INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

CAP CLAUDIO CANTO DOS SANTOS

ESTIMAÇÃO DE CANAIS DE HF USANDO O ALGORITMOLMS PARA APLICAÇÃO EM EQUALIZAÇÃO DFE

Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso deMestrado em Engenharia Elétrica do Instituto Militarde Engenharia, como requisito parcial para obtenção dotítulo de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.

Orientador: Ernesto Leite Pinto, D.C.Co-orientador: Maj Juraci Ferreira Galdino, D.C.

Rio de Janeiro2007

c2007

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIAPraça General Tibúrcio, 80-Praia VermelhaRio de Janeiro-RJ CEP 22290-270

Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluí-loem base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma dearquivamento.

É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliote-cas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venhaa ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidadecomercial e que seja feita a referência bibliográfica completa.

Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do(s) autor(es) e do(s)orientador(es).

S194 Santos, Claudio Canto dosEstimação de Canais de HF Usando o Algoritmo

LMS para Aplicação em Equalização DFE / ClaudioCanto dos Santos. – Rio de Janeiro: Instituto Militar deEngenharia, 2007.

69 p.: il., graf., tab.

Dissertação (mestrado) – Instituto Militar de Engen-haria – Rio de Janeiro, 2007.

1. Algoritmo LMS. 2. Estimação de Canal. 3. Co-municações em HF. 4. Canais WSS-US. 5. Equalização.

CDD 005.1

2

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

CAP CLAUDIO CANTO DOS SANTOS

ESTIMAÇÃO DE CANAIS DE HF USANDO O ALGORITMO LMSPARA APLICAÇÃO EM EQUALIZAÇÃO DFE

Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Elétricado Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título deMestre em Ciências em Engenharia Elétrica.

Orientador: Ernesto Leite Pinto, D.C.Co-orientador: Maj Juraci Ferreira Galdino, D.C.

Aprovada em 21 de Dezembro de 2007 pela seguinte Banca Examinadora:

Ernesto Leite Pinto, D.C. do IME - Presidente

Maj Juraci Ferreira Galdino, D.C. do IME

Marco Antônio Grivet Mattoso Maia, Ph.D. da PUC-Rio

Maj Alberto Gaspar Guimarães, D.C. do IME

Rio de Janeiro2007

3

Aos meus pais, Carlos e Cleuza, aos quais devo tudoque sou.

À minha esposa, Roberta, por todo seu amor,carinho e compreensão.

4

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, Carlos Ribeiro dos Santos e Cleuza do Canto Santos, por toda a base

e estrutura que me proporcionaram durante a minha vida, tornando possível a minha

chegada até aqui, por toda a sua paciência, pelo seu apoio, pelos conselhos e por sua

experiência, que incentivaram a minha busca contínua de crescimento.

À minha querida esposa, Roberta de Lima Santos, por seu amor, incentivo e com-

panheirismo incondicionais.

Ao meu orientador, Dr. Ernesto Leite Pinto, por todo o apoio e incentivo durante

todo o curso de mestrado e por todo o ensinamento e o tempo disponibilizados em prol

da conclusão deste trabalho.

Ao professor Dr. Juraci Ferreira Galdino, por todo o valioso apoio e tempo disponi-

bilizados, orientando-me e contribuindo de várias maneiras para a realização e conclusão

desta pesquisa.

A todos os meus professores do mestrado, pela rica convivência e ensinamentos pre-

ciosos, que, significativamente, contribuíram para a minha formação profissional como

acadêmico, abrindo novos horizontes de compreensão e realidade.

Aos amigos Stefan e David, por sua amizade, por sua disponibilidade e prontidão em

ajudar, por seu apoio irrestrito, por sua paciência, por suas reflexões críticas, por seus

ensinamentos, por toda a colaboração teórica e prática durante todo o curso de mestrado.

Aos colegas Flávio Duarte, Jorge Frederico, Sebastian, Gilberto e Arthur, por sua

amizade, companheirismo, solidariedade, ensinamentos e, além de tudo, por seu apoio

irrestrito em todos os momentos em que precisei.

5

SUMÁRIO

LISTA DE ILUSTRAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 MODELO DO SISTEMA DE COMUNICAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Sistema de Comunicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Modelagem de Canais de HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Modelo do Canal de Propagação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2 Modelo de Canal de HF em Tempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 DESEMPENHO DO ALGORITMO LMS NA ESTIMAÇÃO DE

CANAIS DE HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 O Algoritmo LMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 MSWE na Estimação de Canais Variantes no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 MSWE na Estimação de Canais de HF em Regime Permanente . . . . . . . . . . . 29

3.5 Efeitos dos Filtros de Transmissão e Recepção no MSWE em Regime

Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 EQUALIZAÇÃO DFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 O Equalizador DFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Método de Ajuste Direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4 Método de Ajuste Indireto Para Canal Conhecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.5 Método de Ajuste Indireto Para Canal Estimado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 Condições Básicas de Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6

5.3 Influência do Passo no MSWE em Regime Permanente para Modelos

ITU-R Modificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.4 Influência do Passo no MSWE em Regime Permanente para Modelos

ITU-R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.5 Desempenho do algoritmo LMS na Estimação de Canais de HF uti-

lizando o Passo Ótimo Aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.6 Influência do Passo no Desempenho de um Equalizador DFE Aplicado

a Canais de HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8 APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.1 APÊNDICE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

FIG.2.1 Diagrama de blocos simplificado do sistema de comunicação. . . . . . . . . . . 20

FIG.2.2 Diagrama de blocos da representação em banda básica do modu-

lador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

FIG.2.3 Diagrama de bloco em banda básica do receptor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

FIG.2.4 Ilustração da Resposta ao Impulso Conjunta do Canal. . . . . . . . . . . . . . . . 25

FIG.3.1 Configuração Básica de um Filtro Adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

FIG.3.2 Modelo aproximado para associação em cascata de filtros e canal. . . . . . 33

FIG.4.1 Estrutura do Equalizador DFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

FIG.4.2 Configuração de uma estrutura DFE utilizando o método de ajuste

direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

FIG.4.3 Configuração de uma estrutura DFE utilizando o método de ajuste

indireto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

FIG.5.1 MSWE em regime permanente em função do passo para o canal

ITU-R moderado modificado obtido por análise e simulação, com

RSR de 10, 20 e 30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

FIG.5.2 MSWE em regime permanente em função do valor de passo do

algoritmo LMS para o modelo modificado de canal ITU-R pobre.

São mostrados resultados analíticos e de simulação para RSR de

10, 20 e 30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

FIG.5.3 MSWE em regime permanente em função do passo para o modelo

ITU-R bom, obtido por análise e simulação, para RSR de 10 e 30

dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

FIG.5.4 MSWE em regime permanente em função do passo do algoritmo

LMS para o canal ITU-R moderado. Obtidos por análise e simu-

lação, para RSR de 10 e 30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

FIG.5.5 MSWE em regime permanente em função do passo para o modelo

ITU-R pobre, obtidos por análise e simulação, para RSR de 10 e

30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

FIG.5.6 MSWE em regime permanente em função do passo obtido ana-

liticamente, para o modelo ITU-R bom. Em destaque os pontos

correspondentes ao passo ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8

FIG.5.7 MSWE em regime permanente obtido analiticamente para o mo-

delo ITU-R moderado. Em destaque os pontos correspondentes

ao passo ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

FIG.5.8 MSWE em regime permanente obtido analiticamente para o mo-

delo ITU-R pobre. Em destaque os pontos correspondentes ao

passo ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

FIG.5.9 Curvas de Aprendizagem (MSWE) para canal ITU-R moderado

modificado e RSR = 30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

FIG.5.10 Curvas de Aprendizagem (MSWE) para canal ITU-R pobre modi-

ficado e RSR = 30 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

FIG.5.11 EQM na saida do equalizador em função do passo para o canal

ITU-R bom. Em destaque os valores correspondentes ao passo

ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

FIG.5.12 EQM na saida do equalizador em função do passo para o canal

ITU-R moderado. Em destaque os valores correspondentes ao

passo ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

FIG.5.13 EQM na saida do equalizador em função do passo para o modelo

de canal ITU-R pobre. Em destaque os valores correspondentes

ao passo ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

FIG.5.14 BER na saida do equalizador em função do passo para o modelo

ITU-R bom. Em destaque os valores correspondentes ao passo

ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

FIG.5.15 BER na saida do equalizador em função do passo para o modelo

canal ITU-R moderado. Em destaque os valores correspondentes

ao passo ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

FIG.5.16 BER na saida do equalizador em regime permanente utilizando o

modelo de canal ITU-R pobre. Em destaque os valores de BER

para o passo ótimo aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

FIG.5.17 MSWE e EQM na saida do equalizador em regime permanente,

para o modelo ITU-R moderado com RSR = 20 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . 58

FIG.5.18 MSWE e EQM na saida do equalizador em regime permanente,

para o modelo ITU-R pobre com RSR = 20 dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

FIG.5.19 EQM na saida do equalizador em função do MSWE para os mo-

delos do ITU-R pobre e moderado, com RSR = 20 dB. . . . . . . . . . . . . . . 59

9

FIG.5.20 EQM na saida do equalizador em função do passo para o modelo

ITU-R pobre e RSR = 10 dB. A curva contínua foi levantada

utilizando o método de ajuste indireto para canal estimado. . . . . . . . . . . 60

FIG.5.21 EQM na saida do equalizador em função do passo, para o mo-

delo ITU-R bom e RSR = 10 dB. A curva contínua foi levantada

utilizando o método de ajuste indireto para canal estimado. . . . . . . . . . . 61

10

LISTA DE TABELAS

TAB.2.1 Parâmetros dos canais de teste previstos pelo ITU-R. . . . . . . . . . . . . . . . . 24

11

LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS

ABREVIATURAS

BER - Bit Error Rate

BLOS - Beyond Line Of Sight

BPSK - Binary Phase Shift Keying

CC - Canal Conhecido

CE - Canal Estimado

CV - Canal Variante no Tempo

DFE - Decision Feedback Equalizer

EMQ - Erro Médio Quadrático

FIR - Finite Impulse Response

HF - High Frequency

IES - Interferência Entre Símbolos

IIR - Infinite Impulse Response

IME - Instituto Militar de Engenharia

ITU - International Telecommunications Union

ITU-R - ITU Radiocommunication Sector

LMS - Least Mean-Square Error

MLSE - Maximum Likelihood Sequence Estimator

MMSE - Minimum Mean-Square Error

MSWE - Mean Squared Weight estimation Error

QPSK - Quadrature Phase Shift Keying

RI - Resposta ao Impulso

RSR - Relação Sinal-Ruído

RLS - Recursive Least Square

WSS-US - WideSense Stationary - Uncorrelated Scattering

12

SÍMBOLOS

, - igual, por definição

k - índice de tempo

n - vetor com parcela de ruído presente nos símbolos recebidos

r - vetor sinal de entrada do equalizador

sk - vetor de símbolos transmitidos

σ2s - variância dos símbolos transmitidos

σ2n - variância do ruído aditivo

σ2h - variância do canal

m - quantidade de bits associados a cada símbolo da modulação

hk - resposta ao impulso do canal

qk - resposta ao impulso conjunta do canal

ν - quantidade de coeficientes da resposta ao impulso do canal

L - quantidade de coeficientes da resposta ao impulso conjunta do canal

Le - quantidade de coeficientes do estimador de canais

Ts - duração de símbolo

Tb - duração de bit

Rs - taxa de transmissão de símbolo

H - matriz de convolução

H - matriz de convolução estimada

Y - matriz de autocorrelação do sinal de entrada

ck - vetor de correlação cruzada

Q - conjunto de símbolos de uma constelação

wk - coeficientes do filtro avante do equalizador

fd - taxa de desvanecimento

Nw - quantidade de coeficientes do filtro avante

Nb - quantidade de coeficientes do filtro de realimentação

µ - passo de adaptação do algoritmo LMS

Rh - matriz de autocorrelação dos coeficientes do canal

D - erro médio quadrático dos coeficientes

Sh - densidade espectral de potência dos coeficientes

4 - retardo do sistema de comunicação

d - retardo de decisão

13

1i×j - matriz de dimensão i× j com todos os elementos de valor unitário

0i×j - matriz de dimensão i× j com todos os elementos de valor nulo

Ii - matriz identidade de dimensão i× i

E(·) - valor esperado de um vetor de variáveis aleatórias

14

RESUMO

A transmissão digital na faixa de HF viabiliza características tais como mobilidade detransceptores, baixo custo operacional, baixa demanda de tempo para operação, cober-tura de longas distâncias (milhares de quilômetros) por reflexão ionosférica, assim comocobertura de distâncias de até uma centena de quilômetros através de ondas terrestres,sem a necessidade de visada direta. Por outro lado, também se caracteriza pela ocorrênciade interferência intersimbólica severa e ruído aditivo, apresentando ainda característicasde desvanecimento variante no tempo, dificultando seu uso eficiente.

