estudo de um sistema de controle ativo de
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INPE-9780-TDI/862
ESTUDO DE UM SISTEMA DE CONTROLE ATIVO DEPRECESSÃO PARA FOGUETES DE SONDAGEM
Michel Silas Guilherme
Dissertação de Mestrado em Engenharia e Tecnologia Espaciais/Mecânica Espacial eControle, orientada pelo Dr. Waldemar de Castro Leite Filho,
aprovada em 27 de agosto de 2001.
INPESão José dos Campos
2003
629.7. 062 . 2
GUILHERME, M. S. Estudo de um sistema de controle ativo de precessão para foguetes de sondagem / M. S. Guilherme. – São José dos Campos: INPE, 2001. 149p. – (INPE-9780-TDI/862).
1.Precessão. 2.Controle ativo. 3.Controle de atitude. 3.Foguetes de sondagem. 4.Guiagem (movimento). I.Título.
...Amigo é coisa pra se guardar
debaixo de sete chaves,
dentro do coração...
MILTON NASCIMENTO E FERNANDO BRANT
A minha avó,
Terezinha.
AGRADECIMENTOS
Ao Dr. Waldemar de Castro Leite Filho, por sua competência, compreensão
e dedicação na orientação deste trabalho. Sinto-me muito honrado por ter-lhe
conhecido e sido orientado por ele. É um exemplo de profissional que faz o seu
trabalho sempre preocupado com o progresso.
Aos membros da banca pela análise e sugestões deste trabalho.
Aos colegas Adjame, pelos incentivos e por ajudar na solução de alguns
problemas, Adenilson por ter-me ajudado na iniciação ao Matlab, a Jocenice por
alertar na incoerência de alguns erros gramaticais, e ao Prof. Marcelo Lopes por
ajudar-me na elucidação de alguns problemas.
A todos os grandes colegas que conheci no INPE, especialmente Cassio e
Ricardo.
Aos amigos que colaboraram pelo desenvolvimento deste trabalho,
encorajando-me a atingir o objetivo. Principalmente os que encontrei em São José
dos Campos.
RESUMO
Durante o vôo de um foguete de sondagem surgem várias perturbações,sendo as mais expressivas advindas de desvio de jato, desbalanceamentodinâmico e separação de estágios, que induzem movimento de precessão sobre oveículo, apesar da estabilização por rotação. Dependendo da sua amplitude, estemovimento pode ser prejudicial para uma missão espacial. Devido a isso, estetrabalho mostra os estudos de um sistema de controle ativo para estacionar omovimento de precessão numa amplitude satisfatória, que não resulte emproblemas para o objetivo da missão espacial. O sistema de controle estudado éproporcional à velocidade angular do sistema de referência do corpo do veículo.Deste sistema de controle proposto, estudou-se o caso de controle de um e doiseixos. Para o caso do controle de um eixo propôs-se a estratégia de defasar o eixosensor do eixo de atuação, de um certo ângulo. Isto resulta numa diminuição desensores e atuadores do sistema de controle embarcado. Verificou-se que esteângulo é sensível à rotação induzida e à orientação da entrada de perturbaçãosobre o veículo. Por fim, estudou-se o caso do sistema de controle proporcionalcom atuador liga-desliga (on-off). Este se mostrou bastante satisfatório emresolver o problema da precessão e ainda apresentou vantagens em relação aosistema de controle proporcional com atuador proporcional.
A STUDY OF AN ACTIVE PRECESSION CONTROL SYSTEM (SCAP)
FOR SOUNDING ROCKETS
ABSTRACT
During the flight of a spacecraft there will be various sources of
perturbations, where the most expressive are jet misalignment, dynamic
unbalance, stages separation, that induce a precession motion, in spite of the spin
stabilization. This motion, whose amplitude is proportional to the magnitude of the
perturbation, can become catastrophic, ultimately leading to mission abort. To
ensure that the precession motion remains within prescribed limits a control law
proportional to the angular velocities in the body frame was proposed. A control
system of one and two axes was studied. On the one axis control system the
strategy of misalignment between sensor and actuators was studied. This strategy
implies in reducing the number of sensors and actuators of the control system. It
was observed that the angle is sensible to the spin and disturbance orientation.
Finally, a control system with an on-off actuator was studied. It shown to be very
satisfactory, in respect to the amplitude of the precession motion and control
torque, and present advantages in comparison with the control system with
proportional actuator.
SUMÁRIO
Pag.
LISTA DE FIGURAS.......................................................................................... 15
LISTA DE TABELAS......................................................................................... 21
CAPÍTULO 1 - APRESENTAÇÃO....................................................................... 23
1.1 - Introdução............................................................................................ 23
1.2 - Motivação............................................................................................. 27
1.3 - Revisão Bibliográfica............................................................................ 28
1.4 - Organização do Trabalho..................................................................... 33
CAPÍTULO 2 - EQUAÇÕES DE MOVIMENTO........................................................ 35
2.1 - Sistemas de Referência....................................................................... 35
2.2 - Movimento rotacional de um corpo rígido............................................ 36
2.2.1 - Movimento de um corpo rígido eixo-simétrico livre de torque
externo............................................................................................ 37
2.2.2 - Movimento de um corpo rígido eixo-simétrico sujeito a um torque
externo constante.............................................................................. 44
CAPÍTULO 3 - SISITEMA DE CONTROLE............................................................ 49
3.1 - Leis de Controle................................................................................... 49
3.2 - Controladores....................................................................................... 49
3.3 - Sistemas de controle proporcional com atuador proporcional............. 51
3.3.1 - Realimentação nas componentes de velocidade angular................. 53
3.3.1.1 - Perturbação em apenas um eixo (y).............................................. 53
3.3.2 - Realimentação de apenas uma componente de velocidade
angular........................................................................................... 78
3.3.2.1 - Perturbação na direção do eixo y.................................................. 79
3.3.2.2 - Perturbação na direção do eixo.z.................................................. 99
3.4 - Conclusão............................................................................................ 112
CAPÍTULO 4 - VARIAÇÃO DA PERTURBAÇÃO E DA ROTAÇÃO............................. 115
4.1 - Variação da Perturbação..................................................................... 115
4.2 - Variação da Rotação............................................................................ 120
4.3 - Conclusão............................................................................................ 126
CAPÍTULO 5 – SISTEMA DE CONTROLE PROPORCIONAL COM ATUADOR
ON-OFF.............................................................................. 127
5.1 - Realimentação de duas componentes de velocidade angular............. 127
5.2 - Realimentação de apenas uma componente de velocidade angular.. 132
5.3 - Conclusão............................................................................................ 135
CAPÍTULO 6 - CONCLUSÃO E COMENTÁRIOS.................................................... 137
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS....................................................................... 139
APÊNDICE A - CINEMÁTICA ROTACIONAL......................................................... 141
APÊNDICE B - PARÂMETROS UTILIZADOS........................................................ 145
APÊNDICE C – ARQUIVOS DE PROGRAMA DO MATLAB/SIMULINK...................... 147
LISTA DE FÍGURAS
Pág.
1.1 - Movimento de Precessão e nutação num pião............................................ 23
2.1 - Movimento de um corpo rígido, eixo-simétrico, na ausência de torque externo.......................................................................................................... 38
2.2 - Eixos principais do SRC e a rotação induzida em torno do eixo de simetria (eixo x)............................................................................................. 39
2.3 - Ilustração do movimento de precessão de um veículo espacial na ausência de torque externo.......................................................................... 41
2.4 - Componentes de velocidade angular y e z (SRC) do movimento rotacional de um corpo rígido na ausência de torque externo..................... 42
2.5 - Ângulos de Euler (psi e theta)...................................................................... 42
2.6 - Movimento de precessão regular, de um corpo rígido, na ausência de torque externo............................................................................................... 43
2.7 - Ilustração do movimento de precessão de um veículo espacial com torque externo preso ao corpo girante.......................................................... 46
2.8 - Componentes de velocidade angular y e z (SRC) do movimento de precessão rotacional de um corpo rígido com torque externo...................... 47
2.9 - Movimento dos ângulos de Euler, Psi e Theta, com atuação de torque externo.......................................................................................................... 47
2.10 - Gráfico de psi vs Theta. Movimento de precessão provocado por perturbação persistente, torque externo constante................................... 48
3.1 - Diagrama de blocos do sistema de controle com dois controladores e entrada de perturbação em apenas um eixo (y)........................................... 53
3.2 - Soma dos valores absolutos das amplitudes das equações de controle, para 0 < ky < 1,6............................................................................................ 58
3.3 - Tempo de atuação do sistema de controle e perturbação, para o caso impulsional................................................................................................... 59
3.4 - Gráfico da Eq. (3.16), referente à soma absoluta dos torques de controle nos dois eixos de atuação. Pico máximo de torque de 406,60 N.m. (controle atua 5s após a perturbação).......................................................... 60
3.5 - Ângulos de Euler ψ e θ................................................................................. 60
3.6 - Movimento de precessão estacionado em 5s após a atuação do sistema de controle. Amplitude de 3,66°.................................................................... 61
3.7 - Gráfico da Eq. (3.16), referente à soma absoluta dos torques de controle nos dois eixos de atuação. Pico máximo de torque de 396,10 N.m. (controle atua simultaneamente à perturbação)........................................... 61
3.8 - Ângulos de Euler ψ e θ................................................................................. 62
3.9 - Movimento de precessão estacionado em 5s após a atuação do sistema de controle. Amplitude de 0,75°.................................................................. 62
3.10 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC, com o sistema de controle atuando 5s após a entrada de perturbação............................. 63
3.11 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC, com o sistema de controle atuando simultaneamente à entrada de perturbação.............. 63
3.12 - Tempo de atuação do sistema de controle para perturbação degrau........ 68
3.13 - Torque de controle para entrada degrau. (Controle atua 3s após a entrada de perturbação). Pico máximo de torque de controle de 53,70 N.m.................................................................................................. 68
3.14 - Ângulos de Euler........................................................................................ 69
3.15 - Movimento de precessão com atuação do sistema de controle depois da atuação da perturbação. Amplitude de 0,15°........................................ 69
3.16 - Torque de controle para entrada degrau. (Controle atua simultaneamente à entrada de perturbação). Pico máximo de torque de controle de 53,70 N.m................................................................................. 70
3.17 - Ângulos de Euler........................................................................................ 70
3.18 - Movimento de precessão com atuação do sistema de controle simultânea à entrada de perturbação......................................................... 71
3.19 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC, com o sistema de controle atuando 3s após a entrada de perturbação.................................. 71
3.20 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC, com o sistema de controle atuando simultaneamente à entrada de perturbação................... 72
3.21 - Tempo de atuação do sistema de controle para perturbação degrau........ 73
3.22 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC, com o sistema de controle atuando de acordo com a Fig. (3.21a).......................................... 74
3.23 - Ângulos de Euler........................................................................................ 74
3.24 - Movimento de precessão com atuação do sistema de controle 3s após a entrada de perturbação. Amplitude de 0,14°........................................... 75
3.25 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC, com o sistema de controle atuando de acordo com a Fig. (3.21b).......................................... 75
3.26 - Ângulos de Euler........................................................................................ 76
3.27 - Movimento de precessão com atuação do sistema de controle simultânea à entrada de perturbação. Amplitude de 0............................... 76
3.28 - Em (a) são mostrados os eixos de atuação e os eixos sensores, ambos em y e z, e (b) é mostrado o eixo de atuação, em y, defasado de α do eixo sensor.................................................................................................. 78
3.29 - Diagrama de blocos do sistema de controle com um controlador e entrada de perturbação em apenas um eixo (y)......................................... 79
3.30 - Variação do primeiro e segundo picos com a variação do ângulo α, para ângulos de 0, 15, 30 e 45 graus................................................................. 84
3.31 - Amplitude de torque de controle com amplitude do primeiro e segundo picos de aproximadamente 521 N.m.......................................................... 86
3.32 - Torque de controle para perturbação impulsional (controle atua 5s após a perturbação). Pico máximo de torque de controle de 579,80 N.m.......... 87
3.33 - Ângulos de Euler (sistema de controle atua 5s após a entrada de perturbação)................................................................................................ 87
3.34 - Movimento de precessão com o sistema de controle atuando 5s após a entrada de perturbação. Amplitude de 3,43°.............................................. 88
3.35 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC. Sistema de controle atua 5s após a entrada de perturbação...................................................... 88
3.36 - Torque de controle para perturbação impulsional (controle atua simultaneamente à perturbação). Pico máximo de torque de controle de 521,80 N.m ................................................................................................ 89
3.37 - Ângulos de Euler (sistema de controle atua simultaneamente à entrada de perturbação)........................................................................................... 89
3.38 - Movimento de precessão com o sistema de controle atuando simultaneamente à entrada de perturbação. Amplitude de 0,70°............... 90
3.39 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC. Sistema de controle atua simultaneamente à entrada de perturbação....................................... 90
3.40 - Torque de controle para perturbação impulsional para um intervalo de tempo de 0 a 1s (Controle atua simultaneamente à perturbação). Pico máximo de torque de 521.40 N.m.............................................................. 91
3.41 - Torque de controle para entrada degrau. (Controle atua 3s após a entrada de perturbação). Pico máximo de torque de controle de 62,00 N.m................................................................................................... 93
3.42 - Ângulos de Euler........................................................................................ 94
3.43 - Movimento de precessão controlado (controle atua 3s após a entrada de perturbação). Amplitude de 0,46°.......................................................... 94
3.44 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC (controle atuando 3s após a entrada de perturbação).................................................................. 95
3.45 - Torque de controle para entrada degrau. (Controle atua simultaneamente à entrada de perturbação). Pico máximo de torque de controle de 62,10 N.m................................................................................................... 95
3.46 - Ângulos de Euler........................................................................................ 96
3.47 - Movimento de precessão controlado (controle atua simultaneamente à entrada de perturbação). Amplitude de 0°.................................................. 96
3.48 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC (controle atua simultaneamente à entrada de perturbação).............................................. 97
3.49 - Diagrama de blocos do sistema de controle com atuação em apenas um eixo (y), e perturbação no eixo z, perpendicular à atuação........................ 98
3.50 - Torque de controle para perturbação impulsional (controle atua 5s após a perturbação). Pico máximo de torque de controle de 519,50 N.m........ 102
3.51 - Ângulos de Euler (sistema de controle atua 5s após a entrada de perturbação).............................................................................................. 102
3.52 - Movimento de precessão com o sistema de controle atuando 5s após a entrada de perturbação. Amplitude de 3,78°............................................ 103
3.53 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC (controle atua 5s após a entrada de perturbação)................................................................ 103
3.54 - Torque de controle para perturbação impulsional (controle atua simultaneamente à entrada de perturbação). Pico máximo de torque de controle de 527,60 N.m............................................................................. 104
3.55 - Ângulos de Euler (sistema de controle atua simultaneamente à entrada de perturbação)......................................................................................... 104
3.56 - Movimento de precessão controlado (controle atua simultaneamente à perturbação). Amplitude de 0,79°............................................................. 105
3.57 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC (controle atua simultaneamente à entrada de perturbação)............................................ 105
3.58 - Torque de controle para perturbação degrau (controle atua 3s após a perturbação). Pico máximo de torque de controle de 82,10 N.m............. 107
3.59 - Ângulos de Euler...................................................................................... 108
3.60 - Movimento de precessão controlado (controle atua 3s após a perturbação). Amplitude de 0,15°............................................................. 108
3.61 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC (controle atua 3s após a entrada de perturbação)................................................................ 109
3.62 - Torque de controle para perturbação degrau (controle atua simultaneamente à perturbação). Pico máximo de torque de controle de 82,00 N.m............................................................................................ 109
3.63 - Ângulos de Euler...................................................................................... 110
3.64 - Movimento de precessão controlado (controle atua simultaneamente à perturbação). Amplitude de 0°.................................................................. 110
3.65 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC (controle atua simultaneamente à entrada de perturbação)............................................ 111
3.66 - Desvio do eixo longitudinal do veículo com o eixo do vetor momento angular. O ângulo δ é a amplitude do movimento de precessão.............. 112
4.1 - Variação da orientação da entrada de perturbação com o eixo de torque de controle (u é a amplitude total, igual a B).............................................. 114
4.2 - Gráfico da amplitude de controle versus variação do ângulo α para os seguintes ângulos de entrada de perturbação: 0°, 5°, 15°, 25°, 30°, 45°, 50°, 60°, 75° e 90°...................................................................................... 116
4.3 - Gráfico da amplitude de torque de controle versus variação do ângulo α para os seguintes ângulos de entrada de perturbação (0°, 5°, 15°, 25°, 30°, 45°, 50°, 60°, 75° e 90°), considerando ky = 1,6, constante................ 117
4.4 - Ampliação da Figura (4.3) para ângulos α entre -15° e 5°. Vale a seguinte simbologia para cada ângulo ϕ de entrada de perturbação o 0°, 5°, +15º, ∆30°, ∗45°, 60°, ◊75° e x90°............................................................ 118
4.5 - Gráficos de amplitude de torque de controle versus α, considerando diferentes valores de rotação induzida. Para todos os gráficos tem-se a seguinte simbologia para cada ângulo ϕ de entrada de perturbação o 0°, 5°, +15º, ∆30°, ∗45°, 60°, ◊75° e x90°................................................... 120
4.6 - A figura (a) é o gráfico de amplitude torque de controle (pico máximo de 581 N.m), e a figura (b) o movimento de precessão estacionado em 5s (amplitude de 0,74°), para o sistema de controle de um eixo (controle atua simultaneamente à entrada de perturbação), considerando rotação de 1 rps ( α = 7,5°, ky = 1,6, fixo, e kz = 0,209)........................................... 121
4.7 - A figura (a) é o gráfico de amplitude torque de controle (pico máximo de 584 N.m), e a figura (b) o movimento de precessão estacionado em 5s (amplitude de 0,74°), para o sistema de controle de um eixo (controle atua simultaneamente à entrada de perturbação), considerando rotação de 2 rps ( α = -3°, ky = 1,6, fixo, e kz = -0,084)............................................ 122
4.8 - A figura (a) é o gráfico de amplitude torque de controle (pico máximo de 586 N.m), e a figura (b) o movimento de precessão estacionado em 5s (amplitude de 0,75°), para o sistema de controle de um eixo (controle atua simultaneamente à entrada de perturbação), considerando rotação de 1 rps ( α = -5°, ky = 1,6, fixo, e kz = -0,139)............................................ 123
5.1 - Diagrama de blocos do sistema de controle de dois eixos com atuador on-off........................................................................................................... 125
5.2 - Componentes de velocidade angular do SRC. Atinge o estado estacionário em 2,5s................................................................................... 127
5.3 - Ângulos de Euler........................................................................................ 127
5.4 - Amplitude de torque de controle de 230 N.m. Freqüencia de abertura das vávulas de 2Hz..................................................................................... 128
5.5 - Movimento de precessão controlado para o sistema de controle on-off de dois eixos (controle atua simultaneamente à perturbação). Amplitude de 0,76°....................................................................................................... 128
5.6 - Diagrama de blocos do sistema de controle de um eixo com atuador on-off........................................................................................................... 130
5.7 - Componentes de velocidade angular do SRC. Atinge o estado estacionário em 2,33s................................................................................. 131
5.8 - Ângulos de Euler........................................................................................ 131
5.9 - Amplitude de torque de controle de 241,50 N.m. Freqüencia de abertura das vávulas de 2Hz..................................................................................... 132
5.10 - Movimento de precessão controlado para o sistema de controle on-off de um eixo (controle atua simultaneamente à perturbação). Amplitude de 0,70°.................................................................................... 132
LISTA DE TABELAS
Pág.
