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Universidade Politcnica

BETO ARMADO

Apontamentos - Volume 1

Jorge Pindula, Eng Civil

2012

Documento em elaborao e reviso

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BETO ARMADO VOLUME 1

Jorge Pindula, Eng Civil Apontamentos de Betao Armado 1.doc - 2/118

NDICE

SIMBOLOGIA..................................................................................................................................... VI

1. INTRODUO ............................................................................................................................... 1

1.1. Definio .................................................................................................................................... 11.2. Vantagens e desvantagens ................................................................................................... 1

1.2.1. Vantagens ........................................................................................................................ 1

1.2.2. Desvantagens .................................................................................................................. 1

1.3. Aplicaes do Beto Armado ............................................................................................... 3

1.4. Tipos estruturais e modos de solicitao .............................................................................. 3

1.4.1. Estruturas Lineares (reticuladas) ................................................................................... 3

1.4.2. Estruturas Laminares ........................................................................................................ 4

1.4.3. Estruturas macias .......................................................................................................... 42. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS .................................................................................................. 6

2.1. Beto .......................................................................................................................................... 6

2.1.1. Caractersticas do beto .............................................................................................. 6

2.1.1.1. Resistncia compresso ..................................................................................... 6

2.1.1.2. Resistncia traco ............................................................................................ 9

2.1.1.3. Mdulo de elasticidade ........................................................................................ 9

2.1.1.4. Fluncia e retraco............................................................................................ 10

2.1.2. Caractersticas relativas a verificao da segurana e dimensionamento ...... 112.1.2.1. Resistncia ............................................................................................................. 11

2.1.2.2. Diagramas tenses-extenses para anlise estrutural ................................... 13

2.1.2.3. Diagramas tenses-extenses para anlise estrutural ................................... 14

2.2. Armaduras ............................................................................................................................... 15

2.2.1. Armaduras para o beto armado ............................................................................. 15

2.2.2. Relaes tenses-extenses de clculo ................................................................... 16

2.3. Funcionamento conjunto dos dois materiais ..................................................................... 18

3. BASES DE PROJECTO E ACES ............................................................................................... 193.1. Mtodos de anlise e avaliao da segurana .............................................................. 19

3.1.1. Mtodo das tenses de segurana .......................................................................... 19

3.1.2. Mtodo de Rotura ........................................................................................................ 20

3.1.3. Mtodo Probabilstico .................................................................................................. 20

3.2. Critrios Gerais de verificao da segurana .................................................................. 21

3.3. Estados Limites ......................................................................................................................... 22

3.3.1. Estados Limites ltimos (ELU) ........................................................................................ 22

3.3.2. Estados limites de servio ou de utilizao (ELS) ..................................................... 23

3.4. Aces ..................................................................................................................................... 23

3.4.1. Classificao e Tipos de Aces ............................................................................... 24

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3.4.1.1. Aces Permanente (g,G) .................................................................................. 24

3.4.1.2. Aces Variveis (q,Q) ........................................................................................ 24

3.4.1.3. Aces de acidente ou excepcionais ............................................................. 24

3.4.2. Quantificao das aces ......................................................................................... 24

3.4.3. Combinaes de Aces ........................................................................................... 25

3.4.4. Diagramas envolventes de esforos ......................................................................... 27

4. SECES SOLICITADAS A FLEXO E AO ESFORO AXIAL ..................................................... 28

4.1. Comportamento de seces em flexo (estados de deformao) ............................ 28

4.1.1. Estado I Seco no fendilhada............................................................................. 28

4.1.2. Estado II Seco Fendilhada ................................................................................... 30

4.1.3. Estado III Calculo a rotura ........................................................................................ 31

4.2. Domnios de deformao das seces ............................................................................. 32

4.2.1. Rotura por Deformao Plstica Excessiva do Ao ............................................... 33

4.2.2. Rotura do Beto na Flexo ......................................................................................... 35

4.2.3. Rotura de Seco Inteiramente Comprimida ......................................................... 37

4.3. Hipteses fundamentais da flexo ...................................................................................... 39

4.4. Seces solicitadas ao Esforo axial: Tirantes e Escoras ................................................. 40

4.4.1. Compresso simples ..................................................................................................... 40

4.4.1.1. Calculo aos Estados Limites ltimos (Rotura) ................................................... 40

4.4.1.2. Calculo aos Estados Limites de utilizao (Elstico em servio) .................. 41

4.4.1.3. Disposies do REBAP (arts. 120 a 122) .......................................................... 424.4.2. Traco simples ............................................................................................................. 43

4.4.2.1. Calculo aos Estados Limites ltimos (Rotura) ................................................... 43

4.4.2.2. Calculo aos Estados Limites de utilizao (Elstico em servio) .................. 43

4.5. Seces solicitadas Flexo Simples Calculo a Rotura ............................................... 44

4.5.1. Analise da seco ........................................................................................................ 44

4.5.1.1. Seces rectangulares simplesmente armadas ............................................. 44

4.5.1.2. Seces rectangulares duplamente armadas ............................................... 45

4.5.1.3. Vigas em Seco T ........................................................................................... 464.5.1.3.1. Largura efectiva do banzo comprimido ........................................................ 46

4.5.1.3.2. Hipteses para o dimensionamento ............................................................... 47

4.5.1.4. Simplificao de seces para efeitos de dimensionamento ..................... 49

4.5.2. Procedimentos de Calculo a Rotura ......................................................................... 50

4.5.2.1. Calculo da Capacidade resistente................................................................... 50

4.5.2.2. Dimensionamento de armaduras ...................................................................... 51

4.5.2.3. Formulas Simplificadas. Vigas Rectangulares. ................................................. 51

4.5.2.4. Uso de Tabelas ...................................................................................................... 534.5.3. Disposies do REBAP .................................................................................................. 53

4.6. Pr-dimensionamento de vigas rectangulares ................................................................. 57

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4.7. Seces solicitadas Flexo Composta............................................................................ 59

4.7.1. Consideraes Gerais. ................................................................................................. 59

4.7.2. Princpios de Clculo .................................................................................................... 59

4.7.3. Mtodos de anlise ...................................................................................................... 59

4.7.3.1. Dimensionamento pelo diagrama bloco-rectangular .................................. 59

4.7.3.1.1. Seco totalmente Traccionada. Armadura simtrica ............................... 60

4.7.3.1.2. Seco parcialmente comprimida. ................................................................ 60

4.7.3.1.3. Seco parcialmente comprimida. Rotura pelo beto .............................. 61

4.7.3.1.4. Seco totalmente comprimida e armadura simtrica .............................. 62

4.7.3.2. Pilares Rectangulares simetricamente armados. Formulas Simplificadas ... 62

4.7.3.3. Resoluo recorrendo a bacos e Tabelas..................................................... 64

4.7.4. Pr-dimensionamento de pilares ............................................................................... 65

4.8. Seces solicitadas Flexo Desviada .............................................................................. 69

4.8.1. Princpios de Clculo .................................................................................................... 69

4.8.2. Mtodos de Analise e Dimensionamento ................................................................ 69

4.8.2.1. Frmulas simplificadas Processo da excentricidade fictcia .................. 69

4.8.2.2. bacos Elaborados .............................................................................................. 70

5. SECES SOLICITADAS AO ESFORO DE TRANSVERSO ......................................................... 73

5.1. Generalidades ........................................................................................................................ 73

5.2. Comportamento em fase no fendilhada ........................................................................ 73

5.3. Comportamento elstico em fase fendilhada ................................................................. 745.3.1. Clssica Analogia da trelia de Morsch ................................................................... 74

5.4. Possveis modos de rotura ..................................................................................................... 75

5.5. Verificao da Segurana e dimensionamento (REBAP) ............................................... 76

5.5.1. O termo Vwd ................................................................................................................... 77

5.5.2. O termo Vcd quando existem armaduras especificas de esforo transverso .... 77

5.5.3. O termo Vcdquando no existem armaduras especficas de corte ................... 79

5.5.4. Valor mximo do esforo transverso resistente ....................................................... 80

5.5.5. Constituio das armaduras e espaamento dos vares .................................... 805.5.6. Armadura mnima de estribos..................................................................................... 81

5.6. Disposies construtivas ........................................................................................................ 82

5.7. Disposies regulamentares ................................................................................................. 82

6. SECES SOLICITADAS A TORO ......................................................................................... 85

6.1. Generalidades ........................................................................................................................ 85

6.2. Toro de compatibil idade ................................................................................................. 85

6.3. Toro de equilbrio ............................................................................................................... 85

6.4. Verificao da segurana e dimensionamento (REBAP) ............................................... 866.4.1. Generalidades............................................................................................................... 86

6.4.2. Seco oca eficaz ....................................................................................................... 88

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6.4.3. Valor mximo do momento torsor resistente ........................................................... 89

6.4.4. Constituio da armadura e espaamento dos vares ....................................... 89

6.5. Esforo de toro associado a flexo ou a esforo transverso ..................................... 90

6.6. Disposies construtivas ........................................................................................................ 91

7. ESTADOS LIMITES LTIMOS DE ENCURVADURA ........................................................................ 92

7.1. Introduo ............................................................................................................................... 92

7.2. Parmetros fundamentais para a verificao da segurana ....................................... 92

7.2.1. Mobilidade da Estrutura (tipos de estrutura) ............................................................ 92

7.2.2. Esbelteza ......................................................................................................................... 93

7.2.3. Comprimento efectivo de encurvadura e seco critica .................................... 95

7.2.4. Direces de encurvadura ......................................................................................... 99

7.2.5. Momentos actuantes nas seces criticas ............................................................ 100

7.2.6. Excentricidades ........................................................................................................... 103

a) Excentricidade de 2. ordem ...................................................................................... 103

b) Excentricidade acidental ............................................................................................ 104

c) Excentricidade de fluncia (ec) ................................................................................... 105

7.3. Verificao da segurana em relao ao estado limite ltimo de encurvadura ... 105

7.3.1. Momentos actuantes na seco crtica ................................................................ 106

7.3.2. Dispensa de verificao em relao encurvadura .......................................... 107

7.4. Pr-dimensionamento de pilares ....................................................................................... 109

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................. 112

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SIMBOLOGIA

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1. INTRODUO1.1.DefinioO Beto armado um material composto, constitudo por beto simples e ao. Os dois

materiais constituintes (beto e ao) devem agir solidariamente para resistir aos esforos aque forem submetidos e devem ser dispostos de maneira a utilizar econmica e

racionalmente as resistncias prprias de cada um deles.