Neste trabalho será investigado o desempenho do algoritmo Least Mean Square(LMS) na estimação de canais com tais características, tendo como indicador de desem-penho, o erro médio quadrático nos coeficientes (MSWE, de Mean Square Weight estima-tion Error) em regime permanente. A análise aqui desenvolvida contempla a otimizaçãodo passo (no sentido de minimizar o valor de MSWE em regime permanente) e os efeitosdos filtros de transmissão e de recepção na estimação do canal em tempo discreto.

É também discutido o desempenho de equalizadores DFE (Decision Feedback Equal-izer) com ajuste de coeficientes baseado numa estimativa dos coeficientes da resposta aoimpulso do canal em tempo discreto.

Além disso, este trabalho visa analisar o impacto dos erros de estimação de canalno desempenho do equalizador assim ajustado, particularmente para canais de HF, uti-lizando o critério de erro quadrático médio (EQM) na saída do equalizador e empregandoo algorimto LMS na estimação de canais.

Finalmente, propõe-se o uso de um novo mapeamento como um possível caminhopara melhorar a adaptação dos coeficientes do DFE baseada na estimação do canal decomunicação.

15

ABSTRACT

Digital transmission over the HF band has several advantages such as mobility, lowoperational cost, fast deployment equipment, communications coverage of long distances(thousand of kilometers) through ionospheric reflection (skywaves), as well as coverageof distances up to a hundred kilometers or more through ground wave propagation. Onthe other hand, this band is also characterized by the occurrence of time-varying andfrequency-selective fading that causes severe inter-symbol interference, besides noisesand interferences of several types.

This work addresses a performance analysis of the LMS algorithm in the estimationof HF channels, taking as performance index the mean square error estimation weight(MSWE) under steady state conditions. An approximate analytical expression is derivedfor the optimum value of the LMS step-size parameter, in the sense of minimizing thesteady-state MSWE. The role of transmission and reception filters in the establishmentof the FIR model used for channel estimation is also analyzed. Besides, a performanceevaluation of a Decision Feedback Equalizer (DFE) adjusted on the basis of HF channelestimates obtained with the LMS algorithm is presented. Among other indexes, the meansquare error (MSE) in the output of the equalizer as a function of the LMS step-sizeparameter is carefully evaluated. Finally, a simple alternative is presented for includingthe MSWE in the mapping of channel estimates into DFE coefficients, as a means toimprove the equalizer performance.

16

1 INTRODUÇÃO

A comunicação rádio na faixa de HF (High Frequency), caracterizada pelo uso de

frequências na faixa de 3 a 30 MHz, oferece um forte atrativo por ser capaz de cobrir

grandes distâncias devido aos diferentes modos de propagação presentes. Em particular,

o interesse nesta faixa surge devido à propagação por ondas celestes (ionosféricas) que,

através do fenômeno de reflexão virtual (múltiplas refrações) permite a comunicação

BLOS (Beyond Line of Sight).

Porém a ionosfera é um canal físico que apresenta diversas limitações à comunicação

rádio, tais como propagação multipercurso, desvanecimento e ruídos aditivos.

O sinal que chega ao receptor passa por diversos caminhos oriundos de múltiplas

reflexões na ionosfera, ou até mesmo no solo. Isto faz com que o tempo de propagação

referente a cada caminho seja diferente, podendo o espalhamento temporal chegar à ordem

de vários milissegundos (TÜCHLER,2002). Além disso, ao longo do dia as alturas das

camadas ionosféricas variam, o que introduz variações de retardo. Em cada componente

multicaminho ocorre ainda desvanecimento variante no tempo, devido a variações na

ionização, produzindo o efeito de espalhamento Doppler.

O espalhamento temporal entre as componentes multicaminho provoca interferência

entre símbolos (IES), degradando a qualidade do sinal recebido e levando à necessidade

de técnicas eficazes de equalização para evitar a ocorrência de taxas de erro de bit (BER,

de Bit Error Rate) excessivamente elevadas.

Diversas técnicas de equalização têm sido propostas ao longo das últimas décadas,

destacando-se, pelas suas características de desempenho, os equalizadores não lineares,

tais como os do tipo MLSE (de Maximum Likelihood Sequence Estimator) e do tipo DFE

(de Decision Feedback Equalizer) (ELEFTHERIOU,1987). Tem sido mais freqüente o

interesse pela equalização DFE, pelo fato de requerer menor complexidade computacional

do que os equalizadores MLSE, com perda de desempenho considerada compensadora

diante da redução de complexidade (TÜCHLER,2002).

Uma técnica comumente empregada para ajuste dos coeficientes do equalizador DFE

advém da aplicação da teoria de filtragem de Wiener, supondo conhecidos os coeficientes

da resposta ao impulso (RI) do canal em tempo discreto (BENVENUTO, 2002; SHUKLA,

1991). O impacto dos erros de estimação de canal no desempenho do equalizador assim

17

ajustado pode ser significativo, especialmente quando se trata de canais variantes no

tempo, como é o caso das transmissões em HF.

O algoritmo LMS (Least Mean Square) é bastante interessante para aplicação na es-

timação de canais. Além de ter complexidade computacional muito baixa, este algoritmo

apresenta rápida convergência quando a seqüência de entrada do filtro empregado para

adaptação é um processo estocástico branco. Isto efetivamente ocorre na estimação de

canais, pois na grande maioria dos sistemas de comunicações os símbolos transmitidos po-

dem ser considerados perfeitamente descorrelacionados. Essa afirmação é particularmente

verdadeira no caso das transmisssões em HF, devido ao freqüente uso de entrelaçadores

e desentrelaçadores associados a esquemas de codificação para correção automática de

erros.

As características de desempenho do algoritmo LMS são controladas pelo valor do

seu passo de adaptação, o qual determina as propriedades de convergência, a estabili-

dade e o nível de erro médio quadrático em regime permanente. O desenvolvimento de

ferramentas analíticas que permitam a escolha criteriosa deste valor de passo é de grande

interesse, sendo tema de diversos trabalhos publicados (GALDINO, 2004; YOUSEF, 2001;

LINDBOM, 2001, 2002).

Em (GALDINO, 2004) é feita uma análise de desempenho do algoritmo LMS na es-

timação de canais modelados como WSS-US (PARSONS, 1992). São obtidas expressões

analíticas para as curvas de erro quadrático médio nos coeficientes (MSWE, de Mean

Square Weight estimation Error) em regime permanente, em função de valores do passo e

de parâmetros típicos de sistemas de comunicação. Além disso, são apresentados aprox-

imações analíticas para o cálculo do valor ótimo do passo no sentido de minimizar o

MSWE na condição de regime permanente para alguns modelos de espectro Doppler,

dentre os quais o modelo de Jakes.

O presente trabalho busca estender a análise apresentanda em (GALDINO, 2004)

para o contexto de canais de HF e do ajuste de equalizadores DFE com base na estimação

de canal.

Em particular, considera-se aqui o modelo específico de Espalhamento Doppler usual-

mente associado à propagação ionosférica em HF, e também o efeito dos filtros de trans-

missão e recepção na composição do modelo em tempo discreto utilizado para estimação

de canal e posterior ajuste dos coeficientes do equalizador. São obtidas e validadas ex-

pressões analíticas para o MSWE em regime permantente para estas condições, bem

como se obtém uma aproximação do valor de passo ótimo no sentido da minimização do

18

MSWE. Além disso, o trabalho também apresenta uma alternativa simples para incluir

o valor de MSWE no ajuste dos coeficientes do equalizador DFE.

O trabalho está dividido em 6 capítulos e um apêndice.

No Capítulo 2 é descrito o modelo do sistema de comunicação, introduzindo-se a

notação empregada. Algumas características do modelo do canal de propagação na faixa

de HF são apresentadas, além do modelo do canal, tendo como base a modelagem ap-

resentada em (WATTERSON,1970). Os blocos constituintes do sistema são descritos,

salientando-se características e importância de cada um deles.

No Capítulo 3 são sumarizados resultados da análise de desempenho do algoritmo

LMS na estimação de canais variantes no tempo, realizadas em (GALDINO, 2004). Tam-

bém é apresentada uma extensão deste trabalho, utilizando-se modelos de canal de HF,

culminando na obtenção analítica do valor de passo ótimo no sentido de minimizar o

MSWE em regime permanente. Por fim, é realizada uma análise dos efeitos dos filtros

de transmissão e de recepção na composição do modelo de filtro FIR (Finite Impulse

Response) usado para estimação do canal em tempo discreto.

O Capítulo 4 apresenta, de forma sucinta, o funcionamento de um equalizador com

estrutura DFE (Decision Feedback Equalization), discutindo-se métodos usuais de ajuste

de seus coeficientes. Em seguida, é mostrada uma proposta simples de utilização do

conhecimento prévio do MSWE na determinação dos coeficientes do equalizador com

base numa estimativa da RI do canal.

O Capítulo 5 apresenta os resultados de simulação realizadas para validar as análises

aqui apresentadas, tendo por base o padrão MIL-STD-188-110/B para modems de HF e

os modelos de canais ionosféricos do ITU-R.

Por fim, no Capítulo 6 são apresentadas as conclusões do trabalho e sugeridos temas

para a sua continuação. No Apêndice são apresentados alguns detalhes da análise.

19

2 MODELO DO SISTEMA DE COMUNICAÇÃO

2.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo é descrito o modelo de sistema de comunicação adotado no trabalho,

apresentando a notação utilizada ao longo do texto e as características básicas de cada

um dos blocos constituintes do sistema. Por fim, algumas características do modelo do

canal de propagação na faixa de HF são discutidas.

2.2 SISTEMA DE COMUNICAÇÃO

De forma a facilitar o acompanhamento do texto, introduz-se agora a notação a ser

utilizada. Vetores são representados por letras minúsculas em negrito e matrizes por

letras maiúsculas também em negrito. Quantidades variantes no tempo são denotadas

por um índice de tempo subscrito. A notação E(·) representa o operador esperado, IN é

a matriz identidade ordem N , enquanto 0N×M e 1N×M são, respectivamente, uma matriz

nula e uma matriz cujos elementos são todos iguais a 1, ambas de dimensão N por M .

O modelo do sistema de comunicação em banda básica aqui considerado tem seu

diagrama em blocos representado na FIG. 2.1. Nele destacam-se três blocos principais:

o modulador, o canal de comunicação e o receptor, os quais serão discutidos a seguir de

forma bastante suscinta.

FIG. 2.1: Diagrama de blocos simplificado do sistema de comunicação.

A estrutura do modulador, que é mostrado na FIG. 2.2, é composta basicamente de

dois blocos: o mapeamento bit/símbolo e o filtro de transmissão. Assume-se que a fonte

20

FIG. 2.2: Diagrama de blocos da representação em banda básica do modulador.

de informação gera dígitos binários (bits) estatisticamente independentes e identicamente

distribuídos, numa taxa de Rb bits por segundo.

