Universidade estadual de Campinas – UNICAMP

Faculdade engenharia mecânica – FEM

Engenharia de controle e automação

ES952 – Trabalho de Graduação II

Estudo da tecnologia Inductrack

para estabilização de mancal

magnético

Aluno: Marcelo Mitsuo Misu

Orientador: Luiz Otávio Saraiva Ferreira

Campinas

Novembro 2011

1

Marcelo Mitsuo Misu

RA 062736

Estudo da tecnologia Inductrack

para estabilização de mancal

magnético

Estudo da tecnologia

Inductrack para

estabilização de mancais

magnéticos como trabalho

de graduação do curso de

Engenharia de controle e

automação da Universidade

estadual de Campinas –

UNICAMP

Prof. Orientador: Prof. Dr. Luiz Otávio Saraiva Ferreira

2

Campinas 2011

Dedicatória

Dedico este trabalho à minha família que tanto

me apóia e me dá condições para poder realizar

meus sonhos

Agradecimentos

Ao professor Luiz Otávio, meu orientador, e

ao Marcilio, técnico do laboratório e todos que

tornaram este trabalho possível e agradeço aos

meus amigos de faculdade e também os da

república que conviveram comigo ao longo de toda

graduação

3

Resumo

MISU, Marcelo Mitsuo, Estudo da tecnologia Inductrack para

estabilização de mancal magnético, Campinas, Faculdade de Engenharia

Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, 2011, p40. Trabalho de

Graduação.

Este trabalho faz um breve estudo sobre a tecnologia passiva

Inductrack, desenvolvida por Richard F. Post, para a estabilização de mancais

magnéticos, é apresentado à teoria e equações e com isso são feitas

simulações teóricas em MATLAB e experimentos práticos para verificação da

teoria, nesses são testados as pistas tipo chapa e a plana.

Palavras-Chave: Mancal magnético, Passiva, Magnetismo, Inductrack

4

Índice

1 Introdução .................................................................................................... 7

2 Teoria Inductrack ......................................................................................... 7

2.1 Arranjo de Halbach................................................................................ 7

2.2 Pista ...................................................................................................... 9

2.3 Levitação ............................................................................................. 10

3 Modelagem matemática............................................................................. 13

3.1 Pista plana .......................................................................................... 13

3.2 Chapa .................................................................................................. 16

4 Simulações teóricas ................................................................................... 17

4.1 Pista plana .......................................................................................... 17

4.2 Chapa .................................................................................................. 21

5 Experimentos práticos ............................................................................... 24

6 Conclusão .................................................................................................. 31

7 Bibliografia ................................................................................................. 31

8 Anexos ....................................................................................................... 32

5

Índice de figuras

Figura 1 - Arranjo de Halbach ....................................................................................... 7

Figura 2 - Linhas de campo arranjo de Halbach ............................................................ 8

Figura 3 - Linhas resultantes de campo arranjo de Halbach ......................................... 8

Figura 4 - Arranjo de Halbach simulado em software .................................................... 8

Figura 5 - Pista plana .................................................................................................... 9

Figura 6 - Pista janela ................................................................................................... 9

Figura 7 - Pista formato chapa .................................................................................... 10

Figura 8 - Circuito equivalente .................................................................................... 10

Figura 9 - Diagrama de fase ....................................................................................... 11

Figura 10 - Forças puramente de arrasto .................................................................... 12

Figura 11 - Forças intermediárias arrasto e levitação.................................................. 12

Figura 12 - Forças puramente de levitação ................................................................. 12

Figura 13 - Esquema do sistema Inductrack para pista plana ..................................... 13

Figura 14 - Parâmetros da pista plana ........................................................................ 14

Figura 15 - Parte do circuito equivalente para cálculo da resistência .......................... 14

Figura 16 - Detalhe da pista ........................................................................................ 15

Figura 17 - Exemplo de arranjo de Halbach circular ................................................... 17

Figura 18 - Pista plana ................................................................................................ 18

Figura 19 - Dimensões de um circuito da pista ........................................................... 18

Figura 20 - Gráfico força de levitação por velocidade da pista plana .......................... 19

