ESTUDO DA CONVECÇÃO NATURAL, FORÇADA E MISTANO INTERIOR DE UMA CAVIDADE RETANGULAR

João José de Souza – jjsouza@yahoo.comUniversidade Santa Cecília , Departamento de Engenharia MecânicaRua Dr. Osvaldo Cruz, 266 – 11045-907 – Santos - SPGenésio José Menon – genesio@iem.efei.brEscola Federal de Engenharia de Itajubá, Departamento de Engenharia MecânicaAv. B.P.S., 1303 – 37500-000 – Itajubá - MG

Resumo. O estudo do escoamento dos fluidos tem um importante papel na história do desen-volvimento de equipamentos encontrados nas industrias, comércio e nas residências. O projetoe o desenvolvimento dos diversos equipamentos no campo da engenharia atingiram o nívelatual de eficiência graças ao conhecimento da dinâmica dos fluidos. Os problemas de convec-ção forçada e natural entre placas paralelas horizontais e verticais tem sido bastante estuda-dos e vários trabalhos numéricos e experimentais podem ser encontrados na literatura. O estu-do deste fenômeno é de grande interesse no campo da engenharia, sendo que dentre estes oestudo da convecção forçada é de vital importância no projeto de ar-condicionado, em troca-dores de calor, no resfriamento de componentes eletrônicos e outras várias aplicações na áreaindustrial.

Palavras–chave: Convecção natural, convecção forçada, escoamento interno, cavidade retan-gular, métodos das diferenças finitas.

1. INTRODUÇÃO.

Os recentes avanços computacionais tem permitido um extraordinário desenvolvimentodos métodos numéricos na avaliação tanto dos escoamentos externos como também dos escoa-mentos em cavidades. A velocidade dos processadores dos computadores atuais como o casodo recém lançado Pentium IV da Intel de 1,5 GHz, permitem que possamos desenvolver pro-gramas cada vez mais complexos. Estas velocidades de processamento permitem a criação eutilização de programas que seriam completamente inviáveis a algumas décadas passadas.

Atualmente o tempo gasto com a realização de simulações numéricas nos computadoresestão cada vez menores, permitindo assim que seja permitida um maior refinamento dos resul-tados conseguidos.

2. FENÔMENOS DOS TRANSPORTES

Os escoamentos em espaços confinados são encontrados em muitas situações práticas.Citando alguns exemplos, existe a transferência de calor em um recipiente fechado, em umaestreita passagem de fluido e o sistema de ar condicionado de um escritório.

Esta classe de escoamentos é freqüentemente induzida por forças de empuxo que sur-gem devido a uma diferença de temperatura local, sem a presença de um escoamento forçado.Consequentemente os termos do empuxo na equação do momento controla o movimento dofluido. Alinhando o eixo negativo de y paralelamente com a direção da gravidade (g) podemosexpressar o termo de empuxo como:

Separando-se a pressão estática devido a gravidade, po - ρo gy (onde po denota a pressãopara y = 0) da pressão total (p), ou seja:

Daí poderemos então escrever a equação 1.1 da seguinte forma:

Lembrando que um campo de escoamento não uniforme é gerado por variações na tem-peratura e na concentração. Suponhamos que a distribuição da densidade dependa unicamenteda temperatura conforme mostrado abaixo:

Além disto assumindo que a temperatura é suficientemente pequena, ou seja, |(T-Tref) / Tref | <=1, onde Tref é a temperatura de referência , pode-se aproximar o membro es-querdo da equação como abaixo:

Portanto se redefinirmos a pressão e a temperatura como p + p0 – ρρgy e T – T0, respec-tivamente, o único termo que deve adicionado às equações é ρρ00gββT. Este termo irá aparecer nadireção y da equação do momento. No que se segue, as variáveis são apresentadas na formaadimensional.

gy

p ρ−∂∂− (2.1)

gy00 ρ−+= pPp

gy

P)(

0ρρ −−∂∂− (2.3)

(2.2)

)()(00 TT ρρρ ρ −− = (2.4)

)()( 0000TTTT

T−=−

∂∂≈− βρρ

ρρT∂

∂≡ ρρ

β0

1 (2.5)

Como representação de um escoamento originado por convecção natural em cavidadefechada, devemos considerar o escoamento induzido pelo aquecimento das paredes ou emqualquer local como ilustrado na Figura 2.1.

