estruturas de betão 2 - exercicios [fctunl]

ESTRUTURAS DE BETO ARMADO II

ENUNCIADOS DOS EXERCCIOS DAS AULAS PRTICAS

Ano Lectivo 2008/2009

Estruturas de Beto Armado II Ano Lectivo 2008/2009 2

PROBLEMA 1.1

Considere o pavimento representado na figura e constitudo por dois painis de laje

aligeirada de vigotas. O pavimento ser executado em blocos C22x16 e ter uma

espessura total de 0.20m.

5.00 5.00

10.00

Seco transversal

0.04

0.16

0.220.34

Escolha as vigotas a utilizar e efectue todas as verificaes necessrias para garantir

a segurana do pavimento.

Considere as seguintes aces:

peso prprio do pavimento; sobrecarga de utilizao de 6.0 kN/m (1=0.6; 2=0.4); revestimento de 1.0 kN/m.

PROBLEMA 1.2

A laje de cobertura (terrao acessvel) representada na figura apresenta uma

espessura de 0.15 m e encontra-se submetida s seguintes aces:

peso prprio revestimento interior: 0.3 kN/m2 impermeabilizao da cobertura: 1.0 kN/m2 sobrecarga de utilizao: 2.0 kN/m2

Dimensione as armaduras da laje, considerando um beto C20/25 e ao A400NR.


4.00

0.30

0.30

10.00 0.300.30

Desenhe a distribuio de armaduras em planta escala 1/50, e em corte transversal

escala 1/20.

PROBLEMA 1.3

Verifique a segurana aos estados limite ltimos da escada representada na figura. A

A'

1.53

0.20

0.17

0.30

1.40 2.70 1.40

Corte A-A'

1.400.20


peso prprio revestimento: 1.5 kN/m2 sobrecarga de utilizao: 3.0 kN/m2

Adopte para materiais beto C20/25 e ao A400NR.

Desenhe a distribuio de armaduras em corte longitudinal e transversal.


PROBLEMA 1.4

Considere o painel de laje representado na figura, submetido s seguintes aces:

peso prprio revestimento de tacos de madeira: 0.5kN/m tecto falso: 0.2kN/m paredes divisrias: 1.5kN/m sobrecarga de utilizao: 6.0kN/m

5.00

6.50

5.00

6.50

Dimensione as armaduras da laje, adoptando para materiais o beto C20/25 e ao

A400NR, das seguintes formas:

a) pelo mtodo das bandas.

b) recorrendo a tabelas, para clculo dos esforos elsticos.

c) compare os resultados obtidos nas alneas anteriores.

d) pormenorize as armaduras de acordo com os resultados obtidos na alnea b)..


PROBLEMA 1.5

Dimensione, pelo mtodo das bandas, o painel de laje representado na figura,

pertencente a um piso de habitao. Pormenorize as armaduras.


peso prprio revestimento: 1.0kN/m sobrecarga de utilizao: 2.0kN/m

4.00

5.00 5.00


PROBLEMA 1.6

A laje representada na figura pertence a um piso de um edifcio de habitao.

Dimensione e pormenorize a laje, tendo em considerao as seguintes aces:

peso prprio revestimento: 1.5kN/m paredes divisrias: 2.0kN/m sobrecarga no interior: 2.0kN/m sobrecarga na varanda: 5.0kN/m

Adopte para materiais C20/25 e A500NR.


5.00 3.00 4.00

1.50

5.00

5.00

1.50

2.00

PROBLEMA 1.7 Efectue a pormenorizao da laje representada na figura, utilizando para o efeito as

armaduras principais indicadas no quadro abaixo e que foram calculadas pelo mtodo

das bandas. Defina as restantes armaduras que julgar necessrias, justificando a sua

funo (hlaje = 0.15m). Considere um beto C25/30 e ao A400NR.

5.00

5.00

3.00

(4)

4.00

(6)(5)

1.00

(3)

(2) (1)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) 8//0.10 8//0.125 10//0.15 8//0.25+6//0.25 8//0.10 6//0.125


PROBLEMA 1.8

Considere a laje representada na figura, bem como as armaduras que se encontram

indicadas e que constituem a sua armadura principal.

