detecção de imperfeições estruturais via método dos...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Mecânica

HÉLIO VÍTOR CANTANHÊDE DA SILVA

Detecção de Imperfeições Estruturais viaMétodo dos Elementos Espectrais usando

Wavelets

CAMPINAS2016

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iii

Dedicatória

Aos meus queridos pais, Hélio Ferreira da Silva e Maria Dalva Cantanhêde Silva e aos meusdois irmãos , Gleydiane e Gleydson por todo amor, carinho e apoio em todos os momentos daminha vida.

Agradecimentos

A Deus, o centro e o fundamento de tudo em minha vida, por renovar a cada momento a minhaforça e disposição e pelo discernimento concedido ao longo dessa jornada.

Ao meu orientador, Prof. Dr. José Maria Campos dos Santos, pelo apoio, incentivo, amizade eexperiência que foram fundamentais para a realização deste trabalho.

Aos membros das bancas de qualificação e defesa.

A toda minha família.

Aos amigos, Edilson Dantas e Raimundo Lucena pela ajuda nos programas desenvolvidos.

Aos amigos da casa onde morei durante esses dois anos de mestrado, Dênis Bender, PauloGramacho-"Paul", Daniel Ferreira, Pedro Henrique-"Bourbon", Leonardo Berenguer-"Leo", Mar-cos Paz-"filósofo", pelo grande companheirismo e pela amizade.

À CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, pelo indispensávelapoio financeiro.

"A tarefa não é tanto ver aquilo que

ninguém viu, mas pensar o que ninguém

ainda pensou sobre aquilo que todo mundo

vê."

Arthur Schopenhauer

Resumo

CANTANHÊDE, Hélio Vítor. Detecção de Imperfeições Estruturais via Método dos Elementos

Espectrais usando Wavelets. 2016. 78p. Dissertação (Mestrado). Faculdade de Engenharia Mecâ-

nica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.

No presente trabalho, um estudo de propagação de ondas e detecção de imperfeições

estruturais em uma barra elementar é feito usando o Método dos Elementos Espectrais usando

Wavelets (Wavelet Spectral Finite Element Method - WSFEM). Primeiramente foram calculados

os valores exatos dos coeficientes de conexões para as wavelets do tipo Daubechies, usando para

isso a propriedade de suporte compacto que elas possuem. A equação de onda foi transformada

do domínio do tempo para o domínio wavelet. Foi feita a desacoplagem das equações diferenciais

ordinárias através de uma análise de autovalores e autovetores. O método WSFEM é muito

semelhante ao método do elementos finitos espectrais (Spectral Element Method - SEM), que

usa como base a transformada de Fourier, exceto que ele usa wavelets do tipo Daubechies com

suporte compacto. As equações de onda são reduzidas a equações diferenciais ordinárias usando

as wavelets de Daubechies, que são ortonormais. Ao contrário da formulação SEM com suposição

de periodicidade, o método baseado em wavelets permite imposição de valores iniciais e, portanto,

está livre de problemas do tipo "wrap around". Experimentos numéricos são realizados para extrair

as características das ondas, isto é, a relação de dispersão e os espectros para o guia de onda

unidimensional analisado. Foi feita a deteção das imperfeições estruturais para os dois métodos

SEM e WSFEM, onde foi feita a modelagem do elemento estrutural junto com um elemento

semi-infinito. Os resultados são comparados com os da literatura.

Palavras-chave: Wavelets, Elementos Espectrais, imperfeições estruturais, guias de onda unidi-

mensionais.

Abstract

CANTANHÊDE, Hélio Vítor. Detection of Structural Imperfections through Wavelet Spectral

Finite Element Method. 2016. 78p. Dissertação (Mestrado). Faculdade de Engenharia Mecânica,

Universidade Estadual de Campinas, Campinas.

In the present work, a study of wave propagation and detection of structural imperfections

in elementary rods is done using the method (Wavelet Spectral Finite Element Method- WSFEM)

based on wavelets. First the exact values of the coefficients of connections to the wavelets of

Daubechies type were calculated, using for this the compact support property they possess.The

wave equation was transformed from the time domain to the wavelet domain.It was made the

decoupling of ordinary differential equations through an analysis of eigenvalues and eigenvectors.

The WSFEM method is very similar to the method of spectral finite element ( textit Spectral

Element Method - SEM), which uses based on the Fourier transform, except that it uses wavelets

of Daubechies type with compact support.The wave equations are reduced to ordinary differential

equations using wavelet Daubechies, which are orthonormal.Unlike SEM formulation basis

of supposition, the wavelet-based method allows imposition of initial values, and therefore is

free of problems such as "wrap around". Numerical experiments are performed to extract the

characteristics of waves, that is, the dispersion ratio and the spectra for one-dimensional waveguide

analyzed. The detection of structural imperfections was taken for both SEM and WSFEM methods,

which carried out the modeling of the structural element along with a semi-infinite element. The

results are compared with the literature.

Keywords: Wavelets, Spectral Element Method, structural imperfections, rods (engineering).

Lista de Ilustrações

1.1 Aproximação de uma função através das wavelets e da transformada de Fourier. . . 20

1.2 Detecção de uma descontinuidade em uma onda senoidal usando wavelets. . . . . . 21

3.1 Representação dos sinais. a) Senóide b) Wavelet de Daubechies . . . . . . . . . . . 27

3.2 Funções de escalas e Wavelets de Daubechies para várias ordens. . . . . . . . . . . 33

4.1 Barra elementar com elemento infinitesimal, Doyle (1989). . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Elemento espectral de barra elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Fluxograma para os cálculos realizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4 Modelo Elemento espectral de barra semi-infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.5 Elemento espectral de barra com trinca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.6 Detalhe da trinca e seção transversal do local da trinca. . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.7 Modos fundamentais de deslocamento na superfícies da trinca (Pereira, 2009). . . . 54

5.1 Número de onda adimensional para amostragem de 1µs, (Mitra, 2006a). . . . . . . 57

5.2 Número de onda adimensional para amostragem de 1µs . . . . . . . . . . . . . . . 57





5.7 Número de onda adimensional para amostragem de 8µs, (MITRA, 2006a). . . . . . 60


5.9 Comparação entre ωj e λj , (MITRA, 2006a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.10 Comparação entre ωj e λj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.11 Modelo das estruturas simuladas: (a) Barra saudável ; (b) Barra trincada. . . . . . . 62

5.12 Ilustração da aplicação da Força de excitação no guia de onda. . . . . . . . . . . . 62

5.13 Onda senoidal com frequência de 40 kHz e a janela hanning aplicada. . . . . . . . 63

5.14 Sinal de excitação tone burst de 40 kHz e sua representação na frequência. . . . . . 63

5.15 Respostas em aceleração obtidas ao longo da barra a) Aceleração para o nó 1 barra

saudável b) Zoom feito na reflexão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.16 Respostas obtidas no nó 2 para a força de excitação descrita. a) estrutura saudável

b) estrutura trincada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.17 Respostas em aceleração com desdobramento de parte do sinal para o inicio. a)

SEM b) WSFEM com N = 6 c) WSFEM com N = 22. . . . . . . . . . . . . . . 66

5.18 Respostas em aceleração obtidas através da excitação Tone Busrt aplicada. a) Es-

trutura saudável, b) Estrutura com trinca de 30%, c) Estrutura com trinca de 40%. . 67

5.19 Respostas em aceleração obtidas ao longo da barra. a) Estrutura saudável, b) Estru-

tura com trinca em 0,75m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68





5.22 FRFs para os dois métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Lista de Tabelas

3.1 Coeficientes de filtro ak para função de escala Daubechies com N=4, 6 e 12. . . . . 37

3.2 Coeficientes de conexões de 1ª e 2ª ordem com N = 22. . . . . . . . . . . . . . . . 39

Lista de Abreviaturas e Siglas

Matrizes e Vetores

- Vetores e Matrizes estão representados por letras e símbolos em negrito

A - Matriz dos coeficientes de filtro

Fe - Matriz de forças nodais (WSFEM)

K - Matriz de rigidez elementar(SEM)

Ke - Matriz de rigidez elementar(WSFEM)

ue - Matriz de deslocamentos nodais (WSFEM)

Letras Latinas

A - Área da seção transversal

ak - Coeficientes de filtro

cj,k - Coeficientes de aproximação

D - Daubechies

dj,k - Coeficientes de detalhe

E - Módulo de elasticidade

F - Força axial

h - Altura da barra

i - Número complexo

[Ke] - Matriz de rigidez dinâmica elementar

k - Número de onda

l - Comprimento do elemento

L - Comprimento da barra

N - Ordem da wavelet Daubechies

n - Pontos de amostragem

t - Tempo

u(x,t) - Deslocamento axial

u - Deslocamento

u - velocidade

u - aceleração

Letras Gregas

ωn - Frequência circular

∆t - Discretização no tempo

ψ(t) - Wavelet mãe

ϕ(t) - Função de escala

ϕ′(t) - Primeira derivada da função de escala

ϕ′′(t) - Segunda derivada da função de escala

Ω1j,k - Coeficientes de conexão de primeira ordem

Ω2j,k - Coeficientes de conexão de segunda ordem

Γ1 - Matriz dos coeficientes de conexão de primeira ordem

Γ2 - Matriz dos coeficientes de conexão de segunda ordem

Φ - Autovetor para a matriz Γ1

Π - Matriz diagonal contendo os autovalores λjΠ2 - Matriz diagonal contendo os autovalores λ2jρ - Densidade do material

δ - Delta de Dirac

ε - Velocidade de deformação axial

εt - Velocidade de deformação transversal

η - Fator de amortecimento histerético

λj - Autovalores

ω - frequência em rad

Siglas

MEF - Método de Elementos Finitos

SEM - Método de Elemento Espectral

WSFEM - Método do Elemento Finito Espectral usando Transformada Wavelets

SUMÁRIO

Lista de Ilustrações x

Lista de Tabelas xii

Lista de Abreviaturas e Siglas

SUMÁRIO i

1 INTRODUÇÃO 19

1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 24

3 ANÁLISE EM WAVELETS 27

3.1 Considerações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Análise Multiresolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Definição das Wavelets de Daubechies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Obtenção do valor dos coeficientes de filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5 Avaliação dos Coeficientes de Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 MÉTODO DOS ELEMENTOS ESPECTRAIS USANDO WAVELETS-WSFEM 40

4.1 Modelo de Barra Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Formulação do Elemento Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 Modelo do Elemento Espectral Semi-Infinito para Barra . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4 Elemento Espectral de Barra com Trinca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4.1 Flexibilidade da Trinca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 RESULTADOS SIMULADOS 56

5.1 Barra Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6 CONCLUSÃO E SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS 72

7 PUBLICAÇÕES GERADAS NESTE TRABALHO 74

REFERÊNCIAS 75

ii

19

1 INTRODUÇÃO

Ao longo das duas últimas décadas, as wavelets têm sido utilizadas de forma eficaz para

problemas de processamento de sinais e para a solução de equações diferenciais. Existem vários

livros didáticos e artigos nestas áreas, (Mitra, 2010). O uso de wavelets em engenharia pode ser

visto sob duas perspectivas. Primeiramente, na análise das respostas mecânicas para a extração de

parâmetros modais, detecção de danos, etc. Em segundo lugar, na solução de equações diferenciais

que regem o sistema físico. Embora a transformada wavelet seja muito eficaz em todos os casos

citados, existem poucos trabalhos detalhados sobre o uso da transformada wavelet para solução de

problemas mecânicos. Os livros existentes tratam sobre os aspectos matemáticos das wavelets, a

sua utilização como base de aproximação para solução de equações diferenciais e sobre a utilização

de wavelets para processamento de sinais.

