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Capítulo 01

Medidas, Gráficos e Escalas

1.1 - MEDIDAS 1..1 - GRANDEZAS FISICAS A Física tem a natureza por seu objeto de estudo. Esta Natureza, por sua vez, não é estática, onde apenas uma análise descritiva seria suficiente. Ela é dinâmica no sentido em que as "coisas" acontecem e se transformam no espaço e no tempo.

Ao analisarmos um fenômeno físico acontecendo na Natureza, isolamos para análise uma parte do Universo, e observamos o que está ocorrendo com as suas propriedades. Chamemos esta parte isolada de sistema. Todas as outras partes do Universo que interagem com o sistema durante o fenômeno físico serão chamadas de vizinhança.

EXEMPLO 2

Este sistema possui muitas propriedades:- Volume (tamanho), Temperatura (quente ou frio),

Pressão(dificuldade de empurrar o pistão), Cor, Cheiro, Sabor, etc. Algumas destas propriedades podem ser medidas. Quando isto acontece damos a elas o nome de grandezas. Logo, as GRANDEZAS são propriedades quantitativas (que se pode medir) de um sistema. Quando um determinado fenômeno ocorre com um sistema, algumas de suas grandezas características se alteram de valor, e às vezes, podem estar relacionadas entre si durante o evento. No exemplo acima podemos destacar e analisar as grandezas: Volume V (medido com uma régua), Pressão P (medida com um manômetro) e a Temperatura T (medida com um termômetro). Durante o fenômeno físico o sistema interage com a vizinhança e muda o seu ESTADO FÍSICO (isto é, sua configuração, sua imagem, sua face, sua aparência), pois as grandezas mudam de valor. Portanto, os valores das grandezas caracterizam ou definem o estado do sistema. Na geometria analítica representamos os pontos do espaço por meio de uma tripla de números (suas coordenadas). Podemos, por analogia, representar os estados físicos de um sistema por meio dos valores

Chamamos de FENÔMENO aos acontecimentos, aos eventos ou transformações ocorridas na Natureza, tendo como cenário o espaço e o tempo. Um fenômeno físico é uma ocorrência que não altera a natureza dos corpos. Um fenômeno químico altera a natureza dos corpos.

EXEMPLO 1 Seja uma folha de papel

Folha Folha Cortada Queimada FENÔMENO FÍSICO O papel continua sendo papel; a natureza não muda!!!

FENÔMENO QUÍMICO O papel deixa de ser papel; a natureza muda

Seja o fenômeno físico aquecimento de um gás num recipiente fechado, dotado de um pistão. Gás FENÔMENO FÍSICO : Aquecimento de um gás SISTEMA = Gás (composto de muitas moléculas) VIZINHANÇA = pistão e calor

Pistão

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de algumas grandezas características. Assim, no nosso exemplo de aquecimento de um gás, o estado do gás pode ser representado por uma tripla de valores (V, p, T) T P V Chama-se processo ou transformação à sucessão de estados pelos quais o gás passa durante o evento. B A Dessa maneira criamos um modelo geométrico1 para interpretar um fenômeno. Percebam como estamos introduzindo a linguagem matemática na descrição de um fenômeno físico. No exemplo do aquecimento do gás, as grandezas V, p, T estão relacionadas entre si durante o evento, por meio de uma equação (modelo matemático) chamada equação de estado do gás. Para um gás especial chamado gás ideal, esta equação é a já famosa equação de Clapeyron: onde R é a constante universal dos gases ideais, e n o número de mols do gás. A relação entre as grandezas, obtidas mediante a observação, experimentação e raciocínios, constitui uma LEI FÍSICA, cuja representação matemática (algébrica) é no caso chamada equação de estado. É óbvio, portanto, ao estabelecermos uma lei física, fruto da observação das grandezas físicas, estas últimas aparecerem, e daí dizermos que são os conceitos fundamentais da física, e devem ser definidas com clareza e precisão: DEFINIÇÃO OPERACIONAL DE GRANDEZA FÍSICA "Um conjunto de operações (matemáticas ou de laboratório) que conduz a um número com uma unidade de medida" Este ponto de vista amplamente aceito estabelece que é indispensável ao se definir uma grandeza física os processos para medi-la. Nesses processos são envolvidas duas fases: a. A primeira consiste em escolher uma unidade "padrão". b. A segunda consiste em estabelecer os processos para comparar o padrão com a grandeza a ser medida.

1 Este processo se chama MODELAGEM que são analogias muito comumente feitas pelos Físicos para entender e explicar melhor um determinado fenômeno. Neste caso o modelo é matemático. Outras vezes o modelo pode ser feito comparando um fenômeno com outro. Por exemplo, comparar o olho humano com uma câmara de vídeo

f(V, p, T) = 0

p. V = n. R.T

ESTADO (P,V,T)

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EXEMPLO 3 Medida do volume de água contida num jarro.

Após a medição efetuada, podemos escrever:

A partir deste exemplo, podemos escrever:

Em Física, o valor de uma grandeza só tem sentido quando acompanhado pela unidade

Um padrão ideal tem 2 características principais: deve ser acessível e invariável. Estas duas exigências são muitas vezes incompatíveis e deve-se encontrar um meio termo entre elas. A fase b implica na necessidade de instrumentos quando vamos fazer a comparação entre a grandeza e o padrão para associar valores numéricos a elas. LEITURA SUPLEMENTAR (OPCIONAL) Os Físicos estão preocupados com DOIS UNIVERSOS:

O Universo Real (externo) se manifesta ao homem por intermédio de "impressões sensoriais" acumuladas desde o nascimento (e, realmente mesmo antes) quando o cérebro é bombardeado com dados resultantes da estimulação dos órgãos sensoriais por este mundo externo (real). Os computadores digitais são uma imitação deste processo, onde os dados são impressos através de mecanismos liga - desliga chave de circuitos na sua memória. Como os dados ficam armazenados no cérebro? Primeiro, os dados provenientes dos estímulos dos órgãos sensoriais representam uma confusão irremediável, mas gradativamente o cérebro CORRELACIONA vários dados e começa a organizar os "modelos básicos de correlação". Lentamente uma estrutura de correlação se desenvolve. EXEMPLO Um homem coloca uma "venda" nos olhos. Para ele um objeto que com base nos dados provenientes do sentido do tato é REDONDO e LISO é associado com o "modelo", obtido com o sentido visual, de uma bola. A repetição de tais modelos de correlação nos dados sensoriais, gradualmente vem a ser interpretada como prova de um verdadeiro universo externo real. Quando a adolescência é atingida, a imagem do universo externo(real) tomou uma tal forma "aparentemente" real e permanente que é difícil acreditar que é de fato apenas uma imagem.

OBSERVAÇÃO:- Se a unidade utilizada fosse uma xícara, o valor numérico da medida do volume (valor da grandeza) mudaria. V = 3,5 . volume de um copo

Medida = número x unidade

"NUNCA ESCREVA A MEDIDA DE UMA GRANDEZA SEM UNIDADE"

a. UNIVERSO REAL (EXTERNO) - É aquele que os Físicos acreditam que tenha uma realidade objetiva, independente da presença do homem.

b. UNIVERSO VIRTUAL (INTERNO) - É a imagem do real, da qual o Físico espera ser um modelo razoável do universo externo. É como o homem vê a realidade. Este Universo implica na existência do homem. Será que os outros animais vêem da mesma forma o universo real?

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Esta imagem (interna) ou MODELO do universo real pode, é claro, estar tão mais condicionada pela natureza da mente humana do que pela natureza do mundo exterior(real). É claramente afetada pelas limitações dos nossos órgãos sensoriais, e pode também ser afetada pela forma do cérebro, com o seu mecanismo interruptor liga - desliga. Os sentidos podem ser ludibriados. Podemos citar os exemplos de ilusão de óptica e a percepção de quente ou frio com as mãos.

Tanto quanto os sentidos, todos os outros instrumentos da Física são falíveis, mesmo os mais precisos e sensíveis. Todos têm suas limitações. Testar as indicações de seus instrumentos faz parte do controle que deve ser incluído em cada conclusão a que o Físico chega, da mesma forma que deve analisar criticamente as primeiras impressões fornecidas pelos sentidos. Esta verificação cuidadosa dá-lhe, pois confiança em seus instrumentos, do mesmo modo que o nosso sentido de tato pode constituir um valioso teste de confirmação do que vemos. Chamamos de Física Clássica a maneira de ver a Física antes de 1900, e de Física Moderna a maneira atual de ver a Física. Com relação às MEDIDAS devemos ressaltar um aspecto muito importante e interessante quando a Física é encarada classicamente ou modernamente. Uma grandeza também é chamada, na Física Moderna, de OBSERVÁVEL. Por exemplo, no caso do aquecimento do gás, o volume, a pressão, a temperatura. É um parâmetro mensurável do sistema. A diferença fundamental entre o clássico e o moderno é:

O "ato de medir" o valor de qualquer observável perturba o sistema de tal modo que algum outro observável é alterado no valor. Os efeitos destes distúrbios que acompanham qualquer medida são inerentemente desconhecidos e inavaliáveis. Já na Física clássica esses efeitos são avaliáveis e podem serem levados em conta nas predições futuras do sistema. Por exemplo uma medida da posição de uma partícula introduz uma imprognosticável INCERTEZA na sua velocidade

a. MODERNO:- "Nem todos os observáveis podem ser medidos com precisão arbitrária ao mesmo tempo".

b. CLÁSSICO:- "Todos os observáveis podem ser medidos com precisão arbitrária ao mesmo tempo.