2.1 – Parâmetros para simulação da perturbação instantânea..............................34
2.2 – Parâmetros para simulação da perturbação constante.................................38
B.1 – Parâmetros para simulação das leis de controle.........................................117
23
CAPÍTULO 1
APRESENTAÇÃO
1.1 INTRODUÇÃO
Para entender melhor o que são movimentos de precessão e de nutação de um
veículo espacial, talvez o melhor exemplo é entender o movimento de um pião.
Exceto no caso particular quando o seu centro de gravidade está localizado
verticalmente acima do ponto de contato com a superfície, estará instável quando
estiver parado e tenderá a tombar. Se ele for colocado para girar em torno do seu
eixo longitudinal se sustentará na vertical e uma pequena perturbação externa irá
causar movimento de precessão e nutação, de acordo com a figura abaixo (Ball e
Osborne, 1967):
FIGURA 1.1 - Movimento de precessão e nutação num pião.
Deste modo, a ação de rotacionar o pião o converteu de um corpo estaticamente
instável para um corpo dinamicamente estável.
O mesmo acontece com um foguete de sondagem que se move no espaço, que é
o objeto de trabalho deste estudo, ou em suas mediações onde a força de arrasto
24
aerodinâmico seja desprezível. No caso do pião, os movimentos de precessão e
nutação são causados pela ação da força gravitacional. Já para o foguete, os
movimentos de precessão e nutação são causados por perturbações como
desbalanceamento dinâmico, desvio de jato e separações de estágios, como as
principais perturbações, que podem surgir antes, durante e depois da separação
do último estágio (Cornelisse, 1979). O último estágio do foguete de sondagem, o
qual contém uma carga útil, é rotacionado em torno do seu eixo longitudinal para
prever resistência a perturbações externas e prevenir desvios de trajetória. Isto é
chamado de estabilização giroscópica e é um método simples de estabilização,
largamente usado em foguetes e satélites.
A definição de movimentos de precessão e nutação deste trabalho diferencia da
definição da literatura de Mecânica Clássica como, Goldstein, 1950, e Greenwood,
1965, onde movimento de precessão e nutação são definidos para um corpo rígido
em rotação na ausência de torque externos. O presente trabalho segue, portanto,
a definição de movimentos de precessão e nutação de acordo com Wie, 1998, Ball
e Osborne, 1967. Segue também a definição de movimento de precessão de
Wertz, 1978, mas diferencia de sua definição de movimento de nutação.
Sob movimento de precessão e nutação o foguete pode incorrer em erro de
injeção do satélite em órbita e colisões no processo de separação do satélite do
último estágio. Daí a proposta de implantação de um sistema de controle ativo.
Este sistema de controle tem por objetivo estacionar o movimento de precessão e
reduzir sua amplitude.
Foram estudados sistemas de controle de realimentação proporcional com
atuadores proporcional ( Sistema de Controle Proporcional - SCP) e liga-desliga
(Sistema de Controle On-Off - SCOO), Bryson, 1994, através de jatos de gás frio.
Os estudos iniciaram-se com sistemas de controle com atuador proporcional, onde
foram estudadas e analisadas as estratégias de atuar em um e dois eixos. Após
as conclusões sobre o SCP foram estudadas as mesmas estratégias utilizando
atuadores on-off.
25
Da estratégia de atuar em um eixo estudou-se também os efeitos de desalinhar o
eixo de atuação do eixo sensor (único) de um ângulo α (Leite Filho, 1999). Isto
mostra-se uma situação mais adequada por diminuir o número de equipamentos
utilizados no sistema de controle embarcado, o que implica em aumento de carga
útil.
A atuação dos sistemas de controle é no sistema de referência do corpo, pois
fisicamente é o sistema de referência onde os atuadores estão localizados. No
entanto as soluções das equações desse sistema de referência não informam
sobre o fenômeno do movimento de precessão, o que leva a uma transformação
de coordenadas para um sistema de referência inercial. Serão usados os ângulos
de Euler para orientação do veículo espacial no sistema de referência inercial a
partir do sistema de referência do corpo.
De modo a analisar as equações de movimento analiticamente foram feitas
algumas considerações que simplificam o sistema em estudo, tais como:
- Os momentos de inércia transversais são iguais;
- A entrada de perturbação (torque externo) será considerada em apenas um
eixo para o sistema de controle de dois eixos (como o sistema de equações é
linearizado vale o princípio da superposição), e para o sistema de controle de
um eixo será considerada entrada de perturbação em cada eixo transversal,
separadamente.
Toda simulação foi feita no programa de computador Matlab/Simulink, de onde
obteve-se os resultados mostrados no presente trabalho.
26
27
1.2 MOTIVAÇÕES
O problema de implantar um sistema de controle ativo de precessão passa
primeiramente pela seguinte pergunta: porque colocar um sistema de controle
ativo para controlar os efeitos causados por perturbações quando o veículo
espacial estiver estabilizado por rotação e não colocar apenas controle ativo, sem
a necessidade de estabilizá-lo por rotação?
A resposta é: a energia necessária para estabilizar um veículo espacial (por
exemplo um foguete) para prevenir de erros de trajetória com sistema de controle
ativo é muito alta e o custo da operação é dispendioso, pois o sistema de controle
ativo requer um torque elevado. Isto necessita de muita energia embarcada,
resultando num aumento de combustível no foguete para transportá-lo. Além da
complicação de implementação devido ao computador de bordo necessário.
Dessa forma tem-se um menor gasto de energia se estabilizá-lo antes por rotação
para que, sob possíveis perturbações externas, não haver um desvio de sua
trajetória, e quando dessas perturbações surgir movimento de precessão, o
sistema de controle atuará.
Já a estabilização por rotação é um sistema de controle passivo que utiliza a
energia do estágio anterior. Este tipo de estabilização oferece rigidez giroscópica
ao veículo espacial e minimiza os efeitos causados por desvio de empuxo ou
desbalanceamento dinâmico. Assim, muitos veículos espaciais são estabilizados
por indução de rotação.
Portanto, um sistema de controle com a finalidade de controlar apenas precessão
não necessita de tanta energia quanto a energia necessária para controlar
também a trajetória de um veículo espacial.
28
1.3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Apesar da estabilização por rotação oferecer rigidez giroscópica a um veículo
espacial, muitos são os problemas, ou perturbações, que podem afetar a atitude
do veículo. Do conjunto de perturbações pode-se citar: - a variação de massa
(devido ao consumo de combustível, de maior relevância quando o veículo estiver
na fase propulsada) resultando em deslocamento do centro de gravidade; desvio
do vetor de empuxo resultando em torques perturbadores perpendiculares ao eixo
longitudinal; e separação de estágios. Da atuação desse conjunto de
perturbações, um dos principais fenômenos causados, o qual o presente trabalho
se preocupou em solucionar, é o fenômeno de precessão. Vários são os trabalhos
que se preocuparam com esse fenômeno. A seguir são apresentadas algumas
referências de alguns autores que estudaram o problema, diversificando-se no
enfoque de considerações e hipóteses.
Geralmente, na área da Mecânica espacial, um veículo espacial é considerado
como um corpo rígido, ou quase-rígido, sendo as equações de movimento as
equações de Euler do movimento rotacional, derivada em 1758 por Leonard Euler
(1707-1783). Essas equações formam a base para o estudo da determinação de
atitude de um veículo espacial, as quais são utilizadas em todos os textos citados
adiante.
O estudo dos efeitos de perturbação sobre um veículo espacial estabilizado por
rotação tem como um de seus pioneiros Jarmolow (1957). Ele estudou a dinâmica
de um veículo sob a ação de um torque perturbador variável, perpendicular ao
eixo longitudinal, e variação do centro de gravidade, devido ao consumo de
combustível. Ele concluiu que o movimento de precessão do veículo com torque
perturbador e momentos de inércia variáveis difere bastante do movimento com
essas propriedades constantes, e que o primeiro deve ser usado como critério de
projeto mais realístico. No presente trabalho foi usado o resultado do movimento
de precessão sob perturbações constantes obtidos pelo autor acima, e não se
preocupou com movimento sob variação de perturbação e de massa, visto que foi
preciso um sistema de estudo mais simplificado para iniciar os estudos para
29
proposta de implantação de um sistema de controle no veículo. Entende-se,
entretanto, que as considerações feitas por Jarmolow é de grande importância e
deve ser, portanto, considerada numa possível implantação real do sistema de
controle.
Suddath (1960) apresenta os resultados de um estudo teórico do movimento
angular de corpos rotacionados no espaço. Seu estudo considera um veículo com
momentos de inércia constantes, movimento de rotação constante e com
pequenos deslocamentos angulares no sistema de referência inercial. Considerou-
se também torque de perturbação constante (degrau), perpendicular ao eixo
longitudinal do veículo, e observou que o movimento residual do tempo que a
perturbação inicia sua atuação até o tempo que deixa de atuar é muito sensível.
Este movimento residual significa desvio angular entre o eixo do vetor momento
angular com o eixo longitudinal do veículo (movimento de precessão considerado
no presente trabalho), e para reduzir este desvio ele apresenta a proposta de um
sistema de controle proporcional, o qual se mostra mais vantajoso para um veículo
espacial em forma de lápis do que de disco. Dois resultados mostrados por esse
autor são de grande importância para o presente trabalho: a sensibilidade no
tempo em que a perturbação constante deixa de atuar sobre o veículo e a
característica do sistema de controle proporcional ser mais vantajoso para um
veículo espacial em forma de lápis, que é o exemplo de veículo espacial utilizado
nesse estudo.
Seguindo essa linha de estudo, Martz (1963) apresenta um método para
aproximar o movimento de um veículo espacial com simetria em torno do eixo
longitudinal, estabilizado por rotação, no vácuo, com variações da rotação e da
inércia. O método consiste em dividir o problema em intervalos, durante os quais
as variáveis dependentes do tempo são assumidas como seus valores médios
durante aquele intervalo. As perturbações consideradas por ele são: variação do
desalinhamento do vetor de empuxo no tempo; desbalanceamento de massa e
amortecimento devido á variação de jato. Este método de estudo lhe permitiu
conhecer os efeitos de cada perturbação no movimento do veículo,
individualmente. Todos esses efeitos causam movimento de precessão sobre o
30
veículo. A conclusão a que ele chegou foi que a amplitude de movimento de
precessão é proporcional à magnitude das perturbações nos eixos transversais
(que são considerados assimétricos) e não pode ser amenizada, quando o veículo
possuir desbalanceamento de massa, induzindo rotação sobre o veículo. Deste
autor, foi usada a definição de movimento de precessão além dos resultados
apresentados no seu trabalho.
Longuski (1984a) apresenta um estudo paramétrico do comportamento do vetor
momento angular de um veículo espacial, considerado como um corpo rígido,
durante variação da rotação, sujeito à perturbação constante. Quase paralelo a
este trabalho, ele apresenta um outro, Longuski (1984b), em que desenvolve uma
solução analítica das equações de Euler de movimento rotacional e dos ângulos
de Euler, para um veículo espacial quase simétrico, estabilizado por rotação,
sujeito à perturbação constante, considerada como desvio de jato. Sua intenção
foi aplicar as soluções de Bödewadt (referência [3] de LonguskI, 1984b), a qual só
se mostrou eficiente quando aplicada a um corpo rígido eixo-simétrico. Este
trabalho é uma continuação do seu estudo apresentado em um artigo de
congresso (referência [2] de LONGUSKI, 1984b), em que especifica a região de
validade das soluções dos ângulos de Euler. Em todos os textos citados acima
considerou-se pequenos deslocamentos dos ângulos de Euler. Estes trabalhos, e
os outros que serão citados adiante, referentes a esse autor, são resultados de
estudos do seu envolvimento no projeto do satélite Galileo (satélite dual-spin
(veículo espacial com dois corpos estabilizados por rotação, conectados entre si),
de missão interplanetária e aplicação científica, cujo destino é a atmosfera do
planeta Júpiter), lançado do Cabo Canaveral (Flórida) em 18 de outubro de 1989,
desenvolvido no Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Tecnology,
Pasadena, California. LONGUSKI, 1984b). Seu objetivo foi estudar os efeitos das
perturbações atuantes sobre o veículo espacial que causam movimento de
precessão, e o autor referencia os estudos a uma aplicação real sobre um veículo
espacial, o que mostra a necessidade de preocupação do fenômeno em estudo.
Nos trabalhos citados acima, há uma grande preocupação na resolução das
equações de Euler e das equações diferenciais cinemáticas dos ângulos de Euler,
31
para um corpo quase simétrico. Isso possibilita um conhecimento do
comportamento do fenômeno para condições simplificadas.
Longuski, Kia e Breckenridge (1989) apresentam um esquema para diminuir o
desvio do vetor momento angular com o eixo de rotação do veículo, quando da
atuação da perturbação advinda de desvio de jato, tanto de uma fase propulsada
quanto de indução de rotação. Obviamente o veículo deve estar rotacionado em
torno de seu eixo de maior ou menor momento de inércia, para assegurar
estabilidade. O esquema a que se refere o autor consiste em ligar e desligar os
atuadores, cuja dependência do tempo em que se deve ligar e desligar está com o
ângulo de desvio do vetor momento angular com o eixo de rotação (eixo de
simetria) do veículo. O desvio considerado pelo autor acima é considerado como
movimento de precessão no presente trabalho, de acordo com a definição de
Martz, 1963. Esse esquema apresenta a vantagem de diminuir o erro na trajetória
do veículo e orientação no sistema de referência inercial, e independe da
magnitude e orientação do torque de perturbação, necessitando apenas que este
se mantenha constante.
Meyer (1996) apresenta um estudo sobre a instabilidade do movimento de
precessão do último estágio de um foguete, com combustível sólido, estabilizado
por rotação. Segundo o autor, esta instabilidade é causada pelo consumo de
combustível no veículo, um fenômeno que já é esperado. Apesar do presente
trabalho não considerar o veículo na fase propulsada, o trabalho do autor acima é
importante por mostrar que o movimento de precessão do último estágio (o qual
inclui o satélite que será injetado em órbita) pode ser acrescido de movimento de
precessão de estágios anteriores.
Leite Filho (1999), apresenta em seu trabalho uma estratégia de compensação
mecânica, tipo de avanço de fase, defasando o plano de atuação do plano de
referência do sinal comandado. Esse avanço de fase mecânico é usado para
compensar efeitos da rotação e conseqüente acoplamento das equações
dinâmicas. Essa estratégia de defasagem do plano de atuação do plano sensor foi
32
utilizada pelo presente trabalho por apresentar redução no número de atuadores e
sensores do sistema de controle embarcado.
Conforme mostrado em todos os textos das referências citadas acima, existe uma
grande preocupação quanto aos efeitos da atuação de perturbação externa sobre
um veículo espacial, estando ele rotacionado, e uma das principais é o movimento
de precessão. Assegurar que este movimento seja controlado é de suma
importância porque o último estágio de um foguete deve possuir a orientação de
atitude preestabelecida para injeção em órbita do satélite.
33
1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
O trabalho está organizado em seis capítulos e mais dois apêndices, um para
descrever a matriz de transformação dos triedos utilizada e as equações
cinemáticas, e outro que apresenta os dados físicos de um veículo espacial.