A avaliação da integridade estrutural tem sido motivo de interesse por parte da comunidade

cientifica há algumas décadas devido às possíveis implicações econômicas e sociais que se originam

pela presença do dano em uma estrutura. O processo de deterioração resulta em regiões danifica-

das cuja principal característica é a perda localizada de rigidez. Por isso, uma grande quantidade

de linhas de pesquisa têm sido desenvolvidas para poder avaliar o estado dos diferentes tipos de

estruturas (mecânicas, civis e aeronáuticas) através de diversos métodos computacionais, (Villalba,

2012).

Muitos métodos numéricos estão disponíveis para a modelagem do fenômeno de propagação

de ondas em guias de onda do tipo barra, viga e placa. Pode-se citar, por exemplo, alguns como

o método das diferenças finitas - MDF, Strikwerda (1989), o método dos elementos de contorno

- MEC, Brebbia (1996) e o método dos elementos finitos - MEF, Zienkiewicz (1989). Contudo,

esses métodos para problemas em médias e altas frequências têm um elevado custo computacional,

pois, quando as frequências aumentam, o comprimento característico do elemento finito, que deve

ser aproximadamente igual a um sexto do comprimento de onda, (Petyt, 2010), diminui, deixando

o tamanho do modelo numérico da estrutura muito grande, mesmo para o caso de propagação de

onda em uma dimensão. Uma forma de definir se uma faixa de frequências é baixa, média ou alta,

seria através da densidade modal (o número de modos por faixa de frequência). As frequências

baixas incluem geralmente os primeiros dez ou vinte modos naturais, as médias e altas frequências

incluem os modos de ordem mais elevada.

Doyle (1989), apresentou o método denominado de método dos elementos espectrais (Spec-

20

tral Element Method - SEM) que é a solução exata da equação de um sistema elástico escrito na

forma de propagação de ondas no domínio da frequência. Este método consiste na construção da

matriz de rigidez dinâmica que relaciona as forças aplicadas a uma estrutura com os deslocamentos

resultantes. Um único elemento espectral é suficiente para modelar a uma estrutura desde que esta

não apresente descontinuidades. Assim, um elemento espectral poderia substituir infinitos elemen-

tos finitos. Desta forma, o sistema matricial é reduzido significantemente quando comparado com

outros métodos numéricos. Entretanto, existem algumas dificuldades em modelar elementos não

uniformes, bem como, na aplicação de condições de contorno em elementos 2D e 3D.

A técnica do SEM faz uso da transformada de Fourier para a transformação da equação

no domínio do tempo para o domínio da frequência. A transformada de Fourier apresenta alguns

problemas, como por exemplo, a representação de fenômenos com singularidade, sinais transientes,

fenômeno de Gibbs e erro de wrap around. Tais problemas podem ser minimizados ou mesmo

eliminados com a aplicação das wavelets em vez da transformada de Fourier. A Figura 1.1 mostra

uma onda quadrada aproximada através das somas de Fourier e através da aplicação das wavelets

de Daubechies, nota-se que quando o sinal é aproximado através da transformada de Fourier ele

apresenta o fenômeno de Gibbs, já quando a função é aproximada usando wavelets de Daubechies

esse fenômeno não é notado, na Figura 1.2 é ilustrada como uma análise via wavelets pode localizar

uma descontinuidade em um sinal senoidal. É representado um sinal com duração de, t = 1,0s, e

com uma descontinuidade localizada no tempo igual a t = 0,5s.

Figura 1.1: Aproximação de uma função através das wavelets e da transformada de Fourier.

Neste contexto, foi proposto por Mitra (2010) o método dos elementos espectrais usando

wavelet (Wavelet Spectral Finite Element Method - WSFEM). Eles aplicaram esse método para

1.1. OBJETIVO 21

Figura 1.2: Detecção de uma descontinuidade em uma onda senoidal usando wavelets.

diversos casos. Um deles é o estudo de problemas de propagação de ondas em guias de onda de

uma dimensão, tema que é abordado nessa dissertação.

Pode-se imaginar que o WSFEM consiste em transformar as equações do sistema elástico

escritas no domínio do tempo para o domínio da frequência aplicando-se a transformada wavelet em

vez da transformada de Fourier, usando para análise as propriedades das wavelets e suas vantagens

em relação à transformada de Fourier, se tornando uma alternativa para o estudo de detecção de

danos em estruturas unidimensionais.

A partir do sucesso que as wavelets tiveram para a resolução de equações diferenciais parci-

ais, como por exemplo no método nomeado de Wavelet Galerkin, Burgos (2009), novas pesquisas

estão surgindo na tentativa de encontrar novas famílias de wavelets para a solução de problemas

específicos. Nesse contexto, destacam-se as pesquisas de Deslauriers (1989), que conseguiu ob-

ter outra família de wavelets a partir das wavelets de Daubechies, as quais foram denominadas de

Interpolets, essas Interpolets ainda possuem características de funções interpoladoras.

1.1 Objetivo

Este trabalho pretende estudar o método do elemento espectral usando wavelet (WSFEM) em

guias de ondas unidimensionais, implementá-lo computacionalmente e aplicar como ferramenta de

engenharia na detecção de danos estruturais.

1.2. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 22

Os objetivos específicos são:

Validar os resultados da implementação do WSFEM através das curvas de dispersão (número

de onda versus frequência) na comparação com o SEM.

Detectar imperfeições estruturais em uma barra elementar através dos métodos SEM e WS-

FEM.

Analisar a influência da mudança da ordem da wavelet do tipo Daubechies no cálculo do

número de onda para uma barra elementar.

Obter os deslocamentos, velocidades e acelerações nodais através dos métodos WSFEM e

SEM e comparar os resultados obtidos para a validação dos programas elaborados.

1.2 Organização do trabalho

A dissertação está organizada da seguinte maneira:

Capítulo 1: Neste capítulo apresenta-se uma introdução sobre o tema a ser analisado e de-

monstrando a necessidade de desenvolver esta pesquisa.

Capítulo 2: Neste capítulo mostra-se uma revisão bibliográfica dos trabalhos analisados que

serviram como base para a elaboração desta dissertação.

Capítulo 3: Neste capítulo é descrita toda a teoria sobre as wavelets e é explicada a aná-

lise multi-resolução e como são são obtidos os valores dos coeficientes de filtro e coeficientes de

conexões implementados através dos programas elaborados em MATLAB®.

Capítulo 4: Neste capítulo foi feito todo o equacionamento para a aplicação do método WS-

FEM em um guia de onda do tipo barra elementar saudável e com trinca, foi feita a aproximação

da equação da onda através do uso de wavelets do tipo Daubechies, em seguida foram calculados

os valores dos coeficientes de conexões. Com isso foi possível desacoplar as equações obtidas atra-

vés da análise de autovetores e autovalores da matriz dos coeficientes de conexões e também foi

mostrado como transformar a força de entrada do domínio do tempo para a frequência via wavelet

de Daubechies.

1.2. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 23

Capítulo 5: Neste capítulo são apresentados os resultados numéricos obtidos (números de

onda e Funções de Resposta em Frequência). Também foram calculados os deslocamentos e por

consequência, as acelerações nodais para uma barra com condição de contorno livre livre sujeita a

uma força de excitação. Foi feita a implementação para uma barra elementar saudável e uma outra

barra com trinca. Foi possível fazer a detecção da imperfeição estrutural através da observação das

reflexões da onda na trinca. Os resultados foram comparados e discutidos para os dois métodos;

Os Capítulos 6 e 7 apresentam as conclusões e sugestões para trabalhos futuros e as publica-

ções geradas pelo trabalho, respectivamente.

24

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Neste capítulo apresenta-se uma rápida e breve revisão bibliográfica dos trabalhos encontra-

dos na literatura que explicam a teoria, metodologia e aplicação do método WSFEM em diversas

áreas de pesquisa, trabalhos estes que foram fundamentais para o desenvolvimento desta disserta-

ção.

Há poucos anos foram definidos os primeiros sistemas de Wavelelets, ou Ondelettes, como

lhes chamaram alguns dos pesquisadores franceses que primeiro trabalharam com este tipo de

funções, (Grossmann, 1984). Entretanto, foi apenas na segunda metade da década de oitenta que

foram definidos com rigor os conceitos que permitem entender de forma clara a natureza deste

tipo de funções. Vários pesquisadores destacaram-se como Grossmann (1984), Mallat (1989) e

Daubechies (1988).

Latto (1991) apresentou um método exato para o cálculo dos coeficientes de conexões. Isto

é essencial para a aplicação das wavelets para a solução numérica das equações diferenciais, uma

vez que as aproximações numéricas dos coeficientes de conexões são em geral instáveis devido à

natureza oscilatória dos integrandos.

Graps (1995) faz uma breve introdução às wavelets e inicia a aplicação delas na área de

processamento de sinais digitais. Ele faz comparações entre a transformada wavelet e a transfor-

mada de Fourier mostrando alguns aspectos interessantes nessa análise, no final ele faz algumas

aplicações de wavelets nas áreas de compressão de imagens, tons musicais e remoção de ruído de

sinais.