No modulador é realizado primeiramente um mapeamento bit/símbolo, de modo que

cada grupo de B bits da seqüência binária gerada é associado a um símbolo sk. Os sím-

bolos podem assumir Q = 2B valores e ao seu conjunto é dado o nome de constelação.

Considerando que cada bit possui uma duração de Tb = 1/Rb segundos, o símbolo cor-

respondente a uma quantidade M de bits será gerado a cada Ts = Tb × M , ou seja, a

uma taxa de Rs = 1/Ts símbolos por segundo.

Com a finalidade de gerar o sinal contínuo a ser transmitido, o modulador utiliza

uma forma de onda gT (t), aqui chamada de pulso básico de transmissão ou de resposta

ao impulso do filtro de transmissão. A envoltória complexa do sinal de saída deste filtro,

aqui denotada por x(t), é dada por:

x(t) =∑

k

skgT (t− kTs) (2.1)

O canal de comunicação é modelado como um filtro linear variante no tempo com ν

coeficientes e resposta ao impulso h(t, τ). Especificamente h(t, τ) é a resposta do canal

no instante t a um impulso aplicado no instante t− τ .

O sinal na entrada do filtro de recepção é da forma:

y(t) =ν−1∑j=0

h(t)x(t− τj) + n(t) (2.2)

onde n(t) é um ruído aditivo modelado por um processo estocástico Gaussiano de média

21

nula e densidade espectral de potência plana em toda a faixa de freqüências, estatistica-

mente independente do sinal transmitido e do canal de comunicação.

O modelo de canal de HF a ser investigado nesta dissertação é discutido com maiores

detalhes na Seção 2.3.

A estrutura do receptor, que é mostrado a FIG. 2.3, é composta pelo filtro de re-

cepção, pelo amostrador, por um equalizador, pelo detector e pelo mapeador símbolo/bit.

FIG. 2.3: Diagrama de bloco em banda básica do receptor.

O filtro de recepção, cuja resposta ao impulso é gR(t), é casado com o filtro de

transmissão, sendo ambas do tipo raiz do cosseno levantado. O amostrador opera na

taxa de símbolos Rs e gera a entrada do equalizador.

O equalizador procura compensar a maior parte das degradações e perdas introduzi-

das devido a atrasos por múltiplos percursos e variações temporais do canal. Adota-se

neste trabalho a estrutura de equalização DFE, que é abordada no Capítulo 4.

O decisor, por sua vez, tem a finalidade de prover a cada intervalo de símbolo uma

decisão sobre o símbolo transmitido 1, aqui denotada por sk−4, utilizando o critério de

mínima distância euclidiana, sendo 4 o retardo provocado pelo sistema de comunicação

e pelo próprio equalizador. Por fim, o mapeamento símbolo/bit gera um grupo de bits

associados ao símbolo estimado sk−4.

2.3 MODELAGEM DE CANAIS DE HF

Esta seção discute a modelagem empregada para o canal de propagação e ainda um

modelo discreto no tempo, incorporando o efeito conjunto dos filtros de transmissão e

1Note-se que, no caso do DFE, a saída do decisor também é realimentada para o equalizador.22

recepção.

2.3.1 MODELO DO CANAL DE PROPAGAÇÃO

O canal de HF é modelado como um sistema linear, cuja resposta ao impulso é

caracterizada por ganhos variantes no tempo associados a diferentes valores de retardos.

Estes ganhos são usualmente modelados como processos estocásticos, estacionários em

sentido amplo e descorrelacionados entre si (modelo WSS-US, de Wide Sense Stationary

- Uncorrelated Scattering).

Define-se o espectro Doppler Sh(λ, τi) do ganho h(t, τi) do i-ésimo caminho como

sendo a transformada de Fourier da função autocorrelação Rh(l, τi) , E(h(t, τi)h∗(t −

l, τi)). Logo, são válidas as relações:

Sh(λ, τi) =

∫ ∞

−∞Rh(l, τi)e

−j2πλldl (2.3)

Rh(l, τi) =

∫ ∞

−∞Sh(λ, τi)e

j2πλldλ (2.4)

Como acontece com a maior parte dos modelos WSS-US usuais, os ganhos do canal

de HF são modelados por processos estocásticos com o mesmo formato de espectro de

potência. Um modelo específico fica então caracterizado pelo formato de espectro (que

modela o efeito de espalhamento Doppler), e pelo perfil de intensidade de múltiplos

percursos, que define as potências dos diferentes ganhos e modela o efeito de espalhamento

de atrasos.

A largura aproximada do espectro Doppler é chamada de espalhamento Doppler ou

taxa de desvanecimento. O espectro Doppler pode ainda ser visto como uma densidade

de probabilidade dos desvios Doppler introduzidos por um canal.

Conforme verificado experimentalmente em (WATTERSON, 1970), o desvio Doppler

em canais na faixa de HF possui uma distribuição Gaussiana. Devido à importância desta

verificação, a modelagem correspondente passou-se a ser chamada modelo de Watterson,

em referência ao primeiro autor deste trabalho.

Um espectro Doppler Gaussiano de média λ e variância σ2λ é aqui expresso por:

Sh(λ) =1√2πσ2

λ

e−(λ−λ)2

2σ2λ (2.5)

Para tal espectro, o espalhamento Doppler Bd é definido como sendo duas vezes o

desvio padrão do espectro Doppler:

23

Bd = 2σλ (2.6)

Considerando λ sendo nulo, e lembrando que a transformada Fourier de uma função

Gaussiana é também Gaussiana tem-se:

Rh(l) =

√2

πB2d

∫ ∞

−∞e−2λ2

B2d ej2πλldλ = e

−(πBdl)2

2 (2.7)

Para realização de testes de desempenho na faixa de HF existem modelos padroniza-

dos internacionalmente. Alguns destes padrões foram estabelecidos pelo setor de comuni-

cações via rádio da International Telecommunications Union (ITU-R, sucessor do antigo

CCIR). A norma ITU-R F.520 (ITU-R,1992) previa três modelos de canal: ITU-R bom,

ITU-R moderado e ITU-R pobre, os quais têm sido usados há vários anos e são até hoje

conhecidos como "canais CCIR". Esta norma foi substituída no ano de 2000 pela ITU-R

F.1487(ITU-R,2000), que prevê dez canais de teste, incluindo os três citados da norma

F.520.

Todos os canais de teste possuem apenas dois caminhos. Cada coeficiente do canal

é modelado por um processo Gaussiano complexo, com espectro Doppler de formato

Gaussiano centrado na origem. O espalhamento Doppler Bd = 2σ é o mesmo para os

dois coeficientes, e τm representa o retardo do segundo raio em relação ao primeiro. A

Tabela 2.1 apresenta os parâmetros dos canais previstos nas duas normas.

TAB. 2.1: Parâmetros dos canais de teste previstos pelo ITU-R.

Norma Canal τm Bd

ITU-R bom 0,5 ms 0,1 HzF.520 ITU-R moderado 1 ms 0,5 Hz

ITU-R pobre 2 ms 1 HzBaixa Lat. quieto 0,5 ms 0,5 HzBaixa Lat. moderado 2 ms 1,5 HzBaixa Lat. perturbado 6 ms 10 HzMédia Lat. quieto 0,5 ms 0,1 Hz

F.1487 Média Lat. moderado 1 ms 0,5 HzMédia Lat. perturbado 2 ms 1 HzMédia Lat. perturbado NVIS 7 ms 1 HzAlta Lat. quieto 1 ms 0,5 HzAlta Lat. moderado 7 ms 10 HzAlta Lat. perturbado 3 ms 30 Hz

24

2.3.2 MODELO DE CANAL DE HF EM TEMPO DISCRETO

Neste trabalho denomina-se de resposta ao impulso (RI) conjunta ou equivalente do

canal, a resposta ao impulso do sistema composto pelo canal e pelos filtros de transmissão

e de recepção, de acordo com a FIG. 2.4.

FIG. 2.4: Ilustração da Resposta ao Impulso Conjunta do Canal.

Para fins de operação do estimador de canal, admite-se que a RI conjunta do canal

em tempo discreto é modelada por um filtro FIR com L coeficientes variantes no tempo

denotados pelo vetor

hk = [hk,0 hk,1 . . . hk,L−1]T (2.8)

A seqüência de amostras na entrada do equalizador é modelada por:

rk =L−1∑i=0

hk,isk−i + nk (2.9)

onde nk são amostras do ruído Gaussiano complexo filtrado e sk = [sk sk−1 · · · sk−L+1]T

é o vetor de símbolos transmitidos.

25

3 DESEMPENHO DO ALGORITMO LMS NA ESTIMAÇÃO DE CANAIS

DE HF

3.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo é apresentada de forma resumida, uma análise de desempenho do al-

goritmo LMS na estimação de canais variantes no tempo do tipo WSS-US. Em seguida é

realizada uma extensão desta análise para modelos de canais de HF. Por fim, é apresen-

tada uma avaliação dos efeitos do filtros de transmissão e de recepção na composição do

modelo de canal em tempo discreto usado para fins de estimação, quando os coeficientes

da RI do canal não apresentam valores de retardos múltiplos do período de transmissão

de símbolos.

3.2 O ALGORITMO LMS

Uma configuração básica de um filtro adaptativo discreto no tempo está ilustrada

na FIG. 3.1. Nela observa-se que rk é o sinal de entrada representado na forma vetorial,

sk é o sinal de referência, zk é a saída do filtro adaptativo e ξk é o erro medido entre o

sinal de referência e a saída do filtro. Este sinal de erro é utilizado para ajustar o vetor

de coeficientes do filtro, hk, por meio de um algoritmo de adaptação.

O algoritmo LMS é amplamente utilizado em aplicações práticas por duas razões

principais: a sua simplicidade, implicando em um baixo custo computacional, e a garantia

de sua convergência, para escolha apropriada do seu passo de adaptação. Este algoritmo é

baseado no algoritmo Steepest−Descent, para o qual a adaptação do vetor de coeficientes

fica dada por (DINIZ, 2002; PROAKIS, 1995; HAYKIN, 1996):

hk+1 = hk − µ∇hξk, (3.1)

onde µ é o passo de adaptação utilizado para ponderar o gradiente do erro (∇hξ(k)), que

por sua vez é dado por −2c + 2Yhk, sendo Y a matriz de autocorrelação do sinal de

entrada e c o vetor de correlação cruzada entre o sinal desejado e o de entrada. Na prática

este gradiente não pode ser obtido com exatidão, uma vez que a matriz de autocorrelação

Y e o vetor de correlação cruzada c são desconhecidos e devem ser estimados. O algoritmo

LMS usa estimativas simples e despolarizada do gradiente, dada por

26

FIG. 3.1: Configuração Básica de um Filtro Adaptativo

∇hξ(k) = −2ξ∗krk. (3.2)

Substituindo esta estimativa na Equação 3.1 do algoritmo Steepest−Descent obte-

mos a seguinte regra de atualização do vetor de coeficientes:

hk+1 = hk + 2µξ∗krk, (3.3)

que é a equação de adaptação do algoritmo LMS.

Vale ressaltar que o LMS apresenta convergência lenta em relação a outros algoritmos

mais complexos, como o RLS, e sensibilidade ao problema de espalhamento de autovalores

da matriz de autocorrelação dos dados de entrada Y. Por outro lado apresenta baixa

complexidade computacional (DINIZ, 2002; PROAKIS, 1995; HAYKIN, 1996).

3.3 MSWE NA ESTIMAÇÃO DE CANAIS VARIANTES NO TEMPO

O algoritmo LMS é largamente utilizado em diversas aplicações que envolvem canais

de comunicações móveis, a fim de estimar a resposta ao impulso de canais variantes no

27

tempo. A análise de seu desempenho e a escolha de passo são freqüentemente obtidos

por simulação computacional, sendo que um indicador de desempenho muito utilizado

para realizar esta escolha é o erro quadrático médio nos coeficientes (MSWE, de Mean

Square Weight estimation Error).

