reticulados via polinomios de grau 2 e 3ˆ - fc.unesp.br · reticulados via polinomios de grau 2 e...

14
ISSN 2316-9664 Volume 10, dez. 2017 Edic ¸˜ ao Ermac Carina Alves UNESP - Universidade Estadual Paulista “J´ ulio de Mequita Filho”, Rio Claro [email protected] Cintya Wink de Oliveira Benedito UNESP - Universidade Estadual Paulista “J´ ulio de Mequita Filho”, S˜ ao Jo˜ ao da Boa Vista [email protected] William Lima da Silva Pinto UNESP - Universidade Estadual Paulista “J´ ulio de Mequita Filho”, Rio Claro [email protected] Reticulados via polin ˆ omios de grau 2 e 3 Lattices via polynomials of degree 2 and 3 Resumo A teoria de reticulados alg´ ebricos tˆ em ganhado destaque nos ´ ultimos anos devido ` as aplicac ¸˜ oes na Teoria da Informac ¸˜ ao, mais especifica- mente, constelac ¸˜ oes de sinais tendo uma estrutura de reticulados tem sido usada como suporte para a transmiss˜ ao de sinais sobre os canais gaussiano e com desvanecimento do tipo Rayleigh. O problema de en- contrar boas constelac ¸˜ oes de sinais para um canal gaussiano est´ a asso- ciado ` a procura por reticulados com alta densidade de empacotamento, que ´ e a proporc ¸˜ ao do espac ¸o R n coberta pela uni˜ ao de esferas de mesmo raio de forma que a intersecc ¸˜ ao de quaisquer duas esferas tenha no aximo um ponto. Os reticulados de maior densidade de empacota- mento s˜ ao conhecidos apenas nas dimens˜ oes 1 a 8 e 24. Assim, neste trabalho propomos uma construc ¸˜ ao de reticulados que tem a melhor densidade de empacotamento nas dimens˜ oes 2 e 3. Para isso, fazemos o uso de polin ˆ omios de grau 2 e 3 sobre Q. Palavras-chave: Reticulados. Polinˆ omios. Densidade de empacota- mento. Norma m´ ınima. Ra´ ızes. Abstract The algebraic lattice theory has won featured in recent years due to the applications in the Information Theory, more specifically, signal cons- tellations having a lattice structure have been used as support for trans- mitting signals over the Gaussian and Rayleigh fading channels. The problem of finding good constellations of signals to a Gaussian chan- nel is associated with the search for lattices with high packing density, which is the proportion of the space R n covered by the union of sphe- res of the same radius so that the intersection of any two spheres has a maximum of one point. The lattices having the highest packing density are known only in the dimensions 1 to 8 and 24. Thus, in this work we propose a construction of lattices that have the best packing density in dimensions 2 and 3. For this, we make use of polynomials of degree 2 and 3 over Q. Keywords: Lattices. Polynomials. Packing density. Minimum norm. Roots. Iniciação Científica

Upload: nguyennhu

Post on 24-Nov-2018

214 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

ISSN 2316-9664Volume 10, dez. 2017

Edicao Ermac

Carina AlvesUNESP - Universidade EstadualPaulista “Julio de MequitaFilho”, Rio [email protected]

Cintya Wink de OliveiraBeneditoUNESP - Universidade EstadualPaulista “Julio de MequitaFilho”, Sao Joao da Boa [email protected]

William Lima da Silva PintoUNESP - Universidade EstadualPaulista “Julio de MequitaFilho”, Rio [email protected]

Reticulados via polinomios de grau 2 e 3Lattices via polynomials of degree 2 and 3

ResumoA teoria de reticulados algebricos tem ganhado destaque nos ultimosanos devido as aplicacoes na Teoria da Informacao, mais especifica-mente, constelacoes de sinais tendo uma estrutura de reticulados temsido usada como suporte para a transmissao de sinais sobre os canaisgaussiano e com desvanecimento do tipo Rayleigh. O problema de en-contrar boas constelacoes de sinais para um canal gaussiano esta asso-ciado a procura por reticulados com alta densidade de empacotamento,que e a proporcao do espaco Rn coberta pela uniao de esferas de mesmoraio de forma que a interseccao de quaisquer duas esferas tenha nomaximo um ponto. Os reticulados de maior densidade de empacota-mento sao conhecidos apenas nas dimensoes 1 a 8 e 24. Assim, nestetrabalho propomos uma construcao de reticulados que tem a melhordensidade de empacotamento nas dimensoes 2 e 3. Para isso, fazemoso uso de polinomios de grau 2 e 3 sobre Q.

Palavras-chave: Reticulados. Polinomios. Densidade de empacota-mento. Norma mınima. Raızes.