Mitra (2005) apresentou o método Wavelet Spectral Finite element (WSFEM), para o estudo

da propagação de ondas elásticas em guias de onda de uma dimensão. A equação diferencial par-

cial da onda foi convertida em equações diferenciais ordinárias simultâneas através das wavelets

de Daubechies para aproximação no domínio wavelet. Neste caso, o tamanho do sistema a ser re-

solvido é também muito menor do que o gerado pelo método dos elementos finitos convencionais.

Eles ainda estenderam o WSFEM para propagação de ondas em duas dimensões Mitra (2006c),

para modelagem de delaminação em viga compósita Mitra (2006d), para modelagem de cilindro

assimétrico isotrópico Mitra (2007) e para placa compósita laminada Mitra (2008).

Mitra (2006a) desenvolveu o método WSFEM não só para estudar a propagação de ondas em

25

guias de onda de uma dimensão, mas também para extrair as características da onda, tais como o

espectro e relação de dispersão. Experimentos numéricos foram realizados para estudar as caracte-

rísticas da onda no domínio da frequência em uma barra elementar, viga de Euler-Bernoulli e vigas

de Timoshenko.

Mitra (2006b) aplicou o método WSFEM em vigas compósitas de alta ordem, onde foram

encontrados os gráficos de dispersão e os espectros para a viga, através da aplicação de uma força

de entrada, modelada como um impulso unitário e aplicada em um dos nós da viga.

Lotfollahi (2008) fez uma aplicação da Transformada wavelet para Monitorameno da Integri-

dade Estrutural em uma barragem, onde o dano foi modelado através da mudança local de rigidez da

estrutura foi também feita análise via método dos elementos finitos através do software ABAQUS

e modelado também em ambiente MATLAB®.

Widana (2011) utilizou o método WSFEM para a detecção de delaminações em placas com-

pósitas junto com o método Damage Force Indicator (DFI). A matriz de rigidez dinâmica global

para a barra saudável foi obtida via WSFEM e o vetor de deslocamento para a estrutura danificada

já medida através de um vibrômetro a laser os resultados mostraram boa aproximação.

Pahlavan (2012) aplica o método dos elementos espectrais baseado em wavelets (WSFEM)

para o estudo da propagação de ondas elásticas em estruturas bidimensionais (2D). A abordagem

é caracterizada por uma transformação temporal das equações que governam a o domínio wavelet

usando uma abordagem wavelet-Galerkin, e, posteriormente, realizando a discretização espacial no

domínio wavelet. A solução final é obtida pela transformação dos deslocamentos nodais calculados

no domínio wavelet de volta ao domínio do tempo .

Jha (2012) em seu trabalho desenvolve o WSFEM para a deteção de danos em uma placa

compósita. As respostas simuladas foram comparadas com medidas experimentais. Também foi

implementado o método do tempo reverso para o diagnóstico de imperfeições estruturais.

Jones (2012) desenvolveu o método de wavelet-Galerkin para a solução das equações diferen-

ciais, onde também é mostrado ser um método conveniente e eficiente. Esta eficiência é apresentado

através da realização de uma análise estocástica da variação do módulo de elasticidade para deter-

minar o efeito sobre a função de resposta em frequência. Os resultados são comparados com o

método dos elementos finitos.

26

Mallikarjun (2012) aplicou o método WSFEM em um pórtico. As respostas foram calculadas

através da aplicação de uma força impulsiva aplicada em uma extremidade da viga. Foi também

analisado o comportamento das equações quando o valor da ordem da wavelet era modificado,

assim como a interferência da discretização nas respostas obtidas.

Samaratunga (2014) formulou o método WSFEM para análise do problema de propagação

de ondas em guias de onda de duas dimensões, mas precisamente em placas compósitas laminadas

com uma pequena falha estrutural, os resultados foram simulados e comparados com a técnica dos

elementos espectrais e elementos finitos.

Na Unicamp, mas precisamente na Faculdade de Engenharia Mecânica encontra-se o Labo-

ratório de Vibrações e Acústica do Departamento de Mecânica Computacional, (LVA-DMC-FEM-

UNICAMP), onde são desenvolvidos trabalhos na área de detecção de danos em estruturas através

de vários métodos entre eles o método do elemento espectral-SEM, pode-se citar alguns trabalhos

como, (Pereira, 2009) e (Lucena, 2015). Esta dissertação é o primeiro trabalho desenvolvido no

LVA-DMC-FEM-UNICAMP abordando o método WSFEM, ou seja, é um trabalho que servirá

como apoio para futuras pesquisas na área.

CAPÍTULO 3. ANÁLISE EM WAVELETS 27

3 ANÁLISE EM WAVELETS

Neste capítulo é apresentada a teoria sobre wavelets necessária para o entendimento do mé-

todo WSFEM, toda a teoria descrita neste capítulo pode ser encontrada em (Castro, 1996) e (Bur-

gos, 2009).

3.1 Considerações iniciais

Uma wavelet é uma forma de onda de duração limitada que tem um valor médio igual a

zero. Na Figura 3.1 é comparada uma wavelet de Daubechies com uma onda senoidal, que é a

base da análise de Fourier. Senóides não têm duração limitada, elas se estendem de menos a mais

infinito como mostra a Figura 3.1a. As senóides são suaves e previsíveis, as wavelets tendem a ser

irregulares e assimétricas como pode-se notar na Figura 3.1b.

(a)

(b)

Figura 3.1: Representação dos sinais. a) Senóide b) Wavelet de Daubechies

A análise de Fourier consiste em decompor um sinal em ondas senoidais de diferentes frequências,

amplitudes e fases. Similarmente, a análise wavelet é a quebra de um sinal em versões deslocadas e

escalonadas da wavelet original (wavelet mãe). Basta olhar para a Figura 3.1. Pode-se ver intuitiva-

3.2. ANÁLISE MULTIRESOLUÇÃO 28

mente que sinais com mudanças bruscas podem ser melhor analisados com uma wavelet irregular

do que com um senóide suave.

3.2 Análise Multiresolução

As propriedades das bases de wavelets podem ser entendidas mais facilmente se conhecermos

os conceitos introduzidos pela análise multiresolução.

A análise multiresolução foi introduzida por Mallat (1989) e Meyer (1990). Esta análise con-

siste em representar uma dada função (ou sinal) em diferentes níveis de resolução. Neste trabalho,

introduziremos apenas, sem grande aprofundamento matemático, alguns conceitos que serão fun-

damentais na compreensão das famílias de bases wavelets propostas por Daubechies.

Para se efetuar a representação multiresolução de uma função em L2(R) , tem-se que obter

primeiro uma sequência de sub-espaços verificando:

0, . . . , ⊂ V−1, ⊂ V0, ⊂ V1, . . . , ⊂ L2(R) (3.1)

Os subespaços Vj(j ∈ Z) devem ter uma interseção trivial e uma união que é densa em

L2(R). Isto quer dizer,

⋂

n

Vn = 0 (3.2)

⋃

n

Vn = L2(R) (3.3)

Os diferentes sub-espaços devem estar relacionados através da seguinte lei;

h(t) ∈ Vj ⇔ h(2t) ∈ Vj+1 ∀j ∈ Z (3.4)


Cada sub-espaço Vj deve ser gerado a partir de todas as translações inteiras de uma única

função h(t) , verificando-se:

h(t) ∈ V0 ⇔ h(t+ k) ∈ V0 k ∈ Z (3.5)

Então, é necessário definir, em V0, uma função que desempenha um papel fundamental na

análise multiresolução e na geração dos sistemas de wavelets. É a chamada função de escala, usu-

almente representada na literatura por ϕ(t) . A função de escala ϕ(t) e suas translações inteiras

ϕ(t − k) , com k ∈ Z, formam uma base do sub-espaço V0 . Consequentemente, as funções

ϕ(2t − m) , com m ∈ Z , formam uma base para o sub-espaço V1 . Como V0 está contido em

V1, qualquer função definida em V0 pode ser expressa como combinação linear das funções que

constituem a base do sub-espaço V1 . Em particular, é possível escrever para a função de escala:

ϕ(t) =∑

k

akϕ(2t− k) (3.6)

A Equação (3.6) é muito importante, já que é a base para a geração dos diferentes sistemas

de wavelets. É conhecida geralmente como equação de dilatação.

Para um dado valor do inteiro j, as funções

ϕj,k(t) = 2j/2ϕ(2jt− k), j, k ∈ Z (3.7)

obtidas a partir da função de escala ϕ(t) através de uma operação de dilatação e uma transla-

ção formam uma base do sub-espaço Vj . O inteiro j é chamado parâmetro de dilatação (ou escala),

enquanto que o inteiro k define a translação efetuada.

A análise multiresolução leva a uma decomposição do espaço L2(R) . Defina-se agora o

sub-espaço Wj−1 como sendo completamente ortogonal de Vj−1 em Vj . Tem-se então que,

Vj = Vj−1 ⊕Wj−1 (3.8)


com Vj−1 ⊥ Wj−1 e onde⊕

representa uma soma direta. Resulta que os sub-espaços Wj são

ortogonais e que a sua soma direta é L2(R). Verifica-se então que

⋃

j

Vj =⊕

Wj = L2(R), j ∈ Z (3.9)

Além da função de escala ϕ(t) , há outra função, definida agora em W0 , cuja definição é

essencial para a geração do sistema completo de wavelets. Trata-se da wavelet primária, usualmente

representada por ψ(t) . Esta wavelet, em conjunto com todas as translações inteiras,ψ(t − k) com

k ∈ Z, deverá constituir uma base do sub-espaço W0.

Como o sub-espaço W0 está contido no sub-espaço V1 , a wavelet primária ψ(t) pode ser

expressa como combinação linear das funções que constituem a base de V1. Pode então escrever-

se:

ψ(t) =∑

k∈Z

bkϕ(2t− k) (3.10)

Os coeficientes bk da Equação (3.10) devem estar relacionados com os coeficientes ak da

Equação (3.6), de modo a garantir a desejada ortogonalidade entre sub-espaços, V0 ⊥ W0.

Qualquer função f(t) ∈ L2(R) pode então ser expressa como combinação linear de todas as

dilatações e translações da wavelet primária. Um maneira de aproximar a função f(t) consiste em

efetuar a sua projeção no sub-espaço Vj :

Pjf(t) =∑

k∈Z

cj,kϕj,k(t) (3.11)

Chui (2014) demonstra que as projeções Pjf(t) tendem a representar de uma forma cada

vez mais exata a função f(t) à medida que o valor do parâmetro de escala j aumenta. No limite,

verifica-se que:

3.3. DEFINIÇÃO DAS WAVELETS DE DAUBECHIES 31

limm→∞

Pmf(t) = f(t) (3.12)

Considerando agora as projeções da mesma função f(t) em dois sub-espaços, Vj e Vj+1, a

partir da Equação (3.8) pode escrecer,

Pj+1f(t) = Pjf(t) +Qjf(t) (3.13)

onde Qjf(t) denota a projeção de f(t) no sub-espaço Wj . Tal projeção é obtida através de:

Qjf(t) =∑

k∈Z

dj,kψj,k(t) (3.14)

A Equação (3.13) indica que Qjf(t) representa o detalhe que é necessário adicionar à apro-

ximação referente à projeção na escala j para se obter a aproximação na escala de refinamento

seguinte, j + 1.