Neste Capítulo foi apresentado o problema estudado, os objetivos pretendidos e
alcançados, e as motivações que lavaram a realizar esse trabalho.
No Capítulo 2 são apresentados os fundamentos teóricos que descrevem
matematicamente o movimento rotacional de um corpo rígido e a definição do
movimento de precessão quando da entrada de perturbação constante ou
impulsional.
O Capítulo 3 apresenta os sistemas de controle estudados, controle de um e dois
eixos, e os resultados obtidos, em termos de componentes de velocidade angular,
ângulos Euler, amplitude de torque de controle e amplitude de movimento de
precessão, considerando dois casos de entrada de perturbação, constante e
instantânea. Para o caso do sistema de controle de um eixo foi considerado, para
efeito de simplificação, entrada de perturbação em um e outro eixo
separadamente.
No Capítulo 4 é considerado entrada de perturbação nos dois eixos
simultaneamente, variação da rotação e os resultados obtidos.
No Capítulo 5 são consideradas as mesmas leis de controle do Capítulo 3, porém
considerando atuador on-off (liga-desliga). Apresenta-se também os resultados
obtidos.
Finalizando, no Capítulo 6 é apresentada a conclusão do trabalho, e comentários
do que se esperava e o que se obteve, além de propostas para um futuro trabalho.
34
35
CAPÍTULO 2
EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
2.1 SISTEMAS DE REFERÊNCIA
Em contraste ao formalismo dinâmico, que será apresentado na seção seguinte,
existem vários modos de descrever a cinemática rotacional de um corpo rígido.
Portanto, faz-se necessário uma definição dos sistemas de referência utilizados
para descrever a cinemática de movimento do veículo. Além do mais, a lei de
controle que se propõe implantar está presa ao sistema de referência do corpo, e
o movimento de precessão, é visualizado num sistema de referência inercial (Wie,
1998, Cap. 5).
São considerados dois sistemas de referência para o estudo. O Sistema de
Referência do Corpo (SRC), no qual são implantadas as leis de controle, e o
Sistema de Referência Inercial (SRI), no qual é visualizado o movimento de
precessão. Para orientar o veículo no SRI utilizou-se dos ângulos de Euler para
transformar as equações cinemáticas de movimento do SRC para o SRI.
O sistema de referência do corpo é representado pelo triedo:
=
zyx
br
r
rr
onde as componentes xr , yr e zr , são os vetores unitários do triedo do corpo
(SRC),.
E o sistema de referência inercial pelo triedo:
=ZYX
Ir
r
r
r
36
onde as componentes Xr
, Yr
e Zr
, são os vetores unitários do triedo inercial (SRI).
2.2 - MOVIMENTO ROTACIONAL DE UM CORPO RÍGIDO
Como foi dito no Capítulo 1, uma solução simples para o problema de manter uma
orientação desejada para um veículo espacial, impedindo manobras espúrias e
beneficiar a separação de estágios, é rotacionar o veículo em torno do seu eixo
longitudinal.
A equação de movimento rotacional de um corpo rígido é dada pela variação
temporal do vetor momento angular, como (Wie, 1998):
dtHdTr
r= (2.1)
onde
ω=rr
JH (2.2)
Tr
é o vetor torque externo, Hr
é o vetor momento angular, J é a matriz de inércia
(ou tensor de inércia) e ωr
é o vetor velocidade angular.
Das Equações (2.1) e (2.2) surgem as equações de Euler do movimento rotacional
de um corpo rígido, com o sistema de referência localizado no seu centro de
massa (Goldstein, 1950; Greenwood, 1965; Kaplan, 1976).
( )
( )
( ))c3.2(
JT
JJJ
)b3.2(JT
JJJ
)a3.2(JT
JJJ
z
zyx
z
yxz
y
yxz
y
xzy
x
xyz
x
yzx
+ωω−
=ω
+ωω−
=ω
+ωω−
=ω
&
&
&
onde Jx, Jy e Jz são os momentos principais de inércia, e ωx, ωy e ωz são as
componentes do vetor velocidade angular do SRC.
37
Das equações de Euler do movimento rotacional considerou-se que o veículo
espacial é aproximadamente simétrico, resultando no desaparecimento de todos
os produtos de inércia, e também que o veículo não está na fase propulsada,
portanto as variações temporais dos momentos de inércia desaparecem.
Para obter as equações cinemáticas de movimento rotacional como visto a partir
do SRI, utiliza-se uma matriz de transformação, obtida de um conjunto de rotações
do SRC, usando os ângulos de Euler. Esta matriz de transformação e as
equações cinemáticas são apresentadas no Apêndice A.
A seguir, serão apresentadas as definições de movimento de precessão de um
veículo espacial, estabilizado por rotação, na ausência de torque externo e do
movimento sujeito a um torque externo, fixo, preso ao corpo girante, em um dos
eixos principais do corpo.
2.2.1- MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO EIXO-SIMÉTRICO LIVRE DE TORQUE EXTERNO
Muitos dos veículos espaciais estabilizados por rotação são aproximadamente
simétricos e a rotação é induzida em torno de um de seus momentos principais de
inércia. O termo “movimento livre de torque”, comumente empregado em dinâmica
de atitude de veículos espaciais, se refere ao movimento rotacional de um corpo
rígido na ausência de torque externo.
Considere um corpo rígido eixo-simétrico com o sistema de referência fixo no
corpo b, com sua origem no centro de massa, como ilustrado na
Figura (2.1). O sistema de referência b, coincide com o conjunto de eixos
principais e o eixo xr é o eixo de simetria.
38
FIGURA 2.1 - Movimento de um corpo rígido, eixo-simétrico, na ausência de torque externo.
Considerando o movimento rotacional do veículo espacial livre de torque externo,
ou seja, Tx = Ty = Tz = 0, e devido a simetria JJJ zy == , as equações de Euler,
Equações. (3), se tornam:
( )
( ))c4.2(
JJJ
)b4.2(JJJ
)a4.2(0
yxx
z
zxx
y
x
ωω−
−=ω
ωω−
=ω
=ω
&
&
&
onde ω=ωrr
.bii são as componentes de velocidade angular, com { }z,y,xi = .
Da equação (2.4a) tem-se:
( )5.2nx =ω
onde a constante n é a rotação do veículo espacial, em torno do eixo de maior ou
menor momento de inércia, resultado da estabilização por rotação (comumente
conhecida na língua inglesa por spin). No caso do veículo considerado nesse
trabalho a rotação é induzida em torno do eixo de menor momento de inércia que
é o eixo de simetria. A Figura (2.2) (Guilherme, 2000) ilustra os eixos principais do
veículo e o eixo de rotação.
39
FIGURA 2.2 - Eixos principais do SRC e a rotação induzida em torno do eixo de simetria (eixo x).
Definindo a velocidade de rotação relativa como:
( )6.2nJJJ x
−=λ
pode-se rescrever as Equações (2.4b) e (2.4c) como:
)b7.2(0
)a7.2(0
yz
zy
=λω+ω
=λω−ω
&
&
As soluções das Equações (2.7a) e (2.7b) considerando uma das condições
iniciais diferente de zero, ou seja, ( ) ( ) 00e00 zy =ω≠ω , são:
( ) ( )( ) ( ) )b8.2(tsen0t
)a8.2(tcos0t
yz
yy
λω−=ω
λω=ω
Para descrever o movimento do veículo espacial estabilizado por rotação como
visto a partir do SRI, considere a seqüência de rotação 321,
( ) ( ) ( )φ→θ→ψ 123 CCC (Kaplan, 1976). A Figura (2.1) mostra a orientação entre os
dois triedos. Para esta seqüência de rotação tem-se as seguintes equações
diferenciais cinemáticas (o desenvolvimento da rotação entre os triedos se
encontra no apêndice A):
40
( ) ( )( ) ( )( ) ( )c9.2tancossen
b9.2sencos
a9.2cos/cossen
xzy
zy
zy
ω+θφω+φω=φ
φω−φω=θ
θφω+φω=ψ
&
&
&
Existem algumas considerações e hipóteses que simplificam as Equações (2.9) e
lhes permitem soluções analíticas. Para pequenos valores de θ tem-se tgθ ≈ θ e
cosθ = 1. Assim, as Equações (2.9) se tornam:
( )( )( )c10.2
b10.2sencos
a10.2cossen
x
zy
zy
ω+θψ=φ
φω−φω=θ
φω+φω=ψ
&&
&
&
Assumindo xω⟨⟨θψ& , φ& pode ser aproximado como:
constnx ==ω≈φ&
e
nt=φ
Assim, Equações (2.10a) e (2.10b) se tornam:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )b11.2ntsenntcos
a11.2ntcosntsen
zy
zy
ω−ω=θ
ω+ω=ψ&
&
Introduzindo as soluções das componentes de velocidade angular do SRC,
Equações (2.8) nas Equações (2.11) obtém-se as seguintes equações diferenciais
dos ângulos de Euler,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b12.2ntsentsen0ntcostcos0
a12.2ntcostsen0ntcostsen0
yy
yy
λω+λω=θ
λω−λω=ψ&
&
As soluções das equações diferenciais, Equações (2.12), com as condições
iniciais ( ) ( ) 000 =θ=ψ , são
41
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )b13.2tnsenn
0t
a13.2tncos1n
0t
y
y
λ−λ−
ω=θ
λ−−λ−
ω=ψ
O Gráfico do ângulo θ versus o ângulo ψ mostra o movimento de precessão do
veículo, que é o movimento em forma de um cone, com seu vértice no centro de
massa do veículo, do eixo longitudinal do veículo em torno do vetor momento
angular, que está alinhado com o vetor unitário Xr
do SRI. Este movimento está
representado na ilustração da Figura (2.3).
Figura 2.3 - Ilustração do movimento de precessão de um veículo espacial na ausência de torque externo.
As soluções das Equações (2.8) e (2.9), sem simplificações, são feitas no
programa de computador Matlab/Simulink. Assim, obtém-se os gráficos de
componentes de velocidade angular, dos ângulos de Euler ( θψ e ) e do
movimento de precessão como apresentado nas Figuras (2.4), (2.5) e (2.6),
respectivamente. Os parâmetros do veículo estão na Tabela 2.1.
42
TABELA 2.1 – Parâmetros para simulação da perturbação instantânea.
x y z
Momentos Principais de Inércia (kg.m2) 360,94 34641 34641
Condições iniciais de Velocidades angulares do
sistema do corpo (rad/s)
12,56 0,0106* 0
Condições iniciais dos ângulos de Euler (rad) 0 0 0*Esta condição inicial de velocidade angular vem da razão de torque de perturbação de367,50 N.m pelo momento de inércia Jy e equivale a 0.61°/s. Fonte: Ferri, J. F. Banco de dados dosistema de controle do veículo Sonda IV – PT. 03.
FIGURA 2.4 - Componentes de velocidade angular y e z (SRC) do movimento rotacional de um corpo rígido na ausência de torque externo.
43
FIGURA 2.5 - Ângulos de Euler (Psi e Theta).
FIGURA 2.6 - Movimento de Precessão regular, de um corpo rígido, na ausência de torque externo.
A Figura (2.6) apresenta uma amplitude de movimento de precessão de
0,0809 rad ou 4,64°, causado por uma entrada de perturbação impulsional, que é
considerada como condição inicial de componente de velocidade angular do
sistema de referência do corpo.
44
2.2.2 MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO EIXO-SIMÉTRICO, SUJEITO A UM TORQUE
EXTERNO CONSTANTE
Nessa seção é considerada a atuação de torque externo sobre o veículo espacial
devido a desalinhamento do vetor de empuxo com o eixo longitudinal do veículo
e/ou desbalanceamento dinâmico, que estão presos ao corpo girante, portanto no
SRC. Prevalecem todas as considerações sobre estabilização, simetria e
momentos de inércia do veículo, apresentadas na seção (2.2.1).
Devido a ação do torque externo sobre o veículo as equações de Euler de
movimento rotacional são:
( ))b14.2()a14.2(tu
yz
yzy
λω−=ω
+λω=ω
&
&
onde J
Tu y
y = , Ty é a componente y de torque, transversal ao eixo longitudinal,
devido ao desalinhamento do vetor de empuxo, e uy é portanto a aceleração de
perturbação, que é constante (Wie, 1998).
As soluções das equações diferenciais acopladas, Equações (2.14), são:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) )b15.2(tcos1u
tsen0tcos0
)a15.2(tsenu
tsen0tcos0t
yyzz
yzyy
λ−λ
−λω−λω=ω
λλ
+λω+λω=ω
Para o caso em que ( ) ( ) 000 zy =ω=ω , o sistema não apresenta resposta natural,
apresentando apenas resposta à perturbação persistente. Assim, as Equações
(2.15) se tornam:
( )
( ) )b16.2(tcos1u
)a16.2(tsenu
t
yz
yy
λ−λ
−=ω
λλ
=ω
45
Para descrever o movimento rotacional do veículo espacial como visto a partir de
um sistema de referência inercial, considera-se a mesma seqüência de rotações
da seção (2.2.1), ( ) ( ) ( )φ→θ→ψ 123 CCC . As equações diferenciais cinemáticas
são então as mesmas. Introduzindo a Equações (2.16) nas Equações (2.11)
obtém-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )b17.2ntsentcos1u
ntcostsenu
a17.2ntcostcos1u
ntsentsenu
yy
yy
λ−λ
+λλ
=θ
λ−λ
−λλ
=ψ
&
&
As soluções das equações diferenciais, Equações (2.17), com as condições
iniciais ( ) ( ) 000 =θ=ψ , são:
( ) tsenAtsenAt nnpp ω−ω=ψ (2.18a)
( ) ( )x
xynnpp nJ
JnJutcosAtsinAt
λ+
+ω−ω−=θ (2.18b)
onde,
( ) alprecessionamplitudenu
A yp =
λ−λ= (2.19)
nutacionalamplituden
uA y
n =λ
= (2.20)
alprecessionfrequênciaJnJ x
p ==ω (2.21)
nutacionalfrequênciann ==ω (2.22)
Novamente, o gráfico do ângulo θ versus o ângulo ψ mostra o movimento de
precessão do veículo espacial. A trajetória do eixo longitudinal do veículo em torno
do eixo do vetor momento angular é um epiciclóide formado por um ponto num
46
círculo de raio An rolando no exterior de um círculo de raio Ap, centrado em
pA−=ψ e 0=θ , como ilustra a Figura (2.7).
FIGURA 2.7 - Ilustração do movimento de precessão de um veículo espacial com torque externo preso ao corpo girante.
Este movimento em epiciclóide apresentado na Figura (2.7) é chamado de
movimento de nutação.
As soluções das Equações (2.14), de velocidade angular, e das Equações (2.9),
equações diferenciais cinemáticas de ângulos de Euler, sem simplificações, são
feitas no programa de computador Matlab/Simulink. Assim, obtém-se os gráficos
de componentes de velocidade angular, dos ângulos de Euler ( θψ e ) e do
movimento de precessão como apresentado nas Figuras. (2.8), (2.9) e (2.10),
respectivamente. Os parâmetros do veículo estão na Tabela 2.2.
TABELA 2.2 - Parâmetros para simulação da perturbação constante.
x y z
Momentos Principais de Inércia (kg.m2) 360,94 34641 34641
Condições iniciais de Velocidades angulares do
sistema do corpo (rad/s)
12,56 0 0
Condições iniciais dos ângulos de Euler (rad) 0 0 0
Torque externo (N.m) 0 367,50 0
Fonte: Ferri, J. F. Banco de dados do sistema de controle do veículo Sonda IV – PT. 03.
47
FIGURA 2.8 - Componentes de velocidade angular y e z (SRC) do movimento rotacional de um corpo rígido com torque externo constante.
FIGURA 2.9 - Movimento dos ângulos de Euler, Psi e Theta, com atuação de torque externo.
48
FIGURA 2.10 - Gráfico de Psi vs Theta. Movimento de precessão provocado por perturbação persistente, torque externo constante.
De acordo com a Equação (2.19) e o gráfico da Figura (2.10), o veículo espacial
apresenta um movimento de precessão com amplitude Ap = 0,0065 rad ou
Ap = 0,37°, devido a atuação de um torque externo preso ao corpo girante.
49
CAPÍTULO 3
SISTEMAS DE CONTROLE
3.1 LEI DE CONTROLE
Os elementos lógicos de controle são projetados para agir a um sinal de erro a fim
de produzir um sinal de comando de controle. O algoritmo que é fisicamente
implementado para este propósito é denominado lei de controle ou ação de
controle. A figura abaixo representa um esquema de sistema de controle por
diagrama de blocos.
Diagrama de blocos de sistemas de controle. r(t) é a entrada de referência e y(t) a
saída.
Um sinal de erro, ( ) ( ) ( )tytrte −= , resulta em uma mudança no comando
(atuadores), enviado pelo controlador, que atua sobre a planta. A leis de controle
utilizadas nesse trabalho são a lei de controle proporcional e a ação de controle
liga-desliga (comumente conhecido na língua inglesa como on-off). O que se
pretende com estes controladores é levar o erro a zero ou a um valor satisfatório.
Os atuadores considerados são jatos de gás frio.
3.2 CONTROLADORES
As leis de controle clássicas, proporcional + derivativo (PD) e proporcional +
integral + derivativo (PID), não foram estudadas nesse trabalho pelos seguintes
motivos.
50
A lei de controle proporcional + derivativo (PD), porque o tempo de transitório é
arbitrado e serve como parâmetro constante para todos os sistemas de controle
estudados. Portanto, não é o objetivo minimizá-lo.