AbstractThe algebraic lattice theory has won featured in recent years due to theapplications in the Information Theory, more specifically, signal cons-tellations having a lattice structure have been used as support for trans-mitting signals over the Gaussian and Rayleigh fading channels. Theproblem of finding good constellations of signals to a Gaussian chan-nel is associated with the search for lattices with high packing density,which is the proportion of the space Rn covered by the union of sphe-res of the same radius so that the intersection of any two spheres has amaximum of one point. The lattices having the highest packing densityare known only in the dimensions 1 to 8 and 24. Thus, in this work wepropose a construction of lattices that have the best packing density indimensions 2 and 3. For this, we make use of polynomials of degree 2and 3 over Q.

Keywords: Lattices. Polynomials. Packing density. Minimum norm.Roots.

Iniciação Científica

1 Introducao

Um dos parametros para se encontrar bons codigos corretores de erros esta ligado ao pro-blema do empacotamento de esferas, que surgiu a partir do 18o Problema de Hilbert, que e umaforma de dispor esferas no espaco euclidiano de modo a cobrir a maior parte do espaco. Esteproblema e denominado de empacotamento esferico, e quando o conjunto de centros das esferasformam um subgrupo discreto do Rn, estes empacotamentos passam a se chamar empacotamen-tos reticulados. A partir daı, passaram a associar o estudo dos codigos aos reticulados e surgiramvarias famılias de reticulados. Dentre tais famılias destaca-se a famılia dos reticulados que saoobtidos via o homomorfismo de Minkowski. Pode-se mostrar que a imagem de tal homomorfismoquando aplicado no anel dos inteiros de um corpo de numeros ou em um ideal no anel dos intei-ros de um corpo de numeros e um reticulado no Rn. Posteriormente surgiram perturbacoes destehomomorfismo de modo a obter outras famılias de reticulados. Um outro metodo ainda poucoexplorado de obter reticulados que sera apresentado neste trabalho, consiste em obter reticula-dos via polinomios irredutıveis sobre o corpo dos racionais. Assim, neste trabalho apresentamosconstrucoes de versoes rotacionadas dos reticulados A2 e D3, a partir de polinomios f (x) de grau2 e g(x) de grau 3, respectivamente. Consideramos o caso em que f (x) e g(x) possuem raızes re-ais e f (x) possui raızes complexas. O metodo utilizado neste trabalho foi proposto em [1], poremadaptacoes nas demonstracoes de alguns resultados e novos exemplos foram considerados.

2 Reticulados

Nesta secao faremos um breve estudo sobre os reticulados, definindo-os e apresentando suasprincipais propriedades.

Definicao 1 Sejam {v1,v2, ...,vm} vetores linearmente independentes do Rn. O conjunto de pon-tos

Λ =

{x =

m

∑i=1

λivi,λi ∈ Z

}e chamado reticulado de dimensao m e {v1,v2, ...,vm} e chamado de base do reticulado.

Exemplo 2 O reticulado Λ = A2 e gerado pelos vetores e1 = (1,0), e2 = (−12 ,√

32 ) e e chamado

de reticulado hexagonal.

Definicao 3 Seja {v1, . . . ,vm} uma base de um reticulado. O paralelepıpedo formado pelos pon-tos

λ1v1 + · · ·+λmvm, 0≤ λi < 1

e chamado de paralelepıpedo fundamental ou regiao fundamental do reticulado.

Definicao 4 Seja {v1, . . . ,vm} uma base de Λ. Se vi = (vi1, . . . ,vin), para i = 1, · · · ,m, a matriz

M =

v11 v12 . . . v1nv21 v22 . . . v2n

. . .vm1 vm2 . . . vmn

ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,

Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

40

e chamada de matriz geradora do reticulado Λ. A matriz G = MMt e chamada de matriz deGram do reticulado, onde t denota a transposicao.

Assim, os pontos do reticulado sao formados por

Λ = {x = λM | λ ∈ Zm}.

Definicao 5 O determinante do reticulado Λ e definido como sendo o determinante da matriz G,ou seja,

det(Λ) = det(G).

Um reticulado Λ e dito ter posto maximo se m = n, e neste caso M e uma matriz quadrada.Assim,

det(Λ) = (det(M))2.

Definicao 6 Para reticulados de posto maximo, a raiz quadrada do determinante do reticulado eo volume da regiao fundamental, tambem chamado volume do reticulado, e denotado por Vol(Λ).

E importante observar que o mesmo reticulado pode ser representado por mais de umamatriz, e o fato de dois reticulados terem o mesmo determinante nao e suficiente para que elessejam isomorfos.

Definicao 7 Um empacotamento esferico, ou simplesmente um empacotamento no Rn, e umadistribuicao de esferas de mesmo raio no Rn de forma que a intersecao de quaisquer duas esferastenha no maximo um ponto. Um empacotamento reticulado e um empacotamento em que oconjunto dos centros das esferas formam um reticulado Λ no Rn. Alem disso, ρ = min{|v|; v ∈Λ, v 6= 0}/2 e o maior raio para o qual e possıvel distribuir esferas centradas nos pontos de Λ eobter um empacotamento, este raio e entao chamado de raio de empacotamento.

