experimentos matematicos

Unesco CentreSciences - Adecum - www.experiencingmaths.org

ADECUM

Matemticas

experimentais

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Esta exposio virtual dirige-se aos professores de matemtica, aos seus alunos prioritariamente aos do secundrio - e a todos os que tm curiosidade pela matemtica e pela cincia em geral.

Esta exposio virtual apresenta mais de 200 situaes matemticas que propem aos alunos experimentar, tactear, colocar hipteses, test-las, tentar valid-las, procurar demonstrar e debater acerca de propriedades matemticas.

Como a exposio internacional itinerante Experimentar a Matemtica!, foi concebida e realizada, por iniciativa e com o concurso da UNESCO, pelo CentreSciences e pelo Adecum.

Como a exposio Experimentar a Matemtica!, prope experincias de canto de mesa fceis de realizar com material muito simples: a cabea e as mos, papel e lpis, pedaos de carto, de madeira ou de acrlico, arame e pregos... Com sua abordagem numrica, prope tambm experincias de canto de ecr onde se pode experimentar com um clique.

Para cada tema, encontrar: uma introduo interactiva, experincias para mandar fazer aos alunos, algumas explicaes e referncias histricas, algumas situaes onde a matemtica utilizada, uma referncia de palavras chave para a Internet, um cheiro pdf para imprimir com algumas ajudas.

Dirigindo-se aos professores dos pases do sul, esta exposio, ainda que virtual, no pretende de modo nenhum acentuar a fractura digital. esta a razo pela qual prope a todos os que no tm ligao Internet nem computador, imprimir ou mandar imprimir estas pginas ecr a preto e branco ou a cores - a partir de pginas pdf preparadas para este efeito.

* CentreSciences: Centre de culture scientique, technique de la rgion Centre Orlans.* Adecum : Association pour le dveloppement de la culture mathmatiques Orlans.

Matemticas

experimentais

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1.Ler a Natureza Espirais na Natureza O mundo fractalCnicas no espao

2.Pavimentar um cho Arte & Pavimentos CaleidoscpiosOnde estou?

3.Preencher o Espao Empilhar laranjas! PoliedrosProblemas complexos

4.Ligar-se De s um trao Quatro cores chegam!Al! Ests a ouvir-me?

5.Calcular Avec les ttes et les mains Nmeros primosImagens digitais

6.Construir Curvas & Velocidade Curvas & VolumesCurvas suaves

7.Estimar - Prever 2 bolas vermelhas? Bingo!O vencedor ?

8.Optimizar Bolas de sabo O caminho mais curto A melhor forma

9.Provar PitgorasNmeros e FigurasEst-ce bien vrai ?

10.Concluir ExperimentePonha hipotesesDemonstre!

Crditos

SU

M

RIO

4 5 68

12 13 1618

34 35 3738

52 53 5455

69 70 7577

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95 96 9798

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8.Optimizar

Espirais na Natureza

O mundo fractal

Cnicas no espao

1.Ler a Natureza

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Faa voc mesmoMATERIAL: 1 caneta de feltro, 1 anans, 1 morango, 1 pinha, 1 or de girassol, 1 go ou folha de gueira-da-ndia,1 nutilo

Quantas espirais h em cada sentido?

1, 1, 2, 3, 5, 8... Encontre os elementos seguintes da sucesso. Observe um destes objectos. As espirais aparecem, num sentido e no outro. Conte-as. Descubra outros frutos, outras ores, outras folhas... que tm a mesma propriedade.

Faa voc mesmoMATERIAL: 1 caneta de feltro, 1 folha de papel, 1 rgua,1 compasso, 1 lpis, 1 tesoura

Desenhe uma espiral de ouro Pegue numa folha de papel quadriculado Desenhe os quadrados de lado 1, 1, 2, 3,

5, 8 ... como indicado na gura. Trace um quarto de circunferncia em

cada quadrado. Recorte os quadrados e coloque-os em espiral,

como indicado na gura.

Para ir mais longeSucesso de Fibonacci : uma sucesso de nmeros inteiros em que cada termo igual soma dos dois precedentes. Esta sucesso foi descoberta por um italiano, Leonardo de Pisa, cognominado Fibonacci, h 8 sculos.

Denotemos Fn o termo de ordem n desta sucesso. Ela tem numerosas propriedades.Fn+1 /Fn tende para um limite: (1 + 5)/2

que o nmero de ouro,Fn e Fn+1 so primos entre si e a soma dos seus quadrados

dada pela sucesso:(Fn)

2 + (Fn+1)2 = F2n+1

Onde se emprega a matemticaDesde Fibonacci, muitos se interessaram por estas propriedades das plantas. Recentemente os investigadores franceses, Stphane Douady e Yves Couder, mostraram experimentalmente que o crescimento destas plantas corresponde a propriedades dos sistemas dinmicos da Fsica. O estudo da forma e das propriedades fsicas das plantas chama-se lotaxia, que interessa aos botnicos e aos bilogos..

PGINAS WEB:http://www.lps.ens.fr/~douady/http://maven.smith.edu/~phyllo/

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Fibonacci - Sucesses - Filotaxia - Nmero de ouro - Espiral de ouro

1. Ler a Natureza

Espirais na Natureza

Que reter?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ..., 233, ...As sementes de certos frutos, as ptalas de certas ores, as folhas de certas rvores, repartem-se sempre de acordo com a mesma sucesso de nmeros: cada nmero da sucesso a soma dos dois anteriores.Deste modo, na pinha, no anans, na or de girassol..., os nmeros de espirais em cada sentido so termos consecutivos desta sucesso chamada sucesso de Fibonacci.

5 3

2

1

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Faa voc mesmoMATERIAL: 1 grelha quadrada ou hexagonal, 4 ou 5 lpis ou feltros de cor

Tringulo de Pascal a cores Complete a grelha seguindo a regra que se descreve. Escolha 3 cores associadas a 0, 1 e 2. Em cada casa, substitua o nmero pelo seu resto na

diviso euclidiana por 3. A seguir pinte esta casa com a cor correspondente.

Observe a gura obtida. Que propriedades tem?Recomece escolhendo outro nmero entre 2 e 7.

Faa voc mesmoMATERIAL: 1 folha de papel, 1 lpis, 1 rgua

Sucesses de guras e sucesses de nmeros Parta de um quadrado desenhado sobre uma grande folha de papel. Corte-o em 3 e escurea algumas das partes Recomece o procedimento nas partes brancas restantes ...

1. Ler a Natureza

O mundo fractal

Que reter?O tringulo de Pascal mdulo 2O tringulo de nmeros chama-se Tringulo de Pascal. Em cada linha horizontal, os nmeros que a guram so os coe cientes que aparecem numa frmula clebre, o binmio de Newton : (a + b)n.Estes nmeros tm um papel importante em diversos ramos da Matemtica (lgebra, probabilidades...).Substituindo estes nmeros pelo seu resto na diviso por 2, v-se aparecer uma imagem que se reproduz a escalas cada vez maiores.Esta imagem um objecto fractal, tambm chamado tapete de Sierpinski.A regularidade da colorao permite evidenciar facilmente todos os erros de clculo. Esta tcnica encontra-se nos cdigos correctores de erros.

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1

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Fractais a 3 dimenses :construa, do mesmo modo que anteriormente, um cubo fractal.

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Faa voc mesmoMATERIAL: 1 folha de papel, 1 lpis, 1 rgua

Desenhe outras sucesses de guras fractais Trace um tringulo equiltero, Corte cada lado em 3 segmentos iguais, Substitua o segmento do meio por dois outros com o mesmo comprimento, A seguir, recomece em cada novo segmento obtido. Outra actividade volta destas guras fractais :em cada etapa, calcule o permetro e a rea da superfcie e, de seguida, os respectivos limites.

E na natureza?

Onde se emprega a matemticaOs objectos fractais aparecem ou so utilizados em numerosos domnios: meteorologia, economia, compresso de imagens, medicina e mesmo arte... fractal.

PGINAS WEB:http://commons.wikimedia.org/wiki/Fractal

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB :Fractal - Sucesses de guras - Dimenso fractal - Mendelbrot

1. Ler a Natureza

O mundo fractal7


Faa voc mesmoMATERIAL: 1 lmpada ou 1 lanterna de bolso, 1 ecr branco ou 1 folha de papel

Luzes e Cnicas Alumie a parede ou o ecr com a lanterna de bolso. Aparece uma mancha de luz. Que forma tem? Pode mud-la? Como?

Que reter?No tecto ou no cho, deve-se ver uma circunferncia. Nas paredes, ou ao inclinar o suporte da lmpada, pode-se obter um arco de parbola ou um ramo de hiprbole. As cnicas so as curvas que se obtm pela interseco de um cone por um plano. Segundo a orientao do plano em relao ao eixo do cone, obtm-se os diferentes tipos de curvas.Quando a lmpada est perpendicular ao ecr, obtm-se uma circunferncia. Quando o ngulo muda, obtm-se sucessivamente uma elipse, uma parbola ( necessrio que o cone esteja paralelo ao ecr) e, por ltimo, um ou dois ramos de hiprbole.pode-se obter um ponto, uma recta ou duas rectas?

CRCULO ELIPSE PARBOLA HIPRBOLE

1. Ler a Natureza

Cnicas no espao 8


Faa voc mesmoMATERIAL: 1 folha de papel, 1 compasso, 1 rgua

Construa cnicas por dobragem Trace uma circunferncia. Marque um ponto F no interior ou no exterior da circunferncia. Dobre a folha (marcando a dobra) de modo que um ponto da circunferncia coincida com F. Recomece a operao uma vintena de vezes, pelo menos. Que v?

Para ir mais longeAs cnicas encontram-se em numerosos fenmenos naturais.A parbola: do jacto de gua trajectria de um objecto lanado para a frente.Encontramo-la tambm nos faris das viaturas e em certos fornos solares. A elipse encontra-se em arquitectura e nos desenhos de perspectivas de circunferncias.As leis de Kepler (1619) da gravitao, estabelecidas Newton, mostram que as rbitas dos corpos celestes, naturais ou arti ciais, so cnicas.

Onde se emprega a matemticaQuem utiliza as cnicas?Os engenheiros, sobretudo na industria espacial e, claro, os astrnomos. Os arquitectos que constroem as pontes suspensas e os estdios desportivos.E tambm os jardineiros, os tcnicos de luzes no teatro ou no cinema ou ainda os tcnicos de infogra a.

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Cnica - Elipse - Parbola - Hiprbole - Curva envolvente

1. Ler a Natureza

Cnicas no espao

Que reter? Se o ponto F est no interior da circunferncia, as dobras marcadas envolvem uma curva que uma elipse.

Se F est no exterior, a envolvente uma hiprbole.O que se obtm ao substituir a circunferncia por uma recta?

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8.Optimizar

Arte & Pavimentos

Caleidoscpios

Onde estou?