A lei de controle proporcional + integral + derivativo (PID), pelo mesmo motivo do
parágrafo anterior e porque o sistema de controle não é de realimentação de
ângulos. Portanto, não é o objetivo conduzi-los a zero. No entanto, já com o
controle puramente proporcional as velocidades angulares atingem um estado
estacionário bem próximo de zero.
51
3.3 SISTEMAS DE CONTROLE PROPORCIONAL COM ATUADOR PROPORCIONAL
Com o objetivo de implantar um sistema de controle ativo de precessão num
veículo espacial, foram estudadas algumas estratégias (controladores) para
procurar aquela que apresentasse a melhor performance, a partir das
especificações sobre o sistema de controle, em termos de amplitude de pico de
torque de controle e amplitude de movimento de precessão, e uma possível
redução de dispositivos do sistema de controle, tais como atuadores e sensores.
Isto tudo pode implicar numa redução de massa, o que diminui o custo de uma
missão espacial ou pode ser convertido em carga útil.
Apesar de leis de controle proporcionais, com atuadores proporcionais, não serem
utilizadas com freqüência, seus estudos são de grande importância para obter-se
informações sobre a performance da atuação do sistema de controle, servindo
como ponto de partida para posteriores estudos de sistemas de controle mais
usuais, mas de difícil solução analítica.
Os estudos que fazem parte dessa seção iniciaram-se com a atuação da lei de
controle em dois eixos, referente às direções dos dois eixos transversais y e z (o
eixo x é o eixo longitudinal do veículo, sobre o qual é induzida uma rotação com
velocidade constante, como mostrado na Figura (2.2) do sistema de referência do
corpo, o que implica em realimentar as duas componentes transversais de
velocidade angular. Para essa lei de controle considerou-se entrada de
perturbação em apenas um eixo, na direção do eixo y. Como o sistema é linear e
simétrico vale o princípio da superposição para considerar entrada de perturbação
nos dois eixos simultaneamente.
Com as prerrogativas do início do texto, um caso mais elaborado foi proposto.
Este caso implica em atuar em apenas um eixo, realimentação de apenas uma
componente de velocidade angular, na direção do eixo y. A importância dessa
estratégia é reduzir o número de atuadores utilizado pelo sistema de controle
embarcado. Novamente foi estudado o caso de perturbação em apenas um eixo,
52
porém considerando a entrada de perturbação para cada eixo separadamente.
Para todos os casos citados acima foram estudados os efeitos referentes a duas
entradas de perturbação, impulsional e degrau, no sistema de referência do corpo.
Estes dois tipos de perturbação considerados exemplificam bem as possíveis
perturbações que podem ocorrer durante o vôo de um veículo espacial.
Os tipos de perturbações impulsional que podem ocorrer são perturbações devido
à condição inicial de velocidade angular e separação de estágios, que são de
natureza instantânea. Os tipos de perturbações degrau são perturbações devido a
desvio de jato, desbalanceamento dinâmico, que estão presas ao corpo do veículo
e podem ser consideradas constantes durante um certo intervalo de tempo.
Uma lei de controle adequada deve garantir estabilidade e precisão em estado
estacionário, e atender às especificações de transitório de um projeto de sistema
de controle. Além disso, em projetos de missões espaciais, a quantidade de
energia gasta num sistema de controle é de grande importância. Sendo assim,
faz-se necessário uma análise sobre o torque mínimo de controle para o sistema,
para uma dada entrada de perturbação.
Adiante são mostrados três itens de relevância para o estudo.
1) Estabilidade: após a atuação do sistema de controle o veículo espacial tem
que se manter numa posição preestabelecida (atitude preestabelecida).
2) Tempo de Assentamento: tempo requerido para o sistema de controle
conduzir o movimento de precessão a um estado estacionário. O presente
trabalho arbitrou um tempo de assentamento de 5s.
3) Torque Mínimo de Controle: valor mínimo para o sistema de controle
conduzir o veículo espacial a uma atitude desejável, mantidas as especificações
53
citadas nos itens acima, considerando perturbações externas fixas no corpo ou
não.
Os estudos analíticos foram feitos a partir das equações de Euler de movimento
rotacional, do sistema de referência do corpo, apresentadas no Capítulo 2, às
quais são aplicadas as leis de controle, e para visualização do movimento de
precessão, no sistema de referência inercial, utilizou-se dos ângulos de Euler.
3.3.1 REALIMENTAÇÃO NAS DUAS COMPONENTES DE VELOCIDADE ANGULAR
Nessa seção é considerado o caso em que as duas componentes de velocidade
angular foram realimentadas, implicando em atuação em dois eixos.
As leis de controle foram testadas por duas funções de teste usuais, impulsional e
degrau, e os pontos relevantes para o estudo são aqueles citados na seção (3.3).
Para essa lei de controle considerou-se o caso de perturbação em apenas um eixo
pois, como o sistema é linear e simétrico, vale o princípio da superposição para
considerar entrada de perturbação nos dois eixos simultaneamente. Na subseção
a seguir é apresentado o estudo para o caso de entrada de perturbação em
apenas um eixo.
3.3.1.1 PERTURBAÇÃO EM APENAS UM EIXO (Y)
A implantação de uma lei de controle de realimentação proporcional às
componentes de velocidade angular (y e z), do sistema de referência do corpo,
com controladores nas duas componentes, é como mostram as Equações (3.1) e
(3.2):
( ) ( )( )b1.3k
a1.3tuk
zzyz
yyyzy
ω−λω−=ω
+ω−λω=ω
&
&
onde ( )tu y é a entrada de perturbação na direção do eixo y, ky e kz são os ganhos
de realimentação de cada componente.
54
As equações de comando de controle do sistema, ou controladores, são:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )b2.3tktC
a2.3tktC
zzz
yyy
ω−=
ω−=
A Figura (3.1) mostra o diagrama de blocos do sistema de controle.
FIGURA 3.1 - Diagrama de blocos do sistema de controle com dois controladores e entrada de perturbação em apenas um eixo (y).
As Equações (3.1) e (3.2) levam às seguintes funções de transferência,
( )( )
( ) ( )b3.3kks)kk(s)s(u
s
a3.3kks)kk(s
ks)s(u
s
2zyzy
2y
z
2zyzy
2z
y
y
λ++++λ
−=ω
λ+++++
=ω
A seguir apresenta-se a análise do sistema de controle quanto a estabilidade,
controlabilidade, tempo de assentamento e torque de controle.
ESTABILIDADE
Das funções de transferência, Equações (3.3), tem-se que suas equações
características são iguais (devido ao acoplamento entre as equações de Euler) a
( ) ( ) ( )4.3kkskkss 2zyzy
2 λ++++=∆
55
De acordo com o critério de estabilidade de Routh e a Equação (3.4), estará
garantida a estabilidade do veículo quando da atuação do sistema de controle, se:
ky + kz > 0 (3.5a)
ky kz + λ2 > 0 (3.5b)
CONTROLABILIDADE
Além da análise de estabilidade do sistema é necessário verificar a
controlabilidade dos estados realimentados. Será analisado, primeiramente, o
caso mais geral de entrada de perturbação nos dois eixos e depois o caso de
entrada de perturbação em um eixo. Para isso, as equações onde estão as leis de
controle, Eqs. (3.1), serão colocadas na forma de espaço de estados.
( )6.3u11
kk
z
y
z
y
z
y
+
ωω
−λ−λ−
=
ωω&
&
A matriz de controlabilidade é:
( )7.3k1
k1C
z
y2
−λ−
λ+−=
2C quer dizer matriz de controlabilidade para o sistema de controle com
perturbação em dois eixos.
Para que o determinante da matriz C seja diferente de zero é necessário a
seguinte condição:
( )8.32kk zy λ≠−
Dos valores para os ganhos obtidos e mostrados adiante, essa condição é
facilmente assegurada. Sendo satisfeita portanto a condição expressa em (3.8), a
56
matriz 2C é de posto 2, o que implica que o sistema é completamente controlável
pelo estado.
Considerando o caso de perturbação em apenas um eixo, que é o caso analisado
nessa seção, a matriz de controlabilidade fica:
( )9.30
k1C y
1
λ−
−=
1C quer dizer matriz de controlabilidade para o sistema de controle com
perturbação em apenas um eixo.
Como pode-se observar, a matriz 1C é de posto 2 o que implica também que o
sistema de controle com entrada de perturbação em apenas um eixo é
completamente controlável pelo estado.
TEMPO DE ASSENTAMENTO
O critério usado para o tempo de assentamento será o de 2%. Assim, de acordo
com as Equações (3.3) a equação para o tempo de assentamento do sistema de
controle é:
( )10.3kk
8tzy
s +=
TORQUE MÍNIMO DE CONTROLE
Como citado anteriormente, é de grande importância a análise do torque mínimo
de controle necessário para solucionar o problema, porque isso envolve gasto de
energia.
Segue então, adiante, um estudo para encontrar valores ótimos para os ganhos ky
e kz que correspondam a um mínimo na amplitude de torque de controle,
considerando as duas entradas de teste de perturbação, e um mesmo tempo de
assentamento para ambas.
57
As transformadas de Laplace das equações de comando, Equações (3.2) são:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )b11.3sksC
a11.3sksC
zzz
yyy
ω−=
ω−=
Introduzindo as transformadas de Laplace das componentes de velocidade
angular, Equações (3.5), nas Equações (3.11), obtém-se:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )b12.3su)kks)kk(s(
ksC
a12.3su)kks)kk(s(
ksksC
y2zyzy
2z
z
y2zyzy
2zy
y
λ++++λ
=
λ++++
+−=
Para analisar a equação do comando de controle considera-se duas entradas de
teste de perturbação usuais, impulsional e degrau.
1) ENTRADA IMPULSIONAL
Para entrada impulsional uy = B (esta entrada de perturbação é como condição
inicial de componente transversal de velocidade angular), as equações de
comando de controle, Equações (3.12), se tornam:
( ) ( )
( ) ( )b13.3)kks)kk(s(
BksC
a13.3)kks)kk(s(
)ks(BksC
2zyzy
2z
z
2zyzy
2zy
y
λ++++λ
=
λ++++
+−=
O valor temporal da equação de comando atuando na direção do eixo y, Equação
(3.13a) é:
( ) ( ) ( )14.3tcoseAtC d
t2
kk
yy
zy
ϕ+ω=+
−
onde 2
)kk(4 2zy
2
d
−−λ=ω ,
58
d
yy
BkA
ωλ−
= onde B é uma constante relacionada à amplitude da entrada de
perturbação (apêndice B), e
−−=
d
yz kkω
ϕ2
arctan
O valor temporal da equação de comando atuando na direção do eixo z,
Equação (3.13b) é:
( ) ( ) ( )15.3tseneAtC d
t2
kk
zz
zy
ω=+
−
onde B e dω são os mesmos parâmetros da Equação (3.14) e
d
zz
BkAωλ
=
Deseja-se saber qual valor de ky e kz implica em um torque mínimo de comando
para o sistema de controle. Para encontrar estes valores analisa-se os valores
absolutos das amplitudes das componentes de comando de controle, como
( ) ( ) ( ) ( )16.3tCtCtC zy +=
onde Cy(t) e Cz(t) são os valores temporais de cada equação de controle,
Equações (3.14) e (3.15).
A razão de analisar os valores absolutos das equações de controle é que, como
suas soluções são funções senoidais e co-senoidais, no decorrer do tempo obtém-
se da soma de cada equação de controle valores negativos ou zero, quando as
equações apresentarem amplitudes de sinais contrários.
Para essa lei de controle um mínimo para o torque de controle total ocorre para
um mínimo da soma absoluta da amplitude de cada equação de torque de
controle. Assim, tem-se:
59
( )17.3AAA zy +=
ou seja,
( )18.3BkBk
Ad
z
d
y
ωλ
+ω
λ−=
Arbitrando um tempo de assentamento de 5s a Equação (3.10) se torna,
( )19.3k6,1k yz −=
Ao introduzir-se a Equação (3.19) na Equação (3.18) obtém-se uma equação para
amplitude total de controle em função apenas do ganho ky . A Figura (3.2) mostra
o gráfico da variação da amplitude com o ganho ky, de acordo com a Equação
(3.18). (Os parâmetros para o veículo são os da Tabela 1 do Apêndice B).
FIGURA 3.2 - Soma dos valores absolutos das amplitudes das equações de controle para 0 < ky < 1,6.
Como pode ser observado no gráfico da Figura (3.2) os valores dos ganhos ky e kz
que implicam em um mínimo para a equação de controle são
.80k e0.8 k zy ==
O que já era esperado devido à simetria do sistema.
60
A seguir são apresentados gráficos de simulações usando os valores encontrados
para ganhos, como mostrado acima.
As Figuras (3.5) e (3.8), (3.6) e (3.9) apresentam os gráficos dos ângulos de Euler
e do movimento de precessão, respectivamente. Esses gráficos vêm da solução
das Equações (2.9), nas quais foram introduzidas as Equações (3.1). Foram
simuladas duas situações para atuação do sistema de controle sobre o veículo,
como representado na Figura (3.3). A Figura (3.3a) mostra que o controle atua 5s
após a entrada da perturbação, que é a situação para as Figuras (3.4), (3.5) e
(3.6), e a Figura (3.3b) que o controle atua simultaneamente à entrada da
perturbação, que é a situação para as Figuras (3.7), (3.8) e (3.9). As simulações
foram feitas no programa de computador Matlab/Simulink.
FIGURA 3.3 - Tempo de atuação do sistema de controle e perturbação, para o caso impulsional.
61
FIGURA 3.4 - Gráfico da Eq. (3.16), referente à soma absoluta dos torques de controle nos dois eixos de atuação. Pico máximo de torque de 406.60 N.m. (Controle atua 5s após a perturbação)
FIGURA 3.5 - Ângulos de Euler ψ e θ.
62
FIGURA 3.6 - Movimento de Precessão estacionado 5s após a atuação do sistema de controle. Amplitude de 3.66º.
FIGURA 3.7 - Gráfico da Eq. (3.16), referente à soma absoluta dos torques de controle nos dois eixos de atuação. Pico máximo de torque de 396.10 N.m. (Controle atua simultaneamente à perturbação)
63
FIGURA 3.8 - Ângulos de Euler ψ e θ.
FIGURA 3.9 - Movimento de precessão estacionado 5s após a atuação do sistema de controle. Amplitude de 0.75°.
As componentes de velocidade angular y e z são conduzidas à origem pelo
sistema de controle, o que era de se esperar de acordo com uma lei de
controle utilizada. As Figuras (3.10) e (3.11) mostram os seus comportamentos,
com o sistema de controle atuando de acordo com a Figura (3.3).
64
FIGURA 3.10 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC, com o sistema de controle atuando 5s após a entrada de perturbação.
FIGURA 3.11 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC, com o sistema de controle atuando simultaneamente à entrada de perturbação.
Das duas situações de atuação do sistema de controle ambas estacionam o
movimento de precessão após 5s de sua atuação, como pode ser observado nas
Figuras (3.6) e (3.9), sendo o que era esperado, estando de acordo com o tempo
de assentamento arbitrado. No entanto, a situação onde o sistema de controle
atua simultaneamente à entrada de perturbação, de acordo com a Figura (3.3b),
apresenta um melhor resultado quanto à amplitude de torque de controle, com a
65
diferença no pico máximo de amplitude de torque de aproximadamente 10.50 N.m(comparação entre os picos de amplitude das Figuras (3.4) e (3.7)), e de amplitude
de movimento de precessão, diferença de aproximadamente 2.91º (comparação
entre as amplitudes de movimento de precessão das Figuras (3.6) e (3.9)).
Portanto, o sistema de controle deve atuar simultaneamente à entrada de
perturbação para que se obtenha uma melhor desempenho de sua atuação.
O ideal seria que os ângulos de Euler retornassem a zero e consequentemente o
movimento de precessão também. No entanto, de acordo com os parâmetros
preestabelecidos, estacionar o movimento de precessão, com amplitude de 0.75º,já pode ser considerado como um bom resultado, pois para muitas missões
espaciais um limite em torno de 1º é uma boa margem de segurança. Além do
mais, sem atuação do controle o veículo espacial atingia uma amplitude de
movimento de precessão de 4,58°, que foi consideravelmente reduzido com a
atuação do controle, como pode ser observado comparando a Figura (2.6) com a
Figura (3.9).
O tempo de simulação foi de 25s e de atuação do sistema de controle de 15s. No
entanto, o veículo se mantém na posição de estado estacionário e não instabiliza
quando o sistema de controle é desligado.
