MEDIDAS FISICAS

MEDIDAS DE GRANDEZAS FÍSICAS

As medidas de grandezas físicas podem ser classificadas em duas categorias: medidas diretas e medidas indiretas.

A medida direta de uma grandeza é o resultado da leitura de uma magnitude mediante o uso de instrumento de medida, como por exemplo: - um comprimento medido com uma régua graduada; - uma corrente elétrica medida com um amperímetro; - uma massa medida com uma balança; - um intervalo de tempo medido com um cronômetro.

Uma medida indireta é a que resulta da aplicação de uma relação matemática que vincula a grandeza a ser medida com outras diretamente mensuráveis, como por exemplo: - a velocidade média v de um carro pode ser obtida através da medida da distância percorrida x e do intervalo de tempo t gasto em percorre-la sendo calculada como v = xt.

Segundo sua natureza, os erros são geralmente classificados em três categorias: grosseiros, sistemáticos e aleatórios ou acidentais.

1 - Erros GrosseirosOcorrem devido a falta de pratica (imperícia) ou distração do operador. Como exemplos podemos citar a escolha errada de escalas, erros de calculo, erros de paralaxe, etc.. Devem ser evitados ou minimizados pela repetição cuidadosa das medições.

ERROS EM UMA MEDIDA

Por mais cuidadosa que seja uma medição e por mais preciso que seja o instrumento, não é possível realizar uma medida direta perfeita. Ou seja, sempre existe uma incerteza ao se comparar uma quantidade de uma dada grandeza física com sua unidade.

Erros sistemáticos podem ser devidos a vários fatores, tais como:

- o instrumento que foi utilizado; intervalos de tempo feitos com um relógio que atrasa;- o método de observação utilizado; medir o instante da ocorrência de um relâmpago pelo ruído do trovão associado;- a efeitos ambientais; a medida do comprimento de uma barra de metal, que pode depender da temperatura ambiente;- a simplificações do modelo teórico utilizado; não incluir o efeito da resistência do ar numa medida da aceleração da gravidade baseada na medida do tempo de queda de um objeto a partir de uma dada altura.

2 - Erros SistemáticosOs erros sistemáticos são causados por fontes identificaveis, e, em princípio, podem ser eliminados ou compensados.Estes fazem com que as medidas feitas estejam consistentemente acima ou abaixo do valor real, prejudicando a exatidão da medida

Podem ter varias origens, entre elas:

- os instrumentos de medida;- pequenas variações das condições ambientais (pressão, temperatura, umidade, fontes de ruídos , etc);- fatores relacionados com o próprio observador sujeitos a flutuações, em particular a visão e a audição.

De um modo simples podemos dizer que uma medida exata e aquela para qual os erros sistemáticos são nulos ou desprezíveis. Por outro lado, uma medida precisa e aquela para qual os erros acidentais são pequenos.

3 - Erros Aleatórios ou AcidentaisSão devidos a causas diversas e incoerentes, bem como a causas temporais que variam durante observações sucessivas e que escapam a uma analise em função de sua imprevisibilidade.

Aqui devem ser diferenciadas duas situações: a primeira trata de medidas diretas, e a segunda de medidas indiretas.

TEORIA DOS ERROS

O erro é inerente ao próprio processo de medida, isto é, nunca será completamente eliminado.

Poderá ser minimizado procurando-se eliminar o máximo possível as fontes de erros acima citadas.

Portanto, ao realizar medidas é necessário avaliar quantitativamente os erros cometidos.

b) medindo-se n vezes a mesma grandeza X, sob as mesmas condições físicas. Descontados os erros grosseiros e sistemáticos, os valores medidos X1; X2; ....; Xn não são geralmente iguais entre si; as diferenças entre eles são atribuídas aos erros acidentais.- neste caso, o resultado da medida e expresso como:

X = Xm X

onde Xm e o valor médio das n medida e x é o erro ou incerteza da medida.