2.Pavimentar um cho

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Faa voc mesmoMATERIAL: 1 folha de formas para recortar, 4 ou 5 lpis ou canetas de feltro de cor,1 x-acto ou 1 tesoura

Crie a mais bela pavimentao com uma formaEscolha uma forma e tente criar uma pavimentao do plano, sem espaos nem sobreposies. Pode tambm colori-la. Para cada pavimentao criada, tente determinar a que grupo de pavimentaes regulares (entre os 17 mostrados pgina 8) pertence.

Faa voc mesmoMATERIAL: 1 folha de formas geomtricas para recortar, 4 ou 5 lpis ou canetas de feltro de cor, 1 x-acto ou 1 tesoura

Crie pavimentaes com duas formas Escolha um destes pares de formas. Tente criar uma pavimentao do plano, sem espaos nem sobreposies. regular? Se no, pode dizer porqu?* Respeite a coincidncia dos arcos de circunferncia.

2. Pavimentar um cho

Arte & Pavimentos

Que reter?Podemos cobrir um cho com ladrilhos de uma formaqualquer, sem espaos nem sobreposies?Muitas formas geomtricas ou gurativas permitem realizar uma pavimentao do plano, mas no todas como, por exemplo, o pentgono regular. As pavimentaes regulares do plano repetem-se periodicamente por translaes, em duas direces.Algumas destas pavimentaes conservam-se tambm porrotao ou por simetrias axiais.Estas translaes, rotaes e simetrias permitem distinguir 17 grupos. O seu estudo respeita teoria dos grupos, devida a Evariste Galois.Encontram-se aplicaes das pavimentaes em Matemtica,Cristalogra a, Teoria dos Cdigos, Fsica das Partculas...

*

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23222221220

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Faa voc mesmoMATERIAL: 3 grelhas geomtricas, 4 - 5 lpis ou canetas de feltro de cor

Gato, peixe, casa...Transforme uma forma simples (tringulo, quadrado, hexgono) num modelo gurativo... Para ajudar, parta das grelhas postas sua disposio.

Faa voc mesmoMATERIAL: 1 envelope fechado, 1 lpis, 1 x-acto ou 1 tesoura

Tcnica das envolventes Construa um envelope fechado, rectangular, quadrado, triangular... Trace um caminho para ligar os cantos do envelope. O seu traado pode passar apenas por uma

das faces ou por ambas. Corte o envelope seguindo o traado. Desdobre e pavimente.


Arte & Pavimentos

dianteira

traseira

2626252524

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Para ir mais longeOs 17 grupos de pavimentaes regulares

Onde se emprega a matemticaAs pavimentaes encontram-se em artes que vo do papel de parede aos ladrilhos (cozinha, corredor, quarto de banho...), dos tecidos para vesturio s tecelagens africanas.

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Pavimentao - Grupos de pavimentaes - Evariste Galois - Escher


Arte & Pavimentos15


Faa voc mesmoMATERIAL: 2 modelos de caleidoscpios, 3 espelhos, 1 carto, 1 ta adesiva, 1 tubo de cola

Construa dois caleidoscpiosConstrua dois modelos, um baseado num tringulo equiltero, o segundo baseado num tringulo rectngulo issceles.

Faa voc mesmoMATERIAL: Exemplos de mosaicos a observar, 2 caleidoscpios

Observe as simetrias no interior do caleidoscpio Escolha um mosaico e coloque o caleidoscpio adequado na posio apropriada. Reencontrar, em ponto grande, o mosaico.

Coloque um dos espelhos sobre as linhas vermelhas. Encontrar uma pavimentao de cho de casa.

Faa voc mesmoMATERIAL: 1 fotogra a, 1 tesoura ou 1 x-acto

Quem est atrs do espelho? Pegue na fotogra a de um rosto. Corte-a em 2 por simetria e realize estes efeitos de espelho!

Qual o rosto certo?


Caleidoscpios

Que reter?As pavimentaes regulares so repeties, at ao in nito dum mesmo motivo.Aqui, o motivo, por simetrias de espelhos, vai reproduzir-se para dar um quadrado, um hexgono ou outro polgono qualquer com um nmero par de lados.A mesma tcnica foi utilizada por artistas como Escher com motivos mais gurativos.

1 Cole

Dobre

3 Feche

2

?

27

29228

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Faa voc mesmoMATERIAL: 3 padres de pirmide, 1 x-acto ou 1 tesoura, 3 espelhos triangulares,1 tuba de cola

Espelho piramidal Construa uma pirmide-espelho com a ajuda dos modelos fornecidos. Coloque objectos ou um lquido sua escolha no fundo do caleidoscpio. O que observa?

Para ir mais longeAo cortar um poliedro regular (cubo, tetraedro...) seguindo todos os seus planos de simetria, obtm-se pirmides que, transformadas em caleidoscpios, permitem reencontrar o poliedro de partida e ainda toda uma famlia de volumes que tm as mesmas simetrias de base.

Onde se emprega a matemtica- Artesos criando um mosaico a partir de azulejos marroquinos (Fez Marrocos)- Tcnica criando uma nova pavimentao em computador (Super Cram, Kenitra Marrocos).

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Caleidoscpio - Mosaico - Pavimentao - Simetrias - Escher


Caleidoscpios

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Faa voc mesmoMATERIAL: 1 esfera de poliestireno ou 1 bola, 1 caneta de feltro

Pavimente a esferaObserve estas pavimentaes da esfera. Pode imaginar outras?Tente desenh-las na bola.Para cada pavimentao, calcule os ngulos do (ou dos) polgono pavimentador.

A histria do caador de ursos a histria de um caador que segue a pista de um urso. Caminha a direito para o sul durante uma hora e depois v que o urso virou para o leste. Faz o mesmo e caminha durante uma hora para chegar a um ponto onde o urso virou novamente, para o norte. De novo! Faz o mesmo e segue a pista de novo durante uma hora. E agora? Apercebe-se que regressou... ao ponto de partida!

Questo 1: qual pode ser a cor do urso?Questo 2: quantas solues podem existir?

Faa voc mesmoMATERIAL: 1 folha de padres de polgonos regulares, 2 ou 3 folhas de carto,Elsticos (recortados de cmaras de ar de bicicleta)

Construa uma bola de cartoCom estes polgonos regulares, construa uma bola que se aproxime o mais possvel da esfera.

Onde se emprega a matemticaOs arquitectos inspiram-se por vezes em estruturas esfricas.A indstria da comunicao por satlite e os sistemas de posicionamento por satlite (GPS ou Galileu) que procuram cobrir a Terra utilizando o menor nmero possvel de satlites.

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Geometria esfrica - Pavimentaes da esfera - Escher


Onde estou?

Que reter?Como no plano, as pavimentaes da esfera so coberturas sem espaos nem sobreposies com a ajuda de um ou vrios polgonos esfricos (isto , que se aplicam sobre a esfera).A pavimentao regular se utiliza uma s forma (tringulo equiltero, quadrado...) que se reparte da mesma maneira em torno de cada vrtice.As pavimentaes regulares da esfera so deformaes esfricas dos poliedros regulares.Pavimentar a esfera permite de nir, por exemplo, o nmero ptimo de satlites que so necessrios para cobrir todos os pontos da Terra.

Para ir mais longe

Calculando os ngulos dos polgonos desenhados sobre a esfera, descobrir propriedades da geometria esfrica:

Qual a soma dos ngulosdum tringulo esfrico?

Pode-se construir umtringulo esfrico que tenha 3 ngulos rectos?

Que relao existe entrea soma dos ngulos dum polgono esfrico e a sua rea?

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8.Optimizar

Empilhar laranjas!

Poliedros

Problemas complexos

3.Preencher o Espao

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Faa voc mesmoMATERIAL: 1 folha de papel quadriculado, moedas, esferas ou laranjas...

Empilhe, empilhe... Coloque o mximo de peas idnticas num quadrado de lado 1, 2, 3... 10 unidades. Coloque o mximo de bolas unitrias num cubo de lado 10 unidades.

Calcule a densidade de cada empilhamento.

Que reter?Num quadrado de lado 10, pode colocar mais de 100 discos! A partir de que la se podem colocar mais que o quadrado do lado?No plano, a densidade* mxima obtida com discos idnticos de 90,6%. Isto , h menos de 10% de vazio.

No espao, quando o empilhamento regular, a densidade* mxima obtida (como para as redes cristalinas) quando as esferas esto nos vrtices e nos centros das faces dum empilhamento de cubos.Este empilhamento chamado cbico com faces centradas. A sua densidade de 74%.

Para os empilhamentos de esferas de dimetros diferentes ou de formas achatadas, o problema da densidade no est ainda resolvido.

*a densidade a proporo do volume (ou da super cie) ocupado pelas esferas no interior do invlucro que as contm (aqui a pirmide ou o cubo ou o quadrado)

BA

BA

A

Para ir mais longe

Calcular as densidades destes empilhamentos de discos comparar, no quadrado (ou no tringulo), a rea da parte ocupada pelos discos rea do quadrado (ou do tringulo).

Calcular as densidades destes empilhamentos de esferas comparar, no cubo (ou no tetraedro), o volume da parte ocupada pelas esferas ao volume do cubo (ou do tetraedro).

3.Preencher o Espao

Empilhar laranjas!

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Para ir mais longePergunta 1Entre um quilo de caf modo e um quilo de caf em gro, qual o que ocupa o menor volume?

Pergunta 2Num cubo, coloque uma esfera que seja tangente s 6 faces do cubo.Estime qual a razo dos volumes. (sem efectuar o clculo) Faa o mesmo para a razo das superfcies. Verique, pelo clculo, que estas duas razes so iguais! um dos mtodos que permitiu a Arquimedes calcular a rea e o volume da esfera.

Pergunta 3Num cubo, coloque uma esfera que seja tangente s arestas do cubo.Volte a fazer as mesmas perguntas. O comentrio , desta vez, o seguinte: a razo dos volumes igual a duas vezes a densidade mxima de empilhamentos de esferas.

Alguns resultados fceis de deduzir:a. Empilhamento cbico simples - Densidade: /6

b. Empilhamento cbico centrado - Densidade: 3/8c. Empilhamento cbico de faces centradas - Densidade: 2/6

d. Empilhamento hexagonal compacto - Densidade: 2/6

a b c d

Onde se emprega a matemticaTodas as empresas que se interessam pelo condicionamento de objectos, de cereais, de plulas...Os fsicos e engenheiros que se interessam pelos materiais e pelos empilhamentos de tomos. Os empilhamentos so tambm utilizados nos cdigos informticos de mensagens e nas suas correces automticas (cdigos de Hamming)!

