Fundamentos Matemáticos da Computação I

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Olá, bem vindo à unidade 12.

Nessa unidade iniciaremos o conteúdo de análise combinatória, para isso primeiramente descreveremos o princípio fundamental da contagem de elementos que permitem o cálculo de possibilidades de um determinado evento.

Após essa introdução também mostraremos o conceito de fatorial ligado diretamente aos conceitos de análise combinatória.

Vamos começar nossos estudos?

Boa aula!

Entendimento sobre o princípio fundamental da contagem.

● Princípio fundamental da contagem.

● Fatorial.

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Princípio Fundamental da Contagem

O princípio fundamental da contagem também conhecido como princípio multiplicativo determina que

devemos sempre multiplicar o número de possibilidades dos eventos que temos para saber a possibilidade

total de um evento composto.

Exemplo 1:

Antônio tem em seu armário 4 shorts e 5 camisas de cores diferentes. De quantas maneiras Antônio

pode selecionar um short e uma camisa?

Escolha dos Shorts: Como Antônio tem 4 shorts então ele pode escolher qualquer um deles.

Escolha das Camisas: Como Antônio tem 5 camisas então ele pode escolher qualquer uma delas .

Além das opções em escolher shorts e camisas ele pode combinar qualquer short com qualquer

camisa. Então para cada short que Antônio escolha ele pode escolher qualquer uma das 5 camisas, com

isso Antônio tem 20 possibilidades para selecionar uma roupa.

Possibilidades de selecionar a roupa = 4 shorts x 5 camisas = 20.

Exemplo 2:

Andressa mora em uma cidade X e precisa ir para cidade Y. Na primeira parte do trajeto ela pode

escolher ir de trem ou de ônibus na segunda parte ela pode pegar barca ou metrô independente da escolha

da primeira parte. Andressa possui quantas opções para ir até a cidade Y?

Primeira parte do trajeto: 2 possibilidades.

Segunda parte do trajeto: 2 possibilidades.

Então Andressa tem 4 possibilidades possíveis para ir até a cidade Y.

Possibilidades={{trem, barca}, {trem, metrô}, {ônibus,barca}, {ônibus,metrô}}

O princípio da multiplicação se baseia no princípio da multiplicação das possibilidades. Então suponhamos

que tenhamos P1 possibilidades distintas para realização de um evento E1 e P2 possibilidades distintas

para realização de um E2. Com isso o número total de possibilidades de realização conjunta dos eventos

E1 e E2 é P1 x P2.

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Princípio da Multiplicação para N eventos

O princípio da multiplicação pode ser generalizado para N eventos E1,E2,E3...,En. Nesse caso o

número de possibilidades é a multiplicação das possibilidades de todos os eventos P1 x P2 x P3 x... xPn .

Exemplo 1:

Maria deseja viajar para isso ela pode escolher 4 países em cada um dos países ela pode escolher 5

cidades e em cada cidade ela pode escolher 2 hotéis. De quantas formas Maria pode planejar sua viagem?

Evento 1: Escolha de 1 entre 4 países.

Evento 2: Escolha de 1 entre 5 cidades.

Evento 3: Escolha de 1 entre 2 hotéis.

Com isso Maria tem 4 x 5 x 2 =40 formas de planejamento da viagem.

Exemplo 2:

Sabendo que em cada promoção de um restaurante japonês é possível escolher uma comida de

entrada entre as 10 possíveis, um tipo de temaki entre os 20 possíveis e uma sopa entre as 3 possíveis.

Quando dias Pedro levaria para comer todas as opções de promoções desse restaurante pedindo

somente uma promoção por dia?

Evento 1: Escolha de uma comida entre 10 possíveis.

Evento 2: Escolha de um temaki entre os 20 possíveis.

Eventos 3: Escolha de uma sopa entre 3 possíveis.

Com isso Pedro tem 10 x 20 x 3 = 600 possibilidades de escolha, então Pedro levaria 600 dias para comer

todas as opções de promoções.

Contagem de possibilidades com eventos repetidos

A contagem de possibilidade para eventos repetidos é um caso especial do princípio da multiplicação,

para se realizar essa contagem basta elevar as possibilidades ao número de vezes que o evento irá

ocorrer, ou seja, para saber o total de possibilidades de um evento E1 que se repete N basta calcular P1N,

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onde P1 são as possibilidades do evento E1 e N o total de vezes que o evento ocorre.

Exemplo:

Em um jogo de dados, um dado é lançado duas vezes. Qual é o número de possibilidades de resultados?

Nesse problema temos a repetição de um mesmo evento E1 duas vezes.

E1= lançamento de um dado.

P1= o dado irá mostrar 1 das 6 faces.

