sistemas reticulados arcos e cabos i

28/08/2016

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PEF2602 Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados

EP-USP FAU-USP

Sistemas Reticulados

ProfessoresRuy Marcelo O. Pauletti & Leila Meneghetti Valverdes

2º Semestre 2016

PEF2602 Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados

Arcos e Cabos – I

(Aula 3 - 29/08/2016)

PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados

CABOS: estruturas lineares e flexíveis, capazes de resistir exclusivamente à forças normais de tração.

Como os cabos não desenvolvem forças cortantes nem momentos fletores, somente são capazes de equilibrar cargas transversais ajustando a sua geometria:

Uma força transversal concentrada provoca uma mudança abrupta da direção do eixo do cabo!

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Como não desenvolvem forças cortantes nem momentos fletores, somente são capazes de equilibrar cargas transversais ajustando a sua geometria:

O cabo se ajusta às forças concentradas, assumindo uma geometria poligonal



Como não desenvolvem forças cortantes nem momentos fletores, somente são capazes de equilibrar cargas transversais ajustando a sua geometria:

Forças distribuídas provocam variações contínuas de direção do eixo do cabo, ou seja, o cabo equilibra esforços transversais ajustando a sua CURVATURA

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Cabos sob carregamento contínuo

Notação:

s

x

y

L

x : Abscissa cartesiana

s : Abscissa curvilínea

L : Vão

: comprimento do cabo

Um ponto do eixo do cabo pode ser identificado tanto por x como por s!

( )y x

( )p x

Seção Normal

0 0

s L L dsds dx

dx

A

Bds( )

By y L

x


S(x)

Equilíbrio de momentos de um segmento de cabo:

s

y

x

x

( )p

Os momentos fletores são sempre nulos, ou seja:

[0, ]

0[0, ]

x LM x M s x

s

As forças cortantes também são sempre nulas, pois

0 ,dM

V x V s x xdx

Logo o único esforço solicitante é a força normal N(x), tangente ao eixo do cabo!

N x

0

cos sin ( ) 0 , [0, ]x

AM N x y x N x x p d x L

( )y x

d

( )p x

A

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Cabo sujeito à carga vertical uniformemente distribuída:

“CABO PARABÓLICO”

Caso geral: apoios desnivelados:

x

y

A

B

p

By

Bx L




Caso particular: apoios nivelados

x

yA B

p

2L

h

2LFlecha do cabo

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Diagrama de corpo livre:

x

y p

2L

h

2LFlecha do cabo

AV

AH

BV

BH

O


Equilíbrio do cabo parabólico:

x

y p

2L

h

2L

AV

AH

BV

BH

O

A BH H H 0

X B AF H H “Empuxo”

0Y A B

F V V pL 2

( )0

2A B

pLM V L

2A B

pLV V Simetria, OK!

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Cortando no ponto O, e fazendo o equilíbrio da parte da

yp

2L

h 2

pL

H

BV

BH

O

0 0V

(O)0M 0

2 2 2 4

pL L pL LHh

“Fórmula do empuxo”

esquerda:

] 0N

Cortante para x=0:

2

8

pLH

h

0 0Y

F H N 0N H

x


Cortando em uma abscissa qualquer, x>0:

p

x

2

pL

H

O

(SN )0

xM 0

2

xHy px

logo

2

8

pLH

h

y

0N H

N x

x

y x

2

2

pxy

H

Mas 2

2

4hy x

L

Uma parábola! (CQD)

[

Equilíbrio de Momentos:

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Cortando em uma abscissa qualquer, x>0:

p

x

2

pL

H

O[

cosN x H

y

H

N x

x

y x

, constante!

A componente horizontal da força no cabo parabólico é constante e igual ao empuxo!

cos

HN x

N(x) é máxima nos apoios, onde cos() é mínimo

2 2

max AN H V

2

max1

2 4

pL LN

h

Equilíbrio Horizontal:


max1,34 2,68

AN pL V

x

p

2L

h

2L

2A

pLV

H2

8

pLH

h

O

2B

pLV

Para h=L/10 (típico):

Comprimento do cabo parabólico:

Tem expressão exata, mas complicada... É útil a aproximação:

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3

hL

L

2

2

4hy x

L

Em resumo, para o cabo parabólico (com apoios nivelados):

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Cabo sujeito à pressão transversal uniforme:

“CABO CIRCULAR”

sinR sinR h

L

A simetria de qualquer seção exige que a curvatura seja constante!

Logo o Raio de curvatura é constante!

Logo a força normal N em qualquer seção é constante!

