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Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do SulFaculdade de Matemática - Departamento de Matemática

Este material é de apoio para a disciplina de Estruturas Algébricas, oferecida ao curso de Informática da PontifíciaUniversidade Católica do Rio Grande do Sul, não tendo a pretensão de esgotar os assuntos aqui abordados, mas sim deenfocar os aspectos importantes para o uso em Informática.

O relato de quaisquer erros ou outras sugestões e criticas construtivas será sempre bem-vindo.

Não alterar este material!

EEssttrruuttuurraass AAllggéébbrriiccaass

© Prof. M.Sc. Guilherme Luís Roëhe Vaccaro

e-mail: [email protected]

Prof. M.Sc. Eliane Allgayer Canto

Versão deste material: 1.3.5

Porto Alegre, agosto de 2001.

Estruturas Algébricas i

Vedada a alteração ou o uso sem o consentimento prévio dos autores © Vaccaro & Canto

SSuummáárriioo

1 Relações de A em B ____________________________________________________________1

1.1 Relação de A em B__________________________________________________________2

1.1.1 Definição ______________________________________________________________2

1.1.2 Notação _______________________________________________________________2

1.1.3 Comentários ___________________________________________________________2

1.2 Exemplos _________________________________________________________________3

1.2.1 Exemplos Intuitivos ______________________________________________________3

1.2.2 Exemplos Conceituais____________________________________________________3

1.2.3 Mais um Exemplo Importante ______________________________________________3

1.3 Domínio e Imagem de uma Relação ____________________________________________3

1.3.1 Definições _____________________________________________________________3

1.3.2 Comentários ___________________________________________________________4

1.4 Exemplos _________________________________________________________________4

1.5 Representação Gráfica de Relações ____________________________________________4

1.5.1 Exemplos com Conjuntos Discretos _________________________________________4

1.5.2 Exemplos com Conjuntos Contínuos ________________________________________5

1.5.3 Exemplos com Conjuntos Discretos e Contínuos_______________________________5

1.5.4 Um Exemplo Importante __________________________________________________7

1.6 Operações Com Relações ____________________________________________________7

1.7 Um Exemplo Importante______________________________________________________7

2 Funções ______________________________________________________________________9

2.1 Comentários Iniciais _________________________________________________________9

2.2 O Conceito de Função _______________________________________________________9

2.2.1 Formalização do Conceito de Função ______________________________________10

2.2.2 Observação___________________________________________________________10

2.2.3 Notação de Função_____________________________________________________11

2.3 Resumo _________________________________________________________________11

2.4 Exemplos ________________________________________________________________11

2.4.1 Exemplo 1 ____________________________________________________________11

2.4.2 Exemplo 2 ____________________________________________________________11

2.4.3 Exemplo 3 ____________________________________________________________12

2.4.4 Exemplo 4 ____________________________________________________________12

2.4.5 Exemplo 5 ____________________________________________________________13

2.5 Domínio, Imagem e Contradomínio de uma Função _______________________________13

2.5.1 Definições ____________________________________________________________13

2.5.2 Observações __________________________________________________________14

Estruturas Algébricas ii


2.5.3 Funções Reais e Funções de Variável Real__________________________________14

2.5.4 Maior domínio de uma função_____________________________________________15

2.5.5 Determinação da Imagem de uma Função na Prática __________________________16

2.6 Gráfico de uma Função _____________________________________________________17

2.6.1 Definição _____________________________________________________________17

2.6.2 Exemplos_____________________________________________________________17

2.6.3 Observação: Gráfico x Representação Gráfica _______________________________17

2.7 Funções Inversíveis ________________________________________________________17

2.7.1 Um Exemplo Inicial _____________________________________________________17

2.7.2 Funções Injetoras (1 Para 1)______________________________________________20

2.7.3 Exemplos_____________________________________________________________20

2.7.4 Teorema _____________________________________________________________22

2.7.5 Funções Sobrejetoras ___________________________________________________23

2.7.6 Exemplos_____________________________________________________________23

2.7.7 Funções Bijetoras ______________________________________________________24

2.7.8 Exemplos_____________________________________________________________25

2.7.9 Um Teorema Importante _________________________________________________27

3 Relações em A _______________________________________________________________29

3.1 Definição_________________________________________________________________29

3.2 Exemplos ________________________________________________________________29

3.2.1 Um Exemplo Intuitivo ___________________________________________________29

3.2.2 Outros Exemplos Intuitivos _______________________________________________30

3.2.3 Exemplos Conceituais___________________________________________________30

3.2.4 Outro Exemplo Conceitual _______________________________________________30

3.2.5 Mais um Exemplo Importante _____________________________________________30

3.2.6 Um Último Exemplo ____________________________________________________31

3.3 Propriedades das Relações em A _____________________________________________31

3.3.1 Reflexividade__________________________________________________________31

3.3.2 Exemplos Intuitivos _____________________________________________________31

3.3.3 Irreflexividade _________________________________________________________34

3.3.4 Transitividade _________________________________________________________37

3.3.5 Simetria ______________________________________________________________40

3.3.6 Assimetria ____________________________________________________________43

3.3.7 Anti-Simetria __________________________________________________________45

3.3.8 Uma Observação Importante!_____________________________________________49

3.3.9 Exercícios ____________________________________________________________49

4 Relações de Equivalência em A __________________________________________________50

4.1 Definição_________________________________________________________________50

4.2 Exemplos ________________________________________________________________50

Estruturas Algébricas iii



4.2.2 Um Exemplo Fundamental _______________________________________________50

4.2.3 Outro Exemplo Importante _______________________________________________51

4.2.4 Um Último Exemplo ____________________________________________________52

4.3 Classes de Equivalência ____________________________________________________52

4.3.1 Definição de Classe de Equivalência _______________________________________52

4.3.2 Exemplo _____________________________________________________________52

4.3.3 Exemplo _____________________________________________________________53

5 Relações de Ordem em A _______________________________________________________55

5.1 Definição_________________________________________________________________55

5.2 Exemplos ________________________________________________________________55


5.2.2 Outro Exemplo Intuitivo__________________________________________________56

5.2.3 Exemplos Importantes __________________________________________________56

5.2.4 Outro Exemplo Importante _______________________________________________57

5.3 Ordem Total x Ordem Parcial_________________________________________________57

5.3.1 Definições ____________________________________________________________57

5.3.2 Exemplos_____________________________________________________________58

5.3.3 Mais Um Exemplo ______________________________________________________58

5.4 Diagrama de Hasse: Representação Gráfica de Relações de Ordem em ConjuntosDiscretos ______________________________________________________________________59

5.4.1 Exemplo _____________________________________________________________59

5.4.2 Exemplo _____________________________________________________________59

5.4.3 Exemplo _____________________________________________________________60

5.4.4 Exemplo _____________________________________________________________60

5.4.5 Exemplo _____________________________________________________________60

5.4.6 Exemplo _____________________________________________________________60

5.4.7 Exemplo _____________________________________________________________61

5.4.8 Observação: Tabela Booleana ____________________________________________61

6 Elementos Notáveis em Conjuntos Ordenados ______________________________________62

6.1 Observação Básica ________________________________________________________62

6.2 Elementos Notáveis ________________________________________________________62

6.2.1 Cotas Inferiores e Cotas Superiores de M ___________________________________62

6.2.2 Mínimo e Máximo de M__________________________________________________63

6.2.3 Ínfimo e Supremo de M__________________________________________________64

6.3 Exemplos ________________________________________________________________65

Exemplo: Visualização dos Conceitos de Elementos Notáveis Através do Diagrama deHasse em Conjuntos Discretos ___________________________________________________65

6.3.2 Exemplo: Ordem Natural_________________________________________________66

6.3.3 Exemplo: Ordem Oposta_________________________________________________66

Estruturas Algébricas iv


6.3.4 Exercício _____________________________________________________________67

7 Reticulados (Lattices) __________________________________________________________68

7.1 Definição_________________________________________________________________68

7.1.1 Observações __________________________________________________________68

7.1.2 Exemplo Inicial ________________________________________________________68

7.1.3 Tabela de Ínfimos e Tabela de Supremos ___________________________________69

7.1.4 Exemplos_____________________________________________________________69

7.1.5 Observação Importante__________________________________________________70

7.1.6 Exemplos_____________________________________________________________71

7.1.7 Exercícios Importantes __________________________________________________72

7.2 Notação de Supremo e de Ínfimo em Reticulados_________________________________73

7.3 Propriedades Fundamentais dos Reticulados ____________________________________73

7.3.1 Lema (Propriedades Básicas, versão notação intuitiva)_________________________73

7.3.2 Teorema (Propriedades Fundamentais, versão notação intuitiva) _________________74

7.3.3 Lema (Propriedades Básicas, versão notação usual) __________________________76

7.3.4 Teorema (Propriedades Fundamentais, versão notação usual)___________________76

7.4 Definição de Reticulado Através de Propriedades_________________________________77

7.5 Outras Classificações para Reticulados_________________________________________77

7.5.1 Reticulados Limitados ___________________________________________________77

7.5.2 Reticulados Distributivos_________________________________________________79

7.5.3 Reticulados Complementados ____________________________________________82

7.5.4 Reticulados Unicamente Complementados __________________________________82

8 Álgebras Booleanas____________________________________________________________85

8.1 Definição_________________________________________________________________85

8.1.1 Observações __________________________________________________________85

8.1.2 Exemplo _____________________________________________________________85

8.1.3 Exemplo _____________________________________________________________85

8.2 Propriedades das Álgebras Booleanas _________________________________________86

8.3 Exemplos de Aplicações das Álgebras Booleanas em Informática____________________87

8.3.1 Exemplo: Álgebra dos Comutadores _______________________________________87

8.3.2 Exemplo: Álgebra das Proposições ________________________________________87

8.3.3 Exemplo: Álgebra dos Conjuntos __________________________________________88

8.3.4 Exemplo: Simplificação de Polinômios Booleanos _____________________________89

9 Exercícios ___________________________________________________________________92

9.1 Relações de A em B________________________________________________________92

9.2 Funções _________________________________________________________________93

9.3 Relações em A ____________________________________________________________96

9.4 Elementos Notáveis em Conjuntos Ordenados ___________________________________99

10 Respostas dos Exercícios ____________________________________________________103

Estruturas Algébricas v


10.1 Relações de A em B_______________________________________________________103

10.2 Funções ________________________________________________________________106

10.3 Relações em A ___________________________________________________________112

10.4 Elementos Notáveis, Reticulados & Álgebras Booleanas __________________________122

Estruturas Algébricas 1


11 RReellaaççõõeess ddee AA eemm BB

Uma relação, em termos práticos, é uma forma de associação de entidades através de um certocritério. Os termos “relação” ou “relacionamento” são comumente utilizados entre pessoas paraindicar algum tipo de “ligação”. Exemplos comuns de sinônimos do termo “relação” entre pessoas são“falar”, “ser amigo” ou “namorar”. Poderíamos sistematizar estes exemplos da seguinte forma:

§ a pessoa “x” relaciona-se com a pessoa “y” se e somente se “x fala com y”

§ a pessoa “x” relaciona-se com a pessoa “y” se e somente se “x é amiga com y”

§ a pessoa “x” relaciona-se com a pessoa “y” se e somente se “x namora com y”

Observe-se, no entanto, que cada frase acima representa uma relação diferente. Isto porque “falar” e“namorar” não são, obviamente, a mesma coisa. Isto é: o critério que define a relação mudou!

Observe-se ainda que, dependendo do critério que utilizamos para definir uma relação, certasassociações podem existir, ou não. Por exemplo, se Pedro é amigo de João e estivermos associandopessoas através da relação “x é amiga de y” então Pedro e João estarão relacionados. No entanto, sea relação fosse “x namora com y” dificilmente diríamos que Pedro e João estariam relacionados...

No entanto, uma relação pode ser muito mais genérica do que usada comumente. O conceito derelação compreende qualquer tipo de associação entre entidades, tais como:

§ pessoas;

§ objetos;

§ entes matemáticos, como números, conjuntos e funções;

§ etc.

Um cuidado imprescindível, porém, é o de que sempre relacionemos tais entes através de um critériobem definido. Isto significa, por exemplo, que não teria sentido criarmos relações como estas:

§ a pessoa “x” relaciona-se com o número “y” se e somente se “x come y”;

§ o objeto “x” relaciona-se com a pessoa “y” se e somente se “x é dono de y”.

No entanto, fariam sentido relações como estas:

§ a pessoa “x” relaciona-se com o número “y” se e somente se “y é o número de matrícula de x”;

§ o objeto “x” relaciona-se com a pessoa “y” se e somente se “x é usado por y”.

Cuidado!

Dizer, por exemplo, “x é dono de y” não é o mesmo que dizer “y é dono de x”. A associação quefazemos está vinculada aos tipos de entes com os quais estamos lidando. No exemplo em questão, xé um objeto e y é uma pessoa. Assim, “x é dono de y” não tem sentido pois um objeto não pode serdono de uma pessoa. No entanto, “y é dono de x” tem sentido e poderá ser uma proposiçãoverdadeira ou falsa, dependendo de quem seja “y” e de qual objeto seja “x”. Mesmo assim, serepresentarmos por “y” uma pessoa e por “x” um objeto, as relações “x é dono de y” e “y é dono de x”não serão a mesma!

Ainda: observe que uma relação é sempre uma associação entre elementos de um certo tipo comelementos de um outro (eventualmente do mesmo) tipo. Nos exemplos acima estaríamosrelacionando:

§ pessoas com pessoas

§ pessoas com números



§ objetos com pessoas

Ou seja, uma relação que associa pessoas com objetos é obrigatoriamente diferente de uma relaçãoque associa objetos com pessoas.

A seguir, colocaremos um pouco de Matemática neste conceito...

11..11 RReellaaççããoo ddee AA eemm BB

11..11..11 DDeeffiinniiççããoo

Dados A e B conjuntos, chama-se de relação de A em B, qualquer subconjunto do produto cartesianoA x B.

Em notação lógica:

R é relação de A em B ⇔ R ⊆ A x B

Observações:

§ O primeiro conjunto do produto cartesiano, A, é denominado conjunto de origem da relação;

§ O segundo conjunto do produto cartesiano, B, é denominado conjunto de destino (oucontradomínio) da relação.

11..11..22 NNoottaaççããoo

Para representar a proposição “x relaciona-se com y pela relação R” escreve-se x R y ou ( x, y ) ∈ R.Assim:

x relaciona-se com y por R ⇔ x R y ⇔ ( x, y ) ∈ R

11..11..33 CCoommeennttáárriiooss

Uma relação, em termos algébricos, pode ser compreendida de duas formas:

§ Uma relação é uma forma de associação entre elementos de um conjunto com elementosde outro conjunto:

Esta é a interpretação mais usual na prática, e que nos permite sistematizar e organizar a formacomo os elementos de um conjunto relacionam-se com elementos de outro conjunto

§ Uma relação de A em B é um subconjunto de um produto cartesiano A x B:

Esta compreensão dá fundamento matemático ao conceito de relação. Podemos representar aassociação de elementos de um conjunto A com elementos de um conjunto B através de um parordenado, onde a primeira componente do par será destinada a um elemento do conjunto A e asegunda componente do par, a um elemento do conjunto B. Assim, uma relação de A em B éformada por associações do tipo

( elemento de A , elemento de B )

Ora, pares ordenados deste tipo são obtidos através do produto cartesiano de A com B. Comosabemos, A x B é o conjunto formado por TODOS os pares da forma

( elemento de A , elemento de B )

Uma relação é a seleção de ALGUNS (eventualmente TODOS) destes pares segundo algumcritério.



11..22 EExxeemmppllooss

11..22..11 EExxeemmppllooss IInnttuuiittiivvooss

Sejam: A : conjunto das pessoas

B : conjunto dos objetos

Então podem-se definir:

R ⊆ A x B, x R y ⇔ x possui y

S ⊆ A x B, x S y ⇔ x usa y

T ⊆ A x B, x T y ⇔ x não possui y

11..22..22 EExxeemmppllooss CCoonncceeiittuuaaiiss

Sejam: A = { 1, 2, 3 }

B = { 0, 1 }

Então podem-se definir, por exemplo, as seguintes relações:

R ⊆ A x B, x R y ⇔ x = y +1

S ⊆ A x B, x S y ⇔ (x ≠ y) ∧ (y < 1)

T ⊆ A x B, x T y ⇔ x + y > 0

W ⊆ A x B, x W y ⇔ x + y < 0

Com efeito, estas relações podem ser representadas na forma de conjuntos de pares ordenados:

R = { ( x, y ) / x = y + 1 } = { ( 1, 0 ), ( 2, 1 ) }

S = { ( x, y ) / (x ≠ y) ∧ (y < 1) } = { ( 1, 0 ), ( 2, 0 ), ( 3, 0 ) }

T = { ( x, y ) / x + y > 0 } = { ( 1, 0 ), ( 1, 1 ), ( 2, 0 ), ( 2, 1 ), ( 3, 0 ), ( 3, 1 ) }

W = { ( x, y ) / x + y < 0 } = ∅

11..22..33 MMaaiiss uumm EExxeemmpplloo IImmppoorrttaannttee

Todas as funções de A em B são relações de A em B. Isto porque funções são relações muitoespeciais que associam, para cada x ∈ A, um único y ∈ B.

11..33 DDoommíínniioo ee IImmaaggeemm ddee uummaa RReellaaççããoo

Partindo da concepção de relação como uma representação da associação de elementos de umconjunto com elementos de outro conjunto, é desejável distinguir quais elementos, em cada conjunto,foram efetivamente associados. Esta distinção pode ser obtida através dos conceitos de Domínio,Imagem e Contradomínio de uma relação.

11..33..11 DDeeffiinniiççõõeess

Seja R ⊆ A x B (isto é, R é uma relação de A em B). Então definem-se:

Dom(R) = { x ∈ A / ( ∃ y ∈ B )( ( x, y ) ∈ R ) }

Im(R) = { y ∈ B / ( ∃ x ∈ A )( ( x, y ) ∈ R ) }



11..33..22 CCoommeennttáárriiooss

O domínio da relação R ⊆ A x B representa o conjunto dos elementos de A que efetivamente foramassociados a algum elemento de B e que, portanto constam em um ou mais pares ordenados darelação. Da mesma forma, a imagem da relação R ⊆ A x B representa o conjunto dos elementos de Bque efetivamente foram associados a algum elemento de A.


Nos exemplos apresentados anteriormente, temos:

§ Dom(R) = { 1, 2 } Im(R) = { 0, 1 }

§ Dom(S) = { 1, 2, 3 } Im(S) = { 0 }

§ Dom(T) = { 1, 2, 3 } Im(T) = { 0, 1 }

§ Dom(W) = ∅ Im(W) = ∅

11..55 RReepprreesseennttaaççããoo GGrrááffiiccaa ddee RReellaaççõõeess

Uma relação pode ser representada através de um gráfico cartesiano, onde são adotadas asseguintes convenções:

§ O conjunto de origem da relação é representado no eixo horizontal

§ O conjunto de destino da relação é representado no eixo vertical

11..55..11 EExxeemmppllooss ccoomm CCoonnjjuunnttooss DDiissccrreettooss

Sejam A = { -1, 0, 1 }

B = { 2, 4, 6 }

Sejam as relações:

R = A x B

S ⊆ A x B, x S y ⇔ 4x +y > 0

T ⊆ A x B, x T y ⇔ y = 4+2x

W ⊆ A x B, x W y ⇔ y ≤ 4+2x

As representações gráficas das relações acima são:



11..55..22 EExxeemmppllooss ccoomm CCoonnjjuunnttooss CCoonnttíínnuuooss

Sejam A = [ -1, 1 ]

B = [ 2, 6 ]

Para comparação usaremos as mesmas relações do exemplo anterior:

R = A x B

S ⊆ A x B, x S y ⇔ 4x +y > 0

T ⊆ A x B, x T y ⇔ y = 4+2x

W ⊆ A x B, x W y ⇔ y ≤ 4+2x

Neste caso, as representações gráficas das relações acima ficam:

11..55..33 EExxeemmppllooss ccoomm CCoonnjjuunnttooss DDiissccrreettooss ee CCoonnttíínnuuooss

Sejam A = { -1, 0, 1 }

B = [ 2, 6 ]

Para comparação usaremos as mesmas relações do exemplo anterior:

R = A x B

S ⊆ A x B, x S y ⇔ 4x +y > 0



T ⊆ A x B, x T y ⇔ y = 4+2x

W ⊆ A x B, x W y ⇔ y ≤ 4+2x

Neste caso, as representações gráficas das relações acima ficam:

Observe o que aconteceria se definíssemos relações com as mesmas leis, mas de B em A:

R* = B x A

S* ⊆ B x A, y S* x ⇔ 4x +y > 0

T* ⊆ B x A, y T* x ⇔ y = 4+2x

W* ⊆ B x A, y W* x ⇔ y ≤ 4+2x

Nesta situação os gráficos das relações seriam:



Ou seja, as relações são diferentes!

11..55..44 UUmm EExxeemmpplloo IImmppoorrttaannttee

Seja a relação R definida em R x R por x R y ⇔ y2 = x2. A representação gráfica desta relação é dadapelo gráfico a seguir:

Note, no entanto, que seu gráfico sugere uma outra definição paraR.

Com efeito, podemos descrever a mesma relação através daproposição

( y = x ) ∨ ( y = – x ).

Isto é verdadeiro porque

y2 = x2 ⇔ ( y = x ) ∨ ( y = – x ).

Assim,

x R y ⇔ y2 = x2.

11..66 OOppeerraaççõõeess CCoomm RReellaaççõõeess

Da concepção de que uma relação é um subconjunto de um produto cartesiano (e, portanto, umconjunto!), devemos observar que todos os resultados válidos em teoria de conjuntos são tambémválidos para as relações. Em particular, podemos criar novas relações a partir das operações de:

§ união de conjuntos ( ∪ )

§ interseção de conjuntos ( ∩ )

§ diferença de conjuntos ( - )

§ complementação de conjuntos ( ‘ )

Alguns cuidados devem ser tomados:

1. O conjunto universo, no caso de operações com relações de A em B, é o produto cartesianoA x B;

2. Como no caso de conjuntos quaisquer, somente podem ser operadas relações dentro de ummesmo conjunto universo; ou seja, duas relações somente podem ser operadas se ambas foremde A em B, por exemplo.

Isto significa que, dadas duas relações de A em B, denominadas R e S temos que:

União: ( R ⊆ A x B ) ∧ ( S ⊆ A x B ) ⇔ ( R ∪ S ⊆ A x B )

Interseção: ( R ⊆ A x B ) ∧ ( S ⊆ A x B ) ⇔ ( R ∩ S ⊆ A x B )

Diferença: ( R ⊆ A x B ) ∧ ( S ⊆ A x B ) ⇔ ( R - S ⊆ A x B )

Complementação: ( R ⊆ A x B ) ⇔ ( R’ ⊆ A x B )

Observe-se que R∪S, R∩S, R–S e R’ também são relações de A em B!

11..77 UUmm EExxeemmpplloo IImmppoorrttaannttee

De modo a elucidar melhor os conceitos vistos acima, observemos o seguinte exemplo:



Sejam as relações

R ⊆ R x R, x R y ⇔ x2 + y2 ≤ 1

S ⊆ R x R, x S y ⇔ x ≤ y

Suas representações gráficas são:

Então definem-se as relações, de R em R:

R∪S ⊆ R x R, x R∪S y ⇔ (x2 + y2 ≤ 1 ) ∨ ( x ≤ y )

R∩S ⊆ R x R, x R∩S y ⇔ (x2 + y2 ≤ 1 ) ∧ ( x ≤ y )

S–R ⊆ R x R, x S–R y ⇔ (x2 + y2 > 1 ) ∧ ( x ≤ y )

R’ ⊆ R x R, x R’ y ⇔ x2 + y2 > 1

Os gráficos das relações definidas pelas operações entre R e S são:



22 FFuunnççõõeess

22..11 CCoommeennttáárriiooss IInniicciiaaiiss

O conceito de função é fundamental em muitas áreas do conhecimento. Na verdade, muitasatividades e instrumentos são baseados no conceito de função. Exemplos comuns sãocomputadores, bons softwares, calculadoras, interruptores de luz, cronômetros, etc.

Há diversos aspectos importantes no conceito de função:

§ Função é uma relação. Isto significa que uma função deve ser entendida como um tipo deassociação entre elementos de um ou mais conjuntos e que segue a uma lei específica. Alémdisso, isto significa que todos os resultados conhecidos para relações são válidos para funções.

§ Uma das principais características de uma função é sua capacidade de representartransformações, ou seja, uma função pode ser entendida como um mecanismo que, sob certascondições predefinidas, transforma entradas em saídas. Na realidade, esta é uma de suasprincipais utilidades, uma vez que permite que o efeito da transformação de um grande númerode dados seja compreendido mais facilmente.

22..22 OO CCoonncceeiittoo ddee FFuunnççããoo

De modo geral, designamos pelo nome de “função” uma relação f que transforma, de forma única,elementos de um conjunto A em elementos de um conjunto B.

Para que esta correspondência seja bem determinada é necessário que se defina qual é a condiçãode “bom funcionamento” de uma função:

A cada elemento do conjunto de entradas deve estar relacionado um único elemento do conjunto desaídas.

Vamos escrever esta condição de bom funcionamento em linguagem lógica:

( ∀ x ∈ A ) ( ∃! y ∈ B ) ( y = f ( x ) )

Uma análise mais detalhada de tal condição de “bom funcionamento” permite-nos dividi-la em duasidéias fundamentais:

1 – Para cada entrada x deve existir pelo menos uma resposta y associada.

2 – Para cada entrada x não podem existir duas respostas diferentes

Ainput

Boutput

Conjunto de Entradas Conjunto de Saídas



Na prática as seguintes situações poderiam ser encontradas:

§ Somente uma saída para cada entrada: Este caso érepresentativo de uma função, pois cumpre as condições de“bom funcionamento” descritas anteriormente.

§ Uma saída para múltiplas entradas: Note que este casotambém representa uma função. As restrições de “bomfuncionamento” indicam que cada entrada tem de tersomente uma resposta associada, mas não impedem quevárias entradas resultem na mesma resposta!

No entanto, as situações que serão descritas a seguir NÃO representam funções!

§ Somente uma entrada associada a diversas saídas

§ Várias entradas associadas simultaneamente a váriassaídas

Estes casos obviamente contradizem a condição de “bom funcionamento”. Isto porque não épossível determinar o que acontecerá (qual a resposta que será dada)! Pode-se compreendermelhor porque este comportamento não é interessante através dos seguintes exemplos:

Imagine que você guia um automóvel. Que tal se, ao girar o volante para a direita,você nunca tivesse certeza se o carro irá neste sentido?!?

Imagine que você utiliza um determinado software. Que tal se, ao repetira mesma operação, você nunca souber se o software funcionará outravará seu computador?!?

22..22..11 FFoorrmmaalliizzaaççããoo ddoo CCoonncceeiittoo ddee FFuunnççããoo

Formalmente, pode-se escrever:

Sejam A e B conjuntos. Dizemos que f : A → B é uma função de A em B se e só se:

I. ( ∀ x ∈ A ) ( ∃ y ∈ B )( y = f(x) ) (condição de existência)

II. ( ∀ x1, x2 ∈ A )( x1 = x2 → f(x1) = f (x2) ) (condição de unicidade)

22..22..22 OObbsseerrvvaaççããoo

A condição de unicidade pode ser escrita a partir de sua proposição contrapositiva:

( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) ≠ f (x2) → x1 ≠ x2)

Como resultado, podemos escrever:

Sejam A e B conjuntos. Dizemos que f : A → B é uma função de A em B se e só se:

I. ( ∀ x ∈ A )( ∃ y ∈ B )( y = f(x) )

II. ( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) ≠ f (x2) → x1 ≠ x2)



22..22..33 NNoottaaççããoo ddee FFuunnççããoo

Ao definirmos uma função – e verificarmos que as condições de “bom funcionamento” sãosatisfeitas – podemos adotar a seguinte notação compacta:

)x(fyxBA:f

=→a

que deve ser lida da seguinte forma:

esta é a função f, que relaciona elementos “x” do conjunto A (entradas) com elementos “y” doconjunto B (respostas) através da lei y = f(x).

22..33 RReessuummoo

)x(fyxBA:f

=→a

⇔ f é função de A em B ⇔

⇔ ( ∀ x ∈ A )( ∃! x ∈ B )( y = f(x) ) ⇔

⇔ ( ∀ x ∈ A )( ∃ y ∈ B )( y = f(x) ) ∧ ( ∀ x1, x2 ∈ A )( x1 = x2 → f(x1) = f(x2) ) ⇔

⇔ ( ∀ x ∈ A )( ∃ y ∈ B )( y = f(x) ) ∧ ( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) ≠ f(x2) → x1 ≠ x2 )


22..44..11 EExxeemmpplloo 11

Sejam P: conjunto de países, C: conjunto de cidades.

Podemos definir uma função f: P → C através da lei “f(x) é a capital política de x”.

Isto pode ser escrito da seguinte forma: xde política capital a é )x(fx

CP:fa→

Esta relação é realmente uma função porque cada país só pode ter uma capital política.


2xyx:f

=→a

RR é função.

Solução:

Para verificar esta afirmação é necessário que sejam verdadeiras as duas condições descritasanteriormente.

1a Parte: Condição de existência: ( ∀ x ∈ A )( ∃ y ∈ B )( y = f(x) )

Que, neste caso deve ser escrita como: ( ∀ x ∈ R )( ∃ y ∈ R )( y = x2 )

Prova: Seja x ∈ R.

x ∈ R ⇒ x2 ∈ R.

Chamando de y a expressão x2, temos:

y = x2 ⇒ y ∈ R.



Logo, ( ∀ x ∈ R )( ∃ y ∈ R )( y = x2 ) ⇔ V

2a Parte: Condição de unicidade: ( ∀ x1, x2 ∈ A )( x1 = x2 → f(x1) = f(x2) )

Que, neste caso deve ser escrita como: ( ∀ x1, x2 ∈ R )( x1 = x2 → x12 = x2

2 )

Prova: Sejam x1, x2 ∈ R tais que x1 = x2

Então: x12 = x1.x1 = x2 .x2 = x2

2

Logo, x1 = x2 ⇒ x12 = x2

2

Logo, ( ∀ x1, x2 ∈ R )( x1 = x2 ⇒ x12 = x2

2 ).

Conclusão final: Como valem as condições de unicidade e existência, então 2xyx:f

=→a

RR é função.


Verifique se f: R → R definida por xy = é função.

Solução:


Que, neste caso deve ser escrita como: ( ∀ x ∈ R )( ∃ y ∈ R )( xy = )

Esta proposição é falsa, pois, por exemplo,

(∃ x ∈ R)( x = -1 )( 1− ∉ R ) ⇔ (∃ x ∈ R)( x = -1 )( ∃/ y ∈ R )( xy = )

Logo, não vale a condição de existência.

Conclusão final: Como não vale a condição de existência, então f: R → R definida por xy = não éfunção.


xyx

);0[:f

=

→+∞

a

R é função.

Solução:


Que, neste caso deve ser escrita como: ( ∀ x ∈ [ 0; +∞ ) )( ∃ y ∈ R )( xy = )

Prova: Seja x ∈ [ 0; +∞ ).

x ∈ [ 0; +∞ ) ⇒ x ≥ 0 ⇔ x ∈ R.

Chamando de y a expressão x , temos:

y = x ⇒ y ∈ R.

Logo, ( ∀ x ∈ R )( ∃ y ∈ R )( y = x ) ⇔ V


Que, neste caso deve ser escrita como: ( ∀ x1, x2 ∈ R )( x1 = x2 → 21 xx = )

Ou, melhor ainda, como: ( ∀ x1, x2 ∈ R )( 21 xx ≠ → x1 ≠ x2 )



Prova: Sejam x1, x2 ∈ R tais que 21 xx ≠

Então: x1 = 11 x.x ≠ 22 x.x = x2 , pois 1x ≥ 0 ∧ 2x ≥ 0.

Logo, 21 xx ≠ ⇒ x1 ≠ x2.

Logo, ( ∀ x1, x2 ∈ R )( 21 xx ≠ ⇒ x1 ≠ x2 ).

Conclusão final: Como valem ambas as condições, então f: R → R definida por xy = é função.


Verifique se 1yx 22 =+ , x ∈ [ -1; 1 ], y ∈ R é função.

Solução:

Note que a expressão 1yx 22 =+ não está na forma adequada para ser utilizada nestes raciocínios.Portanto, é necessário primeiro transformá-la, isolando y:

1yx 22 =+ ⇔ 22 x1y −= ⇔ ( 2x1y −= ) ∨ ( 2x1y −−= ).

Pela proposição acima, já torna-se claro que teremos problemas, pois como y ∈ R, será igualmenteválido que assuma valores tanto positivos como negativos. Isto nos faz desconfiar que a condição deunicidade falhará... Então, para poupar trabalho, começaremos por ela:


Esta proposição é falsa, pois, por exemplo, escolhendo x1 = x2 = 0, poderíamos ter:

x1 = 0 ⇒ 101x1y 21

2 =−=−= ⇒ 11y ==

x2 = 0 ⇒ 101x1y 22

2 =−=−= ⇒ 11y −=−=

Logo, ( ∃ x1, x2 ∈ [ -1; 1 ] )( x1 = x2 = 0 )( x1 = x2 ∧ f(x1) ≠ f(x2) ).

Conclusão final: Como não vale a condição de unicidade, então 1yx 22 =+ , x ∈ [ -1; 1 ], y ∈ R não éfunção.