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Empilhamentos - Densidade - Kepler - Hale

3.Preencher o Espao

Empilhar laranjas!36


Faa voc mesmoMATERIAL: Padres de poliedros, Tesoura ou x-acto, cola

Construa poliedros A partir dum padro em carto ou de polgonos regulares montados, construa os 5 poliedros de Plato, um duplo tetraedro, uma pirmide de base quadrada... Escolha um poliedro e faa-o rodar. Quantas faces tem? e vrtices? e arestas?

Preencha a tabela abaixo:

Existe uma relao entre estes nmeros?

Faa voc mesmoMATERIAL: Padres de polgonos, folhas de carto, tesoura, 1 pina, elsticos

Construa, conclua... Por grupo, recorte polgonos regulares de 3, 4, 5, 6 ou 8 lados, como indicado. Una para construir um poliedro regular, semi-regular. Quantos poliedros regulares diferentes se podem construir? e semi-regulares?

Onde se emprega a matemticaEstas estruturas do espao so utilizadas pelos arquitectos. Mas tambm se encontram na natureza e interessam tambm aos fsicos (empilhamentos), aos bilogos e aos naturalistas (com as diatomceas).

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Poliedros - Euler - Plato - Arquimedes

3.Preencher o Espao

Poliedros

Que reter?Um poliedro regular um slido cujas faces so feitas dum mesmo polgono regular, repartidas da mesma maneira em torno de cada vrtice.

Existem 5, que se designam os slidos de Plato. semi-regular se as faces so feitas de 2 ou 3 tipos de polgonos regulares. Existem 13, chamados slidos arquimedianos.

Para os poliedros convexos, regulares ou no, existe uma relao entre os nmeros de Vrtices, de Arestas e de Faces:V + F = A + 2.Foi descoberta por Euler em 1752.

O que se passa com umgrafo plano?

E com um slido com umorifcio? E com dois orifcios?

Poliedro Faces Vrtices Arestas

cubo 6 8 12

44

49

4443442441440

448447446445

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Faa voc mesmoMATERIAL: 3 pequenos cubos de madeira (de espuma ou...), 6 placas (do mesmo material) feitas de4 cubos achatados, 1 recipiente de 3x3x3

Encha o recipiente!O desa o: encha o recipiente de 3x3x3 unidades com estes dois tipos de caixas!

Faa voc mesmoMATERIAL: Uma mochila e objectos para l colocar

O problema da mochilaO desa o: preencha a mochila com objectos com o mximo valor,sem ultrapassar o peso de 15 kg.

Faa voc mesmoMATERIAL: 2 padres de tetraedros, 1 x-acto ou 1 tesoura, 1 tubo de cola

A grande pirmideConstrua 6 tetraedros regulares e 6 pirmides de base quadrada com as mesmas faces triangulares.Com estas pequenas pirmides, construa uma pirmide duas vezes mais alta. Compare os volumes destas pirmides.

Onde se emprega a matemticaAlm da vida corrente, estes problemas de preenchimento ptimo so tratados por todos os transportadores rodovirios, areos ou martimos, por todas as empresas que fazem condicionamento.

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Volume da pirmide - Problema complexo - Problema NP

3.Preencher o Espao

Problemas complexos

Que reter?Na vida quotidiana, confrontamo-nos regularmente com este problema: meter o mximo de objectos numa caixa ou o mximo de caixas num recipiente.Para os matemticos entre outros - um problema complexo: quanto mais objectos existem, mais tempo necessrio para encontrar uma soluo. E este tempo aumenta de maneira exponencial com o nmero de objectos.

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2

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412kg

21kg

22kg

104kg

11kg

Que reter?Uma pirmide 2 vezes mais alta tem um volume 8 vezes maior.Pode-se assim, por recomposio, comparar o volume destes dois tipos de pirmides.Com 3 alturas, pode-se mesmo deduzir a frmula do volume de qualquer pirmide:

Volume = Base x Altura 3

Com outros poliedros, o problema de empilhamento , em geral, mais complicado.

Para ir mais longeDetermine os poliedros que, como o cubo, preenchem, por si ss, o espao sem buracos nem deformaes.

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2/2

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8.Optimizar

De s um trao

Quatro cores chegam!

Al! Ests a ouvir-me?

4.Ligar-se

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Faa voc mesmoMATERIAL: Modelos de desenhos, 1 lpis

Desenhe de um s trao!Tente desenhar estas guras sem levantar o lpis e sem passar duas vezes pela mesma linha.Quando isso possvel? Impossvel?

Faa voc mesmoMATERIAL: Um jogo de domin sem as peas duplas

Domins - DominsTente encadear todas as peas do domin, seguindo as regras do jogo. Recomece sem as peas que tm um 6, depois sem as que tm um 5, etc. sempre possvel? Porqu?Cada pea do domin representa a aresta dum grafo de 7 vrtices, numerados de 0 a 6. Cada caminho euleriano corresponde a um encadeamento de domins.

Onde se emprega a matemticaA teoria dos grafos utilizada para modelar e estudar situaes muito concretas tais como redes de telecomunicaes, circuitos electrnicos, redes de distribuio gua, gs, electricidade, correios ... e numerosos problemas de logstica, transporte, produo.

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Grafos - Teoria dos grafos - Caminho euleriano - Euler

4.Ligar-se

De s um trao

Que reter? Knigsberg*, 1736 possvel percorrer a cidade atravessando cada uma das suas sete pontes uma nica vez?Para resolver este problema, que est na origem da teoria dos grafos, Euler reteve apenas a informao essencial: h quatro bairros separados pela gua do rio, ou seja, quatro pontos a unir por 7 traos que simbolizam as pontes.O problema cou: existe, neste desenho, um caminho passando uma nica vez por cada trao? Isto foi o incio da teoria dos grafos.Resposta de Euler: quantos pontos existem onde termina um nmero mpar de traos? A soluo s existe se esse nmero for igual a zero ou a dois!

Questo : E se acrescentarmos uma ponte ligando uma ilha a uma das margens (como o caso na actualidade)?

*hoje Kaliningrado (regio russa separada da Rssia pela Polnia e pela Litunia)

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Faa voc mesmoMATERIAL: 1 mapa, 4 lpis ou canetas de feltro

Com apenas 4 cores!!!Um ou dois jogadoresTente colorir este mapa utilizando o menor nmero possvel de cores.A regra: 2 pases vizinhos devem ter cores diferentes. Mesmo o mar conta!Perde aquele que j no puder jogar.

Faa voc mesmoMATERIAL: Poliedros (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, pirmide de base quadrada...), lpis ou canetas de feltro de 4 cores

E no espao?Construa um poliedro regular (ou outro) respeitando a regra das 4 cores: duas faces vizinhas devem ter cores diferentes.Do mesmo modo, tente construir um poliedro com um buraco e tente dividi-lo em 7 regies, necessitando de 7 cores diferentes.

Faa voc mesmoMATERIAL: 1 desenho no plano e sobre um toro

3 poos & 3 casasEm cada caso, tente ligar estes trs poos e estas trs casaspor 3 canalizaes de superfcie sem que as canalizaes se cruzem.

Questo: e se juntarmos um 4o poo e uma 4a casa?

QuestoUm lobo, uma cabra e uma couve esto na margem direita de um rio. Um barqueiro deve transport-los para a outra margem do rio, mas s pode transportar um de cada vez. Ajude-o!Ateno! O lobo come a cabra e a cabra come a couve!!

Onde se emprega a matemticaEstes algoritmos procuram resolver problemas de agrupamento de objectos, respeitando certas regras. Encontram aplicaes prticas na elaborao de programas de tarefas (calendrios de operaes, de horrios, de exames...), de redes telefnicas xas ou mveis, de redes de comunicao Internet, de transmisses seguras pela Web...

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Colorao de grafos - Algoritmos - Algoritmos genticos

4.Ligar-se

Quatro cores chegam!

Que reter?O teorema das 4 coresA teoria dos grafos permitiu modelar este problema e reduzir o nmero de casos a estudar. Mas foi graas ao computador que se puderam analisar todas as situaes e mostrar que 4 cores bastam. possvel encontrar um algoritmo para colorir automaticamente com 6 cores. Mas o problema ainda no foi resolvido com 4 cores.Trata-se dum problema complexo: o tempo de resoluo por algoritmos cresce de maneira exponencial em funo do nmero de pases.Algoritmos no deterministas (como os algoritmos genticos) permitem uma resoluo mais rpida.

58

636362626161606059

54


Faa voc mesmoMATERIAL: 2 mapas, 1 lpis

O caixeiro viajanteUm viajante quer visitar estas dez cidades, perdendo o menor tempo possvel em transportes. Deve partir duma cidade, e voltar l, passando uma s vez por todas as outras. Ajude-o a fazer a sua viagem.

Faa voc mesmoMATERIAL: Modelos de desenhos, Poliedros para fabricar, 1 lpis, 1 o

A volta ao mundoEscolha uma gura ou um poliedro e tente encontrar um caminho que passe uma vez, e uma s, por cada um dos vrtices.

Que reter?Encontrar um caminho hamiltoniano, encontrar um caminho que passe uma s vez por cada vrtice. Este tipo de problemas ainda no tem soluo geral. um problema complexo.Hamilton mostrou que h solues para os vinte vrtices dum dodecaedro regular (feito de 12 pentgonos). Passa-se o mesmo com o outro dodecaedro (feito de 12 losangos)?

4.Ligar-se


Que reter?As distncias podem ser medidas em tempo, em custo de percurso, em despesas de electricidade ou de gua...Este tipo de problemas, que tem um enunciado muito simples, tem solues tanto mais custosas de calcular quanto maior for o nmero de cidades.Se, com 10 cidades, so necessrias 60 etapas de clculo, realizadas num microssegundo por um computador, com 100 cidades, seriam necessrias 260 etapas de clculo (2 multiplicado por 2 sessenta vezes) e centenas de anos de computador.Quanto mais complexo for um algoritmo, mais tempo de mquina necessita.

ATHENAS

ROMA

BERLIMVARSVIA

OSLO

BRUXELAS

PARIS

LONDRES

LISBOAMADRID

Atenas

3 Berlim

4 1 Bruxelas

5 4 3 Lisboa

4 1 1 3 Londres

4 3 2 1 2 Madrid

4 1 2 5 2 4 Oslo

3 2 1 2 1 2 2 Paris

1 2 2 4 2 3 3 2 Roma

3 2 2 5 2 4 2 3 2 Varsvia

1 lpis

64

66636362 665

55


Faa voc mesmoMATERIAL: Um tabuleiro de xadrez, peas para recortar, 1 tesoura

Cheque s damas? Tente colocar oito rainhas num tabuleiro de xadrez sem que nenhuma delas possa tomar outra.

Tente deslocar um rei de casa em casa de modo a percorrer uma s vez todas as casas (sem fazer diagonais).

Tente deslocar um cavalo num tabuleiro de xadrez passando em todas as casas uma nica vez.

