CURSO EM ANÁLISE ESTRUTURAL

ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS

JUNHO 2008

CAPÍTULO 1

COMPORTAMENTO MECÂNICO DE MATERIAIS

(REVISÃO PARCIAL)

1.2

ÍNDICE DE SEÇÕES 1.1 INTRODUÇÃO 1.3 1.2 O ENSAIO DE TRAÇÃO 1.3 1.3 OS ENSAIOS DE COMPRESSÃO E CISALHAMENTO 1.7 1.4 IDEALIZAÇÕES DA CURVA TENSÃO–DEFORMAÇÃO 1.10 1.5 REPRESENTAÇÕES DA CURVA TENSÃO-DEFORMAÇÃO POR FUNÇÕES DE TRÊS

PARÂMETROS 1.11 REPRESENTAÇÃO DE RAMBERG E OSGOOD 1.12 REPRESENTAÇÃO DE HILL 1.13 EQUAÇÃO GENERALIZADA DE BARRETT E MICHAEL 1.14 1.6 EXEMPLOS 1.20 1.7 EXERCÍCIOS 1.22 1.8 REFERÊNCIAS 1.24 ÍNDICE DE FIGURAS 1-1 CORPO DE PROVA PARA ENSAIO EM TRAÇÃO 1.3 1-2 CURVA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE MATERIAL COM PONTO DE ESCOAMENTO DEFINIDO 1.24 1-3 CURVA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE MATERIAL SEM PONTO DE ESCOAMENTO DEFINIDO 1.4 1-4 CURVA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE MATERIAL CLAD 1.5 1-5 CURVAS TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE MATERIAIS AERONÁUTICOS 1.7 1-6 CURVAS TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE LIGAS DE ALUMÍNIO EM TRAÇÃO E COMPRESSÃO 1.8 1-7 CORPO DE PROVA PARA ENSAIO EM TORÇÃO 1.9 1-8 CURVAS TENSÃO-DEFORMAÇÃO IDEALIZADAS 1.10 1-9 CURVA TENSÃO-DEFORMAÇÃO IDEALIZADA: ELÁSTICO LINEAR-PLÁSTICO COM ENCRUAMENTO 1.11 1-10 IDEALIZAÇÃO DE RAMBERG & OSGOOD 1.13 1-11 PARÂMETRO DE FORMA n COMO FUNÇÃO DE F0.7 / F0.85 1.13 1-12 CURVAS ADIMENSIONALIZADAS DE RAMBERG-OSGOOD 1.14 1-13 IDEALIZAÇÃO DE HILL 1.14 1-14 CURVAS ADMINENSIONALIZADAS DE BARRETT-MICHAEL 1.16 1-15 CURVAS ADIMENSIONALIZADAS DE BARRETT-MICHAEL – ET / E 1.17 1-16 CURVAS ADIMENSIONALIZADAS DE BARRETT-MICHAEL – (F / FN)(E / ET) 1.17 1-17 CURVAS ADIMENSIONALIZADAS DE BARRETT-MICHAEL – ν 1.18 1-18 ÁBACOS PARA A DETERMINAÇÃO DE m E FN 1.19

1.3

1 COMPORTAMENTO MECÂNICO DE MATERIAIS (REVISÃO PARCIAL) 1.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo será feita uma revisão das propriedades mecânicas de materiais que são de

interesse no estudo da estabilidade de estruturas aeronáuticas. Uma vez que estruturas aeronáuticas

têm de ser analisadas nas condições limite (em condições normais de operação da aeronave, a

estrutura não deve apresentar deformações permanentes) e última (em condições de sobrecarga, a

estrutura não deve falhar catastroficamente), condições estas normatizadas, é necessário conhecer-se a

relação entre tensões e deformações em todo domínio, desde pequenas deformações até a ruptura. É

de particular interesse, nos casos em que for viável, representar a relação entre tensões e deformações

através de um modelo analítico. A relação tensão-deformação poderia assim ser incorporada na análise

e o engenheiro projetista ganharia um tempo considerável por não ter que alimentar a análise com os

valores obtidos das curvas efetivas de tensão-deformação dos materiais que esteja empregando.

1.2 O ENSAIO DE TRAÇÃO

Considere o comportamento de um membro reto e longo, com uma seção uniforme em sua parte

central, quando submetido a uma carga axial, como mostrado na Fig. 1-1.

Fig. 1-1 Corpo de Prova para Ensaio de Tração

No centro, excetuando aquelas normais na direção axial, todas as tensões são zero. A tensão

normal é constante através da seção e é dada por σn = P / A, onde A é a área original da seção

transversal antes da aplicação da carga. Se ∆L é a mudança de comprimento entre dois pontos,

originalmente distantes, um do outro, de um comprimento L, a deformação longitudinal, que é constante

ao longo da seção reduzida, pode ser obtida da expressão ε long = ∆L / L . A relação tensão-deformação

1.4

do material pode então ser obtida graficando, para cargas crescentes, as tensões em função das

deformações medidas.

Para alguns materiais, como o aço doce, a curva resultante tem a forma mostrada na Fig. 1-2.

Fig. 1-2 Curva Tensão-Deformação de Material com Ponto de Escoamento Definido

Para pequenas deformações, a relação entre a tensão e a deformação é linear (ou praticamente

linear). Esta proporcionalidade eventualmente deixa de ocorrer numa tensão referida como limite de

proporcionalidade. Após ser atingido o limite de proporcionalidade, a inclinação da curva decresce até

um ponto para o qual um pequeno incremento de deformação não resulta num aumento de tensão. A

tensão neste ponto é denominada tensão de escoamento. Um aumento de deformação volta a

ocasionar, eventualmente, um aumento de tensão. Este fenômeno é denominado de encruamento. Ã

medida que a tensão aumenta, um segundo ponto de derivada nula é atingido, correspondendo à tensão

última. Daí em diante, a tensão decresce com o aumento da deformação, até a ruptura. A deformação na

ruptura multiplicada por 100 é denominada de alongamento percentual. Deve ser notado que as tensões

são baseadas na área da seção transversal original do corpo de prova, sem levar em consideração a

contração lateral. As tensões reais são em conseqüência maiores do que aquelas plotadas numa curva

tensão-deformação convencional (tensões aparentes). A diferença não é apreciável até que as regiões

mais altas do regime plástico são atingidas.

Fig. 1-3 Curva Tensão-Deformação de Material sem Ponto de Escoamento Definido

1.5

A Fig. 1-3 mostra a curva tensão-deformação típica da maioria dos materiais aeronáuticos. Até ser

atingida uma determinada tensão, a relação tensão-deformação é linear. Deve ser notado que não há

um ponto de escoamento, pois a tangente não assume uma posição horizontal até ser atingida a tensão

última. Alumínio puro é mais resistente à corrosão do que alumínio em liga; por esta razão

freqüentemente chapas de liga de alumínio são protegidas por finas camadas externas de alumínio puro.

É o processo de cladding. Em materiais clad ocorrem duas regiões lineares na curva tensão-deformação.

Uma ocorre abaixo do limite de proporcionalidade do material das camadas da superfície, que são

menos resistentes do que o miolo, e a outra se estende deste até o limite de proporcionalidade do

material do miolo, como mostrado na Fig. 1-4.

Fig. 1-4 Curva Tensão-Deformação de Material Clad

A propriedade mecânica que define a resistência de um material no regime elástico é a rigidez e

para materiais dúteis é medida pela quantidade denominada de Módulo de Elasticidade ou Módulo de

Young ( E ). A parte linear dos diagramas mostrados nas Figs. 1-2, 1-3 e 1-4 implica numa razão

constante entre a tensão e deformação. E é o valor numérico desta razão:

long

n

εfE = (1.1)

Como indicado na Fig. 1-4, as ligas clad de alumínio têm dois módulos de elasticidade. O módulo

inicial é o mesmo das outras ligas de alumínio, mas só vale até que o limite de proporcionalidade do

material das faces é atingido (módulo primário). Imediatamente acima deste ponto há um breve estágio

de transição e o material exibe então um módulo secundário até que seja atingido o limite de

proporcionalidade do material do miolo. Ambos os módulos são baseados numa tensão referida à área

total da seção transversal.

Qualquer que seja o caso (Figs. 1-2, 1-3 ou 1-4), é difícil determinar o limite de proporcionalidade, a

partir dos dados experimentais, com precisão. Por isto convencionou-se definir o limite de

proporcionalidade como sendo o ponto de interseção da curva e da reta paralela à porção linear da

curva, mas deslocada da origem por uma deformação de 0.0001.

1.6

Se a carga é removida em baixos níveis de tensão, o material retornará à condição de tensão zero,

percorrendo a mesma curva que seguiu durante o ciclo de carregamento e não ocorrerão deformações

permanentes. Neste intervalo, o material é dito ser elástico e a tensão que define o limite superior é

referida como o limite elástico. Abaixo do limite elástico, a deformação é função unívoca da tensão. Para

a maioria dos materiais estruturais, o limite elástico praticamente coincide com o limite de

proporcionalidade, embora ambos sejam definidos a partir de considerações físicas completamente

distintas. É possível, por exemplo, existir um material (como a borracha) no qual as deformações não

são diretamente proporcionais às tensões em qualquer nível de tensão, mas o material pode assim

mesmo comportar-se de maneira elástica. Um material que exiba ambos pontos, o limite proporcional e o

limite elástico, é dito ser linearmente elástico se a tensão não ultrapassar o menor destes dois limites.

Acima do limite elástico, o material não mais descarrega ao longo da curva tensão-deformação que

seguiu no ciclo de carregamento. O descarregamento se dará ao longo de uma reta paralela à parte

linear da curva, como mostrado nas Figs. 1-3 e 1-4. Neste caso, a deformação não é função unívoca da

tensão, pois para uma dada tensão corresponde uma deformação no carregamento e outra no

descarregamento. Além disto, a deformação no descarregamento depende da maior tensão alcançada

no ciclo de carregamento.

Materiais que se comportam de acordo com as curvas das Fig. 1-3 ou 1-4, ao contrário daqueles

representados pela Fig. 1-2, não mostram um ponto de tangente horizontal um pouco acima da região

linear. Estes materiais escoam gradualmente. Em conseqüência, não possuem uma tensão ou ponto de

escoamento bem caracterizados. Uma vez que deformações permanentes são indesejáveis na maioria

das estruturas e máquinas, é prática comum se adotar um valor arbitrário de deformação permanente

que é considerável admissível para fins de projeto. O valor desta deformação permanente admissível foi

fixado pelas autoridades em 0.002 e a tensão (atingida no carregamento) que causa esta deformação

permanente no descarregamento é denominada de tensão de escoamento (na língua Inglesa, é

denominada também de offset yield stress). Esta tensão está no ponto de interseção da curva e a linha

paralela à parte linear da curva mas deslocada da origem por uma deformação de 0.002. Como

mencionado na seção 1.1, um dos critérios de projeto é freqüentemente o requisito de que as cargas

limites não devam produzir tensões que ultrapassem este valor.

São de utilidade, além do módulo de elasticidade, dois outros módulos. O módulo de elasticidade foi

definido como a inclinação da curva abaixo do limite de proporcionalidade. Acima deste limite, a

inclinação da curva, que não mais é constante, é definida como Módulo Tangente ( Et ):

εd

dfEt = (1.2)

Como mostrado na Eq. (1.1), o módulo de elasticidade também pode ser definido como a tensão

dividida pela deformação. Acima do limite de proporcionalidade, esta razão, também não mais constante,

é definita como Módulo Secante ( Es ):

εfEs = (1.3)

1.7

Os módulos tangente e secante são funções do nível de tensão, e abaixo do limite de

proporcionalidade ambos são iguais ao módulo de elasticidade.

Se, durante um ensaio de tração, forem medidas as dimensões da seção transversal do corpo de

prova, percebe-se que o alongamento longitudinal é acompanhado de uma contração transversal. As

deformações nas duas direções são relacionadas pela equação:

longtrans ενε −= (1.4)

onde ν é denominado Razão de Poisson. Esta razão é constante abaixo do limite de proporcionalidade

e, para a maioria dos materiais estruturais, está na faixa de 0.25 a 0.33. A menos que seja conhecido

com mais precisão, o valor normalmente considerado para materiais estruturais é 0.3. ν aumenta

gradualmente acima do limite de proporcionalidade, e aproxima-se de 0.5 (em processos

isovolumétricos) para grandes deformações plásticas:

( ) eps

p EE

νννν −−= (1.5)

onde νe é o valor na região elástica e νp o valor na região plástica (normalmente fixado igual a 0.5).

A Fig. 1-5 mostra as curvas tensão-deformação dos materiais aeronáuticos mais comuns. A figura

da esquerda permite a comparação relativa das tensões últimas e de ruptura, bem como das dutilidades

(capacidade do material para deformação inelástica em tração e cisalhamento sem sofrer ruptura, e

habilidade do material em ser manipulado em processos de fabricação). A figura da direita permite a

comparação relativa dos módulos de elasticidade, bem como das tensões de escoamento.

(a) Domínio Completo

Fig. 1-5 Curvas Tensão-Deformação de Materiais Aeronáuticos

1.3 OS ENSAIOS DE COMPRESSÃO E CISALHAMENTO Considerando as importâncias da segurança e baixo peso da estrutura no projeto estrutural de

veículos aeroespaciais, o engenheiro deve considerar o quadro completo da tensão vs a deformação,

através das gamas de tração e compressão. Isto é principalmente devido ao fato de que a flambagem,

(b) Porções Iniciais

1.8

tanto primária como local, é um tipo comum de falha em estruturas aeroespaciais, e pode ocorrer tanto

no regime elástico quanto na região plástica. Em geral, a forma da curvas tensão-deformação sob

compressão e tração, fora do estágio inicial linear, são diferentes. Além disto, os vários materiais

utilizados na construção de veículos aeroespaciais têm curvas de forma bastante distinta na porção que

se sucede à região linear. Uma vez que o peso estrutural mínimo é tão importante, esforços têm sido

feitos em projeto no sentido de desenvolver altas tensões admissíveis de compressão, e estas tensões

últimas admissíveis estão na região inelástica em muitos componentes estruturais.

A Fig. 1-6 mostra uma comparação das curvas tensão-deformação em tração e compressão para

Fig. 1-6 Curvas Tensão-Deformação de Ligas de Alumínio em Tração e Compressão

1.9

quatro ligas de alumínio largamente utilizadas na indústria. Abaixo do limite de proporcionalidade, o

módulo de elasticidade é o mesmo sob tração ou compressão. A tensão de escoamento em compressão

é determinada da mesma forma como explicado para tração.

A tensão última em tração de um componente manufaturado de determinado material não é

sensivelmente dependente da forma de sua seção transversal ou de seu comprimento. Por outro lado,

entretanto, a resistência última de um componente sob tensões de compressão é amplamente

dependente da forma da seção e comprimento. Qualquer componente, quando submetido a forças

compressivas crescentes, a menos que muito curto e compacto, tende a flambar lateralmente como um

todo ou falhar localmente. Se um membro bastante curto ou com flexão lateral impedida externamente,

confeccionado de materiais como madeira, osso, pedra e alguns metais frágeis, for submetido à

compressão, a falha se dará por uma fratura bem definida. Em conseqüência, estes materiais

apresentam um valor definido para a tensão última em compressão. A maior parte dos materiais

aeronáuticos, entretanto, não apresentam fratura em compressão. Devido a sua dutilidade, o material

escoa e incha, e o crescimento da área transversal permite a absorção de cargas crescentes. É portanto

praticamente impossível selecionar um valor para a tensão última de compressão, sem estabelecer

algum tipo de critério: para materiais dúteis, a tensão última em compressão ( Fcu ) é considerada

normalmente igual à Ftu (tensão última em tração). Materiais frágeis relativamente fracos em tração

podem apresentar Fcu obtido em ensaios de laboratório, maior do que Ftu ; neste caso, o valor adotado é

aquele medido em laboratório.

Embora tenham sido adotados testes padrões para a determinação das propriedades em tração e

compressão de metais, não há um padrão estabelecido para a medida das propriedades em

cisalhamento. Um procedimento para a obtenção destes dados é testar um tubo de paredes finas em

torção, como mostrado na Fig. 1-7. Neste caso todas as tensões são nulas, excetuando a tensão

tangencial σs , que age também nos planos que contém o eixo do tubo. Casos, com este, nos quais

Fig. 1-7 Corpo de Prova para Ensaio de Torção

não há outras componentes de tensão, são denominados de cisalhamento puro. A tensão é dada pela

expressão fs = Mt r / Ip , onde Mt é o torque aplicado, r é o raio medido até o ponto onde a tensão é

requerida, e Ip é o momento polar de inércia da seção do tubo. Uma vez que a espessura das paredes é

pequena, r é essencialmente constante ao longo do tubo. Em conseqüência, as tensões são

1.10

praticamente constantes. As linhas retas, originalmente geradoras da superfície cilíndrica, deformam

helicoidalmente sob a ação do torque, de maneira que o ângulo AOB mostrado na figura distorce para

A’O’B’. A mudança deste ângulo é, então, a deformação de cisalhamento εs , que para pequenas

deformações é dado por εs = ∆L / L . Se este ângulo é determinado como função da tensão de

cisalhamento, obtém-se a curva tensão-deformação em cisalhamento. A forma desta curva é parecida

com aquela de tração para o mesmo material, e para a maior parte dos materiais aeronáuticos é

semelhante ao esboço da Fig. 1-3. Como no ensaio em tração, na parte inicial da curva, existe uma

relação linear entre tensões e deformações. Esta relação pode ser expressa como

Gf s

s =ε (1.6)

onde G é a módulo de cisalhamento. O módulo de cisalhamento pode ser escrito em termos do módulo

de elasticidade através da relação:

( ) 12

ν+=

EG (1.7)

1.4 IDEALIZAÇÕES DA CURVA TENSÃO - DEFORMAÇÃO.

Como visto nas duas seções precedentes, a curva tensão-deformação experimental de materiais

aeronáuticos, tanto para tração uniaxial, quanto para compressão e cisalhamento puro, tem a forma

característica mostrada na Fig. 1-3. Esta curva não está, evidentemente, numa forma adequada para

desenvolvimentos analíticos. Seria desejável poder expressar a relação matematicamente. Ã medida que

cresce a precisão com a qual se aproxima matematicamente a curva, também cresce a complexidade do

modelo matemático. É portanto desejável utilizar um modelo que represente bem o comportamento do

material para a análise em questão e que seja o mais simples possível.

Muitas idealizações têm sido sugeridas na literatura, e a escolha depende do material, da tensão e

do nível de temperatura requeridos para a análise. Alguns destes modelos idealizados são mostrados na

Fig. 1-8. Na Fig 1-8a é mostrado o comportamento de um corpo rígido, no qual o carregamento não

produz deformações. É evidente que não existe material de tal tipo, mas em muitos casos as

deformações do corpo têm um efeito desprezível na análise. Esta é a hipótese que fornece a base para a

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

Fig. 1-8 Curvas Tensão-Deformação Idealizadas (a) Rígido; (b) Elástico Não-Linear; (c) Elástico Linear; (d) Rígido - Perfeitamente Plástico

(e) Rígido - Plástico com Encruamento; (f) Elástico Linear - Perfeitamente Plástico

ε

f

ε

f

ε

f

ε

f

ε

f

ε

f

1.11

Mecânica do Corpo Rígido. O comportamento de um material elástico não-linear, i.e., o material carrega

e descarrega ao longo da mesma curva, é representado na Fig. 1-8b . O comportamento do material

elástico linear é representado na Fig. 1-8c ; as Eqs. (1.1) e (1.6) descrevem este comportamento,

respectivamente, para tração e cisalhamento.

Idealizações de materiais que se comportam plasticamente são mostradas nas Figs. 1-8d e 1-8e.

Distintos dos modelos elásticos, nestes casos as deformações plásticas não são recuperáveis. Um

material rígido – perfeitamente plástico, no qual não ocorre deformação até que a tensão de escoamento

é atingida, após o que a deformação cresce sem que haja aumento da tensão, é mostrado na Fig. 1.8d.

A deformação atingida no carregamento permanece constante ao se descarregar, não havendo um

mínimo de recuperação. Um material rígido – plástico com encruamento é ilustrado na Fig. 1-8e. Mais

uma vez, tensões abaixo da tensão de escoamento não produzem deformações, mas agora um aumento

da deformação exige um aumento da tensão. Como no caso anterior, também aqui não há qualquer

recuperação de deformação no descarregamento. Os materiais mostrados nas Figs. 1-8f e 1-9 são

elasto-plasticos. Na Fig. 1-8f o material se comporta de uma maneira linear elástica até que seja atingida

a tensão de escoamento, após o que tem um comportamento plástico perfeito. Quando a carga é

aliviada, a deformação elástica é recuperada, enquanto que a deformação plástica permanece.

O comportamento do material da Fig. 1-9 é

elástico linear até que o limite de

proporcionalidade (suposto igual ao limite

elástico) é atingido. Acima desta tensão há, em

adição à deformação elástica εE, uma

componente de deformação plástica, com

encruamento, εP. A componente de deformação

elástica é recuperada ao se remover a tensão.

Este modelo descreve o comportamento

uniaxial da maioria dos materiais estruturais

usados em construção aeronáutica e pode ser

adequadamente representado por uma função

analítica de três parâmetros, objeto de estudo

da próxima seção.

1.5 REPRESENTAÇÕES DA CURVA TENSÃO–DEFORMAÇÃO POR FUNÇÕES DE TRÊS PARÂMETROS.

Com referência à Fig. 1-9, pode-se considerar a deformação dividida em duas componentes: uma

elástica e outra plástica. Em conseqüência, pode-se escrever:

pe εεε += (1.8)

Fig. 1-9 Curva Tensão-Deformação Idealizada

Material Elástico Linear – Plástico com Encruamento

fpr

εP

f

εE

ε

1.12

onde a componente elástica é igual a f / E . Foi verificado em laboratório que a componente plástica

pode ser considerada proporcional ao nível de tensão, elevada a uma potência que depende do

comportamento do material na região plástica. Em conseqüência, a Eq. (1.8) pode ser rescrita como n

EfC

Ef

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=ε (1.9)

Os parâmetros E, C e n são as constantes do material a serem determinadas em laboratório.

Diferenciando a Eq. (1.9) e escrevendo a expressão para df /dε , tem-se:

( ) 11

1−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

n

EfnCE

ddfε

(1.10)

Quando f = 0 , a Eq. (1.10) fornece d f /d ε = E . A inclinação da curva na origem, conseqüentemente,

é igual ao módulo de elasticidade, e está disponível para qualquer material. C e n poderiam ser

determinados a partir de procedimentos padrões de fitting, i.e., métodos que visam minimizar, em dado

domínio, os erros entre os valores fornecidos pela função e aqueles obtidos experimentalmente (e.g.,

mínimos quadrados). É entretanto usual fazer com que a curva da Eq. (1.9) coincida com a curva

experimental em dois pontos arbitrários. É de se esperar que a curva empírica seja uma boa

representação nas proximidades destes dois pontos e entre os mesmos. Quanto maior o parâmetro n ,

melhor será a representação na região linear. À medida que se afasta do ponto de tensão superior (no

sentido da tensão última) não se deve esperar resultados satisfatórios.

Pode-se adimensionalizar a Eq. (1.9) multiplicando-se ambos os lados por E / FRef , onde FRef é

uma tensão de referência. Desta forma, obtém-se:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

−1

RefRefRefRef1 nn

EfC

Ff

Ef

FCE

Ff

FEε

(1.11)

Como três parâmetros são suficientes para definir a função, C poderá sempre ser expresso em

termos de E , FR e n. As distintas funções empíricas disponíveis na literatura (ou a sua forma de

apresentação) dependem de FR e dos dois pontos de teste escolhidos.

REPRESENTAÇÃO DE RAMBERG E OSGOOD (REF. 1.1).

Neste método, os pontos são escolhidos de forma a que as curvas coincidam nos módulos

secantes Es = F0.7 / ε = 0.7 E e Es = F0.85 / ε = 0.85 E , como mostrado na Fig. 1-10. Para a maioria dos

materiais aeronáuticos foi observado que o ponto com módulo secante de 0.7E está próximo da tensão

de escoamento com offset igual a 0.2% . A tensão de referência é FRef = F0.7 . As equações relevantes

podem ser facilmente deduzidas em função dos parâmetros E, F0.7 e n:

1.13

Fig. 1-10 Idealização de Ramberg & Osgood

1

7.073

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

n

FEC (1.12)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−1

7.07.07.0 731

n

Ff

Ff

FEε

(1.13)

( )85.07.0ln717ln1

FFn += (1.14)

( )( ) 17.0731 −+

= nt FfnEE (1.15)

( )( ) 17.0731 −+

= ns FfEE (1.16)

Fig. 1-11 Parâmetro de Forma n como função de F0.7 / F0.85

F0.85

E

0.85E

F0.7

f

0.7E

ε

1.14

A Fig. 1-11 é uma representação gráfica da Eq. (1.14). As curvas da Eq. (1.13) para diversos

valores de n estão representadas na Fig. 1.12. Curvas dando a dependência destes parâmetros em

relação à temperatura para uma ampla gama de materiais podem ser encontradas na Ref. 1.2.

Tabulações destes parâmetros também são fornecidas nas Refs. 1.3 e 1.4.

Fig. 1-12 Curvas Adimensionalizadas de Ramberg-Osgood

REPRESENTAÇÃO DE HILL (REF. 1.5).

No método de Hill, os pontos nos quais as duas curvas devem coincidir são aqueles da tensões que

correspondem a offsets de 0.1% e 0.2%, respectivamente designados por F0.1 e F0.2, como mostrado na

Fig. 1.13. A tensão de referência é FRef = F0.2 . Em função dos parâmetros E, F0.2 e n’, as seguintes

equações podem ser deduzidas:

Fig. 1-13 Idealização de Hill

F0.1

F0.2

f

0.001 0.002 ε

1.15

'

2.0 002.0

n

FEC ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= (1.17)

'

2.0002.0

n

Ff

Ef

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=ε (1.18)

( )1.02.0log30103.0'

FFn = (1.19)

( )( ) 1'2.02.0'002.01 −+

= nt FfFEnEE (1.20)

( )( ) 1'2.02.0002.01 −+

= ns FfFEEE (1.21)

Os parâmetros F0.2 e n’ foram determinados em função da temperatura para diversos materiais

estruturais e são dados na Ref. 1.2.

EQUAÇÃO GENERALIZADA DE BARRETT E MICHAEL (REF. 1.6).

Enquanto Ramberg & Osgood e Hill definiram como tensão de referência a maior das tensões de

teste, respectivamente, F0.7 e F0.2 , Barrett e Michael preferiram definir a tensão de referência

independentemente das tensões de teste. Seja Fn a tensão para a qual a curva empírica [Eq. (1.9)]

fornece d f /d ε = Et = E / 2 . Da Eq. (1.10), tem-se:

( ) ( ) ( )1111 1 donde, , 1ou ,12

−−−−−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=m

nm

nm

n

EF

mC

EF

mCEF

mCEE

Substituindo na Eq. (1.11) e simplificando, tem-se:

m

nnn Ff

mFf

FE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1ε (1.22)

que pode também ser escrito na forma

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−111

m

nFf

mEfε (1.23)

A Eq. (1.22) está representada na Fig. 1-14 para diversos valores de m (veja Ref. 1.7).

1.16

Fig. 1-14 Curvas Adimensionalizadas de Barrett-Michael

O módulo tangente pode ser obtido da derivação e manipulação da Eq. (1.23):

1

11 −−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

m

nt F

fEE (1.24)

e pode ser também apresentado na forma adimensional

m

nnnnt Ff

Ff

Ff

FEEf

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= (1.25)

As Eqs. (1.24) e (1.25) estão representadas nas Figs. 1-15 e 1-16, respectivamente (veja Ref. 1.7).

O módulo secante também pode ser obtido diretamente da Eq. (1.23):

11

1−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

m

ns F

fm

EE (1.26)

Das Eqs. (1.24) e (1.25) pode ser derivada uma relação simples entre Es e Et:

111 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

ts EE

mEE

(1.27)

1.17

Fig. 1-16 Curvas Adimensionalizadas de Barrett-Michael – (f / Fn)(E / Et)

Fig. 1-15 Curvas Adimensionalizadas de Barrett-Michael – Et / E

1.18

O coeficiente de Poisson, cuja representação gráfica está mostrada na Fig. 1-17 (veja Ref. 1.7), pode ser

obtido substituindo a expressão de Es na Eq. (1.5):

11

1

1

1

−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= m

n

m

npe

Ff

m

Ff

mνν

ν (1.28)

Fig. 1-17 Curvas Adimensionalizadas de Barrett-Michael - ν

1.19

O valor de m, a característica do material, pode ser encontrado por procedimentos padrões de ajuste de

curvas (e.g., mínimos quadrados), se a curva tensão-deformação inteira é conhecida. Entretanto, como

já mencionado, m normalmente é determinado obrigando-se a curva analítica a passar por dois pontos

arbitrários da curva experimental (pontos de teste), pontos estes necessariamente definidos na região

plástica. Sejam (εA, fA) e (εB, fB) estes pontos. Substituindo os valores correspondentes a cada um destes

pontos na Eq. (1.23), dividindo as duas equações entre si e rearranjando os termos, obtém-se:

log

log

log

logp

p

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

A

B

A

B

A

B

AA

BB

ff

ff

EfEf

mεε

εε

(1.29)

onde εpB e εpA são as deformações plásticas permanentes correspondentes a fB e fA, respectivamente.

Conhecido o valor m da característica do material, a tensão de referência Fn é dada por:

1

1

p

11

p

−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

m

B

BB

m

A

AAn Em

ff

Emf

fFεε

(1.30)

Dois ábacos para a determinação, respectivamente, de m e Fn , pode ser encontrado na Ref. 1.7. Este

ábaco está reproduzido na Fig. 1-18 (note que na Ref. 1.7 os pontos B e A são designados,

respectivamente, pelos subscritos R e R’ e as deformações referidas são aquelas plásticas, e não totais).

Fig. 1-18 Ábacos para a determinação de m e Fn.

1.20

A precisão dos resultados obtidos das curvas generalizadas depende de quão próximas estiverem

as tensões de teste fA e fB das tensões para as quais se deseja os dados. Maior precisão é obtida

quando o valor da tensão para a qual se quer os dados está entre as duas. Isto pode ser observado

pelas simulações reportadas na Ref. 1.8, para um aço e uma liga de alumínio. Em cada simulação foram

escolhidos três conjuntos distintos de pontos de teste e as curvas resultantes são comparadas à curva

real do material num único gráfico, permitindo uma visualização da precisão.

A variação no módulo causa somente pequenas variações em Fn . Por exemplo, para m = 10 ,

variações de 20% no módulo produzem mudanças em Fn de menos de 2½ por cento.

1.6 EXEMPLOS

1. Deseja-se determinar a equação de uma Liga Clad de Alumínio cujos dados são fornecidos:

εpA = 0.001 m/m; fA = 356 MN/m2 ; εpB = 0.002 m/m; fB = 370 MN/m2; E = 68000 MN/m2; νe = 0.33

Os pontos de teste fornecidos são identificados como aqueles utilizados no método de Hill, de maneira que a Eq. (1.19) fornece

1897.17356370log

30103.0' ≈==n

A equação solicitada é fornecida pela Eq. (1.18), ou seja, 18

370002.0

68000⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

ffε

O problema pode também ser resolvido usando a formulação de Barrett-Michael:

039.1356370 ; 2

001.0002.0

p

p ====A

B

A

B

ff

εε

A linha reta entre os pontos 2 e 1.039, respectivamente, nas réguas da esquerda e da direita do primeiro ábaco da Fig. 1-18, intercepta a régua central em m = 18. Calculando, agora,

62.6370

68000 x 0020 x 18==

.f

Em

B

Bε

A reta entre os pontos 6.62 na régua esquerda e 18 na régua direita do segundo ábaco da Fig. 1-18 intercepta a régua central em Fn / fB = 0.895. Em conseqüência,

331370 x 895.0 ==nF MN/m2

e a equação procurada é dada pela Eq. (1.23):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

17

3311811

68000ffε

1.21

2. Pede-se qual o nível de tensão f correspondente a uma deformação total ε = 0.010 para o material do exemplo 1.

Dos resultados do exemplo 1, pode-se escrever:

0010.0370

002.068000

18

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

ff

Esta equação pode ser resolvida para f, entre outras, das seguintes formas: Programando-se numa calculadora (cuidado ... verifique os resultados); Traçando a curva ε vs f e identificando o ponto onde esta curva intercepta o valor ε = 0.010; Utilizando a Fig. 1.12 adequadamente; Por tentativa e erro, calculando a expressão para valores de f e ajustando para menos ou mais,

respectivamente, se o sinal do resultado for positivo ou negativo; Por um método iterativo de relaxação.

Seja f(x) = 0 uma equação qualquer. É sempre possível reescrever esta equação na forma x = g(x). Aliás, a função g(x) pode assumir várias formas alternativas. Por exemplo, no problema em questão, poder-se-ia escrever:

181

18

002.068000

010.0370ou

370002,0010.068000

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

f

fff

Multiplicando ambos os lados da equação x = g(x) por (1 – α), onde 0 < α < 1 é um parâmetro definido pelo usuário, e rearranjando os termos convenientemente, obtém-se a equação de iteração:

( ) ( ) ( ) ( ) )g(1 1 kkk xxx αα −+=+ , onde k representa o número da iteração.