3.3 Definição das Wavelets de Daubechies

As wavelets de Daubechies, (Daubechies, 1988), formam sistemas completos de funções

ortonormais. A geração de tais sistemas passam pela obtenção da respectiva função de escala dada

pela Equação (3.6)

Os parâmetros ak são chamados de coeficientes de filtro. É através da imposição de algu-

mas condições sobre os valores que estes coeficientes podem assumir que se obtêm determinadas

propriedades para um sistema de wavelets, como por exemplo a ortonormalidade.

Para que as wavelets possuam a propriedade de suporte compacto, ou seja, que sejam defi-

nidas sobre um intervalo limitado, é preciso que apenas um número finito de coeficientes de filtro

seja diferente de zero. Os sistemas de wavelets de Daubechies são organizados em diferentes fa-

mílias, cada uma das quais caracterizada por um número diferente de coeficientes ak não-nulos.

3.3. DEFINIÇÃO DAS WAVELETS DE DAUBECHIES 32

Cada família é identificada pelo seu número de família, denotado aqui por N , e cujo valor é igual a

metade do número de coeficientes de filtro utilizados na Equação (3.6).

A função de escala para cada uma das famílias de Wavelets é então dada por:

ϕ(t) =2N−1∑

k=0

akϕ(2t− k) (3.15)

As funções de escala assim definidas tomam valores diferentes de zero apenas no intervalo

[0, 2N − 1]. A este intervalo constuma-se chamar suporte da função de escala ϕ(t) . Pode-se escre-

ver:

supϕ(t) = [0, 2N − 1] (3.16)

Daubechies (1988) definiu as famílias de wavelets para valores de N compreendidos entre 2

e 10. Além da ortonormalidade, existe outra propriedade que caracteriza estes sistemas de funções.

Dada uma família com um determinado N , qualquer polinômio de grau igual ou inferior a N − 1

pode ser representado de uma forma exata pela combinação linear da função de escala ϕ(t) e de

todas as suas translações inteiras.

A wavelet primária de cada uma das famílias pode ser definida por :

ψ(t) =2N−1∑

k=0

(−1)ka2N−1−kϕ(2t− k) (3.17)

Na Figura 3.2 é ilustrada a função de escala e a wavelet de Daubechies para diversas ordens.

Nota-se o comportamento em relação ao suporte de cada wavelet. A função de escala de Daubechies

tem suporte de [0, N − 1], nota-se que quanto maior a ordem, mais suave é a função.

3.4. OBTENÇÃO DO VALOR DOS COEFICIENTES DE FILTRO 33

(a) Wavelets Db4 (b) Wavelets Db8

(c) Wavelets Db12 (d) Wavelets Db16

(e) Wavelets Db20 (f) Wavelets Db24

Figura 3.2: Funções de escalas e Wavelets de Daubechies para várias ordens.

3.4 Obtenção do valor dos coeficientes de filtro

A função de escala de cada uma das famílias de wavelets de Daubechies é determinada a

partir da resolução da Equação (3.15). Para se definir de uma forma única cada uma das funções de

escala, é usual impor que a área definida por ϕ(t) seja unitária. Tem-se então que:

∫ +∞

−∞

ϕ(t)dt = 1 (3.18)

A primeira condição a respeitar pelos coeficientes de filtro, ak é


2N−1∑

k=0

ak = 2 (3.19)

A segunda condição que os coeficientes de filtro têm que respeitar é a condição de ortonor-

malidade dada por:

∫ +∞

−∞

ϕ(t)ϕ(t+ k)dt = δ0,k (3.20)

onde,

δ0,k =

1 k = 0

0 ∀k 6= 0(3.21)

Esta segunda condição ainda pode ser escrita de outra forma como:

2N−1∑

n=0

anan+2k = 2δ0,k k ∈ Z (3.22)

A Equação (3.22) permite escrever N equações independentes envolvendo os valores dos

coeficientes de filtro, ak.

As condições mostradas na Equação (3.19) e na Equação (3.22) permitem escrever N + 1

equações relacionando os 2N coeficientes ak , presentes na definição de ϕ(t) e ψ(t). Para que

estes coeficientes possam ser determinados de forma única, é necessário estabelecer uma terceira

condição que permita obter as N − 1 equações em falta. Esta condição surge naturalmente quando

se impõe que qualquer polinômio de grau igual ou inferior a N − 1 possa ser representado de uma

forma exata pela combinação linear da função de escala ϕ(t) e de todas as suas translações inteiras

ϕ(t− k), com k ∈ Z. Qualquer polinômio do tipo,

f(t) = a0 + a1t+ a2t2 + ...+ aN−1t

N−1 (3.23)


pode ser representado, de uma forma exata, por uma expansão do tipo:

f(t) =+∞∑

k=−∞

ckϕ(t− k) (3.24)

Pré-multiplicando ambos os membros da Equação (3.24) por ψ(t) e integrando, obtém-se:

∫

ψ(t)f(t)dt =+∞∑

k=−∞

ck

∫

ϕ(t− k)ψ(t)dt = 0 (3.25)

Substituindo na Equação (3.25) a Equação (3.23) temos,

∫

ψ(t)(a0 + a1t+ a2t2 + ...+ aN−1t

N−1)dt = 0 (3.26)

Esta igualdade tem que ser válida para todos os valores aj , j = 0,1,...,N − 1. Escolhendo

al = 1 e aj = 0 para j 6= l, obtém se a seguinte condição:

∫ +∞

−∞

ψ(t)tldt = 0, l = 0,1,..,N − 1 (3.27)

Através de manipulações matemáticas, (Castro, 1996), é obtida a Equação (3.28), que é ne-

cessária para encontrar as N − 1 equações que faltavam para o sistema ficar completo,

2N−1∑

k=0

(−1)kakkl = 0 l = 1,2,..,N − 1 (3.28)

Como foi dito anteriormente, as funções de escala são obtidas resolvendo a Equação (3.15)

que pode ser expandida como,

ϕ(t) = a0ϕ(2t) + a1ϕ(2t− 1) + ...+ aN−1ϕ(2t−N + 1) (3.29)


Utilizando os critérios de compactividade para as funções de escala Daubechies entre [0, N−1], onde N é da ordem da função de escala Daubechies, a relação dada na Equação (3.29) pode ser

escrita como as seguintes equações,

ϕ(0) = a0ϕ(0)

ϕ(1) = a0ϕ(2) + a1ϕ(1) + a2ϕ(0)

ϕ(2) = a0ϕ(4) + a1ϕ(3) + a2ϕ(2) + a3ϕ(1) + a4ϕ(0)...

ϕ(N − 2) = aN−3ϕ(N − 1) + aN−2ϕ(N − 2) + aN−1ϕ(N − 3)

ϕ(N − 1) = aN−1ϕ(N − 1)

(3.30)

Que pode também ser escrita na forma de matriz,

ϕ0

ϕ1

ϕ2

· · ·ϕN−3

ϕN−2

ϕN−1

=

a0 0 0 · · · 0 0 0

a2 a1 a0 · · · 0 0 0

a4 a3 a2 · · · 0 0 0

· · · · · · · · · · · · ... · · · ...

0 0 0 · · · aN−3 aN−4 aN−5

0 0 0 · · · aN−1 aN−2 aN−3

0 0 0 · · · 0 0 aN−1

ϕ0

ϕ1

ϕ2

· · ·ϕN−3

ϕN−2

ϕN−1

(3.31)

Assim, a Equação (3.31) cai em um problema de autovalores e pode ser resolvida para obter

ϕ como os autovetores. A matriz [A] contém os coeficientes de filtro ak e podem ser encontrados a

partir da Equação (3.19), Equação (3.22) e Equação (3.28). Os coeficientes de filtro para as wavelets

de Daubechies de ordem N=4, N=6 e N=8 são apresentados na Tabela 3.1. Estes coeficientes de

filtro foram obtidos através do software MATLAB usando a função dbwavf que é encontrada no

toolbox de wavelets, os valores encontrados para os coeficientes de filtro são normalizados para

obter-se um somátorio de todos os valores igual a dois, isto é, para respeitar as condições impostas

para as wavelets de Daubechies.

3.5. AVALIAÇÃO DOS COEFICIENTES DE CONEXÕES 37

Tabela 3.1: Coeficientes de filtro ak para função de escala Daubechies com N=4, 6 e 12.

k D4 D6 D12

0 0,6830 0,4704 0,07881 1,1830 1,1411 0,34972 0,3169 0,6503 0,53113 -0,1830 -0,1909 0,22294 -0,1208 -0,15995 0,0498 -0,09176 0,06897 0,01948 -0,02239 0,0003

10 0,003311 -0,0007

3.5 Avaliação dos Coeficientes de Conexões

A solução das equações diferenciais depende fundamentalmente da correta avaliação dos

produtos internos entre as funções de escala, suas translações e suas derivadas, conhecidos como

coeficientes de conexão (Burgos, 2009). Este trabalho baseia-se nas pesquisas desenvolvidas por

(Beylkin, 1992) e (Zhou, 1998) que formularam os coeficientes de conexões definidos no intervalo

[0,1], ou seja, no nível zero, já que a partir deste nível pode-se obter os demais. De acordo com

(Beylkin, 1992) tem-se que;

Ωnl =

∫ +∞

−∞

ϕ(x− l)dnϕ(x)

dxndx (3.32)

os coeficientes podem ser avaliados através das seguintes proposições.