Figura 21 - Gráfico força de arrasto por velocidade da pista plana ............................. 20

Figura 22 - Gráfico força de levitação por altas velocidades da pista plana ................ 20

Figura 23 - Gráfico força de arrasto por altas velocidades da pista plana ................... 21

Figura 24 - Gráfico da força de levitação por velocidade da pista tipo chapa .............. 22

Figura 25 - Gráfico força de arrasto por velocidade da pista tipo chapa ...................... 22

Figura 26 - Gráfico da força de levitação por altas velocidades da pista tipo chapa .... 23

Figura 27 - Gráfico da força de arrasto por altas velocidades da pista tipo chapa ....... 23

Figura 28 - Célula de carga......................................................................................... 24

Figura 29 - Gráfico da célula de 3 kg .......................................................................... 24

Figura 30 - Gráfico da célula de 300 g ........................................................................ 25

Figura 31 - Suporte com o arranjo de Halbach............................................................ 26

Figura 32 - Visualização do campo magnético ............................................................ 26

Figura 33 - Suporte da célula de carga ....................................................................... 26

Figura 34 - Pista plana para o experimento ................................................................ 27

Figura 35 - Conjunto de montagem pista plana........................................................... 27

Figura 36 - Bancada para testar a pista tipo chapa ..................................................... 28

Figura 37 - Conjunto de montagem pista tipo chapa ................................................... 28

Figura 38 – Conjunto vista geral dos testes da pista tipo chapa .................................. 29

Figura 39 - Resultados ................................................................................................ 30

6

Índice de tabelas

Tabela 1 - Célula 3 kg ...................................................................................... 24

Tabela 2 - Célula 300 g .................................................................................... 25

Tabela 3 - Resultados com a célula de 300 g .................................................. 29

Tabela 4 - Resultados com a célula de 3 kg..................................................... 29

Tabela 5 - Forças geradas usando célula de 300g .......................................... 30

Tabela 6 - Forças geradas usando célula de 3 kg ............................................ 30

Índice de anexos

Anexo 1 - Projeto da pista plana ...................................................................... 32

Anexo 2 - Código para calcular as forças da pista plana ................................. 33

Anexo 3 - Código para gerar gráficos das forças pista plana ........................... 34

Anexo 4 - Código para calcular as forças da pista tipo chapa .......................... 36

Anexo 5 - Folhas de dados da célula de carga ................................................ 38

Anexo 6 - Desenhos do suporte do arranjo de Halbach ................................... 39

Anexo 7 - Desenhos do suporte da célula de carga ......................................... 40

7

1 Introdução

Este trabalho de graduação tem como objetivo realizar um breve estudo

sobre a tecnologia de levitação magnética batizada por Richard F. Post de

Inductrack. Essa tecnologia possui a grande vantagem de economizar energia

por utilizar imãs permanentes e devido a esse fator estudá-la pode ser

importante para que ela possa ser mais amplamente utilizada.

Os estudos são voltados para a estabilização de mancais magnéticos

em uma das direções, mas primeiramente será feito um estudo isoladamente

da tecnologia para que futuramente possa ser acoplada a um mancal

magnético.

No primeiro momento desse trabalho toda a parte teórica e equações

serão apresentadas para que em seguida seja mostrado o projeto da bancada

do experimento prático e cálculos teóricos e por fim a apresentação dos

resultados.

2 Teoria Inductrack

A teoria de levitação pela tecnologia Inductrack basicamente possui dois

componentes o arranjo de Halbach composto por imãs permanentes que

geram um campo magnético periódico e a pista formada por um circuito

indutivo que interage com o campo magnético e gera forças.

2.1 Arranjo de Halbach

Klaus Halbach utilizando-se de imãs permanentes montou um arranjo

que faz com que o campo em um dos lados seja minimizado enquanto do outro

o campo possui uma forma senoidal. Este arranjo possui imãs permanentes

montados lado a lado conforme a orientação do campo mostarda na figura 1.