Se α = 0, a convergência é rápida, mas a possibilidade de divergência no processo é alta. Por outro lado, se α é próximo de 1, a convergência poderá ser lenta lenta, mas o controle sobre a divergência é muito maior (em alguns casos já tive que usar α = 0.999 para obter convergência!) Usando g( f ) como a primeira das alternativas dispostas acima, utilizando α = 0.9 e especificando como ponto inicial f(0) = 370, obtém-se, após 4 iterações, f(4) = 386 (com 3 significativos corretos) O valor procurado é, então, f = 386 MN/m2 Resolvendo o problema usando, alternativamente, a metodologia de Barrat-Michael, tem-se

05.2331

68000 x 010.0 ==

nFEε

Para este valor e interpolando para m = 18, a Fig. 1-14 fornece f / Fn = 1.17. Portanto, f = 387MN/m2

3. Pede-se qual o nível de tensão f correspondente f / Et = 0.03 , para o material do exemplo 1.

A Eq. (1.20) pode ser escrita como

17

1'

2.02.0

37037068000 x 18 x 002.01

68000 x 03.0ou 03.0'002.01

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

−

ff

EF

fFEn

fEf

n

t

1.22

Esta equação poderia ser resolvida numa calculadora ou através do método de relaxação explicado no exemplo 2. Aqui, entretanto, o problema será resolvido fazendo uso das curvas generalizadas. Usando os valores calculados no exemplo 1., calcula-se:

16.6331

68000 x 03.0==

nt FE

Ef

Usando este valor e interpolando para m = 18 na Fig. 1-16, obtém-se, f / Fn = 1.09. Portanto,

f = 1.09 x 331 = 361 MN/m2

4. Pede-se Et e ν correspondentes à tensão f = 320 MN/m2 , para o material do exemplo 1.

As Eqs. (1.20), (1.21) e (1.5) (com νp = 0.5 – suposto processo iso-volumétrico) fornecem

217 MN/m 43570

370320

37068000 18 x 002.01

68000=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=tE

217 MN/m 65946

370320

37068000 002.01

68000=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=sE

( ) 335.033.05.068000659465.0 =−−=ν

Utilizando as curvas generalizadas, a solução seria:

967.0331320

==nFf

Usando este valor e interpolando para m = 18 na Fig. 1-16 fornece 51.1=nt F

EEf

, de modo que

2MN/m 43500 331 x 1.51

68000 x 320==tE

Para f / Fn = 0.967 e νe = 0.33, interpolando para m = 18 na Fig 1-17, obtém-se ν = 0.335

1.7 EXERCÍCIOS

1.1 Derive as equações relevantes do método de Ramberg-Osgood

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−1

7.07.07.0 731

n

Ff

Ff

FEε

( )85.07.0ln717ln1

FFn +=

( )( ) 17.0731 −+

= nt FfnEE

1.2 Derive as equações relevantes do método de Hill '

2.0

002.0n

Ff

Ef

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=ε ( )1.02.0log

30103.0'FF

n = ( )( ) 1'

2.02.0'002.01 −+= nt FfFEn

EE

1.23

1.3 Ache as equações que relacionam a tensão de referência de Barrett-Michael, Fn, com os parâmetros de Ramberg-Osgood e Hill, ou seja, ache

a) ( )nEFFn ,,função 7.0=

b) ( )',,função 2.0 nEFFn =

1.4

A figura mostra as curvas tensão-deformação

em compressão de uma placa de aço inox 17-7

PH.

a) Determine os parâmetros de Ramberg-

Osgood deste material a uma temperatura de

800oF.

b) Utilizando a representação de Ramberg-

Osgood, determine o módulo tangente deste

material a uma temperatura de 800oF e tensão

de 130ksi.

c) Compare o resultado do item b) com o

módulo tangente real do material na mesma

temperatura e tensão (construção gráfica).

1.5 A tensão crítica de placas é dada por ( )2

2112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

=2

btEkF

ecr ν

πη , onde

(elástico) cr

cr

FF

=η é um fator de

correção de plasticidade, ( )2

2(elástico) 112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

=2

btEkF

ecr ν

πé a tensão crítica elástica, k é o coeficiente de

flambagem que depende do carregamento, condições de apoio e alongamento da placa (comprimento/largura), t e b, respectivamente a espessura e largura da placa e νe, o coeficiente de Poisson no regime elástico. A expressão para a tensão crítica é aplicável para todos os níveis de tensão uma vez que η = 1 na região linearmente elástica.

A expressão da carga crítica pode ser escrita na forma EF crcr εη = , com ( )2

2112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

=2

btk

ecr ν

πε , e

para materiais representados pelo modelo de Ramberg-Osgood, como 7.07.0 FE

FF crcr εη

= .

Para placas longas, simplesmente apoiadas nos quatro bordos, a expressão para η é dada por:

( )es

s

tse

EE

EE

EE

νννν

η −−=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−

−= 5.05.0 onde ,

43

41

21

21

11 2

1

2

2

.

Nestas condições, ache a tensão crítica de uma placa manufaturada de liga Clad Al 2024-T81 e carregada num ambiente de 300oF tal que εcrE / F0.7 = 1. Dados para chapa Clad Al 2024-T81 a 300oF: E = 10300 ksi, n = 10, F0.7 = 51.2 ksi

1.24

1.8 REFERÊNCIAS

1.1 Ramberg, W. and Osgood, W. R.: Description of Stress-Strain Curves by Three Parameters, NACA Tech. Note 902, July, 1943.

1.2 Rivello, R. M.: Ramberg-Osgood and Hill Parameters of Aircraft Structural Materials at Elevated Temperatures, Univ. Maryland Dept. Aeron. Rept. 60-1, March, 1960.

1.3 Cozzone, F. P. and Melcon, M. A.: Nondimensional Buckling Curves: Their Development and Application, J. Aeron. Sci., 13(10): 511-517, October, 1946.

1.4 Bruhn, E. F.: Analysis and Design of Flight Vehicle Structures, Tri-state Offset Co., Cincinnati, Ohio, 1965.

1.5 Hill, H. W.: Determination of Stress-Strain Relations from Offset Yield Stregth Values, Naca Tech. Note 927, 1944.

1.6 Barrett, A. J. and Michael, M. E.: Generalised Stress-Strain Data for Aluminium Alloys and Certain other Materials, J. Royal Aeronaut. Soc., 59(539): 152-158, February, 1955.

1.7 ESDU, Generalisation of Smooth Continuous Stress-Strain Curves for Metallic Materials, ESDU Data Item no. 76016, August, 1976.

1.8 ESDU, Construction of Inelastic Stress-Strain Curves from Minimal Materials Data, ESDU Data Item no. 89052, December, 1989.

CAPÍTULO 2

FLAMBAGEM DE COLUNAS

2.2

ÍNDICE DE SEÇÕES 2.1 INTRODUÇÃO 2.4 2.2 ALGUMAS EQUAÇÕES BÁSICAS 2.4 2.3 O MÉTODO DO EQUILÍBRIO NEUTRO 2.5 2.4 A CARGA CRÍTICA DA COLUNA SIMPLESMENTE APOIADA 2.6 2.5 CONDIÇÕES DE CONTORNO 2.9 A) AMBAS AS EXTREMIDADES ENGASTADAS 2.9 B) UMA EXTREMIDADE ENGASTADA, OUTRA LIVRE 2.11 C) UMA EXTREMIDADE SIMPLESMENTE APOIADA, OUTRA RESTRINGIDA ELASTICAMENTE 2.12 2.6 COMPRIMENTO EFETIVO E COEFICIENTE DE FIXAÇÃO 2.15 2.7 MÉTODOS DE ENERGIA 2.22 2.8 O MÉTODO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 2.22 A) TRABALHO DAS FORÇAS EXTERNAS 2.22 B) ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 2.23 C) O MÉTODO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA 2.25 EXEMPLO 2.25 2.9 O PRINCÍPIO DO VALOR ESTACIONÁRIO DA ENERGIA POTENCIAL TOTAL 2.26 A) TRABALHO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 2.27 B) O PRINCÍPIO DO VALOR ESTACIONÁRIO DO POTENCIAL TOTAL 2.29 RESUMO – EXEMPLO 2.30 2.10 CÁLCULO DE VARIAÇÕES 2.30 EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2.32 2.11 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE 4A ORDEM 2.33 2.12 POTENCIAL DE CARGAS AXIAIS CONCENTRADAS E DISTRIBUÍDAS 2.35 2.13 O MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ 2.36 EXEMPLO 1 2.38 EXEMPLO 2 2.39 EXEMPLO 3 2.41 2.14 O MÉTODO DE GALERKIN 2.43 2.15 GRANDES DEFLEXÕES EM COLUNAS 2.45 2.16 COLUNAS CARREGADAS EXCENTRICAMENTE 2.48 2.17 COLUNAS COM FORMAS IMPERFEITAS 2.50 2.18 FLAMBAGEM PLÁSTICA DE COLUNAS 2.55 2.19 FÓRMULAS EMPÍRICAS PARA FLAMBAGEM DE COLUNAS 2.64 2.20 EXEMPLOS DE ANÁLISE EM FLAMBAGEM DE COLUNAS 2.65 2.21 EXERCÍCIOS 2.70 2.22 REFERÊNCIAS 2.79

2.3

ÍNDICE DE FIGURAS 2-1 ESTABILIDADE DO EQUILÍBRIO E SUPERFÍCIE DE ESTABILIDADE 2.5 2-2 COLUNA SIMPLESMENTE APOIADA 2.6 2-3 O COMPORTAMENTO DA COLUNA DE EULER 2.8 2-4 COLUNA COM EXTREMIDADES ENGASTADAS 2.9 2-5 COLUNA EQUIVALENTE DE EULER – EXTREMIDADES ENGASTADAS 2.10 2-6 COLUNA EM BALANÇO 2.11 2-7 COLUNA RESTRINGIDA ELASTICAMENTE 2.12 2-8 COLUNA RESTRINGIDA ELASTICAMENTE - PÓRTICO 2.14 2-9 COMPRIMENTO EFETIVO DE COLUNA SUBMETIDA À CARGA NA EXTREMIDADE E CARGA

DISTRIBUÍDA AO LONGO DO COMPRIMENTO 2.18 2-10 COEFIECIENTE DE FIXAÇÃO DE COLUNA COM APOIO ELÁSTICO 2.19 2-11 COEFICIENTE DE FIXAÇÃO EFETIVO PARA COLUNA COM APOIOS ELÁSTICOS DISTINTOS

EM AMBAS AS EXTREMIDADES 2.20 2-12 CARGA CRÍTICA DE COLUNAS DE SEÇÃO VARIÁVEL 2.21 2-13 TRABALHO DA CARGA AXIAL – DEFORMAÇÕES EM FLEXÃO 2.22 2-14 TRABALHO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 2.27 2-15 COLUNA COM SUPORTES ELÁSTICOS 2.32 2-16 SISTEMA DE COORDENADAS PARA COLUNA EM BALANÇO 2.35 2-17 COLUNA COM FORÇAS CONCENTRADAS E DISTRIBUÍDAS 2.35 2-18 COLUNA DE SEÇÃO VARIÁVEL 2.38 2-19 GRANDES DEFLEXÕES EM UMA COLUNA 2.45 2-20 CURVA CARGA-DEFLEXÃO PARA GRANDES DEFLEXÕES 2.48 2-21 COLUNA CARREGADA EXCENTRICAMENTE 2-49 2-22 CURVA CARGA-DEFLEXÃO PARA COLUNA CARREGADA EXCENTRICAMENTE 2-49 2-23 COLUNA COM DEFLEXÃO INICIAL 2-50 2-24 COLUNA COM IMPERFEIÇÕES – RESULTADOS DA TEORIA LINEAR 2-52 2-25 COLUNA COM IMPERFEIÇÕES – RESULTADOS DA TEORIA NÃO-LINEAR 2.54 2-26 COLUNA DE SHANLEY – CURVA CARGA-DEFLEXÃO 2.57 2-27 CURVA DE COLUNA – AÇO FTU = 90 KSI 2.59 2-28 CURVA DE COLUNA – AÇO FTU = 125 KSI 2.59 2-29 CURVA DE COLUNA – AÇO FTU = 150 KSI 2.59 2-30 CURVA DE COLUNA – AÇO FTU = 180 KSI 2.59 2-31 CURVA DE COLUNA – AÇO INOX 17-7 PH (FOLHAS, TIRAS E PLACAS) 2.60 2-32 CURVA DE COLUNA - AÇO INOX 17-7 PH (BARRAS E FORJADOS) 2.60 2-33 CURVA DE COLUNA – ICONEL X 2.60 2-34 CURVA DE COLUNA – LIGA AL 7075-T6 (FOLHAS E PLACAS) 2.60 2-35 CURVA DE COLUNA – LIGA AL 7075-T6 (EXTRUSÕES) 2.61 2-36 CURVA DE COLUNA – LIGA AL 7075-T6 (FOLHA CLAD) 2.61 2-37 CURVA DE COLUNA – LIGA AL 7075-T6 (FORJADOS) 2.61 2-38 CURVA DE COLUNA – LIGA AL 7079-T6 (FORJADOS) 2.62 2-39 CURVA DE COLUNA – LIGA TITÂNIO TI-6AI-AV (BARRAS E PLACAS) 2.62 2-40 MÓDULO TANGENTE ADIMENSIONALIZADO 2.62 2-41 CURVAS DE COLUNA ADIMENSIONAIS – PARÂMETROS DE RAMBERG-OSGOOD 2.63

2.4

2 FLAMBAGEM DE COLUNAS 2.1 INTRODUÇÃO

As almas finas e os elementos longitudinais esbeltos de aeronaves estão sujeitos à falha por

flambagem em níveis de tensões relativamente baixos, freqüentemente abaixo do limite de

proporcionalidade e raramente muito acima da tensão de escoamento. Em conseqüência, o modo crítico

de falha para a maior parte da estrutura é por flambagem, em vez de ruptura por tração, e a predição das

cargas de flambagem para colunas, placas e cascas é assunto de vital preocupação para o engenheiro

aeronáutico. Neste capítulo consideraremos o mais simples destes elementos, a coluna.

Uma coluna pode flambar por instabilidade primária ou secundária. Na instabilidade primária não há

distorção da seção transversal, e o comprimento de onda da “flamba” é da ordem do comprimento da

coluna. Ela pode ocorrer por flexão lateral ou, se a seção é flexível em torção, por uma combinação de

flexão e torção. Na instabilidade secundária, ou local, há mudanças na forma da seção transversal e o

comprimento de onda da flamba é da ordem das dimensões da seção transversal. Neste capítulo será

considerada somente a instabilidade primária por flexão.

Membros submetidos à tração, bem como colunas curtas e troncudas, falham quando a tensão

atuante atinge certo limite de resistência do material. Uma vez conhecido este limite do material, é

relativamente simples determinar a capacidade de absorção de carga do membro. A flambagem,

entretanto, não ocorre quando a tensão no membro atinge uma certa resistência conhecida do material.

A tensão na qual ocorre a flambagem depende de uma série de fatores, incluindo as dimensões do

membro, a forma como este é suportado, e as propriedades do material do qual é manufaturado. A

determinação da tensão de flambagem é portanto um problema relativamente complexo.

2.2 ALGUMAS EQUAÇÕES BÁSICAS

Nesta seção serão fornecidas algumas relações básicas necessárias para o desenvolvimento da

teoria e supostas conhecidas pelo leitor.

A Teoria da Elasticidade fornece as seguintes relações não-lineares entre deformações e

deslocamentos:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=222

21

xw

xv

xu

xu

xxε (2.1)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

=yw

xw

yv

xv

yu

xu

yu

xv

xyε (2.2)

2.5

As expressões para , z, , e zxyyzzyy εεεε seguem por inspeção. Nestas expressões, os termos não-

lineares estão entre colchetes e um ou mais destes termos são considerados nulos dependendo das

hipóteses consideradas na análise.

A Teoria de Vigas fornece as relações não-lineares entre o raio de curvatura e os deslocamentos

212

2

2

1

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

∂∂

=

xwxw

Rz

, 212

2

2

1

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

∂∂

=

xv

xv

Ry

(2.3)

e a relação entre a curvatura e os momentos atuantes na seção

2212

2

2

1

1yzzzyy

yzyyyz

IIIIMIM

E

xv

xv

−

−±=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

∂∂

, 2212

2

2

1

1yzzzyy

yzzzzy

IIIIMIM

E

xw

xw

−

−±=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

∂∂

(2.4)

onde o sinal depende da convenção adotada.

Mais uma vez, as relações acima podem ser simplificadas quando os termos entre parênteses são

pequenos em relação à unidade e se é adotado um sistema de eixos principais.

2.3 O MÉTODO DO EQUILÍBRIO NEUTRO

O Conceito de estabilidade é freqüentemente explicado considerando o equilíbrio de uma bola rígida

em várias posições, como mostrado na Fig. 2-1.

Embora a bolas esteja em equilíbrio nas três posições mostradas, um exame mais cuidadoso revela

a existência de importantes diferenças entre as três posições. Se a bola na parte (a) for deslocada

ligeiramente de sua posição original de equilíbrio, ela retornará àquela posição após a retirada da força

perturbadora. Um corpo que se comporta desta maneira é dito estar num estado de equilíbrio estável. Já

a bola em (b), ao ser deslocada ligeiramente de sua posição de repouso não retornará, mas continuará a

se mover para mais longe da posição original. O equilíbrio da bola em (b) é portanto muito precário. É

Fig. 2-1 Estabilidade do Equilíbrio e Superfície de Estabilidade

2.6

chamado de equilíbrio instável. A bola em (c), ao ser deslocada de sua posição de repouso não retorna à

posição original mas também não se move para mais longe. Este comportamento é referido como

equilíbrio neutro, ou indiferente.

A bola deslizando sobre a superfície da Fig. 2-1 está em equilíbrio em qualquer ponto ao longo da

linha ABC. No trecho entre A e B o equilíbrio é estável e no trecho entre B e C, instável. No ponto B,

transição entre os dois trechos, a bola está em estado de equilíbrio neutro.

O comportamento de uma coluna reta sujeita a uma carga central é bastante similar ao da bola. A

configuração reta da coluna é estável para cargas pequenas e instável para cargas grandes. Se for

assumido que um estado de equilíbrio neutro na coluna existe numa transição entre os estados estável e

instável, então a carga sob a qual a configuração reta da coluna passa a ser instável é a carga sob a

qual o equilíbrio neutro é possível. Esta carga é referida normalmente como a carga crítica.

Para determinar a carga crítica de uma coluna é necessário encontrar a carga sob a qual a coluna

pode estar em equilíbrio tanto reta quanto levemente fletida. A técnica que usa este critério para a

determinação de cargas críticas (há outras) é denominada de método do equilíbrio neutro.

2.4 A CARGA CRÍTICA DA COLUNA SIMPLESMENTE APOIADA

A coluna mostrada na Fig. 2-2 tem seção transversal constante e é manufaturada de material

homogêneo. Considere válidas as seguintes hipóteses:

Fig. 2-2 Coluna Simplesmente Apoiada

1. As extremidades da coluna são simplesmente apoiadas. A extremidade inferior está ligada a

uma articulação imóvel e a extremidade superior a uma articulação tal que possa girar e mover

na vertical livremente, mas não horizontalmente.

P

P

L

z, w

x

P

P

P

w

My

x

P

2.7

2. A coluna é perfeitamente reta e a carga é aplicada ao longo do eixo que passa pelos centróides

das seções transversais. z é eixo principal.

3. O material obedece a lei de Hooke (elástico linear)

4. As deformações na coluna são pequenas o suficiente para que o termo ( )2'w é desprezível

quando comparado à unidade na expressão (2.3) para a curvatura ( )[ ] 212'1" ww + , de maneira

que a curvatura possa ser aproximada por "w .

De acordo com o critério do equilíbrio neutro, a carga crítica é aquela para a qual a posição de

equilíbrio na configuração levemente fletida da Fig. 2-2 é possível. Para o sistema de eixos adotado na

Fig. 2-2 e levando em conta a hipótese 4 acima, a Eq. (2.4), fornece

"wEIM yyy −=

Denominando o momento de inércia da seção em torno do eixo y simplesmente por I, doravante, e

fazendo o equilíbrio do corpo livre da Fig 2-2, obtém-se:

( ) 0"" 0 =+=−−=−⇒=∑ PwEIwEIwPwMPwM y (2.5)

Se não houvessem sido feitas as hipóteses de comportamento elástico linear e pequenas deflexões,

o módulo de elasticidade E na Eq. (2.5) tornar-se-ia variável, e a curvatura "w seria substituída por

( )[ ] 212'1" ww + . A equação resultante não teria coeficientes constantes e seria não linear. A sua

solução, portanto, seria difícil de obter. Por outro lado, se não houvessem sido feitas as hipóteses de

apoio simples em ambas as extremidades e cargas centrais, apareceriam termos adicionais na mão

direita da Eq. (2.5). Isto tornaria a equação não-homogênea, mas sua solução não seria difícil de ser

obtida.

Dividindo a Eq. (2.5) por EI, obtém-se

EIPkwkw ==+ 22 com , 0" (2.6)

cuja solução geral é dada por

kxBkxAxw cos sen )( += (2.7)

Para determinar as constantes arbitrárias A e B, deve-se fazer uso das condições de contorno aplicáveis

no problema:

Lxxw === e 0 em 0 (2.8)

0 00cos 0)0( =⇒=⇒= BBw

de modo que

kxAxw sen)( = (2.9)

2.8

A aplicação da segunda condição de contorno fornece

0senou 0ou 0sen 0)( ==⇒=⇒= kLAkLALw

Se A = 0, k e consequentemente P podem assumir qualquer valor. Este resultado é conhecido

como a solução trivial, porque confirma o que já é conhecido, que a coluna está em equilíbrio sob

qualquer carga axial desde que permaneça perfeitamente reta. Por outro lado,

......3 ,2 ,1 onde , 0sen ==⇒= nnkLkL π (2.10)

A solução então pode ser escrita

LxnAxw πsen)( = (2.11)

2

22

LEInP π

= (2.12)

Quando submetida às cargas dadas pela Eq. (2.12), a coluna pode estar em equilíbrio numa

posição levemente fletida. A forma da deflexão é dada pela Eq. (2.11). A amplitude da deflexão é

entretanto indeterminada uma vez que a constante A pode assumir qualquer valor quando sen kL = 0.

O menor valor da carga que satisfaz a Eq. (2.12) é a carga de Euler, de modo que é a menor carga sob a

qual a coluna deixa de estar em equilíbrio estável.

2

2

LEIPE

π= (2.13)

A deflexão máxima da coluna é dada para x = L / 2 e é numericamente igual a A. A Fig. 2-3 mostra

o comportamento da coluna de Euler graficamente. Até a carga de Euler, a coluna tem de permanecer

P

2

2

LEIP π

=

δmax

Equilíbrio Estável

Equilíbrio Instável

Equilíbrio Neutro

2

24L

EIP π=

Fig. 2-3 O Comportamento da Coluna de Euler

2.9

reta. Se a coluna é deslocada de sua posição de equilíbrio, retorna à posição original cessada a

perturbação. Na carga de Euler há uma bifurcação do equilíbrio, isto é, a coluna tanto pode permanecer

reta como assumir uma forma fletida de amplitude indeterminada. O estado de equilíbrio é neutro. Uma

coluna submetida a uma carga entre PE e 4 PE também pode assumir somente a posição reta. O

equilíbrio, entretanto, é instável. As se deslocar a coluna de sua posição reta as deflexão crescerão sem

limite. A carga P = 4 PE, mais uma vez é uma bifurcação do equilíbrio, no qual é possível o equilíbrio

neutro. No que concerne a estabilidade de colunas, entretanto, esta carga não tem maior significado,

pois não é possível atingi-la na prática sem recorrer a artifícios experimentais (e.g., colocar um apoio

temporário tipo rótula em x = L /2 ; carregar até atingir a carga P = 4 PE; deformar a coluna de modo a

que apresente duas semi-ondas de amplitude sensível; retirar os apoios temporários).

Para todos os efeitos práticos, uma coluna não resiste cargas superiores à carga de Euler. Se

fossem admitidas grandes deflexões, mas ainda mantendo o material elástico linear, a solução teria a

forma da linha pontilhada na Fig. 2-3, ou seja, submetida a uma carga maior do que a de Euler, a coluna

encontraria uma posição fletida estável. As deflexões, entretanto, cresceriam violentamente com o

aumento gradual da carga, resultando em tensões de flexão que logo superariam a tensão última da

maioria dos materiais.

2.5 CONDIÇÕES DE CONTORNO

O primeiro passo a ser seguido para generalizar os resultados obtidos na seção anterior é

considerar outras condições de contorno.

a) AMBAS AS EXTREMIDADES ENGASTADAS

Se uma coluna está engastada em ambas as extremidades, não pode se deslocar lateralmente nem

girar nestes pontos. Em conseqüência, quando a coluna é fletida levemente, são induzidos momentos

fletores M0 em ambas as extremidades, como mostrado na Fig. 2-4. Fazendo o equilíbrio de momentos

numa seção a uma distância x da orígem, obtém-se

P

P

P PM0 M0

M0 w

x

L

z , w

x

-EIw”

Fig. 2-4 Coluna com Extremidades Engastadas

2.10

EIPk

EIM

wkwMPwEIw ==+=+ 2020 com , "ou " (2.14)

A solução geral da equação homogênea é dada na Eq. (2.7). Uma solução particular que pode ser

obtida por inspeção é ( ) PMEIkMxw 02

0)( == , de maneira que, a solução completa é

PM

kxBkxAw 0cossen ++= (2.15)

onde A e B são determinados das condições de contorno do problema:

( ) ( ) ( ) 0 e 00' , 00 === Lwww .

As primeiras duas condições são satisfeitas se P

M- e 0 0== BA , de modo que

( )kxP

Mw cos10 −=

A última condição de contorno conduz à equação transcendental

1cos =kL cuja menor raiz não nula é π2=kL . A solução pode então ser escrita na forma

2

2

cr4

LEIP π

= (2.16)

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Lx

PM

xw π2cos10 (2.17)

Como pode ser notado, a carga crítica da coluna com ambas as extremidades engastadas é quatro

vezes a carga de Euler (coluna simplesmente apoiada).

Usando a Eq. (2.17), pode-se mostrar que os pontos de inflexão, i.e., os pontos de momento interno

nulo, se encontram em x = L / 4 e x = 3 L / 4. A porção central da coluna, entre estes pontos, é portanto

equivalente a uma coluna simplesmente apoiada de comprimento L / 2, como mostrado na Fig. 2-5, cuja

carga crítica é

Fig. 2-5 Coluna Equivalente de Euler – Extremidades Engastadas

2.11

( )2

2

cr 2LEIP π

= (2.18)

A carga crítica da pseudo-coluna simplesmente apoiada que existe entre os pontos de inflexão da

coluna bi-engastada é portanto igual à carga crítica da coluna bi-engastada. A carga crítica de qualquer coluna pode ser obtida de uma coluna de Euler equivalente. O comprimento desta coluna

equivalente de Euler é denominado de comprimento efetivo do membro.

b) UMA EXTREMIDADE ENGASTADA, OUTRA LIVRE

A coluna mostrada na Fig. 2-6 está engastada na base e livre na outra extremidade. Uma deflexão

lateral ocasionará um deslocamento δ na extremidade superior e um momento Pδ na base. Impondo o

equilíbrio de momentos (Fig. 2-6 b) resulta em

δδ 22"ou " kwkwPPwEIw =+=+ (2.19)

cuja solução geral é dada por

δ++= kxBkxAw cossen (2.20)

Aplicando as condições de contorno na base, tem-se

)cos1()( que modo de ; 0)0( ; 0 0)0(' kxxwBwAw −=−=⇒==⇒= δδ

A condição de contorno na extremidade superior, δ=)(Lw é satisfeita se 0cos =kL . A menor raiz

não-trivial desta equação é 2π=kL , que leva a

2

2

cr 4LEIP π

= (2.21)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Lxxw

2cos1)( πδ (2.22)

z, w

w

Fig. 2-6 Coluna em Balanço

–EIw”

2.12

A Eq. (2.21) indica que a carga crítica de uma viga em balanço é um quarto da carga de Euler. Pode

ser mostrado a partir da Eq. (2.22) que a deflexão de uma viga em balanço consiste de um quarto de

onda de senóide, ou seja, a metade da curva de deflexão da coluna simplesmente apoiada (Fig. 2-6c). O

comprimento efetivo da coluna equivalente de Euler é igual a 2L , e a carga crítica para a coluna em

balanço pode ser expressa na forma

( )2

2

cr 2LEIP π

= (2.23)

c) UMA EXTREMIDADE SIMPLESMENTE APOIADA, OUTRA RESTRINGIDA ELASTICAMENTE

Na maior parte das estruturas reais, as extremidades das colunas nem são simplesmente apoiadas,

nem engastadas. Normalmente as colunas estão rigidamente conectadas a outros membros, que

permitem a ocorrência de rotações limitadas nas extremidades. Suportes deste tipo são referidas como

restrições elásticas. A restrição depende das propriedades elásticas dos membros aos quais a

extremidade da coluna está conectada.

Considere uma coluna simplesmente apoiada na base e restringida elasticamente por uma mola na

outra, como mostrado na Fig. 2-7. A mola torsional é suposta linearmente elástica em rotação (momento

proporcional ao ângulo de rotação) e rígida nas direções horizontal e vertical, estando conectada a um

dispositivo que permite o livre movimento vertical.

Fazendo o equilíbrio de momentos no corpo livre, obtém-se

( )EILMxwkw

LMxPwEIw =+=−+−− 2 "ou 0" (2.24)

cuja solução geral é

M = kθθ

θ

M

θ

P

P M / L

M / L

Fig. 2-7 Coluna Restringida Elasticamente

kθ

P

P

L x

z, w P M / L

P

M / L

w

x -EIw”

kθ

P

P

L x

z, w

2.13

PLMxkxBkxAw ++= cossen (2.25)

Aplicando as condições de contorno na extremidade inferior, 0 0)0( =⇒= Bw , e na

extremidade superior, ( )kLPMALw sen 0)( −=⇒= . Portanto,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

kLkx

Lx

PMw

sensen

(2.26)

Como a coluna está rigidamente conectada à mola, a rotação da extremidade superior da coluna

tem de ser igual à rotação da mola. Para a coluna, a inclinação da deflexão em x = L é

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−=

kLkLkEIM

kLkLk

LPM

dxdw

tan11

sencos1θ (2.27)

onde o sinal menos foi utilizado porque dw/dx e θ têm sinais contrários. Por outro lado, na mola

θ

θkM

= (2.28)

Equacionando-se as expressões em (2.27) e (2.28), obtém-se

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

kLkLkkEI

kLkLkEIM

kM

tan11ou

tan11

θθ

(2.29)

Seja β uma medida adimensional da constante de mola, definida como

EILkθβ = (2.30)

A Eq. (2.29) pode então, após manipulação algébrica conveniente, ser rescrita como

( ) ββ

+= 2

tankL

kLkL (2.31)

Dado β, a equação transcendental (2.31) pode ser resolvida para kL , entre outras:

1. Por uma calculadora;

2. Por tentativa e erro;

3. Traçando-se as curvas correspondentes às mãos esquerda e direita e verificando o ponto

comum correspondente ao valor mais baixo de kL ;

4. Por um processo iterativo de relaxação.

Quando a rigidez da mola é nula ( )0=β , reproduz-se a condição de apoio simples. Neste caso, a

Eq. (2.31) fornece 0tan =kL , cuja menor raiz é π=kL , de modo que a carga crítica é a de Euler,

como não poderia deixar de ser.

2.14

Se a rigidez da mola for infinita tem-se o caso da coluna com uma extremidade simplesmente

apoiada e a outra engastada. Neste caso, ∞→β , e a Eq. (2.31) fornece

( ) ( )kL

kLkL

kLkLkL =

+=

+=

∞→∞→

1lim limtan 22

ββ

βββ

(2.32)

A menor raiz desta equação transcendental é 49,4≅kL , que leva, respectivamente, à carga crítica

e modo crítico (equação da deflexão) dado pela Eq. (2.26)

( )2

2

2cr 7,02,20

LEI

LEIP π

≅≅ (2.33)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+≅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−≅Lx

Lx

PML

x

Lx

PMxw 49,4sen02,1

49,4sen

49,4sen)(

(2.34)

O comprimento efetivo da coluna equivalente de Euler é 0,7L , como mostrado em (2.33).

Considere, agora, um pórtico como mostrado na Fig. 2-8, onde a viga é engastada na extremidade

da direita. Por simplicidade, o comprimento L e a rigidez em flexão EI da viga são tomados iguais aos da

coluna. Sob a ação da carga P, com P < Pcr, a coluna comprimirá e o ponto de aplicação da carga

sofrerá um pequeno deslocamento vertical. A viga sofrerá uma pequena flexão, pois a sua extremidade

esquerda terá que acompanhar o ponto de aplicação da carga. Enquanto a coluna estiver reta,

entretanto, estes deslocamentos são muito pequenos e para linearizar o problema, serão desprezados.

