universidade estadual do sudoeste da...

3.1- Movimento em 1D Física I

Prof. Roberto Claudino Ferreira

Universidade Estadual do

Sudoeste da Bahia

Departamento de Estudos Básicos e

Instrumentais

Índice 1. Conceitos Fundamentais;

2. Velocidade;

3. Movimento Uniforme;

4. Movimento Uniformemente Variado;

5. Movimento Variado não uniforme;

6. Queda livre;

7. Movimento Relativo.

2 Prof. Roberto Claudino

3

OBJETIVO GERAL

Alcançar um entendimento sobre os

conceitos e grandezas que envolvem os

movimentos, assim como suas expressões,

unidades de medida e aplicações.

Prof. Roberto Claudino

4

CINEMÁTICA

A física se divide em vários ramos e a

Cinemática é um deles;

Conceito de Cinemática: Ciência que

estuda os movimentos sem se preocupar

com suas causas e consequências.

Cinemática escalar, (grandeza escalar);

Cinemática vetorial, (grandeza vetorial);


5

CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Ponto Material e Corpo Extenso;

Repouso, Movimento e referencial;

Trajetória;

Posição escalar, no SI (m);

Deslocamento escalar (m).


12 xxx

6

VELOCIDADE MÉDIA e VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA

Velocidade média , no SI (m/s);

Velocidade escalar média , (m/s)

É uma forma diferente de se escrever a

rapidez com que a partícula está se movendo.

Envolve a distância total percorrida independente

do sentido.


12

12

tt

xx

t

xvm

x

t

0 m

0 s

10 m 20 m 30 m

2 s 4 s 6 s

V=5 m/s V=5 m/s V=5 m/s

tSméd

totaldistância

7

VELOCIDADE INSTANTÂNEA e VELOCIDADE ESCALAR INSTANTÂNEA

Velocidade instantânea é obtida reduzindo o

intervalo de tempo ∆t até torná-lo próximo de zero;

A velocidade escalar instantânea trata-se do

módulo da velocidade instantânea sem levar

em consideração o sentido do deslocamento da

partícula.


x

t

0 m

0 s 2 s 3 s 4 s

V=5 m/s V=7 m/s V=8 m/s

dt

dx

t

xv

t

0lim

Um automóvel viaja do ponto A até o ponto

B a 36 km/h durante o primeiro minuto e de B até

C a 72 km/h nos três minutos seguintes. Qual a

sua velocidade escalar média durante os quatro

minutos?

Se este automóvel retornasse ao ponto B

levando 30 s para manobrar em C, desprezando

os pequenos deslocamentos da manobra e

sabendo que o percurso CB foi realizado em 2

minutos. Qual seria a sua velocidade média em

CB? e qual a sua velocidade escalar média em

todo percurso? Prof. Roberto Claudino 8

1º Problema:

A posição de uma partícula que se move em

um eixo x é dada por:

Com x em metros, t em segundos. Qual é a

velocidade da partícula em t = 3,5s? A velocidade

é constante ou está variando continuamente?

A posição de uma partícula que se move em um

eixo x é dada por:

Com x em metros, t em segundos. Qual é a

velocidade da partícula em a) t = 5 s e b) t = 8 s?

c) a velocidade é constante ou está variando

continuamente?

Prof. Roberto Claudino 9

2º Problema:

³1,22,98,7 ttx

3º Problema:

tx 2,43,5

10

MOVIMENTO UNIFORME


x

t

0 m

0 s

10 m 20 m 30 m

2 s 4 s 6 s

V=5 m/s V=5 m/s V=5 m/s

V = constante ≠ 0

A função da posição:

Demonstração Unidades de medidas

0t )(

o

oo

t

t

x

x

t

t

x

x

ttvxx

tvx

dtvdx

vdtdx

dt

dxV

oo

oo

)(

)(

sdt

mdx

s

mV

vtxx o

11

GRÁFICO DO MOVIMENTO UNIFORME


é do 1º grau,

sua declividade (v) é uma reta;

Em (x,t):

Se v > 0, movimento Progressivo;

Se v < 0, movimento retrogrado;

Em (v,t), função constante:

x

t

v > 0

x

t

v < 0

v

t

v > 0 v t

v < 0

vtxx o

Dois móveis A e

B percorrem uma reta

de acordo com os

diagramas indicados

ao lado. Qual a

posição de encontro

destes móveis?


