Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas

1

LISTA DE EXERCÍCIOS DE VARIÁVEIS COMPLEXAS

1) Encontre todas as singularidades das funções abaixo, apresentando-as em forma algébrica:

a) ( )je5

)zsec(zf

jz += b)

( ) jzzj1z

7e)z(f 35

z3

−−−

+=

−

c) ( ) ( )3jzhgcotzf += d) ( )z8z7z

z7z3zf

47

4

−−

+=

e) ( ) ( ) ( )z2cosh3z2senhzsenh3zcosh

zf++

= f) ( ) ( )j64z

5zsenzf

3 +

π−=

g) ( ) ( )zz3 jee

zsenzf

−+

π−= h) ( )

8z7z

7zzf

36

3

−+

−=

i) ( )zsenh2zcosh

ezf

z

+= j) ( ) ( )

( )64ze

3/zsenzf

62z +

π−=

−

k) ( )1e

5z2zf

3z −

+=

− l) ( ) ( )

z729z

3/zsenzf

7 +

π−=

m)2z3z

)1zcosh()z(f24

2

+−

−= n) ( ) ( )zz5 eje

z4cos1zf

−+

π++=

o) ( )( )( )( )8zjzj2z

3zzf 32 −−−+

+= p) ( )

81z

zcoszf

4 +=

q) z

2

e2)zcosh(

)zcosh(.z)z(f

+= r)

1e3

z5)z(f

1z2 −=

−

2) Determine todas singularidades das funções abaixo e classifique cada singularidade como

removível, pólo de uma dada ordem ou essencial:

a) 2z

)z(cos)z(f =

b) ( ) )jz(jz

)2z(sen4)z(f 2 −+

+= .

c) ( )j2ze)z(f z/1 += .

d) π−

=z

)zsen()z(f .

e) ( )

( ) ( )1z1z

z2cos)z(f

22 +−= .

f) ( )21z

z)z(f

+= .

g) 1z

jz)z(f 2 +

−= .

h) )zsenh()zsen(

)z(f = .

i) 1z

z)z(f 4 −

= .

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2

j) )z(tg)z(f = .

k) )zcos(

1)z(f = .

l) ))1z(z/(1e)z(f += .

m) zj2 e

z

1)z(f = .

n) ( )( )2jzzz

)zsen()z(f

−π−= .

o) ( )4

2

1z

e)z(f

+=

π.

p) 4z

)zsenh()z(f = .

q) )z(cosh)z(f = .

r) ( )22 3z2z

1j2)z(f

−+

−= .

s) ( )2z

)z(sen)z(f

π+= .

t) )z2(seccos)z(f 3= .

3) Encontre a parte real e imaginária das funções f(z) abaixo e, usando as Equações de

Cauchy-Riemann, determine todos os pontos do plano complexo nos quais a função é derivável,

calculando sua derivada:

a) jz)z(f −= .

b) jzz)z(f 2 −= .

c) z)z(f = .

d) z

1z2)z(f

+= .

e) 2zj)z(f = .

f) )zIm(z)z(f += .

g) )zRe(

z)z(f = .

h) 2z8z)z(f 3 +−= .

i) ( )2z)z(f = .

j) zjz)z(f += .

k) z1

z4)z(f +−= .

l) jzjz

)z(f+−

= .

m) )zIm()zRe()z(f −= .

n) 3jz2)z(f −= .

o)

+=

1zz2

Im)z(f .

p) zz

)z(f = .

4) Verifique se as funções do problema 3 acima são analíticas ou, caso contrário, indique as

singularidades da função f(z).

5) Nas questões a seguir, calcule a integral ( )∫C dzzf para a função e o caminho dados.

Observe que todos os caminhos fechados são positivamente orientados:

a) j2z

z)z(f4

−= , onde C é qualquer caminho fechado ao redor de 2j.

b) ( )5zzsen

)z(f2

−= , onde C é a circunferência 3z = .

c) j21zjz5z)z(f

2

+−+−= , onde C é a circunferência 3z = .