Xm = ( X1 + X2 + X3 + .... +Xn ) n

ERRO ESTIMADO EM UMA MEDIDA DIRETA

A medida direta de uma grandeza X com seu erro estimado X pode ser feita de duas formas distintas:

a) medindo-se apenas uma vez a grandeza X: - neste caso a estimativa de erro X na medida é feita a partir do aparelho utilizado e o resultado será obtido por: X X.

O erro pode ser determinado de varias formas. Aqui apresentaremos o erro absoluto e o desvio padrão.

Outra grandeza importante e o erro relativo = Δx/xm se considerarmos o erro absoluto, ou = σ/xm , se usarmos o desvio padrão. Por exemplo, se uma barra de aço tem comprimento dado por (2, 5 0, 5)m, significa que esse comprimento esta sendo comparado com o padrão denominado metro e que o erro associado a medida e de 0, 5m. O erro relativo nesta medida e de 0, 52, 5 = 0, 2 ou 20%.

1. Erro Absoluto

2. Desvio padrão ( σ ):

Δx =

𝜎=√∑1𝑛

¿ 𝑥𝑚−𝑥𝑖∨¿2

𝑛¿

ERROS EM MEDIDAS INDIRETAS PROPAGAÇÃO DE ERROS

Geralmente é necessário usar valores medidos diretamente e afetados por erros para realizar cálculos a fim de se obter o valor de outras grandezas indiretas. É necessário conhecer como os erros nas medidas originais afeta a grandeza final.

Consideremos que a grandeza V a ser determinada esteja relacionada com outras duas através da relação: V = f (x x; y y) onde f é uma função conhecida de x x ; y y

O valor de V

Adição : V = (XmX) + (Ym Y) = (Xm + Ym) ( X+ Y)

Subtração : V = (Xm X) - (Ym Y) = (Xm - Ym) (X + Y)

Multiplicação : V = (X x) (Y y) = (XmYm) (Xm Y + Ym X)

Divisão : V V = = (Xm Y + Ym X)

ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais capaz que seja o operador e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Esta limitação reflete-se no numero de algarismos que usamos para representar as medidas. Ou seja, só utilizamos os algarismos que temos certeza de estarem corretos, admitindo-se apenas o uso de um algarismo duvidoso.

Claramente o numero de algarismos significativos esta diretamente ligado a precisão da medida, de forma que quanto mais precisa a medida, maior o numero de algarismos significativos.

Assim se afirmarmos que o resultado de uma medida e 3,24 cm estamos dizendo que os algarismos 3 e 2 são corretos e que o algarismo 4 é duvidoso, não tendo sentido físico escrever qualquer algarismo após o 4.

Algumas observações devem ser feitas:1. não é algarismo significativo o zero a esquerda do primeiro algarismo

significativo diferente de zero. Assim, tanto l = 32,5 cm como l = 0,325 m representam a mesma medida e tem 3 algarismos significativos.

5 = 0,5x10 = 0,05x= 0,005x (1 A.S. )26 = 2,6x10 = 0,26x= 0,026x (2 A.S. )0,00034606 = 0,34606x= 3,4606x (5 A.S.)

2. zero a direita de algarismo significativo também é algarismo significativo. Portanto, l = 32,5 cm e l = 32,50 cm são diferentes, ou seja, a primeira medida tem 3 A.S. enquanto que a segunda é mais precisa e tem 4 A.S.3. é significativo o zero situado entre algarismos significativos. l = 3,25 m tem 3 A.S. enquanto que l = 3,025 m tem 4 A.S.4. Quando tratamos apenas com matemática, podemos dizer por exemplo, que 5 = 5,0 = 5,00 = 5,000. Contudo, ao lidarmos com resultados de medidas devemos sempre lembrar que 5 cm 5,0 cm 5,00 cm 5,000cm, já que estas medidas tem 1 A.S., 2 A.S. , 3 A.S. e 4A.S., respectivamente. Em outras palavras, a precisão de cada uma delas e diferente.

ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

Suponhamos que uma pessoa ao fazer uma serie de medidas do comprimento de uma barra l, tenha obtido os seguintes resultados:comprimento médio l = 82,7390cm e erro estimado l = 0,538cmComo o erro da medida esta na casa dos décimos de cm, não faz sentido fornecer os algarismos correspondentes aos centésimos, milésimos de cm e assim por diante. Ou seja, o erro estimado de uma medida deve conter apenas o seu algarismo mais significativo. Neste caso l deve ser expresso apenas por l = 0,5cm . Assim os algarismos 8 e 2 do valor médio são exatos, porem o algarismo 7 já e duvidoso porque o erro estimado afeta a casa que lhe corresponde. Deste modo, os algarismos 3 e 9 são desprovidos de significado físico e não é correto escreve-los. O modo correto de escrever o resultado final desta medida será então:

l = (82, 7 0, 5) cm

Algarismos significativos em medidas com erro

Arredondamento: Quando for necessário fazer arredondamento de algum numero, utilizaremos a seguinte regra: 1 - quando o ultimo algarismo significativo for menor ou igual a 5 este é abandonado; 2 - quando o ultimo algarismo significativo for maior que 5, somamos uma unidade ao algarismo significativo anterior.

Exemplo8,234 cm e arredondado para 8,23 cm8,235 cm e arredondado para 8,23 cm8,238 cm e arredondado para 8,24 cm

ARREDONDAMENTO

1- Verifique quantos algarismos significativos apresentam os números abaixo:a) 0,003055 b) 1,0003436 c) 0,0069000 d) 162,32x

Exercícios em Aula

2- Aproxime os números acima para 3 algarismos significativos.

3- Efetue as seguintes operações, levando em conta os algarismos significativos:a) 2,3462 cm + 1,4 mm + 0,05 m b) 0,052 cm 1,112 s c) 10,56 m - 36 cm

4- Efetue as seguintes operações, levando em conta os algarismos significativos:

a) (2,506)cm + (7,06 0,07)cm b) (0,42 0,04)g(0,7 0,3)cm

c) (0,73810,0004)cm x (1,82 0,07)cm

d)(4,4500,003)m - (0,456 0,006)m

EXERCICIOS PARA CASA

5 - O tempo de queda de um meteorito foi medido por dois experimentadores e obtiveram os seguintes resultados:

Medida Experimentador 1 Experimentador 2 tempo (s) tempo(s)

1 436,5 436,22 437,3 435,93 435,9 436,14 436,4 435,85 436,9 436,0

Determine o valor médio, o erro absoluto, o desvio padrão da medida e o erro relativo, de cada conjunto.

EXERCICIOS PARA CASA

6 – Para se determinar a área de um terreno foram feitas várias medidas da frente e da fundo usando uma trena de 100 metros. Foram obtidas as seguintes leituras:

Frente : 15,5 m ; 15,8 m ; 16,2 m ; 15,8 m ; 15,9 m Fundos : 42,5 m ; 41,6 m ; 44,0 m ; 43,2 m ; 45,0 m

Pede-se determinar :a) – o valor médio da medida da frente do terreno, seu erro absoluto e seu desvio padrãob) – o mesmo para a medida do fundo do terrenoc) – o valor médio e o erro absoluto da medida da área do terreno

7- As medidas da massa, comprimento e largura de uma folha foram obtidas 8 vezes e os resultados estão colocados na tabela abaixo. Usando estes dados e levando em conta os algarismos significativos, determine:a) os valores médios da massa, comprimento e largura da folha.b) os erros absolutos das medidas da massa, comprimento e largura da folha.c) o desvio padrão das medidas da massa, comprimento e largura da folha.d) o erro relativo das medidas da massa, comprimento e largura da folha.

EXERCÍCIOS PARA CASA

massa (g) largura (cm) comprimento (cm)4,51 4,43 21,0 21,1 30,2 29,84,46 4,41 21,2 20,9 29,8 30,14,56 4,56 20,8 20,8 29,9 29,94,61 4,61 21,1 20,7 30,1 29,9

8-Utilizando os resultados do exercício 5 e a teoria de propagação de erros, determine:(a) a área da folha e seu respectivo erro(b) densidade superficial da folha e seu respectivo erro.