P

P

L x

z, w

L

EI

EI

Fig. 2-8 Coluna Restringida Elasticamente - Pórtico

2.15

Quando a carga crítica é atingida, entretanto, a deformação de flexão na coluna induzirá flexão na

viga. Devido à sua rigidez, a viga resistirá à flexão pela ação da coluna e exercerá um momento na

mesma. As forças de cisalhamento na viga dependem da magnitude da forma fletida. Como esta pode

ser feita tão pequena quanto se queira (no cálculo da carga crítica as forças produzidas pelas

deformações de flexão e as próprias deformações são consideradas infinitesimais), é razoável admitir-se

que a carga axial na coluna permaneça constante e igual a P durante a flambagem. Para a solução do

problema, portanto, basta avaliar β.

Da teoria de vigas vem que o momento necessário para girar a extremidade de uma viga bi-

engastada de um ângulo θ é M = 4 (EI / L) θ. Portanto, a constante de mola é kθ = 4 EI / L , e β = 4. A

Eq. (2.31), então, fornece:

( ) 4 4tan 2 +

=kL

kLkL (2.35)

cuja menor raiz é, aproximadamente, kL = 3,829 , de modo que

( )2

2

2cr 82,066,14

LEI

LEIP π

≅≅ (2.36)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+≅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−≅Lx

Lx

PML

x

Lx

PMxw 829,3sen635,0

829,3sen

829,3sen)( (2.37)

2.6 COMPRIMENTO EFETIVO E COEFICIENTE DE FIXAÇÃO

Como observamos na seção 2.5, qualquer problema de estabilidade elástica primária em flexão de

uma coluna pode ser colocada de uma coluna de Euler com comprimento equivalente, ou seja,

( )2ref

2

cr 'LEI

Pπ

= (2.38)

onde L’ é o comprimento equivalente da coluna de Euler e Iref o momento de inércia de uma seção de

referência na coluna (necessário quando o momento de inércia da seção não é constante).

Uma outra forma de representar a carga crítica é através do coeficiente de fixação da coluna c. que

para uma coluna de seção constante, varia entre o limites 1 e 4, respectivamente, para a apoio simples e

engaste perfeito em ambas as extremidades:

2ref

2

cr LEIcP π

= (2.39)

A relação entre o comprimento efetivo e o coeficiente de fixação é evidente: 2

' e ' ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

LLc

cLL (2.40)

2.16

Valores de L’ para as condições de contorno mais usuais são dados na Tab. 2-1. Além do caso de

colunas submetidas a cargas centrais nas extremidades, está também contemplado o caso de colunas

submetidas a cargas uniformemente distribuídas ao longo do comprimento.

Os comprimentos efetivos de colunas submetidas a uma carga de compressão numa das

extremidades e uma carga uniformemente distribuída ao longo do comprimento, para as condições de

contorno em balanço, simplesmente apoiada, engastada - simplesmente apoiada e duplamente

engastada, estão representados graficamente na Fig. 2-9.

Os coeficientes de fixação de colunas submetidas a alguns casos de apoios elásticos estão

representados graficamente na Fig. 2-10. A Fig. 2-10a contempla o caso de colunas simplesmente

apoiadas com um suporte elástico, restringindo o deslocamento lateral de um ponto ao longo do

comprimento e a Fig. 2-10b trata do caso de dois apoios elásticos idênticos (mesma rigidez e simétricos

em relação ao centro da coluna). O coeficiente de fixação é fornecido em função da localização dos

apoios e rigidez da mola. A Fig. 2-10c fornece os coeficientes de fixação para colunas com restrições

elásticas em rotação. São contemplados os casos de restrição em uma e em ambas as extremidades,

sendo que neste último caso as restrições são supostas de mesma rigidez.

Uma coluna cujas restrições elásticas nas extremidades são distintas, pode ser analisada em duas

etapas. Inicialmente determinam-se os valores dos coeficientes de fixação para o caso de suportes

elásticos iguais: a) com a rigidez do suporte superior e, b) do suporte inferior.. O coeficiente de fixação

para a coluna sendo analisada evidentemente deve estar entre estes dois valores e pode ser obtida

diretamente da Fig. 2-11.

Alguns casos de colunas de seção variável são considerados na Fig. 2-12. Estão representados os

valores de B = π2c para colunas simplesmente apoiadas com: (a) duas partes de seção constante, mas

de rigidez EI distintas; (b) simétricas, com as extremidades de rigidez constante e menor do que a

rigidez constante da parte central; (c) simétricas, com a parte central de rigidez constante e as

extremidades afiladas em planta e; (d) simétricas, com a parte central de rigidez constante e as

extremidades afiladas na largura e espessura.

Uma série de outros casos é tratado na literatura. Por exemplo, no Manual da Boeing (Ref. 2.1)

podem ser encontrados os coeficientes de fixação para colunas submetidas a cargas axiais

concentradas e cargas distribuídas ao longo do comprimento. A diferença em relação aos casos

considerados na Tab. 2-1 é que aqui a razão entre a carga total distribuída e a carga concentrada pode

variar entre 0 e 1. A Ref. 2.1 também considera o caso de colunas com seções não uniformes. Além dos

casos considerados aqui, considera também colunas simétricas em relação ao centro, mas com a rigidez

constante da parte das extremidades maior do que a rigidez constante da parte central. No que tange

colunas afiladas, são tratados os casos de colunas sólidas de largura constante e extremidades afilando

na espessura e colunas tubulares de espessura constante com extremidades afilando de forma uniforme.

Entre outros, os casos de colunas com cargas seguidoras (cargas concentradas e distribuídas) que

acompanham a deformação da coluna) e cargas passando por pontos fixos são tratados por Data Sheet

do ESDU (Ref. 2-2).

2.17

Tabela 2.1 Comprimentos Equivalentes de Colunas Uniformes

Condições de Contorno Carregamento

2,0 L

1,0 L

1,0 L

0,7 L

0,5 L

1,69 L

-

0,732 L

0,58 L

0,365 L

1,12 L

0,72 L

0,732 L

0,43 L

0,365 L

Veja Fig. 2-9

-

Veja Fig. 2-9

Veja Fig. 2-9

Veja Fig. 2-9

1,43 L

0,84 L

0,57 L

0,45 L

0,36 L

-

-

0,49 L

0,24 L

P P

P = qL q = cte

q = cte e simétrico P = qL/2

P = qL/2 q = cte P = qL/2

P = qL q = cte

P = PA+ qL q = cte PA

Fig. 2-9 Comprimento Efetivo de Coluna Submetida à Carga na Extremidade e Carga Distribuída ao Longo do Comprimento Fig. 2-9 Comprimento Efetivo de Coluna Submetida à Carga na Extremidade e Carga Distribuída ao Longo do Comprimento

2.18

Fig. 2-10 Coeficiente de Fixação de Coluna com Apoio Elástico

(a)

(b)

(c)

2.19

Fig. 2-11 Coeficiente de Fixação Efetivo para Coluna com Apoios Elásticos Distintos em ambas as Extremidades

2.20

Fig. 2-12 Carga Crítica de Colunas de Seção Variável

2.21

2.22

2.7 MÉTODOS DE ENERGIA Nas seções anteriores, o comportamento de colunas carregadas axialmente foi investigado através

da formulação da equação diferencial de equilíbrio e subseqüente resolução exata. Em muitas

instâncias, entretanto, soluções exatas são ou muito difíceis ou impossíveis de serem obtidas, e métodos

aproximados de análise necessitam ser empregados.

Nas seções que se sucederão serão apresentados alguns dos métodos aproximados mais utilizados

e a formulação variacional do problema de estabilidade de uma coluna. Não será abordado o método

dos elementos finitos por ser tratado separadamente em outro curso. Também não será abordado o

método das diferenças finitas. Para uma breve exposição do método o leitor pode recorrer, por exemplo,

à Ref. 2.3.

2.8 O MÉTODO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Este método é baseado no Princípio da Conservação da Energia. A energia de deformação e o

trabalho das forças externas são equacionados, resultando numa expressão para a carga crítica

dependente da curva defletida da coluna. Valores aproximados para a carga crítica são obtidos através

do uso de expressões aproximadas para a curva de deflexão da coluna.

a) TRABALHO DAS FORÇAS EXTERNAS

Com referência à Fig. 2-13, pode-se escrever o trabalho da força P agindo na extremidade da

coluna à direita e sofrendo deslocamento axial no mesmo sentido devido à flexão, como:

∆= PWP (2.41)

Da geometria do problema vem que

dxdxdwdwdxds

21222 1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+= (2.42)

Aplicando a expansão binomial, tem-se

L

L’

∆

s

ds dw

dx

P P

z, w

x, u

Fig. 2-13 Trabalho da Carga Axial – Deformações de Flexão

2.23

dxdxdwdx

dxdw

dxdwds

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+≅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

242

211...

81

211 (2.43)

Integrando ambos os lados da Eq. (2.43) resulta em

dxdxdwLdx

dxdwdxdsL

LLL L2

'

0

2'

00

'

0 21'

21

∫∫∫ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+≅= (2.44)

dxdxdwLL

L2

'

021' ∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−=∆ (2.45)

Para pequenas deformações, 'LL ≅ , de modo que

dxwPdxdxdwPW

LL

P ∫∫ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

0

22

0 )'(21

21

flexão (2.46)

Por outro lado, o trabalho da força P ao sofrer deformações axiais é dado por

)( 0axial LuPdx

dxduPW

L

P −=−= ∫ (2.47)

b) ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

Desprezando-se os efeitos do cisalhamento, as deformações axiais de uma coluna submetida à

compressão e flexão em torno do eixo y podem ser escritas como

212

2

2

2

11

2

001

21

21

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

dxdw

dxwdz

dxdw

dxdu

dxdu

dxdu

xε (2.48)

Na Eq. (2.48), u, w e suas derivadas são funções de x. O primeiro colchete representa a

deformação da superfície neutra devido à compressão e o segundo colchete, a deformação da superfície

neutra devido à flexão. Os dois colchetes são derivados da Eq. (2.1), onde o termo em dv/dx foi

desprezado por não estarem sendo consideradas deformações de flexão em torno do eixo z, e o termo

du/dx foi dividido convenientemente em duas parcelas. O terceiro termo da Eq. (2.48) representa a

deformação dos pontos fora da superfície neutra. Note que a expressão que está multiplicando a

coordenada z é a curvatura da coluna.

Para pequenas deformações, (du/dx)2 pode ser desprezado em relação a du/dx. Por outro lado,

com visto anteriormente, (dw/dx)2 pode ser desprezado em relação à unidade. Finalmente, a superfície

neutra da coluna é inextensível sob pequenas deformações em flexão, ou seja, o segundo colchete de

(2.48) é nulo:

2

11

2

11 21 0

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

dxdw

dxdu

dxdw

dxdu

(2.49)

2.24

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

2

0 dxwdz

dxdu

xε (2.50)

A expressão (2.49) integrada ao longo da coluna daria o deslocamento do ponto x=L devido à

flexão, ou seja, o deslocamento ∆ calculado anteriormente a partir de considerações geométricas (o sinal

negativo indica que o deslocamento se dá no sentido negativo de x).

A energia de deformação de uma coluna linearmente elástica submetida a um estado uniaxial de

tensão é dada por

∫∫ ==VV

dVEdVU 21

21 2εσε (2.51)

que para pequenas deformações, fazendo uso da Eq. (2.50), pode ser escrita como

dxdAzdx

wdEdxzdAdx

wddxduEdxdA

dxduE

dVdx

wdzdxduEU

A

L

A

L

A

L

V

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

∫∫∫∫∫∫

∫

2

0

2

02

2

0 2

2

00

2

0

2

2

2

0

21

21

21

Efetuando as integrações na área da seção transversal, e lembrando que os eixos são supostos

principais:

yAAAIdAzzdAAdA === ∫∫∫ 2 ; 0 ;

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

L

y

Ldx

dxwdxEIdx

dxduxEAU

0

2

2

2

0

2

0

)(21)(

21

(2.52)

Para pequenos deslocamentos, portanto, a energia de deformação de uma coluna carregada

axialmente é composta de duas parcelas; uma devido à flexão da coluna e outra devido à compressão

( ) dxxEI

MdxwxEIULL

∫∫ ==0

2

0

2flexão )(2

1")(21

(2.53)

( ) dxuxEAUL

∫=0

20axial ')(

21

(2.54)

Para pequenas deflexões, portanto, não há acoplamento entre as deformações de flexão e de

compressã, e a análise pode ser feita de forma independente. As tensões axiais devidas à flexão podem

ser superpostas àquelas devidas à compressão. Nos casos de grandes deflexões (ou nos casos em que

não pode ser feita a hipótese de inextensibilidade da superfície neutra), a expressão (2.48) a ser

substituída na Eq. (2.51) não simplifica e, mesmo quando se possa desprezar (du/dx)2 em relação a

2.25

du/dx e (dw/dx)2 em relação à unidade, não é possível desacoplar as deformações. Sob as hipóteses

feitas acima, a expressão da energia de deformação seria dada por

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

L

y

Ldx

dxwdxEIdx

dxdw

dxduxEAU

0

2

2

2

0

22

)(21

21)(

21

(2.55)

c) O MÉTODO DE CONSERVAÇÃO DE ENERGIA

Para determinar o equilíbrio de um corpo, pode-se equacionar o trabalho das forças externas com a

energia de deformação. No caso de uma coluna, equacionando-se (2.46) com (2.53) obtém-se

( ) ( ) dxwPdxxEIxMdxwxEIWU

LLL

P

2

00

2

0

2flexão flexão '

2)()(

21")(

21

∫∫∫ ====

( )

( ) ( ) dxw

dxxEIxM

dxw

dxwxEIP L

L

L

L

∫

∫

∫∫ ==∴

0

2

0

2

0

2

0

2

cr'

)()(

'

")( (2.56)

Para a aplicação do Método da Conservação da Energia é necessário escolher-se funções

aproximadas que satisfaçam as condições de contorno geométricas (essenciais, ou cinemáticas) do

problema. Nestas condições, o resultado de (2.56) fornecerá um limitante superior à carga crítica real.

EXEMPLO

Seja ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≅

Lx

Lxaxw 1)( uma expressão aproximada para a deflexão de uma coluna uniforme,

simplesmente apoiada. Substituindo em (2.56)

22

23

0

2

0

2

2

cr12

3

4

1

2

LEI

La

aLEI

dxLx

La

dxLaEI

PL

L

==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

≅

∫

∫

A comparação com o valor exato, π2EI/L2, indica um erro de aproximadamente 21%. “Obrigar” a

coluna a perder a estabilidade num modo de flambagem diferente do real, Lxaxw πsen)( = , está-se

impondo restrições à coluna. Em consequência, a coluna “aproximada” é mais rígida do que a real e a

carga crítica tem de ser maior. Note que 02)(" ≠−= Laxw nas extremidades, ou seja, a função

aproximada não satisfaz as condições de contorno naturais (ou estáticas) do problema.

Utilizando a segunda expressão da Eq. (2-56) leva a

2.26

( )

( ) ( )

( )

( ) dxw

dxEI

Pw

dxw

dxxEIxM

dxw

dxwxEIP L

L

L

L

L

L

∫

∫

∫

∫

∫∫ ===

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

''

)()(

'

")( ou

( )

22

2

0

2

0

2

0

20

2

cr10

30

3

1

1'

LEI

EILa

La

dxEI

Lx

Lx

dxLx

La

dxEIw

dxwP

L

L

L

L

==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=≅

∫

∫

∫

∫

Neste caso, o erro da solução aproximada é de apenas 1,3%. A explicação para os diferentes

resultados obtidos pelas duas formas da Eq. 2-56 é dada a seguir. Se a deflexão verdadeira é utilizada,

ambas as formas levam ao mesmo resultado, porque ambos, w(x) e w’’(x) são exatos. Se uma

expressão aproximada é utilizada para representar a deflexão, entretanto, o erro em y”(x) é

consideravelmente maior do que o erro em y(x) devido ao processo de derivação, que amplifica os erros.

Como último exemplo, considere a forma aproximada da deflexão dada por

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≅ 12)(

23

Lx

Lx

Lxaxw

que de imediato pode ser identificada como a deflexão de uma viga sob carregamento transversal

uniformemente distribuído. Como tal, esta função satisfaz todas as condições de contorno do problema.

Substituindo na Eq. 2-56 vem que

( )

( ) 22

3

2

0

2

0

2

cr882,9

3517

1572

'

")(

LEI

La

LaEI

dxw

dxwxEIP L

L

==≅∫

∫,

com erro de apenas 0,13%. Fazendo uso da expressão que envolve os deslocamentos, obtém-se

( )22

2

0

20

2

cr 871,9

639 31

3517

'

LEI

EILa

La

dxEIw

dxwP

L

L

===

∫

∫

com erro mínimo de 0,014%.

2.9 O PRINCÍPIO DO VALOR ESTACIONÁRIO DA ENERGIA POTENCIAL TOTAL Na seção 2.8 o princípio da conservação da energia foi utilizado para a obtenção da carga crítica de

uma coluna. Nesta seção será considerado um critério de energia um tanto quanto diferente e mais

poderoso, conhecido como o Princípio do Valor Estacionário da Energia Potencial Total.

2.27

a) TRABALHO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

Seja P uma carga aplicada a um corpo elástico e u o deslocamento do ponto de aplicação desta

carga. Por outro, seja σ a tensão desenvolvida num ponto qualquer e ε a deformação correspondente. A

Fig. 2-14 mostra, de uma maneira geral, a variação de P e σ, respectivamente, com u e ε. A área sob a

curva P x u representa o trabalho, We realizado pela mesma ao sofrer um deslocamento u. Se o corpo é

elástico linear, este trabalho seria dado pela expressão We = ½ P u. Suponha, agora, uma perturbação

no estado de equilíbrio δu, como indicado na figura e o acréscimo correspondente no trabalho:

... ... 21 2 ++=++=∆ eee WWuPuPW δδδδδ

onde δWe, δWe2, etc, são denominadas, respectivamente, de 1a, 2a, etc. variações de We. De uma

maneira geral, num corpo tridimensional,

[ ] [ ] ∑∫∫ ++++++= iiS zyxV zyxe DPdSwvudVwXvXuXW δδφδφδφδδδδ (2.57)

A primeira integral representa a variação do trabalho das forças de volume atuando no corpo. A variação

do trabalho das forças de superfície (pressões) é representada pela segunda integral. O somatório

representa a variação dos trabalhos das forças generalizadas concentradas (que podem ser momentos,

desde que os δD correspondentes sejam ângulos).

Pode-se tratar o “trabalho interno” das forças da mesma forma, considerando as tensões e

respectivas deformações. A área sob a curva σ x ε representa a densidade de energia de deformação,

F, tal que a energia de deformação é dada por .∫=VFdVU Com referência à Fig. 2-14 pode-se

escrever:

... ... 21 2 ++=++=∆ FFeF δδδσδεσδ

onde a primeira variação da densidade da energia de deformação é dada por eF σδδ = .

u δu

We ∆We

P

ε δε

F ∆F

σ

Fig. 2-14 Trabalho e Energia de Deformação

2.28

Num corpo tri-dimensional, a energia de deformação e dada por

dVddddddUV

xx zx

zxzx

yz

yzyz

xy

xyxy

zz

zzzz

yy

yyyyxxxx 0 00000

∫ ∫ ∫∫∫∫∫ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++++=

ε εεεεε

εσεσεσεσεσεσ (2.58)

Quando os deslocamentos sofrem variações, a compatibilidade exige que as deformações sofram

variações correspondentes, ou seja

zxzxzxxxxxxxwwwvvvuuu δεεεδεεεδδδ +→+→⇒+→+→+→ ..... ; ; ; . e

zxzxyzyzxyxyzzzzyyyyxxxx

zxzx

yzyz

xyxy

zzz

yyyy

xxxx

FFFFFFF

δεσδεσδεσδεσδεσδεσ

δεε

δεε

δεε

δεε

δεε

δεε

δ

+++++=

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

(2.59)

pois, etc. , , yy

xxxx

yyσFF=

∂∂

=∂∂

εσ

ε A primeira variação da energia de deformação é, portanto,

[ ]dVUv zxzxyzyzxyxyzzzzyyyyxxxx ∫ +++++= δεσδεσδεσδεσδεσδεσδ (2.60)

PARTICULARIZAÇÃO

Supondo aplicável a Lei de Hooke (material elástico linear), tem-se

( )( ) ( )( )

( ) ⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−+=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

zx

yz

xy

zz

yy

xx

zx

yz

xy

zz

yy

xx

E

εεεεεε

νν

νννν

νννννν

νν

σσσσσσ

221221

2211

11

211 (2.61)

Particularizando para o caso unidimensional, aplicável em corpos alongados com as dimensões da

seção transversal ordem de grandez menor do que o comprimento,

( ) { }dVGEdVEUVV

xyxx ∫∫ +=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++=

21

1221 22

22 γε

νε

ε , pois ( )ν+=

12. EG (2.62)

Em termos de tensões, a expressão da energia interna pode ser escrita como

( ){ } dVGE

dVE

UVV xyxx ∫∫

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=++= 22

22

21121

21 τσσνσ (2.63)

Um outro caso de particular interesse é o estado plano de tensões, aplicável em corpos com uma

dimensão muito menor do que as outras duas, e com carregamentos transversais (paralelos à dimensão

menor) e/ou no plano das duas dimensões maiores (e.g., placas, cascas e membranas). Neste caso, as

2.29

tensões na direção da dimensão menor (espessura), são supostas desprezíveis. Se z for o eixo paralelo

a esta dimensão, 0=== zxyzzz σσσ . Substituindo estas condições nas Eqs. (2.61) obtém-se

( )

( )( ) ( ){ } ( )( ) ( ){ }zzxxyyyyzzyyxxxx

yyxxzzzxyz

EE νενεεννν

σνενεεννν

σ

εεν

νεεε

++−−+

=++−−+

=

+−

−===

1211

; 1211

; 1

; 0

de modo que (2.58) pode ser integrado:

( ) dVEUV xyyyxxyyxx

212

12222

2 ∫ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

+++−

= ενενεεεν

(2.64)

Em termos de tensões, a Eq. (2.64) pode ser escrita na forma

( ){ }dVE

UV xyyyxxyyxx 122

21 222∫ ++−+= τνσνσσσ (2.65)

.

b) O PRINCÍPIO DO VALOR ESTACIONÁRIO DO POTENCIAL TOTAL

O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) reza: “um corpo elástico de dimensões finitas está em

equilíbrio se e somente se o trabalho virtual feito pelas forças externas for igual à energia de deformação

virtual para qualquer deslocamento virtual arbitrário” e pode ser expresso na forma

UWe δδ = (2.66)

O conceito de deslocamento virtual pode ser explicado com referência à Fig. 2-14. Sob a carga P, o

corpo em equilíbrio apresenta um deslocamento u. A perturbação do equilíbrio para u+δu exigiria uma

força externa P + δP. A expressão do PTV, entretanto, não envolve toda a área hachurada. A sua

aplicação envolve tão somente o retângulo indicado, ou seja, com a carga externa constante. A

denominação deslocamento virtual decorre do fato de que este deslocamento é fictício no sentido de que

é não realizável, ou seja, o corpo real não está em equilíbrio. Por outro lado, no que tange a energia de

deformação virtual, de forma análoga as tensões são supostas constantes. Note que as deformações

virtuais não podem ser quaisquer ... elas têm de ser compatíveis com os deslocamentos virtuais.

O trabalho de uma força constante P ao sofrer um deslocamento δu é conservativo. Em

consequência, pode ser derivado de um potencial. Definindo este potencial V, tal que

VWe δδ −= (2.67)

pode-se escrever o PTV como

( ) 0 aindaou 0ou =+=+−= VUVUVU δδδδδ (2.68)

Matematicamente, a Eq. (2.68) indica que para o equilíbrio é necessário que a 1a variação do

potencial total (U+V) seja zero, ou seja, que o funcional (U+V) assuma um valor estacionário. O princípio

expresso pela Eq. (2.68) é conhecido como o Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total: “Uma

estrutura elástica está em equilíbrio se e somente se a energia potencial total assumir um valor

2.30

estacionário neste ponto, ou seja, se não ocorrer mudança na energia potencial total do sistema quando

os seus deslocamentos são perturbados por pequenos valores arbitrários”.

Se por um lado o equilíbrio é expresso impondo a 1a variação do funcional (U+V) igual a zero, nada pode

ser afirmado sobre a natureza deste equilíbrio. De fato, a natureza do equilíbrio será indicada pela 2a

variação da energia potencial total. Quando esta for positiva, o ponto estacionário corresponde a um

mínimo local e o equilíbrio é estável. Quando δ 2(U+V)<0, o funcional atinge um máximo local e o ponto

de equilíbrio será instável. O equilíbrio indiferente corresponde a um ponto sela, ou seja, δ 2(U+V)=0.

RESUMO - EXEMPLO

Seja, VU +=Π p . A condição de equilíbrio é dada por 0p =Πδ . A natureza da equação do

equilíbrio é dada por

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⇒⇒=⇒⇒<⇒⇒>

ΠNeutro Sela Ponto 0

Instável Máximo 0Estável Mínimo 0

p2δ

2.10 CÁLCULO DE VARIAÇÕES O cálculo de variações pode ser visto como uma generalização do problema de máximo ou mínimo

do cálculo ordinário. Procura determinar a função w = w(x) que extremiza (i.e, maximiza ou minimiza) a

integral definida

( )( )dxwwwwxFIx

x

n , ... ,",',,2

1∫= (2.69)

cujo integrando contém w e suas derivadas. Na mecânica estrutural isto monta a achar a forma

deformada de um sistema que fará com que o potencial total assuma um valor estacionário. A

deformação que satisfaz este critério corresponderá ao estado de equilíbrio do sistema.

Embora o cálculo de variações seja similar ao problema de máximo-mínimo do cálculo ordinário,

difere daquele num aspecto importante. No cálculo ordinário obtém-se o valor da variável para a qual a

função apresenta um valor extremo. No cálculo de variações, entretanto, não se obtém a função que

extremiza o funcional (i.e., a integral fornecida). Obtém-se tão somente a(s) equação(ões) diferencial(ais)

que esta função deve satisfazer. O cálculo de variações não é, portanto, uma ferramenta para resolver

um problema e sim para formulá-lo, ou seja, para obter as equações do problema. Estas equações

g

M

k

v

Πp

vveq

mínimo estávelvkk

MgvvMgvkv

MgvkvVU

P

P

P

⇒>=Π

=⇒=−=Π

−=+=Π

0

021

22

2

δδ

δδδ

2.31

diferenciais e condições de contorno associadas deverão então ser resolvidas para obter-se a solução

do problema. A formulação de problemas complexos através do cálculo de variações é a meu ver mais

simples do que através do equilíbrio do corpo livre, como utilizado nas seções iniciais deste capítulo. Isto

porque envolve quantidades escalares enquanto que a imposição do equilíbrio de um copor livre envolve

quantidades vetoriais. Por outro lado, como será visto a seguir, o cálculo de variações também fornece

todas as condições de contorno que possam ser associadas ao problema, o que em muitos casos não é

trivial deduzir baseado exclusivamente em considerações de equilíbrio. Por exemplo, seria o leitor capaz

de deduzir a condição de cisalhamento nulo na extremidade livre de uma coluna?

Seja um funcional como o de (2.69), cujo integrando contém w, w’ e w”

( )dxwwwxFIx

x ",',,2

1∫= (2.70)

A condição que deve ser satisfeita por (2.70) na condição estacionária é

0 ""

''w

F2

1=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

+∂∂

= ∫ dxwwFw

wFwI

x

xδδδδ (2.71)

Desde que w seja uma função contínua, pode-se demonstar que os sinais de variação e

diferenciação são intercambiáveis, ou seja

( ) ( )wdxd

dxwdww

dxd

dxdww δδδδδδ 2

2

2

2

" e ' ==== (2.72)

de modo que a Eq. (2-70) pode ser rescrita na forma

0 "'w

F2

1 2

2

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

= ∫ dxwdxd

wFw

dxd

wFwI

x

xδδδδ (2.73)

Fazendo uso da integração por partes ( ∫∫ −= 2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

xvduuvudv ), tem-se

∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ 2

1

2

2

2

1 '''x

x

x

x

x

xwdx

wF

dxdw

wFdxw

dxd

wF δδδ

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ 2

1 2

22

1

2

1

2

1 2

2

"'

""x

x

x

x

x

x

x

xwdx

wF

dxdw

wF

dxdw

wFdxw

dxd

wF δδδδ

e a Eq. (2.73) fica

0'"'"

'"

2

1 2

22

1

2

1

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

= ∫x

x

x

x

x

x

wdxwF

wF

dxd

wF

dxdw

wF

wF

dxdw

wFI δδδδ (2.74)

2.32

No equilíbrio, a Eq. (2.74) tem de ser satisfeita para qualquer variação δw. Isto só ocorrerá se as

três parcelas em (2.74) forem nulas de forma independente. A condição para que a integral em (2.74)

seja nula para qualquer δw(x) é que o termo entre colchetes seja nulo no domínio [x1,x2], ou seja

212

2

para 0'"

xxxwF

wF

dxd

wF

dxd

≤≤=∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

(2.75)

Esta, no cálculo de variações, é conhecida como a Equação de Euler e, no caso de estruturas,

representa a equação diferencial de equilíbrio do problema. Por outro lado, anulação das duas primeiras

parcelas fornece as possíveis condições de contorno para o problema:

0w ou ou e ou , ou , em

0w ou ou e ou , ou , em

==∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

==∂∂

=

==∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

==∂∂

=

δδ

δδ

0'"

0'0"

0'"

0'0"

2

1

wF

wF

dxdw

wFxx

wF

wF

dxdw

wFxx

(2.76)

Quando o cálculo de variações é aplicado a estruturas, as condições de contorno que envolvem F

são denominadas de naturais, ou estáticas (em forças/tensões). As condições em δw e δw’ são

denominadas de geométricas, ou cinemáticas, ou ainda, de essenciais (em deslocamentos).

Como observado anteriormente, o cálculo de variações não fornece a solução do problema. Para

tanto, é necessário resolver-se a equação diferencial de equilíbrio (2.75) e condições de contorno

associadas (2.76). O cálculo de variações, dado um funcional, permite a formulação completa do

problema associado a este funcional. Esta formulação é “mecânica”, ou seja, composta exclusivamente

de manipulações algébricas. Uma vez definido corretamente o funcional associado ao problema a ser

analisado, a formulação do problema decorre naturalmente, como pode ser observado no exemplo a

seguir.

EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Considere a coluna de seção não-uniforme da Fig. 2-15, ligada em sua extremidade esquerda a

uma mola torsional de constante kθ (lb.in/rad) e uma mola linear de constante k (lb/in) e ao longo de todo

o seu comprimento apoiada sobre um colchão elástico de constante de mola kz(x) (lb/in2). O primeiro

passo consiste em escrever as expressões para a energia de deformação e potencial da carga externa.

kθ

k P

x

P

EI(x)

L

z, w

Fig. 2-15 Coluna com suportes elásticos

kz(x)

2.33

[ ] [ ] [ ]

[ ] dxwPWV

dxwxkUwkUwkUdxwxEIU

L

P

L

zkzkk

L

2

0

0

2222

0viga

'21

)(21 ; )0(

21 ; )0('

21 ; ")(

21

∫

∫∫

−=−=

==== θθ

Escrevendo o potencial total (U+V) e fazendo a variação, obtém-se

0)( ''''- "")()(0

00

00=+++=+ ∫∫∫ dxwwxkwkwwwkdxwPwdxwwxEIVU

L

z

LLδδδδδδ θ (2.77)

Integrando a primeira parcela por partes duas vezes e a segunda parcela uma vez, tem-se

( )

[ ] 0 )("")(

'''")('")(

0 2

2

00

00

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++

+++⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

∫ dxwwxkPwwxEIdxd

wkwwwkwPwwxEIdxdwwxEI

L

z

LL

δ

δδδδ θ

(2.78)

A única forma de satisfazer a equação acima para qualquer δw compatível é

[ ]

[ ]

[ ] 0ou 0' ")(ou , e 0ou , 0")(ou , em

0ou 0'")(ou , e

0ou , 0")('ou , 0 em0 para 0)("")(

'

"

==−−

=====++′

==−=≤≤=++

δwPwwxEIw' wxEILx

δwkwPwwxEI

w' wxEIwkxLxwxkPwwxEI z

δ

δθ

(2.79)

As condições de contorno correspondentes à coluna da Fig. 2-15 estão assinaladas nos quadros.

Uma equação diferencial de 4a ordem requer a especificação de 4 condições de contorno, duas em cada

extremidade: ou momento nulo (natural), ou rotação nula (geométrica) e, ou cisalhamento total nulo

(natural), ou deslocamento (geométrica) nulo. O cálculo de variações fornece todas as possíveis

condições de contorno para o problema. Por exemplo, se ∞→θk , necessariamente δw’ = 0. Da

mesma forma, ∞→k , leva a δw = 0. Se uma molas na extremidade esquerda não estiver apoiada, sua

rigidez efetiva é nula e basta zerar o seu valor na expressão relevante. Na extremidade direita, além das

condições de controno da coluna da figura, estão também contempladas a extremidade livre,

extremidade engastada, ou extremidade engastada e livre para se deslocar verticalmente.

2.11 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE 4A ORDEM Para fins desta discussão, considere o problema sem as molas. Neste caso, a equação de equilíbrio

e possíveis condições de contorno seriam escritas como

2.34

[ ]

[ ]

[ ] 0ou 0' ")(ou , e 0ou , 0")(ou , em

0ou 0' ")(ou , e 0ou , 0")(ou , 0 em

0 para 0"")(

'

'

==+

=====+

===≤≤=+′

δwPwwxEIw' wxEILx

δwPwwxEIw' wxEIxLxPwwxEI

δ

δ

(2.80)

Se I(x) = cte (coluna uniforme), a solução é dada por

EIPkCxCkxCkxCxw =+++= 2

4321 com cossen)( (2.81)

Aplicando as quatro condições de contorno, resultam quatro equações na forma

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0000

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

CCCC

aaaaaaaaaaaaaaaa

(2.82)

onde os aij são funções de k e L. Este sistema de equações tem uma solução trivial Ci = 0 (i=1,2,3,4).