Considerando que a laje tem uma espessura de 0.13 m, que constituda por um

beto C20/25 e que as armaduras so em A400, determine a mxima sobrecarga que

pode actuar na laje, por forma a que esteja verificada a segurana ao estado limite

ltimo de flexo.

Considere que a restante carga permanente de 2.0 kN/m2.

7.00 4.001.001.80

8//0.104.00

7.00

6//0.20

Planta superior

Planta inferior

6//0.20

4.006//0.20

4.000.801.40

10/

/0.1

25

8//0

.15


PROBLEMA 1.9

Considerando que a laje representada tem uma espessura de 0.15 m, que

constituda por um beto C20/25 e que as armaduras so em A400, determine a

mxima sobrecarga que pode actuar, por forma a que esteja verificada a segurana

ao estado limite ltimo de flexo.

8//0.255.00

1.30

5.00

6//0.15 10//0.1255.00

1.00

4.00

6//0.20

1.00

1.30

6//0

.15

6//0.20

6//0.15

10/

/0.1

25

4.00

1.30

6//0

.15

1.30

Planta superior

6//0.15

6//0

.15

6//0

.15

0.80

1.00

6//0.20

8//0

.25

6//0.15

1.00

4.00

1.00

6//0

.20

6//0

.20

1.00

5.00

Planta inferior

6//0

.25

8//0

.25

6//0.25

4.00

0.80

6//0

.20

8//0.25


PROBLEMA 1.10 Considerando os dois modelos de clculo apresentados, determine os esforos da escada

representada na figura, submetida s seguintes aces:

peso prprio revestimento: 1.5 kN/m2 sobrecarga de utilizao: 3.0 kN/m2

1.201.20 2.70

1.51

1.20

0.40

1.20

0.165

0.15

0.30

Modelo a)

p+R/b

b

R

Modelo b)


PROBLEMA 1.11

A laje fungiforme representada na figura constitui um piso de um edifcio de habitao.

0.50

0.70

0.40

0.40

0.40

0.40

0.40

5.00

5.00

1.00

6.00 7.00


Peso prprio; Revestimento: 1.5kN/m; Paredes divisrias: 2.0 kN/m2 Sobrecarga de utilizao: 2.0kN/m (g=q=1.5, 1=0.3, 2=0.2)


1) Estime uma espessura para a laje tendo em conta as recomendaes do EC2 para

controlo da deformao.

2) Determine os esforos de flexo pelo mtodo dos prticos equivalentes.

3) Os esforos na laje foram determinados com o auxlio de um programa de clculo

automtico utilizando o Mtodo dos Elementos Finitos e o Mtodo da Analogia de

grelha. Foi considerada uma espessura de 0.25m.

Analise e comente os resultados obtidos, nomeadamente os seguintes aspectos:

a) anlise qualitativa dos resultados;

b) equilbrio dos esforos internos com as cargas aplicadas;

c) comparao dos resultados obtidos pelos trs mtodos;

d) verifique se as flechas mximas garantem a segurana em relao ao estado

limite de deformao.

4) Dimensione as armaduras de flexo com base nos esforos obtidos pelo MEF e pormenorize-as em planta e em cortes transversais.

5) Verifique a segurana ao punoamento no pilar interior e num pilar de bordo.


PROBLEMA 1.12

Considere a laje representada na figura seguinte, cuja espessura de 0.22 m.

1.00

6.00

6.00

0.40

0.40

0.40

0.40

1.00

A B

C D


Peso prprio; Restante carga permanente: 3.5 kN/m2 Sobrecarga de utilizao: 3.0kN/m (g=q=1.5)


e) Dimensione as armaduras de flexo no 1/4 de laje junto ao pilar A (armadura superior

e inferior nas duas direces), utilizando o mtodo dos Prticos Equivalentes.

f) Verifique a segurana ao punoamento no pilar A considerando os seguintes

esforos de dimensionamento: Vsd = 300 kN; Msd = 150 kN.m

g) Pormenorize as armaduras necessrias (flexo e eventualmente punoamento) no

1/4 de laje junto ao pilar A.