I- Se a integral dada pela Equação (3.32) existir, os coeficientes respeitam as seguintes equa-

ções, com l ∈ Z;

Ωnl = 2n

[

Ωn2l +

1

2

N−1∑

k=1

a2k−1(Ωn2l−2k+1 + Ωn

2l+2k+1)

]

(3.33)

e


∑

lnΩnl = (−1n)n! (3.34)

II- Se p > (n+1)/2 , onde p é o número de momentos nulos, as Equações (3.33) e (3.34) têm

uma solução única, com um número finito de coeficientes com valores não nulos Ωnl , normalmente,

Ωnl 6= 0 para 2−N 6 l 6 N − 2, de tal modo que para n par;

Ωnl = Ωn

−l (3.35)

∑

l2mΩnl = 0, m = 1,2...n/2− 1 (3.36)

e

∑

Ωnl = 0 (3.37)

já para n ímpar tem-se;

Ωnl = −Ωn

−l (3.38)

∑

l2m−1Ωnl = 0, m = 1,2...n/2− 1 (3.39)

Os detalhes para o cálculo desses coeficientes para diferentes ordens de wavelets podem ser en-

contrados em Beylkin (1992). A Tabela 3.2 mostra os valores dos coeficientes de conexões de

primeira e segunda ordem das wavelets Daubechies, calculados neste trabalho através de um có-

digo computacional implementado em ambiente MATLAB®, este código computacional se baseia

nos programas desenvolvidos por (Mitra, 2010), onde foram feitos testes para validar com outros

trabalhos da área.


Tabela 3.2: Coeficientes de conexões de 1ª e 2ª ordem com N = 22.

n Ω(1)n Ω

(2)n

1 0 -3,473372 -0,91320 2,160263 0,34718 -0,602654 -0,14580 0,259985 0,05657 -0,113996 -0,01896 0,044447 0,00525 -0,014488 -0,00115 0,003779 0,00018 -0,0007510 -2,14714e-05 0,0001011 1,56173e-06 -1,03988e-0512 -8,57426e-08 5,55791e-0713 5,88963e-09 3,72688e-0914 3,91513e-10 -5,40977e-0915 -1,13407e-10 4,73721e-1016 -3,25542e-12 3,16562e-1117 -1,61095e-14 2,31447e-1318 6,88828e-17 -2,18564e-1519 -7,98269e-17 -5,75168e-1720 -6,18014e-17 2,30067e-1621 4,12009e-17 -1,00654e-16

CAPÍTULO 4. MÉTODO DOS ELEMENTOS ESPECTRAIS USANDO WAVELETS-WSFEM40

4 MÉTODO DOS ELEMENTOS ESPECTRAIS USANDO WAVELETS-

WSFEM

Neste capítulo é apresentado o desenvolvimento do método do elemento espectral baseado

em wavelets para a simulação da propagação de ondas em guias de onda de uma dimensão. O

método é baseado na transformada wavelet e no método dos elementos espectrais. As wavelets de

Daubechies usadas neste trabalho obedecem algumas propriedades como, por exemplo, ortogonali-

dade e suporte compacto. Estas formam sistemas de funções, os quais são obtidos através das suas

funções de escala. A formulação aqui apresentada é baseada no trabalho de (Mitra, 2010), mas,

ela foi aperfeiçoada para um melhor entendimento do problema, sendo assim, pode-se considerar

que foi desenvolvida para este trabalho uma nova formulação para o método WSFEM, que é mais

completa do que a encontrada na literatura atual.

4.1 Modelo de Barra Elementar

Aqui consideraremos o guia de onda como uma estrutura que está sujeita somente a carre-

gamentos axiais. Doyle (1989) assume que o efeito de Poison pode ser desprezado e ainda que as

tensões e deformações possuem somente uma dimensão ao longo do eixo da barra. A Figura 4.1

mostra um modelo de barra elementar destacando-se um elemento infinitesimal da mesma.

Figura 4.1: Barra elementar com elemento infinitesimal, Doyle (1989).

Das hipóteses impostas, a deformação axial da barra pode ser escrita como:

εxx =∂u(x,t)

∂x, (4.1)

4.1. MODELO DE BARRA ELEMENTAR 41

onde u é o deslocamento axial da barra. A tensão axial é obtida através da Lei de Hooke como:

σxx = Eεxx = E∂u(x,t)

∂x, (4.2)

em que E é o módulo de elasticidade. A força axial interna pode ser obtida a partir da tensão

encontrada na Equação (4.2) através de:

F =

∫

σxxdA = AE∂u(x,t)

∂x, (4.3)

em que A é a área da seção transversal da barra. Considerando que q(x,t) , seja a força externa

aplicada por unidade de comprimento. O equilíbrio das forças será:

− F + [F +∆F ] + q(x,t)∆x = ρA∆x∂2u(x,t)

∂t2, (4.4)

onde ρ é a densidade. Dividindo a Equação (4.4) por ∆x, a equação de movimento torna-se:

∂F

∂x= ρA

∂2u(x,t)

∂t2− q(x,t). (4.5)

Substituindo a Equação (4.3) na Equação (4.5) obtém-se a equação diferencial de movimento

de uma barra não amortecida como:

AE∂2u(x,t)

∂x2− ρA

∂2u(x,t)

∂t2= −q(x,t). (4.6)

Seja u(x,t) discretizada por n pontos com uma janela de tempo [0 tf ], tem-se então a se-

guinte relação entre o tempo e o número de pontos amostrados dado por:

t = ∆tτ, τ = 0,1, . . . ,n− 1 (4.7)

Em que ∆t é o intervalo de tempo entre dois pontos amostrados no tempo. Aplicando esta dis-

cretização no tempo (Eq. 4.7) na Equação (4.6) as variáveis u(x,t) e q(x,t) podem ser aproximadas

pela função de escala ϕ(τ) através de:

u(x,t) ≈ u(x,τ) =∑

k

uk(x)ϕ(τ − k), k ∈ Z (4.8)


e

q(x,t) ≈ q(x,τ) =∑

k

qk(x)ϕ(τ − k), k ∈ Z, (4.9)

onde, uk é o coeficiente de aproximação a uma dada dimensão espacial x. Substituindo as Equações

(4.7), (4.8) e (4.9) na Equação (4.6) obtém-se,

AE∑

k

d2uk

dx2ϕ(τ − k)− ρA

∆t2

∑

k

ukϕ′′(τ − k) =

∑

k

qk(x)ϕ(τ − k). (4.10)

Fazendo o produto interno em ambos os lados da Equação (4.10) por ϕ(τ − j), onde j =

0,1,...,n− 1 obtém-se,

AE∑

k

d2uk

dx2

∫

ϕ(τ−k)ϕ(τ−j)dτ− ρA

∆t2

∑

k

uk

∫

ϕ′′(τ−k)ϕ(τ−j)dτ =∑

k

qk(x)ϕ(τ−k)ϕ(τ−j)dτ.

(4.11)

As translações da função de escala são ortogonais, logo,

∫

ϕ(τ − k)ϕ(τ − j)dτ = 0 para j 6= k. (4.12)

Usando a Equação (4.12), a Equação (4.11) pode ser escrita na forma de n equações diferen-

cias ordinárias simultâneas como:

AEd2uj

dx2− ρA

∆t2

j+N−2∑

k=j−N+2

Ω(2)j−kuk = qj j = 0,1,...,n− 1 (4.13)

em que, N é a ordem da wavelet de Daubechies e Ω(2)j−k é o coeficiente de conexão de segunda

ordem (Seção 3.5) definido pela Equação (4.14), onde ϕ′′ representa a derivada de segunda ordem

de ϕ.

Ω(2)j−k =

∫

ϕ′′(τ − k)ϕ(τ − j)dτ. (4.14)

Para wavelets de suporte compacto, o coeficiente de conexão Ω(2)j−k é diferente de zero no

intervalo de k = j −N + 2 até k = j +N − 2.


Reescrevendo a Equação (4.13) na forma matricial obtém-se:

AEd2u

dx2− ρAΓ(2)u = q (4.15)

onde,

Γ(2) =1

∆t2

Ω20 Ω2

−1 · · · Ω2−N+2 · · · Ω2

N−2 · · · Ω21

Ω21 Ω2

0 · · · Ω2−N+3 · · · 0 · · · Ω2

2...

... · · · ... · · · ... · · · ...

Ω2−1 Ω2

−2 · · · 0 · · · Ω2N−3 · · · Ω2

0

(4.16)

Deve notar-se que embora a formulação seja feita com referência à equação diferencial go-

vernante de uma barra, a matriz dos coeficientes de conexão de 2ª ordem Γ(2) é independente do

problema e depende apenas da ordem da wavelet de Daubechies, isto é, N . Contudo, pode ser visto

que existe uma relação entre o coeficiente de conexão da wavelet e a 2ª derivada do deslocamento,

ou seja,

u = Γ(2)u. (4.17)

Pode-se mostrar também que,

u = Γ(1)u, (4.18)

onde Γ(1) é a matriz dos coeficientes de conexão de 1ª ordem. Assim, a segunda derivada temporal

pode ser escrita como:

u = Γ(1)u. (4.19)

Substituindo a Equação (4.18) na Equação (4.19) chegamos na relação (Beylkin, 1992),

u = [Γ(1)]2︸︷︷︸

Γ(2)

u. (4.20)

A matriz dos coeficientes de conexões de segunda ordem Γ(2), pode também ser avaliada de

forma independente (Reginska, 1997).

No método WSFEM, as equações diferenciais ordinárias estão acopladas, porém, o sistema

de equações pode ser desacoplado pela diagonalização das matrizes dos coeficientes de conexões


Γ(1) e Γ(2). Estas podem ser feitas através do cálculo dos autovalores/vetores destas matrizes, ou

seja,

Γ(1) = ΦΠΦ−1 (4.21)

onde Π é a matriz diagonal dos autovalores λj e Φ é a matriz dos correspondentes autovetores.

Para Γ(2) teremos,

Γ(2) = ΦΠ2Φ−1 (4.22)

onde Π2 é a matriz diagonal dos autovalores (λ2j ) e Φ é a matriz dos correspondente autovetores.

Embora o custo computacional seja elevado para a solução deste problema de autovalor/vetor,

este precisa ser calculado apenas uma vez e pode ser armazenado, uma vez que é completamente

independente do problema. Isso faz com que o tempo de cálculo seja comparável àqueles dos

métodos baseados na transformada de Fourier (Burgos, 2009).