Em primeiro lugar, o valor de µ deve ser escolhido de tal forma que garanta a con-

vergência do algoritmo. Um valor alto de passo gera um MSWE em regime permanente

elevado, enquanto que um valor pequeno faz com que a convergência seja lenta, além de

prejudicar o rastreio de parâmetros que variam rapidamente com o tempo. Assim, o passo

de adaptação utilizado pelo algoritmo LMS determina as propriedades de convergência,

a estabilidade e o nível de MSWE em regime permanente.

Diversos trabalhos na literatura realizaram análise do LMS na identificação de canais

variantes no tempo (EWEDA, 1994; YOUSEF, 2001; L. LINDBOM, 2001, 2002).

A referência (GALDINO,2004) apresenta expressões analíticas para as curvas de

MSWE em função dos valores do passo e de parâmetros típicos de sistemas de comu-

nicações, admitindo canais WSS-US variantes no tempo do tipo WSS-US (PARSONS,

1992) com retardos discretos, múltiplos do intervalo de símbolos e com L coeficientes.

Em particular, mostra-se nesta referência que o MSWE, no instante (k+1) denotado por

D(k + 1, µ) , E||h(k + 1, µ)− h(k + 1, µ)||2, pode ser recursivamente dado por

D(k + 1, µ) = (1− 2µσ2s + µ2Lσ4

s)D(k, µ) + µ2σ2nσ

2sL +

2µσ2sσ

2h

∞∑l=0

(1− µσ2s)

l[R(l)−R(l + 1)], (3.4)

onde R(l) ≡ R(lTs) e R(.) denota a função autocorrelação normalizada dos coeficientes

do canal. A soma das variâncias dos coeficientes do canal é denotada por σ2h, os símbolos

de entrada são considerados independentes e equiprováveis com média zero e variância

σ2s e o ruído é modelado por um processo gaussiano branco complexo com variância σ2

n.

Sob condições de regime estacionário, mostra-se que a expressão analítica do MSWE

em termos de µ fica dada por

D(µ) =1

(2− µLσ2s)

{µσ2

nL + 2σ2h

∞∑l=0

(1− µσ2s)

l[R(l)−R(l + 1)]

}, (3.5)

Além disso, são apresentados em (GALDINO, 2004) aproximações analíticas para o

cálculo do valor ótimo do passo no sentido de minimizar o MSWE na condição de regime

permanente, para alguns modelos de espectro Doppler.

28

O trabalho aqui proposto estende o trabalho realizado em (GALDINO, 2004) para

canais de comunicações na faixa de HF, utilizando o modelo de canal discutido na

Seção 2.3.

3.4 MSWE NA ESTIMAÇÃO DE CANAIS DE HF EM REGIME PERMANENTE

Nesta seção se analisa o desempenho do algoritmo LMS na estimação de canais de

HF, tendo como indicador de desempenho o MSWE em regime permanente. A análise

contempla a otimização do passo, no sentido de minimizar o valor de MSWE atingido

após a convergência do LMS.

A partir da Equação 2.7 verifica-se que a função de autocorrelação referente ao modelo

do canal de HF aqui adotado pode ser escrito como

Rh(l) = e−(πBdTsl)2

2 (3.6)

em que Ts é o intervalo de símbolo e Bd é o espalhamento Doppler.

Substituindo a Equação 3.6 na Equação 3.5, o valor de MSWE em regime permanente,

como função do passo, fica dado por:

D(µ) =1

(2− µLσ2s)

{µσ2

nL + 2σ2h

∞∑l=0

βl[e−αl2 − e−α(l+1)2

]}(3.7)

onde

β = 1− µσ2s (3.8)

e

α =(πBdTs)

2

2(3.9)

Para fins de obtenção do passo ótimo, a expressão de D(µ) acima pode ser apresen-

tada como:

D(µ) =1

(2− µLσ2s)

{µσ2

nL +2σ2

h

β− 2σ2

hµσ2sP1

β

}(3.10)

onde

P1 =∞∑l=0

βle−αl2 (3.11)

29

Denotando por Sh(λ) a densidade espectral de potência dos coeficientes do canal,

como discutido na Seção 2.3.1, tem-se

P1 =∞∑l=0

βlR(l)

=∞∑l=0

βl

∫ ∞

−∞Sh(λ)ej2πλTsldλ

=

∫ ∞

−∞Sh(λ)

∞∑l=0

(βej2πλTs

)ldλ (3.12)

Considerando que |β| < 1 tem-se no somatório da Equação 3.12 uma progressão

geométrica infinita decrescente, logo:

P1 =

∫ ∞

−∞Sh(λ)p(λ)dλ (3.13)

sendo

p(λ) =1

1− βej2πλTs(3.14)

Como Sh(λ) tem formato gaussiano e é normalizado, a expressão de P1 dada acima

pode ser vista como o valor esperado de uma função de variável aleatória.

Especificamente, P1 corresponde ao valor esperado da variável aleatória p(λ), sendo

λ vista como uma variável aleatória gaussiana com função densidade de probabilidade

Sh(λ).

Supondo que p(λ) pode ser bem aproximada por uma expansão em Série de Taylor

truncada no termo de ordem a, dada por:

p(λ) ∼= p(η) + p′(η)(λ− η) + . . . + pa(η)(λ− η)a

a!(3.15)

obtém-se a seguinte aproximação para o valor esperado de p(λ), dada em termos dos

momentos de variável aleatória λ até a ordem a

P1 = E[p(λ)] ∼= p(η) + p”(η)σ2

2+ . . . + pa(η)

ma

a!(3.16)

No caso em questão, o valor do espalhamento Doppler (duas vezes o desvio padrão

da variável aleatória λ) é usualmente bem menor que a taxa de símbolos, e por isso é

razoável supor que S(λ) pode ser bem aproximada com a = 2.30

Considerando que tem média nula e variância B2d

4(Seção 2.3.1) tem-se

P1 = E[p(λ)] ∼= p(0) + p”(0)B2

d

8(3.17)

Utilizando a Equação 3.17 na Equação 3.10, calculando a derivada parcial de D(µ)

com relação a µ e igualando o resultado a zero, obtém-se seguinte polinômio (ver

APÊNDICE 1)

A3µ3 + A2µ

2 + A1µ + A0 = 0 (3.18)

cujos coeficientes são dados por:

A3 = σ2nLσ4

s

A2 = −2σ2hσ

4sKL

A1 = 2σ2hσ

2sK + 6Lσ2

hσ2sK

A0 = −8σ2hK (3.19)

onde

K = (πTsBd)2. (3.20)

Verifica-se que o passo ótimo pode ser obtido encontrando-se as raízes do polinômio

da Equação 3.18. É importante mencionar que esta equação tem apenas uma solução

real e positiva, que é o valor aproximado do passo ótimo (µot.aprox) e pode ser expressa

como:

µot.aprox =3√

W1

6A0

−(

2A2 −2A2

1

3A0

)1

3√

W1

− A1

3A0

W1 = 36A0A1A2 − 108A3A20 − 8A3

1 + 12√

3A0W2

W2 =√

4A0A32 − A2

2A21 − 18A0A1A2A3 + 27A2

3A20 + 4A3

1A3 (3.21)

Diversos resultados de avaliação numérica em condições típicas das transmissões em

HF foram levantados e mostraram ser esta uma aproximação bastante útil para obtenção

do passo ótimo, no sentido de minimização do MSWE em regime permanente. Alguns

desses resultados são discutidos no Capítulo 5.31

3.5 EFEITOS DOS FILTROS DE TRANSMISSÃO E RECEPÇÃO NO MSWE EM

REGIME PERMANENTE

Na análise desenvolvida em (GALDINO, 2004) admite-se que o canal é modelado

por um perfil de intensidade de múltiplos percursos discreto, com retardos múltiplos do

intervalo de símbolo. Nas condições de transmissão consideradas neste trabalho esta

hipótese nem sempre é válida, o que leva à necessidade de uma extensão da análise

anterior, visando a considerar o efeito conjunto do canal de propagação e dos filtros de

transmissão e recepção no estabelecimento de um modelo de canal em tempo discreto a

ser utilizado no receptor, para fins de estimação e equalização.

No presente trabalho, os filtros de transmissão e de recepção têm resposta ao im-

pulso raiz de cosseno levantado, apresentando um decaimento assintótico com o tempo

e gerando uma resposta ao impulso conjunta do canal de mesma natureza. No entanto,

devido a limitações de implementação no receptor, o estimador de canal opera com um

modelo de canal em tempo discreto de duração finita, com uma quantidade de coeficientes

Le muitas vezes bastante limitada. Ocorre assim um "truncamento" no modelo de canal

a ser estimado, gerando um acréscimo de erro no MSWE, que será aqui denominado de

erro de truncamento, e denotado por ε.

Para se obter uma aproximação analítica deste erro de truncamento, considera-se que

a associação em cascata do filtro de recepção e do canal pode ser alterada, obtendo-se o

modelo equivalente mostrado na FIG. 3.2. Nesta figura, g(t) é uma resposta cosseno le-

vantado resultado da convolução entre as respostas impulsionais dos filtros de transmissão

gT (t) e de recepção gR(t).

Em (PINTO, 1999) verificou-se que esta aproximação é satisfatória, quando a res-

posta ao impulso do canal de propagação pode ser considerada aproximadamente invari-

ante em intervalos de tempo de ordem da duração efetiva 2 da resposta ao impulso do

filtro de recepção. Uma análise dos parâmetros dos sistemas de transmissão e dos mo-

delos do canal de propagação aqui adotados mostra ser esta condição satisfatoriamente

atendida nos ambientes de transmissão investigados neste trabalho, que estão descritos

em detalhe no Capítulo 5.

Note-se agora, com base na Figura 3.2, que a resposta ao impulso conjunta do canal é

uma soma de impulsos com atrasos múltiplos do intervalo de símbolo. Estes impulsos são

ponderados por coeficientes (pesos) determinados pelos ganhos do canal de propagação

2Por duração efetiva de um pulso de duração ilimitada entende-se a largura de uma janela de tempo

no qual estão contidos 99% de sua energia.32

FIG. 3.2: Modelo aproximado para associação em cascata de filtros e canal.

e pela resposta ao impulso dos filtros de transmissão e recepção.

Denota-se por h(m,n) um destes coeficientes (arbitrário), o qual pode ser associado à

resposta observada no instante t = nTs (na saída do amostrador) a um impulso aplicado

em t = (n − m)Ts. Com base na aproximação mostrada na Figura 3.2 verifica-se que

h(m, n) pode ser expresso por:

h(m,n) =ν−1∑j=0

hj(nTs)g(mTs − τj) (3.22)

onde g(t) ≡ gT (t) ∗ gR(t) é um pulso do tipo cosseno levantado.

Como os ganhos do canal de propagação são por hipótese estacionários em sentido

amplo, mutuamente descorrelacionados e de média nula, a potência (variância) do coefi-

ciente h(m, n) não depende de n e pode ser dada por

σ2hm

≡ E[|h(m, n)|2] =ν−1∑j=0

σ2j g

2(mTs − τj), (3.23)

onde σ2j é a potência do j -ésimo ganho do modelo WSS-US do canal de propagação.

Cabe notar neste ponto que, como g(t) é ilimitado no tempo, há em princípio um

número infinito de coeficientes h(m, n) com variância σ2hm

não nula.

Note-se ainda que, para estabelecimento de um bom modelo em tempo discreto, é

interessante escolher o índice do primeiro coeficiente (aqui denotado por m0) de modo a

maximizar a soma das variâncias dos coeficientes.

Admitindo que o canal de propagação e a resposta em cosseno levantado g(t) são

normalizados, o erro de truncamento ε correspondente a um modeldo com L coeficientes

33

fica dado por:

ε = 1−m0+L−1∑m=m0

σ2hm

, (3.24)

sendo σ2hm

dado em (3.23).

Note-se que ε representa de fato a contribuição de um erro de modelagem na com-

posição do MSWE, e, como tal, deve ser levado em conta na avaliação de desempenho

de qualquer estimador de canal, nas condições aqui analisadas.

