equipe26

pef2602 estruturas na arquitetura II: sistemas reticuladossetembro/2009exercício01

gisellemendonça

flaviobragaia

steladadalt

natáliatanaka

leonardoklis

1viga isostática

equações de equilíbrio reações de apoio

Antes de traçar os diagramas de esforços solicitantes, deve-se calcular as reações de apoio através das equações de equilíbrio — nesse caso, são três valores que buscamos (uma força normal, outra cortante e o momento), todos referentes ao único apoio da viga, o engastamento A. Para realizar os cálculos, foi necessário transformar os carregamentos distribuídos em forças pontuais fictícias equivalentes (valor obtido por meio da multiplicação da força distribuída pela medida do trecho da viga que está sob ação desse carregamento). Para elaboração da estrutura no FTool, consideramos o valor de 5 kN/m para o carregamento distribuído no trecho AC, resultante da soma da força de 3 kN/m (aplicada em toda a extensão da viga) à força de 2 kN/m (aplicada somente neste trecho).

Para calcular as reações de apoio, adotamos como sinal positivo as forças para a direita no eixo x, para cima no eixo y e no sentido horário para o momento fletor.

forças equivalentes

esquema da viga isostática

A C D B

vigaequações de equilíbrio

!N = 0

15 + NA = 0

NA = –15 kN

!V = 0

VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0

VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0

VA = 32 kN

!M = 0

MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0

MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0

MA = – 74,5 kNm

esforços solicitantes

trecho AC

NX = 15 kN

VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15

para x = 0 ! VC = 12 kN

para x = 4 ! VA = 32 kN

MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)

para x = 0 ! MC = 13,5 kN

para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)

trecho CD

NX = 15 kN

VX = 3·(x + 2) + 18 – 15

para x = 0 ! VD = 9 kN

para x = 1 ! VC = 12 kN

MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]

para x = 0 ! MD = 24 kN

para x = 1 ! MC = 13,5 kN

trecho DB

NX = 15 kN

VX = – 15 + 3·x

para x = 0 ! VB = – 15 kN

para x = 2 ! VD = – 9 kN

MX = 15·x – 3·x·(x/2)

para x = 0 ! MB = 0 kN

para x = 2 ! MD = 24 kN

vigaequações de equilíbrio

!N = 0

15 + NA = 0

NA = –15 kN

!V = 0

VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0

VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0

VA = 32 kN

!M = 0

MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0

MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0

MA = – 74,5 kNm

esforços solicitantes

trecho AC

NX = 15 kN

VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15

para x = 0 ! VC = 12 kN

para x = 4 ! VA = 32 kN

MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)

para x = 0 ! MC = 13,5 kN

para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)

trecho CD

NX = 15 kN

VX = 3·(x + 2) + 18 – 15

para x = 0 ! VD = 9 kN

para x = 1 ! VC = 12 kN

MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]

para x = 0 ! MD = 24 kN

para x = 1 ! MC = 13,5 kN

trecho DB

NX = 15 kN

VX = – 15 + 3·x

para x = 0 ! VB = – 15 kN

para x = 2 ! VD = – 9 kN

MX = 15·x – 3·x·(x/2)

para x = 0 ! MB = 0 kN

para x = 2 ! MD = 24 kN

vigaequações de equilíbrio

!N = 0

15 + NA = 0

NA = –15 kN

!V = 0

VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0

VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0

VA = 32 kN

!M = 0

MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0

MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0

MA = – 74,5 kNm

esforços solicitantes

trecho AC

NX = 15 kN

VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15

para x = 0 ! VC = 12 kN

para x = 4 ! VA = 32 kN

MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)

para x = 0 ! MC = 13,5 kN

para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)

trecho CD

NX = 15 kN

VX = 3·(x + 2) + 18 – 15

para x = 0 ! VD = 9 kN

para x = 1 ! VC = 12 kN

MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]

para x = 0 ! MD = 24 kN

para x = 1 ! MC = 13,5 kN

trecho DB

NX = 15 kN

VX = – 15 + 3·x

para x = 0 ! VB = – 15 kN

para x = 2 ! VD = – 9 kN

MX = 15·x – 3·x·(x/2)