Faa voc mesmoMATERIAL: 1 lpis

Do rato mulaPasse da palavra RATO palavra MULA, alterando s uma letra de cada vez, e faa-o o mais rapidamente possvel! E de DEZ a MIL?

Onde se emprega a matemticaNumerosas investigaes so feitas por matemticos, informticos, geneticistas com vista a encontrar algoritmos e cazes que possam resolver estes problemas complexos... como o estudo da sequencia-o das 30.000 a 100.000 bases (A-T C-G) duma molcula de ADN.

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Grafos - Caminho hamiltoniano - Caixeiro viajante - Optimizao

4.Ligar-se


686867

56


57


58


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1/2

62


2/2

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ATHENAS

ROMA

BERLIMVARSVIA

OSLO

BRUXELAS

PARIS

LONDRES

LISBOAMADRID

Atenas

3 Berlim

4 1 Bruxelas

5 4 3 Lisboa

4 1 1 3 Londres

4 3 2 1 2 Madrid

4 1 2 5 2 4 Oslo

3 2 1 2 1 2 2 Paris

1 2 2 4 2 3 3 2 Roma

3 2 2 5 2 4 2 3 2 Varsvia

1 lpis

ATHENAS

ROMA

BERLIMVARSVIA

OSLO

BRUXELAS

PARIS

LONDRES

LISBOAMADRID

Atenas

3 Berlim

4 1 Bruxelas

5 4 3 Lisboa

4 1 1 3 Londres

4 3 2 1 2 Madrid

4 1 2 5 2 4 Oslo

3 2 1 2 1 2 2 Paris

1 2 2 4 2 3 3 2 Roma

3 2 2 5 2 4 2 3 2 Varsvia

1 lpis

64


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66


1

2

3

4

5

6

7

8

a b c d e f g h

hgfedcba

8

7

6

5

4

3

2

1

67


r rqo o o oo o o o

o o o oo o o o

h bkb h

ohb k

oooooooo

ooooooo

bh q rr

qqqq

q q q q

68


8.Optimizar

Com a cabea e as mos

Nmeros primos

Imagens digitais

2

5.Calcular

69


Faa voc mesmoMATERIAL: Os dez dedos das duas mos!!!

Conte com os dedos!

9X1... 9X2... 9X3... As duas mos abertas em frente de si, contam-se os dedos at 4, come-ando na mo esquerda, e baixa-se o 4o dedo.

L-se: 3 dedos levantados esquerda para as dezenas e 6 direita para as unidades, isto , 36

dois nmeros entre 5 e 10Conta-se at 6 com a mo esquerda. 1 dedo ca levantado.Conta-se at 8 com a mo direita. 3 dedos cam levantados.

Resultado: 3+1 que faz 4 dezenas e 4x2 para os dedos que caram baixados, que faz 8 unidades: 48

dois nmeros entre 10 e 15Conta-se at 13 com a mo esquerda. 3 dedos cam levantados.Conta-se at 14 com a mo direita. 4 dedos cam levantados.

Resultado: 3+4 que faz 7 dezenas e 3x4 para as unidades: isto , 100+70+12=182

dois nmeros entre 15 e 20Conta-se at 17 com a mo esquerda. 2 dedos cam levantados.Conta-se at 19 com a mo direita. 4 dedos cam levantados.Vejamos: 2+4 faz 6 quinzenas e 2x4 para as unidades, isto , 90+8=98

Resultado: 15x15 + 98 = 225 + 98 = 323

Que reter?Aprender a calcular, comear por aprender as tabuadas da adio e da multiplicao at 10. Mas basta aprend-las at 5 e, depois, saber contar com os dedos!

Assim, para (5+a)x(5+b) :

Para as dezenas, quando somo os dedos levantados, calculo 10x(a+b).

Para as unidades, quando multiplico os dedos baixados,calculo (5-a)x(5-b)=25 5(a+b)+ab.Verique que se obteve (5+a)x(5+b).

Verique tambm para as outras multiplicaes.

Para utilizar estas tcnicas, basta conhecer os quadrados de 10, 15... Tente esta tcnica com os nmeros entre 20 e 25...

5.Calcular


6 X 8 =

9 X 4 =

17 X 19 =

13 X 14 =

70


Faa voc mesmoMATERIAL: Papel e lpis ou ardsia, giz e apagador

Clculo mental Clculo rpidoAdies, subtracesMande fazer - de cabea adies e subtraces de nmeros inteiros de 2 algarismos, de 3 algarismos..., escrevendo os dois nmeros, enunciando-os ou escrevendo um e enunciando o outro.Mande descrever e analisar, pelos alunos, as diferentes tcnicas de clculo que utilizaram.

Quem somos? A nossa soma 25, a nossa diferena 1. Somos trs nmeros consecutivos e a nossa soma 48. A soma dos meus dois algarismos 12 e o seu produto 14.

O algoritmo de Kaprekar (matemtico indiano 1949)Considere um nmero inteiro, 5294 por exemplo, e calcule como se segue:

Mande efectuar estes clculos com outros nmeros e pea para formular hipteses sobre os diferentes casos possveis.

Multiplicaes, divises Em primeiro lugar, mande aprender de cor os quadrados de 11, 12, 13, 15, 20, 25. Mande fazer multiplicaes e divises por 5, por 9, por 11, por 12, 13, 15, 19, 25, 50, 100. Calcule 46x96 e 64x69. Estranho, no ? Encontre outros. Calcule 23x9 e 78x9. Diz-se que 23 e 78 so associados. Encontre outros!

Multiplicaes surpreendentesCalcule, continue e encontre outros

1 x 8 + 1 = ... 9 x 9 + 2 = ...12 x 8 + 2 = ... 98 x 9 + 6 = ...

= ...? = ...?1 x 9 + 2 = ... 1 x 1 = ...

12 x 9 + 3 = ... 11 x 11 = ...

= ...? = ...?

A conjectura de Siracusa Considere um nmero inteiro N e calcule como se segue:

Se N par, divida-o por 2. Se mpar, multiplique-o por 3 e some 1.

Recomece este clculo com o resultado....Por exemplo: 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1 -> 4 -> 2 -> 1...

Mande efectuar estes clculos com outros nmeros e pea para formular hipteses sobre os diferentes comportamentos possveis destas sequncias. (Fala-se de altitude para o maior nmero atingido pela sequncia, de durao de voo para o comprimento da sequncia antes que ela atinja um valor abaixo do nmero de partida...).Este algoritmo, criado por Collatz e Hasse (matemticos alemes 1932) deu origem a uma conjectura, dita de Siracusa, ainda no demonstrada..

5.Calcular


38+528+18128+58289+135...

27-1866-19151-28197-19

K(5294) = 9542 2459 = 7083K(7083) = 8730 378 = 8352K(8352) = 8532 2358 = 6174E K(6174) = !!!

71


Faa voc mesmoMATERIAL: Papel e lpis

Clculos e algoritmosDividir para multiplicar 57 x 86 = ?

Para saber maisCom os computadores, para no ter de colocar linhas de produtos a adicionar e evitar o problema das retenes ... (a reter!) so utilizadas outras tcnicas de clculo rpidas. o domnio da algoritmia. o caso do algoritmo do russo Anatolii Karatsuba (1962):

Calculemos 1234 x 5678.Corta-se cada nmero em pacotes de 2 algarismos para obter:

Bastou fazer 3 multiplicaes de nmeros 2 vezes mais pequenos e algumas adies a mais, mas muito simples. Na base deste algoritmo, encontram-se as seguintes relaes algbricas:

5.Calcular


A multiplicao per gelosia

57

28

14

7

3

1

86

172

344

688

1376

2752

4902

1414 344344

2828 172172

x

=

8 6

7

5

5

4

6 2

4

0 0

3

2

0

4 9

Ou ainda, prximo da tcnica clssica:

A multiplicao russa

5 7

x 8 6

30 42

+ 40 56

= 40 86 42

= 4 9 0 2

a2 2x + [(a+b)2 - a2 - b2] x + b2

acx2 + [(a+b)(c+d) - ac - bd] x + bd(a+b)2 - (a-b)2

1234 x 5678 = (12x102+34) x (56x102+78) = 12x56x104+[(12+34)x(56+78) -12x56 - 34x78] x 102 + 34x78= 672x104+[46x134 - 672 - 2652] x 102 + 2652= 672x104+[6164 - 672 - 2652] x 102 + 2652= 6720000 + 284000 + 2652= 7006652

(ax + b)2 = (ax + b)(cx+d) =

et : 4ab =

a2 2x + [(a+b)2 - a2 - b2] x + b2

acx2 + [(a+b)(c+d) - ac - bd] x + bd(a+b)2 - (a-b)2

1234 x 5678 = (12x102+34) x (56x102+78) = 12x56x104+[(12+34)x(56+78) -12x56 - 34x78] x 102 + 34x78= 672x104+[46x134 - 672 - 2652] x 102 + 2652= 672x104+[6164 - 672 - 2652] x 102 + 2652= 6720000 + 284000 + 2652= 7006652

(ax + b)2 = (ax + b)(cx+d) =

et : 4ab =

72


Faa voc mesmoMATERIAL: Papel e lpis

Clculo rpido e proporcionalidadeComo calcular rapidamente:

Em 6 h uma climatizao consome 7 Kw. Quanto consome em 18 h?Em 9 h uma climatizao consome 18 Kw. Quanto consome em 108 h?Em 32 h uma climatizao consome 27 Kw. Quanto consome em 8 h?Em 21 h uma climatizao consome 17 Kw. Quanto consome em 90 h?

A dupla proporcionalidadeComplete quadros do tipo:

Faa voc mesmoMATERIAL: 6 peas do puzzle, 2 por grupo de alunos, papel quadriculado, rgua, lpis, tesoura

Clculo & geometriaPuzzles para aumentarCom estas 6 peas reconstitua um quadrado.Depois construa o mesmo puzzle em maior, respeitando a regra seguinte: os trapzios cuja altura mede 4 cm devem ser aumentados para ter uma altura de7 cm.Assim que acabar, deve poder reconstituir um quadrado grande com as 6 peas aumentadas.

Para ir mais longe

Tales e a proporcionalidade

5.Calcular


Clculo da readum rectngulo(em cm2)

Clculo da readum tringulo(em cm2)

Consumo debatatas numa escola(em kg)

N

M

ERO

DE

ALU

NO

S ES

AB

NMERO DE DIAS LARGURA ALTURA1 20 40 100

1 0,1 25 0,5 2010 1 40

30 15020 2 80

1 4 5 6 10 121 1 122 2 10 203

165 5 30

1 3 5 8 151 0,5 1,5 2,5 42,5 3,753

5 7,5 12,5 37,5CO

MPR

IMEN

TO

O pai e os meus dois irmos

O meu irmozinho e eu

A minha mee a minha irm

O meu paie a minha irm

1,68

m

Fotogra as de frias

Qual a minha altura?

