1

2

3

4

EXERCÍCIOS DE VESTIBULAR

TRIGONOMETRIA

Ângela Mª Pires Lucas .

1(G1) Determine x no caso a seguir:

5

6

Note que o triangulo BDC é retângulo , vale então o teorema de Pitágoras:

222

2116y

D

2 244 6 y 244 36 y

8y

2 9 9 3x x x

y

2 2y DBA também é retângulo, vale o teorema de Pitágoras:

2 1 21 (2 2)x

2 1 4.2x

2(G1) Num triângulo isósceles ABC, cada ângulo da base mede 74° e cada lado congruente 8 cm. Nessas condições determine: (use a tabela trigonométrica)a) a medida da altura h.b) a medida x da base do triângulo. 

7

8

8h

) 74º8ha sen

8.0,961h

7,688.. 7,69h cm

2 2 2

)

8 (7,6)

b TP

x

2 264 7,69 x

264 39,1 x 2 4,9x

4,9x

4,42x cm

9

3(Uerj2002) A extremidade A de uma planta aquática encontra-se 10 cm acima da superfície da água de um lago (fig.1). Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca a superfície da água no ponto B, situado a 10Ë3 cm do local em que sua projeção ortogonal C, sobre a água, se encontrava inicialmente (fig. 2). Considere OA, OB e BC segmentos de retas e o arco AB uma trajetória do movimento da planta.

 • Determine:• a) a profundidade do lago no

ponto O em que se encontra a raiz da planta;

• b) o comprimento, em cm, do arco AB.

10

22 2

( )

10 10 3

A profundidade

x x

2 2100 20 (100.3)x x x

2 2100 20 300x xx

20 200x

10x

11

ˆ

ˆ3 60º

60º

OA OB Raio

ABO isósceles  B

tg  BLogo

Ô ABO equilátero

O arco AB está contido em uma circunferência de centro O raio r = AO=OB=20; logo,

1 26

med AB r

1 2 206

med AB

1 203

med AB

203

med AB

4(G1 - cftmg 2005) Duas pessoas A e B, numa rua plana, avistam o topo de um prédio sob ângulos de 60° e 30°, respectivamente, com a horizontal, conforme mostra a figura. Se a distância entre os observadores é de 40 m, então, a altura do prédio, em metros, é aproximadamente igual a

 • a) 34• b) 32• c) 30• d) 28

12

13

120º

30º 30ºc b

sen sen

401 12 2

y

402 2y

402 2y

40y m

14

h

60º40hsen

32 40

h

2 40 3h 40 32

h

20 3 20.1,73205 34,64h m

5(Puccamp 96) Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura adiante.• Se ela caminhar 90 metros em

linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°?

• a) 150• b) 180• c) 270• d) 300• e) 310

15

16

C

ABD

. .60º

. .c otgc a

39090 3

h

h

x30º

. .htgc a

3 90 33 x

3 3.90 3x

270x m

6(Uerj 2000) Observe a bicicleta e a tabela

trigonométrica.• Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120

cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e 52 cm.

• De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor:• a) 10°• b) 12°• c) 13°• d) 14°

17

18

o A

P Q

O

B

y

y+120

52

25

25120 52y

y

52 25 3000y y 27 3000y

3000 100027 9

y

2510009

senx

925.1000

senx

2251000

senx

0,225senx

Logo x=13º

7(Ufsm 2005) Na instalação das lâmpadas de uma praça de alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo a figura. Assim, a distância "d" é

19

a) 50Ë 2 m b) 50 (Ë 6)/3 m c) 50Ë 3 m d) 25Ë 6 m e) 50 Ë 6 m

20

O triângulo ABC não é retângulo, temos que usar a lei dos senos , pois temos dois ângulos e uma medida:5030º (180º 135º )

dsen sen

5030º 45º

dsen sen

501 22 2

d

50 22 2

d

50 2d m

8(Pucsp 2008) Leia com atenção o problema proposto a Calvin na tira

seguinte. 

21

22

Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60°, então a resposta correta que Calvin deveria encontrar para o problema é, em centímetros, a) (5Ë 3)/3 b) (8Ë 3)/3 c) (10Ë 3)/3 d) 5Ë 3 e)10Ë 3

Não há como saber se o triângulo é retângulo , melhor usar a lei dos

cossenos

23

c

2 2 25 2 2.2 . .cos60ºx x x x

A

60º

x

2x

5cmB

2 2 225 4 4 .cos60ºx x x

2 2 2 125 4 4 .2

x x x

23 25x

2 253

x

253

x

33

5 5 333

x

2 2 225 4 2x x x

A distância AC é o dobro de x, logo:

5 3 10 323 3

x

9(Faap 97) A figura a seguir mostra uma antena retransmissora de rádio de 72 m de altura. Ela é sustentada por 3 cabos de aços que ligam o topo da antena ao solo, em pontos que estão a 30 m do pé da antena. A quantidade (em metros) aproximada de cabo que será gasta para sustentar a antena é:a) 234b) 78c) 156d) 102e) 306

24

25

2 2 230 .72a

2 900.5184a 2 6084a

6084a

78a

A quantidade aproximada de cabo que será gasta , nos três cabos:

3.78 234total m

(G1) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30°. Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a uma altura de: 

a) 2 kmb) 3 kmc) 4 kmd) 5 kme) 6 km

26

27

30º8xsen

12 8

x

2 8x 82

x

4x Km

.30º COsenhip

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO10 (Puccamp 2005) Nas principais concentrações urbanas do país, trabalhadores de baixa renda percorrem grandes distâncias a pé. Outros pedalam muitos quilômetros para usar uma condução a menos, deixando a bicicleta em estacionamentos próprios. -Considere que, na figura abaixo, tem-se a planificação do quadro de uma bicicleta e as medidas indicadas estão em centímetros O perímetro do triângulo BCD, em centímetros, é igual aa) 148b) 152c) 155d) 160e) 172

28

29

2 2 240 48 2.40.48.cos53ºx

2 21600 2304 3840.0,60x

2 1600 2304 2304x

1600x

40x

Perímetro:40+43+62=155

Ufla 2006) Um aparelho é construído para medir alturas e consiste de um esquadro com uma régua

de 10 cm e outra régua deslizante que permite medir tangentes do ângulo de visada ‘, conforme o

esquema da figura 1.Uma pessoa, utilizando o aparelho a 1,5 m do solo, toma duas medidas, com distância entre elas de 10

metros, conforme esquema da figura 2.Sendo l1 = 30 cm e l2 = 20 cm, calcule a altura da �

árvore.

 

30

31

Vamos chamar a distancia entre a arvores e l2 de x

10ytgx

2

xy

32

103

2

xy

xy

102 3x x

3 2(10 )x x

3 20x x 3 20x x

2 20x

202

x

10x m

A árvore mede 10m mais altura do aparelho utilizado para medir 1,5m10 1,5 11,5h m