Portanto, para contemplar o efeito de truncamento no modelo de canal em tempo

discreto, é necessário que o valor ε seja adicionado ao valor de MSWE analisado nas seções

anteriores. Para um determinado canal, quanto menor a quantidade de coeficientes L,

maior será a influência do valor do erro de truncamento ε no MSWE.

Cabe notar qua análise acima se aplica a qualquer modelo de canal WSS-US com

perfil de retardos discutidos, desde que a aproximação ilustrada na Figura 3.2 seja satis-

fatória.

Resultados numéricos de validação desta análise do efeito do erro de truncamento

na composição do MSWE produzido pelo LMS na estimação de de canais de HF são

apresentados no Capítulo 5. Excelentes ajustes entre resultados analíticos e de simulação

são obtidos, sob diferentes condições do meio de transmissão.

34

4 EQUALIZAÇÃO DFE

4.1 INTRODUÇÃO

Na maioria dos sistemas de comunicação digital ocorre a dispersão temporal do sinal

transmitido, fazendo com que dados transmitidos num certo instante venham a interferir

com dados transmitidos em outros instantes. Esse fenômeno, chamado de interferência

intersimbólica (IES), provoca a redução da confiabilidade e/ou da taxa com as quais os

dados são transmitidos. A fim de minorar a IES, faz-se uso de equalizadores.

Todavia, tendo em vista a necessidade de equalizar canais desconhecidos ou variantes

no tempo, faz-se imperativo o uso de equalizadores adaptativos. Esses equalizadores são

usualmente implementados na forma de filtros digitais com resposta ao impulso finita

(FIR - Finite Impulse Response) e/ou resposta infinita ao impulso (IIR - Infinite Impulse

Response). Estes filtros são comumente adaptados usando uma sequência de treinamento

conhecida no receptor, que é tida como resposta desejada do equalizador. A diferença

entre a sequência de treinamento e a saída do equalizador é utilizada para ajustar seus

coeficientes.

Neste capítulo, aborda-se a estrutura de equalização DFE (Decision Feedback Equa-

lization) e algumas formas de adaptação de seus coeficientes, com ênfase na adap-

tação baseada na estimação de canal, que usualmente é feita usando expressões obtidas

supondo-se que o canal é perfeitamente estimado. Com base na análise do MSWE reali-

zada no capítulo anterior, propõe-se uma maneira simples de levar em conta os erros de

estimação do canal no ajuste dos coeficientes do DFE.

4.2 O EQUALIZADOR DFE

O objetivo desta seção é descrever de forma sucinta o funcionamento de um equali-

zador DFE.

Este tipo de equalizador é mostrado na Figura 4.1. Ele é composto basicamente de

dois filtros adaptativos de duração finita (filtros transversais): um filtro avante com Nw

coeficientes, aqui representados pelo vetor wk, que opera sobre as amostras do sinal na

entrada do receptor, e um filtro de realimentação com Nb coeficientes bk, que opera sobre

símbolos que foram detectados previamente. Os vetores de coeficientes destes filtros são

35

FIG. 4.1: Estrutura do Equalizador DFE

dados explicitamente por:

wk = [w0, w1, . . . , wNw−1]T

bk = [b1, b2, . . . , bNb]T (4.1)

Conjuntamente, estes filtros permitem combater o efeito de IES sem implementar

uma aproximação do tipo "canal inverso", como ocorre para os equalizadores lineares, o

que provocaria o conhecido efeito de fortalecimento do ruído em canais que apresentam

severas atenuações dentro da faixa de passagem.

Nas próximas seções são mostradas duas formas de realizar o ajuste dos coeficientes

do equalizador DFE. No primeiro método, os coeficientes são adaptados no sentido de

minimizar o valor quadrático médio do erro entre o símbolo transmitido sk e o sinal

de saída do equalizador sk, utilizando algum tipo de algoritmo adaptativo, como por

exemplo o algoritmo RLS (Recursive Least Square). Aqui este método é chamado de

método de ajuste direto.

No segundo método, o algoritmo adaptativo é utilizado para obter uma estimativa de

RI do canal e a partir desta estimativa é realizado o ajuste dos coeficientes do equalizador.

Aqui este processo é chamado de método de ajuste indireto.

Nas seções 4.3 e 4.4, os dois procedimentos são descritos de forma mais detalhada.

Na seção 4.5 é apresentada um nova forma de mapeamento, que procura melhorar o

método de ajuste indireto, utilizando o valor do MSWE analisado no capítulo anterior.

Em (SHUKLA, 1991) comparou-se o desempenho de um equalizador DFE num canal

de HF utilizando os dois métodos. Os critérios utilizados para a avaliação de desempenho

36

foram a probabilidade de erros de símbolos e o erro quadrático médio na saída do equa-

lizador em regime permanente. Verificou-se que o método indireto não apenas apresenta

um desempenho superior nestes critérios, como também apresenta convergência mais

rápida do que o método convencional.

Além disso, apesar do artigo supracitado utilizar o algoritmo RLS, foram realizadas

simulações computacionais que mostraram que o desempenho dos algoritmos RLS e LMS

são semelhantes utilizando o método indireto.

4.3 MÉTODO DE AJUSTE DIRETO

Nesta seção, discute-se o método que utiliza a minimização do valor quadrático médio

do erro entre o símbolo transmitido sk e o sinal de saída do equalizador sk como critério

de ajuste dos coeficientes do DFE.

Note-se primeiramente que o sinal equalizado é dado pela soma dos sinais de saída

dos filtros avante e de realimentação, ou seja

sk =Nw−1∑

i=0

wirk−i +Nb∑i=1

bj sk−∆−j (4.2)

sendo ∆ o retardo global do sistema.

O erro em relação à saída do decisor sk−∆ é dado por:

ek = sk−∆ − sk. (4.3)

O algoritmo adaptativo, por sua vez, tem por objetivo minimizar o valor quadrático

médio deste erro. Este procedimento é ilustrado na FIG. 4.2.

Para melhor exemplificar o método, é mostrada esta forma de ajuste dos coeficientes

do equalizador utilizando o algoritmo LMS.

Definindo o vetor de coeficientes

ϕk = [w0, w1, . . . , wNw−1, b1, b2, . . . , bNb]T (4.4)

e o vetor de entrada

γk = [rk, rk−1, . . . , rk−Nw+1, sk−∆−1, sk−∆−2, . . . , sk−∆−Nb]T (4.5)

tem-se que a Equação 4.2 pode ser expressa da seguinte forma

sk = ϕTk γk. (4.6)

37

FIG. 4.2: Configuração de uma estrutura DFE utilizando o método de ajuste direto

A adaptação dos coeficientes pelo método de ajuste direto utilizando o algoritmo

LMS é dado por:

ϕk+1 = ϕk + µekγ∗k (4.7)

4.4 MÉTODO DE AJUSTE INDIRETO PARA CANAL CONHECIDO

Nesta seção, apresenta-se o método baseado no conhecimento da RI do canal para

adaptar os coeficientes do equalizador DFE.

O objetivo deste procedimento é otimizar os coeficientes do equalizador no sentido

de minimizar um critério de desempenho e, ao mesmo tempo, expressá-los em função da

RI do canal. Aqui foi adotado o critério de minimização do erro quadrático médio entre

o sinal recebido rk e saída do estimador de canal rk como ilustrado na FIG. 4.3.

Apesar do interesse em canais variantes no tempo nas expressões a seguir, não se

explicita na notação a dependência da RI do canal com o tempo.

Considerando h como sendo a RI do canal de comunicação, definindo o vetor sinal de

entrada do filtro avante rk, o vetor de símbolos transmitidos sk e o vetor de ruído aditivo

nk da seguinte forma,

rk = [rk, rk−1, . . . , rk−Nw+1]T

38

FIG. 4.3: Configuração de uma estrutura DFE utilizando o método de ajuste indireto

sk = [sk+L1 , . . . , sk, . . . , sk−L2−Nw+1]T

nk = [nk, nk−1, . . . , nk−Nw+1]T (4.8)

onde L1 e L2 são as quantidades de pré-cursores e pós-cursores da RI do canal, respecti-

vamente, o vetor rk pode ser expresso como:

rk = Hsk + nk (4.9)

onde

H =

h−L1 h−L1+1 · · · hL2 0 · · · 0

0 h−L1 h−L1+1 · · · hL2 0 · · · 0... . . . . . . ...

0 0 0 · · · h−L1 h−L1+1 · · · hL2

Nw×(L1+L2+Nw)

(4.10)

é uma Matriz Toeplitz (Matriz de Convolução).

Supondo que as decisões realimentadas são corretas, é possível expressar as operações

do filtro de realimentação assumindo como entrada o vetor sk, dado pela Equação 4.8.

Com essa finalidade é definido um vetor b′ tal que

39

b′ = [01×(L1+d+1),bT ,01×N3 ]

T (4.11)

onde d é o retardo de decisão e N3 = Nw + L2 − d− 1−Nb.

Logo, a entrada do decisor pode ser expressa como

sk = wT rk + b′Tsk = wTHsk + b′

Tsk + wTnk = (wTH + b′

T)sk + wTnk (4.12)

Para se obter o cancelamento da parcela da IES devida aos símbolos sk−d−i, i =

1, . . . , Nb, os coeficientes do filtro de realimentação devem ser dados por

b′ = [01×(L1+d+1),−(wTH)L1+d+Nb+1L1+d+2 ,01×N3 ]

T (4.13)

Usando as Equações 4.12 e 4.13, a entrada do decisor fica dada por

sk = wT (H′sk + nk) (4.14)

onde

H′ = [HL1+d+1•,1 ,0Nw×Nb

,HL1+L2+Nw

•,L1+d+Nb+2] (4.15)

ou seja,

H′ =

h−L1 h−L1+1 · · · hd 0 · · · 0 0 · · · 0

0 h−L1 · · · hd−1 0 · · · 0 0 · · · 0... . . . ...

......

......

0 · · · 0 0 · · · 0 hL2−N3+1 · · · hL2

(4.16)

Os coeficientes do filtro avante são determinados pela minimização do erro médio

quadrático, dado por

J = E[|sk − sk−d|2] (4.17)

Da Teoria de Filtragem de Wiener, sabe-se que para encontrar a solução deve-se computar

a matriz de autocorrelação Rr do sinal de entrada e o vetor de correlação cruzada p entre

o sinal de saída desejado e o sinal de entrada. Temos portanto:40

Rr = E[(H′sk + nk)∗(H′sk + nk)

T ] (4.18)

Admitindo que os símbolos sk são descorrelacionados, de média nula e variância σ2s ,

que os coeficientes do canal hk são conhecidos que o ruído nk é branco e descorrelacionado

de sk, com variância σ2n, tem-se:

Rr = σ2sH

′∗H′T + σ2nI (4.19)

p = E[sk−d(H′sk + nk)

∗] = H′∗E[sk−ds∗k] (4.20)

Nessas condições o vetor E[sk−∆s∗k] tem todos os elementos iguais a zero, exceto na

posição N1 + D + 1, logo

p = σ2sH

′∗•,L1+d+1 (4.21)

O vetor de coeficientes do filtro avante que minimiza J é dado por

wopt = R−1r p

= (σ2sH

′∗H′T + σ2nI)

−1σ2sH

′∗•,L1+d+1 (4.22)

O vetor de coeficientes do filtro de realimentação é obtido substituindo a Equação 4.22

na Equação 4.13.

As Equações 4.22 e 4.13 constituem então a essência deste método de ajuste de

coeficientes do DFE.

Note-se mais uma vez que as referidas equações foram obtidas supondo que o canal

em tempo discreto é conhecido, ou seja, supondo que a estimação do canal é perfeita. Na

prática o mesmo equacionamento é usado para mapear estimativas imperfeitas de RI do

canal nos coeficientes do DFE, desconsiderando a ocorrência de erros de estimação.