PROBLEMA 1.13 Considerando que a laje representada constituda por um beto C30/37 e que as

armaduras so em A400, determine a mxima sobrecarga que pode actuar, por forma

a que esteja verificada a segurana aos estados limites ltimos de flexo e de

punoamento.

12//0.30

10//0.25

16/

/0.1

5

6.00

1.501.50 1.50 1.50

6.00

3.00

1.50 #8//0.15

1.50 #8//0.15

6.00

16//0.10 #8//0.15

8//0

.15

12//0.20

16//0.10#8//0.15

6.00

3.00

12//0.3012//0.30

10//0.2510//0.25

12//0.3012//0.30

6.00

3.00

16/

/0.1

5

1.50

Planta superior

1.50

1.50

Planta inferior

1.50

6.00

12/

/0.1

0

16/

/0.1

5

12/

/0.1

0

1.501.50 3.00

12//0.30

1.201.20

Caractersticas geomtricas: hlaje = 0.20 m, Seco dos pilares: 0.40 0.40 m2


PROBLEMA 2.1

Dimensione e pormenorize a viga-parede representada na figura, sujeita a uma carga

uniformemente distribuda pEd = 200 kN/m.

R0.40

6.00

R

Ed

e=0.20m

0.407.00

Materiais: Beto C25/30

Ao A500NR

PROBLEMA 2.2 Considere a viga, cuja seco transversal est representada na figura, sujeita a uma

carga concentrada PEd = 1000 kN, correspondente aplicao do pr-esforo.

a) Verifique a segurana em relao resistncia local do beto compresso

considerando uma placa de ancoragem com dimenses de 0.20 0.20 m.

b) Dimensione e pormenorize as armaduras para resistirem s traces desenvolvidas

na zona da ancoragem de pr-esforo.


Alado LateralVista de Topo

0.200.20

0.25

0.40

1.00

P


PROBLEMA 2.3

Considere a consola curta representada na figura.

0.25

0.20

0.15

0.05

0.30

0.50

0.40

0.60

CorteAlado

FVEd

0.05

0.05

Dimensione e pormenorize as armaduras, e verifique as tenses de compresso no

beto, considerando FVEd=300kN. Adopte para materiais beto C25/30 e ao A500NR.

PROBLEMA 2.4 Considere a sapata isolada representada na figura.

NM

1.800.30

0.50

2.40

0.60

2.40

Para as aces e combinaes de aces indicadas, dimensione e pormenorize as

armaduras. Adopte para materiais beto C25/30 e ao A500NR.

Aces N (kN) M (kNm)

Cargas permanentes (G) -800.0.0 0.0

Sobrecarga (Q) -300.0 0.0

Sismo (E) 40.0 330.0

Combinaes de aces a considerar: g G + q Q (g = 1.35; q = E = 1.5; 2 = 0.2) G + 2 Q + E E

G + 2 Q - E E


PROBLEMA 2.5 Considere o macio de encabeamento de estacas representado na figura, sujeito s

aces indicadas.

NEd = 1200 kN

0.10

MEd = 280 kNm0.40

0.100.401.000.40

0.600.10

2.00

0.600.400.10

Dimensione e pormenorize as armaduras do macio de encabeamento de estacas.

Adopte para materiais beto C25/30 e ao A500NR


PROBLEMA 3.1 Considere a viga pr-esforada representada na figura, sujeita a uma carga

uniformemente distribuda.

0.13

2.50 5.00 2.5010.00

Seco transversal

0.35

0.20

0.40

1.00

0.60


Carga permanente: 30.0 kN/m Sobrecarga de utilizao: 30.0 kN/m (1 = 0.5; 2 = 0.3)

Adopte para materiais beto C30/37, ao A500NR e ao de alta resistncia A1600/1860

com seco nominal de 1.4 cm2.

Para o traado de cabos de pr-esforo trapezoidal representado na figura:

a) Pr-dimensione o pr-esforo, condicionando as tenses de compresso e de

traco a limites que no ponham em causa o comportamento em servio da

estrutura.

b) Para o pr-esforo determinado, indique as cargas equivalentes ao pr-esforo e

determine os respectivos diagramas de esforos.

c) Calcule a flecha a meio vo, considerando a aco do pr-esforo e a combinao

de aces quase-permanente.

d) Verifique a descompresso na viga.


