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ESTÁTICA DO CORPO EXTENSO

1. Estudando o momento de uma Força

Quando estudamos o ponto material vimos que basta garantir o equilíbrio basta que o ponto não translade, isto é, a resultante das forças seja nula estará garantido que o corpo estará em equilíbrio (condição primeira dos corpos extensos).

Mas caso de um corpo extenso, por exemplo, uma barra ou uma ponte, além de afirmar que o corpo não translade teremos que garantir que o corpo não rotacione (condição segunda dos corpos extensos). Por isso, existe uma grandeza física que relaciona força e rotação num ponto, esse grandeza é chamada de momento ou torque.

O momento (M) de uma força é a capacidade dessa força fazer girar um objeto. Para calcular essa grandeza, em relação a um referencial, é o produto (multiplicação) da força aplicada a um corpo pela distância desta força até o ponto de referência, isto é:

M = F . d

onde F é a força aplicada no corpo, d é a distância da força F até o referencial de apoio (pólo) e a unidade do Momento é N.m

 No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de medida que caracteriza o momento de uma força é newton x metro (N.m).F – newton (N)d – metro (m)M – newton x metro – N.m

Momento é uma grandeza escalar, por isso, pode ser positiva ou negativa. O sinal segue a seguinte convenção:

 Quando a Força aplicada forneça uma rotação no sentido anti-horário, em relação ao ponto de referência, o momento é positivo,

 Caso a Força aplicada fornece uma rotação no sentido horário, em relação ao ponto de referência, o momento é negativo.

CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO

∑Fx = 0 →somatório de forças na direção horizontal deve ser nulo;

∑Fy = 0 →somatório de forças na direção vertical deve ser nulo;

∑Mo = 0 →somatório de momentos em relação a um ponto qualquer deve ser

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nulo.

Vejamos o esquema abaixo para exemplificar os dois casos citados acima:

Momento Positivo: como podemos observar na figura abaixo a força aplicada à barra faz com que essa gire no sentido anti-horário.

Momento Negativo: como podemos observar na figura abaixo a força aplicada à barra faz com que essa gire no sentido horário.

Exemplos

1) Uma régua de 40 cm de comprimento é fixada numa parede no ponto O em torno do qual ela pode girar. Observe a figura abaixo.

Determine o momento das forças F1 = 60N, F2 = 40N e F3 = 100N, em relação ao ponto O.

Resolução:

Primeiramente devemos colocar o comprimento em metros e verificar para que sentido as forças fazem a régua girar, em relação ao ponto O, logo:

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Como podemos ver a força F1 faz a régua girar no sentido anti-horário, logo seu momento será positivo, já a força F2 não faz a régua girar em relação ao ponto O, portanto seu momento é zero e por fim, a força F3 faz a rotação no sentido horário, com isso, seu momento será negativo.

Vamos agora encontrar o valor de cada momento:

 M10 = F1 d10   M10 = 60 . 0,20   M10 = + 12 N.m

 M20 = 0 N.m

 M30 = F3 d30   M30 = 100 . 0,40   M30 = - 40 N.m

2) Determine o momento das forças F1 = 5N, F2 = 6N e F3 = 8N aplicada ao esquema abaixo:

Resolução:

Primeiramente devemos verificar se o comprimento está em metros e para que sentido as forças fazem a barra girar, em relação ao ponto O, logo, como podemos ver a força F1 faz a barra girar no sentido horário, logo seu momento será negativo, já a força F2 faz a rotação no sentido anti-horário, com isso, seu momento será positivo e por fim, a força F3 não faz a barra

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girar em relação ao ponto O, portanto seu momento é zero.

Vamos agora encontrar o valor de cada momento:

 M10 = F1 d10   M10 = 5 . 2   M10 = - 10 N.m

 M20 = F2 d20   M20 = 6 . 1   M20 = + 6 N.m

 M30 = 0 N.m

3) Veja o esquema abaixo e determine o momento de cada força em relação ao ponto O e o momento resultante em relação ao ponto O.

