Professor: Josué Gomes da Silva

Acadêmicos:

Denison Naino Moreira Gandra

Ednelson Oliveira Santos

Joaquim Araújo Costa Neto

Nelson Poerschke

Vitor Thawa Arruda Mateus

Wellington Kennedy Gomes da Silva

UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA

PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO

CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL

INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA

Gráficos em escalas logarítmicas

Introdução

A apresentação de dados em uma escala

logarítmica é útil quando os dados cobrem uma grande

gama de valores – o logaritmo reduz a representação a

uma escala mais fácil de ser visualizada e manejada.

Na escala linear, duas graduações cuja diferença

vale 10 estão a uma distância constante.

Na escala logarítmica, duas graduações cuja

razão vale 10 estão a distância constante.

Gráficos em escalas logarítmicas

Monologarítmicas

- apresentam uma escala logarítmica e uma escala linear.

Dilogarítmicas.

- apresentam duas escalas logarítmicas.

Se o gráfico dos valores tabelados em uma

experiência for uma curva, a sua função pode não ser de fácil

determinação. Algumas vezes, funções deste tipo podem ser

determinadas pelo uso adequado dos papéis logarítmicos:

papel mono-logarítmico (mono-log); epapel dilogarítmico (log-log).

O papel monolog possui escala linear no eixo dasabscissas e escala logarítmica no eixo das ordenadas.

Já o papel log-log possui escala logarítmica nos doiseixos.

O melhor papel a ser utilizado dependerá dos dadosobtidos experimentalmente.

Numa escala linear (papel milimetrado), a distância entre

os traços consecutivos representa sempre o mesmo intervalo da

grandeza a ser representada.

Numa escala logarítmica, isto não acontece. As distâncias

entre os traços não são lineares, ou seja, o passo é variável. A

escala logarítmica é constituída de DÉCADAS.

Uma década é uma escala contida em um comprimento L,

iniciando pelo número 10N e terminando no número 10N+1, sendo

N um número inteiro negativo, nulo ou positivo.

Entre estes números são colocados os algarismos inteiros

de 2 a 9, representando os múltiplos de 10N.

No papel logaritmo, os pontos estarão

representando os logaritmos dos números,

portanto, para se construir o gráfico basta marcar

diretamente os pontos correspondentes aos

valores de x e y nos eixos logarítmicos.

Então, com o uso do papel logarítmico

não é necessário extrair os logaritmos dos

valores de x e y.

Escalas Monologarítmicas

São usadas para evidenciar as comparações relativas

entre dois ou mais fatos.

São denominadas monologarítmicas por apresentarem

uma escala logarítmica e uma linear.

São também úteis para o estudo de funções

exponenciais que se linearizam por uma transformação

logarítmica.

Exemplo 1

Y = ABX (exponencial)

- aplicando logaritmo temos:

Y = log A + X log B

- chamando:

log Y de Y’

log A deA’

log B de B’

* - teremos:

Y’=A’+B’X (reta)

Deseja-se verificar a evolução relativa da

produção de café entre o País X e o Estado Y que

apresentaram os seguintes números:

Exemplo 2

Se utilizarmos uma escala linear ou aritmética, teremos o

seguinte gráfico:

Gráfico 1

Se utilizarmos uma escala logarítmica, teremos o

seguinte gráfico:

Gráfico 2

A observação do Gráfico 1 dá a impressão que o

crescimento da produção do País X foi muito maior que

a do Estado Y quando na realidade a produção cresceu

exatamente na mesma porcentagem.

Desta forma verifica-se que a escala linear não se presta

para acompanhar a evolução de séries, sendo mais

apropriada a escala monologarítmica.

Ao convertermos os dados para a escala

monologarítmica, no gráfico 2, verifica-se que a

fidelidade do gráfico com os dados da tabela.

Papel monologarítmico

Conforme se pode observar no papel monologaritmo, o eixo

das ordenadas está dividido em camadas logarítmicas. Elas

são denominadas deck ou década.

Como a escala é logarítmica, os valores crescem de uma

década para a outra em potências da base utilizada,

normalmente a base 10.

Exemplo:

1ª década – valores de 1 a 10 100

2ª década – valores de 10 a 100 101

3ª década – valores de 100 a 1000 102

4ª década – valores de 1000 a 10000 103

O valor inicial da escala pode ser adequado às necessidades

impostas pelos dados que se quer representar.

Observe que no gráfico monologarítmico a escala do

eixo das abscissas permanece linear.

Voltando ao exemplo da comparação relativa entre as

produções do País X e do Estado Y, vimos que os dados

foram representados em uma escala linear, no eixo das

abscissas, e em uma escala logarítmica, no eixo das

ordenadas.

Verificando aquele gráfico, nota-se que os segmentos de

reta que unem os pontos são paralelos, confirmando o

fato de crescerem a uma mesma razão.

Escalas Dilogarítmicas

Essas escalas têm uma aplicação mais restrita que

as monologarítmicas, uma das quais é o teste

gráfico, que é feito para saber se uma variável de

nosso interesse obedece a uma função potência.

Isso pode ser feito, pois a escala dilogarítmica

transforma as parábolas e hipérboles em retas.

Exemplo 1

Y = AXB (parábola)

- aplicando logaritmo temos:

log Y = log A + B log X

- chamando:

log Y de Y’

log A deA’

log X de X’

* - teremos:

Y’=A’+BX’ (reta)

Exemplo 2

(hipérbole)

- aplicando logaritmo temos:

log Y = log A - B log X

- chamando:

log Y de Y’

log A deA’

log X de X’

* - teremos:

Y’=A’-BX’ (reta)

Exemplo 3 Representando em uma escala dilogarítmica a seguinte

função: X=f(Y) expressa por X=5Y2, para valores de Ycompreendidos entre 0,1 e 1,3.

Realizando os cálculos chegamos à seguinte tabela:

A variável Y ocupará 2 décadas:

1ª - de 0,1 a 1,0

2ª - de 1,0 a 10

A variável X ocupará 3 décadas:

1ª - de 0,01 a 0,1

2ª - de 0,1 a 1,0

3ª - de 1,0 a 10