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3

d) ( )2

3

2z

z2)z(f

−= , onde C é o retângulo de vértices .j4 ±±

e) ( )2

z

j2z

ej)z(f

+−= , onde C é a circunferência .3z =

f) ( )

( )3j2z

jzcos)z(f

+

−= , onde C é qualquer caminho fechado ao redor de j2− .

g) ( )1z

zzf

2 += , onde C é a circunferência 1jz =− .

h) ( ) ( ) ( )( )2

4

4z

zsenj2zf

+

+−= , onde C é qualquer caminho fechado ao redor de –4.

i) ( ) ( )4zRezf += , onde C é o segmento de reta de 3 + j até 2 – 5j.

j) zjz)z(f += , onde C é o segmento de reta de 0 até –2j.

k) ( ) 2z1zf −= , onde C é o quadrado de vértices 0, 1, 1 + j e j.

l) ( )zjIm)z(f = , onde C é a circunferência unitária centrada na origem.

m) ( )( )

3zzsenhcosh

)z(f+

= , onde C é um caminho fechado ao redor de –3.

n) ( )

( )42

j4z

z3cosz)z(f

+

−= , onde C é o triângulo de vértices 0, –1 – 8j e 1 – 8j.

o) ( )

( )4jz

zsen)zcos()z(f

+

−= , onde C é a circunferência de raio 2 centrada na origem.

p) ( )3z j3ze

1)z(f

+= , onde C é a circunferência de raio 2 e centro –2j.

6) Calcule as integrais em cada um dos problemas 41 até 61, considerando que todos os

caminhos fechados são orientados positivamente:

a) ( ) ( )∫

+−

+C 2

2dz

j2z1z

z1 , onde C é a circunferência de raio 2 e centro –j.

b) dzz4

)zcos(C 2∫

+, onde C é o quadrado de lados paralelos aos eixos, medindo 3, e centrado em –2j.

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4

c) ∫Cz

dzze

, onde C é a circunferência de raio 2 e centro –3j.

d) dz1z2jz

C∫ +−

, onde C é a circunferência de raio 1 centrada na origem.

e) ∫+

−C 2

dz6z

jz, onde C é a circunferência de raio 3 centrada na origem.

f) dzze

)zcos(C z∫ , onde C é a circunferência de raio 1/2 e centro j/8.

g) ( ) dz)jz(9z

zjC 2∫

−+, onde C é a circunferência de raio 2 centrada em –3j.

h) dzj4z

1j4z8C∫ +

+−, onde C é a circunferência de raio 2, centrada em –j.

i) dz)1z(

zC 2

2

∫−

, onde C é qualquer caminho fechado ao redor de 1.

j) ( )

dzj4zz

eC

z2

∫ −, onde C é qualquer caminho fechado ao redor de 0 e 4j.

k) dzz1

)z2cos()zsen(C 2∫

+, onde C é a circunferência de raio 2 centrada na origem.

l) ( )dz9zz

)z3cosh(C 2∫

−, onde C é qualquer caminho fechado ao redor de 0 e –3 que não contenha o 3.

m) ∫C 4

z2dz

z

e , onde C é a circunferência π=π− 2jz .

n) dzjz

zeC 4

z

∫+

−, onde C é a circunferência 15z =− .

o) ( )

∫+−

−C 2

2dz

2z2z

j2z , onde C é a circunferência .8z =

p) ( ) ( )( )( )∫ +−

+C

dzj2zjzzcosh1z

, onde C é a circunferência .21

j3z =−

q) ( )∫

+

−C 3

dzjz

3z2, onde C é a circunferência .4j2z =−

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5

r) ( )

( )( )∫−+

−C 22

dz1z1z

jz4cosz, onde C é a circunferência 1jz =+ .

7) Sendo C o círculo 3jz =+ , orientado positivamente, define-se a função:

∫−−

=−

C2

21

jz2

21 dz)zz()zz(

e)z,z(F .

Calcule F(j, -j), F(3j, -5j) e F(-j, 3j).

8) Sendo C o círculo 1z =π− , orientado positivamente, define-se a função:

∫ω−

=ωC N

jz2dz

)z(

e)N,(F .

Calcule F(π , 1), F(π , 3) e F(0, 5).

RESPOSTAS:

1) a) π+π

= k2

z ou 5lnjk22

3z +π+

π= ; b) 1z,

22

j22

z,0z ±=

−±== ;

c) j3kz +π= ; d) 23

j21

z,1z,j31z,2z,0z ±=−=±−=== ;

e)

π

+π

+−=2

k4

j2ln41

z ; f) j232z,j4z −±== ; g)

π

+π

=2

k8

3jz ;

h) 3j1z,2z,23

j21

z,1z ±=−=±−== ; i) jk3nl21

z π+−= ;

j) j2z,j3z,j3z ±=±−=±= ; k) π+= k2j3z ;

l) ( ) ( ) j3z,j323

z,j323

z,0z ±=±−=±== ; m) 1z,2z ±=±= ;

n)

π

+π

=3

k4

jz ; o) 23

2j

1z,j31z,2z ±+−=±−== ; p) ( )j12

23z ±±= ;

q) π

+

+−=2

1k2j5lnz ; r) π+

−= jk

23ln1

z .