As quatro linhas horizontais são paralelas, mas não parecem ser

Esta linha reta está dividida em seis partes iguais, embora dê a impressão de apresentar partes de tamanhos diferentes

1. Quais traços são mais curtos: os da direita ou os da esquerda ?

2. Qual elipse é maior: a de baixo ou a interna superior?

3. Qual distância é maior: entre os pontos AB ou entre os pontos MN?

4. De quantos modos podemos perceber a figura ao lado? Quais são eles?

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QUESTIONÁRIO - 01

1.1.2 O TEMPO E SUA MEDIÇÃO Como cenário dos fenômenos físicos o tempo merece ser estudado em primeiro lugar. Deitados na cama, viajando de avião, correndo para o trabalho, ou namorando, estamos sempre seguros de uma coisa: o tempo está passando! Não definiremos aqui o tempo, pois não saberíamos fazê-lo, apesar de ser um conceito bastante familiar e fundamental. A nossa experiência cotidiana nos leva a esta idéia, ou seja, sabemos o que vem a ser o tempo de maneira intuitiva. O curioso é que sendo o tempo uma idéia fundamental na Física, não possa ser definido exatamente; temos de aceitá-lo intuitivamente. Percebemos que existem intervalos de tempo grandes e intervalos de tempo pequenos. Uma das maiores tarefas de um Físico é achar um meio de falar claramente sobre todos estes intervalos de tempo. O Físico precisa comparar, usar, predizer esses intervalos, não importa quão grande ou pequeno eles sejam. O que precisamos é de um padrão de comparação. Todos conhecemos o segundo, a hora, o dia, a semana, o mês, o ano, o século. Usamos esses padrões para comparar (medir) intervalos de tempo. O processo usado para essas medidas é a CONTAGEM (uma operação matemática) desses intervalos padrões num determinado intervalo de tempo. Por exemplo, contamos 86 400 segundos no intervalo de tempo de um dia. Para facilitar o processo de contagem usamos o relógio. estes são baseados em fenômenos periódicos, isto é, fenômenos que se repetem em intervalos iguais de tempo. Por exemplo, o dia e a noite, os batimentos cardíacos, um pêndulo simples Podemos ajustar e contar quantas oscilações foram dadas em um segundo. Se, por exemplo, contarmos 10 oscilações em um segundo (frequência) e durante um outro intervalo contarmos 100 oscilações, diríamos que neste intervalo foram decorridos 10 segundos. Esse instrumento pode ser aperfeiçoado de modo que a cada oscilação uma engrenagem adiante um dente. Quando ela adiantar, por exemplo, 10 dentes, o mostrador adiantará 1 segundo. Foi dessa forma que o jovem estudante de Medicina, Galileu Galilei, em 1581, construiu um método para se medir intervalos de tempo pequenos. Comparando as oscilações de um candelabro da Catedral de Pisa com o ritmo de seu pulso, Galileu descobriu o isocronismo das oscilações do pêndulo, ou seja, o período das oscilações permanecia o mesmo embora a sua amplitude fosse diminuindo. Galileu que naquela época tinha apenas 17 anos de idade aplicou esse resultado no sentido inverso construindo um "pulsômetro" (pêndulo com um comprimento padrão) destinado a tomar o pulso de pacientes em hospitais. Percebendo a importância da matemática mesmo na Medicina e sabendo que no seu curso nada de matemática era ensinado, abandonou a Medicina. Em ciências quase todas as contagens de tempo são feitas em segundos. Por que? Não há razão particular para esta escolha. Qualquer outra unidade poderia ser escolhida. A escolha é completamente arbitrária. Entretanto, esta não é a questão fundamental. O importante é que a unidade seja facilmente reproduzível e claramente definida. DEFINIÇÃO DO SEGUNDO

AS QUESTÕES A SEGUIR SÃO OPCIONAIS !!!!!

11.Faça uma dissertação a respeito dos dois universos: o real e o imaginário. (opcional) 12. Os instrumentos do Físico são infalíveis? Por que? 13. O que você entende por um observável? 14. Qual a diferença fundamental entre as teorias clássicas e quânticas?

1. O que você entende por um SISTEMA FÍSICO? E por um FENÔMENO FÍSICO? 2. Para que criamos o conceito de grandeza? 3. As grandezas físicas podem estar relacionadas entre si durante um fenômeno físico? Cite um exemplo. 4. Quais as grandezas usualmente selecionadas para análise do EVENTO aquecimento de um gás dentro de um recipiente fechado? 5. O que você entende por ESTADO FÍSICO de um sistema? Como caracterizamos estes estados físicos? 6. Defina PROCESSO ou TRANSFORMAÇÃO de um gás. 7. O que você entende por equação de estado de um sistema? 8. Defina Grandeza Física do ponto de vista operacional. 9. O que significa medir uma grandeza física? 10. Quais são os instrumentos mais universais do físico?

"É o intervalo de tempo entre os "tiques" de um relógio que dá 86.400 tiques durante o dia solar médio"

Até 1956:

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Dia Solar Médio:- a média durante o ano da duração do dia, de meio-dia a meio-dia Esta definição de segundo apresenta imprecisão em virtude da irregularidade na rotação da Terra, das diferenças nas velocidades com que o Sol se movimenta no Céu. ATUALMENTE: Os relógios atômicos e os eletrônicos marcam o tempo com uma precisão grande. Só que a precisão é um problema difícil e profundo. É um problema do que é o tempo em si. 1.1.2.1 - NOTAÇÃO CIENTÍFICA O intervalo de tempo decorrido desde que os primeiros animais começaram a viver em terra seca abrange algo como 12.000.000.000.000.000 (doze quatrilhões) de segundos. O tempo que leva um raio de luz para atravessar uma vidraça é de aproximadamente 1/100.000.000.000 (1 bilionésimo) de segundos. Estes números são extremamente difíceis de se manipular. Desde que no estudo da Física devemos estar preparados para usar números grandes e pequenos, devemos encontrar um meio de manejá-los. Este meio é a notação científica. Qualquer número pode ser escrito como o produto de um número entre 1 e 10 (1 x 10) por outro que é uma potência de 10.

769 = 7,69 . 100 = 7,69 . 102 0,0043 = 4,3 . 10-3 12.000.000.000.000.000 = 1,2 . 10+16

0,00000000001 = 1,0 .10-11

Os cientistas usam freqüentemente esta notação, pois ela oferece um vantajoso meio de comunicação. 1.1.2.2 - ORDEM DE GRANDEZA Para facilitar ainda mais a comunicação, usa - se muitas vezes a ORDEM DE GRANDEZA, que é a potência de dez mais próxima do número em questão. A TABELA 02 mostra alguns intervalos de tempo característicos. Observando a tabela constatamos que um dia é 8 ordens de grandeza maior (isto é, 108 vezes maior) que o tempo empregado por uma mosca para bater suas asas O menor intervalo de tempo que podemos perceber diretamente é 10-1 segundos. O tempo de vida é de 109 segundos. Acima de 1011 segundos precisamos de métodos indiretos especiais para determinar o tempo, como por exemplo, espécies fósseis encontradas em formações geológicas. Para mais longe é preciso intrincados instrumentos. A idade da Terra, por exemplo, é avaliada por meio da radioatividade. Abaixo de 10-1 segundos até 10-5 segundos temos as mudanças rápidas até as explosões. Usando elétrons como partes de relógios, podemos chegar a tempos de até 10-10 segundos. Ainda não paramos de medir o tempo. O prêmio Nobel de Física de 1989 a Ramsey, Dehmelt e Paul foi para prestigiar os cientistas que se dedicam a aprimorar métodos de medida de grande precisão. Toda a nossa vida gira em função da diferença entre passado e futuro. Lembramos do passado, mas não lembramos do futuro. Por que? Em relatividade, podemos fazer o futuro vir antes do passado. Pasmem!!2

2 Ver os Livros “A Mente Nova do Rei” de Roger Penrose. (Ed. Campus) e Uma breve história do tempo” de Stephen Hawking (Ed. Rocco)

"O segundo é 9.162.631.770 períodos de oscilações da radiação característica do Césio-133 que é empregado no relógio atômico”

137.......102....2 ordens grandezas

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QUESTIONÁRIO - 2 TABELA 01 - Prefixo das potências de 10

1. Como chegamos ao conceito básico de tempo? 2. Qual a maior tarefa dos Físicos com relação ao tempo? 3. Quais os padrões mais comuns de tempo? 4. Qual o tipo de procedimento matemático usado pelos Físicos para medir intervalos de tempo? Qual o instrumento usado? 5. Qual a classe de fenômenos físicos que está associada ao procedimento de medição do tempo empregados nos relógios? Dê exemplos. 6. A partir de quando começamos a medir intervalos de tempo de maneira precisa? Quem foi o pioneiro nesta empreitada? Que recurso foi utilizado? 7. Qual foi o principal estímulo para se construir relógios precisos? 8. Qual o padrão mais utilizado para a contagem do tempo? 9. Como era definido o segundo até 1956? E a atual definição qual é? 10. O que é usado como princípio para a contagem do tempo nos relógios eletrônicos? E nos atômicos? Esses relógios são precisos? 12. O que é uma ordem de grandeza?