Neste caso, w(x) = 0, ou seja, a posição perfeitamente reta da coluna é uma posição de equilíbrio para

qualquer valor de P. Esta solução não é de interesse pois o que se deseja é achar o menor valor de P

que pode manter a coluna em equilíbrio numa configuração fletida. Para que se tenha solução não-trivial,

é necessário que o determinante da matriz de coeficientes seja nulo

[ ] 0 det =a (2.83)

A expansão de (2.83) resulta na equação característica do problema, cuja menor raiz fornece a

carga crítica. A substituição desta raiz em (2.82), devido à condição (2.83), resulta num sistema de

equações que não são linearmente independentes. Descartando-se uma das quatro equações (cuidando

para que as equações remanescentes não sejam linearmente dependentes), resultará num sistema de 3

equações e 4 incógnitas Ci. Transferindo-se uma das incógnitas para a mão direita, e.g. Cj, pode-se

determinar as demais em termos desta. O modo de flambagem associado à carga crítica será então

dado pela Eq. (2.81).

O problema de auto-valor representado pela Eq. (2.80), de 4ª ordem, pode ser reduzido para a 2a ordem se ambas as extremidades da coluna são articuladas ou se uma extremidade é livre e outra engastada. Integrando a equação de equilíbrio em (2.80) duas vezes resulta em

[ ]0")(

0''")(=+++

=++BAxPwwxEI

APwwxEI (2.84)

onde A e B são constantes de integração. Se ambas as extremidades são articuladas, a aplicação das

condições de contorno, respectivamente, em x = 0 e x = L, na 2a das Eqs. (2.84) fornece:

2.35

0 0)()(" , em0 0)0()0(" , 0 em

=⇒====⇒===

ALwLwLxBwwx

e o problema de auto-valor (equação de equilíbrio e condições de contorno associadas) é reduzido a

0)( 0)0(0")(

===+Lww

PwwxEI (2.85)

As condições de contorno do problema de auto-valor (2.80), para uma coluna que é livre em x=0 e

engastada em x=L, são

[ ] 0" 0)(' 0)0(" 0)0( ==== =LxEI(x)wdxdLwww (2.86)

desde que w(x) seja medido da linha de ação da carga aplicada, como mostrado na Fig. 2-16.

A substituição das condições de contorno (2.86) na segunda das Eqs. (2.84) leva, mais uma vez, a

A = B = 0 e o problema de auto-valor 2.80 fica reduzido a

0)(' 0)0(0")(

===+Lww

PwwxEI (2.87)

Por ser mais simples de ser resolvida do que a equação de 4a ordem, a equação de 2a ordem é

preferível para colunas com ambas as extremidades articuladas e para colunas em balanço. Note que o

problema da coluna articulada em ambas extremidades e da coluna em balanço é, na realidade, o

mesmo, pois a solução da coluna em balanço é a mesma da coluna articulada com o dobro de

comprimento e simétrica em relação ao plano de engastamento.

2.12 POTENCIAL DE CARGAS AXIAIS CONCENTRADAS E DISTRIBUÍDAS Objetivando a generalização, considere que a coluna, além das cargas de compressão nas

extremidades, esteja sujeita a cargas concentradas Pk, e uma carga distribuída px(x) paralela ao eixo x,

como mostrado na Fig. 2-17. Suponha que o movimento longitudinal da coluna seja impedido em x = 0.

x

w P

Fig. 2-16 Sistema de Coordenadas para Coluna em Balanço

p x(x) Pk

η dη

x

xk

Ponto de deslocamento horizontal nulo

Fig. 2-17 Coluna com forças concentradas e distribuídas

2.36

O potencial das cargas aplicadas que está associado com os deslocamentos de flexão w(x) pode

ser encontrado aplicando convenientemente a Eq. (2.46) e levando em consideração a definição (2.67) :

( ) ( ) dxwPdxwPWV kk x

k

x

k

2

0

2

0PkPk '21'

21

∫∫ −=−=−=

[ ] [ ]

[ ]{ }dxdwxpV

dwdxxpdwdxxpdWdV

L x

xx

x

)(' )( 21

)(')(21)(')(

21

0 0

2xpx

0

2x0

2pxpx

∫ ∫

∫∫

−=∴

−=−=−=

ηη

ηηηη (2.88)

de modo que

( ) [ ]{ }dxdwxpdxw'PVVVL xK

k

x

k

K

k

)(' )( 21

21

0 0

2x

10

2px

1Pk

k

∫ ∫∑ ∫∑ +−=+===

ηη (2.89)

Num problema de estabilidade, e comum considerar que a relação entre as forças Pk e a carga

distribuída px(x) não muda ao se carregar a estrutura. Neste caso é conveniente reescrever a Eq. (2.89)

na forma

( ) [ ]{ } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ∫ ∫∑ ∫

=

dxdwxhPp

dxw'PPP

VL xK

k

xk )(' )( 2

0 0

2

1

0

10

2

1

1 k ηη (2.90)

onde )()( 0 xhpxpx = e as razões 101k P e pPP são constantes conhecidas.

2.13 O MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ A aplicação rigorosa do princípio do valor estacionário da energia potencial total torna obrigatório o

uso do cálculo de variações. Como já foi visto, o uso do cálculo de variações é vantajoso em situações

onde a formulação do problema (obtenção da equação de equilíbrio e condições de contorno

associadas) édifícil de ser obtida através do equilíbrio de corpo livre. Formulado o problema, entretanto,

o cálculo de variações não fornece um método de solução. Felizmente, existe um método através do

qual o princípio do valor estacionário da energia potencial total pode ser aplicado aproximadamente. Este

método, conhecido por Rayleigh-Ritz, fornece uma solução aproximada para o problema e, em tese, esta

solução aproximada pode aproximar-se da solução exata tanto quanto o usuário queira. Em

conseqüência, alguns autores classificam este método como um método direto do princípio variacional

(em contraponto à denominação dada de método indireto, ao esquema de se formular o problema

através do uso do princípio variacional e posterior solução das equações formuladas).

Considere a coluna do exemplo de aplicação da seção 2-10. Considere uma série de molas

lineares, de constante ksm, e torsionais, de constante krm , localizadas em x = xm, m = 1,2, ... M

(generalização da situação daquele exemplo para o qual o par de molas estava localizado em x = 0).

2.37

Considere, também, o carregamento mais geral, como dado na seção 2.12. O potencial total U + V será

então dado por

( ) ( ) [ ] [ ]{ }

( ) [ ]{ } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−+++=+

∫ ∫∑ ∫

∑∫∫

=

=

dxdwxhPp

dxw'PPP

xwkxwkdxwxkdxwxEIVU

L xK

k

xk

M

m

LL

)(' )( 2

)(')(21

21")(

21

0 0

2

1

0

10

2

1

1

1

2mrm

2msm

2

0 z

2

0

k ηη (2.91)

No método de Rayleigh-Ritz, os deslocamentos laterais são agora aproximados pela série

)( 1j

xwcw(x) j

n

j∑=

= (2.92)

onde os cj são coeficientes indeterminados e as funções wj(x) são funções assumidas que

necessariamente têm de satisfazer as condições de contorno geométricas do problema. Como os

cj definem a configuração, eles constituem um conjunto de coordenadas generalizadas. O que o método

propõe é representar um sistema de infinitos graus de liberdade aproximadamente por outro com n de

graus de liberdade. O que está sujeito à variação na expressão (2.91) é a função deflexão w(x), pois a

menos de P1, a carga crítica desconhecida e fixa, o resto é fixo e conhecido. Com a aproximação (2.92),

o que estará portanto sujeito à variação são os coeficientes indeterminados cj. Em termos dos cj , o

princípio do valor estacionário do potencial total pode ser escrito como

( ) ( )ii

n

i i

ccc

VUVU δδδ os sejam quequalquer 01

=∂

+∂=+ ∑

=

(2.94)

que somente é satisfeito se

( ) nic

VU

i

,...2,1 0 ==∂

+∂ (2.95)

Aplicando as condições (2.95) na expressão (2.91) do potencial total resulta

( )

nidxdc

wwxh

Pp

dxcw

wPP

P

cxw

xwkcxw

xwkdxcw

wxkdxcw

wxEI

L x

i

K

k

x

i

k

M

m iii

LL

i

,...2,1 0 )('

)(' )( '

'

)(')('

)()(

"")(

0 01

0

10

11

1

mmrm

mmsm0 z0

k ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

−

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

∫ ∫∑ ∫

∑∫∫

=

=

ηη

η

(2.96)

Introduzindo a Eq. (2.92) na Eq. (2.96) e rearranjando os termos, acha-se

nicbPcan

jjij

n

jjij ,...,2,1

11

1== ∑∑

==

(2.97)

ou, em notação matricial,

[ ]{ } [ ]{ }cbPca 1= (2.98)

onde

2.38

( ) { }

{ }dxdwwxhPp

dxwwPP

b

xwxwkxwxwkdxwwxkdxwwxEIa

L x

jj

K

k

x

jik

ij

M

mjijiji

LL

jiij

)()( )(

)()()()()(

0 0

''

1

0

10

''

1

1m

'm

'rmmmsm0 z0

""

k

∫ ∫∑ ∫

∑∫∫

+=

+++=

=

=

ηηη (2.99)

Considere, agora, o caso sem os apoios e fundação elástica (basta zerar os termos

correspondentes na expressão dos a ij). Se a coluna tem ambas as extremidades articuladas ou, como

visto na seção 2.11, uma extremidade livre e a outra engastada, os ija podem ser expressos em termos

de ji ww e em vez de "" e ji ww . A Eqs. (2.85) ou (2.87) fornecem

)(" que modo de ")(

xEIPwwPwwxEI −

=−= (2.100)

Substituindo a Eq. (2.100) juntamento com as condições (2.95) na Eq. (2.96), zerando os termos

correspondentes ao apoios e fundação elástica, e rearranjando, resulta:

[ ]{ } [ ]{ }caPcb 1= (2.101)

onde os bij são aqueles dados pela Eq. (2.99) e

dxxEI

wwa

L jiij ∫=

0 )( (2.102)

Quando se está analisando colunas simplesmente apoiadas (ou em balanço – lembre-se do

esquema da Fig. 2-16 para o sistema de coordenadas) é preferível utilizar a Eq. (2.101) em vez da Eq.

(2.98). A Eq. (2.101) fornece uma aproximação para a carga crítica muito mais precisa do que a Eq.

(2.98). Isto porque a Eq. (2.102) não envolve derivadas segundas e o erro entre a solução exata e

aproximada aumenta com a diferenciação.

Seja qual for a forma do método de Rayleigh-Ritz, o resultado em termos da carga crítica será

sempre um limitante superior ao valor exato. Isto porque ao “forçar” a coluna a perder a estabilidade

segundo a Eq. (2.92), e não na forma que corresponde à energia mínima (modo de flambagem exato),

está-se inserndo vínculos no sistema, tornando-o portanto mais rígido.

EXEMPLO 1

Considere a aplicação do método de Rayleigh-Ritz para a obtenção da carga crítica das colunas

equivalentes da Fig. 2-18.

P

L/2 L/2 L/2 L/2L

P

EI0 2EI0 EI0 EI02EI0

Fig. 2-18 Coluna de Seção Variável

x x

2.39

Tendo em vista as condições de contorno, recomenda-se o uso da Eq. (2.101). Uma série de

funções que satisfazem as condições de contorno geométricas, w(0) = w’(L) = 0 [ ou w(0) = w(2L) = 0 ]

é

∑=

−=

n

jj L

xjcxw1 2

)12(sen)( π

Tomando um só termo na série, acha-se

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+=

==

∫∫

∫

πππ

πππ

41

83

2sen

21

2sen1

82cos

4

02/

2

0

2

0

2

011

2

0

22

2

11

EILdx

Lx

EIdx

Lx

EIa

Ldx

Lx

Lb

L

L

L

L

Com estes valores acha-se uma aproximação 20

cr18,4L

EIP = . A solução essencialmente exata é

20

cr135,4

LEI

P = , de modo que o erro da solução aproximada é de apenas 0,97%.

Se dois termos são utilizados na solução, acha-se que para solução não trivial é necessário que

[ ] [ ]( ) 0

121

83

89

4

441

83

8detdet

0

2

0

00

2

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=−

ππ

π

πππ

EIPL

LEIPL

EIPL

EIPL

LaPb

A expansão do determinante dá a equação característica

01123,0775,370,13 2 =+− ββ

onde 30

PLEI

=β , e cuja maior raiz ( menor valor de P ) é 2415,0=β . Isto dá 20

cr14,4L

EIP = , que

confere com a solução exata em até três dígitos significativos.

EXEMPLO 2

Considere uma coluna uniforme de comprimento L , repousando sobre uma fundação elástica (vide

Fig. 2-15) de constante β , articulada em ambas as extremidades, e submetida a uma carga de

compressão P nas extremidades. Uma série de funções, as quais satisfazem as condições de contorno

geométricas, w(0) = w(L) = 0 [ note que as funções também satisfazem as condições de contorno

naturais, w”(0) = w”(L) =0 ], é

∑=

=n

mj L

xmcxw1

sen)( π

2.40

Visando empregar a Eq. (2.98) para o cálculo da carga crítica, é necessário calcular os a ij e b ij usando

as Eqs. (2.99):

dxL

xjLxi

Lj

Lib

dxL

xjJxidx

Lxj

Lxi

Lj

LiEIa

L

ij

LL

ij

ππππ

ππβππππ

cos cos

sensensensen

0

00

22

∫

∫∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

As funções sen (iπx/L) e sen (jπx/L) , bem como, cos(iπx/L) e cos(jπx/L) são ortogonais no domínio [0,L],

ou seja,

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

==≠=

= ∫∫ jiLj i

dxL

xjLxidx

Lxj

Lxi LL

se 2

se 0 coscossensen

00

ππππ, de modo que

jibaLLibL

LiEIa ijijiiii ≠==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= para 0 e

2 ;

2

24 πβπ

O sistema de equações (2.98) é portanto diagonal. A carga crítica é o menor valor de P que resolve a

Eq. (2.98). O número de semi-ondas do modo de flambagem, dependerá do valor de β. Seja m o número

de semi-ondas no modo crítico. Resolvendo a Eq. (2.98) resulta em

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

EIL

mm

LEIP 4

4

22

2

2

cr1

πβπ

Derivando Pcr em relação a m e igualando a zero reslta em

44

4

4

4

3 022EILm

EIL

mm

πβ

πβ

=⇒=−

Mas m tem de ser inteiro portanto, dado o valor de 44

4

EIL

πβ

, deve-se calcular a carga para os valores de

m imediatamente inferior e superior. A carga crítica será o menor dos valores.

A carga crítica será dada para m=1 somente enquanto for obedecida a inequação

4 seja,ou , 4141 4

4

4

4

4

4

≤+≤+EIL

EIL

EIL

πβ

πβ

πβ

A carga crítica será dada para m=2 se

364 seja,ou , 919

414 4

4

4

4

4

4

≤≤+≤+EIL

EIL

EIL

πβ

πβ

πβ

e assim por diante.

A solução deste problema como apresentada é exata. Isto porque a função sen(mπx/L) satisfaz a

equação diferencial de equilíbrio EIwIV + Pw” + βw = 0. Como satisfaz, também, as condições de

2.41

contorno associadas tem de ser solução do problema. Nos casos de 44

4

EIL

πβ

inteiro, a carga crítica seria

EIP β2cr = . Dado β, este valor representa um limitante inferior para a carga crítica, pois nos casos

em que a raiz quarta acima não é um inteiro, o menor dos valores de Pcr dados para os inteiros logo

inferior e superior, necessariamente será maior.

Timoshenko & Gere (Ref. 2.4) fornecem os comprimentos efetivos em função da rigidez relativa da

fundação elástica em relação à rigidez da coluna.

βL4/(16EI) 0 1 3 5 10 15 20 30 40 50 75 100

L’/L 1 0,927 0,819 0,741 0,615 0,537 0,483 0,437 0,421 0,406 0,376 0,351

βL4/(16EI) 200 300 500 700 1000 1500 2000 3000 4000 5000 8000 10000

L’/L 0,286 0,263 0,235 0,214 0,195 0,179 0,165 0,149 0,140 0,132 0,117 0,110

EXEMPLO 3

2.42

2.43

2.14 O MÉTODO DE GALERKIN Considere o funcional tratado na seção 2.10, definido na Eq. (2.70), aqui repetida por conveniência.

( )dxwwwxFIx

x ",',,2

1∫= (2.70)

2.44

A condição que extremiza este funcional, após as devidas integrações por partes, foi escrita como

0'"'"

'"

2

1 2

22

1

2

1

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

= ∫x

x

x

x

x

x

wdxwF

wF

dxd

wF

dxdw

wF

wF

dxdw

wFI δδδδ (2.74)

Suponha, como no método de Rayleigh-Ritz, que a solução w(x) seja aproximada pela série

)( 1j

xwcw(x) j

n

j∑=

= (2.103)

onde os cj são coeficientes indeterminados e os wj(x) e suas derivadas são funções contínuas no

domínio [x1, x2]. A substituição da Eq. (2.103) na Eq. (2.74) leva a

0'"

'"

"

2

1

2

1

2

11j

2

2

1j1j

' =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

∫ ∑∑∑===

x

x

n

jj

x

x

n

jj

x

x

n

jj dxcwwF

wF

dxd

wF

dxdcw

wF

wF

dxdcw

wF δδδ

Para que esta expressão seja nula, quaquer que sejam os δcj, é necessário que

njdxwwF

wF

dxd

wF

dxdw

wF

wF

dxdw

wF x

x j

x

xj

x

xj ,...1 0

'"

'"

"2

1

2

1

2

1

2

2' ==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

∫ (2.104)

Se as funções wj(x) satisfizerem todas as condições de contorno, os dois primeiros termos da

Eq. (2.104) se anulam identicamente e a Eq. (2.104) fica reduzida à integral. O termo entre colchetes

nesta integral é o resultado da substituição da Eq. (2.103), ou seja, da solução aproximada, na

expressão indicada. Ou seja, é o êrro na satisfação da equação de Euler resultante da aproximação. A

Eq. (2.104) poderia, nestas condições, ser reescrita como

njdxwwedxwwF

wF

dxd

wF

dxd x

x j

x

x j ,...1 0)('"

2

1

2

12

2

===⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∫∫ (2.105)

onde e(w), o erro, é o resultado da substituição da Eq. (2.103) na equação diferencial.

A Eq. (2.105) é conhecida por Método de Galerkin. Este método exige que as funções da base de

aproximação satisfaçam todas as condições de contorno do problema. A condição de Galerkin,

procurando minimizar o erro, é a de torná-lo ortogonal às funções de base no domínio. Se as funções de

base não satisfazem todas as condições de contorno, a substituição de (2.103) nas mesmas também

gera um erro que necessita ser levado em consideração no critério. A Eq. (2.104) retrata este critério,

sendo conhecida como o Método Generalizado de Galerkin.

Utilizando-se a mesma base de aproximação (2.103), os resultados obtidos através do método de

Rayleigh-Ritz aplicado diretamente sobre a Eq. (2.70) e de Galerkin ou Galerkin generalizado como

dados, respectivamente, pelas Eqs. (2.105) e (2.104), serão idênticos. Em conseqüência, quando for

conhecido o funcional, a aplicação do método de Rayleigh-Ritz é recomendada por ser mais simples e

imediata. Em alguns casos é conhecida a equação de equilíbrio do problema e não o funcional do qual a

mesma deriva. Se as condições de contorno forem também conhecidas e funções wj(x) que as

2.45

satisfazem são facilmente identificadas, o método de Galerkin é normalmente indicado. Na seção a

seguir o método de Galerkin será utilizado para a obtenção de resultados aproximados de uma coluna

submetida à grandes delfexões.

2.15 GRANDES DEFLEXÕES EM COLUNAS O objetivo desta seção é duplo: servir de exemplo para uma aplicação do método de Galerkin e

fornecer alguns resultados para colunas submetidas a grandes deflexões. O desenvolvimento da teoria

de grandes deformações em colunas e tratamento matemático exato do tema pode ser encontrado no

texto do Chajes, Ref. 2.3.

Considere a coluna simplesmente apoiada mostrada na Fig. 1-19. Além da hipótese de pequenos

deslocamentos, que será aqui descartada, todas as outras idealizações consideradas para a coluna de

Euler continuam válidas. O membro é suposto inicialmente perfeitamente reto e carregado ao longo de

seu eixo central e o material é suposto elástico linear, ou seja, obedecendo à lei de Hooke.

Se o sistema de coordenadas x-z é tomado como mostrado na figura e a coluna está em equilíbrio

numa configuração fletida, o momento externo Pw, em qualquer seção, é igual ao momento resistente

interno –EI/R, onde R é o raio de curvatura e, portanto, 1/R a própria curvatura.

Ou seja,

REIPw −= (2.106)

A solução da equação é facilidada se a curvatura é expressa como a razão de variação da

inclinação. Se a inclinação em qualquer seção for dada por θ e a distância ao longo da curva da orígem à

seção por s , a curvatura é

dsd

Rθ

=1

(2.107)

Fig. 2-19 Grandes Deflexões de uma Coluna

θ

dw

dsdx

2.46

Substituição desta expressão na Eq. (2.106) leva a

0=+ PwdsdEI θ

(2.108)

Esta equação é manipulada na Ref. 2.3 e a solução é apresentada em termos de integrais elípticas

tabeladas.

Com referência ao triângulo elementar da Fig. 1-19, pode-se escrever

( ) 212

2

2

212

2

2

2

2

2

2

1sen1cos

1

cos sen

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=−

==⇒

⇒=∴=

dsdw

dswd

dswd

dswd

dsd

dsd

dswd

dsdw

θθθ

θθθ

(2.109)

A Eq. (2.108) pode, então, ser reescrita na forma

0

1212

2

2

=+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

wEIP

dsdw

dswd

(2.110)

As condições de contorno para o problema, deslocamentos e momentos nulos nas extremidades

são obtidos por inspeção: w(0)=w”(0)=w(L)=w”(L).

O denominador do primeiro termo pode ser expandido numa série de Taylor, de modo que (2.110)

toma a forma de

0 ... 83

211

42

2

2

=+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ w

EIP

dsdw

dsdw

dswd

( 2.111)

Se forem desprezados os dois termos em dw/ds no colchete da Eq. (2.111), a equação de

equilíbrio seria reduzida à forma linear conhecida, para pequenas deflexões, pois x e s se confundem.

Uma primeira aproximação para o caso não linear seria desprezar os termos de ordem maior do que o

quadrado no colchete de (2.111), resultando em

0211

2

2

2

=+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ w

EIP

dsdw

dswd

(2.112)

Como o funcional potencial total, cuja equação de Euler seja representada pela Eq. (2.112), não

está disponível, o método de Galerkin é indicado para a solução.

Seja a solução aproximada por uma série que satisfaz todas as condições de contorno

2.47

L

sjww(s)n

jπsen

1j∑

=

= (2.113)

Utilizando-se somente o primeiro termo desta série resulta em

Ls

Lw(s)w

Ls

Lw(s)w

Lsww(s) πππππ sen" ; cos' ; sen

2

111 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−≅≅≅ (2.114)

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Ls

Lw

PP

Ls

Lw

Ls

Lw

EIL

PLs

Lwse

E

ππππ

πππ

ππ

22

21

2

1

22

212

2

1

cos211sen

cos211sen)(

(2.115)

onde e(s) é o erro cometido na satisfação da equação de equilíbrio e PE é a carga crítica de Euler.

Tornando e(s) ortogonal em relação a senπx/L no domínio [0,L}, resulta em

0cossen21sen1

0)(

0

222

21

22

1

0

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⇒

⇒=

∫

∫

dsLs

Ls

Lw

Ls

PP

Lw

dxLssense

L

E

L

πππππ

π

(2.116)

Como não poderia deixar de ser, a solução trivial w1 = 0 resulta de imediato. A outra solução é

encontrada fazendo-se a integração e igualando a zero. Considerando que

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −== ∫∫∫ 24

12cos141cossen ;

2L

0

2

0

22

0

2 LLdxdsL

sdsLs

Lsds

Lssen

LLL ππππ (2.117)

a Eq. (1.116) pode ser escrita como

016

12

cossen21sen1

2210

222

21

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∫ L

wLPPLds

Ls

Ls

Lw

Ls

PP

E

L

E

πππππ (2.118)

Resolvendo para w1/L, obtém-se

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 1221

EPP

Lw

π (2.119)

A Eq. (2.119) mostra que a segunda solução do problema não existe para P < PE, pois neste caso o

radical seria negativo. O resultado não poderia ser outro, pois nestas condições somente a coluna

perfeitamente reta é solução.

2.48

Para valores crescentes de P/PE uma solução mais precisa é obtida se forem incluídos termos de

ordem maior na Eq. (2.111) e se forem utilizados mais termos na série (2.113). O resultado com a

inclusão de mais um termo da Eq. (2.111) e ainda mantendo um só termo na Eq. (2.113) é

111123

321 −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

EPP

Lw

π (2.220)

O resultado exato é dado na Ref. 2.3 e está reproduzido na Fig. 2-20.

2.16 COLUNAS CARREGADAS EXCENTRICAMENTE Na derivação da carga de Euler, o membro foi assumido perfeitamente reto e o carregamento foi

considerado ao longo do eixo central. Membros e carregamentos perfeitos, entretanto, não existem em

problemas reais de engenharia. Pequenas excentricidades no carregamento e imperfeições na forma

fazem sentir a sua presença em todas as colunas reais. É portanto desejável investigar o comportamento

de uma coluna imperfeita e compará-lo com o comportamento previsto pela teoria de Euler.

Considere a coluna da Fig. 2-21, perfeitamente reta mas carregada excentricamente. Assume-se

que o membro obedece à Lei de Hooke e que as deformações permaneçam pequenas. Equacionando o

momento interno –Eiw” em qualquer seção, como o correspondente momento aplicado P(e+w) resulta

( )EIPkekwkwwePEIw =−=+=++ 222 onde , "ou 0" (2.221)

cuja solução geral é

ekxBkxAxw −+= cossen)( (2.222)

Fig. 2.20 Curva de Carga-Deflexão para Grandes Deflexões

2.49

Aplicando as condições de contorno, w(0) = 0 resulta em B = e , e da condição w(L) = 0 obtém-se

kLkLeA

sencos1−

= , de modo que a Eq. (2.222) pode ser escrita como

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+= 1sen

sencos1cos)( kx

kLkLkxexy (2.223)

Fazendo x = L/2 e usando as identidades 2cos2sen2sen e 2sen21cos 2 kLkLklklkl =−= ,

obtém-se a deflexão no centro da coluna, w(L/2) = δ:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 1

2sec1

2sec

EPPekLe πδ (2.224)

A Fig.2-22 fornece uma representação gráfica da Eq. (2.224). A variação de δ com P/PE é graficada

para dois valores da excentricidade e.

Fig. 2-21 Coluna Carregada Excentricamente

Fig. 2-22 Curva Carga-Deflexão para Coluna Carregada Excentricamente

2.50

2.17 COLUNAS COM FORMAS IMPERFEITAS Aqui será considerada uma coluna cujo eixo está inicialmente fletido. Mais uma vez é considerado

que o comportamento do material é elástico linear e que as deflexões são pequenas, ou seja, são válidas

todas as hipóteses feitas na teoria de Euler excetuando aquela que considera o eixo inicialmente reto.

Considere a coluna simplesmente apoiada da Fig. 2-23. A deformação inicial do membro é dada por

w0(x) e a deformação inicial devido à flexão, por w(x). Equacionando os momentos interno e externo

obtém-se

EIPkwkwkw =−=+ 20

22 com , " (2.225)

A solução complementar (da equação homogênea) é

kxBkxAxwc cossen)( += (2.226)

Para obter a solução particular, considere w0(x) expressa por uma série de Fourier

∑∞

=

=1

0 sen)(n

n Lxnwxw π

(2.227)

Se w0(x) é conhecida, pode-se obter os coeficientes de Fourier multiplicando-se ambos os lados da Eq.

(2.227) por sen(mπx/L) e integrar de 0 a L. Isto resulta em

dxL

xmxwL

wL

m ∫=0

0 sen)(2 π (2.228)

A Eq. (2.225), então, pode ser rescrita na forma

Fig. 2-23 Coluna com Deflexão Inicial

2.51

∑∞

=

−=+1

22 sen"n

n Lxnwkwkw π

(2.229)

Usando o método dos coeficientes indeterminados, a solução particular desta equação é

∑∞

=

=1

sen)(n

np Lxncxw π

(2.230)

Substituindo wp na Eq. (229) e equacionando os coeficientes dos termos em seno com o mesmo

argumento, de ambos os lados da equação, resulta

111 22

22

2

2

−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

PP

n

w

Ln

k

w

kL

nkw

cE

nnnn

ππ (2.231)

A solução geral da Eq. (2.229) é, portanto,

Lxn

PPn

wkxBkxAxw

n E

n πsen1

cossen)(1 2

∑∞

= −++=

A aplicação das condições de contorno, w(0) = w(L) = 0, leva a A = B = 0, de modo que

LxnwAxw

nnn

πsen)(1

∑∞

=

= (2.232)

onde

1

12 −

=

PP

nA

En (2.233)

é o fator de amplificação que é aplicado sobre a n-ésima componente de w0 como resultado da aplicação

da carga P. A deflexão total é obtida somando-se w0(x) e w(x)

( )L

xnwAxwxwxwn

nnTπsen1)()()(

10 ∑

∞

=

+=+= (2.234)

Na prática, w0(x) e, portanto, wn não é conhecido. Entretanto, pode-se esperar que wn fique menor à

medida que cresça n, e uma hipótese razoável é que a amplitude da componente de Fourier seja

proporcional ao comprimento de onda da componente. Isto dá ),/( nLwwn = onde w é suposto igual

para todas as componentes. Nestas condições a Eq. (234) fica

( )L

xnwnA

wL

xwxwL

xwn

nnT πsen

1)()()(1

0 ∑∞

=

+=

+= (2.235)

2.52

Valores de An como função de P/PE computados pela Eq. (2.233) para n = 1 a 3, são dados na

tabela. Observa-se, a menos que P/PE seja pequeno, que o primeiro termo da Eq. (2.235) domina a série

e serve como uma boa aproximação para a mesma.

P/PE A1 A2 A3

0,0 0,4 0,8 0,9

0,95 1,0

0,0 0,667 4,00 9,50 20,0 ∞

0,0 0,111 0,25 0,29 0,33 0,33

0,0 0,047 0,08 0,11 0,12 0,13

Substituindo a Eq. (2.233) no primeiro termo da Eq. (2.235) e calculando o resultado em x = L/2,

tem-se

E

T

PPw

LLw

−=

1)2(

(2.236)

Esta equação está representada graficamente na Fig. 2-24 para valores de deflexões iniciais

== Lww /1 0,01, 0,001 e 0,0001. Estes valores são representativos de colunas de manufatura de

qualidade pobre, média e acima da média. Nota-se que quando P/PE é pequeno, as deformações de

flexão são pequenas, mas quando P/PE se aproxima da unidade, as deformações de flexão aumentam

rapidamente e tornam-se muito grandes. Quando a imperfeição original tende a zero, o comportamento

da coluna imperfeita se aproxima daquela da coluna perfeita, que não admite deflexão até que P/PE = 1.

Entretanto, nota-se que a coluna, em vez de permanecer reta, a coluna com imperfeições tendendo a

Fig. 2-24 Coluna com Imperfeições - Resultados da Teoria Linear

2.53

zero permanece praticamente reta até que o ponto de bifurcação da coluna perfeita é aproximado. Daí

em diante, segue de perto a solução da coluna perfeita flambada.

A Eq. (2.236) indica que a deflexão no centro da coluna tende a infinito à medida que P/PE tende

para a unidade e que as deflexões são tanto maiores quanto maior for a imperfeição original. A análise

linear mostra, então, que a capacidade de absorção de carga da coluna é sempre menor do que a carga

de Euler, independentemente de quão pequena seja a imperfeição. Se a distorção inicial é considerável,

a coluna experimenta deflexões consideráveis, sob cargas sensivelmente menores do que a de Euler.

Este resultado, entretanto, requer um exame mais cuidadoso porque, sob deflexões grandes, a

aproximação para a curvatura dada por d2w/dx2 torna-se imprecisa, e a teoria linearizada de flexão não é

mais aplicável. A teoria linear adotada também falha quando as deflexões no centro da coluna são

grandes porque as tensões devido à compressão e flexão excedem o limite de proporcionalidade.