4º Problema:

13

Quando a velocidade de uma partícula varia

diz-se que ela sofreu uma aceleração.

Já a aceleração instantânea trata-se do limite da

aceleração média com Δt tendendo a zero.


MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

x

t

0 m

0 s 2 s 3 s 4 s

V=8 m/s V=12 m/s V=16 m/s

x

t 0 s 1 s 2 s 4 s

V=24 m/s V=12 m/s V=0 m/s V=18 m/s

24

23

812

s

m

t

va

26

01

2418

s

m

t

va

A velocidade é variável e a aceleração é constante ≠ 0.

dt

dva

t

va

t

0lim Pode ser

Também: ²

²

dt

xd

dt

dx

dt

d

dt

dva

14

FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO E DA VELOCIDADE PARA MOVIMENTO VARIADO


A função da velocidade.

Demonstração:

0t )(

o

oo

t

t

v

v

t

t

v

v

ttavv

tav

dtadv

adtdv

dt

dva

oo

oo

atvv o

A função da posição.

Demonstração:

t

t

t

t

o

x

x

o

o

o

o oo

tdtadtvdx

dtatvdx

atvdt

dx

dt

dxv

avv

)(

t

2

2t

atvxx oo

0

2)(

2

22

2

o

oooo

t

t

t

to

x

x

t

tta

ttvxx

tatvx

o

oo

15

INTEGRAÇÃO DO GRÁFICO EM

ANÁLISE DO MOVIMENTO


v

t

t

t

x

x oo

vdtdx

dt

dxv

to t

t

tO

vdtxx 0

Área N

oxx

a

t to t1

t

to

adtdv

dt

dva

t

t

adtvv0

0

Área 0

N

vv

O gráfico a baixo representa o movimento

de um móvel. Qual a variação da posição no

intervalo de 0 a 12 segundos.


5º Problema:

A posição de uma partícula que se move em

um eixo x é dada por:

Com x em metros, t em segundos. (a) Como a

posição x depende do tempo t, a partícula deve

estar em movimento. Determine a função

velocidade v(t) e a função aceleração a(t) da

partícula. (b) Existe algum instante para o qual

v=0?


6º Problema:

²274 ttx

18

EQUAÇÃO DE TORRICELLI


Torricelli eliminou a variável tempo da equação das

velocidades da seguinte maneira:

Sabemos que: , logo: , igualando

as duas equações:

atvv o

xavv o 222

x

x

v

v oo

adxvdv

adxvdv

a

dv

v

dx

dtdt

dt

dva

dt

dxv ,

a

dvdt

v

dxdt ,

xavv

xxavv

xav

o

oo

x

x

v

vo

o

2²

2

²

2

²

2

2

19


MOVIMENTO VARIADO NÃO UNIFORME

x

t

0 m

0 s 2 s 3 s 4 s

V=8 m/s V=18 m/s V=32 m/s

ttv

v

t

t

v

v

t

t

v

v

oo

oo

oo

tv

tdtdv

adtdv

adtdv

dt

dva

00 ²2

4

4

A velocidade e a aceleração são variáveis.

No exemplo abaixo a partícula parte do repouso e aceleração

varia segundo a função . ta 4

²2

0

0

:exemplo No

)²(2

)²(2

2

2

tv

t

v

ttvv

ttvv

o

o

oo

oo

smv

sma

smv

sma

smv

sma

/32

²/16

:4s t Em

/18

²/12

:3s t Em

/8

²/8

:2s t Em

3

³2

³3

2

²2

00

tx

tx

dttdx

vdtdx

dt

dxv

t

t

x

x

t

t

x

x

oo

oo

ta 4

A aceleração de um corpo em movimento

retilíneo é diretamente proporcional ao tempo e

representada por a = kt, onde k é uma constante.

Para t = 0s, a velocidade do corpo é de -16 m/s.

Sabendo que a velocidade e a coordenada da

posição são nulas no tempo de 4s. Determine (a)

as equações da aceleração, velocidade e

posição do corpo (b) a aceleração, velocidade e

posição do corpo no tempo de 2s.


7º Problema:

21

QUEDA LIVRE Um objeto quando abandonado no

vácuo nas proximidades da Terra descreve

trajetória vertical e sua velocidade aumenta

progressivamente sob a aceleração da

gravidade g = 9,8 m/s².

No vácuo, objetos caem sempre da mesma forma,

independente de sua massa, tamanho e forma.