Seja Λ ⊂ Rn um reticulado e denotemos por B(ρ) a esfera com centro na origem e raio ρ,podemos obter uma expressao para calcular a densidade de empacotamento de Λ. Temos que

∆(Λ) =volume da regiao coberta por uma esfera

volume da regiao fundamental=

Vol(B(ρ))Vol(Λ)

=Vol(B(1))(ρ)n

Vol(Λ).

Como o valor de Vol(B(1)) e conhecido, podemos reduzir nosso estudo ao calculo deρn

Vol(Λ)que definiremos a seguir.

Definicao 8 Seja Λ⊂ Rn um reticulado. Definimos a densidade de centro de Λ por

δ (Λ) =ρn

Vol(Λ),

onde ρ e o raio de empacotamento de Λ e Vol(Λ) seu volume.

ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,

Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

41

Um dos problemas de empacotamento esferico de um reticulado no Rn e encontrar o empaco-tamento com maior densidade de centro. Na dimensao um, temos que os pontos de coordenadasinteiras da reta formam um Z-reticulado cuja a densidade de centro e a melhor possıvel dada porδ = 1.

Na dimensao dois o reticulado hexagonal A2 (favo de mel) e o de maior densidade de centro,

dada por δ =1√12≈ 0,28868.

Na dimensao 3 o reticulado conhecido como f cc, (face centered cubic) e o de maior densidade

de centro, sendo essa δ =1√32≈ 0,17678.

E conhecido e provado que as densidades de centro dos reticulados A1, A2, D3,D4, D5, E6, E7, E8 e Λ24, de dimensoes 1 a 8 e 24, respectivamente, sao otimas. Para outrasdimensoes nao se sabe as otimas.

3 Reticulados de dimensao 2 via polinomios de grau 2 com raızes reais

O objetivo desta secao e apresentar uma construcao de reticulados de dimensao 2 via po-linomios de grau 2 com duas raızes reais. O Teorema 13 mostrara que e possıvel obter versoesrotacionadas do reticulado A2, que como vimos, e o reticulado mais denso na dimensao 2.

Seja f (x) = x2 +ax+b um polinomio de grau 2 monico e com coeficientes inteiros e sejamα,β ∈ R as raızes de f . Como queremos que α e β sejam reais devemos ter

∆ = a2−4b > 0.

A partir das raızes α e β , podemos definir um reticulado Λ f ⊆ R2 gerado pela base {v1,v2},onde v1 = (α,β ) e v2 = (β ,α). Temos que uma matriz geradora de Λ f sera dada por

M =

(α β

β α

). (1)

Sendo ρ o raio de empacotamento do reticulado Λ f segue da Definicao 6 e da Definicao 8,que a densidade de centro de Λ f e dada por

δ (Λ f ) =ρ2

Vol(Λ f )=

ρ2

|det(M)|.

Assim, para calcularmos a densidade de centro de Λ f precisamos encontrar expressoes para ocalculo de ρ e de det(M). O resultado que veremos a seguir nos da uma expressao para o modulodo determinante da matriz M.

Proposicao 9 ([1]) Seja f (x) = x2 + ax+ b um polinomio monico com coeficientes inteiros esejam α e β as duas raızes reais de f . Se Λ f e o reticulado com matriz geradora M dada em (1),entao o modulo do determinante da matriz M e dado por

|det(M)|= |a|√

∆, onde ∆ = a2−4b.

Exemplo 10 Sejam f (x) = x2− 4x+ 2 um polinomio de grau 2 com raızes reais α e β . Temosque ∆ = (−4)2−4.1.2 = 8 > 0. Assim, se Λ f e o reticulado com base {(α,β ),(β ,α)} e matrizgeradora M como em (1), segue pela Proposicao 9 que

|det(M)|= |a|√

∆ = 4√

8 = 8√

2.

ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,

Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

42

Pela Definicao 7, vimos que o maior raio de empacotamento de um reticulado Λ e ρ =min{|v|; v ∈ Λ, v 6= 0}/2. Assim, para que tenhamos um raio de empacotamento maximo de-vemos encontrar um vetor de Λ f cuja norma seja mınima. A seguir, veremos uma expressao parao calculo da norma de um vetor qualquer de Λ f .

Proposicao 11 Se f (x) = x2 + ax+ b ∈ Z[x] com raızes reais α e β , Λ f e o reticulado de di-mensao 2 gerado pela base {v1,v2}, onde v1 = (α,β ) e v2 = (β ,α), e v ∈ Λ f , tal que v =z1v1 + z2v2, com z1,z2 ∈ Z, entao,

|v|2 = a2(z12 + z2

2)−2b(z1− z2)2.

