fundamentos matematicos de la tca
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Se describen las herramientas matemáticas ampliamente utilizadas en cursos de teoría de control automáticoTRANSCRIPT
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA TCA
Jorge Luis Jaramillo
PIET EET UTPL marzo 2011
Fundamentos matemáticos de la TCA
•Linealización de sistemas
•Transformada y antitransformada de la Laplace
•Integración de una ecuación diferencial
•Convolución de dos funciones
Fundamentos matemáticos de la TCA
•Linealización de sistemas
Linealización de sistemas
La teoría desarrollada para eldiseño de sistemas de control, ensu mayor parte, se basa en elempleo de modelos matemáticoslineales del proceso que se deseacontrolar
Sin embargo, son muchos lossistemas reales que exhiben unaconducta no lineal, por lo que esnecesario la linealización desistemas.
Con esta modificación, el diseñodel sistema de control seaproxima al flujograma:
Flujograma tomado de documentación de soporte del curso de Análisis Dinámico de Sistemas. Universidad de Oviedo. 2003
Linealización de sistemas
Supongamos que una cierta variable y depende de alguna otra variable x a través dealguna función f(x). Se dice que la relación entre las variables y y x es lineal si lafunción f(x) es la ecuación de la línea recta y = mx + b . Si la ecuación no cumple conla condición anterior, entonces la ecuación es no lineal.
La linealización de una ecuación, alrededor de un punto, utiliza la serie de Taylor y elconcepto de estados estacionarios.
La serie de Taylor de una función que tiene grado de derivación f (n)y en lasproximidades del punto a se define como :
donde es n! es el factorial, f (n) es la enésima derivada, y, a el punto en el que se quierecalcular la serie.
Linealización de sistemas
Gráfico tomado de Documentación de soporte del curso de Análisis Dinámico de Sistemas. Universidad de Oviedo. 2003
Linealizar unaecuación no linealimplica“reemplazarla”por una ecuaciónlineal. Estereemplazo es local,es decir válido enuna región próximaa un punto llamado
de equilibrio.
Linealización de sistemas
Se dice que un sistema físico está en estado estacionario cuando las características delmismo no varían con el tiempo. Desde esta perspectiva, un sistema estará en estadoestacionario cuando sus variables descriptivas no cambien.
Desde la perspectiva matemática, un sistema físico se encuentra en estadoestacionario si las derivadas de las variables que lo describen son igual a cero.
Linealización de sistemas
PROBLEMA PROPUESTO
Fundamentos matemáticos de la TCA
•Transformada y antitransformada de la Laplace
Transformada y antitransformada de Laplace
La transformada de Laplace de una función f(t), definida para todos los números reales, es la función F(s) definida por:
siempre y cuando la integral esté definida. Así por ejemplo, la transformada de f(t)=e-t será:
L e e e dt e dts
es
t t st s t s t
0
1
0
1
0
1
1
1
1
L f t F s f t e dtst
0
Transformada y antitransformada de Laplace
Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en elanálisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que laintegración y la derivación se convierten en operaciones de multiplicación y de división.Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en pseudo ecuacionespolinómicas, mucho más fáciles de resolver.
Transformada y antitransformada de Laplace
Tabla de transformadas básicas de Laplace
Transformada y antitransformada de Laplace
Tabla de transformadas básicas de Laplace
Transformada y antitransformada de Laplace
Sea F(s) la transformada de Laplace de una función f (t). La transformada inversa deLaplace o antitransformada de F(s), se calcula como:
Generalmente no se resuelve esta ecuación, sino que se busca la respuesta utilizandotablas y el método de las fracciones parciales.
L F s f tj
F s e dsc j
c jst1 1
2
Transformada y antitransformada de Laplace
PROBLEMA PROPUESTO
Fundamentos matemáticos de la TCA
•Integración de una ecuación diferencial
Integración de ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se pueden integrar utilizando los métodos numéricoshabituales, o, aplicando la transformada de Laplace.
El procedimiento para integrar ecuaciones diferenciales mediante la transformada deLaplace consiste en:
• Aplicar la transformada de Laplace a cada miembro de la ecuación diferencial, teniendoen cuenta los valores de las condiciones iniciales.
•Despejar la transformada de la solución, y(s) .
•Calcular la transformada inversa de Laplace
Integración de ecuaciones diferenciales
PROBLEMA PROPUESTO
Fundamentos matemáticos de la TCA
•Convolución de dos funciones
Convolución de dos funciones
En matemáticas una convolución es un operador matemático que transforma dosfunciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud enla que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g.
Se puede considerar que una convolución es un tipo muy general de promedio móvil.
La convolución de f y g se denota f * g. Se define como la integral del producto deambas funciones después desplazada una distancia τ.
Convolución de dos funciones
Gifs tomados de wikipedia
ANÁLISIS Y DISCUSIÓN