MÚLTIPLO PREFIXO SÍMBOLO 1012 TERA T 109 GIGA G 106 MEGA M 103 KILO K 102 HECTA H 10 DECA D 10-1 DECI d 10-2 CENTI c 10-3 MILI m 10-6 MICRO µ 10-9 NANO n 10-12 pico p 10-15 femto f 10-18 atto a

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TABELA 02 - Ordens de Grandezas de Tempo Intervalo de

Tempo

(em segundos)

Acontecimento Associado Intervalo de

Tempo

(em

segundos)

Acontecimento Associado

1018 Tempo presumível de vida total do Sol como estrela normal

10-1 Tempo para uma bala (calibre 0,30) percorrer a extensão de um campo de futebol (100 m)

1017 Idade das rochas mais antigas Tempo decorrido desde a vida do primeiro fóssil Tempo decorrido desde o início da vida terrestre

10-2 Tempo de uma volta completa de um ventilador elétrico

1016 Tempo de revolução do Sol ao redor da Galáxia Idade dos Montes Apalaches

10-3 Tempo de uma batida de asas de uma mosca Tempo gasto por uma bala disparada percorrer o cano de uma carabina

1015 Tempo decorrido desde os dinossauros até nossos dias 10-4 Tempo de uma vibração do mais alto som audível 1014 Tempo remanescente de existência das Cataratas do

Niágara 10-5 Tempo gasto durante a explosão de um petardo

1013 Tempo decorrido desde os primeiros homens 10-6 Tempo de uma bala de alta velocidade atravessar uma letra de máquina de escrever

1012 10-7 Tempo empregado por um feixe de elétrons para ir da fonte à tela no tubo de TV

1011 Tempo decorrido desde os primeiros cultivos Tempo decorrido desde as primeiras escritas Tempo decorrido desde o começo dqa Era Cristã

10-8 Tempo que leva a luz para atravessar uma sala

1010 Tempo decorrido desde a descoberta da América 10-9 Tempo durante o qual um átomo emite luz visível 109 Tempo de vida de um homem 10-11 Tempo para luz atravessar uma vidraça 108 Tempo decorrido desde que você começou a ir à escola 10-12 Tempo para uma molécula de ar girar em torno de si

mesma 107 Tempo de revolução da Terra ao redor do Sol (ano) 10-15 Tempo de revolução do elétron em torno do próton

no átomo de hidrogênio 106 Um mês 10-20 Tempo de revolução do elétron mais interno em

torno do núcleo no átomo mais pesado 105 Tempo de rotação da Terra em torno de seu eixo (dia) 10-22 Tempo de uma revolução do próton no núcleo 104 Duração média de um jogo de baseball 103 Tempo que a luz leva para chegar à Terra 102 Um minuto 101 100 Tempo entre duas batidas do coração (1 segundo)

EXERCÍCIOS

1. Quantas vezes por segundo deveria um flash se acender para mostrar, com intervalos de 25 centímetros, imagens de um projétil que se movimenta a 1000 metros por segundo?

2. Um relógio dá 5 "tiques" cada segundo. Expressando apenas a ordem de grandeza de sua resposta, determine quantas vezes ele bate:

a. durante um dia b. durante um ano

3. Suponha que existam 1,7 . 108pessoas vivendo num país, e que 7,5 . 106 destas pessoas vivem em uma de suas cidades. Quantas vivem no resto do país?

4. Resolva o seguinte: a. 102 . 103 = b. 10-2 . 105 = c. 102/104 = d. 105/10-3 = e. 10-8/102 = f. 103 + 102 = g. (105)3 = 5. Usando notação científica, resolva o seguinte: a. 0,00418 . 39,7 = b. 6000/0,0012 = c. 0,703 . 0,014/280000 =

6. Expresse somente a ordem de grandeza de sua resposta no seguinte:

a. A luz caminha numa ordem de 105 quilômetros por segundos. Que distância ela percorrerá num ano?

b. Calcule o tempo que a luz do Sol leva para percorrer os 150 milhões de quilômetros que separam o Sol da Terra.

c. Sabendo-se a distância entre a Terra e a Lua é de aproximadamente 384.000 km, quantas vezes esta distância está contida naquele entre a Terra e o Sol?

7. a. Quantos períodos de vida humana, isto é, vida de um homem transcorreram desde os primeiros entes humanos?

b. Aproximadamente quantas vezes giraria uma molécula de ar em torno de seu eixo enquanto a Terra revoluciona ao redor do Sol? Veja a tabela 01

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8. A velocidade de obturação de uma câmara é 1/25 de segundos. Que distância percorreria uma bala de rifle enquanto um estudante tenta fotografá-la com exposição de 1/25 de segundo? (A velocidade da bala é de 1050 metros por segundos). Que velocidade de obturação seria necessária para limitar o movimento da bala a 2,5 milímetros durante a exposição?

9. I. Transforme em segundos os seguintes intervalos de tempo

a. 4,2 h b. 420 min c. 0,2 min

d. 5 h 40 min e. 20 min 15 s f. 2 h 10 min 15 s

II. Transforme em horas os seguintes intervalos de tempo:

a. 1800 s b. 420 min c. 50 min 45 s d. 0,5 min

10. A cena de marcação de um gol foi filmada durante 20 segundos com uma máquina que tira 24 fotografias por segundo. Esta cena foi mostrada com uma máquina que projeta 16 imagens por segundo. Qual o tempo de projeção da cena? Na projeção a cena se desenvolve a uma velocidade maior ou menor que a do jogo ao vivo? Quantas vezes, na tela, a ação é maior ou menor que ao vivo?

11. Para filmar um botão de rosa que se desabrocha e se transforma numa rosa aberta, foram tiradas fotografias de 2 em 2 horas. Essas fotos, projetadas à razão de 24 fotos por segundo, mostraram todo o transcurso acima descrito em 2 segundo. Em quanto tempo ocorreu realmente o desabrochar da rosa? PRÁTICA DE LABORATÓRIO Apresentamos a seguir alguns projetos para você realizar em casa.

1. Faça um pêndulo usando um pedaço de barbante e um pequeno peso. Ajuste o comprimento até que o pêndulo leve um segundo para realizar uma oscilação completa, ida e volta. Qual o erro de seu pêndulo no período de um minuto? Que fração do tempo total representa este erro

2. Galileu realizou algumas das primeiras experiências importantes com o movimento de corpos que caem, antes da época dos relógios precisos. Para medir os curtos intervalos de tempo envolvidos em suas experiências, ele usou um relógio simples que você pode fazer sozinho. Com o auxílio de um prego, faça um pequeno furo no fundo de um vasilhame de lata. Mantenha o recipiente quase cheio de água, e meça a quantidade de líquido escoado em 10, 20, 30 segundos. Você pode, deste modo, aprender a ler o relógio em segundos.

3. Galileu, ao observar a oscilação do lustre da Catedral de Pisa, "descobriu que o mesmo número de suas pulsações marcava cada oscilação, não importando a distância percorrida pelo lustre em cada oscilação". Verifique a exatidão desta proposição, construindo e marcando o tempo de um pêndulo simples. Se você encontra dificuldade em contar suas pulsações e, ao mesmo tempo, as oscilações do pêndulo, experimente trabalhar com um companheiro ou usar um relógio (de que Galileu no dispunha).

Quais são as principais fontes de erro neste dispositivo? Pode você reduzir os erros? Lembre que Galileu usou um relógio análogo na descoberta de alguns dos mais importantes princípios da Física (Veja "Two New Sciences" de Galileu)

1.1.3 - O ESPAÇO E SUA MEDIÇÃO A seção anterior descreve o tempo como um dos cenários do palco onde se manifestam os fenômenos físicos. Você, talvez, tenha observado que fomos incapazes de restringir a discussão somente ao tempo. Falamos, também, do espaço (posições e distâncias), de movimentos, de matéria. Estas são as noções básicas da Ciência. Cada uma delas está ligada a todas a outras. É impossível tratar de uma sem tratar das demais. Para estudá-las de modo inteligível é necessário tratar uma após a outra, não obstante não apareçam dessa forma na Natureza. Devemos ir aperfeiçoando nosso conhecimento de cada uma (mesmo sem ter um ponto de partida), indo e voltando entre elas, registrando os progressos atingidos e usando-os para obtenção de novos conceitos. Por exemplo, usamos nossas noções incipientes de espaço para aperfeiçoar nosso conceito de tempo e vice-versa. Mas cuidado!!!. A Física é indivisível, lida com todo o Universo do qual fazemos parte. No final devemos reunir todo o conhecimento. 1.1.3.1 - MEDIDA DO ESPAÇO A medida de tempo dá origem ao que parece ser duas perguntas diferentes:

As duas são respondidas informando o valor do intervalo de tempo comparando-o com um padrão( segundo, dia, mês, etc.). O processo de comparação, isto é, a medida, é a operação matemática contagem. A medida do espaço também se divide em duas questões:

1. "Qual a duração do fenômeno?” 2."Quando aconteceu o fenômeno?”