PROBLEMA 3.2 Considere a viga pr-esforada representada na figura, sujeita a uma carga

uniformemente distribuda.

9.6 7.4 3.0 2.0 2.0

20.0 4.0

e1 = 0.077

Parbola ParbolaParbolaA B

Par. Recta

e2 = 0.447

C

e3e4 = 0.293

D

e5 e6 = 0

E F

Seco Transversal:

0.45

1.50

0.800.20

0.60

0.20

1.00

Caractersticas geomtricas:

A = 0.730 m2

yG = 0.577 m

I = 0.0789 m4


Carga permanente: 48.0 kN/m Sobrecarga de utilizao: 20.0 kN/m (1 = 0.5; 2 = 0.3)

Adopte para materiais beto C30/37, ao A500NR e ao de alta resistncia A1600/1860.

a) Determine as equaes que definem o traado do cabo.

b) Represente as foras equivalentes ao efeito do pr-esforo para uma fora

genrica Pm.

c) Considerando dois cabos compostos por 12 cordes de 0.6 cada, com as

ancoragens activas na seco F, determine o valor do pr-esforo inicial Pm0 e do

pr-esforo final Pm na seco B.

d) Dimensione a armadura ordinria necessria para garantir a segurana ao estado

limite de resistncia flexo na seco B.

e) Dimensione as armaduras transversais e verifique a segurana ao esforo

transverso direita da seco D.


PROBLEMA 3.3 Considere a viga pr-esforada representada na figura, bem como o diagrama de

momentos flectores devido aco do pr-esforo.

2.00

e = 0.352 m

7.00

e = 0.10 m

5.00

g, q

14.00

e = 0.188 m

2.00

14.00

1.00

7.00

0.482

0.40

5.00

0.20

0.60

Aces: g = 40 kN/m Materiais: Beto C30/37

q = 12 kN/m (1 = 0.4; 2 = 0.2) Ao A400NR (g = 1.35; q = 1.5) A1600/1860

Caractersticas geomtricas da seco transversal da viga: A = 0.44 m2; I = 0.02 m4.

(-)

(+)

0.354P

0.293P

(-)

5.00

0.1P

a) Calcule e represente as cargas equivalentes ao efeito do pr-esforo para o

traado de cabos indicado (constitudo por troos parablicos), considerando uma

fora de pr-esforo genrica P.

b) Estime o valor da fora de pr-esforo til necessria para garantir a

descompresso da viga, para a combinao quase-permanente de aces. Indique

o nmero de cabos e cordes que adoptaria, justificando todos os pressupostos.

c) Calcule as perdas por atrito ao longo da viga considerando que o tensionamento

efectuado em ambas as extremidades (adopte =0.20 e k = 0.004 m-1). d) Verifique a segurana ao estado limite ltimo de flexo da viga.

RESOLUO DO PROBLEMA 3.3

ALNEA A)

e = 0.188 m

Parbola 1 Parbola 2 Parbola 3

e = 0.352 me = 0.10 m

7.005.00 2.00

1. Clculo das cargas equivalentes uniformemente distribudas

q = 8 f P

L2

Parbola f (m) L (m) q (kN/m)

1 0.252 10.0 0.0202

2 0.420 14.0 0.0171

3 0.120 4.0 0.060

Determinao da coordenada do ponto de inflexo entre as parbolas 2 e 3 0.352 + 0.188

7 + 2 = x 7 x = 0.42 m

2. Clculo das cargas equivalentes nas extremidades do cabo

P tg = 2 f L P = 2 0.252

5 P = 0.1008 P

P e = P 0.10

7.000.10 P

P

5.00

0.1008 P 0.0202 P

2.00

0.0171 P

0.060 P

ALNEA B)

1. Determinao dos esforos para a combinao de aces quase-permanente

(i) Diagramas de esforos para uma carga unitria

(+)

5.00

A

B

13.75 p

24.5 p

(-)

