estudo sobre a estabilidade de arcos metálicos esbeltos ... · efetivas na membrana (c) módulo...

Estudo sobre a estabilidade de arcos metálicos

esbeltos como suporte de membranas

Vitória Marques Alves

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Orientadores:

Professor Doutor Ricardo José de Figueiredo Mendes Vieira

Professor Doutor Ruy Marcello de Oliveira Pauletti

Júri

Presidente: Professor Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro

Orientador: Professor Doutor Ricardo José de Figueiredo Mendes Vieira

Vogais: Professor Doutor António Manuel Candeias de Sousa Gago

Outubro de 2015

i

Agradecimentos

Neste espaço quero deixar expressa a minha gratidão a todos os que directa ou indirectamente

tornaram possível a realização deste trabalho e conclusão do curso de Engenharia Civil, com um

especial reconhecimento:

Ao professor e orientador Ruy Marcello de Oliveira Pauletti pela sua compreensão, ajuda e

incentivo desde a escolha do tema à realização da dissertação.

Aos meus colegas e amigos Miguel Proença, Hélio Pereira, David Mesquita, Luísa Castro, Leonor

Reis, Gonçalo Sousa e José Maria Rebelo pelo acompanhamento ao longo do curso.

Às minhas amigas Mariana Mascarenhas e Paula Piza pelo apoio crucial ao longo da minha estadia

e realização da dissertação em São Paulo.

Aos meus pais, Manuela Marques e Rui Alves, e à minha irmã Ema Alves, por todo ao apoio ao

longo deste percurso e sem os quais esta fase não seria possível.

Um especial agradecimento à minha colega e grande amiga Vera de Vasconcellos Reis pela

incansável ajuda e amizade ao longo de todo o meu percurso académico.

iii

Resumo

Na presente dissertação de mestrado apresentam-se e discutem-se os resultados de um

estudo sobre o comportamento de estabilidade de arcos metálicos como suporte de uma estrutura de

membrana tensionada.

Realiza-se inicialmente uma pesquisa sobre o contexto de utilização de membranas

tensionadas em construções, que inclui informação geral sobre a conceção estrutural de estruturas

deste tipo.

Apresenta-se o estudo preliminar de estabilidade de elementos estruturais em arco sujeitos

a carregamentos verticais, e realizam-se análises lineares de estabilidade em arcos parabólicos

biarticulados com secção tubular circular.

O trabalho tem por objetivo a quantificação do efeito estabilizador de membranas no valor

dos carregamentos críticos dos seus elementos de suporte. Realizam-se análises de estabilidade

através de um modelo de elementos finitos para os arcos de suporte de uma estrutura de membrana

e de um modelo de arcos isolados sob as mesmas condições. Para o modelo da estrutura de

membrana adoptou-se uma configuração semelhante à de um guarda-chuva, uma vez que esta

configuração é dada como referência pela comunidade de pesquisadores e projetistas de membranas

para a análise qualitativa do efeito estabilizador da membrana nos seus elementos de suporte. Em

ambos os modelos foram considerados os efeitos das tensões iniciais da membrana nos arcos e seções

circulares tubulares. Os modelos e as análises foram efetuados no programa Ansys Apdl utilizando

elementos com funções de aproximação polinomiais. São realizadas análises de estabilidade

geometricamente não lineares incrementais-iterativas pelo método de Newton-Raphson.

Por fim, apresentam-se os resultados e conclusões sobre a influência da membrana no

comportamento de estabilidade elástica dos elementos de suporte em arco. Estes resultados foram

comparados com soluções analíticas existentes do comportamento de estabilidade de arcos sob ações

verticais.

Palavras Chave

Estruturas de membrana tensionada

Modelos de elementos finitos de estruturas de membrana

Elementos de suporte de membranas

Estabilidade elástica de arcos

Efeito estabilizador de membrana

v

Abstract

This work presents and discusses the results of a study on the stability behaviour of metal arches

as support structure of a tensioned membrane.

Initially it is presented a review related to the use of tensioned membrane structures including

general information on the structural design of this type of structures.

It is presented a preliminary stability study of arched structural elements in order to understand

the overall respective behaviour under vertical loads.

This work aims at quantifying the membranes stabilizing effect upon critical loads of its support

elements. It was executed a stability analysis in arches under the membrane influence elements and

also in an isolated arches model under the same conditions.

In the case of the membrane structure model, it was adopted an umbrella configuration, as this

configuration is a reference to tensioned membrane researchers and designers of the membrane

stabilizing effect in its support elements.

In both models, it was considered the initial tensions on the arches due to membrane pre-tension

and tubular circular sections. The modelling and stability analysis was made with Ansys Apdl

software that uses the finite element method with polynomial approximation functions solving

structural problems. It is realized non-linear geometric stability analysis incremental-iterative by

Newton-Raphson method.

Finally, the results and conclusions of the membrane influence on the elastic stability behaviour

of the supporting arch elements are presented. Comparisons have also been made with known

analytical solutions and results.

Keywords

Tensioned membrane structures

Finite element models of membrane structures

Support elements of membrane structures

Arches elastic stability

Membrane stabilizing effect

vii

Índice

1 Introdução e Objetivos ................................................................................................................ 1

1.1 Considerações Gerais ......................................................................................................... 1

1.2 Motivação e âmbito do trabalho ....................................................................................... 3

1.3 Organização do trabalho ....................................................................................................5

2 Noções Gerais sobre estruturas de membrana .......................................................................... 7

2.1 Estética e funcionalidade ................................................................................................... 7

2.1.1 Integração arquitetónica .............................................................................................. 8

2.1.2 Integração Construtiva ................................................................................................. 9

2.2 Abordagem à Conceção estrutural .................................................................................. 12

2.2.1 Introdução .................................................................................................................... 12

2.2.2 Fases de dimensionamento de estruturas de membrana tensionadas ..................... 15

2.3 Comportamento estrutural face às ações de projeto ..................................................... 20

2.3.1 Peso próprio ................................................................................................................ 20

2.3.2 Pré-esforço .................................................................................................................. 20

2.3.3 Ação do vento ............................................................................................................... 21

2.3.4 Ação da neve ............................................................................................................... 23

2.3.5 Ação de sismos ............................................................................................................ 24

2.3.6 Ação da temperatura .................................................................................................. 24

2.3.7 Combinação de ações .................................................................................................. 24

3 Estabilidade de Arcos Estruturais ........................................................................................... 25

3.1 Conceitos Gerais de Estabilidade ................................................................................... 25

3.1.1 Introdução ................................................................................................................... 25

3.1.2 Tipos de Instabilidade Estrutural .............................................................................. 26

3.1.3 Caracterização das Trajetórias de pós-encurvadura ................................................. 28

3.1.4 Contextualização de análises lineares e não lineares de estabilidade ..................... 29

3.1.5 Metodologia de análises lineares de estabilidade - Fundamentos teóricos............. 30

3.2 Aplicabilidade dos conceitos a análises de estabilidade de Arcos Estruturais ............ 32

3.2.1 Introdução ................................................................................................................... 32

3.2.2 Estabilidade de Arcos no plano .................................................................................. 34

3.2.3 Estabilidade de Arcos fora do plano ........................................................................... 41

viii

4 Influência da membrana no comportamento de Estabilidade de arcos ................................. 51

4.1 Introdução ........................................................................................................................ 51

4.2 O método de Newton Raphson na resolução de problemas não lineares .................... 52

4.3 Configuração Inicial do modelo...................................................................................... 54

4.3.1 Abordagem aos Fundamentos Teóricos implementados ......................................... 54

4.3.2 Exemplo prático ...........................................................................................................55

4.4 Análise de Estabilidade ................................................................................................... 60

4.4.1 Considerações sobre os critérios de análises estruturais adotados ......................... 60

4.4.2 Exemplo de identificação dos modos de encurvadura ............................................. 64

4.4.3 Análise comparativa de comportamento ................................................................... 66

4.5 Influência da membrana nos carregamentos críticos ................................................... 74

4.5.1 Análises não lineares de estabilidade sob influência da membrana ......................... 75

4.5.2 Análises não lineares de estabilidade sem influência da membrana ....................... 78

4.5.3 Análise comparativa de carregamentos ...................................................................... 81

5 Conclusões ................................................................................................................................ 85

6 Referências ............................................................................................................................... 87

ix

Índice Figuras

Figura 1.1 - Pavilhão Alemão, Exposição mundial de Montreal, Canadá, 1972 ..................................... 1

Figura 1.2 - Arena Olímpica de Munique, Alemanha, 1972 .................................................................... 1

Figura 1.3 - Aeroporto de Denver, E.U.A., 1995 ..................................................................................... 2

Figura 1.4 - Pavilhão Alemão da Expo Sevilha, 1992 ............................................................................. 2

Figura 1.5 - Estação Rosa Park Transit Center , Michigan E.U.A., 2014 .............................................. 2

Figura 1.6 - Estádio Fonte Nova- Salvador da Bahia, Brasil, 2009 ....................................................... 2

Figura 2.1 - Mainau Inseleingang, Alemanha, 2003 ............................................................................... 7

Figura 2.2 - Estádio de Faro, Loulé, 2004 ............................................................................................... 7

Figura 2.3 - Duomo do milénio, Londres, 2012 ..................................................................................... 8

Figura 2.4 - Estádio Moisés Mahbida, Durban, 2008 ........................................................................... 8

Figura 2.5 - Amagi Dome, Japão, 1995 ................................................................................................... 8

Figura 2.6 - Centro m&g ricerche, Venafro, Itália, 1992 ........................................................................ 9

Figura 2.7 - Akita Sky Dome, 2004 ........................................................................................................ 10

Figura 2.8 - Estádio Olimpico de Atenas, 2004 .................................................................................... 10

Figura 2.9 - Chicago Beach Tower, Dubai, 2008 .................................................................................. 11

Figura 2.10 - National Space Center, 2006 ........................................................................................... 11

Figura 2.11 - Pavilhão da Venezuela, Hannover .................................................................................... 12

Figura 2.12 - Distinção entre estruturas rígidas e flexíveis .................................................................. 12

Figura 2.13 - Tecido com aplicação da matriz de fios ........................................................................... 14

Figura 2.14 - Seção típica do tecido de membrana ............................................................................... 14

Figura 2.15 - Principais características dos materiais produzidos pela Mehler Texnologies ............. 14

Figura 2.16 - Caracteristicas dos tecidos usados no fabrico de membranas........................................ 14

Figura 2.17 - Fases de projeto de uma estrutura de membrana ........................................................... 16

Figura 2.18 - Fases de Incorporação da Membrana na Estrutura ........................................................ 16

Figura 2.19 - Algumas das configurações viáveis geradas pela imposição de diferentes condições de

suporte, deslocamentos e forças nos cabos de borda, para uma mesma malha de referência retangular

.................................................................................................................................................................. 17

Figura 2.20 - Definição do Modelo de corte através de linhas com propriedades geodésicas ........... 17

Figura 2.21 - Transformação de parcelas da superfície tridimensional em parcelas planas .............. 17

Figura 2.22 - Exemplo de carregamento de vento sobre uma estrutura de membrana tensionada .. 18

Figura 3.1 - Estados de equilíbrio (a) estável, (b) indiferente ou neutro e (c) instável ...................... 26

x

Figura 3.2 - Instabilidade bifurcacional de uma barra comprimida ....................................................27

Figura 3.3 - Instabilidade bifurcacional com trajetória fundamental não linear ................................27

Figura 3.4 - Instabilidade por Ponto Limite ..........................................................................................27

Figura 3.5 - Trajetórias de Equilíbrio de sistemas "ideais" e "reais"................................................... 28

Figura 3.6 - Trajetórias de equilíbrio possíveis para estruturas em arco ........................................... 33

Figura 3.7 - Carregamento e modelos em análise de arcos estruturais .............................................. 36

Figura 3.8 - Análise comparativa de cargas críticas no plano em arcos parabólicos articulados; t

constante .................................................................................................................................................37

Figura 3.9 - Deformada associada ao primeiro modo de instabilidade no plano dos arcos

biarticulados ........................................................................................................................................... 38

Figura 3.10 - Análise comparativa de cargas críticas no plano em arcos parabólicos articulados com

variação de Inércia ................................................................................................................................. 39

Figura 3.11 - Deformada associada ao primeiro modo de instabilidade no plano dos arcos

biarticulados ........................................................................................................................................... 39

Figura 3.12 - Modelo e respectivas deformadas dos primeiros quatro modos de encurvadura do

estudo efetuado por G.Karami, M. Farshad e M.R.Banan ................................................................... 40

Figura 3.13 - Modelo e respectivas deformadas dos primeiros quatro modos de encurvadura no caso

de arcos obtidos das análises lineares.................................................................................................... 41

Figura 3.14 - Modelo de estudo de Sakimoto e Komatsu ..................................................................... 42

Figura 3.15 - Comparação de curvas de encurvadura .......................................................................... 45

Figura 3.16 - Precisão da fórmula proposta com a variação da configuração dos arcos de coeficiente

altura vão (f⁄l) .......................................................................................................................................... 45

Figura 3.17 - Carregamento e modelos em análise de arcos estruturais ............................................. 46

Figura 3.18 - Análise Comparativa de instabilidade fora do plano para arcos biarticulados ............ 48

Figura 3.19 - Deformada do primeiro modo de instabilidade para fora do plano para arcos

biarticulados ........................................................................................................................................... 48

Figura 3.20 - Análise comparativa de cargas críticas fora do plano em arcos parabólicos articulados

com variação de Inércia ......................................................................................................................... 49

Figura 3.21 - Deformada do primeiro modo de instabilidade para fora do plano para arcos

biarticulados ........................................................................................................................................... 49

Figura 4.1 - Método de Newton-Raphson ............................................................................................. 53

Figura 4.2 - Figura tradicional de comparação do método de Newton-Raphson vs o método do

comprimento de arco ............................................................................................................................. 54

Figura 4.3 - Geometria Inicial do modelo antes da procura de forma – Exemplo ............................. 56

Figura 4.4 - Constituição da estrutura de estudo ................................................................................. 56

xi

Figura 4.5 - Caraterísticas dos materiais e elementos do modelo de estudo ....................................... 57

Figura 4.6 - Condições estruturais de procura de forma da membrana ............................................. 58

Figura 4.7 - Primeiro iteração de "busca da forma" (a) modelo indeformado-deformada (b) tensões

efetivas na membrana (c) módulo dos deslocamentos (d) tensões efetivas nos cabos de borda ...... 58

Figura 4.8 - Iteração final de "busca da forma" (a) modelo indeformado-deformada (b) tensões

efetivas na membrana (c) módulo dos deslocamentos (d) tensões efetivas nos cabos de borda ...... 59

Figura 4.9 - Imperfeições geométricas iniciais a considerar no dimensionamento de arcos, segundo

o euro código (EC3) ............................................................................................................................... 63

Figura 4.10 - Módulo dos deslocamentos (a) tensões normais nos elementos de suporte em arco (b)

configuração dos deslocamentos (c), no final da "busca de forma" da membrana ............................ 63

Figura 4.11 - Metodologia de Análises lineares de estabilidade no modelo de arcos ......................... 64

Figura 4.12 - Carregamento e Quatro primeiros modos de instabilidade do sistema de arcos isolados

................................................................................................................................................................. 66

Figura 4.13 - Passos e considerações tomadas nos dois modelos a serem comparados .................... 68

Figura 4.14 - Modo de encurvadura da análise geometricamente não linear no modelo de arcos de

suporte de membranas .......................................................................................................................... 69

Figura 4.15 - Modo de encurvadura da análise geometricamente não linear no modelo de arcos ... 69

Figura 4.16 - Configuração de carregamento aplicado no modelo de arcos ....................................... 70

Figura 4.17 - Trajetórias de equilíbrio no plano sob a influência da membrana do Exemplo prático

................................................................................................................................................................. 70

Figura 4.18 - Trajetórias de equilíbrio no plano dos arcos isolados do Exemplo prático .................. 70

Figura 4.19 - Deformada no plano sob a influência da membrana ..................................................... 70

Figura 4.20 - Deformada no plano dos arcos isolados ........................................................................ 70

Figura 4.21 - Trajetórias de equilíbrio fora do plano sob a influência da membrana do Exemplo

prático ...................................................................................................................................................... 71

Figura 4.22 - Trajetórias de equilibrio fora do plano dos arcos isolados do Exemplo prático ........... 71

Figura 4.23 - Deformada fora do plano sob a influência da membrana-deslocamentos aumentados

.................................................................................................................................................................. 71

Figura 4.24 - Deformada no plano dos arcos isolados .......................................................................... 71

Figura 4.25 - Andamento dos diagramas de momentos fletores para valores de carregamento

inferiores aos críticos, (a) sob a influência da membrana (b) sem influência da membrana .............72

Figura 4.26 - Distribuição de tensões normais para o carregamento crítico (a) sob a influência da

membrana (b) sem influência da membrana ........................................................................................72

Figura 4.27 - Trajetórias de equilíbrio no plano sob a influência da membrana pelo método do

comprimento de arco do Exemplo prático ............................................................................................73

xii

Figura 4.28 - Trajetórias de equilíbrio no plano dos arcos isolados pelo método do comprimento de

arco do Exemplo prático .........................................................................................................................73

Figura 4.29 - Trajetórias de equilíbrio fora do plano sob a influência da membrana pelo método do

comprimento de arco do Exemplo prático ........................................................................................... 74

Figura 4.30 - Trajetória de equilíbrio fora do plano dos arcos isolados pelo método do comprimento

de arco do Exemplo prático ................................................................................................................... 74

Figura 4.31 - Configuração inicial da estrutura para valores de f/l = 0.1,0.2, e 0.3 ............................ 75

Figura 4.32 - Passos da metodologia e analogia realizadas nas análises de estabilidade no modelo de

arcos de suporte de membrana ............................................................................................................. 76

Figura 4.33 - Valores de carregamento crítico das análises membrana+arcos e de T.G. para f/l=0.1

.................................................................................................................................................................. 77

Figura 4.34 - Valores de carregamento crítico das análises membrana +arcos e de T.G. para f/l=0.2

................................................................................................................................................................. 78

Figura 4.35 - Valores de carregamento crítico das análises membrana +arcos e de T.G. para f/l=0.3

................................................................................................................................................................. 78

Figura 4.36 - Passos da metodologia e analogia realizadas nas análses de estabilidade no modelo de

arcos de suporte de membrana ............................................................................................................. 79

Figura 4.37 - Valores de carregamento crítico das análises no modelo de arcos e de S.K. para f/l=0.1

................................................................................................................................................................. 80


.................................................................................................................................................................. 81


.................................................................................................................................................................. 81

Figura 4.40 - Valores comparativos de carregamento das análises de estabilidade .......................... 82

Figura 4.41 - Valores comparativos de carregamento das análises de estabilidade e das abordagens

de cálculo para (a)f/l=0.1 (b) f/l=0.2 e (c) f/l=0.3............................................................................... 82

xiii

Índice de Tabelas

Tabela 3.1 - Tabela de valores para obtenção cargas critica e reações horizontais de interesse

propostos por Austin, Timoshenko e Gere para arcos parabólicos sujeitos a cargas uniformemente

distribuídas quando assumidos como “ideais” ..................................................................................... 35

Tabela 3.2 - Análise de convergência .....................................................................................................37

Tabela 3.3 - Resultados obtidos por T.G. e A.L para t constante e D variável ; f=10 l=50; Pcr no plano

..................................................................................................................................................................37

Tabela 3.4 - Resultados obtidos por T.G. e A.L para t constante e D variável ; f=20 l=100; Pcr no

plano ........................................................................................................................................................37

Tabela 3.5 - Resultados obtidos por T.G. e A.L.; f=10 l=50; Pcr no plano ......................................... 38

Tabela 3.6 - Resultados obtidos por T.G. e A.L.; f=20 l=100; Pcr no plano ....................................... 38

Tabela 3.7 - Análise de convergência .................................................................................................... 47

Tabela 3.8 - Resultados obtidos por S.K. e A.L para t constante e D variável ; f=10 l=50 ; fora do plano

................................................................................................................................................................. 47

Tabela 3.9 - Resultados obtidos por S.K.. e A.L para t constante e D variável ; f=20 l=100; fora do

plano ....................................................................................................................................................... 47

Tabela 3.10 - Resultados obtidos por T.G. e A.L.; f=10 l=50; Pcr fora do plano ................................ 48

Tabela 3.11 - Resultados obtidos por T.G. e A.L.; f=20 l=100; Pcr fora do plano .............................. 49

Tabela 4.1 - Valores de carregamento crítico das análises membrana+arcos e de T.G. para f/l=0.1 . 77

Tabela 4.2 - Valores de carregamento crítico das análises membrana+arcos e de T.G. para f/l=0.2 77

Tabela 4.3 - Valores de carregamento crítico das análises membrana+arcos e de T.G. para f/l=0.378

Tabela 4.4 - Valores de carregamento crítico das análises no modelo de arcos e de S.K. para f/l=0.1

................................................................................................................................................................. 80


.................................................................................................................................................................. 81

Tabela 4.6 - Valores de carregamento crítico das análises no modelo de arcos e de S.K.. para f/l=0.3

.................................................................................................................................................................. 81

Tabela 4.7 - Valores comparativos de carregamento das análises de estabilidade ........................... 82

Tabela 4.8 - Valores comparativos de carregamento das análises de estabilidade e abordagens de

cálculo ..................................................................................................................................................... 83

xiv

Simbologia

𝑓 – altura do arco

𝑙 – vão do arco

𝐸 – módulo de elasticidade dos materiais

𝐾- rigidez global

𝐾𝑒- rigidez elementar

𝐾𝑇- rigidez tangente

𝐺- rigidez geométrica

𝜆- Valores próprios dos parâmetros de carga de bifurcação

𝑞- graus de liberdade dos deslocamentos

𝑈-potencial do campo de forças interiores

𝑉- energia potencial

𝑉𝑒-potencial das forças exteriores

𝜓- funções de forma

𝑢- deslocamentos

𝜎 – tensões

𝜎𝑢- tensões últimas

𝜎𝑦- tensões de cedência

𝜆̅𝑦- esbelteza normalizada segundo o eixo 𝑦

𝑘- fator de comprimento efetivo

𝑘𝑒- fator de comprimento efetivo associado à fixação rotacional nos apoios

𝑘𝑙- fator de comprimento efetivo associado à inclinação de carregamento

𝑘𝛽- fator de comprimento efetivo associado ao comprimento de contraventamento de arcos em treliça

𝑝𝑢- carregamento vertical distribuído último

𝑟𝑦- raio de giração em torno do eixo 𝑦

𝑡- espessura da membrana

𝑎- área da membrana

𝑝- carregamento exterior

𝐻- reação de apoio horizontal

𝐹𝑖𝑛𝑡- forças internas

𝐹𝑒𝑥𝑡- forças externa

xv

𝐹𝑎- associado ao vetor das forças aplicadas

𝐹𝑛𝑟- associado ao vetor de forças internas dos elementos

𝑝𝑐𝑟- carregamento crítico

𝜒- coeficiente de redução para o modo de encurvadura relevante

1

1 Introdução e Objetivos

1.1 Considerações Gerais

As estruturas de membrana tensionadas são utilizadas maioritariamente como coberturas de

grandes vãos possuindo elevado interesse espacial e grande variedade de formas. Este tipo de

estrutura apresenta vantagens ao nível da facilidade de fabrico e rapidez de montagem,

proporcionando facilidade de manutenção e/ou substituição. Este tipo de estrutura assegura,

inclusive, níveis muito bons de iluminação natural.

Do ponto de vista da engenharia, são membranas esbeltas de espessura constante que, em virtude

da sua forma e das elevadas deformações inerentes ao seu comportamento, são capazes de suportar

as ações regulamentares. Estas estruturas, quando bem concebidas, proporcionam proteção contra

o sol, chuva, neve e vento, [1]. As membranas podem ser translúcidas ou até transparentes,

possibilitando o controlo da quantidade de iluminação natural sobre os espaços que cobrem, ao

mesmo tempo.

A utilização deste tipo de estruturas tem crescido nos últimos anos, especialmente devido aos

avanços dos estudos estruturais realizados pelo Instituto para Estruturas Leves da Universidade de

Stuttgart, fundado em 1964. Uma das primeiras construções que contribuíram para essa evolução foi

o Pavilhão da Alemanha na exposição mundial de Montreal, no Canadá, com estrutura quadrangular

em aço, montada no solo e posteriormente içada (Figura 1.1). A cobertura da Arena Olímpica de

Munique, construída em 1972 e concebida por Frei Otto e Jörg Schlaich, exemplifica a liberdade

quase ilimitada de formas que uma rede de cabos com uma malha quadrangular pode oferecer

(Figura 1.2).

Figura 1.1 - Pavilhão Alemão, Exposição mundial

de Montreal, Canadá, 1972

(fonte: http://trivela.uol.com.br/a-vida-e-a-obra-do-

criador-dessa-obra-prima-e-nao-estamos-falando-do-

gol-antologico-de-van-basten/#13)

Figura 1.2 - Arena Olímpica de Munique,

Alemanha, 1972

(fonte: http://trivela.uol.com.br/a-vida-e-a-

obra-do-criador-dessa-obra-prima-e-nao-

estamos-falando-do-gol-antologico-de-van-

basten/#13)

Actualmente, são exigidas construções mais ligeiras, energeticamente mais eficientes, mais

móveis e adaptáveis, sem que haja prejuízo das exigências de segurança, fazendo com que este tipo

de estruturas tenha vindo a ser cada vez mais desenvolvido, [1]. As estruturas de membrana têm sido

2

concebidas para os mais diversos fins, tais como terminais de transporte, átrios, espaços culturais e

coberturas de estádios (Figuras 1.3 a 1.6).