4.5 MÉTODO DE AJUSTE INDIRETO PARA CANAL ESTIMADO

Nesta seção, propõe-se o uso de um novo mapeamento, utilizando o conhecimento do

MSWE analisado no Capítulo 3, como um possível caminho para melhorar o ajuste dos

coeficientes e, por conseqüência, o desempenho do equalizador DFE.41

Primeiramente, considerando H a matriz de convolução do canal, H a matriz de

convolução do canal estimado e denotando por 4H a matriz de erro (diferença entre H

e H), tem-se

rk = Hsk + nk = (H + 4H)sk + nk

= Hsk + 4Hsk + nk

= Hsk + nk (4.23)

onde

nk = 4Hsk + nk (4.24)

Admitindo a descorrelação entre 4H e sk, e que a média de 4H é uma matriz nula,

a matriz de autocorrelação do vetor de entrada do filtro avante fica dada por

Rr = E[(H∗s∗k + n∗k)(HTsT

k + nTk )]

= σ2sH

∗HT + Rn (4.25)

onde

Rn = E[(4∗Hs∗k + n∗k)(4T

HsTk + nT

k )]

= σ2sE[4∗

H4TH ] + σ2

nI (4.26)

Nota-se na expressão acima a necessidade de se conhecer a matriz de correlação do

erro de estimação do canal para determinar a matriz E[4∗H4T

H ] e, conseqüentemente,

determinar Rn. Uma expressão extremamente simples para Rn pode ser obtida supondo

que a matriz E[4∗H4T

H ] seja dada por

E[4∗H4T

H ] = σ2eI (4.27)

onde σ2e é o valor do MSWE dividido pela quantidade de coeficientes Le do estimador de

canal, ou seja

σ2e =

MSWE

Le

(4.28)

42

Obtém-se o novo mapeamento dos coeficientes do equalizador DFE, substituindo os

resultados das Equações 4.25, 4.26, 4.27 e 4.28 nas Equações 4.22 e Equação 4.13.

Trata-se de fato de uma pequena modificação do mapeamento usual, que tem como

aspecto interessante o fato de incorporar um indicador de qualidade das estimativas de

canal empregadas, qual seja, o valor do MSWE.

Este método é interessante para uso em conjunto com os resultados analíticos antes

apresentados, relativos à análise do MSWE na estimação de canais WSS-US, e de canais

de HF em particular.

Note-se que uma versão um pouco mais elaborada deste mapeamento pode ser em-

pregada, utilizando a expressão da Equação. 4.26, desde que se disponha da matriz au-

tocorrelação do vetor erro de estimação do canal.

Por fim, como citado anteriormente, em situações práticas o canal de comunicação é

desconhecido e os coeficientes do equalizador devem ser ajustados antes que o processo de

deteção de informação transmitida seja iniciado. No entanto, quando o canal é variante no

tempo, esses coeficientes devem ser adaptados durante a fase de detecção de informação,

do contrário a taxa de erro do sistema de comunicação pode aumentar.

4.6 RESUMO

Neste capítulo foi discutido o funcionamento de um equalizador com estrutura DFE

e algumas formas de ajuste de seus coeficientes. Além disso, foi proposto um novo tipo de

ajuste, bastante simples, como uma forma de utilizar o conhecimento do valor de MSWE

analisado no capítulo anterior para se tentar melhorar o desempenho do equalizador DFE

quando do emprego de estimativas imperfeitas do canal para ajuste de seus coeficientes.

43

5 RESULTADOS

5.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo são apresentados alguns resultados de avaliação de desempenho obti-

dos através de simulações e com o uso das análises descritas anteriormente, utilizando o

software Matlab.

Quatro conjuntos de resultados são apresentados e discutidos. Os três primeiros

procuram validar os resultados analíticos apresentados no Capítulo 3 por meio de simu-

lação computacional, enquanto que o quarto contempla a influência da escolha do passo

no desempenho de um equalizador DFE utilizando os métodos de ajuste indireto, tanto

para canal conhecido quanto para canal estimado, conforme discutido no Capítulo 4.

5.2 CONDIÇÕES BÁSICAS DE SIMULAÇÃO

Utilizou-se em geral os três modelos de canal de HF da norma ITU-R F.520 (ITU-

R bom, ITU-R moderado e ITU-R pobre). A taxa de símbolos Rs foi de 2400 baud e

empregou-se um esquema de modulação Quadrature Phase Shift Keying (QPSK), e filtros

de transmissão e de recepção casados do tipo raiz quadrada de cosseno levantado, com

fator de rool off igual a 0,5.

Como os valores de retardo do modelo de canal de propagação não são, em geral,

múltiplos do intervalo de símbolos, utiliza-se superamostragem para viabilizar a sua si-

mulação. Os símbolos de entrada sk são interpolados por um fator M através de inserção

de M − 1 zeros entre símbolos sucessivos. A seqüência assim obtida passa então por um

filtro de transmissão que possui resposta raiz de cosseno levantado, e sofre efeito do canal

simulado aproximando-se o intervalo entre coeficientes por múltiplos de Ts

M. Finalmente

a seqüência passa pelo filtro de recepção, que possui a mesma resposta que o de trans-

missão. A seqüência na saída deste filtro é, então, decimada por um fator M antes de

ser somado o ruído.

Para gerar os modelos de canais de teste previstos pela ITU-R são necessários apenas

dois coeficientes de igual potência, com espalhamento Doppler e retardos entre os raios

de acordo com a Tabela 2.1.

Para fins de simplificação, algumas vezes se utiliza uma modificação do valor de re-

44

tardo entre os raios dos modelos de canais da ITU-R F.520. Esta alteração tem como ob-

jetivo aproximar a este valor de retardo por um múltiplo do período de símbolo. Quando

isto ocorre, os filtros de transmissão e de recepção não influenciam na obtenção da RI

conjunta do canal, e assim a IES resulta apenas do efeito do canal de comunicação. Para o

caso do canal ITU-R pobre, por exemplo, tem-se retardo entre os raios de 2 ms. Para uma

taxa de símbolos de 2400bps, o canal pode ser aproximado para um retardo de 2,1 ms,

ficando o vetor de coeficientes da RI conjunta do canal da forma hk = [hk,0 0 0 0 0 hk,1]T .

Aqui estes modelos são aqui denominados de canais ITU-R modificados.

A geração de cada raio do canal foi feita através do método de Monte-Carlo

(MÜLLER,1994). Cada coeficiente simulado é da forma

h(t) =

√1

N

N−1∑k=0

akej2πθkt (5.1)

onde N é a ordem de simulação do modelo, ak são variáveis aleatórias complexas Gaus-

sianas com variância unitária e média nula, e θk são variáveis aleatórias Gaussianas de

média nula e desvio padrão igual à metade do espalhamento Doppler, de acordo com a

Equação(2.6).

O valor de N na Equação 5.1 tem importância fundamental para que a resposta do

canal possua, instantaneamente, componentes em quadratura com distribuição aproxi-

madamente gaussiana para qualquer valor fixo de atraso entre os coeficientes do canal. O

trabalho apresentado em (GUIMARÃES,1997) avalia a escolha adequada deste parâmetro

e, com base nele, N foi tomado como 20.

O canal foi normalizado multiplicando-se cada componente hi(t) por√

12, fornecendo

um perfil de intensidade de múltiplos percursos com raios de mesma potência, adotado

nos modelos de canal do ITU-R.

Para gerar uma realização de um raio do canal são sorteadas N variáveis ak e θk,

k = 1, . . . , N . Com este conjunto de variáveis gera-se um raio ao longo do tempo,

variando-se apenas a variável t. As realizações de cada raio são geradas através de

sorteios similares (independentes).

5.3 INFLUÊNCIA DO PASSO NO MSWE EM REGIME PERMANENTE PARA MO-

DELOS ITU-R MODIFICADOS

Nesta seção são mostrados as curvas de MSWE em regime permanente em função

do passo. Foram utilizados os modelos modificados de canais de HF, onde se utiliza raios

45

FIG. 5.1: MSWE em regime permanente em função do passo para o canal ITU-Rmoderado modificado obtido por análise e simulação, com RSR de 10, 20 e 30 dB.

com valores de retardo múltiplos do período de símbolos Ts e os filtros de transmissão e

de recepção não exercem influência na resposta ao impulso conjunta do canal em tempo

discreto.

Para obtenção dos resultados de simulação foram geradas 1000 realizações estatis-

ticamente independentes de todos os processos estocásticos envolvidos na modelagem,

utilizando blocos de 1000 símbolos para cada transmissão.

No estimador de canais foram utilizados 2 coeficientes. As curvas contínuas repre-

sentam os valores analíticos de MSWE, enquanto os asteriscos indicam valores empíricos,

obtidos por simulação. Os resultados foram levantados com valor de RSR igual a 10, 20

e 30 dB.

A FIG. 5.1 se refere ao modelo de canal ITU-R moderado e a FIG. 5.2 é ilustrado o

mesmo procedimento anterior para o modelo de canal ITU-R pobre. Pode-se observar em

ambas as figuras uma aproximação muito boa entre os resultados analíticos e os obtidos

por simulação computacional.

46

FIG. 5.2: MSWE em regime permanente em função do valor de passo do algoritmoLMS para o modelo modificado de canal ITU-R pobre. São mostrados resultados

analíticos e de simulação para RSR de 10, 20 e 30 dB.

5.4 INFLUÊNCIA DO PASSO NO MSWE EM REGIME PERMANENTE PARA MO-

DELOS ITU-R

Nesta seção são apresentadas curvas de MSWE em regime permanente em função do

passo do algoritmo LMS, obtidas analiticamente por simulação computacional.

Primeiramente, alguns testes empíricos foram realizados a fim de se avaliar o mínimo

de coeficientes significativos da RI conjunta do canal em tempo discreto, para os 3 modelos

de canal de propagação aqui utilizados. Para tanto, simulou-se a convolução de um

impulso em tempo discreto δk com o conjunto formado pelo canal e pelos filtros de

transmissão e de recepção. Realizou-se amostragem da saída do filtro de recepção na

taxa de símbolos. Verificou-se que a RI conjunta apresenta uma quantidade aproximada

de 9, 9 e 14 coeficientes significativos para os canais ITU-R bom, moderado e pobre,

respectivamente.

Os resultados apresentados em cada uma das figuras que se seguem foram obtidos

com valor de RSR igual a 10 e 30 dB. Para obtenção destes resultados foram gerados 1000

realizações estatisticamente independentes de todos os processos estocásticos envolvidos

na modelagem, utilizando blocos de 600 símbolos em cada transmissão.

No estimador de canais, foram utilizados 5, 5 e 7 coeficientes para estimar os canais

47

ITU-R bom, moderado e pobre, respectivamente. Estas quantidades de coeficientes foram

definidas para uma melhor visualização do erro de truncamento nas figuras subseqüentes.

A FIG. 5.3 ilustra os valores analíticos e empíricos de MSWE em regime permanente

para o modelo de canal ITU-R bom. As curvas contínuas representam valores analíticos

de MSWE obtidos com o erro de truncamento incorporado, enquanto as curvas tracejadas

indicam valores analíticos de MSWE levantados sem o acréscimo deste erro.

FIG. 5.3: MSWE em regime permanente em função do passo para o modelo ITU-Rbom, obtido por análise e simulação, para RSR de 10 e 30 dB.

Nesta figura fica evidenciado o efeito do erro de truncamento devido ao limitado

número de coeficientes empregados no modelo utilizado para estimação de canal.

A FIG. 5.4 ilustra os valores analíticos e empíricos de MSWE em regime permanente

para o modelo de canal ITU-R moderado. Observa-se nesta curva uma degradação de

desempenho em relação ao modelo de canal ITU-R bom, em virtude do espalhamento

doppler deste modelo ser um pouco maior, ocasionando uma maior dificuldade de ras-

treamento dos parâmetros do canal.