Resolução:

Primeiramente devemos verificar se o comprimento está em metros e para que sentido as forças fazem a barra girar, em relação ao ponto O, logo, como podemos ver as forças F1 e F4 fazem a barra girar no sentido horário, logo momento delas será negativo, já as forças F2 e F3 fazem a rotação no sentido anti-horário, com isso, o momento delas será positivo.

Vamos agora encontrar o valor de cada momento:

 M10 = F1 d10   M10 = 16 . 3   M10 = - 48 N.m  M20 = F2 d20   M20 = 12 . 1   M20 = + 12 N.m M30 = F3 d30   M30 = 20 . 1,2   M30 = + 24 N.m  M40 = F4 d40   M40 = 40 . 2,7   M40 = - 108 N.m

Para encontrar o valor do momento resultante basta fazer a soma de todos os momentos considerando o sinal de cada um deles, isto é:

  M = M10 + M20 + M30 + M40    M = - 48 + 12 + 24 – 108   M = - 120 N.m

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ESTÁTICA DO CORPO EXTENSO

2. Estática do Corpo Extenso

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Primeiramente vamos definir o que é Corpo Extenso, isto é:

Um corpo pode ser considerado um Corpo Extenso quando suas dimensões (comprimento, largura e profundidade) não podem ser desprezadas em um dado fenômeno em comparação as demais grandezas físicas que estão sendo estudadas.

Agora, para entendermos a estática do corpo extenso é necessário que saibamos as condições necessárias para que esse corpo esteja em equilíbrio, isto é:

 1ª Condição: para que possamos afirmar que um corpo extenso está parado, em um dado referencial, temos que garantir que a sua velocidade vetorial seja constante com o tempo, sendo assim a sua aceleração vetorial é zero (nula). Logo, concluímos que a força resultante no sistema é zero.

Portanto, a primeira condição necessária para afirmar que um corpo extenso está

em equilíbrio é quando a resultante das forças aplicada nele for nula, isto é,  .

 2ª Condição: para que possamos afirmar que um corpo extenso está parado, em um dado referencial, é garantir que o corpo não sofra rotação, isto é, soma dos momentos deve ser nula.

Portanto, a segunda condição necessária para afirmar que um corpo extenso está em equilíbrio é quando a soma dos momentos aplicados nele for nula, isto é, MR = 0.

Resumindo:

CONDIÇÕES

PRIMEIRA SEGUNDA

FR = 0   FRX = 0 

e 

FRY = 0

M = 0

Exemplo

1) Na figura a barra homogênea AB é articulada no ponto A e está mantida na horizontal pelo fio BC. O peso dessa barra é de 100N e o corpo D pesa 250N. Encontre a tração no fio e as componentes vertical e horizontal da reação da articulação A.

Dados: sen   = 0,6 e cos   = 0,8

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Resolução:

Vamos fazer um esquema com as forças aplicadas no sistema:

Como sabemos, a tração tem uma componente em x e outra em y, isto é:

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Agora como a barra está em equilíbrio impomos as condições para tal, isto é:

 RESULTANTE DAS FORÇAS NULA, isto é:

EM X:

Analisando o sistema no eixo x e está em equilíbrio, temos que:

Fax = Tx   Fax = T cos    Fax = T . 0,8   Fax = 0,8 T

EM Y:

Analisando o sistema no eixo y e está em equilíbrio, temos que:

Fay + Ty = Pb + PD   Fay + T sen  = 100 + 250   Fay + T . 0,6 = 350   Fay = 350 - 0,6 T

 O SOMATÓRIO DOS MOMENTOS EM RELAÇÃO AO PONTO B É NULO, isto é:

Em relação ao ponto B, as forças Fax, Tx, Ty e PD tem momentos iguais a zero, pois não fazem a barra girar em relação ao ponto B. Mas as forças Fay e Pbpossuem momentos não nulos, Mfay (negativo, faz girar no sentido horário) e Pb (positivo, faz girar no sentido anti-horário).