Figura 1 - Arranjo de Halbach

8

Analisando as linhas de campo pode-se perceber esse efeito, na figura 2, tem-se a representação esquemática das linhas de campo de dois componentes, percebe-se que as linhas em vermelho na parte de cima, na maioria, se cancelam e na parte de baixo se somam isso ao longo de todo o arranjo, no final é formadas linhas de campo periódicas representado esquematicamente na figura 3 e pode-se verificar na figura 4 uma simulação feita no software Finite Element Method Magnetic (FEMM) (1) como ficariam as linhas de campos em cada um dos lados.

Figura 2 - Linhas de campo arranjo de Halbach

Figura 3 - Linhas resultantes de campo arranjo de Halbach

Figura 4 - Arranjo de Halbach simulado em software (1)

9

Esse arranjo foi à solução do problema que se tinha ao utilizar imãs

permanentes em sistemas “maglev”, devido ao fato de não se conseguir um

campo suficiente forte para gerar forças de levitação e com isso Richard F.

Post pôde formular sua teoria sobre Inductrack.

2.2 Pista

Os formatos da pista mais comuns podem ser no formato plano, janela

ou chapa, representados respectivamente pelas figuras 5, figura 6 e figura 7.

Figura 5 - Pista plana

Figura 6 - Pista janela

10

Figura 7 - Pista formato chapa

Entre a pista plana e a tipo janela as equações são praticamente as

iguais, mudando alguns parâmetros devido as suas diferenças geométricas, a

escolha entre as duas se restringe à aplicação e a construção de ambas pode

ser mais complicada em relação à pista tipo chapa, essa última, tem a

desvantagem de possuir uma maior perda de energia por correntes parasitas e

perdas por efeito Joule, outra consideração importante é a redução da relação

levitação por arrasto (2).

2.3 Levitação

A levitação ocorre devido à variação do fluxo de campo na pista,

gerando uma tensão induzida alternada com frequência dependente da

velocidade entre pista e arranjo. Na figura 8 (3), tem-se uma representação do

circuito equivalente simplificada, com uma fonte de tensão alternada com um

indutor e resistor em série.

Figura 8 - Circuito equivalente (3)

Pegando-se a equação 1 do circuito.

11

(1)

E construindo o seu diagrama de bode, olhando- se mais precisamente o

diagrama de fase, mostrado na figura 9, tem-se que para frequências mais

elevadas a corrente estará defasada 90° em relação à tensão, esse fato é

importante, pois a corrente entra em fase com o fluxo magnético e por

consequência o campo magnético potencializando as forças de levitação.

Analisando as equações envolvidas fica mais claro esse fato, a equação

2 tem-se a equação do fluxo magnético, na equação 3 a relação de fluxo e

tensão. A tensão está defasada 90° em relação ao fluxo e quando a corrente

também fica defasada 90° em relação à tensão, assim o fluxo magnético e a

corrente entram em fase.

(2)

(3)

Figura 9 - Diagrama de fase

Visualiza-se como a força comporta-se enquanto o arranjo se movimenta

nas próximas figuras, as direções são segundo a equação 4, onde o vetor

comprimento e sentido de movimentos das cargas é contrário ao vetor

corrente . A figura 10 tem-se a força puramente de arrasto quando se tem o

campo na direção perpendicular à pista.

(4)

Em uma posição intermediária, representado na figura 11 a força pode

ser decomposta em força de arrasto e levitação. Seguindo na figura 12 a força

é puramente de levitação, quando ocorre que a corrente entra em fase com o

fluxo , ou seja, o arranjo está se movimentando a certa velocidade, as forças de

12

levitação são maiores que a de arrasto ficando o campo magnético resultante

próximo ao representando na figura 12.

Figura 10 - Forças puramente de arrasto

Figura 11 - Forças intermediárias arrasto e levitação

Figura 12 - Forças puramente de levitação

13

3 Modelagem matemática

3.1 Pista plana

A formulação matemática para a pista plana foi desenvolvida por Post

(2). Na figura 13 pode-se visualizar o sistema do arranjo mais a pista plana.