A FIG. 5.5 ilustra os resultados obtidos com o modelo de canal ITU-R pobre. Verifica-

se que o efeito do erro de truncamento é mais intenso neste modelo. Isto se deve ao fato

do valor de retardo (2 ms) entre os raios ser maior do que o dos outros dois modelos

(ITU-R bom e ITU-R moderado), causando um aumento da quantidade de coeficientes

significativos da resposta ao impulso conjunta do canal. Assim sendo, observa-se uma

48

FIG. 5.4: MSWE em regime permanente em função do passo do algoritmo LMS para ocanal ITU-R moderado. Obtidos por análise e simulação, para RSR de 10 e 30 dB.

FIG. 5.5: MSWE em regime permanente em função do passo para o modelo ITU-Rpobre, obtidos por análise e simulação, para RSR de 10 e 30 dB.

maior intensidade de erro de truncamento em relação aos casos anteriores, mesmo com o

aumento (de 5 para 7) no número de coeficientes do modelo empregado para estimação

do canal equivalente em tempo discreto.

49

Por fim, pode-se observar nessas três figuras uma aproximação muito boa entre os

resultados analíticos e os obtidos por simulação computacional, indicando a validade

das análises desenvolvidas e a pertinência das suposições adotadas. Em particular, cabe

destacar que a avaliação da contribuição do erro de truncamento na composição do MSWE

viabilizou que se alcançasse um excelente nível de aproximação entre valores empíricos e

analíticos, em todos os casos considerados.

5.5 DESEMPENHO DO ALGORITMO LMS NA ESTIMAÇÃO DE CANAIS DE HF

UTILIZANDO O PASSO ÓTIMO APROXIMADO

Nesta seção são apresentados resultados numéricos relacionados com a questão da

otimização do passo do LMS, no sentido de minimizar o MSWE em regime permanente.

As condições de simulação da seção anterior foram mantidas nesta avaliação.

As FIG. 5.6, FIG. 5.7 e FIG. 5.8 ilustram os valores analíticos de MSWE em regime

permanente para cada tipo de modelo de canal de HF da norma ITU-R F.520, con-

siderando valores de RSR iguais a 10, 20 e 30 dB. Os valores de MSWE correspondentes

aos valores do passo ótimo aproximado são destacados em asterisco nestas figuras.

Os resultados numéricos apresentados indicam que o procedimento proposto fornece

valores próximos dos efetivos valores de passo ótimo, que se pode depreender de análise

das curvas mostradas.

Analisando as figuras citadas, percebe-se que o valor de passo que minimiza o MSWE

é diferente para cada modelo de canal. Como era esperado, quanto maior o valor do

parâmetro Bd, maior a velocidade de variação do canal e, maior deve ser o valor de

passo, a fim de rastrear melhor o canal.

Observa-se nos resultados apresentados nas FIG. 5.6, FIG. 5.7 e FIG. 5.8 que o valor

de passo ótimo aproximado analiticamente é sempre um pouco maior que o valor do

passo ótimo correspondente. Esta pequena diferença pode ser vista como uma vantagem,

pois o uso do valor do passo ótimo aproximado permite obter uma maior velocidade de

convergência sem, no entanto, provocar um aumento considerável do MSWE em regime

permanente.

Isto é ilustrado na FIG. 5.9, que foi obtida usando o modelo ITU-R moderado mo-

dificado, com RSR = 30 dB. Foram empregados quatro valores de passo para estimar o

canal: o passo ótimo obtido de forma empírica a partir da curva analítica, o passo ótimo

aproximado obtido de acordo com o procedimento proposto nesta dissertação, um valor

quatro vezes menor do que o passo ótimo e um com valor de passo quatro vezes maior

50

FIG. 5.6: MSWE em regime permanente em função do passo obtido analiticamente,para o modelo ITU-R bom. Em destaque os pontos correspondentes ao passo ótimo

aproximado.

FIG. 5.7: MSWE em regime permanente obtido analiticamente para o modelo ITU-Rmoderado. Em destaque os pontos correspondentes ao passo ótimo aproximado.

do que o ótimo.

Nota-se na FIG. 5.9 que a curva de aprendizagem produzida pelo algoritmo utilizando

51

FIG. 5.8: MSWE em regime permanente obtido analiticamente para o modelo ITU-Rpobre. Em destaque os pontos correspondentes ao passo ótimo aproximado.

FIG. 5.9: Curvas de Aprendizagem (MSWE) para canal ITU-R moderado modificado eRSR = 30 dB.

o passo ótimo, converge após o processamento de 55 amostras, aproximadamente, com

nível de MSWE em regime permanente muito próximo do obtido com o uso do passo

ótimo aproximado. O uso deste, no entanto, produz convergência mais rápida, que se

52

FIG. 5.10: Curvas de Aprendizagem (MSWE) para canal ITU-R pobre modificado eRSR = 30 dB.

dá após o processamento de 40 amostras, aproximadamente. Comportamentos similares

foram verificados para outras situações, como por exemplo, mostrada na FIG. 5.10, que

foi obtida com o modelo ITU-R pobre modificado, e demais condições idênticas às da

FIG. 5.10.

Outra observação acerca das FIG. 5.9 e FIG. 5.10 é que, o uso de valores mais elevados

do que o passo ótimo aproximado, pode aumentar a velocidade de convergência em casos

onde o período de treinamento é reduzido. A conseqüência disto, no entanto, é o aumento

de nível de MSWE que, por sua vez, acarretaria uma degradação de desempenho de um

equalizador baseado na estimação do canal.

O impacto do MSWE no desempenho de um sistema utilizando um equalizador DFE

no receptor é discutido na próxima seção.

5.6 INFLUÊNCIA DO PASSO NO DESEMPENHO DE UM EQUALIZADOR DFE

APLICADO A CANAIS DE HF

Nesta seção avalia-se o efeito do ajuste do passo do algoritmo LMS aplicado à esti-

mação do canal sobre o desempenho de um equalizador DFE com coeficientes adaptados

através do método de ajuste indireto para canal conhecido, discutido na Seção 4.4. As

medidas de desempenho aqui utilizadas foram o EMQ na saída do equalizador e a taxa

53

de erro de bits (BER).

Como nas simulações anteriores, foi avaliado o desempenho do referido equalizador

empregando os modelos de canais de HF da ITU-R F.520. A estrutura dos blocos de

transmissão de dados para o levantamento das curvas de desempenho foi baseada no

MIL-STD-188-110A/B, tendo sido feitas algumas pequenas adaptações em função do

interesse em fazer simulações mais eficientes e focados nos objetivos específicos deste

trabalho.

FIG. 5.11: EQM na saida do equalizador em função do passo para o canal ITU-R bom.Em destaque os valores correspondentes ao passo ótimo aproximado.

Para treinamento inicial é feita a transmissão de um preâmbulo composto de 400

símbolos conhecidos. Após o preâmbulo, são transmitidos alternadamente quadros de

dados e quadros de símbolos conhecidos para retreinamento. Os quadros de dados são

formados por 32 símbolos e os de retreinamento têm 16 símbolos conhecidos.

Foram simuladas pelo menos 10000 realizações estatisticamente independentes de to-

dos os processos estocásticos envolvidos na modelagem para obtenção de cada estimativa

das medidas de desempenho.

As amostras correspondentes ao preâmbulo e aos períodos de retreinamento são uti-

lizados para estimação do canal. Na recepção dos quadros de dados, o mapeamento de

coeficientes do equalizador é atualizado a cada intervalo de símbolo e a estimação do

canal é realizada com símbolos decididos.

54

FIG. 5.12: EQM na saida do equalizador em função do passo para o canal ITU-Rmoderado. Em destaque os valores correspondentes ao passo ótimo aproximado.

No estimador de canais, foram utilizados 9, 9 e 14 coeficientes para identificar e

canais ITU-R bom, moderado e pobre, respectivamente. Estes valores foram estabelecidos

com base nos testes empíricos descritos anteriormente (Seção 5.4) procurando manter,

o erro de truncamento em níveis que não influenciem significativamente avaliações de

desempenho do equalizador.

No equalizador DFE implementado empregou-se 24 coeficientes, com Nw = 15 e

Nb = 8 e utilizou-se um retardo de decisão de 13, 13, e 15 intervalos de símbolo para

canais ITU-R bom, moderado e pobre, respectivamente.

Nas FIG. 5.11, FIG. 5.12 e FIG. 5.13 são mostradas as curvas de estimativas do

EQM na saída do equalizador para cada tipo de modelo de canal de HF da ITU-R F.250

(ITU-R bom, ITU-R moderado e ITU-R pobre), considerando valores de RSR iguais a 10

e 20 dB. As curvas em linhas tracejadas correspondem a valores de EMQ obtidos através

do uso de símbolos corretos tanto na identificação do canal quanto na entrada do filtro

de realimentação. As curvas contínuas foram obtidas utilizando-se símbolos decididos.

Como esperado, o uso de símbolos corretos ao invés de símbolos decididos, proporcionou

um melhor desempenho do receptor em relação aos valores de EMQ.

Os valores destacados em asterisco foram levantados através da utilização do passo

ótimo aproximado na estimação de canais, utilizando símbolos decididos na identificação

55

FIG. 5.13: EQM na saida do equalizador em função do passo para o modelo de canalITU-R pobre. Em destaque os valores correspondentes ao passo ótimo aproximado.

FIG. 5.14: BER na saida do equalizador em função do passo para o modelo ITU-Rbom. Em destaque os valores correspondentes ao passo ótimo aproximado.

do canal e na entrada do filtro de realimentação.

Para as condições de simulação aqui descritas, pode-se observar através destas figuras

que o uso do valor de passo ótimo aproximado proporciona um valor de EQM na saída do

56

FIG. 5.15: BER na saida do equalizador em função do passo para o modelo canalITU-R moderado. Em destaque os valores correspondentes ao passo ótimo aproximado.

equalizador próximo ao seu valor mínimo. Comportamentos similares foram verificados

para outras situações.

FIG. 5.16: BER na saida do equalizador em regime permanente utilizando o modelo decanal ITU-R pobre. Em destaque os valores de BER para o passo ótimo aproximado.

57

Nas FIG. 5.14, FIG. 5.15 e FIG. 5.16 são mostradas as curvas de BER (de "bit error

rate") em função do passo, para cada modelo de canal, considerando valores de RSR

iguais a 10 e 20 dB. As curvas tracejadas correspondem a valores obtidos através do uso

de símbolos corretos (na identificação do canal e na entrada do filtro de realimentação),

enquanto as curvas contínuas foram levantadas utilizando símbolos decididos. Como

esperado, o uso de símbolos corretos, ao invés de símbolos decididos, proporcionou um

melhor desempenho em relação à taxa de erros de bits (BER).

FIG. 5.17: MSWE e EQM na saida do equalizador em regime permanente, para omodelo ITU-R moderado com RSR = 20 dB.

Os valores destacados em asterisco foram obtidos através da utilização do passo

ótimo aproximado e simbolos decididos (na identificação do canal e na entrada do filtro

de realimentação).

Estas figuras comprovam que o desempenho de BER do sistema é diretamente influ-

enciado pela escolha do passo, como esperado. Mostram também que o uso do valor do

passo ótimo aproximado leva a valores de BER próximos dos valores mínimos correspon-

dentes, comprovando mais uma vez a utilidade da análise desenvolvida.

A FIG 5.17 mostra a relação entre os valores de MSWE e EQM na saída do equali-

zador com os valores de passo do algoritmo LMS. Utilizou-se para obtenção desta figura

o modelo ITU-R moderado com RSR = 20 dB. Nota-se que, minimizando o MSWE,

o EQM na saída do equalizador também é minimizado. Resultados semelhantes foram

58

FIG. 5.18: MSWE e EQM na saida do equalizador em regime permanente, para omodelo ITU-R pobre com RSR = 20 dB.

obtidos sob outras condições de simulação, como por exemplo, na FIG 5.18 que ilustra

os resultados obtidos para o canal ITU-R pobre com RSR = 20 dB.

FIG. 5.19: EQM na saida do equalizador em função do MSWE para os modelos doITU-R pobre e moderado, com RSR = 20 dB.