22..55 DDoommíínniioo,, IImmaaggeemm ee CCoonnttrraaddoommíínniioo ddee uummaa FFuunnççããoo


Seja f uma relação de A em B. Como visto anteriormente, as definições de domínio, imagem econtradomínio de f serão dadas por:

Dom(f) = { x / x ∈ A ∧ ( ∃ y ∈ B )( y = f(x) ) }

Im(f) = { y / y ∈ B ∧ ( ∃ x∈ A )( y = f(x) ) } =

= { f(x) ∈ B / x ∈ A }

C(f) = B

Como toda a função também é uma relação (só que é um tipo muito especial de relação, que cumpreas condições de “bom funcionamento” vistas anteriormente), as definições acima também podem serutilizadas para a determinação de seu domínio, de sua imagem e de seu contradomínio.



22..55..22 OObbsseerrvvaaççõõeess

§ Note que estas definições são “cópia” das definições utilizadas para relações.

§ Na realidade, no caso de uma função, para se poder escrever a notação f: A → B, deve-se tercerteza de que

Dom(f) = A.

Por quê? Vejamos:

Para f: A → B ser função , deve valer que

( ∀ x ∈ A ) ( ∃ y ∈ B ) ( y = f ( x ) ) ∧ ( ∀ x1 , x2 ∈ A )( x1 = x2 → f( x1 ) = f( x2 ) )

Note que a primeira parte da proposição acima diz que ( ∀ x ∈ A )( ∃ y ∈ B )( y = f ( x ) ).

Isto significa que se f é função, então ( ∀ x ∈ A )( ∃ y ∈ B )( y = f ( x ) ) ⇔ V

Mas esta também é a condição que é usada na definição do domínio que foi apresentada acima:

Dom(f) = { x / x ∈ A ∧ ( ∃ y ∈ B )( y = f( x ) ) }.

Então Dom(f) = A.

§ Note que a observação anterior só é válida para o domínio de uma função! Ou seja:

Nem sempre será verdade que Im(f) = B!!!

§ No entanto, sempre será verdade que

Im(f) ⊆ B

Ou ainda

Im(f) ⊆ C(f)

§ Cabe ainda notar que outra forma de definir a imagem de uma função seria escrever

Im(f) = { f(x) / x∈ A }

22..55..33 FFuunnççõõeess RReeaaiiss ee FFuunnççõõeess ddee VVaarriiáávveell RReeaall

Especial atenção é necessária a certos detalhes da nomenclatura de funções. Um destes detalhesque comumente passa desapercebido à primeira vista é a diferença entre as denominações “funçãoreal” e “função de variável real”:

§ função de variável real é toda aquela cuja variável de entrada é um número real. Por exemplo,são funções de variável real:

f: R → R, f(x) = x2

f: [ 0; +∞ ) → R, f(x) = ln(x)

f: R → [ -1; 1 ], f(x) = sen(x)

f: R → Z, f(x) = x

f: R → I, f(x) = 3 + i.x (onde i = 1− )

§ função real é toda aquela cuja resposta é sempre um número real. Por exemplo, são funçõesreais:

f: R → R, f(x) = x2

f: [ 0; +∞ ) → R, f(x) = ln(x)

f: R → [ -1; 1 ], f(x) = sen(x)

Da mesma forma que se definem funções reais e funções de variável real pode-se definir “funçõesinteiras” e “funções de variável inteira”, etc. Por exemplo:



f: R → Z, f(x) = x é uma função inteira

f: Z → R, f(x) = 2x

é uma função de variável inteira

Note-se ainda que estas classificações não são excludentes! Por exemplo:

f: R → R, f(x) = x2

f: [ 0; +∞ ) → R, f(x) = ln(x)

f: R → [ -1; 1 ], f(x) = sen(x)

são exemplos de funções reais de variável real!

22..55..44 MMaaiioorr ddoommíínniioo ddee uummaa ffuunnççããoo

Em aplicações do conceito de função, como ocorre no Cálculo, é comum subentender o domínio dafunção, pois é dada maior ênfase ao aspecto de transformação que a lei da função traz. Assim,adota-se como domínio da função o maior intervalo possível de valores de entrada queproduzam uma saída real. Isto é o que chamamos maior domínio de uma função. Por questões decomodidade e simplificação, isto é o que comumente (e erroneamente) é denominado como “odomínio” da função em Cálculo.

22..55..44..11 EEmm RReessuummoo......

Maior domínio de uma função é o maior intervalo de valores de entrada que produzam umaresposta válida dentro do conjunto de saídas.

Domínio de uma função é o conjunto A (veja a observação no item 2.2).

22..55..44..22 EExxeemmppllooss

Encontre o maior domínio real que torna cada uma das expressões abaixo funções reais:

(a). x)x(f =

Solução: O maior domínio é x ∈ [ 0; +∞ ).

Justificativa: x ∈ R ⇔ x ≥ 0 ∧ x ∈ R. Então o maior domínio realé x ∈ [ 0; +∞ ).

(b). x1

)x(f =

Solução: O maior domínio é x ∈ ( -∞; 0 ) ∪ ( 0; +∞ ).

Justificativa: x1

∈ R ⇔ x ≠ 0 ∧ x ∈ R. Então o maior domínio real é

x ∈ ( -∞; 0 ) ∪ ( 0; +∞ ).



(c). )xln()x(f =

Solução: O maior domínio é x ∈ ( 0; +∞ ).

Justificativa: ln(x) ∈ R ⇔ x > 0 ∧ x ∈ R. Então o maior domínio realé x ∈ ( 0; +∞ ).

(d). xe)x(f =

Solução: O maior domínio é x ∈ R.

Justificativa: ex ∈ R ⇔ x ∈ R. Então o maior domínio real é x ∈ R.

(e). 1x1x

)x(f+−

=

Solução: O maior domínio é x ∈ ( -∞; -1 ) ∪ ( -1; +∞ ).

Justificativa: 1x1x

+−

∉ R ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1. Então o maior

domínio real é x ∈ ( -∞; -1 ) ∪ ( -1; +∞ ).

22..55..55 DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaa IImmaaggeemm ddee uummaa FFuunnççããoo nnaaPPrrááttiiccaa

Encontrar a imagem de uma função pode ser uma tarefa complexa caso não sejam conhecidasinformações adicionais da função. Isto porque a predição do conjunto de respostas que uma funçãoefetivamente pode dar depende do conhecimento de seu comportamento. Assim, para se poderdeterminar a imagem de uma função deve-se recorrer a outros ramos da ciência Matemática, taiscomo o Cálculo para a determinação operacional de imagens de funções. Também são úteisinformações algébricas com respeito ao comportamento da função. Por exemplo, dada uma funçãoreal f, então temos os seguintes casos:

∃ min(f) ∧ ∃ max(f) ⇒ Im(f) = [ min(f); max(f) ]

∃/ min(f) ∧ ∃ max(f) ⇒ Im(f) = ( -∞; max(f) ]

∃ min(f) ∧ ∃/ max(f) ⇒ Im(f) = [ min(f); +∞ )

∃/ min(f) ∧ ∃/ max(f) ⇒ Im(f) = R

Ainda, se soubermos que uma função é inversível, ou seja, que tem outra função como inversapoderemos ter outras alternativas para determinar a imagem de uma função, como veremos adiante.



22..66 GGrrááffiiccoo ddee uummaa FFuunnççããoo

22..66..11 DDeeffiinniiççããoo

Dada uma função f: A → B, y = f(x), chamamos de gráfico de f o conjunto

Gráfico(f) = { ( x, f(x) ) / x ∈ A }

22..66..22 EExxeemmppllooss

22..66..22..11 EExxeemmpplloo 11

Sabendo que f: ( 0; +∞ ) → R, x1

)x(f = é função, encontre o gráfico de f.

Solução: O gráfico de f é o conjunto

G(f) = { ( x, x1

) / x > 0 }


A representação gráfica ao lado não representa o gráfico de uma função.

Observe que os pontos ( x, y ) desta representação gráfica satisfazem aequação x2 + y2 = 22, x ∈ [ -2; 2 ], y ∈ [ -2; 2 ].

Ocorre que, para cada valor de x haverá dois pares correspondentesassociados, o que é conflitante com as condições de “bomfuncionamento” que definem uma função.

22..66..33 OObbsseerrvvaaççããoo:: GGrrááffiiccoo xx RReepprreesseennttaaççããoo GGrrááffiiccaa

Alguns autores acham por bem fazer a seguinte distinção:

§ Gráfico de uma função é um conjunto de pares ordenados.

§ Representação gráfica de uma função é uma forma de “desenhar” o gráfico.

A razão de tal distinção é que um mesmo gráfico pode ser representado de diversas formasdiferentes. Ou seja, o mesmo gráfico pode ter diferentes representações gráficas.

22..77 FFuunnççõõeess IInnvveerrssíívveeiiss

22..77..11 UUmm EExxeemmpplloo IInniicciiaall

Sejam A = B = { 1, 2, 3 }. Suponha que queiramos determinar todas as funções de A em B. Com umpouco de pensar chegaríamos às seguinte 27 funções (representadas por diagramas de Venn):

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B



1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B



Quais destas funções seriam capazes de satisfazer à seguinte propriedade:

“f: A → B é uma função tal que existe uma função g: B → A para a qual g(y) = x se e só se f(x) = y” ?

Analisando os gráficos acima veríamos que as funções que satisfazem tal questão são:

Isto nos leva a duas questões importantes:

(a). Por que as demais 21 funções não satisfazem à questão levantada?

(b). Quais as propriedades que estas 6 funções possuem em comum?

Para respondermos a estas questões podemos começar observando que afunção

f: { 1,2,3 } → { 1, 2, 3 } definida por f(1) = 2, f(2) = 1 e f(3) = 2

não responde à questão formulada por dois motivos:

( ∃ y ∈ B )( y = 3 )( ∀ x ∈ A )( y ≠ f(x) )

( ∃ x1, x2 ∈ A )( x1 = 1 ∧ x2 = 3 )( f(x1) = f(x2) ∧ x1 ≠ x2 )

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B

1

2

3

1

2

3

A B



Não é difícil observar que todas as 21 funções não selecionadas falham em pelo menos uma dassituações assinaladas para a função f acima.

Por que estas observações são importantes para a definição das funções g: B → A?

Usando a negação das proposições acima podemos determinar as propriedades que as 6 funçõesselecionadas cumprem. As condições são:

(1) ( ∀ y ∈ B )( ∃ x ∈ A )( y = f(x) )

(2) ( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) ≠ f(x2) ∨ x1 = x2 )

Usando a equivalência lógica p → q ⇔ ¬ p ∨ q, podemos reescrever a segunda propriedade naforma equivalente a dada acima.

(2) ( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) = f( x2 ) → x1 = x2 )

Finalmente, observe que:

§ Usando estas duas propriedades é possível resolver o problema.

§ Estas são as condições que definem uma função de B em A!!!

22..77..22 FFuunnççõõeess IInnjjeettoorraass ((11 PPaarraa 11))

22..77..22..11 DDeeffiinniiççããoo

Sejam A e B conjuntos e f: A → B uma função.

Dizemos que:

f é injetora de A em B ⇔ ( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) = f(x2) → x1 = x2 )

22..77..22..22 OObbsseerrvvaaççõõeess

§ Note que isto é o mesmo que ( ∀ x1, x2 ∈ A )( x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2) )

§ Note que isto NÃO é o mesmo que ( ∀ x1, x2 ∈ A )( x1 = x2 → f(x1) = f(x2) )



Mostre que y = x2, x ∈ R não é injetora.

Solução: Para verificar que a expressão acima não é injetora precisamos mostrar que a proposição

( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) = f(x2) → x1 = x2 )

falha para alguma combinação de valores x1 e x2 que satisfaçam à premissa f(x1) = f(x2).

Isto pode ser feito genericamente ou através de um exemplo:

1o modo: genericamente.

Sejam x1, x2 ∈ R tais que f(x1) = f(x2).

f(x1) = f(x2) ⇔ x12 = x2

2 ⇔ | x1 | = | x2 | ⇔ ( x1 = x2 ) ∨ ( x1 = -x2 ).

Então não se pode garantir que, necessariamente, x1 = x2.

Logo, ( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) = f(x2) → x1 = x2 ) ⇔ F.

2o modo: através de um exemplo.



Sejam x1, x2 ∈ R tais que f(x1) = f(x2).

Por exemplo, escolhendo x1 = 2 e x2 = -2, temos que

f(x1) = f(x2), pois

x12 = 22 = 4, x2

2 = (-2)2 = 4

Mas x1 ≠ x2.

Logo, ( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) = f(x2) → x1 = x2 ) ⇔ F.


Mostre que y = x2, x ≥ 0 é injetora.

Solução: Para verificar que a expressão acima é injetora precisamos mostrar que a proposição

( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) = f(x2) → x1 = x2 )

vale para todas as combinações possíveis de valores x1 e x2 que satisfaçam à premissa f(x1) = f(x2):

Sejam x1, x2 ∈ [ 0; +∞ ) tais que f(x1) = f(x2).

f(x1) = f(x2) ⇔ x12 = x2

2 ⇔ | x1 | = | x2 | ⇔ ( x1 = x2 ) ∨ ( x1 = -x2 ).

Como x1 ≥ 0 ∧ x2 ≥ 0 ⇒ ( x1 = -x2 ⇔ F ).

Então ( x1 = x2 ) ∨ ( x1 = -x2 ) ⇔ ( x1 = x2 ) ∨ F ⇔ ( x1 = x2 ).

Logo, ( ∀ x1, x2 ∈ [ 0; +∞ ) )( x12 = x2

2 ⇒ x1 = x2 ).


Mostre que xy = , x ≥ 0 é injetora.

Solução: Para verificar que a expressão acima é injetora precisamos mostrar que a proposição

( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) = f(x2) → x1 = x2 )

vale para todas as combinações possíveis de valores x1 e x2 que satisfaçam à premissa f(x1) = f(x2):

Sejam x1, x2 ∈ [ 0; +∞ ) tais que 21 xx = .

21 xx = ⇒ ( ) ( )22

2

1 xx = .

Como ( ) xx2

= , então ( ) ( )22

2

1 xx = ⇔ | x1 | = | x2 | ⇔ ( x1 = x2 ) ∨ ( x1 = -x2 ).

Como x1 ≥ 0 ∧ x2 ≥ 0 ⇒ ( x1 = -x2 ⇔ F ).

Então ( x1 = x2 ) ∨ ( x1 = -x2 ) ⇔ ( x1 = x2 ) ∨ F ⇔ ( x1 = x2 ).

Logo, ( ∀ x1, x2 ∈ [ 0; +∞ ) )( 21 xx = ⇒ x1 = x2 ).


Mostre que y = -x2 + 5x - 6, x ∈ R não é injetora.

Solução: Esta função não pode ser injetora pois possui duas raízesreais diferentes.

Com efeito, sabemos que as raízes desta função são x = 2 e x = 3.

Isto significa que

( ∃ x1, x2 ∈ R )( x1 = 2 ∧ x2 = 3 )( f(x1) = f(x2) = 0 ∧ x1 ≠ x2 ).

Logo, f não é injetora!




Mostre que y = | x |, x ∈ R não é injetora.

Solução: Sejam x1, x2 ∈ R tais que | x1 | = | x2 |.

| x1 | = | x2 | ⇔ ( x1 = x2 ) ∨ ( x1 = -x2 ).

Então não se pode garantir que, necessariamente, x1 = x2.

Logo, ( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) = f(x2) → x1 = x2 ) ⇔ F.

22..77..44 TTeeoorreemmaa

Seja f uma função real. Então:

f estritamente crescente ⇒ f injetora

f estritamente decrescente ⇒ f injetora

Prova: Será apresentada a versão para uma função estritamente crescente1.

Seja f uma função real e estritamente crescente.

Então: ( ∀ x1, x2 ∈ Dom(f) )( x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) ) .

Precisamos mostrar que ( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) = f(x2) → x1 = x2 ) é verdadeira.

Isto pode ser mais facilmente feito mostrando que a proposição contrapositiva

( ∀ x1, x2 ∈ A )( x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2) )

é verdadeira. Para tanto:

Sejam x1, x2 ∈ Dom(f) tais que x1 ≠ x2.

x1 ≠ x2 ⇔ ( x1 < x2 ) ∨ ( x1 > x2 ).

Como f estritamente crescente,

( x1 < x2 ) ∨ ( x1 > x2 ) ⇒ ( f(x1) < f(x2) ) ∨ ( f(x2) < f(x1) ) ⇔ f(x1) ≠ f(x2).

Então, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).

Logo, f é injetora!


§ Note que a recíproca das implicações não é necessariamente verdadeira!

Isto significa que:

Se uma função não é estritamente crescente não se pode afirmar que ela não seja injetora!

Se uma função não é estritamente decrescente não se pode afirmar que ela não seja injetora!

Por exemplo, observe o gráfico da função ao lado, que é definidapor

f: [ 0; + ∞ ) → [ 0; + ∞ ),

>≤≤−

=2xx

2x0x2)x(f

Ela é injetora, mas não é estritamente crescente!

1 A versão para uma função estritamente decrescente é semelhante e pode ser facilmente demonstrada seguindo os passosaqui apresentados.



§ Note que sempre é possível fazer as seguintes afirmações contrapositivas:

f não é injetora ⇒ f não é estritamente crescente

f não é injetora ⇒ f não é estritamente decrescente.

22..77..44..22 EExxeemmpplloo

Mostre que y = ln(x), x > 0 é injetora.

Solução:

Como sabemos, a função logaritmo natural é estritamente crescente.

Logo, é injetora!

22..77..55 FFuunnççõõeess SSoobbrreejjeettoorraass


Sejam A e B conjuntos, f : A → B uma função.

Dizemos que:

f é sobrejetora de A em B ⇔ ( ∀ y ∈ B )( ∃ x ∈ A )( y = f(x) )

22..77..55..22 OObbsseerrvvaaççããoo

Note que dizer que uma função é sobrejetora é o mesmo que mostrar que Im(f) = C(f).

Os seja, para qualquer função sempre será verdade que Im(f) ⊆ C(f).

Mas somente para as funções sobrejetoras poderemos escrever Im(f) = C(f).



Mostre que y = x2, x ∈ R, y ∈ R não é sobrejetora.

Solução: Para mostrarmos que a lei acima não define uma função sobrejetora, basta encontrarmosalgum valor no conjunto das respostas (isto é, o contradomínio da função) que não tenha entradaassociada (ou seja, não pertença à imagem da função).

Para facilitar vamos chamar a função acima de f: Seja f: R → R definida por f(x) = x2.

Por exemplo, seja y = -1.

Temos que y ∈ R, mas ( ∃/ x ∈ R )( x2 = -1 ).

Logo, (∃ y ∈ R )( y = -1 )( ∃/ x ∈ R )( x2 = y ).

Logo, (∀ y ∈ B )( ∃ x ∈ A )( y = f(x) ) ⇔ F.

Logo, f não é sobrejetora.


Mostre que f: R → [ 0; +∞ ), f(x) = x2 é sobrejetora.

Solução: Precisamos mostrar que a proposição

(∀ y ∈ [ 0; +∞ ) )( ∃ x ∈ R )( y = x2 )

é sempre válida. Para isto:



Seja y ∈ [ 0; +∞ ).

y ∈ [ 0; +∞ ) ⇔ y ≥ 0.

Como ( ∀ x ∈ R )( x2 ≥ 0 ), então chamando y = x2 temos que

(∀ y ∈ [ 0; +∞ ) )( ∃ x ∈ R )( y = x2 )

Logo, f é sobrejetora.


y = x2, x ∈ R, y ∈ ( 0; +∞ ) é função sobrejetora?

Solução: Não é função, pois Im(f) ⊆/ C(f)!

22..77..77 FFuunnççõõeess BBiijjeettoorraass


Sejam A e B conjuntos, f : A → B uma função.

Dizemos que f é bijetora se e só se f é sobrejetora e injetora.

Isto é:

f bijetora ⇔ f injetora ∧ f sobrejetora

Ou seja:

f bijetora ⇔ ( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) = f(x2) → x1 = x2 ) ∧ ( ∀ y ∈ B )( ∃ x ∈ A )( y = f(x) )

22..77..77..22 TTeeoorreemmaa

Seja f uma função de A em B. Então

f bijetora ⇔ f inversível

Isto é, f possui uma função inversa, denotada por f-1, de B em A.

Assim, respondemos à questão formulada no início desta seção:

“f: A → B é uma função tal que existe uma função f-1: B → A para a qual f-1(y) = x se e só se f(x) = y”.

Prova: Seja f: A → B função bijetora. Seja f-1: B → A tal que f-1(y) = x quando f(x) = y.

Precisamos mostrar que f-1 também é uma função!

Pelas hipóteses, é sabido que f cumpre todas as seguintes condições:

( ∀ x ∈ A ) ( ∃ y ∈ B )( y = f(x) ) (condição de existência)

( ∀ x1, x2 ∈ A )( x1 = x2 → f(x1) = f (x2) ) (condição de unicidade)

( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) = f(x2) → x1 = x2 ) (injetora)

( ∀ y ∈ B )( ∃ x ∈ A )( y = f(x) ) (sobrejetora)

Usando as condições de unicidade e injetividade pode-se escrever:

( ∀ x1, x2 ∈ A )( x1 = x2 ↔ f(x1) = f (x2) )

Isto significa que a associação entre valores x ∈ A e valores y = f(x), y ∈ B é única! Dessa forma,lembrando que

f-1(y) = x quando f(x) = y

pode-se escrever



( ∀ y1, y2 ∈ B )( f-1(y1) = f-1(y2) ↔ y1 = y2 )

Mas: ( ∀ y1, y2 ∈ B )( f-1(y1) = f-1(y2) ↔ y1 = y2 ) ⇔

⇔ ( ∀ y1, y2 ∈ B )( f-1(y1) = f-1(y2) → y1 = y2 ) ∧ ( ∀ y1, y2 ∈ B )( y1 = y2 → f-1(y1) = f-1(y2) )

Destas propriedades pode-se concluir que f-1 é injetora e cumpre a condição de unicidade:

( ∀ y1, y2 ∈ B )( f-1(y1) = f-1(y2) → y1 = y2 ) ( f-1 é injetora )

( ∀ y1, y2 ∈ B )( y1 = y2 → f-1(y1) = f-1(y2) ) ( f-1 cumpre a condição de unicidade )

Da mesma forma, partindo da sobrejetividade de f e usando que f-1(y) = x quando f(x) = y, pode-seescrever:

( ∀ y ∈ B )( ∃ x ∈ A )( y = f(x) ) ⇔ ( ∀ y ∈ B )( ∃ x ∈ A )( f-1(y) = x )

que é a condição de existência para f-1.

Logo, f-1: B → A é função.

Logo, f bijetora ⇔ f possui função inversa.

22..77..77..33 UUmmaa OObbsseerrvvaaççããoo IImmppoorrttaannttee!!!!!!

A notação utilizada para a representação da função inversa é um tanto infeliz, mas foi difundida pordiversos livros e fontes. Então CUIDADO!

§ f-1 significa a função inversa de f.

§ Isto NADA TEM A VER com a função f1

(denominada “inverso da função f”)



Verifique se f: [ 0; +∞ ) → [ 0; +∞ ), x)x(f = é inversível e determine a lei que representa suainversa.

Solução: Para verificarmos que a f dada é inversível, precisamos verificar se f é bijetora:

1a parte: f é injetora?

Como a expressão x)x(f = define uma função estritamente crescente,então f é injetora.

2a parte: f é sobrejetora?

Precisamos mostrar que a proposição

( ∀ y ∈ [ 0; +∞ ) )( ∃ x ∈ [ 0; +∞ ) )( xy = )

é sempre verdadeira. Para tanto:

Seja y ∈ [ 0; +∞ ).

y ∈ [ 0; +∞ ) ⇒ y ≥ 0 ⇔ xy = para algum x ≥ 0.

Então, ( ∃ x ∈ [ 0; +∞ ) )( xy = ).


Conclusão geral: como f é injetora e sobrejetora, então f é inversível.

Determinação da inversa: Queremos encontrar a expressão da função inversa de f:



Sabemos que: x)x(fx

);0[);0[:f=

+∞→+∞a

Então, chamando y = f(x) temos: xy = ⇔ x = y2

A função inversa de f será dada por: 21

1

y)y(fy);0[);0[:f=

+∞→+∞−

−

a

Observação:

Note-se que a letra usada para designar a variável independente na expressão da função inversapouca importância tem!!! Na verdade, o que efetivamente importa é a transformação que a expressãoindica que a função realiza. Na prática, isto significa que, por exemplo,

2y)y(gy);0[);0[:g

=+∞→+∞

a 2t)t(ht);0[);0[:h

=+∞→+∞

a 2x)x(vx);0[);0[:v=

+∞→+∞a

são todas a mesma função e, conseqüentemente, são todas expressões válidas para designar afunção inversa de f.


Encontre condições sobre os conjuntos A e B de modo que a relação f ⊆ A x B definida por 2x1

y =

seja uma função real inversível.

Solução: Precisamos definir os conjuntos A e B da forma mais ampla possível e, além disso, garantirque as seguintes propriedades sejam válidas:

( ∀ x ∈ A ) ( ∃ y ∈ B )( y = f(x) ) ( f satisfaz à condição de existência )

( ∀ x1, x2 ∈ A )( x1 = x2 → f(x1) = f (x2) ) ( f satisfaz à condição de unicidade )

( ∀ y ∈ B )( ∃ x ∈ A )( y = f(x) ) ( f é sobrejetora )

( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) = f(x2) → x1 = x2 ) ( f é injetora )

Para f satisfazer às condições de existência e unicidade, é fácil verificar que a única restriçãoevidente é que 0 ∉ A. Assim,

A ⊆ R – { 0 }.

Da mesma forma, para que f seja sobrejetora teremos y > 0. Assim, uma das restrições para que fseja inversível é que

B ⊆ ( 0; +∞ )

Finalmente, precisamos encontrar condições para que f seja injetora, isto é, que satisfaça à condição

( ∀ x1, x2 ∈ A )( f(x1) = f(x2) → x1 = x2 )

Para isto: sejam x1, x2 ∈ A tais que 22

21 x

1x1

= .

Então: 22

21 x

1x1

= ⇔ 22

21 xx = ⇔ ( x1 = x2 ) ∨ ( x1 = -x2 ).

Vemos então que há um conflito com a injetividade de f caso A possuaelementos com mesmo valor absoluto. Neste caso, podemos, porexemplo sugerir que A só possua valores positivos (ou só negativos...).

Assim, a solução para este problema é:



A ⊆ R – { 0 } e A não pode possuir dois elementos com mesmo valor absoluto e sinais opostos

B = ( 0; +∞ )

Comentários:

Note que as seguintes escolhas para os conjuntos A e B sempre satisfazem às condições acimadeterminadas:

1a Possibilidade: 2a Possibilidade:

A = ( 0; +∞ ) A = ( -∞; 0 )

B = ( 0; +∞ ) B = ( 0; +∞ )

3a Possibilidade: 4a Possibilidade: (bem diferente!!!)

A = [ -2; 0 ) ∪ ( 2; +∞ ) A = ( -2; -1 ) ∪ (21

; 32

)

B = ( 0; +∞ ) B = (41

; 1 ) ∪ (49

; 4 )

5a Possibilidade:

etc.

22..77..99 UUmm TTeeoorreemmaa IImmppoorrttaannttee

Seja f uma função inversível e f-1 sua função inversa.

Então: Dom(f) = Im(f-1)

Im(f) = Dom(f-1)

Prova: Para facilitar, digamos que f é uma função inversível de A em B, ou seja: f: A → B.

Como conseqüência, f-1: B → A também é inversível.

f é inversível ⇔ f é bijetora ⇔ f é injetora ∧ f é sobrejetora.

Mas:



f é sobrejetora ⇒ Im(f) = B.

f-1 é sobrejetora ⇒ Im(f-1) = A.

Como:

Dom(f) = A

Dom(f-1) = B,

temos que ( Dom(f) = Im(f-1) ) ∧ ( Im(f) = Dom(f-1) )



33 RReellaaççõõeess eemm AA

Um caso particular de relação é obtido quando relacionamos entre si elementos de um mesmoconjunto. Neste caso, teremos uma relação que associa um elemento de um certo conjunto A comoutro(s) elemento(s) do próprio conjunto A. Relações deste tipo são denominadas relações de A emA, ou, simplesmente, relações em A.

Relações desta natureza são importantes, por exemplo, para a identificação de informações demesma natureza ou para a ordenação de estágios de um determinado processo. A definição derelações dentro de um único conjunto permite definir critérios de “varredura” do conjunto. Aidentificação de quais relações são adequadas para cada propósito depende da identificação dediversas propriedades, típicas das relações em A, e que as relações podem (ou não) ter.

33..11 DDeeffiinniiççããoo

Seja A um conjunto. Então R é relação de A em A se e somente se R é subconjunto do produtocartesiano de A com A.

Em notação lógica:

R é relação em A ⇔ R ⊆ A x A


33..22..11 UUmm EExxeemmpplloo IInnttuuiittiivvoo

Seja A um conjunto de etapas necessários para a geração de uma aplicação computacional. Porexemplo,

A = { análise, projeto, implementação, testes, finalização }.

Na prática, estas etapas não ocorrem todas ao mesmo tempo, podendo ser classificadas de maneiratemporal da seguinte forma:

Em termos matemáticos, podemos descrever esta situação através de uma relação definida noconjunto A da seguinte forma:

R ⊆ A x A, R = { ( análise, análise ), ( análise, projeto ), ( projeto, projeto ),

( projeto, implementação ), ( implementação, projeto ),

( implementação, implementação ), ( implementação, testes ),

( testes, implementação ), ( testes, testes ), ( testes, finalização ),

( finalização, finalização ) }

análise projeto implementação testes finalização



33..22..22 OOuuttrrooss EExxeemmppllooss IInnttuuiittiivvooss

Seja A um conjunto de pessoas. Neste conjunto podem-se definir diversas relações. Por exemplo:

R ⊆ A x A, x R y ⇔ x tem o mesmo nome que y

S ⊆ A x A, x S y ⇔ x é parente de y

T ⊆ A x A, x T y ⇔ x é namorado de y

Observe-se que, neste exemplo, as pessoas identificadas pelas variáveis “x” e “y” devem semprepertencer ao conjunto A especificado!

33..22..33 EExxeemmppllooss CCoonncceeiittuuaaiiss

Seja A = { a, b, c }. Podem-se definir, por exemplo, as seguintes relações:

R ⊆ A x A, R = { ( a, a ), ( a, b ), ( a, c ) }

S ⊆ A x A, S = { ( a, a ), ( b, b ), ( c, c ) }

T ⊆ A x A, T = { ( a, a ), ( a, b ), ( b, a ), ( b, c ) }

W ⊆ A x A, W = { ( a, a ), ( a, b ), ( a, c ), ( b, a ), ( b, b ), ( b, c ), ( c, a ), ( c, b ), ( c, c ) }

Estas mesmas relações podem ser descritas por compreensão:

R ⊆ A x A, x R y ⇔ x = a

S ⊆ A x A, x S y ⇔ x = y

T ⊆ A x A, x T y ⇔ ( ( x = a ) ∧ ( y ≠ c ) ) ∨ ( ( x = b ) ∧ ( y ≠ b ) )

W ⊆ A x A, W = A x A

33..22..44 OOuuttrroo EExxeemmpplloo CCoonncceeiittuuaall

Pode-se definir relações muito interessantes e importantes dentro do conjunto dos números reais. Porexemplo:

R ⊆ R x R, x R y ⇔ x ≤ y ( esta relação é denominada de “ordem natural” )

S ⊆ R x R, x S y ⇔ x | y ( x | y significa “x divide y”, isto é, “x é divisor de y”, ou ainda,

( ∃ α ∈ Z )( y = α.x ) )

33..22..55 MMaaiiss uumm EExxeemmpplloo IImmppoorrttaannttee

Dado o conjunto M = { ¡, o }, pode-se criar o conjunto das partes de M, denotado por P(M), que éformado por todos os subconjuntos de M:

P(M) = { ∅, { ¡ }, { o }, { ¡, o } }

Este conjunto é importante, pois permite definir relações entre os subconjuntos de M. Assim, fazendoA = P(M), podem-se definir, por exemplo, as relações:

§ R ⊆ A x A, x S y ⇔ x = y

Neste caso: S = { ( ∅, ∅ ), ( { ¡ }, { ¡ } ), ( { o }, { o } ) , ( { ¡, o }, { ¡, o } ) }

§ S ⊆ A x A, x R y ⇔ x ⊆ y

Então:

R = { ( ∅, ∅ ), ( ∅, { ¡ } ), ( ∅, { o } ), ( ∅, { ¡, o } ),

( { ¡ }, { ¡ } ), ( { ¡ }, { ¡, o } ), ( { o }, { o } ), ( { o }, { ¡, o } ), ( { ¡, o }, { ¡, o } ) }

§ T ⊆ A x A, x T y ⇔ x ≠ y



Neste caso:

T = A x A – R, ou ainda,

T = { ( ∅, { ¡ } ), ( ∅, { o } ) , ( ∅, { ¡, o } ), ( { ¡ }, ∅ ), ( { ¡ }, { o } ), ( { ¡ }, { ¡, o } ),

( { o }, ∅ ), ( { o }, { ¡ } ), ( { o }, { ¡, o } ), ( { ¡, o }, ∅ ), ( { ¡, o }, { ¡ } ),

( { ¡, o }, { o } ) }

Observe-se que, neste caso, as variáveis “x” e “y” representam conjuntos pertencentes a P(M).

33..22..66 UUmm ÚÚllttiimmoo EExxeemmpplloo

Uma relação em um dado conjunto A pode ser estabelecida independentemente da natureza doselementos de A. Isto significa que podemos relacionar pessoas com pessoas, objetos com objetos,números com números, conjuntos com conjuntos, pares ordenados com pares ordenados, registrosde bancos de dados semelhantes, etc.