1. "Qual o tamanho dos corpos? 2. "Qual a distância entre os corpos?

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Estas duas também são respondidas informando o valor do intervalo de espaço (tamanho e distância) comparando-o com um padrão (palmos, pés, polegar, etc.). O processo de comparação é também a operação matemática CONTAGEM.

Existem intervalos de espaço (distâncias) muito grandes e muito pequenos. Veja as tabelas 03 e 04.

O tamanho está relacionado à distância. Por exemplo, o Sol é uma das muitas estrelas que observamos no Céu, mas parece maior que todas as outras. Uma estrelas pequenina e cintilante talvez seja maior que o nosso Sol e tão quente quanto ele, mas está muito mais afastada relativamente a nós.

Os padrões usados para medir o intervalo de espaço sofreram alterações através da história. Todos os povos tiveram uma unidade de comprimento (intervalo de espaço): PASSO:- adotado por tribos caçadoras VARA-PADRÃO:- Usada na irrigação pelos agricultores antigos. CÚBITO:- Distância do cotovelo à ponta do dedo usada no antigo Egito. ESTADIA:- Passos de medidores profissionais. POLEGADA, PE, JARDA, BRAÇA, MILHA, LEGUA:- usadas na era medieval A Revolução Francesa acontecida por volta de 1790 foi contra tudo o que era tradicional e antigo. Reuniu peritos e construiu um conjunto de unidades. Nesta época se conhecia a distância do Equador ao Polo Norte. Tomaram então a décima milionésima parte (10-7) desta distância como unidade, que passou a ser chamado de metro (em grego significa medir). Era preciso materializar esta distância. Para isso escolheu-se uma barra de platina iridiada onde se marcou este intervalo de espaço que passou ser conhecida como metro-padrão. Esta barra está depositada nas condições normais de temperatura e pressão (C.N.T.P.) no museu de Sèvres em Paris e muitas cópias foram divulgadas. O metro - padrão apresenta algumas imperfeições:- a. dilatação que não pode ser eliminada. b. Dificuldade de reprodução c. Ser destrutível Em 1960 construiu-se um novo padrão para o metro baseado no comprimento de onda λ da luz característica (alaranjada) emitida pelo Criptônio-86 (Kr86). Esse elemento é um gás nobre existente na atmosfera. Quais os métodos para medida do Intervalo de Espaço?

TABELA 03 Ordens de Grandezas de Distâncias Comprimento em

metros

Distância associada Comprimento

em metros

Distância associada

1018 Maior distância mensurável por paralaxe 104 Largura média do Grand Canyon 1017 Distância à estrela mais próxima 103 Um quilômetro 1013 Distância de Netuno ao Sol 102 Comprimento de um campo de futebol 1012 Distância de Saturno ao Sol 101 Altura de uma árvore frondosa 1011 Distância da Terra ao Sol 100 Um metro 1010 Distância de Mercúrio ao Sol 10-1 Largura de sua mão 109 Comprimento médio da sombra da Terra

e do Raio do Sol 10-2 Diâmetro de um lápis

108 Distância média da Terra à Lua Diâmetro de Júpiter

10-3 Espessura de uma vidraça

107 Raio da Terra 10-4 Espessura de uma folha de papel 106 Raio da Lua 10-5 Diâmetro de um glóbulo vermelho de sangue 105 Comprimento do Lago Erie

1 METRO = 1.650.763,73 λ


a. Métodos Diretos:- Usando réguas, trenas, paquímetros, micrômetros, medimos intervalos de 10-4m até 10+5m.

b. Métodos Indiretos:-

LEITURA OPCIONAL:- DIMENSIONALIDADE DO ESPAÇO Já sabemos medir o espaço. Vamos entender o significado de DIMENSIONALIDADE. PRIMEIRO CAMINHO Numa sala retangular localizamos qualquer ponto especificando: a. sua distância a uma parede (abcissa x) b. seu afastamento da outra (ordenada y) c. sua altura do solo (cota z) Precisamos de 3 medidas distintas para localizar um ponto no espaço. Isto significa que o espaço é tridimensional. A localização de ponto nesse espaço tridimensional é, geralmente, feita usando um Sistema de Coordenadas Cartesiano. z P y x

E se a sala fosse circular? Mesmo assim precisaríamos de 3 números:

i. microscópio ótico baseado num feixe de luz visível permite medirmos até 10-7 m que é o comprimento de onde da luz visível. ii. microscópio eletrônico baseado num feixe de elétrons que tem um comprimento de onda muito pequeno permite medirmos até 10-8 m que é o tamanho de cadeias moleculares grandes = vírus, por exemplo. iii. análise teórica do resultado de raio -X (radiação eletromagnética com = 0,1 A), e espalhamento de partículas . Essas medidas só podem ser analisada à luz da mecânica quântica que limita o conceito de "tamanho". iv. para medidas de distâncias grandes usamos, às vezes, o método da triangulação

Comprimentos em metros


1025 Distância ao objeto mais distante já fotografado (uma galáxia)

1024 Domínio das galáxias 1023 Domínio das galáxias 1022 Distância à Grande Nebulosa de

Andrômeda (galáxia mais próxima) 1021 Distância à menor das Nuvens de

Magalhães 1020 Distância do Sol ao centro de nossa

galáxia Distância ao agrupamento globular estelar de Hércules

1019 Distância à estrela Polar

Comprimento em metros


10-6 Distância média entre colisões de moléculas no ar de uma sala

10-7 Espessura da mais fina bolha de sabão ainda apresentando cores

10-8 Distância média das moléculas de ar numa sala

10-9 Tamanho da molécula de óleo 10-10 Distância média entre os átomos de

um sólido cristalino 10-12 Distância média entre os átomos

reunidos no centro das estrelas mais densas

10-14 Tamanho do maior núcleo atômico 10-15 Diâmetro do próton

TABELA 05 - Distâncias demasiadamente pequenas

TABELA 04 Distâncias demasiadamente Grandes

Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos do espaço e uma tripla de números reais (x,y,z). Aqui está uma descrição algébrica da Geometria idealizada por DESCARTES e conhecida por Geometria Analítica.


Podemos fazer ainda uma outra escolha de coordenadas, dependendo da simetria do problema

SEGUNDO CAMINHO O movimento de ponto GERA uma linha Posição Partida O movimento de uma linha GERA uma superfície.

O movimento de uma superfície GERA um volume.

Quando damos o passo seguinte: um volume GERA outro volume. Esgotamos as dimensões!!! TERCEIRO CAMINHO LINHA:- podemos nos mover sobre ela sem interrupção de ponto para ponto (sem levantar o lápis). A remoção de um ponto CORTA a linha. SUPERFÍCIE:- a remoção de um ponto sobre uma superfície não nos embaraça!!!!. Podemos contornar a falha. Agora uma linha CORTA uma superfície. VOLUME:- Uma superfície CORTA um volume.

Um volume corta outro volume indicando que o espaço é TRIDIMENSIONAL. QUESTIONÁRIO 03 1. Quais são as noções básicas da Ciência? Elas estão desvinculadas entre si? 2. Como devemos agir para irmos adquirindo cada vez maior conhecimento a respeito das noções básicas da Ciência? 3. Quais são as duas grandes divisões ou intervalos de espaço? Elas estão ligadas entre si?

r = distância da origem à projeção do ponto no solo

ϕϕϕϕ = ângulo a partir do eixo x( longitude) h = cota

r = distância da origem ao ponto

ϕϕϕϕ = longitude

ψψψψ = latitude

Para localizarmos um ponto sobre a linha basta 1 número s que diz quantos metros cabem da partida até P. Temos uma dimensão (unidimensional).

Para localizarmos um ponto sobre a superfície bastam 2 números: a. posição do limpador b. posição ao longo do limpador. Temos duas dimensões (bidimensional).

Para localizarmos um ponto sobre o volume bastam 3 números: a. dois sobre a superfície b. um indicando a posição da superfície. Temos três dimensões (tridimensional).