O comportamento da coluna levemente imperfeita e submetida a grandes deflexões pode ser

estudado de forma análoga como visto na seção 2.15. Para tanto bastaria incluir o termo relativo à

deflexão inicial na equação de equilíbrio (2.110):

0212

2

2

1

wEIPw

EIP

dsdw

dswd

−=+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

(2.237)

O denominador da primeira parcela poderia ser expandido numa série de Taylor e a retenção de um ou

mais termos não lineares proveria uma aproximação. A deflexão inicial poderia ser aproximada pelo

primeiro termo de uma série de Fourier e a equação resultante resolvida aproximadamente utilizando-se

o método de Galerkin. Em seu texto, Rivello (Ref. 2.5) adota um procedimento alternativo. Ele deriva um

potencial total aproximado incluindo os termos não-lineares mais relevantes e em seguida aplica o

método de Rayleigh-Ritz. Os resultados obtidos são menos precisos do que aqueles que seriam obtidos

da forma indicada acima em conjunto com o método de Galerkin. Como objetivo aqui, é tão somente

discutir qualitativamente o comportamento da coluna imperfeita submetida a grandes deformações, a

questão de precisão perde importância e o desenvolvimento realizado na Ref. 2.5 será omitido. O

resultado obtido por Rivello para as deflexões é

E

ET

PPPP

LLw

34122)2/(

−−

=π

(2.238)

que está representado graficamente na Fig. 2-25.

A Eq. (2.238) possui uma tangente horizontal em P/PE = 1, que caracteriza a estabilidade neutra e

a indeterminação das deflexões na teoria linear de pequenas deflexões. A Fig. 2-25 mostra que embora

a configuração reta seja teoricamente possível para uma coluna perfeita quando P/PE > 1, colunas com

imperfeições infinitesimais apresentam deflexões aproximadas pela Eq. 2.238. Uma vez que qualquer

2.54

coluna contém imperfeições, mesmo que pequenas, a Eq. (2.238) é a única solução (aproximada) de

interesse.

A teoria não-linear adotada para a derivação da Eq. (2.238) falha quando as tensões devidas à

compressão direta e flexão excedem o limite de proporcionalidade. Para obter uma indicação de quando

este efeito se torna importante, Rivello assumiu um material elástico perfeitamente plástico, com a razão

da tensão de escoamento pelo módulo de elasticidade igual a 6,66 x 10-3 e uma seção idealizada em I,

onde a contribuição da alma para a rigidez em flexão é desprezada. A aproximação pretende simular a

liga de alumínio 7075-T6, mesmo que grosseiramente. Os resultados desta análise estão mostrados

pelas curvas tracejadas na Fig. 2-25, para alguns valores L/ρ, onde ρ é o raio de giração da seção.

Quando as fibras do lado côncavo da coluna excedem a tensão de escoamento, a rigidez em flexão da

coluna decresce, o aumento das deformações é acelerado e o colapso logo se estabelece. Em

conseqüência, o valor último de P/PE resistido pela coluna é aproximadamente aquele correspondente

ao ponto de interseção das curvas dos w1/L e L/ρ.

Para colunas que falham numa tensão média dentro do regime elástico, as Figs. 2-24 e 2-25

permitem tirar-se as seguintes conclusões:

1) A posição reta é a única configuração de equilíbrio possível para colunas com imperfeições

tendendo a zero, até que P = PE ;

2) Em P = PE as deflexões, para a coluna com imperfeições tendendo a zero, crescem

rapidamente até que as fibras do lado côncavo excedem o limite de proporcionalidade;

Fig. 2-25 Coluna com Imperfeições - Resultados da Teoria Não-Linear

2.55

3) Colunas com imperfeições usuais (relativamente pequenas) não fletem apreciavelmente até que

P se aproxime de PE. As deflexões crescem rapidamente à medida que P se aproxima de PE ,

seguindo de perto a curva para colunas com imperfeições tendendo a zero;

4) As deformações que crescem rapidamente logo atingem a tensão de escoamento e a coluna

prática (pequenas imperfeições) entra em colapso quando P ≅ PE ;

5) As deflexões no colapso são pequenas o suficiente para permitir o uso da teoria linear, na qual

a curvatura é aproximada por d2w/dx2 ;

6) Colunas de manufatura pobre, com imperfeições sensíveis, entram em colapso sob cargas sensivelmente menores do que a de Euler.

A coincidência física de que a capacidade última de absorção de carga de uma coluna com

pequenas imperfeições, como aquelas manufaturadas para uso aeronáutico, pode ser prevista pela

teoria linear para a coluna perfeita é afortunada. Significa que colunas que falham numa tensão média no

regime elástico podem ser projetadas através da fórmula simples de Euler, não sendo necessária uma

análise não-linear relativamente complicada.

As conclusões relativas ao problema de colunas com deflexão inicial são aplicáveis também às

colunas carregadas com pequenas excentricidades e às colunas com pequenas cargas laterais, como

será visto no Capítulo 3. Por outro lado, a Eq. (2.236) fornece um critério alternativo de estabilidade

que pode ser enunciado como “a carga crítica é aquela sob a qual as deformações de um sistema

levemente imperfeito tendem a infinito”. Desta forma, a carga crítica pode ser obtida através da análise

linear de um sistema com qualquer tipo de imperfeição (deformação inicial, cargas excêntricas ou cargas

laterais). Há situações em que esta análise é mais simples do que a solução do problema de auto-valor

resultante da análise da coluna perfeita.

Não se deve, entretanto, concluir que o resultado de uma análise linearizada é capaz de prever a

carga de colapso para qualquer problema de flambagem. Em placas e cascas a carga de colapso pode

ser consideravelmente diferente daquela prevista pela análise da condição de equilíbrio neutro sob

pequenas deformações. De fato, na próxima seção será visto que a condição de estabilidade neutra de

uma coluna perfeita não é capaz de prever adequadamente a carga de falha de uma coluna imperfeita

se a tensão média na falha exceder o limite de proporcionalidade.

2.18 FLAMBAGEM PLÁSTICA DE COLUNAS Euler derivou a equação da flambagem de uma coluna perfeita em 1759. Na época, acreditava-se

que a fórmula seria aplicável tanto para colunas esbeltas, quanto para colunas curtas. Quando, no início

do século 19, ensaios em laboratório mostraram que a fórmula era não-conservativa para colunas curtas,

acreditou-se que o trabalho de Euler era completamente errôneo e o mesmo foi descartado por um

período considerável. Em 1845, Lamarle indicou que o trabalho de Euler era válido somente no regime

elástico. Considère e Engesser, em 1989, chegaram à mesma conclusão de que a fórmula de Euler era

válida para colunas esbeltas. Ambos também perceberam que a fórmula de Euler poderia ser utilizada

2.56

para colunas curtas, desde que o módulo de elasticidade E fosse substituído por um módulo efetivo para

flambagem plástica. O foco da questão, então, mudou: “qual seria este módulo efetivo?”

Para entender o dilema que se instalou à época, considere o diagrama tensão-deformação. Durante

a flambagem, quando a coluna passa da posição reta para a posição fletida, qual seria o comportamento

das fibras nas partes côncava e convexa do membro? Seja σA a tensão de compressão em todas as

fibras da coluna, ainda na posição reta, no momento da flambagem. Com a flexão da coluna, duas

possibilidades devem ser consideradas:

a) todas as fibras continuam comprimindo ao se dar a flexão, de modo que o módulo efetivo para a

seção é o módulo tangente Et . Isto só é possível, se a carga continua aumentando durante a

flambagem;

b) as fibras do lado côncavo comprimem, portanto segundo o módulo tangente Et , e as fibras do

lado convexo extendem, portanto segundo o módulo de elasticidade E . Uma situação de carga

constante durante a flambagem (como aquela da teoria linearizada de Euler para flambagem

elástica) exige que haja reversão de tensões no lado convexo.

Engesser acreditava que o módulo tangente era o módulo efetivo correto a ser utilizado. Considère

não chegou a uma conclusão específica concernente ao valor do módulo efetivo mas ele sugeriu a

possibilidde b) acima. Esta linha de raciocínio é a base para a teoria do módulo duplo, ou módulo

reduzido, de acordo com a qual o módulo efetivo é função de ambos, o módulo de elasticidade e o

módulo tangente (bem como da geometria da seção). Tão logo Engesser teve conhecimento do trabalho

de Considère, reconheceu a sua validade e foi o primeiro a derivar o valor correto do módulo efetivo

baseado na teoria do módulo duplo, que em valor é necessariamente maior do que o módulo tangente.

Entretanto, somente em 1910, quando Von Karman rederivou de forma independente a teoria do módulo

duplo, substanciando-a com ensaios em laboratório, ela foi universalmente aceita.

Nos aproximadamente 30 anos que se sucederam, a teoria do módulo duplo foi aceita como correta

para a análise da flambagem plástica. Nos anos 1940, entretanto, aconteceu um extenso programa de

ensaios em colunas de liga de alumínio, por parte da indústria aeronáutica. Ao contrário dos

experimentos de von Karman, estes testes indicaram que a carga de falha é aproximadamente igual á

carga fornecida pela teoria do módulo tangente. Os críticos responsabilizavam as imperfeições iniciais e

pobres condições de controle dos ensaios (condições de controno) pelos valores menores obtidos nestes

2.57

ensaios do que aqueles obtidos por von Karman. Mas as condições dos testes realizados pela indústria

eram típicas de condições operacionais (e não perfeitamente controladas como nos ensaios de von

Karman) de modo que esta passou a utilizar a teoria do módulo tangente no projeto de aeronaves.

Finalmente, em 1947, Shanley resolveu o problema. Ele utilizou um modelo simples de duas barras

rígidas conectadas entre si por uma célula deformável, constituída de dois elementos axiais separados

por uma distância (um elemento representando a parte côncava e o outro a parte convexa). O conjunto é

articulado nas extremidades e a curva tensão deformação utilizada foi a bi-linear. Os detalhes podem ser

encontrados na Ref. 2-3.

O resultado para a curva carga-deflexão da coluna de Shanley é reproduzido na Fig. 2-26.

O comportamento é resumido pela curva sólida. A flexão inicia na carga do módulo tangente e

progride com o incremento da carga axial. Com grandes deflexões laterais a carga axial se aproxima da

carga fornecida pela teoria do módulo reduzido. A diferença mais importante entre uma coluna real e a

coluna de Shanley é que o decréscimo do módulo tangente é contínuo (e não bi-linear). Se uma variação

contínua do módulo tangente é introduzida no modelo de Shanley, obtém-se a curva tracejada cuja carga

máxima está entre a carga tangente e a carga reduzida. Ensaios de laboratório mostram ser isto um fato

e também que a carga máxima está mais próxima da carga tangente.

A condição dada pela teoria do módulo duplo tem a vantagem dúbia de satisfazer o critério clássico

de estabilidade, ou seja, do ponto de bifurcação da coluna reta sem variação da carga. Mas ela

corresponde a um ponto de equilíbrio instável e realizável em laboratório somente sob condições muito

controladas.

O engenheiro está interessado em achar a carga última que pode ser suportada por colunas com

pequenas imperfeições e não a carga de bifurcação de uma coluna reta. Sob imperfeições, a

compressão e flexão procedem simultaneamente e um coluna falhará antes que a carga reduzida seja

atingida. Finalmente, a teoria do módulo tangente fornece um valor para a carga crítica que é

conservativo para colunas retas, ou com pequenas imperfeições.

Fig. 2-26 Coluna de Shanley – Curva Carga-Deflexão

2.58

Em consequência, a teoria a ser utilizada para a análise da flambagem plástica de colunas é a do módulo tangente.

Além de ser a mais indicada para projeto, a teoria do módulo tangente possui a grande vantagem de

ser de mais fácil implementação. O módulo reduzido, além de depender do próprio módulo tangente,

depende também da geometria da seção. Em consequência, a teoria do módulo reduzido apresenta

interesse pouco além do acadêmico, de modo que não será apresentada aqui. O leitor interessado pode

encontrar a derivação nas Refs. 2.3 ou 2.5.

A teoria de Euler adaptada para a flambagem plástica de colunas pode então ser escrita na forma

( ) 2

2

2

2

cr ' LIEc

LIE

P tt ππ== (2.239)

onde L’ é o comprimento efetivo da coluna e c o coeficiente de fixação. O devido cuidado deve ser tomado nos casos em que o comprimento efetivo depende do módulo. Em todas as instâncias da

seção 2.6 (inclusive gráficos) em que aparece o módulo de elasticidade E , este deve ser substituído

pelo valor relevante do módulo tangente Et . Como o valor do módulo tangente não é conhecido à priori,

a menos que seja utilizada uma representação como a de Ramberg-Osgood, o processo tem de ser

iterativo.

A Eq. (2.239) é mais convenientemente escrita em termos de tensões. Dividindo ambos os lados

pela área da seção transversal e fazendo uso da definição de raio de giração ρ2 = I/A, obtém-se a

tensão admissível para colunas:

2

2

2

2

c'

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρ

π

ρ

π

L

Ec

L

EF tt (2.240)

Para fins de projeto é conveniente traçar as curvas da tensão admissível Fc vs a razão de esbeltez

efetiva L’/ρ para o material utilizado. Isto é facilmente realizável assumindo-se valores de Fc, achando os

valores correspondentes de Et da curva tensão deformação do material e calculando-se L’/ρ. Tais curvas

para uma série de materiais são apresentadas nas Figs. 2-27 a 2-39. Nestas figuras, a linha tracejada

horizontal é a tensão de escoamento. Valores acima destas linhas de corte em projeto têm de ser substanciados através de ensaios. Na Ref. 2.7 podem ser encontradas curvas adicionais.

A relação básica de Ramberg-Osgood para Et, Eq. (1.15), pode ser escrita na forma

( )( ) 17.0731

1−+

= nt

FFnEE

(2.241)

A Eq. (2.242) está representada graficamente na Fig. 2-40. Para um dado material, n, F07 e E são

conhecidos. Assumindo valores para a tensão F, a Fig. 2-40 pode ser utilizada para achar os valores

correspondentes de Et/E.

A Eq. (2.240) pode ser reescrita convenientemente na forma

2.59

2.60

2.61

2.62

2.63

( ) 27.02

2

7.02

27.0

c

' BE

Fc

L

EFL

EF

FEt =

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

==πρ

πρ

(2.242)

Por outro lado, multiplicando-se ambos os lados da Eq. (2.241) por F0.7/Fc, obtém-se

EF

c

L

EF

LB

FF

nFFF

FEE

n

ccc

t 7.02

2

7.02

2

2

7.07.0

7.0

'

73

1πρ

πρ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= (2.243)

Fixando n e assumindo valores de 7.0

c

FF

, pode-se calcular ρπ'1 7.0 L

EF

B = , utilizando a Eq.

(2.243). A Fig. (2-41) mostra os gráficos de Fc/F0.7 em função de B para diversos valores de n. O

problema pode também ser resolvido diretamente, numa calculadora ou por processo iterativo como

mostrado no Cap. 1. A equação de interesse é:

22

7.01

7.0

2

7.0

21

7.0

7.0

731

1'

731

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=−− LF

Ec

FFnLF

E

FFnF

Fn

c

n

c

c ρπ

ρπ (2.244)

2.64

2.19 FÓRMULAS EMPÍRICAS PARA FLAMBAGEM DE COLUNAS Fórmulas empíricas têm sido utilizadas através dos tempos para prever a carga de falha de colunas

curtas. Diante da boa correlação entre a teoria do módulo tangente e de dados experimentais para

colunas manufaturadas de materiais aeronáuticos, entretanto, o uso de fórmulas empíricas para a

flambagem primária de colunas não é necessário. Algumas poucas destas equações têm sido usadas na

indústria aeroespacial e são fornecidas na Ref. 2.6 como alternativa à equação do módulo tangente. Em

outro capítulo será mostrado que a teoria do módulo tangente não é aplicável a colunas que falham por

instabilidade secundária. É nesta situação que curvas empíricas encontram aplicação.

As fórmulas empíricas mais usuais empregam uma simples regra de potências na forma n

coLFF ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ρβ '

c (2.245)

onde Fco é a tensão em L’/ρ = 0 e n é um parâmetro que estabelece a forma da curva. O parâmetro Fco é

denominado de tensão de escoamento da coluna, e é dado como função da tensão de escoamento em

compressão para os materiais mais usuais na Ref. 2-6. No caso de falha secundária de colunas este

parâmetro será apropriadamente definido em capítulo posterior. O coeficiente β é determinado

obrigando-se a curva empírica a ser tangente à curva de Euler na razão de esbeltez de transição (L’/ρ)tr.

Equacionando as tensões dadas pelas Eqs. (2.240) e (2.245) em (L’/ρ)tr , obtém-se

( )2tr

2

tr ''

ρπ

ρβ

LELF

n

co =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− , e para derivadas iguais, dFc / d(L’/ρ) neste ponto

( )3tr

21-n

tr '2'

ρπ

ρβ

LELn −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

A solução simultânea deste sistema de equações leva a

( )( )[ ]( )

21

tr22

21' ; 21

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+= + nF

ELnFEn

E

con

con

πρπ

β (2.246)

Se L’/ρ ≤ (L’/ρ)tr , a tensão admissível é calculada pela Eq. (2-245); de outra forma, é calculada pela Eq.

(2.240).

Os parâmetros Fco e n são escolhidos de modo tal que a fórmula empírica aproxime os dados

experimentais. Para simplificar a equação, n é usualmente tomado como inteiro. Os valores mais

comumente utilizados são n =1 (fórmula da reta) e n =2 (parábola de Johnson), ou seja:

( )coco

co FEL

FELFFn 3' ; '385,01 1 c π

ρπρ

≤⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=⇒= (2.247)

( )co

coco F

ELE

LFFFn 2' ;

4'

1 2 2

2

c πρπ

ρ≤

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=⇒= (2.248)

Como será visto em capítulo posterior, a parábola de Johnson pode ser modificada de modo que:

para L’/ρ > 12,5, Fc = Fcm [1 – (Fcm/4π2E)(L’/ρ)2], com Fcm = φ [ 1 – (1 – 2Fco/φ)½ ], onde φ = 2E (π/12,5)2; e

Fc = Fco para L’/ρ ≤ 12,5. Curvas para esta parábola modificada podem ser encontradas na Ref. 2-8.

2.65

2.20 EXEMPLOS DE ANÁLISE EM FLAMBAGEM DE COLUNAS Nesta seção serão considerados alguns exemplos de análise de flambagem em colunas que

deverão auxiliar o leitor na aplicação dos métodos e conceitos apresentados neste Capítulo.

EXEMPLO 2.1 A figura mostra um membro forjado de seção em I, de 30 in de comprimento, que é utilizado como um mebro em compressão. Considerando que o coeficiente de fixação para flexão em torno do eixo x-x é 1 e aquele para flexão em torno do eixo y-y é 1.5, ache as tensões e cargas admissíveis se o membro é manufaturado dos seguintes materiais:

Caso 1: Liga Al 7079-T6 forjado manualmente, na temperatura ambiente; Caso 2: como no Caso 1, mas sujeito a ½ hora na temperatura de 300o F; Caso 3: como no Caso 2, mas 600o F; Caso 4: Aço Inox 17-4 PH, forjado manualmente, na temperatura ambiente

Como a coluna pode falhar por flexão tanto em torno do eixo x quanto do eixo y, a resistência da

coluna em flexão em torno de ambos os eixos deve ser calculada. Uma vez que a resistência da coluna é função do raio de giração da seção, o primeiro passo da solução consiste em se calcular os momentos de inércia em torno dos eixos x e y.

Cálculo de Ix: Considere inicialmente considerada um retângulo de dimensão 2,5” x 2,75” e subtraia as contribuições das porções (1) e (2):

42

33 in 03,3325,0375,1

225,025,1425,175,0

1212 - 2,75 5,2

121

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×

××−××××=xI

(no cálculo acima foram desprezados os momentos de inércia dos triângulos em torno de seus eixos centroidais)

2in 375,42

25,025,1425,175,0275,25,2 ≈×

×−××−×=A

in 83,0375,403,3

≈=xρ

Cálculo de Iy:

432

233

in 58,136

25,125,0325,125,1

225,025,14-

875,075,025,175,025,11212 - 2,5 75,2

121

≈⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ ×

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×

××

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ××+××××=yI

in 60,0375,458,1

≈=yρ

Para falha em torno do eixo 3683,030' in 30130' : ≈=⇒=== xLcLLx ρ

Para falha em torno do eixo 4160,06,24' in 6,245,130' : ≈=⇒== yLLy ρ

Portanto, a falha é crítica para flexão em torno do eixo y, com L’/ρ = 41.

2.66

Caso 1: Usando a Fig. 2-38, para L’/ρ = 41 e temperatura ambiente obtém-se Fc = 50,5 ksi. A carga de

falha é, portanto, P = 50,5 x 4,375 ≈ 220 kips.

Caso 2: A curva para 300oF na Fig. 2-38 fornece o valor Fc = 40,4 ksi, donde P ≈ 177 kips.

Caso 3: A curva para 600oF na Fig. 2-38 fornece o valor Fc = 6,1 ksi, donde P ≈ 26,7 kips. Portanto,

sujeitando este membro a uma temperatura de 600o F durante ½ hora reduz a sua resistência de

220 kips à 26,7 kips, o que significa que a liga de alumínio é um material muito pobre para

suportar cargas sob tais temperaturas, uma vez que a redução em resistência é muito grande.

Caso 4: A curva para temperatura ambiente da Fig. 2-32 fornece o valor Fc = 135,2 ksi, e em

conseqüência P ≈ 591 kips.

EXEMPLO 2.2 É solicitado resolver os Casos 1 e 2 do Exemplo anterior, utilizando os parâmetros de Ramberg-

Osgood. Os dados relavantes para os mateirias envolvidos são os seguintes:

Caso 1: Liga Al 7079-T6 forjada à mão, temp. amb.: Ec = 10.500 ksi, F0.7 = 59,5 ksi, n = 26, Fcy = 59 ksi

Caso 2: Liga Al 7079-T6 forjada à mão, ½ h. a 300oF: Ec = 9.400 ksi, F0.7 = 46,5 ksi, n = 29, Fcy = 47 ksi

Solução:

Caso 1: Resolvendo-se a Eq. (2.244) numa calculadora, ou por um processo iterativo, obtém-se Fc/F0.7 = 0,854, de modo que Fc = 50,8 ksi.

A Fig. 2-41 pode ser utilizada para fornecer o valor de Fc/F0.7 diretamente. Basta calcular o parâmetro B e procurar o valor associado de Fc/F0.7 na curva de n = 26:

ksi 6,50 85,0 982,041500.10

5,591

7.0

≈⇒≈⇒== cc F

FF

Bπ

O resultado é praticamente o mesmo obtido no exemplo anterior!

Caso2: A solução numérica da Eq. (2.244) fornece Fc/F0.7 = 0,880. A solução via Fig. 2.41 é

ksi 9,40 88,0 918,041400.9

5,461

7.0

≈⇒≈⇒== cc F

FF

Bπ

Mais uma vez, o resultado se aproxima bastante da solução obtida no exemplo anterior.

EXEMPLO 2.3 A figura mostra uma seção extrudada, cujas propriedades estão listadas numa tabela de seções padrões utilizadas por uma indústria aeronáutica:

A = ½ in ; B = 1¾ in ; T = 81 in ; R = 8

1 in Area = 0,594 in2 ; Ixx = 0,2268 in4 ; Iyy = 0,1023 in4 ; ρxx = 0,618 in ; ρyy = 0,415 in

Um membro composto desta seção tem 32 in de comprimento e está simplesmente apoiado em ambas as extremidades. O membro é suportado lateralmente na direção x, de modo que a falha se dará por flexão em torno do eixo x-x. O material é extrusão de Liga Al 7075-T6, cujas propriedades e parâmetros de Ramberg-Osgood são:

Temperatura ambiente: Ec = 10.500 ksi, F0.7 = 72 ksi, n = 16,6, Fcy = 70 ksi ½ hora a 450o F: Ec = 7.800 ksi, F0.7 = 29 ksi, n = 8,8, Fcy = 25 ksi

O problema é determinar a tensão admissível nestas duas condições.

2.67

Solução:

Apoio simples ⇒ L’ = L . L’/ρ = 32/0,618 = 51,7

Caso 1: Resolvendo-se a Eq. (2.244) numericamente resulta em Fc/F0.7 = 0,538, ou Fc = 38,7 ksi.

Fazendo uso da Fig. 2-35, a tensão admissível pode ser lida diretamente para L’/r = 51,7 a curva para temperatura ambiente fornece Fc = 38,5 ksi.

Caso 2: A curva para ½ hora a 450oF da Fig. 2-35, fornece uma tensão, para L’/ρ = 51,7, Fc = 20 ksi .

Para n = 8,8 e B calculado abaixo, a Fig. 2.41 fornece:

ksi 3,21 735,0 00,17,51800.7291

7.0

≈⇒≈⇒== cc F

FF

Bπ

ou seja, um resultado um pouco maior do que através da curva do material.

EXEMPLO 2.4 Uma liga de alumínio muito comum na construção de aeronaves é a extrusão 2014-T6, cujas

propriedades à temperatura ambiente são: Ec = 10.700 ksi, F0.7 = 53 ksi, n = 18,5, Fcy = 53 ksi . O problema é determinar a tensão admissível para a coluna do exemplo anterior à temperatura ambiente (Caso 1).

Solução:

Como a curva do material para este caso não está disponível, a solução será dada via o modelo de Ramberg-Osgood (Fig. 2-41).

ksi 6,37 71,0 16,17,51700.10

531

7.0

≈⇒≈⇒== cc F

FF

Bπ

É interessante notar que o resultado para a liga Al 2014-T^, cuja tensão de escoamento em compressão é 53 ksi, forneceu uma tensão admissível (37,6 ksi) somente um pouco menor do que aquela (38.5) calculada para a liga Al 7075-T^, cuja tensão de escoamento (72 ksi) é sensivelmente maior. Isto é devido ao fato de que a tensão admissível para um valor da razão de esbeltez L’/ρ = 51,7 está perto do limite proporcional, ou seja, o módulo tangente não é muito distinto do módulo de elasticidade.

Para ilustrar uma situação onde a liga 7075 é mais eficiente em comparação com a liga 2014, assuma que o membro tenha uma conexão rígida em sua extremidade, tal que o coeficiente equivalente de fixação seja c = 2. Nestas condições, L’ = 32 / √ 2 = 22,6 e L’/ρ = 22,6/0,618 = 36,7.

Para a liga 7075-T6, da Fig. 2-35 obtém-se Fc = 58,3 ksi.

Para a liga 2014-T6, utilizando a Fig. 2-41

ksi 1,46 87,0 823,07,36700.10

531

7.0

≈⇒≈⇒== cc F

FF

Bπ

Como pode ser notado, a liga 7075 permitiria um peso menor do material estrutural requerido.

De uma maneira geral, deve ser notado que na região elástica o problema pode ser resolvido diretamente, sem fazer uso das curvas de coluna ou o modelo de Ramberg-Osgood, pois no regime elástico o módulo não varia. Não custa também lembrar que a Eq. (2.240) fornece a tensão admissível para um membro sujeito à falha primária por flexão. Não são consideradas as possibilidades de flambagem e/ou falha local ou falha por flambagem torsional ou flexo-torsional. Estes modos de falha serão considerados em capítulos mais adiante.

2.68

EXEMPLO 2.5

A figura mostra uma coluna de seção variável, simplesmente apoiada. O membro é usinado de uma barra extrudada de 1 in de diâmetro, feita em liga Al 7075-T6. O problema consiste em achar a carga admissível para o membro. As propriedades da seção podem ser calculadas através das expressões

64;4 42 dIdA ππ == . Desta forma, tem-se E1 = E2 = 10.500 ksi

PORÇÃO 1: 41

21 in 0491,0 ;in 7854,0 == IA PORÇÃO 2: 4

22

2 in 0155,0 ;in 4418,0 == IA

Da parte relevante da Fig. 2-12, Pcr = B(EI)1/L2 . Esta é a equação de Euler para falha sob flexão elástica. Se a razão a/L é igual a 1 (seção uniforme), B toma o valor de π2, ou aproximadamente 10 como indicado na figura. As curvas na Fig. 2-12 são aplicáveis somente para falha elástica. Quando a falha elástica se der no regime plástico, veja como proceder no exemplo 2.6. Como o membro da figura acima é bastante esbelto, assuma inicialmente que a falha se dará no regime elástico e depois verifique se a hipótese é verdadeira.

0,7 12-2 Fig. 5,06030 ; 17,3

0155,0500.100491,0500.10

2

1 ≈⇒⇒==≈××

= BLa

EIEI

de modo que kips 00,160

0491,0500.10722

1 =××

==L

BEIPcr

As tensões em cada trecho são, então,

f1 = 1 / 0,7854 = 1,28 ksi ; f2 = 1 / 0,4418 = 2,27 ksi

Estas tensões de compressão estão abaixo do limite de proporcionalidade do material, de modo que Ec é constante e a solução está correta.

EXEMPLO 2.6

A figura mostra a coluna do exemplo anterior com as dimensões longitudinais encurtadas para 1/5 dos comprimentos originais. Não há alterações no que tange o material e seções transversais. Propriedades da extrusão Al 7075-T6 Ec = 10.500 ksi, F0.7 = 72 ksi, n = 16,6, Fcy = 70 ksi

Esta coluna é relaticamente curta, de modo que a tensão de falha pode estar na região plástica. Como o módulo não é constante, a solução temn de ser obtida por tentativa e erro. Como primeira tentativa, considere uma coluna com eslbeltez igual à média da coluna da figura:

Primeira Tentativa:

in 219,0 in 1875,0 ;in 25,0 4

16 médio21

2

=⇒==∴=== ρρρρ ddAI

A Fig. 2-35 é a curva de coluna para extrusões em liga de alumínio 7075-T6. Com L’/ρ = 12 / 0,219 ≅ 55, obtém-se Fc = 33,5 ksi. Portanto,

P = Fc A = 33,5 x 0,7854 = 26,3 kips ; f1 = 33,5 ksi e f2 = 26,3 / 0,4418 = 59,5 ksi

A tensão no trecho 2 está acima do limite de proporcionalidade, de modo que uma correção de plasticidade deve ser feita ao se utilizar as curvas aplicáveis da Fig. 2-12. Utilizando a Eq. (2.241) ou a Fig. 2-40 pode-se calcular o módulo tangente sob as duas tensões calculadas para as duas porções.

Porção 1: f1 / F0.7 = 33,5 / 72 = 0,465 ⇒ Et1 = E = 10.500 ksi

Porção 2: f2 / F0.7 = 59,5 / 72 = 0,826 ⇒ Et2 = 0,735 E = 7.700 ksi e

2.69

8,5 12-2 Fig. 5,0126 ; 32,4

0155,0700.70491,0500.10

2

1 ≈⇒⇒==≈××

= BLa

EIEI

e

Pcr = 5,8 x 10.500 x 0,0491 / 122 = 20,8 kips.

Como a carga calculada difere razoavelmente da carga tentativa de 26,3 kips, uma nova iteração é necessária.

Segunda Tentativa: Assuma uma carga crítica P = 23,6 kips

f1 = 23,6 / 0,7854 = 30,05 ksi e f2 = 23,6 / 0,4418 = 53,42 ksi

Porção 1: f1 / F0.7 = 30,05 / 72 = 0,417 ⇒ Et1 = E = 10.500 ksi

Porção 2: f2 / F0.7 = 53,42 / 72 = 0,742 ⇒ Et2 = 0,937 E = 9.840 ksi e

7,6 12-2 Fig. 5,0126 ; 38,3

0155,0840.90491,0500.10

2

1 ≈⇒⇒==≈××

= BLa

EIEI

e

Pcr = 6,7 x 10.500 x 0,0491 / 122 = 24 kips.

Terceira Tentativa: Assuma uma carga crítica P = 24 kips

f1 = 24 / 0,7854 = 30,56 ksi e f2 = 23 / 0,4418 = 54,32 ksi

Porção 1: f1 / F0.7 = 30,56 / 72 = 0,424 ⇒ Et1 = E = 10.500 ksi

Porção 2: f2 / F0.7 = 54,32 / 72 = 0,754 ⇒ Et2 = 0,920 E = 9.660 ksi e

7,6 12-2 Fig. 5,0126 ; 44,3

0155,0660.90491,0500.10

2

1 ≈⇒⇒==≈××

= BLa

EIEI

e

Pcr = 6,7 x 10.500 x 0,0491 / 122 = 24 kips e a convergência foi obtida.

NOTA IMPORTANTE:

Todos os tipos de colunas representadas na Fig. 2-12 são resolvidos de forma semelhante. Estes gráficos devem ser utilizados somente para colunas simplesmente apoiadas, pois o coeficiente de fixação c para colunas com afilamento não é o mesmo daquele para colunas uniformes.

EXEMPLO 2.7

A figura mostra uma treliça tubular de aço soldado de três vãos. O problema é determinar a tensão admissível para o membro AB. A resistência do membro AB depende dos coeficientes de fixação em A e B. O diâmetro e espessura de cada tubo estão indicados na fgura. O material é aço AISI 4130 Normalizado à temperatura ambiente: Ftu = 90 ksi ; Fcy = 70 ksi ; Ec = 29.000 ksi ; F0.7 = 61,5 ksi ; n = 6,8

O membro AB está soldado a três outros tubos em ambas as extremidades. Como estes tubos são os mesmos em ambas as extremidades, o coeficiente de fixação nas extremidades A e B do membro são iguais.