Para elucidar isto, sejam M = { 2, 3 } e N = { 0, 1 }. Com estes conjuntos formaremos um conjunto Aatravés do produto cartesiano:

A = { ( 2, 0 ), ( 2, 1 ), ( 3, 0 ), ( 3, 1 ) }

Em A podemos definir diversas relações. Por exemplo:

§ R ⊆ A x A, ( x, y ) R ( z, w ) ⇔ x + y > z + w

Neste caso: R = { ( ( 2, 1 ), ( 2, 0 ) ), ( ( 3, 0 ), ( 2, 0 ) ),

( ( 3, 1 ), ( 2, 0 ) ), ( ( 3, 1 ), ( 2, 1 ) ), ( ( 3, 1 ), ( 3, 0 ) ) }

§ S ⊆ A x A, x S y ⇔ x = y

Neste caso: S = { ( ( 2, 0 ), ( 2, 0 ) ), ( ( 2, 1 ), ( 2, 1 ) ),

( ( 3, 0 ), ( 3, 0 ) ), ( ( 3, 1 ), ( 3, 1 ) ) }

Observe-se que na definição de R as variáveis “x”, “y”, “z” e “w” foram utilizadas para representarcomponentes dos pares ordenados; no entanto, na definição de S as variáveis “x” e “y” representamdiretamente pares ordenados.

33..33 PPrroopprriieeddaaddeess ddaass RReellaaççõõeess eemm AA

As relações em A são importantes por possuírem diversas propriedades interessantes. Através daspropriedades que uma determinada relação possui podem definir finalidades particulares para arelação, conforme veremos mais adiante.

33..33..11 RReefflleexxiivviiddaaddee

Seja R uma relação definida em um conjunto A. Então:

R é reflexiva em A ⇔ ( ∀ x ∈ A )( ( x, x ) ∈ R )

33..33..22 EExxeemmppllooss IInnttuuiittiivvooss

Suponhamos que A seja um conjunto de pessoas. Podem-se definir, por exemplo, as seguintesrelações:

R ⊆ A x A, x R y ⇔ x tem o mesmo peso que y

S ⊆ A x A, x S y ⇔ x tem o mesmo tipo de computador que y

T ⊆ A x A, x T y ⇔ x namora com y



Neste caso:

§ Para testar a reflexividade em R, devemos verificar se a proposição x R x, ou seja “x tem omesmo peso que x” é verdadeira para qualquer pessoa x do conjunto A. Como toda pessoa temseu próprio peso (ou seja, pesa o mesmo que ela própria...), então R será reflexiva.

§ Para testar a reflexividade em S, devemos verificar se a proposição x S x, ou seja “x tem omesmo tipo de computador que x” é verdadeira para qualquer pessoa x do conjunto A. Para aspessoas que tem computador, isto será, obviamente, verdadeiro. No entanto, esta proposição nãoé sempre verdadeira, pois algumas pessoas não tem computador! Logo S não será reflexiva.

§ Para testar a reflexividade em T, devemos verificar se a proposição x T x, ou seja “x namora comx” é verdadeira para qualquer pessoa x do conjunto A. Ora, uma pessoa não pode namorar comsi própria. Logo T não será reflexiva.

Observação:

Observe que há uma sutil, mas importante diferença entre os casos representados pelas relações S eT. No caso de S, algumas pessoas relacionar-se-ão com si próprias, enquanto outras, não. Já nocaso de T, nenhuma pessoa relacionar-se-á com si própria.

33..33..22..11 EExxeemmppllooss eemm uumm CCoonnjjuunnttoo DDiissccrreettoo

Operaremos com o conjunto dos números naturais, ou seja, A = N. Neste conjunto podem-se definir,por exemplo, as relações:

R ⊆ N x N, x R y ⇔ x ≤ y

S ⊆ N x N, x S y ⇔ x é divisor de y

T ⊆ N x N, x T y ⇔ x < y

Das relações acima temos que:

§ R é reflexiva, pois ( ∀ x ∈ N )( x ≤ x ) é sempre verdadeira (isto é, é uma tautologia).

§ S é reflexiva pois, dado x ∈ N, então

x = 1.x ⇔ ( ∃ 1 ∈ Z )( x = 1.x ) ⇔ x | x. Logo S é reflexiva.

§ T não é reflexiva, pois ( ∀ x ∈ N )( x < x ) ⇔ f.

33..33..22..22 EExxeemmppllooss eemm uumm CCoonnjjuunnttoo CCoonnttíínnuuoo

Podemos definir, por exemplo, as seguintes relações no conjunto dos números reais:

R ⊆ R x R, x R y ⇔ x ≤ y

S ⊆ R x R, x S y ⇔ x2 > y

T ⊆ R x R, x T y ⇔ x ≠ y

Então:

§ R é reflexiva pois qualquer número real será sempre menor ou igual a si mesmo. Formalmenteisto significa que ( ∀ x ∈ R )( x ≤ x ) é uma tautologia. Logo R é reflexiva.

§ S não é reflexiva, pois, sendo x ∈ R, então

x S x ⇔ x2 > x ⇔ x2 – x > 0 ⇔ x.(x–1) > 0 ⇔

⇔ ( ( x > 0 ) ∧ ( x – 1 > 0 ) ) ∨ ( ( x < 0 ) ∧ ( x – 1 < 0 ) ) ⇔

⇔ ( ( x > 0 ) ∧ ( x > 1 ) ) ∨ ( ( x < 0 ) ∧ ( x < 1 ) ) ⇔

⇔ ( x < 0 ) ∨ ( x > 1 )

Isto significa que a proposição só é válida para x < 0 ou para x > 1. Portanto, a proposição não éválida para x ∈ [ 0 ; 1 ]. Logo a proposição não é sempre verdadeira. Logo S não é reflexiva.



§ T não é reflexiva pois a proposição ( ∀ x ∈ R )( x ≠ x ) é sempre falsa!

33..33..22..33 CCoommeennttáárriiooss

Relações que são reflexivas possuem a particular característica de garantir que todos os elementosdo conjunto origem (na nossa notação, o conjunto A) participem pelo menos uma vez da relação. Narealidade, a Reflexividade é mais forte que isto! A definição de Reflexividade diz que cada elementodo conjunto origem deve relacionar-se com si próprio, o que traz à tona as seguintes idéias:

§ Uma relação reflexiva está presente mesmo quando se está operando com apenas um elementodo conjunto origem. Por exemplo, a relação entre pessoas definida por “a pessoa x tem o mesmopeso que a pessoa y” é reflexiva. Assim, se estivermos nos referindo a qualquer pessoa em umdado momento, como uma pessoa tem sempre seu próprio peso, automaticamente a relaçãoestará presente e disponível para ser referida ou utilizada;

§ No caso de interpretarmos uma relação como um processo de “transmissão de informações” oucomo uma sucessão de estágios, a Reflexividade traduz a característica de se poder estacionarem um determinado estágio. Por exemplo, se definíssemos, no conjunto

A = { análise, implementação, testes },

a relação R através do seguinte diagrama:

a reflexividade desta relação traduz a importante idéia de que, estando na fase de análise,podemos continuar “por mais um período” na mesma fase. Da mesma forma, estando na fase deimplementação, podemos continuar por “mais um período” na fase de implementação; e omesmo vale para a fase de testes, pois a reflexividade, como sabemos, somente é válida setodos os elementos do conjunto origem tiverem a característica de se relacionarem consigo.

§ Como, em uma relação reflexiva todos os elementos relacionam-se com si próprios, isto significa,em particular, que todos os elementos aparecem pelo menos uma vez como primeiro elementode um par ordenado da relação. Assim, todos os elementos do conjunto origem relacionam-secom algum elemento e, portanto, o domínio de uma relação reflexiva será o próprio conjuntoorigem! Assim:

(R ⊆ A x A) ∧ (R reflexiva) ⇒ Dom(R) = A

§ Da mesma forma, todos os elementos de uma relação reflexiva aparecerão, pelo menos uma vezcomo segundo elemento de um par ordenado da relação. Isto significa que todos os elementos doconjunto origem foram relacionados com algum elemento e, portanto, a imagem de uma relaçãoreflexiva será o próprio conjunto origem! Assim:

(R ⊆ A x A) ∧ (R reflexiva) ⇒ Im(R) = A

§ Geometricamente, a Reflexividade pode ser visualizada quando para todos os elementos x doconjunto origem, A, a reta y = x, estiver presente no gráfico da relação. Por exemplo:

A = [ -2, 2 ]

§ R ⊆ [ -2, 2 ] x [ -2, 2 ], x R y ⇔ x ≤ y

§ S ⊆ [ -2, 2 ] x [ -2, 2 ], x S y ⇔ x ≠ y

§ T ⊆ [ -2, 2 ] x [ -2, 2 ], x T y ⇔ x2 + y2 > 1

análise implementação testes



R é reflexiva, pois todos os pontos da reta y = x para x ∈ A estão presentes no gráfico de R.

S não é reflexiva, pois nenhum ponto da reta y = x para x ∈ A está presente no gráfico de S.

T não é reflexiva, pois alguns pontos da reta y = x para x ∈ A não estão no gráfico de T.

33..33..33 IIrrrreefflleexxiivviiddaaddee


R é irreflexiva em A ⇔ ( ∀ x ∈ A )( ( x, x ) ∉ R )

33..33..33..11 EExxeemmppllooss IInnttuuiittiivvooss

Para melhor comparação e entendimento, usaremos os mesmos exemplos da seção anterior. Assim,suponhamos que A seja um conjunto de pessoas. As relações anteriormente definidas foram:




Neste caso:

§ Para testar a irreflexividade em R, devemos verificar se a proposição ( x , x ) ∉ R, ou seja “x nãotem o mesmo peso que x” é verdadeira para qualquer pessoa x do conjunto A. Se preferirmos,podemos pensar que a proposição “x tem o mesmo peso que x” deverá ser sempre falsa... Comotoda pessoa tem seu próprio peso (ou seja, pesa o mesmo que ela própria...), então a proposição“x não tem o mesmo peso que x” nunca será verdadeira. Logo R não é irreflexiva.

§ Para testar a irreflexividade em S, devemos verificar se a proposição ( x , x ) ∉ S, ou seja “x nãotem o mesmo tipo de computador que x” é verdadeira para qualquer pessoa x do conjunto A. Ora,há pessoas que não possuem computador e, portanto, nesta situação específica a proposiçãoseria falsa. No entanto, para as pessoas que tem computador, isto será, obviamente, verdadeiro.Concluímos então que a proposição em questão não será sempre verdadeira. Logo S não éirreflexiva.

§ Para testar a irreflexividade em T, devemos verificar se a proposição ( x , x ) ∉ T, ou seja “x nãonamora com x” é verdadeira para qualquer pessoa x do conjunto A. Ora, uma pessoa não podenamorar com si própria, o que significa que a proposição em questão é sempre verdadeira. LogoT é irreflexiva.

Observação:

Novamente, há uma sutil, mas importante diferença entre os casos representados pelas relações R eS. No caso de R, nenhuma pessoa relacionar-se-á com si própria. Já no caso de S, algumas pessoasrelacionar-se-ão com si próprias, enquanto outras, não.




Novamente, usaremos os mesmos exemplos apresentados para a identificação da propriedade deReflexividade. Neste caso, tínhamos A = N e as relações apresentadas foram:

R ⊆ N x N, x R y ⇔ x ≤ y

S ⊆ N x N, x S y ⇔ x é divisor de y

T ⊆ N x N, x T y ⇔ x < y

Então:

§ R não é irreflexiva, pois

( ∀ x ∈ N )( ¬( x ≤ x ) ) ⇔ ( ∀ x ∈ N )( x > x ) ⇔ f.Isto é, a propriedade de Irreflexividade nunca se cumprirá para R. Logo, R não é irreflexiva.

§ S não é irreflexiva, pois se escolhermos, por exemplo, x = 1, então

x é divisor de x ⇔ 1 é divisor de 1 ⇔ 11

∈ Z.

Como ( 11

= 1 ) ∧ ( 1 ∈ Z ) então 1 é divisor de si próprio, o que significa que

( ∀ x ∈ N )( ¬( x é divisor de x ) ) ⇔ f. Logo, S não é irreflexiva.

§ T é irreflexiva, pois ( ∀ x ∈ N )( ¬( x < x ) ) ⇔ ( ∀ x ∈ N )( x ≥ x ) ⇔ v.

Logo T é irreflexiva.


No mesmo espírito das seções anteriores, usaremos os mesmos exemplos apresentados para averificação da propriedade de Reflexividade:

R ⊆ R x R, x R y ⇔ x ≤ y

S ⊆ R x R, x S y ⇔ x2 > y

T ⊆ R x R, x T y ⇔ x ≠ y

Então:

§ R não é irreflexiva pois ( ∀ x ∈ R )( ¬( x ≤ x ) ) ⇔ ( ∀ x ∈ R )( x > x ) ⇔ f. Na realidade, para arelação aqui apresentada, nenhum número real poderá cumprir a proposição de irreflexividade.Logo R não é irreflexiva.

§ S não é irreflexiva, pois, sendo x ∈ R, então já havíamos descoberto (item 3.1.3) que

x S x ⇔ ( x < 0 ) ∨ ( x > 1 )

Então, tomando, por exemplo, x = 2 teremos:

x = 2 ⇒ 22 = 4 ∧ 4 > 2 ⇒ x2 > x ⇔ x S x

Logo a proposição em questão não é sempre verdadeira. Logo S não é irreflexiva.

§ T é irreflexiva pois devemos verificar se ( ∀ x ∈ R )( ¬( x ≠ x ) ) é verdadeira. Mas

( ∀ x ∈ R )( ¬( x ≠ x ) ) ⇔ ( ∀ x ∈ R )( x = x ) ⇔ v.

Logo T é irreflexiva.




Relações Irreflexivas podem ser entendidas como o extremo oposto das Relações Reflexivas, já quenenhum elemento do conjunto origem relaciona-se com si mesmo. No entanto, deve-se ter em menteque existem relações que não são reflexivas nem são irreflexivas.

Neste caso também é possível dar uma interpretação geométrica para a Irreflexividade. Ela pode servisualizada quando para todos os elementos x do conjunto origem, A, a reta y = x, não estiverpresente no gráfico da relação. Usando convenientemente os exemplos apresentados anteriormente:

A = [ -2, 2 ]

§ R ⊆ [ -2, 2 ] x [ -2, 2 ], x R y ⇔ x ≤ y

§ S ⊆ [ -2, 2 ] x [ -2, 2 ], x S y ⇔ x ≠ y

§ T ⊆ [ -2, 2 ] x [ -2, 2 ], x T y ⇔ x2 + y2 > 1

§ R não é irreflexiva, pois todos os pontos da reta y = x para x ∈ A estão presentes no gráfico de R.

§ S é irreflexiva, pois nenhum ponto da reta y = x para x ∈ A está presente no gráfico de S.

§ T não é irreflexiva, pois alguns pontos da reta y = x para x ∈ A estão presentes no gráfico de T.

Observação:

Cuidado! A Reflexividade não é exatamente o contrário da Irreflexividade!!! A tabela a seguir resumeas informações que obtivemos sobre a Reflexividade e a Irreflexividade dos exemplos acima:

Relação Reflexiva ? Irreflexiva ?

R Sim Não

S Não Sim

T Não Não

Em particular, observe que:

( ∀ R )( R ⊆ A x A ) ∧ ( R reflexiva ) ⇒ R não irreflexiva

( ∀ T )( T ⊆ A x A ) ∧ ( T irreflexiva ) ⇒ T não reflexiva

( ∃ S )( S ⊆ A x A ) ( ( S não reflexiva ) ∧ ( S não irreflexiva ) )

Retornaremos a esta discussão posteriormente, ao final deste capítulo...



33..33..44 TTrraannssiittiivviiddaaddee


R é transitiva em A ⇔ ( ∀ x, y, z ∈A )( ( x, y ) ∈ R ∧ ( y, z ) ∈ R → ( x, z ) ∈ R )


Uma relação hierárquica, para ser efetiva, deve sempre ser transitiva. A hierarquia militar, porexemplo, é a representação de uma relação transitiva. Para explicitar, imaginemos o seguinteconjunto:

A = { soldado, cabo, sargento }

e a relação definida em A por

“x R y ⇔ x é posto igual ou superior a y”.

Neste caso, teríamos:

R = { ( soldado, soldado ), ( cabo, cabo ), ( cabo, soldado ),

( sargento, sargento ), ( sargento, cabo ), ( sargento, soldado ) }

Esta relação é transitiva. Com efeito, todas as combinações que podemos fazer de elementos de Rtais que ( ∀ x, y, z ∈A )( ( x, y ) ∈ R ∧ ( y, z ) ∈ R ) são:

( soldado R soldado ) ∧ ( soldado R soldado )

( cabo R cabo ) ∧ ( cabo R cabo )

( cabo R cabo ) ∧ ( cabo R soldado )

( cabo R soldado ) ∧ ( soldado R soldado )

( sargento R sargento ) ∧ ( sargento R sargento )

( sargento R sargento ) ∧ ( sargento R cabo )

( sargento R sargento ) ∧ ( sargento R soldado )

( sargento R cabo ) ∧ ( cabo R cabo )

( sargento R cabo ) ∧ ( cabo R soldado )

( sargento R soldado ) ∧ ( soldado R soldado )

Para testarmos a transitividade de R, teríamos de verificar se os pares formados pelos elementos dos“extremos” das combinações acima pertencem ou não a R. Isto é, temos de verificar se os pares

( soldado , soldado )

( cabo , cabo )

( cabo , soldado )

( cabo , soldado )

( sargento , sargento )

( sargento , cabo )

( sargento , soldado )

( sargento , cabo )



pertencem a R. Por inspeção, verificamos que:



soldado R soldado ∧ soldado R soldado ⇒ soldado R soldado

cabo R cabo ∧ cabo R cabo ⇒ cabo R cabo

cabo R cabo ∧ cabo R soldado ⇒ cabo R soldado

cabo R soldado ∧ soldado R soldado ⇒ cabo R soldado

sargento R sargento ∧ sargento R sargento ⇒ sargento R sargento

sargento R sargento ∧ sargento R cabo ⇒ sargento R cabo

sargento R sargento ∧ sargento R soldado ⇒ sargento R soldado

sargento R cabo ∧ cabo R cabo ⇒ sargento R cabo

sargento R cabo ∧ cabo R soldado ⇒ sargento R soldado

sargento R soldado ∧ soldado R soldado ⇒ sargento R soldado

então a relação R é transitiva.

Observação:

Veja que para o teste da transitividade, são necessários três variáveis para referenciar elementos doconjunto origem, A, e que são representados pelas variáveis “x”, “y” e “z” (segundo a notaçãoutilizada). No entanto, devem-se tomar dois cuidados muito importantes:

1. Não se pode escolher quaisquer três elementos “x”, “y” e “z” do conjunto A, mas somente aquelesque cumprirem a condição ( ∀ x, y, z ∈A )( ( x, y ) ∈ R ∧ ( y, z ) ∈ R )!

2. Os “valores” assumidos pelas variáveis “x”, “y“ e “z” podem ser, eventualmente, IGUAIS! Estaobservação é importante pois devemos lembrar de inspecionar também os casos em que temoselementos de A que se relacionam com si mesmos.


Seja D = { 1, 2 }. Definiremos relações no conjunto P(D) = { ∅, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 } } . Por exemplo:

R ⊆ P(D) x P(D), x R y ⇔ x ⊆ y

S ⊆ P(D) x P(D), x S y ⇔ x ∩ y ∈ P(D)

T ⊆ P(D) x P(D), x T y ⇔ x ≠ y

Ao analisarmos as seguintes relações quanto a sua Transitividade, temos:

§ R é transitiva. Podemos verificar isto por inspeção, como feito na seção anterior (o quedeixaremos ao encargo de você, leitor) ou através da propriedade lógica que define a relação.Para tanto:

Sejam x, y e z conjuntos pertencentes ao conjunto P(D) tais que x R y e y R z. Então:

( x R y ⇔ x ⊆ y ) ∧ ( y R z ⇔ y ⊆ z ).

Como queremos mostrar que x R z, ou seja, x ⊆ z, basta observar que

( x ⊆ y ) ∧ ( y ⊆ z ) ⇒ x ⊆ y ⊆ z ⇒ x ⊆ z.

Logo, x R z.

Logo, R é transitiva.

§ S é transitiva. Esta relação é definida de uma forma interessante, exigindo que um novo conjunto,formado pela interseção dos conjuntos que se relacionam também pertença ao conjunto deorigem da relação. Para provarmos a Transitividade desta relação:

Sejam x, y, z ∈ P(D) tais que ( x ∩ y ∈ P(D) ) ∧ ( y ∩ z ∈ P(D) ).

Queremos mostrar que x ∩ z pertence ao conjunto P(D). Mas:



x ∈ P(D) ∧ z ∈ P(D) ⇒ x ∩ z ∈ P(D), pois ( ( x ∩ z ) ⊆ x ) ∧ ( ( x ∩ z ) ⊆ z ).

Logo x S z.

Logo, S é transitiva.

Observação: note que, na realidade, a hipótese de que x R y e y R z aparentemente não foinecessária neste caso, pois, de qualquer maneira, x ∩ z ∈ P(D). No entanto, devemos entenderque se este fato é verdadeiro “de qualquer maneira”, ele continuará verdadeiro quandosoubermos que, para um certo conjunto y, x R y e y R z.

§ T não é transitiva. Com efeito:

Sejam x, y, z ∈ P(D) tais que ( x ≠ y ) ∧ ( y ≠ z ).

Queremos concluir que x será necessariamente diferente de z. Mas isto não é sempre verdadeiro,como por exemplo quando

x = ∅

y = { 1 }

z = ∅

Então teremos: ( x ≠ y ) ∧ ( y ≠ z ), mas x = z.

Logo T não é transitiva.


Para não perder o costume, daremos exemplos no conjunto dos números reais... Sejam as relações:

R ⊆ R x R, x R y ⇔ x ≤ y

S ⊆ R x R, x S y ⇔ x2 > y

T ⊆ R x R, x T y ⇔ x ≠ y

Neste caso, verificaremos que:

§ R é transitiva. Para tanto:

Sejam x, y, z ∈ R tais que ( x R y ) ∧ ( y R z ). Então:

( x R y ) ∧ ( y R z ) ⇔ ( x ≤ y ) ∧ ( y ≤ z ) ⇔ x ≤ y ≤ z ⇒ x ≤ z.

Logo x R z.

Logo R é transitiva.

§ S não é transitiva. Com efeito:

Sejam x, y, z tais que ( x S y ) ∧ ( y S z ), isto é, ( x2 > y ) ∧ ( y2 > z ).

Precisamos mostrar que x S z, ou seja, que x2 > z. No entanto,

( x2 > y ) ∧ ( y2 > z ) ⇒ x4 > z, o que não necessariamente implica o que queremos mostrar. Porexemplo, escolhendo

x = 2

y = 3

z = 4

temos que

x2 = 22 = 4 > 3 = y

y2 = 32 = 9 > 4 = z

Mas ¬ ( x2 > z ) pois 4 = 4.

Logo S não é transitiva.



§ T não é transitiva, pois, por exemplo, escolhendo x = 1, y = 2 e z = 1, teremos que

( x, y, z ∈ R ) ∧ ( x ≠ y ) ∧ (y ≠ z ), mas x = z.

Logo, x não se relaciona com z.

Logo T não é transitiva.


A propriedade de Transitividade representa a capacidade de uma relação “transmitir informações”através dos elementos do conjunto em que está definida. A “informação” transmitida é a propriedade(ou critério lógico) que define a relação.

Esta é, possivelmente, a mais importante propriedade que uma relação definida em um conjunto podeter. Isto porque ela dá condições para que diversas outras propriedades existam. Um exemplos depropriedade que depende da transitividade, nos números reais, é , por exemplo:

( ∀ a, b, c ∈ R )( a > b ⇔ a + c > b + c )

Se a relação “>” não fosse transitiva, tal propriedade não seria verdadeira.

Além disso, a Transitividade garante a coerência com a realidade quando tentamos interpretar umarelação como uma sucessão de estágios. Por exemplo, dado o conjunto

A = { terminal, servidor local, servidor global }

se imaginássemos a relação que descreve a transmissão de dados entre os elementos de A comosendo

R ⊆ A x A, x R y ⇔ x transmite dados para y

certamente esperaríamos que se o servidor global transmite dados para o servidor local e o servidorlocal transmite dados para o terminal, então o servidor global deveria transmitir dados para o terminal,por exemplo. Caso esta suposição não fosse verdadeira, a relação escolhida não seria útil para arepresentação do verdadeiro relacionamento entre os elementos de A.

Infelizmente, a Transitividade não pode ser facilmente visualizada através de características gráficas.Em algumas situações particulares, entretanto, a visualização desta propriedade até pode serpossível...

33..33..55 SSiimmeettrriiaa


R é simétrica em A ⇔ ( ∀ x, y ∈A )( ( x, y ) ∈ R → ( y, x ) ∈ R )


É fácil imaginar exemplos de relações que são simétricas. Por exemplo, se A for um conjunto bemdefinido de pessoas, podemos definir:




Todas as relações acima são simétricas. Isto porque:

§ Para quaisquer pessoas x e y tais que x tenha o mesmo peso que y, então, obviamente, y terá omesmo peso que x. Isto é: ( x, y ) ∈ R → ( y, x ) ∈ R

§ Para quaisquer pessoas x e y tais que x tenha o mesmo computador que y, então, obviamente, yterá o mesmo computador que x. Isto é: ( x, y ) ∈ S → ( y, x ) ∈ S

§ Para quaisquer pessoas x e y tais que x namore com y então y namorará com x. Isto é:

( x, y ) ∈ T → ( y, x ) ∈ T



Observação: Com respeito às relações S e T, é importante perceber que:

§ No caso de S, nem todas as pessoas terão computadores. Da mesma forma, algumas pessoaspoderão ter mais de um tipo de computador.

§ No caso de T, nem todas as pessoas terão namorado.

No entanto, estes fatos não atrapalham a simetria das relações, pois não se pode testar a simetriacom quaisquer dois elementos do conjunto origem, mas somente com elementos x e y sobre os quaisjá se sabe que x se relaciona com y.

Também é igualmente fácil imaginar relações que não são simétricas:

H ⊆ A x A, x H y ⇔ x freqüenta a casa de y

V ⊆ A x A, x V y ⇔ x é descendente de y

W ⊆ A x A, x W y ⇔ x é mais alto que y

Estas relações não são simétricas, pois:

§ Dadas x e y pessoas tais que x é freqüenta a casa de y, não necessariamente, y freqüentará acasa de x. Logo, H não é simétrica.

§ Dadas x e y pessoas tais que x é filho de y, então, obviamente, x é descendente de y. Mas istoimplica que não podemos concluir que y é descendente de x, já que uma pessoa não pode serfilha de seu filho2. Logo V não é simétrica.

§ Dadas x e y pessoas tais que x é mais alto que y, então, obviamente, y não poderá ser mais altoque x. Logo, W não é simétrica.

Observação: Com respeito às relações H e V, há uma sutil diferença no modo como a propriedadede Simetria falha:

§ No caso de H, algumas pessoas poderão freqüentar mutuamente as casas umas das outras, masnem todas o farão.

§ No caso de V, nenhuma pessoa poderá ser descendente de um descendente seu.


Seja A = { 0, 1, 2 }. Definiremos as seguintes relações:

R ⊆ A x A, R = { ( 0, 0 ), (1, 1), ( 1, 2 ), ( 2, 1 ) }

S ⊆ A x A, S = { ( 0, 0 ), (1, 1), ( 2, 2 ) }

T ⊆ A x A, T = { ( 0, 0 ), (1, 1), ( 1, 2 ) }

Então:

§ R é simétrica, pois, por inspeção, temos:

( 0, 0 ) ∈ R ∧ ( 0, 0 ) ∈ R. Então: ( 0 R 0 → 0 R 0 ) ⇔ v

( 1, 1 ) ∈ R ∧ ( 1, 1 ) ∈ R. Então: ( 1 R 1 → 1 R 1 ) ⇔ v

( 1, 2 ) ∈ R ∧ ( 2, 1 ) ∈ R. Então: ( 1 R 2 → 2 R 1 ) ⇔ v

( 2, 1 ) ∈ R ∧ ( 1, 2 ) ∈ R. Então: ( 2 R 1 → 1 R 2 ) ⇔ vLogo, R é simétrica.

§ S é simétrica, pois só é formada por pares simétricos.

2 Até o momento da escrita deste material não foram inventadas viagens no tempo. E, mesmo neste caso, a simetria nãovaleria, pois para uma pessoa viajar no tempo ela precisaria existir e para existir teria de ser filha de alguém...



§ T não é simétrica. Com efeito, ao escolhermos o par ( 1, 2 ), vemos que

( 1, 2 ) ∈ T, mas ( 2, 1 ) ∉ T.

Logo, ( ∃ x, y ∈ A )( ( ( x, y ) ∈ T ) ∧ ( ( y, x ) ∉ T ) )

Logo, T não é simétrica.


No conjunto dos números reais, podemos definir as relações

R ⊆ R x R, x R y ⇔ x = y

S ⊆ R x R, x S y ⇔ x ≤ y

T ⊆ R x R, x T y ⇔ x2 > y

W ⊆ R x R, x W y ⇔ x ≠ y

Então:

§ R é simétrica. Com efeito:

Sejam x, y ∈ R tais que x R y. Então:

x R y ⇔ x = y ⇔ y = x ⇔ y R x

Logo, x R y ⇒ y R x.

Logo, R é simétrica.

§ S não é simétrica, pois:

Sejam x, y ∈ R tais que x S y, ou seja x ≤ y.

Queremos concluir que y S x, ou seja, que y ≤ x.

Mas, se x < y então não poderá ser verdade que y ≤ x. Por exemplo, se tivermos

x = 1

y = 2

Então x ≤ y, mas ( y ≤ x ) ⇔ f.

Logo, ( ∃ x, y ∈ A )( ( ( x, y ) ∈ S ) ∧ ( ( y, x ) ∉ S ) )

Logo, S não é simétrica.

§ T não é simétrica. Por exemplo, se escolhermos

x = 2

y = 1

Então x2 = 22 = 4 > 1 = y ⇔ x2 > y ⇔ ( x, y ) ∈ T.

Mas y2 = 12 = 1 ≤ 2 = x ⇔ y2 ≤ x ⇔ ( y, x ) ∉ T.

Logo, ( ∃ x, y ∈ A )( ( ( x, y ) ∈ T ) ∧ ( ( y, x ) ∉ T ) )

Logo T não é simétrica.

§ W é simétrica. Com efeito:

Sejam x, y ∈ R tais que x ≠ y. Então:

x ≠ y ⇒ y ≠ x ⇔ y W x.

Logo W é simétrica.




A propriedade de Simetria traduz a idéia de que uma relação não é orientada. Isto significa que, seimaginarmos uma relação como uma sucessão de estágios a percorrer, sempre que pudermos ir deum estágio x para um estágio y através da relação, também poderemos voltar de y para x. Ademais, aSimetria fundamenta certas propriedades lógicas muito importantes. Por exemplo, a relação deigualdade é simétrica. Graças a isto é que na solução de uma equação qualquer, podemos escrever:

4 = x + 2 ⇒ x + 2 = 4

Se a relação de igualdade não fosse simétrica, a passagem acima não seria válida!

Entretanto, devemos tomar cuidado para não sermos levados a falsas conclusões com respeito apropriedade de Simetria. Um erro comum é o de se imaginar que “toda relação simétrica é reflexiva”,ou seja, que a Simetria implica a Reflexividade. Isto é falso! Um exemplo é o dado pela relação R daseção 3.4.2 acima. Observe que R é simétrica, como já havíamos concluído, mas não é reflexiva,pois ( 2, 2 ) ∉ R.

33..33..66 AAssssiimmeettrriiaa


R é assimétrica em A ⇔ ( ∀ x, y ∈A )( ( x, y ) ∈ R → ( y, x ) ∉ R )


De modo a facilitar o entendimento, usaremos alguns dos exemplos apresentados para ilustrar apropriedade de Simetria. Assim, seja A o conjunto das pessoas. Então:


H ⊆ A x A, x H y ⇔ x freqüenta a casa de y


Então:

§ R não é assimétrica, pois, dadas duas pessoas, x e y, do conjunto A, tais que x tem o mesmopeso que y, então, obviamente, y terá o mesmo peso que x. E então, a proposição “y não tem omesmo peso que x”, representada por ( x, y ) ∉ R, será falsa.

Logo, R não é assimétrica.

§ H não é assimétrica. Com efeito:

Sejam x, y ∈ A tais que x freqüenta a casa de y.

Queremos concluir que y não freqüenta a casa de x. No entanto, isto não é possível, pois podemexistir duas pessoas do conjunto A que se visitem mutuamente. Como não podemos garantir isto,então H não será assimétrica.

§ V é assimétrica, pois, dadas duas pessoas de A, referidas pelas variáveis x e y, tais que x sejadescendente de y então não haverá como y ser descendente de x. Logo, V será assimétrica.

Observação: Cuidado! A Simetria não é exatamente o contrário da Assimetria!!! A tabela a seguirresume as informações que obtivemos sobre a Simetria e a Assimetria dos exemplos acima:

Relação Simétrica ? Assimétrica ?

R Sim Não

H Não Não

V Não Sim




( R ⊆ A x A ) ∧ ( R simétrica ) ⇒ R não assimétrica

( V ⊆ A x A ) ∧ ( V assimétrica ) ⇒ V não simétrica

( ∃ H ⊆ A x A ) ( ( H não simétrica ) ∧ ( H não assimétrica ) )

Retornaremos a esta discussão posteriormente, ao final deste capítulo...