Figura 1.3 - Aeroporto de Denver, E.U.A., 1995

(fonte: http://www.buzzfeed.com/marlenas3/6-

crazy-roofs-that-will-blow-your-mind-

j977#.evDMb6X8gW)

Figura 1.4 - Pavilhão Alemão da Expo

Sevilha, 1992

(fonte: http://www.art-

globe.com/dert202ag.htm)

Figura 1.5 - Estação Rosa Park Transit Center ,

Michigan E.U.A., 2014

(fonte: http://esportes.umcomo.com.br/articulo/

como-chegar-a-arena-fonte-nova-em-salvador-

10810.html)

Figura 1.6 - Estádio Fonte Nova- Salvador da

Bahia, Brasil, 2009

(fonte: http://www.fabritecstructures.com/

portfolio-rosa-parks-transit-center)

As membranas tensionadas definem construções onde a estrutura e a forma estão intimamente

ligadas. Esta caracterização faz com que sejam estruturas muito particulares, que requerem um

equilíbrio total entre os seus elementos e, como tal, não permitem alterações que não sejam

conjuntas. Assim sendo, a conceção arquitetónica só terá sucesso se existir o conhecimento dos

princípios de funcionamento estrutural envolvidos. A conceção de membranas inclui o controlo das

suas condições de fronteira e da geometria de suporte, no sentido de gerar a forma mais adequada

para o propósito em questão.

“Ter como objectivo superfícies minimalistas como resultado de um processo de auto-génese é a

base da engenharia das membranas tensionadas”, [1]. Isto resulta em estruturas leves que não são

apenas eficientes, mas também possuem uma simplicidade apelativa apesar das muitas formas

possíveis que podem assumir, razão pela qual são frequentemente consideradas como sendo de

elevado valor estético.

3

1.2 Motivação e âmbito do trabalho

Em geral, as estruturas de membrana tensionadas são projetadas com formas mistas, derivadas

de uma ou mais conceções estruturais típicas. Nos casos em que a orientação da curvatura da

membrana é na direção oposta à das tensões iniciais aplicadas nas bordas, é necessária a mesma ação

no sentido contrário para garantir o equilíbrio. As relações de tensões são vinculadas às da curvatura

e, para esses casos, as estruturas de suporte da membrana necessitam de uma construção de apoio.

Nesse caso, é necessário observar que as forças externas verticais não podem ser niveladas sem a

existência de elementos que resistam à compressão, fazendo com que os elementos de suporte, para

além de oferecerem condições periféricas geométricas para apoio das superfícies das membranas,

tenham igualmente a função de nivelamento de cargas.

Estas estruturas, ainda que tenham uma forma elegante, são normalmente concebidas de forma

pouco detalhada, resultado do pouco desenvolvimento tecnológico existente na área e da falta de

conhecimento da importância da forma e dos elementos de suporte na arquitetura da estrutura. Estes

elementos de suporte, que podem incluir barras inclinadas, vigas em anel e elementos espaciais

curvos caracterizados pela sua esbelteza e equilíbrio delicado entre compressão, tensões e elementos

curvos, devem ser tão refinados quanto a própria conceção da membrana, [2].

A conceção destas estruturas inicia-se com um processo de procura da forma que se baseia na

procura de uma configuração de equilíbrio segundo a geometria aproximada que se pretende obter.

A existência deste processo deve-se às características dos materiais constituintes das membranas

tensionadas. Estes materiais são leves, deformáveis e para cumprirem as funcionalidades requeridas,

têm que apresentar um comportamento puramente à tração. O facto de estas estruturas terem o

processo de procura da forma inerente à sua conceção faz com que o pré-dimensionamento dos

elementos de suporte, que devem ser incluídos na procura de forma, seja realizado de forma

aproximada e pouco detalhada. Isto poderá levar ao sobredimensionamento destes elementos, ou no

caso de os elementos de suporte não verificarem as condições estruturais, a uma reformulação da

forma encontrada.

Por esse motivo, é pertinente que na metodologia numérica da procura de forma da membrana e

nas análises de carregamento no sistema elemento–membrana se trate os elementos de suporte

curvos como elementos finitos contínuos com considerações de pré-dimensionamento o mais

precisas possível.

As formulações de elementos correntes, desenvolvidas para permitir a procura de forma de

membranas, e as análises de carregamento destas estruturas com comportamento não linear não

estavam focadas na modulação considerando os efeitos nos seus elementos de suporte, [2]. Para

possibilitar a procura de forma e a análise de uma grande variedade de estruturas de membrana,

desenvolvimentos mais recentes incluíram os elementos de vigas de suporte nos modelos das

estruturas de membrana, ainda que, os critérios de pré-dimensionamento destas vigas não tenham

sido aperfeiçoados.

4

Os estudos desenvolvidos afirmam que, no dimensionamento em específico destes elementos de

suporte, a flexibilidade inicial pode ser reduzida pela rigidez da membrana. Como exemplo de

sistemas curvos de suporte de membranas ativos, estes estudos referem recorrentemente que as

hastes esbeltas são utilizadas para conferir um estado de tensão em guarda-chuvas. Quando o

guarda-chuva é aberto, a estrutura de hastes metálicas flexíveis forma um sistema de arcos. Este

efeito faz com que as zonas enrugadas da capa de nylon se estiquem para uma configuração em

equilíbrio do sistema. Os estudos desenvolvidos na área assumem que, neste sistema, os elementos

de suporte podem ser muitos esbeltos pois são mantidos estáveis pela membrana com um estado

inicial de tensões, [2]. É inclusivamente referido, com base nesse exemplo, que ao se assumir essa

redução de flexibilidade, a procura da forma e as análises de carregamento de membranas

tensionadas com elementos curvos ativos pode incorporar-se na engenharia civil a uma escala tão

vasta quanto possível, [2].

Sabe-se que, na análise de estruturas, o colapso de uma estrutura pode ocorrer por dois modos:

(i) por rotura do material, ou (ii) por instabilidade estrutural, [3]. Assim sendo, estes elementos de

suporte ativos têm que resistir às forças que se desenvolvem e, ao mesmo tempo, serem rígidos o

suficiente para evitar efeitos de instabilidade.

Apesar de se tomar por garantido o efeito estabilizador lateral da própria membrana nos seus

elementos de suporte, de forma quase intuitiva e com base no exemplo do guarda-chuva, este não foi

detalhadamente estudado.

Antes de uma análise aprofundada do comportamento da estrutura considerando os efeitos de

estabilidade e resistência dos materiais em simultâneo, é conveniente o seu estudo em separado para

uma perfeita compreensão dos fatores que influenciam cada uma das variáveis. Sabe-se igualmente,

que no caso de estruturas metálicas, os fenómenos de instabilidade muitas vezes condicionam o seu

comportamento devido à elevada resistência dos metais, não descartando, porém, a influência da

rotura dos materiais na estabilidade da estrutura, [3].

Por conseguinte, o presente trabalho pretende estudar o comportamento de estabilidade elástica

de arcos metálicos como suporte de membranas para que, no futuro, se possa otimizar o

dimensionamento destes elementos. Toma-se como exemplo uma estrutura de membrana com uma

configuração semelhante à de um guarda-chuva, em grande escala, que possa ser introduzida no

contexto de funcionalidades deste tipo de estrutura. Optou-se por esta configuração pois é a

configuração dada como referência na consideração do efeito estabilizador das membranas nos seus

elementos de suporte.

O objetivo é estudar o comportamento de estabilidade elástica destes elementos isolados e quando

sob influência da membrana, de forma a quantificar a influência da membrana no comportamento

de estabilidade. Assim, poder-se-ia comparar o comportamento dos arcos sob a influência da

membrana, aos estudos e desenvolvimentos relacionados com a encurvadura elástica de arcos

estruturais metálicos.

Considera-se que o presente estudo consiste apenas numa primeira abordagem, podendo dar

seguimento a desenvolvimentos e investigações futuras.

5

1.3 Organização do trabalho

A presente dissertação de Mestrado possui uma estrutura que se enquadra de forma genérica nos

objetivos identificados.

No segundo Capítulo expõem-se conceitos gerais associados às estruturas de membrana.

Expõem-se características relacionadas com a funcionalidade, a estética, o dimensionamento e o

comportamento estrutural, utilizando-se exemplos de construções existentes. Com esta pesquisa

pretendeu-se obter princípios de boa prática e noções sobre o dimensionamento e utilização deste

tipo de estruturas.

De seguida, no Capítulo 3, são abordados conceitos gerais de estabilidade e realiza-se um estudo

preliminar da estabilidade de arcos isolados sob ações verticais de forma a entender o

comportamento estrutural deste tipo de elemento relativamente à estabilidade elástica.

No Capítulo 4, introduz-se um modelo estrutural de membrana em forma de “guarda-chuva” e

analisa-se o comportamento da estrutura relativamente à estabilidade elástica dos seus elementos

de suporte, apresentando-se sucessivamente os modelos de análise e as principais características de

comportamento. Foram realizadas análises de estabilidade para obtenção dos carregamentos últimos

elásticos, com variações das relações de vão e altura e da esbelteza dos arcos de suporte. Comparou-

se, inclusivamente, os carregamentos obtidos com as soluções das abordagens de cálculo analisadas

no capítulo três. Numa fase final, foram também comparados os valores de carregamentos

resultantes, considerando ou não a influência da membrana, para as variáveis analisadas.

No Capítulo 5, são expostas as conclusões principais relativamente à consideração do efeito

estabilizador das membranas no dimensionamento dos seus elementos de suporte, com referência

ao caso de estudo. São também apresentadas algumas linhas de desenvolvimento possíveis do

trabalho realizado.

7

2 Noções Gerais sobre estruturas de membrana

Neste capítulo são apresentadas noções gerais das estruturas de membranas tensionadas.

Inicialmente, são apresentadas algumas características deste tipo de estrutura bem como a sua

integração nos espaços. Foram incluídos exemplos de estruturas de membrana existentes;

relacionando-se com o tema da presente dissertação, foi dado especial ênfase a construções que

incorporem elementos de suporte curvos.

Na segunda parte do capítulo são abordados aspetos relacionados com a conceção e

comportamento estrutural de estruturas de membrana tensionada.

2.1 Estética e funcionalidade

Presentemente, as membranas tensionadas são integradas num vasto conjunto de construções,

servindo uma variedade de propósitos. Sendo capazes de vencer grandes vãos, as estruturas de

membrana tensionadas constituem uma parte significativa das “estruturas especiais”. A principal

aplicação das estruturas de membrana tensionada consiste em coberturas de espaços amplos, [4].

Nas Figura 2.1 e 2.2 são apresentados dois exemplos de aplicação.

Figura 2.1 - Mainau Inseleingang, Alemanha,

2003

(fonte: http://www.tensinet.com/database/

viewProject/4243.html)

Figura 2.2 - Estádio de Faro, Loulé, 2004

(fonte: http://footballtripper.com/estadio-algarve-

euro-2004-portugal/)

Como sistema construtivo, as estruturas de membrana tensionada possuem qualidades muito

especiais, pelas formas singulares e pela natureza dos materiais constituintes. São soluções

arquitetónicas não passíveis de serem executadas com recurso aos sistemas tradicionais, [1]. Trata-

se de um tipo de estrutura em que, ao contrário do habitual, a geometria global não é definida à priori

para o cálculo estrutural posterior, sendo uma incógnita a determinar, [4].

A configuração das membranas tensionadas depende de diversos aspetos, tais como: (i) a função

da construção; (ii) a função específica da tela; (iii) o vão a vencer; (iv) serem ou não conversíveis, e

(v) serem móveis. Desta forma, a aparência contrastante entre alguns projetos advém de um

numeroso leque de possibilidades. Tanto a manipulação da estrutura e da sua forma, como a

aplicação de múltiplas camadas de material, podem ser utilizadas para evidenciar objetivos

arquitetónicos específicos. Tecidos de elevado desempenho podem ser aplicados em construções

novas, assim como na reabilitação ou expansão de edifícios existentes, [1].

8

2.1.1 Integração arquitetónica

As formas singulares das membranas tensionadas apresentam características associadas à beleza

da sua integração nos espaços. Tais formas criam marcos de grande interesse, tanto como estruturas

isoladas, como quando conjugadas com os edifícios existentes. Quando bem concebidas, são

estrutural e esteticamente equilibradas, destacando-se e integrando-se tanto em ambientes naturais

como em ambientes urbanos, sejam eles históricos ou modernos. As estruturas tensionadas leves

podem ser desenhadas e vistas como esculturas de grande dimensão, trazendo vida aos espaços

existentes à sua volta como elemento complementares ou contrastantes. Nas Figuras 2.3 e 2.4

apresentam-se exemplos de construções cuja membrana é utilizada como elemento complementar e

como principal elemento construtivo, respetivamente. É relevante referir que ambas as construções

possuem elevado valor arquitetónico e incluem, inclusivamente, elementos de suporte curvos.

Figura 2.3 - Duomo do milénio, Londres, 2012

(fonte: http://engenhariacivilnanet.

blogspot.com.es/2007/08/millenium-dome.html)

Figura 2.4 - Estádio Moisés Mahbida, Durban,

2008

(fonte: http://arcoweb.com.br/finestra/

arquitetura/sbp-e-gmp-estadio-moses-17-11-2008)

A translucidez é uma das qualidades mais apreciadas das coberturas têxteis. De facto, tal

característica permite o aproveitamento da iluminação natural, necessário à utilização normal da

construção, tendo assim um importante papel na sua eficiência energética. Isto é particularmente

relevante em construções onde a luz é necessária de uma forma plena, como em complexos

desportivos. Dá-se como exemplo o Amagi Dome (Figura 2.5) e realça-se a utilização dos elementos

de suporte metálico em arco.

Figura 2.5 - Amagi Dome, Japão, 1995

(fonte: http://www.tensinet.com/database/viewProject/4009.html)

Esta propriedade também oferece à Arquitetura grandes possibilidades estéticas, através da

conjugação de luz natural e artificial. A translucidez dos tecidos utilizados nas estruturas em

membrana depende do tipo de fibra que forma a sua base estrutural, assim como do material e cor

9

do seu revestimento. Em geral, este parâmetro varia entre 10% e 20%, mas existem materiais com

40% de translucidez ou completamente opacos. A aplicação de revestimentos pigmentados, com ou

sem padrões, pode também contribuir para ajustar o nível de transmissão de luz.

As membranas tensionadas dão à arquitetura a possibilidade de criar espaços complexos e

equilibrados entre si. A aparência destas construções modifica dramaticamente, num jogo de luz e

sombras, com a evolução das condições do dia. Na Figura 2.6 é apresentada uma estrutura de

membrana, em diferentes condições diurnas.

Figura 2.6 - Centro m&g ricerche, Venafro, Itália, 1992

(fontes: http://samynandpartners.be/portfolio/mg-ricerche e

http://www.archistructura.net/bldgs/781/index_en.html)

2.1.2 Integração Construtiva

Uma das principais funções de uma cobertura é proporcionar abrigo e conforto para diferentes

condições climatéricas da zona onde se encontra. A escolha da forma e do material a aplicar deve

tomar em conta todas as condicionantes - tais como a chuva, vento e neve - de forma a proporcionar

um ambiente interior adequado, sempre que possível por meios passivos, usando a própria

arquitetura para reduzir o consumo energético da construção.

Materiais de estrutura porosa podem ser utilizados para criar zonas de sombra, permitindo

controlar parcialmente a transmissão e reflexão da luz solar, de forma a garantir a iluminação do

espaço e estimular a ventilação natural. Por sua vez, isto permite manter a superfície da membrana

à temperatura ambiente e evitar radiação de calor descendente. Quando o objetivo é proteger da

chuva e da neve, a forma da estrutura deve permitir o escoamento fácil e rápido das águas. A

acumulação de água da chuva e de grandes quantidades de neve tem de ser evitada. Este efeito pode

ser muito importante na fase de construção, quando a configuração final pré-esforçada ainda não

está instalada. Todas as juntas devem ser corretamente detalhadas, de forma a serem estanques.

Dão-se como exemplo duas estruturas do tipo, sujeitas a diferentes condições climatéricas (Figuras

2.7 e 2.8).

10

Figura 2.7 - Akita Sky Dome, 2004

(fonte: http://www.skyscrapercity.com/

showthread.php?t=309109)

Figura 2.8 - Estádio Olimpico de Atenas, 2004

(fonte: http://www.metalica.com.br/pg_dinamica/

bin/pg_dinamica.php?id_pag=712)

2.1.2.1 Leveza

Uma vez que a sua forma resulta da sua configuração pré-esforçada e não da massa do material

utilizado, o peso próprio das estruturas em membrana tensionada é reduzido. Consequentemente,

são muito mais leves do que as estruturas tradicionais. A combinação entre peso reduzido e grandes

vãos oferece a possibilidade de expressar leveza de uma forma coerente e unificada, através da

conceção de cada detalhe [1].

2.1.2.2 Flexibilidade

As estruturas em membrana tensionada podem alterar a sua forma, quando sujeitas à ação do

vento ou da neve. A sua geometria responde à solicitação deformando-se, desenvolvendo raios de

curvatura mais apertados na direção da ação, e encontrando assim uma forma estrutural mais

eficiente para fazer face a essas condições particulares de carregamento. A flexibilidade destas

estruturas permite a ocorrência de grandes deslocamentos sem que existam deformações

permanente. O grau de alteração e resposta depende da elasticidade do material e do nível de pré-

esforço instalado. Existem materiais extremamente flexíveis que podem ser dobrados sem que ocorra

fratura ou desgaste das fibras. Tais materiais são a base e pré-requisito para estruturas conversíveis

eficientes, [1].

A flexibilidade intrínseca aos sistemas de membranas tensionadas é também um fator que limita

possíveis aplicações, citando-se Bradshaw (2002): “Este atributo, para qualquer um que já tenha

andado sobre um trampolim, é a razão pela qual os sistemas de membranas tensionadas são quase

sempre utilizados para superfícies de fechamento de construções, particularmente coberturas, e não

plataformas e pisos“. Além da sua aplicação em coberturas, as membranas tensionadas são também

utilizadas em paredes; apresentando-se os exemplos do Hotel Burj Al Arab, no Dubai, e do Edifício

do National Space Center, em Leicester (Figuras 2.9 e 2.10, respetivamente), [4].

11

Figura 2.9 - Chicago Beach Tower, Dubai,

2008, [4]

Figura 2.10 - National Space Center, 2006, [4]

2.1.2.3 Segurança

As membranas tensionadas leves são estruturas seguras, concebidas e dimensionadas de acordo

com os regulamentos e manuais existentes. São particularmente estáveis no que diz respeito a ações

horizontais. Em caso de colapso, tais estruturas tendem a ser menos perigosas do que os sistemas

construtivos tradicionais, devido à sua reduzida massa. O risco é ainda menor nos casos em que a

configuração da estrutura é tal que os elementos de suporte se mantêm estáveis numa situação de

rotura da tela, [1].

2.1.2.4 Mobilidade, convertibilidade e adaptabilidade

A leveza das estruturas em membrana tensionada confere-lhes uma clara vantagem sobre as

restantes soluções construtivas, quando consideradas como intervenção reversível sobre o ambiente.

A leveza e flexibilidade do material permitem que tais estruturas sejam transportadas e desdobradas

com facilidade e rapidez e que ocupem um espaço relativamente reduzido quando não montadas.

Estas características são úteis para estruturas temporárias ou móveis e essenciais no caso de

emergências ou catástrofes, em que é necessário criar abrigos para um elevado número de pessoas

em tempo reduzido, [1].

Associadas a estes aspetos, refere-se também a existência das estruturas de membrana

conversíveis, que podem ser vistas como sistemas adaptativos criados pelo Homem. A flexibilidade

das estruturas conversíveis faz com que seja possível alterar o espaço arquitetónico. Uma envolvente

exterior adaptável permite a interação com as condições climáticas locais, variando de acordo com

as estações do ano, bem como com flutuações entre o dia e a noite. Esta abordagem na fase de

conceção/projeto possibilita de poupança de energia através do controlo da luz natural e da

temperatura interna, [1]. Dá-se como exemplo na Figura 2.11 a cobertura do Pavilhão da Venezuela

(Expo 2000 – Hannover, Alemanha).

12

Figura 2.11 - Pavilhão da Venezuela, Hannover

(fonte: http://www.tensinet.com/database/viewProject/4256)

Por outro lado, o projeto de estruturas movíveis capazes de proporcionar níveis de conforto

equivalentes aos oferecidos por construções de natureza permanente, apresenta inovações radicais

no campo da construção. Assim, a construção deixa de ser imóvel, sendo este um factor, em conjunto

com a possibilidade da sua conversão e reutilização, bastante relevante face ao desenvolvimento

acelerado das cidades atuais e consequentes “mudanças de uso” de zonas particulares.

2.2 Abordagem à Conceção estrutural

2.2.1 Introdução

As estruturas de membrana podem ser classificadas como sistemas flexíveis, que sofrem grandes

mudanças de forma quando a tipologia de carregamento a que estão submetidas é alterada (Figura

2.12). Contudo, as classificações segundo o estado (estruturas tensionadas) e o comportamento

(estruturas flexíveis) são, de facto, equivalentes: uma grande flexibilidade restringe a natureza dos

esforços internos que as estruturas podem desenvolver, uma vez que estas tornam-se instáveis

quando sujeitas a esforços de compressão. Como já referido, os sistemas tensionados são,

habitualmente, estruturas leves. O peso específico das estruturas de cabos e membranas é inferior ao

das estruturas em betão armado e ao das estruturas convencionais de aço em aproximadamente duas

e uma ordens de grandeza, respetivamente. No entanto, em contrapartida às vantagens resultantes

da redução de peso, os carregamentos devidos ao vento tornam-se críticos para os projetos deste tipo

de estruturas, [5].

Figura 2.12 - Distinção entre estruturas rígidas e flexíveis, adaptado de [5]

13

2.2.1.1 Elementos construtivos/Tipologias

Os principais elementos construtivos das membranas tensionadas são os cabos e as membranas.

Cabos são elementos lineares, capazes de suportar carregamentos externos através da sua resistência

a esforços axiais de tração. Por sua vez, membranas são elementos superficiais, que equilibram os

esforços externos com tensões de tração e tangenciais resultantes. A distinção entre estes dois grupos

não é nitidamente marcada: redes de cabos têm comportamento semelhante ao das membranas; o

tecido de uma membrana pode ser entendido como uma rede de cabos de malha muito fina. Cabos e

membranas podem, ainda, aparecer combinados, gerando estruturas de membrana tensionadas

mistas, combinando cabos tracionados com outros elementos que trabalham à compressão e/ou à

flexão, como é o caso das estruturas de treliças e das estruturas com tirantes. De fato, à exceção dos

balões, todas as estruturas tensionadas são mistas, uma vez que os esforços de tração desenvolvidos

por alguns elementos devem ser, de alguma maneira, equilibrados por elementos que trabalham à

flexão ou à compressão.

2.2.1.2 Materiais

O material mais frequentemente utilizado no fabrico dos cabos estruturais é o aço. Como

materiais alternativos existem o poliéster, no caso de estruturas pequenas e provisórias, e as fibras

de vidro ou de carbono (Kevlar), no caso de estruturas mais sofisticadas. Da mesma forma que, no

inicio do século XIX, o aumento do uso do aço impulsionou o desenvolvimento das estruturas

contendo cabos, a invenção e evolução da produção de tecidos sintéticos nos anos 50 levou ao

desenvolvimento de estruturas de membrana. Anteriormente, a baixa resistência e durabilidade dos

tecidos naturais limitava tanto a amplitude dos vãos como o tempo de vida das estruturas. Ainda

assim, o espectro de materiais adequados para a produção dos tecidos estruturais é ainda muito

restrito, estando praticamente limitado a: fibras de poliéster ou de vidro cobertas com PVC; fibras de

vidro ou carbono (Kevlar) cobertas com Teflon (PTFE); e fibra de vidro ou carbono cobertas com

silicone (Vestar).

Em termos gerais, os tecidos de poliéster cobertos com PVC encontram-se entre os mais baratos,

mas, infelizmente, deterioram-se gradualmente sob a ação dos raios ultravioletas. Os tecidos de fibra

de vidro ou Kevlar cobertos com Teflon são estáveis, resistentes às intempéries e às altas

temperaturas, resistentes à tração, ao corte e à perfuração e podem possuir qualquer grau de

translucidez, da transparência à opacidade. Porém são mais caros e de menor trabalhabilidade do

que os primeiros. A fiação dos tecidos estruturais é geralmente lançada segundo duas direções,

longitudinal e transversal. Durante o seu fabrico, os fios na longitudinal são mantidos retos,

esticados, e os fios transversais são passados alternadamente por cima e por baixo dos longitudinais,

apresentando uma ondulação mais acentuada do que estes últimos, os quais, por efeito de interação

com os primeiros, acabam, também, por se ondular, embora em menor grau. O modo de fabrico faz

com que os tecidos utilizados na produção de membranas adquiram propriedades mecânicas

anisótropas, especialmente no caso dos tecidos de fibra de vidro. Nas Figuras 2.13 e 2.14 são

14

apresentadas seções típicas de fabrico de membranas e nas Figuras 2.15 e 2.16 apresentam-se

algumas propriedades dos tecidos utilizados habitualmente.

Figura 2.13 - Tecido com aplicação da matriz de

fios, adaptado de [6]

Figura 2.14 - Seção típica do tecido de

membrana, adaptado de [7]

Figura 2.15 - Principais características dos materiais produzidos pela Mehler Texnologies, adaptado de

[7]

Figura 2.16 - Caracteristicas dos tecidos usados no fabrico de membranas, valores adaptados de [8]

15

2.2.2 Fases de dimensionamento de estruturas de membrana tensionadas

As estruturas de membrana caracterizam-se por poderem ser utilizadas segundo uma particular

variabilidade de soluções. Posto isto, se não forem impostas demasiadas restrições quanto à forma

final da estrutura, pode-se arbitrar o campo de tensões e encontrar a forma da estrutura a partir deste

com maior liberdade do que noutros sistemas estruturais.