Figura 2.1 – Escoamento com Convecção Natural

Podemos estudar ainda os escoamentos de convecção forçada gerados por uma tampasuperior da cavidade que pode estar em movimento. Na maioria dos casos em estudo, defini-sea velocidade da tampa como sendo constante, como podemos observar na figura 2.2.

Figura 2.2 - Escoamento com Convecção Forçada

Soluções numéricas são mais vantajosas para este tipo de problema que envolvem flui-dos confinados em um espaço fechado, devido ao fato de as condições de contorno serem bemdefinidas. Portanto essas amostras de problemas são freqüentemente empregadas como testesde Benchmark para a comparação e verificação de técnicas numéricas e também na análise deeficiência de programas computacionais.

Como um terceiro exemplo podemos ainda estudar o escoamento de convecção mista,no qual a convecção natural devido a força de empuxo e a convecção forçada devido ao desli-zamento da tampa estão presentes simultaneamente. Este caso pode ser observado naFigura 2.3.

g

g

g g

q

q

q

q

U U

(a) 0≠Gr e Re = 0

(b) 0Re ≠ e Gr<<Re2

Figura 2.3 – Escoamento com Convecção M ista

3. EQUAÇÕES BÁSICAS

Para o desenvolvimentos das equações básicas que regem estes escoamentos precisamosimpor algumas hipóteses, tais como abaixo:

• O escoamento é incompressível e laminar• As propriedades físicas do fluido são constantes, exceto para a densidade que varia na

presença das forças de empuxo.

Podemos expressar as equações básicas adimensionalizadas como:

Onde temos :

gg

q

q

U U

(c) 0≠Gr e 0Re≠

ω=∂

+∂

∂∂yx

2

2

2

2 ��

x

TGr��Re

1

y

�v

x

�u

t

�Reyx 22

2

2

2

∂∂+

∂+

∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂ ∂∂

∂+

∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂ ∂∂

yx2

2

2

2 TT

PrRe

1

y

Tv

x

Tu

t

T

( )v

LTT2

3

r0rg �Gr

−=

v

UL=Rev

a=Pr

(3.2)

(3.3)

(3.1)

(3.4)

A definição da temperatura adimensional é baseada nos dois valores de referência,Tr e T0:

Onde T* é a temperatura dimensional. O Significado físico de T0 foi estabelecido previamente.Deve-se escolher Tr e a temperatura de referência que irá caracterizar adequadamente as condi-ções físicas do fenômeno sob investigação. Cuidados devem ser tomados para determinar pro-priamente o número de Grashof usando Tr. Como exemplo, temperatura de paredes frias e deparedes quentes são designadas como T0 e Tr respectivamente, no caso de aquecimento isotér-mico. Se o aquecimento acontece por um fluxo de calor q, pode-se selecionar T0 e Tr como:

Se a parede superior se desliza a uma velocidade U0, este valor pode ser usado comovelocidade de referência U, que aparece na definição do número de Reynolds. Para uma paredefixa pode-se arbitrar a escolha de U. Se fixarmos U = v/L, Re torna-se

Re = 1

Uma escolha alternativa para U poderia ser:

Por último as equações básicas podem ser expressas conforme abaixo:

Figura 31 – Dimensões características

TTTT

0r

0*

T−−≡ (3.5)

q�LTT 0r =− (3.6)

Gr 21

Re =

(3.7)

(3.8)

(3.9)

∂+

∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂ ∂∂

yx2

2

2

2 TT

GrPr

1

y

Tv

x

Tu

t

T

x

T��Gr

1

y

�v

x

�u

t

�yx

2

2

2

2

∂∂+

∂+

∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂ ∂∂

(3.10)

D

B

g

U0

T0

Tw

4. MÉTODOS NUMÉRICOS

A figura 4.1 apresenta um exemplo de condições de contorno para um escoamento em ca-vidade fechada. Com estas condições previamente estabelecidas faremos a seguir algunsestudos de casos.

Figura 4.1 – Condições de contorno para escoamento em uma cavidade

Abaixo alguns estudos de casos de escoamento em cavidades fechadas, abrangendo osfenômenos de concecção natural, forçada e mista.