Na Terra não temos queda livre devido à resistência do

ar, no entanto para pequenos deslocamentos podemos

desprezar a resistência do ar.

Convencionando o

sinal de (g) = (-g)

gtvv o

²2

tg

tvyy oo

ygvv o 2² 2Descida: v = (-) e o |V| aumenta

Subida: v = (+) e o |V| diminui

Convencionando o sinal de (v):

Em um prédio em construção, uma chave de

grifo chega ao solo com uma velocidade de 24

m/s. (a) de que altura um operário a deixou cair?

(b) Quanto tempo durou a queda? (c) Esboce os

gráficos de y,v,e g em função de t para a chave

de grifo.


8º Problema:

23

MOVIMENTO RELATIVO


O movimento é um conceito relativo cuja

descrição depende de um referencial específico

escolhido pelo observador.

Diferentes observadores usando sistemas

referenciais diferentes obtém diferentes

descrições de um mesmo movimento.

O estudo do movimento relativo tem como

objetivo relacionar estes resultados distintos de

um mesmo movimento.

24

MOVIMENTO RELATIVO EM 1D


BAv

PBPA

BA

BAPBPA

BAPBPA

BAPBPA

BAPBPA

aa

v

vdt

dv

dt

dv

dt

d

dt

dva

vvv

xdt

dx

dt

dx

dt

d

dt

dxv

xxx

Constante Sendo

)()()(

)()()(

BAPBPA xxx

Na figura do slide anterior, Alexandre é o referencial A

enquanto que Bárbara é o referencial B. A velocidade de

Barbara em relação a Alexandre é constante,

e que o carro P está se movendo no sentido negativo do

eixo x. (a) Se Alexandre mede uma velocidade

para o carro P, qual é a velocidade medida por

Bárbara? (b) Se o carro P freia até parar em relação a

Alexandre (e portanto, em relação ao solo) no instante

t = 10 s, com uma aceleração constante, qual é a sua

aceleração em relação a Alexandre?

(c) Qual é a aceleração do carro P em relação à

Bárbara durante a frenagem?


9º Problema:

km/h 52BAv

km/h 78PAv

PBv

PAa

PBa

3.2- Movimento em 2D e 3D. Física I

Prof. Roberto Claudino Ferreira

Universidade Estadual do

Sudoeste da Bahia

Departamento de Estudos Básicos e

Instrumentais


POSIÇÃO e DESLOCAMENTO em 2D e 3D.

O deslocamento vetorial :

r

kzjyixr ˆˆˆ

Posição vetorial ou vetor posição .

r

kzjyixr

kzzjyyixxr

kzjyixkzjyixr

rrr

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

121212

111222

12

Um coelho atravessa um estacionamento, no

qual, por alguma razão, um conjunto de eixos

coordenadas foi desenhado. As coordenadas da

posição do coelho, em metros, em função do

tempo t, em segundos, são dadas por:

x = - 0,31t² + 7,2t + 28

y = 0,22t² - 9,1t + 30

(a) No instante t = 15s, qual é o vetor posição do

coelho na notação de vetores unitários e na

notação módulo-ângulo?


10º Problema:


VELOCIDADE MÉDIA e INSTANTÂNEA em 2D e 3D.

As componentes escalares ficam:

t

rv

t

kzjyixv

méd

méd

ˆˆˆ

Velocidade média: Velocidade Instantânea:

dt

dzv

dt

dyv

dt

dxv zyx ,,

kvjvivv

kvzjyixdt

dv

zyxˆˆˆ

ˆˆˆ

Determine a velocidade vetorial do coelho do

problema 10, no instante t = 15s.

x = - 0,31t² + 7,2t + 28

y = 0,22t² - 9,1t + 30

Lembre-se que: Um vetor é caracterizado por ter

módulo, direção e sentido.


11º Problema:


ACELERAÇÃO MÉDIA e INSTANTÂNEA em 2D e 3D.

As componentes escalares ficam:

t

va

t

vva

méd

méd

12

Aceleração média: Aceleração Instantânea:

dt

dva

dt

dva

dt

dva z

z

y

yx

x ,,

kdt

dvj

dt

dvi

dt

dva

kvjvivdt

da

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

32

MOVIMENTO RELATIVO EM 2D


BAPBPA rrr

BAv

BAr

PBr

PAr

BAPBPA vvv

PBPA aa

Um avião se move para leste enquanto o piloto

direciona o avião ligeiramente ao sul do leste, para

compensar um vento constante que sopra para

nordeste. O avião tem uma velocidade em relação ao

vento, com uma velocidade do ar (velocidade escalar

em relação ao vento) de 215 km/h e uma orientação que

faz um ângulo θ ao sul do leste. O vento tem uma

velocidade em relação ao solo, com uma velocidade

escalar de 65,0 Km/h e uma orientação que faz um

ângulo de 20º a leste do norte. Qual é o módulo da

velocidade do avião em relação ao solo e qual é o

valor de θ?