O facto deste tipo de estruturas estar associado a uma elevada variabilidade de soluções, bem

como às dificuldades ligadas ao comportamento geométrico e materialmente não linear, faz com que

a utilização de formulações analíticas seja inviável na conceção do projeto da estrutura. Desta forma,

as análises numéricas são a única abordagem de validade geral para o projeto e análise das estruturas

de membrana: “nenhuma outra classe de sistema estrutural de uso arquitetónico é tão dependente

do uso computacional como as estruturas tensionadas”, [8].

As fases características do projeto e análise de estruturas de membrana são a procura de forma, a

determinação dos padrões de corte, relacionada com construção da própria membrana, e a análise e

verificação da resposta da estrutura aos carregamentos.

Como o próprio nome indica, a procura de forma tem precedência sobre as restantes fases. Depois

de encontrada a configuração final da membrana, pode-se proceder à determinação dos padrões de

corte, ou verificar diretamente se a estrutura respeita todas as condições de projeto. Numa fase

seguinte, restam apenas aspetos ligados ao fabrico e conceção da estrutura.

É difícil definir a forma de uma estrutura de membrana logo à partida. Como os materiais que a

constituem não têm rigidez à flexão, influenciando o seu comportamento à compressão, os

carregamentos externos e estado interno de tensões de tração devem interagir de modo a satisfazer

as equações de equilíbrio. O projeto preliminar destas estruturas envolve, assim, a determinação de

uma configuração inicial para a geometria da membrana.

Uma vez definida a configuração inicial da estrutura, a superfície encontrada deve ser convertida

num conjunto de peças planas, para o seu fabrico. Como as superfícies de dupla curvatura, típicas

deste tipo de estrutura, não podem ser planificadas de maneira exata, o processo de determinação

dos padrões de corte é, inevitavelmente, aproximado. Por esse motivo, é crucial que se limite o erro

dessa aproximação, procurando obter a configuração preconizada na fase anterior e evitando a

ocorrência de rasgos ou zonas de enrugamento, que prejudiquem a estrutura do ponto de vista

mecânico e de uso. Finalmente, estabelecida uma forma de equilíbrio inicial, procede-se à análise do

comportamento da estrutura solicitada pelos carregamentos característicos.

Refere-se ainda que, para estruturas do tipo misto, existe ainda a fase preliminar de pré-

dimensionamento dos elementos de suporte, em que se consideram aproximações de carregamento

resultante de transmissão das estruturas de membrana, sendo que esta fase é de extrema importância

no contexto desta dissertação, cujo estudo pretende evitar o sobredimensionamento destas

estruturas complementares do sistema. Embora, rigorosamente falando, as etapas de procura da

forma e de determinação dos padrões de corte não constituam problemas estritamente estruturais, é

usual realizá-las com recurso a uma série de análises estruturais. A Figura 2.17 esquematiza estas

16

três fases, e a Figura 2.18 apresenta as fases de incorporação/montagem da membrana numa

estrutura.

Figura 2.17 - Fases de

projeto de uma estrutura de

membrana, adaptado de [8]

Figura 2.18 - Fases de Incorporação da Membrana na Estrutura,

adaptado da programação da disciplina de sistemas estruturais leves

da USP

2.2.2.1 Determinação da configuração inicial da membrana

O projeto preliminar das estruturas de membrana tensionadas, como já referido, envolve a

determinação de uma configuração inicial, ou configuração viável, sobre cuja geometria se define o

estado de solicitações autoequilibrado. Essa configuração deve satisfazer tanto requisitos

arquitetónicos como estruturais, de resistência e estabilidade.

Usualmente, para um determinado contorno, existe uma família de configurações viáveis, sendo

que cabe ao projetista selecionar a configuração que melhor se ajuste aos requisitos de projeto.

Para a análise estática das estruturas de membrana tensionadas, existem diversos métodos

lineares aplicados à “busca da forma”, dos quais se destacam: (i) o MDF (Método das Densidades de

Força) e (ii) o MDFN (Método das Densidades de Força Natural). No entanto, os métodos mais

recorrentes são os métodos não lineares: o Método de Newton e o Método da Relaxação Dinâmica.

Em muitas situações práticas no projeto das estruturas de membrana, é razoável adotar-se, como

configuração inicial, a superfície minimal associada ao contorno especificado no projeto

arquitetónico. Uma superfície minimal caracteriza-se pela área mínima num determinado contorno,

e por um estado uniforme e isótropo de tração. A Figura 2.19 apresenta diversas configurações viáveis

sob a mesma malha de referência retangular, considerando diferentes condições de deslocamentos e

17

valores de força nos cabos de borda. Refere-se ainda que esta fase de projeto será abordada com mais

detalhe quando aplicada ao método utilizado na “busca de forma” do caso de estudo.

Figura 2.19 - Algumas das configurações viáveis geradas pela imposição de diferentes condições de

suporte, deslocamentos e forças nos cabos de borda, para uma mesma malha de referência retangular,

adaptado de [5]

2.2.2.2 Definição do Modelo de Corte da Membrana

O tecido de membrana é comercializado em rolos, pelo que tem de ser cortado em parcelas

emendadas e pré-esforçados de forma a proporcionar a forma da superfície tridimensional

apropriada. Nesta fase do projeto, define-se o modelo de corte da membrana. Assim sendo, numa

primeira etapa de definição do modelo de corte, a superfície tridimensional definida na fase anterior

é dividida em parcelas (Figura 2.20). Estas parcelas são a determinação dos parâmetros de

corte/emenda, ainda em três dimensões, [9].

Figura 2.20 - Definição do Modelo de corte através de linhas com propriedades geodésicas, adaptado de

[9]

Numa segunda etapa da definição do modelo de corte, essas parcelas tridimensionais são

transformadas em parcelas planas correspondentes, ou seja, a superfície tridimensional é

transformada numa correspondente superfície plana com os dados de corte/emenda necessários

para o fabrico da estrutura (Figura 2.21), [9].

Figura 2.21 - Transformação de parcelas da superfície tridimensional em parcelas planas, adaptado de [9]

18

Com exceção das superfícies com curvatura exclusivamente numa direção, qualquer

determinação de geometria de corte num plano é aproximada. Isto deve-se ao facto de que a maioria

das estruturas de membrana não pode ser projetada exclusivamente num plano, sem se sobrepor ou

se separar em parcelas. Assim, a transformação de uma superfície tridimensional para uma plana

não tem uma solução única. Por isso, procura-se uma solução que minimize os gastos de materiais,

que preserve a forma da superfície, que apresente uma estética agradável e, por fim, que preserve as

suas capacidades da estruturais.

De modo semelhante à determinação da configuração de equilíbrio, a definição do modelo de

corte pode ser realizada através de diversos métodos. A escolha do método mais apropriado é feita

através da análise dos parâmetros de confiabilidade, flexibilidade e rapidez, que melhor se ajustam

ao modelo em causa. Em geral, os métodos utilizados na geração de modelos de corte são baseados

em modelos físicos, modelos geométricos e modelos de equilíbrio, [9].

2.2.2.3 Carregamentos e Segurança

Os carregamentos típicos de estruturas de membranas tensionadas incluem o peso próprio, as

cargas de pré-esforço, as restantes cargas permanentes, as cargas de neve e de vento, a pluvisidade e

a temperatura. Os efeitos dinâmicos da interação da estrutura com o ar envolvente raramente são

considerados, no caso de membranas de pequeno e médio porte, porque os custos associados a este

tipo de análise são altos ou porque a prática mostra que as oscilações podem ser controladas com

relativa facilidade, [5]. Na Figura 2.22 apresenta-se um exemplo da ação do vento aplicado sobre

uma estrutura de membrana tensionada.

Figura 2.22 - Exemplo de carregamento de vento sobre uma estrutura de membrana tensionada,

adaptado de [8]

A falta de rigidez à flexão dos cabos e das membranas torna estas estruturas suscetíveis a grandes

variações geométricas, mesmo sob carregamentos moderados. Em alguns casos, os próprios

carregamentos são dependentes da deformação. É o caso do carregamento de pressão, que

permanece sempre normal à superfície deformada. Ao incluir-se estes efeitos na análise da resposta

aos carregamentos, esta torna-se geometricamente não-linear. A resposta de uma estrutura de

membrana tensionada às ações de projeto dá-se em torno de uma configuração de equilíbrio inicial,

19

ou configuração viável, em que a estrutura se encontra enrijecida pelo efeito das cargas permanentes,

peso próprio e pré-esforço. Uma vez que os cabos e as membranas não podem resistir a tensões de

compressão, quando o carregamento externo anula as tensões iniciais de tração ocorre o

enrugamento da membrana, com consequente redistribuição de tensões. Esta característica

particular torna a análise numérica mais complicada, especialmente no caso de carregamentos

transitórios de grande intensidade, mesmo que a estabilidade global da estrutura não seja

comprometida e a membrana volte ao seu estado inicial quando deixa de estar sob a ação destes

carregamentos, [5].

Para os materiais atualmente disponíveis na confeção de membranas e considerando as

espessuras tipicamente disponíveis (≈1 a 3 mm), consegue-se um nível adequado de rigidez para a

membrana, em que o material fica sujeito a tensões da ordem de 5% da tensão de rutura. Na prática,

a imposição de um nível adequado de pré-esforço não encontra grandes condicionamentos. Os

coeficientes de segurança utilizados nos projetos de estruturas de membrana são altos em

comparação aos aplicados a outros tipos de estruturas (e outros materiais). A principal razão está

relacionada com a necessidade de se limitar a propagação de rasgos, uma vez que os tecidos têm

“comprimentos de rasgo característicos” acima dos quais estes se propagam. Tipicamente, um rasgo

de 40 mm propaga-se quando submetido a tensões de tração de 25% da sua resistência, pelo que, em

geral, é necessário um fator de segurança nominal acima de 5, [5]. Em casos extremos de estruturas

de grande envergadura sujeitas a forte poluição e com características não certificadas das emendas e

da tela, este fator deve ser aumentado para 7, [1].

Os coeficientes de segurança relativos à força mínima de rotura de conjuntos completos de cabos,

estão designados pelos vários diplomas existentes (NF, DIN, ASCE) para diversas aplicações e

condições de carregamento. No entanto, em situações não razoavelmente conhecidas, é

recomendado um coeficiente de segurança de 2,5, [1,10].

Relativamente às estruturas de suporte em aço, é possível proceder de acordo com a filosofia dos

estados limites prevista nos Eurocódigos estruturais, considerando ações não majoradas num

processo de análise não linear. Os resultados desta análise são posteriormente multiplicados pelos

coeficientes de segurança adequados, [1,10].

Para além da análise não-linear geométrica baseada em fatores de segurança é recomendado, em

sistemas de membranas que incluam elementos de suporte que possam estar sujeitos a encurvadura

(tais como arcos esbeltos), a verificação de estabilidade estrutural. Para tal, deve-se aplicar um

coeficiente de segurança de 2 para ações de média ou longa duração e de 1,8 para rajadas de vento,

utilizando, em cada caso, as propriedades dos materiais da membrana devidamente corrigidos,

[1,10].

Realça-se a importância deste trabalho na contribuição da introdução das propriedades das

membranas na avaliação do comportamento de estabilidade das estruturas de suporte em aço. Desta

forma, facilita-se a introdução do desempenho destas estruturas nos critérios de estados limites

previstos pelos códigos atuais.

20

2.3 Comportamento estrutural face às ações de projeto

Devido à leveza das estruturas de membranas tensionadas, a relação entre as ações aplicadas e o

seu peso próprio é superior à das estruturas convencionais. As ações exteriores terão maior impacto

na dimensão dos elementos estruturais necessários e nas deformações associadas, pelo que as ações

a serem consideradas na análise e dimensionamento devem ser cuidadosamente tratadas.

O facto de as legislações atuais terem sido desenvolvidas para geometrias e comportamentos

estruturais típicos, faz com que a aplicação de um único código seja difícil, tornando a definição dos

carregamentos mais complexa, [10].

2.3.1 Peso próprio

O peso próprio de uma membrana varia, normalmente, entre 0,7 e 2,0 kg/m2. Não é usual a

consideração do peso próprio no processo de geração/procura de forma. Independentemente de ser

ou não incluído no processo de procura de forma, o peso próprio da membrana deve ser considerado

em todos os casos de carga, [10].

2.3.2 Pré-esforço

O pré-esforço é uma parte fundamental da forma e comportamento das membranas tensionadas.

O nível de pré-esforço existente na superfície de uma membrana é inerente ao comportamento

estrutural global, afetando todos os elementos da sua estrutura de suporte. As tensões iniciais nas

membranas surgem como resultado do processo de procura de forma. Este nível de tensões aplicadas

tem de ser atingido e mantido durante a construção e tempo de vida útil da estrutura.

Efeitos diferidos, tais como a fluência do material constituinte da membrana, podem alterar os

níveis de pré-esforço na estrutura. Poderão ainda ocorrer assentamentos de apoio. Estes efeitos têm

de ser considerados ao longo do tempo de vida útil da estrutura.

O nível mínimo de pré-esforço a ser considerado nas membranas depende da rigidez e resistência

do material envolvido e da eficiência da sua superfície (curvatura). Níveis de pré-esforço inferiores

aos necessários poderão conduzir a uma aparência pouco uniforme ou enrugada, que resulta da

tração insuficiente em algumas das fibras da tela.

Para membranas constituídas por fibras de poliéster revestidas a PVC, o pré-esforço instalado não

deverá ser inferior do que 1,3 % da resistência média à tração do material, nas duas direções

principais. Esta relação resulta em valores de 0,70 - 2,00 kN/m para os diferentes tipos de fibras de

poliéster, revestidas a PVC, disponíveis no mercado.

No caso de membranas com curvatura pouco eficientes, podem ser aplicados níveis de pré-esforço

superiores aos referidos, tendo presente que isso faz com que a gama de tensões admissíveis para as

restantes ações seja mais reduzida. Para estruturas temporárias o nível de pré-esforço pode ser

inferior ao referido.

21

Os níveis de pré-esforço característicos de membranas constituídas por telas em fibra de vidro

revestida a PTFE tendem a ser superiores uma vez que este material é mais rígido; a força aplicada

não deverá ser inferior a 2,0 kN/m. Na classe mais resistente destas fibras é usual considerar-se uma

aplicação de 5,0 kN/m (para superfícies muito planas poderá atingir 10.00kN/m). O pré-esforço

instalado não deverá ser menor que 2,5 % nem maior do que 6,0 % da resistência média à tração do

material, nas duas direções principais. Estes valores poderão ser tomados como referência para

satisfazer os requisitos mínimos.

A relação dos níveis de pré-esforço nas duas direções principais da membrana é selecionada

durante o processo de procura da forma e a sua aplicação é validada durante a análise estrutural.

Níveis diferentes de pré-esforço em cada direção podem contribuir favorávelmente na procura da

forma de membrana que se deseja obter, dentro de certos limites. Podem, inclusivamente, melhorar

o comportamento estrutural, na medida em que as ações podem ser mais condicionantes numa

determinada direção. Existem ainda formas em que o nível de pré-esforço é obrigatoriamente

distinto nas duas direções, como, por exemplo, a forma cónica. Em geral, os rácios de pré-esforço

segundo as duas direções principais não deverão exceder 1:4 ou 4:1, [10].

No entanto, a escolha de condições de fronteira mais adequadas e o aumento da curvatura será

sempre uma estratégia melhor para o aperfeiçoamento do comportamento estrutural, [10].

O pré-esforço a ser aplicado nas membranas tensionadas tem de ser suficiente para garantir que

a tela é capaz de atingir os níveis pré-definidos para a sua geometria após a fluência do material. Para

além disso, deve ser também considerada a deformação elástica da tela e dos cabos.

Os níveis pré-definidos de pré-esforço na membrana podem ser garantidos por novos

tensionamentos, após a ocorrência da fluência primária, ou pela aplicação de um nível superior à

priori, estimando a redução consequente. No segundo caso, a aplicação de um nível de pré-esforço

superior ao suposto, antes da fluência do material, pode levar a que se atinja a capacidade última de

tração da tela, ainda que por um curto intervalo de tempo. Assim sendo, é necessário ainda ter em

consideração a ocorrência de cargas elevadas neste período de tempo, podendo ser uma desvantagem

face à primeira alternativa. Poderá também conjugar-se os dois métodos faseadamente. Ainda assim,

a verificação da estrutura deve ser feita periodicamente.

As operações de manutenção e renovação da membrana devem ser tidas em conta na fase de

projeto. Em tais circunstâncias, é admissível considerar valores reduzidos das ações de projeto face

ao curto período de tempo em que ocorrem, [10].

2.3.3 Ação do vento

A ação do vento, especialmente as que provocam sucções, é frequentemente condicionante na

verificação de tensões de telas e cabos incluídos em membranas tensionadas leves. É normalmente

considerada como sendo uma ação estática, definida pelo produto de uma pressão dinâmica por um

coeficiente de pressão (Cp).

22

É assumido que as alterações na forma da membrana são pequenas, ao ponto de serem ignoradas

as variações dos coeficientes de pressão, o que poderá, em alguns casos, não ser apropriado.

A velocidade do vento e respetiva pressão dinâmica podem ser obtidas conforme descrito na Parte

2.4 do Eurocódigo 1.

As membranas tensionadas são estruturas de camada única. Quando estas são coberturas

isoladas, o vento, frequentemente, atua em ambas as faces simultaneamente. Os valores dos

coeficientes de pressão, para as superfícies interior e exterior, podem ser definidos com recurso a

legislação e artigos científicos adequados. O efeito conjunto destes dois coeficientes deve ser incluído

no modelo analítico da estrutura. As pressões de vento consideram-se aplicadas segundo a direção

normal à superfície deformada.

Nas situações em que a membrana cumpre a função de cobertura de um edifício, o seu

comportamento é diferente. Apenas a face exterior da tela está diretamente exposta à pressão do

vento. No entanto, a pressão interior também tem de ser levada em conta. Esta será significativa na

presença de aberturas de grande dimensão no edifício ou na própria cobertura, tal como em

coberturas de construções convencionais. Consequentemente, devem ser definidos coeficientes de

pressão interna elevados.

As formas estruturais descritas na legislação aplicável, EC1-Parte 2.4, não coincidem, na maioria

das situações, com as formas de membranas. Devido à incerteza associada, devem-se adotar

coeficientes de pressão conservativos.

Quando a forma da membrana é muito distinta das descritas nas legislações e literaturas

aplicáveis, a estimativa de valores de Cp não é fiável. Por outro lado, ao adotar-se coeficientes de

pressão demasiado conservativos, o dimensionamento pode tornar-se economicamente inviável.

Nestes casos deve-se recorrer a ensaios em túnel de vento de modelos reduzidos. Estes ensaios têm

como objetivo determinar os coeficientes de pressão locais aumentando a fiabilidade das ações de

projeto consideradas, [10].

2.3.3.1 Efeitos dinâmicos da ação do vento

Usualmente, a análise estrutural adotada no dimensionamento de estruturas de membranas

apenas considera ações de natureza estática, excetuando algumas situações em que os efeitos

dinâmicos do vento devem ser considerados.

As estruturas de membrana apresentam frequências naturais muito reduzidas, entre 0,5 e 1,5 Hz.

No entanto, devido ao peso próprio reduzido destas estruturas e ao amortecimento eficiente inerente

aos seus materiais constituintes, a amplificação dinâmica de efeitos pode ser desprezada na maioria

dos casos. O elevado grau de amortecimento pode também ser justificado pelos volumes de ar em

movimento na envolvente destas estruturas. Os especialistas em ensaios de túnel de vento

consideram coeficientes de amortecimento entre 1,5 e 3 % desprezando o amortecimento

aerodinâmico. No entanto, na indústria das membranas, considera-se adequado a utilização valores

23

mais elevados, uma vez que a natureza compósita do material e a interação entre fibras proporcionam

um amortecimento mais elevado devido ao atrito.

É necessário realizar-se uma análise cuidada no que diz respeito aos bordos livres das

membranas. Estes são suscetíveis a efeitos dinâmicos locais, especialmente nos casos em que estes

bordos se encontram paralelos à direção de sotavento. Para essa situação, os coeficientes de pressão

(Cp) estão sujeitos a grandes alterações, com pequenas variações do ângulo de atuação. As áreas

planas de fronteira e bordos pouco tensionados estão mais suscetíveis a este fenómeno. É por isso

recomendado que o vão dos cabos de borda seja limitado a 20 m, [10].

2.3.4 Ação da neve

A ação da neve deve ser determinada de acordo com o disposto no Eurocódigo 1 (EC1). No entanto,

para estruturas de grande vão, é recomendável consultar a informação disponível nos registos de

serviços meteorológicos locais. Em regiões não sujeitas a quedas de neve, deve ser considerada uma

ação uniformemente distribuída mínima de 0,30 kN/m2. Este valor poderá ser reduzido em

estruturas com vãos superiores a 50 m, desde que seja realizada uma análise estatística dos valores

correspondentes às ações da chuva, queda de folhas, areia/pó, etc.

A distribuição de neve nas coberturas pode variar consoante as condições de atuação de vento.

No caso de ocorrência de vento fraco, a neve tende a distribuir-se de forma uniforme sobre a

cobertura. As indicações a seguir neste caso estão descritas no EC1.

Quando a ação do vento é elevada, a neve tende a distribuir-se de forma não uniforme. Deve-se

ter especial atenção no caso da existência de saliências e reentrâncias, em que a neve se deposita nas

concavidades. O EC1 fornece coeficientes relativos à quantidade máxima a considerar nestas

superfícies. No caso das estruturas convencionais, por exemplo, sabe-se que este efeito conjunto é de

difícil previsão e que a combinação de carregamento a ser considerada é a mais condicionante. De

qualquer das maneiras, para situações mais críticas, como por exemplo estruturas de grande

envergadura, suscetíveis a este tipo de ações, deve-se modular a estrutura em túnel de vento, de

forma a prever a distribuição da neve na cobertura.

No caso de acumulação de neve em concavidades da tela, a membrana poderá desenvolver

grandes deformações. Isto pode fazer com que a drenagem da água da chuva e da neve derretida seja

impedida, dando origem a carregamentos de grande intensidade. Deverá ser verificado que, na

presença de ação de neve, este fenómeno não acontece, ainda que seja de difícil previsão dada a

grande deformabilidade das membranas têxteis. Deve-se, então, prever meios de remoção da neve

ou a consideração de cargas de acesso à cobertura.

É também necessário prever o caso de carga de quedas de neve sucessivas e o escorregamento de

massas de neve para fora da área da cobertura. Este risco é maior no caso da tela, dada a baixa

rugosidade existente, [10].

24

2.3.5 Ação de sismos

Associado ao baixo peso próprio das estruturas de membranas tensionadas e baixas acelerações

consequentes, a ação dos sismos não é, em geral, condicionante. No caso de a estrutura conter

elementos de suporte ou fronteira de massa significativa, as acelerações associadas à ação do sismo

devem ser consideradas nos mesmos, [10].

2.3.6 Ação da temperatura

Os efeitos de variações de temperatura no comportamento de estruturas em tela são pouco

significativos. A sua influência é manifestada em variações baixas nos níveis de pré-esforço

instalados, sendo de maior importância no caso de redes de cabos de aço de suporte, [10].

2.3.7 Combinação de ações

A análise estrutural neste tipo de estruturas não tem em consideração a majoração de ações, para

que as deformações associadas a este tipo de estruturas sejam convenientemente estudadas. É tida

em conta a ação combinada de ações a atuarem simultaneamente, em vez da soma de efeitos

provocados por ações singulares. Deve considerar-se o peso próprio e o pré-esforço em todas as

combinações de ações.

Dão-se como exemplo de combinações de ações:

Peso próprio + pré-esforço

Peso próprio + pré-esforço + vento

Peso próprio +pré-esforço +neve

Peso próprio + pré-esforço + vento ascendente

Peso próprio + pré-esforço + vento descendente + neve/pluviosidade

As combinações devem, em geral, ser elaboradas de acordo com o Documento Nacional de

Aplicação do EC1, desprezando os coeficientes parciais de segurança aplicados às ações, ainda que,

na combinação de ações variáveis, se possa reduzir a intensidade de algumas delas, [10].

Refere-se a importância do Guia Europeu de Dimensionamento de Estruturas de Membrana

tensionada, referência [10], que reúne os estudos desenvolvidos até agora neste sentido, dando

importância aos Eurocódigos atuais.

25

3 Estabilidade de Arcos Estruturais

Na análise do comportamento de estabilidade dos elementos em arco que suportam estruturas de

membrana, torna-se necessário um estudo prévio do comportamento geral de estabilidade destes

elementos.

Para perfeita compreensão deste comportamento, introduzem-se inicialmente os conceitos gerais

de estabilidade e as análises que podem ser efetuadas sobre elementos estruturais em arco e

respectivas implicações.

Numa segunda parte, os conceitos são aplicados aos elementos estruturais em arco sendo feita

referência a duas abordagens de cálculo possíveis para obtenção das cargas associadas à instabilidade

de arcos metálicos quando sujeitos a carregamentos verticais uniformemente distribuídos em

projeção horizontal. Estuda-se essa configuração de carregamento uma vez que se pressupõe que as

forças resultantes no modelo de “membrana + arcos” que se vai analisar (geometria em guarda-chuva

sujeito a um carregamento hidrostático) são verticais, dada a simetria do modelo. Ainda que se

pudesse realizar este estudo para um carregamento hidrostático nos arcos, por simplicidade de

analogia (forças em apenas uma direção) e comportamento de encurvadura semelhante, [11], adota-

se esta configuração. Desta forma, poder-se-ia ainda comparar os resultados das análises de

estabilidade no modelo de membrana e arcos com os obtidos das abordagens de cálculo estudadas

para os arcos sujeitos a um carregamento vertical uniformemente distribuído.