Coordenadas Esféricas de um ponto no espaço


4. Qual a distância que separa a Terra do Sol se a luz do Sol viajando a 300.000 Km por segundo leva 8 minutos para nos atingir? 5. Qual o nome da galáxia a qual pertencemos? 6. Quando comparamos intervalos de espaço, qual o processo matemático utilizado? 7. Cite todas as unidades de comprimento que você já ouviu falar. 8. Como foi definido o padrão de unidade de comprimento logo após a Revolução Francesa? E após 1960? 9. Até quantas ordens de grandezas usamos o processo direto de medição do intervalo de espaço? 10. Dê exemplos de distâncias pequenas e longas e os seus métodos de medição. 11. Por que dizemos que o espaço é tridimensional? 12. O volume é gerado através do quê? 13. Apresente 3 maneiras distintas de encarar a tridimensionalidade do espaço.

EXERCÍCIOS 1. Uma reta de 5,0 cm de comprimento gira em um plano ao redor de um dos seus extremos. Qual é a área varrida por este movimento? 2. Uma reta de 20 cm de comprimento é movida para uma nova posição paralela, e a 10 cm de sua posição original. Qual é a área da superfície abrangida na movimentação da reta? 3. Um círculo de 5,0 cm2 se move ao longo do seu eixo até uma nova posição, paralela ao plano original. Se ele foi deslocado 10 cm, qual o volume gerado por este movimento? 4. Um pedaço de cartão, de dimensões 12,0 cm por 8,0 cm, gira de um ângulo de 90º , ao redor do bordo de 8,0 cm. Que volume foi varrido por este movimento? 5. No corpo humano encontramos medidas extremamente pequenas e também extremamente grandes. O artigo seguinte mostra

isso: “Um adulto possui de 5 a 6 de sangue, ou seja, de 5 a 6 milhões de milímetros cúbicos, que vão dar 25 trilhões de glóbulos vermelhos. Colocados lado a lado , em seus infinitesimais 0,007 mm de diâmetro, esses glóbulos vermelhos de uma pessoa formariam uma linha de mais de 160.000 km, capaz de dar quatro vezes a volta na Terra. Através de sua superfície, esses glóbulos vermelho absorvem e espalham oxigênio. Por serem tão pequenos, vão a toda parte no corpo humano ; e por serem tão numerosos, cobrem uma área muito maior do que esse corpo.”

(Barco, Luiz. A magia dos grandes números. Superinteressante, ano 2, nº 1, janeiro/1988. P. 26) Com base neste artigo:

a. escreva as medidas que representam volume e as que representam comprimento; b. expresse todas as medidas em notação científica; c. dê a ordem de grandeza de todos os números que aparecem no texto; d. explique como uma quantidade tão grande de glóbulos vermelhos pode caber no corpo humano.

PRÁTICA DE LABORATÓRIO

1. Determine a altura de uma árvore, ou de um edifício, em um dia ensolarado. Os dados que você necessita são o comprimento de sua sombra , a da árvore e sua própria altura. Partindo, destes dados, pode ser encontrada a altura da árvore, usando-se semelhança de triângulos. A posição do Sol modifica os seus resultados?

2. Supondo que a Lua está a 3,8.105 Km da Terra, você pode determinar o seu diâmetro pelo seguinte método. Prenda, numa vidraça, duas tiras de fita adesiva opaca, distanciadas de 2 cm. Perfure um cartão com um alfinete e, então, observe a Lua através do orifício e entre as duas tiras. Meça a distância do cartão à janela, afastando-se da mesma, até que a Lua preencha exatamente o espaço entre as duas tiras. Usando geometria de triângulos semelhantes, calcule o diâmetro da Lua. NAO repita este procedimento para medir o diâmetro do Sol, pois o seu brilho será prejudicial a sua vista. Pode este método ser utilizado para determinar o tamanho de uma estrela?

3. Podemos medir facilmente a largura ou o comprimento da folha de um livro ou de um caderno. Entretanto, encontraríamos dificuldades para medir a sua espessura. Experimente medir usando uma régua milimetrada, a espessura da folha do seu caderno. Você consegue? Um simples artifício nos permite resolver satisfatoriamente este problema. Meça a espessura de 100 folhas. A partir do valor encontrado calcule a espessura de uma delas. Com um procedimento semelhante determine a massa de um grão de feijão, e o volume que sai de um conta -gotas.

1.1.4 - A PRECISÃO DAS MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Fundamentamos todas nossas medições num esquema simples. Para medir o tamanho de alguma grandeza física primeiro escolhemos uma unidade. Então para medir um intervalo maior que a unidade, apenas "colocamos" a unidade tantas vezes quantas ela couber no intervalo em questão. Isto é o que fazemos comumente com uma régua ao medirmos um comprimento. Para aquilo que ultrapassa a contagem, ou para medir uma quantidade menor que a unidade, simplesmente dividimos a unidade em partes menores e iguais, você pode chamá-las de sub-unidades, e toma-se delas, então, tantas quantas forem necessárias para inteirar a grandeza dada. EXEMPLO


Medimos a altura de uma pessoa, e verificamos ser de 170 cm e um pouco mais. Dividindo nossa unidade de centímetro em décimos, verificamos que a parte que sobrara contém três destas subunidades; dizemos, então, que a pessoa tem 170,3 cm de comprimento.

Não é difícil perceber que este método funcionará para qualquer comprimento que queiramos medir. Assim, podemos fazer divisões sempre menores até que a irregularidade na aresta da caixa que medimos, ou nas marcações de nossa régua, limitem a PRECISÃO de nossas medidas.

Na Física existem limitações para a precisão das medidas que por sua vez, limitam o uso dos números que registram a medida. Assim, quando para o raio da Terra escrevemos 6,37 . 106 m e não 6,374 . 106 m ou 6,370 . 106 m, estamos dizendo que estamos razoavelmente seguros do terceiro algarismo, mas não fazemos idéia do valor do quarto. O número de algarismos sobre os quais estamos razoavelmente seguros é chamado número de ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS. É claro que quanto maior for a precisão de nossas medidas, maior é o número de algarismos significativos que podemos usar. Ao medimos o comprimento de um lápis utilizando uma régua dividida em milímetros, obtemos a medida da seguinte forma

= 4,85 Nesta mesma régua, teríamos

Algumas medidas não se prestam ao processo de subdividir sempre mais para aumentar a precisão. A contagem do número de pessoas numa sala, por exemplo, tem uma unidade natural: o indivíduo. Neste caso, é inaplicável subdividir cada vez mais. Contrariamente ao tempo e ao espaço, a matéria tem unidades naturais conhecidas. Por exemplo, o elétron. Esta é a essência real da física moderna. As unidades naturais da matéria são seus blocos fundamentais de construção, os átomos e suas poucas partes que se combinam de tantos modos para a construção do conjunto do mundo material - estrelas e mar, lápis e papel, pele e osso. Não sabemos se o espaço e o tempo tem ou não tais unidades naturais. Sabemos apenas que não as atingimos. Até que encontremos tais unidades (se é que o faremos) usaremos livremente qualquer subdivisão de nossa unidade arbitrária de medida para representar o tempo e o espaço.

OBSERVAÇÃO

CUIDADO

Acabamos de ver os problemas envolvidos no método básico de medir pela contagem. Em muitas medidas reais surge um segundo tipo de problema. Uma medida feita por um método indireto baseia-se sempre em hipóteses especiais. Medindo a espessura de uma folha, por exemplo, supusemos que o papel era uniforme. A medida de grandes distâncias por triangulação envolve, também, uma hipótese - com a qual estamos bem familiarizados na vida diária. Supomos que a linha de visão - isto é, a linha percorrida pela luz, do objeto ao olho - é uma reta. Somente se isto for verdadeiro, poderá funcionar o nosso método de triangulação visual. Comumente testamos a forma reta de uma tábua olhando ao longo dela. PARECE QUE ACEITAMOS SER RETA A TRAJETÓRIA DA LUZ. Naturalmente isto pode nos ludibriar, muitas vezes o faz. A aura de calor que você vê sobre um radiador aquecido, ou sobre uma superfície aquecida pelo Sol, diz-lhe da existência de trajetos da luz que não são retos, e estão variando constantemente. Se desejamos uma resposta digna de confiança quando medimos grandes distâncias por triangulação, precisamos evitar olhar através do ar quente perturbado. Não podemos medir, por estes meios, a distância a uma estrela numa noite em que ela cintila muito em conseqüência das mutáveis correntes de ar vindas da superfície quente da Terra. Desejamos uma noite límpida e calma, com a estrela bem alta no céu. Outra hipótese envolvida na medida de triangulação é que as leis da geometria são corretas. Elas não podem ser tomadas com certezas, entretanto. Devem ser testadas todas as suposições que fazemos ao medir. Os resultados da geometria e a trajetória reta das linhas de visada foram muito bem testadas, principalmente pelo sucesso da imagem global que podemos construir. Precisamos, entretanto, estar sempre atentos, especialmente ao usar métodos indiretos para medir coisas afastadas da experiência cotidiana, para ver se as hipóteses tradicionais são ainda dignas de confiança. Todos os métodos indiretos de medidas apresentam limitações, e nenhum deles serve para todos os casos.

