂ ∂∂

+ = −∂

5. Cálculo das derivadas:

22

12df f u r u s f v r v s rrs r y ydx u r x s x v r x s x s s

ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ′ ′= + + + = + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

22

12df f u r u s f v r v s rrs r x xdy u r y s y v r y s y s s

ϕ ϕ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ ′= + + + = + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

No ponto ( , )P x y : 1797 17978 ; ; 4 ; 5 ; ;2

4025 55

u f fx

sy

v r ∂ ∂∂ ∂

= = = = = =

Cálculo dos cosenos diretores:

Alternativa 1: a direção da reta 3y x= , é a direção do vetor 1, 3( ) logo , norma do vetor é

32 +12 = 2 e podemos substituir diretamente da definição de derivada dirigida.

Alternativa 2: ( ) ( ) 3tg 3 arctg 3 cos3 3 2π πθ θ θ ⎛ ⎞= ⇔ = ⇔ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Se !=" /3 e !+#=" /2,então #=" /6 ! cos(# )=cos(" /6)=1/2

logo: ( )1797 3 1797 1797 325 2 25 2

1 150P

fλ

⎛ ⎞ = + =⎝∂∂⎜ ⎠

+⎟

5/8

Grupo III

6.

(1,2) (1,2)(1,2) (1,2) (1,2)

3 6 3 1 2 3g g g g g gx yx y x y x y

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(1,2) (

1

1,

2

)

1 2

2

3 3f f f fx y x yx y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

como 1( , )f x y é homogénea de grau 2 e 4

32 ( , ) arcsenx xf x y

x y yλ λ λ=

+, isto é, 2f é homogénea de

grau 3, fica

1 2(1,2) (1,2)

3 6 3 2 (1,2) 3 3 (1,2)g g f fx y

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ + = × + × =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 6 f1(1,2) + 9!13arcsen 1

2= 6 f1(1,2) + 3

!6= 6 f1(1,2) +

!2

e resta obter o valor de 1(1,2)f .

( ) ( )2

1 1 11 1 1(1,2) 2 , 4 ( 2, 4)2 2 2

f f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − × − − × − = − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 124 2

= × =

Então: 1(1,2) (1,2)

3 6 6 (1,2) 32 2

g g fx y

π π⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ + = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7. cos cosP P P

f f fx y

α βλ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

12 P P

f fx y

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

como P é ponto da bissetriz dos quadrantes impares (excluindo a origem), 0a b= ≠ , então

( , ) ( , )

12 2P P a a aP a

f a f f f fa a ax y x yλ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

e como f é homogénea de grau 2 , ( , ) ( , )

2 ( , ) 2 ( )a a a a

f fa a f a a f Px y

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ + = =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ logo:

( )

( ) , 0

P

P

fa f P

f f P aa

λ

λ

∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∂⎛ ⎞ = ≠⎜ ⎟∂⎝ ⎠

c. q. d.

6/8

Grupo IV

8.

2 26

2 2 0

10 0y xf xxf xy yy

+ + =∂ =∂∂ = + =∂

2 22 2

10 010 0

0( 1) 0

6

21

62 0

xx

y xy x

yy xy

xx y

+ + =+ + =

=+ = →

=

⎧⎧ ⎪⎨ ⎨

+ =⎩ −⎪⎩

I) II)

2 10 060y

x x+ ==

⎧⎨⎩

2 2 10 01

6 y xxx

+ == −

⎧ +⎨⎩

0(3 5) 0

5 / 30

xx x

xy

⎧ =+ = →⎪ = −⎨

⎪ =⎩

2 2

1

42

yy

y

x

⎧ == →⎪ = −−

⎨=⎪

⎩

5(0,0) ; , 03

A B ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ ( 1, 2) ; ( 1, 2)C D− − −

9.