Neste capítulo, os resultados obtidos pelas abordagens de cálculo são comparados com análises

lineares numéricas de estabilidade, realizadas em arcos biarticulados de secção tubular circular

laminada a quente, para diferentes diâmetros e espessuras de secção. Consideram-se geometrias de

arco com flecha a meio vão de 10 m e 20 m para vãos de 50 m e 100 m, respetivamente. As análises

são efetuadas através do programa Ansys Workbench e aborda-se a fundamentação teórica aplicada

à obtenção destes valores por meio de análises lineares, na primeira parte do capítulo.

3.1 Conceitos Gerais de Estabilidade

3.1.1 Introdução

Na análise, dimensionamento e projeto de estruturas, a noção de “estabilidade” aparece sempre

associada ao conceito de equilíbrio, mais especificamente na classificação de “configurações de

equilíbrio”.

A estabilidade dessa configuração pode ser avaliada através do comportamento da estrutura, após

sofrer uma “perturbação” causada por uma pequena ação exterior arbitrária. A configuração diz-se

“estável” ou “instável” consoante a estrutura regresse à posição original ou não, quando cessa a

perturbação.

26

Figura 3.1 - Estados de equilíbrio (a) estável, (b) indiferente ou neutro e (c) instável, adaptado de [12]

Resumidamente, o conceito fundamental de equilíbrio estável, indiferente e instável é ilustrado

na Figura 3.1, para um corpo esférico em repouso sobre (a) uma superfície côncava, (b) uma

superfície horizontal ou (c) uma superfície convexa, respetivamente.

O carregamento correspondente a um ponto em que a estrutura se torna instável denomina-se

por carregamento crítico. Esse ponto, quando associado à perda de instabilidade por uma mudança

brusca do sistema para uma nova configuração estática de equilíbrio, pode ser classificado por ponto

de bifurcação ou ponto limite.

3.1.2 Tipos de Instabilidade Estrutural

Estruturas em equilíbrio podem perder a estabilidade de diversas maneiras. Os tipos de perda de

estabilidade, sem a consideração da plasticidade da estrutura, dependem do próprio sistema e das

condições externas do problema, incluindo as forças aplicadas e condições de fronteira. Distinguem-

se os seguintes fenómenos de instabilidade:

(i) Instabilidade bifurcacional, associada a um ponto de bifurcação de equilíbrio;

(ii) Instabilidade por ponto limite ou instabilidade por “snap-through”, que se caracteriza

pela existência de um ponto onde a trajetória de equilíbrio (não linear), função de relação

carga-deslocamento, tem derivada nula. Este fenómeno pode ocorrer com inversão da

configuração (chamado de “snap-through”) ou sem inversão.

3.1.2.1 Instabilidade bifurcacional

A instabilidade pelo aparecimento de um ponto de bifurcação é um dos tipos mais comuns de

perda de estabilidade de um sistema estrutural, [3]. Uma das primeiras análises de problemas de

bifurcação foi apresentada para barras retas isoladas comprimidas (coluna): o conhecido problema

da coluna de Euler. Neste problema, a uma determinada intensidade de carregamento, a trajetória

de equilíbrio do sistema tem tendência a aproximar-se de um ponto de divergência, ou ponto de

bifurcação, a partir do qual dois caminhos passam a ser possíveis. Após o ponto de bifurcação, o

sistema pode:

(i) permanecer ao longo da sua trajetória original (linear ou não linear); a chamada trajetória

primária ou trajetória fundamental correspondente à configuração inicial da coluna;

(ii) divergir da trajetória original e seguir uma nova trajetória, trajetória secundária ou de

pós-encurvadura, em que a coluna adquire curvatura.

27

Na Figura 3.2 apresenta-se a trajetória de equilíbrio associada a um ponto de bifurcação com

trajetória fundamental linear, coluna de Euler, e na Figura 3.3 é exposta uma trajetória de equilíbrio

de um sistema associada a um ponto de bifurcação com trajetória fundamental não linear.

Figura 3.2 - Instabilidade bifurcacional de

uma barra comprimida, adaptado de [12]

Figura 3.3 - Instabilidade bifurcacional com

trajetória fundamental não linear, adaptado de [3]

3.1.2.2 Instabilidade por ponto limite ou “snap-through”

A instabilidade pelo aparecimento de um ponto limite caracteriza-se por um valor crítico de

carregamento, associado a um máximo (local) da trajetória de equilíbrio. A partir deste valor, a

estrutura torna-se instável sem ter outra configuração de equilíbrio possível nas proximidades da

configuração crítica e sem poder suportar acréscimos de P a partir de Pcr sem uma mudança

considerável na configuração do sistema. Não há, portanto, bifurcação do equilíbrio.

A análise de um problema deste tipo envolve a determinação do andamento da trajetória de

equilíbrio não linear e das coordenadas do ponto limite (carga crítica). É importante referir que, ao

contrário do que sucede com a instabilidade bifurcacional, os deslocamentos que definem este tipo

de fenómeno numa estrutura estão presentes desde o início do carregamento. O aumento do

carregamento provoca uma diminuição progressiva da rigidez da estrutura (declive da trajetória de

equilíbrio), até que esta se anula no ponto limite. Para detetar um fenómeno com estas características

é indispensável recorrer a métodos de análise estrutural que permitam determinar trajetórias de

equilíbrio não lineares, [3].

Figura 3.4 - Instabilidade por Ponto Limite, adaptado de [3]

28

3.1.3 Caracterização das Trajetórias de pós-encurvadura

A trajetória de pós-encurvadura da instabilidade bifurcacional pode ser simétrica estável,

simétrica instável e assimétrica. A simétrica estável é caracterizada por apresentar duas trajetórias

de pós-encurvadura estáveis e simétricas - podem apresentar esse comportamento, por exemplo,

chapas e colunas ideais comprimidas que possuam alguma simetria. A simétrica instável é

caracterizada por apresentar duas trajetórias de pós encurvadura, instáveis e simétricas entre si. É o

caso de estruturas de cascas ou arcos abatidos ideais. Por fim, a assimétrica é caracterizada por

apresentar duas trajetórias de pós encurvadura possíveis distintas, uma estável e outra instável -

cascas cilíndricas ideais, ilustrado na Figura 3.5.

Os sistemas ideais, ou perfeitos, são idealizações que visam simplificar o comportamento das

estruturas, desconsiderando qualquer imperfeição. Essa simplificação permite a obtenção do

carregamento crítico de bifurcação, através de análises lineares de estabilidade.

Os sistemas imperfeitos, isto é, com imperfeições, não apresentam ponto de bifurcação, mas

podem apresentar pontos limites. Esses sistemas exibem um comportamento não-linear, cuja

trajetória de equilíbrio pode ser determinada através de teorias não-lineares.

Simétrica estável (a) Simétrica Instável (b) Assimétrica (c)

Figura 3.5 - Trajetórias de Equilíbrio de sistemas "ideais" e "reais", adaptado de [12]

As imperfeições geométricas associadas aos sistemas estruturais, quer sejam deslocamentos

iniciais (devido à construção do sistema) ou por excentricidades de carga, fazem com que a trajetória

de equilíbrio de uma estrutura deixe de ser constituída por configurações de equilíbrio bifurcados e

passe, então, a ser caracterizada pela ocorrência de um ponto limite, associado à transição entre as

configurações de equilíbrio estáveis e instáveis. Note-se ainda, que as trajetórias de equilíbrio dos

sistemas imperfeitos tendem, assintoticamente, para as trajetórias de pós encurvadura dos

correspondentes sistemas perfeitos (Figura 3.5), pelo que se constata que é possível estabelecer uma

relação entre a forma das trajetórias de bifurcação (sistemas ideais) e os andamentos das trajetórias

de pós-encurvadura dos sistemas “imperfeitos”.

29

Os sistemas com trajetórias de equilíbrio com bifurcação assimétrica e simétrica instável

apresentam pontos máximos (ponto limite), o que faz com que estes sistemas sejam caracterizados

como “sensíveis às imperfeições geométricas”. Para sistemas com bifurcação simétrica estável, as

imperfeições geométricas fazem com que os deslocamentos na estrutura sejam maiores, não

percorrendo a trajetória fundamental. Ainda assim, é possível atingir níveis de carga mais elevados

do que o ponto limite, ainda que os deslocamentos associados sejam maiores.

3.1.4 Contextualização de análises lineares e não lineares de estabilidade

Os conceitos introduzidos anteriormente estão associados ao comportamento das estruturas

relativamente ao fenómeno de estabilidade. Sabe-se à partida, que quando se pretende estudar o

comportamento de uma estrutura é necessária a determinação das equações fundamentais que as

definem: (i) relações constitutivas, de tensões-deformações; (ii) relações cinemáticas, de

deformações-deslocamentos; e (iii) equações de compatibilidade, [3].

As hipóteses adoptadas relativamente às equações referidas, fazem com que o comportamento de

uma estrutura possa ser modelado de várias maneiras, consoante o problema que se pretende

estudar.

A análise estrutural mais simples está associada ao comportamento linear. Baseia-se na hipótese

de todas as equações serem lineares, o que pressupõe:

(i) A linearidade física - relações constitutivas lineares, isto é, materiais elásticos lineares;

(ii) A linearidade geométrica - equações de equilíbrio escritas na configuração indeformada

da estrutura e relações cinemáticas lineares, isto é, a “hipótese dos pequenos

deslocamentos”

“O fenómeno da instabilidade é intrinsecamente geometricamente não linear, pelo que torna-se

obrigatório o estabelecimento das equações de equilíbrio na sua configuração indeformada (análises

geométricas lineares) e/ou a consideração de relações cinemáticas não lineares (análise geométrica

não linear)”, [3].

Relativamente à linearidade física, ela pode estar presente ou não, dependendo das características

dos materiais em estudo ou das considerações que se tomam na análise dos problemas que se

pretende estudar. Este conceito, aplicado ao problema de instabilidade, pode ser considerado, uma

vez que em alguns sistemas, ainda que os materiais constituintes não sejam elásticos lineares, as

estruturas instabilizam antes dos próprios materiais entrarem em cedência, sendo que uma análise

de estabilidade elástica corresponderia a resultados reais. Por outro lado, isto pode não ocorrer e é

necessário ter presente a interação da não linearidade dos materiais nesse regime e o fenómeno de

instabilidade, [3].

No caso de pontos de bifurcação na trajetória de equilíbrio, a estimativa de carga é feita por meio

de análises lineares. Este valor é apenas uma primeira aproximação que pode ser favorável ou

desfavorável à segurança, dependendo da sensibilidade da estrutura a imperfeições, como visto

anteriormente.

30

Refere-se ainda que fatores como a plasticidade dos materiais, para sistemas estruturais de médio

a pouco esbeltos, são relevantes para obtenção dos valores de carga crítica e nas trajetórias de

equilíbrio associadas. Quando esse efeito é tido em consideração, deve-se ainda considerar a

influência das tensões residuais. As tensões residuais são as tensões instaladas numa estrutura antes

da aplicação de qualquer ação e são, por definição, um campo de tensões auto-equilibrado. No caso

dos perfis de aço, estas tensões são devidas à ocorrência de um arrefecimento diferencial, que se

segue aos processos térmicos de fabrico ou de corte, [3].

Em alguns casos, o carregamento máximo suportado em situações reais (com imperfeições

relacionadas com o fabrico ou com a aplicação do carregamento) é cerca de 30% menor do que ao

previsto para o sistema perfeito, [12].

3.1.5 Metodologia de análises lineares de estabilidade - Fundamentos teóricos

Como referido na introdução do capítulo, as análises lineares numéricas de estabilidade de arcos

foram realizadas com o intuito de se obter uma estimativa de valores de cargas últimas elásticas e

comportamento associado. Estes resultados foram comparados com as abordagens de cálculo

existentes.

O objetivo da análise linear de estabilidade consiste em determinar cargas de bifurcação, modos

e correspondentes modos de instabilidade. Aplica-se unicamente a problemas de instabilidade

bifurcacional e não fornece qualquer informação relativamente ao seu comportamento de pós-

encurvadura.

Conforme se viu anteriormente, as estruturas reais não apresentam, em geral, instabilidade

bifurcacional. Ao se realizarem análises lineares de estabilidade, é necessário ter presente os erros

associados a este tipo de análise e o facto de que estas muitas vezes conduzirem a valores contra a

segurança, isto é, superiores aos valores exatos.

O Ansys, programa de cálculo automático utilizado nas análises efetuadas na respetiva

dissertação, resolve sistemas de análise linear assumindo que: (i) a estrutura falha subitamente, com

uma curva de carga-deformação horizontal; e (ii) a estrutura tem rigidez constante, pressupondo que

seja feita anteriormente uma análise estrutural estática para que seja calculada a matriz de rigidez

global da estrutura, conforme o tipo de carregamento aplicado, [13].

O programa chega a valores e modos de instabilidade através da resolução do sistema (3.1), que

define o problema de análise lineares de estabilidade em estruturas,

[𝐾𝑖𝑗 − 𝜆𝐺𝑖𝑗]𝑞𝑗 = 0 (3.1)

Em que [𝐾𝑖𝑗] representa a matriz de rigidez global da estrutura, [𝐺𝑖𝑗] a matriz geométrica, 𝜆𝑖 o

valor próprio 𝑖 usado para multiplicar as cargas geradas por [𝐺𝑖𝑗] e 𝑞𝑗𝑖 os graus de liberdade

associados aos deslocamentos dos elementos.

31

A formulação da equação de resolução de cargas críticas, associadas à instabilidade do sistema e

considerando a linearidade física e geométrica, é baseada na resolução de problemas conservativos

através de critérios estáticos. Quando um problema estrutural se considera conservativo, num

sistema constituído por materiais elásticos, sabe-se que existe uma função designada por “energia de

deformação” normalmente representada por U. Essa função desempenha o papel de “potencial do

campo de forças interiores”, dependendo unicamente do estado de deformação do sistema e cuja

variação é igual ao trabalho realizado pelas forças interiores do sistema, sendo possível definir uma

energia potencial total 𝑉 expressa por,

𝑉 = 𝑈 + 𝑉𝑒 (3.2)

Onde 𝑈 representa a energia de deformação do sistema e 𝑉𝑒 o potencial das forças exteriores, [3].

A partir do momento em que se define uma energia potencial de um sistema estrutural

conservativo, é possível detetar fenómenos de instabilidade se se aplicar o Principio da Mínima

Energia Potencial (PMEP): “uma configuração de equilíbrio é estável sempre que a energia potencial

do sistema aí apresente um mínimo relativo, ou seja relativamente a todas as configurações

adjacentes”, [3]. Segundo este princípio, a resolução do problema parte pelo estudo da variação da

energia potencial (∆𝑉) para uma determinada configuração de equilíbrio. O equilíbrio é estável se

esse sinal for sempre positivo e instável se existir pelo menos uma configuração adjacente que

corresponda a uma diminuição de energia potencial.

Tendo por base estes critérios, criaram-se métodos aproximados de obtenção de limites de

energia potencial dos sistemas estruturais, como, por exemplo, o método de Rayleigh-Ritz. Este

método consiste em determinar os valores de λ e as formas de ṵ que satisfazem os limites de energia

potencial do sistema estrutural e as respetivas condições de fronteira, ou seja, da função 𝑉[ṵ, 𝜆] que

representa a energia potencial do sistema contínuo.

Define-se então, uma solução aproximada do problema em que cada componente 𝑢𝑗, ṵ (𝑗 =

1, … , 𝑚) tem a forma,

�̅�𝑗 = ∑ 𝑞𝑗𝑖𝜓𝑗𝑖

𝑛𝑗

𝑖=1

(3.3)

Onde 𝑞𝑗𝑖 são parâmetros a determinar, ou seja, os graus de liberdade, e 𝜓𝑗𝑖 são funções de forma

dadas, as quais têm de satisfazer apenas as condições de fronteira cinemáticas. “Ao obrigar o sistema

estrutural contínuo a deformar-se numa combinação de um número finito de formas está-se

efetivamente a discretizá-lo”, [3].

Substitui-se ṵ̅ no funcional 𝑉[ṵ, 𝜆] , transformando-o na função de forma quadrática dos

parâmetros 𝑞𝑗𝑖,

𝑉 = 𝑉 (𝑞11, 𝑞12, … . , 𝑞𝑚𝑛𝑗, 𝜆) (3.4)

32

Escolhem-se os parâmetros 𝑞𝑗𝑖 de modo a tornar estacionária a função energia potencial, equação

(3.4), segundo o critério do equilíbrio adjacente, em que se procura a possível existência de uma

configuração de equilíbrio adjacente, isto é, ao mesmo nível de carga e tão próxima quanto se queira

da configuração fundamental considerada, [3].

Quando se consideram sistemas estruturais com estados lineares de pré-encurvadura, a obtenção

dos limites de energia potencial é dada pela resolução de equações lineares de dimensão ∑ 𝑛𝑗𝑚𝑗=1 ,

definidas por:

𝜕𝑉

𝜕𝑞𝑖

= [𝐾𝑖𝑗 − 𝜆𝐺𝑖𝑗]𝑞𝑗 = 0 𝑖, 𝑗 = 1. . . , ∑ 𝑛𝑗

𝑚

𝑗=1

(3.5)

Onde 𝐾𝑖𝑗 é a matriz de rigidez estrutural que se admite constante e 𝐺𝑖𝑗 a matriz geométrica, que

dependem das funções de forma escolhidas.

A menor raiz do problema linear de valores e vetores próprios |𝐾𝑖𝑗 − 𝜆𝐺𝑖𝑗| = 0 fornece um

majorante da carga critica 𝜆𝑐𝑟 e o correspondente vetor próprio {𝑞}𝑐𝑟 que permite obter a

configuração aproximada do modo crítico de instabilidade através de,

�̅�𝑗 = ∑ 𝑞𝑗𝑖

𝑐𝑟𝜓𝑗𝑖

𝑛𝑗

𝑖=1

(3.6)

Torna-se necessário salientar que “ao forçar o sistema estrutural a deformar-se de um modo pré-

determinado (no caso geral, diferente do seu modo de deformação natural) está-se a torna-lo mais

rígido e, consequentemente a aumentar o valor da sua carga crítica de bifurcação”, [3].

Na resolução do problema através de métodos numéricos, faz-se recurso à utilização do Método

dos Elementos Finitos (MEF), em que se aplica o método de “Rayleigh-Ritz” aos vários elementos

finitos que a estrutura admite ser discretizada. Desse processo resulta a definição de um conjunto de

“matrizes de rigidez elementares” [𝐾𝑒], relacionadas com os graus de liberdade de cada elemento. A

matriz de rigidez global [𝐾] é definida a partir das matrizes elementares e os graus de liberdade 𝑞𝑗

são os deslocamentos generalizados dos nós, que resultam da discretização da estruturas. Da mesma

forma se chega ao sistema de resolução de equações lineares de valores e vetores próprios,

apresentada anteriormente,

[𝐾𝑖𝑗 − 𝜆𝐺𝑖𝑗]𝑞𝑗 = 0 (3.7)

3.2 Aplicabilidade dos conceitos a análises de estabilidade de Arcos Estruturais

3.2.1 Introdução

Após analisados os conceitos gerais de estabilidade e as análises de obtenção de valores de

carregamento e modos de instabilidade, pretende-se estudar a aplicabilidade desses conceitos no que

33

diz respeito ao comportamento de arcos. Para tal, realizaram-se análises lineares de estabilidade para

uma determinada gama de valores.

O tipo de análise e dimensionamento dos arcos pode ser classificado de acordo com a sua resposta

às cargas aplicadas e de acordo com o seu modo de rotura. Quando as cargas que atuam sob o arco

são aumentadas proporcionalmente, o arco perde estabilidade para um certo valor crítico de carga

aplicada. No caso de estabilidade de estruturas elásticas sob a atuação de cargas conservativas, a

carga crítica corresponde sempre a um ponto de bifurcação ou a um ponto limite de estabilidade,

como já abordado nos conceitos introdutórios de estabilidade. Várias trajetórias do gráfico carga-

deformação são possíveis no caso de estruturas em arco, apresentando-se algumas na Figura 3.6.

Cada ponto do gráfico corresponde a uma trajetória de configuração de equilíbrio da estrutura.

Figura 3.6 - Trajetórias de equilíbrio possíveis para estruturas em arco, adaptado de [11]

A Figura 3.6 (a) corresponde à representação de uma trajetória de equilíbrio possível, para arcos

num sistema antissimétrico, podendo este ser por carregamento antissimétrico e/ou condições de

fronteira antissimétricas, [11].

A Figura 3.6 (b) corresponde à representação de uma trajetória de equilíbrio possível para arcos

simétricos carregados simetricamente. A trajetória fundamental é intersectada por uma segunda

trajetória. O ramo principal representa um modo desviado simétrico e o ramo secundário um modo

antissimétrico. Os pontos em que estas trajetórias se intersectam são chamados pontos de bifurcação.

Se um modo antissimétrico não se torna dominante inicialmente, o arco eventualmente tornar-se-á

instável quando a curva atinge um ponto limite. Desta forma, o arco instabiliza num modo simétrico.

Note-se que no caso de o modo antissimétrico ser dominante, a trajetória de equilíbrio cai para um

valor de carga inferior, a partir do ponto de bifurcação. Isto representa um comportamento habitual

no caso em que o arco instabiliza lateralmente ao seu plano. No entanto, é possível que a carga

aumente ligeiramente depois do ponto de bifurcação e, neste caso, a máxima carga resistente atinge

o ponto limite depois de movimentos elevados no plano do arco (Figura 3.6 (c)), [11].

(c) (d)

34

No caso de uma trajetória de pós-encurvadura instável, sabe-se à partida que o arco é

extremamente sensível a imperfeições geométricas ou a excentricidades de aplicação de cargas.

Nestes casos, a curva de equilíbrio toma valores menores e a carga crítica de instabilidade no ponto

de bifurcação é substituída por um ponto limite na curva simétrica, (Figura 3.6 (b) a tracejado).

Assim sendo, a instabilidade dada no ponto de bifurcação das duas trajetórias se torna mais uma

exceção que uma regra, [11].

As estruturas em arco são mais eficientes se a linha de aplicação do carregamento coincidir com

o centro axial do arco, uma vez que desta forma apenas se geram forças axiais ao longo do arco se

não forem consideradas imperfeições. São exemplo de arcos sujeitos a compressão pura (quando não

são consideradas imperfeições):

Arcos circulares sujeitos a cargas perpendiculares ao eixo axial uniformemente

distribuídas, geralmente intitulada de carga hidrostática;

Arcos parabólicos sujeitos a cargas verticais uniformemente distribuídas em projeção

horizontal;

Arcos catenários sujeitos a cargas uniformemente distribuídas ao longo do eixo axial do

arco.

Estruturas como estas estão sujeitas a cargas de instabilização no ponto de bifurcação referido

anteriormente. Estes problemas de bifurcação são mais sujeitos a análise, uma vez que permitem a

linearização das equações de equilíbrio na trajetória de pré-encurvadura ou do estado fundamental.

A linearização é baseada no princípio dos pequenos deslocamentos e a trajetória de equilíbrio é

horizontal, tal como na teoria da coluna ideal (Figura 3.6 (d)). Contudo, para cargas usuais, a curva

de aplicação de carga não coincide com o núcleo central e, nesses casos, os arcos estão sujeitos a

momentos fletores e deslocamentos substanciais, antes de instabilizarem. Os estudos que têm em

consideração as deformações pré-instabilização, são problemas não lineares, tal como já referido

anteriormente (Figuras 3.6 (a-c)), [11].

3.2.2 Estabilidade de Arcos no plano

3.2.2.1 Estabilidade no plano de arcos “ideais”

Os primeiros estudos de estabilidade de arcos no plano foram realizados por Gaber, Stussi,

Kollbrunner, Hilman, Dischinger e Dinnik e foram posteriormente desenvolvidos por Austin,

Timoshenko e Gere que analisaram arcos de seção transversal constante, onde a linha de aplicação

de carga coincidia com o núcleo central (arcos sujeitos apenas à compressão), [11].

No desenvolvimento dos seus estudos, Austin, Timoshenko e Gere desenvolveram tabelas para a

obtenção de cargas criticas baseadas em resultados elásticos experimentais que dependiam das

condições estruturais: condições de apoio, estatia, forma do arco, tipo de carregamento e, dentro

desses parâmetros, do seu comprimento total, módulo de elasticidade do material e inércia da secção

no eixo vertical do plano do arco, [11]. Inicialmente, abordaram o problema considerando arcos

sujeitos apenas à compressão pura, em que desprezavam os deslocamentos de pré-encurvadura ao

35

considerarem os arcos inextensíveis, [11]. Viu-se anteriormente, que arcos parabólicos sujeitos a

cargas uniformemente distribuídas em projeção horizontal podem ser considerados como sujeitos a

compressão pura, quando estudados como estruturas “ideais”.

No contexto de análise desta dissertação, consideraram-se os valores resultantes das tabelas

efetuadas por Austin, Timoshenko e Gere em arcos parabólicos biarticulados de secção tubular

circular laminada a quente, carregados por cargas uniformemente distribuídas ao longo do seu vão,

apresentados na Tabela 3.1 (valores retirados de [11]). Na Figura 3.7 apresenta-se a configuração dos

modelos analisados.