Demonstracao: Temos que:

|v|2 = v · v = z21v2

1 +2z1z2v1v2 + z22v2

2.

Observe que, para i = 1,2, segue que

v2i = vi · vi = α

2 +β2

=

(−a+

√∆

2

)2

+

(−a−

√∆

2

)2

=a2−2a

√∆+∆

4+

a2 +2a√

∆+∆

4

=a2∆

2= a2−2b,

e

v1 · v2 = 2αβ

= 2

(−a+

√∆

2

(−a−

√∆

2

)

=a2−∆

2= 2b

Assim,

|v|2 = (a2−2b)(z21 + z2

2)+2(2b)z1z2= a2(z2

1 + z22)−2b(z2

1 + z22− z1z2)

= a2(z12 + z2

2)−2b(z1− z2)2

como querıamos .Agora que temos uma expressao para calcular a norma de um vetor de Λ f resta saber onde

este vetor atinge norma mınima e daı teremos o raio de empacotamento do reticulado e portantopodemos calcular efetivamente a densidade de centro do reticulado Λ f . Nestas condicoes, adensidade de centro de Λ f e dada por

δ (Λ f ) =

(√ψ12

)2

| a |√

∆, (2)

onde ψ1 = min{v = a2(z21 + z2

2)−2b(z1− z2)2 | z1,z2 ∈ Z}.

ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,

Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

43

Exemplo 12 Nas condicoes do Exemplo 10, seja v= z1v1+z2v2 ∈Λ f . Pela Proposicao 11 segueque

|v|2 = 16(z21 + z2

2)−4(z1− z2)2

e, este vetor assume valor mınimo 12 quando tomamos z1 = 1 e z2 = 0. Logo, a densidade decentro do reticulado Λ f e dada por

δ (Λ f ) =(√

122 )2

8√

2=

38√

2∼= 0,2651.

Vimos que o reticulado A2 e o reticulado mais denso na dimensao 2, cuja densidade de centroe δ (A2) ∼= 0,28868. No resultado a seguir apresentamos uma condicao sobre os coeficientes dopolinomio f para que o reticulado Λ f tenha a mesma densidade de centro do reticulado A2.

Teorema 13 ([1]) Sejam f (x) = x2 + ax+ b ∈ Z[x] com raızes reais α e β , Λ f o reticulado dedimensao 2 gerado pela base {v1,v2}, onde v1 = (α,β ) e v2 = (β ,α). Se a2

6 = b, entao Λ f possuia maior densidade de centro possıvel para dimensao 2.

Demonstracao: Seja f (x) = x2 + ax+ b, a,b ∈ Z tal que a2

6 = b e seja v = z1v1 + z2v2, comz1,z2 ∈Q um vetor de Λ f . Pela Proposicao 11 temos que

|v|2 = a2(z12 + z2

2)−2b(z1− z2)2

= 6b(z12 + z2

2)−2b(z1− z2)2.

Observe que esta forma quadratica assume valor mınimo 4b quando z1 = 1 e z2 = 0. Logo,

ψ1 = min{v = 6b(z21 + z2

2)−2b(z1− z2)2 | z1,z2 ∈ Z}= 4b. (3)

Agora, pela Proposicao 9 temos

|det(M)|= |a|√

a2−4b =√

6b√

2b = 2√

3b. (4)

Logo, por (2), (3) e (4) segue que a densidade de centro de Λ f sera dada por

δ (Λ f ) =(√

4b2 )2

2√

3b=

b2√

3b=

12√

3∼= 0,28868,

que e a mesma densidade de centro do reticulado A2. Portanto, Λ f possui densidade de centrootima para dimensao 2.

Observe que a partir do Teorema 13, obtemos uma famılia de reticulados de dimensao 2 comdensidade de centro otima, basta que o coeficiente a do polinomio f (x) = x2 + ax+ b divida 6,ou seja, tomando a =±6,12,18,24, ... teremos a condicao satisfeita. A seguir, explicitamos estaconstrucao para a =−6 e a = 12.

Exemplo 14 Sejam f (x) = x2− 6x+ 6, α,β ∈ R as raızes de f e v = z1v1 + z2v2 ∈ Λ f , ondev1 = (α,β ) e v2 = (β ,α). Temos que

|v|2 = 36(z12 + z2

2)−12(z1− z2)2,

ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,

Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

44

que assume o valor mınimo 24. Temos ainda que

|det(M)|= |a|√

a2−4b = 6√

12 = 12√

3.

Portanto,

δ (Λ f ) =(√

242 )

12√

3=

2448√

3=

12√

3,

que e a densidade otima para dimensao 2.