para x = 0 ! MB = 0 kN

para x = 2 ! MD = 24 kN

vigaequações de equilíbrio

!N = 0

15 + NA = 0

NA = –15 kN

!V = 0

VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0

VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0

VA = 32 kN

!M = 0

MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0

MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0

MA = – 74,5 kNm

esforços solicitantes

trecho AC

NX = 15 kN

VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15

para x = 0 ! VC = 12 kN

para x = 4 ! VA = 32 kN

MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)

para x = 0 ! MC = 13,5 kN

para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)

trecho CD

NX = 15 kN

VX = 3·(x + 2) + 18 – 15

para x = 0 ! VD = 9 kN

para x = 1 ! VC = 12 kN

MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]

para x = 0 ! MD = 24 kN

para x = 1 ! MC = 13,5 kN

trecho DB

NX = 15 kN

VX = – 15 + 3·x

para x = 0 ! VB = – 15 kN

para x = 2 ! VD = – 9 kN

MX = 15·x – 3·x·(x/2)

para x = 0 ! MB = 0 kN

para x = 2 ! MD = 24 kN

vigaequações de equilíbrio

!N = 0

15 + NA = 0

NA = –15 kN

!V = 0

VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0

VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0

VA = 32 kN

!M = 0

MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0

MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0

MA = – 74,5 kNm

esforços solicitantes

trecho AC

NX = 15 kN

VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15

para x = 0 ! VC = 12 kN

para x = 4 ! VA = 32 kN

MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)

para x = 0 ! MC = 13,5 kN

para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)

trecho CD

NX = 15 kN

VX = 3·(x + 2) + 18 – 15

para x = 0 ! VD = 9 kN

para x = 1 ! VC = 12 kN

MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]

para x = 0 ! MD = 24 kN

para x = 1 ! MC = 13,5 kN

trecho DB

NX = 15 kN

VX = – 15 + 3·x

para x = 0 ! VB = – 15 kN

para x = 2 ! VD = – 9 kN

MX = 15·x – 3·x·(x/2)

para x = 0 ! MB = 0 kN

para x = 2 ! MD = 24 kN

vigaequações de equilíbrio

!N = 0

15 + NA = 0

NA = –15 kN

!V = 0

VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0

VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0

VA = 32 kN

!M = 0

MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0

MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0

MA = – 74,5 kNm

esforços solicitantes

trecho AC

NX = 15 kN

VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15

para x = 0 ! VC = 12 kN

para x = 4 ! VA = 32 kN

MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)

para x = 0 ! MC = 13,5 kN

para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)

trecho CD

NX = 15 kN

VX = 3·(x + 2) + 18 – 15

para x = 0 ! VD = 9 kN

para x = 1 ! VC = 12 kN

MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]

para x = 0 ! MD = 24 kN

para x = 1 ! MC = 13,5 kN

trecho DB

NX = 15 kN

VX = – 15 + 3·x

para x = 0 ! VB = – 15 kN

para x = 2 ! VD = – 9 kN

MX = 15·x – 3·x·(x/2)

para x = 0 ! MB = 0 kN

para x = 2 ! MD = 24 kN

cálculo das reações de apoio

modelo no ftool

cálculos esforços solicitantes

trecho AC

trecho CD

trecho DB

Para realizar os cálculos dos esforços solicitantes, dividimos a análise em três partes, uma para cada trecho da viga — trechos AC, CD e DB. Os cálculos baseiam-se no Teorema do Corte, se-gundo o qual a redução dos esforços de um lado do corte da viga equivale à redução dos esfor-ços do outro lado. Quanto aos valores que são definidos pela variável distância (local do corte), realizamos os cálculos considerando os extremos do trecho analisado (x igual a zero e x igual à máxima distância do trecho).

Adotamos as seguintes convenções de sinal positivo: força normal para a direita, força cortante para cima e momento fletor no sentido horário.

*essas mesmas observações também se aplicam aos cálculos dos trechos da segunda estrutura analisada, o pórtico isostático.