Logo, MB = Mfay + MPb = 0, portanto temos que:

- Fay . l + Pb. (l/2) = 0

(obs.: a distância da força da articulação na direção y até B é l, isto é, a barra inteira e a distância do peso da barra até B é a metade de l)

Para resolver a equação dividiremos todos os termos por l e tiramos o MMC, portanto teremos:

- 2Fay + Pb. = 0

Substituindo o valor do peso da barra podemos encontrar o valor da força da articulação A na direção y, isto é:

- 2Fay + 100 = 0   - 2Fay = - 100   Fay = 50N

Agora, podemos encontrar o valor da tração, basta substituir o valor encontrado de Fay na seguinte equação:

Fay = 350 - 0,6 T   50 = 350 - 0,6 T   0,6 T = 350 – 50   T = 300 / 0,6   T = 500N

Para finalizar, encontraremos a Fax, substituindo o valor da tração encontrada na seguinte equação:

Fax = 0,8 T   Fax = 0,8 . 500   Fax = 400N

Portanto, a resposta do exercício é: Fay = 50N, Fax = 400N e T = 500N

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Momento de uma força ou torque O momento da força ou torque á grandeza vetorial que produz rotação. Para que se possa rodar algum objeto é preciso um ponto de apoio e de uma força. A grandeza momento é o produto da força pela distância entre a reta suporte da força e o ponto de apoio considerado.

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Contudo é necessário usar apenas a parte escalar do momento nas análises que costumamos aplicar no ensino médio.

Assim o momento é resumido a

                         M = F.d         Costuma-se atribuir um sinal ao sentido da rotação:

Considere a figura plana abaixo onde estão aplicadas duas forças.

 

Em relação ao ponto P

 M1=+F1d1

 M2=-F2d2

 

Vamos fazer um exemplo numérico

Uma haste de massa desprezível em repouso na horizontal recebe as três forças abaixo.

Na figura as forças valem:

F1 = 4 N

F2 = 10 N

F3 = 6 N

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O corpo possui uma força resultante que vale zero. As forças para cima somam o mesmo valor que as somas para baixo.

 Contudo, o momento resultante não é zero.

 

Vamos fazer o momento resultante em relação ao ponto A da barra

 Usando a convenção de rotação:

Horário = negativo

Anti-horário = positivo

 

MRES= +F1d1 – F2d2 +F3 d3 

MRES = 4x1 – 10x2 +6x3

MRES= 2 Nm

 

O momento resultante teve sinal positivo, isto significa que a barra vai girar no sentido anti-horário em relação ao ponto A.

 

Um caso interessante que não terá momento nulo é o chamado binário.

 

 

Binários são úteis quando se deseja que o corpo fique girando, por exemplo, irrigadores de jardim.

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Exercício resolvido: A figura ilustra uma gangorra de braços iguais. Contudo as crianças A e B não estão sentadas em posições equidistantes do apoio. A criança A de 470 N de peso está a 1,5m do apoio. A criança B de 500 N de peso está a 1,6 m do apoio. O peso da haste da gangorra é de 100N. A gangorra vai:

 

a)     descer no lado da criança A.

b)    descer no lado da criança B.

c)     ficar em equilíbrio na horizontal.

d)    fazer uma força de 970 no apoio.

 

Solução:

 

As forças que atuam na gangorra são:

 Força FA que a criança faz na gangorra de mesmo módulo que seu peso = 470 NForça FB que a criança faz na gangorra de mesmo módulo que seu peso = 500 N Peso da gangorra que atua no centro de massa (meio) = 100 N

 Força de reação normal da gangorra no apoio = F

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O valor da força F do apoio é a soma das forças verticais (para ter resultante zero), assim

F = 100 + 470 + 500 = 1070 N

[já exclui a letra D]

 

Para saber para que lado a gangorra vai girar ou se permanecerá em equilíbrio vamos fazer os momento de cada lado em relação ao ponto de apoio.

 MA = + FA.dA = 470 x 1,5 = 705 N.mMB = - FB.dB = - 500 x 1,6 = - 800 N.m 

O Momento resultante é MRES = 705 – 800 = - 95 N.m.Logo a gangorra pende para o lado de B (horário).

 

Obs.: Observe que é importante entender que a o momento de A é contrário ao momento de B. Não é preciso colocar o sinal, basta perceber que o maior momento vai fazer girar naquele sentido.

 

MA = FA.dA = 470 x 1,5 = 705 N.mMB = FB.dB = 500 x 1,6 = 800 N.m 

Como MB > MA a gangorra gira para B 

Letra B.