2) ENTRADA DEGRAU
Para entrada de perturbação como função degrau sBu y = , as equações de
controle, Equações (3.13), são
( )( )
( )
( ) ( )b20.3)kks)kk(s(s
BksC
a20.3)kks)kk(s(s
ksBksC
2zyzy
2z
z
2zyzy
2zy
y
λ++++λ
=
λ++++
+−=
O valor temporal da equação de controle, atuando na direção do eixo y,
Equação (3.20a) é
66
( ) ( ) ( )21.3kk
kBktseneAtC 2
zy
zyd
t2
kk
yy
zy
λ+−ϕ+ω=
+−
2
)kk(4 2zy
2
d
−−λ=ω ,
2zyd
yy
kk
kBA
λ+ω
λ= onde B é uma constante de perturbação, e
−λ+ω−
=ϕ 2z
2zy
dz
k2kkk2arctan
O valor temporal da equação de comando atuando na direção do eixo z,
Equação (3.20b) é
( ) ( ) ( )22.3kk
kBtseneAtC 2
zy
zd
t2
kk
zz
zy
λ+λ
+ϕ+ω=+
−
onde B e dω são os mesmos parâmetros da Equação (3.21) e
2λω
λ
+
−=
zyd
zz
kk
kBA
+ω
=ϕzy
d
kk2arctan
Fisicamente é esperado que o torque de controle para controlar o veículo quando
da entrada de perturbação impulsional seja maior que o torque de controle quando
da entrada de perturbação degrau pois, como esta está presa ao corpo girante,
algum tempo depois a própria perturbação se opõe a seu efeito, sendo esse
justamente o chamado efeito giroscópico. De acordo com as simulações este
67
resultado esperado realmente acontece e pode ser explicado a partir de uma
análise matemática como mostrada adiante.
Como prova dessa afirmação foi feita uma análise a partir das amplitudes das
equações de controle para cada caso de entrada de perturbação, lembrando
sempre que o interesse é o valor absoluto dos torques obtidos das equações de
controle. A análise é feita comparando apenas as amplitudes das equações de
controle para cada entrada de perturbação. Esta consideração é válida pois, da
condição de estabilidade expressa na Equação (3.5a) e de acordo com os valores
para os ganhos ky e kz encontrados na subseção anterior (deve-se usar os
mesmos valores para os ganhos para comparar a atuação do sistema de controle
considerando diferentes tipos de perturbação), sendo sua soma maior que um
devido ao tempo de assentamento arbitrado, a parte exponencial das equações de
componentes de controle faz com que a amplitude de cada componente seja
sempre menor que o valor inicial (se assim não fosse o sistema de controle levaria
o veículo à instabilidade), e os valores das senóides e co-senóides (esses termos
para qualquer componente de amplitude só diferem em fase) assumem no
máximo valor um. Sendo assim mostra-se que:
- De acordo com a Equação (3.18) a soma das amplitudes das equações de
componente de controle para o caso da perturbação impulsional é como
( )23.3BkBk
Cd
z
d
yI ω
λ+
ω
λ−=
Da mesma forma, a soma das amplitudes de cada componente de torque de
controle, de acordo com as Equações (3.21) e (3.22), para o caso da perturbação
degrau é dada por:
( )24.3kk
kB
kk
kBkk
kBk
kk
kBC 2
zy
z
2zyd
z2
zy
zy
2zyd
yD λ+
λ+
λ+ω
λ−+
λ+−
λ+ω
λ−=
Reestruturando as Equações (3.23) e (3.24), obtém-se:
68
( )( )
( )( ) ( )25.3
kkkkk
kkkkk
BC 2zyd
2zyz
2zyd
2zyy
I λ+ω
λ++
λ+ω
λ+−λ=
e
( )( )
( )( ) ( )26.3
kk
kkk
kk
kkkkBC 2
zyd
2zydz
2zyd
dz2
zyyD λ+ω
λ+−ω+
λ+ω
λω+λ+−λ=
Como os denominadores das Equações (3.25) e (3.26) são iguais, comparando
seus numeradores constata-se que a soma dos numeradores da Equação (3.25) é
maior do que a soma dos numeradores da Equação (3.26). Dessa forma, mostra-
se que a amplitude da equação de controle para entrada de perturbação
impulsional é maior do que a amplitude para entrada de perturbação degrau.
A seguir são apresentados gráficos de simulações usando os mesmos valores
para os ganhos da seção anterior.
Foram simuladas duas situações para atuação do sistema de controle como
representado na Figura (3.12). A Fig. (3.12a) mostra que o controle atua 3s após a
entrada de perturbação, que é a situação para as Figuras (3.13), (3.14) e (3.15), e
a Figura (3.12b) que o controle atua 2s antes da entrada de perturbação, que é a
situação para as Figuras (3.16), (3.17) e (3.18). As Figuras (3.14) e (3.17)
apresentam o comportamento dos ângulos de Euler, as Figuras (3.15) e (3.18) o
movimento de precessão, para cada situação de atuação do sistema de controle,
e as Figuras (3.13) e (3.16) a amplitude de torque de controle. As Figuras (3.19) e
(3.20) apresentam o movimento das componentes de velocidade angular, y e z, do
SRC, com o sistema de controle atuando de acordo com a Figura (3.13).
69
FIGURA 3.12 - Tempo de atuação do sistema de controle para perturbação degrau.
FIGURA 3.13 - Torque de controle para entrada degrau. (Controle atua 3s após aentrada de perturbação). Pico máximo de torque de controle de53.70 N.m.
70
FIGURA 3.14 - Ângulos de Euler
FIGURA 3.15 - Movimento de Precessão com atuação do sistema de controle depois da atuação da perturbação. Amplitude de 0.15°.
71
FIGURA 3.16 - Torque de controle para entrada degrau. (Controle atuasimultaneamente à perturbação). Pico máximo de torque decontrole de 53.70 N.m.
FIGURA 3.17 - Ângulos de Euler.
72
FIGURA 3.18 - Movimento de precessão com atuação do controle simultâneo à entrada de perturbação.
FIGURA 3.19 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC, com o sistema de controle atuando 3s após a entrada de perturbação.
73
FIGURA 3.20 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC, com o sistema de controle simultaneamente à entrada de perturbação.
Na Figura (3.15) o local indicado por 1 é onde o sistema de controle começa a
atuar, 2 onde a perturbação deixou de atuar (com o sistema de controle
continuando a atuar até os 15s de simulação) e 3 onde o controle deixou de atuar.
A partir dessa posição pode ser observado que o eixo longitudinal do veículo
continua com um movimento em círculo, lento (de 15s a 100s), com amplitude da
ordem de 10-5 rad (ou 0,0006°), retornando à posição indicada pelo número 3.
Este movimento é devido às oscilações dos ângulos de Euler que ainda persistem
em estado estacionário, como pode ser observado na Figura (3.14). Contudo,
dependendo da atitude desejada para o veículo espacial isto pode não ser um
problema, já que sua amplitude é bastante pequena. A máxima excursão em
ângulo do eixo longitudinal com o eixo do vetor momento angular, ou seja, a
amplitude de movimento de precessão é de 0,0026 rad (ou 0.15°).
Na Figura (3.18), em que o sistema de controle atua simultaneamente à entrada
de perturbação, o local indicado por 1 é onde a perturbação deixou de atuar (com
o sistema de controle continuando a atuar até os 15s de simulação) e 2 onde o
sistema de controle deixa de atuar. Novamente, pelos mesmos motivos do caso
anterior, o veículo faz um movimento em círculo, lento, do seu eixo longitudinal,
74
com amplitude da ordem de 10-4 rad ( ou 0.006°), de 15s até 100s. A máxima
excursão em ângulo do eixo longitudinal com o eixo do vetor momento angular é
um valor bem próximo de zero sendo o valor do movimento em círculo
apresentado no gráfico da Figura (3.18) o principal valor de amplitude de
movimento de precessão.
O resultado da atuação do sistema de controle sobre o veículo espacial é visto
comparando as Figuras (3.15) e (3.18), com amplitudes de movimento de
precessão controlado de 0.15° e 0.006°, respectivamente, com o movimento sem
controle, Figura (2.10), com amplitude de 0.37°.
A situação em que o sistema de controle atua simultaneamente à entrada de
perturbação apresenta resultado mais satisfatório de movimento de precessão do
que a situação em que o sistema de controle atua 3s após a entrada de
perturbação, pois conduz o movimento para uma posição mais próxima da origem.
No entanto, ambas ainda apresentam movimento de precessão em estado
estacionário. Isto pode ser resolvido aumentando-se o tempo de atuação do
sistema de controle sobre o veículo, de acordo com a
Figura (3.21).
FIGURA 3.21 - Tempo de atuação do sistema de controle para perturbação degrau.
A seguir são apresentadas as figuras com a simulação do sistema de controle de
acordo com a Figura (3.21). Para as Figuras (3.22), (3.23) e (3.24) foi aplicada a
situação em que o sistema de controle atua 3s após à entrada de perturbação,
Figura (3.21a), e para as Figuras (3.25), (3.26) e (3.27) a situação em que o
75
sistema de controle atua simultaneamente à entrada de perturbação,
Figura (3.21b).
FIGURA 3.22 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC, com o sistema de controle atuando de acordo com a Fig. 3.21a.
FIGURA 3.23 - Ângulos de Euler
76
Fig. 3.24. Movimento de Precessão com atuação do sistema de controle 3s após a entrada de perturbação. Amplitude 0.14°.
FIGURA 3.25 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC, com o sistema de controle atuando de acordo com a Fig. 3.21b.
77
FIGURA 3.26 - Ângulos de Euler.
FIGURA 3.27 - Movimento de precessão com atuação do controle simultâneo à entrada de perturbação. Amplitude 0.
Como pode ser observado nos gráficos das Figuras (3.24) e (3.27),
aumentando-se o tempo de atuação do sistema de controle o veículo estaciona
numa posição e não apresenta mais oscilações de movimento de precessão em
estado estacionário, como para o caso de atuação do sistema de controle da
78
Figura (3.12). Além do mais, agora fica ainda mais nítido a melhoria de atuação do
sistema de controle simultaneamente à entrada de perturbação em relação ao
sistema de controle atuando após a entrada de perturbação. Nota-se também que
o movimento de precessão é conduzido á origem, o que é um ótimo resultado.
3.3.2 REALIMENTAÇÃO DE APENAS UMA COMPONENTE DE VELOCIDADE ANGULAR
Realimentar apenas uma componente de velocidade, implica em diminuir o
número de atuadores do sistema de controle embarcado, como foi citado
anteriormente no início do capítulo. Nessa seção é apresentada ainda uma
estratégia que reduz também o número de sensores.
Para essa lei de controle, controle de um eixo, foi considerado o eixo sensor
defasado do eixo de atuação. O ângulo de defasagem do eixo sensor está
diretamente relacionado aos ganhos da lei de controle. Assim, ao encontrar
ganhos ótimos que solucione o problema, dentro das especificações de projeto
estabelecidas, resulta no encontro do ângulo ótimo de direcionamento do eixo
sensor. A Figura 3.28 ilustra essa estratégia e faz uma comparação com a lei de
controle apresentada na seção anterior. Na Figura (3.28a) é ilustrada a situação
em que o sistema de controle atua em um eixo, e na Figura (3.28b) a situação em
que o sistema de controle atua em um eixo, com o eixo sensor defasado do eixo
de atuação de um ângulo α. Essa defasagem implica em um avanço de fase
mecânico (Leite Filho, 1999).
79
FIGURA 3.28 - Em (a) são mostrados os eixos de atuação e os eixos sensores, ambos em y e z. Em (b) é mostrado o eixo de atuação, em y, defasado de α do eixo sensor.
A lei de controle será testada por duas funções de teste usuais, impulsional e
degrau e os pontos relevantes para o estudo são aqueles citados na seção (3.3).
Inicialmente será considerado entrada de perturbação apenas no eixo y,
implicando em perturbação paralela ao eixo de atuação do controle, e depois
perturbação no eixo z, implicando em perturbação perpendicular ao eixo de
atuação de controle. No Capítulo 4 será considerado entrada de perturbação nos
dois eixos simultaneamente.
3.3.2.1 PERTURBAÇÃO NA DIREÇÃO DO EIXO Y
Nessa seção é analisado o efeito de entrada de perturbação na direção do eixo y,
paralelamente ao eixo de atuação do sistema de controle.
A implantação de uma lei de controle de realimentação proporcional às
componentes de velocidade angular (y e z), do SRC, com atuação em apenas um
eixo (y), e perturbação paralela, é como mostram as Equações (3.27):
( ) ( )( )b27.3
a27.3tukk
yz
yzzyyzy
λω−=ω
+ω−ω−λω=ω
&
&
onde ( )tu y é a entrada de perturbação no eixo (y), ky e kz são os ganhos de
realimentação de cada componente.
80
Devido à defasagem, como ilustrado na Figura (3.28b), os ganhos ky e kz se
tornam
( ) ( )( ) ( )b28.3senkk
a28.3coskk
z
y
α=
α=
Como a realimentação agora é em um único eixo, a equação de comando de
controle do sistema, ou controlador, é:
( ) ( ) ( ) ( )29.3tktktC zzyy ω−ω−=
A Figura 3.29 mostra o diagrama de blocos do sistema de controle.
FIGURA 3.29 - Diagrama de blocos do sistema de controle com 1 controlador e
entrada de perturbação em apenas num eixo (y).
As Equações (3.27a) e (3.27b) levam às seguintes funções de transferência,
( ) ( )
( ) ( )b30.3)k(sks)s(u
s
a30.3)k(sks
s)s(u
s
zy2
y
z
zy2
y
y
−λλ++λ
−=ω
−λλ++=
ω
A seguir apresenta-se a análise do sistema de controle quanto a
estabilidade, controlabilidade, tempo de assentamento e torque de controle.
ESTABILIDADE
81
Das funções de transferência Equações (3.30a) e (3.30b), tem-se a
seguinte equação característica:
( ) ( )31.3)k(skss zy2 −λλ++=∆
De acordo com o critério de estabilidade de Routh e a Eq. (3.31), estará
garantida a estabilidade do veículo, quando da atuação do sistema de controle, se
ky > 0 (3.32a)
kz < λ (3.32b)
CONTROLABILIDADE
Além da análise de estabilidade do sistema é necessário verificar a
controlabilidade dos estados realimentados. Será analisado, primeiramente, o
caso mais geral de entrada de perturbação nos dois eixos e depois o caso de
entrada de perturbação em um eixo. Para isso, as equações onde estão as leis de
controle, Equações (3.27), serão colocadas na forma de espaço de estados.
( )33.3u11
0kk
z
yzy
z
y
+
ωω
λ−
−λ−=
ωω&
&
A matriz de controlabilidade é:
( )34.31
kk1C zy
2
λ−−−λ
=
2C quer dizer matriz de controlabilidade para o sistema de controle com
perturbação em dois eixos.
Para que o determinante da matriz C seja diferente de zero é necessário a
seguinte condição:
( )35.32kk zy λ≠+
82
Dos valores para os ganhos obtidos e mostrados adiante, essa condição é
facilmente assegurada.
Sendo satisfeita portanto a condição expressa em (3.35), a matriz 2C é de posto
2, o que implica que o sistema é completamente controlável pelo estado.
Considerando o caso de perturbação em apenas um eixo (y), que é o caso
analisado nessa seção, a matriz de controlabilidade fica:
( )36.30
k1C y
1
λ−
−=
1C quer dizer matriz de controlabilidade para o sistema de controle com
perturbação em apenas um eixo.
Como pode-se observar, a matriz 1C é de posto 2 o que implica também que o
sistema controle com entrada de perturbação em apenas um eixo é
completamente controlável pelo estado.
TEMPO DE ASSENTAMENTO
De acordo com as Equações (3.30) e o critério de 2% (Ogata, p. 215), a
equação de tempo de assentamento para esse sistema de controle é:
( )37.3k8t
ys =
TORQUE MÍNIMO DE CONTROLE
A transformada de Laplace da equação de controle, Equação (3.29), é:
( ) ( ) ( ) ( )38.3sksksC zzyyy ω−ω−=
Introduzindo as transformadas de Laplace das componentes de velocidade
angular Equações (3.30), na Equação (3.38), obtém-se:
83
( ) ( ) ( ) ( )39.3su)k(sks
ksu
)k(skssk
sC yzy
2z
yzy
2y
−λλ++λ
+−λλ++
−=
Para analisar a equação de controle considera-se duas entradas de teste
de perturbação usuais, impulsional e degrau.
1) ENTRADA IMPULSIONAL
Para entrada impulsional uy = B, a Equação (3.39) se torna
( ) ( )40.3)k(sks
Bk)k(sks
sBksC
zy2
z
zy2
y
−λλ++λ
+−λλ++
−−=
ou
( ) ( )41.3)k(sks
)ksk(BsC
zy2
zy
−λλ++
λ−−=
Deseja-se saber quais valores de ky e kz implica em um torque mínimo de
controle para o sistema. Para encontrar estes valores procura-se um mínimo para
o pico máximo da equação de torque de controle, Equação (3.41).
O valor temporal da equação de controle, atuando na direção do eixo y,
Equação (3.41) é:
( ) ( ) ( )42.3tcosAetC d
t2
k y
ϕ+ω=−
( )2
kk4 2yz
d
−−λλ=ω ,
2z
2y
d
kkBA +ωλ
−= ,
84
onde B é a constante relacionada à amplitude da entrada de perturbação e
( )
−−λλ
−λ−−=ϕ
2yzy
2yz
kk4k
kk2arctan
Deve-se fazer, portanto, uma análise da Equação (3.42) para encontrar os
ganhos que implicam em mínimo torque de controle. A Equação (3.42) tem três
variáveis independentes (ky, kz ,t). No entanto, introduzindo o valor arbitrado para
o tempo de assentamento de 5s na Equação (3.37) obtém-se um valor para o
ganho ky = 1,6, o que reduz a dependência da equação para duas variáveis
independentes.
O interessante é que a Equação (3.42) seja apenas função do ângulo α e do
tempo t. Isso pode ser feito considerando o módulo da soma dos ganhos igual a
1,6. Fazendo k = 1,6 nas Equações (3.28) tem-se:
( ) ( )( ) ( )b43.3sen6,1k
a43.3cos6,1k
z
y
α=
α=
O que, dependendo do ângulo α encontrado não resulta em grande variação para
o tempo de assentamento.