Considere o tubo BD que é típico. O momento µ requerido em B para que esta extremidade sofra uma rotação unitária depende da condição de apoio em D. Se a extremidade D for engastada, µ = 4EI/L e se for simplesmente apoiada, µ = 3EI/L. Sendo um pouco conservativo, considere que as barras convergindo para A e B sejam simplesmente apoiadas em suas extremidades afastadas. Portanto, tem-se:

Membro AC: ( ) ( ) 001289,0 ;in 03867,0

4567,0625,0

44

4441

40 ==

−=

−=

LIrr

I ππin3

2.70

Membro AE: ( ) 000711,0 ;in 02775,0

45045,05625,0 4

44

==−

=LII π

in3

Membro AF: ( ) 000961,0 ;in 02402,0

45135,05625,0 4

44

==−

=LII π

in3

( ) 6,25729000000961,0000711,0001289,033 =++== ∑ LEIµ kips.in/rad

Para o membro AB, µL / EI = (257,6 x 30) / (29.000 x 0,03867) = 6,89

A Fig. 2-10 (c) superior fornece então o coeficiente de fixação c = 2,48. Assim,

( ) 422,02172,0

03867,0 ;in 2172,0567,0625,0in 0,1948,2

30' 222 ===−==== ρπAc

LL

L’ / ρ = 19,0 / 0,422 = 45,1 ⇒ Fig. 2-29 ⇒ Fc = 55 ksi

Como este nível de tensão está no regime elástico, o problema está resolvido. De outra forma seria necessária uma iteração, como no exemplo anterior.

OBSERVAÇÃO: Numa estrutura em treliça todos os membros suportam cargas axiais e cargas axiais afetam a habilidade dos membros em resistir rotações em suas extremidades. A presente solução é simplificada no sentido de que não foram considerados os efeitos de segunda ordem devidos às cargas axiais no cálculo da constante de mola µ do apoio elástico (mesmo porque o carregamento na estrutura não foi fornecido).

2.21 EXERCÍCIOS EXERCÍCIO 2.1

b

eixo de articulação

eixo de articulação

P

P

h

L

Uma coluna simplesmente apoiada de seção retangular e comprimento L está sujeita a uma carga de compressão central P . A coluna é suportada de modo a flambar em torno de um eixo paralelo ao lado de comprimento b, como indicado na figura. a) Determine a razão dos pesos de duas colunas manufaturadas de dois materiais distintos, supondo que ambas tenham a mesma carga crítica, o mesmo comprimento L e a mesma largura b. As propriedades dos dois materiais são, respectivamente, E1, ω1 e E2, ω2 , onde ω é o peso específico. Considere flambagem elástica. b) Sejam os seguintes materiais, na temperatura ambiente:

1. Liga de Aço 5 Cr-Mo-V (E = 30.000 ksi e ω = 0,281 lb/in3) 2. Aço Inox 17-7 PH (E = 30.000 ksi e ω = 0,276 lb/in3) 3. Liga de Alumínio 7075-T6 (E = 10.500 ksi e ω = 0,101 lb/in3) 4. Liga de Magnésio AZ61A (E = 6.300 ksi e ω = 0,0647 lb/in3) 5. Liga de Titânio 6A1-4V (E = 16.400 ksi e ω = 0,160 lb/in3)

Qual deles daria o projeto mais leve?

EXERCÍCIO 2.2 Determine qual o aumento de temperatura ∆T necessário para causar a flambagem elástica de uma coluna de comprimento L uniformemente aquecida. A coluna tem seção constante (ρ = raio de giração = constante) e coeficiente de fixação c . Ambas as extremidades são rigidamente fixadas na direção axial (movimento axial impedido). Dados do material: E, α (coeficiente de dilatação térmica).

2.71

EXERCÍCIO 2.3

Considere o pórtico da figura. As colunas têm rigidez em flexão EI e a viga, EI1. Nestas condições: a) ache a equação característica da coluna para instabilidade anti-simétrica (vide figura) b) resolva a equação acima para os casos particulares: I1 = 0 e I1 → ∞ Na solução do problema, desconsidere as deformações axiais nas colunas, bem como aquelas de cisalhamento.

EXERCÍCIO 2.4

EI

EI EI

A D

B CP P

b

a

Um pórtico plano retangular ABCD é rigidamente fixado à fundação em A e D e está sujeito à ação de uma carga compressiva P, aplicada em cada uma das extremidades do membro horizontal BC. Admitindo que todos os membros têm a mesma rigidez em flexão EI, mostre que as cargas de flambagem para modos que são simétricos em relação à linha central vertical de simetria são dados pela equação transcendental:

ka/2 = - 2(a/b) tan (ka/2)

onde k2 = P/EI EXERCÍCIO 2.5 c) resolva a equação característica e plote a solução Pcr/PE em função de β onde PE é a carga de Euler (π2 EI/L2)

Uma barra uniforme de comprimento L e rigidez a flexão EI está engastada numa extremidade. Na outra, está articulada a uma mola, de constante α . A barra está submetida a uma carga central P .

Seja β = α L3 / (EI) a) formule o problema de auto-valor correspondente (equação diferencial e condições de contorno)

b) ache a equação característica do problema, em função de k , β e L, onde k2 = P/EI

d) verifique a solução encontrada, comparando com os resultados esperados para os valores extremos de β (0,4)

EXERCÍCIO 2.6

Uma coluna uniforme de comprimento L e rigidez em flexão EI, engastada numa extremidade e livre na outra, foi projetada de modo a apresentar carga crítica P.

Subseqüentemente esta coluna tem de suportar uma carga

aumentada. Para tanto, é colocada uma mola lateral na

extremidade livre.

Determine a constante de mola k necessária para que a carga crítica aumente para 4P.

P P

a

b

EI EI

EI1

x

y

L

EI = cte

α

P

L

EI = cte

k

4P

P

2.72

EXERCÍCIO 2.7 Uma barra uniforme de comprimento a e rigidez a flexão EI

está engastada numa extremidade. Na outra, está articulada a um mecanismo (barra rígida) de comprimento b, cuja outra extremidade é articulada de modo a deslizar ao longo de uma linha horizontal, entre guias suaves e rígidas. O conjunto está inicialmente reto e alinhado e submetido a uma carga P. a) Usando o processo variacional, determine a equação de equilíbrio e as condições de contorno pertinentes ao problema, supondo flambagem elástica. b) Resolvendo a equação diferencial de equilíbrio, ache a equação característica do problema.

EXERCÍCIO 2.8

x

P P

L

y

A coluna da figura é um tubo de seção circular, com diâme-tro d e espessura t. O membro, quando descarregado, apresenta uma forma de curva que pode ser representada por:

y(x) = δ sen (πx/L)

Mostre que, quando a carga P é aplicada, a tensão máxima no membro pode ser expressa por:

σmax = (P/πdt) [ 1 + 1/(1-α) (4δ/d) ]

onde α = P/PE , PE = π2EI/L2

Considere t pequeno quando comparado a d, de modo a serem válidas as seguintes expressões: área da secção do tubo = πdt, e momento de inércia = πd3t/8

EXERCÍCIO 2.9

Uma coluna é composta de duas barras rígidas articuladas entre si e em A e B. A rótula em B está sujeita a uma carga axial P e pode deslizar livremente. Cada barra contém travessões rígidos, ligados entre si por molas lineares de constante k. Nestas condições, pede-se a) a carga crítica Pcr .

b) seja θ o ângulo entre a barra e a vertical; plote P/Pcr vs. θ ,para grandes deflexões.

c) seja uma coluna imperfeita, apresentando uma deflexão inicial θ0 ;nestas condições plote P/Pcr vs. θ, para grandes deflexões e para valores crescentes de θ .

EXERCÍCIO 2.10 A coluna da figura, bi-apoiada, está sujeita a uma

carga axial central P.

(a) Utilizando o método de Rayleigh-Ritz associado a uma função admissível de três termos, ache a carga crítica da coluna.

(b) O resultado que você achou é exato? Por que?

r

L/2

L/2

P

A

B

k

EI

a

b P

L/2

EI P

2.73

EXERCÍCIO 2.11 A coluna bi-engastada da figura, de comprimento L e rigidez

à flexão EI, está sujeita a um carregamento distribuído uniforme p (força por unidade de comprimento). Utilizando o método de sua escolha, determine a carga crítica. Afirme, justificando, se o resultado encontrado é exato, ou se é um limitante superior ou limitante inferior à carga crítica real.

EXERCÍCIO 2.12 Utilizando o método de Rayleigh-Ritz em conjunção com a

aproximação de três termos para a deflexão,

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

3

1

sen)(n

n Lxnaxw π

a) ache a equação característica.

b) plote a curva EIkLPP E3× , onde PE é a carga de Euler

c) discuta o comportamento do sistema, à medida que k varia de 0 a ∞.

EXERCÍCIO 2.13 Utilizando o método de Rayleigh-Ritz em conjunção com a

aproximação de três termos para a deflexão,

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

3

1

sen)(n

n Lxnaxw π

a) ache a equação característica.

b) plote a curva 60 para , 5,00 , / 3 =≤≤× EIkLLaLaPP E , onde PE é

a carga de Euler

c) discuta o resultado com base na Fig. 2-10 (a)

EXERCÍCIO 2.14 Uma coluna tubular simplesmente apoiada, de

comprimento L, tem espessura de parede afilada, de modo que o momento de inércia da seção transversal decresce uniformemente de I0, no centro, para 0.2I0 nas extremidades. Nestas condições:

a) Estime a carga crítica de flambagem.

b) O valor encontrado é um limitante superior, um limitante inferior, ou é o resultado exato? Por que?

EXERCÍCIO 2.15

krkr EI

L

Use o método de Rayleigh Ritz para obter uma solução aproximada para a carga crítica de uma coluna uniforme, cujas extremidades têm restrições elásticas rotacionais de rigidez kr = 3 EI/L.

Use a aproximação: w(x) = A sen (πx/L) + B [ 1 - cos (2πx/L) ]

x y

L

I/5

I

L/2

P

P

p = cte

EI = cte

L/2 L

P P

k

a L

P P

k

2.74

EXERCÍCIO 2.16 Considere conhecida a expressão do potencial total de uma estrutura linearmente elástica:

{ } { } { } { }dSudVfVUT

S

T

V ∫∫ −=+ φε21

,

Suponha que dois analistas lhe apresentem resultados referentes aos deslocamentos {u} da estrutura, calculados usando o médtodo direto do cálculo variacional (Rayleigh-Ritz), a partir de aproximações do tipo:

{ }( ) ( ) ( )[ ]{ }( )jjj azyxu ,,ψ=

onde j se refere ao analista (1 ou 2).

Explique, justificando, como você escolheria o melhor resultado em termos de deslocamentos.

Considere conhecidas as relações entre deformações e deslocamentos e entre tensões e deformações, os seja, conhecendo-se os deslocamentos {u} em qualquer ponto (x,y,z) da estrutura, pode-se calcular as deformações {ε} e tensões {f} neste ponto.

{φ} = pressões conhecidas, aplicadas à superfície do corpo; {a}(j) = coeficientes, calculados pelo método direto; {Ψ}(j)(x,y,z) = funções escolhidas pelos analistas, satisfazendo as condições de contorno. geométricas EXERCÍCIO 2.17

Considere a asa uniforme da figura, engastada na raiz, num escoamento com pressão dinâmica q∞. Um elemento de asa, ∆y, está submetido às forças (desconsiderando o arrasto): ∆L = q∞ c (dCL/dα)(α + θ) ∆y ∆M0 = q∞ c2 CM,0 ∆y onde: α é o ângulo de ataque da asa rígida θ(y) é o ângulo de torção elástica, e CLe CM,0 são coeficientes aerodinâmicos Sabendo-se que a energia de deformação, em torção, é dada por

Utorção = ½ ∫ GJ (dθ/dy)2 dy a) Derive a equação diferencial de equilíbrio em torção e as condições de contorno; b) Ache a pressão dinâmica qD e o modo correspondente θD(y), na condição de divergência. Nota: divergência = instabilidade estática do sistema

EXERCÍCIO 2.18 Para o material caracterizado abaixo, trace as curvas de projeto para colunas Fcr x (L’/ρ) , onde Fcr é a tensão crítica, L’ o comprimento efetivo e ρ o raio de giração da seção: 1. Utilizando a teoria do módulo tangente para flambagem inelástica em associação com o modelo de

Ramberg & Osgood; 2. Utilizando a fórmula Fcr = Fy - C(L’/ρ)m para flambagem inelástica, onde C e m são determinados

de forma a fazer com que esta curva tangencie a de Euler em Fcr = Fp ; mostre o valor de m; 3. Utilizando a fórmula empírica da reta para flambagem inelástica (Fco = Fy ); 4. Utilizando a fórmula empírica da parábola de Johnson para flambagem inelástica(Fco = Fy).

Discuta os resultados obtidos acima.

Dados do Material: Fp = 54,00 ksi; Fy = 70,67 ksi; F07 = 73,10 ksi; E = 10.500 ksi; n = 10,91 Nota: Fco é a tensão de falha quando L’/ρ = 0

∆y

ec c

q α+θ(y)

∆L ∆M0

CA = centro aerodinâmico

CE = centro elástico

b 0

q∞

b

y

2.75

EXERCÍCIO 2.19 A coluna da figura tem seção quadrada de lado a ,

e é manufaturada utilizando-se o material do exercício 2.18.

Supondo a coluna perfeita, ache o valor mínimo de a tal que a coluna resista a uma carga central P = 15 kips (15.000 lb), sem falhar.

No caso de se tratar de projeto plástico, o valor de a deve ser achado utilizando-se, respectivamente, cada um dos 4 modelos do exercício 2.18.

Discuta os resultados. EXERCÍCIO 2.20 Qual a carga máxima que a coluna do exercício 2.16 suportaria, com L = 10 in e a = 0,4 in ? EXERCÍCIO 2.21 A figura mostra uma seção extrudada de uma coluna de comprimento

32”. A coluna é apoiada lateralmente na direção y, de maneira que a falha se dará por flexão em torno do eixo x-x.

Dadas as propriedades mecânicas das seguintes ligas de alumínio:

- extrusão 2014-T6 (n = 18,5 ; Ec=10.700 ksi ; F0.7 = 53 ksi ; Fcy = 53 ksi) - extrusão 7075-T6 (n = 16,6 ; Ec=10.500 ksi ; F0.7 = 72 ksi ; Fcy = 70 ksi)

a) ache a tensão de falha para as colunas quando o coeficiente de fixação é c = 1 (faça os cálculos para ambos materiais);

b) ache a tensão de falha para as colunas quando o coeficiente de fixação é c = 4 (faça os cálculos para ambos materiais);

c) discuta os resultados encontrados; por que, em a) você achou resultados semelhantes apesar das tensões de escoamento dos materiais serem tão distintas? Por que o mesmo não ocorreu em b) ?

Para a solução do problema use a teoria do módulo tangente. EXERCÍCIO 2.22 A coluna da figura tem seção circular de raio R e é

manufaturada em extrusão de liga alumínio 7075-T6 (n = 16,6 ; Ec = 10.500ksi; F0.7 = 72 ksi ; Fcy = 70 ksi, ν = 0,3).

Ache o valor mínimo de R tal que a coluna resista a uma carga central P = 20 kips, sem falhar.

Dado: I = πR4/4 EXERCÍCIO 2.23 Uma coluna simplesmente apoiada numa extremidade e engastada

noutra, de seção quadrada de lado a, forjada em liga de alumínio 7075-T6 (E = 10.500 ksi, Fcy = 63 ksi, F0.7 = 63,8 ksi, n = 25), está sujeita a uma carga de compressão de 40 kips. Pede-se:

a) Qual o valor mínimo de a para que uma coluna de comprimento 40 in não flambe sob a carga dada?

b) Qual o valor mínimo de a para que uma coluna de comprimento 15 in não flambe sob a carga dada?

x x

y

1 1/2”

1 3/4”

1/8”

a

a

7 in

P

10 in

P

2.76

EXERCÍCIO 2.24 A coluna de seção dada na figura tem comprimento e condições de

contorno tais que Pcr = 0,03 Et I in-2 .

Supondo que o material da coluna é liga de alumínio extrudado 7075-T6 (n = 16,6 ; Ec = 10.500ksi; F0.7 = 72 ksi ; Fcy= 70 ksi, ν = 0,3), ache a espessura mínima para que a coluna resista a uma carga de 30 kips. Desconsidere possibilidade de flambagem local. Utilize a teoria do módulo tangente.

EXERCÍCIO 2.25

A relação entre a tensão e deformação de certo material em compressão é 10.500 ε = f + 21 (f/49)16.

Assumindo ser válida a teoria do módulo tangente para barras uniformes deste material, plote o gráfico Fcr vs (L’/ρ), onde Fcr é a tensão crítica, L’ o comprimento efetivo da coluna, e ρ a raio de giração mínimo da seção.

Estime a carga crítica para uma coluna tubular manufaturada deste material, com diâmetro externo de 1,5 unidades, diâmetro interno de 0,08 unidades e comprimento efetivo de 20 unidades. EXERCÍCIO 2.26

Determine qual o aumento de temperatura ∆T necessário para causar a flambagem de uma coluna de comprimento L uniformemente aquecida. A coluna (que está livre de tensões na temperatura ambiente de referência) tem seção constante (ρ = raio de giração = constante) e coeficiente de fixação c . Ambas as extremidades são rigidamente fixadas na direção axial (movimento axial impedido). Dados do material: n, Ec, F0.7 (parâmetros de Ramberg-Osgood) e α (coeficiente de dilatação térmica). EXERCÍCIO 2.27

Uma coluna de comprimento L = 60 in, que está conectada a molas torsionais de constante µ = 10.000 kips-in/rad em ambas as extremidades, está sujeita a uma carga axial P = 170 kips. A área e o momento de inércia da seção transversal são, respectivamente, A = 1,652 in2 e I = 2,54 in4. Se a coluna é manufaturada em Liga de Titânio 6AL-4V (Fcy = 110 ksi, E = 15.500 ksi, F0.7 = 119,5 ksi, n = 13,7, Ftu = 120 ksi), qual será a carga admissível? Qual será a margem de segurança?

EXERCÍCIO 2.28

A coluna da figura, composta de uma barra de seção circular de diâmetro ½ in é simplesmente apoiada em suas extremidades e apoiada lateralmente de forma que a flexão se dê no plano da figura. A barra é manufaturada em aço AISI 4130 tratado termicamente, cujas propriedades são dadas: Ec = 29.000 ksi, Ftu = 125 ksi, Fcy = 113 ksi, F0.7 = 111 ksi, n = 10,9. A mola tem constante 775 lb/in.

Qual a tensão admissível, se a = 10 in e b = 14 in (L = 24 in)? EXERCÍCIO 2.29

Como o exercício 2.28, mas com a = 3 in e b = 6 in (L = 9 in)

EXERCÍCIO 2.30

A liga de alumínio 6061-T6 em chapa, tratada termicamente e envelhecida tem as seguintes propriedades:

Temperatura ambiente: Ec = 10.100 ksi, Ftu = 42 ksi, Fcy = 35 ksi, F0.7 = 35 ksi, n = 31

Exposição de ½ hora a 300oF: Ec = 9.500 ksi, Fcy = 29,5 ksi, F0.7 = 29 ksi, n = 26

Trace as curvas de coluna para o material acima nas duas condições fornecidas.

5 in t

5 in

t

t

a bL

P P

k

2.77

EXERCÍCIO 2.31

A figura mostra a seção transversal de um membro em compressão. Calcule a carga crítica na seguinte condição:

L = 25 in ; coeficiente de fixação = 1 para flexão em torno de x-x ; coeficiente de fixação = 1,5 para flexão em torno de y-y

Material Aço AISI tratado para Ftu = 180 ksi.

EXERCÍCIO 2.32

Como no Exercício 2.31, mas o membro está sujeito à uma temperatura de 850oF durante ½ hora.

EXERCÍCIO 2.33

Duas seções extrudadas em canal idênticas são rebitadas para compor uma seção em I de uma coluna. As propriedades destas seções conforme dadas pelo manual de uma indústria aeronáutica são:

A = 1,25 in, B = 1,5 in, T = 0,125 in, R = 0,125 in

Area = 0,5 in2 ; y = 0,56 in ; Ix = 0,1106 in4 ; Iy = 0,1292 in4

Se o membro tiver comprimento de 26 in , coeficiente de fixação c = 1, e o material é uma extrusão de liga de alumínio 7075-T6, qual é a carga de falha?

Se o membro é conectado rigidamente à estrutura adjacente de forma a que c = 2, qual será a carga de falha?

EXERCÍCIO 2.34

Considere que a coluna do exercício 2.33 seja manufaturada em extrusão de liga de alumínio 2014-T6. Nestas condições, qual será a carga de falha para as duas condições do coeficiente de fixação dadas no exercício 2.33.

EXERCÍCIO 2.35

A coluna simplesmente apoiada da figura é manufaturada em aço normalizado AISI-4130, Ftu = 90 ksi e Fcy = 70 ksi.

(Ec = 29.000 ksi, F0.7 = 61,.5 ksi, n = 6,8)

Determine a máxima carga de compressão que o membro poderá carregar.

EXERCÍCIO 2.36 Como no exercício 2.35, mas o membro está exposto durante ½ hora à temperatura de 500oF. (Ec = 27.300 ksi, Fcy = 61,5, F0.7 = 55 ksi, n = 7,3)

EXERCÍCIO 2.37 Como no exercício 2.35, mas as dimensões do membro são a = 10 in e L = 14,28 in.

y

1” 3/2”

2”

2”

1/2” R

1/2” R

x x

y

2.78

EXERCÍCIO 2.38

Ache a carga de compressão máxima para a coluna da figura. O membro é manufaturado por forjamento de liga de alumínio 7079-T6.

Propriedades: Ftu = 67 ksi, Fcy = 59 ksi, Ec = 1.0500 ksi, F0.7 = 59,5 ksi, n = 26

EXERCÍCIO 2.39 Como o exercício 2.38, mas com as dimensões a = 6 in, b = 4 in, L = 14 in. EXERCÍCIO 2.40 O membro cilíndrico afilado da figura é usado em

compressão.

Achar a carga de falha do membro manufaturado em aço AISI 4140, tratado termicamente para Ftu = 125 ksi.

Os parâmetros de Ramberg-Osgood para análise na região plástica são: Ec = 20.000 ksi, Fcy = 113 ksi, F0.7 = 111 ksi, n = 10,9

EXERCÍCIO 2.41 Como o exercício 2.40, mas com as dimensões a = 6 in, b = 4 in, L = 14 in.

EXERCÍCIO 2.42 Considere a fórmula empírica para a tensão de flambagem inelástica de colunas, Eq. (2.245). Suponha que Fco = Fcy e que o ponto de transição seja em F = Fp, onde Fp é o limite de proporcionalidade. Nestas condições:

a) derive β e n em função das propriedades do material, E, Fy e Fp ; b) derive a expressão para (L’/ρ)tr ; c) ache a fórmula empírica para materiais cujas propriedades são dadas abaixo

caso 1: Liga Al 2024-T4 E = 10.300 ksi ; Fy = 50 ksi ; Fp = 16,7 ksi caso 2: Aço SAE 1025 E = 28.000 ksi ; Fy = 36 ksi ; Fp = 18 ksi

d) Calcule a tensão de flambagem de uma coluna de seção quadrada com lado 0,6 in e comprimento 15 in nas condições:

1) apoio simples em ambas as extremidades 2) engaste em ambas as extremidades

os cálculos devem ser feitos para as colunas manufaturadas dos dois materiais EXERCÍCIO 2.43 A equação de equilíbrio de uma coluna simplesmente apoiada submetida à compressão central é

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xEfxExgIxIxgxf

xwEIP

xIxEPw

dxwd

tt

==−=−= ; com 00

2

2

Integrando esta equação, obtém-se

( )( ) ( ) 1

00

Cdgf

wEIP

dxdw x

+−= ∫ ξξξ

ξ

Integrando mais uma vez, vem que

( ) ( )( ) ( ) 21

0 00

CxCddgf

wEIPxw

x

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫ ∫ ηξ

ξξξη

Aplicando as condições de contorno

2.79

( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )∫ ∫∫ ∫ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒=+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒=

=⇒=LL

ddgf

wLEI

PCLCddgf

wEIPLw

Cw

0 0011

0 00

2

00

000

ηξξξ

ξηξξξ

ξ ηη

de maneira que

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫ ∫∫ ∫

xL

ddgf

wddgf

wLx

EIPxw

0 00 00

ηξξξ

ξηξξξ

ξ ηη

(equação I)

Note que f(x) depende da tensão normal em x, P/A(x). Se for utilizado o modelo de Ramberg-Osgood

( )

( )

1

07731

1−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

= n

FxAPn

xf

A equação I pode ser utilizada para o cálculo iterativo da carga crítica (método de Stodola):

Seja ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )∫ ∫∫ ∫ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

xL

ddgf

wddgf

wLxxw

0 00 0

ηξξξ

ξηξξξ

ξ ηη

(equação II).

Então ( ) ( )( ) Lxxw

xwEIxP <<= 0 ; 0 (equação III)

Pode-se demonstrar que ( )[ ] ( )[ ]maxmin xPPxP cr ≤≤ .

Algoritmo: a) estime o valor de Pcr e calcule f(x);

b) “chute” um ( )xw0 normalizado (tipo, tal que a deflexão máxima no domínio tenha valor unitário);

c) calcule ( )xw1 (a dupla integração pode ser feita, por exemplo, fazendo uso da regra do trapézio);

d) calcule ( )xP

e) itere desde a), fazendo ( )xwi = ( )[ ] onormalizadi xw , até que ( )[ ] ( )[ ]maxmin xPPxP cr ≤≤ esteja dentro da precisão requerida.

Implemente o algoritmo em planilha Excel, e resolva o exercício 2.41:

2.22 REFERÊNCIAS 2.1 Boeing Design Manual, Vol. 2, BDM-6232 Revision B: Column Fixity Coefficients and Effective

Lengths, The Boeing Co., Seattle, 1995.

2.2 ESDU, Equivalent Lengths of Struts (for Use in Buckling Calculations), ESDU Data Item no. 92038, November 1992, Ammendment in May 2000.

2.3 Chajes, A.: Principles of Structural Stability Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1974.

2.4 Timoshenko, S.P. & Gere, J.M.: Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, New York, NY, 1961.

2.5 Rivello, R.M.: Theory and Analysis of Flight Structures, McGraw-Hill, New York, NY, 1969.

2.6 Metallic Materials and Elements for Flight Vehicle Structures, Military Handbook MIL-HDBK-5A.

2.7 Boeing Design Manual, Vol. 2, BDM-6234: Euler / Euler-Engesser Columns, The Boeing Co., Seattle, 1989.

2.8 Boeing Design Manual, Vol. 2, BDM-6236: Johnson-Euler Column Equations, The Boeing Co., Seattle, 1989.

CAPÍTULO 3

FLAMBAGEM TORSIONAL DE COLUNAS

3.2

ÍNDICE DE SEÇÕES 3.1 INTRODUÇÃO 3.3 3.2 CARACTERÍSTICAS TORSIONAIS DE MEMBROS ESTRUTURAIS 3.3 3.3 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO DE TORSÃO 3.6 3.4 FLAMBAGEM TOSIONAL E FLEXO-TORSIONAL DE COLUNAS 3.7 3.5 OUTRAS CONDIÇÕES DE CONTORNO E FLAMBAGEM INELÁSTICA 3.13 3.6 ESTABILIDADE FLEXO-TORSIONAL GENERALIZADA DE COLUNAS 3.15

A) CONSTANTE ELÁSTICA EM TORÇÃO, Kφ 3.15 B) CONSTANTES ELÁSTICAS EM TRANSLAÇÃO, KX E KY 3.16 C) CARGA CRÍTICA FLEXO-TORSIONAL 3.18 EXEMPLO 3.22 3.7 FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS 3.25 3.8 EXERCÍCIOS 3.28 3.9 REFERÊNCIAS 3.31 ÍNDICE DE FIGURAS 3-1 TORSÃO DE COLUNAS 3.4 3-2 TORSÃO DE SEÇÃO NÃO CIRCULAR COM EMPENAMENTO RESTRINGIDO 3.5 3-3 DEFORMAÇÕES NA FLAMBAGEM FLEXO-TORSIONAL 3.7 3-4 COMPORTAMENTO DE FIBRA LONGITUDINAL SOB FLEXÃO 3.8 3-5 TRANSLAÇÃO LATERAL DEVIDA À ROTAÇÃO EM TORNO DO CEC 3.9 3-6 COLUNA APOIADA EM REFORÇADORES 3.15 3-7 DETERMINAÇÃO DA RIGIDEZ TORSIONAL, Kφ 3.16 3-8 DETERMINAÇÃO DA RIGIDEZ TRANSLACIONAL, KX 3.17 3-9 DETERMINAÇÃO DA RIGIDEZ TRANSLACIONAL, KY 3.18 3-10 COLUNA DE SEÇÃO ARBITRÁRIA COM RESTRIÇÕES ELÁSTICAS 3.19 3-11 COLUNA PONTO-SIMÉTRICA COM RESTRIÇÕES ELÁSTICAS 3.21 3-12 COLUNA COM SEÇÃO PONTO-SIMÉTRICA - EXEMPLO 3.22 3-13 FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS 3.25 3-14 FLAMBAGEM LATERAL DE VIGA EM I SIMPLESMENTE APOIADA EM FLEXÃO PURA 3.25

3.3

3 FLAMBAGEM TORSIONAL DE COLUNAS 3.1 INTRODUÇÃO

No Capítulo 2 foi considerada a flambagem por flexão, na qual o membro deforma por flexão no

plano de um dos eixos principais. Colunas, assim como vigas, entretanto, também flambam por torsão,

ou por uma combinação de flexão e torsão. Estes modos de falha ocorrem quando a rigidez torsional do

membro é muito pequena ou se a flexão e torsão estão acopladas de maneira que uma necessariamente

produz a outra. Seções abertas de paredes finas normalmente apresentam rigidez torsional pequena e

são, portanto, suscetíveis a flambagem torsional. Flexão e torsão combinadas ocorrem em membros

carregados axialmente, tais como ângulos e canais, cujos eixos dos centros de cisalhamento e eixo

central não coincidem. Também ocorre em vigas carregadas transversalmente quando o flange

comprimido se torna instável, tendendo a flambar lateralmente, ao mesmo tempo em que o flange em

tração é estável, tendendo a permanecer reto.

Neste capítulo serão considerados ambos os problemas, o da flambagem torsional de membros

carregados axialmente e o da flambagem latero-torsional de vigas carregadas transversalmente.

3.2 CARACTERÍSTICAS TORSIONAIS DE MEMBROS ESTRUTURAIS

Quando um membro é submetido à torsão, as seções transversais do mesmo podem empenar (i.e.,

deformar para fora de seu plano) além de torcer (i.e., girar em torno de um eixo). Se não são impostas

restrições ao empenamento do membro (i.e., as seções podem empenar livremente), o torque será

resistido tão somente pelas tensões de cisalhamento de St. Venant. Este tipo de comportamento é

conhecido como torsão pura, ou torsão uniforme. Por outro lado, se o empenamento das seções é

restringido ou limitado de qualquer forma, o torque aplicado é resistido por uma combinação das tensões

de cisalhamento de St. Venant e pela torsão com empenamento. Este comportamento é denominado de

torsão não-uniforme.

TORSÃO DE ST. VENANT

Se uma barra de seção circular constante é torcida por um torque, como mostrado na Fig. 3-1a, o

torque externo é resistido por tensões de cisalhamento circunferenciais, cuja magnitude varia com a

distância do centróide da seção. Estas tensões de cisalhamento são devidas à resistência que seções

adjacentes têm, em girar uma em relação à outra. Em tal membro, o ângulo de torsão β é relacionado ao

torque T através da expressão

dzdGJT β

= (3.1)

3.4

onde G é o módulo de cisalhamento, J é a constante de torsão e z é a direção ao longo do eixo do

membro. O produto GJ é a rigidez torsional da seção, análoga à rigidez em flexão, EI.

Enquanto que barras de seção circular como a da Fig. 3-1a torcem sem empenamento, a maioria

das formas não circulares empenam ao serem torcidas. Quando um torque é aplicado a um membro cuja

seção é não circular (Fig. 3-2b), as seções transversais que eram planas antes de torcer, empenam na

direção axial se modo a não permanecerem planas. Entretanto, desde que este empenamento não seja

impedido de qualquer forma, o torque aplicado ainda será resistido por tensões de cisalhamento

similares àquelas presentes na séc!ao circular, e a Eq. (3.1) ainda é aplicável. Para uma seção aberta de

paredes finas, composta de elementos retangulares, as tensões de cisalhamento em cada elemento são

paralelas à linha média de sua seção transversal, e as magnitudes são proporcionais à distância daquela

linha (Fig. 3-2b). A constante torsional J para tais seções pode ser aproximada pela expressão

∑=i

ii tbJ 3

31

(3.2)

onde bi e ti são, respectivamente, o comprimento e espessura de qualquer elemento da seção. O

tipo de resistência à torsão constituída unicamente por cisalhamento e descrito pela Eq. (3.1) é chamado

de torsão de St. Venant ou torsão uniforme.