Tabela 3.1 - Tabela de valores para obtenção cargas critica e reações horizontais de interesse propostos por Austin, Timoshenko e Gere para arcos parabólicos sujeitos a cargas uniformemente distribuídas quando

assumidos como “ideais”

Valor para obtenção de Cargas e Reações Horizontais Criticas para Arcos parabólicos em regime

elástico sujeitos a compressão pura f/l

Arcos bi-articulados Arcos fixos

qL3/EI HL2/EI qL3/EI HL2/EI

0,10 29,1 36,3 60,9 76,2

0,15 39,5 32,9 85,1 70,9

0,20 46,1 28,8 103,1 64,5

0,25 49,2 24,6 114,6 57,3

0,30 49,5 20,6 120,1 50,0

0,35 47,8 17,1 120,6 43,1

0,40 45,0 14,1 117,5 36,7

0,50 38,2 9,6 105,3 26,3

Admite-se que os arcos são livres de instabilizar no seu próprio plano sem nenhuma restrição.

Consideraram-se os arcos analisados esbeltos, pelo que se admite que a verificação do ELU (Estado

Limite Último) é condicionada pela encurvadura e não pela resistência da secção, ou pela interação

dos dois. Desprezou-se a não linearidade do material nas análises (plasticidade). A instabilização é

um efeito de bifurcação que surge de uma posição não inclinada em relação à posição inicial.

Os valores críticos nas tabelas de Austin, Timoshenko e Gere são dados para rácios entre projeção

horizontal e altura máxima do arco a variar entre 0,1 a 0,5, [11].

36

Figura 3.7 - Carregamento e modelos em análise de arcos estruturais

Para validar o método e analisar a secção realizam-se análises lineares de estabilidade no plano

para os modelos apresentados na Figura 3.7, consideraram-se secções comerciais circulares

tubulares laminadas a quente e comparam-se com as soluções obtidas por Austin e Ross (1976) no

que diz respeito às cargas críticas de bifurcação de equilíbrio. Inicialmente considerou-se uma

espessura constante (t=16mm) variando o diâmetro da secção e em seguida considerou-se um

diâmetro constante (D= 508mm) para uma espessura variável. Tomaram-se ainda as seguintes

considerações:

Arcos biarticulados parabólicos com relação altura/vão (𝑓 𝑙⁄ ) igual a 0,2, como ilustrado;

Perfis tubulares circulares metálicos laminados a quente;

Carregamento no plano uniformemente distribuído em projeção horizontal de 1 kN/m2,

para a obtenção de multiplicadores de carregamento (carregamento crítico);

Linearidade física e geométrica;

Tensões residuais e imperfeições geométricas desprezadas na análise;

Arcos analisados utilizando elementos de barra, constituídos por 103 elementos finitos;

o programa gera automaticamente os elementos finitos; para um dos casos em análise

(f=10, l=50, D=508 mm e t=12.5 mm) varia-se o número de elementos finitos

considerados, chegando aos mesmos valores, sendo que nas análises se consideram os

elementos finitos gerados automaticamente pelo programa (103); A variação dos

elementos finitos dá-se pelo critério de fixação de comprimento máximo dos elementos.

na Tabela 3.2 são apresentados os principais resultados da análise efectuada;

Considera-se que os arcos são esbeltos, por terem comprimentos elevados (55 m e 110

m) e que as secções são de classe 1, 2 ou 3; despreza-se a instabilização local dos perfis;

Despreza-se o peso próprio;

Assume-se que, para esta geometria e carregamento, a resultante de forças nos elementos

é de compressão pura.

37

Tabela 3.2 - Análise de convergência

Nº E.F. Pcr A.L

(kN/m) 12 45.936

56 45.926

103 45.926

1000 45.925

Considera-se que 𝐿 representa o comprimento total do arco e 𝑖 o raio de giração da secção em

torno do eixo y, sendo que, para secções tubulares circulares, a inércia da seção é igual em torno de

qualquer eixo devido à sua simetria. Considera-se que os resultados obtidos das tabelas se

denominam por “T.G.” e os das análises lineares de estabilidade efetuadas de “A.L.”. Na Figura 3.8 e

nas Tabelas 3.3 e 3.5 apresentam-se os resultados obtidos para os modelos de arcos biarticulados

considerados segundo a relação 𝐿 𝑖⁄ (𝐿 𝑖⁄ ≠ 𝜆 uma vez que não se pode afirmar que 𝐿 = 𝐿𝑐𝑟). Na

Figura 3.8 ilustra-se qualitativamente a deformada associada ao primeiro modo de encurvadura de

cada arco.


plano


plano

Figura 3.8 - Análise comparativa de cargas críticas no plano em arcos parabólicos articulados; t constante

L=55.17m f=10m l=50m Nº E.F. =103

t=16mm i (cm) L/i pcr T.G (KN/m) pcr A.L (KN/m)

CHS219.1 7.2 1493.50 4.10 4.08

CHS244.5 8.1 1050.21 5.83 5.80

CHS273.0 9.1 738.96 8.29 8.24

CHS323.9 10.9 430.30 14.24 14.15

CHS355.6 12 320.90 19.10 18.97

CHS406.4 13.8 211.39 29.00 28.80

CHS457 15.6 146.75 41.79 41.49

CHS508 17.4 105.74 58.02 57.58

L=110.35m f=20m l=100m Nº E.F. =103

t=16mm i (cm) L/i pcr T.G (KN/m) pcr A.L (KN/m)

CHS219.1 7.2 1532.64 0.51 0.51

CHS244.5 8.1 1362.35 0.73 0.72

CHS273.0 9.1 1212.64 1.04 1.03

CHS323.9 10.9 1012.39 1.78 1.77

CHS355.6 12 919.58 2.39 2.37

CHS406.4 13.8 799.64 3.63 3.60

CHS457 15.6 707.37 5.22 5.19

CHS508 17.4 634.20 7.25 7.21

0

10

20

30

40

50

60

70

0 500 1000 1500 2000

Análise comparativa de cargas críticas em arcos parabólicos biarticulados

pcr A.L. f=10 l=50

pcr T.G. f=10 l=100

pcr A.L. f=20 l=100

pcr T.G f=20 l=100

𝑝𝑐𝑟 (𝐾𝑁 𝑚⁄ )

𝐿

𝑖

38

Figura 3.9 - Deformada associada ao primeiro modo de instabilidade no plano dos arcos biarticulados

Na Figura 3.10 e Tabelas 3.5 e 3.6 apresentam-se os resultados obtidos para os modelos de arcos

biarticulados com 𝐷 = 508 𝑚𝑚 e 𝑡 variável, segundo a variação de Inércia das secções. Toma-se o

critério de variação de inércia (𝐼), uma vez que para um mesmo diâmetro, o raio de giração é

praticamente constante. Na Figura 3.10 e Tabelas 3.5 e 3.6 apresentam-se igualmente os resultados

para 𝑡 = 16 𝑚𝑚 e 𝐷 variável segundo a variação de Inércia de cada secção. Estes resultados referidos

por último foram já apresentados na Figura 3.8 e nas Tabelas 3.3 e 3.5, mas pretende-se compará-

los com os resultados obtidos para um diâmetro de secção constante e espessura variável, segundo o

mesmo critério (variação da Inércia da secção).

Tabela 3.5 - Resultados obtidos por T.G. e A.L.; f=10 l=50; Pcr no

plano

Tabela 3.6 - Resultados obtidos por T.G. e A.L.; f=20 l=100; Pcr no

plano

L=55.17m f=10m l=50m Nº E.F. =103

t=16mm I (cm4) pcr T.G (KN/m)pcr A.L (KN/m) CHS508 I (cm4) pcr T.G (KN/m) pcr A.L (KN/m)

CHS219.1 5297 4.10 4.08 t = 6.3mm 31246 24.20 24.01

CHS244.5 7533 5.83 5.80 t = 8mm 39280 30.42 30.19

CHS273.0 10707 8.29 8.24 t = 10mm 45820 37.58 37.29

CHS323.9 18390 14.24 14.15 t = 12.5mm 59755 46.28 45.93

CHS355.6 24663 19.10 18.97 t = 14.2mm 67199 52.04 51.65

CHS406.4 37449 29.00 28.80 t = 16mm 74909 58.02 57.57

CHS457 53959 41.79 41.49 17.4< i < 17.6

CHS508 74909 58.02 57.58

L=110.35m f=20m l=100m Nº E.F. =103

t=16mm I (cm4) pcr T.G (KN/m)pcr A.L (KN/m) CHS508 I (cm4) pcr T.G (KN/m) pcr A.L (KN/m)

CHS219.1 5297 0.51 0.51 t = 6.3mm 31246 3.02 3.01

CHS244.5 7533 0.73 0.72 t = 8mm 39280 3.80 3.78

CHS273.0 10707 1.04 1.03 t = 10mm 45820 4.70 4.67

CHS323.9 18390 1.78 1.77 t = 12.5mm 59755 5.78 5.75

CHS355.6 24663 2.39 2.37 t = 14.2mm 67199 6.51 6.46

CHS406.4 37449 3.63 3.60 t = 16mm 74909 7.25 7.21

CHS457 53959 5.22 5.19 17.4< i < 17.6

CHS508 74909 7.25 7.21

39

Figura 3.10 - Análise comparativa de cargas críticas no plano em arcos parabólicos articulados com variação de Inércia

Figura 3.11 - Deformada associada ao primeiro modo de instabilidade no plano dos arcos biarticulados

Pela análise dos gráficos e tabelas, percebe-se que as soluções obtidas dos valores tabelados

praticamente coincidem com as obtidas das análises numéricas lineares de estabilidade efetuadas.

Da Figura 3.10 retira-se ainda que, caso o raio de giração da secção se altere, os resultados tendem

a ser equivalentes para uma mesma inércia de secção.

Tal como apresentado nos estudos da referência [11], as deformadas dos arcos fixos e

biarticulados, obtidas das análises efetuadas, instabilizam sempre num modo antissimétrico, em que

a coroa do arco se desloca horizontalmente tornando-se um ponto de inflexão.

O conselho de Investigação de Estabilidade Estrutural (SSRC), na análise feita ao estudo efetuado

por Austin, Timoshenko e Gere, afirma que o comportamento relativamente à instabilidade de arcos

uniformes de baixa a média relação de deformação-rutura (módulo de elasticidade, E) sujeitos a

compressão axial pura, se assemelha ao comportamento de colunas ideais, [11]. Por exemplo, um

arco fixo instabiliza num modo de duas ondas, com o ponto de inflexão na coroa e a sua deformada

de pós-encurvadura é semelhante a uma coluna fixa e bi-encastrada no seu segundo modo de

instabilidade. Para além disso, o esforço que se desenvolve a um quarto do vão é semelhante ao que

surge nos extremos de uma coluna fixa cujo comprimento é igual ao do arco desde os apoios à coroa

[11].

G.Karami, M. Farshad e M.R.Banan, [14], apresentaram uma formulação de Elementos Finitos

para a análise linear de arcos em que expunham os primeiros quatro modos de instabilidade de um

3

13

23

33

43

53

63

5000 15000 25000 35000 45000 55000 65000 75000


pcr A.L. ; t=constante f=10l=50pcr T.G. ; t = constante f=10l=50pcr A.L. ; D = constante f=10l=50pcr T.G. ; D = constante f=10l=50pcr A.L. ; t= constante f=20l=100


𝐼 (𝑐𝑚4 )

40

arco circular sujeito a cargas de pressão perpendicular ao seu eixo que provocam apenas esforços

axiais de compressão ao longo do arco, [11]. Na Figura 3.12 apresentam-se os primeiros quatro modos

de encurvadura obtidos no estudo, [14]. Estes resultados, são utilizados como meio de comparação

dos modos de encurvadura obtidos das análises efetuadas, que são apresentados na Figura 3.13.

Efetivamente, o tipo de carregamento apresentado por G. Karami e o modelo do arco (circular) é

diferente daquele que se está a analisar, ainda que os esforços resultantes sejam igualmente apenas

de compressão. Ainda assim, segundo o estudo de Austin, Timoshenko e Gere, para 𝑓 𝑙⁄ = 0.2, os

arcos circulares sujeitos a um carregamento hidrostático e arcos parabólicos sujeitos a um

carregamento vertical uniformemente distribuído em projeção horizontal, apresentam uma relação

de 𝑝𝑐𝑟 de 1,18,

Figura 3.12 - Modelo e respectivas deformadas dos primeiros quatro modos de encurvadura do estudo

efetuado por G.Karami, M. Farshad e M.R.Banan, adaptado de [14]

41

Figura 3.13 - Modelo e respectivas deformadas dos primeiros quatro modos de encurvadura no caso de

arcos obtidos das análises lineares

𝑝𝑐𝑟𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

𝑝𝑐𝑟𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑜𝑠= 1.18

Observa-se que existe uma analogia de comportamento no que diz respeito às deformadas dos

primeiros quatro modos apresentados, quando os arcos são considerados como estruturas “ideais”.

3.2.3 Estabilidade de Arcos fora do plano

O estudo de estabilidade de arcos fora do plano teve por base o trabalho de investigação de

Tatsuro Sakimoto e Sadao Komatsu. No estudo, os valores de instabilidade obtidos eram comparados

por analogia entre o comportamento dos arcos ao de uma coluna, [15].

Sakimoto e Komatsu afirmavam que a determinação das cargas críticas em arcos poderia ser

realizada com recurso a um comprimento efetivo equivalente, relativo ao comportamento dos arcos,

nas fórmulas utilizadas no dimensionamento de colunas, [15].

Sabe-se que através do cálculo de um comprimento equivalente, é possível calcular o valor crítico

do esforço axial associado ao modo de encurvadura elástica relevante (EC3).

Para formularem o método, realizaram análises de estabilidade numéricas, no caso de arcos

parabólicos e circulares isolados, com secções em caixão, e em arcos constituídos por dois arcos

contraventados a trabalharem em conjunto, para valores de altura/vão entre 0,1 a 0,2, [15]. Para o

42

efeito, utilizaram o método dos elementos finitos com a consideração de comportamento elasto-

plástico de secções de parede fina fechadas em que a formulação é feita através da teoria da

plasticidade e do critério de cedência de Von Mises, [15]. Para secções tubulares, a rigidez de

empenamento é desprezável, pelo que esta não foi incluída nas análises, [15]. No que diz respeito ao

caso em estudo, pretende-se apenas a confirmação do método para o cálculo de cargas críticas

elásticas em arcos constituídos apenas por um perfil metálico.

No seu estudo de validação da fórmula, os referidos autores tiveram em consideração o efeito das

tensões residuais longitudinais e da curvatura inicial lateral. Na Figura 3.14 apresentam-se as

considerações tomadas por Sakimoto e Komatsu no seu estudo, para arcos constituídos por um perfil

metálico sem contraventamento, com valor máximo de deformação lateral inicial dos arcos de

1/1000 do comprimento do seu vão e com tensões residuais máximas de compressão de 0,4 e de 0,2

para aços usuais e para aços de alta resistência, respetivamente, [15].

Uma vez que os estudos de instabilidade lateral para um comportamento inelástico se mostraram

inconclusivos, o conceito de comprimento efetivo equivalente foi desenvolvido por Sakimoto e

Komatsu com base nos resultados de soluções elásticas para arcos singulares, [15]; sendo estas as

mais relevantes para efeitos de comparação com os obtidos nesta dissertação.

Os autores afirmam ainda que, para um sistema ideal, em que não houvesse imperfeições iniciais

ou excentricidades de carga, não ocorreriam deformações devido à flexão, nem rotações torsionais,

a não ser que resultando da instabilidade. Ou seja, antes de encurvadura apenas ocorreriam esforços

axiais.

No seu estudo, por razões simplificação da modelação computacional, consideraram cargas

verticais concentradas aplicadas nos nós dos elementos, admitindo que estas são equivalentes ao

carregamento uniformemente distribuído, como ilustrado na Figura 3.14.

Na conclusão do seu estudo, os autores concluiram que a fórmula proposta é suficientemente

precisa para efeitos de pré-dimensionamento. É importante referir que, na fórmula proposta, para

além da utilização de um comprimento efetivo equivalente para os arcos, utiliza-se o termo de força

axial, referente à secção a quarto do vão do arco, que Sakimoto e Komatsu consideram ser o termo

condicionante, [15].

Figura 3.14 - Modelo de estudo de Sakimoto e Komatsu, adaptado de [15]

43

Para a formulação do método, Sakimoto e Komatsu usaram as especificações Japonesas, onde a

esbelteza normalizada, tal como no EC3, é dada por,

𝜆̅

𝑦 =1

𝜋 √

𝜎𝑦

𝐸

𝑘𝐿

𝑖𝑦

(3.7)

Em que 𝑘 representa o fator de comprimento efetivo de uma coluna, 𝐿 o comprimento total da

coluna e 𝑖𝑦 o raio de giração da secção em torno do eixo 𝑦, 𝐸 o módulo de elasticidade do material e

𝜎𝑦 a tensão de cedência do material.

Como referido, a fórmula propõe valores de instabilidade, redefinindo os valores de 𝜆̅𝑦, pela

definição do fator de comprimento efetivo (𝑘) aplicado a arcos de perfis metálicos, [7]. Esse fator é

dado por:

𝑘 = 𝑘𝑒𝑘𝛽𝑘1 (3.8)

O coeficiente 𝑘𝑒 está relacionado com a fixação rotacional dos arcos e as suas extremidades em

relação ao eixo y , e toma os valores de:

𝑘𝑒 = { 0.5 𝑒𝑚 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑎𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

1.0 𝑒𝑚 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑖𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 (3.9)

O coeficiente 𝑘𝑙 está relacionado com a inclinação de aplicação/transmissão das cargas para os

arcos fora do plano (por exemplo, em pontes de tirantes a transmissão é feita em forma de cabide).

Na figura seguinte dá-se um exemplo ilustrativo e 𝑘𝑙 toma os valores de:

𝑘𝑙 = {0.65 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

1.0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑢𝑟𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 (3.10)

O fator 𝑘𝛽 está relacionado com o comprimento de contraventamento de arcos duplos

contraventados e é dado por:

𝑘𝛽 = 1 − 1(1 − 𝐶)𝛽, 𝐶 =2𝑟𝑦

𝑎𝐾𝑒 (3.11)

No caso em que se pretende estudar arcos únicos sem contraventamento, o fator 𝛽, que traduz o

comprimento de contraventamento é nulo, pelo que 𝑘𝛽 toma o valor de 1. Considera-se ainda que os

arcos não podem rodar sobre si e que, em corte lateral (vista lateral), este está fixo, ainda que possa

rodar nas outras direções.

Usando um fator de comprimento efetivo em arcos, considerando o seu comportamento de

encurvadura semelhante ao de colunas, podem-se aplicar os critérios considerados no EC3.

44

Segundo o EC3 a tensão última para elementos comprimidos com secções da classe 1, 2 e 3 pode

ser obtida por:

𝜒 =

𝜎𝑢

𝜎𝑦

=𝑁𝑢

𝐴𝜎𝑦

= 1

𝜙 + √𝜙2 − 𝜆2̅

(3.12)

em que:

𝜙 = 0.5 [1 + 𝛼(𝜆̅ − 0.2) − 𝜆2̅]

𝜆̅ = √𝐴𝜎𝑦

𝑁𝑐𝑟 para secções da classe 1, 2 e 3

Para secções tubulares circulares acabadas a quente o fator de imperfeição 𝛼 toma os valores de:

𝛼 = {

0.13 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑆460 ( 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑎0)0.21 𝑑𝑒 𝑆235 𝑎 𝑆420 (𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑎)

No contexto desta dissertação pretende-se obter o esforço axial crítico associado ao modo de

encurvadura elástica relevante baseado nas propriedades da secção transversal bruta que é calculado

por:

𝑁𝑐𝑟 = 𝜎𝑐𝑟𝐴 =

𝜋2𝐸𝐼

(𝑘𝐿)2

(3.13)

No caso de arcos, o comprimento 𝐿 corresponde ao comprimento total do arco e não ao

comprimento em projeção horizontal, [15].

Segundo Sakimoto e Komatsu o modo de encurvadura condicionante em arcos carregados

uniformemente em projeção horizontal é para fora do plano e o esforço axial crítico condicionante

em arcos ocorre a ¼ do comprimento do vão, [15]. Estes apresentam, ainda no seu estudo, uma

formulação de cálculo do carregamento distribuído em projeção horizontal conforme o esforço axial

respetivo:

𝑝 =

2𝑁

𝑙√ 116

(𝑙𝑓

)2

+ 1

(=) 𝑝𝑐𝑟 =2𝑁𝑐𝑟

𝑙√ 116

(𝑙𝑓

)2

+ 1

(3.14)

Em que 𝑓 representa a altura do arco e 𝑙 a sua projeção horizontal.

Estes compararam também as curvas de encurvadura da especificação Japonesa, com o SSRC

(Conselho de investigação de Estabilidade Estrutural) e com a curva 𝑐 do ECCS, que se apresenta

com a atual nomenclatura de EC3. Estes resultados estão apresentados na Figura 3.15.

45

Figura 3.15 - Comparação de curvas de encurvadura, adaptado de [15]

Para o caso de arcos parabólicos e circulares simples, ou seja, constituídos por um perfil e sem

sistema de contraventamento, segundo as condições de carregamento, tensões residuais e

imperfeições iniciais apresentadas na Figura 3.14, com valor máximo de deformação lateral inicial

dos arcos de 1/1000 do comprimento do seu vão e com tensões residuais máximas de compressão de

0,4 e de 0,2 para aços usuais e para aços de alta resistência, respetivamente, Sakimoto e Komatsu

chegaram aos resultados apresentados na Figura 3.16, [15].

Figura 3.16 - Precisão da fórmula proposta com a variação da configuração dos arcos de coeficiente altura vão (f⁄l), adaptado de [15].

Como se pode observar dos resultados obtidos, a fórmula proposta é considerada uma boa

aproximação no que diz respeito aos valores de tensões últimas de arcos metálicos, dentro dos

parâmetros considerados, enunciados no parágrafo anterior. É necessário referir que, neste estudo,

não foi considerada a instabilidade no plano, nem a instabilidade local.

No contexto desta dissertação, pretende-se efetuar um estudo relativamente ao efeito da

estabilidade de arcos metálicos sob a influência de membranas. Uma vez que, para o efeito, se

pretende chegar aos valores de cargas críticas elásticas devido a esforços axiais, foram efectuadas

análises lineares de estabilidade, com recurso ao programa de análise numérica Ansys Workbench.

Os modelos consistiram em arcos de secção tubular circular laminada a quente, sujeitos a cargas

uniformemente distribuídas em projeção horizontal, livres de se instabilizarem no próprio plano e

no plano perpendicular (fora do plano), sendo que se considera a partida que o modo de encurvadura

condicionante é para fora do plano, [15].

46

No estudo do efeito da membrana na estabilidade dos arcos, não são consideradas imperfeições

iniciais associadas a excentricidades de carga ou desalinhamento dos arcos, nem tão pouco tensões

residuais, pela complexidade de modelação associada à introdução destas tensões no modelo.

Pretende-se estudar o comportamento de encurvadura dos arcos, quando estes são livres de

instabilizar no seu plano e no plano perpendicular. Pretende-se igualmente validar o método

desenvolvido por Sakimoto e Komatsu, quando as imperfeições iniciais referidas e as tensões

residuais não são consideradas. Na Figura 3.17 apresenta-se a configuração dos modelos analisados,

admite-se o carregamento se dá no plano e que os arcos no plano perpendicular estão retilíneos.

Figura 3.17 - Carregamento e modelos em análise de arcos estruturais

Os resultados das análises lineares foram comparados com os obtidos considerando um

comprimento de encurvadura segundo a formulação de Sakimoto e Komatsu:

𝐿𝑒 = 𝑘𝐿

Em que 𝑘 = 𝑘𝑒𝑘𝛽𝑘1 com 𝑘𝑒 = 1 ( arcos biarticulados) ; 𝑘1 = 1 (carregamento vertical, sem

inclinação no plano perpendicular do arco) e 𝑘𝛽 = 1 (arcos não contraventados).

O carregamento uniformemente distribuído em projeção horizontal crítico é calculado por:

𝑝𝑐𝑟 =2𝑁𝑐𝑟

𝑙√ 1

16(

𝑙

𝑓)

2+1

com 𝑁𝑐𝑟 = 𝜎𝑐𝑟𝐴 = 𝜋2𝐸𝐼

(𝑘𝐿)2 , já apresentados em (3.13) e (3.14).

Consideraram-se secções comerciais circulares tubulares laminadas a quente. Inicialmente

definiu-se uma espessura constante (t=16 mm) variando o diâmetro da secção e em seguida definiu-

se um diâmetro constante (D= 508 mm) para uma espessura variável. Tomaram-se ainda as

seguintes considerações:

Arcos biarticulados parabólicos com relação altura/vão (𝑓 𝑙⁄ ) igual a 0,2, como ilustrado;

Perfis tubulares circulares metálicos laminados a quente;

Carregamento no plano uniformemente distribuído em projeção horizontal de 1KN/m2,

para a obtenção de multiplicadores de carregamento (carregamento crítico);

Considera-se que os arcos estão impedidos de rodar em torno do seu eixo;

Linearidade física e geométrica;

Tensões residuais e imperfeições geométricas desprezadas na análise;

Arcos analisados segundo elementos de barra, constituídos por 103 elementos finitos; o

programa gera automaticamente os elementos finitos; para um dos casos em análise

(f=10, l=50, D=508mm e t=12.5mm) varia-se o número de elementos finitos

47

considerados, chegando aos mesmos valores, sendo que nas análises se consideram os

elementos finitos gerados automaticamente pelo programa (103); a variação dos

elementos finitos dá-se fixando o comprimento máximo dos elementos; na tabela 3.8 são

apresentados os principais resultados da análise;

Considera-se que os arcos são esbeltos, por terem comprimentos elevados livres (55 m e

110 m) e que as secções são de classe 1, 2 ou 3; despreza-se a instabilização local dos perfis;

Despreza-se o peso próprio;

Assume-se que, para esta geometria e carregamento, a resultante de forças nos elementos é

de compressão pura.