vigaequações de equilíbrio

!N = 0

15 + NA = 0

NA = –15 kN

!V = 0

VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0

VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0

VA = 32 kN

!M = 0

MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0

MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0

MA = – 74,5 kNm

esforços solicitantes

trecho AC

NX = 15 kN

VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15

para x = 0 ! VC = 12 kN

para x = 4 ! VA = 32 kN

MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)

para x = 0 ! MC = 13,5 kN

para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)

trecho CD

NX = 15 kN

VX = 3·(x + 2) + 18 – 15

para x = 0 ! VD = 9 kN

para x = 1 ! VC = 12 kN

MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]

para x = 0 ! MD = 24 kN

para x = 1 ! MC = 13,5 kN

trecho DB

NX = 15 kN

VX = – 15 + 3·x

para x = 0 ! VB = – 15 kN

para x = 2 ! VD = – 9 kN

MX = 15·x – 3·x·(x/2)

para x = 0 ! MB = 0 kN

para x = 2 ! MD = 24 kN

vigaequações de equilíbrio

!N = 0

15 + NA = 0

NA = –15 kN

!V = 0

VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0

VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0

VA = 32 kN

!M = 0

MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0

MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0

MA = – 74,5 kNm

esforços solicitantes

trecho AC

NX = 15 kN

VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15

para x = 0 ! VC = 12 kN

para x = 4 ! VA = 32 kN

MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)

para x = 0 ! MC = 13,5 kN

para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)

trecho CD

NX = 15 kN

VX = 3·(x + 2) + 18 – 15

para x = 0 ! VD = 9 kN

para x = 1 ! VC = 12 kN

MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]

para x = 0 ! MD = 24 kN

para x = 1 ! MC = 13,5 kN

trecho DB

NX = 15 kN

VX = – 15 + 3·x

para x = 0 ! VB = – 15 kN

para x = 2 ! VD = – 9 kN

MX = 15·x – 3·x·(x/2)

para x = 0 ! MB = 0 kN

para x = 2 ! MD = 24 kN

vigaequações de equilíbrio

!N = 0

15 + NA = 0

NA = –15 kN

!V = 0

VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0

VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0

VA = 32 kN

!M = 0

MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0

MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0

MA = – 74,5 kNm

esforços solicitantes

trecho AC

NX = 15 kN

VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15

para x = 0 ! VC = 12 kN

para x = 4 ! VA = 32 kN

MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)

para x = 0 ! MC = 13,5 kN

para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)

trecho CD

NX = 15 kN

VX = 3·(x + 2) + 18 – 15

para x = 0 ! VD = 9 kN

para x = 1 ! VC = 12 kN

MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]

para x = 0 ! MD = 24 kN

para x = 1 ! MC = 13,5 kN

trecho DB

NX = 15 kN

VX = – 15 + 3·x

para x = 0 ! VB = – 15 kN

para x = 2 ! VD = – 9 kN

MX = 15·x – 3·x·(x/2)

para x = 0 ! MB = 0 kN

para x = 2 ! MD = 24 kN

diagramas ftool força normal e força cortante

A C D B

força cortante

força normal

A C D B

A C D B

Observa-se que a força normal é constante por toda a viga, com o valor de 15 kN (o valor obtido pelo FTool equivale ao resultado de nossos cálculos); além disso, nota-se que a força normal é positiva em toda a viga, o que indica que a estrutura está sendo tracionada no eixo horizontal.

Os valores resultantes da análise do FTool correspondem aos nossos resultados, calculados anteriormente. Quanto ao diagrama, observa-se que a força cortante varia linearmente em todos os trechos da viga, já que há forças distribuídas atuando em todos eles; porém, como também há forças pontuais e inclusive a força distribuída varia em cada trecho, o diagrama resultante não é contínuo em toda a viga. Nos trechos AC e CD, os valores da força cortante são positivos, o que indica que, nesses trechos, as fibras superiores estão tracionadas e as inferiores, comprimidas; já no trecho DB, a força é negativa, revelando que nesse trecho ocorre o oposto — é no nó D que ocorre a mudança: à direita do nó a força cortante é negativa e, à esquerda, positiva. A inclinação diferente dos diagramas dos trechos AC e CD é explicada pelo valor, diferente, da força distribuída nos dois trechos — no primeiro, a força é de 5 kN/m e, no segundo, 3 kN/m.

A

C D B

momento fletor

deformada

diagramas ftool momento fletor e deformada

Os valores dos momentos fletores nos nós A, C, D e B revelados pelo FTool equivalem aos resultados obtidos em nossos cálculos. Como em toda a extensão da barra há carregamento distribuído, os diagramas de momentos fletores de todos os trechos têm formas de parábolas — é importante ressaltar esse aspecto, pois, devido à escala do gráfico fornecido pelo FTool, o diagra-ma pode ser confundido com linhas retas.