O beto armado apresenta as seguintes propriedades:

Elevada resistncia compresso por parte do beto e elevada resistncia

traco por parte do ao;

Trabalho conjunto do beto e do ao, assegurado pela aderncia entre os dois

materiais;

Coeficiente de dilatao trmica entre os dois materiais que o compem quase

iguais, 0.9c1,4x10-5/C e a=1,2x10-5/C.

1.2.Vantagens e desvantagensComo material estrutural, o beto apresenta vrias vantagens em relao a outros

materiais. Sero relacionadas tambm algumas de suas desvantagens e as providncias

que podem ser adoptadas para contorn-las.

1.2.1. Vantagens Economia: mais econmico que estruturas de ao.

moldvel, permitindo grande variabilidade de formas e de concepes

arquitectnicas.

Apresenta boa resistncia maioria dos tipos de solicitao, desde que seja feito

um dimensionamento correcto e uma pormenorizao adequada das armaduras.

A estrutura monoltica, fazendo com que a funcione quando solicitada.

Manuteno e conservao quase nulas e grande durabilidade.

Boa resistncia compresso.

Resistncia a efeitos trmicos, atmosfricos e a desgastes mecnicos.

Possibilidade de trabalhar com Pr-fabricados.

1.2.2. Desvantagens

Peso prprio elevado: 2,5t/m3

= 25KN/m3

. Custo de cofragens para a moldagem.

Transmisso de calor e som.

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Fragilidade.

Fissurao.

Retraco e fluncia

Corroso das armaduras

Baixa resistncia traco.

Para suprir as deficincias do beto, h vrias alternativas, a saber:

Tanto a retraco quanto a fluncia dependem da estrutura interna do beto.

Portanto, para minimizar seus efeitos, adequada ateno deve ser dada a todas as

fases de preparao, desde a escolha dos materiais e da dosagem at a

compactao e a cura do beto colocado nos cimbramentos.

A fluncia depende tambm das foras que actuam na estrutura. Portanto, um

programa adequado das fases de carregamento, tanto na fase de projecto quanto

durante a construo, pode atenuar os efeitos da fluncia.

A baixa resistncia traco pode ser contornada com o uso de adequada

armadura, obtendo-se o beto armado.

Alm de resistncia traco, o ao garante ductilidade e aumenta a resistncia

compresso, em relao ao beto simples.

Em peas comprimidas, como nos pilares, os estribos, alm de evitarem a

flambagem localizada do ao, podem confinar o beto, o que tambm aumenta

sua ductilidade.

A fissurao pode ser contornada ainda na fase de projecto, com armao

adequada e limitao do dimetro do ao e da tenso na armadura. Tambm

usual a associao do beto com pelo menos uma parte de armadura activa, ou

seja, com tenses prvias, formando o beto pr-esforado.

A utilizao de armadura activa tem como principal finalidade aumentar aresistncia da pea, o que possibilita a execuo de grandes vos ou o uso de

seces menores, diminuindo o peso prprio, sendo que tambm se obtm uma

melhora do beto com relao fissurao.

A corroso da armadura pode ser prevenida com controle da fissurao e com o

uso de adequado recobrimento da armadura, cujo valor depende do grau de

agressividade do ambiente em que a estrutura for construda.

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1.3.Aplicaes do Beto Armado o material estrutural mais utilizado a nvel mundial. Outros materiais como madeira,

alvenaria e ao tambm so de uso comum e h situaes em que so imbatveis. Porm,

suas aplicaes so bem mais restritas.

Algumas aplicaes do beto so relacionadas a seguir:

Edifcios: mesmo que a estrutura principal no seja de beto, alguns elementos, pelo

menos, o sero;

Armazns e pisos industriais ou para fins diversos;

Obras hidrulicas e de saneamento: barragens, tubos, canais, reservatrios, estaes

de tratamento etc.;

Estradas: pavimentao de beto, pontes, viadutos, passarelas, tneis, galerias,

obras de conteno etc.;

Estruturas diversas: elementos de cobertura, chamins, torres, postes, muros de

suporte, piscinas, silos, cais, fundaes de mquinas etc.

1.4.Tipos estruturais e modos de solicitaoEm funo do tipo de esforos a que as estruturas esto submetidas e de acordo com o

procedimento adoptado na sua determinao, as estruturas podem classificar-se em:

1.4.1. Estruturas Lineares (reticuladas)So estruturas constitudas por peas lineares em que uma das dimenses (o comprimento)

muito superior s outras duas (que definem a seco transversal). Exemplos: vigas, pilares,

prticos, trelias, arcos, tirantes, escoras.

A seco transversal de uma estrutura linear pode estar sujeita aos seguintes esforos:

N Esforo axial (Fx)

Vy Comp. Esforo transverso (Fy)

Vz Comp. Esforo transverso (Fz)

Mz Comp. Momento flector (Mz)

My Comp. Momento flector (My)

T Momento torsor (Mx)

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Esforos em peas lineares

1.4.2. Estruturas LaminaresSo estruturas em que duas das dimenses (comprimento e largura) so da mesma ordem

de grandeza e de valor substancialmente superior outra dimenso (espessura). Exemplos:

Lajes, paredes, vigas-parede, cascas.


Elemento de laje, parede e casca

1.4.3. Estruturas maciasAs estruturas macias apresentam trs dimenses (altura, comprimento e profundidade) da

mesma ordem de grandeza, sendo em geral submetidas a um estado de tenso triaxial.

Exemplos: Barragens e fundaes macias.


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Elemento de estrutura linear

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2. PROPRIEDADES DOS MATERIAISA associao do beto com ao deu origem ao material estrutural com maior sucesso na

execuo de obras de engenharia civil, o beto armado. Tratam-se dois materiais que

apresentam caractersticas substancialmente diferentes.

O ao produzido sob condies bem controladas e as suas propriedades so

caracterizadas em laboratrio, sendo acompanhados por certificados de qualidade. Assim,

a utilizao deste material no constitui grande preocupao para os engenheiros.

No que se refere ao beto, a situao completamente diferente. Este material obtido a

partir da mistura de diversos componentes dos quais, em geral, apenas um certificado: o

cimento. Para alm deste aspecto, o fabrico e a colocao do beto nas estruturas

envolve, a diversos nveis, a utilizao de uma elevada quantidade de mo-de-obra, cuja

qualidade influencia de forma determinante a qualidade do material final: o beto

armado.

Este facto leva a que o beto constitua um material cujas propriedades apresentam uma

elevada variabilidade que deve ser tida em conta no dimensionamento das estruturas. Por

outro lado, por se tratar de um material constitudo por componentes que vo reagindo ao

longo do tempo, as suas propriedades tambm so dependentes do tempo. Acresce ainda

que o comportamento do beto armado pode ser significativamente afectado pelascondies de exposies ambientais que envolvem as estruturas.

Tudo isto implica a necessidade do engenheiro envolvido no projecto e execuo de

estruturas conhecer o melhor possvel os materiais constituintes do beto armado e o efeito

que esses materiais podem ter no comportamento mecnico e durabilidade das obras.

2.1.BetoO beto um material formado pela mistura de cimento, de agregados grossos e finos e de

gua, resultante do endurecimento da pasta de cimento. Para alm destes componentes

bsicos, pode tambm conter adjuvantes e adies. Caso a mxima dimenso do

agregado seja igual ou inferior a 4mm, o material resultante denominado argamassa.

2.1.1. Caractersticas do beto2.1.1.1.Resistncia compresso

A resistncia compresso a caracterstica mecnica mais importante do beto, pois nasestruturas a funo deste material essencialmente resistir s tenses de compresso

enquanto as armaduras tm a funo de resistir s tenses de traco.

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A resistncia compresso determinada em provetes submetidos a uma solicitao axial

num ensaio de curta durao, isto , com uma velocidade de carregamento elevada.

Dado que a forma dos provetes, a velocidade de carregamento e outros factores tais

como a idade do beto e as condies de cura tm uma influncia significativa na

resistncia medida, os mtodos de ensaio so normalizados.