Essa medida tem 3 algarismos significativos, sendo que o último (5) é chamado ALGARISMO DUVIDOSO


EXEMPLOS 1,27 : 3 algarismos significativos 0,002 : 1 algarismo significativo (zeros à esquerda não são significativos) 2 000 : 4 algarismos significativos (zeros à direita são significativos) OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Os algarismos pequenos são duvidosos. Qualquer operação que envolva um algarismo duvidoso tem

resultado DUVIDOSO. Observe que o algarismo 7 já é duvidoso; portanto, o algarismo 3 não é significativo. A resposta correta é 3,7.

Assim devemos também proceder na subtração. Observe que a partir do algarismo 4 os algarismos já não fazem mais sentido. A resposta correta é 14, sendo o 4 algarismo duvidoso

QUESTIONÁRIO 04 1. O que devemos em primeiro lugar escolher para medir uma grandeza física? 2. Como fazemos para medir uma grandeza cujo tamanho é menor que a unidade de medida? 3. Quais são as unidades naturais da matéria? E do tempo? e espaço? 4. Qual o segundo problema que surge no método básico de medir pela contagem? 5. Os métodos indiretos de medidas são universais e ilimitados? 6. Há limitações nos números que registram nossas medidas? Por que? 7. O que é algarismo significativo?

EXERCÍCIOS 1. Resolva: a. (1,4 . 103)/(2,6 . 105) b. 3,7 . (6,27 . 10-2) c. 46,7 - 10,04 d. (8,34 . 0,659)/12,03 Faça as contas tomando em consideração os algarismos significativos. 2. Um estudante mede um bloco de madeira, e registra os seguintes resultados: o comprimento = 6,3 cm; a largura = 12,1 cm; altura = 0,84 cm a. Qual o volume deste bloco? b. Suponha que as medidas de comprimento e largura sejam corretas; entretanto, você pode ver que a medida de altura pode apresentar um afastamento de 0,01 cm, para mais ou para menos. Como isto afetaria a resposta? Que fração do volume isto representa?

1.2 - REPRESENTAÇÃO DAS RELAÇÕES ENTRE AS GRANDEZAS FÍSICAS Muitas leis Físicas são expressas de modo útil por meio de relações matemáticas, que mostram como uma grandeza depende de outras, durante um fenômeno físico. Vamos discutir algumas dessas relações. 1.2.1 - PROPORÇÃO DIRETA Uma das relações mais simples entre duas grandezas é chamada PROPORÇÃO DIRETA. Vejamos, por exemplo, a relação existente entre o volume de um pedaço de ferro e sua massa. Medindo as massas de blocos de ferro de diversos volumes, encontramos os seguintes resultados: e, assim sucessivamente. Este tipo de relação, na qual, duplicando o volume, a massa duplica, triplicando o volume a massa triplica, etc., é o que entendemos por PROPORÇÃO DIRETA. Você encontrará muitos casos de

2,23 + 1,5 3,73

5,40 x 2,7 3780 1080 14580

V1 = 1 cm3 tem massa M1 = 8 g V2 = 2 cm

3 tem massa M2 = 16 g V3 = 3 cm

3 tem massa M3 = 24 g V4 = 4 cm3 tem massa M4 = 32 g


proporção direta em Física, e é bom, portanto, entender as várias maneiras de descrever esta relação. Podemos dizer que a massa "é proporcional ao" volume do ferro, ou, que a massa "varia diretamente com" o volume do ferro. Ambos os modos significam a mesma coisa: dobro de volume, massa dupla; dez vezes o volume, dez vezes a massa, e assim por diante. Podemos escrever por meio de símbolos a relação na forma mais simples: onde M é a massa do pedaço de ferro, V, seu volume, e o símbolo ∝ significa "é proporcional a". Observando os valores das massas e dos volumes apresentados, verificamos que:

etc. Portanto, ao variar o volume V do bloco, sua massa M também varia, mas o quociente entre M e

V permanece constante ( igual a 8 g/cm3). Podemos escrever: onde k é a constante de proporcionalidade entre M e V e vale k=8 g/cm3 . Assim, quando duas grandezas são diretamente proporcionais, o quociente entre elas permanece constante e este quociente é denominado constante de proporcionalidade entre as grandezas. No exemplo citado, o valor da constante de proporcionalidade era 8 g/cm3. Evidentemente, em outros exemplos teremos valores diferentes para k, característico para cada exemplo.

Da expressão M

Vk= , vem que M = k .V. Chegamos, assim, à conclusão:

Observe que M = k .V é muito semelhante a M ∝ V. Efetivamente, se não conhecemos o valor numérico de k, é exatamente o mesmo. Mas quando k é conhecido, M = k .V, nos diz mais; é uma equação que nos dá a relação numérica entre M e V. Até agora, representamos a relação entre M e V por meio de equações. Outro modo de analisar a dependência entre duas grandezas é o método gráfico. Para traçar o gráfico que representa a relação entre M e V ( ou, como se diz M versus V, M x V), reproduziremos na tabela seguinte, os valores dessas grandezas já referidas anteriormente. Tracemos duas retas perpendiculares (o uso de papel quadriculado ou milimetrado facilita o trabalho) como mostra a figura abaixo. Sobre uma delas representamos os valores tabelados do volume (eixo dos volumes) e, sobre a outra, os valores da massa (eixo das massas). Para isso devemos escolher escalas apropriadas, isto é, devemos escolher um determinado comprimento, sobre o eixo, para representar um dado valor da grandeza. Por exemplo, no eixo dos volumes vamos escolher a seguinte escala: cada 1,5 cm para representar 1 cm3. Com esta escala, marcamos na figura, as divisões correspondentes a 1 cm3, 2 cm3, etc. No eixo das massas usaremos uma escala diferente: cada 1 cm representa 5 gramas. Observe a figura abaixo, as divisões correspondentes a 5 gramas, 10 gramas, 15 gramas, etc.

M ∝ V ,

M

V

g

cm

g

cm3

33 3

24

38= =

Se M ∝ V podemos escrever M = k .V

V(cm3) 1 2 3 4 M(g) 8 16 24 32

M

V

g

cm

g

cm1

13 3

8

18= = M

V

g

cm

g

cm2

23 3

16

28= =

M

Vk=


Após a escolha das escalas dos eixos passaremos a lançar os pontos no gráfico. Cada par de valores da tabela apresentada corresponderá a um ponto do gráfico. Por exemplo: o ponto A, na figura, foi obtido com os valores V = 1 cm3 e M = 8g; o ponto B com os valores V = 2 cm3 e M = 16g, etc. Lançados os pontos A,B,C, e D e verificando que eles estão alinhados, podemos uni-los por uma reta obtendo assim o gráfico de M em função de V. Observe que a reta passa pela origem O, isto é, quando V=0, temos também M=0.

Já vimos, na equação M = k .V, que a constante de proporcionalidade k é uma característica

importante da proporção direta. Vejamos como podemos obter o seu valor através do gráfico da relação. Na figura abaixo

consideremos dois pontos quaisquer como, por exemplo, os pontos A e C. O ponto A corresponde a um volume VA = 1 cm3 e a massa correspondente MA = 8g. Para o ponto C, temos VC = 3 cm

3 e MC = 24g. Portanto, no gráfico, ao passarmos de A para C, observamos uma variação no volume e uma correspondente variação na massa. A variação no volume será representada por ∆V, onde o símbolo ∆ significa uma variação, isto é, ∆V = VC - VA . Do mesmo modo, ∆M representa a variação da massa, isto é, ∆M = MC - MA. Na figura estão indicadas estas variações do volume e da massa. A INCLINAÇÃO DA RETA é definida pela seguinte relação:

Verifica-se que, quanto maior for o quociente (∆M/ ∆V) para uma dada reta, maior será o ângulo que ela forma com o eixo dos volumes. Justifica-se, assim, a denominação de inclinação para este quociente. Por exemplo: na figura abaixo, que mostra o gráfico M x V para os elementos químicos ferro Fe e mercúrio Hg, observamos que o gráfico do Hg apresenta maior inclinação do que o do Fe. M Hg Fe V Voltemos a penúltima figura e calculemos o valor da inclinação da reta. Observando, naquela figura, que: temos, a inclinação da reta igual a : Como já foi visto, a constante de proporcionalidade k, da equação M = k .V, vale também 8 g/cm3. Isto acontece todas as vezes que estivermos tratando com uma proporção direta, isto é, a inclinação da reta fornece o valor da constante de proporcionalidade, ou seja, o k no gráfico é a inclinação da reta.

Relação entre Massa e Volume de um pedaço de Ferro

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4

V (cm3)

M (gramas)

O gráfico que representa uma grandeza variando em proporção direta com outra é uma reta passando pela origem.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4

V (cm3)

M (gramas)

inclinação da reta = (∆M/∆V)

(∆M/∆V)Hg > (∆M/∆V)Fe

∆V = VC - VA = 3 cm3 - 1 cm3 ou V = 2 cm3.

∆M = MC - MA = 24 g - 8 g ou M = 16 g.

inclinação da reta = (∆M/∆V) = (16g/2cm3) = 8 g/cm3.