Figura 13 - Esquema do sistema Inductrack para pista plana

Onde,

d = Espessura do imã magnético [m]

w = Largura do arranjo de Halbach [m]

= Comprimento do período espacial do arranjo de Halbach [m]

y1 = Distância entre o vetor e a vista [m]

= velocidade [m/s]

Do trabalho de Post também se tem as seguintes equações para

o campo magnético máximo na equação 5 e a constante de onda do

arranjo de Halbach na equação 6.

⁄

⁄

(5)

Onde,

= Valor de pico do campo na superfície do arranjo de Halbach [T]

= Campo remanescente do imã [T]

= Número da onda do arranjo de Halbach

14

(6)

M = Número de barras magnéticas por comprimento de onda do

vetor de Halbach

E também a análise feita da pista por Storset (4) que modela as

resistência equivalente e a indutância levando em consideração da pista

ser infinita, nas figuras 14 e 15 tem-se as considerações feitas.

Figura 14 - Parâmetros da pista plana (4)

Figura 15 - Parte do circuito equivalente para cálculo da resistência (4)

Resultando na equação a seguir

[ ] (7)

Lembrando que a resistência pode ser calculada como:

(8)

Onde,

= Resistividade do material [Ω*m]

15

= Comprimento do condutor [m]

= Área da secção transversal do condutor [m2]

Para o cálculo da indutância (5) sugere:

(9)

Onde,

= Indutância distribuída [H]

= Indutância adicional [H]

Nesse caso o que nos interessa é a definida por:

(10)

Onde,

= Perímetro de um circuito da pista [m]

= Distância centro a centro das faixas de condução entre as

fendas.

Voltando as deduções de Post (2) pode-se então finalmente chegar à

força de levitação e arrasto, respectivamente pelas equações 11 e 12.

Figura 16 - Detalhe da pista

[

( ⁄ ) ]

(11)

[

⁄

( ⁄ ) ]

(12)

Onde,

= Espessura vertical do condutor

16

= Razão de força de levitação por perda de potência

(13)

Utilizando as formulas de forças de arrasto e levitação que Post (2)

desenvolveu Seminari (1) chegou a um jeito de se achar a velocidade limiar ( )

para que haja a levitação que depende dos parâmetros da pista e do imã.

(14)

3.2 Chapa

Post ainda em seu trabalho Post (2) faz uma análise para a pista em

formato de chapa chegando às equações a seguir.

Parâmetro sendo definido como o efeito pelicular (skin depth):

√

(15)

A força de levitação máxima é definida como:

∑

(16)

Onde,

= Área envolvida na levitação [m²]

= Espessura vertical da chapa

A força de levitação é dada por:

√

⁄

√

⁄ (17)

E de arrasto por

√

⁄ (18)

17

4 Simulações teóricas

Para as simulações teóricas foi utilizado o programa MATLAB.

O arranjo será de formato circular, como por exemplo, mostrado na

figura 17, os imãs são cubos de aresta de 10 mm, portanto para o arranjo de

imãs foram considerados:

d = 10 mm

w = 10 mm

= 40 mm

= 0.70 T

M = 4

Diâmetro interno = 50 mm

Diâmetro externo = 70 mm

Figura 17 - Exemplo de arranjo de Halbach circular (6)

4.1 Pista plana

A pista está na figura 18 e o desenho com as dimensões está no anexo

1.

18

Figura 18 - Pista plana

Figura 19 - Dimensões de um circuito da pista

Para efeito de simulação foram considerados os seguintes parâmetros

da pista plana:

= 35 [µm]

lb = 19.5 [mm]

19

ls = 3.45 [mm]

li = 1.25 [mm]

= 2.6 [mm]

Largura da trilha = 1 [mm]

O calculo da resistência equivalente da pista não é infinita, assim a

equação 7 não será usada nessa simulação, o calculo será feito usando os

conceitos de resistência em série e em paralelo.

Um código em MATLAB foi escrito para calcular primeiramente a

velocidade limiar e por fim nessa velocidade chegar à força de levitação a uma

distância de 2 mm entre o arranjo e a pista. O código está no anexo 2 e o

resultados gerados por ele são:

Força de levitação = 2.5220x10-5 [N]

Velocidade limiar = 3427 [rpm]

Sendo essa velocidade aceitável, mas a força gerada é insignificante,

outra análise que pode ser feita é construir o gráfico da velocidade pela força

variando-se a distância, o código que gerou o gráfico da figura 20 e figura 21

está no anexo 3 e utilizou-se os mesmo parâmetros do código do anexo 2.