Seja A = P( { :, < } ) = { ∅, { : }, { < }, { :, < } }. Sejam as relações:

R ⊆ A x A, x R y ⇔ x ⊂ y

S ⊆ A x A, x S y ⇔ x ⊆ y

T ⊆ A x A, x T y ⇔ #x = #y ( #x significa “cardinalidade do conjunto x”, ou seja,

o número de elementos que o conjunto x possui )

Então:

§ R é assimétrica. Para provermos isto:

Sejam x, y ∈ P( { :, < } ) tais que x R y, isto é, tais que x ⊂ y. Então:

x ⊂ y ⇔ ( ∀ a )( ( a ∈ x → a ∈ y ) ∧ ( ∃ a ∈ y )( a ∉ x ) ) ⇒ ¬ ( ∀ a )( a ∈ y → a ∈ x ) ⇒

⇒ ¬ ( y ⊆ x ) ⇒ y ⊄ x

Logo, R é assimétrica.

§ S não é assimétrica, pois:

Dados x, y ∈ P( { :, < } ) tais que x S y, isto é, tais que x ⊆ y.

Gostaríamos de afirmar que ( y ⊆ x ) ⇔ f. Mas isto nem sempre acontecerá. Com efeito, no casoem que x = y teríamos:

x = y ⇔ ( x ⊆ y ) ∧ ( y ⊆ x )

Neste caso, a assimetria seria falsa.

Logo, S não é assimétrica.

§ T não é assimétrica, pois, por exemplo, se escolhermos

x = y = { : }

teremos

( x ∈ P( { :, < } ) ) ∧ ( y ∈ P( { :, < } ) ) ∧ ( #x = #y )

Mas, neste caso, #y = #x, ou seja, y T x.

Logo a assimetria não é sempre válida.

Logo, T não é assimétrica.


Sejam as relações definidas no conjunto dos números reais:

R ⊆ R x R, x R y ⇔ x = y

S ⊆ R x R, x S y ⇔ x ≤ y

T ⊆ R x R, x T y ⇔ x > y

Então:



§ R não é assimétrica, pois:

Dados quaisquer x, y ∈ R tais que x = y, então:

x = y ⇒ y = x ⇔ y R x.

Logo R não é assimétrica.

§ S não é assimétrica. Por exemplo, se escolhermos

x = y = 2

teremos que

( x ∈ R ) ∧ ( y ∈ R ) ∧ ( x S y )

Mas, neste caso, y = x, ou seja, y S x.

Logo, R não é assimétrica.

§ T é assimétrica. Com efeito:

Sejam x, y ∈ R tais que x > y.

Queremos mostrar que ( y, x ) ∉ T, isto é, que ¬ ( y > x ), ou seja, que y ≤ x.

Mas: x > y ⇔ y < x ⇒ y ≤ x

Logo T é assimétrica.


A Assimetria ocupa, relativamente à propriedade de Simetria, a mesma posição que a propriedade deIrreflexividade ocupa em relação à Reflexividade. Isto significa que Simetria e Assimetria sãoextremos opostos, mas que podemos ter relações que não são simétricas e nem são assimétricas.

A Assimetria traduz uma idéia de não reciprocidade. Isto significa que uma relação assimétrica,quando associa elementos de um conjunto, o faz somente em um sentido.

33..33..77 AAnnttii--SSiimmeettrriiaa


R é anti-simétrica em A ⇔ ( ∀ x, y ∈A )( ( x, y ) ∈ R ∧ ( y, x ) ∈ R → x = y )


Seja A o conjunto das pessoas. Sejam as relações:





W ⊆ A x A, x W y ⇔ x tem o mesmo código genético que y

Testemos a Anti-Simetria das relações acima:

§ R não é anti-simétrica, pois, dados x e y pessoas tais que x R y e y R x, isto é, x tem o mesmopeso que y e y tem o mesmo peso que x, não podemos concluir, somente por estes dados, que apessoa x seja a pessoa y (isto é, que x = y ). Isto porque pessoas diferentes podem ter o mesmopeso!

§ S não é anti-simétrica porque duas pessoas diferentes podem ter o mesmo tipo de computador.Logo, as informações de que “x tem o mesmo tipo de computador que y” e que “y tem o mesmotipo de computador que x”, não são suficientes para concluir que x é y.



§ T obviamente não é anti-simétrica, pois se duas pessoas do conjunto A, x e y namoram entre si,não há como a pessoa x ser a pessoa y.

§ V é anti-simétrica. Com efeito:

Para testarmos a Anti-Simetria de V, devemos tomar x e y pessoas do conjunto A tais que x édescendente de y e y é descendente de x. Mas isto é impossível, pois

x descendente de y ⇒ y não é descendente de x

y descendente de x ⇒ x não é descendente de y

Ou seja, V é assimétrica.

Logo, a condição ( x V y ) ∧ ( y V x ) é sempre falsa! Logo,

( x, y ) ∈ V ∧ ( y, x ) ∈ V → x = y ⇔ v.

Logo V é anti-simétrica. (Diz-se que a relação é anti-simétrica “por falta”)

§ W é anti-simétrica. Com efeito:

§ Sejam x e y duas pessoas tais que “x tem o mesmo código genético que y” e “y tem o mesmocódigo genético que x”. Então, obrigatoriamente, x será y, isto é, estamos falando da mesmapessoa3.


Seja A = { 0, 1, 2 }. Sejam as seguintes relações:

R ⊆ A x A, R = { ( 0, 0 ), (1, 1), ( 1, 2 ), ( 2, 1 ) }

S ⊆ A x A, S = { ( 0, 0 ), (1, 1), ( 2, 2 ) }

T ⊆ A x A, T = { ( 0, 0 ), (1, 1), ( 1, 2 ) }

Então:

§ R não é anti-simétrica, pois ao escolhermos x = 1 e y = 2 temos que

( x ∈ { 0, 1, 2 } ) ∧ ( y ∈ { 0, 1, 2 } ) ∧ ( x R y ) ∧ ( y R x )

Mas 1 ≠ 2,

ou seja, x ≠ y.

Logo, a proposição ( ∀ x, y ∈A )( ( x, y ) ∈ R ∧ ( y, x ) ∈ R → x = y ) não é sempre verdadeira.

Logo, R não é anti-simétrica.

§ S é anti-simétrica. Para termos x, y ∈ A tais que x S y e y S x teremos de, obrigatoriamente,trabalhar com pares da forma ( x, x ), ou seja, pares em que y = x. Ou, por inspeção, ascombinações de elementos x e y tais que ( x, y ) ∈ S ∧ ( y, x ) ∈ S serão:

( x, y ) ∈ S ( y, x ) ∈ S x = y ?

( 0, 0 ) ( 0, 0 ) Sim

( 1, 1 ) ( 1, 1 ) Sim

( 2, 2 ) ( 2, 2 ) Sim

Logo, como em todas as situações válidas, x = y, então S é anti-simétrica.

3 Novamente, lembramos que até o momento da escrita deste material, ainda não haviam sido clonadas pessoas... No caso deisto ser possível, a relação acima somente continuaria sendo anti-simétrica se no conjunto A não fossem permitidos clones...



§ T é anti-simétrica. Isto porque as únicas situações válidas para a verificação da anti-simetria são:

( x, y ) ∈ S ( y, x ) ∈ S X = y ?

( 0, 0 ) ( 0, 0 ) Sim

( 1, 1 ) ( 1, 1 ) Sim

Logo T é anti-simétrica.

Observação: O par ( 1, 2 ), apesar de representar um relacionamento válido, não pode serutilizado para a verificação da Anti-Simetria de T porque 2 não se relaciona com 1, ou seja,porque seu par simétrico, ( 2, 1 ), não é um elemento do conjunto T.


No conjunto dos números reais, podemos definir:

R ⊆ R x R, x R y ⇔ x = y

S ⊆ R x R, x S y ⇔ x ≤ y

T ⊆ R x R, x T y ⇔ x > y

W ⊆ R x R, x W y ⇔ x ≠ y

Então:

§ R é anti-simétrica. Para verificarmos isto:

Sejam x, y ∈ R tais que x R y e y R x. Então:

( x R y ) ∧ ( y R x ) ⇔ ( x = y ) ∧ ( y = x ) ⇒ x = y.

Logo, R é anti-simétrica.

§ S é anti-simétrica. Com efeito:

Sejam x, y ∈ R tais que x S y e y S x. Então:

( x R y ) ∧ ( y R x ) ⇔ ( x ≤ y ) ∧ ( y ≤ x ) ⇒ x = y.

Logo S é anti-simétrica.

T é anti-simétrica, pois não é possível encontrar elementos x, y ∈ R tais que x > y e y > x.

Assim:

( ( x > y ) ∧ ( y > x ) ⇔ f ) ⇒ ( ( x > y ) ∧ ( y > x ) → x = y ⇔ v ).

Logo T é anti-simétrica.

§ W não é anti-simétrica. Com efeito,

Sejam x, y ∈ R tais que x ≠ y e y ≠ x.

( x ≠ y ) ∧ ( y ≠ x ) ⇒ ¬ ( x = y ).

Logo W não é anti-simétrica.

33..33..77..44 CCoommeennttáárriiooss GGeerraaiiss SSoobbrree aass PPrroopprriieeddaaddeess ddaass RReellaaççõõeess eemm AA

A Anti-Simetria, apesar do nome infeliz, traduz a idéia de identidade. Uma relação anti-simétrica tem,como principal característica, o fato de não permitir o surgimento de “ciclos”. O diagrama a seguirNUNCA seria característico de uma relação anti-simétrica:



No caso de uma relação anti-simétrica, estamos, justamente garantindo que a situação acima nãoocorre, ou seja:

Toda vez que imaginarmos

Na realidade enxergaremos

Uma observação importante é a de que uma relação assimétrica é, necessariamente, irreflexiva. Istoporque, se soubermos que uma relação R é assimétrica, então

( ∀ x, y ∈ A )( ( x, y ) ∈ R ⇒ ( y, x ) ∉ R ) ⇒

⇒ ( ∀ x ∈ A )( ( x, x ) ∈ R → ( x, x ) ∉ R ⇔ f ) ⇒

⇒ ( ∀ x ∈ A )( ( x, x ) ∉ R ).

Logo, a relação terá de ser irreflexiva.

Outra observação importante é a de que uma relação assimétrica é, necessariamente, anti-simétrica.Isto porque, se soubermos que uma relação R é assimétrica, então

( ∀ x, y ∈ A )( ( x, y ) ∈ R ⇒ ( y, x ) ∉ R ) ⇒

⇒ ( ∀ x, y ∈ A )( ( x, y ) ∈ R ∧ ( y, x ) ∈ R ⇔ f ) ⇒

⇒ ( ∀ x, y ∈ A )( ( ( x, y ) ∈ R ∧ ( y, x ) ∈ R → x = y ) ⇔ v ).

Logo, a relação terá de ser anti-simétrica.

Observe também que as propriedades de Anti-Simetria e de Simetria não possuem relação entre si.Isto significa que podemos ter relações que são simétricas e não são anti-simétricas, assim comopodemos ter relações que são anti-simétricas e não são simétricas. Podemos ainda ter relações quesão simultaneamente simétricas e anti-simétricas, bem como existem relações que não sãosimétricas nem são anti-simétricas. Exemplos destas situações são (as demonstrações ficam para oleitor):

x y

x y

x = y



Conjunto origem A = { M, :, ☺ }

Relações em A Simétrica ? Anti-Simétrica ?

R = { ( ☺, : ), ( :, ☺ ), ( ☺, ☺ ) } Sim Não

S = { ( ☺, ☺ ), ( ☺, : ), ( :,: ) } Não Sim

T = { ( ☺, ☺ ), ( :,: ) } Sim Sim

W = { ( ☺, ☺ ), ( ☺, : ), ( :, ☺ ), ( :, M ) } Não Não

33..33..88 UUmmaa OObbsseerrvvaaççããoo IImmppoorrttaannttee!!

As propriedades aqui definidas não têm relação direta entre si, com exceção dos teoremas (jáapresentados) de que uma relação assimétrica é anti-simétrica e também é irreflexiva. Além destescasos, não é possível, a partir de alguma das demais propriedades, concluir sobre o comportamentodas outras propriedades de uma relação. Ainda assim, a combinação de duas propriedades podeimplicar na validade ou não de uma terceira.

33..33..99 EExxeerrccíícciiooss

33..33..99..11 EExxeerrccíícciioo

Dado o conjunto A = { 1, 2, 3 }, pede-se:

(a). Determine a relação R em P(A) definida por “E R F ⇔ E ⊂ F”.

(b). Determine o domínio e a imagem de R


Sejam A = { 1, 2, 3 } em B = { 3, 4 }. Sejam as relações R e S definidas por

R = { ( 1, 3 ), ( 1, 4 ), ( 2, 4 ) }

S = { ( 1, 3 ), ( 1, 4 ), ( 3, 3 ) }

Determine:

(a). R ∩ S (b). R ∪ S

(c). R – S (d). S – R

(e). CAxBR (f). CAxBS


Verifique as propriedades das relações em A abaixo:

(1). A ≠ ∅, R = { ( B, D ) ∈ P(A) x P(A) / B ⊆ D }

(2). A = Z, x ∈ Z, y ∈ Z, x S y ⇔ y = | x |.

(3). A = Z, R = { ( x, y ) ∈ Z2 / x – y é múltiplo de 3 }

(4). A = { 1,2,3,4 } T = { (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) }

em A = { 1, 2, 3, 4 }

(5). R = { ( x, y ) ∈ R2 / y = ex }



44 RReellaaççõõeess ddee EEqquuiivvaallêênncciiaa eemm AA

Relações de Equivalência são muito úteis na identificação de grupos de elementos semelhantessegundo algum critério. Por exemplo, os números pares são todos inteiros divisíveis por dois, já osímpares dão resto um na divisão por dois. Pode-se expressar estas idéias através de uma relaçãoentre os números inteiros. Esta relação, veremos adiante, será um exemplo de relação deequivalência.


Seja R ⊆ A x A. Então:

R é relação de equivalência ⇔ R é reflexiva, transitiva e simétrica.



Seja A o conjunto das pessoas. Sejam as relações


S ⊆ A x A, x S y ⇔ x é mais velho que y

T ⊆ A x A, x T y ⇔ x é namorado de y

Então:

§ R é relação de equivalência, pois é:

§ Reflexiva, já que uma pessoa sempre terá seu próprio peso. Logo R é reflexiva;

§ Transitiva, pois dada x, y, z pessoas do conjunto A tais que x tem o mesmo peso que y e ytem o mesmo peso que z, então, obviamente, x e z terão o mesmo peso. Logo R é transitiva;

§ Simétrica, pois dadas duas pessoas, x e y, do conjunto A e tais que x tem o mesmo peso quey, então, necessariamente, y terá de ter o mesmo peso que x. Logo, R é simétrica;

Logo, R é relação de equivalência.

§ S não é relação de equivalência, pois S não é simétrica. Com efeito, dadas duas pessoas, x e y,do conjunto A, tais que x é mais velho que y. Então não poderá ser verdadeira a proposição “y émais velho que x”. Logo, ( y, x ) ∉ S. Logo, S não é simétrica e, portanto, não pode ser relação deequivalência.

§ T não é relação de equivalência, pois não é reflexiva. Isto porque, dada uma pessoa x doconjunto A, não tem sentido dizer que “x é namorada de si mesma”. Logo, T não pode serreflexiva e, portanto, T não pode ser relação de equivalência.

44..22..22 UUmm EExxeemmpplloo FFuunnddaammeennttaall

A relação “x = y”, definida em qualquer conjunto é uma relação de equivalência. Vejamos:

§ É reflexiva, pois:

Seja x ∈ A. x ∈ A ⇒ x = x.



Logo, ( ∀ x ∈ A )( x = x ). Logo a relação é reflexiva.

§ É transitiva, pois:

Sejam x, y, z ∈ A tais que ( x = y ) ∧ ( y = z ).

( x = y ) ∧ ( y = z ) ⇒ x = y = z ⇒ x = z.

Logo, ( ∀ x, y, z ∈A )( ( x = y ) ∧ ( y = z ) → x = z ). Logo a relação é transitiva.

§ É simétrica, pois:

Sejam x, y ∈ A tais que x = y.

x = y ⇒ y = x.

Logo, ( ∀ x, y ∈A )( x = y → y = x ). Logo a relação é simétrica.

Logo “x = y” é relação de equivalência em qualquer conjunto A!

44..22..33 OOuuttrroo EExxeemmpplloo IImmppoorrttaannttee

Seja a relação definida no conjunto dos números inteiros, Z, por

R ⊆ Z x Z, x R y ⇔ x mod 2 = y mod 2

Onde mod representa o resto da divisão inteira.

Esta relação é de equivalência. Com efeito:

§ É reflexiva, pois:

Seja x ∈ Z.

x ∈ Z ⇒ x mod 2 = x mod 2 ⇔ x R x.

Logo, ( ∀ x ∈ Z )( x R x ). Logo a relação é reflexiva.

§ É transitiva, pois:

Sejam x, y, z ∈ Z tais que ( x mod 2 = y mod 2 ) ∧ ( y mod 2 = z mod 2 ).

( x mod 2 = y mod 2 ) ∧ ( y mod 2 = z mod 2 ) ⇒

⇒ x mod 2 = y mod 2 = z mod 2 ⇒

⇒ x mod 2 = z mod 2.

Logo, ( ∀ x, y, z ∈Z )( ( x R y ) ∧ ( y R z ) → x R z ).Logo a relação é transitiva.

§ É simétrica, pois:

Sejam x, y ∈ Z tais que x mod 2 = y mod 2.

x mod 2 = y mod 2 ⇒ y mod 2 = x mod 2.

Logo, ( ∀ x, y ∈A )( x R y → y R x ).Logo a relação é simétrica.


Observação:

Na realidade, podemos criar relações deste tipo com qualquer número natural não nulo. Assim, porexemplo, poderíamos criar uma relação de equivalência para os inteiros mod 3, outra para os inteirosmod 4, e assim sucessivamente.



44..22..44 UUmm ÚÚllttiimmoo EExxeemmpplloo

Seja A = R2. Seja a relação definida no conjunto A, por4

R ⊆ R2 x R2, ( x, y ) R ( z, t ) ⇔ x + t = y + z

Esta relação é de equivalência. Vejamos porque:

§ R é reflexiva ? Para verificarmos isto, seja ( x, y ) ∈ R2. Então:

( x, y ) R ( x, y ) ⇔ x + y = y + x ⇔ vLogo, R é reflexiva.

§ R é transitiva ?

Sejam ( x, y ), ( z, t ), ( a, b ) ∈ R2 tais que ( x, y ) R ( z, t ) e ( z, t ) R ( a, b ). Então:

( x, y ) R ( z, t ) ∧ ( z, t ) R ( a, b ) ⇔ ( x + t = y + z ) ∧ ( z + b = t + a ) ⇔

⇔ ( t – z = y – x ) ∧ ( b – a = t – z ) ⇒ y – x = b – a ⇔ x + b = y + a ⇔

⇔ ( x, y ) R ( a, b )


§ R é simétrica ?

Sejam ( x, y ), ( z, t ) ∈ R2 tais que ( x, y ) R ( z, t ). Então:

( x, y ) R ( z, t ) ⇔ x + t = y + z ⇔ y + z = x + t ⇔ z + y = t + x ⇔ ( z, t ) R ( x, y )

Logo R é simétrica.

Logo R é relação de equivalência.

Observação:

Note que os raciocínios acima permitem que cheguemos a outras conclusões além das aquiapresentadas; este fato ocorre, principalmente devido à comutatividade da soma. No entanto,devemos ter em mente que são as conclusões acima apresentadas as que são relevantes para aidentificação de uma relação de equivalência e que, portanto, devemos reescrever as expressõeslógicas acima até que possamos verificar a validade (ou não) das propriedades testadas.

44..33 CCllaasssseess ddee EEqquuiivvaallêênncciiaa

Quando operamos com relações de equivalência, é possível identificar conjuntos de elementos quepossuem critérios de associação comuns. Tais elementos, quando agrupados, formam o quechamamos de classes de equivalência.

44..33..11 DDeeffiinniiççããoo ddee CCllaassssee ddee EEqquuiivvaallêênncciiaa

Seja R ⊆ A x A uma relação de equivalência. Seja a ∈ A. Então a Classe de Equivalência de a,denotada por a , é definida como:

a = { x ∈ A / x R a }

44..33..22 EExxeemmpplloo

Seja A = { 0, 1, 2, 3 }. Seja a relação de equivalência5 definida por

4 Usaremos cores para facilitar a compreensão do raciocínio e, principalmente, para enfatizar o caráter posicional da definiçãode relação.



R ⊆ A x A, R = { ( 0, 0 ), ( 1, 1 ), ( 2, 2 ), ( 3, 3 ), ( 0, 2 ), ( 1, 3 ), ( 2, 0 ), ( 3, 1 ) }

Então, podemos identificar:

§ Classe de equivalência do elemento 0: 0 = { x ∈ A / x R 0 } = { 0, 2 }




Em particular, observe que: ( 20 = ) ∧ ( 31 = ).

Isto significa que, segundo esta relação,

§ 0 é equivalente a 2


Assim, poderíamos visualizar o exemplo acima da seguinte forma:


Seja A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }. Seja a relação de equivalência6 definida por

R ⊆ A x A, x R y ⇔ 4 | ( x – y )

Então:

R = { ( 0, 0 ), ( 1, 1 ), ( 2, 2 ), ( 3, 3 ), ( 4, 4 ), ( 5, 5 ), ( 6, 6 ), ( 7, 7 ) , ( 8, 8 ), ( 9, 9 ),

( 4, 0 ), ( 5, 1 ), ( 6, 2 ), ( 7, 3 ), ( 8, 4 ), ( 9, 5 ),

( 0, 4 ), ( 1, 5 ), ( 2, 6 ), ( 3, 7 ), ( 4, 8 ), ( 5, 9 ),

( 8, 0 ), ( 9, 1 ), ( 0, 8 ), ( 1, 9 ) }

Então, podemos identificar:

§ Classe de equivalência do elemento 0: 0 = { x ∈ A / x R 0 } = { 0, 4, 8 }










5 A verificação fica a seu encargo.6 A verificação fica ao encargo de você, leitor.

0 ≡ 2 1 ≡ 3




( 840 == ) ∧ ( 951 == ) ∧ ( 62 = ) ∧ ( 73 = ) .

Isto significa que, segundo esta relação,

§ 0, 4 e 8 são equivalentes entre si

§ 1, 5 e 7 são equivalentes entre si



Novamente, poderíamos visualizar estas equivalências da seguinte forma:

1 ≡ 5 ≡ 9 2 ≡ 60 ≡ 4 ≡ 8 3 ≡ 7



55 RReellaaççõõeess ddee OOrrddeemm eemm AA

Relações de Ordem são fundamentais para o desenvolvimento de uma estrutura lógica consistente.Isto porque este tipo de relação permite definir uma hierarquia de prioridades entre os elementos deum conjunto. Na realidade, como o próprio nome diz, uma relação de ordem cria um seqüenciamento,uma ordem, entre os elementos do conjunto onde está definida.


Seja R ⊆ A x A. Então:

R é relação de ordem ⇔ R é reflexiva, transitiva e anti-simétrica.



Seja A = { soldado, cabo, sargento } e a relação definida em A por

“x R y ⇔ x é posto igual ou superior a y”.

Neste caso, teríamos:

R = { ( soldado, soldado ), ( cabo, cabo ), ( cabo, soldado ),

( sargento, sargento ), ( sargento, soldado ), ( sargento, cabo ) }

Então:

§ R é relação de ordem, pois:

§ É reflexiva:

Seja x ∈ A. Então x é posto igual a x. Logo x R x.

Logo, R é reflexiva.

§ É transitiva:

Sejam x, y, z ∈ A tais que “x é posto igual ou superior a y” e “y é posto igual ou superior a z”.Então:

⇒ se x for posto igual a y e y for posto igual a z, teremos que x é posto igual a z,

isto é, x R z

⇒ se x for posto igual a y e y for posto superior a z, teremos que x é posto superior a z,

isto é, x R z

⇒ se x for posto superior a y e y for posto igual a z, teremos que x é posto superior a z,

isto é, x R z

⇒ se x for posto superior a y e y for posto superior a z, teremos que x é posto superior a z,

isto é, x R z

Como em todas as possibilidades obtivemos que x R z, então R é transitiva.



§ É anti-simétrica:

Sejam x, y ∈ A tais que “x é posto igual ou superior a y” e “y é posto igual ou superior a x”.Então x não poderá ser posto superior a y e nem y poderá ser posto superior a x. Restasomente a possibilidade de que x seja posto igual a y. Logo x = y.

Logo, R é anti-simétrica.

Logo R é relação de ordem.

55..22..22 OOuuttrroo EExxeemmpplloo IInnttuuiittiivvoo

Seja A um conjunto de pessoas e a relação

S ⊆ A x A, x S y ⇔ x é mais velho que y.

Então:

S não é relação de ordem, pois não é reflexiva. Com efeito, uma pessoa não pode ser mais velha quesi própria.

Logo S não é reflexiva.

Logo, S não pode ser relação de ordem.

55..22..33 EExxeemmppllooss IImmppoorrttaanntteess

No conjunto dos números naturais positivos, N*, pode-se definir as seguintes relações:

R ⊆ N* x N*, x R y ⇔ x | y

S ⊆ N* x N*, x S y ⇔ x ≤ y

T ⊆ N* x N*, x T y ⇔ x < y

Então:

§ R é relação de ordem. Vejamos:

R é reflexiva?

Seja x ∈ N*. Como x = 1.x, então x | x. Logo, R é reflexiva.

R é transitiva?

Sejam x, y, z ∈ N* tais que x | y e y | z. Precisamos mostrar que x | z. Mas:

x | y ⇔ ( ∃ k1 ∈ Z )( y = k1.x )

y | z ⇔ ( ∃ k2 ∈ Z )( z = k2.y )

Então, z = k2.y = k2.k1.x.

Logo, ( ∃ k3 ∈ Z )( k3 = k1.k2 )( z = k3.x ). Logo, R é transitiva.

R é anti-simétrica?

Sejam x, y ∈ N* tais que x | y e y | x. Precisamos mostrar que x = y. Mas:

x | y ⇔ ( ∃ k1 ∈ Z )( y = k1.x )

y | x ⇔ ( ∃ k2 ∈ Z )( x = k2.y )

Então, x = k2.y = k2.k1.x ⇒ k2.k1 = 1

Mas: k1 , k2 ∈ Z ∧ k2.k1 = 1 ⇒ k2 = k1 = 1

Logo: x = y. Logo, R é anti-simétrica.



§ S é relação de ordem. Com efeito:

S é reflexiva?

Seja x ∈ N*. Como x ≤ x, então x S x. Logo, S é reflexiva.

S é transitiva?

Sejam x, y, z ∈ N* tais que x ≤ y e y ≤ z. Precisamos mostrar que x ≤ z. Mas:

x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z


S é anti-simétrica?

Sejam x, y ∈ N* tais que x ≤ y e y ≤ x. Precisamos mostrar que x = y. Mas:

x ≤ y ∧ y ≤ x ⇔ x = y

Logo S é anti-simétrica

§ T não é relação de ordem, pois não é reflexiva. Por exemplo, se escolhermos

x = 3,

então ( 3 < 3 ⇒ f ) ⇔ ( 3, 3 ) ∉ T.

Logo T não é reflexiva. Logo T não pode ser relação de ordem.

55..22..44 OOuuttrroo EExxeemmpplloo IImmppoorrttaannttee

Seja M um conjunto não vazio. Seja A = P(M), o conjunto dos subconjuntos de M. Seja a relação “⊆”definida em A. Então “⊆” ordena A. Com efeito:

“⊆” é reflexiva ?

Seja X ⊆ A. Como X ⊆ X, pois ( ∀ x )( x ∈ X ⇒ x ∈ X ), então R é reflexiva.

“⊆” é transitiva ?

Sejam X, Y, Z ⊆ A tais que X ⊆ Y e Y ⊆ Z. Então, da teoria de conjuntos vem:

X ⊆ Y ∧ Y ⊆ Z ⇒ X ⊆ Z.


“⊆” é anti-simétrica ?

Sejam X, Y ⊆ A tais que X ⊆ Y e Y ⊆ X. Então, da teoria de conjuntos vem:

X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X ⇔ X = Y.

Logo, S é anti-simétrica.

Logo, “⊆” é relação de ordem em A.

Observação: Note que, em nenhum momento dissemos quem são os elementos de A...

55..33 OOrrddeemm TToottaall xx OOrrddeemm PPaarrcciiaall


Seja R ⊆ A x A uma relação de ordem. Então:

R é de ordem total ⇔ ( ∀ x, y ∈ A )( ( x, y ) ∈ R ∨ ( y, x ) ∈ R )

R é de ordem parcial ⇔ ( ∃ x, y ∈ A )( ( x, y ) ∉ R ∧ ( y, x ) ∉ R )



Observações:

As definições acima dizem que uma relação em A é de ordem parcial se e somente se existir pelomenos um par de elementos, x e y, que não se relacionam entre si. Da mesma forma, uma relaçãoem A é de ordem total se e somente se todos os elementos de A relacionarem-se entre si de algumaforma.

Além disso:

1. R é relação de ordem parcial ⇔ R não é relação de ordem total.

2. Uma relação de ordem total define um conjunto linearmente ordenado, também denominado uma“cadeia”.


No conjunto dos números naturais positivos, N*, pode-se definir as seguintes relações:

R ⊆ N* x N*, x R y ⇔ x | y

S ⊆ N* x N*, x S y ⇔ x ≤ y

T ⊆ N* x N*, x T y ⇔ x < y

Então:

§ R é relação de ordem parcial. Vejamos:

§ R é relação de ordem, como já vimos anteriormente

§ R é de ordem parcial, pois, por exemplo, se escolhermos

x = 3

y = 5

temos que ¬ ( 3 R 5 ) ∧ ¬ ( 5 R 3 ), isto é, ( 3, 5 ) ∉ R ∧ ( 5, 3 ) ∉ R

Logo, R é de ordem parcial.

§ S é relação de ordem total. Vejamos:

§ S é relação de ordem, como já vimos anteriormente

§ S é de ordem total, pois

Dados x, y ∈ N*, temos que

( x ∈ N* ) ∧ ( y ∈ N* ) ⇒ ( x ≤ y ) ∨ ( y ≤ x ) ⇔ ( x S y ) ∨ ( y S x ).

Logo, S é de ordem total.

§ T não é relação de ordem (por quê?) e portanto não tem sentido verificar o tipo de ordem...

55..33..33 MMaaiiss UUmm EExxeemmpplloo

Seja M = { a, b }. Seja A = P(M) = { ∅, { a }, { b }, { a, b } }

Seja a relação R ⊆ A x A, x R y ⇔ x ⊆ y

R é relação de ordem parcial.

Demonstração:

R é relação de ordem, conforme já demonstrado neste material.

Para mostrarmos que R é de ordem parcial, basta observarmos que, escolhendo { a }, { b } ⊆ A,temos:

( { a } ⊄ { b } ) ∧ ( { b } ⊄ { a } ) ⇔

⇔ ¬( { a } R { b } ) ∧ ¬( { b } R { a } ) ⇔



⇔ ( { a }, { b } ) ∉ R ∧ ( { b }, { a } ) ∉ R.

Logo, R é de ordem parcial.

55..44 DDiiaaggrraammaa ddee HHaassssee:: RReepprreesseennttaaççããoo GGrrááffiiccaa ddee RReellaaççõõeess ddeeOOrrddeemm eemm CCoonnjjuunnttooss DDiissccrreettooss

Seja A um conjunto discreto, não necessariamente finito. Se A for ordenado por uma relação (deordem) R, então pode-se construir um diagrama que representará a relação R, facilitando, porexemplo, a identificação de propriedades e características importantes, tais como se a ordem éparcial ou total.

Então, o relacionamento

x R y é representado por

Um diagrama deste tipo é denominado Diagrama de Hasse.

Observações

1. Uma convenção fundamental é a de que os relacionamentos são sempre representados de baixopara cima ( ⇑ )

2. Observe-se que não se usam setas para a representação da relação no diagrama de Hasse.


Sejam A = { 1, 2, 3, 4 }

R ⊆ A x A, x R y ⇔ x ≤ y

R é relação de ordem total, pois:

R é relação de ordem, conforme já provado neste material.

Pelo diagrama de Hasse ao lado, vemos que

( ∀ x, y ∈ A )( x ≤ y ∨ y ≤ x ).

Logo R é relação de ordem total.


Sejam A = { 1, 2, 3, 6, 8, 9 }

S ⊆ A x A, x S y ⇔ x | y

S é relação de ordem parcial, pois:

S é relação de ordem, conforme já provado neste material.

Pelo diagrama de Hasse ao lado, vemos que

( ∃ x, y ∈ A )( ¬ ( x S y ) ∨ ¬( y S x ) ).

Logo S é relação de ordem parcial.

y

x

4

2

3

1

8 96

2 31




Sejam A = P( { a, b } ) = { ∅, { a }, { b }, { a, b } }

T ⊆ A x A, x T y ⇔ x ⊆ y

T é relação de ordem parcial, conforme já visto em um exemplo anteriore comprovado pelo diagrama de Hasse ao lado.

Logo T é relação de ordem parcial.


Sejam A = { 2, 3, 6, 18 }

W ⊆ A x A, x W y ⇔ x | y

W é relação de ordem parcial, pois:

W é relação de ordem, conforme já visto anteriormente

W é relação de ordem parcial pois os elementos 2 e 3 não se relacionammutuamente.

Logo W é relação de ordem parcial.