NN

Equilíbrio vertical :

2 sin 2 sin 0 ,pR N

N pR

2

8 2

L hR

h

Comprimento do cabo circular: 2R

Onde: cos R hR

Ou seja, 1cos R h

R

p

R

RR


Cabo sujeito ao peso próprio: CABO CATENÁRIO

Peso próprio por unidade de comprimento (kN/m): 0

L

x

yh

(s)= 0

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Cabo sujeito ao peso próprio: CABO CATENÁRIO

0

cosw x

x

0

0

cosh 1H

y x xH

Para h<=L/10, o cabo catenário e o cabo parabólico praticamente se confundem!

y w(x) = variável

H

VB

B H

VA

A

L/2 L/2

h s

x

0

0

2sinh

2

LH

H

Comprimento do cabo catenário:

Geometria do cabo catenário:

(Vide artigo “Sobre Cabos e Cordas”, na página da disciplina!)


0

0.05

0.1

0.15

0.2

-0.4 -0.2 0.2 0.4x 0

0.05

0.1

0.15

0.2

-0.4 -0.2 0.2 0.4x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.4 -0.2 0.2 0.4x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4 -0.2 0.2 0.4x

5

Lh

3

Lh

2

Lh

Lh

Comparação entre a catenária e a parábola:

Note-se que a escala do eixo está sempre exagerada, exceto no caso h=L

Para pequenas flechas a catenária e a parábola se confundem!

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Exemplo (PEF2602-P1-Q1-2010): A figura mostra o prédio do ‘Federal Reserve Bank’, localizado emMinneapolis, EUA. Cada um dos 11 pisos tem vão transversal de 18m, e a carga total dos pisos é transferidapara dois “cabos parabólicos” (constituídos, na prática, por perfis metálicos), por meio de montantes(trabalhando à compressão, nos trechos acima dos cabos) e por tirantes (trabalhando à tração, nos trechosabaixo dos cabos). Os cabos têm vão L=84m e flecha h=30m , e são ancorados ao topo de duas torreslaterais. As reações verticais das ancoragens são transferidas às torres, enquanto o empuxo é equilibrado porduas estroncas treliçadas, localizadas no topo do prédio.

• Considere uma carga total, uniformemente distribuída sobre cada um dos 11 pisos, q=2,5 kN/m2. edetermine a carga w (em kN/m), uniformemente distribuída, agindo em cada um dos cabos parabólicos;

• Determine o empuxo horizontal H e as reações apoios A e B de cada cabo, indicados no modelo estruturalesquematizado abaixo;

• Determine a máxima tração Nmax em cada cabo;

• Considere que a seção transversal dos cabos seja composta por três chapas de aço de espessura t=30mm elargura b. Admitindo um coeficiente de segurança s=2 e um aço com tensão de escoamento traçãoe=450MPa, determine a largura de chapa necessária.

H H

VA VB


22,5 /

18 ; 84 ; 30

11

q kN m

d m L m h m

n

2,5 1811 247,5 /

2 2

qdw n kN m

0A

H

247,5 8410.395,0

2 2A B

wLV V kN

2 2247,5 84

7.276,58 8 30

wLH kN

h

2 2 2 2

max10.395 7.276,5 12.688,7

AN V H kN

max

max

e

c

N

A s

max5

c

e

sNA bt

O empuxo do cabo é sustentado pela estronca, que trabalha comprimida, e vale

A máxima força normal ocorre nos apoios e vale

Reações de apoio

3

max

3 6

2 12.688,7 100,376

5 5 30 10 450 10e

sNb m

t

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Nota: há outras formas de resolver esta questão, por exemplo, impondo que o empuxo no ponto C seja o mesmo, considerando o trecho da esquerda ou da direita, ou buscando os coeficientes da parábola que passa pelos pontos A B e C.

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Considerando o esquema estrutural da Figura 3, determine a altura yC que define a menor cota dacobertura (ponto C). Determine as reações de ancoragem dos cabos de protensão nas vigas de borda(pontos A e B). Determine as cargas resultantes nos topos das colunas, e o momento fletor nasancoragens das colunas maiores (ponto D), quando atuar a carga wpp+wad. Desconsidere o peso da coluna.Compare o momento fletor na base das coluna inclinada com o momento que resultaria do uso decolunas verticais (ou seja, dispostas segundo o eixo BE, e engastadas em E).

Figura 1

Exercício: A Figura 1 mostra a cobertura do Aeroporto Dulles, em Washington (Arq. Eero Saarinen,1958), a qual consiste de uma casca de concreto protendido, obtida por meio de um engenhososistema construtivo, ilustrado na Figura 2. A cobertura tem geometria cilíndrica, com uma geratrizcatenária, razoavelmente aproximada por uma parábola, funicular, portanto, a um carregamentovertical uniformemente distribuído. O peso próprio da estrutura é da ordem de wpp=6kN/m2. Ascargas adicionais (neve e outros carregamentos) atingem wad=4kN/m2. Os cabos de protensão estãoespaçados de 3m, e ancoram-se a vigas de borda que transferem as cargas para os topos de colunasinclinadas, engastadas nas bases, afastadas entre si de 12m. A cobertura tem um vão transversal de50m, medindo 192m na direção transversal.


Figura 2

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6m

Cy

50m

18m 32m

p

A

B

C

6m

yC 15m

D E

18m 32m

9m

Figura 3

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