Exemplo 15 Sejam f (x) = x2 +12x+24, α,β ∈ R as raızes de f e v = z1v1 + z2v2 ∈ Λ f , v1 =(α,β ) e v2 = (β ,α). Temos que

|v|2 = 144(z12 + z2

2)−48(z1− z2)2

assume valor mınimo 48. Temos ainda que,

|det(M)|= |a|√

a2−4b = 12√

12 = 24√

3.

Com isso

δ (Λ f ) =(√

482 )

12√

3=

122√

3=

12√

3,

que e a densidade otima para dimensao 2.

4 Reticulados de dimensao 2 via polinomios de grau 2 com raızes complexas conjugadas

O objetivo desta secao e apresentar uma construcao de reticulados de dimensao 2 via po-linomios de grau 2 com duas raızes complexas conjugadas. O Teorema 20 mostrara que e possıvelobter reticulados que sao versoes rotacionadas do reticulado A2 utilizando tais polinomios.

Seja f (x) = x2+ax+b, um polinomio monico com coeficientes inteiros e γ1,γ2 ∈C as raızesde f . Como queremos que f nao tenha reais devemos ter

∆ = a2−4b < 0.

Consideremos γ1 = α + iβ e γ2 = α − iβ , com α,β ∈ R e β 6= 0 as raızes de f . Podemosdefinir Λ f ⊂ R2 um reticulado gerado pela base {v1,v2}, onde v1 = (α,β ) e v2 = (α,−β ).Temos que uma matriz geradora de Λ f sera dada por

M =

(α β

α −β

). (5)

Da mesma forma como no caso anterior, queremos encontrar expressoes para o calcular ρ

e det(M), para poder calcular a densidade de centro destes reticulados. No resultado a seguirveremos uma expressao para o calculo de |det(M)|.

Proposicao 16 ([1]) Se f (x) = x2+ax+b∈Z[x] com raızes complexas α± iβ , α,β ∈R, β 6= 0e M e a matriz dada em (5), entao o modulo do determinante de M e dado por

|det(M)|= |a|√−∆

2, onde ∆ = a2−4b < 0.

ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,

Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

45

Exemplo 17 Sejam f (x) = x2+x+2 um polinomio de grau 2 com raızes complexas conjugadasα + iβ ,α− iβ ∈ C. Temos que: ∆ = 12−4.1.2 =−7 < 0. Assim, se Λ f e o reticulado com base{(α,β ),(α,−β )} e matriz geradora M, segue pela Proposicao 16 que

|det(M)|= |a|√−∆

2=

√7

2.

Vejamos agora um resultado que nos da uma expressao para o calculo da norma de um vetorde Λ f .

Proposicao 18 ([1]) Se f (x)= x2+ax+b∈Z[x] com raızes complexas conjugadas α±iβ , α,β ∈R, β 6= 0, Λ f e o reticulado de dimensao 2 gerado pela base {v1,v2}, onde v1 = (α,β ) ev2 = (α,−β ), e v ∈ Λ f , tal que v = z1v1 + z2v2, com z1,z2 ∈Q, entao,

|v|2 = a2

4(z1 + z2)

2 +4b−a2

4(z1− z2)

2.

Demonstracao: Sejam γ1 = α + iβ e γ2 = α − iβ , com α,β ∈ R e β 6= 0 as raızes de f ev = z1v1 + z2v2, com v1 = (α,β ), v2 = (α,−β ) e z1,z2 ∈Q. Temos que

v = z1(α,β )+ z2(α,−β ) = (α(z1 + z2),β (z1− z2)).

Logo,

|v|2 = α2(z1 + z2)

2 +β2(z1− z2)

2

=

(−a2

)2

(z1 + z2)2 +

(√−∆

2

)2

(z1− z2)2

=a2

4(z1 + z2)

2 +4b−a2

4(z1− z2)

2,

como querıamos mostrar.A partir das Proposicoes 16 e 18, a densidade de centro do reticulado Λ f e dada por

δ (Λ f ) =

(√ψ22

)2

a√−∆

2

, (6)

onde ψ2 = min{v = a2

4 (z1 + z2)2 + 4b−a2

4 (z1− z2)2 | z1,z2 ∈ Z}.

Exemplo 19 Nas condicoes do Exemplo 17, seja v = z1v1+z2v2 ∈Λ f . Pela Proposicao 18 segueque

|v|2 = (z1 + z2)2 +7(z1− z2)

2

4e, este vetor assume o valor mınimo 1 quando tomamos z1 = 1 e z2 = 1. Portanto, a densidadede centro do reticulado Λ f e dada por

δ (Λ f ) =

(12

)2∣∣∣√72

∣∣∣ = 12√

7∼= 0,18898.

ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,

Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

46

Com o seguinte teorema, temos novamente um famılia de reticulados de posto 2 com densi-dade de centro otima.