TORSÃO NÃO-UNIFORME

Se os deslocamentos longitudinais que produzem o empenamento são livres para ocorrer, as fibras

longitudinais não sofrerão mudança no comprimento e tensões longitudinais não são induzidas como

resultado do empenamento (Fig. 3-2b). Por outro lado, entretanto, certas condições de apoio ou de

carregamento não deixarão com que os deslocamentos longitudinais se dêem livremente. Por exemplo,

a extremidade engastada de uma viga em balanço da Fig. 3-2 está completamente restringida no que

tange o empenamento, enquanto que a extremidade não apoiada é livre para empenar. Como

conseqüência, as fibras longitudinais experimentam mudanças de comprimento e tensões axiais são

3.5

induzidas no membro. Como não há forças axiais externas aplicadas, estas tensões axiais têm de ser

auto-equilibradas em cada seção. A comparação da viga da Fig. 3-2, na qual o empenamento é

parcialmente restringido, com aquela da Fig. 3-1b, que é livre para empenar, indica que a restrição ao

empenamento resulta numa flexão diferencial dos flanges. Um flange flete para a direita e outro para a

esquerda. As tensões resultantes desta flexão diferencial produzem um bi-momento interno auto-

equilibrado: um num sentido e ou outro no sentido inverso. Estes momentos variam de zero na

extremidade livre do membro a um máximo que é atingido na extremidade engastada. Em qualquer

seção intermediária, portanto, existe uma força de cisalhamento em cada flange igual a

dzdM

V ff −=

Como os flanges fletem em direções opostas, as forças de cisalhamento nos dois flanges agem em

direções opostas formando um momento. Este momento que age no sentido de resistir ao torque é

denominado de torsão com empenamento.

As tensões axiais que produzem a torsão com empenamento são originadas da resistência imposta

ao membro para que empene livremente. Em comparação, a torsão de St. Venant é devida à resistência

que seções adjacentes têm em girar, uma relativa à outra.

Um membro que é impedido de empenar livremente portanto resistirá ao torque aplicado por uma

combinação de torsão de St. Vanant e torsão com empenamento:

wSV TTT += (3.3)

com

dzdGJTSVβ

= (3.4)

O tipo de comportamento descrito por esta equação é referido como torsão não-uniforme.

A torsão com empenamento TW está relacionada com o ângulo de torsão através da expressão

3

3

dzdETW

βΓ−= (3.5)

3.6

onde Γ é a constante de empenamento e o termo EΓ é a rigidez ao empenamento da seção, análoga ao

GJ, a rigidez torsional de St. Venant.

A equação diferencial para torsão não-uniforme é obtida combinando as Eqs. (3-4) e (3.5)

3

3

dzdE

dzdGJT ββ

Γ−= (3.6)

O primeiro termo representa a resistência da seção à torsão e o segundo a resistência ao empenamento.

É importante ter em mente que o segundo termo não é causado pelo empenamento do membro, mas

sim pela sua resistência a este empenamento.

3.3 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO DE TORSÃO

A energia de formação de torsão pode ser quebrada em duas partes, aquela devida à St. Venant e

aquela devida à torsão não-uniforme.

TORSÃO DE ST. VENANT

O incremento de energia de deformação armazenada num elemento dz de membro torcido devido à

torsão de St. Venant é igual a um meio do produto do torque e a variação do ângulo de torsão

βTddU SV 21

= (3.7)

Como

dzGJTdUdz

GJTd SV

2

21

=⇒=β (3.8)

ou, se a expressão (3.1) é substituída para o valor de T

dzdzdGJdU SV

2

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

β (3.9)

Integrando sobre o comprimento dá a energia de deformação armazenada no membro, devido à ttoprsão

de St. Venant

dzdzdGJU

L

SV

2

021∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

β (3.10)

Note a semelhança com a energia de deformação de um membro reto comprimido axialmente, cuja

equação de equilíbrio tem a mesma forma da Eq. (3.1).

TORSÃO NÃO-UNIFORME

A equação de equilíbrio para torção com empenamento (3.5) tem a mesma forma da equação de

equilíbrio de esforços cortantes numa viga em flexão. Em conseqüência, a energia de deformação

armazenada devido à torsão com empenamento tem a mesma forma da energia de deformação devido à

flexão

3.7

dzdzdEU

L

W

2

0 2

2

21∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Γ=

β (3.11)

A energia de deformação total armazenada num membro torcido é, portanto,

dzdzdEdz

dzdGJU

LL2

0 2

22

0 21

21

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Γ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ββ (3.12)

3.4 FLAMBAGEM TORSIONAL E FLEXO-TORSIONAL DE COLUNAS

Nesta seção será determinada a carga crítica de colunas que flambam por torsão ou por uma

combinação de torsão e flexão. Uma vez que, praticamente, somente as seções abertas de paredes

finas são suscetíveis à flambagem torsional ou flexo-torsional, a investigação será limitada a estas

formas. O estudo também se restringirá a colunas de seção constante, ao comportamento elástico,

pequenas deformações e carregamento central.

Para a determinação da carga crítica em torsão ou flexo-torsão pode-se ou integrar as equações

diferenciais de equilíbrio ou fazer uso de um principio de energia. Aqui, a segunda via será utilizada.

Considere uma seção transversal aberta de paredes finas, com geometria arbitrária como mostrado

na Fig. 3-3. A deformação que ocorre durante a flambagem é considerada consistir de uma combinação

de torsão e flexão em torno de dois eixos. A seção se movimenta como um corpo rígido, ou seja, não se

deforma em seu plano (a geometria é mantida). As únicas deformações sofridas pela seção são para

fora de seu plano (empenamento). Com o propósito de expressar a energia de deformação da forma

mais simples possível, é desejável reduzir a deformação a duas translações puras e uma rotação pura.

Isto pode ser atingido usando o centro de cisalhamento O como origem do sistema de coordenadas. O

centro de cisalhamento é o ponto da seção transversal através do qual cargas laterais têm de passar

para produzir flexão sem torção. É também o centro de rotação quando um torque puro é aplicado. As

3.8

direções x e y são consideradas coincidentes com os eixos principais de inércia, e a direção z é tomada

ao longo do eixo longitudinal através do centro de cisalhamento.

Como indicado na Fig. 3-3, as coordenadas do centróide são indicadas por x0 e y0. Como resultado

da flambagem, a seção sofre translações u e v, respectivamente, nas direções x e y, e uma rotação b em

torno do eixo z.

A energia de deformação é constituída de 4 partes: as energias devidas à flexão em tornos dos

eixos x e y, a energia de cisalhamento de St. Venant e a energia das tensões longitudinais associadas

com a torsão com empenamento:

dzdzdEdz

dzdGJdz

dzvdEIdz

dzudEIU

LLL

x

L

y

2

0 2

22

0

2

0 2

22

0 2

2

21

21

21

21

∫∫∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Γ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ββ (3.12)

O potencial das cargas externas aplicadas é igual a menos o produto das cargas pelas distâncias

que percorrem à medida que a coluna deforma. A Fig. 3-4a mostra uma fibra longitudinal cujas

extremidades se aproximam de uma quantidade ∆b à medida que a fibra flete. A distância ∆b é igual à

diferença do comprimento do arco S e o comprimento da corda da fibra, L. Se a área da seção

transversal da fibra é dA e a carga que suporta é σdA, então o potencial da carga agindo na fibra é dV =

-∆bσdA. O potencial total é então obtido integrando sobre a seção

∫ ∆−=A b dAV σ (3.13)

Para determinar ∆b considere a fibra AB na Fig. 3-4b, cujas coordenadas no estado não-deformado

são x e y, e um elemento de comprimento dz desta fibra. Após a deformação, os deslocamentos na

3.9

extremidade inferior deste elemento são u e v . Os deslocamentos correspondentes na extremidade

superior são udu + e vdv + . O comprimento ds, do elemento deformado é

( ) dzdzvd

dzuddzvdudds

212221222 1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=++= (3.14)

Como feito no Capítulo 2, expandindo (3.14) numa série de Taylor e retendo os primeiros termos

não lineares (potência 2), resulta em

dzdzvd

dzudds

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 1

21

21 22

(3.15)

Integrando ambos os lados da Eq. (3.15) resulta em

∫∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

LSdz

dzvd

dzudSds

0

22

01

21

21

(3.16)

donde

∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−=∆

L

b dzdzvd

dzudLS

0

22

21

(3.17)

As translações u e v de uma fibra cujas coordenadas são x e y consistem de uma translação do

centro de cisalhamento, mais uma translação adicional devida à rotação da fibra em torno do centro de

cisalhamento. Estas últimas translações, nas direções x e y, são denotadas, como mostrado na Fig. 3-5,

por –a e b, respectivamente. Da geometria da figura é evidente que

αβαβ cos ; sen rbra ==

Como xryr == αα cossen e , pode-se também escrever ββ xbya =−=− e , de modo que os

deslocamentos totais da fibra em (x, y) são

3.10

ββ xvvyuu +=−= ; (3.18)

e a expressão para ∆b dado pela Eq. (3.17) torna-se

( )∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∆

L

b dzdzd

dzdvx

dzd

dzduy

dzdyx

dzdv

dzdu

0

222

22

2221 βββ

(3.19)

Substituindo (3.19) em (3.13) resulta em

( )∫ ∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

L

AdAdz

dzd

dzdvx

dzd

dzduy

dzdyx

dzdv

dzduV

0

222

22

2221 βββσ (3.20)

Para simplificar esta expressão pode-se fazer uso das relações:

( )∫ ∫∫∫ =+===A AAA

ArdAyxAxxdAAyydAAdA ; ; ; ; 20

2200 (3.21)

onde, como visto, x0 e y0 são as coordenadas do centróide e r0 é o raio de giração polar da seção em relação ao centro de cisalhamento.

Substituindo as relações (3.21) na Eq. (3.20) e observando que σ = P/A, resulta em

∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Ldz

dzd

dzdvx

dzd

dzduy

dzdr

dzdv

dzduPV

0 00

22

0

22

222

βββ (3.22)

Obtidas as expressões (3.12) e (3.22) para U e V, pode-se obter a carga crítica fazendo uso do

método de Rayleigh-Ritz. Considere uma coluna simplesmente apoiada no que tange todos os

deslocamentos envolvidos, u, v e β. As condições de contorno associadas serão

Lzdzd

dzvd

dzud

Lzvu

e 0 em 0

e 0 em 0

2

2

2

2

2

2

====

====

β

β (3.23)

As condições de contorno em β para apoio simples (em empenamento) resultam da Eq. (3.6). Para

apoio simples, o torque é nulo. Por outro lado, o ângulo de torção também é nulo, β = 0. Nestas

condições, integrando (3.6) uma vez resulta em

00 como ;0 2

2

2

2

=⇒===Γ−dzdcte

dzdEGJ ββββ

As condições de contorno serão satisfeitas assumindo uma forma defletida do tipo

sen ; sen ; sen 121 LzC

LzCv

LzCu πβππ

=== (3.24)

Substituindo as Eqs. (3.24) na expressão do potencial total e integrando resulta em

3.11

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Γ++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=+ 0320312

2

22

0232

2222

221

2221CC

4PxCCPyCCP

LEGJ

rrCP

LEI

PL

EILπVU

o

xy πππ

Introduzindo a notação

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Γ+=== 2

2

22

2

2

2 1 ; ; LEGJ

rP

LEI

PLEI

Po

yy

xx

πππφ (3.25)

pode-se reescrever o potencial total na forma

( ) ( ) [ ]{ }0320312

023

22

21

2

22CC 4

PxCCPyCCPPrCPPPPLπVU xy −+−+−+−=+ φ (3.26)

A carga crítica é definida como a carga na qual o equilíbrio num estado levemente deformado é

possível, ou seja, a carga para a qual o potencial total assume um valor estacionário. Como U+V é

função de três variáveis, será estacionário quando a sua derivada em relação a cada uma destas

variáveis for nula, ou seja

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0 se, somente e se , be,

sejam quequaisquer 0

321321

33

22

11

=∂

+∂=

∂+∂

=∂

+∂

=∂

+∂+

∂+∂

+∂

+∂=+

CVU

CVU

CVUCCC

CC

VUCC

VUCC

VUVU

δδδ

δδδδ (3.27)

Impondo as condições (3.27) sobre a Eq. (3.26) resulta em

( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

000

00

3

2

1

2000

0

0

CCC

PPrPxPyPxPP

PyPP

x

y

φ

(3.28)

Isto é um sistema linear de equações homogêneas que tem uma solução trivial (C1 = C2 = C3 = 0),

indicando que o equilíbrio é possível em qualquer carga, desde que o membro permaneça reto. Também

existe uma solução não trivial quando o determinante da matriz de coeficientes se anula. É esta a

solução de interesse, pois corresponde ao equilíbrio no estado deformado e, é claro, este equilíbrio só

pode existir sob a carga crítica. Fazendo o determinante da matriz de coeficientes em (3.28) igual a zero

resulta na equação característica do problema de auto-valor.

A expansão do determinante dá

( )( )( ) ( ) ( ) 020

20

2

20

20

2

=−−−−−−−r

yPPP

rxP

PPPPPPPP xyxy φ (3.29)

Esta é uma equação cúbica cujas raízes são as cargas críticas. Evidentemente, o interesse é pela menor

destas cargas críticas. Seja Pcr esta carga. É fácil verificar que esta carga tem de ser menor ou igual ao

menor valor entre Px, Py e Pφ, ou seja

( )φPPPP yxcr ,,min≤ (3.30)

3.12

A Eq. (3.29) pode ser escrita na forma

( )[ ]

( )[ ]

20

20

20

2

2

20

0

2

20

1

20

20

2022

012

23

ou centróide, ao relação empolar giração de raio o é onde e

1onde , 0

yxrA

IIr

r

PPPrr

a

PPPPPrr

a

PPPrPyPxr

a

aPaPaP

yx

yx

yxyx

yxxy

−−=+

=

−=

++=

++−+=

=+++

φ

φ

φ

(3.31)

A solução da Eq. (3.31) é dada por

( ) ( )

( )320211

223

1

2

2279541 ; 3

31 ; cos

34cos,

32cos,

3cosmin onde

, 3

2

aaaaHaaDDH

S

aDSPcr

−−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

=

−=

−θ

πθπθθ (3.32)

Quando a coluna tem um eixo de simetria, a solução é simplificada. Seja x este eixo de simetria.

Neste caso o centro de cisalhamento está sobre este eixo e y0 = 0. A Eq. (3.29) simplifica para

( ) ( )( ) 020

20

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

rxP

PPPPPP xy φ (3.33)

cuja solução é o menor entre os valores

( )2

0

0

2

2

2

1 com

421

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−+=

==

rxk

PkPPPPPk

P

LEI

PP

xxxFT

yycr

φφφ

π

(3.34)

A primeira expressão corresponde à flambagem por flexão pura em torno do eixo y. A segunda

corresponde à flambagem com uma combinação de flexão e torsão. É portanto evidente que uma seção

com um único eixo de simetria, tal como um ângulo, canal ou chapéu, pode flambar ou por flexão no

plano de simetria ou por flexo-torsão. Qual destes modos é o crítico depende da forma e dimensões da

seção transversal.

O comportamento de uma seção, com um único eixo de simetria, pode ser resumido assim: Uma

coluna imperfeita que é carregada centralmente tende a fletir em um de seus planos principais contendo

o eixo centroidal. Se este plano também contém o eixo do centro de cisalhamento, (xz no exemplo

3.13

acima), flexão pode ocorrer sem induzir simultaneamente torsão. Entretanto, se o plano de flexão não

conter o eixo do centro de cisalhamento (plano yz no exemplo), a flexão tem ser acompanhada,

necessariamente, de torção.

Numa seção ponto simétrica (como a seção em Z) ou com dois eixos de simetria (como a seção em

I), o centro de cisalhamento coincide com o centróide. Neste caso, x0 = y0 = 0 e a carga crítica será dada

por ( )φPPPP yxcr ,,min= . Nestas seções a flambagem se dará ou por flexão pura em torno do eixo

fraco ou por torsão pura. Não é possível a ocorrência de flambagem por flexo-torsão. Por outro lado, a

flambagem por torsão pura só é possível se o centro de cisalhamento e o centróide forem coincidentes.

Se o modo de flambagem for de interesse, a carga crítica calculada deve ser substituída na Eq.

(3.28) e o sistema resolvido para C1, C2 e C3. Como a matriz de coeficientes é por definição singular, o

sistema não admite solução única. Duas das incógnitas serão dadas em função da terceira. A terceira

equação tem de ser então satisfeita identicamente (se não o for, o cálculo da carga crítica foi realizado

com erro). Isto é esperado uma vez que a teoria linear não é capaz de determinar a amplitude dos

deslocamentos durante a flambagem.

3.5 OUTRAS CONDIÇÕES DE CONTORNO E FLAMBAGEM INELÁSTICA

As equações diferenciais de equilíbrio e possíveis condições de contorno associadas podem ser

derivadas a partir da variação do funcional U+V e conveniente integração por partes:

Equações de Equilíbrio:

0

0

0

2

2

02

2

02

22

02

2

2

2

2

2

02

2

2

2

2

2

2

2

02

2

2

2

2

2

=+−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Γ

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dzvdPx

dzudPy

dzdPr

dzdGJ

dzd

dzdE

dzd

dzdPx

dzvdP

dzvdEI

dzd

dzdPy

dzudP

dzudEI

dzd

x

y

βββ

β

β

(3.35)

Possíveis Condições de Contorno nas Extremidades (uma de cada linha perfazendo um total de 6)

0ou 0''')'"()''(

0ou 0'')'"(

0ou 0'')'"(0'ou 0"0'vou 0"0'ou 0"

002

0

0

0

==−+−Γ−

==++

==−+==Γ==

==

δββββ

δβ

δβδββδ

δ

vPxuPyPrEGJ

vPxPvvEI

uPyPuuEIE

vEIuuEI

y

y

x

y

(3.36)

Para simplificar a discussão, considere a situação em que o centro de cisalhamento coincide com o

centróide, ou seja, x0 = y0 = 0. Neste caso, as Eqs. (3.35) desacoplam e as condições de contorno para a

torsão ficam:

3.14

a) apoio simples: 0" e 0 == ββ EΓ

b) engaste: 0' e 0 == ββ (3.37)

c) livre: 0" e 0')'"()''( 20 ==−− ββββ EΓPrEΓGJ

A análise da seção 3.4 tomou como base uma coluna simplesmente apoiada em todos os sentidos

(x, y e β). A solução encontrada é exata porque, além de satisfazer todas as condições de contorno do

problema, também satisfaz as equações diferenciais.

Para uma coluna com engaste duplo em todas as direções, a solução exata é do tipo (1-cos2πx/L).

O comprimento efetivo para as flexões em torno dos eixos x e y para este caso foram determinados no

Capítulo 2 como a metade do comprimento da coluna. O comprimento efetivo para a torsão é análogo

aos comprimentos efetivos para flexão, e pode ser estimado através de um exame das condições de

contorno da coluna. É a distância entre os dois pontos da coluna onde o bi-momento, EΓβ”, é nulo. O

comprimento efetivo para a torsão de um coluna bi-engastada também será a metade do comprimento

real da coluna. Na prática, a maioria das colunas terá um comprimento efetivo em torsão que estará

entre os casos de apoios simples e duplo engaste. Até o presente momento, entretanto, não há qualquer

método preciso e consistente pata a determinação do comprimento efetivo em torsão. Em conseqüência,

uma estimativa deste terá que ser feita através da comparação das condições reais (ou esperadas) com

aquelas das condições de apoio simples e duplo engaste. Note que mesmo uma coluna com a

extremidade livre não necessariamente terá que ter momento torsor nulo. Por exemplo, se a extremidade

livre de uma coluna de paredes finas é fechada por um diafragma, o empenamento será pelo menos

parcialmente impedido e o bi-momento não será nulo.

No que tange a flambagem torsional ou por flexo-torsão no regime plástico, o mesmo procedimento

da flambagem de colunas por flexão pode ser utilizado. O módulo de elasticidade e de cisalhamento

devem ser substituídos pelos respectivos módulos tangentes.

Desta forma, as Eqs. (3.25) devem ser reescritas como

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=== 2

2

20

2

2

2

2 1 ; ; φ

φπππ

LΓE

JGr

PL

IEP

LIE

P tt

y

yty

x

xtx (3.38)

O cálculo da carga crítica deve ser feito por um processo iterativo:

a) estime a carga crítica de flambagem Pcr

b) calcule a tensão normal crítica correspondente Fcr = Pcr /A

c) calcule Et e Gt aplicáveis nestes níveis de tensão (o modelo de Ramberg-Osgood pode ser

utilizado para este fim)

d) use as Eqs. (3.38), (3.31) e (3.32) para achar Pcr e reinicie de b)

O processo pode ser terminado quando a diferença relativa entre cargas críticas calculadas em dois

passos sucessivos for menor do que 2%.

3.15

3.6 ESTABILIDADE FLEXO-TORSIONAL GENERALIZADA DE COLUNAS

Considere o arranjo estrutural da Fig. 3-6, típico em construção aeronáutica. A coluna objeto da

análise está apoiada sobre uma série de reforçadores com espaçamento W. Na seção 2.13, através de

um exemplo, foi considerada a análise da estabilidade em flexão para um arranjo deste tipo. O efeito dos

reforçadores sobre a coluna foi modelado como uma série de molas. Em princípio, a análise da

estabilidade da coluna em flexo-torsão poderia ser realizada da mesma forma.

Nesta seção, entretanto, o efeito dos reforçadores sobre a coluna será modelado como uma

fundação elástica. Noutras palavras, em vez de cada reforçador ser modelado por um conjunto de molas,

o efeito será distribuído. Quanto menor for o espaçamento dos reforçadores em relação ao comprimento

da coluna, mais preciso será o modelo.

Para calcular as constantes da fundação elástica equivalente, considere os reforçadores de

comprimento Lst, simplesmente apoiados nas extremidades, com a coluna fixada no centro dos

reforçadores.

a) CONSTANTE ELÁSTICA EM TORÇÃO, kφ

Quando a coluna começa a flambar em torsão, dois mecanismos resistem a rotação de sua seção

transversal em torno do centro de cisalhamento. De um lado, a própria coluna tem a sua rigidez torsional.

O segundo mecanismo é constituído pela série de reforçadores fixados à coluna. A resistência que estes

reforçadores oferecem à rotação da seção da coluna é o que determina a rigidez torsional distribuída kφ.

Fig. 3-6 Coluna em Apoiada em Reforçadores

3.16

A coluna, através da fixação, transmite ao reforçador um momento M. Sob a ação deste momento, a

seção central do reforçador gira de um ângulo θ. A relação entre este momento e ângulo de rotação

pode ser escrita como M = Kφ θ. Determinado Kφ, a constante procurada é obtida como kφ = Kφ / W.

Como mostrado na Fig. 3-7, o arranjo coluna-reforçador pode ser modelado como uma viga

simplesmente apoiada (o reforçador) com um momento (transmitido da coluna pela fixação) aplicado à

meia-envergadura. A relação M = Kφ θ, pode ser derivada diretamente da equação da inclinação dada

pela teoria de vigas:

Fig. 3-7 Determinação da Rigidez Torsional, kφ

( )WL

IEk

LIE

KIE

MLL

LxL

IEMx

st

stst

st

stst

stst

stst

st

st

stst

12

12

122 3

46)(

2

=⇒=⇒=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= φφθθ (3.39)

b) CONSTANTES ELÁSTICAS EM TRANSLAÇÃO, kx e ky

Para a determinação destas constantes será utilizado um sistema de eixos local y,x no reforçador.

O eixo x é tomado na direção longitudinal e y na direção transversal do reforçador. No caso geral, este

sistema não coincide com os eixos principais x,y da coluna. Em conseqüência, as constantes

determinadas no sistema de eixo do reforçador devem ser transformadas para o sistema de eixos da

coluna.

Ao flambar em torno de seus eixos principais x e y, a coluna transmite, através da fixação, uma

carga genérica P ao reforçador. As constantes procuradas são obtidas da expressão geral P = kδ, onde δ

é a deflexão da coluna no ponto de fixação.

Determinação de kx:

A Fig. 3-8 mostra o modelo adotado. O arranjo pode ser modelado por uma viga simplesmente

apoiada (reforçador) com uma carga axial (transmitida pela fixação) aplicada com uma excentricidade

em relação ao eixo do reforçador. O deslocamento total no ponto de fixação, δtot, é devido à translação

da fixação, δt, mais a contribuição devida à rotação da fixação, δθ (considera-se a fixação rígida).

3.17

A carga P produz, no reforçador, uma carga axial e um momento, Pe. A carga axial P aplicada no

centro do reforçador produz tensões de tração na metade esquerda e tensões de compressão na metade

direita. Em módulo, estas tensões tem o valor σ = P/(2Ast), de modo que

stst

stst

stst

st

st

stt EA

PLLEA

PLE

L42222

====σεδ (3.40)

Por ouro lado, como foi visto acima, o ângulo θ devido ao momento Pe é dado por

stst

st

IEPeL

12=θ

de modo que

stst

st

IELPe

e12

2

== θδθ (3.41)

e xststst

st

stst

st

stst

stttot K

PIe

AEPL

IELPe

AEPL

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=+=

31

4124

22

θδδδ (3.42)

Resolvendo para Kx, e depois dividindo pelo espaçamento entre reforçadores, tem-se

3.18

( ) ( )22 312

3

12eAIWL

IAEk

eAILIAE

Kststst

stststx

ststst

stststx +

=⇒+

= (3.43)

Determinação de ky:

A Fig. 3-9 mostra o modelo adotado. A carga transmitida pela coluna produz uma flexão no

reforçador. A fórmula da deflexão no centro de uma viga simplesmente apoiada submetida a uma carga

transversal central é

stst

st

IEPL

48

3

=δ , (3.44)

de modo que

33

48

48

st

ststy

st

ststy WL

IEk

LIE

K =⇒= (3.45)

Se o ângulo entre o sistema local y,x do reforçador e o sistema principal da coluna for designado

por θ, as constantes da fundação elástica no sistema de eixos da coluna serão dadas por

cossen ; sencos θθθθ yxyyxx kkkkkk +=+= (3.46)

(note que os sinais nas transformações foram desprezados uma vez que uma rigidez sempre age no

sentido positivo).

c) CARGA CRÍTICA FLEXO-TORSIONAL

A Fig. 3-10 mostra uma coluna de seção arbitrária com restrições elásticas. O sistema de eixos x,y é

principal e está centrado no centróide C (ao contrário do desenvolvimento realizado na seção 3.4, onde

3.19

os eixos estavam centrados no centro de cisalhamento). As restrições elásticas estão conectadas no

ponto genérico R. Considere a seguinte definição de símbolos:

),),

),

),

,

),(

),,

),,,,

20

20

2200

2

00

2 Nota vejam (in oempenament de Constantem (in VenantSt. de torsão de Constante

N/m (lb/in tocisalhamen de tangente móduloN/m (lb/in tangente módulo

1) Nota veja - nal(adimensio coluna da flambagem de modo do ondas-semi de númerom) (in, torsão em flambagem para coluna da efetivo ocompriment

m) (in, flexão em flambagem para coluna da efetivo ocompriment m) (in, tocisalhamen de centro ao relação em polar giração de raio

m) (in, centróide ao relação em polar giraçao de raio

m in ltransversa seção da área

m (in inércia de principais momentos

N/rad) lb/rad, ocompriment de unidade por torsional rigidezN/m (lb/in ocompriment de unidade por naltranslacio rigidez

m) (in, elásticas restrições das fixação de ponto do scoordenada m) (in, tocisalhamen de centro do scoordenada

66

44

22

22

22

44

22

−=

=

=

=

=

=

=++=⇒=

+=⇒=

=

=

=

=

==

ΓJ

G

EnL

LLyxrrr

AII

rr

A

II

(k

kkyxyx

t

t

yx

yx

yx

yx

RR

φ

φ

3.20

O cálculo da carga crítica envolve os seguintes passos:

Passo 1:

)m ,(in ; ; 1-1-

φ

φφ

πλ

πλ

πλ

Ln

Ln

Ln

ny

yyn

x

xxn ===

Passo 2:

),),; 222 /radm-N /radin-(lb N (lb 22

nn

xn

yyn

yn

xxn

kK

kK

kK

φ

φφ λλλ

===

Passo 3:

( ) ),1; 22

0

22 N (lb ; nttnynytynxnxtxn ΓEJGr

PIEPIEP φφ λλλ +===

Passo 4:

( ) ( )

( ) ( )[ ] N) (lb, ; ;

m-N in-(lb

xxQyyQr

PFKPFKPF

xxKQyyKQ

RynRxnnnxnynynynxnxn

RynynRxnxn

0020

00

1),;

−+−+=+=+=

−=−=

φφ

Passo 5:

( ) ( )

( ) ( )

( ) )N ,(lb

)N ,(lb

N) (lb,

33

22

nynxnynynxnxn

xnnnynynxnynxnxnxnynyn

nynxnxnynxnyn

FFFrr

QFQFr

a

FFFFFFrr

QQQFyQFxr

a

FFFrr

QyQxFyFxr

a

φ

φφ

φ

2022

20

2022

0021

20

0020

2022

1

221

221

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−+=

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−+=

Passo 6:

( )( ) ( )

,

; ;

32

34cos,

32cos,

3cosmin

cos22795413

31

2

313

2021122

aDSP

S

DHaaaaHaaD

cr −=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−−=−= −

πθπθθ

θ

Nota 1: Os valores dos n são aqueles que minimizam a carga crítica; o processo de cálculo da carga

deve ser repetido para valores de n em seqüência; os que produzirem a menor carga são os efetivos.

Nota 2: O cálculo da constante de empenamento requer conhecer-se o centro de torção, i.e., o ponto em

torno do qual a seção gira durante a flambagem. Para uma coluna não restrita elasticamente, o centro de

torção coincide com o centro de cisalhamento. À medida que restrições elásticas de translação com

rigidez crescente vão sendo impostas ao longo do comprimento da coluna, o centro de torção é movido

do centro de cisalhamento para o ponto de fixação das restrições. Na maioria das aplicações com

3.21

presença de restrições elásticas de translação, entretanto, a sua rigidez é grande o suficiente para

justificar a hipótese que o centro de torção coincida com o ponto de fixação destas restrições.

Como explicado anteriormente, achada a carga crítica, as tensões devem ser calculadas para

verificar se os módulos (Et e Gt) utilizados no processo são compatíveis com estas tensões. De outra

forma, deve-se corrigir os módulos e iterar do início. Note que de uma iteração para outra, os valores de

n podem variar, de modo que não podem ser mantidos fixos durante o processo.

Como visto na seção anterior, em colunas de seção transversal ponto-simétrica, ou com duplo eixo

de simetria, o centro de cisalhamento coincide com o centróide. Se o ponto de fixação das restrições

elásticas for também o centróide, como mostrado na Fig. 3.11, o cálculo da carga crítica simplifica

consideravelmente:

( )( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

=⇒=++=

++−=∴===⇒==

22

222

22

01

222

020

20

1,,min

,,min;

;0;0

nntt

yn

xynyt

xn

yxnxtcr

nynxncrnynxnxnnnynynxn

nynxnynxn

kΓEJG

rk

IEk

IEP

PPPPPFFaFPPFFFa

PFFaQQrryx

ou

φ

φφ

φφφφ

φ

λλ

λλ

λλ

O processo para a determinação de n, o número de semi-ondas da deflexão na flambagem também

é simplificado. Para achar n que minimiza as três expressões entre colchetes acima basta derivar em

relação a n e igualar a zero, resultando:

4444 ;;ΓE

kLn

IEkL

nIE

kLn

IEk

tyt

xyy

xt

yxx

xt

yxn

φφφ πππ

λ ===⇒=

3.22

É evidente que n deve ser inteiro, de modo que deve ser tomado o valor inteiro mais “próximo” dos

valores calculados acima. Se o “mais próximo” não for evidente, deve-se calcular as cargas críticas para

os inteiros imediatamente inferior e superior aos valores calculados acima. A carga crítica em cada modo

de flambagem (flexão pura em torno dos eixos x e y, e torsão pura) será o menor valor e a carga crítica

da coluna será o menor dos três valores assim determinados.

EXEMPLO:

A Fig. 3-12 mostra uma coluna simplesmente apoiada, com seção em Z, ponto-simétrica,

manufaturada por conformação de chapa de liga AL 7075-T6 e com restrições elásticas aplicadas no

centro de cisalhamento, coincidente com o centróide.

As propriedades da seção, bem como a restrição elástica torsional, foram calculadas à parte e são

fornecidas no quadro. Pede-se calcular a carga crítica em torsão pura.

3.23

Para iniciar a solução, considere que a coluna flamba no regime elástico

974,00087,0105,1

502041

64 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

==ππ ΓE

kLn

t

tt

Este valor tem de ser arredondado para o inteiro não nulo mais próximo, no caso, n = 1. Na

seqüência, calcule o parâmetro n φλ

1- in 15708,0

201

=×

==ππλφ

tn L

n

Calcule a carga crítica em torsão pura:

lbs 544.915708,0

50 15708,00087,0105,10 00013,0109,35016,01

1

2266

2

2 2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+×××+××=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

nnttcr

kΓEJG

rP

φ

φφ λ

λ

Calcule a tensão crítica

psi 064.601589,0544.9

===A

PF cr

cr

O limite proporcional da chapa de liga AL 7075-T6 é aproximadamente 50 ksi. Em conseqüência, a

hipótese inicial de que E = Et e G = Gt não é válida e uma nova iteração é requerida.