Sejam A = { 2, 3, 6, 18 }

V ⊆ A x A, x V y ⇔ x é múltiplo de y

V é relação de ordem parcial, pois:

V é relação de ordem, conforme já visto anteriormente

V é relação de ordem parcial pois os elementos 2 e 3 não se relacionammutuamente.

Logo V é relação de ordem parcial.

Observação:

W e V são denominadas relações inversas. Isto é, W = V-1, ou seja, W • V resulta em umaidentidade.


Sejam A = { 1, 2, 3, 6, 8, 9 }

R ⊆ A x A, x R y ⇔ y | x

Pelo diagrama ao lado, R é relação de ordem parcial.

{ a, b }

{ b }{ a }

∅

18

32

6

2 3

6

18

8 6 9

32

1




Sejam A = P({ a, b, c })

W ⊆ A x A, x W y ⇔ x ⊆ y

W é relação de ordem parcial, conforme o diagrama aolado.

55..44..88 OObbsseerrvvaaççããoo:: TTaabbeellaa BBoooolleeaannaa

Uma relação pode ser implementada computacionalmente através de uma matriz (ou tabela),denominada Tabela Booleana, convencionada da seguinte forma:

§ A representação do relacionamento x R y ( x relaciona-se com y, ou ( x, y ) ∈ R ) é sempre feitopor um par ( linha, coluna );

§ Para representar o relacionamento, ( x, y ) ∈ R, a posição da tabela referenciada pela linha “x” ecoluna “y” é assinalada com o valor “1”;

§ Para representar o não relacionamento, ( x, y ) ∉ R, a posição da tabela referenciada pela linha“x” e coluna “y” é assinalada com o valor “0”;

Exemplo:

Sejam A = { 2, 3, 6, 18 }

V ⊆ A x A, x V y ⇔ x é múltiplo de y

A Tabela Booleana que representa V é

Diagrama de Hasse

2 3 6 18

2 1 0 0 0

3 0 1 0 0

6 1 1 1 0

18 1 1 1 1

2 3

6

18

∅

{ a } { c }

{ b, c }{ a, b }

{ a, b, c }

{ a, c }

{ b }



66 EElleemmeennttooss NNoottáávveeiiss eemm CCoonnjjuunnttooss OOrrddeennaaddooss

66..11 OObbsseerrvvaaççããoo BBáássiiccaa

A expressão conjunto ordenado traz, implicitamente, a idéia de que se está trabalhando com umconjunto no qual foi definida uma relação de ORDEM. Muitos dos resultados aqui apresentadossomente têm significado nestas condições.

66..22 EElleemmeennttooss NNoottáávveeiiss

Para facilitar o entendimento, durante toda esta seção utilizaremos a seguinte notação:

A um conjunto

R ⊆ A x A uma relação de ordem definida em A

M ⊆ A um subconjunto qualquer de A sobre o qual se deseja informações

66..22..11 CCoottaass IInnffeerriioorreess ee CCoottaass SSuuppeerriioorreess ddee MM

Na notação acima, diz-se que:

a ∈ A é Cota Inferior de M ⇔ ( a ∈ A ) ∧ ( ∀ x ∈ M )( a R x )

a ∈ A é Cota Superior de M ⇔ ( a ∈ A ) ∧ ( ∀ x ∈ M )( x R a )

66..22..11..11 CCoonnjjuunnttoo ddaass CCoottaass IInnffeerriioorreess ee CCoonnjjuunnttoo ddaass CCoottaass SSuuppeerriioorreess ddee MM

As cotas inferiores e as cotas superiores de um conjunto são, normalmente, reunidas em conjuntos.Assim:

Conjunto das Cotas Inferiores de M: IA(M) = { a ∈ A / ( ∀ x ∈ M )( a R x ) }

Conjunto das Cotas Superiores de M: SA(M) = { a ∈ A / ( ∀ x ∈ M )( x R a ) }


1. As cotas inferiores e as cotas superiores do conjunto M são limitantes para este conjunto,segundo o critério de ordenação imposto pela relação R. Isto pode ser melhor entendido daseguinte forma:

§ As cotas inferiores são os “pontos de partida comuns” que nos permitem chegar a qualquerelemento de M.

§ As cotas superiores são os “pontos de entroncamento comuns”, aos quais podemos chegarindependentemente de qual elemento de M partamos.

2. Os nomes “minorante” e “majorante” também podem ser usados como sinônimos de “cotainferior” e de “cota superior”, respectivamente.

3. Deve-se observar ainda que nem sempre existirão cotas inferiores e cotas superiores para umconjunto ordenado.


Seja A = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 } ordenado pela relação | ( isto é, x R y ⇔ x | y ).



Encontre os conjuntos de cotas inferiores e de cotas superiores para

(a). M = { 1, 3 } IA(M) = { 1 } Diagrama de Hasse

SA(M) = { 3, 6, 15 }

(b). N = { 6, 10 } IA(N) = { 1, 2 }

SA(N) = ∅

(c). T = { 1 } IA(T) = { 1 }

SA(T) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 }

(d). A IA(A) = { 1 }

SA(A) = ∅

66..22..22 MMíínniimmoo ee MMááxxiimmoo ddee MM

a ∈ A é Mínimo de M ⇔ ( a ∈ M ) ∧ ( ∀ x ∈ M )( a R x ) Notação: minA(M)

a ∈ A é Máximo de M ⇔ ( a ∈ M ) ∧ ( ∀ x ∈ M )( x R a ) Notação: maxA(M)


Os conceitos de mínimo e máximo de um conjunto M são muito semelhantes aos conceitos de cotainferior e de cota superior de M. A sutil, mas importante diferença é que o mínimo e o máximo,quando existirem, devem pertencer ao próprio conjunto M. Podemos dizer que:

§ O mínimo de um conjunto M é uma cota inferior que pertence a M

§ O máximo de um conjunto M é uma cota superior que pertence a M

Devemos ainda observar que máximo e mínimo podem não existir.


Seja A um conjunto ordenado por uma relação R. Seja M ⊆ A. Então:

§ O mínimo de M, se existir, é único.

§ O máximo de M, se existir, é único.

Demonstração7:

Por absurdo, suponhamos que existam elementos m1 ∈ A e m2 ∈ A, ambos mínimos de M e m1 ≠ m2.Então:

m1 mínimo de M ⇔ ( m1 ∈ M ) ∧ ( ∀ x ∈ M )( m1 R x )

m2 mínimo de M ⇔ ( m2 ∈ M ) ∧ ( ∀ x ∈ M )( m2 R x )

Então m1 R m2 e m2 R m1. Como R é relação de ordem, então

( m1 R m2 ) ∧ ( m2 R m1 ) ⇒ m1 = m2.

Mas isto é um absurdo, pois supusemos m1 ≠ m2.

Logo, a contradição está em supor m1 ≠ m2. Logo, o mínimo de um conjunto, se existir, é único.


Encontre o mínimo e o máximo dos conjuntos M, N, T e A do exercício anterior.

7 Provaremos o caso do mínimo. O caso do máximo é semelhante e pode ser facilmente demonstrado com pequenasalterações no raciocínio aqui apresentado.

1

2 53

156 10



(a). Para M: minA(M) = 1

maxA(M) = 3

(b). Para N: ∃/ minA(N)

∃/ maxA(N)

(c). Para T: minA(T) = 1

maxA(T) = 1

(d). Para A: minA(A) = 1

∃/ maxA(A)

66..22..33 ÍÍnnffiimmoo ee SSuupprreemmoo ddee MM

a ∈ A é Ínfimo de M ⇔ a é a maior das cotas inferiores de M Notação: infA(M)

a ∈ A é Supremo de M ⇔ a é a menor das cotas superiores de M Notação: supA(M)

Em notação compacta:

infA(M) = maxA( IA(M) )

supA(M) = minA( SA(M) )


O ínfimo e o supremo de um conjunto M são, respectivamente, uma cota inferior e uma cota superiorde M. No entanto, não possuem a restrição de pertencerem ao conjunto M (como possuem o máximoe o mínimo).

É importante observar que o ínfimo de M é o máximo de um outro conjunto ( o das cotas inferiores deM). da mesma forma, o supremo de M é o mínimo de um outro conjunto (o das cotas superiores deM). Assim, se existirem, ínfimo e supremo serão únicos!

Da mesma forma que os demais, ínfimo e supremo podem não existir. Quando existirem, uma dasduas situações pode ocorrer:

§ O ínfimo (ou o supremo) não pertence ao conjunto M; ou

§ O ínfimo (ou o supremo) pertence ao conjunto M. Neste caso ele é igual ao mínimo (ou aomáximo) de M.


Encontre o ínfimo e o supremo dos conjuntos M, N, T e A do exercício anterior.

(a). Para M: infA(M) = 1

supA(M) =3

(b). Para N: infA(N) = 2

∃/ supA(N)

(c). Para T: infA(T) = 1

supA(T) = 1

(d). Para A: infA(A) = 1

∃/ supA(A)




66..33..11 EExxeemmpplloo:: VViissuuaalliizzaaççããoo ddooss CCoonncceeiittooss ddee EElleemmeennttooss NNoottáávveeiiss AAttrraavvééss ddooDDiiaaggrraammaa ddee HHaassssee eemm CCoonnjjuunnttooss DDiissccrreettooss


Seja A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } ordenado pela relação do diagrama de Hasse ao lado.Encontre os elementos notáveis para F = { 3, 4 }.

IA(F) = { 0, 1, 2 } ∃/ minA(F) ∃/ infA(F)

SA(F) = { 5 } ∃/ maxA(F) supA(F) = 5


Seja A = { a, b, c, d, e, f, g } ordenado pela relação do diagrama de Hasse aolado. Encontre os elementos notáveis para T = { c, d, e }.

IA(T) = { f } ∃/ minA(T) infA(T) = f

SA(T) = { a, b, c } maxA(T) = c supA(T) = c


Seja A = { x / x ∈ N ∧ 1 ≤ x ≤ 8 } ordenado pela relação do diagrama de Hasseao lado. Encontre os elementos notáveis para T = { 4, 5, 6 }.

IA(T) = { 6, 8 } minA(T) = 6 infA(T) = 6

SA(T) = { 1, 2, 3 } ∃/ maxA(T) supA(T) = 3


Seja A = P( { 0, 1, 2 } ) ordenado pela relação ⊆. Encontre os elementos notáveis para

(a). M = { { 0 }, { 1 }, { 1, 2 } }.

IA(M) = { ∅ } SA(M) = { { 0, 1, 2 } }

∃/ minA(M) ∃/ maxA(M)

infA(M) = ∅ supA(M) = { 0, 1, 2 }

(b). N = { { 0 }, { 1 }, { 0, 1 } }.

IA(M) = { ∅ } SA(M) = { { 0, 1 }, { 0, 1, 2 } }

∃/ minA(M) maxA(M) = { 0, 1 }

infA(M) = ∅ supA(M) = { 0, 1 }

5

3 4

21

0

c

a b

ed

fg

3

1 2

54

68

7

∅

{ 0 } { 2 }

{ 1, 2 }{ 0, 1 }

{ 0, 1, 2 }

{ 0, 2 }

{ 1 }



66..33..22 EExxeemmpplloo:: OOrrddeemm NNaattuurraall


Seja R ⊆ R x R, x R y ⇔ x ≤ y.

Encontre o conjunto das cotas inferiores, o conjunto das cotassuperiores, o máximo, o mínimo, o supremo e o ínfimo dosseguintes conjuntos:

(a). M = [ 1; 2 ]

IA(M) = (-∞; 1 ] SA(M) = [ 2; +∞ )

minA(M) = 1 maxA(M) = 2

infA(M) = 1 supA(M) = 2

(b). M = [ 1; 2 )

IA(M) = (-∞; 1 ] SA(M) = [ 2; +∞ )

minA(M) = 1 ∃/ maxA(M)


(c). M = ( 1; 2 ]

IA(M) = (-∞; 1 ] SA(M) = [ 2; +∞ )

∃/ minA(M) maxA(M) = 2


(d). M = ( 1; 2 )

IA(M) = (-∞; 1 ] SA(M) = [ 2; +∞ )



66..33..33 EExxeemmpplloo:: OOrrddeemm OOppoossttaa

Seja S ⊆ R x R,x S y ⇔ x ≥ y.

Encontre o conjunto das cotas inferiores, o conjunto das cotas superiores, o máximo, o mínimo, osupremo e o ínfimo dos seguintes conjuntos:

(a). M = [ 1; 2 ]

IA(M) = [ 2; +∞ ) SA(M) = (-∞; 1 ]

minA(M) = 2 maxA(M) = 1


(b). M = [ 1; 2 )

IA(M) = [ 2; +∞ ) SA(M) = (-∞; 1 ]

∃/ minA(M) maxA(M) = 1




(c). M = ( 1; 2 ]

IA(M) = [ 2; +∞ ) SA(M) = (-∞; 1 ]

minA(M) = 2 ∃/ maxA(M)


(d). M = ( 1; 2 )

IA(M) = [ 2; +∞ ) SA(M) = (-∞; 1 ]



66..33..44 EExxeerrccíícciioo

Mostre que o conjunto N, ordenado por ≤ tem elemento mínimo, mas não tem elemento máximo.

Dica: Use o fato de que ( ∀ x ∈ R ) ( x ≤ x + 1 ).



1

2 3

6

77 RReettiiccuullaaddooss ((LLaattiirreess))

Reticulados são estruturas ordenadas muito importantes sob o ponto de vista teórico, principalmentena fundamentação teórica da Informática. Isto porque reticulados definem estruturas ordenadas quegarantem a consistência da execução de certas operações, fundamentais para a conexão efetivaentre princípios lógicos e sua implementação física em máquinas e computadores.


Seja R ⊆ A x A uma relação de ordem. Então diz-se que:

R forma reticulado em A ⇔ ( ∀ x, y ∈ A )( ∃ infA { x, y } ∧ ∃ supA { x, y } )


§ Note que um reticulado é formado por uma relação de ordem, R, definida em um conjunto, A, detal forma que todos os subconjuntos de dois elementos de A tenham supremo e ínfimo em A.

§ Também pode-se dizer que, nesta situação, o par ordenado ( A, R ) é um reticulado.

Observe a forma do par ordenado: ( conjunto, relação de ordem )

§ Nem todas as relações de ordem formam reticulados em um dado conjunto.

77..11..22 EExxeemmpplloo IInniicciiaall

Seja A = { 1, 2, 3, 6 } ordenado pela relação “|” . Então teremos:

Conjuntos { x, y } InfA { x, y } SupA { x, y }

{ 1, 1 } 1 1

{ 1, 2 } = { 2, 1 } 1 2

{ 1, 3 } = { 3, 1 } 1 3

{ 1, 6 } = { 6, 1 } 1 6

{ 2, 2 } 2 2

{ 2, 3 } = { 3, 2 } 1 6

{ 2, 6 } = { 6, 2 } 2 6

{ 3, 3 } 3 3

{ 3, 6 } = { 6, 3 } 3 6

{ 6, 6 } 6 6

Logo, ( A, R ) é um reticulado.



∅

{ n } { u }

{ u, n }

77..11..33 TTaabbeellaa ddee ÍÍnnffiimmooss ee TTaabbeellaa ddee SSuupprreemmooss

Uma forma mais adequada de representar a tabela acima para implementação é:

Inf 1 2 3 6 Sup 1 2 3 6

1 1 1 1 1 1 1 2 3 6

2 1 2 1 2 2 2 2 6 6

3 1 1 3 3 3 3 6 3 6

6 1 2 3 6 6 6 6 6 6

Esta forma é mais natural, principalmente sob o ponto de vista de sua implementação computacional,pois já propõe uma certa organização no acesso aos resultados das operações de supremo e deínfimo. Por este motivo esta será a forma adotada para a representação dos supremos e ínfimos apartir de agora, neste material.

Observação:

Dois cuidados devem ser tomados:

§ As tabelas de ínfimo e de supremo são sempre SIMÉTRICAS.

§ As matrizes acima devem ser completamente preenchidas.



Seja A = P( { u, n } ) = { ∅, { n }, { u }, { u, n } }, ordenado pela relação “⊇”. Verifique se ( A, ⊇ ) éreticulado.

Inf ∅ { n } { u } { u, n } Sup ∅ { n } { u } { u, n }

∅ ∅ { n } { u } { u, n } ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

{ n } { n } { n } { u, n } { u, n } { n } ∅ { n } ∅ { n }

{ u } { u } { u, n } { u } { u, n } { u } ∅ ∅ { u } { u }

{ u, n } { u, n } { u, n } { u, n } { u, n } { u, n } ∅ { n } { u } { u, n }

Logo ( A, ⊇ ) é reticulado.

Questões importantes:

Você consegue identificar alguma operação conhecida que represente a obtenção do ínfimo nestecaso? Qual?

Você consegue identificar alguma operação conhecida que represente a obtenção do supremo nestecaso? Qual?




Seja o conjunto ordenado conforme o diagrama. Verifique se é reticulado.

Sendo A = { 1, 2, 3, 4 }, então:

Não, pois, por exemplo, ∃/ infA( { 1, 2 } ).

Observe que também poderíamos dizer que não, pois ∃/ supA( { 3, 4 } ).

Logo, ( ∃ x, y ∈ A )( ∃/ infA( { x, y } ) ∨ ∃/ supA( { x, y } ) ).

Logo, ( A, R ) não é reticulado.


Verifique se ( { 1, 2, 3, 6, 12 } , | ) é reticulado, construindo as tabelas de supremo e de ínfimo.

Inf 1 2 3 6 12 Sup 1 2 3 6 12

1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 6 12

2 1 2 1 2 2 2 2 2 6 6 12

3 1 1 3 3 3 3 3 6 3 6 12

6 1 2 3 6 6 6 6 6 6 6 12

12 1 2 3 6 12 12 12 12 12 12 12

Logo, como todos os subconjuntos de dois elementos de { 1, 2, 3, 6, 12 } têm supremo e ínfimosegundo a ordem “|”, então esta estrutura é um reticulado.

Logo ( { 1, 2, 3, 6, 12 }, | ) é um reticulado.


Seja o conjunto ordenado conforme o diagrama ao lado. Verifique se é reticulado.

Sendo A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, vemos que a estrutura ao lado não é um reticulado,pois,

∃/ infA( { 3, 4 } ).

∃/ supA( { 1, 2 } ).

Logo, esta estrutura não é um reticulado.

77..11..55 OObbsseerrvvaaççããoo IImmppoorrttaannttee

Note, no entanto, que a estrutura acima tem máximo e mínimo para o conjunto A. Isto significa que:

“a existência de máximo e de mínimo para todo o conjunto A

NÃO GARANTE

a existência de supremo e de ínfimo para os subconjuntos de A”

3 4

21

5

3 4

21

0

12

3

6

1

2





Seja o conjunto ordenado conforme o diagrama ao lado. Verifique se é reticulado.

Construindo as tabelas de ínfimos e de supremos temos:

Inf 0 1 2 3 Sup 0 1 2 3

0 0 0 0 0 0 0 1 2 3

1 0 1 1 1 1 1 1 2 3

2 0 1 2 2 2 2 2 2 3

3 0 1 2 3 3 3 3 3 3

Logo, a estrutura algébrica representada acima é um reticulado.


Seja A = P( { 0, 1, 2 } ) = { ∅, { 0 }, { 1 }, { 2 }, { 0, 1 }, { 0, 2 },{ 1, 2 }, { 0, 1, 2 } }, ordenado pela relação “⊆”. Verifique se( A, ⊆ ) é reticulado.

Esta estrutura é um reticulado.

Com efeito, se construirmos as tabelas de supremos e deínfimos, teremos:

Inf ∅ { 0 } { 1 } { 2 } { 0, 1 } { 0, 2 } { 1, 2 } { 0, 1, 2 }

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

{ 0 } ∅ { 0 } ∅ ∅ { 0 } { 0 } ∅ { 0 }

{ 1 } ∅ ∅ { 1 } ∅ { 1 } ∅ { 1 } { 1 }

{ 2 } ∅ ∅ ∅ { 2 } ∅ { 2 } { 2 } { 2 }

{ 0, 1 } ∅ { 0 } { 1 } ∅ { 0, 1 } { 0 } { 1 } { 0, 1 }

{ 0, 2 } ∅ { 0 } ∅ { 2 } { 0 } { 0, 2 } { 2 } { 0, 2 }

{ 1, 2 } ∅ ∅ { 1 } { 2 } { 1 } { 2 } { 1, 2 } { 1, 2 }

{ 0, 1, 2 } ∅ { 0 } { 1 } { 2 } { 0, 1 } { 0, 2 } { 1, 2 } { 0, 1, 2 }

Sup ∅ { 0 } { 1 } { 2 } { 0, 1 } { 0, 2 } { 1, 2 } { 0, 1, 2 }

∅ ∅ { 0 } { 1 } { 2 } { 0, 1 } { 0, 2 } { 1, 2 } { 0, 1, 2 }

{ 0 } { 0 } { 0 } { 0, 1 } { 0, 2 } { 0, 1 } { 0, 2 } { 0, 1, 2 } { 0, 1, 2 }

{ 1 } { 1 } { 0, 1 } { 1 } { 1, 2 } { 0, 1 } { 0, 1, 2 } { 1, 2 } { 0, 1, 2 }

{ 2 } { 2 } { 0, 2 } { 1, 2 } { 2 } { 0, 1, 2 } { 0, 2 } { 1, 2 } { 0, 1, 2 }

{ 0, 1 } { 0, 1 } { 0, 1 } { 0, 1 } { 0, 1, 2 } { 0, 1 } { 0, 1, 2 } { 0, 1, 2 } { 0, 1, 2 }

{ 0, 2 } { 0, 2 } { 0, 2 } { 0, 1, 2 } { 0, 2 } { 0, 1, 2 } { 0, 2 } { 0, 1, 2 } { 0, 1, 2 }

{ 1, 2 } { 1, 2 } { 0, 1, 2 } { 1, 2 } { 1, 2 } { 0, 1, 2 } { 0, 1, 2 } { 1, 2 } { 0, 1, 2 }

{ 0, 1, 2 } { 0, 1, 2 } { 0, 1, 2 } { 0, 1, 2 } { 0, 1, 2 } { 0, 1, 2 } { 0, 1, 2 } { 0, 1, 2 } { 0, 1, 2 }

3

2

1

0

∅

{0,1,2}

{1,2}{0,1}{0,2}

{0} {2}{1}



1

6

5

15

900

23

10

Como existem ínfimo e supremo para todos os subconjuntos de dois elementos de P( { 0, 1, 2 } ),então esta estrutura é um reticulado.

Observação:

Qual a operação que representa a obtenção do ínfimo neste caso?

Qual a operação que representa a obtenção do supremo neste caso?


Seja A = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 900 }, ordenado pela relação “|”. Verifique se ( A, | ) é reticulado.

Observe que a forma do diagrama de Hasse é semelhante a doexemplo anterior. Portanto, esta estrutura também será umreticulado.

Mesmo assim, é importante a determinação das tabelas desupremo e de ínfimo:

Inf 1 2 3 5 6 10 15 900 Sup 1 2 3 5 6 10 15 900

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 6 10 15 900

2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 6 10 6 10 900 900

3 1 1 3 1 3 1 3 3 3 3 6 3 15 6 900 15 900

5 1 1 1 5 1 5 5 5 5 5 10 15 5 900 10 15 900

6 1 2 3 1 6 2 3 6 6 6 6 6 900 6 900 900 900

10 1 2 1 5 2 10 5 10 10 10 10 900 10 900 10 900 900

15 1 1 3 5 3 5 15 15 15 15 900 15 15 900 900 15 900

900 1 2 3 5 6 10 15 900 900 900 900 900 900 900 900 900 900

Logo ( A, | ) é reticulado.

Observação:

Qual a operação que representa a obtenção do ínfimo neste caso?

Qual a operação que representa a obtenção do supremo neste caso?


Seja A = { 2, 5, 6, 7, 8 }, ordenado conforme o diagrama ao lado.

Esta estrutura não é um reticulado, pois

∃/ infA( { 2, 5 } ).

77..11..77 EExxeerrccíícciiooss IImmppoorrttaanntteess


Seja A um conjunto qualquer, não vazio. Prove que ( A, ⊆ ) é reticulado.

7

6 8

52




Seja N o conjunto dos números naturais e | a relação “x divide y”, ou seja, “y é múltiplo de x”, ouainda, x | y ⇔ ( ∃ k ∈ Z )( y = k.x ). Prove que ( N, | ) é reticulado.


Seja Z o conjunto dos números inteiros e ordenados por “≤”. Prove que ( Z, ≤ ) é reticulado.

77..22 NNoottaaççããoo ddee SSuupprreemmoo ee ddee ÍÍnnffiimmoo eemm RReettiiccuullaaddooss

Através dos exemplos acima, pode-se verificar que a obtenção do ínfimo e a obtenção do supremossão sempre associadas a operações. Na verdade, o cálculo do ínfimo e o cálculo do supremo sãooperações definidas dentro de um reticulado. Assim:

Seja ( L, R ) um reticulado. Pode-se definir as seguintes operações:

Observações:

1. Estas operações estão “bem definidas” em L, pois a cada combinação de valores ( x, y ) somenteestá associado um valor de supremo e um valor de ínfimo. Isto porque, num reticulado, supremoe ínfimo de conjuntos de dois elementos sempre existem e, como já sabíamos, supremo e ínfimo,quando existem, são únicos.

2. Cuidado! Não confunda a notação destas operações com a notação usual.

M . não representa o produto ü . representa a operação de ínfimo

M + não representa a soma ü + representa a operação de supremo

Alguns autores chamam estas operações de “soma” e “produto”, apenas devido à notaçãoutilizada. O significado das operações é diferente e deve-se atentar para este fato de modo a nãose criar confusão!

3. Esta notação é a usual em Ciência da Computação e Informática.

77..33 PPrroopprriieeddaaddeess FFuunnddaammeennttaaiiss ddooss RReettiiccuullaaddooss

O estudo de reticulados é fundamental para a Informática. Isto porque, o embasamento teórico dosprocessos lógicos que ocorrem dentro de um computador estão fundamentados em estruturas que seoriginam dos reticulados. Reticulados são importantes por possuírem diversas propriedades, as quaisveremos a seguir.

77..33..11 LLeemmaa ((PPrroopprriieeddaaddeess BBáássiiccaass,, vveerrssããoo nnoottaaççããoo iinnttuuiittiivvaa))

Seja ( L, R ) um reticulado. Então valem as seguintes propriedades:

(i). ( ∀ x, y ∈ L )( x R supL{ x, y } ∧ y R supL{ x, y } )

(ii). ( ∀ x, y ∈ L )( infL{ x, y } R x ∧ infL{ x, y } R y )

(iii). ( ∀ x, y, z ∈ L )( x R z ∧ y R z ⇒ supL{ x, y } R z )

(iv). ( ∀ x, y, z ∈ L )( z R x ∧ z R y ⇒ z R infL{ x, y } )

. : L x L → L

( x, y ) a x . y = infL{ x, y }

+ : L x L → L

( x, y ) a x + y = supL{ x, y }



(v). ( ∀ x, y ∈ L )( x R y ⇔ supL{ x, y } = y )

(vi). ( ∀ x, y ∈ L )( x R y ⇔ infL{ x, y } = x )

Demonstrações:

Como ( L, R ) é reticulado, então ( ∀ x, y ∈ L )( ∃ infL { x, y } ∧ ∃ supL { x, y } ). Então:

(i). Sejam x, y ∈ L.

Como supL{ x, y } é cota superior de { x, y }, então x R supL{ x, y } ∧ y R supL{ x, y }.

Logo, vale a propriedade.

(ii). Sejam x, y ∈ L.

Como infL{ x, y } é cota inferior de { x, y }, então infL{ x, y } R x ∧ infL{ x, y } R y.


(iii). Sejam x, y, z ∈ L tais que x R z ∧ y R z.

Então z ∈ SL( { x, y } ). Como supL{ x, y } = minL( SL( { x, y } ) ) , então supL{ x, y } R z.


(iv). Sejam x, y, z ∈ L tais que z R x ∧ z R y.

Então z ∈ IL( { x, y } ). Como infL{ x, y } = maxL( IL( { x, y } ) ) , então z R infL{ x, y }.


(v). Sejam x, y ∈ L tais que x R y. Então, pela definição de supremo, supL{ x, y } = y.

(vi). Sejam x, y ∈ L tais que x R y. Então, pela definição de ínfimo, infL{ x, y } = x.

77..33..22 TTeeoorreemmaa ((PPrroopprriieeddaaddeess FFuunnddaammeennttaaiiss,, vveerrssããoo nnoottaaççããoo iinnttuuiittiivvaa))

Seja ( L, R ) um reticulado. Sejam x, y, z ∈ L. Então:

(1). supL{ x, x } = x (idempotência)

(2). infL{ x, x } = x (idempotência)

(3). supL{ x, y } = supL{ y, x } (comutatividade)

(4). infL{ x, y } = infL{ y, x } (comutatividade)

(5). supL{ x, supL{ y, z } } = supL{ supL{ x, y }, z } (associatividade)

(6). infL{ x, infL{ y, z } } = infL{ infL{ x, y }, z } (associatividade)

(7). supL{ x, infL{ x, y } } = x (absorção)

(8). infL{ x, supL{ x, y } } = x (absorção)

Demonstrações:

Para as demonstrações a seguir usaremos sempre que

§ ( L, R ) é reticulado, e, portanto, R é relação de Ordem

§ x, y, z ∈ L são elementos quaisquer

Então:

(1). Das propriedades (v) e (vi) vistas anteriormente, temos que:

x R y ⇔ supL{ x, y } = y

Então, fazendo y = x teremos:

x R x ⇔ supL{ x, x } = x




(2). Das propriedades (v) e (vi) vistas anteriormente, temos que:

x R y ⇔ infL{ x, y } = y

Então, fazendo y = x teremos:

x R x ⇔ infL{ x, x } = x


(3). Pelas propriedades (i) e (iii) vistas anteriormente, temos que:

x R supL{ x, y } ∧ y R supL{ x, y }

y R supL{ y, x } ∧ x R supL{ y, x }

Mas então:

y R supL{ x, y } ∧ x R supL{ x, y } ⇒ supL{ y, x } R supL{ x, y }

x R supL{ x, y } ∧ y R supL{ x, y } ⇒ supL{ x, y } R supL{ y, x }

Como R é anti-simétrica, então

supL{ y, x } R supL{ x, y } ∧ supL{ x, y } R supL{ y, x } ⇒ supL{ x, y } = supL{ y, x }


(4). Pelas propriedades (ii) e (iv) vistas anteriormente, temos que:

infL{ x, y } R x ∧ infL{ x, y } R y

infL{ y, x } R y ∧ infL{ y, x } R x

Mas então:

infL{ x, y } R y ∧ infL{ x, y } R x ⇒ infL{ x, y } R infL{ y, x }

infL{ y, x } R x ∧ infL{ y, x } R y ⇒ infL{ y, x } R infL{ x, y }

Como R é anti-simétrica, então

infL{ y, x } R infL{ x, y } ∧ infL{ x, y } R infL{ y, x } ⇒ infL{ x, y } = infL{ y, x }


(5). Uma forma de mostrarmos a igualdade apresentada é utilizarmos a anti-simetria de R. Assim, semostrarmos que

supL{ x, supL{ y, z } } R supL{ supL{ x, y }, z } ∧ supL{ supL{ x, y }, z } R supL{ x, supL{ y, z } }

teremos que

supL{ x, supL{ y, z } } = supL{ supL{ x, y }, z }

Para mostrarmos que supL{ supL{ x, y }, z } R supL{ x, supL{ y, z } } basta observarmos que

y R supL{ y, z } ∧ z R supL{ y, z }

Pela mesma propriedade temos que

x R supL{ x, supL{ y, z } } ∧ supL{ y, z } R supL{ x, supL{ y, z } }

Então, pela transitividade de R, teremos que

y R supL{ x, supL{ y, z } }

z R supL{ x, supL{ y, z } }

Assim,

x R supL{ x, supL{ y, z } }

y R supL{ x, supL{ y, z } }



z R supL{ x, supL{ y, z } }

Pela propriedade (iii), poderemos dizer que

x R supL{ x, supL{ y, z } } ∧ y R supL{ x, supL{ y, z } } ⇒ supL{ x, y } R supL{ x, supL{ y, z } }

Então:

supL{ x, y } R supL{ x, supL{ y, z } } ∧ z R supL{ x, supL{ y, z } } ⇒

⇒ supL{ supL{ x, y }, z } R supL{ x, supL{ y, z } }

Da mesma forma podemos mostrar que supL{ x, supL{ y, z } } R supL{ supL{ x, y }, z }.


(6). Esta propriedade pode ser demonstrada de forma semelhante à anterior e então sua prova seráomitida.

(7). Para mostrarmos esta propriedade, basta usarmos a propriedade (ii) e observarmos que

infL{ x, y } R x

Então supL{ x, infL{ x, y } } = supL{ x, x } = x


(8). Para mostrarmos esta propriedade, basta usarmos a propriedade (i) e observarmos que

x R supL{ x, y }

Então infL{ x, supL{ x, y } } = infL{ x, x } = x


Observação:

Note que esta notação, apesar de intuitiva, é muito pesada e de difícil operacionalização. Por estemotivo, optou-se por uma notação diferenciada, a vista no item anterior. A seguir, reescreveremosestes mesmos resultados na notação usual, para comparação

77..33..33 LLeemmaa ((PPrroopprriieeddaaddeess BBáássiiccaass,, vveerrssããoo nnoottaaççããoo uussuuaall))

Seja ( L, R ) um reticulado. Então valem as seguintes propriedades:

(i). ( ∀ x, y ∈ L )( x R x + y ∧ y R x + y )

(ii). ( ∀ x, y ∈ L )( x . y R x ∧ x . y R y )

(iii). ( ∀ x, y, z ∈ L )( x R z ∧ y R z ⇒ x + y R z )

(iv). ( ∀ x, y, z ∈ L )( z R x ∧ z R y ⇒ z R x . y )

(v). ( ∀ x, y ∈ L )( x R y ⇔ x + y = y )

(vi). ( ∀ x, y ∈ L )( x R y ⇔ x . y = x )

77..33..44 TTeeoorreemmaa ((PPrroopprriieeddaaddeess FFuunnddaammeennttaaiiss,, vveerrssããoo nnoottaaççããoo uussuuaall))

Seja ( L, R ) um reticulado. Sejam x, y, z ∈ L. Então valem:

(1). x + x = x (idempotência)

(2). x . x = x (idempotência)

(3). x + y = y + x (comutatividade)

(4). x . y = y . x (comutatividade)

(5). x + ( y + z ) = ( x + y ) + z (associatividade)

(6). x . ( y . z ) = ( x . y ) . z (associatividade)



(7). x + ( x . y ) = x (absorção)

(8). x . ( x + y ) = x (absorção)

Observação:

Note que a notação ficou mais leve e mais operacional!