Teorema 20 ([1]) Sejam f (x)= x2+ax+b∈Z[x] com raızes complexas conjugadas α±iβ , α,β ∈R, β 6= 0, Λ f o reticulado de dimensao 2 gerado pela base {v1,v2}, onde v1 = (α,β ) e v2 =(α,−β ). Se f satisfaz a condicao a2 = b, entao o reticulado Λ f possui densidade de centrootima.

Demonstracao: Seja f (x) = x2 + ax+ b, a,b ∈ Z tal que a2 = b e seja v = z1v1 + z2v2, comz1,z2 ∈Q um vetor de Λ f . Pela Proposicao 18 temos que

|v|2 =a2

4(z1 + z2)

2 +4b−a2

4(z1− z2)

2

=b4(z1 + z2)

2 +3b4(z1− z2)

2.

Observe que esta forma quadratica assume valor mınimo b quando z1 = 1 e z2 = 0. Logo,

ψ2 = min{

v =a2

4(z1 + z2)

2 +4b−a2

4(z1− z2)

2 | z1,z2 ∈ Z}= b. (7)

Agora, pela Proposicao 16 temos

|det(M)|= |a|√−(a2−4b)

2=√

b√

3b = b√

3. (8)

Por, (6), (7) e (8) segue que a densidade de centro de Λ f sera dada por

δ (Λ f ) =(√

b2 )2

b√

3=

b2b√

3=

12√

3∼= 0,28868,

que e a mesma densidade de centro do reticulado A2. Portanto, Λ f possui densidade de centrootima para dimensao 2.

Como vimos no Teorema 20, fazendo a2 = b no polinomio f (x) = x2 + ax+ b com raızescomplexas conjugadas obtemos uma famılia de reticulados em dimensao 2 com a mesma densi-dade de centro do reticulado A2. A seguir explicitaremos esta construcao para a =−2.

Exemplo 21 Sejam f (x) = x2−2x+4, α± iβ ∈ C as raızes de f e v = z1v1 + z2v2 ∈ Λ f , ondev1 = (α,β ) e v2 = (α,−β ). Temos que

|v|2 = 22

4(z1 + z2)

2 +4.4−4

4(z1− z2)

2,

que assume o valor mınimo 4, quando z1 = 1 e z2 = 0. Alem disso,

|det(M)|= |a|√−(a2−4b)

2=|−2|

√12

2=√

12.

Portanto,

δ (Λ f ) =

(√4

2

)√

12=

1√12∼= 0,28868,

que e a densidade otima para dimensao 2.

ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,

Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

47

5 Reticulados de dimensao 3 via polinomios de grau 3 com raızes reais

O objetivo desta secao e apresentar uma construcao de reticulados de dimensao 3 via po-linomios de grau 3 com 3 raızes reais. O Teorema 27 mostrara que e possıvel obter reticuladosque sao versoes rotacionadas do reticulado D3 via tais polinomios, que como vimos e o reticuladocom a melhor densidade de centro na dimensao 3.

Seja f (x)= x3+ax2+bx+c um polinomio monico com coeficientes inteiros e sejam α,β ,γ ∈C as raızes de f . Queremos que f possua somente raızes reais. Iniciamos mostrando um resul-tado que nos garante esta condicao.

Proposicao 22 ([1]) Seja f (x) = x3 +ax2 +bx+ c um polinomio monico com coeficientes intei-ros. Para que as raızes de f sejam reais e necessario e suficiente que

a2−3b > 0 e (√

a2−3b)3 >

∣∣∣∣2a2−9ab+27c2

∣∣∣∣ .Demonstracao: Uma condicao necessaria e suficiente para que as raızes de f sejam todas reais eque sua derivada se anule em dois pontos distintos e que a funcao f aplicada nestes pontos tenhamsinais distintos. Assim, se f (x) = x3+ax2+bx+c, com a,b,c∈Z temos que sua derivada e dadapor f ′(x) = 3x2 +2ax+b cujas raızes sao

x1 =−a−

√a2−3b

3e x2 =

−a+√

a2−3b3

.

Daı, segue que a2−3b > 0 deve ser um numero positivo. Agora,

f (x1) = x21 +ax2

1 +bx1 + c

=

(−a−

√a2−3b

3

)3

+a

(−a−

√a2−3b

3

)2

+b

(−a−

√a2−3b

3

)+ c

=127

(2a3 +2(√

a2−3b)3−9ab+27c)

e, portanto, f (x1)> 0 se, e somente se,

(√

a2−3b)3 >2a2−9ab+27c

2.

Analogamente,

f (x2) =1

27(2a3 +2(

√a2−3b)3−9ab+27c)

e, portanto, f (x2)< 0 se, e somente se,

(√

a2−3b)3 >2a2−9ab+27c

2.