Os provetes geralmente utilizados para determinar a resistncia compresso do beto

tm a forma cbica ou prismtica, sendo, entre estes ltimos, os cilindros com altura dupla

do dimetro os mais usuais.

A norma NP EN 206-1 estabelece que a resistncia compresso deve ser determinada em

provetes cbicos de 150mm ou provetes cilndricos de 150/300mm. A resistncia cilndrica

da ordem de 0.80 da resistncia cbica. Esta diferena originada pelo atrito entre as

faces dos provetes e os pratos das prensas que impedem a deformao transversal do

beto conduzindo a maiores valores da resistncia. Este fenmeno mais significativo nos

provetes com menor esbelteza.

Uma vez que o endurecimento do beto se processa ao longo do tempo, a resistncia

compresso, tal como as outras caractersticas deste material, evolui tambm no tempo.

Como para efeito de dimensionamento das estruturas se considera a resistncia do beto

aos 28 dias, estabeleceu-se esta idade para caracterizar esta propriedade. Assim, aresistncia compresso determinada sobre moldes cilndricos ou cbicos, mantidos em

condies saturadas, aos 28 dias de idade.

A resistncia do beto apresenta uma variabilidade significativa resultante quer da prpria

heterogeneidade do material, quer das condies de fabrico (controlo de qualidade).

Desta forma, a resistncia no pode ser caracterizada apenas pelo valor mdio dos

resultados obtidos de ensaios de um determinado nmero de provetes. necessrio

tambm ter em conta a disperso dos valores. Adoptou-se, assim, o conceito de resistnciacaracterstica que um valor estatstico que tem em conta a mdia aritmtica das tenses

de rotura (fcm) obtidas nos ensaios dos provetes e o coeficiente de variao () dos valores

medidos. A resistncia caracterstica do beto (fck) o valor que apresenta 95% de

probabilidade de ser excedido, figura abaixo.

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Assim, esta resistncia (fck) obtida a partir da sua resistncia mdia determinando-se

primeiro o desvio padro da mesma (amostra) pela frmula:

em que:

e, pela Curva de Gauss, a resistncia caracterstica dada pela frmula:

1,64-cjfckf = ou )1,64-1(cjfckf =

O coeficiente de variao determinado essencialmente pela qualidade dos meios

empregues para fabricar o beto que influenciam a preciso com que efectuada a

dosagem dos seus componentes, pela organizao do estaleiro e ainda pelo controlo

exercido sobre o fabrico.

Como valores de referncia podem considerar-se os seguintes:

condies de execuo mdias - = 0.20 a 0.25

condies de execuo boas - = 0.15 a 0.20

condies de execuo muito boas - = 0.10 a 0.15.

Um coeficiente de variao superior a 0.25 no admissvel na execuo de estruturas de

beto armado.

1-n

n

1

2)cjf-ci(f

=

n

n

1 cif

cjf

=

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Quanto maior for o coeficiente de variao, maior o afastamento entre o valor mdio e o

valor caracterstico da resistncia. Assim, existe toda a vantagem, sob o ponto de vista

econmico, em fabricar e controlar o beto de forma eficiente.

2.1.1.2.Resistncia tracoA resistncia traco (fct) uma caracterstica importante do beto em fenmenos tais

como a fendilhao e a aderncia das armaduras.

Tal como acontece com a resistncia compresso, a resistncia traco depende do

tipo de ensaio. Esta caracterstica mecnica pode ser medida directamente em provetes

prismticos traccionados ou medida indirectamente por flexo de prismas ou compresso

diametral de cilindros.

Quando a resistncia traco for determinada como a tenso de rotura traco por

compresso diametral pode considerar-se para valor aproximado da tenso de rotura

traco simples.

2.1.1.3.Mdulo de elasticidadeO Mdulo de elasticidade (Ec) a relao entre a tenso actuante e a deformao

longitudinal resultante desta tenso.

Os valores mdios do mdulo de elasticidade aos 28 dias de idade a considerar so os

indicados no quadro 1.5. Aos j dias de idade, Ec,j , pode em geral ser estimado a partir do

valor mdio da tenso de rotura mesma idade, fcm,j , pela expresso:

3j,cmf5.9j,cE = .

Quadro 1.5 Valores mdios do mdulo de elasticidade do beto, Ec, 28

Classe de

resistnciaB15 B20 B25 B30 B35 B45 B50 B55 B60

Ec,28

(GPa)26.0 27.5 29.0 30.5 32.0 33.5 35.0 36.0 37.0

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Verifica-se que o mdulo de elasticidade aumenta com a resistncia do beto, todavia a

relao entre estas duas propriedades apresenta uma disperso elevada. Embora existam

expresses que relacionam a tenso de rotura com o mdulo de elasticidade, necessrio

determinar experimentalmente o seu valor quando esto em causa clculos rigorosos sobre

o comportamento das estruturas.

O coeficiente de Poisson (relao entre a deformao transversal e a deformao

longitudinal) depende da resistncia do beto, do nvel de tenso aplicada e da prpria

composio do beto. O seu valor varia geralmente entre 0.15 e 0.25. O seu conhecimento

rigoroso no importante para a maioria dos clculos de engenharia, pelo que se adopta

geralmente um valor mdio igual a 0.20. A partir do coeficiente de Poisson determina-se o

mdulo de distoro.

2.1.1.4.Fluncia e retracoA fluncia um fenmeno que consiste no aumento progressivo no tempo da deformao

instantnea de uma pea de beto quando sujeita a uma tenso com carcter de

permanncia. Este fenmeno ocorre devido variao de volume de pasta de cimento

que envolve os agregados.

A retraco consiste na diminuio da dimenso de uma pea de beto na ausncia de

variaes de temperatura e de tenses aplicadas. Este fenmeno originado pelavariao de volume da pasta de cimento devida essencialmente evaporao da gua

de amassadura do beto e s reaces de hidratao das partculas de cimento. A

carbonatao do beto origina tambm fenmenos de retraco.

A fluncia e retraco originam o que normalmente se designa por efeitos diferidos, i.e.,

efeitos devidos deformao do beto ao longo do tempo.

As principais desvantagens da fluncia e retraco no comportamento das estruturas so

as seguintes:

aumento das deformaes dos elementos estruturais, principalmente em vigas e

lajes

perdas da fora de pr-esforo em elementos pr-tensionados e ps-tensionados

nas estruturas pr-esforadas

fendilhao de elementos com deformaes impedidas, devido ao encurtamento

originado pela retraco

aumento dos esforos em elementos comprimidos sujeitos a cargas excntricas

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A fluncia apresenta ainda um efeito importante na tenso de rotura do beto. Verifica-se

que existe uma relao entre a tenso aplicada no beto e a sua resistncia, determinada

num ensaio de curta durao, a partir da qual a fluncia provoca a rotura. Essa relao

da ordem de 0.8 a 0.9, razo pela qual a regulamentao afecta, para efeitos de clculo

da resistncia das peas, a tenso de rotura do beto de um coeficiente de reduo.

Todavia, este efeito compensado pelo aumento da resistncia do beto no tempo

(recorde-se que nos clculos da capacidade resistente dos elementos se considera a

resistncia do beto aos 28 dias de idade). Assim, na verso final do Eurocdigo 2, esse

coeficiente de reduo pode ser considerado igual a 1.

Como principais vantagens da fluncia referem-se a reduo dos esforos nos elementos

estruturais originados por deformaes impostas e a eliminao das concentraes de

tenses.

A retraco influenciada por um grande nmero de parmetros associados

composio do beto, ao ambiente de exposio e forma das peas de beto.

Os principais factores que influenciam a fluncia so o nvel de tenso aplicado nas peas

e a resistncia do beto. Verifica-se que a fluncia varia linearmente com a relao entre a

tenso aplicada e a tenso de rotura do beto para um intervalo de valores desta relao

da ordem de 0.4 a 0.7.

2.1.2. Caractersticas relativas a verificao da segurana e dimensionamentoDefinem-se aqui as caractersticas do beto que devem ser consideradas para efeitos da

anlise estrutural e dimensionamento de seces de beto armado e pr-esforado.

2.1.2.1.Resistncia

O beto classificado de acordo com a sua resistncia compresso, definindo-se asclasses de resistncia conforme indicado no quadro abaixo, em que: o ndice (15, 20, 25, ...)

representa o valor caracterstico da resistncia compresso do beto em provetes

cbicos com 20 cm de aresta e, (12, 16, 20,) representa o valor caracterstico da

resistncia compresso em provetes cilndricos com 15 cm dimetro e 30 cm altura.

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Quadro 1.3 Valores mdios e caractersticos da tenso de rotura do beto traco

simples

Classe de


fcd(Mpa)

8.0 10.7 13.3 16.7 20.0 23.3 26.7 30.0 33.3

fctd

(MPa)0.80 0.93 1.07 1.20 1.33 1.47 1.60 1.73 1.87

O valor de clculo da resistncia do beto compresso fcd obtm-se dividindo a

resistncia caracterstica fckpelo coeficiente de segurana c = 1.5.