77..44 DDeeffiinniiççããoo ddee RReettiiccuullaaddoo AAttrraavvééss ddee PPrroopprriieeddaaddeess

Seja L um conjunto e R ⊆ L x L uma relação. Então

( L, R ) um reticulado ⇔ ∀ x, y, z ∈ L valerem as seguintes propriedades:

(1). x + x = x (idempotência)

(2). x . x = x (idempotência)

(3). x + y = y + x (comutatividade)

(4). x . y = y . x (comutatividade)

(5). x + ( y + z ) = ( x + y ) + z (associatividade)

(6). x . ( y . z ) = ( x . y ) . z (associatividade)

(7). x + ( x . y ) = x (absorção)

(8). x . ( x + y ) = x (absorção)

Comentário:

Basicamente, há duas formas de se obter um reticulado:

§ começar com uma relação de ordem e verificar que, para quaisquer subconjuntos de doiselementos sempre há supremo e ínfimo; ou

§ a partir de uma relação, definir as operações de supremo e de ínfimo e verificar se as oitopropriedades acima são cumpridas.

77..55 OOuuttrraass CCllaassssiiffiiccaaççõõeess ppaarraa RReettiiccuullaaddooss

77..55..11 RReettiiccuullaaddooss LLiimmiittaaddooss

Um reticulado ( L, R ) é limitado se e somente se existir mínimo e máximo para L. Em notação lógica:

( L, R ) é reticulado limitado ⇔ ( ∃ minL(L) ) ∧ ( ∃ maxL(L) )


§ A notação utilizada na definição acima não é a usual em reticulados. Devido à influência históricada utilização de reticulados em Engenharia Elétrica e Informática, a notação mais comumenteaceita é:

0 ≡ minL(L)

1 ≡ maxL(L)

Assim, diz-se:

( L, R ) é reticulado limitado ⇔ ( ∃ 0, 1 ∈ L )(∀ x ∈ L )( ( 0 R x ) ∧ ( x R 1 ) )



§ A despeito da notação, novamente “complicada” e estranha, devemos entender o conceito aquienvolvido: Um reticulado é limitado se possuir mínimo e possuir máximo. Convém, no entanto,lembrar que, “0” e “1” são notações, e não os números reais zero e um.


O reticulado ( { 1, 2, 3, 6, 12 }, | ) é limitado, pois sendo

A = { 1, 2, 3, 6, 12 }, então

( ∃ 1 ∈ A )( ∀ y ∈ A )( 1 | y )

( ∃ 12 ∈ A )( ∀ x ∈ A )( x | 12 )

Então, neste caso,

“0” =1

“1” = 12

Logo, o reticulado ao lado é limitado.


O reticulado ( P( { a, b, c } ), ⊆ ) é limitado, pois, chamando

A = P( { a, b, c } ), temos

( ∃ ∅ ∈ A )( ∀ y ∈ A )( ∅ ⊆ y )

( ∃ { a, b, c } ∈ A )( ∀ x ∈ A )( x ⊆ { a, b, c } )

Então, neste caso,

“0” = ∅

“1” = { a, b, c }

Logo, o reticulado ao lado é limitado.


O reticulado ( N, ≤ ) não é limitado, pois

( ∃/ “1” ∈ N )( ∀ x ∈ N )( x ≤ “1” )

Uma das formas de demonstrar isto é usar um raciocínio por absurdo:

Suponhamos, por absurdo, que exista m ∈ N, tal que m seja máximo de ( N, ≤ ). Então,

maxN(N) = m ⇔ ( ∀ x ∈ N )( x ≤ m )

Mas: m ∈ N ⇒ m+1 ∈ N

E: m+1 > m.

Mas, então, m+1 ≤/ m ⇒ m ≠ maxN(N).

Então chegamos a um absurdo e a contradição está em supor que exista um elemento máximo em( N, ≤ ). Logo, não existe máximo para esta ordenação.

Note, no entanto, que a mesma ordenação possui mínimo:

( ∃ 0 ∈ N )( ∀ y ∈ N )( 0 ≤ y )

Neste caso,

“0” = 0

∃/ “1”

∅

{ a } { c }

{ b, c }{ a, b }

{ a, b, c }

{ a, c }

{ b }

6

32

1

12

6



77..55..22 RReettiiccuullaaddooss DDiissttrriibbuuttiivvooss

Um reticulado ( L, R ) é distributivo se e somente se, ∀ x, y, z ∈ L:

(1). x + ( y . z ) = ( x + y ) . ( x + z )

(2). x . ( y + z ) = ( x . y ) + ( x . z )

Observações:

§ Não confunda os operadores de + (supremo) e . (ínfimo) com soma e multiplicação!

§ Observe que os parênteses são FUNDAMENTAIS!!! Isto porque, por exemplo,

x . y + z, não tem sentido!!!


O reticulado ( P( { a, b } ), ⊆ ) é distributivo, pois, como já sabemos,podemos associar as operações de supremo e de ínfimo às operaçõesde união e interseção de conjuntos, para as quais são válidas aspropriedades :

( ∀ x, y, z )( x ∪ ( y ∩ z ) = ( x ∪ y ) ∩ ( x ∪ z ) )

( ∀ x, y, z )( x ∩ ( y ∪ z ) = ( x ∩ y ) ∪ ( x ∩ z ) )

Em particular, as propriedades acima são válidas para os conjuntos apresentados neste exemplo.

Logo, o reticulado acima é distributivo.

Observação:

Note que, se não formos capazes de identificar operações conhecidas verificar a distributividade,teremos de fazê-lo por inspeção, o que pode ser muito fácil, mas extremamente laborioso. Para oproblema acima, temos apenas 4 conjuntos, mas, o número de arranjos de 3 elementos que podemosfazer é de 43. Se multiplicarmos pelas duas propriedades que devem ser testadas para cada caso,chegaremos ao fantástico número de 128 casos!!! Tente imaginar quantos casos teriam de serresolvidos para um conjunto com 5 elementos...

Apenas para explicitar a discussão acima, vamos comprovar por inspeção a validade dadistributividade neste caso:

x y z x + ( y . z ) ( x + y ) . ( x + z ) = x . ( y + z ) ( x . y ) + ( x . z ) =

1 ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ü ∅ ∅ ü

2 ∅ ∅ { a } ∅ ∅ ü ∅ ∅ ü

3 ∅ ∅ { b } ∅ ∅ ü ∅ ∅ ü

4 ∅ ∅ { a, b } ∅ ∅ ü ∅ ∅ ü

5 ∅ { a } ∅ ∅ ∅ ü ∅ ∅ ü

6 ∅ { a } { a } { a } { a } ü ∅ ∅ ü

7 ∅ { a } { b } ∅ ∅ ü ∅ ∅ ü

8 ∅ { a } { a, b } { a } { a } ü ∅ ∅ ü

9 ∅ { b } ∅ ∅ ∅ ü ∅ ∅ ü

10 ∅ { b } { a } ∅ ∅ ü ∅ ∅ ü

11 ∅ { b } { b } { b } { b } ü ∅ ∅ ü

12 ∅ { b } { a, b } { b } { b } ü ∅ ∅ ü

13 ∅ { a, b } ∅ ∅ ∅ ü ∅ ∅ ü

14 ∅ { a, b } { a } { a } { a } ü ∅ ∅ ü

∅

{ a } { b }

{ a, b }




15 ∅ { a, b } { b } { b } { b } ü ∅ ∅ ü

16 ∅ { a, b } { a, b } { a, b } { a, b } ü ∅ ∅ ü

17 { a } ∅ ∅ { a } { a } ü ∅ ∅ ü

18 { a } ∅ { a } { a } { a } ü { a } { a } ü

19 { a } ∅ { b } { a } { a } ü ∅ ∅ ü

20 { a } ∅ { a, b } { a } { a } ü { a } { a } ü

21 { a } { a } ∅ { a } { a } ü { a } { a } ü

22 { a } { a } { a } { a } { a } ü { a } { a } ü

23 { a } { a } { b } { a } { a } ü { a } { a } ü

24 { a } { a } { a, b } { a } { a } ü { a } { a } ü

25 { a } { b } ∅ { a } { a } ü ∅ ∅ ü

26 { a } { b } { a } { a } { a } ü { a } { a } ü

27 { a } { b } { b } { a, b } { a, b } ü ∅ ∅ ü

28 { a } { b } { a, b } { a, b } { a, b } ü { a } { a } ü

29 { a } { a, b } ∅ { a } { a } ü { a } { a } ü

30 { a } { a, b } { a } { a } { a } ü { a } { a } ü

31 { a } { a, b } { b } { a, b } { a, b } ü { a } { a } ü

32 { a } { a, b } { a, b } { a, b } { a, b } ü { a } { a } ü

33 { b } ∅ ∅ { b } { b } ü ∅ ∅ ü

34 { b } ∅ { a } { b } { b } ü ∅ ∅ ü

35 { b } ∅ { b } { b } { b } ü { b } { b } ü

36 { b } ∅ { a, b } { b } { b } ü { b } { b } ü

37 { b } { a } ∅ { b } { b } ü ∅ ∅ ü

38 { b } { a } { a } { a, b } { a, b } ü ∅ ∅ ü

39 { b } { a } { b } { b } { b } ü { b } { b } ü

40 { b } { a } { a, b } { a, b } { a, b } ü { b } { b } ü

41 { b } { b } ∅ { b } { b } ü { b } { b } ü

42 { b } { b } { a } { b } { b } ü { b } { b } ü

43 { b } { b } { b } { b } { b } ü { b } { b } ü

44 { b } { b } { a, b } { b } { b } ü { b } { b } ü

45 { b } { a, b } ∅ { b } { b } ü { b } { b } ü

46 { b } { a, b } { a } { a, b } { a, b } ü { b } { b } ü

47 { b } { a, b } { b } { b } { b } ü { b } { b } ü

48 { b } { a, b } { a, b } { a, b } { a, b } ü { b } { b } ü

49 { a, b } ∅ ∅ { a, b } { a, b } ü ∅ ∅ ü

50 { a, b } ∅ { a } { a, b } { a, b } ü { a } { a } ü

51 { a, b } ∅ { b } { a, b } { a, b } ü { b } { b } ü

52 { a, b } ∅ { a, b } { a, b } { a, b } ü { a, b } { a, b } ü

53 { a, b } { a } ∅ { a, b } { a, b } ü { a } { a } ü

54 { a, b } { a } { a } { a, b } { a, b } ü { a } { a } ü

55 { a, b } { a } { b } { a, b } { a, b } ü { a, b } { a, b } ü




56 { a, b } { a } { a, b } { a, b } { a, b } ü { a, b } { a, b } ü

57 { a, b } { b } ∅ { a, b } { a, b } ü { b } { b } ü

58 { a, b } { b } { a } { a, b } { a, b } ü { a, b } { a, b } ü

59 { a, b } { b } { b } { a, b } { a, b } ü { b } { b } ü

60 { a, b } { b } { a, b } { a, b } { a, b } ü { a, b } { a, b } ü

61 { a, b } { a, b } ∅ { a, b } { a, b } ü { a, b } { a, b } ü

62 { a, b } { a, b } { a } { a, b } { a, b } ü { a, b } { a, b } ü

63 { a, b } { a, b } { b } { a, b } { a, b } ü { a, b } { a, b } ü

64 { a, b } { a, b } { a, b } { a, b } { a, b } ü { a, b } { a, b } ü

Logo, o reticulado acima é distributivo (ufa!!!...)


O reticulado ( P( { a, b, c } ), ⊆ ) é distributivo, pois, como no exercício anterior, sabemos que osupremo e o ínfimo desta relação são, respectivamente, a união e ainterseção dos conjuntos envolvidos. Assim, como sabemos que

( ∀ x, y, z )( x ∪ ( y ∩ z ) = ( x ∪ y ) ∩ ( x ∪ z ) )

( ∀ x, y, z )( x ∩ ( y ∪ z ) = ( x ∩ y ) ∪ ( x ∩ z ) )

Em particular, as propriedades acima são válidas para os conjuntosapresentados neste exemplo.

Logo, o reticulado acima é distributivo.


O reticulado representado pelo diagrama de Hasse ao lado não é distributivo, pois

n . ( p + r ) = n . m = n

( n . p ) + ( n . r ) = p + q = p

Então

n . ( p + r ) ≠ ( n . p ) + ( n . r )

Logo, ( ∃ x, y, z ∈ A )( x . ( y + z ) ≠ ( x . y ) + ( x . z ) )


O reticulado ( { 1, 2, 3, 6, 12 }, | ) é distributivo, pois as operações desupremo e de ínfimo podem ser associadas, neste caso, ao mínimomúltiplo comum (mmc) e ao máximo divisor comum (mdc). Da teoria dosnúmeros, da Matemática, sabe-se que:

mmc( x, mdc( y, z) ) = mdc( mmc( x, y ), mmc( x, z ) )

mdc( x, mmc( y, z) ) = mmc( mdc( x, y ), mdc( x, z ) )

que são as propriedades distributivas empregadas neste caso.

Logo, este reticulado é distributivo.

mn

r

pq

∅

{ a } { c }

{ b, c }{ a, b }

{ a, b, c }

{ a, c }

{ b }

6

32

1

12



77..55..33 RReettiiccuullaaddooss CCoommpplleemmeennttaaddooss

Seja ( L, R ) um reticulado limitado. Então:

( L, R ) é complementado ⇔ ( ∀ x ∈ L )( ∃ u ∈ L )( ( x . u = 0 ) ∧ ( x + u = 1 ) )

Neste caso u é chamado “complemento de x” e é denotado por x’.


Note que:

§ mesmo elemento x pode ter mais de um complemento.

§ cada elemento x ∈ L poderá ter um complemento diferente.


O reticulado representado pelo diagrama de Hasse ao lado é complementado, pois:

x x' x . x’ = 0 x + x’ = 1

q m q . m = q q + m = m

p r p . r = q p + r = m

r p r . p = q r + p = m

r n r . n = q r + n = m

n r n . r = q n + r = m

m q m . q = q m + q = m

Logo, ( ∀ x ∈ L )( ∃ u ∈ L )( ( x . u = 0 ) ∧ ( x + u = 1 ) )


O reticulado representado pelo diagrama de Hasse ao lado não é complementado,pois, na verdade, 2 e 4 não possuem complemento. A verificação deste fato é deixadaao encargo do leitor.

Logo, ( ∃ x ∈ L )( ∃/ u ∈ L )( ( x . u = 0 ) ∧ ( x + u = 1 ) )

Logo, este reticulado não é complementado.

Observação:

É importante notar que o reticulado acima não é complementado, apesar de ser limitado.

77..55..44 RReettiiccuullaaddooss UUnniiccaammeennttee CCoommpplleemmeennttaaddooss

Um reticulado ( L, R ) é unicamente complementado se e somente se cada elemento de L possuiapenas um complemento. Isto é:

( L, R ) é unicamente complementado ⇔ ( ∀ x ∈ L )( ∃! x' ∈ L )( ( x . x’ = 0 ) ∧ ( x + x’ = 1 ) )


O reticulado ( P( { a, b, c } ), ⊆ ) é unicamente complementado, conforme podemos evidenciar natabela a seguir:

mn

r

pq

8

4

2

1



x x' x . x’ = 0 x + x’ = 1

∅ { a, b, c } ∅ ∩ { a, b, c } = ∅ ∅ ∪ { a, b, c } = { a, b, c }

{ a } { b, c } { a } ∩ { b, c } = ∅ { a } ∪ { b, c } = { a, b, c }

{ b } { a, c } { b } ∩ { a, c } = ∅ { b } ∪ { a, c } = { a, b, c }

{ c } { a, b } { c } ∩ { a, b } = ∅ { c } ∪ { a, b } = { a, b, c }

{ a, b } { c } { a, b } ∩ { c } = ∅ { a, b } ∪ { c } = { a, b, c }

{ a, c } { b } { a, c } ∩ { b } = ∅ { a, c } ∪ { b } = { a, b, c }

{ b, c } { a } { b, c } ∩ { a } = ∅ { b, c } ∪ { a } = { a, b, c }

{ a, b, c } ∅ { a, b, c } ∩ ∅ = ∅ { a, b, c } ∪ ∅ = { a, b, c }

A evidência lógica de que os complementos são únicos pode ser dada da seguinte forma:

Dado um conjunto x ⊆ P( { a, b, c } ), temos que, que ele possua complemento x’ este conjunto devesatisfazer simultaneamente as condições ( x . x’ = 0 ) ^ ( x + x’ = 1 ), que, neste contexto transformam-se em:

( x ∩ x’ = ∅ ) ^ ( x ∪ x’ = { a, b, c } ).

Então um conjunto e seu complementar devem ser disjuntos (isto é, não podem ter elementos emcomum) e, quando unidos devem resultar no conjunto { a, b, c } (que é o conjunto universo destecontexto). Ao inspecionarmos os conjuntos acima, observaremos que, para cada conjunto x hásomente um conjunto x’ capaz de cumprir ambas condições acima apresentadas. Logo, estereticulado é unicamente complementado.


Seja ( L, R ) reticulado limitado, distributivo e complementado. Então ( L, R ) é unicamentecomplementado.

Demonstração:

Seja x ∈ L. Suponhamos, por absurdo, que existam u1 ∈ L e u2 ∈ L tais que:

u1 . x = 0 ∧ u1 + x = 1

u2 . x = 0 ∧ u2 + x = 1

u1 ≠ u2

Então u1 = u1 . 1 = u1 . ( u2 + x ).

Como ( L, R ) é distributivo, então u1 . ( u2 + x ) = ( u1 . u2 ) + ( u1 . x ) = ( u1 . u2 ) + 0 = u1 . u2

Então: u1 = u1 . u2

Analogamente, u2 = u2 . 1 = u2 . ( u1 + x ).

Como ( L, R ) é distributivo, então u2 . ( u1 + x ) = ( u2 . u1 ) + ( u2 . x ) = ( u1 . u2 ) + 0 = u1 . u2

Então: u2 = u1 . u2

Mas ( u1 = u1 . u2 ) ∧ ( u2 = u1 . u2 ) ⇒ u1 = u2 pois o ínfimo, se existe é único.

Mas isto é absurdo, pois supusemos u1 ≠ u2 .

Logo, x só pode ter um complemento.

Logo ( L, R ) é unicamente complementado.

∅

{ a } { c }

{ b, c }{ a, b }

{ a, b, c }

{ a, c }

{ b }




O reticulado ( P( { a, b, c } ), ⊆ ) é unicamente complementado, pois é distributivo, limitado ecomplementado, conforme já demonstrado anteriormente neste texto.



88 ÁÁllggeebbrraass BBoooolleeaannaass

As estruturas denominadas álgebras booleanas, ou álgebras de Boole, devem-se ao matemáticoinglês George Boole ( 1815 – 1864 ). Seu trabalho foi publicado no livro “An Investigation of the Lawsof Tought”, em 1854.

O conceito de álgebra booleana tornou-se fundamental para a Ciência da Computação a partir de1938, quando o estudante de mestrado Claude Shannon apresentou, em sua dissertação, no MIT,aplicações das álgebra booleanas para a análise de relés e circuitos de chaveamento.

O trabalho de Shannon foi o ponto de partida para a compreensão de que os comportamentos decircuitos eletrônicos poderiam ser analisados e descritos matematicamente de forma simples, atravésdas álgebras booleanas. Desta forma, circuitos poderiam ser testados e otimizados antes de suaimplementação física, economizando recursos e garantindo maior consistência aos projetos.


( L, R ) é álgebra booleana ⇔ ( L, R ) é reticulado distributivo, limitado e complementado.


Como a utilização das álgebras booleanas é primariamente centrada em suas propriedades, é comumrepresentar uma álgebra booleana através de uma terna ordenada:

( conjunto, operação de supremo, operação de ínfimo )

Neste caso, escreveríamos:

( L, +, . ) é álgebra booleana ⇔ ( L, +, . ) é reticulado, distributivo, limitado e complementado


O reticulado ( P( { a, b, c } ), ⊆ ) é álgebra booleana, pois

+ ≡ ∪

. ≡ ∩

É distributivo pois, dados x, y, z ∈ P( { a, b, c } )

x + (y.z) = x ∪ ( y ∩ z ) = ( x ∪ y ) ∩ ( x ∪ z ) = (x+y) . (x+z)

x . (y+z) = x ∩ ( y ∪ z ) = ( x ∩ y ) ∪ ( x ∩ z ) = (x.y) + (x.z)

É complementado pois é o caso de um reticulado limitado e distributivo.

Então ( P( { a, b, c } ), ∪, ∩ ) é álgebra booleana.


O conjunto B = { 0, a, b, 1 } ordenado segundo o diagrama abaixo é álgebra booleana onde

∅

{a,b,c}

{b,c}{a,b}{a,c}

{a} {c}{b}



1

a b

0

. 0 a b 1 + 0 a b 1

0 0 0 0 0 0 0 a b 1

a 0 a 0 a a a a 1 1

b 0 0 b b b b 1 b 1

1 0 a b 1 1 1 1 1 1

Além disso:

§ É distributivo, como já provado anteriormente.

§ É limitado, sendo

minB(B) ≡ 0

maxB(B) ≡ 1

§ É unicamente complementado pois é o caso de um reticulado limitado e distributivo.

Então ( B, +, . ) é álgebra booleana.

88..22 PPrroopprriieeddaaddeess ddaass ÁÁllggeebbrraass BBoooolleeaannaass

Seja ( B, +, . ) uma álgebra booleana. Então ∀ x, y, z ∈ B:

(1). x + x = x

(2). x . x = x(idempotência)

(3). x + y = y + x

(4). x . y = y . x(comutatividade)

(5). x + ( y + z ) = ( x + y ) + z

(6). x . ( y . z ) = ( x . y ) . z(associatividade)

(7). x + ( x . y ) = x

(8). x . ( x + y ) = x(absorção)

Reticulado

(9). x + ( y . z ) = ( x + y ) . ( x + z )

(10). x . ( y + z ) = ( x . y ) + ( x . z )(distributividade) Distributivo

(11). x + 0 = x

(12). x . 0 = 0

(13). x + 1 = 1

(14). x . 1 = x

Limitado

(15). x + x’ = 1

(16). x . x’ = 0

(17). ( x’ )’ = x

(18). ( x + y )’ = x’ . y’

(19). ( x . y )’ = x’ + y’(Leis de De Morgan)

Complementado



Observação:

Uma Álgebra Booleana pode ainda ser definida como um sistema ( L, +, . , 0, 1 ), ou seja, umconjunto L, com duas operações, + e . , e dois elementos especiais, 0 e 1, que satisfazem aspropriedades enunciadas acima. Qualquer estrutura lógica que possuir todas estas propriedades seráuma Álgebra Booleana.

88..33 EExxeemmppllooss ddee AApplliiccaaççõõeess ddaass ÁÁllggeebbrraass BBoooolleeaannaass eemmIInnffoorrmmááttiiccaa

88..33..11 EExxeemmpplloo:: ÁÁllggeebbrraa ddooss CCoommuuttaaddoorreess

Seja B = { 0, 1 } ordenada pelo diagrama de Hasse abaixo. Então, ( B, +, . ) é álgebra booleana, onde

+ 0 1 . 0 1 ‘

0 0 1 0 0 0 0 1

1 1 1 1 0 1 1 0

Reescrevendo as tabelas acima de maneira diferente:

x y x + y x y x . y x x'

1 1 1 1 1 1 0 1

1 0 1 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0

As operações lógicas acima representadas podem ser expressas através de circuitos elementares:

Porta AND (E) Porta OR (OU) Porta NOT (NÃO ou INVERSOR)

Observação:

Esta álgebra é conhecida como “álgebra dos comutadores” ou “álgebra dos interruptores”. É a maissimples das álgebras booleanas e, possivelmente, a mais útil. É esta álgebra que fundamentamatematicamente o projeto e a análise de circuitos digitais e comutadores que compõem os sistemasdigitais usados em aparelhos eletrônicos.

88..33..22 EExxeemmpplloo:: ÁÁllggeebbrraa ddaass PPrrooppoossiiççõõeess

Seja B = { f, v } ordenada pelo diagrama de Hasse abaixo. Então, ( B, +, . ) é álgebra booleana, onde

1

0

xy

x . y xy

x + y x x'



+ v f . v f ‘

v v v v v f v f

f v f f f f f v

Observações:

• Observe que a estrutura aqui obtida é idêntica à estrutura apresentada no exemplo anterior!!!

A única diferença é a notação!

• Observe ainda que, nesta álgebra temos: + ≡ ∨

. ≡ ∧

Comprovemos que a álgebra das proposições é uma álgebra booleana inspecionando suaspropriedades:

Sejam x, y, z proposições. Então:

Propriedade (conceitual) ⇒ Propriedade (álgebra das proposições)

(1). x + x = x ⇒ x ∨ x ⇔ x

(2). x . x = x ⇒ x ∧ x ⇔ x

(3). x + y = y + x ⇒ x ∨ y ⇔ y ∨ x

(4). x . y = y . x ⇒ x ∧ y ⇔ y ∧ x

(5). x + ( y + z ) = ( x + y ) + z ⇒ x ∨ ( y ∨ z ) ⇔ ( x ∨ y ) ∨ z

(6). x . ( y . z ) = ( x . y ) . z ⇒ x ∧ ( y ∧ z ) ⇔ ( x ∧ y ) ∧ z

(7). x + ( x . y ) = x ⇒ x ∨ ( x ∧ y ) ⇔ x

(8). x . ( x + y ) = x ⇒ x ∧ ( x ∨ y ) ⇔ x

(9). x + ( y . z ) = ( x + y ) . ( x + z ) ⇒ x ∨ ( y ∧ z ) ⇔ ( x ∨ y ) ∧ ( x ∨ z )

(10). x . ( y + z ) = ( x . y ) + ( x . z ) ⇒ x ∧ ( y ∨ z ) ⇔ ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z )

(11). x + 0 = x ⇒ x ∨ f ⇔ x

(12). x . 0 = 0 ⇒ x ∧ f ⇔ f

(13). x + 1 = 1 ⇒ x ∨ v ⇔ v

(14). x . 1 = x ⇒ x ∧ v ⇔ x

(15). x + x’ = 1 ⇒ x ∨ x’ ⇔ v

(16). x . x’ = 0 ⇒ x ∧ x’ ⇔ f

(17). ( x’ )’ = x ⇒ ( x’ )’ ⇔ x

(18). ( x + y )’ = x’ . y’ ⇒ ( x ∨ y )’ ⇔ x’ ∧ y’

(19). ( x . y )’ = x’ + y’ ⇒ ( x ∧ y )’ ⇔ x’ ∨ y’

88..33..33 EExxeemmpplloo:: ÁÁllggeebbrraa ddooss CCoonnjjuunnttooss

Sejam B o conjunto de todos os conjuntos,∅ o conjunto vazio.U o conjunto universo.

v

f



Então ( B, +, . ) é álgebra booleana, onde

+ ≡ ∪

. ≡ ∩

Comprovemos que a álgebra das proposições é uma álgebra booleana inspecionando suaspropriedades:

Sejam x, y, z conjuntos. Então:

Propriedade (conceitual) ⇒ Propriedade (álgebra dos conjuntos)

(1). x + x = x ⇒ x ∪ x = x

(2). x . x = x ⇒ x ∩ x = x

(3). x + y = y + x ⇒ x ∪ y = y ∪ x

(4). x . y = y . x ⇒ x ∩ y = y ∩ x

(5). x + ( y + z ) = ( x + y ) + z ⇒ x ∪ ( y ∪ z ) = ( x ∪ y ) ∪ z

(6). x . ( y . z ) = ( x . y ) . z ⇒ x ∩ ( y ∩ z ) = ( x ∩ y ) ∩ z

(7). x + ( x . y ) = x ⇒ x ∪ ( x ∩ y ) = x

(8). x . ( x + y ) = x ⇒ x ∩ ( x ∪ y ) = x

(9). x + ( y . z ) = ( x + y ) . ( x + z ) ⇒ x ∪ ( y ∩ z ) = ( x ∪ y ) ∩ ( x ∪ z )

(10). x . ( y + z ) = ( x . y ) + ( x . z ) ⇒ x ∩ ( y ∪ z ) = ( x ∩ y ) ∪ ( x ∩ z )

(11). x + 0 = x ⇒ x ∪ ∅ = x

(12). x . 0 = 0 ⇒ x ∩ ∅ = ∅

(13). x + 1 = 1 ⇒ x ∪ U = U

(14). x . 1 = x ⇒ x ∩ U = x

(15). x + x’ = 1 ⇒ x ∪ x’ = U

(16). x . x’ = 0 ⇒ x ∩ x’ = ∅

(17). ( x’ )’ = x ⇒ ( x’ )’ = x

(18). ( x + y )’ = x’ . y’ ⇒ ( x ∪ y )’ = x’ ∩ y’

(19). ( x . y )’ = x’ + y’ ⇒ ( x ∩ y )’ = x’ ∪ y’

88..33..44 EExxeemmpplloo:: SSiimmpplliiffiiccaaççããoo ddee PPoolliinnôômmiiooss BBoooolleeaannooss

As propriedades das álgebras booleanas podem ser usadas para realizar avaliações ousimplificações sobre expressões booleanas (ou “polinômios booleanos”). Dentre os diversos métodosde cálculo existente, citamos:

§ O método algébrico

§ O método dos mapas de Karnaugh

§ O método de Quine–McKluskey

Apresentaremos aqui apenas exemplos de aplicação do método algébrico.

Observação:

Essencialmente, o tipo de simplificação aqui realizado é semelhante ao procedimento de simplificaçãode expressões lógicas realizado no cálculo proposicional. Isto porque, conforme o exemplo anterior, aálgebra das proposições é uma Álgebra Booleana.




Avalie o polinômio booleano p( x, y ) = ( x + y’ ) . ( x’ + y ) na álgebra booleana ( { 0, 1 }, +, . )

Solução:

p( 0, 0 ) = ( 0 + 0’ ) . ( 0’ + 0 ) = ( 0 + 1 ) . ( 1 + 0 ) = 1 . 1 = 1

p( 0, 1 ) = ( 0 + 1’ ) . ( 0’ + 1 ) = ( 0 + 0 ) . ( 1 + 1 ) = 0 . 1 = 0

p( 1, 0 ) = ( 1 + 0’ ) . ( 1’ + 0 ) = ( 1 + 1 ) . ( 0 + 0 ) = 1 . 0 = 0

p( 1, 1 ) = ( 1 + 1’ ) . ( 1’ + 1 ) = ( 1 + 0 ) . ( 0 + 1 ) = 1 . 1 = 1

Observação:

Isto pode ser melhor representado através de uma “Tabela de Entradas e Saídas”:

x y x’ y' x + y’ x’ + y ( x + y’ ) . ( x’ + y )

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 0

1 0 0 1 1 0 0

1 1 0 0 1 1 1

Note que esta tabela nada mais é do que uma tabela-verdade em notação de álgebra de Boole!


Simplificar o polinômio booleano ( ( x . y )’ + ( z + z ) )’.

Solução:

( ( x . y )’ + ( z + z ) )’ = ( ( x . y )’ + z )’ = ( ( x . y )’ )‘ . z’ =

= x . y . z’


Simplificar o polinômio booleano ( x + y ) . ( x + y’ + z’ ).

Solução:

( x + y ) . ( x + y’ + z’ ) = ( x . ( x + y’ + z’ ) ) + ( y . ( x + y’ + z’ ) ) =

= ( x . x ) + ( x . y’ ) + ( x . z’ ) + ( y . x ) + ( y . y’ ) + ( y . z’ ) =

= x + ( x . y’ ) + ( x . z’ ) + ( y . x ) + 0 + ( y . z’ ) =

= x + ( x . ( y’ + y ) ) + ( x . z’ ) + ( y . z’ ) =

= x + ( x . 1 ) + ( x . z’ ) + ( y . z’ ) =

= x + x + ( x . z’ ) + ( y . z’ ) =

= x + ( x . z’ ) + ( y . z’ ) =

= x + ( y . z’ )


Encontrar o polinômio booleano associado ao circuito aolado e simplificá-lo. Apresentar o circuito simplificado.

Solução:

( x’ + y ) . ( x + y’ ) = ( x’ . ( x + y’ ) ) + ( y . ( x + y’ ) ) =

= ( x’ . x ) + ( x’ . y’ ) + ( y . x ) + ( y . y’ ) =

= 0 + ( x’ . y’ ) + ( y . x ) + 0 =

x

y



= ( x + y )’ + ( x . y )

Diagrama simplificado:

x

y



99 EExxeerrccíícciiooss

99..11 RReellaaççõõeess ddee AA eemm BB

1. Determine todas as relações de A = { 1, 3 } em B = { {1}, 2 }.

2. Cada um dos enunciados formais seguintes definem uma relação nos números reais.Representar cada relação em um diagrama cartesiano de R x R.