Encontrar o mínimo de torque de controle implica agora em encontrar o ângulo
α que resulta num mínimo para a Equação (3.42). Este mínimo quer dizer o ângulo
α que resulta em menor amplitude do maior pico para a
Equação (3.42), considerado em módulo. No entanto, a Equação (3.42) apresenta
a peculiaridade de que à medida que o ângulo α aumenta, o pico máximo da
equação, o primeiro pico, vai diminuindo, mas em compensação o segundo pico
aumenta sua amplitude, de modo que a média aritmética entre o primeiro e
segundo picos se mantém em torno de um valor médio.
85
A Figura (3.30) mostra gráficos para alguns valores do ângulo α, obtidos
através de solução numérica no programa de computador Maple. Os valores para
os parâmetros da Equação (3.42) estão no Apêndice B.
FIGURA 3.30 - Variação do primeiro e segundo picos com variação do ângulo α para ângulos de 0, 15, 30 e 45 graus.
Observa-se que para o ângulo de 15 graus o primeiro pico é maior que o segundo
e para o ângulo de 30 graus o segundo é maior que o primeiro.
A situação de interesse é, portanto, encontrar o ângulo α onde a amplitude do
primeiro pico se iguale à amplitude do segundo pico, pois isso implica em poder
controlar uma maior amplitude de perturbação.
O primeiro pico ocorre para 0t = . Introduzindo esse valor para o tempo na
Equação (3.44) obtém-se:
86
( ) ( ) ( )45.3cosA0C ϕ=
Devido à dependência do coseno da Equação (3.42) em α, tanto na fase quanto
na frequência, os picos dessa equação são deslocados.
Para encontrar o tempo em que ocorre o segundo pico procedeu-se da seguinte
forma: encontrou-se o tempo em que a equação cruza o eixo do tempo pela
primeira vez e somou-se a ele um quarto do período de oscilação da função.
A função, Equação (3.42), irá cruzar o eixo do tempo pela primeira vez quando:
( ) ( )46.30tcos d =ϕ+ω
ou seja,
( )47.32
2tdωϕ−π
=
O período da função é:
( )48.32Tdωπ
=
Adicionando um quarto da Equação (3.48) à Equação (3.47), obtém-se o tempo
onde ocorre o segundo pico
( )49.3tdωϕ−π
=
Introduzindo o valor para o tempo do segundo pico na Equação (3.42) obtém-se:
( )50.3cosAeCd
d2
k
d
d
y
ϕ+
ωϕ−π
ω=
ωϕ−π
ωϕ−π
−
Igualando a Equação (3.45) à Equação (3.50), a igualdade entre as amplitudes
ocorrerá para α = 27,59 graus. Esse valor foi encontrado via solução pelo
87
programa de computador Maple, e a Figura (3.31) mostra o gráfico da Equação
(3.42) para este valor do ângulo.
FIGURA 3.31 - Amplitude de torque de controle com amplitude do primeiro e segundo picos de aproximadamente 521 N.m.
Via simulação no programa de computador Matlab/Simulink, o valor encontrado
para o ângulo α = 27,10°, está bem próximo do valor encontrado por solução
numérica, via programa Maple, como mostrado acima.
Para esse valor do ângulo α = 27.10° e o valor para o ganho k = 1,6 tem-se
ky = 1,42 e kz = 0,73. Esse valor de ky implica num tempo de assentamento de
5,62s, o que não é uma variação muito grande do tempo arbitrado de 5s. As
Figuras (3.32), (3.33), (3.34) e (3.35) mostram os gráficos da amplitude de torque
de controle, dos ângulos de Euler, do movimento de precessão e de componentes
de velocidade angular do SRC, respectivamente, para atuação do sistema de
controle 5s após à entrada de perturbação, de acordo com a
Figura (3.3a). As Figuras (3.36), (3.37), (3.38) e (3.39) exemplificam a situação
onde o sistema de controle atua simultaneamente á entrada de perturbação, de
acordo com a Figura (3.3b).
88
FIGURA 3.32 - Torque de controle para perturbação impulsional (Controle atua 5s após a perturbação). Pico máximo de torque de controle de 579.80 N.m.
FIGURA 3.33 - Ângulos de Euler (Sistema de controle atua 5s após a entrada de perturbação).
89
FIGURA 3.34 - Movimento de precessão com o sistema de controle atuando 5s após a entrada de perturbação. Amplitude de 3.43°.
FIGURA 3.35 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC. Sistema de controle atua 5s após a entrada de perturbação
90
FIGURA 3.36 - Torque de controle para perturbação impulsional (Controle atua simultaneamente à perturbação). Pico máximo de torque de 521.40 N.m .
FIGURA 3.37 - Ângulos de Euler ( Sistema de controle atua simultaneamente à entrada de perturbação).
91
FIGURA 3.38 - Movimento de precessão (Sistema de controle atuandosimultaneamente à perturbação). Amplitude de 0.70°.
FIGURA 3.39 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC. Sistema de controle atua simultaneamente à entrada de perturbação.
Devido a problemas de impressão não é possível observar o comportamento da
equação de controle na Figura (3.36). Fazendo uma simulação num intervalo de
92
tempo menor é possível observar o comportamento do primeiro e segundo picos
de torque de controle, como mostrado na Figura (3.40).
FIGURA 3.40 - Torque de controle para perturbação impulsional para um intervalo de tempo de 0 a 1s (Controle atua simultaneamente à perturbação). Pico máximo de torque de 521.40 N.m.
Novamente a situação em que o sistema de controle atua simultaneamente à
entrada de perturbação apresenta um melhor resultado, tanto para amplitude de
torque de controle quanto para amplitude de movimento de precessão. Esses
fatos já foram observados para o sistema de controle de dois eixos.
Comparando as leis de controle estudadas, verifica-se que o sistema de controle
de um eixo requer uma amplitude de torque maior para controlar o veículo, com
uma diferença de aproximadamente 125.30 N.m, ou seja, um acréscimo de
31,63% em relação ao sistema de controle de dois eixos. Por outro lado, a
amplitude de movimento de precessão estacionado é maior para o sistema de
controle de dois eixos do que para o sistema de controle de um eixo, com uma
diferença de aproximadamente 0.05 graus, ou seja, um decréscimo de 6,67%.
Deve-se levar em conta ainda a vantagem do sistema de controle de um eixo que
diminui o número de atuadores e sensores no sistema de controle embarcado,
redução de massa que pode ser convertida em carga útil. A melhor vantagem
93
depende agora de um balanceamento e critério de escolha para um projeto de
missão espacial específico.
A seguir são apresentados os estudos referentes a entrada de perturbação
constante, como função degrau.
2) ENTRADA DEGRAU
Para entrada de perturbação como função degrau sBu y = , a equação de
comando de controle, Equação (3.40) fica:
( ) ( )51.3))k(sks(s
Bk)k(sks
BksC
zy2
z
zy2
y
−λλ++λ
+−λλ++
−=
ou
( ) ( )52.3))k(sks(s
)ksk(BsC
zy2
zy
−λλ++
λ−−=
O valor temporal da equação de comando, Equação (3.52), é:
( ) ( ) ( )53.3tsenAetC d
t2
k y
ϕ+ω−=−
onde ( )
2
kk4 2yz
d
−−λλ=ω ,
( )
)k)k(4)(k()k)k(4(k)kk2)k(k(k
BA 2yzz
2yz
2z
2zyzyz
−−λλ−λλ
−−λλλ+−−λλ−λ= ,
onde B é a amplitude de perturbação, e:
94
−λλ−−λλ
−−λλλ−=ϕ
))k()k(k2(k
k)k(4karctan
zzzy
2yzz
Como foi dito e analisado anteriormente no item 2 da seção (3.3.1.1), a amplitude
de torque de controle para entrada de perturbação instantânea (impulsional) é
maior do que para entrada de perturbação constante (degrau). Assim, os valores
de ky e kz (equivalem a α = 27,10 graus) encontrados nessa seção para o caso de
entrada de perturbação impulsional serão aqui usados para obter os gráficos
mostrados a seguir.
As Figuras (3.40) e (3.44), (3.41) e (3.45), (3.42) e (3.46), (3.44) e (3.47), mostram
os gráficos da amplitude de torque de controle, Equação (3.53) em módulo,
ângulos de Euler, movimento de precessão e velocidade angular do SRC,
respectivamente. Os tempos de atuação da perturbação e do sistema de controle
sobre o veículo espacial são mostrados na Figura (3.21). Para as figuras da
primeira coluna o sistema de controle atua após a entrada de perturbação e para
as da segunda coluna simultaneamente à entrada de perturbação.
FIGURA 3.41 - Torque de controle para perturbação degrau (Controle atua 3s após a perturbação). Pico máximo de torque de controle de 62.00 N.m.
95
FIGURA 3.42 - Ângulos de Euler
FIGURA 3.43 - Movimento de Precessão controlado (Controle atua 3s após a perturbação). Amplitude de 0.46°.
96
FIGURA 3.44 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC (Controle atua 3s após a perturbação).
FIGURA 3.45 - Torque de controle para perturbação degrau (Controle atua simultaneamente à perturbação). Pico máximo de torque de controle de 62.10 N.m.
97
FIGURA 3.46 - Ângulos de Euler
FIGURA 3.47 - Movimento de Precessão controlado (Controle atua simultaneamente à perturbação). Amplitude 0.
98
FIGURA 3.48 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC (Controle atua simultaneamente à perturbação).
Como pode ser observado nas Figuras (3.42) e (3.46), para esse caso também, de
controle de um eixo, a situação onde o sistema de controle atua simultaneamente
á entrada da perturbação é a melhor, pois conduz o movimento de precessão à
origem.
O sistema de controle de um eixo apresenta um maior pico de torque de controle
em relação ao sistema de controle de dois eixos, uma diferença de 8.40 N.m, que
implica num acréscimo de 15,64%. Como os dois sistemas de controle
apresentam o mesmo resultado em termos de amplitude de movimento de
precessão, deve haver, como para o caso de perturbação instantânea
(impulsional), uma análise a nível de projeto de missão espacial, para encontrar
um critério de escolha em termos de torque de controle disponível e a vantagem
apresentada pelo sistema de controle de um eixo, de redução do número de
atuadores e sensores.
Um retorno nas oscilações, no tempo de 10s, mostrado nas Figuras (3.40) e
(3.44), de amplitude de torque de controle e nas Figuras (3.43) e (3.47) de
componentes de velocidade é porque a perturbação deixa de atuar sobre o veículo
mas o controle continua ligado, sendo ele agora a perturbação sobre o veículo.
99
3.3.2.2 PERTURBAÇÃO NA DIREÇÃO DO EIXO Z
Nessa seção é analisado o efeito de entrada de perturbação na direção do eixo z,
perpendicular ao eixo de atuação do sistema de controle.
A implantação de uma lei de controle de realimentação proporcional às
componentes de velocidade angular (y e z), do SRC, com atuação em apenas um
eixo (y), e perturbação perpendicular, é como mostram as Equações (3.54):
( )( ) ( )b55.3tu
a54.3kk
zyz
zzyyzy
+λω−=ω
ω−ω−λω=ω
&
&
onde ( )tu z é a entrada de perturbação na direção do eixo (z), ky e kz são os
ganhos de realimentação de cada componente.
A relação entre os ganhos ky e kz e o ângulo α, de defasagem do sensor, é de
acordo com as Equações (3.43), e a defasagem do eixo sensor com o eixo de
atuação de acordo com a Figura (3.28b).
Como só muda a consideração da direção de entrada de perturbação sobre o
veículo, a equação de comando de controle é a mesma da seção (3.3.2.1),
Equação (3.29).
A Figura (3.48) mostra o diagrama de blocos desse sistema de controle.
FIGURA 3.49 - Diagrama de blocos do sistema de controle com atuação em apenas um eixo (y), e perturbação no eixo z, perpendicular à atuação.
100
As Equações (3.54) levam às seguintes funções de transferência,
( ) ( ) ( )
( ) ( )b55.3)s(u)k(sks
)ks(s
a55.3)s(u)k(sks
ks
zzy
2y
z
zzy
2z
y
−λλ++
+=ω
−λλ++−λ
=ω
A seguir apresenta-se a análise do sistema de controle quanto a estabilidade,
controlabilidade, tempo de assentamento e torque de controle.
ESTABILIDADE
Como a equação característica das funções de transferência é a mesma das
funções de transferência da seção (3.3.2.1), vale a mesma condição de
estabilidade naquela seção.
CONTROLABILIDADE
Considerando o caso de perturbação em apenas um eixo (z), que é o caso
analisado nessa seção, de acordo com a Equação (3.33), a matriz de
controlabilidade é:
( )56.301
k0C z
1
−λ=
1C quer dizer matriz de controlabilidade para o sistema de controle com
perturbação em apenas um eixo.
Como pode-se observar da Equação (3.56), a matriz 1C é de posto 2 o que
implica que o sistema de controle, com entrada de perturbação perpendicular ao
eixo de atuação é completamente controlável pelo estado.
TEMPO DE ASSENTAMENTO
A equação para o tempo de assentamento é a mesma da seção (3.2.2.1) pois as
equações características são as mesmas.
101
Torque Mínimo de Comando de Controle
Introduzindo as transformadas de Laplace das componentes de velocidade
angular, Equações (3.55), na Equação (3.38), a equação de comando de controle
fica como:
( ) ( ) ( )57.3su)k(sks
)ksk(sC z
zy2
yz
−λλ++
λ+−=
Para analisar a equação do comando de controle considera-se duas entradas de
teste de perturbação usuais, impulsional e degrau.
1) ENTRADA IMPULSIONAL
Para entrada impulsional uz = B, a Equação (3.57) se torna:
( ) ( )58.3)k(sks
)ksk(BsC
zy2
yz
−λλ++
λ+−=
O valor temporal para Equação (3.58) é:
( ) ( ) ( )59.3tcosAetC dtk y ϕ+ω= −
( )4
kk
2y
zd −−λλ=ω ,
2z
2y
2yz
2z
d
)k2(k)kk(4(k2
BA −λ+−−λλω
−= , onde B é a amplitude de
perturbação,
( )
ω
−λ−=ϕ
dz
zy
k2k2k
arctan
102
Como feito nas seções anteriores, deve-se encontrar um valor para o ângulo α
que implica em um torque de controle para o sistema, ou seja, um mínimo para
Equação (3.59).
Na seção (3.3.2.1), para o item que considera perturbação impulsional, encontrou-
se que o mínimo de amplitude de torque de controle ocorre onde a amplitude do
primeiro e segundo picos são iguais. Procurando o ângulo α onde o primeiro pico
de torque de controle se iguala ao segundo na Equação (3.59), encontra α = 90º.
No entanto, este ângulo não implica em um mínimo de torque de controle como
encontrado naquela seção. Fazendo simulações no programa de computador
Matlab/Simulink para vários valores de ângulo α encontrou-se que um mínimo de
torque de controle ocorre para α = -15°.
Para esse valor de α tem-se os seguintes valores para os ganhos:
41,0k e1,55 k zy −==
Desse valor de ky tem-se um tempo de assentamento de 5,18s, o que não varia
muito do valor arbitrado de 5s.
Para esses valores de ky e kz, tem-se as Figuras (3.49) e (3.53) de amplitude de
torque de comando, as Figuras (3.50) e (3.54) de ângulos de Euler (psi e theta), as
Figuras (3.51) e (3.55) do movimento de precessão e as Figuras (3.52) e (3.56) de
componentes de velocidade angular do SRC. A atuação do sistema de controle e
de entrada de perturbação é de acordo com a Figura (3.3).
103
FIGURA 3.50 - Torque de controle para perturbação impulsional (Controle atua 5s após a perturbação). Pico máximo de torque de controle de 519.50 N.m.
FIGURA 3.51 - Ângulos de Euler (Sistema de controle atua 5s após a entrada de perturbação).
104
FIGURA 3.52 - Movimento de precessão com o sistema de controle atuando 5s após a entrada de perturbação. Amplitude de 3.78°.
FIGURA 3.53 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC (Controle atua 5s após a entrada de perturbação).
105
FIGURA 3.54 - Torque de controle para perturbação impulsional (Controle atua simultaneamente à perturbação). Pico máximo de torque de 527.60 N.m .
FIGURA 3.55 - Ângulos de Euler (Sistema de controle atua simultaneamente à entrada de perturbação).
106
FIGURA 3.56 - Movimento de Precessão controlado (Controle atua simultaneamente à perturbação). Amplitude de 0.79°.
FIGURA 3.57 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC (Controle atua simultaneamente à entrada de perturbação).
Para controlar o veículo sob perturbação perpendicular ao eixo de atuação requer
um torque de controle menor para situação em que o sistema de controle atua, por
exemplo, 5s após a entrada de perturbação do que para o sistema de controle
atuando simultaneamente à perturbação, com uma diferença de 8.1 N.m,
implicando em um acréscimo de 1,56% apenas sobre a primeira situação. Apesar
107
desse pequeno acréscimo de torque de controle, a situação em que o sistema de
controle atua simultaneamente ainda apresenta uma larga vantagem em termo de
amplitude de precessão, com uma diferença de 2,99°, implicando em um
decréscimo de 79,10% em relação à situação em que o sistema de controle atua
5s após a perturbação, como pode ser observado comparando as Figuras (3.51) e
(3.54).