A deformada dessa estrutura revela uma deformação com duas concavidades: a partir do engasta-mento até o ponto que o momento é nulo, a cavidade é para baixo (já que as fibras superiores estão tracionadas nesse trecho); no restante da viga, a concavidade é para cima (as fibras traciona-das são as inferiores).

A

C D B

A C D B

A

CD

B

A

C D B

2pórtico isostático

equações de equilíbrio reações de apoio

Por meio das equações de equilíbrio, é possível descobrir as reações de apoio do pórtico analisa-do; buscamos três valores: referentes à articulação fixa A, devemos encontrar uma força de reação normal (eixo x) e outra cortante (eixo y), e quanto à articulação móvel B, procuramos somente uma reação de apoio, cortante, já que, por ser móvel, essa articulação não oferece reação de apoio no eixo x.

Sobre as forças, vale destacar dois pontos: primeiro, que o carregamento distribuído de 10 kN/m foi substituído, para efeito de cálculo, por uma força pontual de 50 kN, localizada no meio do trecho DE; segundo, que foi necessário decompor as forças inclinadas em duas forças, nos eixos x e y — além de ser um passo importante para o cálculo das reações de apoio, foi por meio dessa decomposição que incluímos as forças diagonais no modelo do FTool, já que o programa não representa forças inclinadas.

Para calcular as reações de apoio, adotamos como sinal positivo as forças para a direita no eixo x, para cima no eixo y e no sentido horário para o momento fletor.

decomposição das forças inclinadas

esquema do pórtico isostático

A

B

C D FE

G

pórtico

equações de equilíbrio

!N = 0

NA + 30 – 40 – 20 = 0

NA = 30 kN

!V = 0

VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0

VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)

VB = 48 kN

MB = 0

VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0

VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0

VA = 360 / 5

VA = 72 kN

esforços solicitantes

trecho CD

NX = – 30 kN

VX = – 40 kN

MX = 40·x

para x = 0 ! MC = 0

para x = 1,5 ! MD = 60 kNm

trecho AD

NX = – 72 kN

VX = – 30 kN

MX = 30·x

para x = 0 ! MA = 0

para x = 1 ! MD = 30 kNm

trecho DE

NX = –30 – 30 = – 60 kN

VX = – 40 + 72 – 10·x

para x = 0 ! VD = 32 kN

para x = 5 ! VE = – 18 kN

MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30

para x = 0 ! MD = – 90 kNm

para x = 5 ! ME = – 55 kNm

pórtico

equações de equilíbrio

!N = 0

NA + 30 – 40 – 20 = 0

NA = 30 kN

!V = 0

VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0

VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)

VB = 48 kN

MB = 0

VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0

VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0

VA = 360 / 5

VA = 72 kN

esforços solicitantes

trecho CD

NX = – 30 kN

VX = – 40 kN

MX = 40·x

para x = 0 ! MC = 0

para x = 1,5 ! MD = 60 kNm

trecho AD

NX = – 72 kN

VX = – 30 kN

MX = 30·x

para x = 0 ! MA = 0

para x = 1 ! MD = 30 kNm

trecho DE

NX = –30 – 30 = – 60 kN

VX = – 40 + 72 – 10·x

para x = 0 ! VD = 32 kN

para x = 5 ! VE = – 18 kN

MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30

para x = 0 ! MD = – 90 kNm

para x = 5 ! ME = – 55 kNm

pórtico

equações de equilíbrio

!N = 0

NA + 30 – 40 – 20 = 0

NA = 30 kN

!V = 0

VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0

VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)

VB = 48 kN

MB = 0

VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0

VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0

VA = 360 / 5

VA = 72 kN

esforços solicitantes

trecho CD

NX = – 30 kN

VX = – 40 kN

MX = 40·x

para x = 0 ! MC = 0

para x = 1,5 ! MD = 60 kNm

trecho AD

NX = – 72 kN

VX = – 30 kN

MX = 30·x

para x = 0 ! MA = 0

para x = 1 ! MD = 30 kNm

trecho DE

NX = –30 – 30 = – 60 kN

VX = – 40 + 72 – 10·x

para x = 0 ! VD = 32 kN

para x = 5 ! VE = – 18 kN

MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30

para x = 0 ! MD = – 90 kNm

para x = 5 ! ME = – 55 kNm

pórtico

equações de equilíbrio

!N = 0

NA + 30 – 40 – 20 = 0

NA = 30 kN

!V = 0

VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0

VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)