Para a matriz Γ(1) os autovalores podem ser calculados através de (Davis, 1975),

αj =N−2∑

k=−N+2

Ω1ke

−2πijk/n j = 0,1,...,n− 1 (4.23)

Para, Γ(1), Ω1p = −Ω1

−p para p = 1,2,..., N −2 e como Ω10 = 0 pode-se escrever que αj = iλj

onde,

λj = − 2

∆t

N−2∑

k=1

Ω1k sin

[2πkj

n

]

j = 0,1,...,n− 1, (4.24)

e os correspondentes autovetores ortonormais vj , j = 0,1,...,n− 1 são,

(vj)k =1√ne−2πijk/n, k = 0,1,...,n− 1 (4.25)

Substituindo-se a Equação (4.22) na (4.15) obtém-se:

AEd2u

dx2− ρAΦΠ2Φ−1u = q (4.26)

Pré-multiplicando a Equação (4.26) por Φ−1, obtém-se:

AEd2(Φ−1u)

dx2− ρAΠ2(Φ−1u) = Φ−1q. (4.27)

4.2. FORMULAÇÃO DO ELEMENTO ESPECTRAL 45

Desta forma podemos reescrever a Equação (4.27) como,

AEd2u

dx2− ρAΠ2u = q. (4.28)

onde, u = Φ−1u e q = Φ−1q.

Assim, pode-se reescrever a Equação (4.28) da seguinte forma,

AEd2u

dx2+ ρAλj

2u = q (4.29)

Comparando-se a equação diferencial governante do WSFEM (Equação 4.29) com a corres-

pondente do SEM, dada por (Pereira, 2009):

AEd2u

dx2+ ρAωj

2u = q, (4.30)

observa-se que a única diferença nas formulações são os números de onda k, onde para o método

WSFEM é dado por,

k = λj

( ρ

E

)1/2

, (4.31)

enquanto para o método SEM o número de onda é dado por,

ks = ωj

( ρ

E

)1/2

. (4.32)

4.2 Formulação do Elemento Espectral

Para a solução do sistema de equações diferenciais ordinárias desacopladas dada pela Equa-

ção (4.29), uma abordagem via elementos espectrais é adotada. Estas equações são necessárias para

a solução de uj e a real solução u(x,t) é obtida usando a transformada wavelet inversa. Na Figura

4.2 é mostrado um elemento espectral para uma barra isotrópica que possui dois nós e somente

um grau de liberdade longitudinal que é igual ao deslocamento uj , são ilustrados os deslocamentos

nodais u1 e u2 com suas respectivas forças nodais F1 e F2.

O deslocamento longitudinal para a barra pode ser escrito a partir da solução homogênea da


Figura 4.2: Elemento espectral de barra elementar

Equação (4.29), dada por,

u(x) = C1e−ikx + C2e

−ik(L−x), (4.33)

onde k é o número de onda correspondente ao modo axial, L é o comprimento da barra, C1 e C2

são constantes determinadas a partir das condições de contorno da barra. Inserindo as condições de

contorno em cada nó do elemento, ou seja, para o nó 1, x = 0, e para o nó 2, x = L, obtém-se,

u(0) = u1 = C1 + C2e−ikL, (4.34)

u(L) = u2 = C1e−ikL + C2, (4.35)

Em que u1 e u2 são os deslocamentos nos nós 1 e 2, respectivamente. O deslocamento em

qualquer ponto da barra é obtido multiplicando-os pelas funções de forma g1 e g2

u(x) = g1(x)u1(x) + g2(x)u2(x) (4.36)

onde, g1(x) e g2(x) são as funções de forma do elemento espectral de barra dadas por,

g1(x) =e−ikx − e−ik(2L−x)

1− e−i2kL, (4.37)

g2(x) =−e−ik(L+x) + e−ik(L−x)

1− e−i2kL. (4.38)

As forças nodais são obtidas substituindo-se a Equação (4.36) na Equação (4.3), temos então,

F (x) = AE[g′1(x)u1 + g′2(x)u2], (4.39)


as forças em cada nó do elemento espectral de barra estão relacionadas com o deslocamento da

seguinte forma:

F1 = −F (0) = −AE[g′1(0)u1 + g′2(0)u2], (4.40)

F2 = F (L) = AE[g′1(L)u1 + g′2(L)u2]. (4.41)

Usando as Equações (4.34), (4.35), (4.40) e (4.41), obtém-se a Matriz de Rigidez Dinâmica

de um elemento espectral de barra elementar com dois nós que é igual a [K]:

F1

F2

=EA

L

ikL

(1− e−i2kL)

[

1 + e−i2kL −2e−ikL

−2e−ikL 1 + e−i2kL

]

︸︷︷︸

K

u1

u2

(4.42)

Na Figura 4.3 é ilustrado o fluxograma dos cálculos necessários para a análise do fenômeno

de propagação de ondas em uma estrutura unidimensional através do método WSFEM, pode no-

tar a semelhança entre o WSFEM e o método dos elementos finitos- MEF no que diz respeito a

montagem do sistema de equações. As respostas no domínio do tempo para o método WSFEM são

obtidas através da aplicação da transformada wavelet inversa.m n o p q r s t u p v w u p t x vy s u o z u p t o t p w u vp | y v ~ p q x v p y p tu p t p s s w v s ~ | v m t y s u o z u p t t x vp v | p u p t s t p v | p ~ s w v s v p y p t u p s p o v s v y s tm tu s t p v | p u p t t x vy s t v u p t v w p s ~ u p p y zu s u s z w ~ p v o q x v u vt t s ~ p t ~ p y p v m s t | v t p t w v u v ~ w vu v s ~ | v t x v v u p tu s | v t u p p | p q x v u p y p w t v y ~ p u p p s s w s y t p w ¡ ~ s y v t u s v w u p

Figura 4.3: Fluxograma para os cálculos realizados

4.3. MODELO DO ELEMENTO ESPECTRAL SEMI-INFINITO PARA BARRA 48

4.3 Modelo do Elemento Espectral Semi-Infinito para Barra

A rigidez dinâmica para um elemento espectral do tipo barra semi-infinito é conhecida como

elemento “throwoff”, este modelo pode ser obtido a partir da consideração de que não existem

reflexões na extremidade infinita do elemento espectral elementar, (Pereira, 2009). Na Figura 4.4 é

exemplificado um modelo para o elemento espectral semi-infinito.

Figura 4.4: Modelo Elemento espectral de barra semi-infinito

De acordo com a teoria, para esse elemento não existem reflexões em uma das extremidades

do elemento, aqui nesse caso não haverá reflexão no nó 2 do elemento, desta forma o termo C2 na

Equação (4.33) torna-se igual a zero, C2 = 0, logo:

u(x) = C1e−ikx (4.43)

A constante C1 pode ser obtida a partir da condição de contorno do deslocamento nodal:

u(0) = u1 = C1 (4.44)

A partir da Equação (4.44), o deslocamento em qualquer ponto na barra semi-infinita pode

ser obtido através de:

u(x) = g1(x)u1(x) (4.45)

em que a função g1(x) é a função de forma para o elemento semi-infinito e é dada por:

4.4. ELEMENTO ESPECTRAL DE BARRA COM TRINCA 49

g1(x) = e−ikx (4.46)

Assim a relação entre a força e o deslocamento nodal é representada por:

F1 = ikEcAu1 (4.47)

em que o termo ikEcA representa a rigidez dinâmica do elemento espectral semi-infinito,

tendo como base o modelo elementar.

4.4 Elemento Espectral de Barra com Trinca

O modelo do elemento espectral de barra com uma trinca transversal não propagante em

uma determinada posição ao longo do elemento que será usado neste trabalho foi apresentado por

(Palacz, 2002). O elemento contém dois nós com um grau de liberdade de deslocamento por nó,

comprimento L, área da secção transversal A, a posição da trinca em relação ao nó 1 é igual a L1 e

a profundidade da trinca é expressa por a, como pode ser observado na Figura 4.5.

Figura 4.5: Elemento espectral de barra com trinca.

A solucão homogênea da Equação (4.33) pode ser re-escrita em duas partes, uma à esquerda

da trinca, u(x)E e outra à direita da trinca, u(x)D.


u(x)E = C1e−ikx + C2e

−ik(L1−x) para [0 6 x 6 L1] (4.48)

u(x)D = C3e−ik(x+L1) + C4e

−ik(L−(L1+x)) para 0 6 x 6 (L− L1) (4.49)

em que, C1, C2, C3 e C4 são constantes determinadas a partir das condições de contorno e

de compatibilidade dos deslocamentos e forças no elemento. As condições de contorno podem ser

escritas como:

Para o nó 1, coloca-se, x = 0 na Equação (4.48) e obtém-se o deslocamento:

u(0)E = u1 (4.50)

Para o nó 2, coloca-se, x = L− L1 na Equação (4.49) e obtém-se o deslocamento:

u(L− L1)D = u2 (4.51)

As condições de compatibilidade na posição da trinca podem ser determinadas em função do

comportamento dos deslocamentos na região trincada. A Figura 4.6 mostra um detalhe da secção

transversal da barra na região trincada onde observa-se que existem duas áreas bem definidas, uma

onde a trinca foi propagada e outra que permanece saudável. Considerando-se que a largura da

barra, b, é constante, a variacão destas áreas será função da variação da profundidade da trinca,

a, na direção y. Como pode-se notar os deslocamentos na região da trinca são diferentes quando

comparados com os deslocamentos da barra saudável.

Da Figura 4.6 pode-se notar que para a área da secção transversal da barra saudável os des-

locamentos nos lados esquerdo e direito da posição da trinca são iguais em módulo, a partir disso

as correspondentes deformações são obtidas através de:

∂u(x = L1)E

∂x=∂u(x = 0)D

∂x(4.52)


Figura 4.6: Detalhe da trinca e seção transversal do local da trinca.

Entretando, na área da secção transversal da barra trincada os deslocamentos nos lados es-

querdo e direito na posicão da trinca são diferentes. Então, essa diferença pode ser expressa como:

∆u = u(x = L1)E − u(x = 0)D (4.53)

Sabendo-se que:

∆u = cF (4.54)

onde, c é a flexibilidade local provocada pelo aparecimento da trinca. Substituindo-se a Equa-

ção (4.3) na Equação (4.54), obtém-se:

∆u = cEA∂u

∂x(4.55)

Definindo-se a variável θ = cEA e substituindo o seu valor na Equação (4.55), encontra-se:


∆u = θ∂u

∂x(4.56)

Substituindo-se a Equação (4.56) na Equação (4.53), encontra-se:

u(L1)E − u(0)D = θ

∂u

∂x(4.57)

Mas, é preciso definir ainda a variável θ em função da flexibilidade local c. O detalhamento

dessa definição será abordado na secção Flexibilidade da Trinca.