2) ENTRADA DEGRAU
Para entrada de perturbação constante, como função degrau sBu y = , a equação
de comando de controle, Equação (3.57), fica:
( ) ( )60.3))k(sks(s
)ksk(BsC
zy2
yz
−λλ++
λ+−=
O valor temporal da equação de comando de controle, Equação (3.60), é:
( ) ( ) ( )61.3tcosAetC d
t2
k y
ϕ+ω=−
onde ( )4
kk
2y
zd −−λλ=ω ,
2y
2zzz
2y
dz
k))k(k)k(k(4)k(2
BA +−λ−−λλω−λ
= , onde B é a amplitude de
perturbação, e
( )
−λλ−λλ−
ωλ−=ϕ
zzz2y
dy
k))k(kk(k
arctan
Como feito para as seções anteriores, serão considerados os ganhos encontrados
para entrada de perturbação impulsional, pois chegou-se a conclusão que o torque
108
de comando de controle para essa perturbação é maior do que para perturbação
degrau.
Serão portanto considerados os seguintes valores para os ganhos:
41,0k e1,55 k zy −==
Para esses valores de ky e kz, tem-se os gráficos mostrados nas figuras a seguir,
simulados em programa de computador Matlab/Simulink. Nas Figuras (3.57) e
(3.61) tem-se a amplitude de torque de controle, nas Figuras (3.58) e (3.62) os
ângulos de Euler (psi e theta), nas Figuras (3.59) e (3.63) o movimento de
precessão controlado e nas Figuras (3.60) e (3.64) as componentes de velocidade
angular do SRC. Os tempos de atuação do sistema de controle e de entrada de
perturbação são de acordo com a Figura (3.21). E os parâmetros das equações
simuladas são os que constam no Apêndice B.
FIGURA 3.58 - Torque de controle para perturbação degrau (Controle atua 3s após a perturbação). Pico máximo de torque de controle de 82.10 N.m.
109
FIGURA 3.59 - Ângulos de Euler
FIGURA 3.60 - Movimento de Precessão controlado (Controle atua 3s após a perturbação). Amplitude de 0.15°.
110
FIGURA 3.61 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC (Controle atua 3s após a perturbação).
FIGURA 3.62 - Torque de controle para perturbação degrau (Controle atua simultaneamente à perturbação). Pico máximo de torque de controle de 82.00 N.m.
111
FIGURA 3.63 - Ângulos de Euler
FIGURA 3.64 - Movimento de Precessão controlado (Controle atua simultaneamente à perturbação). Amplitude 0.
112
FIGURA 3.65 - Componentes y e z de velocidade angular do SRC (Controle atua simultaneamente à perturbação)
Novamente a situação em que o sistema de controle atua simultaneamente à
entrada de perturbação apresenta um melhor resultado, onde o movimento de
precessão é conduzido à origem. Os picos máximos de torque de controle são
aproximadamente os mesmos para as duas situações.
No gráfico da Figura (3.63), movimento de precessão, pode parecer que o veículo
abre uma grande amplitude de movimento antes de voltar à origem, mas a
amplitude é da ordem de 10-4 rad (0.006°), ou seja, bem pequena. Fato este que
pode ser verificado também observando a Figura (3.62) dos ângulos de Euler.
3.4 CONCLUSÃO
O sistema de controle de um eixo apresenta uma grande vantagem sobre o
sistema de controle de dois eixos se levar em conta a redução do número de
atuadores e sensores utilizados e uma menor amplitude de movimento de
precessão, em torno de 6.67% menor. Uma desvantagem é quanto ao torque de
controle necessário, em torno de 31.63% maior.
Como o sistema de controle não é de realimentação de ângulos de Euler, ele não
garante que o movimento de precessão será conduzido à origem, mas que apenas
113
haverá uma redução em sua amplitude, fato que pode ser observado
principalmente quando da atuação de perturbação impulsional. Além do mais, não
é possível predeterminar a posição do eixo longitudinal do veículo depois da
atuação do sistema de controle, porque isso depende da orientação da entrada de
perturbação em relação ao eixo de atuação. No entanto, é possível determinar que
a posição final estará sobre a superfície de um cone que tem como o eixo o vetor
momento angular e cujo ângulo entre o eixo longitudinal e esse vetor é a
amplitude de movimento de precessão, como ilustra a Figura (3.65).
FIGURA 3.66 - Desvio do eixo longitudinal do veículo com o eixo do vetor momento angular. O ângulo δ é a amplitude do movimento de precessão.
O ângulo δ de amplitude de precessão é:
22 ψ+θ=δ
O ângulo α, de localização do eixo sensor com o eixo de atuação, difere quando
considera-se entrada de perturbação paralela (α = 25.71°) ou entrada de
perturbação perpendicular (α = -15°). Isto resulta num problema, porque esse
ângulo deve ser escolhido previamente e deve independer da entrada de
perturbação sobre o veículo, a qual não pode ser predeterminada. O Capítulo 4
mostra um estudo que encontra um ângulo α para todas as possíveis entradas de
perturbação.
114
115
CAPÍTULO 4
VARIAÇÃO DA PERTURBAÇÃO E DA ROTAÇÃO
Como observado nos resultados da seção 3.3.2 (controle de um eixo) a escolha
da orientação do eixo sensor com o eixo de atuação, representada pelo ângulo α,
depende se a entrada de perturbação sobre o veículo espacial é perpendicular ou
paralela ao eixo de atuação do sistema de controle. Isto mostra que o sistema de
controle é sensitivo à orientação da entrada de perturbação e, desta forma,
necessita de um estudo para verificar como é a dependência de localização do
eixo sensor em relação ao eixo de controle. Neste estudo não se atentará à
variação da amplitude da perturbação, o que implica numa relação direta com o
torque de controle, mas somente com sua orientação.
Outra questão a ser abordada é a sensibilidade do ângulo α quanto à variação da
rotação do veículo espacial. Não será considerado, no entanto, variação da
rotação durante o vôo do veículo, mas apenas diferentes valores de rotação
induzida, para uma certa missão, a qual será considerada constante por todo
tempo de trajetória em estudo.
Estes serão os dois temas abordados nesse capítulo, sendo que na primeira
seção será apresentado os estudos quanto à variação da perturbação e na
segunda quanto à variação da rotação.
4.1 VARIAÇÃO DA PERTURBAÇÃO
Perturbações surgem sobre um veículo espacial aleatoriamente, não sendo
possível determinar sua orientação em relação ao eixo de controle do veículo. As
perturbações de natureza constante, que podem ser consideradas como função
degrau, estão presas ao corpo do veículo, e como este está girando, não é
116
necessário ter conhecimento sobre suas orientações, pois a perturbação vai girar
junto com o veículo. Já para as de natureza instantânea, que podem ser
consideradas como função impulso, é necessário se ter conhecimento sobre sua
orientação. Mas, devido à natureza aleatória da perturbação, isso não é possível.
Assim, uma solução é encontrar um ângulo α (ou uma região de valores para esse
ângulo), que controle todas as possíveis perturbações, que varia de acordo com
sua orientação em relação ao eixo de controle, com uma menor amplitude de
torque.
Essa seção vai mostrar, portanto, um estudo que determina qual o ângulo α que
implica em controlar, com valores mínimos de amplitude de torque, prevalecendo
todas as hipóteses e condições consideradas nos estudos anteriores, todas as
possíveis orientações de entrada de perturbação sobre o veículo.
Como a entrada de perturbação pode ser decomposta em componentes nos eixos
x e y, as equações de Euler, Eqs. (2.3), (2.4) e (2.5), se tornam:
( ) ( )( ) ( )2.4tu
1.4tukk
zyz
yzzyyzy
+λω−=ω
+ω−ω−λω=ω
&
&
onde as componentes uy e uz são:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )4.4sinBtu
3.4cosBtu
z
y
ϕ=
ϕ=
onde B é a amplitude de entrada de perturbação e ϕ (0 < ϕ < π/2) é o ângulo de
variação da orientação do eixo de perturbação com o eixo de controle, como
mostra a Figura (4.1).
117
FIGURA 4.1 - Variação da orientação da entrada de perturbação com o eixo de torque de controle (u é a amplitude total, igual a B).
As transformadas de Laplace das componentes de velocidade angular do SRC,
Equações (4.1) e (4.2), são:
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )6.4u
ksksu
ksksks
5.4uksks
suksks
k
yzy
2zzy
2y
z
yzy
2zzy
2z
y
−λλ++λ
−−λλ++
+=ω
−λλ+++
−λλ++−λ
=ω
Dessa forma a equação de controle, Eq. (3.40), se torna:
( )( )
( )( ) ( )7.4u
ksksksk
uksks
ksk)s(C y
zy2
zyz
zy2
yz
−λλ++
λ−−
−λλ++
λ+−=
A solução temporal da equação de controle, Equação (4.7), tem agora três
variáveis independentes (t,α,ϕ), o que torna difícil obter uma solução analítica para
encontrar um valor para o ângulo α que resulte em uma menor amplitude de
torque de controle. Portanto, deve-se encontrar um valor, ou valores, para α,
considerando todas as possíveis orientações de entrada de perturbação, por
solução numérica.
A dependência da Equação (4.7) sobre o ângulo α vem das equações para os
ganhos ky e kz, de acordo com as Equações (3.32) e (3.33).
118
O gráfico da Figura (4.2) mostra a relação entre o ângulo α e a amplitude de
torque de controle para os valores do ângulo ϕ, que constam na legenda da figura.
A obtenção do gráfico é a partir da solução numérica da Equação (4.7), no
programa de computador Matlab/Simulink, com os parâmetros do veículo de
acordo com os dados da Tabela 1 do apêndice B.
Para todas as curvas da Figura (4.2) procurou-se manter a amplitude do ganho k
constante, ou seja,
( )8.46.1kkk 2z
2y =+=
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100520
540
560
580
600
620
640Amplitude de torque de controle com variaç õ es do ganho e perturbaç ã o
Ângulo alpha (graus)
Torq
ue d
e C
ontro
le (N
.m)
00°05°15°25°30°45°50°60°75°90°
FIGURA 4.2 - Gráfico da amplitude de torque de controle versus variação do ângulo α para os seguintes ângulos de entrada de perturbação: 0°, 5°, 15º, 25°, 30°, 45°, 50°, 60°, 75° e 90°.
Observando o gráfico da Figura (4.2) nota-se que para um ângulo α = - 60° tem-se
uma menor variação da amplitude de torque de controle para todos os ângulos de
entrada de perturbação analisados. No entanto, esse ângulo implica num ganho ky
= 0.5, de acordo com as Equações (3.32) e (4.8), o que resulta num tempo de
assentamento de ts = 16s, de acordo com a Equação (3.39). Esse valor é,
portanto, muito maior que o valor arbitrado para o tempo de assentamento de 5s,
119
usado nas seções anteriores. Assim, o melhor valor para o ângulo α de acordo
com o gráfico da Figura (4.2) não é uma boa escolha, assumindo uma amplitude
de ganho constante.
Uma solução para encontrar o ângulo α, mantendo um tempo de assentamento de
5s, é manter ky = 1.6, fixo. Isto implica em variar a amplitude do ganho k , de
acordo com as Equações (3.32) e (3.33), ao mesmo tempo que α varia. A Figura
(4.3) mostra o gráfico da amplitude de torque de controle versus ângulo α, obtido
por solução numérica da Equação (4.7) no programa de computador
Matlab/Simulink.
-60 -40 -20 0 20 40 60500
600
700
800
900
1000
1100
1200Amplitude de torque de controle com variaç õ es do ganho e perturbaç ã o
Ângulo alpha (graus)
Torq
ue d
e C
ontro
le (N
.m)
00°05°15°30°45°60°75°90°
FIGURA 4.3 - Gráfico da amplitude de torque de controle versus variação do ângulo α para os seguintes ângulos de entrada de perturbação (0°, 5°, 15º, 30°, 45°, 60°, 75° e 90°), considerando ky = 1.6, constante.
Uma ampliação da Figura (4.3) permitirá uma melhor vizualização na região onde
mostra existir um ângulo α que implica em uma menor amplitude de controle,
como mostra a Figura (4.4).
120
-15 -10 -5 0 5530
540
550
560
570
580
590
600Amplitude de torque de controle com variaç õ es do ganho e perturbaç ã o
Ângulo alpha (graus)
Torq
ue d
e C
ontro
le (N
.m)
FIGURA 4.4 - Ampliação da Fig. (4.3) para ângulos α entre -15° e 5°. Vale a seguinte simbologia para cada ângulo ϕ de entrada de perturbação Ο 0°, 5°, +15º, ∆30°, ∗45°, 60°, ◊75° e x90°.
Do gráfico da Figura (4.4) fica mais nítido que um melhor valor para o ângulo α,
está dentro da faixa de -5° a -2°, o que implica em ganhos dentro da faixa de kz = -
0.14 a kz = -0.06, respectivamente, de acordo com a Equação (3.33),
considerando ky = 1.6 (constante).
4.2 VARIAÇÃO DA ROTAÇÃO
Uma redução da rotação do veículo espacial implica num menor torque de
controle necessário para estacionar o movimento de precessão, pois diminui a
rigidez giroscópica do veículo. No entanto, a amplitude do ângulo de precessão
será maior com essa diminuição da rotação.
Antes da apresentação dos gráficos das soluções numéricas da Equação (4.7),
para diferentes valores da rotação do veículo, pode-se fazer uma breve análise a
respeito da sensibilidade do ângulo α com a variação da rotação: Ao variar a
rotação do veículo varia o torque de controle, como mencionado acima, o que
121
implica em variar também os ganhos ky e kz, de acordo com a Eq. (4.7). Estes
ganhos, por sua vez, são dependentes do ângulo α, de acordo com as Eqs. (3.32)
e (3.33).
A dependência das Equações (4.1), (4.2) e consequentemente a Equação (4.7),
com a rotação do veículo está relacionada ao parâmetro λ, que é diretamente
proporcional à rotação induzida, de acordo com a Equação (2.10) que será rescrita
nessa seção,
( )nJ
JJ 1−=λ
onde n é a rotação induzida sobre o veículo.
Foram feitas análises para alguns valores de rotação n (deve-se lembrar que não
se está considerando variação da rotação durante o vôo), os quais permitem
comprovar a sensibilidade da localização do ângulo α quando se varia a rotação.
O procedimento de trabalho foi refazer toda a análise da seção anterior para cada
valor de rotação escolhido.
A seguir são apresentados os gráficos das soluções numéricas da Equação (4.7),
para os seguintes valores de rotação: 1 rps, 2 rps e 3 rps.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20450
500
550
600
650
700
750
800
850A m plitude de torque de controle com variaç õ es da rotaç ã o.
 ngulo alpha (graus)
Torque
de co
ntrole (N
.m)
a) 1 rps, 5° < α < 10°
-15 -10 -5 0 5530
540
550
560
570
580
590
600A m plitude de torque de controle com variaç õ es do ganho e perturbaç ã o
 ngulo alpha (graus)
Torque
de Con
trole (N
.m)
b) 2 rps, -5° < α < -2°
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20540
560
580
600
620
640
660Amplitude de torque de controle com variaç õ es da rotaç ã o.
Ângulo alpha (graus)
Torq
ue d
e co
ntro
le (N
.m)
c) 3 rps, α = -5°
FIGURA 4.5 - Gráficos de amplitude de torque de controle por α considerando para diferentes valores de rotação. Para todos os gráficos tem-se a seguinte simbologia para cada ângulo ϕ de entrada de perturbação Ο 0°, 5°, +15º, ∆30°, ∗45°, 60°, ◊75° e x90°)
123
Dos gráficos da Figura (4.5) têm-se que para uma rotação de 1rps do veículo a
melhor localização do eixo sensor com o eixo de controle está dentro da faixa de
5° a 10°, para 2rps de -5° a -2° e para 3rps α = -5°, aproximadamente. A
conclusão é que quanto maior a rotação mais negativo é o ângulo α, o que implica
num maior avanço de fase mecânico. No caso da rotação de 1rps implica num
atraso de fase mecânico.
A seguir são mostradas figuras de movimento de precessão e amplitude de torque
de controle para cada rotação considerada acima.
a)
b)FIGURA 4.6 - A figura (a) é o gráfico de amplitude de torque de controle (picomáximo de 581 N.m), e a figura (b) o movimento de precessão estacionado em 5s(amplitude de 0.74° ), para o sistema de controle de um eixo (controle atuasimultaneamente à entrada de perturbação), considerando rotação de 1 rps ( α =7,5°, ky = 1,6, fixo, e kz = 0,209).
124
a)
b)
FIGURA 4.7 - A figura (a) é o gráfico de amplitude de torque de controle (pico máximo de 584 N.m), e a figura (b) o movimento de precessão estacionado em 5s (amplitude de 0.74° ), para o sistema de controle de um eixo (controle atua simultaneamente à entrada de perturbação), considerando rotação de 2 rps ( α = -3, ky = 1,6, fixo, e kz = -0,084).
125
a)
b)FIGURA 4.8 - A figura (a) é o gráfico de amplitude de torque de controle (pico
máximo de 586 N.m), e a figura (b) o movimento de precessão estacionado em 5s (amplitude de 0.75° ), para o sistema de controle de um eixo (controle atua simultaneamente à entrada de perturbação), considerando rotação de 3 rps ( α = -5, ky = 1,6, fixo, e kz = -0,139).
