equções algébricas
TRANSCRIPT
Aula de álgebra destinada a alunos do 9o ano do ensino fundamental do CEAL.
O objetivo deste trabalho, é introduzir o estudodas equações de forma descontraída, chamandoatenção para as operações fundamentais e o usodas letras no estudo da matemática. Observa seainda a evolução do aluno no decorrer de suaformação.
Equações algébricas
EAAEAA
Equações algébricas são equações nas quais
a incógnita x está sujeita a operações operações
algébricas como: adição, subtração, algébricas como: adição, subtração,
multiplicação, divisão e radiciação.multiplicação, divisão e radiciação.
EAAEAA
Equação do primeiro grauEquação do primeiro grau
Os números reais a e b são os coeficientes
da equação.
(1o membro) (2o membro)
EAAEAA
As equações de 1o grau são equações na
forma.
ax + b = 0
Resolução de equações
a) x + 8 = 15
x + 8 = 15
x = 7
- 8
b) x - 10 = 12
x = 12 + 10
x = 22
- 10
EAAEAA
= 9 - 15
x= (- 6)
c) +
+ 15
= 9
. 3
= - 6
15
x = 18-
x3
3x
x3
3
EAAEAA
d) 2x = 18
x =
x =3
2
3
2
+15
+15 - 15
2x =
18
2
EAAEAA
Equação do segundo grau
ax² + bx + c = 0
Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:
Os números reais a, b e c são os
coeficientes da equação.EAAEAA
Exemplo:
x² - 5 x + 6 = 0
Identificando os coeficientes:
ax² + bx + c = 0a = 1
b = -5
c = 6
EAAEAA
Vamos completar a tabela
cbaEquação1 - 6 8
1
1
- 1
- 10 25
2 4 14
0 1
2 0
x² - 10 x + 25 = 0
x² - 6x + 8 = 0
2x² + 4x + 14 = 0
x² + 1 = 0
- x² + 2x = 0
EAAEAA
Fórmula de Bháskara
a
bx
2
∆±−=
∆(delta) letra do alfabeto grego, usada
para representar o valor da equação:
b² - 4ac .
EAAEAA
= b² - 4ac, é o discriminante da equação de 2o grau ax2 + bx + c = 0. Onde a é o∆
coeficiente de x2, b é o coeficiente de x e c o termo independente.
EAAEAA
Exemplos
3x² - 3x + 6 = 0, a = 3, b = -3, c = 6
1. Calcule o discriminante na equação.∆
= b² - 4ac∆(-3)2 - 4 . 3. 6=∆
9 - 4 . 18= ∆9 - 72= ∆- 63=∆ EAAEAA
x² + 6x + 9 = 0
a = 1, b = - 6, c = 9
2. Calcule o discriminante na equação.∆
= b² - 4ac∆
(- 6)2- 4 .1.9=∆36 - 36= ∆
0 = ∆EAAEAA
x² + 2x - 3 = 0 a = 1, b = 2, c = - 3
3. Calcule o discriminante na equação.∆
= b² - 4ac∆22 - 4 . 2. (- 3)= ∆
4 - 8 . (- 3)= ∆
4 + 24= ∆
28= ∆EAAEAA
Sendo = b² - 4ac e
a
acbbx
2
42 −±−=
a
acx
2
4b- b- '
2 −=
a
ac
2
4b b- x"
2 −+=
Dada a equação de 2o grau.
∆
temos, acb 42 −=∆
logo,
a
bx
2
∆±−=
EAAEAA
ax2 + bx + c = 0.