A resistncia traco do beto (fct) definida como a tenso mxima que o beto pode

suportar quando submetido traco simples. A resistncia traco pode ser

determinada atravs do ensaio de traco axial ou obtida a partir da resistncia traco

por ensaio de compresso diametral ou da resistncia traco por ensaio de flexo.

Os valores mdios e caractersticos adoptados para a tenso de rotura do beto traco

simples aos 28 dias, fctm e fctk, indicados no quadro 1.4, correspondentes s classes dos

betes indicados no quadro a seguir.

Quadro 1.4 Valores mdios e caractersticos da tenso de rotura do beto traco

simplesClasse de


fctm

(Mpa)1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4.0

fctk

(MPa)1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8

As classes de resistncia mnima para beto pr-esforado so C25/30 para elementos ps-

tensionados e C30/37 para elementos pr-tensionados.

O Eurocdigo 2 refere que os betes de classe de resistncia inferior a C12/C15, ou

superiores a C50/60, no devem ser utilizados em obras de beto armado e pr-esforado,

a menos de justificao fundamentada.

Por vezes, em diversas situaes prticas, tem interesse estimar a resistncia do beto para

idades diferentes dos 28 dias. Este processo no simples dado que o desenvolvimento da

resistncia no tempo depende de muitos parmetros tais como o tipo e a classe de

resistncia do cimento, o tipo e quantidade de adies e adjuvantes, a razo A/c e ascondies ambientais.

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Para idades diferentes dos Betes apresentados no quadro 1.1, podero tomar-se os valores

indicados no quadro 1.2, extrados do grfico proposto pelo C.E.B.

Quadro 1.2 - Coeficientes parciais de endurecimento

Idade do beto(dias)

3 7 14 28 90 360

Coeficiente de

endurecimento0.40 0.65 0.85 1.00 1.20 1.35 1.45

2.1.2.2.Diagramas tenses-extenses para anlise estruturalPara efeitos de projecto devem ser utilizados diagramas tenses-extenses

convenientemente idealizados. Consideram-se diagramas a utilizar para efeitos de anlise

estrutural e diagramas a utilizar para efeitos do dimensionamento de seces.

Relativamente anlise estrutural consideram-se diagramas tenso-extenso para anlise

linear e para anlise no linear ou para o clculo de efeitos de segunda ordem, figura

abaixo.

No Quadro 2.8 est indicada uma estimativa do valor mdio do mdulo secante Ecm para

as diferentes classes de resistncia do beto.

Diagramas tenses-extenses para anlise estrutural

Refere-se que o mdulo de elasticidade depende no s da classe de resistncia do beto,mas tambm das propriedades dos agregados utilizados e outros parmetros associados

composio do beto e s condies de cura. Deste modo, quando for necessrio

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efectuar clculos mais rigorosos necessrio realizar ensaios sobre o beto fabricado com

os agregados utilizados na obra.

Para efeitos de clculo, pode considerar-se que o coeficiente de Poisson relativo a

extenses elsticas igual a 0.2. Nos casos em que se aceita a fendilhao do beto emtraco, o coeficiente de Poisson pode ser considerado igual a zero.

2.1.2.3.Diagramas tenses-extenses para anlise estruturalVisando estabelecer um critrio comum ao dimensionamento, busca-se, para as diferentes

resistncias compresso com que se trabalhe na prtica, um diagrama ideal,

matematicamente definido, diagrama parbola - rectngulo (grfico 1.1).

Estas relaes so obtidas a partir dos resultados de ensaios rpidos de prismas ou de

cilindros de beto submetidos compresso simples, contando com factores como a

segurana e a influncia do factor tempo.

So vrios os factores que influenciam as relaes tenses - extenses dum beto, mesmo

em ensaios rpidos. Assim, quanto a tenso de rotura, ela influenciada pela forma e

dimenses dos provetes, pelo tipo de mquina de ensaios, pela idade e condies de

conservao dos provetes, pela natureza dos inertes e pela dosagem do cimento e gua.

Quanto inclinao da tangente na origem do diagrama (mdulo de elasticidade inicial)

verifica-se que ela aumenta com a idade do beto e com o teor de humidade dos

provetes e que varia consideravelmente com a natureza dos inertes e com a dosagem do

cimento.

Em relao ao factor tempo, h que verificar a sua influncia dado que, por um lado faz

aumentar a resistncia, por outro, sob aco de cargas constantes elevadas, faz diminuir,

pois regista-se nos ensaios que provetes quando sujeitos a tenso constante da ordem de

85% da tenso de rotura, aos 28 dias, obtida em provetes idnticos, acabam por atingir a

rotura ao fim de certo tempo. Finalmente, h que para atender segurana, ter em conta

fcd

0,85fcd

r=3,52%0

Parbola: 3x102c250-ccdf0,85c =

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a grande disperso que apresenta o beto nas suas propriedades e, consequentemente,

tomar valores para o clculo que tenham tal facto em considerao.

2.2.ArmadurasO ao empregado nas peas de beto armado uma liga constituda principalmente de

ferro e carbono, qual so incorporados outros elementos para melhoria das propriedades.

O ao usado em conjunto com o beto com a finalidade principal de resistir aos esforos

de traco, que no so suportados pelo beto.

A introduo deste elemento no beto permite melhorar consideravelmente o

comportamento deste material, dado que, aps a fendilhao, as tenses de traco

passam a ser resistidas pela armadura.

2.2.1. Armaduras para o beto armadoAs armaduras para beto armado podem apresentar-se de diversas formas, sendo as mais

correntes os vares, os fios e as redes.

Os vares e fios tm a seco com forma aproximadamente circular, sendo fios quando o

seu dimetro relativamente pequeno, permitindo o seu fornecimento em bobinas. As

redes so constitudas por fios ou vares, ligados entre si, formando malhas rectangulares ou

quadradas. As malhas em que as ligaes so obtidas por soldadura designam-se por redes

electrossoldadas.

Os vares so o tipo de armaduras mais utilizado no beto armado em que as propriedades

geomtricas dos vares que tm maior interesse so o dimetro, o comprimento e a

configurao da superfcie.

Os dimetros dos vares variam de pas para pas, apresentando a norma europeia

prEN10080 os seguintes valores:

Dimetro [mm] Seco [cm2] Permetro [cm] Massa por metro [Kg/m]

6 0,283 1,89 0,222

8 0,503 2,51 0,395

10 0,785 3,14 0,617

12 1,13 3,77 0,888

16 2,01 5,03 1,58

20 3,14 6,28 2,47

25 4,91 7,85 3,85

32 8,04 10,1 6,31

40 12,6 12,6 9,87

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Dimetros superiores (50, 57 e 63 mm) so raramente produzidos, sendo utilizados

essencialmente em estacas. Os dimetros mais utilizados no nosso pas apresentam-se a

sublinhado.

No que se refere ao comprimento dos vares, as dimenses mais usuais variam entre 6 e 12m, podendo chegar aos 18 m quando os vares so transportados por caminho-de-ferro.

A configurao da superfcie pode ser lisa ou rugosa. As superfcies rugosas podem ser

obtidas com salincias (superfcies nervuradas) ou reentrncias (superfcies indentadas).

Assim, os vares podem ser classificados em lisos ou rugosos e relativamente a estes em

nervurados e indentados.

Os vares nervurados so os que se utilizam mais frequentemente, pois so os que conferem

maior aderncia entre a armadura e o beto.

As nervuras so utilizadas tambm para efectuar a marcao dos vares. Esta marcao

importante, pois a troca de vares em obra pode originar acidentes graves quando, por

engano, se utilizem aos de menor resistncia que a prevista no projecto.

Quadro 1.6 Caractersticas mecnicas dos aos para o beto armado

Designao Processo defabrico

Configuraoda superfcie

Caractersticade aderncia

TracoExtenso

apsrotura syk

(%)

Tenso de

Cedncia

fsyk(MPa)

Rotura

fsuk

(MPa)

A235NL Laminado a

quente

Lisa Normal235 360 24

A235NR Rugosa Alta

A400NRLaminado a

quenteRugosa Alta 400 460 14

A400EREndurecido

a frioRugosa Alta

400 460 12

A400ELEndurecido

a frioLisa Normal

A500NRLaminado a

quenteRugosa Alta 500 550 12

A500ER Endurecido

a frio

Rugosa Alta500 550 10

A500EL Lisa Normal

2.2.2. Relaes tenses-extenses de clculoPelo que se refere aos tipos correntes de ao para armaduras de beto armado, indicado

na tabela 1.6 acima, as relaes tenses-extenses a considerar, segundo o REBAP, so do

tipo bilinear conforme o grfico 1.2 abaixo, em que o primeiro segmento definido pelo

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valor do mdulo de elasticidade e o segundo pelo valor de clculo, fsyd, da tenso de

cedncia ou tenso limite convencional de proporcionalidade a 0.2%, em traco.

As caractersticas de resistncia dos aos so definidas pelos valores caractersticos da

tenso de cedncia fsyk(ou tenso limite de propriedades a 0.2%, f0.2k) e da tenso de roturaftk.

A tenso de cedncia e a tenso de rotura podem, para efeitos de clculo, ser

consideradas iguais em traco e em compresso, a no ser que existam especificaes

em contrrio para a armadura em causa.