59

Observa-se também que, no caso do uso de símbolos corretos (na identificação do

canal e na entrada do filtro de realimentação), valores de passo diferentes que produzem

os mesmos níveis de MSWE em regime permanente também produzem níveis idênticos

de EQM na saída do equalizador. Pode-se afirmar, desta forma, que o EQM é função do

MSWE, apenas, e isto é ilustrado na FIG 5.19. Esta figura foi obtida com os modelos de

canais ITU-R moderado e pobre para RSR = 20 dB e reforça a idéia de que, ao minimizar

o MSWE, o EQM também é minimizado.

FIG. 5.20: EQM na saida do equalizador em função do passo para o modelo ITU-Rpobre e RSR = 10 dB. A curva contínua foi levantada utilizando o método de ajuste

indireto para canal estimado.

Vale mencionar ainda que, no caso de uso de símbolos decididos (na identificação do

canal e na entrada do filtro de realimentação) não se verifica que o MSE é função apenas do

MSWE, pois utiliza-se valores analíticos de MSWE baseados no uso de símbolos corretos

na estimação de canais. Além disso, empregando-se o algoritmo LMS na estimação de

canal, o MSWE sofre menos influência de erros de decisão para valores pequenos de

passo, pois nestes casos o LMS é mais "conservador" na atualização dos coeficientes das

estimativas de canal.

A FIG. 5.20 mostra o desempenho de EQM do equalizador DFE com coeficientes

estabelecidos pelos métodos de ajuste indireto para canal conhecido e canal estimado,

utilizando o modelo de canal ITU-R pobre e RSR = 10 dB. Nota-se uma melhoria de

desempenho muito pequena, obtida com acréscimo desprezível de complexidade com-60

FIG. 5.21: EQM na saida do equalizador em função do passo, para o modelo ITU-Rbom e RSR = 10 dB. A curva contínua foi levantada utilizando o método de ajuste

indireto para canal estimado.

putacional associada a este procedimento. Verifica-se resultados similares para outros

casos, como, por exemplo, as da FIG. 5.21, que foram obtidas utilizando modelo de canal

ITU-R bom e RSR = 10 dB.

Esta melhoria pouco siginificativa se deve, provavelmente, às aproximações realizadas

para se encontrar o valor da matriz de correlação do erro de estimação E[4∗H4T

H ].

Em particular supôs-se que os elementos do vetor erro de estimação 4H são des-

correlacionados, o que de fato não ocorre. Além disso, a contribuição dos L coeficientes

deste vetor para o valor do MSWE não se dá de forma homogênea como foi admitido.

Uma maior elaboração na análise desta matriz de correlação pode proporcionar melhoria

significativa para o método de ajuste indireto para canal estimado.

A complexidade computacional não foi objeto de estudo deste trabalho. No entanto,

é importante salientar que em (TÜCHLER, 2002) verificou-se que, em casos de canais

variantes no tempo, a ordem da complexidade computacional do ajuste dos coeficientes

do filtro avante pode ser diminuída de N3w para N2

w para cada intervalo de símbolo, sendo

Nw a quantidade de coeficientes do filtro avante.

61

6 CONCLUSÕES

O presente trabalho teve como objetivos principais analisar matematicamente o prob-

lema de otimização do passo do algoritmo LMS (Least Mean Square) na estimação de

canais de propagação ionosféricos no sentido de minimização do MSWE em regime per-

manente, e aplicar essas estimativas no cálculo dos coeficientes da técnica de equalização

DFE.

Estendeu-se a canais em HF a análise de desempenho do algoritmo LMS na estimação

de canais apresentada em (GALDINO, 2004), no que se refere a determinação do passo

ótimo. Considerou-se nesta otimização não apenas o canal de propagação propriamente

dito, mas também o efeito dos filtros de transmissão e recepção no modelo de canal em

tempo discreto a ser estimado. A necessidade de limitar o número de coeficientas deste

modelo implica um erro de modelagem, que foi aqui denominado erro de truncamento,

e tem impacto significativo na avaliação analítica do MSWE de (Mean Square Weight

estimation Error).

Diversos resultados numéricos de avaliação do MSWE obtidos por simulação e via ex-

pressões analíticas foram apresentados, utilizando-se modelos de canais da ITU-R F.520

e parâmetros do MIL-STD-188-110A/B, que é um dos padrões internacionais para inter-

operabilidade de modems na faixa de HF. Estes resultados indicam a validade e utilidade

das análises desenvolvidas, tendo sido em geral observada uma aproximação muito boa

entre os resultados analíticos e de simulação.

A partir dos resultados numéricos apresentados, verificou-se que o valor de passo

ótimo aproximado obtido é um pouco maior que o valor do passo ótimo obtido a partir das

curvas analíticas de MSWE. Esta pequena diferença pode ser vista como uma vantagem,

pois o uso do valor do passo ótimo aproximado permite obter uma maior velocidade de

convergência sem produzir, no entanto, um aumento considerável do MSWE em regime

permanente.

Verificou-se, como esperado, que o uso dos valores do passo ótimo aproximado me-

lhora o desempenho de esquemas de recepção baseados em equalizadores DFE adaptativos

cujos coeficientes são ajustados com base em estimativas da RI do canal equivalente em

tempo discreto.

Com base no conhecimento do MSWE, este trabalho ainda propõe uma forma muito

62

simples de ajuste dos coeficientes do equalizador DFE, como um possível caminho para

incluir neste ajuste um indicador da qualidade das estimativas de canal empregadas e

assim obter alguma melhoria de desempenho.

Este trabalho pode ser prosseguida através dos seguintes temas, sugeridas para

pesquisas futuras:

• Investigação de uma nova forma de adaptação dos coeficientes do equalizador DFE,

utilizando estimação de canais de HF, com base no conhecimento da matriz de

correlação do erro de estimação;

• Avaliação do desempenho de equalizadores DFE aqui apresentados usando outros

modelos de canais, previstos pelo ITU-R ou não;

• Avaliação de desempenho com utilização de outros padrões para modems em HF;

• Investigação da viabilidade de obter uma solução analítica para o erro médio

quadrático na saída do equalizador DFE, utilizando a análise de desempenho do

algoritmo LMS na estimação de canais de HF;

• Análise de desempenho do algoritmo LMS para canais de HF em regime transitório

com o propósito de obter o valor de passo fixo que minimize o MSWE após um

período de treinamento bastante curto (inferior ao que seria necessário para atingir

o valor de MSWE mínimo em regime estacionário).

63

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BENVENUTO, N. e CHERUBINI, G. Algorithms for Communications Systemsand their Applications. John Wiley, 2002.

DINIZ, P. S. R. Adaptive Filtering: Algorithms and Practical Implementations.Kluwer Academic Publishers, Boston, 2 edition, 2002.

ELEFTHERIOU, E. e FALCONER, D. D. Adaptive equalization techniques forHF channels. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, págs. 238–247,February 1987.

GALDINO, J. F., PINTO, E. L. e ALENCAR, M. S. Analytical performance ofthe LMS algorithm on estimation of wide sense stationary channels. IEEETransactions on Communications, 50(1):156–167, June 2004.

GUIMARÃES, A. G., SILVA, C. J. A., GALDINO, J. F. e PINTO, E. L. Comparação dedesempenho de simuladores de canais com desvanecimento rápido - parte I - avaliaçãonumérica. Em Anais do XV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, volume 1, págs.426–430, Recife-PE, 1997.

HAYKIN, S. Adaptive Filter Theory. Prentice-Hall, 3 edition, 1996.

ITU-R. Rec. ITU-R F.520 (withdrawn): Use of high frequency ionosphericchannel simulators. 1992.

ITU-R. Rec. ITU-R F.1487: Testing of HF modems with bandwidths of up toabout 12 khz using ionospheric channel simulators. 2000.

LINDBOM, L., STERNAD, M., AHLÉN, A. e FALKENSTROM, M. Tracking of time-varying mobile radio channels - part I: The Wiener LMS algorithm. IEEETransactions on Communications, 49(12):2207–2217, December 2001.

LINDBOM, L., STERNAD, M., AHLÉN, A. e FALKENSTROM, M. Tracking of time-varying mobile radio channels - part II: A case study. IEEE Transactions onCommunications, 50(1):156–167, January 2002.

MÜLLER, A. Simulation of multipath fading channels using the monte-carlomethod. IEEE International Conference on Communications, 3:1536–1540, May 1994.

PARSONS, J. D. The Mobile Radio Propagation Channel. John Wiley, 1992.

PINTO, E. L. e MAIA, M. A. G. M. Ca model for the oversampled received signal in awss-us transmission environment. Em Proceedings of the 2nd Conference on Telecom-munications, volume 1, págs. 137–141, Sesimbra, Portugal, 1999.

PROAKIS, J. G. Digital Communications. McGraw-Hill, 3 edition, 1995.

64

SHUKLA, P. K. e TURNER, L. F. Channel estimation based adaptive DFE forfading multipath radio channels. IEEE Proceedings-I, 1380:525–543, December1991.

TÜCHLER, M. e OTNES, R. Low-complexity turbo equalization for time-varying chanels.Em Proc. 55th IEEE Vehicular Technology Conf., Birmingham, AL, USA, May 2002.

WATTERSON, C. C., JUROSHEK, J. R. e BENSEMA, W. D. Experimental confir-mation of an HF channel model. IEEE Trans. on Communication Technology,COM-18(6):792–803, December 1970.

YOUSEF, N. R. e SAYED, A. H. A unified approach to the steady-state andtracking analyses of adaptive filters. IEEE Transactions on Signal Processing, 49(2):314–324, February 2001.

65

8 APÊNDICES

66

8.1 APÊNDICE 1

Da Equação 3.7 tem-se que o valor de MSWE em regime permanente, como função

do passo, fica dado por:

D(µ) =1

(2− µLσ2s)

{µσ2

nL +2σ2

h

β− 2σ2

hµσ2sP1

β

}(8.1)

onde

P1 = E[p(λ)] ∼= p(0) + p”(0)B2

d

8(8.2)

e

p(λ) =1

1− βej2πλTs(8.3)

Desta forma tem-se que

P1 =1

µσ2s

+ K

[−2β2

(µσ2s)

3− −β

(µσ2s)

2

](8.4)

onde

K = (πTsBd)2. (8.5)

Substituindo a Equação 8.4 na Equação 8.1 obtém-se

D(µ) =1

(2− µLσ2s)(µσ2

s)2

{µσ2

nL(µσ2s)

2 + 4σ2hK − 2σ2

hK(µσ2s)

}= ε

{µσ2

nL(µσ2s)

2 + 4σ2hK − 2σ2

hK(µσ2s)

}(8.6)

onde

ε =1

(2− µLσ2s)(µσ2

s)2

(8.7)

Desta forma

ε′ =−2

(2− µLσ2s)(σ

2s)

2µ3+

Lσ2s

(2− µLσ2s)

2µ2σ4s

(8.8)

67

ε′

ε=

−2

µ+

Lσ2s

(2− µLσ2s)

(8.9)

ε′ =

{−2

µ+

Lσ2s

(2− µLσ2s)

}ε (8.10)

Derivando D(µ)

D′(µ) =

{−2

µ+

Lσ2s

(2− µLσ2s)

}ε{µσ2

nL(µσ2s)

2 + 4σ2hK − 2σ2

hK(µσ2s)

}+

ε{3σ2

nL(µσ2s)

2 − 2σ2hKσ2

s

}(8.11)

D′(µ) =ε

(2− µLσ2s)µ

{(2σ2

nLσ4s)µ

3 + (−4σ2hσ

4sKL)µ2 + (4σ2

hσ2sK + 12Lσ2

sσ2hKµ)− 16σ2

hK}

(8.12)

Igualando a zero a Equação 8.12, obtém-se o seguinte polinômio

A3µ3 + A2µ

2 + A1µ + A0 = 0 (8.13)

cujos coeficientes são dados por:

A3 = σ2nLσ4

s

A2 = −2σ2hσ

4sKL

A1 = 2σ2hσ

2sK + 6Lσ2

hσ2sK

A0 = −8σ2hK (8.14)

68