Tabela 3.7 - Análise de convergência

Nº E.F. pcr A.L

(KN/m) 12 13.439

56 13.438

103 13.438

1000 13.438

Considera-se que 𝐿 representa o comprimento total do arco e 𝑖 o raio de giração da secção em

torno do eixo y, lembrando que para secções tubulares circulares a inércia da seção é igual em torno

de qualquer eixo devido à sua simetria. Os resultados obtidos segundo o método de Sakimoto e

Komatsu foram denominados por “S.K.” e os das análises lineares de estabilidade efetuadas de “A.L.”.

Na Figura 3.18 e nas Tabelas 3.8 e 3.9 apresentam-se os resultados obtidos para os modelos de

arcos biarticulados considerados segundo a relação 𝐿 𝑖⁄ (𝐿 𝑖⁄ = 𝜆𝑦; 𝐿 = 𝐿𝑐𝑟). Na Figura 3.18 ilustra-se

qualitativamente a deformada associada ao primeiro modo de encurvadura de cada arco.

Tabela 3.8 - Resultados obtidos por S.K. e A.L para t constante e D variável ; f=10 l=50 ; fora do

plano

Tabela 3.9 - Resultados obtidos por S.K.. e A.L para t constante e D variável ; f=20 l=100; fora do

plano

L=55.17m f=10m l=50m Nº E.F. =103

t=16mm i (cm) L/i pcr S.K. (KN/m) pcr A.L (KN/m)

CHS219.1 7.2 1493.50 1.14 1.19

CHS244.5 8.1 1050.21 1.62 1.69

CHS273.0 9.1 738.96 2.61 2.41

CHS323.9 10.9 430.30 3.80 4.14

CHS355.6 12.0 320.90 5.54 5.55

CHS406.4 13.8 211.39 8.12 8.42

CHS457 15.6 146.75 11.44 12.14

CHS508 17.4 105.74 12.72 16.85

L=110.35mf=20m l=100m Nº E.F. =103

t=16mm i (cm) L/i pcr S.K (KN/m) pcr A.L (KN/m)

CHS219.1 7.2 1532.64 0.14 0.15

CHS244.5 8.1 1362.35 0.20 0.21

CHS273.0 9.1 1212.64 0.33 0.30

CHS323.9 10.9 1012.39 0.47 0.52

CHS355.6 12 919.58 0.69 0.69

CHS406.4 13.8 799.64 1.01 1.05

CHS457 15.6 707.37 1.43 1.52

CHS508 17.4 634.20 1.59 2.11

48

Figura 3.18 - Análise Comparativa de instabilidade fora do plano para arcos biarticulados

Figura 3.19 - Deformada do primeiro modo de instabilidade para fora do plano para arcos biarticulados

Na Figura 3.20 e Tabelas 3.10 e 3.11 apresentam-se os resultados obtidos para os modelos de arcos

biarticulados com 𝐷 = 508 𝑚𝑚 e 𝑡 variável, segundo a variação de inércia das secções. Toma-se o

critério de variação de inércia (𝐼), uma vez que para um mesmo diâmetro, o raio de giração é

praticamente constante. No gráfico 3.2 e tabelas 3.5 e 3.6 apresentam-se igualmente os resultados

para 𝑡 = 16𝑚𝑚 e 𝐷 variável segundo a variação de Inércia de cada secção. Estes resultados referidos

por último foram já apresentados no gráfico 3.1 e tabelas 3.3 e 3.4, mas pretende-se compará-los com

os resultados obtidos para um diâmetro de secção constante e espessura variável, segundo o mesmo

critério (variação da inércia da secção).

Tabela 3.10 - Resultados obtidos por T.G. e A.L.; f=10 l=50; Pcr fora do plano

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 500 1000 1500 2000


pcr A.L. f=10 l=50

pcr S.K. f=10 l=50

pcr A.L. f=20 l=100

pcr S.K. f=20 l=100

L=55.17m f=10m l=50m Nº E.F. =103

t=16mm I (cm4) pcr S.K (KN/m) pcr A.L (KN/m) CHS508 I (cm4) pcr S.K. (KN/m) pcr A.L (KN/m)

CHS219.1 5297 1.14 1.19 t = 6.3mm 31246 5.29 7.03

CHS244.5 7533 1.62 1.69 t = 8mm 39280 6.72 8.83

CHS273.0 10707 2.61 2.41 t = 10mm 45820 8.22 10.91

CHS323.9 18390 3.80 4.14 t = 12.5mm 59755 10.16 11.42

CHS355.6 24663 5.54 5.55 t = 14.2mm 67199 11.46 15.11

CHS406.4 37449 8.12 8.42 t = 16mm 74909 12.72 16.85

CHS457 53959 11.44 12.14 17.4 < i < 17.6

CHS508 74909 12.72 16.85


𝐿

𝑖

49

Tabela 3.11 - Resultados obtidos por T.G. e A.L.; f=20 l=100; Pcr fora do plano

Figura 3.20 - Análise comparativa de cargas críticas fora do plano em arcos parabólicos articulados com

variação de Inércia

Figura 3.21 - Deformada do primeiro modo de instabilidade para fora do plano para arcos biarticulados

Pela análise do gráfico, pode-se afirmar que os valores de cargas críticas obtidos para arcos

biarticulados, através das análises lineares realizadas, vão de encontro aos resultados obtidos pela

fórmula proposta para a gama de valores analisados, ainda que não se tenha tido em consideração os

efeitos das imperfeições geométricas, excentricidades de carga, plasticidade do material e tensões

residuais.

As deformadas relativas ao primeiro modo de encurvadura de instabilidade para fora do plano,

obtidas das análises feitas (Figura 3.21), comportam-se de forma idêntica às obtidas na análise de

colunas, como seria de esperar pela validade de aproximação da fórmula ao comportamento de uma

coluna.

L=110.35mf=20m l=100m Nº E.F. =103

t=16mm I (cm4) pcr S.K (KN/m) pcr A.L (KN/m) CHS508 I (cm4) pcr S.K. (KN/m) pcr A.L (KN/m)

CHS219.1 5297 0.14 0.15 t = 6.3mm 31246 0.66 0.88

CHS244.5 7533 0.20 0.21 t = 8mm 39280 0.84 1.10

CHS273.0 10707 0.33 0.30 t = 10mm 45820 1.03 1.36

CHS323.9 18390 0.47 0.52 t = 12.5mm 59755 1.27 1.68

CHS355.6 24663 0.69 0.69 t = 14.2mm 67199 1.43 1.89

CHS406.4 37449 1.01 1.05 t = 16mm 74909 1.59 2.11

CHS457 53959 1.43 1.52 17.4 < i < 17.6

CHS508 74909 1.59 2.11

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

5000 15000 25000 35000 45000 55000 65000 75000


pcr A.L. ; t=constante f=10 l=50

pcr S.K. ; t = constante f=10 l=50

pcr A.L. ; D = constante f=10 l=50

pcr S.K. ; D = constante f=10 l=50

pcr A.L. ; t= constante f=20 l=100

pcr S.K. ; t= constante f=20 l=100

pcr A.L. ; D = constante f=20 l=100

pcr S.K. ; D = constante f=20 l=100


𝑓 𝑙⁄ = 0.2

50

O intuito das análises numéricas simplificadas realizadas é entender de que forma os valores

obtidos de análises de estabilidade simplificadas de estruturas “ideais” podem variar da fórmula

proposta, validada por Sakimoto e Komatsu de pré-dimensionamento de estruturas deste tipo, com

consideração de variáveis tais como imperfeições iniciais, tensões residuais e plasticidade do material

no seu comportamento de estabilidade.

51

4 Influência da membrana no comportamento de Estabilidade de arcos

4.1 Introdução

Na prática corrente, no pré-dimensionamento de elementos de suporte curvos de estruturas de

membrana, é assumido à partida que a membrana funciona como um travamento lateral e que estes

elementos podem ser muito esbeltos, [16].

Assim, no presente capítulo, pretende-se estudar a influência das membranas nos seus elementos

de suporte metálicos em arco quanto aos fenómenos de estabilidade. Para esse efeito, foi recriada

uma estrutura de membrana em forma de “guarda-chuva” com quatro arcos de suporte metálicos de

secção tubular circular e realizaram-se análises de estabilidade em modelos incorporando os efeitos

da membrana e em modelos constituídos apenas pelos arcos. Esta estrutura, com uma configuração

semelhante à de um guarda-chuva, é dada como referência na consideração de elementos curvos

muito esbeltos quando estes estão integrados numa estrutura de membrana, [2].

Como se viu anteriormente, nas estruturas de membrana é necessário definir-se uma

configuração inicial, através de análises estruturais. Para tal, faz-se uso do método de Newton-

Raphson na resolução de problemas não-lineares no processo de procura da forma de membranas.

Apresenta-se o processo computacional em uma das geometrias do modelo base de estudo e as

propriedades gerais usadas em todos os modelos de análise.

Após encontrada a configuração inicial de membrana, realizaram-se análises não lineares de

estabilidade, por um processo incremental-iterativo com uso do método de Newton-Raphson e

considerando-se as imperfeições iniciais e tensões associadas ao pré-esforço nas membranas,

resultantes do processo de procura de forma e inerentes à construção de estruturas de membrana.

As análises foram realizadas para um carregamento hidrostático sob a membrana, tratando-se de

um carregamento teórico.

Foram efetuadas análises num modelo de arcos incluindo a membrana e num modelo de arcos

isolados com relação altura-projeção horizontal de 0,1, 0,2 e 0,3.

Nas análises de estabilidade no modelo de arcos isolados foi considerada uma configuração de

carregamento igual àquela que se obtém na transmissão de forças da membrana para os arcos

quando esta está sujeita a um carregamento hidrostático de 1 kN/m2.

Dada a simetria da estrutura e do carregamento, a resultante de forças é vertical, pelo que os

valores de carregamento crítico resultantes das análises de estabilidade no modelo de arcos de

suporte da membrana foram comparados com os obtidos por Austin, Timoshenko e Gere para

instabilidade no plano de arcos sujeitos a um carregamento vertical uniformemente distribuído em

projeção horizontal. Por sua vez, os valores obtidos através das análises de estabilidade no modelo

de arcos isolados foram comparados com os valores segundo a fórmula proposta por Sakimoto e

Komatsu de instabilidade para fora do plano.

52

Os valores de carregamento crítico obtidos das análises de estabilidade nos dois modelos são

comparados, quantificando a influência da membrana na estabilidade de elementos de suporte em

arco num modelo em forma de guarda-chuva.

4.2 O método de Newton Raphson na resolução de problemas não lineares

Nas análises não lineares de equilíbrio de uma estrutura é desenvolvido o problema de

identificação da instabilidade de uma estrutura através da análise da sua matriz de rigidez ao longo

de um caminho de equilíbrio. Sabe-se à partida que ao se considerar o problema geometricamente

não linear, a matriz de rigidez do sistema não será constante.

A solução é dada por um problema de valores e vetores próprios na resolução estática do problema

para cada carregamento. Cada ponto de equilíbrio é então a solução de um problema de equilíbrio

não linear em que o carregamento foi incrementado. O método de Newton-Raphson é utilizado na

atualização da matriz tangente de rigidez da estrutura a cada iteração.

Numa análise não-linear de equilíbrio de estruturas, que incorpore procedimentos iterativos,

podem ser identificadas duas diferentes fases: A fase (i) predita, que envolve a obtenção dos

deslocamentos incrementais a partir de um determinado acréscimo de carregamento e a fase (ii)

corretiva, em que se realiza a correção das forças internas incrementais obtidas dos acréscimos de

deslocamentos pela utilização de um processo iterativo, [17]. Essas forças internas são comparadas

com o carregamento externo, obtendo-se a quantificação de desequilíbrio existente no sistema. O

processo corretivo é refeito até que, por intermédio de um critério de convergência, a estrutura esteja

em equilíbrio, ou seja, até que se encontre:

Fint - Fext 0

(4.1)

onde Fint é a força interna, função dos deslocamentos, e Fext é a força externa, válido para sistemas

conservativos, [17]. Sabe-se que a discretização do processo de resolução, por elementos finitos, é

feita através de um sistema de equações simultâneos, aplicados a cada elemento, dados por:

[𝐾]{𝑢} = {𝐹𝑎}

(4.2)

onde [𝐾] é a matriz de rigidez do elemento, {𝑢} os vetores de deslocamentos desconhecidos dos

nós (graus de liberdade) e {𝐹𝑎} o vetor das forças aplicadas. Ao aplicar-se o método de resolução por

Newton-Raphson aplica-se:

[𝐾𝑖

𝑇]{∆𝑢𝑖} = {𝐹𝑎} − {𝐹𝑖𝑛𝑟}

(4.3)

{𝑢𝑖+1} = {𝑢𝑖} + {∆𝑢𝑖} (4.4)

onde [𝐾𝑖𝑇] representa a matriz de rigidez tangente, {𝐹𝑖

𝑛𝑟} o vetor de forças internas do elemento

correspondente e 𝑖 a iteração de equilíbrio correspondente. Tanto [𝐾𝑖𝑇] como {𝐹𝑖

𝑛𝑟} são avaliados

segundos os valores dados por {𝑢𝑖}. A diferença entre {𝐹𝑎} e {𝐹𝑖𝑛𝑟} representa o vetor residual, ou

53

vetor de desequilíbrio do sistema. A carga é subdividida numa série de incrementos de carga que

podem ser aplicados em várias fases e chega-se à convergência de solução através da igualdade da

equação (4.4). A Figura 4.1 ilustra o uso da abordagem de iterações de equilíbrio através da

metodologia de Newton-Raphson para uma análise não linear de sistemas com apenas um grau de

liberdade.

Figura 4.1 - Método de Newton-Raphson, adaptado de [13]

A matriz de rigidez tangente é representada (Figura 4.1) pelas tangentes às curvas no gráfico. Se

o critério de convergência não for satisfeito, o vetor de carga de desequilíbrio é reavaliado, a matriz

de rigidez é atualizada e uma nova solução é obtida. Este procedimento iterativo continua sempre

que o programa convergir para soluções possíveis com os respetivos incrementos.

Em algumas análises não lineares, unicamente através do método de Newton-Raphson, a matriz

de rigidez tangente pode tornar-se singular (ou não única), podendo causar problemas de

convergência. Quando aplicado a análises de estabilidade de estruturas, o problema singular pode

ocorrer quando se realizam análises não lineares de estabilidade em que a estrutura colapsa

completamente, ou snap-through para outra configuração estável. Problemas que apresentam esse

tipo de instabilidade possuem grande dificuldade numérica, pois assim que a rigidez do sistema se

torna negativa, o algoritmo deve realizar um decréscimo da força para aumentar os deslocamentos,

[13].

Quando se pretende contornar esta limitação do método pode-se utilizar o método do

comprimento de arco que assenta na mesma teoria do método de Newton-Raphson, com a

alternativa de que os ajustamentos da convergência são feitos através de arcos, em vez de retas

tangentes de rigidez (Figura 4.2). Desta forma, é possível detetar mudanças de sinal do declive nas

trajetórias de equilíbrio (rigidez), bem como o andamento das trajetórias de pós-encurvadura de

estruturas que apresentam trajetórias de equilíbrio instáveis ou até fenómenos de snap-through.

54

Figura 4.2 - Figura tradicional de comparação do método de Newton-Raphson vs o método do comprimento de arco, adaptado de [13]

No fundo, uma análise não linear de estabilidade é, basicamente, um conjunto de análises

estáticas, com base na aplicação de carga por incrementos, tendo em consideração os efeitos de

grandes deformações e da variação da rigidez da estrutura com os incrementos de carga, estendido

até o ponto em que a estrutura atinge o seu limite de estabilidade, por divergência das iterações do

método de Newton, ou quando se deteta uma mudança de curvatura na trajetória de equilíbrio, no

caso de estruturas que apresentem trajetórias de equilíbrio estáveis. É necessário ter a certeza que se

está a aplicar um incremento de carga suficientemente pequeno nas imediações da carga crítica

esperada. Se os incrementos de carga aplicados forem demasiado grosseiros, a carga crítica obtida

pode não ser suficientemente precisa, [13].

4.3 Configuração Inicial do modelo

Ainda que o foco principal da realização desta dissertação não seja a concepção estrutural de

membranas, o estudo do efeito de estabilização da estrutura de membrana sobre o seu suporte em

arcos metálicos teve por base um modelo viável de uma estrutura deste tipo.

Para que se pudesse, efetivamente, obter um modelo viável de uma estrutura de membrana, foi

utilizado um método numérico de geração de formas, tendo por base a resolução de problemas não

lineares de elementos finitos, através do método de Newton, na convergência das soluções por

iterações. Em seguida, abordam-se resumidamente fundamentos teóricos e aplicação do método,

exemplificando-o com um exemplo do modelo de estudo.

4.3.1 Abordagem aos Fundamentos Teóricos implementados

O primeiro passo no projeto de dimensionamento de estruturas de membrana é encontrar uma

configuração geométrica viável, uma vez que os materiais que constituem a membrana, apenas são

viáveis quando traccionadas. No processo de procura de forma de membranas, procura-se uma

configuração geométrica que corresponda a uma superfície minimal. Uma superfície minimal

caracteriza-se por um estado uniforme e isotrópico de tração. Assim impõe-se um campo de tensões

uniformes iniciais e avaliam-se as variações de geometria da membrana. Quando se atingem

55

deslocamentos reduzidos face ao estado de tensões uniformes imposto, sabe-se que foi encontrada

uma forma viável.

A geometria definida inicialmente não corresponde a uma geometria viável/possível, para

elementos de membrana. Esta geometria inicial, corresponde a uma geometria fictícia que serve de

referência para a procura de uma superfície minimal. Os deslocamentos no fim do processo são

ignorados, considerando apenas o campo de tensões resultante, na forma encontrada. Assim, as

propriedades dos materiais (membrana e cabos) incluídos no processo de procura de forma,

correspondem a propriedades fictícias, sendo que não têm qualquer significado no processo e podem

ser desprezadas na modelação computacional.

No final do processo de procura de forma, chega-se à geometria de projeto. A partir dessa etapa,

as propriedades dos materiais têm que ser obrigatoriamente incluídas e definidas, para que se analise

o comportamento da estrutura às acções de projeto.

Para encontrar a superfície minimal que respeita as condições impostas, pode-se atribuir módulos

de elasticidade muito baixos aos elementos de membrana, e inclusivamente dos elementos de borda

(cabos), incluídos no processo de procura de forma. As tensões nestes elementos mudam muito

pouco, mesmo que estejam associadas grandes deformações. Desta forma, a convergência para uma

solução de uma superfície minimal é facilitada.

Em muitas estruturas de membrana estão incluídos elementos de suporte. As tensões iniciais na

membrana e os deslocamentos que provocam nestes elementos devem ser consideradas. Assim

sendo, as propriedades dos elementos de suporte de membrana, devem também ser considerados no

processo de procura de forma.

O processo de procura de uma configuração inicial no modelo de membrana estudado nesta

dissertação, foi feito segundo uma análise estrutural incremental-iterativa pelo método de Newton-

Rapshon no programa Ansys. Desta maneira, em cada iteração foram avaliadas as matrizes de rigidez

dos elementos, sujeitos a grandes deslocamentos. Para além disso, o programa Ansys, permite a

atualização de geometria dos elementos. Assim em cada iteração é possível atualizar a geometria sem

que estejam sujeitas ao estado de tensões anterior e avaliar os deslocamentos, para o campo de

tensões aplicadas.

Considera-se que quando os deslocamentos são reduzidos e as tensões na membrana têm

variações desprezáveis (uniformes) encontrou-se uma configuração viável e tão próxima quanto se

queira de uma superfície minimal.

4.3.2 Exemplo prático

Depois de se desenvolver a fundamentação teórica na procura de uma configuração inicial de

membrana, pretende-se aplicá-la ao modelo de estudo a nível computacional, utilizando o programa

Ansys. Um aspeto interessante é a arbitrariedade da geometria inicial do problema. Como foi referido

na fundamentação teórica do método, a escolha de uma geometria inicial mais próxima de uma

configuração em equilíbrio facilita a convergência do método. Para além disso, ao adotar-se o Método

56

de Newton, torna-se necessário impor um campo de tensões iniciais na membrana e cabos, capaz de

conferir suficiente rigidez geométrica ao sistema, evitando a divergência do método.

Para estruturas de membrana com grandes vãos, com curvaturas acentuadas, pretende-se

conferir uma tensão superficial de 2 kN/m. Uma vez que a espessura típica dos tecidos é de 1 mm,

aplica-se um campo de tensões iniciais de 2 MPa, [10].

Este programa permite, inclusivamente, a atualização da geometria do modelo para a deformada

obtida, permitindo a utilização do método no problema de procura de forma.

Em seguida, apresenta-se um exemplo de aplicação do método para uma das geometrias do

modelo de estudo, com uma configuração em “guarda-chuva”, como anteriormente referido. No

exemplo apresentado consideram-se arcos com um vão de 50 m e 10 m de altura (Figura 4.3).

Apresentam-se, igualmente, as propriedades gerais consideradas em todos os casos de estudo.

Figura 4.3 - Geometria Inicial do modelo antes da procura de forma – Exemplo

Figura 4.4 - Constituição da estrutura de estudo

A escolha de elementos de membrana triangulares decorre de uma restrição do elemento

SHELL41 do Ansys, tipo de elemento com a opção “tension only” (apenas tensões de tração), que

para análises geometricamente não lineares, requer esta configuração de elemento.

Existem outros elementos de membrana no Ansys, que permitem usar elementos

quadrangulares, mas estes não têm a opção ‘tension-only’, o que pode provocar enrugamentos da

membrana no processo de procura de forma. De qualquer forma, a opção de elementos triangulares

57

converge para a mesma solução desde que se utilize uma malha mais fina (a junção de dois elementos

triangulares formam um quadrangular).

As forças de puxe dos cabos só são definidas quando se chega à configuração de membrana que

se pretende obter, com variações de tensões pequenas ao longo dos elementos, mas é necessário

arbitrar-se uma força de puxe inicial nos cabos, para conferir uma rigidez inicial a estes elementos.

Os valores de força de puxe iniciais arbitrados nos cabos pressupõe que se tente aproximar aos

valores a que, efetivamente, se chegam na configuração desejada, [10].

Na primeira iteração de busca da forma reduz-se o módulo de elasticidade dos cabos para 1 ‰ do

seu valor real, de forma a que estes se deformem juntamente com a membrana, atingido um

equilíbrio geométrico, sem grande imposição das propriedades dos elementos, facilitando a

convergência do método, [10]. Ao se obter a solução para o estado de tensões arbitrado, avaliam-se

os deslocamentos e tensões nos elementos (Figura 4.7).

Figura 4.5 - Caraterísticas dos materiais e elementos do modelo de estudo (continua na página seguinte)

58

Figura 4.5 - Caraterísticas dos materiais e elementos do modelo de estudo (continuação)

Figura 4.6 - Condições estruturais de procura de forma da membrana

Figura 4.7 - Primeiro iteração de "busca da forma" (a) modelo indeformado-deformada (b) tensões efetivas na membrana (c) módulo dos deslocamentos (d) tensões efetivas nos cabos de borda

59

Uma vez que a estrutura tem grandes deslocamentos (deslocamento máximo de 1,13 m) e as

tensões obtidas ainda apresentam uma não uniformidade considerável, fixa-se a geometria da

deformada obtida, libertando as tensões aplicadas. Na iteração seguinte voltam-se a impor as

mesmas tensões iniciais na membrana, alterando o módulo de elasticidade da membrana para 1 %

do valor real. Reduz-se, também, o módulo de elasticidade dos cabos, para que ambos os materiais

tendam para a sua forma de equilíbrio mais livremente, aplica-se a mesma força de puxe inicial e

avaliam-se novamente as tensões e deslocamentos, [10].

Após atualizada a geometria obtida pela deformada da solução anterior, é necessário requantificar

os módulos de elasticidade dos materiais para os valores reais, aplicando-se novamente as tensões

iniciais de 2 MPa sobre a membrana e uma força de puxe nos cabos de 40 kN, uma vez que se

aproxima dos valores obtidos. Refira-se ainda que, nesta etapa, apesar de se libertarem os apoios nos

arcos, chega-se à forma e tensões finais de membrana e cabos representadas na Figura 4.8.

Figura 4.8 - Iteração final de "busca da forma" (a) modelo indeformado-deformada (b) tensões efetivas na membrana (c) módulo dos deslocamentos (d) tensões efetivas nos cabos de borda

Os resultados representados na Figura 4.8 confirmam a proximidade da geometria atual a uma

forma minimal de equilíbrio, uma vez que apresenta uma variação reduzida da configuração de

referência da iteração anterior, como visto na fundamentação teórica do método. O campo de

deslocamentos é mostrado na Figura 4.8 (c). O máximo deslocamento é de 8.2cm, relativamente à

configuração anterior, e de cerca de 0.5 % do comprimento entre apoios. A Figura 4.8 (b) apresenta

a distribuição das tensões efetivas resultantes, que exibiram uma variação pequena (entre 1.72 MPa

e 2,34 MPa). A Figura 4.8 (d) apresenta a distribuição de tensões dos cabos que, para uma área de

20 cm2, regista tensões de puxe a variar entre 43 a 45 kN. Estes resultados mostraram-se

60

relativamente pouco sensíveis a uma atualização da geometria do modelo, adicionando-se os

deslocamentos encontrados na primeira simulação às coordenadas nodais. Observa-se, ainda, que os

resultados obtidos se aproximam das condições iniciais impostas.