Com isso temos 6 possibilidades para cada uma das duas ocorrências do evento E1 então temos:

62=36 possibilidades de resultados.

Exemplo 2:

Considerando uma senha de usuário composta de 3 números, quantas possibilidades de senha um

usuário pode ter?

E1 = escolher um dígito para a senha.

P1 = escolher um dígito entre 10 possíveis {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

N= esse evento se repete 3 vezes.

Com isso temos que o número de possibilidades é:

103= 10x10x10 = 1000 possibilidades

Fatorial

O fatorial de um número é muito importante na resolução de problemas de análise combinatória.

Podemos definir o fatorial de um número N como:

Fat(N) = N! = Nx(N-1)x(N-2)x(N-3)x...x1.

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Exemplo 1:

Quantos anagramas é possível formar com a palavra “PAZ”?

Como PAZ tem 3 letras, posso ter:

Portanto 6 possibilidades.

Então:

Fat(1) =1!= 1

Fat(2) =2!= 2 x1

Fat(3) =3!= 3x2x1=6

Fat(4)=4!=4x3x2x1=24

Fat(5)=5!=5x4x3x2x1=120

Fat(6)=6!=6x5x4x3x2x1=720

Fat(7)=7!=7x6x5x4x3x2x1=5040

Fat(8)=8!=8x7x6x5x4x3x2x1=40320

Fat(9)=9!=9x8x7x6x5x4x3x2x1=362880

Fat(10)=10!=10x9x8x7x6x5x4x3x2x1=3628800

Por definição o Fat(0)=0! =1

PAZ

PZA

ZAP

ZPA

APZ

AZP

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Esse resultado também poderia ter sido obtido com o cálculo do fatorial. Como existem 3 letras e

não há repetição podemos saber o número anagramas calculando o fatorial do número de letras. Então

teríamos Fat(3)=3! = 3x2x1=6.

Problemas Gerais de Análise Combinatória

Problema 1:

Quantos números inteiros múltiplos de 5 existem de 100 (inclusive) a 999 (inclusive)?

Para resolver esse problema precisamos saber que para um número ser múltiplo de 5 deve terminar ou com 0 ou com 5.

Além disso, para ter 3 algarismos o primeiro digito não pode ser 0. Com esses dados verificamos que existem 2 possibilidades de dígitos para o último algarismo ser divisível por 5 (deve terminar em 5 ou 0).

Também verificamos que existem 9 possibilidades para o primeiro algarismo {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, já que não pode começar com o 0.

Além disso, para o segundo algarismo não há qualquer restrição então temos 10 possibilidades para ele.

Obtemos então:

_____ _____ _____

9 10 2

Números divisíveis por 5 entre 100 (inclusive) e 999 (inclusive) = 9x10x2 = 180 números.

Problema 2:

Quantas senhas são possíveis formar, com os algarismos 1,2,3 e 4, começado e terminando por um

número impar e admitindo-se repetição?

Se pararmos para pensar temos quatro espaços. No primeiro e último espaços temos duas

possibilidades em cada, uma vez que queremos um número impar nesse caso devemos utilizar os dígitos

1 ou 3. Nos outros espaços podemos inserir qualquer um dos dígitos tendo quatro possibilidades em cada.

Logo temos:

_____ _____ _____ _____

2 4 4 2

Obtendo: 2 x 4 x 4 x 2 = 64 possibilidades de senhas.

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12 Nessa unidade descrevemos conceitos importantes dos princípios fundamentais da contagem e

também conceitos de fatorial utilizados em análise combinatória.

Na próxima unidade descreveremos as fórmulas e os problemas de aplicação de permutações e arranjos.

Leia o artigo e aprenda a criar o fatorial no Excel:

http://office.microsoft.com/pt-br/excel-help/fatorial-HP005209084.aspx

Assista ao vídeo: “Aula 48 - Matemática - Ens. Médio – Telecurso” http://www.youtube.com/

watch?v=CEUXOKEYaAg

Assista ao vídeo: “Aprenda a calcular o número de jogos da Copa do Mundo”

http://globotv.globo.com/globocom/g1/v/aprenda-a-calcular-o-numero-de-jogos-da-copa-do-

mundo/1278015/

Leia o artigo e façam comentários no fórum:

http://www.ebc.com.br/noticias/brasil/2012/07/acrescimo-de-um-digito-vai-dobrar-capacidade-de-

numeros-de-celulares-em-sao

JULIANELLI, José Roberto et al. Curso de análise combinatória e probabilidade. Rio de Janeiro:

Ciência Moderna, 2009.

SANTOS, J. P. O. dos; MELLO, Margarida P.; MURARI, Idani T. C. Introdução à análise combinatória. 4.

ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007.