Logo, para que as raızes de f sejam reais devemos ter

a2−3b > 0 e (√

a2−3b)3 >

∣∣∣∣2a2−9ab+27c2

∣∣∣∣ ,

ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,

Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

48

como querıamos.Sejam α,β ,γ ∈R as raızes de f (x) = x3+ax2+bx+c∈Z[x] que satisfazem as condicoes da

Proposicao 22. Podemos definir Λ f ⊂ R3 como o reticulado gerado pela base {v1,v2,v3}, ondev1 = (α,β ,γ), v2 = (γ,α,β ) e v3 = (β ,γ,α). Temos que uma matriz geradora de Λ f sera

M =

α β γ

γ α β

β γ α

(9)

e sua densidade de centro sera dada por:

δ (Λ f ) =ρ3

|det(M)|,

onde ρ e o raio de empacotamento de Λ f .Da mesma forma como para dimensao 2, queremos encontrar expressoes para o calcular ρ e

det(M). No resultado a seguir veremos uma expressao para o calculo de det(M).

Proposicao 23 ([1]) Seja f (x) = x3 +ax2 +bx+ c um polinomio monico com coeficientes intei-ros e sejam α,β ,γ as raızes de f , satisfazendo a condicao da Proposicao 22. Se Λ f e o reticuladoobtido a partir de f com matriz geradora M como dada em (9), entao o modulo do determinantede M e dado por

|det(M)|= |a(a2−3b)|.

Demonstracao: Temos que o determinante de M sera dado por

det(M) = α3 +β

3 + γ3−3αβγ.

Das relacoes de Girard segue que: α +β + γ =−a

αβ +αγ +βγ = bβγα =−c

,

assim,(α +β + γ)2 = α

2 +β2 + γ

2 +2(αβ +αγ +βγ) = a2,

logo,α

2 +β2 + γ

2 = a2−2b. (10)

Como α +β + γ = −a, multiplicando o lado esquerdo da Equacao (10) por α +β + γ e o ladodireito por −a teremos

α3 +β

3 + γ3 +αβ

2 +βα2 +βγ

2 + γα2 + γβ

2

= α3 +β

3 + γ3 +αβ (α +β )+αγ(α + γ)+βγ(β + γ)

= α3 +β

3 + γ3−αβ (γ +a)−αγ(β +a)−βγ(α +a)

= α3 +β

3 + γ3−3αβγ−a(αβ +αγ +βγ)

= −a(a2−2b).

Logo,α

3 +β3 + γ

3−3αβγ =−a(a2−2b)+ab =−a3 +3ab.

Portanto, |det(M)|= |a(a2−3b)| o que prova a proposicao.

ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,

Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

49

Exemplo 24 Sejam f (x) = x3−9x2+23x−15 um polinomio de grau 3 com raızes reais α,β ,γ .Se Λ f e o reticulado com base {v1,v2,v3} e matriz geradora M, segue pela Proposicao 23 que

|det(M)|= |a(a2−3b)|= 108.

Agora, veremos um resultado que nos dara uma expressao para o calculo da norma de umvetor de Λ f .

Proposicao 25 ([1]) Seja f (x) = x3 +ax2 +bx+ c um polinomio monico com coeficientes intei-ros e sejam α,β ,γ as raızes de f , satisfazendo a condicao da Proposicao 22. Se Λ f e o reticuladode dimensao 3 gerado pela base {v1,v2,v3}, onde v1 = (α,β ,γ), v2 = (γ,α,β ), v3 = (β ,γ,α), ev ∈ Λ f , tal que v = z1v1 + z2v2 + z3v3, com z1,z2,z3 ∈Q. Entao,

|v|2 = (a2−2b)(z21 + z2

2 + z23)+2b(z1z2 + z1z3 + z2z3).

A partir das Proposicoes 23 e 25, a densidade de centro do reticulado Λ f e dada por

δ (Λ f ) =

(√ψ32

)3

|a(a2−3b)|, (11)

onde ψ3 = min{v = (a2−2b)(z21 + z2

2 + z23)+2b(z1z2 + z2z3 + z1z3) | z1,z2,z3 ∈ Z}.

Exemplo 26 Nas condicoes do Exemplo 24, seja v = z1v1 + z2v2 + z3v3 ∈ Λ f . Pela Proposicao25 segue que

|v|2 = 35(z21 + z2

2 + z23)+46(z1z2 + z1z3 + z2z3)

e, este vetor assume o valor mınimo 24 quando tomamos z1 = 1 , z2 = −1 e z3 = 0. Portanto, adensidade de centro do reticulado Λ f e dada por

δ (Λ f ) =(√

6)3

108=

√6

18.

Teorema 27 ([1]) Seja f (x) = x3 +ax2 +bx+ c um polinomio monico com coeficientes inteirose sejam α,β ,γ as raızes de f , satisfazendo a condicao da Proposicao 22. Se f satisfaz(a

2

)2= b e c(27c+4a3−18ab)< 0,

entao o reticulado Λ f gerado pela base {v1,v2,v3}, onde v1 = (α,β ,γ), v2 = (γ,α,β ) e v3 =(β ,γ,α), possui densidade de centro otima.