797978

73


Que reter?A proporcionalidade um eixo essencial da aprendizagem da matemtica e de outras cincias. tambm uma ferramenta muito presente na vida quotidiana. Permite introduzir a multiplicao e a diviso na escola. sobretudo essencial para compreender as relaes entre grandezas munidas duma unidade de medida, em fsica e nas outras cincias.

As propriedades utilizadas so:f(x + y) = f(x) + f(y)

f(a.x) = a.f(x)f(a.x) + f(b.y) = a.f(x) + b.f(y)

Duas funes matemticas entram em aco nestes clculos:

A funo escalar: A funo das dimenses:

6 (h) 7 (Kw) 9 (h) 18 (Kw) 18 (h) ?? (Kw) 108 (h) ?? (Kw)

Faa voc mesmoMATERIAL: Papel, lpis

Clculos aproximadosOrdem de grandezaMande estimar a ordem de grandeza de clculos, veri cados de seguida, com ou sem calculadora.Assim, o resultado de cada um destes clculos est compreendido entre 0 e 1, entre 0 e 0,1, entre 0 e 0,01, entre 1 e 2, entre 1 e 10 ?

12528 =281275 =357176 =

41,84 2,25 =1/(1+2) =

Faa voc mesmoMATERIAL: Papel, lpis ou calculadora ou computador

Enganado pelo meu computador!Escolha um nmero compreendido entre 0 e 1. Multiplique-o por 2.

Se o resultado for inferior a 1, multiplique-o de novo por 2. Caso contrrio, subtrair 1 e multiplicar o resultado por 2. E recomece 60 vezes. Refaa os mesmos clculos com um nmero muito prximo.O que constata?

Escolha um nmero ainda mais prximo e recomece os clculos. Tente tambm com nmeros tais como 2-1, 3-1 ou 3 e nmeros decimais muito prximos.

Para contar, usamos os nmeros inteiros e os decimais. No mercado, vale mais saber fazer rapidamente um clculo mental, ou aproximado, mesmo quando se possui uma calculadora.O computador s utiliza nmeros decimais com apenas algumas dezenas de casas decimais. As leis matemticas no podem ser respeitadas o que conduz frequentemente a erros.

Onde se emprega a matemticaCertas tcnicas de clculo podem ser utilizadas na vida quotidiana. Outras so investigadas pelos matemticos e pelos informticos para permitir que os computadores calculem sempre mais depressa e vo mais longe ou veri quem muito rapidamente a exactido dos cartes bancrios.

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Clculo - Clculo rpido - Clculo mental - Clculo aproximado - Ordem de grandeza Algoritmos de clculo

5.Calcular


0,4464 ou 4,4643 ou 44,6428 ou ???0,0022 ou 0,0220 ou 0,2196 ou ???0,203 ou 2,028 ou 20,284 ou ???9,414 ou 94,14 ou 941,9 ou ??? 0,414 ou 2,142 ou 4,142 ou 21,421 ou ???

Exemplo0,30,6 0,2 0,4 0,8 0,6 0,2 0,4 0,8...

0,3050,610,220,440,880,760,520,040,08...

74


Faa voc mesmoMATERIAL: 3 tabelas com os nmeros inteiros sobre 6 colunas, 20, depois 30 colunaslpis, borracha

Na pista dos nmeros primos! primo todo o nmero inteiro, diferente de 1, que s divisvel por 1 e por ele prprio.Para cada tabela:

risque 1, depois ponha em negrito o primeiro nmero no riscado, isto 2,

risque todos os mltiplos de 2 (depois de 2), ponha em negrito o nmero seguinte no riscado, isto , 3 que primo, risque todos os mltiplos de 3, e recomece at noj no haver nmeros a riscar.

Observe, seguindo a tabela utilizada, as propriedades desta tcnica.A partir de que nmero primo parou? Que pode concluir?

Esta tcnica chamada crivo de Eratstenes - permite evidenciar todos os nmeros primos da lista.

Faa voc mesmoMATERIAL: 3 dados

Jogue ao 421Lance os 3 dados.Escreva os 3 algarismos no quadro.Ganha aquele que, com estes trs algarismos, construir o maior nmero primo.Cada aluno pode dizer porque tal ou tal nmero proposto no primo.

Que reter?Critrios de divisibilidade por...

um nmero inteiro divisvel por 2 se o ltimo algarismo mltiplo de 2, divisvel por 4 se... por 8 se ... divisvel por 3 se ... (o mesmo por 9). Porqu? divisvel por 5 se ... divisvel por 11 se ... e por 7? e por 13?

Faa voc mesmoMATERIAL: Uma lista de nmeros primos

A grande famlia dos nmeros primosNa famlia dos nmeros primos: encontre gmeos (isto , nmeros mpares consecutivos) como 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13... e triplos?Conjectura no demonstrada: h uma in nidade!

Encontre primos primos (que diferem de 4). Deve haver tantos quantos os nmeros gmeos!

Encontre primos sexy (que diferem de... 6)!

Veri que se o produto dos primeiros nmeros primos +1 primo. Isto permite provar que h um nmero in nito de nmeros primos. Mas quanto maiores mais raros so.

Veri que que todo o nmero par (inferior a 1OO, por exemplo) se pode escrever como soma de 2 nmeros primos ( a conjectura de Goldbach que far ganhar uma grande quantia de dinheiro a quem a demonstrar!).

5.Calcular

Nmeros primos

2818180

75



La grande famille des nombres entiers Escreva 10101, 1001, 101, 11, como produtos de nmeros primos. Faa o mesmo com 304, 305, 403, 404, 504, 604... Todo o nmero inteiro se decompe, de maneira nica, num produto de nmeros primos.

Fora da famlia dos nmeros primos, encontre nmeros perfeitos (isto , iguais soma dos seus divisores, como 6 = 3 + 2 + 1). Note que 1/6 + 1/3 + 12 = 1 e que isto se veri ca para os outros nmeros perfeitos encontrados).trouvs.

Encontre nmeros inteiros produto de dois nmeros primos diferentes. Ganha quem encontrar o maior!

Os cdigos secretos utilizados actualmente so baseados em nmeros que so o produto de dois nmeros primos muito grandes. Encontr-los, ultrapassa o tempo de clculo dos computadores mais potentes.

Encontre o MDC e o MMC (mximo divisor comum e menor mltiplo comum) de 28 e 70, de 330 e 900, de 276 e 483, .... Veri que, nestes exemplos, que MDC(a,b) x MMC(a,b) = ab.

Onde se emprega a matemticaOs trabalhos de investigao sobre os nmeros primos e suas relaes com a informtica so numerosos e tambm so numerosas as questes que continuam por resolver.A segurana das redes informticas e de comunicaes est estreitamente ligada aos nmeros primos (criptogra a, cdigos correctores de erros, algoritmia, etc.).

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Nmeros primos - Critrios de divisibilidade - Eratstenes - Euclides - Criptogra a Cdigos secretos com chave pblica

5.Calcular

Nmeros primos276



1 + 1 = 10 !!!Na base 2, os nmeros inteiros escrevem-se utilizando apenas 0 e 1: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110...Calcule na base 2, pondo a adio: 101 + 11, 101 + 101, 111 + 111...Depois: 101 x 11, 101 x 101, 111 x 111

Faa voc mesmoMATERIAL: 3 imagens digitalizadas

72 dpi ou 300 dpi?Estas 3 imagens tm as mesmas dimenses: 7 x 4,35 cm.

Quantos quadrados unidade (diz-se pxeis) tm (largura x altura)? o tamanho da imagem em pxeis. A imagem 1 tem uma resoluo de 75 dpi (dot per inch ou ponto por polegada), a 2: 150 dpi e a 3: 300 dpi. Como varia o nmero de quadrados em funo da resoluo?

O tamanho das fotogra asComo varia o tamanho das imagens? Complete a tabela.Uma mesma imagem digitalizada em 75 dpi, aqui apresentada em 75, 150 e 300 dpi. A primeira resoluo corresponde dos ecrs. A segunda das impressoras usuais a jacto de tinta. A terceira, 4 vezes mais na, utilizada na impresso pro ssional.

Onde se emprega a matemticaFotogra a, CD, DVD, Internet, telemvel, TV alta de nio... utilizam as imagens digitais. Para guardar, transmitir, analisar, tratar, comprimir, corrigir, modi car estas imagens, os matemticos tornaram-se indispensveis.

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Pxeis - Compresso de imagens - Impresso digitalizada

5.Calcular

Imagens digitais

Que reter?Depois de ter contado com calhaus (na origem da palavra clculo), os homens inventaram o sistema de numerao em base 10. Assim, dizer que h 549 carneiros signi ca que h, de facto, 5x102 + 4x10 + 9. Este modo utiliza dez smbolos, os algarismos e tem em conta a posio de cada algarismo (da direita para a esquerda).Graas lgica matemtica, o sistema de numerao de base 2 permite actualmente representar situaes em que h apenas dois estados: verdadeiro ou falso, sim ou no, a corrente passa ou no passa, man est magnetizado ou no est, a luz muito re ectida ou no muito...O digital, que invadiu o nosso quotidiano, consegue reproduzir a realidade com uma qualidade sempre crescente. Compensa o aspecto elementar do sistema binrio, com quantidade de informao elevada que pode tratar rapidamente.

Que reter?Uma imagem digital colorida constituda de quadrados unidade, os pxeis, e cada quadrado uma mistura de 3 ou 4 cores: vermelho, verde, azul (RGB) para os ecrs e ciano, magenta, amarelo, negro (CMYB) para a impresso.Para a mesma superfcie, quantos mais pxeis houver,maior a de nio.

imagem 1 imagem 2 imagem 3

Dimenso da imagem Resoluo em dpi Tamanho emK bytesem

polegadasemcm

3,74x2,39 8,74x5,39 75 125 Ko100 ?150 ?300 ?

1,90x1,18 4,45x2,75 75 ?100 ?150 125 Ko300 ?

0,94x0,59 2,20x1,39 75 ?100 ?150 ?300 125 Ko

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8.Optimizar

Curvas & Velocidade

Curvas & Volumes

Curvas suaves

6.Construir

82


Faa voc mesmoMATERIAL: 1 desenhos de 5 circuitos de corrida, 1 gr co de velocidade

Em que circuito estamos?Este o gr co da velocidade dum automvel de corrida, em regime mximo, na terceira volta do circuito.Perguntas: Em que circuito pode estar? Em que sentido corre? Onde est a linha de partida?

Faa voc mesmoMATERIAL: 1 papel quadriculado, 1 lpis

Sabe ler um gr co? Cada um imagina um circuito automvel, desenha-o, construindo o gr co das velocidades

numa volta do circuito, passa-o ao vizinho, que j fez o mesmo.Questo: a partir do gr co fornecido pelo seu vizinho, encontre o circuito em que ele pensou. Ganha quem acertar primeiro.

