Universidade Cidade de São Paulo

Estruturas Algébricas

Prof. Me. Rafael Teixeira

Aula 2

Antes de iniciarmos o tema relações, precisamos de

alguns pré-requisitos.

Um deles é o par ordenado.

Relações e Funções

Um par ordenado é um conjunto formado por dois

elementos e que a ordem na qual são escritos é

relevante.

Relações e Funções

Por exemplo, dadas as equações x + y = 3 e x – y =

1, o par ordenado (2, 1) soluciona as duas equações

simultaneamente. Se invertemos os valores, apenas

a primeira equação terá resposta.

Graficamente, podemos dizer que um par ordenado

é um ponto no plano cartesiano xOy. Assim, o par

ordenado no exemplo será:

1

2

x

y

1 2

Relações e Funções

(2, 1)

Os pares ordenados formam um conjunto

denominado produto cartesiano, definido como A X

B tal que:

A X B = {(x, y) | x A y B}

Por exemplo, se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2},

enumerar os pares ordenados e representar

graficamente AXB e BXA:

Relações e Funções

Sabendo que {(1, 2);(4, 2)} A² e n(A²) = 9,

represente pelos elementos o conjunto A².

Relações e Funções

Uma relação entre conjuntos é um “teste” que une

um elemento de um conjunto a um elemento do

outro conjunto.

As relações formam um conjunto, R, associado a um

produto cartesiano, então R A X B.

Relações e Funções

As relações podem ser representadas tanto por um

plano cartesiano quanto por um diagrama de flechas,

dependendo do caso.

Relações e Funções

Por exemplo, dados os conjuntos A = {2, 3, 4} e B =

{2, 3, 4, 5, 6}, e a relação R = {(x, y) | x|y}.

Representar a relação R através do diagrama de

flechas e graficamente. (x|y significa “x divide y”)

Toda relação apresenta um Domínio, Contradomínio

e Imagem.

O Domínio da relação é o conjunto do qual o

primeiro elemento do par ordenado pertence.

Relações e Funções

A Imagem é o subconjunto do contradomínio

formado pelos elementos do par ordenado.

O Contradomínio da relação é o conjunto do qual o

segundo elemento do par ordenado pertence.

No exemplo anterior tínhamos o seguinte diagrama

de flechas:

Relações e Funções

A B

2

3

4

2

3

4

5

6

Uma relação pode apresentar três propriedades:

Relações e Funções

• Simétrica: para todo x, y A, x R y y R x

• Reflexiva: para todo x A, x R x;

• Transitiva: para todo x, y, z A, x R y y R z

x R z.

Se uma relação apresentar as três propriedades

simultaneamente, ela será uma relação de

equivalência.

Por exemplo, nas relações abaixo, verificar cada uma

das propriedades, definindo se são de equivalência.

Relações e Funções

• Simétrica:

a) x R y x > y

• Transitiva:

• Reflexiva:

Relações e Funções

• Simétrica:

b) x R y x = y

• Transitiva:

• Reflexiva:

1) Dados os conjuntos A = {1, 3, 4}; B = {-2, 1} e C

= {-1, 0, 2}, represente pelos elementos e pelo

gráfico cartesiano os seguintes produtos:

a) A X B

b) B X A

c) A X C

d) C X A

e) B²

f) C²

2) Considerando A B, {(0, 5), (-1, 2), (2, -1)} A

X B e n(A X B) = 12, represente A X B por seus

elementos.

Exercícios

3) Sejam os conjunto A = {x Z | -1 < x 2} e B =

{3, 4, 5}. Qual é o número de elementos do

conjunto D = {(x, y) A X B | y x + 4}?

4) Sejam os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {-3,

-2, -1, 1, 2, 3, 4}. Enumere os pares ordenados,

represente por meio de flechas e faça o gráfico

cartesiano de cada uma das relações abaixo:

a) x R y x + y = 2

b) x R y x² = y

c) x R y |x| = |y|

d) x R y x + y > 2

e) x R y (x – y)² = 1

Exercícios

5) Dado o conjunto A = {m Z | -7 m 7},

construa o gráfico da relação binária R definida

por: x R y x² + y² = 25.