2) a) Pólo de ordem 2 em z = 0. b) Pólo duplo em z = -j; pólo simples em z = j. c) Singularidade essencial em z = 0. d) Singularidade removível em z = π . e) Pólos simples em z = j e –j; pólo duplo em z = 1. f) Pólo duplo em z = -1. g) Singularidade removível em z = j, pólo simples em z = -j.

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6

h) Pólo simples em z = nπj, para todo n ≠ 0 inteiro; singularidade removível em z = 0.

i) Pólos simples em z = 1, -1, j e -j. j) Pólos simples em ( )1n22

z +π

= , para todo inteiro n.

k) Pólos simples em ( )1n22

z +π

= , para todo inteiro n.

l) Singularidade essencial em z = 0 e -1. m) Pólo de ordem 2 em z = 0. n) Singularidade removível em z = 0 e π; pólo duplo em z = j. o) Pólo de ordem 4 em z = -1. p) Pólo triplo em z = 0. q) Nenhuma singularidade. r) Pólo duplo em z = 1 e -3.

s) Pólo simples em z = - π . t) Pólos triplos em 2

nz

π= , para todo inteiro n.

3) a) 1y)y,x(v,x)y,x(u −== ; em todo z complexo; 1)z(f =′ .

b) xxy2)y,x(v,yyx)y,x(u 22 −=−−= ; em todo z complexo; jz2)z(f −=′ .

c) 0)y,x(v,yx)y,x(u 22 =+= ; em nenhum ponto do plano complexo.

d) 2222 yx

y)y,x(v,

yx

x2)y,x(u

+−=

++= ; em todo z complexo não nulo; 2z)z(f −−=′ .

e) 22 yx)y,x(v,0)y,x(u +== ; em z = 0; 0)0(f =′ .

f) y)y,x(v,yx)y,x(u =+= ; em nenhum ponto do plano complexo.

g) xy

)y,x(v,1)y,x(u == ; em nenhum ponto do plano complexo.

h) y8yyx3)y,x(v,2x8xy3x)y,x(u 3223 −−=+−−= ; em todo z complexo; 8z3)z(f 2 −=′ .

i) xy2)y,x(v,yx)y,x(u 22 −=−= ; em z = 0; 0)0(f =′ .

j) x)y,x(v,yyx)y,x(u 22 =−+= ; em nenhum ponto do plano complexo.

k) 2222 yx

yy4)y,x(v,

yx

xx4)y,x(u

+−−=

++−= ; em todo complexo 0z ≠ ; 2z4)z(f −−−=′ .

l) 2222

22

)1y(x

x2)y,x(v,

)1y(x

1yx)y,x(u

++

−=

++

−+= ; em todo complexo jz ≠ ;

( )2jz

j2)z(f

+=′ .

m) 0)y,x(v,yx)y,x(u =−= ; em nenhum ponto do plano complexo.

n) 2332 xy6x2)y,x(v,y2yx6)y,x(u +−=−= ; em todo z complexo; 2jz6)z(f −=′ .

o) 0)y,x(v,y)1x(

y2)y,x(u

22=

++= ; em nenhum ponto do plano complexo.

p) 2222 yx

y)y,x(v,

yx

x)y,x(u

+=

+= ; em nenhum ponto do plano complexo.

4) As funções dos problemas b, h e n são analíticas. As funções dos problemas c, e, f, g, j, m, o e p possuem singularidades em todos os pontos do plano complexo. As funções dos problemas d e k possuem uma singularidade em z =0. A função do problema l possui uma singularidade em z = j.

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7

5) a) j32π .

b) 0. c) ( )j872 +π− .

d) 48πj.

e) [ ])1sen(j)1cos(e2 2 −π− .

f) –πj cosh(3). g) πj.

h) ( ) ( )256cosj21512 −π− .

i) j392

13−− .

j) 0. k) 0. l) jπ .

m) ))3cosh(senh(j2 π .

n) -9πsenh(12).

o) ( ) ( )[ ]1coshj1senh3

+π

.

p) ( ) ( )[ ]3senj3cosj +π .

6) a) j2π .

b) )2cosh(2π

− .

c) 0. d) ( )2/j1−π .

e) j2π .

f) j2π .

g) 4

jπ− .

h) 0. i) j4π .

j) [ ]1e2

j8 −π

.

k) )2cosh()1senh(j2π .

l) ( )[ ]29cosh9

j−

π.

m) j3

8π.

n) 0. o) ( )j24 +π .

p) 0. q) 0.

r) ( )[ ]j4cos2

+π

− .

7) F(j, -j) = [ ]2e)2cosh(j +π− , F(3j, -5j) = 0 e F(-j, 3j) = 2e8

j9π.

8) F(π , 1) = j2π , F(π , 3) = j8π− e F(0, 5) = 0.