Refira-se ainda que, em todas as geometrias analisadas no modelo de estudo foram avaliadas as

configurações iniciais. Ao se criarem ficheiros de comandos, a análise do problema de “busca de

forma” aplicada a diferentes geometrias torna-se mais prática. Isso faz com que todas as

considerações tomadas tenham sido aplicadas às diferentes geometrias de estudo do modelo, em que

se mudam apenas os valores de vão e altura dos arcos de suporte da membrana, sendo o restante

consequente à variação destes valores.

As alterações aplicadas a cada iteração da “busca de forma” da membrana deste caso em

específico, são igualmente consideradas em todos os casos geométricos do modelo de estudo, uma

vez que se considera a mesma lista de comandos. No fim das iterações que se consideraram ser

suficientes para este caso e restantes, avaliaram-se os deslocamentos da configuração deformada. Se,

efetivamente, estes forem desprezáveis, considera-se que chegámos à configuração inicial de

membrana, caso contrário, continua-se o processo iterativo até se obter deslocamentos que possam

ser considerados desprezáveis.

4.4 Análise de Estabilidade

4.4.1 Considerações sobre os critérios de análises estruturais adotados

No caso do Eurocódigo 3 é possível dimensionar os elementos estruturais metálicos sujeitos à

compressão considerando o comportamento de encurvadura e resistência da estrutura em separado

e interação de comportamento (estabilidade e resistência) através de um factor de redução de

resistência das secções (𝜒) e uma interação de comportamento posterior, [18]. Adota-se uma

esbelteza normalizada �̅� de relação entre as cargas criticas elásticas e a plastificação ou cedência da

secção, consoante a classe de secção utilizada:

�̅� = √

𝑁𝑦

𝑁𝑐𝑟

(4.5)

𝑁𝑦 = 𝐴𝑓𝑦 para seções de classe 1, 2 e 3 e 𝑁𝑦 = 𝐴𝑒𝑓𝑓𝑓

𝑦 para seções de classe 4

𝑁𝑐𝑟 é o valor crítico do esforço normal associado ao modo de encurvadura elástica relevante,

baseado nas propriedades da seção transversal bruta.

A cada valor de �̅� está associado um coeficiente de redução 𝜒, consoante o tipo de seção e modo

de fabrico, (curvas de a0 a d do Eurocódigo) em que o valor de cálculo característico da resistência à

encurvadura de um elemento comprimido é dado por:

𝑁𝑅𝑘 = 𝜒 𝐴 𝑓𝑦 (4.6)

61

Quando o esforço axial de compressão aplicado não é uniforme ao longo do elemento, toma-se o

valor mais elevado em consideração, [18].

A conjugação dos resultados destas análises em separado, por meio de análises numéricas, é,

então, semelhante à que se utiliza quando se faz o dimensionamento manualmente, para elementos

mais simples, em que no final do processo se define um fator da carga última do elemento.

As secções consideradas são tubulares, pelo que não se considera a instabilidade global provocada

por momentos fletores. Ainda assim, há casos em que ocorre, simultaneamente, esforços de flexão

com compressão. Nesses casos, as secções tornam mais suscetíveis aos fenómenos de encurvadura

local das chapas que constituem a secção, não sendo obrigatório que todo o elemento instabilize. O

fenómeno de instabilização local nas secções consideradas está associado ao aparecimento de

ondulação nas paredes do tubo quando sujeitas a tensões de compressão. As tensões residuais

contribuem no desenvolvimento das encurvaduras locais, na medida em que antecipam a

plastificação de parte das paredes dos tubos, resultando no acréscimo das tensões na restante área

da secção, [19].

Em alguns casos, a encurvadura local conduz à encurvadura global da peça pela redução da carga

crítica associada. A consideração conjunta da encurvadura local e da encurvadura global do elemento

pode provocar o colapso por encurvadura, muito antes de se atingir a carga crítica teórica, [19]. No

caso da consideração da não linearidade dos materiais em análises de estabilidade, sabe-se que as

tensões residuais têm uma grande influência nos modos locais e globais de instabilidade, pelo que,

ao considerar-se a plasticidade dos materiais é importante avaliar o efeito das tensões residuais no

comportamento destes elementos.

Como primeira abordagem do estudo em específico, pressupõe-se que a consideração conjunta

de plasticidade e estabilidade nos elementos de suporte de membranas tensionadas, bem como a

influência das tensões residuais, será um assunto a abordar em estudos posteriores que se dediquem

a este mesmo tema. O presente trabalho pretende contribuir na obtenção de cargas criticas

associadas a modos de encurvadura elásticos de elementos de suporte de membranas em arco

4.4.1.1 Imperfeições geométricas

Como se viu anteriormente, nos conceitos gerais de estabilidade, as imperfeições geométricas têm

influência nos estados limites de encurvadura das estruturas, tanto a nível de deslocamentos/modos,

como a nível de intensidade de carregamento. Nas imperfeições geométricas que se consideram nas

análises estruturais podem distinguir-se:

(i) imperfeições da geometria da secção transversal, distinguindo-se os desvios nas suas

dimensões e na forma;

(ii) excentricidade na aplicação das cargas face ao eixo das peças;

(iii) imperfeições do eixo da peça, nas quais se distinguem as faltas de retilinearidade e os

desvios relativamente à posição teórica

62

Sendo que as imperfeições (i) são consideradas imperfeições locais e as restantes imperfeições

geométricas globais. Em alguns casos, as imperfeições locais são introduzidas por amplificação do

efeito das imperfeições geométricas iniciais globais, [19].

Sabe-se que ao se analisarem perfis tubulares circulares, as imperfeições geométricas de seção

associadas são:

(i) Ovalização da secção

(ii) Desvios locais da superfície da peça.

A secção adotada foi HCS 508x12.5. Como a secção pode ser de classe 4, consoante a classe de

resistência de aço, os modos locais de instabilidade do elemento podem ser condicionantes. Dever-

se-ia encontrar forma de introduzir imperfeições locais nos elementos que constituem o arco. No

entanto, por existirem demasiadas singularidades, associadas à modulação dos perfis de elementos

em arco, os fenómenos de encurvadura local são de difícil representação e consideração, [19]. Para

além disso, neste caso concreto, a esbelteza global é tão elevada que os modos locais perdem

relevância, [19]. Refere-se ainda que, por este motivo, e em termos de facilidade de modulação, foram

adotados elementos de barra na modulação dos arcos de suporte. Se tivessem sido adotados

elementos de casca no dimensionamento dos tubos circulares, a ligação destes elementos com a

membrana seria mais complexa. Assumindo a pouca influência dos modos locais de instabilidade

para o caso em específico, tomou-se esta hipótese simplificativa.

4.4.1.2 Imperfeições iniciais consideradas no dimensionamento dos arcos

Na presente dissertação, referiu-se que intuitivamente é assumido que a membrana tem um efeito

estabilizador lateral nos seus elementos de suporte. No caso extremo, considerando um travamento

lateral contínuo, estes elementos comportar-se-iam apenas no seu próprio plano.

Segundo o Eurocódigo, baseado no dimensionamento de arcos estruturais em pontes, travados

lateralmente, as imperfeições iniciais geométricas equivalentes que se deverão introduzir no plano,

em conformidade com a curva a que correspondem as suas secções resistentes e o tipo de condição

de apoio estão apresentadas na Figura 4.9. De acordo com a metodologia proposta na parte 2 do

Eurocódigo 3 a avaliação das condições de segurança deverá ser realizada recorrendo à análise de 2ª

ordem ou a uma análise geometricamente não linear da estrutura em que se integra o arco,

introduzindo nela as imperfeições especificadas, [19-20].

Em termos computacionais, a configuração que se adota usualmente para a consideração das

imperfeições iniciais é aquela obtida das análises lineares de estabilidade, segundo o carregamento

aplicado, em que se obtêm cargas e modos críticos bifurcacionais.

Viu-se anteriormente, das análises lineares efetuadas no capitulo 3.2 e representada na Figura

3.11, que para o caso de arcos biarticulados o primeiro modo de instabilidade bifurcacional tem uma

configuração igual à proposta pelo Eurocódigo.

63

Figura 4.9 - Imperfeições geométricas iniciais a considerar no dimensionamento de arcos, segundo o euro código (EC3)

No caso da integração da membrana no sistema, assume-se à partida que o modo de instabilidade

bifurcacional no plano não corresponderá à mesma configuração dos arcos isolados.

A membrana, apenas pelo facto de cumprir as especificações de projeto quando sujeita à tracção

(pré-esforço), faz com que os arcos ao estarem integrados na estrutura estejam igualmente sujeitos

a um campo de tensões iniciais. Dada a existência destas tensões e ao facto de a membrana conferir

uma certa rigidez a movimentos ascendentes dos arcos, a consideração de imperfeições iniciais no

plano segundo a configuração apresentada na figura 4.5 (EC3) não é adequada.

Assim, consideraram-se apenas as imperfeições iniciais (tensões e deslocamentos) nos elementos

estruturais em arco associadas às tensões iniciais na membrana nos dois modelos: modelos de arcos

de suporte de membrana e modelo de arcos.

Na Figura 4.10 apresenta-se o módulo de deslocamentos nestes elementos e as tensões normais

iniciais consideradas para o caso de os arcos terem 50 m de vão e 10 m de altura, segundo a

configuração de membrana tomada e apresentada na secção 4.1.

Considera-se importante voltar a referir que no processo de procura de forma se faz uma última

iteração, libertando os apoios fixos contínuos nos arcos.

Figura 4.10 - Módulo dos deslocamentos (a) tensões normais nos elementos de suporte em arco (b) configuração dos deslocamentos (c), no final da "busca de forma" da membrana

64

4.4.2 Exemplo de identificação dos modos de encurvadura

Para uma melhor compreensão do comportamento de estabilidade do modelo de arcos, realizou-

se uma análise linear de estabilidade dos mesmos quando sujeitos a uma configuração de

carregamento proveniente da transmissão de cargas da membrana para os arcos, quando esta está

sujeita a um carregamento hidrostático (carregamento teórico). Na Figura 4.11 apresentam-se os

passos efetuados na metodologia das análises lineares realizadas com o respetivo modelo. Na Figura

4.12 apresentam-se os primeiros quatro modos de encurvadura dos arcos para uma secção HCS

508x12.5 quando estes têm uma altura de 10 m e um vão de 50 m, segundo o carregamento

apresentado. Apresentam-se os modos de encurvadura num dos arcos do modelo.

As análises lineares de estabilidade no caso do modelo de arcos de suporte de membrana são de

difícil modelação uma vez que a configuração inicial do modelo foi obtida por um processo de análise

não-linear. A geometria dos elementos é atualizada em cada uma das iterações e o programa não

permite alterações na malha de elementos finitos após o processo de procura de forma. Neste

processo, a matriz de rigidez dos elementos de membrana torna-se não simétrica o que impossibilita

a realização de análises lineares. Uma hipótese possível, seria armazenar as coordenadas dos nós dos

elementos, criando um novo modelo segundo a geometria definida por estes nós e efetuando as

análises.

Figura 4.11 - Metodologia de Análises lineares de estabilidade no modelo de arcos (continua na página

seguinte)

65

Figura 4.11 - Metodologia de Análises lineares de estabilidade no modelo de arcos (continuação)

66

Figura 4.12 - Carregamento e Quatro primeiros modos de instabilidade do sistema de arcos isolados

Ao se analisar os resultados obtidos, percebe-se que o primeiro modo de instabilidade dos arcos,

segundo as condições consideradas, é para fora do plano. Note-se que o modo de instabilidade com

deslocamentos menores fora do plano é o modo que instabiliza simultaneamente no plano e que, os

carregamentos dos correspondentes modos de instabilidade apresentam valores relativamente

próximos.

Salienta-se que o segundo modo de instabilidade apresenta uma configuração semelhante à

estimada no caso de instabilidade no plano de arcos, sob carregamentos verticais uniformemente

distribuídos em projeção horizontal, apresentados no Capítulo 3.

4.4.3 Análise comparativa de comportamento

O foco principal desta dissertação é entender a influência da estrutura de membrana

relativamente à estabilidade dos seus elementos. Para melhor entendimento das diferenças de

comportamento, analisou-se pormenorizadamente um dos casos geométricos dos modelos de

estudo, mais especificamente, quando os arcos têm 50 m de vão e 10 m de altura.

As características dos materiais e elementos de análise foram já apresentadas nas Tabelas 4.1 e

4.2. As análises de estabilidade da estrutura foram efetuadas para um carregamento de pressão

67

hidrostática aplicada sobre a membrana, como apresentado anteriormente. Na Figura 4.13

apresentam-se os passos tomados na metodologia das análises efetuadas nos dois modelos, bem

como os carregamentos analisados.

Figura 4.13 - Passos e considerações tomadas nos dois modelos a serem comparados (continua na

página seguinte)

68

Figura 4.13 - Passos e considerações tomadas nos dois modelos a serem comparados (continuação)

O programa Ansys permite a aplicação de carga de forma incremental, através de ficheiros de

comandos. Nas análises incrementais efetuadas define-se que o carregamento é função do tempo de

aplicação, sendo o tempo de aplicação igual a um multiplicador do carregamento. Esta equivalência

facilita a interpretação de dados ao longo do histórico de carregamento.

Uma vez que se quer estudar a influência da membrana na estabilidade dos seus elementos de

suporte, as análises no modelo de arcos (sem membrana) devem ser realizdas sob as mesmas

condições que as realizadas no modelo que inclui a membrana. Para esse efeito, considera-se um

carregamento no modelo de arcos igual àquela resultante da transmissão de carga no modelo de

membrana e arcos quando sob carregamento de pressão hidrostático de 1 kN/m2.

69

Consideraram-se as tensões e deformações iniciais resultantes do processo de procura de forma

(inerentes às estruturas de membrana por apenas verificarem as condições de projeto quando

sujeitas à tração) nas análises de estabilidade geometricamente não lineares dos dois modelos:

modelo de arcos de suporte de membrana e modelo de arcos.

Realça-se que, para além da não influência da membrana na estabilidade dos arcos, está-se a

considerar que a transmissão de carregamento da membrana para os arcos é feita linearmente, não

se considerando as deformações da membrana no histórico de carregamento no modelo de arcos

(sem membrana).

Nas Figuras 4.14 e 4.15, apresentam-se os modos de encurvadura nos dois modelos e os

carregamentos a que estão sujeitos (para as mesmas condições geométricas) resultantes das análises

geometricamente não lineares.

Figura 4.14 - Modo de encurvadura da análise geometricamente não linear no modelo de arcos de suporte de membranas

Figura 4.15 - Modo de encurvadura da análise geometricamente não linear no modelo de arcos

Faz-se referência ao facto de a transmissão de carregamento hidrostático da membrana para os

arcos conter apenas componente no plano dos arcos. Ao se aplicar este carregamento no modelo de

arcos, as componentes das forças estão consideradas segundo os eixos globais do modelo. Assim,

para uma melhor compreensão do carregamento aplicado no modelo de arcos (em cada um dos

quatro que constitui o modelo) na Figura 4.16 apresenta-se esta configuração num dos arcos

modelados na direção do eixo 𝑥 global do modelo.

70

Figura 4.16 - Configuração de carregamento aplicado no modelo de arcos

Para melhor entendimento da diferença de comportamento dos arcos nos dois modelos (modelo

de membrana e arcos e modelo de arcos), faz-se comparação num dos arcos integrados nestes

modelos no plano e para fora do plano (Figuras 4.19 e 4.20 e Figuras 4.23 e 4.24, respetivamente).

Para além disso, apresentam-se as trajetórias de equilíbrio nos respetivos planos, Figuras 4.17 e 4.18

e Figuras 4.21 e 4.22. Recorde-se que o histórico de carregamento está associado a multiplicadores

de carregamento de 1KN/m2 de pressão sobre a membrana nos dois modelos.

Figura 4.17 - Trajetórias de equilíbrio no plano sob a influência da membrana do Exemplo prático

Figura 4.18 - Trajetórias de equilíbrio no plano dos arcos isolados do Exemplo prático

Figura 4.19 - Deformada no plano sob a influência da membrana

Figura 4.20 - Deformada no plano dos arcos

isolados

0

2

4

6

8

10

12

14

-4,0 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0,0 0,8 1,6

Peq (KN/m2)

δ (m)

Trajetórias de equilibrio no plano sob a influência da membrana

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

0

1

2

3

-2,0 -1,2 -0,4 0,4 1,2 2,0

peq (KN/m2)

δ (m)

Trajetórias de equilibrio no plano de arcos isolados

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

71

Figura 4.21 - Trajetórias de equilíbrio fora do plano

sob a influência da membrana do Exemplo prático

Figura 4.22 - Trajetórias de equilibrio fora do plano

dos arcos isolados do Exemplo prático

Figura 4.23 - Deformada fora do plano sob a

influência da membrana-deslocamentos

aumentados

Figura 4.24 - Deformada no plano dos arcos

isolados

Ao se analisarem os gráficos de trajetórias de equilíbrio e as respetivas deformadas, nota-se que

o modo de instabilidade dominante, da estrutura de suporte de arcos sob influência da membrana, é

o modo simétrico no plano. Note-se, inclusivamente, que a configuração da trajetória de equilíbrio

se assemelha à apresentada na Figura 3.6 (b), adaptada de Guide to Stability Design Criteria for

Metal Structures para o caso de instabilidade de arcos no modo simétrico. Referiu-se anteriormente,

que a membrana, ainda que tenha uma deformabilidade elevada por estar sujeita a um estado de

tensões iniciais (2 MPa), confere uma certa rigidez nos arcos de suporte quanto a movimentos

ascendentes, o que poderá ser uma razão para que o modo de encurvadura no plano seja simétrico.

No caso em que não se considera a influência da membrana, modelo de arcos isolados, o modo de

instabilidade predominante é o modo antissimétrico para fora do plano, apesar dos deslocamentos

no plano serem elevados para o carregamento crítico.

Verifica-se que, no caso das trajetórias de equilíbrio no plano, existem deslocamentos

significativos para carregamentos inferiores aos carregamentos críticos (no modelo de arcos de

suporte de membrana-instabilidade no plano; modelo de arcos-instabilidade para fora do plano).

Pelas configurações de carregamento consideradas nos dois modelos, percebe-se que o carregamento

aplicado nestes elementos pode provocar esforços de flexão, Figuras 4.12 e 4.13. Na Figura 4.25

apresenta-se o andamento dos diagramas de momentos fletores no plano dos arcos, nos dois

modelos, para carregamentos inferiores aos críticos, justificando assim o andamento das trajetórias

0

2

4

6

8

10

12

14

-0,1 -0,1 -0,1 0,0 0,0 0,1 0,1 0,1

Peq (KN/m2)

δ (m)

Trajetórias de equilibrio fora do plano sob influência da membrana

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

Peq (KN/m2)

δ (m)

Trajetórias de equilibrio fora do plano de arcos isolados

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

𝛿𝑚á𝑥 = 2.67𝑚 𝛿𝑚á𝑥 = 0.093𝑚

72

fundamentais neste plano. Assume-se que os esforços de flexão resultantes são devidos à

configuração do carregamento, com influência dos efeitos de segunda ordem. Os efeitos de segunda

ordem advêm das imperfeições iniciais consideradas e dos deslocamentos por flexão ao longo do

carregamento, uma vez que o carregamento tem, simultaneamente, uma componente axial. Avaliam-

se igualmente as tensões normais nestes elementos para o carregamento crítico (Figura 4.26).

Figura 4.25 - Andamento dos diagramas de momentos fletores para valores de carregamento inferiores

aos críticos, (a) sob a influência da membrana (b) sem influência da membrana

Figura 4.26 - Distribuição de tensões normais para o carregamento crítico (a) sob a influência da

membrana (b) sem influência da membrana

Ao analisar o andamento dos diagramas de momentos fletores percebe-se que estes têm

configurações semelhantes. Em ambas as análises se atingem a valores significativos de momentos,

pelo que seria de esperar que existissem deslocamentos elevados no plano. Por se estarem a utilizar

secções tubulares nos modelos de análise, não se considera instabilidade lateral (provocada por

momentos fletores). Ainda assim, os valores elevados de momentos fletores têm influência nos

modos de instabilidade locais dos perfis, que não foram considerados nas análises. Assume-se à

partida, que em desenvolvimentos futuros do tema, estes efeitos possam ser incluídos.

Relativamente às tensões normais nos elementos, verifica-se que, no caso da consideração da

membrana, as tensões normais têm um andamento praticamente constante ao longo do arco,

contrariamente ao que acontece nas análises dos elementos de suporte isolados. É de salientar os

valores mais elevados no segundo caso, tendo em conta que o carregamento crítico é muito inferior.

Uma explicação plausível para esse facto é a consideração da transmissão de carregamento da

membrana ter sido analisada de forma linear. Pode admitir-se que a própria membrana transmite

parte do carregamento diretamente para os apoios. Salienta-se que as tensões obtidas para o

carregamento crítico, neste caso, apresentam valores que, para as classes de resistência de aço, já se

teria que considerar o regime elasto-plástico no efeito de estabilidade, ou até mesmo o colapso da

estrutura por efeitos de resistência e deformabilidade dos materiais.

Segundo os valores obtidos das análises realizadas, percebe-se que a membrana tem um efeito

estabilizador nos seus elementos de suporte nos modos de encurvadura para fora do plano, que

segundo Sakimoto e Komatsu é o modo condicionante em arcos sujeitos a cargas verticais, [15].

73

Assim, são espectáveis carregamentos críticos superiores no modelo que tem em conta a influência

da membrana. Obteve-se um multiplicador de carregamento de pressão sobre a membrana de 12.8,

Pcr =12,8 kN/m2, quando se considera a influência da membrana, em contraste ao obtido no modelo

dos arcos isolados, Pcr = 3,1 kN/m2 e modos de encurvadura em planos distintos. Para além disso,

nota-se que ao se considerar a membrana, as tensões resultantes nos arcos são menores, o que

influencia a escolha e resistência dos perfis.

Refere-se ainda que o método de comprimento de arco foi utilizado na validação das cargas

críticas, obtidas pelo método de Newton. Como abordado nos fundamentos teóricos, o método de

Newton não identifica mudanças de sinal da matriz de rigidez tangente, dando problemas de

convergência nesses pontos.

Apesar de não se ter estudado o método do comprimento de arco ao ponto de se obter trajetórias

de equilíbrio elásticas com deslocamentos de pós-encurvadura próximos dos reais e com o

ajustamento dos raios e iterações, avaliam-se apenas os máximos obtidos nas trajetórias de equilíbrio

estimadas pelo método do comprimento de arco, como critério de validação dos resultados de Pcr

obtidos através do método de Newton-Raphson. Estas análises foram realizadas, ativando o

comando arc-lengh nas análises incrementais efetuadas, com os valores default do programa.

Apresentam-se os resultados obtidos nas Figuras 4.27 a 4.30.

Figura 4.27 - Trajetórias de equilíbrio no plano sob a influência da membrana pelo método do comprimento de arco do Exemplo prático

Figura 4.28 - Trajetórias de equilíbrio no plano dos arcos isolados pelo método do comprimento de

arco do Exemplo prático

0

2

4

6

8

10

12

14

-8 -6 -4 -2 0 2

P (KN/m2)

δ (m)

Trajetórias de equilibrio no plano sob a influência da membrana pelo método do comprimento de

arco

-1

0

1

2

3

-20 -15 -10 -5 0 5

Peq (KN/m2)

δ (m)

Trajetórias de equilibrio no plano de arcos isolados pelo método do comprimento de arco

74

Figura 4.29 - Trajetórias de equilíbrio fora do plano sob a influência da membrana pelo método do

comprimento de arco do Exemplo prático

Figura 4.30 - Trajetória de equilíbrio fora do plano dos arcos isolados pelo método do comprimento

de arco do Exemplo prático

Efetivamente, pretende-se apenas validar os valores de carregamento último nas análises de

estabilidade geometricamente não lineares pelo método de Newton-Raphson. Comparou-se estes

resultados com os valores obtidos por divergência do método de Newton-Raphson e verificou-se que

correspondem a pontos limite de estabilidade.

4.5 Influência da membrana nos carregamentos críticos

Pela análise comparativa dos comportamentos de estabilidade apresentados no subcapítulo 4.2.2,

assume-se que, ao se considerar a influência da membrana na estabilidade dos seus elementos de

suporte, estes elementos têm tendência a instabilizar-se no plano, suportando valores de

carregamento muito superiores aos que se estimam, quando se considera estes elementos

isoladamente. Inclusivamente nota-se que, ao se considerar o carregamento diretamente aplicado

nos elementos de suporte, sem a consideração da influência da membrana, o modo de instabilidade

dominante é para fora do plano.

Efetivamente seria de esperar que tal acontecesse. Segundo Barnes a membrana funciona como

um travamento lateral contínuo, em que os elementos de suporte curvos podem ser muito esbeltos,

[2].

O intuito das análises propostas é a quantificação desse efeito estabilizador, comparando-o com

os valores de cargas críticas elásticas para instabilidade de arcos de abordagens de cálculo existentes

(Capitulo 3). Como se viu anteriormente, quando se analisa o comportamento de elementos

estruturais em arco nos dois planos, o primeiro modo de instabilidade dá-se para fora do plano.

Assim sendo, comparam-se também os valores de cargas criticas obtidos das análises realizadas no

modelo de arcos isolados com os valores resultantes das abordagens de cálculo.