Embora o nosso estudo se restringiu a relação entre massa e o volume de um pedaço de ferro, existem muitos outros exemplos de grandezas ligadas por uma proporção direta. Consideremos duas grandezas quaisquer, que designaremos, de maneira geral, por Y e X (poderiam ser, por exemplo, a massa, o volume, ou a pressão e a temperatura de um gás, ou a distância percorrida e a velocidade de um carro), podemos dizer, então que se Y ∝ X temos que o gráfico Y versus X é uma reta, Y = a .X, onde a é a constante de proporcionalidade, e vem dado pela inclinação da reta. Resolva os exercícios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 para você fixar melhor os conceitos. Já vimos que na proporção direta, cuja equação é Y = a .X, quando X = 0 temos Y = 0 e, assim, o gráfico de Y x X é uma reta que passa pela origem. Entretanto, há casos em que isto não acontece, isto é, quando X = 0 temos Y≠ 0. Sempre que isto acontecer a reta não irá passar pela origem, e diremos que as duas variáveis estão relacionadas por uma variação linear. Para obtermos a relação matemática entre Y e X nestas circunstâncias procedemos do seguinte modo: desloquemos todos os pontos da reta para baixo de modo que ela passe pela origem. Daí determinamos a como anteriormente e obtemos a relação intermediária Y = a . X. A seguir adicionamos a esta equação o valor subtraído anteriormente para baixarmos a reta, b, por exemplo. Temos, então, a relação final entre Y e X, onde b é o valor inicial de Y, isto é, o seu valor quando X = 0. Y = a .X + b

1. Uma pessoa, recolhendo a água que jorra de uma mangueira, obtém o seguinte: em 5 segundos recolhe 15 litros; em 10 s recolhe 30 l; em 30 s recolhe 90 l, etc. a. Podemos dizer que há uma proporção direta entre o volume recolhido e o tempo empregado na operação? b. Qual o valor da constante de proporcionalidade entre estas grandezas? c. Designando o volume recolhido por V e o tempo correspondente por t, como poderemos expressar a relação entre estas grandezas? 2. Abandonando um corpo de uma certa altura obtivemos os seguintes dados para as distâncias percorridas após 1s, 2s, 3s de queda: em um tempo t1 = 1s percorreu a distância d1 = 5 m. em um tempo t2 = 2s percorreu a distância d2 = 20 m. em um tempo t3 = 3s percorreu a distância d3 = 45 m. Podemos dizer que a distância percorrida d, é diretamente proporcional ao tempo de queda? 3. Considerando o exercício 1 acima construa o gráfico V x t, tomando como escala o seguinte: 1 cm representa 5s e no outro eixo 1 cm representa 10 litros. Calcule a inclinação do gráfico V x t. 4. Quando uma pessoa compra um tecido (de largura constante), ela paga o preço P que depende de seu comprimento L adquirido. Suponha que 1 m de determinado tecido custe Cr$ 5,00 a. Faça uma tabela com os valores de P correspondentes a 1m, 2m, 3m, 4m. b. Ao duplicar o valor de L (comprimento), o valor de P duplicou? c. E ao triplicar o valor de L? d. Então, que tipo de relação existe entre P e L?

5. Considere a tabela do exercício anterior. a. Divida cada valor de P pelo correspondente valor de L. O quociente P/L varia ou é constante? b. Qual o valor da constante de proporcionalidade k entre P e L? c. Como podemos expressar matematicamente a relação entre P e L? 6. Como você sabe, o volume de um balão de borracha é tanto maior quanto maior for o seu raio. Medindo os valores de V e R para diversos balões, encontramos que: quando R = 10 cm, temos V = 4,2 l quando R = 20 cm, temos V = 33,4 l quando R = 30 cm, temos V = 113,0 l a. Se o raio do balão é duplicado, o seu volume duplica? b. Se o raio do balão é triplicado, o seu volume triplica? c. Então, podemos dizer que V ∝ R? 7. Faça o gráfico para o exercício 4 considerando a escala 1 cm representando 1 m, no outro eixo 1 cm representando 5,00 cruzeiros. 8. Usando o gráfico que você construiu no exercício anterior, responda: a. Qual preço que se deve pagar por 3,5 m do tecido? b. Você esperava este resultado? Por que? 9. Assinale dois pontos A e B no gráfico do exercício 7, correspondendo a L = 1m e L = 4m. a. Trace, no gráfico, o segmento L que indica a diferença entre os comprimentos correspondentes aos pontos A e B. b. Trace também o segmento que representa a variação P para estes pontos. c. Quais são estes valores de L e P? d. Compare este valor da inclinação com o valor de k obtido no exercício 5.

10. Uma pessoa verificou que entre duas grandezas X e Y existe a seguinte relação matemática: Y = 4X. a. Podemos dizer que Y X? b. Se o valor de X passar de X = 2 para x = 10, por que fator será multiplicado o valor de Y? c. Qual o valor da constante de proporcionalidade a entre Y e X? d. Qual a forma do gráfico Y x X ? e. Qual o valor da inclinação deste gráfico?


EXERCÍCIOS 1.2.2 - VARIAÇÃO COM A SEGUNDA E TERCEIRA POTÊNCIAS Você já sabe que a área A de um quadrado é dada por A = L2, onde L é o lado do quadrado. Então, teremos: para L = 1m........A = 1 m2 para L = 2m........A = 4 m2. Observe que, ao dobrarmos o lado L do quadrado, sua área A não foi apenas duplicada, tendo-se tornado 4 vezes maior (não é proporção direta). A figura abaixo ilustra este fato.

Como outro exemplo de variação com o quadrado, consideremos um disco de área A e raio R. Como é do conhecimento de todos, temos A = πR2. Aqui, também, temos A α R2, como mostra a figura abaixo:

Tomemos a tabela seguinte que mostra os valores já citados de A e L para um quadrado:

11. Considere uma mola cujo comprimento na posição de equilíbrio é 6 cm. Dependurando na extremidade uma massa M, e fixando a outra extremidade no teto, o comprimento C da mola aumenta. A tabela abaixo apresenta os valores de C para diversos valores de M, obtidos através de uma experiência: M(g) 0 100 200 300 400 C(cm) 6 9 12 15 18 a. Usando esta tabela construa o gráfico C x M. b. Quanto vale C quando M = 0? c. Quando o valor da massa M pendurada na mola é duplicado, o valor do comprimento C, da mola, duplica? d. E quando o valor de M é triplicado, C triplica? e. Então podemos dizer que C ∝ M? f. Por que podemos afirmar que C NAO é proporcional a M? g. Como se denomina a relação entre C e M? h. Escolha dois pontos quaisquer do gráfico. Determine, para estes pontos, os valores de ∆X e de ∆Y e calcule a inclinação do gráfico. i. Qual o valor da constante a ? e o de b? j. Escreva a relação matemática entre Y e X.

L(m) 1 2 3 4 A(m2) 1 4 9 16

Facilmente percebemos que se L é multiplicado por 2, a área A é multiplicada por 22; se L é multiplicado por 3, a área A é multiplicada por 32, etc. Isto é, "a área A de um quadrado é proporcional ao quadrado de seu lado L". Escrevemos A ∝ L2

Duplicando R temos A quatro vezes maior; triplicando R temos A nove vezes maior. Esta variação com o quadrado é observada sempre que estivermos tratando com áreas: ao ampliarmos uma figura, isto é, ao multiplicarmos todas as suas linhas por um fator, verificamos que a área desta figura fica multiplicada pelo quadrado deste fator.


Com estes valores podemos traçar o gráfico de A em função de L (gráfico de A x L). Para isto, conforme mostra a figura abaixo:

Aparecem freqüentemente em Física relações nas quais uma grandeza é proporcional a uma potência, como o quadrado, o cubo, etc., de outras. Elas são chamadas leis de potências. Além das leis de primeira, segunda e terceiras potências, tais como M = k V; A = kL2 e V = L3, que aqui discutimos, encontramos, também, leis de potências inversas, como veremos adiante. Quando traçamos uma curva contínua ligando os pontos como fizemos anteriormente somos então capazes de encontrar valores de Y para um X qualquer - não somente para os valores de X que medimos. O processo de encontrar, por meio deste gráfico, novos valores situados entre os medidos, é chamado INTERPOLAÇÃO. Tal processo tem significado e é útil quando existem boas razões para crer que a curva é válida para valores situados entre os medidos. Obtém-se, pois, uma informação que não é disponível imediatamente a partir das medidas feitas, principalmente se não conhecemos a fórmula que relaciona Y com X, e ficamos na dependência de valores experimentais apenas. O traçado de uma curva contínua expressa, então, nossa crença de que as coisas variam de modo contínuo na natureza. A interpolação sempre traz consigo algum risco de erro. Mesmo que as coisas variem de forma contínua, precisamos conseguir valores experimentais muito próximos, se quisermos saber como o gráfico se

comporta em qualquer região de curvatura acentuada. A interpolação de forma alguma pode ser usada para gráficos de funções que não podem ser representadas por curvas contínuas. A EXTRAPOLAÇÃO, estendendo o gráfico além do intervalo de dados, é ainda mais arriscada. O erro pode surgir, então, mais facilmente, mas as descobertas também. EXERCÍCIOS 1. Construa a tabela com os valores das áreas dos quadrados cujos lados são indicados por L(m) = 1, 2, 3, 4, 5, 6. a. Duplicando o valor de L, por qual fator fica multiplicada a área? b. Triplicando o valor de L, por qual fator fica multiplicada a área? c. Que tipo de relação existe entre A e L? 2. a. Se duplicarmos o raio de um disco, quantas vezes maior torna-se sua área?