Traduza, em forma de gr co a histria seguinte: Um caminhante sobe uma encosta de 4 km a 2 km/h, pra uma hora e volta a descer, pelo mesmo caminho, a 4 km/h.

Dois ciclistas fazem uma corrida de ida e volta. O primeiro percorre a ida a 60 km/h e a volta a 40 km/h. O segundo percorre a ida e a volta a 50 km/h. Qual o que chega primeiro?

Para ir mais longe...Menos devagar Um automvel anda a 100 km/h de mdia, em vez de 90 km/h.Quanto tempo ganha num percurso de 90 km? Um ciclomotor anda velocidade de 50 km/h em vez de 45 km/h.Quanto tempo ganha em 45 km? E em 90 km?

Trave a tempo!Entre o momento em que um condutor v um obstculo e aquele em que comea a travar, h um tempo de reaco estimado entre 1 e 2 segundos.A distncia de travagem, que depende da velocidade e do estado do veculo, estimada, com o tempo seco, em 0,08v2, sendo v a velocidade do veculo expressa em metros/segundo.

Calcule a distncia que percorre um automvel para parar, se andar a 90 e a 100 km/h. Calcule tambm a distncia percorrida pelo ciclomotor

a 45 e 50 km/h.

E em tempo de chuva???A distncia de travagem depende tambm do estado da estrada. Em estrada molhada, a distncia de travagem aumenta 40%.

Volte a calcular as distncias de travagem precedentes. Construa uma tabela, depois um gr co, das distncias de

paragem em funo da velocidade e do estado da estrada.

Onde se emprega a matemticaO clculo diferencial desenvolveu-se nos sculos XVII e XVIII. Permite descrever a evoluo do declive da tangente a uma curva contnua:

Se a funo crescente representada por uma curva, as tangentes curva em cada ponto tm um declive positivo. Si a funo decrescente, o declive das tangentes negativo.

Esta propriedade utilizada por todos os que estudam fenmenos evolutivos, dos matemticos aos fsicos, dos engenheiros aos bilogos, dos demgrafos aos economistas...

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Funo - Gr co - Derivada - Tangente - Velocidade - Acelerao

6.Construir

Curvas & Velocidade

Que reter?Velocidade e aceleraoA velocidade uma medida fsica que permite conhecer e descrever a evoluo duma quantidade (frequentemente uma distncia) em funo do tempo. Exprime-se em metros por segundo, em km/h, em ns na marinha e em mach na aviao.A acelerao a variao da velocidade dum objecto em funo do tempo.

Diz-se que a funo velocidade/tempo a derivada da funo distncia/tempo. Do mesmo modo, a funo acelerao a derivada da funo velocidade.Descreve a evoluo da tangente curva velocidade/tempo em cada ponto.

0 0,2 3,02,82,62,42,22,01,81,61,41,21,00,80,60,4

20

180

160

140

120

100

80

60

40

Km/h

Km

200

150

100

50

Distance darrt (m)

Vitesse (km/h)

Freinage

Raction

905030

88

89

83


Faa voc mesmoMATERIAL: 1 desenho de 6 recipientes, 1 desenho com os 6 gr cos

O volume do tonel Estes seis recipientes tm a mesma altura (90 cm) e o mesmo volume (90 l). O gr co indica o nvel de preenchimento dos recipientes, a dbito constante, em funo do tempo. Qual a curva de preenchimento de cada recipiente? Quais podem ser as dimenses de cada recipiente?

Faa voc mesmoMATERIAL: 1 papel quadriculado, 1 lpis

Sabe ler um gr co? Cada um imagina um recipiente (de 90 cm de altura e de 90 l) e desenha-o. Constri o gr co de preenchimento, passa-o ao vizinho que j fez o mesmo. A partir do gr co fornecido pelo seu vizinho, encontre o recipiente em que ele pensou.

Ganha quem acertar primeiro.

Qual o gr co de preenchimento deste recipiente?

Faa voc mesmoMATERIAL: 1 desenho dos 6 recipientes, 1 desenho de 6 sondas graduadas

A cada um sua sonda Cada vara a sonda, graduada de 10 em 10 litros, de um destes seis recipientes. Associe cada sonda ao seu recipiente.

Gradue de 10 em 10 litros, a sonda dum barril de 160 litros, deitado, sendo que o orifcio de preenchimento se encontra numa tampa ou no cimo do tonel.

Esvazie os reservatrios Retome os 6 recipientes e os seus gr cos de preenchimento.

Desenhe agora o gr co de esvaziamento de cada um (supondo que o dbito constante e que a rolha de esvaziamento est no fundo).

6.Construir

Curvas & Volumes

litros

cm

90 cm

160 litros90 cm 90 l

Qual o gr co de preenchimento deste recipiente?

919190

89

92

84


Que reter?Para determinar a curva de preenchimento dum recipiente, em cada instante, necessrio estimar (ou calcular) a evoluo da rea da seco do recipiente em funo da altura h. Isto consiste em utilizar directamente, ou aproximadamente, os clculos de volume em funo da altura. o domnio do clculo integral, introduzido por Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716).Mas muitas frmulas de volumes (e de reas) so conhecidas desde Arquimedes (287-212 antes de Cristo).

Algumas frmulasVolume dos recipientes em funo da altura

(altura em dm, volume em cm3) Cilindro: V(h) = Base x h = R2 x h Pirmide sobre a base: V(h) = B x h/3 Cone sobre o vrtice: V(h) = V(H) x (h/H)3

Esfera: V(h) = h2 (R h/3)

Onde se emprega a matemticaA noo de relao entre duas (ou vrias) variveis exprime-se em matemtica atravs das funes. As suas representaes grcas fazem actualmente parte da vida quotidiana (curva de temperatura, cotao da bolsa...) e so ferramentas utilizadas em numerosos domnios tcnicos.O clculo integral, que permite calcular reas e volumes, desenvolveu-se ao mesmo tempo que o clculo diferencial, no sculo XVII.Os problemas de medida de volume e de sondas foram utilizados, desde sempre, pelos comerciantes e pelos engenheiros.

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Funo - Grco - Clculo integral - Volumes - Arquimedes - Barril

6.Construir

Curvas & Volumes85


Faa voc mesmoMATERIAL: 1 folha, 1 lpis, 1 rgua, 1 tubo

Roleta e ciclide Fixe o lpis no interior do tubo Trace a curva obtida fazendo girar o tubo contra

a rgua, sem deslizar.

Esta curva chama-se uma ciclide. a curva descrita por um ponto num pneu de bicicleta que roda numa estrada.

Faa voc mesmoMATERIAL: 1 lpis, 1 folha discos de carto rgido ou em PVC... 1 disco oco

Curvas em caracol Fixe o lpis ao bordo dum disco. Trace curvas, fazendo rodar este disco no interior ou

no exterior doutro disco.

Estas curvas chamam-se hipociclides ou epiciclides.

Tente construir uma destas curvas exteriorescom 1, 2, 3... ramos.

Tente construir uma destas curvas interiorescom 2, 3 ou 4 ramos.

Estas curvas so sempre fechadas?

Faa voc mesmoMATERIAL: 3 tobogs de madeira ou PVC em U ou ... 3 esferas idnticas em ao de preferncia

O caminho mais curto?Ponha os tobogs no bordo duma mesa. Lance as 3 esferas ao mesmo tempo.

Qual ser a esfera que chegar em primeiro lugar ao fundo dos tobogs? Qual ser a que vai cair mais longe?

Moral da histria: A linha recta nem sempre o caminho mais curto!

6.Construir

Curvas suaves

Que reter?O nome ciclide foi proposto por Galileu (1667-1748).Esta curva possui vrias propriedades originais. Duas esferas que partem a alturas diferentes, encontram-se sempre no fundo da ciclide. A rea sob um ramo da ciclide igual a 3 vezes a rea do disco que a descreve.

O melhor tobog? o que permite a uma esfera chegar mais rapidamente ao fundo do tobog.

Este problema foi proposto, em forma de desa o, por Jean Bernoulli em 1696. A resposta foi dada por ele mesmo, mas tambm pelo seu irmo Jacques, por G. de lHospital, Leibniz e Newton. Este tipo de problemas est na origem do clculo das variaes.A resposta uma ciclide, mais particularmente uma braquistcrona.

??? ??

??? ???

?? ??

949493

86


Para ir mais longe...Problemas choqueUm problema choque um problema cuja resposta vai contra o raciocnio lgico natural. Eis trs exemplos.

2 moedas idnticas. Uma delas d uma volta completa volta da outra, que est xa. Quantas voltas deu sobre ela prpria? Porqu?

Uma garrafa est deitada numa mesa e d uma volta sobre si prpria, com o gargalo apoiado num pedao de madeira. Qual a distncia percorrida por um ponto da garrafa?E por um ponto do gargalo? Porqu? Uma prancha est pousada sobre dois cilindros idnticos. Qual a distncia percorrida pela prancha quando os cilindros do uma volta?

Onde se emprega a matemticaEstas curvas so conhecidas desde a Antiguidade. Foram utilizadas por Aristteles e Ptolomeu para descrever os movimentos dos planetas. Os astrnomos utilizam-nas ainda hoje.Para obter medidas mais precisas do tempo em navegao e em astronomia, Huygens inventou em 1659 um relgio de pndulo que oscila entre dois arcos de ciclide. o pndulo iscrono.Em mecnica, as formas de ciclide so utilizadas em engrenagens e em redutores de velocidade.Uma pista de skate em forme de ciclide teria mais vantagens que as pistas actuais!

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Bernoulli - Braquistcrona - Tautcrona - Ciclide - Caustica - Relgio de Huygens

6.Construir

Curvas suaves87


0 0,2 3,02,82,62,42,22,01,81,61,41,21,00,80,60,4

20

180

160

140

120

100

80

60

40

Km/h

Km

0 0,2 3,02,82,62,42,22,01,81,61,41,21,00,80,60,4

20

180

160

140

120

100

80

60

40

Km/h

Km

0 0,2 3,02,82,62,42,22,01,81,61,41,21,00,80,60,4

20

180

160

140

120

100

80

60

40

Km/h

Km

88


89


90


91


92


93


94


8.Optimizar

2 bolas vermelhas?

Bingo!

O vencedor ?

7.Estimar - Prever

95


Faa voc mesmoMATERIAL: 2 garrafas pequenas com 4 bolas

2 bolas da mesma cor ou2 bolas de cores diferentes?Pegue num recipiente, volte-o e faa aparecer duas bolas no gargalo.Tem mais hipteses de obter duas bolas da mesma cor ou duas bolas de cores diferentes?Como veri car a sua resposta?E se cada garrafa contivesse 1000 vezes mais bolas de cada cor?

Que reter?Prever ou estimarNum dos recipientes, h tantas bolas duma cor como da outra. Poder-se-ia pensar que h tantas hipteses de obter a mesma cor como cores diferentes. Mas no!