126
4.3 CONCLUSÃO
Da Figura (4.3) observa-se que, dada uma certa rotação para o veículo espacial, é
possível encontrar um ângulo α, de defasagem do eixo sensor com o eixo de
atuação, que controle o movimento de precessão com uma menor variação entre
os picos máximos de torque de controle, para todas as possíveis orientações de
entrada de perturbação sobre o veículo (0° < ϕ < 90°). Ainda de acordo com a
Figura (4.3) tem-se que para uma rotação de 2 rps o intervalo de valores para o
ângulo é de -5° < α < -2°.
Os gráficos da Figura (4.5) mostra os valores do ângulo α encontrados
considerando rotações do veículo de 1 rps e 3 rps. Nota-se portanto, que o ângulo
α é sensível à rotação induzida sobre o veículo espacial, que foi considerada
constante durante em todo o tempo de vôo considerado.
127
CAPÍTULO 5
SISTEMA DE CONTROLE PROPORCIONAL COM ACIONADOR ON-OFF
Como expressado no Capítulo 1, apesar de atuador proporcional não ser
empregado em sistemas de controle reais, seu estudo é importante como ponto de
partida para estudo e implementação de sistemas de controle mais realísticos.
Nesse capítulo são apresentados estudos de um sistema de controle proporcional
com acionador on-off (liga-desliga), que são atuadores largamente utilizados em
sistemas de controle ativo de veículos espaciais.
Serão apresentadas, novamente, duas situações de atuação do sistema de
controle, em um e dois eixos. Para o caso do controle de dois eixos serão usados
os mesmo ganhos da seção (3.3.1.1), e para o caso do controle de um eixo será
usado α = -3°, que está dentro do intervalo de -5° a -2° encontrado para o caso do
veículo espacial estabilizado com rotação de 2 rps em torno do seu eixo
longitudinal (menor momento de inércia). A seção (5.1) mostra os estudos para o
primeiro caso e a seção (5.2) para o segundo.
5.1 REALIMENTAÇÃO DE DUAS COMPONENTES DE VELOCIDADE ANGULAR
O sistema de controle de dois eixos, proporcional a componentes de velocidade
angular do SRC, com atuador on-off, é como representado no diagrama de blocos
da Figura (5.1).
FIGURA 5.1 - Diagrama de blocos do sistema de controle de dois eixos com
atuador on-off.
128
Para esse sistema de controle tem-se as seguintes equações de Euler de
movimento rotacional:
( ) ( )( )b1.5c
a1.5tuc
zyz
yyzy
−λω−=ω
+−λω=ω
&
&
onde
>ω+
<ω−=
0kse1
0kse1c
yy
yy
y e
>ω+
<ω−=
0kse1
0kse1c
zz
zz
z ,
( )tu y é a entrada de perturbação na direção do eixo y, ky e kz são os ganhos de
realimentação de cada componente.
As saídas dos comandos cy e cz são multiplicadas por uma constante c = 0,0033,
para serem convertidas em torque de controle. Essa constante equivale a um
torque de 115 N.m dividido pelo momento de inércia transversal ao eixo
longitudinal de 34641 kg.m2.
Para simulação desse sistema de controle são considerados os seguintes valores
dos ganhos, encontrados na seção (3.3.1.1), ky = 0,8 e kz = 0,8. Tem-se, portanto,
as seguintes figuras de torque de controle, ângulos de Euler (ψ e θ), movimento de
precessão e componentes de velocidade angular ( y e z). O sistema de controle
atua simultaneamente à entrada de perturbação, de acordo com a
Figura (3.12b).
129
FIGURA 5.2 - Componentes de velocidade angular do SRC. Atinge o estado estacionário em 2.5s.
FIGURA 5.3 - Ângulos de Euler.
130
FIGURA 5.4 - Amplitude de torque de controle de 230N.m. Frequência de abertura das válvulas de 2Hz.
FIGURA 5.5 - Movimento de precessão controlado para o sistema de controle on- off de dois eixos (controle atua simultaneamente à perturbação). Amplitude de 0.76°
Das simulações para esse sistema de controle procurou-se encontrar a amplitude
de torque de controle que parasse o movimento de precessão com
aproximadamente a mesma amplitude encontrada para o caso do sistema de
controle com atuador proporcional, estudado na seção (3.3.1.1), cujo valor
131
encontrado foi de 0,75°. Portanto, o valor aqui encontrado, de 0,76°, como pode
ser observado na Figura (5.5), é um valor bem próximo.
O sistema de controle com atuador on-off apresenta vantagens em relação ao
sistema de controle com atuador proporcional em termo de amplitude de torque de
controle (amplitude de 230 N.m), com um decréscimo de 41,93%, e tempo de
assentamento de 2.5 s (para o sistema de controle com atuador proporcional foi
arbitrado um tempo de assentamento de 5s).
132
5.2 REALIMENTAÇÃO DE UMA COMPONENTE DE VELOCIDADE ANGULAR
O sistema de controle de um eixo, proporcional a componentes de velocidade
angular do SRC, com atuador on-off, é como representado no diagrama de blocos
da Figura (5.6).
FIGURA 5.6 - Diagrama de blocos do sistema de controle de um eixo com atuador on-off.
Para esse sistema de controle tem-se as seguintes equações de Euler de
movimento rotacional:
( ) ( )( )b2.5
a2.5tuc
yz
yyzy
λω−=ω
+−λω=ω
&
&
onde ( )
( )
>ω+ω−+
<ω+ω−−=
0kkse1
0kkse1c
zzyy
zzyy
y ,
( )tu y é a entrada de perturbação na direção do eixo y, ky e kz são os ganhos de
realimentação de cada componente.
A saída do comando cy é multiplicada por uma constante c = 0,0072, para ser
convertida em torque. Essa constante equivale a um torque de 250 N.m dividido
pelo momento de inércia transversal ao eixo longitudinal de 34641 kg.m2.
Para simulação desse sistema de controle são considerados os valores dos
ganhos encontrados na seção (3.3.2.1), ky = 1,6 e kz = -0,08. Tem-se, portanto, as
133
seguintes figuras de torque de controle, ângulos de Euler (ψ e θ), movimento de
precessão e componentes de velocidade angular (y e z). O sistema de controle
atua simultaneamente à entrada de perturbação, de acordo com a
Figura (3.12b).
FIGURA 5.7 - Componentes de velocidade angular do SRC. Atinge o estado estacionário em 2,33s.
FIGURA 5.8 - Ângulos de Euler.
134
FIGURA 5.9 - Amplitude de torque de em 241,50N.m. Frequência de abertura das válvulas de 2Hz.
FIGURA 5.10 - Movimento de precessão controlado para o sistema de controle on- off de um eixo (controle atua simultaneamente à perturbação). Amplitude de 0,70°.
Novamente procurou-se por meio de simulações para esse sistema de controle a
amplitude de torque que resultasse numa amplitude de movimento de precessão
de 0,70°, como encontrado para o sistema de controle com atuador proporcional.
135
A amplitude de torque de controle encontrada é de 241,50 N.m, um decréscimo de
53,68% em relação ao atuador proporcional, e o tempo de assentamento de 2,33s.
5.3 CONCLUSÃO
O sistema de controle com atuador on-off mostrou-se satisfatório em estacionar o
movimento de precessão, além de apresentar grandes vantagens em relação ao
sistema de controle com atuador proporcional.
No foi no entanto estudado, para nenhum dos dois casos apresentados nesse
capítulo, condições ótimas em termos de amplitude de torque de controle, como
feito para o caso do sistema de controle com atuador proporcional. Foi notado
que, para o caso da seção (5.2), aumentando-se a amplitude do torque de controle
sobre o sistema diminui-se a amplitude de movimento de precessão. Isto é um fato
esperado, mas deve haver um compromisso entre a energia disponível no sistema
e a amplitude de movimento de precessão desejada. Isto é portanto um estudo de
otimização que pode ser realizado em trabalhos futuros.
136
137
CAPÍTULO 6
CONCLUSÃO E COMENTÁRIOS
O objetivo a que este trabalho se propôs a estudar foi alcançado, que é controlar o
movimento de precessão de um veículo espacial estabilizado por rotação, com
amplitude menor que 1°. Não é possível, no entanto, conduzi-lo à origem porque o
sistema de controle é de realimentação de velocidade angular, do sistema de
referência do corpo, e não de ângulo, do sistema de referência inercial.
O sistema de controle de um eixo mostrou-se mais vantajoso do que o sistema de
controle de dois eixos por diminuir o número de atuadores e sensores do sistema
de controle embarcado, devido a estratégia de defasar o eixo sensor do eixo de
atuação (representado pelo ângulo α), além de obter uma menor amplitude de
movimento de precessão, um decréscimo de 6,67%. Sua desvantagem é em
relação a amplitude de torque de controle, que apresenta um acréscimo de
31,63% em relação ao sistema de controle de dois eixos.
No Capítulo 4 são apresentados estudos que mostram que o ângulo α é sensível a
variações da rotação, e depende da orientação da entrada de perturbação em
relação aos eixos principais, transversais ao eixo longitudinal do veículo.
O sistema de controle com atuador on-off mostrou-se bastante satisfatório em
controlar o movimento de precessão, e o faz com amplitude de torque de controle
menor do que para o sistema de controle com atuador proporcional. Para o caso
do sistema de controle de dois eixos apresenta um decréscimo de 41,93% e para
o caso do sistema de controle de um eixo um decréscimo de 53,68%. Além disso,
apresenta um menor tempo de assentamento, de 2,5s para o controle de dois
eixos e de 2,33s para o controle de um eixo.
Alguns tópicos que surgiram durante os estudos desse trabalho, e não puderam
ser abordados, e algumas considerações que visam generalizar o problema, de
modo a aproximá-lo o máximo possível da realidade, são merecedores de
138
detalhados estudos e podem transformar em objetos de estudo para trabalhos
futuros, como:
a) Considerar variação de massa do veículo espacial;
b) Estabelecido um limite aceitável para a amplitude de movimento de precessão,
encontrar valores ótimos para a amplitude de torque de controle para o caso do
atuador on-off;
c) Considerar em todos os sistemas de controle estudados, efeitos de entrada de
perturbação que não estejam presas ao corpo do veículo espacial, como
perturbação gravitacional, arrasto aerodinâmico etc;
d) Implementar experimentalmente os sistemas de controle estudados numa
mesa de 3 eixos;
e) Encontrar valores para o ângulo α considerando o efeito de retardo dos
atuadores;
f) Digitalizar o controlador e considerar seus efeitos.
139
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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1967. 259p.
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asymmetric spacecraft. Journal of Guidance and Control, v.3, n.1,
p. 22-28, Jan.-Feb. 1980.
Cornelisse, J. W. Rocket propulsion dynamics. London: Pitman, 1979. 505p.
Ferri, J. F. Banco de dados do sistema de controle do veículo Sonda IV – PT.03. São José dos Campos: CTA, nov. 1987. (IAE-RT-020/EIC-COG/87).
Goldstein, H. Classical mechanics. Massachusets: Addison-Wesley, 1950. 672p.
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141
APÊNDICE A
EQUAÇÕES CINEMÁTICAS
A formulação da dinâmica de atitude de um veículo espacial e problemas de
controle envolvem considerações de cinemática. Este seção se preocupa com a
cinemática rotacional de um corpo rígido. Em cinemática rotacional está-se
interessado em descrever a orientação de um corpo que está em movimento
rotacional, sendo algo apenas de natureza matemática porque não envolve
nenhuma força associada a movimento.
A orientação de um sistema de referência B em relação a um sistema de
referência A pode ser descrita introduzindo a dependência temporal dos ângulos
de Euler, ψ& , θ& e φ& .
Considere a seqüência de rotação C1(φ) ← C2(θ) ← C3(ψ) de A para B, como
representada como:
C3(ψ) : A’ ← A A.(1)
C2(θ) : A’’ ← A’ A.(2)
C1(φ) : B ← A’’ A.(3)
onde cada rotação é descrita, respectivamente, por:
( )
ψψ−ψψ
=
ψ=
′′′
3
2
1
3
2
1
3
3
2
1
aaa
1000cossen0sencos
aaa
Caaa
r
r
r
r
r
r
r
r
r
A.(4)
( )
′′′
θθ
θ−θ=
′′′
θ=
′′′′′′
3
2
1
3
2
1
2
3
2
1
aaa
cos0sen010
sen0cos
aaa
Caaa
r
r
r
r
r
r
r
r
r
A.(5)
142
( )
′′′′′′
φφ−φφ=
′′′′′′
φ=
3
2
1
3
2
1
1
3
2
1
aaa
cossen0sencos0
001
aaa
Cbbb
r
r
r
r
r
r
r
r
r
A.(6)
O que se deseja é expressar o vetor velocidade angular ωr no sistema de
referência B a partir do sistema de referência A. As sucessivas rotações, Eqs.
(A.1), (A.2) e (A.3), são também representadas como:
AA:A/A ←′ω ′rA.(7)
AA:A/A ′←′′ω ′′′rA.(8)
AB:A/B ′′←ω ′′rA.(9)
e os vetores velocidade angular A/A′ωr
, A/A ′′′ωr
e A/B ′′ωr
são expressados como:
33A/A aa ′ψ=ψ=ω ′ r
&r&
rA.(10)
22A/A aa ′′θ=′θ=ω ′′′ r&r&r
A.(11)
11A/B ba
r&r&rφ=′′φ=ω ′′ A.(12)
O vetor velocidade angular A/Bωr
torna-se então:
A/Bωr
= A/B ′′ωr
+ A/A ′′′ωr
+ A/A′ωr
= 1br&φ + 2a ′′θ
r& + 3a′ψr& A.(13)
o qual pode ser rescrito como:
A/Bωr
= [ ] [ ] [ ]
ψ
′′′+
θ′′′′′′+
φ
&
rrr&rrr&
rrr00
aaa0
0aaa
00bbb 321321321 A.(14)
Das Eqs. (A.5) (A.6) tem-se:
143
[ ] [ ] ( )φ=′′′′′′ 1321321 Cbbbaaarrrrrr
A.(15)
[ ] [ ] ( ) ( )θφ=′′′ 31321321 CCbbbaaarrrrrr
A.(16)
devido ao vetor velocidade angular AB /ωω rr= poder também ser representado
como:
[ ]
ωωω
=ω+ω+ω=ω
3
2
1
321332211 bbbbbbrrrrrrr
A.(17)
Substituindo (A.15) e (A.16) em (A.14) obtém-se:
[ ] ( ) ( ) ( )
ψθφ+
θφ+
φ=ω
&
&
&rrrr 0
0CC
0
0C
00bbb 211321
A/B A.(18)
Comparando A.17 com A.18 obtém-se:
( ) ( ) ( )
ψθφ+
θφ+
φ=
ωωω
&
&
&
00
CC0
0C
00 211
3
2
1
A.(19)
De acordo com as matrizes de transformação C1(φ) e C2(θ), como visto na
Equações (A.5) e (A.6), e fazendo a multiplicação de matriz obtém-se:
ψθφ
θφφ−θφφ
θ−=
ωωω
&
&
&
coscossen0cossencos0
sen01
3
2
1
A.(20)
144
Considerando o sistema B como o sistema de referência centrado no centro de
massa do corpo (Sistema de Referência do Corpo – SRC) e o sistema A como um
sistema de referência inercial (Sistema de Referência Inercial – SRI), a Eq. (A.20)
representa uma orientação de um vetor no SRC a partir do SRI. No entanto para
se ter uma visualização do fenômeno físico em estudo deseja-se uma orientação
do vetor no SRI a partir do SRC, a qual pode ser vista como na equação abaixo:
ωωω
φφθφ−θφθφθφθ
θ=
ψθφ
3
2
1
cossen0sensencoscos0
sencossensencos
cos1
&
&
&
A.(21)
145
APÊNDICE B
B.1 TABELA COM OS DADOS DO FOGUETE SONDA IV.
O Sonda IV é um foguete construído no Instituto de Aeronáutica e Espaço (IAE) do
Centro Técnico Aeroespacial (CTA), São José dos Campos - SP.
TABELA B.1 - Parâmetros para simulação das leis de controle
x y z
Condição inicial de velocidade angular (rad/s) 12,56 0 0
Momento de inércia (kg.m2) 360,94 34641 34641
Torque de Perturbação (N.m) 0 367,5 367,5
Fonte: Ferri, J. F. Bando de dados do sistema de controle do veículo Sonda IV –
PT. 03.
Para os valores da Tabela (B.1) têm-se os valores para os seguintes parâmetros:
n = 12,56 rad/s (rotação em torno do eixo longitudinal)
λ = 12.43 rad/s (velocidade relativa de spin)
A constante B, encontrada nas equações de controle para cada tipo de atuação do
sistema de controle, tem a amplitude do valor da última linha da tabela 1, e
corresponde a uma condição inicial de aproximadamente 0.61 graus, para o caso
de entrada de perturbação impulsional.
146
147
APÊNDICE C
ARQUIVOS DE PROGRAMA DO MATLAB/SIMULINK
Arquivos de programas feitos no pacote Matlab/Simulink para simular os sistemas
de controle, proporcional e on-off, atuando em um e dois eixos.
C.1 PROGRAMA PARA CONTROLADOR PROPORCIONAL ATUANDO EM UM EIXO
148
C.2 PROGRAMA PARA CONTROLADOR PROPORCIONAL NOS DOIS EIXOS
149
C.3 PROGRAMA PARA CONTROLADOR ON-OFF