Convecção Natural

F0.04700.04390.04080.03760.03450.03130.02820.02510.02190.01880.01570.01250.00940.00630.0031

Frame 001 23 Jun 2001 AR QU IVO DO TECPLOTFrame 001 23 Jun 2001 AR QU IVO DO TECPLOT

T0.87500.75000.62500.50000.37500.25000.12500.0000

-0.1250-0.2500-0.3750-0.5000-0.6250-0.7500-0.8750

Frame 001 23 Jun 2001 ARQUIVO DO TECPLOTFrame 001 23 Jun 2001 ARQUIVO DO TECPLOT

Distribuição da função corrente Distribuição de temperatura

Figura 4.2 – Distribuições da função corrente e temperatura para convecção natural.

YT2

Tw=1

YT1

NY

IY=1IX=1 XT1 Tw=1 XT2 NX

Tw=0

Tw=0

Tw=0

x2

�2�

0�

∂

∂=

=

x2

�2

0�

∂

∂=

=

y2

2� , 0�

∂

∂==

y2

2� ; U0 y

, 0�

∂

∂==∂∂

=ψ

U0

Convecção Forçada

F-0.0064-0.0128-0.0192-0.0257-0.0321-0.0385-0.0449-0.0513-0.0578-0.0642-0.0706-0.0770-0.0834-0.0899-0.0963

Frame 001 23 Jun 2001 AR QU IVO DO TECPLOTFrame 001 23 Jun 2001 AR QU IVO DO TECPLOT

T0.87500.75000.62500.50000.37500.25000.12500.0000

-0.1250-0.2500-0.3750-0.5000-0.6250-0.7500-0.8750

Frame 001 23 Jun 2001 ARQUIVO DO TECPLOTFrame 001 23 Jun 2001 ARQUIVO DO TECPLOT

Distribuição da função corrente Distribuição de temperatura

Figura 4.3 – Distribuições da função corrente e temperatura para convecção forçada.

Convecção M ista

F0.14500.13330.12160.10990.09820.08650.07490.06320.05150.03980.02810.01640.0047

-0.0070-0.0187

Frame 001 23 Jun 2001 AR QU IVO DO TECPLOTFrame 001 23 Jun 2001 AR QU IVO DO TECPLOT

T0.87500.75000.62500.50000.37500.25000.12500.0000

-0.1250-0.2500-0.3750-0.5000-0.6250-0.7500-0.8750

Frame 001 23 Jun 2001 ARQUIVO DO TECPLOTFrame 001 23 Jun 2001 ARQUIVO DO TECPLOT

Distribuição da função corrente Distribuição de temperatura

Figura 4.4 – Distribuições da função corrente e temperatura para convecção mista.

5. CONCLUSÕES

Atualmente a utilização dos métodos numéricos permitem um estudo mais detalhado dosvários tipos de escoamentos com os quais nos deparamos; podemos ter variações quanto ao tipode convecção atuante, os mais variados tipos de fluidos e ainda podemos variar a forma e oposicionamento da transmissão do calor.

Nas figuras anteriormente apresentadas, podemos constatar as diferente característicasdos escoamentos e as suas respectivas influências sobre o fluido envolvido no processo.

Esta forma de estudo e análise permite que tomemos decisões mais acertadas nos pro-jetos, de forma a otimizar cada vez mais os recursos a serem empregados.

REFERÊNCIAS

Brebbia, C. A. & Ferrante, A. J. , (1978), “Computational Methods for the Solution ofEngineering Problems” , Pentech Press.

Ferziger, J. H. , (1981) “Numerical Methods for Engineering Application, John Wiley & Sons.

Özisik, M. N. (1994), “Finite Difference Methods in Heat Transfer” , CRC Press Inc.,Boca Raton.

Maliska, C. R. (1995), “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional” ,Livros Técnicos Científicos Editora S&A., Rio de Janeiro.

Abstract. The Internal flow analysis is very important to the Industrial Equipment’s develop-ment. There are many Papers studding the problems with Natural and Forced Convection.Those Phenomena are too important to develop for example conditioner air systems, electron-ics components and many others industrial equipments.

Word-key: Natural Convection, Forced Convection, Internal Flow, Finite Difference Method.