Existem casos em que duas grandezas, X e Y, estão relacionadas de tal modo que duplicando X, Y torna-se 8 vezes maior; triplicando X, Y torna-se 27 vezes maior; quadruplicando X, Y torna-se 64 vezes maior, etc. Isto é, Y está crescendo com uma proporção maior do que a anterior, ou seja quando X é multiplicado por um fator, Y é multiplicado pelo cubo daquele fator. Quando isto acontece, dizemos que "Y é proporcional ao cubo de X". Observando a figura ao lado vemos algo feito da maneira anterior mas devemos observar que o gráfico não é uma parábola, pois apresenta uma inclinação mais pronunciada, à medida que L cresce.

Esta variação com o cubo é observada sempre que estivermos tratando com volumes: ao ampliarmos o corpo, isto é, ao multiplicarmos todas as suas linhas por um certo fator, verificamos que o volume deste corpo fica multiplicado pelo cubo deste fator.


b. Então, se a área de um disco é de 30 cm2, qual será a área de outro disco de raio duas vezes maior? 3. A relação matemática entre duas grandezas X e Y é Y = 2X2. a. Qual o valor da constante de proporcionalidade a entre Y e X2. b. Se o valor de X for multiplicado por 5, quantas vezes maior torna-se o valor de Y? c. Faça uma tabela considerando para X os valores: 0, 1, 2, 3, 4 d. Faça o gráfico da função considerando a seguinte escala: abcissa 1 cm : 1 unidade de X ordenada 1 cm : 5 unidades de Y. e. Como se denomina a curva que você obteve? 4. Suponha que entre duas grandezas X e Y exista a seguinte relação matemática: Y = 0,1 X3. a. Se o valor de X for multiplicado por um certo número, por que valor Y ficará multiplicado? b. Considerando a equação faça uma tabela para X : 1, 2, 3, 4. , e a seguir construa um gráfico usando a mesma escala nos eixos ou seja 1 cm representa 1 unidade. c. A curva que você obteve é uma parábola?

1.2.3 RELAÇÕES INVERSAS No estudo da proporção direta, da variação com o quadrado e da variação com o cubo, vimos que a grandeza Y aumenta à medida que X aumenta. Entretanto, há casos de relações entre duas variáveis em que o aumento de uma acarreta redução de outra. Em outras palavras, quando X aumenta, Y diminui. Vamos estudar duas situações em que isto ocorre: a proporção inversa e a variação com o inverso do quadrado Consideremos duas grandezas, X e Y, tais que duplicando X, Y fica reduzido à metade, isto é, dividido por 2; triplicando X, Y fica dividido por 3; quadruplicando X, Y fica dividido por 4, etc. Quando isto ocorre dizemos que "Y É INVERSAMENTE PROPORCIONAL A X". Podemos, portanto, escrever

Y ∝ 1

X e introduzindo a constante de proporcionalidade a , temos:

Vejamos agora, uma situação em que, quando X aumenta, Y diminui em uma proporção maior do que o caso estudado acima. Suponhamos que duplicando X, Y torna-se 4 vezes menor; triplicando X, Y torna-se 9 vezes menor; quadruplicando X, Y torna-se 16 vezes menor, etc. Quando isto ocorre dizemos que "Y É INVERSAMENTE PROPORCIONAL AO QUADRADO DE X". Podemos escrever Y ∝ 12X e, introduzindo a constante de proporcionalidade a, vem:

Y = a . (1

X) Y = (

a

X)

Y = a . (12X)

O gráfico ao lado é construído com base no exercício 2 é um exemplo de proporção inversa.


A figura abaixo mostra uma pequena lâmpada enviando luz em todas as direções.

O gráfico desta experiência está mostrado abaixo:

EXERCÍCIOS

1. Em uma experiência, colocando a folha de papel a diversas distâncias d da lâmpada, obtivemos, no fotômetro, para cada posição, as leituras seguintes:

para d = 10 cm.....I = 72

os demais valores estão mostrados no texto acima. Faça o gráfico você mesmo.

2. Suponhamos que uma pessoa, em um automóvel, faça uma viagem entre duas cidades, distanciadas de 180 Km. Seja X a velocidade do carro e Y o tempo gasto na viagem. É fácil concluir que:

se X = 30 Km/h temos Y = 6 h se X = 60 km/h temos Y = 3 h se X = 90 Km/h temos Y = 2 h, etc. a. Construa o gráfico Y x X, para a escala das abcissas como sendo 1 cm representando 20 Km/h e a escala das ordenadas 1 cm representando 1 hora. b. Como se chama a curva obtida? c. O que acontece com Y se duplicarmos o valor de X? E se triplicarmos ?

3. Sabe-se que entre duas grandezas X e Y existe a seguinte relação matemática: Y = 144/X2. a. Considerando esta relação, faça a tabela dos valores de Y, considerando para X: 2, 4, 6. b. O que acontece com Y, quando X for duplicado? c. O que acontece com Y, quando X for triplicado? d. Que tipo de relação existe entre Y e X? e. Se construíssemos um gráfico Y x X, obteríamos uma hipérbole?

Y = (a

X 2 )

Interceptando o feixe luminoso, por meio de uma folha de papel, colocada a uma certa distância d da lâmpada, teremos, sobre a folha de papel, uma certa intensidade luminosa I. Esta intensidade luminosa pode ser medida por meio de um instrumento chamado fotômetro. Afastando a folha da lâmpada, observamos uma diminuição na intensidade luminosa, que é acusada pelo fotômetro. Em uma experiência, colocando a folha de papel a diversas distâncias, d , da lâmpada, obtivemos, no fotômetro, para cada posição, as leituras seguintes: para d = 10 cm......I = 72 para d = 20 cm......I = 18 para d = 30 cm......I = 8 para d = 40 cm......I = 4,5, etc.

Este gráfico é semelhante a uma hipérbole, como o anterior o é. Existem muitas outras relações entre duas grandezas, além destas que apresentamos nesta seção. O que foi visto, entretanto, será suficiente para que você tenha condições de analisar e entender praticamente a totalidade dos fenômenos físicos que serão estudados em nosso curso.


BIBLIOGRAFIA Penrose, Roger, A Mente Nova do Rei (Computadores , Mentes e Leis Físicas), Editora Campus, Rio de Janeiro 1993. Brito Cruz, C. H., Guia para Física Experimental - Caderno de Laboratório, Gráficos e Erros, IFGW/Unicamp, 1997. Esta é uma apostila eletrônica que pode ser obtida gratuitamente por “dowload” na página da Biblioteca do IFGW. O endereço é: http://www.ifi.unicamp.br.80/~library Cameron, J. R., Skofronick, J.G., Medical Physics, John Wiley & Sons, New York, 1978 Cameron, J. M., “Statistics”, in “Fundamental Formulas of Physics,” edited by D.H. Menzel, Vol. 1, ch. 2, Dover, New York, 1960. Camac, C. N. B., Classics of Medicine and Surgery, Dover, New York, 1959. Clendening, L. - Source Book of Medical History, Hoeber, New York, 1942 Cromer, A. H., Physics for the Life Sciences, USA,McGraw-Hill, 1977 Fuller, H. Q., Fuller, R. M. & Fuller, R. G., Physics Including Human Applications, Harper & Row, 1978 Schmidt-Nielsen, K., Fisiologia Animal, Brasil, EDUSP, 1972 Schmidt-Nielsen, K., How Animals Work, Great Britain, Cambridge University Press, 1972 Smith, J. M., Mathematical Ideas in Biology, Cambridge University Press, 1972 Stibitz, G. R., Mathematics in Medicine and Life Sciences, Year Book, Chicago, 1966 Thompson, D. W., On Growth and Form, Cambridge, U. P., London, 1961. Tustin, A., “Feedback”, Sci. Amer., 186-187, 48-55 (1952)

APÊNDICE 1 Quando você sabe Multiplique Para encontrar Polegadas 25,4 Milímetros Pés 0,3048 Metros Jardas 0,9144 Metros Milhas 1,609 Quilômetros Libras 0,454 Quilogramas Quartos 0,946 Litros Milímetros 0,039 Polegadas Metros 3,281 Pés Metros 1,094 Jardas Quilômetros 0,621 Milhas Quilogramas 2,205 Libras Litros 1,056 Quartos

capítulo 01 medidas, gráficos e escalas - site prof. bertolo · 1..1 - grandezas fisicas a...

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