Demonstracao: Pela Proposicao (25) temos que

|v|2 = (a2−2b)(z21 + z2

2 + z23)+2b(z1z2 + z1z3 + z2z3)

= 2b(z21 + z2

2 + z23 + z1z2 + z1z3 + z2z3).

Observe que esta forma quadratica assume valor mınimo 2b quando z1 = 1 e z2 = z3 = 0. Logo,

ψ3 = min{v = (a2−2b)(z21 + z2

2 + z23)+2b(z1z2 + z2z3 + z1z3) | z1,z2,z3 ∈ Z}= 2b. (12)

ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,

Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

50

Agora, pela Proposicao 23, temos

|det(M)|= |a(a2−3b)|= |ab|. (13)

Por, (11), (12) e (13) segue que a densidade de centro de Λ f sera dada por

δ (Λ f ) =(√

2b2 )3

|ab|=

14√

2∼= 0,17678,

que e a mesma densidade de centro do reticulado D3. Portanto, Λ f possui densidade de centrootima para dimensao 3.

Exemplo 28 Sejam f (x) = x3− 6x2 + 9x− 1 com raızes reais α,β ,γ , Λ f um reticulado de di-mensao 3 gerado pela base {v1,v2,v3}, onde v1 = (α,β ,γ), v2 = (γ,α,β ), v3 = (β ,γ,α), ev ∈ Λ f , tal que v = z1v1 + z2v2 + z3v3, com z1,z2,z3 ∈Q. Temos que

|v|2 = 18(z21 + z2

2 + z23)+18(z1z2 + z1z3 + z2z3),

que assume o valor mınimo 18, quando z1 = 1 e z2 = z3 = 0. Temos ainda que

|det(M)|= |a(a2−3b)|= 54.

Portanto,

δ (Λ f ) =3√

22

54=

√2

8=

14√

2∼= 0,17678,

que e a densidade de centro otima para essa dimensao.

6 Consideracoes Finais

Neste trabalho foi apresentado uma maneira de se construir os reticulados A2 e D3 via po-linomios. Existem outras maneiras de se construir tais reticulados, por exemplo, atraves do ho-momorfismo de Minkowski, entretanto, construir reticulados utilizando polinonios ainda e ummetodo pouco explorado na literatura e devido as propriedades existentes sobre as raızes de po-linomios, sua construcao se torna mais simples do que a construcao via o homomorfismo deMinkowski que utiliza corpo de numeros. Na dimensao 3 por exemplo, e preciso considerarsubcorpos de corpos ciclotomicos para utilizar o homomorfismo de Minkowski. Acreditamosque, da mesma forma como foram obtidos os reticulados mais densos nas dimensoes 2 e 3 viapolinomios, pode-se obter reticulados com densidade de centro otima para dimensoes maiores.

7 Referencias Bibliograficas

[1] SOUZA, T. M. Reticulados algebricos em corpos de numeros abelianos. 2004, 119 f.Dissertacao (Mestrado em Matematica) - Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Fi-lho”, Sao Jose do Rio Preto, 2004.

[2] BENEDITO, C. W. O. Famılias de reticulados algebricos e reticulados ideais. 2010. 165f. Dissertacao (Mestrado em Matematica) - Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita

ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,

Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

51

Filho”, Sao Jose do Rio Preto, 2010.

[3] BOUTROS, J. et al. Good lattice constellations for both Rayleigh fading and Gaussian chan-nels. IEEE Transactions on Information Theory, v. 42, n. 2, p. 502-518, 1996.

[4] CONWAY, J. H.; SLOANE, N. J. A. Sphere packings, lattices and groups. New York:Springer-Verlag, 1988.

[5] PINTO, W. L. S.; ALVES, C.; BENEDITO, C. W. O. Reticulados via polinomios de grau 2e 3. In: ENCONTRO REGIONAL DE MATEMATICA APLICADA E COMPUTACIONAL,4., 2017, Bauru. Caderno de trabalhos completos e resumos. Bauru: Unesp, Faculdade deCiencias, 2017. p. 532-535. Disponıvel em:<http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/eventos2341/ermac/cadesnos-de-trabalhos-completos-e-resumos/>. Acesso em: 10 out. 2017.

[6] SAMUEL, P. Algebraic theory of numbers. Paris: Hermann, 1970.

[7] STEWART, I. N.; TALL, D. O. Algebraic number theory. 2. ed. London: Chapman & Hall,1987.

__________________________________________

Artigo recebido em jun. 2017 e aceito em nov. 2017.

ALVES, C.; BENEDITO, C. W. de O.; PINTO, W. L. da S. Reticulados via polinômios de grau 2 e 3. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática,

Bauru, v. 10, p. 39-52, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664cacwobwlsp3952 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

52