Portanto, substituindo-se as Equações (4.50), (4.51), (4.52) e (4.57) nas Equações (4.48) e

(4.49) e escrevendo as constantes em função dos deslocamentos na forma matricial tem-se que:

1 e−ikL1 0 0

(ikθ − 1)e−ikL1 (−1− ikθ) e−ikL1 e−ik(L−L1)

−ike−ikL1 ik ike−ikL1 −ike−ik(L−L1)

0 0 e−ikL 1

︸︷︷︸

D

C1

C2

C3

C4

=

u1

0

0

u2

(4.58)

A partir da obtenção da inversa da matriz D, podemos obter as constantes C1, C2, C3 e C4

em função dos deslocamentos nodais:

C1 = D−111 u1 +D−1

14 u2

C2 = D−121 u1 +D−1

24 u2

C3 = D−131 u1 +D−1

34 u2

C4 = D−141 u1 +D−1

44 u2

(4.59)

em que D−1ij são os elementos da matriz D−1.

As forças nodais do elemento espectral de barra trincado são F1 = F (x = 0) e F2 = F (x =

L1), então pode-se reescrever-las na forma matricial como:


F1

F2

= EcA

[

ik −ike−ikL1 0 0

0 0 −ike−ikL ik

]

︸︷︷︸

M

C1

C2

C3

C4

(4.60)

Substituindo as constantes C1, C2, C3 e C4 na Equação (4.60), temos:

F1

F2

= KT

u1

u2

(4.61)

em que, KT é nomeada como a Matriz de Rigidez Dinâmica para o elemento espectral de

barra trincado com dois nós. Podemos obter essa matriz a partir da Equação (4.58) e (4.60) ela é

expressa como:

KT =

e−ik(L+2L1)k(e2ikL(−i)kθ+e4ikL1 ikθ+e2ik(L+L1)(ikθ+2)+e2ikL1 (2−ikθ))2(kθ(cos(kL)+cos(k(L−2L1)))+2 sin(kL))

− 2kkθ(cos(kL)+cos(k(L−2L1)))+2 sin(kL)

− 2kkθ(cos(kL)+cos(k(L−2L1)))+2 sin(kL)

−k(kθ(sin(kL)+sin(k(L−2L1)))−2 cos(kL))kθ(cos(kL)+cos(k(L−2L1)))+2 sin(kL)

]

(4.62)

O deslocamento em um ponto qualquer do elemento de barra pode ser obtido através da

relação da Equação (4.59) com as Equações (4.48) e (4.49) e pode ser escrita como:

u(x)E = (D−111 u1 +D−1

14 u2)e−ikx + (D−1

21 u1 +D−124 u2)e

−ik(L1−x) (4.63)

u(x)D = (D−131 u1 +D−1

34 u2)e−ik(x+L1) + (D−1

41 u1 +D−144 u2)e

−ik(L−(L1+x)) (4.64)

sendo que u(x)E vale para o intervalo x 6 L1 e u(x)D vale para o intervalo x > L1.


4.4.1 Flexibilidade da Trinca

A flexibilidade c na posição da trinca, para um elemento espectral de barra pode ser encon-

trado aplicando o teorema de Castigliano (Tada, 2000):

cij =∂2U

∂Si∂Sj

(4.65)

em que U descreve a energia de deformação elástica do elemento, proporcionado pela pre-

sença da trinca e S descreve as independentes forças nodais que atuam no elemento.

Um trinca pode ser submetida a três modos básicos de carregamento como mostra a Figura

4.7, denominados por modo I, II e III. O modo I é denominado trinca de tração normal, o modo

II é denominado trinca de cisalhamento plano e o modo III trinca de cisalhamento antiplano. A

superposição destes três modos básicos de abertura de trinca é suficiente para caracterizar qualquer

caso de deslocamento de superfície de trinca

Figura 4.7: Modos fundamentais de deslocamento na superfícies da trinca (Pereira, 2009).

A energia de deformação elástica devido à presença da trinca pode ser escrita da seguinte

maneira:

U =1

E

∫

Ac

K2I dAc (4.66)

onde Ac representa a área da trinca e KI denota o valor do fator de intensidade de tensão,

correspondente ao primeiro modo de tensão da formação da trinca (Tada, 2000).


O fator de intensidade de tensão é definido como:

KI =F

bh

√

πAcf(a

h

)

(4.67)

em que b e h são a base e altura da secção transversal da barra, respectivamente, e f(ah

)é

uma função de correção definida no trabalho do (Tada, 2000). Essa função pode ser expressa da

seguinte maneira:

f(a

h

)

=

√

tan(πa/2h)

πa/2h

(0,725 + 2,02(a/h) + 0,37[1− sin(πa/2h)]3

cos(πa/2h)

)

(4.68)

Das Equações (4.65), (4.66) e (4.67) é obtida a flexibilidade do elemento que pode ser escrita

como:

c =2π

Eb

∫ a

0

αf(α)2dα (4.69)

onde α é a profundidade da trinca relativa definida como α = a/h. Com isso, a partir do

valor de θ = cEcA, podemos obter o valor de θ para a teoria elementar de barra que fica definido

como:

θ = 2πh

∫ a

0

αf(α)2dα (4.70)

CAPÍTULO 5. RESULTADOS SIMULADOS 56

5 RESULTADOS SIMULADOS

Para as simulações numéricas foi considerada uma barra saudável com comprimento de L =

3 m, altura h = 0,02 m e largura b = 0,02 m e uma barra com uma trinca na posição L1 =

1,5 m com as mesmas propriedades da barra saudável. As propriedades do material da barra são:

módulo de elasticidade, E = 210 GPa; densidade, ρ = 7850 kg/m3; e fator de amortecimento

histerético, η = 0,01. Neste trabalho é introduzido um termo de amortecimento através da aplicação

de um módulo de elasticidade complexo, Ec = E(1 + iη), onde η é o fator de perda para um

amortecimento estrutural interno histerético. As respostas foram analisadas na faixa de frequências

de [0,fnyq], levando em consideração a discretização temporal. Todos os códigos computacionais

foram desenvolvidos em Matlab.

5.1 Barra Elementar

Para a validação dos programas elaborados, foi primeiramente feita uma análise para o nú-

mero de onda para a barra saudável. Os métodos SEM e WSFEM foram implementados para uma

barra elementar, foi usada a wavelet de Daubechies com ordens iguais a N = 6 e N = 22 para o

método WSFEM, os resultados foram comparados para quatro diferentes discretizações no tempo,

as discretizações usadas foram iguais a ∆t = 1µs, ∆t = 2µs, ∆t = 4µs e ∆t = 8µs. Para cada

discretização a frequência de Nyquist é igual a (fnyq = 500 kHz), (fnyq = 250 kHz), (fnyq = 125

kHz) e (fnyq = 62,5 kHz). A banda de frequência usada foi [0 : fnyq = 1/2∆t]. O comportamento

do número de onda adimensional para cada discretização temporal é ilustrado nas Figuras 5.2, 5.4,

5.6 e 5.8. Em cada Figura é feita uma comparação entre os resultados obtidos através dos métodos

SEM e WSFEM, também é comparado os resultados com o valores obtidos no artigo de (Mitra,

2006a), nota-se em cada caso que existe uma porcentagem pN em que os dois métodos têm os

mesmos valores, essa porcentagem pN muda assim que aumentamos a ordem da wavelet usada,

ou seja, pN varia apenas com a ordem da wavelet aplicada N . Verifica-se para o primeiro caso

que, para ordem da wavelet N = 6 a correspondência entre os métodos é igual a pN = 36% já

para a ordem da wavelet N = 22 essa porcentagem aumenta significamente para pN = 60%, isso

significa que para N = 6 os métodos WSFEM e SEM calculam resultados praticamente iguais até

a frequência de 180kHz, já para N = 22 os resultados convergem até a frequência de 300kHz. Esta

limitação resulta da perda da resolução em frequência devido à melhoria na resolução do tempo em

análise wavelet, onde as funções de base são limitadas no tempo e frequência. Na Figura 5.10 é feita

uma comparação entre os valores da frequência circular ωj , que é a base para aplicação do método

5.1. BARRA ELEMENTAR 57

que usa a trasformada de Fourier, SEM, e as frequências calculadas pelo método WSFEM, cujo

valores são encontrados através da Equação (4.24), este estudo também ajuda a determinar a taxa

de amostragem exigida, dependendo do conteúdo da força de excitação e da ordem da wavelet base.

Figura 5.1: Número de onda adimensional para amostragem de 1µs, (Mitra, 2006a).

Figura 5.2: Número de onda adimensional para amostragem de 1µs


Figura 5.7: Número de onda adimensional para amostragem de 8µs, (MITRA, 2006a).



Figura 5.9: Comparação entre ωj e λj , (MITRA, 2006a).

Figura 5.10: Comparação entre ωj e λj


Após a análise feita para o número de onda comparando os dois métodos estudados neste

trabalho, foi feita a análise da propagação de ondas em uma barra isotrópica saudável e outra

barra com trinca, visando a detecção da trinca através dos métodos propostos. A barra saudável

é modelada com um elemento espectral de barra elementar de dois nós conectada a um elemento

de barra semi-infinito Figura 5.11a e a barra trincada é modelada com um elemento espectral com

trinca de dois nós conectada a um elemento espectral semi-infinito Figura 5.11b.

Figura 5.11: Modelo das estruturas simuladas: (a) Barra saudável ; (b) Barra trincada.

Os dois modelos foram excitados no nó 2, os deslocamentos, velocidades e acelerações foram

obtidos para os dois nós, a Figura 5.12 ilustra a aplicação da força de excitação.Ambas estruturas

são simuladas para condição de contorno livre-livre.

Figura 5.12: Ilustração da aplicação da Força de excitação no guia de onda.

A força de excitação é uma onda senoidal com frequência igual a 40 kHz que foi modulada

por uma janela do tipo Hanning, na literatura esse tipo de sinal se denomeia como um sinal tone

burst. Na Figura 5.13 é mostrada uma senóide e a janela do tipo Hanning que é aplicada no sinal.


(a) Sinal senoidal (b) Janela de hanning aplicada

Figura 5.13: Onda senoidal com frequência de 40 kHz e a janela hanning aplicada.

Na Figura 5.14 é ilustrado o sinal tone burst obtido, esse é o sinal que irá ser aplicado ao guia

de onda, também é apresentada a transformada de fourier do sinal, sinal esse que é usado na formu-

lação dos elementos espectrais (SEM), para a o método WSFEM o sinal janelado é transformado

através da transformada wavelet. A transformada wavelet pode ser uma alternativa em relação à

transformada de Fourier para a transformação dos sinais do domínio do tempo para o domínio da

frequência .