Diagrama tenso-deformao do ao

importante referenciar aqui que a distino entre o comportamento dos aos, laminados

e endurecidos, quando submetidos a ensaios, no tem grande influncia nos resultados.

aceitvel admitir que todos os diagramas apresentam patamares.

Os valores de clculo para a verificao da segurana em relao aos ELU e de

encurvadura so obtidos dividindo os respectivos valores caractersticos, fsyk e fsycd, por um

coeficiente de segurana s tomado igual a 1,15.

s

sykf=sydfGPa002=sE

syd

sydf=sE=tg

Classefsyk

[MPa]

fsyd

[MPa]

syd

[10-3

]

A235

A400A500

235

400500

205

348435

1.025

1.74

2.175

fsyd

fsycd

s

yd 10%0

3,5%0

patamar

limite decedncia

alongamentode rotura

Encurtamento derotura

s

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2.3.Funcionamento conjunto dos dois materiaisA caracterstica mais importante que se pode ressaltar em relao ao beto armado que

ele se constitui na combinao de um material que resiste muito bem compresso, o

beto, com um material que resiste muito bem traco, o ao. De maneira geral, pode-se dizer que, nas peas de beto armado, o beto o responsvel por resistir aos esforos

de compresso e o ao aos de traco. Nas peas essencialmente comprimidas, o ao

aumenta a capacidade resistente do elemento.

Separadamente, o ao resiste tanto traco como compresso, porm o beto possui

uma baixa resistncia traco, da ordem de 10% da sua resistncia compresso, para

os betes de baixa resistncia. Para resistncias compresso mais altas, essa

percentagem diminui.

Praticamente no existem tenses internas entre o ao e o beto. O beto protege a

armadura da corroso, garantindo a durabilidade da estrutura (Proteco fsica atravs do

recobrimento e qumica atravs do ambiente em que se encontra normalmente alcalino).

Devido aderncia, as deformaes do ao e as do beto que as envolve, so

aproximadamente iguais.

Portanto, o trabalho conjunto desses dois materiais diferentes, neste caso beto e ao,

possvel graas coincidncia de duas de suas propriedades fsicas essenciais: a adernciarecproca e a proximidade existente nos seus coeficientes de dilatao.

A aderncia impede a cedncia entre as armaduras e o beto, e transmite esforos de um

para o outro materiais, sendo a propriedade fundamental para o trabalho conjunto dos

mesmos.

Os coeficientes de dilatao aproximadamente iguais, implicam em deslocamentos

semelhantes provocados por variaes de temperatura, desse modo no destri a

aderncia, tornando possvel o trabalho conjunto desses materiais.

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3. BASES DE PROJECTO E ACESO clculo de uma estrutura constituda por um dado material, nomeadamente por beto

armado, compreende duas etapas:

A anlise estrutural, que consiste em determinar a distribuio de esforos (axial,

transversal, flector e toror), ou de tenses, extenses e deformaes na estrutura

global ou em parte e,

O dimensionamento, com o qual se pretende determinar as dimenses dos

elementos em beto, assim como as quantidades de armadura necessrias, ou,

ento, verificar se as dimenses e as armaduras definidas previamente so

suficientes.

3.1.Mtodos de anlise e avaliao da seguranaOs mtodos de avaliao da segurana so os seguintes:

Mtodo da tenso admissvel ou de segurana;

Mtodo da rotura;

Mtodo probabilstico.

3.1.1. Mtodo das tenses de seguranaEste mtodo baseava-se em:

Calcular as tenses instaladas na estrutura devidas a cargas reais no majoradas,

recorrendo teoria da elasticidade;

Comparar as tenses actuantes com as tenses admissveis ou de segurana fixadas

pelas normas.

As tenses admissveis eram, em geral, obtidas dividindo a resistncia do material ( f)

por um coeficiente de segurana (na ordem dos 2,25):

fadminstaladas =

Este mtodo das tenses de segurana, apesar de constituir uma aplicao fcil, apresenta

alguns defeitos importantes, em particular nas estruturas de beto armado e pr-esforado:

O beto no tem um comportamento que se possa considerar perfeitamenteelstico.

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As tenses obtidas para cargas de servio no facultam a indicao directa da

segurana conjunta da estrutura.

Neste contexto, o mtodo das tenses de segurana deixou de ser utilizado nas normas

recentes. Contudo, quando se pretende controlar as deformaes em estado de servio,recorre-se frequentemente noo de comportamento elstico ou quase elstico de uma

estrutura.

3.1.2. Mtodo de RoturaEste mtodo de anlise e dimensionamento de estruturas, designado por clculo das

seces rotura um mtodo hbrido, na medida em que a relao determinante;

RS

Baseia-se em:

Por um lado, na teoria da elasticidade para clculo dos esforos actuantesS;

Por outro lado, na teoria da plasticidade para clculo da resistncia R das seces.

Este mtodo apresenta uma certa incoerncia, pois, aumentando as solicitaes at aoesgotamento (rotura) das seces crticas, os esforos na estrutura podem ser

consideravelmente diferentes dos obtidos na anlise elstica.

Contudo, este mtodo frequentemente utilizado e aparece em numerosas normas. Alm

disso, ele fornece resultados sempre pelo lado da segurana.

3.1.3. Mtodo Probabilstico

Este e um mtodo de anlise e dimensionamento de estruturas baseado em estados limitese permite verificar a segurana das estruturas atendendo ao comportamento real no

linear dos materiais e ao carcter incerto das aces e da resposta das estruturas.

As normas actuais exigem duas verificaes distintas:

Uma relativa aptido ao servio, cuja verificao recorre teoria da elasticidade,

que permite igualmente ter em conta, de uma forma aproximada, os fenmenos

no lineares como a fissurao e os efeitos diferidos (fluncia e retraco do beto

e relaxao do ao);

E a outra relativa segurana da estrutura que no pode ser correctamente

realizada com base em hipteses de comportamento elstico, tornando-se

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conveniente recorrer a um mtodo que permita avaliar, de uma forma realista, o

estado ltimo da capacidade das estruturas.

3.2.Critrios Gerais de verificao da seguranaA verificao da segurana aos estados limites est baseada em mtodos semi-

probabilsticos que adopta valores caractersticos para as aces (Sk) e para as resistncias

dos materiais (Rk), os quais so afectados por coeficientes parciais de segurana (),

obtendo-se os valores de clculo (Sd e Rd).

Para garantir-se a segurana das estruturas aos estados limites preciso identificar as

aces actuantes, que causam as solicitaes (S), e determinar a resistncia (R) dos

elementos estruturais, para que se possa analisar a desigualdade:S R.

Portanto, o primeiro passo identificar as aces actuantes na estrutura. Segundo o

RSAEEP, As aces so quantificadas por seus valores representativos, que podem ser

valores caractersticos, valores caractersticos nominais, valores reduzidos de combinao,

valores convencionais excepcionais, valores reduzidos de utilizao e valores raros de

utilizao.

- Valores caractersticos: Os valores caractersticos (Fk) das aces so definidos em

funo da variabilidade de suas intensidades. Para as aces permanentes admite-seo valor que tenha 95% de chance de no ser ultrapassado em 50 anos, como mostra a

Figura 2. Para as aces variveis admite-se o valor que tenha de 65% a 75% de

chance de no ser ultrapassado em 50 anos.

- Valores reduzidos de combinao: so determinados a partir dos valores caractersticos

multiplicados por um coeficiente de reduo: 0 Fk. Eles so empregados quando

existem aces variveis de diferentes naturezas, para levar em conta a baixa

probabilidade de ocorrncia simultnea dos valores caractersticos dessas aces.

Distribuio normal para as cargas permanentes.

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- Valores convencionais excepcionais: so valores arbitrados para as aces

excepcionais. Eles devem, ser estabelecidos por consenso entre o proprietrio da

construo e as autoridades governamentais que nela tenham interesse.

O carcter probabilstico da verificao da segurana, atravs dos estados limites e dasboas condies de servio introduzido com a definio dos valores caractersticos tanto

no que se refere s solicitaes actuantes (Sk) como s resistncias dos materiais (Rk). Como

j definidos anteriormente, os valores encontrados na prtica devem ter a probabilidade

muito baixa de serem superiores (no caso das solicitaes) ou inferiores (no caso das

resistncias) aos respectivos valores caractersticos.

Os factores de incerteza quanto aos valores caractersticos so cobertos com a

transformao destes em valores de clculo obtidos pela sua multiplicao por coeficientes

de segurana, que so determinados por consideraes probabilsticas para cada tipo de

estado limite.

3.3.Estados LimitesDizemos que uma estrutura atinge um estado limite quando ela apresenta desempenho

inadequado s finalidades da construo, no mais preenchendo os requisitos necessrios

de estabilidade, conforto e durabilidade para o seu funcionamento. Assim sendo, pode-se

dizer que a segurana de uma estrutura a capacidade que ela apresenta de suportar asdiversas aces que vierem a solicit-la durante a sua vida til1, sem atingir qualquer estado

limite.

Os estados limites podem ser classificados em duas categorias nomeadamente: ltimos e

de servio (ou de utilizao).

3.3.1. Estados Limites ltimos (ELU)Segundo REBAP, so aqueles que pela sua simples ocorrncia, determinam a paralisao,

no todo ou em parte, do uso da construo, e correspondem ao esgotamento da

capacidade portante da estrutura, estando relacionado com o seu colapso, em parte ou

no todo.