(+)

p

14.00 14.00

(ii) Momentos flectores para a combinao de aces quase-permanente

pcqp = cp + 2 sc = 40 + 0.2 12 = 42.4 kN/m Mcqp,A = 13.75 42.4 = 583.0 kNm ; Mcqp,B = 24.5 42.4 = 1038.8 kNm

2. Verificao da descompresso

(i) Caractersticas geomtricas da seco transversal

0.482

0.318

0.80

0.40

1.00

A = 0.44 m2 ; I = 0.020 m2

winf = I

vinf = 0.020 0.482 = 0.0415 m

3

wsup = I

vsup = 0.020 0.318 = 0.063 m

3

(ii) Seco A

MA

(+)

+

(-)

(-)

(+)

+

P / A

(-)

MA

P

Mpe

inf = - P A - Mpe winf +

MA winf < 0 -

P 0.44 -

0.293 P 0.0415 +

583 0.0415 < 0 P > 1505.2 kN

(iii) Seco B

MB

(+)

+

(-)

(-)

(+)

+

P / A

(-)

MB

P

Mpe

sup = - P A - Mpe

w + MB w < 0 -

P 0.44 -

0.354 P 0.063 +

1038.8 0.063 < 0 P > 2089.4 kN

P > 2089.4 kN 3. Cabos e cordes a adoptar

Considerando 10% de perdas imediatas e 15% de perdas diferidas,

P0' = - P

0.90 0.85 = 2089.4

0.90 0.85 = 2731.2 kN

Ap = - P0'

0.75 fpk = 2731.2

0.75 1860103 104 = 19.58 cm2

n de cordes = Ap

A1 cordo = 19.58

1.4 = 14 cordes

Adoptam-se 2 cabos com 7 cordes de 0.6 ALNEA C)

1. Clculo das perdas por atrito

P0 (x) = P0 e- ( + kx) (Adopta-se = 0.20 e k = 0.004)

7.00

Parbola 2

5.00

Parbola 1

e = 0.10 m e = 0.352 m2.00

Par. 3

e = 0.188 m

Par. 3 Parbola 2 Parbola 1

7.00 5.002.00

1 2 3 4 5 6 7

Clculo da fora de tensionamento

P0 = 14 1.410-4 0.75 1860103 = 2734.2 kN

Clculo dos ngulos de desvio

(i) Parbola 1

1 tan 1 = 2f L = 2 0.252

5 = 0.101

(ii) Parbola 2

2 = 2f L = 2 0.42

7 = 0.120

Seco x (m)

(rad) Paps atrito

(kN)

1 0 0 2734.2

2 5.0 0.101 2668.8

3 12.0 0.221 2591.0

4 14.0 0.341 2525.5

5 12.0 0.221 2591.0

6 5.0 0.101 2668.8

7 0 0 2734.2

ALNEA D)

1. Determinao dos esforos de dimensionamento

psd = 1.35 40 + 1.5 12 = 72 kN/m Msd = 13.75 72 = 990.0 kNm 2. Determinao do momento hipersttico devido ao pr-esforo

(i) Diagrama de momentos isostticos (Misost = P e)

0.188P5.00

0.1P (-)

0.352P

(+)

(-)

(ii) Diagrama de momentos hiperstticos (Mhip = Mpe Misost )

0.166P

(+)

5.00

0.059P

3. Clculo das armaduras de flexo

Msd = Msd + Mhip = 990.0 + 0.059 2089.4 = 1113.3 kNm

Fc0.85fcd0.8x

Fs

FpM'sd

LN

ApAs

b

x

Fp = Ap fp0,1k 1.15 = 19.610-4 1600 1.15 103 = 2727.0 kN

Fs = As fyd = As 348 103 Fc = 1.0 0.8x 0.85 20 103 = 13600x

(i) Equilbrio de momentos ( MAs = Msd) Fc (0.75 0.4x) Fp 0.08 = Msd 13600x (0.75 0.4x) = 1113.3 + 2727.3 0.08 x = 0.141 m Fc = 13600 0.141 = 1917.6 kN < Fp no necessria armadura ordinria para verificar o estado limite ltimo de flexo.

4. Clculo da armadura mnima de flexo

As,min = 0.26 fctm fyk bt d = 0.26

2.6 400 0.40 0.75 104 = 5.07 cm2

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