VB = 48 kN

MB = 0

VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0

VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0

VA = 360 / 5

VA = 72 kN

esforços solicitantes

trecho CD

NX = – 30 kN

VX = – 40 kN

MX = 40·x

para x = 0 ! MC = 0

para x = 1,5 ! MD = 60 kNm

trecho AD

NX = – 72 kN

VX = – 30 kN

MX = 30·x

para x = 0 ! MA = 0

para x = 1 ! MD = 30 kNm

trecho DE

NX = –30 – 30 = – 60 kN

VX = – 40 + 72 – 10·x

para x = 0 ! VD = 32 kN

para x = 5 ! VE = – 18 kN

MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30

para x = 0 ! MD = – 90 kNm

para x = 5 ! ME = – 55 kNm

pórtico

equações de equilíbrio

!N = 0

NA + 30 – 40 – 20 = 0

NA = 30 kN

!V = 0

VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0

VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)

VB = 48 kN

MB = 0

VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0

VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0

VA = 360 / 5

VA = 72 kN

esforços solicitantes

trecho CD

NX = – 30 kN

VX = – 40 kN

MX = 40·x

para x = 0 ! MC = 0

para x = 1,5 ! MD = 60 kNm

trecho AD

NX = – 72 kN

VX = – 30 kN

MX = 30·x

para x = 0 ! MA = 0

para x = 1 ! MD = 30 kNm

trecho DE

NX = –30 – 30 = – 60 kN

VX = – 40 + 72 – 10·x

para x = 0 ! VD = 32 kN

para x = 5 ! VE = – 18 kN

MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30

para x = 0 ! MD = – 90 kNm

para x = 5 ! ME = – 55 kNm

pórtico

equações de equilíbrio

!N = 0

NA + 30 – 40 – 20 = 0

NA = 30 kN

!V = 0

VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0

VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)

VB = 48 kN

MB = 0

VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0

VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0

VA = 360 / 5

VA = 72 kN

esforços solicitantes

trecho CD

NX = – 30 kN

VX = – 40 kN

MX = 40·x

para x = 0 ! MC = 0

para x = 1,5 ! MD = 60 kNm

trecho AD

NX = – 72 kN

VX = – 30 kN

MX = 30·x

para x = 0 ! MA = 0

para x = 1 ! MD = 30 kNm

trecho DE

NX = –30 – 30 = – 60 kN

VX = – 40 + 72 – 10·x

para x = 0 ! VD = 32 kN

para x = 5 ! VE = – 18 kN

MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30

para x = 0 ! MD = – 90 kNm

para x = 5 ! ME = – 55 kNm

cálculo das reações de apoio

modelo no ftool

cálculos esforços solicitantes

pórtico

equações de equilíbrio

!N = 0

NA + 30 – 40 – 20 = 0

NA = 30 kN

!V = 0

VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0

VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)

VB = 48 kN

MB = 0

VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0

VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0

VA = 360 / 5

VA = 72 kN

esforços solicitantes

trecho CD

NX = – 30 kN

VX = – 40 kN

MX = 40·x

para x = 0 ! MC = 0

para x = 1,5 ! MD = 60 kNm

trecho AD

NX = – 72 kN

VX = – 30 kN

MX = 30·x

para x = 0 ! MA = 0

para x = 1 ! MD = 30 kNm

trecho DE

NX = –30 – 30 = – 60 kN

VX = – 40 + 72 – 10·x

para x = 0 ! VD = 32 kN

para x = 5 ! VE = – 18 kN

MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30

para x = 0 ! MD = – 90 kNm

para x = 5 ! ME = – 55 kNm

trecho CD

pórtico

equações de equilíbrio

!N = 0

NA + 30 – 40 – 20 = 0

NA = 30 kN

!V = 0

VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0

VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)

VB = 48 kN

MB = 0

VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0

VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0

VA = 360 / 5

VA = 72 kN

esforços solicitantes

trecho CD

NX = – 30 kN

VX = – 40 kN

MX = 40·x

para x = 0 ! MC = 0

para x = 1,5 ! MD = 60 kNm

trecho AD

NX = – 72 kN

VX = – 30 kN

MX = 30·x

para x = 0 ! MA = 0

para x = 1 ! MD = 30 kNm

trecho DE

NX = –30 – 30 = – 60 kN

VX = – 40 + 72 – 10·x

para x = 0 ! VD = 32 kN

para x = 5 ! VE = – 18 kN

MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30

para x = 0 ! MD = – 90 kNm

para x = 5 ! ME = – 55 kNm

trecho AD

pórtico

equações de equilíbrio

!N = 0

NA + 30 – 40 – 20 = 0

NA = 30 kN

!V = 0

VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0

VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)