Figura 20 - Gráfico força de levitação por velocidade da pista plana

20

Figura 21 - Gráfico força de arrasto por velocidade da pista plana

Outra análise de gráficos seria ver o comportamento em altíssimas

rotações mudando os limites do código temos os novos gráficos abaixo.

Figura 22 - Gráfico força de levitação por altas velocidades da pista plana

21

Figura 23 - Gráfico força de arrasto por altas velocidades da pista plana

4.2 Chapa

Para a simulação da chapa foi considerado o mesmo arranjo de Halbach

e dos parâmetros da chapa:

= 3 [mm]

y1 = 17 [mm]

Um código em MATLAB também foi escrito para calcular a força de

levitação a uma distância de 17 mm entre o arranjo e a pista. O código está no

anexo 4 e o resultados gerados por ele são:

= 1.1183 [N]

E os gráficos da força de levitação pela velocidade (figura 24) e força de

arrasto pela velocidade (figura 25). Percebe-se que as forças geradas foram

bem maiores comparadas à simulação da pista plana, mas também a relação

levitação e arrasto foi bem mais próximas comparadas com a anterior.

22

Figura 24 - Gráfico da força de levitação por velocidade da pista tipo chapa

Figura 25 - Gráfico força de arrasto por velocidade da pista tipo chapa

23

A mesma análise para grandes velocidade pode ser feita e os resultados

estão nas próximas figuras.

Figura 26 - Gráfico da força de levitação por altas velocidades da pista tipo chapa

Figura 27 - Gráfico da força de arrasto por altas velocidades da pista tipo chapa

24

5 Experimentos práticos

Para os experimentos práticos as células de cargas foram utilizadas para

medir as forças necessárias. As células de carga utilizadas foram as de 3 kg e

300 g da HBM, no anexo 5 encontra-se mais informações sobre a célula

utilizada. (6)

Figura 28 - Célula de carga (6)

Para a célula de 3kg a calibração é dada pela tabela 1 e o gráfico é

mostrado na figura 29 e podemos chegar à equação 19 que relaciona a massa

pela tensão para essa célula de 3 kg, no mesmo gráfico encontra-se os pontos

depois de ter feita a regressão.

Massa [g] 0 492,45 984,18 1475,35 1967,19 2458,87 2951,08

Tensão [mV] 0,04 1,45 2,87 4,29 5,71 7,18 8,7

Tabela 1 - Célula 3 kg

Figura 29 - Gráfico da célula de 3 kg

25

Equação conseguida por meio do comando polyfit do MATLAB é:

(19)

O mesmo pode-se aplicar a célula de 300g.

Massa [g] 0 175,5 246 280,21

Tensão [mV] 0 3,4 4,6 5,1

Tabela 2 - Célula 300 g

Figura 30 - Gráfico da célula de 300 g

Equação conseguida

(20)

Para o arranjo de Halbach foi projetado um suporte feito de MDF de 12

mm de espessura, o projeto detalhado está no anexo 6 e a figura 31 tem-se a o

suporte já com os imãs e na figura 32 pode-se visualizar o campo magnético

com a ajuda de um filme especial.

26

Figura 31 - Suporte com o arranjo de Halbach

Figura 32 - Visualização do campo magnético

O suporte da célula de carga é mostrado na figura 33 e o seu projeto

detalhado está no anexo 7.

Figura 33 - Suporte da célula de carga

27

Primeiramente foi testada a pista plana, na figura 34 tem-se ela, para

testá-la foi usada uma furadeira de bancada em sua rotação máxima que

usando um tacômetro foi em torno de 3200 rpm um pouco abaixo da

velocidade de limiar, o conjunto pode ser visualizado na figura 35, a pista foi

sendo aproximada usando a alavanca e usando o sistema da própria furadeira

para limitar o avanço da pista e chegar às distâncias desejadas.

