equções algébricas
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Aula de álgebra destinada a alunos do 9o ano do ensino fundamental e revisão para alunos do 1o do ensino médio do CEAL.
O objetivo deste trabalho, é introduzir o estudo das equações de forma descontraída, chamando atenção para as operações fundamentais e o uso das letras no estudo da matemática. Observa se ainda a evolução do aluno no decorrer de sua formação.
Professora Enoêmia.
Equações Algébricasoperações algébricas como: operações algébricas como:
adição, subtração, adição, subtração,
multiplicação, divisão e multiplicação, divisão e
radiciação.radiciação.
Equações algébricas são equações
nas quais a incógnitaxestá sujeita a
EAAEAA
Equação do primeiro grauEquação do primeiro grau
==
Os números reaisa e bsão os coeficientes da equação.
(1o membro) (2o membro)aax + x + bb 0
EAAEAA
Resolução de equações
1. x + 8 = 15
x + 8= 15x = 7
- 8
2. x -10= 12x = 12+ 10
x = 22- 10
EAAEAA
= 9 - 15
x= (- 6)
3. +
+ 15
= 9
. 3
= - 6
15
x = 18-
x_3
3
_
x
x_
_3
3
EAAEAA
4. 2x = 18
x =
x =3
2
__
3
2
+15
+15 -15
2x=
18
2
EAAEAA
Equação do segundo grau
ax² + bx + c = 0
Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:
Os números reaisa, b e csão os coeficientes da equação.
EAAEAA
Exemplo:
x² - 5 x + 6 = 0
Identificando os coeficientes: ax² + bx + c = 0
a = 1b = -5
c = 6
EAAEAA
Vamos completar a tabela
Equação a b c
1 - 6 8
1
1
- 1
- 10 25
2 4 140 1
2 0
x² - 10 x + 25 = 0
x² - 6x + 8 = 0
2x² + 4x + 14 = 0
x² + 1 = 0 - x² + 2x = 0
EAAEAA
Fórmula de Bháskara
a
bx
2
ax² + bx + c = 0BhaskaraAcharya(B. o Instruído )
viveu de1 114a1 185aprox.naIndia.{ (delta)letradoalfabetogrego,usada
para representarovalordaequação
b² - 4ac }.EAAEAA
= b² - 4ac é o discriminante da equação de
2o grau ax2 + bx + c = 0.
onde a é o coeficiente de x2, b é o coeficiente de x
e c o termo independente.
EAAEAA
Exemplos
3x² - 3x + 6 = 0 a = 3 b = -3 c = 6,,
1. Calcule o discriminante na equação.
= b² - 4ac (-3)2 -4.3.6 =
9 - 4.18 = 9 - 72
=
- 63 =
EAAEAA
x² + 6x + 9 = 0 a = 1 b = -6 c = 9,,
2. Calcule o discriminante na equação.
= b² - 4ac (-6)2 - 4 . 1.9 =
36 - 36 = 0
=
EAAEAA
x² + 2x - 3 = 0 a = 1 b = 2 c = -3,,
3. Calcule o discriminante na equação.
= b² - 4ac 22 - 4. 2.(-3) =
4 - 8.(-3) = 4 + 24
=
28 =
EAAEAA
Sendo = b² - 4ac e
a
acbbx
2
42
a
acx
2
4b- b- '
2
a
ac
2
4b b- x"
2
Dada a equação de 2o grau ax2 + bx + c = 0.