(a) y = x2 (c) y < 3 − x (e) y ≥ x3

(b) y ≤ x2 (d) y ≤ sen(x) (f) y > x3

3. Cada um dos enunciados formais que seguem define uma relação nos números reais.Representar cada relação no diagrama cartesiano:

(a) x2 + y2 < 16 (c) x2 − 4y2 ≥ 9

(b) x2 + y2 ≥ 16 (d) x2 − 4y2 < 9

4. Sejam as relações A={ (x, y) ∈ R2 | y = |x| - 1 } e B = { (x, y) ∈ R2 | y = 1 - x2 }. Representegraficamente as relações A ∪ B, A ∩ B e A - B.

Seja R uma relação de um conjunto A em um conjunto B.

Chamamos de domínio de R o conjunto: Dom(R) = { x ∈ A | ( ∃ y ∈ B )( x R y ) }.

Chamamos de imagem de R o conjunto: Im(R) = { y ∈ B | ( ∃ x ∈ A )( x R y ) }.

5. Determine o domínio e a imagem das relações abaixo:

(a) R relação em A = { 1, 2, 3, 4, 5 } definida por: x R y ↔ x < y.

(b) R relação em A={ 1, 2, 3, 4, 5 } definida por: x R y ↔ x = y - 1.

(c) R relação em A2, onde A = { 1, 2, 3, 4 } definida por: (x, y) R (z, w) ↔ x = 2z ∧ y = 3.

(d) R relação em [ 0; 1 ] definida por: x R y ↔ x < y.

(e) R relação de 2Z em 4Z definida por: x R y ↔ x = 2y, onde 2Z = { ..., -4, -2, 0, 2, 4, ... } e4Z = { ..., -8, -4, 0, 4, 8, ... }.

6. Represente graficamente as relações abaixo, indicando também o domínio e a imagem de cadauma delas:

(a) R1 relação de R+ em R definida por: x R1 y ↔ x2 + y2 ≥ 9

(b) R2 relação de R+ em R definida por: x R2 y ↔ y = 5 - x

(c) R3 relação de R+ em R definida por: R3 = R1 ∩ R2

(d) R4 relação de R em Z definida por: x R4 y ↔ y = 2x

(e) R5 relação de R+ em R definida por: x R5 y ↔ x + y < 1



(f) R6 relação de R+ em R definida por: R6 = R1 ∩ R5

(g) R7 relação de N em R definida por: x R7 y ↔ y = 2x

7. Sejam R= { ( x, y ) / x ∈ R, y ∈ R, y ≥ x2 } e S ={ ( x, y ) / x ∈ R, y ∈ R, y ≤ x + 2 }. Note que R e Ssão ambas relações nos números reais.

(a) Representar a relação R ∩ S no diagrama cartesiano de R x R.

(b) Averiguar o domínio de R ∩ S.

(c) Averiguar a imagem de R ∩ S.

Chamamos de conjunto das partes de um conjunto A, e indicaremos por P(A),

ao conjunto formado por todos os subconjuntos de A.

Por exemplo, se A={1, 2}, temos que P(A) = { ∅, { 1 }, { 2 }, A }.

Chamamos de cardinalidade de um conjunto A, e indicaremos por #(A),

ao número de elementos de A.

Podemos provar por indução que se #(A)=n então #(P(A)) = 2n.

8. Seja A={ 1, 2, 3 } e seja R a relação em P(A) definida por: B R C ↔ #(B) = #(C) + 1. Determine oselementos, o domínio e a imagem de R.

99..22 FFuunnççõõeess

9. Verifique se cada uma das relações abaixo é função:

(a)

∉∈

→

→

QQ

R

xx

x

},{:f

01

10(b)

31

xx

:f

→

→ RR(c)

4xx:f

→→ +RR

(d) 4xx

:f→

→+ RR(e)

xx

:f

−→

→ −− RR

10. Encontre , em cada caso abaixo , o maior domínio A que torna f : A → B uma função:

(a) f(x) = (x-1)(x+2)-2

(b) f(x) = ln(x)

(c) f(x) = arcsen(x)

11. Sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3 } e B = { a, b }. Encontre todas as funções de A em B.

12. Sejam A e B conjuntos com cardinal (isto é, número de elementos) m e n, respectivamente.

(a) Determine condições para m e n de forma que não seja possível encontrar uma funçãoinjetora de A em B.



(b) Determine condições para m e n de forma que seja possível encontrar uma função bijetorade A em B.

13. Cada uma das operações seguintes pode ser expressa através de uma função. Determine a leide definição de cada função, estabelecendo o maior domínio possível (contido em R ) e, paraeste domínio, o menor contradomínio possível:

(a) inverso aditivo de um número(também chamado de simétrico)

(b) inverso multiplicativo de um número

(c) raiz cúbica de um número

14. Mostre que se f é estritamente crescente com domínio A ⊆ R , então f é injetora.

15. Sejam f : S → T , g : T → U funções.

(a) Apresente um exemplo onde g°f é injetiva sem que g seja injetiva.

(b) Apresente um exemplo onde g°f é sobrejetora sem que f seja sobrejetora.

(c) Mostre que se f e g são injetoras então g o f é injetora.

16. Sejam A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } e B = {a , b , c , d , e , f , g ,t} conjuntos.

(a) Determine , se possível , uma correspondência entre A e B que verifique somente a condição deexistência da definição de função.

(b) Determine , se possível , uma correspondência entre A e B que verifique somente a condição deunicidade da definição de função.

17. Procure, em um livro de Cálculo, a representação de ex por série de MacLaurin.

(a) Use a resposta anterior para encontrar uma representação por séries para e-1.

(b) Use uma calculadora para calcular um valor aproximado para e-1 .

(c) Compare os resultados obtidos nos itens (c) e (d).

18. Sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3 }, B = { a, b, c }. Determine , se existir :

(a) uma bijeção de A em B

(b) uma função sobrejetora e não injetora de A em B

(c) uma função injetora e não sobrejetora de A em B

(d) uma função não injetora e não sobrejetora de A em B

19. Verifique se a função f : Z x Z → Z definida por f( x, y ) = x – y é injetora , sobrejetora ou bijetora.

20. Mostre que a função f : R x R → R x R , f( x, y ) = ( x + 2y, x - y ) é uma bijeção e encontre suainversa.

21. Sejam S um conjunto e A um subconjunto de S. A função característica de A é uma funçãocA : S → { 0, 1 } , com cA (x) = 1 , se x ∈ A e cA (x) = 0 , se x ∉ A



Seja S = {1,2,3,4,5} e A = {1,3,5}. Represente graficamente a função cA

Verifique se, para qualquer S e A e B subconjuntos de S, valem:

(a) c A ∩ B(x) = c A(x) . c B(x)

(b) c A ∪B(x) = c A(x) + c B(x)

22. Considere a função característica de um conjunto definida no exercício anterior. Determinecondições para os conjuntos S e A de forma que cA seja uma função injetora.

Uma bijeção de um conjunto nele mesmo é chamada de permutação do conjunto. A permutação maissimples de um conjunto é aquela que associa cada elemento do conjunto a si próprio, chamada

identidade.

23. Sejam A = { 1 , 2 , 3 } e as permutações de A :

f0: 1 → 1 f1: 1 → 1 f2: 1 → 3 f3: 1 → 2 F4: 1 → 2 f5: 1 → 3

2 → 2 2 → 3 2 → 2 2 → 1 2 → 3 2 → 1

3 → 3 3 → 2 3 → 1 3 → 3 3 → 1 3 → 2

A composição de duas permutações de A é uma permutação de A.

Por exemplo f2°f1 = f5 (a função f2 composta com a função f1 é igual a função f5). Encontre asfunções compostas abaixo, completando a tabela abaixo.

° f0 f1 f2 f3 f4 f5

f0 f1 f4 f5

f1 f3

f2 f5 f4

f3 f2

f4 f4 f3 f2

f5 f5 f4

Encontre a função inversa de cada uma das permutações do conjunto A do exercício anterior.

24. A "pilha" é uma estrutura de armazenamento de dados cuja operação é muito parecida com umapilha de pratos de um restaurante. Todos os locais de armazenamento começam vazios. Umelemento de dado é incluído no topo da pilha através da instrução "push", que "empurra" todosos itens já empilhados uma posição para baixo a fim de abrir espaço para ele. Apenas o elementodo topo da pilha pode ser acessado a qualquer momento, pode ser examinado e removido dapilha através da instrução "pop". Consideremos cadeias de inteiros que tenham um número parde caracteres de tamanho e onde a metade dos caracteres são positivos e a outra metade sãozeros. Processamos estas cadeias através de um armazenamento na forma de pilha como aseguir: a medida que lermos da esquerda para a direita, aplicamos a instrução push a qualquercaractere diferente de zero. Caracteres zero causam a instrução pop na pilha e a impressão doelemento recuperado por esta instrução. Portanto, o processamento da cadeia 12030040 resultana saída 2314, enquanto que o processamento da cadeia 12304000 resulta na saída 3421.Tanto2314 quanto 3421 podem ser expressos como permutações, (123) e (1324) no conjunto A = { 1,2, 3, 4 }. Uma cadeia como 10020340 não pode ser tratada por este procedimento porque nãopodemos efetuar pop de dois elementos da pilha enquanto esta contiver nas um. Qualpermutação de A = { 1, 2, 3, 4 } é gerada pela aplicação deste procedimento à cadeia 12003400?



99..33 RReellaaççõõeess eemm AA

25. Os seguintes enunciados formais definem cada um uma relação R nos números naturais N. Dizerem cada caso se a relação é ou não reflexiva.

(a) “x é menor ou igual a y”. (b) “x divide y”.

(c) “x + y = 10”.

26. Cada um dos enunciados formais seguintes definem uma relação R nos números naturais N.Dizer e cada uma se é ou não uma relação simétrica.

(a) “x é menor ou igual a y”. (b) “x divide y”.

(c) “x + y = 10”.

27. Seja A um conjunto qualquer e seja D a “diagonal” de A x A, ou seja, D é o conjunto de todos os(a, a) com a ∈ A. Qual relação há entre todas as relações reflexivas R em A e D?

28. Sejam R e S relações em um conjunto A. Demonstrar as seguintes proposições:

(a) Se R é simétrica e se S é simétrica, então R ∪ S é simétrica.

(b) Se R é reflexiva e S é uma relação qualquer, então R ∪ S é reflexiva.

29. Demonstrar: Sejam R e S relações simétricas em um conjunto A; então R ∩ S é uma relaçãosimétrica em A.

30. Pode uma relação R em um conjunto A ser simétrica e anti-simétrica? Prove.

31. Há algum conjunto A em que toda relação seja simétrica? Prove.

32. Sob que condições uma relação R definida em um conjunto A pode não ser transitiva? Prove.

33. Demonstrar: Se uma relação R é transitiva, então sua relação inversa R−1 também o é.

34. Estabelecer a verdade ou falsidade dos raciocínios que seguem, supondo que R e S são relaçõesem um conjunto A.

(a) Se R é simétrica, então R−1 é simétrica.

(b) Se R é anti-simétrica, então R−1 é anti-simétrica.

(c) Se R é reflexiva, então R ∩ R-1 ≠ ∅.

(d) Se R é simétrica, então R ∩ R-1 ≠ ∅.

(e) Se R é transitiva e S é transitiva, então R ∪ S é transitiva.

(f) Se R é transitiva e S é transitiva, então R ∩ S é transitiva.

(g) Se R é anti-simétrica e S é anti-simétrica, então R ∪ S é anti-simétrica.

(h) Se R é anti-simétrica e S é anti-simétrica, então R ∩ S é anti-simétrica.



(i) Se R é reflexiva e S é reflexiva, então R ∪ S é reflexiva.

(j) Se R é reflexiva e S é reflexiva, então R ∩ S é reflexiva.

35. Apresente exemplos, como se pede:

(a) de uma relação R definida no conjunto A = { 1, 2, 3 } que não seja reflexiva e nem irreflexiva.

(b) de uma relação R definida no conjunto A = { 1, 2, 3 } que não seja nem simétrica e nemassimétrica.

36. Verifique:

(a) se toda relação assimétrica definida em um conjunto qualquer A é também simétrica em A.

(b) se toda relação irreflexiva e transitiva definida em um conjunto qualquer A é tambémassimétrica em A.

(c) se toda relação não vazia simétrica e transitiva definida em um conjunto qualquer A é tambémirreflexiva em A.

37. Seja S o conjunto de todos os livros de uma biblioteca. Seja R uma relação definida em S por:x R y ↔ "a cor da capa de x é a mesma da cor da capa de y". Mostre que R é uma relação deequivalência e descreva as classes de equivalências resultantes.

38. Seja R a relação nos números inteiros definida pelo enunciado formal “(x−y) é divisível por 5”; édizer, R = { ( x, y ) / x ∈ Z, y ∈ Z, ( x − y ) é divisível por 5 }. Demonstrar que R é uma relação deequivalência.

39. Seja S o conjunto de todas as proposições compostas com n proposições simples. Seja R umarelação definida em S por x R y ↔ (x ⇔ y). Mostre que R é uma relação de equivalência.

40. Construa o diagrama de cada um dos subconjuntos de N ordenados pela relação

x R y ⇔ y é múltiplo de x

(a) { 1, 2, 3, 5, 12, 60 }

(b) { 3, 5, 30, 45, 90 }

(c) { 1, 2, 3, 6, 8, 9, 72 }

41. Seja A = { 1, 2, 3, 5, 7, 21, 42, 105, 210 }. Seja R a relação definida em A por x R y ⇔ y / x ∈ A.

(a) Mostre que R é relação de ordem parcial em A.

(b) Determine o diagrama de Hasse da relação de ordem parcial definida no conjunto A.

(c) Apresente um subconjunto de A totalmente ordenado e com quatro elementos.

42. Ernani e seus irmãos gerenciam uma marcenaria que fabrica cadeiras de balanço com acentosde almofada. O processo de fabricação pode ser dividido em algumas tarefas, algumas das quaistêm como pré-requisitos outras tarefas. A tabela a seguir mostra as tarefas envolvidas nafabricação das cadeiras de balanço ,seus pré-requisitos.



Nº TAREFAS PRÉ-REQUISITOS

1 Seleção da madeira Nenhuma

2 Entalhamento dos arcos 1

3 Entalhamento do assento 1

4 Entalhamento do encosto 1

5 Entalhamento dos braços 1

6 Seleção do tecido Nenhuma

7 Costura da almofada 6

8 Montagem do acento e do encosto 3,4

9 Fixação dos braços 5,8

10 Fixação dos arcos 2,8

11 Aplicação do verniz 9,10

12 Colocação da almofada 7,11

Podemos definir uma relação no conjunto das tarefas por X R Y ↔ “a tarefa X é pré-requisito datarefa Y ou é a própria tarefa Y”.

(a) Mostre que R é uma relação de ordem parcial.

(b) Determine o diagrama de Hasse da relação R.

43. Estude as propriedades das relações abaixo, definidas em R:

(a) x R y ⇔ x – y = 5 (b) x R y ⇔ x2 + y2 ≤ 4 (c) x R y ⇔ y ≤ x2

(d) x R y ⇔ x = y-1 (e) x R y ⇔ y = ex (f) x R y ⇔ x = y

(g) x R y ⇔ x < y (h) x R y ⇔ x ≠ y (i) x R y ⇔ x.y é par

44. Classifique as relações do exercício anterior como ‘de ordem’, ‘de equivalência’, ‘de ordem e deequivalência’ ou ‘nem de ordem e nem de equivalência’.

45. Escreva, por compreensão, os conjuntos que definem cada uma das relações do exercício 43.

46. Classifique as relações abaixo conforme suas propriedades:

(a) x R y ⇔ xy

∈ A, definida em A = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }

(b) x R y ⇔ xy

∈ A, definida em Z.

(c) ( x, y ) R ( z, t ) ⇔ x = z, definida em R x R.

(d) ( x, y ) R ( z, t ) ⇔ x + t = y + z, definida em N x N.

(e) ( x, y ) R ( z, t ) ⇔ x ≤ z ∧ y ≤ t, definida em R* x R*.

(f) ( x, y ) R ( z, w ) ⇔ wz

yx

≤ , definida em R* x R*.



99..44 EElleemmeennttooss NNoottáávveeiiss eemm CCoonnjjuunnttooss OOrrddeennaaddooss

47. Verifique se as relações abaixo formam reticulados em A:

(a) A = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } x R y ↔ yx

∈ A

(b) A = { 1, 2, 3, 4, 5 } R = { ( 5, 3 ), ( 5, 1 ), ( 4, 2 ), ( 4, 1 ), ( 3, 2 ), ( 3, 1 ), ( 2, 1 ) }

48. Considere o diagrama dado ao lado:

(a) Determine o conjunto A

(b) Determine R por extensão

(c) Verifique se R forma reticulado em A

(d) Determine D(R), I(R) e C(R)

(e) Determine, se possível, as cotas superiores, cotas inferiores, o supremo,o ínfimo, o mínimo e o máximo do conjunto T = { 1, 2, 5 }.

49. Considere o diagrama dado ao lado:

(a) Determine o conjunto A.

(b) Determine R por extensão.

(c) Verifique se R forma reticulado em A.

(d) Determine D (R), I (R) e C(R).

(e) Determine, se possível, as cotas superiores, cotas inferiores, o supremo,o ínfimo, o mínimo e o máximo do conjunto T = { 3, 4, 5 }.

50. Seja R uma relação definida no conjunto { a, b, c, d, e } e determinada pela matriz R abaixo:

a b c d e

a 1 0 0 1 1

b 1 1 1 1 1

c 0 0 1 0 1

d 0 0 0 1 1

e 0 0 0 0 1

(a) Determine R por extensão.

(b) Determine o diagrama de Hasse para R.

(c) Verifique se R forma reticulado em A.

51. Sejam

A = { x ∈ N / 1 ≤ x ≤ 9 }, B = { x ∈ N / x é par ∧ 0 < x < 10 },

C = { x ∈ N / x é ímpar ∧ x ≤ 10 }, D = { 3, 4, 5 }, E = { 3, 5 }.

Sejam H = { A, B, C, D, E } e a relação R ⊂ H x H definida por M R N ↔ M ⊆ N.

Pede-se:

4 53

12

0

45

3

1

2

6



(a) Obter o diagrama de Hasse para R.

(b) Verificar se R forma reticulado em H.

(c) Encontrar, se possível, o máximo e o mínimo de H pela relação R.

52. Dado o conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } ordenado segundo o diagrama de Hasse abaixo, e osconjuntos E = { 4, 5, 7 }, F = { 2, 3, 6 } e G = { 1, 2, 4, 7 }, pede-se:

(a) Determinar o conjunto das cotas superiores e o conjunto das cotasinferiores de E. Idem para F. Idem para G.

(b) Determinar o mínimo e o máximo de cada um dos conjuntos E, F eG, em A.

(c) Determinar o ínfimo e o supremo de cada um dos conjuntos E, F eG, em A.

(d) Determinar o mínimo e o máximo de A.

(e) Determinar o ínfimo e o supremo de A.

53. Seja E = { 1, 2, 3 }. Seja A = { X ⊆ E / 1 ∈ X ∨ 3 ∈ X }. Seja a relação R ⊆ A x A dada por:

X R Y ⇔ X ⊆ Y . Pede-se:

(a) Mostre que é relação de ordem.

(b) Ache o domínio e a imagem de R.

(c) Desenhe o diagrama de Hasse para esta relação.

(d) Sendo B = { { 1, 2 }, { 1, 3 } }, determine: SA(B), IA(B), maxA(B), minA(B), supA(B), infA(B).

54. Seja o conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } e a relação R definida em A por x R y ⇔ x | y ∈ A. Pede-se:

(a) Mostre que R é relação de ordem em A.

(b) Construa o diagrama de Hasse para R.

(c) Determine, se existirem: as cotas superiores, as cotas inferiores, o máximo, o mínimo, osupremo e o ínfimo do conjunto T = { 2, 3, 6 }.

(d) Verifique se ( A , R ) é um reticulado.

55. Seja o conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, ordenado conforme o diagramaabaixo. Seja E a coleção de todos os subconjuntos de A contendo doisou mais elementos e totalmente ordenados.

(a) Determine todos os elementos da coleção E.

(b) Determine o diagrama da relação de ordem parcial definida em Epor x R y ↔ x ⊆ y

56. Considere o conjunto dos números racionais Q, ordenado pela ordem "≤ " (menor ou igual a) .Seja o conjunto A = { x ∈ Q / 16 < x2 < 32 } subconjunto de Q. Determine supQ(A) e infQ(A).

57. Determine os diagramas que não representam álgebras booleanas e justifique.

8

76

54

3

21

45

32

1



1

2(a) (b) (c)

58. Considerando o conjunto dos números reais ordenado pela relação " ≥ " (maior ou igual a) e seusubconjunto dado pelo intervalo I = [ -2, 6 ], determine:

(a) o elemento máximo e o elemento mínimo de I , se existirem.

(b) o conjunto das cotas superiores e o conjunto das cotas inferiores de I.

59. Seja L = { 2, 3 } x { 5, 10 } ordenado por uma relação de ordem definida por

( x , y ) R ( z , t ) ⇔ x ≤ z ∧ y t

Pede-se:

(a) Construa o diagrama da relação R.

(b) Verifique se a relação de ordem é parcial ou total.

(c) Verifique se ( L, R ) é um reticulado e, em caso afirmativo, determine, se existir, ocomplemento de ( 2, 5 ).

60. Determine os conjuntos ordenados dados no exercício 40 que são reticulados e os conjuntos quesão reticulados limitados.

61. Dado o conjunto A = { a, b, c, d, e, f, g, h } ordenado segundo o diagramaabaixo e os subconjuntos E = { d, e, g } , F = { b, c, f } e G = { a, b, d, g } de A.Determine:

(a) o conjunto das cotas superiores e o conjunto das cotas inferiores dosconjuntos E , F e G.

(b) o máximo e o mínimo dos conjuntos E , F e G em A .

(c) o ínfimo e o supremo dos conjuntos E, F e G .

(d) o ínfimo , o supremo , o máximo e o mínimo do conjunto A.

62. Sejam

A1 = { n / n ∈ Z }, A2 = { 2 n / n ∈ Z } , A3 = { 3 n / n ∈ Z } ,

A4 = { 4 n / n ∈ Z }, A6 = { 6 n / n ∈ Z } , A12 = { 12 n / n ∈ Z }.

Verifique se o conjunto C = { A1, A2, A3, A4, A6, A12 } ordenado pela relação de ordemX R Y ↔ X ⊆ Y é um reticulado.

a b

d

f

h

g

e

c

7

5 6

4

3

1 2

5

1

2 4e



63. Verifique se o reticulado abaixo é distributivo.

64. Considerando o reticulado ( L, +, • ) apresentado ao lado,responda :

(a) Este reticulado é limitado?

(b) Encontre os complementos dos elementos de L.

(c) Este reticulado é uma álgebra booleana ?

65. Dada uma álgebra booleana ( L, +, • ) , verifique se vale a seguinte propriedade :

( ∀ x , y ∈ L ) ( x R y → ( x • y ) + ( x + y ) = y )

a

b e

d

c f

h

e g

db

a

c

f



1100 RReessppoossttaass ddooss EExxeerrccíícciiooss

1100..11 RReellaaççõõeess ddee AA eemm BB

1.

R1 = ∅

R2 = { ( 1, {1} ) }

R3 = { ( 1, 2 ) }

R4 = { ( 3, {1} ) }

R5 = { ( 3, 2 ) }

R6 = { ( 1, {1} ), ( 1, 2 ) }

R7 = { ( 1, {1} ), ( 3, {1} ) }

R8 = { ( 1, {1} ), ( 3, 2 ) }

R9 = { ( 1, 2 ), ( 3, {1} ) }

R10 = { ( 1, 2 ), ( 3, 2 ) }

R11 = { ( 3, {1} ), ( 3, 2 ) }

R12 = { ( 1, {1} ), ( 1, 2 ), ( 3, {1} ) }

R13 = { ( 1, {1} ), ( 1, 2 ), ( 3, 2 ) }

R14 = { ( 1, {1} ), ( 3, {1} ), ( 3, 2 ) }

R15 = { ( 1, 2 ), ( 3, {1} ), ( 3, 2 ) }

R16 = { ( 1, {1} ), ( 1, 2 ), ( 3, {1} ), ( 3, 2 ) }

2.

(a). y = x2 (b). y ≤ x2 (c). y < 3 – x



(d). y ≤ sen(x) (e). y ≥ x3 (f). y > x3

3.

(a). x2 + y2 < 16 (b). x2 + y2 ≥ 16

(c). x2 − 4y2 ≥ 9 (d). x2 − 4y2 < 9

4.

A = { (x, y) ∈ R2 | y = |x| - 1 } B = { (x, y) ∈ R2 | y = 1 - x2 }



5.

(a). Dom(R) = { 1, 2, 3, 4 } Im(R) = { 2, 3, 4, 5 }

(b). Dom(R) = { 1, 2, 3, 4 } Im(R) = { 2, 3, 4, 5 }

(c). Dom(R) = { (2,3), (4,3) } Im(R) = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4) }

(d). Dom(R) = [ 0; 1 ) Im(R) = ( 0; 1 ]

(e). Dom(R) = 2Z Im(R) = 4Z

6.

(a). R1 (b). R2 (c). R3

Dom(R1) = R+ Dom(R2) = R+ Dom(R3) = R+

Im(R1) = R Im(R2) = ( - ∞; 5 ] Im(R3) = ( - ∞; 5 ]

(d). R4 (e). R5 (f). R6

Dom(R4) = Z Dom(R5) = R+ Dom(R6) = [ 0; +∞ )

Im(R4) = 2Z Im(R5) = ( - ∞; 1 ) Im(R6) = ( –∞; 1721

21

− )



(g). R7

Dom(R7) = N

Im(R7) = [ 1; +∞ )

7.

R S R ∩ S

Dom( R ∩ S ) = [ -1; 2 ]

Im( R ∩ S ) = [ 0; 4 ]

8.

R = { ( ∅, { 1 } ), ( ∅, { 2 } ), ( ∅, { 3 } ),

( { 1 }, { 1, 2 } ), ( { 1 }, { 1, 3 } ), ( { 1 }, { 2, 3 } ),

( { 2 }, { 1, 2 } ), ( { 2 }, { 1, 3 } ), ( { 2 }, { 2, 3 } ),

( { 3 }, { 1, 2 } ), ( { 3 }, { 1, 3 } ), ( { 3 }, { 2, 3 } ),

( { 1, 2 }, { 1, 2, 3 } ), ( { 1, 3 }, { 1, 2, 3 } ), ( { 2, 3 }, { 1, 2, 3 } ) }

Dom(R) = { ∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 } }

Im(R) = { { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }, { 1, 2, 3 } }

1100..22 FFuunnççõõeess

9.

(a).

∉∈

→

→

QQ

R

xx

x

},{:f

01

10

É função. Prova deixada ao encargo do aluno.



(b). 31

xx

:f

→

→ RR


(c). 4xx

:f→→ +RR


(d). 4xx

:f→

→+ RR


(e). xx

:f

−→

→ −− RR

Não é função. Falha a condição de existência. Prova deixada ao encargo do aluno.

10.

(a). f(x) = (x-1)(x+2)-2 (b). f(x) = ln(x) (c). f(x) = arcsen(x)

Dom: R – {-2 } Dom: R*+ = ( 0; + ∞ ) Dom: [ -1; 1 ]



11.

f1(1) = a, f1(2) = a, f1(3) = b

f2(1) = b, f2(2) = a, f2(3) = a

f3(1) = a, f3(2) = b, f3(3) = a

f4(1) = b, f4(2) = b, f4(3) = a

f5(1) = a, f5(2) = b, f5(3) = b

f6(1) = b, f6(2) = a, f6(3) = b

f7(1) = a, f7(2) = a, f7(3) = a

f8(1) = b, f8(2) = b, f8(3) = b

12.

(a). m > n.

(b). m = n.

13.

(a). inverso aditivo de um número(também chamado de simétrico)

f(x) = -x , Dom: R; C: R

(b). inverso multiplicativo de um número

f(x) = x-1 , Dom: R*; C: R

(c). raiz cúbica de um número

f(x) = 3 x , Dom: R+ ou [0; +∞ ); C: R+

14.

Ver apostila.

15.

16.

(a). Condição de existência: ( ∀ x ∈ A )( ∃ y ∈ B )( y = f(x) )

f : f(1) = a, f(2) =b, f(3) = c, f(4) =d, f(5) = e, f(6) = f, f(6) = g

Observação: f não é função.

(b). Condição de unicidade: ( ∀ x1, x2 ∈ A )( x1 = x2 → f(x1) = f(x2) )

g: g(1) = a, g(2) = b, g(3) = c, g(4) = d, g(5) = e

Observação: g não é função.



17.

...!5

x!4

x!3

x!2

x!1x

1e5432

x ++++++= , ∀x ∈ (-∞ ; +∞), ou seja, ∑∞

=

=0n

nx

!nx

e

(a). ...!5)1(

!4)1(

!3)1(

!2)1(

!1)1(

1!n)1(

e5432

0n

n1 +

−+

−+

−+

−+

−+=

−= ∑

+∞

=

−

(b). e-1 ≅ 0,3678796886266

(c). Note que a função exponencial pode ser convertida em uma soma de infinitos termos e que osvalores de sua imagem podem ser aproximados usando apenas somas, subtrações, produtos edivisões (isto é, as quatro operações aritméticas).

18.

(a). uma bijeção de A em B:

f: { 1, 2, 3 } → { a, b, c }

f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c

(b). uma função sobrejetora e não injetora de A em B:

não é possível determinar.

(c). uma função injetora e não sobrejetora de A em B;

não é possível determinar.

(d). uma função não injetora e não sobrejetora de A em B.

f: { 1, 2, 3 } → { a, b, c }

f(1) = a, f(2) = a, f(3) = c

19.

Sejam ( 2, 0 ), ( 4, 2 ) ∈ Z x Z. Então:

f( 2, 0 ) = 2 – 0 = 2 ∧ f( 4, 2 ) = 4 – 2 = 2.

Logo f não é injetiva.

Sejam a, b ∈ Z. Então a = b – a + b = b – ( a – b ) = f( b, a – b ).

Mas ( b, a – b ) ∈ Z x Z.

Chamando y = x – a, temos

( ∀ a ∈ Z )( ∃ ( b, a – b ) ∈ Z x Z )( f( b, a – b ) = a )

Logo f é sobrejetora.

Conclusão: a função f: Z x Z → Z não é bijetora, pois é sobrejetora e não é injetora.



20.

Seja a função f : R x R → R x R, f( x, y ) = ( x + 2y , x – y )

f é injetora?

Sejam ( x1, y1 ), ( x2 , y2 ) ∈ R2 tais que f( x1 , y1 ) = f( x2 , y2 ).

f( x1, y1 ) = f( x2, y2 ) ⇔ ( x1 + 2y1, x1 – y1 ) = ( x2 + 2y2, x2 – y2 ) ⇔

⇔ x1 + 2y1 = x2 + 2y2 ∧ x1 – y1 = x2 – y2.

Da primeira equação temos que x1 = x2 + 2y2 – 2y1.

Substituindo a primeira equação na segunda equação, obtemos

x1 – y1 = x2 + 2y2 – 2y1 – y1 = x2 – y2.

Logo y1 = y2.

Voltando à primeira equação, concluímos que x1 = x2.

f é sobrejetora?

Seja ( x, y ) ∈ R2. Então f( a, b ) = ( x, y ) ⇔ ( a + 2b, a – b ) = ( x, y )

Resolvendo o sistema, temos:

+=

−=

⇒=−

=+

3y2x

b

3yx

a

ybaxb2a

Então, a ∈ R ∧ b ∈ R. Então ( a, b ) ∈ R2.


21.

(a). CA∩B (x) = CA(x) . CB(x), ∀x ∈ S

1o) x ∈ A∩B

CA∩B(x) = 1

CA(x) . CB(x) = 1.1 = 1

2o) x ∉ A ∧ x ∉ B

CA∩B (x) = 0

CA(x) . CB(x) = 0 . 0 = 0

3o) x ∈ A ∧ x ∉ B



CA∩B(x) = 0

CA(x) . CB(x) = 0 . 1 = 0

4o) x ∉A ∧ x ∈ B

CA∩B(x) = 0

CA(x) . CB(x) = 1 . 0 = 0

Conclusão: ∀ x ∈ S, CA∩B(x) = CA(x) . CB(x)

(b). CA∪B(x) = CA(x) + CB(x), ∀x ∈ S

1o) x ∈ A ∧ x∈ B

CA∪B(x) = 1

CA(x) + CB(x) = 1 + 1 = 2

2o) x ∉ A ∧ x∉ B

CA∪B(x) = 0

CA(x) + CB(x) = 0 + 0 = 0

3o) x ∈ A ∧ x ∉ B

CA∪B(x) = 1

CA(x) + CB(x) = 1 + 0 = 1

4o) x ∉ A ∧ x ∈ B

CA∪B(x) = 1

CA(x) + CB(x) = 0 + 1 = 1

Conclusão: ∃ x ∈ A∩B ⊆ S, CA∪B(x) ≠ CA(x) + CB(x) .

OBS.: É verdade que para todo x ∈ S, CA∪B(x) = CA(x) + CB(x) - CA∩B(x)

22.

23.

o f0 f1 f2 f3 f4 f5

f0 f0 f1 f2 f3 f4 f5

f1 f1 f0 f4 f5 f2 f3

f2 f2 f5 f0 f4 f3 f1

f3 f3 f4 f5 f0 f1 f2

f4 f4 f3 f1 f2 f5 f0

f5 f5 f2 f3 f1 f0 f4

24.

f0-1 = f0 ; f1

-1 = f1 ; f2-1 = f2 ; f3

-1 = f3 ; f4-1 = f5 ; f5

-1 = f4



1100..33 RReellaaççõõeess eemm AA

25.