Figura 34 - Pista plana para o experimento

Figura 35 - Conjunto de montagem pista plana

Como foi esperado pela teoria as células de cargas não conseguiram

medir alterações de forças que mesmo em 2 mm de distância entre o arranjo e

a pista a força seria em torno de 20µN o que daria em torno de 2 mg.

28

Para se testar a pista tipo chapa, foi utilizada uma bancada existente no

laboratório que possui um disco de alumínio e um motor de correntes continua

de 12 Vcc mostrado na figura 36.

Figura 36 - Bancada para testar a pista tipo chapa

O suporte da célula de carga foi o mesmo utilizado no teste da pista

plana e o conjunto de teste da pista tipo chapa pode ser visto na figura 37. E na

figura 38 uma visão geral da montagem.

Figura 37 - Conjunto de montagem pista tipo chapa

29

Figura 38 – Conjunto vista geral dos testes da pista tipo chapa

Realizando o experimento primeiramente com a célula de carga de 300g

são obtidos os resultados da tabela 3 e depois com a célula de carga de 3 kg e

os resultados são mostrados na tabela 4.

Célula de carga de 300 g @17mm

Velocidade [rpm] 0 600 1100 1500 1800

Tensão [mV] 3.8 3.7 3.6 3.5 3.4

Tabela 3 - Resultados com a célula de 300 g

Célula de carga de 3 kg @17mm

Velocidade [rpm] 0 660 1020 1200 1400 1600 1750

Tensão [mV] 0.68 0.67 0.66 0.65 0.64 0.63 0.62

Tabela 4 - Resultados com a célula de 3 kg

Para sabermos qual a força gerada, para cada célula, foi feito o seguinte

raciocínio: pegando-se a tensão e aplicando na respectiva formula, caso seja a

de 3 kg usa-se a equação 19 e caso for à de 300g usa-se a equação 20,

obtém-se a massa em [g]. A tensão em rotação zero supõe-se que seja o peso

do suporte do arranjo de Halbach então se subtrai desse valor a massa

encontrada pelas equações em cada rotação e por fim multiplicamos pela

gravidade e dividimos por 1000, pois a massa encontra está em gramas. Por

exemplo, para a célula de carga de 300g usando a equação 20 a massa na

rotação zero é de 203.93g e na rotação de 600rpm a massa é 198.5g

subtraindo uma da outra a massa é de 5.43g o que chegamos a uma força de

0,05N. Esse raciocínio é feito em todas as velocidades e o resultado é

mostrado nas próximas tabelas.

30

Forças usando a célula de carga de 300 g @17mm

Velocidade [rpm] 0 600 1100 1500 1800

Força [N] 0 0.05 0.11 0.16 0.21

Tabela 5 - Forças geradas usando célula de 300g

Forças usando a célula de carga de 3 kg @17mm

Velocidade [rpm] 0 660 1020 1200 1400 1600 1750

Força [N] 0 0.03 0.07 0.10 0.13 0.17 0.20

Tabela 6 - Forças geradas usando célula de 3 kg

Analisando os resultados percebe-se que a força ficou em torno de 50

vezes maior em relação à teoria isso pode ser por causa das próprias

características da pista por possuir ranhuras ou outros fatores, na figura 39

está representando os resultados em relação à teoria corrigindo pelo fator

mencionado, somente para efeito de visualização.

Figura 39 – Resultados

31

6 Conclusão

Com esse trabalho pode-se chegar à conclusão que a tecnologia

Inductrack é válida no fenômeno de levitação, houve alguns desvio da teoria

com a prática que podem ser resolvidos em trabalhos futuros, mas para ser

aplicados na estabilização de mancais será necessário produzir forças maiores,

por exemplo, utilizando a pista plana fabricá-la com mais camadas ou utilizar

componentes que venham aumentar a indutância da pista.

7 Bibliografia

1. Seminari, Rafael Schmidt. Estudo de Levitação Magnética Passiva por Meio da Tecnologia

“Inductrack”. 2009, p. 54. Trabalho de Graduação.