temos, acb 42
logo,
a
bx
2
EAAEAA
ExemplosExemplos1. x² - 5 x + 6 = 0 a=1 b=-5 c=6,,
a
acbbx
2
42 x = -(-5)+ (-5)2 ______________
2.1
_ -4.1.6
x = 5 + 25 ____________2
- 24_x’ = 5 1
2_____ x’ = 42
__ x” = 2
S ={2; 3}
x” = 5 1 2+____ x”= 6
2__ x” = 3
EAAEAA
2. x² + 8x + 15 = 0
a = 1 b = 8 c = 15,,
a
acbbx
2
42 x = - 8 + 82 ______________
2.1
_ -4.1.15
x = -8 + 64 ____________2
- 60_x’= -8 4
2_____ x’= -10
2__ x’ = -5
S ={-5; -3}
x”= -8 4 2+____ x”= -6
2__ x”= -3
EAAEAA
3. x² + 6 x + 9 = 0a = 1 b = 6 c = 9,,
a
acbbx
2
42 x = - 6 + 62 ______________
2.1
_ -4.1.9
x = -6 + 36 ____________2
- 36_x’= -6 0
2_____ x’= -6
2__ x’= -3
S ={-3}
x”= -6 0 2+____ x”= -6
2__ x”= -3
EAAEAA
4. 3 x² - x + 3 = 0a = 3 b = -1 c = 3,,
a
acbbx
2
42 x = - (-1)+ (-1)2 ______________
2.3
_ -4.3.3
x = 1 + 1 ____________6
-36_x= 1 -35
6_______
S ={ }
+ x
EAAEAA
O discriminante há três possíveis situações:
1. Se
há duas soluções reais e diferentes:
e
> 0
-bx’ = -_____2a
-bx” = +2a
_____
EAAEAA
x² - 5 x + 6 = 0 a=1 b=-5 c=6,,
a
acbbx
2
42 x = -(-5)+ (-5)2 ______________
2.1_ -4.1.6
5 + 25 ____________2
- 24_x’ = 5 1
2_____ x’ = 4
2__x’ = 2
A equação possui duas raízes diferentes.
x” = 5 1 2+____ x” = 6
2__x” = 3
Logo, > 0
Exemplo
x =
EAAEAA
x' = x”
a
b
2
2. Se há duas soluções reais iguais:
= 0
a
bx
2
a
bx
2
0
EAAEAA
x² + 6 x + 9 = 0 a = 1 b = 6 c = 9,,
a
acbbx
2
42 x = - 6 + 62 ______________
2.1
_ -4.1.9
-6 + 36 ____________2
- 36_x’= -6 0
2_____ x’= -6
2__ x’= -3
A equação possui duas raízes iguais.
x”= -6 0 2+____ x”= -6
2__ x”= -3
Logo, = 0
Exemplo
x =
EAAEAA
não há solução real, pois não existe raiz
ax
2
-b-
logo,
x
3. Se < 0
quadrada real de número negativo.
EAAEAA
3 x² - x + 3 = 0 a = 3 b = -1 c = 3,,
a
acbbx
2
42 x = - (-1)+ (-1)2 ______________
2.3
_ -4.3.3
x = 1 + 1 ____________6
-36_x= 1 -35
6_______
A equação não possui raízes reais.
+ x
Logo, < 0
Exemplo
EAAEAA
Exemplos
3x² - 3x + 6 = 0 a = 3 b = -3 c = 6,,
1. Determine o número de raízes na equação.
= b² - 4ac (-3)2 -4.3.6 =
9 - 4.18 = 9 - 72
= - 63
=
A equação não possui raízes reais.
EAAEAA
x² + 6x + 9 = 0 a = 1 b = -6 c = 9,,
2. Determine o número de raízes na equação.
= b² - 4ac (-6)2 - 4 . 1.9 =
36 - 36 = 0
=
A equação possui duas raízes iguais.
EAAEAA
x² + 2x - 3 = 0 a = 1 b = 2 c = -3,,
3. Determine o número de raízes na equação.
= b² - 4ac 22 - 4. 2.(-3) =
4 - 8.(-3) = 4 + 24
= 28
=
A equação possui duas raízes diferentes.
EAAEAA
Resolva as equações.
a) x² - 3x + 2 = 0
b) 2y² - 14y + 12 = 0
c) - x² + 7x – 10 = 0
d) 5x² - x + 7 = 0
e) 7x² - 3x = 4x + x²
f) z² - 8z + 12 = 0
g) y² - 25 = 0
h) x² - 1/4 = 0
i) 5x² - 10x = 0
j) 5 + x² = 9
EAAEAA