(a) Sinal janelado (b) Sinal no domínio da frequência

Figura 5.14: Sinal de excitação tone burst de 40 kHz e sua representação na frequência.

Na Figura 5.15a é ilustrada a aceleração obtida para o nó 1 da barra saudável, obtida através

da excitação no nó 2, aqui não foi considerado o elemento semi infinito conectado no nó 2, nota-se

fazendo um zoom na reflexão, observado na Figura 5.15b, que para o método WSFEM comN = 22

os resultados são mais precisos que quando calculados para a ordemN = 6, ou seja, quanto maior a

ordem da wavelet mais os resultados convergem para os resultados encontrados através do método

SEM, a partir dessa análise vão ser considerados para os posteriores cálculos somente os resultados

calculados fazendo-se a ordem da wavelet de Daubechies igual a N = 22. A escolha da ordem

N das wavelets de Daubechies para uso neste trabalho foi baseada nas pesquisas de (Mitra, 2010)


onde o autor desenvolveu o método -WSFEM, através da aplicação das waveletes de Daubechies

com ordens iguais aN = 6 eN = 22, com isso, pode-se comparar os resultados deste trabalho com

as pesquisas já implementadas. A formulação para o SEM periódico desenvolvida neste trabalho

pode ser encontrada em (Doyle, 1989), ela é bastante semelhante a formulação do WSFEM, a

semelhança entre os dois métodos pode ser notada nos resultados encontrados.

(a)

(b)

Figura 5.15: Respostas em aceleração obtidas ao longo da barra a) Aceleração para o nó 1 barrasaudável b) Zoom feito na reflexão.

Na Figura 5.16 é feita a comparação para as acelerações obtidas no nó 2 para os dois métodos,

aqui já com o elemento semi-infinito conectado ao nó 2, através da aplicação da força de excitação

do tipo tone burst no nó 2, observa-se que os resultados são bem semelhantes. A Figura 5.16a mostra

a resposta para o modelo de estrutura saudável, o primeiro pulso se refere à força de excitação e o

segundo pulso é devido à reflexão da onda na extremidade esquerda da barra, ou seja, no nó 1. A


Figura 5.16b mostra a resposta para o modelo de estrutura com trinca de 40% da altura h. Nota-se

claramente um primeiro pulso que é devido a força de excitação, em seguida surge um segundo

pulso, este devido à presença da trinca na estrutura, o terceiro pulso é devido à reflexão no nó 1

e o quarto pulso é também devido à presença da trinca que está localizada no centro da barra, a

diminuição da amplitude se deve ao amortecimento do material que neste trabalho é, η = 0,01.

(a) Acelerações para o nó 2 para barra saudável.

(b) Acelerações para o nó 2 para barra com trinca.

Figura 5.16: Respostas obtidas no nó 2 para a força de excitação descrita. a) estrutura saudável b)estrutura trincada.

Foi observado que mesmo com a implementação do método- WSFEM para o estudo do

fenômeno de propagação de ondas em uma barra, as respostas encontradas apresentavam algumas

características das respostas obtidas através da aplicação do método SEM que usa a transformada

de Fourier e que possui como uma de suas características a periodicidade, pode-se notar na Figura

5.17 que as respostas obtidas para as acelerações apresentam o fenômeno de "desdobramento", ou

seja, uma parte do final do sinal onde está o terceiro pulso que está representado pela cor azul é

deslocada para o inicio do sinal e junta-se ao primeiro pulso, este resultado mostra que ainda existe

algumas características do método WSFEM que não foram encontradas neste trabalho, sendo esse


uma característica relevante para a elaboração de pesquisas futuras na área. Esse fenômeno não

deveria acontecer quando se usa o método WSFEM, pois, as wavelets possuem propriedades como

a não periodicidade que eliminariam o problema de periodicidade que a transformada de Fourier

apresenta.

(a) Acelerações para barra SEM.

(b) Acelerações para barra WSFEM N = 6.

(c) Acelerações para barra WSFEM N = 22.

Figura 5.17: Respostas em aceleração com desdobramento de parte do sinal para o inicio. a) SEMb) WSFEM com N = 6 c) WSFEM com N = 22.


Foi feita uma comparação entre as respostas das estruturas saudáveis e com trinca, para trin-

cas com 30% e 40% da altura h da secção tranversal da barra, com a finalidade de analisar a in-

fluência do crescimento do dano na estrutura analisada por meio da propagação de ondas elásticas,

notou-se que quando menor a trinca menores serão os movimentos de reflexão representados em

suas amplitudes. A Figura 5.18 ilustra as acelerações obtidas no nós 1 e 2 da estrutura saudável

através do WSFEM, o primeiro pulso em azul, refere-se ao sinal de excitação aplicado na estrutura,

o segundo pulso em vermelho representa a resposta no nó 1, percebe-se que este sinal não sofre

reflexão devido à presença do elemento semi-infinito conectado ao nó 2.

(a)

(b)

(c)

Figura 5.18: Respostas em aceleração obtidas através da excitação Tone Busrt aplicada. a) Estruturasaudável, b) Estrutura com trinca de 30%, c) Estrutura com trinca de 40%.


É possível, conhecendo-se a velocidade de propagação da onda e as possíveis mudan-

ças na sua forma de propagação, determinar a posição da trinca na barra. Uma possibilidade é

interpolando-se a resposta ao longo do comprimento da estrutura para diferentes instantes de tempo.

Nas Figuras 5.19, 5.20 e 5.21 são ilustradas as respostas para as acelerações da estrutura saudável

e da estrutura com trinca, para as trincas localizadas nas posições 0,75m, 1,5m e 2,1m, respecti-

vamente, onde as respostas foram calculadas nos nós 1 e 2 do elemento e em seguida interpoladas

ao longo do comprimento do mesmo, é possível observar que o sinal refletido da trinca é absorvido

pelo elemento semi-infinito evitando posteriores reflexões, foi usanda uma discretização espacial

de 0,01m, quando a onda se propaga pela estrutura e passa pelo localização da trinca a mesma é

refletida, foram implementadas as animações gráficas para localizar a trinca na estrutura, onde fica

mais fácil a visualização exata do momento da reflexão na trinca.

(a)

(b)

Figura 5.19: Respostas em aceleração obtidas ao longo da barra. a) Estrutura saudável, b) Estruturacom trinca em 0,75m


(a)

(b)


Para medir o tempo exato em que ocorre a identificação da presença da trinca basta utilizar

a velocidade de propagação da onda elástica na barra. Lucena (2015) faz um estudo para detecção

de danos em barras usando o método do tempo reverso, onde ele aplica o método dos elementos

espectrais para propagação de ondas e encontra resultados similares a este trabalho, sendo que neste

trabalho o fenômeno de propagação de ondas foi modelado através do método WSFEM.


(a)

(b)


Na Figura 5.22 são plotadas as FRFs de receptância para o método (SEM) e o método (WS-

FEM), foi usada uma discretização igual a ∆f = 10, as ordens da função wavelet analisadas foram

iguais aN = 6 eN = 22, percebe-se que existe uma certa porcentagem pN em que os dois métodos

têm os mesmos valores, essa porcentagem pN muda assim que aumentamos a ordem da wavelet

usada, ou seja, pN varia apenas com a ordem da wavelet aplicada N . Verifica-se para o primeiro

caso que, para ordem da wavelet N = 6 a correspondência entre os métodos é igual a pN = 36%

já para a ordem da wavelet N = 22 essa porcentagem aumenta significamente para pN = 60%,

isso significa que para N = 6 os métodos WSFEM e SEM calculam resultados praticamente iguais


até a frequência de 1800Hz, já para N = 22 os resultados convergem até a frequência de 3000Hz,

essas porcentagens são semelhantes aquelas encontradas para os números de onda.

Figura 5.22: FRFs para os dois métodos

CAPÍTULO 6. CONCLUSÃO E SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS 72

6 CONCLUSÃO E SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS

Neste trabalho foi formulado e avaliado o Método dos Elementos Espectrais usando a Trans-

formada Wavelet (WSFEM) para o estudo do fenômeno de propagação de ondas em uma barra

elementar saudável e em uma barra com trinca, foi feita a detecção da imperfeição estrutural atra-

vés das observações das reflexões devido à presença da trinca nas respostas das acelerações obtidas.

A trinca foi modelada no centro da barra.

Tanto a barra saudável como a barra com trinca foram modeladas com um elemento semi-

infinito acoplado ao nó 2 da estrutura.

Uma das diferenças entre o método SEM e o método WSFEM é que o método WSFEM

faz uso da transformada wavelet para reduzir as equações diferenciais parciais para as equações

diferenciais ordinárias.

O método dos elementos finitos envolve um grande número de elementos para a solução

de propagação de ondas em médias e altas frequências ao passo que o métodos WSFEM e SEM

envolvem apenas um único elemento espectral para a solução do mesmo problema.

Foram obtidos os deslocamentos e as acelerações para uma barra elementar saudável e para

uma barra com trinca em que foi aplicada uma força de excitação do tipo tone burst, os resultados

foram calculados no dominio do tempo e no dominio da frequência, para o método do elemento

espectral(SEM) foi usada a transformada de Fourier para a transformação de domínio, já para o mé-

todo (WSFEM) foi usada a transformada wavelet, com as wavelets de Daubechies sendo escolhidas

devido as suas propriedades, notou-se que os resultados são semelhantes.

Os procedimentos propostos e verificados neste trabalho foram desenvolvidos e simulados

em um código numérico implementados em ambiente Matlab.

A validação dos programas elaborados foi realizada através da comparação dos resultatos

com a literatura encontrada.

Como sugestão para continuidade deste trabalho sugerem-se:

Aplicação do método WSFEM para guias de onda de duas ou mais dimensões com modelos

CAPÍTULO 6. CONCLUSÃO E SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS 73

mais complexos;

Modelar estruturas com características compósitas, com diversas imperfeições estruturais

para a aplicação no estudo da integridade estrutural das estruturas;

Avaliar a aplicação dos métodos WSFEM em guias de onda com características de metama-

teriais fotônicos, fonônicos e em nanomateriais.

Implementar o método WSFEM usando outros tipos de wavelets.

CAPÍTULO 7. PUBLICAÇÕES GERADAS NESTE TRABALHO 74

7 PUBLICAÇÕES GERADAS NESTE TRABALHO

Artigo aceito para publicação em anais de congresso:

Cantanhêde, H. V., Dos Santos, J. M. C., "Wave propagation in a one-dimensional struc-

ture using wavelet spectral finite element", 23rd ABCM International Congress of Mechanical

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