1 Por vida til de projecto, entende-se o perodo de tempo durante o qual se mantm as caractersticas

das estruturas de beto, desde que atendidos os requisitos de uso e manuteno prescritos pelo

projectista e pelo consumidor, bem como de execuo dos reparos necessrios decorrentes de danos

acidentais.

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Deve-se haver uma probabilidade muito pequena de sua ocorrncia, pois essa ter como

consequncia a perda de vidas humanas ou grandes prejuzos financeiros. Devido a estes

factores, a sua verificao obrigatria, mesmo que no explicitamente listada em normas.

No projecto, usualmente devem ser considerados os estados limites ltimos caracterizadospor:

a) Perda de equilbrio, global ou parcial, admitida a estrutura como um corpo rgido;

b) Rotura ou deformao plstica excessiva dos materiais;

c) Instabilidade por deformao excessiva (pilares);

d) Transformao da estrutura, no todo ou em parte, em sistema hiposttico

(mecanismo);

e) Instabilidade dinmica;

f) Colapso por causas excepcionais (catstrofes), quando for o caso.

3.3.2. Estados limites de servio ou de utilizao (ELS)Segundo o REBAP, so estados que, por sua ocorrncia, repetio ou durao, causam

efeitos estruturais que no respeitam as condies especificadas para o uso normal da

construo, ou que so indcios de comprometimento da durabilidade da estrutura.

Quando no representar situao de risco a vidas humanas, como no caso dos estados

limites ltimos, uma maior probabilidade de ocorrncia desses estados limites tolerada.

No perodo de vida da estrutura, usualmente so considerados estados limites de servio

caracterizados por:

a) Danos ligeiros ou localizados, que comprometam o aspecto esttico da construo

ou a durabilidade da estrutura (fissurao);

b) Deformaes excessivas que afectem a utilizao normal da construo ou seu

aspecto esttico (barriga em lajes);

c) Vibrao excessiva ou desconfortvel (estado de futebol).

No caso de verificao da segurana em relao aos estados limites de utilizao, as

combinaes de aces a considerar dependem da durao do estado limite em causa.

3.4.AcesAces so as causas que provocam aparecimento de esforos ou deformaes nas

estruturas, devendo ser consideradas no dimensionamento da mesma. Como resultado daaplicao destas cargas externas, surgem na estrutura, os esforos solicitantes, que so os

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esforos causados pelas aces, como os esforos normais e cortantes, e os momentos

flectores e torsores.

3.4.1. Classificao e Tipos de AcesAs aces podem ser classificadas em funo da sua variao no tempo, na sua origem

(directas ou indirectas), em funo da sua variao espacial (fixas ou moveis) ou em

funo da sua natureza (estticas ou dinmicas).

As aces cuja classificao dada pela sua variao no tempo podero ser:

3.4.1.1.Aces Permanente (g,G)

Aquelas que assumem valores constantes, ou actuam directa ou indirectamente sobre aestrutura durante todo perodo da sua vida til. Consideram-se como aces permanentes,

os pesos prprios da estrutura, o peso de elementos construtivos permanentes (como por

exemplo as paredes), o peso de equipamentos fixos, os impulsos de terra no removvel, os

efeitos da retraco do beto e dos assentamentos.

3.4.1.2.Aces Variveis (q,Q)Aquelas que assumem valores com variao significativa em torno do seu valor mdio

durante a vida da estrutura. Consideram-se como aces variveis as sobrecargas (e

efeitos dinmicos dela dependentes), o efeito do vento, a variao da temperatura, as

foras de impacto, as cargas mveis em pontes e a presso hidrosttica.

As aces variveis so geralmente caracterizadas por um valor caracterstico, (valor com

95% de probabilidade de no ser excedido). Este valor pode ser afectado por coeficientes

de combinao.

3.4.1.3.Aces de acidente ou excepcionais

Aquelas que s com muito fraca probabilidade assumem valores significativos durante a

vida da estrutura e cuja quantificao apenas pode em geral ser feita por meio de valores

nominais estrategicamente escolhidos. Geralmente, consideram-se este tipo de aces as

que resultam de causas tais como, certas aces actuantes durante a execuo das obras,

exploses, choques de veculos, terramotos, incndios, cheias, entre outros.

3.4.2. Quantificao das acesDe acordo com o Regulamento de Segurana e Aces em Estruturas de Edifcios e Pontes

- (RSAEEP), as aces so quantificadas atravs de valores caractersticos e valores

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reduzidos combinando-as de forma a estudar e/ou conhecer o seu estado mais

desfavorvel para a estrutura.

As aces permanentes resultantes de factores no evitveis, tais como a aco da fora

gravtica, vulgarmente designada de peso prprio. Estas, so quantificadas a partir do pesovolmico dos materiais.

As aces variveis apresentam valores variveis em funo do tipo de aco e da

utilizao dos espaos, ou seja, podem ser de vrios tipos, nomeadamente:

Sobrecargas: aces verticais actuam ao nvel dos pavimentos e das coberturas.

Vento: aces horizontais actuam ao nvel das fachadas e das coberturas.

Sismos: aco horizontal que actua em toda a estrutura

3.4.3. Combinaes de AcesEm cada caso de carregamento, o valor de clculo do efeito das aces obtido

combinando as aces que podem ocorrer em simultneo.

Entretanto, na verificao de segurana em relao aos diferentes estados limites devem

ser considerados os valores de clculo, Sd, dos esforos actuantes ou tenses de clculo

resultantes dos mesmos esforos tendo em conta os coeficientes f de afectao dos

valores caractersticos das aces e dos coeficientes i cuja actuao simultnea seja

verosmil e que produzam na estrutura os efeitos mais desfavorveis.

No caso de verificao da segurana em relao aos ELU, devem ser considerados dois

tipos de combinaes:

Combinaes fundamentais: em que intervm as aces permanentes e

variveis.

=+

=+=

n

2j qjkS.j0qk1q

Sm

1iqgikSgdS

No caso de a aco varivel de base ser a aco ssmica:

m

1i

n

2jQjk

Sj2Ek

SgikSgdS = =++=

Combinaes acidentais: em que, alm das aces permanentes e acidentais,

intervm aces de acidente.

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==++=

n

1j qjkS.j2

m

1i FaSgikSgdS

No caso de verificao da segurana em relao aos estados limites de utilizao, as

combinaes de aces a considerar dependem da durao do estado limite em causa.

Assim, h que ter em conta os seguintes tipos de combinaes:

- Combinaes raras: que corresponde ao estado limite de muito curta durao

=+

=+=

n

1j qjkS.1k1qS

m

1i gikSdS

- Combinaes frequentes: que corresponde ao estado limite de curta durao

=

+=

+= n

1j qjkS.2k1qS1

m

1i gikSdS

- Combinaes quase permanentes: que corresponde ao estado limite de longa

durao.

==

+= n

1j qjkS.2

m

1i gikSdS

em que:

Sg1k esforo resultante de aco permanente, tomada com o seu valor

caracterstico

Sq1k esforo resultante da aco varivel considerada como aco de base da

combinao, tomada com o seu valor caracterstico.

Sqjk esforo resultante de uma aco varivel distinta da aco de base,

tomada com o seu valor caracterstico.

SFa esforo resultante de uma aco de acidente, tomada com o seu valor

nominal.

Nota:

9 Existe a necessidade da utilizao de coeficientes de segurana por factores tais

como: incerteza dos valores das resistncias dos materiais; erros na geometria da

estrutura; incerteza da carga; simplificao dos mtodos de clculo, entre outros.

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9 As aces permanentes bem como as aces variveis devidas s sobrecargas so

aplicadas ao nvel dos pavimentos, ou seja, nos elementos estruturais designados de

lajes - cargas por unidade de superfcie (kN/m2).

9 As lajes podem estar armadas em vrias direces e em funo dessa

condicionante assim varia o modo como descarregam nos restantes elementos

estruturais, nomeadamente nas vigas e pilares.

Consola simplesmente armada duplamente armada

9 As aces aplicadas nas VIGAS de uma dada estrutura, devidas s cargas

actuantes nas lajes, so definidas mediante o clculo da Largura de Influncia de

cada uma das vigas, em funo do modo como as lajes esto armadas.

VIGAS Aco (kN/m) = q (kN/m2) x Largura de influncia (m)

9 Do mesmo modo, as aces aplicadas nos PILARES devidas s cargas actuantes nas

lajes e vigas, so definidas mediante o clculo da rea de Influncia de cada pilar.

PILARES Aco (kN) = q (kN/m2) x rea de influncia (m2)

3.4.4. Diagramas envolventes de esforosOs diagramas envolventes de esforos so diagramas que em cada seco nos d o valor

mximo de um dado esforo, dentre todas as combinaes de aces possveis:

Alternncia de posies de sobrecarga (variveis);

Diagramas parcelares correspondentes s aces permanentes e variveis nas

vrias posies;

Combinao dos diagramas parcelares de acordo com as regras e coeficientes

adequados aos estado limite em causa;

Em rigor deveria ser feito independente para o M sd e Vsd. Por simplificao, pode-se

considerar que as combinaes que do origem envolvente do Msd servem

tambm para Vsd

.