 

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 Os casos comuns são os casos onde já há equilíbrio ou o equilíbrio é exigido pelo problema.

 Nesses casos o momento resultante é nulo

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http://soumaisenem.com.br/fisica/o-movimento-o-equilibrio-e-descoberta-de-leis-fisicas/equilibrio-corpo-extenso

e Exercícios Resolvidos – Momento de uma Força ou Torque

Atenção alunos: sigam corretamente as dicas dos enunciados dos exercícios e confiram seus resultados no final da lista com as respectivas resoluções. Sejam coerentes, tentando resolver tudo e só depois conferindo os resultados. Bons estudos e até semana que vem!

1) Uma barra AO situada num plano vertical pode girar em torno de um ponto O. Determine o momento da força F (torque) de intensidade de 120 N nos três casos a seguir.

Use M = F . D (momento = força x distância), quando o ângulo de aplicação da força é de 90° com a barra.    

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    OBS.: M e T são letras que representam a mesma grandeza física: Momento de uma força ou Torque, OK?

2) Em cada caso representado abaixo, calcule o momento da força aplicada na barra, em relação ao ponto O.Obs.: Quando houver inclinação diferente de 90° entre F e a barra, usa-se a seguinte fórmula:M = F. d .sen θ 

3) (UFLA-95) A figura abaixo representa um sistema em equilíbrio estático. Sendo PA = 20 N, o peso PB  deve ter valor de:Dica: A soma dos momentos deve ser zero. O giro no sentido horário provoca momento positivo e no sentido anti-horário provoca momento negativo.

4) Uma barra homogênea AB de peso P = 10 N e comprimento L = 50 cm está apoiada num ponto O a 10 cm de A. De A pende um corpo de peso Q1 = 50 N. A que distância de x deve ser colocado um corpo de peso Q2 = 10 N  para que a barra fique em equilíbrio na horizontal?

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Resolução:

1) a) Como F está sendo aplicada na direção da barra, ela não provoca rotação na barra e o momento (torque) é nulo. M = 0 N.m 

b) F = 120 N e a distância do ponto de aplicação de F até o ponto de giro é d = 3 m, logo:M = F.d = 120 . 3 = 360 N.m

c) F = 120 N e a distância do ponto de aplicação de F até o ponto de giro é d = 6m, logo:M = F.d = 120 . 6 = 720 N.m

2) a) M = F. d b) M = F. d. senθ    F=10 N             F =8 N    d=b=2 m             d=b=6 m    M = 10.2=20     θ=30° e sen 30°=0,5    M = 20 N.m      M = 8.6.0,5 = 24                                                                             M = 24 N.mLembre-se que a unidade de medida do torque (momento) é N.m

3) Quando temos objetos pendurados na barra ou sobre a barra, a força peso é a força aplicada perpendicularmente à barra. Observe a figura com os vetores das forças pesos representados em cada ponto de aplicação. O ponto onde a barra está apoiada está representado pelo triângulo.

As forças aplicadas são PA e PB .Para o equilíbrio, a soma dos momentos deve ser zero:MPB – MPA = 0 (PA faz a barra girar sentido anti-horário em torno do ponto de apoio, logo o momento é negativo).PA.dA – PB . dB = 020 . 3 – PB . 4 = 0  60 – 4.PB=0  4.PB = 60

PB = 60/4 = 15 N.m  PB = 15 N.m

4) O exercício falou sobre o peso da barra. Então não podemos desprezá-lo. Ele deve ser representado no centro da barra (veja a figura a seta azul). Observe também as distâncias das aplicações das forças até o ponto O.

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A soma dos momentos deve ser zero:

Q1 provoca uma rotação na barra no sentido anti-horário (M<0) Q2 e P no sentido horário (M>0):MQ2 + MP – MQ1 = 0                                                                      Q2.d2 + P . d – Q1.d1 = 0                                                                    10.(40-x) + 10.15 – 50.10=0                                                                        400-10x+150-500=0 - 10 x = 500 -150 -400            - 10 x = - 50  (multiplica por – 1)                10 x = 50                X = 50/10

                X = 5 cm