Para o veri car, pode: voltar a fazer a experincia um grande nmero de vezes. o mtodo estatstico. calcular o nmero de maneiras de reunir 2 bolas de entre 4. o mtodo probabilstico.

No primeiro caso, tem uma estimativa estatstica do resultado. Quantas mais experincias zer, tanto mais se aproximar do resultado exacto.No segundo caso, tem uma modelao do problema e um resultado terico.

Faa voc mesmoMATERIAL: 1 urna com 750 bolas azuis e 250 vermelhas (100 bolas aparecem) ou1 saco com 750 azuis e 250 vermelhas, 1 recipiente: 100 bolas

Sondagens - Sondagens Extraia 100 bolas. Quantas bolas obteve de cada cor? Recomece a experincia vrias vezes. Em quanto estima o nmero de bolas de cada cor na urna?

Que reter?Si interrogarmos uma amostra de 100 pessoas, escolhidas ao acaso num grupo de 1000, obteremos informaes aproximadas. Do mesmo modo aqui, uma amostra de 100 bolas d informaes sobre o nmero de bolas de cada cor dentro da urna com uma certa preciso, um certo intervalo de variao (entre 21 e 29 bolas vermelhas). o domnio das sondagens.

Onde se emprega a matemticaHoje em dia, as probabilidades e a estatstica so utilizadas na gesto de sistemas complexos: controlo de foguetes, las de espera, margens de erro... mas tambm nos jogos a dinheiro, na economia, nos seguros, no clculo das reformas e dos planos de reforma, nos testes de qualidade, nos estudos de opinio...O clculo estatstico permite extrapolar informaes para uma populao inteira a partir duma amostra representativa. As sondagens, bem conduzidas, devem tambm informar sobre os limites das tcnicas utilizadas..

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Acaso - Jogos - Sondagem - Sorte

7.Estimar - Prever

2 bolas vermelhas?96


Faa voc mesmoMATERIAL: 1 prancha de Galton (cf plano), Esfera, pregos, tbua

O acaso calculvel?Escolha uma bola e faa-a descer suavemente.

Pode prever onde ela vai chegar? Onde ela tem mais hipteses de cair? Porqu?

Prever como se comporta cada bola impossvel. Pelo contrrio, o clculo das probabilidades permite prever como se distribui o conjunto das bolas chegada.

Que reter?A curva de Gauss

Porque que a forma desta curva to conhecida? Porque que ela fundamental em estatstica?Se classi carmos os habitantes duma cidade, ou dum pas, de acordo com uma caracterstica (altura, peso, QI, nvel de competncia...), quanto mais nos aproximarmos da mdia relativamente ao critrio considerado, mais indivduos encontramos. Quanto mais nos afastarmos, menos existem. Nas extremidades, no h quase ningum.

A representao gr ca desta realidade uma curva em forma de sino, chamada curva de Gauss (1777-1855). O carcter universal dessa curva foi evidenciado por Euler (1707-1783) e Laplace (1749-1827) que disse que a distribuio de Gauss a acumulao de numerosas pequenas contribuies independentes.

Faa voc mesmoMATERIAL: 1 prancha de Galton (cf plano), 7 valores sob as casas

Escolha a boa casa Aposte 1 uro, 1 dollar, 1... numa das casas. Se a bola cair na casa que escolheu, ganha 60, 15, 4, 3

vezes a sua aposta! Em algumas casas, o jogador tem mais hipteses de

ganhar. Quais? Calcule o nmero de caminhos que conduzem a cada casa. Que hipteses existem de a bola cair em cada casa?

Para conhecer a probabilidade de a bola cair numa casa, basta contar o nmero de caminhos que conduzem a ela! Reencontram-se os nmeros do tringulo de Pascal. Nem todas as casas lhe do as mesmas hipteses de ganhar! O proprietrio deste tipo de jogo quem ganha mais frequentemente?

Onde se emprega a matemticaAs probabilidades e a estatstica so ferramentas que permitem a anlise de dados e da informao. Encontramo-las no somente no domnio das tecnologias da informao (tratamento estatstico do sinal e das imagens), mas tambm na gesto de riscos (seguros), no controlo de qualidade, na economia, na sade, na engenharia nanceira ( nanas quantitativas), no aconselhamento estratgico (anlises de mercados, estudos de exequibilidade)...Pode-se tambm utilizar uma curva de Gauss para modelar a gesto das vendas e dos stocks numa empresa ou num estabelecimento comercial.

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Curva de Gauss - Estatstica - Probabilidade - Distribuio - Esperana de ganho

7.Estimar - Prever

Bingo!

34 4 15 6060 15

100

100

97


Faa voc mesmoMATERIAL: 2 jogadores

Folha, pedra, tesoura...Ao mesmo tempo, os dois jogadores mostram a sua escolha com uma mo.A folha envolve a pedra que embota a tesoura que corta a folha! Como ganhar mais frequentemente neste jogo, tambm chamado de Chifoumi?Resposta: jogando ao acaso em todas as jogadas. Mas pode-se jogar ao acaso?

Variante : Junta-se um poo!

Faa voc mesmoMATERIAL: 2 jogadores depois 2 grupos de jogadores, 1 quadro, 1 giz

A corrida a 20O primeiro jogador diz 1 ou 2. Cada um, vez, acrescenta 1 ou 2 ao nmero do outro jogador.Os nmeros sucessivos so escritos no quadro.Ganha quem chegar primeiro a 20.

Primeira fase: Fazer jogar os alunos, um contra um. Segunda fase: Fazer jogar 2 grupos de alunos, dando um tempo de concertao entre cada jogada. Cada aluno do grupo joga vez. Terceira fase: Cada grupo enuncia os elementos da estratgia ganhadora. O outro grupo aceita ou refuta o enunciado. Ganha a equipa que tiver mais enunciados aceites.

Prolongamento: Fazer a corrida a 30. Fazer a corrida a 2010. Fazer a corrida a 20 ou 30, mas acrescentando 1, 2 ou 3.

Faa voc mesmoMATERIAL: 2 jogadores depois 2 grupos de jogadores, 1 quadro, 1 giz, 1 grelha

A barra de chocolateCada um, vez, designa uma casa e risca todas as casas, ainda no riscadas, que se situam imediatamente esquerda e abaixo da casa escolhida. Perde quem riscar a ltima casa em cima, direita. Podem-se fazer jogar os alunos como na corrida a 20.

Prolongamento: Mandar jogar com grelhas maiores ou menores.

Faa voc mesmoMATERIAL: 2 jogadores depois 2 grupos de jogadores, 1 quadro, 1 giz, 3 dados

Jogos, acaso e estratgiasCada um, vez, lana os dois dados. Ganha o que obtivera soma maior. Quais so os nmeros que tm mais hipteses de sair?

Prolongamento: Jogar com 3 dados.

7.Estimar - Prever

O vencedor ?

101

98


Faa voc mesmoMATERIAL: 1 jogador, 3 roletas ou 3 dados marcados

Feitos os vossos jogos! Escolha uma roleta, eu escolho a seguinte e sou eu que ganho mais vezes!

Porqu?Com efeito, cada roleta ganha mais frequentemente que a precedente..

Que reter?Estes jogos so exemplos simples da teoria dos jogos.Nos dois primeiros casos, o jogo de informao completa e tem m. H sempre um vencedor e um perdedor e, portanto, uma estratgia ganhadora. Aqui, ganha quem jogar primeiro (e jogar bem!). Mas no segundo jogo, a estratgia ganhadora no fcil de encontrar!O terceiro jogo participou no nascimento da teoria dos jogos no sculo XVII graas aos trabalhos de Blaise Pascal e do Cavaleiro de Mr. A teoria dos jogos foi desenvolvida no sculo XX por Von Neumann e Oskar Morgenstern.Os ltimos jogos mostram que o acaso pode, por vezes, ser controlado.Situaes anlogas ao jogo das roletas permitiram, em particular, a Condorcet (1743-1794) mostrar que em democracia, no h nenhum sistema de eleies melhor que os outros!

Onde se emprega a matemticaA teoria dos jogos, com o concurso das probabilidades e da estatstica, est muito presente hoje em dia em todas as situaes que fazem apelo estratgia, deciso, competio e cooperao.A teoria dos jogos encontra-se, claro, nos jogos, mas tambm nas lutas ou nos con itos polticos (nas cincias polticas), nas estratgias militares e, sobretudo, na economia, no comrcio e no marketing. tambm utilizada em informtica e em algoritmia.

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Teoria dos jogos - Estratgia - Von Neumann - Nash - Teoria da Informao

7.Estimar - Prever

O vencedor ?

6 8

1

3 5

7

2 4

9

99


100


101


8.Optimizar

Bolas de sabo

O caminho mais curto

A melhor forma

8.Optimizar

102


Faa voc mesmoMATERIAL: Arame ou palhinhas, 1 bacia de gua com sabo

A natureza preguiosa Construa um tetraedro, um cubo, um octaedro, uma hlice... Antes de os mergulhar na gua, imagine como se vo comportar as superfcies das pelculas

de sabo. Mergulhe-os e observe as superfcies das pelculas de sabo. Quantas faces existem volta das arestas? E arestas volta dos vrtices?

Faa voc mesmoMATERIAL: Arame, palhinhas, uma placa, de gua com sabo

Bola a bola Faa uma bola de sabo no ar. Que forma tem? Ponha uma bola de sabo na placa. Como que a bola se apoia na placa? Ponha uma bola grande e uma bola pequena na placa sem que se toquem. Introduza uma

palhinha entre as duas. O que que se passa? Sobre um arame em U, coloque um o no esticado e mergulhe tudo na gua com sabo. Puxe

um pouco o o. Que forma toma? No interior duma moldura quadrada de arame, de 15 cm de lado (aproximadamente), coloque

um o fechado, com de 25 cm (aproximadamente), ligado aos 4 cantos do quadrado por outro o. Mergulhe tudo na guae volte a tirar. Que forma vai tomar o o interior se o esburacar com um dedo seco?

Onde se emprega a matemticaEstas formas encontram-se na natureza e na arquitectura.Os problemas de superfcies minimais interessam a matemticos e fsicos h mais de trs sculos e tambm, h meio sculo, qumicos, bilogos, arquitectos...Favos de abelha, esqueletos, teias de aranha... a evoluo da natureza optimizou numerosas formas. Do mesmo modo, na indstria automvel, na aeronutica, na construo civil, na arquitectura das pontes... os engenheiros procuram solues ptimas para diminuir o peso, o congestionamento, o consumo de energia, o custo ambiental dos objectos que concebem.