2. Post, Richard F. e Dyutov, Dmitri D. The Inductrack Concept: a New Approach to Magnetic

Levitation. Maio de 1996, p. 88.

3. Post, Richard F. e Dyutov, Dmitri D. The Inductrack: A Simpler Approach to Magnetic

Levitation. Março de 2000, p. 5.

4. Storset, Ove F. e Paden, Bradley E. Electrodynamic magnetic levitation with discrete track

Part II: Periodic track model for numerical simulation and lumped parameter model. 30 de

Setembro de 2005, p. 26.

5. Post, Richard F. Inductrack Demonstration Model. 3 de Fevereiro de 1998, p. 18.

6. Gyroscope. Gyroscope.com. [Online] Gyroscope.

http://gyroscope.com/d.asp?product=CIRCULARHALBACH.

7. HBM. HBM Test and Measurement: Transducer, Load Cell, DAQ System. Site do fabricante.

[Online] http://www.hbm.com/index.php?id=320&file=1A16815B0&no_cache=1&uid=3118.

32

8 Anexos

Anexo 1 - Projeto da pista plana

As trilhas têm largura de 1mm e espessura de 35µm.

33

Anexo 2 - Código para calcular as forças da pista plana

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clc

%%%%%% Começo das definições %%%%%%

Br = 0.70; % Densidade de fluxo remanescente do NdFeB

mi0 = 4*pi*10^-7; % permeabilidade do ar

M = 4; % Número de barras magnéticas por comprimento de onda do vetor de Halbach

d = 10*10^-3; % Espessura do imã Inductrack

w = 10*10^-3; % Largura do imã Inductrack

lambda = 40*10^-3; % Comprimento do período espacial do vetor de Halbach

D = 2.6*10^-3; % Distância média entre as fendas

lb = 19.5*10^-3; % Comprimento para calcluar uma das resistência da pista

ro = 1.72*10^-8; % Resistividade do material cobre

Ar = 35*10^-9; % Area da seção transversal da pista

deltac = 35*10^-6; % Espessura da pista

y1 = 2*10^-3; % Distancia do imão a pista

ls = 3.45*10^-3; % Comprimento superior da trilha

li = 1.75*10^-3; % Comprimento inferior da trilha

%%%%%% Fim das definições %%%%%%

%%%%%% Começo dos calculos %%%%%%

Pc = 2*lb+ls+li; % Calculo do perimetro

k = 2*pi/lambda; % Calculo da constante de Halbach

Ll = mi0*Pc/(2*k*D); % Calculo da indutancia

% Calculo da resistência da pista

Rbs = ro*ls/Ar; % Calculo da resistencia da trilha superior

Rbi = ro*li/Ar; % Calculo da resistencia da trilha inferior

Rr = ro*lb/Ar; % Calculo da resistencia da trilha lateral

Req(1) = Rbs+Rr+Rbi;

for i=2:1:71

Req(i) = 1/(1/(Req(i-1) + Rbi+Rbs)+1/Rr);

end

R = Req(71);

% Calculo da valocidade limiar para levitação

K = 2*pi/lambda*(Ll/R); % Razão de força de levitação por perda de potência

34

vt = 1/K % Velocidade de limiar

rpm = vt/(2*pi)*60 % Velocidade limiar em rpm

% Calculo da força de levitação

B0 = Br*(1-exp(-k*d))*sin(pi/M)/(pi/M); % Densidade de fluxo máximo

Fy2 = B0^2*w^2*exp(-2*k*y1-2*deltac)/(2*k*Ll*(1+(R/(vt*Ll))^2)) % Força de levitação

%%%%%% Fim dos calculos %%%%%%

Anexo 3 - Código para gerar gráficos das forças pista plana

for i=2:1:7 j = 1; y2 = i*10^-3; for x = 500:10:4000 velocidadey(j) = x; v = 2*pi*x/60; Fy(j) = B0^2*w^2*exp(-2*k*y2-k*deltac)/(2*k*Ll*(1+(R/(v*Ll))^2)); j=j+1; end

switch i case 2 plot(velocidadey,Fy,'m'); hold on; case 3 plot(velocidadey,Fy,'b'); hold on; case 4 plot(velocidadey,Fy,'k'); hold on; case 5 plot(velocidadey,Fy,'g'); hold on; case 6 plot(velocidadey,Fy,'r'); hold on; case 7