VB = 48 kN

MB = 0

VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0

VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0

VA = 360 / 5

VA = 72 kN

esforços solicitantes

trecho CD

NX = – 30 kN

VX = – 40 kN

MX = 40·x

para x = 0 ! MC = 0

para x = 1,5 ! MD = 60 kNm

trecho AD

NX = – 72 kN

VX = – 30 kN

MX = 30·x

para x = 0 ! MA = 0

para x = 1 ! MD = 30 kNm

trecho DE

NX = –30 – 30 = – 60 kN

VX = – 40 + 72 – 10·x

para x = 0 ! VD = 32 kN

para x = 5 ! VE = – 18 kN

MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30

para x = 0 ! MD = – 90 kNm

para x = 5 ! ME = – 55 kNm

trecho DE

trecho EF

NX = – 40 kN

VX = 30 kN

MX = 30·x

para x = 0 ! MF = 0

para x = 1 ! ME = 30 kNm

trecho BG

NX = 0

VX = – 48 kN

MX = 0

trecho EG

NX = – 48 kN

VX = 20 kN

MX = 20·x

para x = 0 ! MG = 0

para x = 1,25 ! ME = 25 kNm

trecho EF

trecho EF

NX = – 40 kN

VX = 30 kN

MX = 30·x

para x = 0 ! MF = 0

para x = 1 ! ME = 30 kNm

trecho BG

NX = 0

VX = – 48 kN

MX = 0

trecho EG

NX = – 48 kN

VX = 20 kN

MX = 20·x

para x = 0 ! MG = 0

para x = 1,25 ! ME = 25 kNm

trecho BG

trecho EF

NX = – 40 kN

VX = 30 kN

MX = 30·x

para x = 0 ! MF = 0

para x = 1 ! ME = 30 kNm

trecho BG

NX = 0

VX = – 48 kN

MX = 0

trecho EG

NX = – 48 kN

VX = 20 kN

MX = 20·x

para x = 0 ! MG = 0

para x = 1,25 ! ME = 25 kNm

trecho EG

diagramas ftool força normal

O diagrama de forças normais gerado pelo FTool confere com os dados obtidos manualmente. Os valores negativos indicam, por convenção, que esta estrutura está submetida a esforços normais de compressão em todos seus trechos.

A

B

C D FE

G

A

B

C D FE

G

As forças cortantes encontradas manualmente também coincidem com as resoluções do Ftool. Nota-se que a carga distribuída presente no trecho DE da estrutura resulta na variação linear da força cortante, revelada pelo diagrama acima; já nos outros trechos, como só atuam forças pon-tuais, as forças cortantes são constantes. No trecho BG a força cortante é nula, pois o apoio em B é uma articulação móvel — ou seja, não oferece uma reação de apoio horizontal (eixo-x), que atuaria, caso não fosse nula, como força cortante no trecho BG.

diagramas ftool força cortante

A

B

C D FE

G

A

B

C D FE

G

As informações obtidas outra vez coincidem. Observa-se que o trecho com carregamento dis-tribuído (DE) resulta em um gráfico em parábola, conforme previsto, enquanto os trechos restant-es apresentam diagramas que variam linearmente. No trecho BG não há momento fletor, pois não há uma força cortante atuando nesse trecho — que provocaria o momento. Importante notar que o lado para o qual o diagrama está traçado indica o lado das fibras tracionadas da barra; com essas informações, é possível traçar a deformada da viga.

diagramas ftool momento fletor

A

B

C D FE

G

A

B

C D FE

G

diagramas ftool deformada

Como esperado, a deformada gerada pelo programa indica na estrutura a tendência de se arquear com concavidade para baixo. Observa-se claramente nessa deformada o apoio móvel da direita se movendo horizontalmente, conforme as deformações da estrutura; este apoio garante que as possíveis deformações resultadas com o tempo e com as variações de dimensão por dilatação não levem a estrutura à ruptura.

A

B

C

D

F

E

G

A

B

C

D

F

E

G