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Bolas de sabo - Superfcies minimais - Tenso supercial

8.Optimizar

Bolas de sabo

Que reter?Matemtica das pelculas de saboUma bola de sabo esfrica, porqu?A rea constante, a circunferncia delimita a superfcie de permetro menor.A volume constante, a esfera tem a superfcie menor.Na natureza, os esforos tendem a ser os menores possveis.Estas formas correspondem a valores mnimos da energia potencial, que proporcional superfcie dos corpos.As molculas de sabo criam uma tenso supercial que minimiza as superfcies das pelculas de sabo.

O belga Ferdinand Plateau foi o primeiro a estudar estas formas na dcada de 1860.

Notou que: Se uma bola de sabo se apoia numa superfcie,ento -lhe perpendicular. Quando pelculas de sabo se encontram, elas fazem-no: 3 a 3 ao longo duma linha com ngulos iguais, de 120, 4 a 4 volta de um ponto, com ngulos constantes (10928...)

103



O caminho mais curtoQual o caminho mais curto entre A e B?

A

B

A

B

A

B

passando pelo rio? passando pelos dois rios?

Faa voc mesmoMATERIAL: Papel, lpis, 1 cubo - 1 cilindro - 1 cone - 1 pirmide - 1 sela de cavalo - 1 toro

O caminho mais curto sobre uma superfcieQual o caminho mais curto entre A e B?

A

A

A

A

AB

B

BB

B

B

A

A

A

A

A

AB

B

BB

B

B

A

A

A

A

A

AB

B

BB

B

B

A

A

A

A

A

AB

B

BB

B

B

A

A

A

A

A

AB

B

BB

B

B

A

A

A

A

A

AB

B

BB

B

B

A

Faa voc mesmoMATERIAL: 1 globo terrestre, 1 o ou 1 elstico

E sobre a Terra? Escolha dois pontos prximos do paralelo 30 ou 40:

Paris e Montral ou Luanda e So Paulo.... Qual o caminho mais curto para ir de uma cidade outra? Veri que com o o. A que corresponde esta linha sobre o globo?

Onde se emprega a matemticaNa Terra, os problemas de caminho mais curto interessam a todos os gestores de redes de uidos, electricidade, gs, petrleo, gua e tambm comunicaes terrestres. Podem ser resolvidos atravs da matemtica ou da algoritmia. superfcie da Terra, so usados, desde h muito, pelos marinheiros. Tambm o so, na actualidade, pelos aviadores, mesmo para os voos a longa distncia. No que respeita aos voos espaciais, estes problemas tornam-se mais complexos e fazem apelo atraco gravitacional dos planetas.

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Caminho mais curto - Mnimo - Curvatura - Gauss - Superfcie plani cvel

8.Optimizar

O caminho mais curto

Que reter?A linha recta no o caminho mais curto... em geral! O caminho mais curto sobre uma superfcie chama-se uma geodsica.

Numa superfcie plana, em geometria euclidiana, a linha recta.

Numa superfcie plani cvel, um cilindro, um cone, um poliedro... tambm o segmento de recta que une os dois pontos se considerarmosa superfcie plani cada.

J no uma linha recta se a superfcie no tiver curvatura nula em todos os pontos. o caso da sela de cavalo, com curvatura negativa, e da esfera, com curvatura positiva.

Na esfera, um arco de circunferncia mxima, circunferncia centrada no centro da Terra.Estes problemas foram desenvolvidos por Gauss no sculo XIX.

passando pelos 3 lados de um tringulo?

por um espelho convexo? por um espelho cncavo?

104


Faa voc mesmoMATERIAL: 2 placas de acrlico ligadas por 3, 4 ou 5 barras, 1 bacia de gua com sabo

O caminho mais curto entre 3 pontos Coloque 3 barras entre as 2 placas*.- Mergulhe tudo. Volte a tirar e observe.- Quantos vrtices existem? E arestas? Que ngulo fazem?

Coloque 3 barras entre as 2 placas.- Antes de mergulhar tudo, imagine como se vo con gurar as ligaes das pelculasde sabo: em X? em U? Z? H?- Mergulhe e observe: quantos vrtices existem? E arestas?

*Que se passa se um dos ngulos do tringulo for superior a 120?

Faa voc mesmoMATERIAL: 2 placas de acrlico, 1 palhinha

Os favos de abelha Faa uma bola de sabo entre as duas placas. Forma-se um cilindro. Coloque uma sucesso de pequenas bolas, umas ao lado das outras. Como se juntam umas s outras? Introduza uma lmina perpendicular s 2 placas e observe. Si as bolas forem do mesmo tamanho, que forma tomam? Como se juntam?

Faa voc mesmoMATERIAL: Em arame: 2 circunferncias, 4 barras

Superfcies minimais entre duas circunferncias,2 rectas , 4 rectas... Tire as duas circunferncias da bacia e afaste-as um pouco uma da outra. Onde se encontra esta superfcie? Tire duas barras da bacia, afaste-as um pouco uma da outrae rode-as um pouco uma em relao outra. Onde se encontra esta superfcie? Volte a fazer a experincia com4 barras ligadas.

Onde se emprega a matemticaEncontram-se superfcies minimais na fsico-qumica dos materiais, em biologia e em arquitectura (estruturas em vela ou mesmo em beto).As formas em favo de abelha tm vantagens por serem ligeiras, resistentes e rgidas. Tais formas, feitas em alumnio, so utilizadas nas estruturas dos Airbus A380 e dos TGV, nas paredes dos satlites...Em carto ou em plstico, o favo de abelha vulgarmente utilizado em portas, em paletes de transporte...

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Optimizao - Superfcies minimais - Favo de abelha - Estrutura sob tenso

8.Optimizar

A melhor forma

Para saber maisUm empilhamento de discos deixa espaos vazios. o hexgono regular que ocupa a maior superfcie sem deixar orifcios.Encontramo-lo nos favos das abelhas.Tero as abelhas encontrado a soluo ptima?A clula do favo no contudo a forma mais econmica para ocupar um determinado volume. Actualmente, j se encontrou melhor sem contudo se ter descoberto ainda a melhor forma possvel.

Que retenirSoluo das pelculas de sabo e matemtica

A soluo das pelculas de sabo mostra o caminho mais curto ligando 3 pontos, 4 pontos e mais. O problema, com 3 pontos, foi resolvido pelo suo Joseph Steiner no sculo XIX.

Eis uma soluo simples:Constri-se o tringulo CSB, obtido por uma rotao de 60 a partir do tringulo CSB.

Tem-se: SA + SB + SC = SA + SS +SB.

Esta quantidade mnima quando os 4 pontos A-S-S-B esto alinhados.Neste caso, os ngulos BSC e CSB valem 120.E o problema est resolvido

Um escola para 3 aldeiasOs 3, 4 ou 5 pontos podem ser substitudos por aldeias, quintas..., o ponto de Steiner por uma escola, um hospital... A resposta dada pela pelcula de sabo.Como resolver este problema se os nmeros de habitantes forem diferentes?

A

B

C

B'

S'

S

105


8.Optimizar

Pitgoras

Nmeros e Figuras

Est-ce bien vrai ?

9.Provar

106


Faa voc mesmoMATERIAL: 2 puzzles para recortar

O Teorema de PitgorasDeslocando as peas de cada puzzle, faa surgir uma demonstrao do Teorema de Pitgoras.

Por dobragensPor deslocamentos

a2

b2c2

a2

b2c2

a2

b2c2

Faa voc mesmoMATERIAL: Papel, lpis, 1 tesoura, compasso

Dum polgono ao quadrado com a mesma reaPor recorte, veri que as demonstraes de Euclides: 1. Todo o polgono pode ser decomposto numa soma de tringulos. 2. Todo o tringulo pode ser decomposto de modo a reconstruir um rectngulo com a mesma rea. 3. Todo o rectngulo pode ser decomposto noutro rectngulo com a mesma rea e com

a largura xada. 4. Todo o rectngulo pode ser considerado como a diferena de2 quadrados. 5. Graas ao teorema de Pitgoras, pode-se construir um quadrado igual diferena de

2 quadrados!

ConclusoTodo o polgono pode ser decomposto de modo a reconstituir um quadrado com a mesma rea. Desde os Gregos, o clculo de reas reduz-se a comparar a superfcie dum quadrado. Diz-se que a superfcie quadrvel. Note que medida em cm2, m2, km2....

9.Provar

Pitgoras

Que retenir

Chou-pei Suan-King(1105 A.C.) - China

3000 anos de investigaoOs antigos, sbios do Egipto ou da China, j conheciam muitos resultados formulados com nmeros inteiros (como 32 + 42 = 52).Os Gregos foram os primeiros a tentar demonstrar estes resultados de modo geral. Assim, a mais antiga demonstrao conhecida do teorema de Pitgoras (Sculo VI A.C.) sobre O quadrado da hipotenusa... foi dada por Euclides (Sculo III A.C.). Existem cerca de 400 demonstraes diferentes!Estas demonstraes deram origem a novos problemas e a novos resultados, como a natureza no racional da diagonal dos quadrados de lado inteiro.

A

H

G

F

B

D L E

C

I

K

1 2

3 4

5

1141113

107


Faa voc mesmoMATERIAL: Papel, lpis, 1 tesoura

Duplique, triplique...Construa, por recorte, um quadrado:

igual soma de dois quadrados, igual a duas vezes um quadrado dado, igual a 3 vezes, 5 vezes ... um quadrado dado.

Utilize, para o fazer, o mnimo de recortes possveis.

Que reter?Os Chineses consideravam os problemas matemticos, tanto aritmticos como geomtricos, como puzzles. Com os Gregos, estes problemas de quadratura e de duplicao originaram problemas clebres:

A irracionalidade da diagonal do quadrado de lado 1, A duplicao do cubo, A quadratura do crculo.


O sof Quais so as dimenses mximas dum sof, que

deve passar por um corredor com um metro de largura e uma esquina em ngulo recto?

Pode entrar na diviso central? E se fosse simplesmente uma prancha (ou uma escada)?

NB: as portas tm 80 x 210 cm!

Onde se emprega a matemticaA procura de provas, de demonstraes, utilizando resultados matemticos j conhecidos, est na base da actividade do matemtico e faz a sua originalidade.O Teorema de Pitgoras tem utilidade prtica na construo de comprimentos irracionais como 2, 3, 5... mas tambm utilizado ainda hoje pelos pedreiros, pelos arquitectos e pelos transportadores de grandes objectos!

PALAVRAS-CHAVE PARA PGINAS WEB:Hipotenusa - Nmero irracional - Duplicao Quadratura - Pitgoras - Euclides...

9.Provar

Pitgoras

= ? = ?++

+1 1

22

108


Faa voc mesmoMATERIAL: Fichas redondas ou quadradas

Os nmeros triangulares: 1, 3, 6, 10, 15...So as somas dos primeiros nmeros inteiros.Dois mtodos para calcular os nmeros:

+ =

1+2+3+4+5

ou :

e mostre, mais geralmente, que:

Veri que, nos pri

experimentos matematicos

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