35

plot(velocidadey,Fy,'c'); title('Força de levitação pela velocidade de rotação'); xlabel('Velocidade de rotação [r.p.m]'); ylabel('Força y de levitação [N]'); Legend('2 [mm]','3 [mm]','4 [mm]','5 [mm]','6 [mm]','7 [mm]') grid on; hold on;

end

end

figure,

for i=2:1:7 j = 1; y2 = i*10^-3; for x = 500:10:4000 velocidadex(j) = x; v = 2*pi*x/60; Fx(j) = B0^2*w^2*exp(-2*k*y2-k*deltac)*(R/(v*Ll))/(2*k*Ll*(1+(R/(v*Ll))^2)); j=j+1; end

switch i case 2 plot(velocidadex,Fx,'m'); hold on; case 3 plot(velocidadex,Fx,'b'); hold on; case 4 plot(velocidadex,Fx,'k'); hold on; case 5 plot(velocidadex,Fx,'g');

36

hold on; case 6 plot(velocidadex,Fx,'r'); hold on; case 7 plot(velocidadex,Fx,'c'); title('Força de arrasto pela velocidade de rotação'); xlabel('Velocidade de rotação [r.p.m]'); ylabel('Força x de arrasto [N]'); Legend('2 [mm]','3 [mm]','4 [mm]','5 [mm]','6 [mm]','7 [mm]') grid on; hold on;

end end

Anexo 4 - Código para calcular as forças da pista tipo chapa

close all clear all clc

%%%%%% Começo das definições %%%%%% d_e = 70*10^-3; % Diametro externo do imã d_i = 50*10^-3; % Diametro interno do imã Br = 0.7; % Densidade de fluxo remanescente do NdFeB mi0 = 4*pi*10^-7; % permeabilidade do ar M = 4; % Número de barras magnéticas por comprimento de onda do vetor de Halbach ro = 2.82*10^-8; % Resistividade do material aluminio d = 10*10^-3; % Espessura do imã Inductrack w = 10*10^-3; % Largura do imã Inductrack lambda = 40*10^-3; % Comprimento do período espacial do vetor de Halbach deltac = 3*10^-3; % Espessura da chapa y1 = 17*10^-3; % Distancia do imão a pista

%%%%%% Fim das definições %%%%%%

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%%%%%% Começo dos calculos %%%%%% As = pi/4*(d_e^2-d_i^2); % Area do imã que está atuando na pista k = 2*pi/lambda; % Calculo da constante de Halbach B0 = Br*(1-exp(-k*d))*sin(pi/M)/(pi/M); % Densidade de fluxo máximo Fymax = B0^2/mi0*exp(-2*k*y1-k*deltac)*As % Calculo da força de levitação máxima

j=1; for omega=100:10:2000 velocidade(j) = omega; omega_rad = omega*2*pi/60; sd = sqrt(2*ro/(mi0*omega_rad)); % Calculo do skin depth Fy(j) = (Fymax*((sqrt(1+k^4*sd^4/4)-k^2*sd^2/2)^1.5/(k*sd+(sqrt(1+k^4*sd^4/4)+k^2*sd^2/2)^1.5))); Fx(j) = Fy(j)*sd*k/(sqrt(1+k^4*sd^4/4)-k^2*sd^2/2)^0.5; j=j+1; end

plot(velocidade,Fy); title('Força de levitação pela velocidade de rotação '); xlabel('Velocidade de rotação [r.p.m]'); ylabel('Força y de levitação [N]'); grid on; hold on; figure, plot(velocidade,Fx); title('Força de arrasto pela velocidade de rotação '); xlabel('Velocidade de rotação [r.p.m]'); ylabel('Força x de arrasto [N]'); grid on; hold on;

38

Anexo 5 - Folhas de dados da célula de carga (7)

39

Anexo 6 - Desenhos do suporte do arranjo de Halbach

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Anexo 7 - Desenhos do suporte da célula de carga