12º Problema:

AVv

VSv

ASv

34

LANÇAMENTO HORIZONTAL


O movimento de um corpo lançado

horizontalmente, coincide com o movimento

em queda livre;

O corpo apresenta duas

velocidades: Uma na

horizontal (vx) e a outra

na vertical (vy).

A velocidade horizontal

não afeta a vertical.

O movimento de projéteis

é composto de duas

velocidade uma na

horizontal ( ) e outra na

vertical ( ).

Um projétil pode ser entendido como uma

partícula que se move no plano vertical com

velocidade inicial e com aceleração constante

igual a aceleração de queda livre , dirigida para

baixo. Onde: , onde:

35

MOVIMENTO DE PROJÉTEIS


ov

g

jvivv oyoxoˆˆ

oooy

ooox

senvv

vv

cos

xv

yv

36

MOVIMENTO HORIZONTAL


Na horizontal não existe aceleração,

logo trata-se de um MU.

tvxx

tvxx

vv

ooo

oxo

xox

)cos(

constante

O movimento na horizontal

coincide com um movimento em

queda livre, logo o movimento

horizontal não interfere no

movimento vertical.

37

MOVIMENTO VERTICAL


Trata-se de um movimento em queda livre MUV.

Logo, nas expressões em queda livre,

substituiremos: oooy senvv

gtsenvv ooy

²2

tg

tsenvyy ooo

ygsenvv ooy 222

38

EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA


Trata-se da equação para encontrar o caminho

percorrido pelo projétil. Para encontrá-la, isola-se

o tempo na equação do deslocamento horizontal

e substitui-se na equação do deslocamento

vertical, tomando

y MUV

²cos2

²

ov

gxxtagy

0 ,0 oo xy

Equação da trajetória

39

ALCANCE HORIZONTAL


²2

)(0

)(cos

²

2)(

)(

tg

tsenv

tvR

tg

tsenvyy

tCosvxx

oo

oo

ooo

ooo

)()(2

)(2)(0

2)(0 e

)(

oo

oo

oo

oo

oo

oo

SenvCosv

Rg

Cosv

RgSenv

ttg

SenvCosv

Rt

0 , oo yyRxxElimina o

tempo nas

duas:

))((2 2

ooo CosSen

g

vR

)2(2

oo Seng

vR

Chamaremos:

É a distância máxima horizontal que o projétil

alcança até atingir sua altura inicial.

40

ALCANCE HORIZONTAL MÁXIMO


g

vR o

máx

2

12 osen

º45º902 oo

Então o alcance máximo

Ocorre quando:

Portanto o ângulo de alcance máximo é 45º

)2(2

oo Seng

vR

Um mergulhador salta com uma velocidade

horizontal de 2,00 m/s de uma plataforma que

está 10,0 m acima da superfície da água. (a) A

que distância horizontal da borda da plataforma

está o mergulhador 0,8 s após o início do salto?

(b) A que distância vertical acima da superfície da

água está o mergulhador nesse instante? (c) A

que distância horizontal da borda da plataforma o

mergulhador atinge a água?


13º Problema:

Um avião mergulhando com velocidade

constante em um ângulo de 53º com a vertical,

lança um projétil a uma altitude de 730 m. O

projétil chega ao solo 5,0 s após o lançamento.

(a) Qual é a velocidade do avião? (b) Que

distância o projétil percorre horizontalmente

durante o percurso? Quais são as componentes?

(c) horizontal e (d) vertical da velocidade do

projétil no momento em que chega ao solo?


14º Problema:

Um projétil é lançado do solo para cima segundo

um ângulo de 30º com a horizontal, com

velocidade de 80 m/s. Calcule:

a) O tempo que o corpo leva para atingir a altura

máxima;

b) A altura máxima;

c) As coordenadas do projétil no instante 1s;

d) O tempo gasto para atingir o solo;

e) O alcance.


15º Problema:

universidade estadual do sudoeste da...

Documents