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4. SECES SOLICITADAS A FLEXO E AO ESFORO AXIAL4.1.Comportamento de seces em flexo (estados de deformao)O procedimento para se caracterizar o desempenho de uma seco de beto consiste em

aplicar um carregamento, que se inicia do zero e vai at a rotura. s diversas fases pelasquais passa a seco de beto, ao longo desse carregamento, d-se o nome de estado de

deformao. Distinguem-se basicamente trs fases distintas: Estado I, Estado II e Estado III.

4.1.1. Estado I Seco no fendilhadaEsta fase corresponde ao incio do carregamento. As tenses normais que surgem so de

baixa magnitude e dessa forma o beto consegue resistir s tenses de traco. Tem-se um

diagrama linear de tenses, ao longo da seco transversal da pea, sendo vlida a lei de

Hooke (Figura abaixo).

Comportamento do beto na flexo pura (Estado I)

Levando-se em considerao a baixa resistncia do beto traco, se comparada com

a resistncia compresso, percebe-se a inviabilidade de um possvel dimensionamento

neste estado.

no estado I que feito o clculo do momento de fissurao, que separa o estado I do

estado II. Conhecido o momento de fissurao, possvel calcular a armadura mnima, demodo que esta seja capaz de absorver, com adequada segurana, as tenses causadas

por um momento flector de mesma magnitude. Portanto, o estado I termina quando a

seco fissura.

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a) Resultante de tenses

No beto:cici

cW

My

I

M==

Nas armaduras: cs . =

b) Homogeneizao da seco

Coeficiente de homogeneizao:c

s

E

E=

rea de seco transversal homogeneizada: ( )scci A)1AA +=

Posio do centro de gravidade da seco homogeneizada:

( )

ci

s

gA

a.A12

hbh

y

+=

Momento de inrcia da seco homognea em relao ao eixo neutro:

( ) ( )2gs2

g

3

ci ayA1y2

hbh

12

bhI +

+=

c) Momento de fendilhao, Mcr

Ocorre fendilhao quando: ctct f=

ou seja: ctgci

crct fy

IM ==

Admitindo que a contribuio da armadura desprezada (seco pouco armada)

vem:6

bh

y

IW

12

bhI

2

hy 3

g

cc3

c

g

==

=

=

dai:6

bh.fW.f

y

I.fM

3

ctcct

g

cctcr ===

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4.1.2. Estado II Seco FendilhadaNeste nvel de carregamento, o beto no mais resiste traco e a seco se encontra

fissurada na regio de traco. A contribuio do beto traccionado deve ser desprezada.

No entanto, a parte comprimida ainda mantm um diagrama linear de tenses,permanecendo vlida a lei de Hooke (Figura abaixo).

Comportamento do beto na flexo pura (Estado II)

Basicamente, o estado II serve para a verificao da pea em servio. Como exemplos,

citam-se o estado limite de abertura de fendas e o estado limite de deformaes.

Com a evoluo do carregamento, as fissuras caminham no sentido da borda comprimida,

a linha neutra tambm e a tenso na armadura cresce, podendo atingir a cedncia ouno. O estado II termina com o inicio da plastificao do beto comprimido.

a) Tenses no beto e no ao:

No beto: xI

M

ci

c =

Nas armaduras: ( )xd.I

M.

ci

s =

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Ou em alternativa, aplicando as condies de compatibilidade de deformaes e as

equaes de equilbrio esttico (equivalncia esttica) vem:

por compatibilidade de deformaes:

xdx

sc

=

em que:

c

ccccc

E.E

==

s

sssss

E.E

==

por equaes de equilbrio esttico:

===

=

=

=

3

xdz;z.Fz.FM

FF

A.F

x.b.2

1F

sc

sc

sss

cc

4.1.3. Estado III Calculo a roturaNo estado III, a zona comprimida encontra-se plastificada e o beto dessa regio est na

iminncia da rotura (Figura abaixo). Admite-se que o diagrama de tenses seja da forma

parablico-rectangular, tambm conhecido como diagrama parbola-rectngulo.

O diagrama parbola-rectngulo formado por um trecho rectangular, para deformao

de compresso variando de 0,2% at 0,35%, com tenso de compresso igual a 0,85fcd, e

um trecho no qual a tenso varia segundo uma parbola do segundo grau.

Comportamento do beto na flexo pura (Estado III)

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As Normas permitem, para efeito de clculo, que se trabalhe com um diagrama

rectangular equivalente (Figura abaixo). A resultante de compresso e o brao em relao

linha neutra devem ser aproximadamente os mesmos para os dois diagramas.

O diagrama rectangular tambm permitido. A altura do diagrama igual a 0,8x. A tenso 0,85fcd no caso da largura da seco, medida paralelamente linha neutra, no diminuir

a partir desta para a borda comprimida, e 0,80fcd no caso contrrio.

Diagrama rectangular

no estado III que feito o dimensionamento, situao em que denomina clculo na

rotura ou clculo no estado III objecto de estudo.

4.2.Domnios de deformao das secesPara avaliar a capacidade resistente de clculo de uma seco necessrio conhecer a

deformao atingida pelos materiais (beto e ao) para saber em que zona do diagrama

de deformaes nos encontramos (lei de comportamento dos materiais).

Os domnios de deformao correspondem s situaes em que pelo menos um dos

materiais atinge o seu limite de deformao:

alongamento ltimo das armaduras (s = 10,0%o)

encurtamento ltimo do beto (c = 3,5%o na flexo e c = 2%o na compresso

simples).

O primeiro caso denominado rotura por deformao plstica excessiva das armaduras, e

o segundo, rotura do beto.

No incio, algumas consideraes devem ser ressaltadas. A primeira refere-se perfeita

aderncia entre o ao e o beto. A segunda diz respeito Hiptese de Bernoulli, de que

seces planas permanecem planas durante sua deformao. A terceira est relacionada

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nomenclatura: quando mencionada a flexo, sem que se especifique qual delas (simples

ou composta), entende-se que pode ser tanto uma quanto a outra.

4.2.1. Rotura por Deformao Plstica Excessiva do AoPara que o ao atinja seu alongamento mximo, necessrio que a seco seja solicitada

por tenses de traco capazes de produzir na armadura A s uma deformao especfica

de 1% (s = 10%o). Essas tenses podem ser provocadas por esforos tais como:

Traco (uniforme ou no-uniforme)

Flexo (simples ou composta)

Considere-se a figura. Nela se encontram, esquerda, uma vista lateral de uma

determinada pea de seco, e direita, o diagrama em que sero marcadas as

deformaes especficas.

Vista lateral da pea e limites das deformaes

Nesse diagrama, a linha tracejada esquerda corresponde ao alongamento mximo do

ao e a linha tracejada direita, ao encurtamento mximo do beto na flexo. A linha

cheia corresponde deformao nula, ou seja, separa as deformaes de alongamento e

as de encurtamento.

a) Recta aA linha correspondente ao alongamento constante e igual a 10%o denominada recta a

(conforme indicada na figura abaixo). Ela pode ser decorrente de traco simples, se as

reas de armadura As e As forem iguais, ou de uma traco excntrica em que a diferena

entre As e As seja tal que garanta o alongamento uniforme da seco.

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Alongamento de 10%o Recta a

Para a notao ora utilizada, a posio da linha neutra indicada pela distncia x at a

borda superior da seco, sendo esta distncia considerada positiva quando a linha neutra

estiver abaixo da borda superior, e negativa no caso contrrio.

Como para a recta a no h pontos de deformao nula, considera-se que x tenda para

.

b) Domnio 1Para diagramas de deformao em que ainda se tenha traco em toda a seco, mas

no-uniforme, com s = 10%o na armadura As e deformaes na borda superior variando

entre 10%o e zero, tem-se os diagramas de deformao num intervalo denominado

domnio 1 (vide a figura). Neste caso a posio x da linha neutra varia entre e zero. O

domnio 1 corresponde a traco excntrica.

Domnio 1

c) Domnio 2

O domnio 2 corresponde a alongamento s= 10%o e compresso na borda superior, com cvariando entre zero e 3,5%o. Neste caso a linha neutra j se encontra dentro da seco,

correspondendo a flexo simples ou a flexo composta, com fora normal de traco ou

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de compresso. O domnio 2 o ltimo caso em que a rotura ocorre com deformao

plstica excessiva da armadura. A deformao no beto varia de 0 at 3,5. Logo, o

beto no trabalha com sua capacidade mxima e, portanto, mal aproveitado. A

profundidade da linha neutra varia de 0 at 0,259d, pois:

d259,0)010,00035,0(

d0035,023xx =+

= e sd= fsyd

Domnio 2

4.2.2. Rotura do Beto na FlexoDe agora em diante, sero considerados os casos em que a rotura ocorre por rotura do

beto comprimido. Como j foi visto, denomina-se flexo a qualquer estado de solicitaesnormais em que se tenha a linha neutra dentro da seco. Na flexo, a rotura ocorre com

deformao especfica de 3,5%o na borda comprimida.

a) Domnio 3No domnio 3, a deformao c= 3,5%o na borda comprimida e svaria entre 10%o e syd,

ou seja, o beto encontra-se na rotura e o ao traccionado em cedncia. Nessas

condies, a seco denominada sub-armada.