(a). Relação: x ≤ y

R é reflexiva. Prova:

Seja x ∈ N. x ≤ x ⇔ x R x.

Logo, a relação é reflexiva.

(b). Relação: x divide y

R é reflexiva. Prova:

Seja x ∈ N. x divide x ⇔ ( ∃ k ∈ N )( x = k.x ).

Como x = 1.x, então, x divide x.

Logo, a relação é reflexiva.

(c). Relação: x + y = 10

R não é reflexiva. Prova:

Por exemplo, escolhendo x = 0 temos

x ∈ N, mas 0 + 0 ≠ 10.

Logo a relação não é reflexiva.

26.

(a). Relação: x ≤ y

R não é simétrica. Prova:

Sejam x = 1, y = 2. Temos que x ∈ N, y ∈ N e x ≤ y,

mas 2 não é menor ou igual a 1, isto é, 2 ≤ 1 ⇔ F.

Logo, a relação não é simétrica.

(b). Relação: x divide y

R não é simétrica. Prova:

Sejam x = 1, y = 2. Temos que x ∈ N, y ∈ N e x divide y, pois x = 2.y.

No entanto 2 não divide 1, pois ∀ k, 1 = k.2 ⇔ k ∉ N.

Logo, a relação não é simétrica.

(c). Relação: x + y = 10

R é simétrica. Prova:

Sejam x, y ∈ N tais que x + y = 10.

Como x + y = y + x pela comutatividade da adição, temos que y + x = 10. Logo y relaciona-se com x.

Logo a relação é simétrica.



27.

Todas contêm D.

28.

Sejam R e S relações em um conjunto A.

(a). Sejam R e S relações simétricas.

Seja ( x, y ) ∈ R ∪ S.

Como R ∪ S = { ( x, y ) / ( x, y ) ∈ R ∨ ( x, y ) ∈ S }, então ( x, y ) ∈ R ∨ ( x, y ) ∈ S.

Mas:

( x, y ) ∈ R ⇒ ( y, x ) ∈ R, pois R é reflexiva.

( x, y ) ∈ S ⇒ ( y, x ) ∈ S, pois S é reflexiva.

Logo ( x, y ) ∈ R ∪ S ⇒ ( y, x ) ∈ R ∨ ( y, x ) ∈ S ⇔ ( y, x ) ∈ R ∪ S.

Logo, R ∪ S é relação simétrica.

(b). Sejam R uma relação reflexiva e S uma relação qualquer.

Seja x ∈ A.

x ∈ A ⇒ ( x, x ) ∈ R, pois R é reflexiva.

( x, x ) ∈ R ⇒ ( x, x ) ∈ R ∪ S.

Logo R ∪ S é reflexiva.

29.

Sejam R e S relações simétricas em um conjunto A.

Sabemos que R ∩ S = { ( x, y ) / ( x, y ) ∈ R ∧ ( x, y ) ∈ S }

Seja ( x, y ) ∈ R ∩ S.

( x, y ) ∈ R ∩ S ⇔ ( x, y ) ∈ R ∧ ( x, y ) ∈ S ⇒ ( y, x ) ∈ R ∧ ( y, x ) ∈ S ⇒ ( y, x ) ∈ R ∩ S.

Logo, R ∩ S é relação simétrica.

30.

Pode! Por exemplo, a relação “x = y” é simétrica e anti-simétrica.

Seja R ⊆ A x A, x R y ⇔ x = y.

R simétrica em A: Sejam x, y ∈ A tais que x = y.

x = y ⇔ y = x ⇔ y R x.

Logo R é simétrica.

R anti-simétrica em A: Sejam x, y ∈ A tais que x = y e y = x

Então x = y.

Logo R é anti-simétrica.



31.

Sim, o conjunto vazio. Prova:

Na definição de simetria temos que

R ⊆ A x A é simétrica ⇔ ( ∀ x, y ∈ A )( x R y → y R x )

Então, seja A = ∅. Neste caso,

Sejam x, y ∈ A tais que x R y.

Como a premissa é falsa, pois ( x ∈ ∅ ⇔ F ) ∧ ( y ∈ ∅ ⇔ F ), então a relação é simétrica.

Como R é uma relação desconhecida, a prova acima vale para qualquer relação.

Outra possibilidade é um conjunto unitário. A verificação é deixada ao encargo do leitor.

32.

Quando A ≠ ∅, R ⊆ A x A, R ≠ ∅ e ( ∀ x, y, z ∈ A )( x R y ∧ y R z → x R z ) ⇔ F.

Prova:

Caso A = ∅ ou R = ∅, a premissa da propriedade de transitividade será falsa e a relação serátransitiva.

Caso a propriedade de transitividade seja verdadeira, a relação será transitiva.

Logo, a única forma de uma relação não ser transitiva é garantindo que a propriedade detransitividade seja falsa e isto passa por A ≠ ∅ e R ≠ ∅.

33.

Seja R ⊆ A x A relação transitiva. Então: ( ∀ x, y, z ∈ A )( x R y ∧ y R z ⇒ x R z )

Queremos mostrar que R-1 também é transitiva.

Sejam x, y, z ∈ A tais que x R-1 y e y R-1 z.

x R-1 y ∧ y R-1 z ⇔ y R x ∧ z R y ⇔ z R y ∧ y R x ⇒ z R x ⇔ x R-1 z.

Logo, R-1 é transitiva.

34.

(a) Verdadeiro. Prova:

Seja R ⊆ A x A relação simétrica. Então: ( ∀ x, y ∈ A )( x R y ⇒ y R x )

Como x R y ⇔ y R-1 x

Então y R-1 x ⇔ x R y ⇒ y R x ⇔ x R-1 y.

Logo, R-1 é simétrica.

(b) Verdadeiro. Prova:

Seja R ⊆ A x A relação anti-simétrica. Então: ( ∀ x, y ∈ A )( x R y ∧ y R x ⇒ x = y )

Como x R y ⇔ y R-1 x

Então x R-1 y ∧ y R-1 x ⇔ y R x ∧ x R y ⇒ x = y.

Logo, R-1 é anti-simétrica.



(c) Verdadeiro. Prova:

Seja R ⊆ A x A relação reflexiva. Então: ( ∀ x ∈ A )( x R x )

( ∀ x ∈ A )( ( x, x ) ∈ R ) ⇔ ( ∀ x ∈ A )( ( x, x ) ∈ R-1 )

Então ( x, x ) ∈ R ∩ R-1.

Logo, R ∩ R-1 ≠ ∅.

(d) Verdadeiro. Prova:

Seja R ⊆ A x A relação simétrica. Então: ( ∀ x, y ∈ A )( x R y ⇒ y R x )

Seja ( x, y ) ∈ R.

( x, y ) ∈ R ⇒ ( y, x ) ∈ R

Como

( x, y ) ∈ R ⇔ ( y, x ) ∈ R-1

( y, x ) ∈ R ⇔ ( x, y ) ∈ R-1

Então ( x, y ) ∈ R ⇔ ( x, y ) ∈ R-1 ⇒ ( x, y ) ∈ R ∩ R-1 ⇒ R ∩ R-1 ≠ ∅

Logo, R ∩ R-1 ≠ ∅.

(e) Falso. Prova:

Sejam A = { 1, 2, 3 }

R = { ( 1, 2 ) }

S = { ( 2, 3 ) }

Temos que R e S são ambas transitivas por omissão (a premissa é sempre falsa!), mas

R ∪ S = { ( 1, 2 ), ( 2, 3 ) }

não é transitiva, pois

( 1, 2 ) ∈ R ∪ S ∧ ( 2, 3 ) ∈ R ∪ S, mas ( 1, 3 ) ∉ R ∪ S.

Logo, a proposição é falsa.

(f) Verdadeiro. Prova:

Sejam R ⊆ A x A, S ⊆ A x A relações transitivas. Então:

( ∀ x, y, z ∈ A )( x R y ∧ y R z ⇒ x R z )

( ∀ x, y, z ∈ A )( x S y ∧ y S z ⇒ x S z )

Sejam x, y, z ∈ R ∩ S tais que x (R∩S) y e y (R∩S) z.

x (R∩S) y ∧ y (R∩S) z ⇔ ( x R y ∧ x S y ) ∧ ( y R z ∧ y S z ) ⇔

⇔ ( x R y ∧ y R z ) ∧ ( x S y ∧ y S z ) ⇒

⇒ ( x R z ) ∧ ( x S z ) ⇔ x (R∩S) z

Logo, R ∩ S é relação transitiva.

(g) Falso. Prova:

Sejam A = { 1, 2 }



R = { ( 1, 2 ) }

S = { ( 2, 1 ) }

Temos que R e S são ambas anti-simétricas por omissão (a premissa é sempre falsa!), mas

R ∪ S = { ( 1, 2 ), ( 2, 1 ) }

não é anti-simétrica, pois

( 1, 2 ) ∈ R ∪ S ∧ ( 2, 1 ) ∈ R ∪ S, mas 1 ≠ 2.

Logo, a proposição é falsa.

(h) Verdadeiro. Prova:

Sejam R ⊆ A x A, S ⊆ A x A relações anti-simétricas. Então:

( ∀ x, y ∈ A )( x R y ∧ y R x ⇒ x = y )

( ∀ x, y ∈ A )( x S y ∧ y S x ⇒ x = y )

Sejam x, y ∈ R ∩ S tais que x (R∪S) y e y (R∪S) x.

x (R∩S) y ∧ y (R∩S) x ⇔ ( x R y ∧ x S y ) ∧ ( y R x ∧ y S x ) ⇔

⇔ ( x R y ∧ y R x ) ∧ ( x S y ∧ y S x ) ⇔

⇔ ( x = y ) ∧ ( x = y ) ⇔ x = y

Logo, R ∩ S é relação anti-simétrica.

(i) Verdadeiro. Prova:

Sejam R ⊆ A x A, S ⊆ A x A relações reflexivas. Então:

( ∀ x ∈ A )( x R x )

( ∀ x ∈ A )( x S x )

Seja x ∈ A.

x (R∪S) x ⇔ ( x R x ) ∨ ( x S x ) ⇔ V ∨ V ⇔ V

Logo, R ∪ S é relação reflexiva.

(j) Verdadeiro. Prova:

Sejam R ⊆ A x A, S ⊆ A x A relações reflexivas. Então:

( ∀ x ∈ A )( x R x )

( ∀ x ∈ A )( x S x )

Seja x ∈ A.

x (R∩S) x ⇔ ( x R x ) ∧ ( x S x ) ⇔ V ∧ V ⇔ V

Logo, R ∩ S é relação reflexiva.

35.

(a). A = { 1, 2, 3 } R = { ( 1, 1 ) }

(b). A = { 1, 2, 3 } S = { ( 1, 2 ), ( 2, 1 ), ( 1, 3 ) }



36.

(a). Falso. Por exemplo, sejam A = { 1, 2 }, R = { ( 1, 2 ) }.

Temos que R é assimétrica em A, pois o único par da relação é ( 1, 2 ) e seu simétrico, ( 2, 1 ) nãopertence à mesma. Logo ( ∀ x, y ∈ A )( x R y ⇒ y R x ).

Da mesma forma, R não é simétrica em A, pois ( 1, 2 ) ∈ R ∧ ( 2, 1 ) ∉ R.

(b). Verdadeiro. Prova:

Seja R ⊆ A x A relação irreflexiva e transitiva. Então:

( ∀ x ∈ A )( x R/ x )

( ∀ x, y, z ∈ A )( x R y ∧ y R z ⇒ x R z )

Suponhamos, por absurdo, que R não seja assimétrica. Então:

( ∃ x, y ∈ A )( x R y ∧ y R x )

Mas x R y ∧ y R x ⇒ x R x

Mas x R x ⇔ F, pois R é irreflexiva!

Então é absurdo pensar que R não seja assimétrica.

Logo, R é também assimétrica.

(c). Falso. Por exemplo, sejam A = { 1, 2 }, R = { ( 1, 1 ) }.

Temos que:

R é não vazia, pois ( 1, 1 ) ∈ R

R é simétrica, pois para o único par disponível, ( 1, 1 ) ∈ R ⇒ ( 1, 1 ) ∈ R.

Logo, ( ∀ x, y ∈ A )( x R y ⇒ y R x )

R é transitiva, pois para o único par disponível, ( 1, 1 ) ∈ R ∧ ( 1, 1 ) ∈ R ⇒ ( 1, 1 ) ∈ R.

Logo, ( ∀ x, y, z ∈ A )( x R y ∧ y R z ⇒ x R z )

No entanto, R não é irreflexiva, pois ( 1, 1 ) ∈ R.

37.

Sejam S o conjunto de todos os livros de uma biblioteca,

R ⊆ S x S, x R y ↔ "a cor da capa de x é a mesma da cor da capa de y".

R é reflexiva?

Seja x ∈ S. Como a cor da capa de x é a mesma da cor da capa de x, então x R x.


R é transitiva?

Sejam x, y, z ∈ S tais que x R y e y R z.

x R y ⇔ a cor da capa de x é a mesma da cor da capa de y

y R z ⇔ a cor da capa de y é a mesma da cor da capa de z

Então x e z têm a mesma cor de capa. Logo x R z.


R é simétrica?



Sejam x, y ∈ S tais que x R y.

x R y ⇔ a cor da capa de x é a mesma da cor da capa de y

⇔ a cor da capa de y é a mesma da cor da capa de x ⇔ y R x

Logo y R x.

Logo, R é simétrica.


As classes de equivalência geradas são “os conjuntos de livros de mesma cor de capa”. Exemplo:livros de capa vermelha, livros de capa azul, etc.

38.

R = { ( x, y ) / x ∈ N, y ∈ N, ( x − y ) é divisível por 5 }

R é reflexiva?

Seja x ∈ N.

x R x ⇔ x – x divisível por 5 ⇔ 0 divisível por 5 ⇔ V

Logo, R é reflexiva

R é transitiva?

Sejam x, y, z ∈ N tais que x R y e y R z.

x R y ∧ y R z ⇔ x – y divisível por 5 ∧ y – z divisível por 5.

Chamando k = x – y, m = y – z temos

x – z = x – y + y – z = k + m.

Como k divisível por 5 e m divisível por 5, então k + m divisível por 5.

Então x – z divisível por 5 ⇔ x R z.


R é simétrica?

Sejam x, y ∈ N tais que x R y.

x R y ⇔ x – y divisível por 5.

Mas x – y divisível por 5 ⇔ y – x divisível por 5, pois o sinal não afeta a divisibilidade de umnúmero. Então y – x divisível por 5 ⇔ y R x.


39.

Sejam S o conjunto de todas as proposições compostas com n proposições simples,

R ⊆ S x S, x R y ↔ ( x ⇔ y ).

R é reflexiva?

Seja x ∈ S. Como x ⇔ x, então ( ∀ x ∈ S )( x R x ).

R é transitiva?


x R y ∧ y R z ⇔ ( x ⇔ y ) ∧ ( y ⇔ z ) ⇒ ( x ⇔ z ) ⇔ x R z



Logo, ( ∀ x, y, z ∈ S )( x R y ∧ y R z ⇒ x R z )

R é simétrica?

Sejam x, y ∈ S tais que x R y.

x R y ⇔ ( x ⇔ y ) ⇒ ( y ⇔ x ) ⇔ y R x

Logo, ( ∀ x, y ∈ S )( x R y ⇒ y R x )


40.

(a). (b). (c).

41.

42.

(a). X R Y ↔ “a tarefa X é pré-requisito da tarefa Y ou é a própria tarefa Y”

R é reflexiva?

Seja x ∈ A. Como x é a própria tarefa x, então x R x.


R é transitiva?


x R y ∧ y R z ⇔

⇔ ( a tarefa x é pré-requisito da tarefa y ou é a própria tarefa y ) ∧

∧ ( a tarefa y é pré-requisito da tarefa z ou é a própria tarefa z ) ⇔

⇔ ( ( a tarefa x é pré-requisito da tarefa y ) ∧ ( a tarefa y é pré-requisito da tarefa z ) ) ∨

∨ ( ( a tarefa x é pré-requisito da tarefa y ) ∧ ( a tarefa y é a própria tarefa z ) ) ∨

∨ ( ( a tarefa x é a própria tarefa y ) ∧ ( a tarefa y é pré-requisito da tarefa z ) ) ∨

∨ ( ( a tarefa x é a própria tarefa y ) ∧ ( a tarefa y é a própria tarefa z ) ) ⇒

⇒ ( a tarefa x é pré-requisito da tarefa z ) ∨

∨ ( a tarefa x é pré-requisito da tarefa z ) ∨

∨ ( a tarefa x é pré-requisito da tarefa z ) ∨

52

1

3

60

12

5

30

3

45

90

8 9

32

1

6

72



∨ ( a tarefa x é a própria tarefa z ) ⇔

⇔ ( a tarefa x é pré-requisito da tarefa z ) ∨ ( a tarefa x é a própria tarefa z ) ⇔ x R z

Logo, ( ∀ x, y, z ∈ S )( x R y ∧ y R z ⇒ x R z )

R é anti-simétrica?

Sejam x, y ∈ S tais que x R y e y R x.

x R y ∧ y R x ⇔

⇔ ( a tarefa x é pré-requisito da tarefa y ou é a própria tarefa y ) ∧

∧ ( a tarefa y é pré-requisito da tarefa z ou é a própria tarefa x ) ⇔

⇔ ( ( a tarefa x é pré-requisito da tarefa y ) ∧ ( a tarefa y é pré-requisito da tarefa x ) ) ∨

∨ ( ( a tarefa x é pré-requisito da tarefa y ) ∧ ( a tarefa y é a própria tarefa x ) ) ∨

∨ ( ( a tarefa x é a própria tarefa y ) ∧ ( a tarefa y é pré-requisito da tarefa x ) ) ∨

∨ ( ( a tarefa x é a própria tarefa y ) ∧ ( a tarefa y é a própria tarefa x ) ) ⇒

⇒ F ∨ F ∨ F ∨ ( x = y ) ⇒

⇒ ( x = y )

Logo, ( ∀ x, y ∈ S )( x R y ∧ y R x ⇒ x = y )

Logo, R é relação de ordem.

Para mostrarmos que R é de ordem parcial, basta observar, por exemplo, que as tarefas“entalhamento dos arcos” e “entalhamento do assento” não relacionam-se entre si.

(b).

43.

(a). x R y ⇔ x – y = 5

Não reflexiva, Irreflexiva, Não transitiva, Não simétrica, Assimétrica, Anti-simétrica.

(b). x R y ⇔ x2 + y2 ≤ 4

Não reflexiva, Não irreflexiva, Não transitiva, Simétrica, Não assimétrica, Não anti-simétrica.

(c). x R y ⇔ y ≤ x2

1

2 3 4 5

6

8

910

7

11

12



Reflexiva, Não irreflexiva, Não transitiva, Não simétrica, Não assimétrica, Não anti-simétrica.

(d). x R y ⇔ x = y-1

Não reflexiva, Não irreflexiva, Não transitiva, Simétrica, Não assimétrica, Anti-simétrica.

(e). x R y ⇔ y = ex

Não reflexiva, Irreflexiva, Não transitiva, Não simétrica, Assimétrica, Anti-simétrica.

(f). x R y ⇔ x = y

Reflexiva, Não irreflexiva, Transitiva, Simétrica, Não assimétrica, Anti-simétrica.

(g). x R y ⇔ x < y

Não reflexiva, Irreflexiva, Transitiva, Não simétrica, Assimétrica, Anti-simétrica.

(h). x R y ⇔ x ≠ y

Não reflexiva, Irreflexiva, Não transitiva, Simétrica, Não assimétrica, Não anti-simétrica.

(i). x R y ⇔ x.y é par

Não reflexiva, Não irreflexiva, Não transitiva, Simétrica, Não assimétrica, Não anti-simétrica.

44.

(a). x R y ⇔ x – y = 5 Relação nem de ordem nem de equivalência

(b). x R y ⇔ x2 + y2 ≤ 4 Relação nem de ordem nem de equivalência

(c). x R y ⇔ y ≤ x2 Relação nem de ordem nem de equivalência

(d). x R y ⇔ x = y-1 Relação nem de ordem nem de equivalência

(e). x R y ⇔ y = ex Relação nem de ordem nem de equivalência

(f). x R y ⇔ x = y Relação de equivalência

(g). x R y ⇔ x < y Relação nem de ordem nem de equivalência

(h). x R y ⇔ x ≠ y Relação nem de ordem nem de equivalência

(i). x R y ⇔ x.y é par Relação nem de ordem nem de equivalência

45.

(a). R = { ( x, y ) ∈ R x R / x – y = 5 }

(b). R = { ( x, y ) ∈ R x R / x2 + y2 ≤ 4 }

(c). R = { ( x, y ) ∈ R x R / y ≤ x2 }

(d). R = { ( x, y ) ∈ R x R / x = y-1 }

(e). R = { ( x, y ) ∈ R x R / y = ex }

(f). R = { ( x, y ) ∈ R x R / x = y }

(g). R = { ( x, y ) ∈ R x R / x < y }

(h). R = { ( x, y ) ∈ R x R / x ≠ y }

(i). R = { ( x, y ) ∈ R x R / x.y é par }

46.



(a). x R y ⇔ xy

∈ A, definida em A = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }

Reflexiva, Não irreflexiva, Transitiva, Não simétrica, Não assimétrica, Anti-simétrica.

Classificação: Relação de ordem

(b). x R y ⇔ xy

∈ A, definida em Z.



(c). ( x, y ) R ( z, t ) ⇔ x = z, definida em R x R.

Reflexiva, Não irreflexiva, Transitiva, Simétrica, Não assimétrica, Não anti-simétrica.

Classificação: Relação de equivalência

(d). ( x, y ) R ( z, t ) ⇔ x + t = y + z, definida em N x N.

Reflexiva, Não irreflexiva, Transitiva, Simétrica, Não assimétrica, Não anti-simétrica.

Classificação: Relação de equivalência

(e). ( x, y ) R ( z, t ) ⇔ x ≤ z ∧ y ≤ t, definida em R* x R*.



(f). ( x, y ) R ( z, w ) ⇔ wz

yx

≤ , definida em R* x R*.

Reflexiva, Não irreflexiva, Transitiva, Não simétrica, Não assimétrica, Não anti-simétrica.

Classificação: Relação nem de ordem nem de equivalência

1100..44 EElleemmeennttooss NNoottáávveeiiss,, RReettiiccuullaaddooss && ÁÁllggeebbrraass BBoooolleeaannaass

47.

(a).

+ 1 2 3 4 6 12 . 1 2 3 4 6 12

1 1 2 3 4 6 12 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 6 4 6 12 2 1 2 1 2 2 2

3 3 6 3 12 6 12 3 1 1 3 1 3 3

4 4 4 12 4 12 12 4 1 2 1 4 2 4

6 6 6 6 12 6 12 6 1 2 3 2 6 6

12 12 12 12 12 12 12 12 1 2 3 4 6 12

Logo, como existem supremo e ínfimo para todos os conjuntos de dois elementos, ( A, R ) é umreticulado.

1

32

4 6

12



(b).

Não pois a relação não é de ordem! A relação não é transitiva, pois

( 5, 3 ) ∈ R ∧ ( 3, 2 ) ∈ R, mas ( 5, 2 ) ∉ R.

Logo, a relação não é transitiva e, por conseqüência, não é de ordem. Logo, a estrutura formada nãoé um reticulado.

48.

(a). A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

(b). R = { (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3),

(2,4), (2,5), (3,4), (3,5) }

(c). Não, pois não existe supremo para { 4, 5 }.

(d). D(R) = A, I(R) = A e C(R) = A

(e). SA(T) = { 5 }

IA(T) = { 0 }

supA(T) = 5

infA(T) = 0

maxA(T) = 5

∃/ minA(T)

49.

(a). A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

(b). R = { (6,6), (6,5), (6,4), (6,3), (6,2), (6,1), (5,5), (5,3), (5,1), (4,4), (4,3), (4,2), (4,1), (3,3), (3,1),

(2,2), (2,1), (1,1) }

(c).

+ 1 2 3 4 5 6 . 1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6

2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 4 6 6

3 1 1 3 3 3 3 3 3 4 3 4 5 6

4 1 2 3 4 3 4 4 4 4 4 4 6 6

5 1 1 3 3 5 5 5 5 6 5 6 5 6

6 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6


(d). D(R) = A, I(R) = A e C(R) = A

(e). SA(T) = { 1, 3 } IA(T) = { 6 }

supA(T) = 3 infA(T) = 6

maxA(T) = 3 ∃/ minA(T)

45

3

1

2

6



50.

(a). R = { (a,a), (a,d), (a,e), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (b,e), (c,c), (c,e), (d,d), (d,e), (e,e) }

(b).

(c).

+ a b c d e . a b c d e

a a a e d e a a b b a a

b a b c d e b b b b b b

c e c c e e c b b c b c

d d d e d e d a b b d d

e e e e e e e a b c d e


51.

(a).

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

B = { 2, 4, 6, 8 }

C = { 1, 3, 5, 7, 9 }

D = { 3, 4, 5 }

E = { 3, 5 }

(b). ( H, R ) não é reticulado pois não existe ínfimo para { B, D } , { B, C } e { B, E }.

(c). maxH(H) = A

∃/ minH(H)

52.

(a). SA(E) = { 1, 2, 3 } IA(E) = { 8 } SA(F) = { 2 } IA(F) = { 6, 8 } SA(G) = ∅ IA(G) = { 8 }

(b). ∃/ maxA(E) ∃/ minA(E) maxA(F) = 2 minA(F) = 6 ∃/ maxA(G) ∃/ minA(G)

(c). supA(E) = 3 infA(E) = 8 supA(F) = 2 infA(F) = 6 ∃/ supA(G) infA(G) = 8

(d). ∃/ maxA(A) minA(A) = 8

(e). ∃/ supA(A) infA(A) = 8

e

d

a

b

c

A

B

D

E

C



53.

A = { { 1 } , { 3 } , { 1, 2 } , { 1, 3 } , { 2, 3 } , { 1, 2, 3 } }

(a). Já provado na apostila!

(b). D(R) = A, I(R)=A

(c).

(d). SA(B) = { { 1, 2, 3 } } IA(B) = { { 1 } }

∃/ maxA(B) ∃/ minA(B)

supA(B) = { 1, 2, 3 } infA(B) = { 1 }

54.

(a). Provado na apostila para qualquer conjunto!

(b). É cópia do exercício 89 (a).

(c). SA(T) = { 6, 12 } IA(T) = { 1 }

maxA(T) = 6 ∃/ minA(T)

supA(T) = 6 infA(T) = 1

(d). É cópia do exercício 89 (b).

55.

(a). E = { { 4, 1 } , { 4, 2 } , { 5, 1 } , { 5, 2 } , { 5, 3 } , { 2, 1 } , { 3, 1 } , { 4, 2, 1 } , { 4, 3, 1 } , { 5, 2, 1 } ,

{ 5, 3, 1 } }

(b).

56.

supQ(x) = 16 = 4

infQ(x) = 32 = 24

57.

(a). Não é álgebra booleana, pois não é distributivo. Com efeito:

{ 1, 2, 3 }

{ 1, 2 }

{ 1 } { 3 }

{ 2, 3 }

{ 1, 3 }

{ 5, 3 }{ 4, 2 }{ 4, 1 } { 5, 2 }{ 5, 1 }{ 3, 1 }{ 2, 1 }

{ 4, 2, 1 } { 4, 3, 1 } { 5, 2, 1 } { 5, 3, 1 }



F

V

2 + ( e ⋅ 4 ) = 2 + 1 = 2

( 2 + e ) ⋅ ( 2 + 4 ) = 5 ⋅ 5 = 5

Como são diferentes, o reticulado não é distributivo.

(b). É álgebra booleana, pois é reticulado limitado, distributivo e, por conseqüência, unicamentecomplementado. Prova:

+ 1 2 ⋅ 1 2

1 1 2 1 1 1

2 2 2 2 1 2

Logo é reticulado

Max(L) = 2

Min(L) = 1

Logo, é limitado

É distributivo, por associação com o reticulado, que dá origem à lógica proposicional.

Logo, é álgebra booleana.

(c). Não é álgebra booleana porque não é reticulado. Com efeito, não existe ínfimo para { 1, 2 }

58.

(a). maxR(I) = -2 minR(I) = 6

(b). SR(I) = ( -∞ ; -2 ] IR(I) = [ 6 ; +∞ )

59.

L = { ( 2, 5 ) , ( 2 , 10 ) , ( 3, 5 ) , ( 3, 10 ) }

(a).

(b). É ordem parcial, pois, por exemplo, ( 3, 5 ) R/ ( 2, 10 ) e ( 2, 10 ) R/ ( 3, 5 ).

(c). É reticulado. Construindo as tabelas de supremo e de ínfimo temos:

+ ( 2,5 ) ( 2,10 ) ( 3,5 ) ( 3,10 ) . ( 2,5 ) ( 2,10 ) ( 3,5 ) ( 3,10 )

( 2,5 ) ( 2,5 ) ( 2,10 ) ( 3,5 ) ( 3,10 ) ( 2,5 ) ( 2,5 ) ( 2,5 ) ( 2,5 ) ( 2,5 )

( 2,10 ) ( 2,10 ) ( 2,10 ) ( 3,10 ) ( 3,10 ) ( 2,10 ) ( 2,5 ) ( 2,10 ) ( 2,5 ) ( 2,10 )

( 3,5 ) ( 3,5 ) ( 3,10 ) ( 3,5 ) ( 3,10 ) ( 3,5 ) ( 2,5 ) ( 2,5 ) ( 3,5 ) ( 3,5 )

( 3,10 ) ( 3,10 ) ( 3,10 ) ( 3,10 ) ( 3,10 ) ( 3,10 ) ( 2,5 ) ( 2,10 ) ( 3,5 ) ( 3,10 )

Logo, é reticulado.

E o complemento do elemento (2,5) é dado por (2,5)' = (3,10).

( 3, 10 )

( 3, 5 )

( 2, 5 )

( 2, 10 )



60.

(a). É reticulado, pois

+ 1 2 3 5 12 60 . 1 2 3 5 12 60

1 1 2 3 5 12 60 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 12 60 12 60 2 1 2 1 1 2 2

3 3 12 3 60 12 60 3 1 1 3 1 3 3

5 5 60 60 5 60 60 5 1 1 1 5 1 5

12 12 12 12 60 12 60 12 1 2 3 1 12 12

60 60 60 60 60 60 60 60 1 2 3 5 12 60

É limitado, pois MaxL(L) = 60 MinL(L) = 1

(b). Não é reticulado, pois ∃/ infL( { 3, 5 } ) ∧ ∃/ infL( { 30, 45 } ).

(c). É reticulado, pois

+ 1 2 3 6 8 9 72 . 1 2 3 6 8 9 72

1 1 2 3 6 8 9 72 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 6 6 8 72 72 2 1 2 1 2 2 1 2

3 3 6 3 6 72 9 72 3 1 1 3 3 1 3 3

6 6 6 6 6 72 72 72 6 1 2 3 6 2 3 6

8 8 8 72 72 8 72 72 8 1 2 1 2 8 1 8

9 9 72 9 72 72 9 72 9 1 1 3 3 1 9 9

72 72 72 72 72 72 72 72 72 1 2 3 6 8 9 72

É limitado, pois MaxL(L) = 72 MinL(L) = 1

61.

O reticulado é idêntico ao do exercício 89!!! Basta associar as respostas aos elementos:

(a). SA(E) = { a, b, c } IA(E) = { h } SA(F) = { b } IA(F) = { f, h } SA(G) = ∅ IA(G) = { h }

(b). ∃/ maxA(E) ∃/ minA(E) maxA(F) = b minA(F) = f ∃/ maxA(G) ∃/ minA(G)

(c). supA(E) = c infA(E) = h supA(F) = b infA(F) = f ∃/ supA(G) infA(G) = h

(d). ∃/ supA(A) infA(A) = h ∃/ maxA(A) minA(A) = h

62.

É reticulado. Montando o diagrama de Hasse, temos:



+ A1 A2 A3 A4 A6 A12 . A1 A2 A3 A4 A6 A12

A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A2 A3 A4 A6 A12

A2 A1 A2 A1 A2 A2 A2 A2 A2 A2 A6 A4 A6 A12

A3 A1 A1 A3 A1 A3 A3 A3 A3 A6 A3 A12 A6 A12

A4 A1 A2 A1 A4 A2 A4 A4 A4 A4 A12 A4 A12 A12

A6 A1 A2 A3 A2 A6 A6 A6 A6 A6 A6 A12 A6 A12

A12 A1 A2 A3 A4 A6 A12 A12 A12 A12 A12 A12 A12 A12

Logo, a estrutura é um reticulado.

63.

Não é distributivo, pois, por exemplo:

b + ( c . f ) = b + a = b

( b + c ) . ( b + f ) = c . d = c

Como os resultados não foram iguais, a propriedade de distributividade não é sempre válida.

64.

(a). Sim: “1” = a, “0” = h

(b).

x x'

a h

b g

c f

d e

e d

f c

g b

h a

(c). É reticulado limitado, distributivo e unicamente complementado (veja os detalhes na apostila).

Logo é uma álgebra booleana.

A12

A3

A6

A2

A4

A1



65. Seja ( L, +, • ) uma álgebra booleana. Sejam x, y ∈ L tais que x R y.

Então, sabendo que x R y, temos:

x • y = x

x + y = y

Então: ( x • y ) + ( x + y ) = x + y = y

Logo, ( ∀ x , y ∈ L ) ( x R y → ( x • y ) + ( x + y ) = y )

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