2

2

2 6 0

3

2 2 0

032 0

x

y

z

u

f yxy y

zu

xf

ff

+ − =′ == − =

′ ==

′

=′ =

−

2

2

( 1) 02 6

11

01

y x

zy x

z

uz

⎧ + =⎪⎪⎪

=⎨ = →

−

= −

=

=

⎪⎪⎪⎩

I) II)

2

0( 1

0

6

1

) 0

2

1

yy

y xx

u

x

z

=− = →

=

=

⎧ + =⎪⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪⎩

2 2 60

(1

1

1) 0

0

yy

y xx

x

zu

=− = →

=

=

⎧ + =⎪⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎪⎩

IA) IB) IIA) IIB)

2

0

2 6

10

yy

x

zu

⎧ + =⎪⎪⎨

==

=⎪⎪⎩

2

0

2 6

11

yx

x

zu

⎧ + =⎪⎪⎨

==

=⎪⎪⎩

2

02 6

01

yyzu

x⎧ + =⎪⎪⎨

= −=

=⎪⎪⎩

2

12 6

01

yxzu

x⎧ + =⎪⎪⎨

= −=

=⎪⎪⎩

3

1

(3,0,1,

0

00)

x

zuA

y=⎧

⎪⎪⎨⎪⎪⎩ =

==

1

(1, 2, 1,0)(1, 2,1

1

0

,

2

0)B

yxzu

C

= ±=

=

⎧⎪⎪⎨ =⎪⎪⎩

−

3

1

(3,0, 1,0 )

0

0

yzu

x

D

=⎧⎪⎪⎨ = −⎪⎪⎩

−

=

=

2

1

( 1,

1

02, 1, 0 )

(1, 2, 1,0 )

x

F

z

y

Eu

= ±⎧⎪⎪⎨ = −⎪⎪ =⎩

−− −

=

7/8

2 2 0 02 2 2 0 00 0 6 00 0 0 2

f

yy x

Hz

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A B C D E F 1 2Δ = 2 2 2 2 2 2

22 4( 1)x yΔ = − − 8 -16 -16 8 -16 -16

3 26zΔ = Δ 48 ----- ----- -48 ----- -----

4 212zΔ = Δ 96 ----- ----- ----- ----- ----- Mínimo PS PS PS PS PS

( ) 11Minf f A= = − Nota: com a condição z ! "1 só era preciso calcular os pontos A, B e C.

10.

2 22 2

2 2 1x yL x ya b

λ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

22 22

2 22 2

2 2 2 22 22 2

2 22 2

2 2 1 02 000

22 0 2 1 0 0 00 1 . _____

11 0

L x xx ax a x ax aL yy y y b y by b b

imp y b x ax yL x ya ba b

λλ

λλλλ λ λ

λ

⎧ ⎧ ⎛ ⎞∂ − =⎪ = − = ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪ ∂ ⎧⎪ = =⎧ ⎧= =⎧⎪ ⎪⎪∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛ ⎞= − = ⇔ − = ⇔ = ∨ = ∨ = ∨ = ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = =⎩ ⎩ ⎩ ⎩⎪ ⎪⎛ ⎞∂ + =⎪ ⎪= − + − =⎜ ⎟∂ ⎩⎪ ⎝ ⎠⎩

22 2

2 2 2 2

0 00 0 . 0

_____

x x aa ab b y y a b imp a b

y b y b x a x a

λλ λλ λ

⎧= = =⎧ ⎧ ⎧ ⎧= =⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ = ∨ = ∨ = ∨ = ∨ = > >⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = − = = −⎩ ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ Os pontos de estacionaridade são:

2 2

(0, )( ,0) B bA aa bλ λ

±±= =

2 2

2 2

2 2 4 2 4 2

2 2

2 20

2 2 1 0 8 1 1

2 0 2 1

x ya b

x y xa a b a a byb b

λ λ λ

λ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ = − − = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

8/8

2 2 2 2 2 2

4 2 4 2 4 2 4 2

0 08 1 1 0 max 8 1 1 0 min

0

a a a b b bA Bb a a b b a a b

a b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ Δ = − + − < →Δ = − + − >⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦> >

2

maxf a= em ( ,0)a± , 2minf b= em (0, )b±