Tanto o beto como o ao trabalham com suas resistncias de clculo. Portanto, h o

aproveitamento mximo dos dois materiais. A rotura ocorre com aviso, pois a pea

apresenta deslocamentos visveis e intensa fissurao. A posio da linha neutra varia de

0,259d at x34:

syd0035.0

d0035.034xx23x +

= onde,s

syd

sydE

f=

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Domnio 3

b) Domnio 4No domnio 4, permanece a deformao c= 3,5%o na borda comprimida e svaria entre

syd e zero (Figura), ou seja, o beto encontra-se na rotura, mas o ao traccionado no

atinge a cedncia.

dx34x

Domnio 4 (syd> s> 0)

Assim como no domnio 3, o beto encontra-se na rotura, com c = 3,5. Porm, o ao

apresenta deformao abaixo de syd e, portanto, ele est mal aproveitado.

O dimensionamento nesse domnio uma soluo antieconmica, alm de perigosa, pois a

runa se d por rotura do beto e sem cedncia do ao. uma rotura brusca, ou seja,

ocorre sem aviso. Quando as peas de beto so dimensionadas nesse domnio, diz-se que

elas so superarmadas, devendo ser evitadas; para isso pode-se usar uma das alternativas:

Aumentar a altura h, porque normalmente a base (b) fixa, dependendo da

espessura da parede em que a viga embutida, etc; Fixar a profundidade da linha neutra, e adoptar armadura dupla ou;

Aumentar a resistncia do beto.

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c) Domnio 4aNo domnio 4a (Figura), as duas armaduras so comprimidas. A rotura ainda ocorre com c=

0,35% na borda comprimida. A deformao na armadura As muito pequena, e portanto

essa armadura muito mal aproveitada. A linha neutra encontra-se entre d e h. Estasituao s possvel na flexo-compresso.

Domnio 4a

4.2.3. Rotura de Seco Inteiramente ComprimidaOs dois ltimos casos de deformaes na rotura, domnio 5 e a recta b, encontram-se nas

Figuras respectivamente.

Domnio 5

Recta b

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a) Domnio 5No domnio 5 tem-se a seco inteiramente comprimida (x > h), com c constante e igual a

0,2% na linha distante 3/7 h da borda mais comprimida. Na borda mais comprimida, c varia

de 0,35% a 0,2%. O domnio 5 s possvel na compresso excntrica.

b) Recta bNa recta b tem-se deformao uniforme de compresso, com encurtamento igual a 0,2%.

Neste caso, x tende para + .

Para todos os domnios de deformao, com excepo das rectas a e b, a posio da

linha neutra pode ser determinada por relaes de tringulos. Os domnios de deformao

podem ser representados em um nico diagrama, indicado na Figura.

Domnios de deformao na rotura

Verifica-se, nesta figura, que da recta a para os domnios 1 e 2, o diagrama dedeformaes gira em torno do ponto A, o qual corresponde rotura por deformao

plstica excessiva da armadura As.

Nos domnios 3, 4 e 4a, o diagrama de deformaes gira em torno do ponto B, relativo

rotura do beto com c = 0,35% na borda comprimida.

Finalmente, verifica-se que do domnio 5 e para a recta b, o diagrama gira em torno do

ponto C, correspondente deformao de 0,2% e distante 3/7 h da borda mais

comprimida. Na flexo, como a traco resistida pela armadura, a posio da linha

neutra deve estar entre zero e d (domnios 2, 3 e 4), j que para x < 0 (domnio 1) a seco

est toda traccionada, e para x > d (domnio 4a e 5) a seco til est toda comprimida.

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4.3.Hipteses fundamentais da flexoA teoria de comportamento deve ser uma teoria que relacione os esforos nas seces de

beto armado com as extenses no beto e nas armaduras que se verificam nas seces,

quando esses esforos actuam.

As hipteses correntes dessa teoria so a hiptese de Bernoulli (de que durante a

deformao as seces mantm se planas) e a hiptese de o beto no resistir traco.

H ainda a considerar, as equaes de equilbrio de foras e de momentos e as relaes

tenses-extenses do beto e do ao, j abordado.

De acordo com o artigo 52 do REBAP, tais hipteses podem enunciar-se resumidamente da

seguinte forma:

a) Manuteno das seces planas na deformao (compatibilidade dasdeformaes, a extenso tem variao linear). .

b) Aderncia perfeita entre beto e armadura: admite-se que no haja falta deaderncia entre os materiais (a deformao da armadura s, admitida igual

deformao da fibra de beto c,junto a esta armadura);

c) Tenso nula no beto, na regio da seco transversal sujeita a deformao dealongamento;

d) Diagrama tenso-deformao (de clculo) na armadura e no beto: Admite-se queo diagrama seja o mesmo, na traco e na compresso.

e) Estado limite ltimo convencional: atingido quando ocorre uma das duas situaesseguintes:

a deformao de encurtamento no beto (c) atinge 0,0035; denomina-se,

estado limite ltimo por esmagamento do beto, excepto quando toda seco

estiver sujeita a tenses de compresso, situaes em que variar gradualmente

entre 0.0035 e 0.002, correspondendo este ltimo valor ao caso em que asextenses so uniformes em toda a seco.

a deformao de alongamento na armadura mais traccionada (su) atinge

0,010; denomina-se, estado limite ltimo por alongamento plstico excessivo da

armadura.

f) Equivalncia esttica: Existe equivalncia esttica entre os esforos aplicados seco e as

tenses por eles provocadas (Actuantes).

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Obviamente, tambm haver equivalncia entre os esforos aplicados

(Actuantes) e as foras interiores correspondentes s resultantes das tenses

(Resistentes).

4.4.Seces solicitadas ao Esforo axial: Tirantes e Escoras4.4.1. Compresso simplesPeas de beto armado sujeitas a compresso simples pouco corrente, quer devido a

excentricidades dos esforos, quer devido a momentos existentes na continuidade dos

elementos (ligao pilares - vigas). Este tipo de solicitao, a existir desta forma, ocorre em

Pilares.

4.4.1.1.Calculo aos Estados Limites ltimos (Rotura)Na rotura, as tenses nos elementos que funcionam compresso simples atingem os seus

valores limites, isto , o beto funciona a uma tenso igual sua resistncia e os aos ao

seu limite de cedncia; quanto carga de rotura esta dada pela soma que o beto e o

ao podem suportar.

O esforo N das solicitaes, j majorado dado por:

rdsdssccsc NNAAFFN +=+=

em que, Fc e Fsso, respectivamente, as foras resistentes correspondentes ao beto e s

armaduras. A determinao do valor destas foras deve fazer-se atendendo a que na

compresso simples toda a seco est sujeita a uma extenso de encurtamento de 2x10 -3.

Para esta extenso as tenses no beto so iguais a 0.85fcd e as tenses na armadura so

iguais a fsyd, excepto no caso de A500, para o qual a extenso de 2x10-3 corresponde a uma

tenso de 400MPa.

sdNsydfsAcAcdf85.0 =+

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E se fazendoAs= Ac, adoptado geralmente em =1%, tem-se:

sdNsydfcAcAcdf85.0 =+

Assim, a rea da seco transversal do beto ser dada por:

)sydfcAcdf85.0(

sdNcAsdNcA)sydfcdf85.0(

+

==+

Tidas as dimenses da seco transversal determinam-se as armaduras, que sero dadas

por:

sydfcAcdf85.0sdNsA

-

=

onde:

c Tenso de traco no beto

Nsd Esforo de traco actuante no beto

Ac rea da seco transversal do beto

fsyd Tenso de clculo ou tenso limite convencional de

proporcionalidade a 2% traco do ao.

As rea da seco das armaduras.

........................ Percentagem geomtrica da armadura.

4.4.1.2.Calculo aos Estados Limites de utilizao (Elstico em servio)Em servio, considera-se os pressupostos conforme explicado para o Estado de deformao

II em que: a contribuio do beto traccionado deve ser desprezada, a parte comprimida

ainda mantm um diagrama linear de tenses, permanecendo vlida a lei de Hooke:

Assim, as equaes de equilbrio sero:

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4.4.1.3.Disposies do REBAP (arts. 120 a 122)a) Dimenses mnimas (Art. 120)

A dimenso da seco transversal dos pilares no deve ser inferior a 20cm. No caso de

seces constitudas por associaes de elementos rectangulares, o lado menor pode ser

reduzido a 15cm, devendo porm respeitar-se o mnimo de 20cm para o comprimento de

cada rectngulo. Em seces ocas a espessura mnima no deve ser inferior a 10cm.

b) Armadura longitudinal (Art. 121)A seco total da armadura longitudinal deve obedecer as seguintes condies:

A500ouA400para,c

0.6%A

A235para,cA%8.0

min,sA e cA%8max,sA

Junto a cada ngulo da seco, deve compreender no mnimo um varo e 6 no caso de

seces circulares. O dimetro mnimo destes vares ser de 12mm para o ao A235 e

10mm, para os aos A400 ou A500.

O espaamento dos vares da armadura longitudinal no deve exceder 30cm (s30cm),

exceptuando os casos em que a largura seja igual ou inferior a 40cm em que basta dispor

0.+betÃo+.. (1)

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