6) Estabeleça o domínio e a imagem das seguintes

relações:

a) {(1, 1), (1, 3), (2, 4)};

b) {(-2, 4), (-1, 1), (3, -7), (2, 1)};

c) {(2, 1), (1, -3), (5, 2)};

d) {(1 + 2, 2), (1 – 3, 1)};

e) {(3, 1

2), (

5

2, -1), (

3

2, 0)}.

Exercícios

7) Sejam os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},

B = {-2, -1, 0, 1, 2} e R definida de A em B

como x R y x = y².

a) Enumere os pares ordenados de R;

b) Enumere os elementos do domínio e da imagem

de R;

c) Faça o gráfico cartesiano e de flechas de R.

Exercícios

1)

a) {(1, -2), (1, 1),(3, -2),(3, 1),(4, -2),(4, 1)}

b) {(-2, 1), (-2, 3),(-2, 4),(1, 1),(1, 3),(1, 4)}

c) {(1, -1), (1, 0), (1, 2),(3, -1),(3, 0),(3, 2)(4, -1),(4,

0),(4, 2)}

d) {(-1, 1), (-1, 3),(-1, 4),(0, 1),(0, 3), (0, 4),(2, 1),(2,

3),(2, 4)}

e) {(-2, -2), (-2, 1),(1, -2),(1, 1)}

f) C² {(-1, -1), (-1, 0),(-1, 2),(0, -1),(0, 0),(0, 2),(2, -

1),(2, 0),(2, 2)}

2) {(0, 0),(0, -1),(0, 2),(0, 5),(-1, 0),(-1, -1),(-1, 2),(-1,

5),(2, 0),(2, -1),(2, 2),(2, 5)}

Respostas

3) n(D) = 3 (D = {(1, 4), (0, 5), (1, 5)}

4)

a) {(-2, 4),(-1, 3),(0, 2),(1, 1)}

Respostas

1

2

x

y

1 2 -1

3 A B

-2

-1

0

1

2

-3

-2

-1

1

2

3

4 -2

4

-3

-2

-1

4)

b) {(-2, 4),(-1, 1),(1, 1),(2, 4)}

Respostas

1

2

x

y

1 2 -1

3 A B

-2

-1

0

1

2

-3

-2

-1

1

2

3

4 -2

4

-3

-2

-1

4)

c) {(-2, -2),(-2, 2),(-1, -1),(-1, 1),(1, -1),(1, 1),(2, -2),(2,

2)}

Respostas

1

2

x

y

1 2

-1

3 A B

-2

-1

0

1

2

-3

-2

-1

1

2

3

4 -2

4

-3

-2

-1

4)

d){(-1, 4),(0, 3),(0, 4),(1, 2), (1, 3),(1, 4),(2, 1),(2, 2),

(2, 3),(2, 4)}

Respostas

1

2

x

y

1 2 -1

3 A B

-2

-1

0

1

2

-3

-2

-1

1

2

3

4 -2

4

-3

-2

-1

4)

e){(-2, -3),(-2, -1),(-1, -2),(0, -1), (0, 1),(1, 2),(2, 1),

(2, 3)}

Respostas

1

2

x

y

1 2 -1

3 A B

-2

-1

0

1

2

-3

-2

-1

1

2

3

4 -2

4

-3

-2

-1

5)

Respostas

-7

7

5 6

4 3 2

0 1

-1

-3 -2

-4 -5 -6

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

6)

a) D = {1, 2}; Im = {1, 3, 4}

b) D = {-2, -1, 2, 3}; Im = {-7, 1, 4};

c) D = {1, 2, 5}; Im = {-3, 1, 2};

d) D = {1 + 2, 1 – 3}; Im = {1, 2};

e) D = {3

2, 5

2, 3}; Im = {-1, 0,

1

2}.

7)

a) {(0, 0),(1, -1),(1, 1),

(4, -2),(4, 2)};

b) D = {0, 1, 4},

Im = {-2, -1, 0, 1, 2};

Respostas

c)

2

0 1

-1 -2

-2 -1 0 1 2 3 4 5