Realizam-se análises geometricamente não lineares de estabilidade nos modelos (modelo de arcos

com membrana e modelo de arcos) para as relações altura-vão do arco de 0,1, 0,2 e 0,3, com variações

0

2

4

6

8

10

12

14

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

P(KN/m2)

δ (m)

Trajetórias de equilibrio fora do plano sob influência da membrana pelo método do comprimento de arco

-2

-1

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6

Trajetórias de equilibrio fora do plano de arcos isolados pelo método do comprimento de arco

75

de comprimento de modo a abranger uma gama de valores de 𝐿 𝑖⁄ entre 100 a 700 diretamente

relacionados com a esbelteza dos arcos:

𝐿 𝑖⁄ = 𝜆 𝑘⁄ = 𝐿𝑒 𝑖⁄ 𝑘 com 𝐿𝑒 = 𝑘𝐿 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎

Em todas as análises considera-se a secção HCS508, t=12,5 mm, uma vez que, entre os perfis

comerciais circulares tubulares mais usuais, este é o que apresenta maior diâmetro. Viu-se no

capítulo três que para o aumento de diâmetros de secção, os carregamentos críticos aumentam

consideravelmente. Ao se aumentar a espessura dos perfis, as variações de raio de giração são

pequenas e os carregamentos críticos não aumentam significativamente (para uma mesma geometria

e carregamento de arco). Ainda assim, ao se aumentar a espessura, há um aumento consequente de

peso pelo que se optou por um valor de espessura mediano.

Na Figura 4.31 apresentam-se as configurações da estrutura de membrana para os três diferentes

valores de relação altura-vão dos arcos considerando o mesmo vão (50m).

As restantes características dos modelos de análise foram já apresentadas na Figura 4.5.

Figura 4.31 - Configuração inicial da estrutura para valores de f/l = 0.1,0.2, e 0.3

4.5.1 Análises não lineares de estabilidade sob influência da membrana

Ao se realizarem análises de estabilidade, mudando os parâmetros geométricos dos elementos de

suporte e, consequentemente, da membrana, pretende-se estudar de que maneira estes parâmetros

influenciam o comportamento de estabilidade da estrutura e de que forma se pode efetivamente

considerar a hipótese do modo de encurvadura condicionante ser no plano quando se a influência da

membrana.

Para esse efeito, comparam-se os valores de carregamentos criticos elásticos obtidos com os

valores da abordagem de cálculo para instabilidade no plano de arcos parabólicos biarticulados

sujeitos a um carregamento vertical uniformente distribuido em projeção horizontal, analisada no

76

capítulo 3 (Austin, Timoshenko e Gere). Sabe-se à partida que a configuração do carregamento das

análises efetuadas é distinta de um carregamento vertical uniformemente distribuido, ainda que a

resultante seja unicamente vertical, dada a simetria da estrutura. Uma vez que os valores de cargas

críticas obtidos correspondem a multiplicadores de carregamento de pressão hidroestática aplicado

sobre a membrana, avaliam-se as forças verticais resultantes, nos apoios de cada arco, fazendo

equivalência a um carregamento vertical uniformemente distribuído. Na Figura 4.32 apresentam-se

os passos tomados na metodologia utilizada nas análises de estabilidade geométricamente não

lineares no modelo de arcos de suporte de membrana e na analogia a um carregamento com a mesma

configuração que a estudada por Austin, Timoshenko e Gere bem como a configuração do modo de

encurvadura do respetivo modelo (configuração dos modos de encurvadura igual para os diferentes

parâmetros geométricos).

Figura 4.32 - Passos da metodologia e analogia realizadas nas análises de estabilidade no modelo de arcos de suporte de membrana (continua na página seguinte)

77

Figura 4.32 - Passos da metodologia e analogia realizadas nas análises de estabilidade no modelo de arcos de suporte de membrana (continuação)

Na Figuras 4.33 a 4.35 apresentam-se as curvas de aproximação dos valores de carregamentos

criticos, resultantes das análises geometricamente não lineares efetuadas sob influência da

membrana e da abordagem de cálculo referida, segundo as tabelas de Austin Timoshenko e Gere

(T.G.), para arcos biarticulados, com um carregamento vertical uniformemente distribuido, para

rácios de altura-vão de 0,1, 0,2 e 0,3. Nas Tabelas 4.1 a 4.3 apresentam-se os respetivos valores.

Figura 4.33 - Valores de carregamento crítico das análises membrana+arcos e de T.G.

para f/l=0.1


f l L/ry pcreq

(kN/m) pcr T.G (kN/m)

2 20 117.30 896.25 456.45

4 40 234.61 111.59 57.06

5 50 293.26 57.48 29.21

6 60 351.90 33.58 16.91

7 70 410.55 21.49 10.65

10 100 586.48 8.00 3.65


f l L/ry pcreq


4 20 126.09 1635.2 723.11

6 30 189.13 457.00 214.26

8 40 252.18 193.21 90.39

10 50 315.26 101.53 46.28

20 100 630.27 13.73 5.78

4 20 126.09 1635.2 723.11

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 200 400 600 800

pcr

(KN/m)

L/ry

pcr equivalenteanálises

pcr arcos biarticuladostabelas T.G.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 200 400 600 800

pcr

(KN/m)

L/i


pcr biarticuladostabelas T.G.

f/l=0.2

f/l=0.1

78

Figura 4.34 - Valores de carregamento crítico das análises membrana +arcos e de T.G.

para f/l=0.2

Figura 4.35 - Valores de carregamento

crítico das análises membrana +arcos e de T.G.

para f/l=0.3

Tabela 4.3 - Valores de carregamento crítico das

análises membrana+arcos e de T.G. para f/l=0.3

f l L/ry pcreq


6 20 134.95 1287.00 776.44

9 30 209.92 554.56 230.60

12 40 279.89 236.94 97.00

15 50 349.87 125.36 49.69

18 60 404.45 71.88 28.76

30 100 699.69 19.08 6.21

Ao analisar-se os gráficos, percebe-se que o andamento dos valores de carregamentos críticos

obtidos das análises geometricamente não lineares e analogia de carregamento é semelhante ao dos

resultantes das tabelas de Austin, Timoshenko e Gere com valores na mesma ordem de grandeza,

ainda que estes últimos apresentem resultados mais conservativos.

Sabe-se que, para além da influência da membrana, os próprios arcos, ao estarem ligados num

eixo central, conferem uma certa rigidez a deslocamentos verticais entre eles. Como este factor não

foi considerada na analogia realizada com os resultados de Timoshenko e Gere, poderá ser uma

justificação da diferença de valores.

4.5.2 Análises não lineares de estabilidade sem influência da membrana

Ao se realizarem análises de estabilidade no modelo de arcos isolados sujeitos a uma configuração

de carregamento equivalente àquele que se obtém na transmissão de cargas da membrana para os

arcos quando sujeita a um carregamento de pressão hidroestática de 1 kN/m2, pretende-se avaliar o

comportamento de estabilidade destes elementos sem a influência da membrana no comportamento

de estabilidade.

Segundo os resultados anteriormente obtidos, percebe-se que o modo de instabilidade dominante

dos arcos quando isolados é para fora do plano. Desta maneira comparam-se os valores obtidos das

análises efetuadas com os da fórmula proposta por Sakimoto e Komatsu, para cargas últimas

elásticas de elementos estruturais em arco. Salienta-se que, na aplicação da fórmula, considerou-se

que os arcos biarticulados estão travados a meio vão para fora do plano, uma vez que, na estrutura

considerada, os arcos estão ligados uns nos outros neste ponto. Esta consideração é introduzida nos

resultados reduzindo o comprimento de encurvadura preconizado na fórmula de Sakimoto e

Komatsu (apresentada no capítulo 3) para metade.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

100 300 500 700 900

pcr

(KN/m)

L/i

pcr equivalente análises

pcr arcos biarticuladostabelas T.G

f/l=0.3

79

Da mesma maneira que nas análises de estabilidade efetuadas no modelo de arcos de suporte da

membrana, aproxima-se o carregamento critico a um carregamento vertical uniformemente

distribuido, pela equivalência obtida das forças verticais resultantes nos apoios.

Na figura 4.23 apresentam-se os passos tomados na metodologia utilizada nas análises de

estabilidade geométricamente não lineares no modelo de arcos isolados e na analogia a um

carregamento com a mesma configuração que a estudada por Sakimoto e Komatsu, bem como a

configuração do modo de encurvadura do respetivo modelo. Nas Figuras 4.37 a 4.39 apresentam-se

as curvas de aproximação dos valores de carregamentos criticos, resultantes das análises

geometricamente não lineares efetuadas sob influência da membrana e da abordagem de cálculo

referida (apresentada no capítulo 3), para arcos biarticulados, segundo um carregamento vertical

uniformemente distribuido, para rácios de altura-vão de 0,1, 0,2 e 0,3. Nas Tabelas 4.4 a 4.6

apresentam-se os respetivos valores.

Figura 4.36 - Passos da metodologia e analogia realizadas nas análises de estabilidade no modelo de arcos de suporte de membrana (continua na página seguinte)

80

Figura 4.36 - Passos da metodologia e analogia realizadas nas análses de estabilidade no modelo de arcos de suporte de membrana (continuação)

Figura 4.37 - Valores de carregamento crítico das análises no modelo de arcos e de

S.K. para f/l=0.1


f l L/ry pcreq

(KN/m)

pcr S.K. (KN/m)

2 20 117.30 701.63 436.26

4 40 234.61 56.89 54.53

5 50 293.26 28.54 27.95

6 60 351.90 27.91 16.16

7 70 410.55 17.86 10.18

10 100 586.48 6.42 3.49

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 200 400 600 800

pcr

(KN/m)

L/i


pcr fórmula S. eK.

f/l=0.1

81


S.K. para f/l=0.2


f l L/ry pcreq

(KN/m)

pcr S.K (KN/m)

4 20 126.09 548.24 634.97

6 30 189.13 160.33 188.31

8 40 252.18 36.14 79.41

10 50 315.26 33.89 40.64

20 100 630.27 4.49 5.08


S.K. para f/l=0.3

Tabela 4.6 - Valores de carregamento crítico das análises no modelo de arcos e de S.K.. para f/l=0.3

f l L/ry pcreq

(KN/m)

pcr S.K (KN/m)

6 20 134.95 562.78 633.64

9 30 209.92 207.95 187.85

12 40 279.89 189.66 79.21

15 50 349.87 91.41 40.62

18 60 404.45 36.98 25.31

30 100 699.69 9.82 8.46

Pela análise dos resultados obtidos percebe-se que os valores, resultantes das análises de

estabilidade geométricamente não lineares no modelo de arcos isolados, apresentam uma

configuração semelhante aos da fórmula de Sakimoto e Komatsu.

Como previsto no estudo de Sakimoto e Komatsu, a relação de altura-vão do arco não tem grande

influência nos valores de carregamento crítico no modelo de arcos isolados. Ao avaliar-se os modos

de instabilidade obtidos para os casos analisados, percebe-se que o modo de instabilidade dominante

da estrutura, para este carregamento e considerações, é para fora do plano.

4.5.3 Análise comparativa de carregamentos

Da apreciação dos resultados obtidos das análises de estabilidade dos elementos de suporte em

arco, considerando ou não a influência da membrana, percebe-se que, para além de se obterem

modos de instabilidade distintos, os carregamentos últimos elásticos associados têm valores

diferentes. Efetivamente, a consideração da membrana nas análises de estabilidade da estrutura de

0

100

200

300

400

500

600

700

0 200 400 600 800

pcr

(KN/m)

L/i


pcr fórmula S. eK.

0

100

200

300

400

500

600

700

0 200 400 600 800

pcr

(KN/m)

L/i


pcr fórmula S. eK.

f/l=0.2

f/l=0.3

82

suporte tem influência, fazendo com que o modo de encurvadura condicionante seja no plano dos

arcos, para valores superiores de carregamento critico. Pretende-se agora comparar os valores de

carregamento critico obtidos das análises de estabilidade geometricamente não lineares efetuadas

nos dois modelos, de maneira a quantificar a influência da membrana nos carregamentos críticos dos

elementos de suporte em arco das mesmas.

Para que se consiga entender as considerações que a tomar na previsão desses valores, avalia-se

igualmente o parâmetro de comparação das análises realizadas e os dos resultados das abordagens

de cálculo estudadas (modelo de arcos de suporte de membrana - instabilidade no plano por Austin,

Timoshenko e Gere; modelo de arcos isolados - instabilidade fora do plano por Sakimoto e Komatsu).

Na Figura 4.41 (a), (b) e (c) apresentam-se os resultados obtidos quando se consideram diferentes

valores de 𝑓/𝑙 (0,1, 0,2 e 0,3) para uma gama de valores 𝐿/𝑖 entre 100 e 700.

Figura 4.40 - Valores comparativos de carregamento das análises de estabilidade

Tabela 4.7 - Valores comparativos de carregamento das análises de estabilidade

0.1 0.2 0.3

L/i Pcomp L/i Pcomp L/i Pcomp

586.48 1.25 630.27 3.06 699.69 1.94

410.55 1.20 315.26 3.00 404.45 1.94

351.90 1.20 252.18 2.90 349.87 1.37

293.26 2.01 189.13 2.85 279.89 1.25

234.61 1.96 126.09 2.98 209.92 2.67

117.30 1.28 139.95 2.29

Média 1.48 2.96 1.91

𝑝𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎= 𝑝𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑛á𝑙𝑖𝑠𝑒𝑠

= 𝑝𝑐𝑟𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑎

𝑝𝑐𝑟𝑠𝑒𝑚 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑎 𝑝𝑐𝑜𝑚𝑝1

= 𝑝𝑐𝑟𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑇.𝐺

𝑝𝑐𝑟𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑆.𝐾.

Figura 4.41 - Valores comparativos de carregamento das análises de estabilidade e das abordagens de cálculo para (a)f/l=0.1 (b) f/l=0.2 e (c) f/l=0.3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 200 400 600 800

pcoma

L/i

f/l=0.1

f/l=0.2

f/l=0.3

𝑝𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎=

𝑝𝑐𝑟𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑎

𝑝𝑐𝑟𝑠𝑒𝑚 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑎

f/l=0.1 f/l=0.2 f/l=0.3

83

Tabela 4.8 - Valores comparativos de carregamento das análises de estabilidade e abordagens de cálculo

0.1 0.2 0.3

L/i pcomp pcomp1 L/i pcomp pcomp1 L/i pcomp pcomp1

586.48 1.25 1.05 630.27 3.06 1.14 699.69 1.94 0.73

410.55 1.2 1.05 315.26 3 1.14 404.45 1.94 1.14

351.9 1.2 1.05 252.18 2.9 1.14 349.87 1.37 1.22

293.26 2.01 1.05 189.13 2.85 1.14 279.89 1.25 1.22

234.61 1.96 1.05 126.09 2.98 1.14 209.92 2.67 1.23

117.3 1.28 1.05 139.95 2.29 1.23

Média 1.48 1.05 2.96 1.14 1.91 1.22

Os resultados obtidos mostram que a influência da membrana nos carregamentos últimos

elásticos varia consoante a relação altura-vão do arco das estruturas de suporte. Na pior das

hipóteses, caso de 𝑓/𝑙 =0,1, obtêm-se valores muito próximos de carregamento critico, com e sem

influência da membrana. Para este caso, os arcos aparentam ser muito esbeltos, fazendo com que se

tornem quase tão sensiveis a movimentos fora do plano quanto no próprio plano. Poderia assumir-

se que, ao apresentar uma relação de altura-vão tão pequena, o arco aproxima-se a uma barra sob as

mesmas condições nos dois planos, com a excepção de desenvolver esforços axiais, quando sujeito a

carregamentos verticais.

As variações de valores de 𝐿/𝑖 entre 200 e 400 podem ser justificadas pelas curvaturas das curvas

𝑝 − 𝐿/𝑖 , em que a derivada do gráfico tem um aumento elevado nesse intervalo. Por outro lado,

observou-se que, para esta gama de valores, alguns modos de instabilidade obtidos não foram os

esperados. Para valores de 𝐿/𝑖 superiores a 400 observa-se que a influência da membrana no

comportamento de estabilidade dos seus elementos de suporte em arco tende a estabilizar. No caso

de 𝑓/𝑙 =0,1 para 1,2, 𝑓/𝑙 =0,2 para 3 e de 𝑓/𝑙 =0,3 para 2.

Ao se analisar as configurações iniciais para estes valores de 𝑓/𝑙, assumiu-se intuitivamente que

a configuração que melhor se adaptava ao modelo era aquela em que se considerava 𝑓/𝑙 =0,2.

Efetivamente, para este valor, a influência da membrana no comportamento de estabilidade é

superior e mais constante que nos restantes.

84

Avaliando-se os valores de carregamento crítico comparativos obtidos das abordagens de cálculo

(𝑝𝑐𝑟𝑝𝑐𝑜𝑚𝑝1=

𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑇.𝐺

𝑝𝑐𝑟𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑆.𝐾. ), conclui-se que considerar uma relação de valores criticos associados ao modo

de encurvadura no plano e para fora do plano dos arcos igual a estarem sob a influência da membrana

ou não, respetivamente.

85

5 Conclusões

A presente dissertação pretende aprofundar o conhecimento relativo ao fenómeno de estabilidade

dos elementos de suporte metálicos curvos de estruturas membrana. Foram apresentados conceitos

e utilidades associadas à integração deste tipo de estruturas na utilização de espaços que foram

complementados com vários exemplos. As estruturas de membrana são, sem dúvida, uma boa

solução no que diz respeito a coberturas de espaços amplos. São uma opção economicamente viável

devido à sua constituição, facilidade construtiva, facilidade de adaptação a diferentes condições de

uso e fácil manutenção. Para além disso, este tipo de estruturas são, por si, uma opção de elevado

grau de estética.

Em seguida, abordaram-se aspetos relacionados com a conceção deste tipo de estruturas, em que

se conclui que na maioria das soluções existentes as estruturas de suporte são elementos de suporte

curvos, sendo que a análise destes elementos é da maior importância. Ao estudar-se a conceção

estrutural de membranas, concluiu-se que a análise estrutural está presente desde a definição da

geometria de construção, contrariamente às construções mais tradicionais. Inclusivamente, refere-

se que foram já estudados e validados vários métodos aplicados à conceção estrutural de membranas,

ainda que sejam relativamente recentes, comparativamente às construções tradicionais.

Foram apresentados os conceitos teóricos e métodos de cálculo que permitem estudar o

comportamento de estabilidade de arcos metálicos sujeitos a carregamentos verticais. Através deste

estudo foi possível identificar o seu comportamento geral de estabilidade e as considerações que se

podem tomar na sua análise. Este trabalho permitiu, inclusive, a obtenção de referências a estudos

desenvolvidos na determinação de cargas últimas elásticas, para efeitos de comparação com as

análises efetuadas. Concluiu-se que os fenómenos de instabilidade dos elementos estruturais em arco

carecem estudos associados, dada a sua forma peculiar.

Para a análise do efeito estabilizador das membranas sob a sua estrutura de suporte em arco, foi

necessária a conceção estrutural de uma membrana, tendo-se fundamentado o método utilizado,

exemplificando-o no modelo de estudo. A seleção das características da estrutura de membrana teve

como base a verificação de um conjunto de critérios, permitindo a sua aplicação no âmbito comercial.

Após o estudo da metodologia a implementar verificou-se que através do programa Ansys Apdl

conseguiu-se obter bons resultados.

Ao se analisar o efeito estabilizador das membranas, tomou-se como estudo de comportamento

um exemplo de uma estrutura de membrana em forma de guarda-chuva em grande escala. No pré-

dimensionamentos dos elementos de suporte destas estruturas admite-se que estes podem ser muito

esbeltos e que a membrana funciona como um travamento lateral. Na análise comparativa

comportamental de estabilidade do modelo, considerando ou não a influência da própria estrutura

de membrana, concluiu-se que, para além da membrana funcionar como um travamento lateral, esta

tem um papel importante na distribuição de tensões elásticas resultantes nos elementos de suporte.

Tanto no efeito de estabilidade, como na distribuição de tensões resultantes, constatou-se que a

inclusão da membrana na análise dos elementos de suporte tem grande influência, melhorando o

comportamento dos elementos de suporte face aos carregamentos exteriores. Verificou-se inclusive

86

que o modo de encurvadura de arcos como suporte de membranas é simétrico no plano,

contrariamente ao esperado para modos de encurvadura de arcos sob ações verticais no plano, em

que o modo antissimétrico se torna na maior parte das vezes dominante.

Numa etapa seguinte, analisaram-se as cargas últimas elásticas, com e sem consideração da

membrana, para uma determinada gama de valores de relação do comprimento total do arco, de raio

de giração da secção que se optou estudar e de relação vão-altura do arco. Para que se pudesse ter

em consideração as abordagens de cálculo de cargas últimas elásticas existentes, converteu-se de

forma aproximada o carregamento obtido das soluções das análises de estabilidade efetuadas num

carregamento vertical uniformemente distribuído equivalente. Desta forma, poder-se-ia de certa

forma validar as considerações tomadas, sendo estes resultados utilizados em critérios de pré-

dimensionamento de elementos curvos de suporte de membranas face ao seu comportamento de

estabilidade. Observou-se que, considerando a membrana como um travamento lateral continuo,

obtiveram-se resultados que vão de encontro às soluções obtidas segundo as abordagens de cálculo

existentes. Registou-se, inclusivamente, que as soluções das análises efetuadas correspondem ainda

assim a valores superiores de carregamento último elástico. Conclui-se que as abordagens de cálculo

utilizadas como meio de comparação conduzem a valores conservativos.

Finalmente, quantificou-se a influência da membrana nos seus elementos de suporte no modelo

de estudo, relativamente aos valores de cargas últimas elásticas. Observou-se que, ainda que se tenha

tentado avaliar o comportamento de estabilidade dos elementos de suporte sob as mesmas

condições, com a única variante sendo a inclusão da membrana, as mesmas têm sempre margens de

erro associadas. A configuração da transmissão de carregamento considerada no modelo de arcos

isolados varia consoante o carregamento e deformação a que a membrana está sujeita, o que não foi

considerado.

Concluiu-se que este trabalho serviu como uma primeira abordagem da quantificação do efeito

estabilizador das membranas relativamente aos seus elementos de suporte. Esta quantificação deve

ter em conta a diferença de comportamento relativamente à distribuição de tensões e efeitos da

plasticidade dos materiais, para além da consideração da não linearidade geométrica.

Consequentemente, devem-se ter em conta os efeitos das tensões residuais nestes elementos, bem

como as diferenças associadas às variações de geometria e propriedades dos perfis. Para além disso,

devem ser estudadas diferentes tipologias existentes de estruturas de membrana, para que se chegue

a critérios gerais de quantificação do efeito estabilizador das membranas nos seus elementos de

suporte.

Por estes motivos, e sabendo que as estruturas de membranas são ainda um nicho restrito mas de

importância crescente para a engenharia civil, prevêem-se desenvolvimentos futuros relacionados

com a estabilidade de arcos metálicos como suporte de membranas continuando a base de dados

iniciada nesta dissertação.

87

6 Referências

[1] Moreira, R. (2012) - Utilização de Membranas Tensionadas Leves na Execução de Estruturas

Especiais. Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil, FEUP-UP

[2] Barnes, Michael R.; Adriaenssens, S.; Krupka, M. (2013) - A novel torsion/bending element for

dynamic relaxation modeling. Computers and Structures, Vol 119, n. º 1, pp. 60-67

[3] Reis, A.; Camotim, D. (2000) - Estabilidade Estrutural. McGraw-Hill, Portugal

[4] Pauletti, R. (2003) - História Análise e projeto das estruturas retesadas. livre docência do

departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações da Escola Politécnica da Universidade de

São Paulo

[5] Pauletti, R. (2011) - Considerações sobre projeto e análise de estruturas retesadas. Téchne, Vol

175

[6] Página de internet: http://cadernoteca.polignu.org/wiki/Tenso_estruturas

[7] Mehler Texnologies - Technical Guide to permanent tensile architectures

[8] Pauletti, R. (2002) - Análise de Estruturas Retesadas (Tensoestruturas), empregando Programas

Generalistas. I Simpósio Nacional sobre Tensoestruturas, São Paulo

[9] Oliveira, M.; Barbato, R. (2005) - Estudo das estruturas de membrana: uma abordagem

integrada do sistema construtivo, do processo de projetar e dos métodos de Análise. Cadernos de

Engenharia de Estruturas, São Carlos, Brasil

[10] Mollaert, M.; Forster, B. (2004) - European Design Guide for Tensile Surface Structures. VUB

Brussels, Brussels

[11] Theodore V. Galambos 1998, Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures,John Wiley

& Sons, Inc

[12] Braga, D. (2015) - Avaliação de métodos numéricos de análise linear de estabilidade para perfis

de aço formados a frio. Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil, Escola Politécnica da USP, São

Paulo

[13]. Bathe, J. (1996) - Finite Element Procedures. Prentice-Hall, Englewood Cliffs

[14] Karami, G.; Farshad, M.; Banan, M.R. (1989) - Spatial Buckling of Arches - A Finite Element

Analysis. Departments of Mechanical and Civil Engineering, University of Shiraz, Iran

[15] Sakimoto, T.; Komatsu, S. (1983) - Ultimate Strenght Formula For Steel Arches. Journal of

Structural Engineering, Vol 109, n.º 3, pp. 603-627

[16] Adriaenssens, S.; Barnes, M. (2001) - Tensegrity spline beam and grid shell structures.

Engineering Structures, Vol 23, pp. 29-36

[17] Ferreira, W.; Silveira, R.; Silva, A.; Kamei, C.; Neto, A. (2009) - Abordagem didática do método

de Newton-Raphson na estabilidade estrutural. Cobenge, Recife Pernambuco

88

[18] EN1090 - Comité Europeu de Normalização (CEN) (2009) - Execution of steel structures and

aluminium structures. Bruxelas

[19] Gomes, N. (2014) - Avaliação da contribuição das tensões residuais no comportamento

estrutural de colunas e arcos tubulares. Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil, IST- UL

[20] EN1993-2 - Comité Europeu de Normalização (CEN) (2006) - "Eurocodigo 3: Projecto de

estruturas de aço, parte 2: Pontes Metálicas - Annex D. Bruxelas

estudo sobre a estabilidade de arcos metálicos esbeltos ... · efetivas na membrana (c) módulo...

Documents