ExemplosExemplos
a) x² - 5 x + 6 = 0 a = 1, b = -5, c = 6
a
acbbx
2
42 −±−= x = -(-5)+ (-5)2__________________2.1
_ - 4 .1 . 6
x = 5 + 25 ____________2
- 24_x’ =5 1
2
______⇒ x’ = 4
2__
⇒ x” = 2
S ={2; 3}
x” = 5 1 2+_____
⇒ x”= 62
__⇒ x” = 3
⇒
EAAEAA
b) x² + 8x + 15 = 0a = 1, b = 8, c = 15
a
acbbx
2
42 −±−= x = - 8 + 82_________________2.1
_ -4 .1 .15
x = -8 + 64 ____________2
- 60_x’= -8 4
2
_____⇒ x’=-10
2__
⇒ x’ = -5
S ={-5; -3}
x”=-8 4 2
+____⇒ x”= -6
2__
⇒ x”= -3
⇒
EAAEAA
c) x² + 6 x + 9 = 0a = 1 b = 6 c = 9,,
a
acbbx
2
42 −±−= x = - 6 + 62_________________2.1
_ -4 .1 .9
x = -6 + 36 ____________2
- 36_x’= -6 0
2
_____⇒ x’= -6
2__
⇒ x’= -3
S ={-3}
x”= -6 0 2
+____⇒ x”= -6
2__
⇒ x”= -3
⇒
EAAEAA
d) 3 x² - x + 3 = 0a = 3 b = -1 c = 3,,
a
acbbx
2
42 −±−= x = - (-1) + (-1)2______________2.3
_-4. 3 . 3
x = 1 + 1 ____________6
- 36_x= 1 -35
6
_______
S ={ }
⇒
⇒
+ x ℜ∉⇒
EAAEAA
O discriminante∆ há três possíveis situações:
1. Se ∆há duas soluções reais e diferentes:
e
> 0
∆-bx’ = -_______2a
∆-bx” = +2a
_______
EAAEAA
x² - 5 x + 6 = 0 a=1 b=-5 c=6,,
a
acbbx
2
42 −±−= x = -(-5)+ (-5)2_________________2.1
_ -4 .1 .6
5 + 25 ____________2
- 24_x’= 5 1
2
______⇒x’ = 4
2__
⇒ x’ = 2
A equação possui duas raízes diferentes.
x”= 5 12+_____ ⇒ x” = 6
2__
⇒ x” = 3
⇒
Logo,∆ > 0
Exemplo
EAAEAA
x' = x”a
b
2−
2. Se∆há duas soluções reais iguais:
= 0
⇒a
bx
2
∆±−=a
bx
2
0±−=
⇒
EAAEAA
x² + 6 x + 9 = 0 a = 1 b = 6 c = 9,,
a
acbbx
2
42 −±−= x = - 6 + 62______________2.1
_ -4 .1 .9
-6 + 36 ____________2
- 36_x’= - 6 0
2-____⇒x’= - 6
2__⇒ x’= -3
A equação possui duas raízes iguais.
x”= - 6 02+____ ⇒x”= - 6
2__
⇒ x”= -3
⇒
Logo,∆ = 0
Exemplo
EAAEAA
x =
não há solução real, pois não existe raiz
ax
2
-b-
∆±=
logo, ℜ∉ x
3. Se ∆ < 0
quadrada real de número negativo.
EAAEAA
3 x² - x + 3 = 0 a = 3 b = -1 c = 3,,
a
acbbx
2
42 −±−= x = - (-1) + (-1)2_________________2 . 3
_ - 4. 3 .3
x = 1 + 1 __________6
- 36_x = 1 - 35
6
__________
A equação não possui raízes reais.
⇒
⇒
+ x ℜ∉⇒
Logo,∆ < 0
Exemplo
EAAEAA
Exemplos
3x² - 3x + 6 = 0 a = 3 b = -3 c = 6,,
1. Determine o número de raízes na equação.
= b² - 4ac∆ (-3)2-4 . 3 . 6= ∆
9 - 4.18= ∆ 9 - 72= ∆ - 63= ∆
A equação não possui raízes reais.
EAAEAA
x² + 6x + 9 = 0 a = 1 b = - 6, c = 9,
2. Determine o número de raízes na equação.
= b² - 4ac∆ (-6)2- 4 . 1. 9= ∆
36 - 36= ∆ 0 = ∆
A equação possui duas raízes iguais.
EAAEAA
x² + 2x - 3 = 0 a = 1 b = 2 c = -3,,
3. Determine o número de raízes na equação.
= b² - 4ac∆ 22- 4 . 2.(-3)= ∆
4 - 8.(-3)= ∆ 4 + 24= ∆ 28= ∆
A equação possui duas raízes diferentes.
EAAEAA
Resolva as equações.
a) x² - 3x + 2 = 0
b) 2y² - 14y + 12 = 0
c) - x² + 7x – 10 = 0
d) 5x² - x + 7 = 0
e) 7x² - 3x = 4x + x²
f) z² - 8z + 12 = 0
g) y² - 25 = 0
h) x² - 1/4 = 0
i) 5x² - 10x = 0
j) 5 + x² = 9
EAAEAA