Os parâmetros relevantes de Ramberg-Osgood para a chapa Al 7075-T6 à temperatura ambiente

são n = 9,2, F0.85 = 63 ksi, F0.7 = 70 ksi e νe = 0,33. Como o valor de n é relativamente baixo, a

representação de Ramberg-Osgood não é boa para valores de tensão muito abaixo de 63 ksi. De

qualquer forma, como este é apenas um exemplo, o processo iterativo será desenvolvido baseado no

modelo. Tem-se

( ) ( )

( ) ( )

kips 016,715708,0

050,0 15708,00087,0.1976 00013,0309.25016,01

in 15708,020

1

114,10087,0197.6

050,020

ksi 309.2342,012

197.6 342,033,05,010.5009.763-0,5

ksi 763.9

70639,56

731

500.10 ksi 197.6

70639,56

72,931

500.10

ksi 639,561589,09 kips0,9

22

1-

41

4

12,912,9

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+××+×=

=×

==

=⇒=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×

==

=+

=⇒=−=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

+

=

==⇒=

−−

cr

tn

t

tt

t

st

crcr

P

Ln

nΓE

kLn

G

EE

FP

ππλ

ππ

ν

φ

φ

3.24

Como segunda aproximação use valor intermediário: Pcr = 8,008 kips

( ) ( )

( ) ( )

kips 026,815708,0

050,0 15708,00087,0.2918 00013,0106.35016,01

in 15708,020

1

106,10087,0291.8

050,020

ksi106.3335,012

291.8 335,033,05,010.50010.204-0,5

ksi 204.10

70396,50

731

500.10 ksi 291.8

70396,50

72,931

500.10

ksi 396,501589,0010,8 kips008,8

22

1-

41

4

12,912,9

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+××+×=

=×

==

=⇒=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×

==

=+

=⇒=−=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

+

=

==⇒=

−−

cr

tn

t

tt

t

st

crcr

P

Ln

nΓE

kLn

G

EE

FP

ππλ

ππ

ν

φ

φ

Como terceira aproximação use valor intermediário: Pcr = 8,017 kips

( ) ( )

( ) ( )

kips 018,815708,0

050,0 15708,00087,0.2748 00013,0099.35016,01

in 15708,020

1

106,10087,0274.8

050,020

ksi099.3335,012

274.8 335,033,05,010.50010.202-0,5

ksi 202.10

70453,50

731

500.10 ksi 274.8

70453,50

72,931

500.10

ksi 453,501589,0017,8 kips017,8

22

1-

41

4

12,912,9

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+××+×=

=×

==

=⇒=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×

==

=+

=⇒=−=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

+

=

==⇒=

−−

cr

tn

t

tt

t

st

crcr

P

Ln

nΓE

kLn

G

EE

FP

ππλ

ππ

ν

φ

φ

A convergência foi obtida para Pcr = 8.017 lbs e Fcr = 50,45 ksi. Este mesmo problema foi resolvido

na Ref. 3.1 fazendo uso direto das curvas dos módulos tangentes para o material. O resultado obtido foi

Pcr = 8.917 lbs e Fcr = 56,12 ksi. A razão da discrepância, como explicado, é que o modelo de Ramberg-

Osgood, especialmente com valores relativamente baixos de n, fornece resultados imprecisos na faixa

de tensões fora do intervalo estabelecido por F0.85 e F0.7 (63 - 70 ksi, no caso). Além disto, há

imprecisões no modelo que relaciona tensões de cisalhamento a tensões normais.

Um exemplo ilustrativo completo para a solução do problema generalizado de estabilidade flexo-

torsional de coluna com restrições elásticas pode ser encontrado na Ref. 3.3.

3.25

Para informações adicionais relativas à teoria da flambagem torsional de colunas o leitor deve

consultar as Refs. 3.4 e 3.5. Na Ref. 3.6 é tratado o problema da flambagem torsional de colunas com

seção em ângulo. O problema de flambagem de colunas com seções em C, com e sem lábios é tratado

na Ref. 3.7, enquanto que colunas com seções em Z, com ou sem lábios, são consideradas na Ref. 3.8.

A Ref. 3.9 é um guia geral para a solução de problemas de flambagem de colunas no âmbito dos Data

Sheets ESDU. A Ref. 3.10 apresenta o problema da flambagem flexo-torsional de colunas de seção

aberta em termos de tensões. Finalmente, a Ref. 3-11 é muito rica no tratamento do tema. Além de

prover um método baseado em gráficos para a determinação do modo crítico para colunas com um eixo

de simetria, são tratados os casos de colunas restritas a flambar por flexão num plano prescrito (como

reforçadores conectados a chapas) e cargas excêntricas. Três exemplos completos são fornecidos.

3.7 FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS Um membro carregado transversalmente que é fletido em torno de seu eixo mais forte pode flambar

lateralmente se seu flange em compressão não é apoiado lateralmente. A razão pela qual a flambagem

ocorre numa viga é que o flange em compressão, que de fato funciona como uma coluna sobre uma

fundação elástica, torna-se instável. No carregamento crítico, há uma tendência do flange em

compressão em fletir lateralmente, como mostrado nas Fig. 3-13 e 3-14. A flambagem lateral de uma

viga é, portanto, uma combinação de flexão, torsão e flexão lateral ocasionadas pela instabilidade do

flange em compressão.

Nesta seção não se fará o desenvolvimento teórico do tema. Para tanto o leitor pode se referir aos

bons textos de Timoshenko (Ref. 3.4), Vlasov (Re. 3.5) e/ou Chajes (Ref. 3.12). De uma maneira geral,

o desenvolvimento teórico nestes textos segue a linha da derivação das equações de equilíbrio, via

equilíbrio de corpo livre, ou utilização de métodos de energia, como as análises teóricas apresentadas

nestas notas. Nesta seção, entretanto, serão listados alguns dos resultados obtidos nas referências

citadas. No que segue, Iy é o momento de inércia em torno do eixo principal fraco.

3.26

A) VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR , SIMPLESMENTE APOIADA, EM FLEXÃO PURA

yttcr IJEGL

M π=

B) VIGA DE SEÇÃO EM I, SIMPLESMENTE APOIADA, EM FLEXÃO PURA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 2

2

LΓEJGIE

LM ttytcr

ππ

C) VIGA DE SEÇÃO EM I, DUPLAMENTE ENGASTADA, EM FLEXÃO PURA

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 2

2

22

LΓEJGIE

LM ttytcr

ππ

D) VIGA DE SEÇÃO EM I, SIMPLESMENTE APOIADA, COM CARGA TRANSVERSAL A MEIO VÃO (NO CENTRÓIDE)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+==⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+= 2

2

2

2

2 36.146

34L

ΓEJGIEL

LPM

LΓEJGIE

LP ttyt

crcrttytcr

ππππ

π

De uma maneira geral, o momento crítico depende, além das propriedades geométricas e do

material da viga, do tipo de carregamento, ponto de aplicação do carregamento e condições de contorno.

Para vigas com seções ponto-simétricas ou com dois eixos de simetria, e com o carregamento aplicado

no centróide, a expressão para o momento crítico toma a forma geral

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+= 2

2

1φ

ππL

ΓEJGIEL

CM ttyty

cr

onde C1 é uma constante que depende do carregamento e Ly e Lφ são, respectivamente, os

comprimentos efetivos para flexão em torno do eixo y (fraco) e torsão. A tabela 3.1 lista a constante C1

para os casos mais usuais.

Um método generalizado, para o cálculo do momento crítico de flambagem látero-torsional de vigas

de seção qualquer, apoiadas em fundações elásticas e carregamentos aplicados em qualquer ponto da

seção pode ser encontrado na Ref. 3-13. O problema geral (sem fundações elásticas) é também tratado

na Ref. 3-14. Nesta referência, o caso de vigas com seções retangulares e em I é tratado de forma

especial, sendo fornecidos subsídios (tabelas e gráfico) que tornam o cálculo da tensão crítica mais

imediato.

3.27

Tabela 3.1 Valores de C1 para os Casos de Carregamento mais Usuais

Tabela continua

3.28

Tabela 3.1 Valores de C1 para os Casos de Carregamento mais Usuais (continuação)

3.8 EXERCÍCIOS EXERCÍCIO 3.1

Considere uma coluna de comprimento 25in, extrudada em liga de alumínio 7075-T6 (E=10500ksi; F07=72ksi; n=16,6; Fcy=70ksi;νe =0,3), simplesmente apoiada em ambas as extremidades, e com seção transversal dada na figura.

a) qual a tensão de flambagem em flexão? (assuma que não há flambagem local)

b) qual a tensão de flambagem em torção? (assuma que não há flambagem local)

EXERCÍCIO 3.2 Considere um painel de construção integral de 25in de comprimento e

cuja seção é dada na figura, usinado em liga de alumínio 7075-T6. O painel está engastado em ambas as extremidades.

a) ache a tensão crítica de flambagem por flexão. b) Ache a tensão crítica de flambagem por torsão

Dados: bw = 1 in; bs = 2 in; tw = 0.060 in; ts = 0.050 in E = 10.500 ksi, Fy = 70ksi, F0.7 = 72ksi, n = 16,6, ν = 0.3

2,0 in

0,08 in

0,08 in

2,0 in

bs bs/2 ts

tw bw

3.29

EXERCÍCIO 3.3

Considere uma coluna de comprimento 16 in, extrudada em liga de alumínio 2024-T3 (Ec = 10700ksi; G = 0,4 Ec; Fcy = 40ksi; F0.7 = 39ksi; n = 11,5; νe = 0,3), simplesmente apoiada em ambas as extremidades, e com seção transversal dada na figura.

a) qual é a tensão de flambagem em flexão? b) qual é a tensão de flambagem em torção?

Desconsidere a possibilidade de flambagem/falha local.

EXERCÍCIO 3.4

10 t

6 tt

t

Uma coluna é completamente engastada em uma das extremidades e livre na outra. A sua seção transversal é mostrada na figura.

O carregamento é central, ou seja, a carga de compressão é aplicada no centróide da seção.

Ache a carga e o modo de flambagem críticos quando o comprimento da coluna for L = 120 t .

Considere flambagem elástica, com G = 0,4 E.

EXERCÍCIO 3.5

Uma coluna é simplesmente apoiada em ambas as extremidades. A sua seção transversal é mostrada na figura (abas iguais e ângulo de 120o entre as mesmas). O carregamento é central, ou seja, a carga de compressão é aplicada no centróide da seção.

a) Ache a tensão de flambagem em flexão pura em torno do eixo fraco;

b) Ache a tensão de Wagner, de flambagem em torção pura;

c) Poderá ocorrer flambagem em flexo-torção? Por que?

d) Determine o comprimento L tal que a flambagem por flexão e por torção se verifique sob a mesma tensão. Qual a tensão de flambagem nestas condições?

dados: E=10700 ksi, νe = 0.3, F0.7 = 39 ksi, Fcy = 41 ksi, n = 11.5 EXERCÍCIO 3.6 A partir das expressões da energia de deformação e do potencial da carga axial externa aplicada dadas no texto, utilize o Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total para derivar as equações de equilíbrio e as possíveis condições de contorno de uma coluna de paredes finas submetida à compressão central. EXERCÍCIO 3.7

10t

10t

A figura mostra a seção transversal de uma coluna totalmente engastada em ambas as extremidades

Se a espessura das mesas e da alma desta coluna for igual a t, ache o comprimento da coluna para que a flambagem por flexão ocorra simultaneamente com a flambagem por torção.

Considere flambagem elástica.

0,06 in

0,08 in

2,06 in

1,58 in

0,1 in

5 in

3.30

EXERCÍCIO 3.8

. Uma coluna simplesmente apoiada em ambas extremidades tem seção transversal como mostrado na figura.

O carregamento é central, ou seja, a carga de compressão é aplicada no centróide da seção.

Plote a carga crítica de flambagem em função do comprimento L

Considere flambagem elástica. E = 30 ksi, ν = 0,3

EXERCÍCIO 3.9

A figura mostra a seção transversal de uma coluna simplesmente apoiada. O comprimento da coluna é dado, L = 587 mm.

Se a coluna é manufaturada de um material cuja curva tensão-deformação pode ser representada adequadamente pelo modelo de Barratt-Michael, com E = 72 400 MN/m2, m = 14, Fn = 260 MN/m2 e ν = 0.3 , qual será a tensão de flambagem?

EXERCÍCIO 3.10

A figura mostra a seção transversal de uma coluna simplesmente apoiada, de comprimento L = 427 mm.

Se a coluna é manufaturada de um material cuja curva tensão-deformação pode ser representada adequadamente pelo modelo de Barratt-Michael, com E = 72 400 MN/m2, Fn = 260 MN/m2, m = 14 e ν = 0.3, qual será a tensão de flambagem?

Dados da seção: c = 12 mm, d = 32 mm, h = 64 mm, t = 2 mm

EXERCÍCIO 3.11 Uma coluna simplesmente apoiada manufaturada em liga de titânio tem seção em C, cujas propriedades geométricas são dadas:

A = 0.141 in2 ; Ix = 0.0078 in4 ; Iy = 0.00252 in4 ; J = 0.000498 in4 ; Γ = 0.000133 in6; x0 = 0.280 in ; y0 = 0

Qual a tensão e o modo de flambagem se o comprimento da coluna for L = 2 in ?

Propriedades do material: E = 17000 ksi ; F0.2 = 92.5 ksi ; F0.5 = 98.5 ksi ; ν = 0.35

Observação: F0.2 = tensão de escoamento offset de 0.2%; F0.5 = tensão de escoamento offset de 0.5%

1 cm

1 cm

25 cm

15 cm

3.31

EXERCÍCIO 3.12 Uma coluna de seção em Z foi manufaturada a partir da

conformação de uma chapa de liga Clad AL 7075-T6, de 0.2 in de espessura. A seção transversal é mostrada na figura (alma de 2 in e aba de 1 in). Desconsiderando a possibilidade de flambagem local (tema ainda a ser abordado), pede-se

A curva Fcr vs L’, onde L’ é o comprimento efetivo da coluna

(trace as curvas correspondentes às três raízes da equação característica, identificando o modo de flambagem).

Use o modelo de Ramberg-Osgood para a solução do problema em todo o domínio de Fcr. Os parâmetros relevantes do material são: E = 10.5 ksi, νe = 0.3, F0.7 = 64.5 ksi, Fcy = 64 ksi, n = 19.5

EXERCÍCIO 3.13

A viga de comprimento 16 in, extrudada em liga de alumínio 2024-T3 (Ec = 10700ksi; G = 0,4 Ec; Fcy = 40ksi; F0.7 = 39ksi; n = 11,5; νe = 0,3), com seção dada na figura, está simplesmente apoiada em ambas as extremidades.

a) Se a viga está submetida à flexão pura em torno de seu eixo forte, qual é o momento crítico de estabilidade lateral?

b) Se a viga está sujeita a uma carga aplicada a meio-vão, no centróide, qual é o momento crítico?

Desconsidere a possibilidade de flambagem/falha local.

EXERCÍCIO 3.14

Considere uma viga de comprimento 40in, extrudada em liga de alumínio 7075-T6 (E=10500ksi; F07=72ksi; n=16,6; Fcy=70ksi;νe =0,3), engastada em ambas as extremidades, e com seção transversal dada na figura. a) qual o momento crítico de estabilidade lateral se a viga está carregada por um momento puro em torno de seu eixo forte? (assuma que não há flambagem local)

b) qual seria o valor deste momento se fosse carregada por uma carga a meio vão, aplicada no centróide? (assuma que não há flambagem local)

3.9 REFERÊNCIAS 3.1 Niu, M.C.Y: Airframe Stress Analysis and Sizing, 2nd. Ed., Conmilit Press, Hong Kong, 2001

3.2 MIL-HDBK-5, Metallic Materials and Elements for Flight Vehicle Structures, US Government Printing Office, Washington

3.3 Boeing Design Manual, BDM-6244, Generalized Flexural-Torsional Instability of Columns, The Boeing Co., Seattle, Feb 1991

3.4 Timoshenko, S.P. & Gere, J.M.: Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, New York, NY, 1961.

3.5 Vlasov, V.Z.: Thin-Walled Elastic Beams, 2nd. Ed., National Science Foundation, Washington, 1961.

3.6 ESDU, Torsional Instability of Stringers and Struts of Angle Section, ESDU Data Item no. 01.01.10, April, 1947.

1”

2”

1”

0.2”

0,06 in

0,08 in

2,06 in

1,58 in

2,0 in

0,08 in

0,08 in

2,0 in

3.32

3.7 ESDU, Buckling of Struts. Lipped and Unlipped Channel Sections, ESDU Data Item no. 76023, November, 1976.

3.8 ESDU, Buckling of Struts. Lipped and Unlipped Z Sections, ESDU Data Item no. 77030, November, 1977.

3.9 ESDU, Guide to Items on the Strength and Stability of Struts, ESDU Data Item no. 78021, October, 1978.

3.10 ESDU, Flexural and Torsional-Flexural Buckling of Thin-Walled Open Section Struts, ESDU Data Item no. 89007, March, 1989.

3.11 NASA, Astronautics Structures Manual, Vol. 2, Section C.1, Structures and Propulsion Laboratory, NASA Marshall Space Flight Center, AL 35812, August 1975 – também disponível para download em http://trs.msfc.nasa.gov/mtrs/75/tmx73306v2p7.pdf

3.12 Chajes, A.: Principles of Structural Stability Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1974.

3.13 Boeing Design Manual, BDM-6142, Generalized Lateral-Torsional Instability of Beams, The Boeing Co., Seattle, Nov 1988.

3.14 NASA, Astronautics Structures Manual, Vol. 1, Section B.4.7, Structures and Propulsion Laboratory, NASA Marshall Space Flight Center, AL 35812, August 1975 – também disponível para download em http://trs.msfc.nasa.gov/mtrs/75/tmx73305v1p7.pdf

CAPÍTULO 4

VIGAS-COLUNA

4.2

ÍNDICE DE SEÇÕES 4.1 INTRODUÇÃO 4.3 4.2 VIGA-COLUNA COM CARGA LATERAL CONCENTRADA 4.3 4.3 VIGA-COLUNA COM CARGA LATERAL DISTRIBUÍDA 4.6 4.4 VIGA-COLUNA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE 4.8 4.5 VIGA-COLUNA CONTÍNUA 4.15 4.6 VIGAS COM CARGAS AXIAIS DE TRAÇÃO 4.20 4.7 EQUAÇÃO DE INTERAÇÃO PARA O PROJETO DE VIGA-COLUNA 4.20 4.8 EXERCÍCIOS 4.22 4.9 REFERÊNCIAS 4.24 BIBLIOGRAFIA ADICIONAL 4.24 ÍNDICE DE FIGURAS 4-1 VIGA-COLUNA 4.3 4-2 VIGA-COLUNA COMM CARGA CONCENTRADA 4.3 4-3 CARACTERÍSTICAS DE CURVA DE DEFLEXÃO EM VIGAS-COLUNA 4.5 4-4 VIGA-COLUNA COM CARGA DISTRIBUÍDA 4.6 4-5 EXEMPLO DE ANÁLISE DE VIGA-COLUNA DE SEÇÃO CONSTANTE 4.13 4-6 TEOREMA DOS TRÊS MOMENTOS MODIFICADO COM A INCLUSÃO DO EFEITO DA CARGA AXIAL 4.16 4-7 EQUAÇÃO DE INTERAÇÃO PARA VIGA-COLUNA 4.21

4.3

4 VIGAS-COLUNA 4.1 INTRODUÇÃO

Vigas-Coluna são membros que estão sujeitos a ambas, flexão e compressão. A flexão pode ser

causada tanto por momentos aplicados na extremidade do membro quanto por forças transversais

agindo diretamente no membro como mostrado na Fig. 4-1. A coluna carregada excentricamente,

analisada no Cap. 2, também é, na essência, uma viga-coluna. As preocupações da análise então,

entretanto, eram distintos das que serão tratadas aqui. A razão de estudar um membro carregado

excentricamente no Cap. 2 foi verificar qual o efeito que pequenas quantidades de flexão, causadas por

inevitáveis imperfeições, têm sobre colunas carregadas axialmente. Aqui serão tratados membros onde a

compressão e flexão são devidas a cargas aplicadas intencionalmente. Noutras palavras, a flexão é

agora o efeito primário, enquanto que no estudo anterior era apenas um efeito secundário.

4.2 VIGA-COLUNA COM CARGA LATERAL CONCENTRADA Considere um membro simplesmente apoiado de comprimento L, submetido simultaneamente à

carga transversal Q e compressão P, como mostrado na Fig. 4-2. Suponha que o material seja elástico

linear, que as deformações permaneçam pequenas e que o membro é apoiado lateralmente de modo

que só possa fletir no plano vertical (i.e., não possa flambar lateralmente).

Se o sistema de coordenadas é aquele indicado na figura, o momento externo, a uma distância x da

origem, é

4.4

20

2"

22

2

2 LxEI

QxwkwPwQxdx

wdEIM ≤≤−=+⇒+=−= para (4.1)

com

EIPk =2 (4.2)

A solução geral da Eq. (4.1) é

PQxkxBkxAxw2

cossen)( −+= (4.3)

onde A e B são as constantes arbitrárias determinadas das condições de contorno

)2cos(1

20)

2('

00)0(

kLPkQALw

Bw

=⇒=

=⇒=

e a Eq. (4.3) pode ser reescrita como

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

22cossen

2)( kL

kLkx

PkQxw (4.4)

Concentrando a atenção na deflexão no centro da viga, δ = w(L/2) resulta em

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

22cos2sen

2kL

kLkL

PkQδ

ou

( )2

,tan2

kLuuuPkQ

=−= com δ (4.5)

Multiplicando e dividindo a expressão (4.4) convenientemente por L3/24EI resulta em

( )( )

( ) ( )3

3

3

3

3

3 tan348

tan2

348

tan2448 u

uuEI

QLuukLEI

QLuukPL

EIEI

QL −=−=−= δ (4.6)

O fator QL3/48EI que aparece nesta relação pode ser identificado como a deflexão que existiria na viga

se a carga Q estivesse agindo sozinha. Em conseqüência, introduzindo a notação

EIQL48

3

0 =δ (4.7)

a Eq. (4.6) pode ser reescrita na forma

( )30

tan3u

uu −= δδ (4.8)

Para simplificar ainda mais esta expressão, considere a expansão de tan u numa série de potência:

...31517

152

3tan 75

3

++++= uuuuu

A substituição desta série na Eq. (4.8) resulta em

4.5

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++= ...

10517

521 42

0 uuδδ (4.9)

Levando em consideração as expressões em (4.2) e (4.5),

cr2

222 46,2

4 PPL

EIPu ==

ππ

` (4.10)

de modo que a Eq. (4.9) pode ser posta na forma

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++≅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ...1...998,0984,01

2

crcr0

2

crcr0 P

PPP

PP

PP δδδ (4.11)

A soma da série geométrica entre os colchetes é 1/[1-(P/Pcr)], de modo que a Eq. (4.11) reduz a

( )crPP−=

11

0δδ (4.12)

A equação (4.12) é uma muito boa aproximação para a deflexão máxima de um membro

simplesmente apoiado que é fletido simultaneamente por uma carga transversal Q e uma força axial P. A

equação indica que a deflexão máxima do membro é igual a δ0, a deflexão máxima que ocorreria se

somente a carga transversal Q estivesse agindo sozinha, multiplicada por um fator de amplificação que

depende da razão P/Pcr. O efeito da carga axial é, portanto, o de ampliar a deflexão que existiria na viga

se esta carga não estivesse presente. A Eq. (4.12) indica também que a deflexão aumenta sem limite

quando P/Pcr tende para a unidade. Noutras palavras, a resistência do membro desaparece quando a

carga axial se aproxima da carga crítica. Isto significa que, além dos métodos vistos no Cap. 2, também

é possível determinar a carga crítica de um membro achando-se a carga axial sob a qual a rigidez em

flexão do membro se anula.

A variação de δ com Q, como dada pela Eq. (4.12), é mostrada na Fig. 4-3a para P = 0, P = 0,4 Pcr,

e P = 0,7 Pcr. Uma vez que a rigidez em flexão de um membro é proporcional à inclinação de sua curva

carga-deflexão, estas curvas claramente demonstram que um aumento na carga axial produz uma

diminuição na rigidez em flexão. As curvas também mostram que a relação entre a carga e a deflexão,

que é sabidamente linear quando P = 0, permanece linear mesmo quando P ≠ 0, desde que P seja

4.6

constante. Se é permitida a variação de P, entretanto, como no caso da Fig. 4-3b, a relação carga-

deflexão é não-linear. Isto é verdadeiro mesmo que a carga transversal Q permaneça constante (curva

cheia) ou cresça com o aumento de P (curva tracejada). A deflexão de uma viga-coluna, portanto, é uma

função linear de Q, mas não-linear de P. Se P e Q crescem simultaneamente, a relação carga-

deformação é não-linear.

Tendo determinado como a presença de uma carga axial afeta a deflexão lateral de um membro

carregado transversalmente, agora será estudado o efeito que a carga axial tem sobre o momento fletor.

O momento fletor máximo no membro é

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡−

+=−

+=+=crcr

max PPEIPLQL

PPEIPQLQLPQLM

11

121

411

4844

23

δ (4.13)

Mas

( ) cr

2

22

2

82,01212 P

PLEI

PEI

PL==

ππ

de modo que

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

cr

crmax 1

18,014 PP

PPQLM (4.14)

O fator fora dos colchetes na Eq. (4.14) é o momento que existiria na viga se não houvesse a carga

axial. Se este momento for designado por M0 = QL/4, a Eq. (4.14) pode ser posta na forma

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

cr

cr0max 1

18,01PP

PPMM (4.15)

A equação (4.15) mostra que o efeito da compressão axial sobre o momento fletor é bastante

semelhante ao efeito que uma carga axial tem sobre a deflexão. Como a deflexão, o momento que existe

na ausência da carga axial é amplificado pela presença de uma carga axial. É também interessante notar

a semelhança entre o fator de amplificação para o momento e o correspondente fator para a deflexão.

4.3 VIGA-COLUNA COM CARGA LATERAL DISTRIBUÍDA Considere um membro simplesmente apoiado de comprimento L, submetido simultaneamente a

uma carga distribuída uniforme q e uma carga axial P, como mostrado na Fig. 4-4. Assuma, como

anteriormente, que o material é elástico linear, que as deformações permanecem pequenas e que a viga

4.7

é apoiada de forma tal a prevenir a flambagem lateral. A análise, na seção anterior, foi feita a partir da

formulação da equação de equilíbrio do corpo livre e posterior solução. Com o objetivo de ilustrar um

método alternativo de análise, se fará uso, aqui, do método de Rayleigh-Ritz.

A energia potencial total do sistema é

dxdxdwPdxwqdx

dxwdEIVU

LLL 2

00

2

02

2

22 ∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ (4.16)

Considerando as condições de contorno, a deflexão w(x) é assumida na forma

Lxxw πδ sen)( = (4.17)

onde δ é a deflexão no centro da viga. Substituição desta expressão no potencial total resulta em

LPqL

LEIL

LPLqL

LEI

dxLx

LPdx

Lxqdx

Lx

LEIVU

LLL

42

4222

22

cos2

sensen2

22

4

24

2

42

4

420

22

42

00

24

42

δππ

δδππδπ

δπδ

ππδπδππδ

−−=−−=

=−−=+ ∫∫∫

(4.18)

Do princípio do valor estacionário da energia potencial total, para que o sistema esteja em equilíbrio é

necessário que a variação de U+V seja nula, ou seja

( )224

4

3

1402

222

4)LPEI

qLL

PqLL

EIVUπππ

δππ

δπδ −

=⇒=−−=∂+∂ (4.19)

O numerador e denominador podem ser multiplicados por 5/384EI. Por outro lado, π2EI/L2 = Pcr, de modo

que

crPPEI

qL

EIPLEI

qLLPEI

EIEI

qL

−=

−=

−=

1

151536

3845

1

151536

3845

51536

3845

5

4

2

25

4

224

4

ππ

ππππδ (4.20)

A razão 1536/5π5 =1.00386 ≈ 1. Por outro lado, a deflexão na viga quando não existe a carga axial P é

EIqL

3845 4

0 =δ (4.21)

de modo que a Eq. (4.10) pode ser colocada na forma

( )crPP−≅

11

0δδ (4.22)

A Eq. (4.22) fornece a deflexão máxima de uma viga simplesmente apoiada que é fletida

simultaneamente por uma carga distribuída uniforme q e uma carga axial P. Como a forma assumida

para a deflexão w(x) na Eq. (4.17) não é exata, a deflexão dada pela Eq. (4.22) é somente uma

aproximação. Entretanto, o erro cometido na aproximação é muito pequeno (Ref. 4.1). O momento

máximo na viga ocorre no centro e é dado por

4.8

( ) ( )

( )( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=−

+=+=

cr

cr2

crcr

2

cr

22

cr

422

max

103,01

81103,11

8

11

4851

811

3845

88

PPPPqL

PPPPqL

PPEIPLqL

PPEIPqLqLPqLM δ

(4.23)

O momento máximo numa viga simplesmente apoiada, submetida a uma carga transversal

uniformemente distribuída agindo sozinha (sem a carga P) é M0 = qL2/8, de modo que

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=

cr

cr0max 1

03,01PP

PPMM (4.24)

A máxima deflexão na viga-coluna, dada pela Eq. (4.22), e o momento máximo, dado pela Eq.

(4.24), sãoportanto o resultado do produto de dois termos: a deflexão ou momento máximo que existiria

se a carga axial não estivesse presente, e um fator de amplificação que leva em consideração o efeito da

carga axial. O que talvez seja mais marcante nestas relações é a sua semelhança com as expressões

correspondentes para a deflexão e momento obtidas anteriormente para o caso da carga concentrada. É

pelo menos parcialmente devido a esta semelhança que um critério de projeto relativamente simples

pode ser formulado para vigas-coluna.

4.4 VIGA-COLUNA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE Esta seção é uma transcrição do que está disposto na Ref. 4.2, incluindo a convenção de sinais e

exemplo.

Como foi visto, vigas-coluna em compressão axial sempre falharão sob uma carga axial menor do

que a carga crítica de flambagem. À medida que as cargas axiais e momentos crescem e a carga axial

se aproxima da carga crítica, as deflexões laterais aumentarão e a flexão tende a dominar. Tipicamente,

portanto, a condição de falha será dada equacionando-se a soma das tensões de compressão devidas à

carga axial e aquelas resultantes do momento fletor nas fibras extremas, com a tensão admissível.

Como visto na seção 4.2, a análise de uma viga-coluna é complicada porque há um acoplamento

não-linear entre a carga axial e a flexão. A flexão pode ser causada por uma aplicação excêntrica da

carga axial, cargas laterais, gradientes térmicos ou uma combinação de condições. Este acoplamento

não-linear amplifica o momento fletor que resultaria na viga sem a carga axial de compressão. Uma

conseqüência do momento fletor não ser proporcional às cargas axiais é que não pode ser utilizado o

princípio da superposição, isto é, os efeitos combinados de duas ou mais cargas axiais não pode ser

obtido a partir da superposição dos efeitos das cargas agindo separadamente. Se as cargas axiais

permanecem constantes, entretanto, os momentos fletores originados de qualquer sistema de cargas

laterais são proporcionais a estas cargas. As deflexões e momentos para dois ou mais sistemas de

cargas laterais podem portanto ser superpostas se a carga axial é a mesma em cada sistema.

O momento fletor M, numa viga-coluna carregada lateralmente e submetida a uma carga axial P,

pode ser comparado ao momento fletor M0 que resultaria na viga sob a ação do mesmo carregamento

lateral atuando sozinho (sem a carga axial) pela seguinte expressão aproximada:

4.9

( )crPPMM

−=

11

0 (4.25)

A Eq. (4.25) pode ser utilizada para calcular a diferença aproximada entre M e M0, com o objetivo de

determinar se uma análise completa da viga-coluna é necessária. A diferença entre M e M0 é

normalmente pequena em membros que são projetados primariamente para suportar flexão e uma

análise de viga-coluna mais complexa pode não ser necessária.

O primeiro passo na análise de uma viga-coluna é calcular a sua carga crítica. Se a carga axial for

menor do que a carga crítica, os efeitos combinados são, então, examinados. As seguintes equações

são utilizadas para calcular o efeito das cargas combinadas em vigas de um único vão:

a) Momento Fletor

)(cossen)( 221 xfj

jxC

jxCxM ++= (4.26)

b) Esforço Cortante

dxxdfj

jx

jC

jx

jC

dxdMxV )(sencos)( 221 +−== (4.27)

onde C1 e C2 são constantes de integração, f(x) é uma função que depende das cargas distribuídas na

viga e

PEIj = (4.28)

Para vigas simplesmente apoiadas, as expressões para as deflexões e inclinações são dadas,

respectivamente, por

PxVxV

xP

xMxMx

)()()(

)()()( 00 −

=−

=∆ ; θ (4.29)

onde M0 e V0 são, respectivamente, o momento fletor e o esforço cortante na viga quando submetida

somente a cargas laterais (P = 0).

Nas equações acima, um momento positivo produz compressão na fibra superior da viga e um

deslocamento positivo está na direção da carga lateral aplicada. A Tab. 4-1 fornece os valores de C1, C2

e f(x) para os casos mais comuns, bem como a localização e valor do momento máximo na viga quando

disponíveis.

Casos que envolvem mais de um sistema de carregamento lateral podem ser tratados somando-se

os coeficientes individuais para cada sistema e usando o total nas equações fornecidas acima. Os

momentos em vários pontos ao longo do vão podem ser computados e uma curva suave pode ser

traçada através destes pontos para a determinação do momento máximo.

Dados e fórmulas adicionais para a análise de vigas-coluna de seção constante podem ser

encontrados nas Refs. 4-1, 4-3, 4-4 e 4.5.

4.10

TABELA 4.1 Fórmulas para Viga-Coluna sob Cargas Combinadas Axial e Transversal

CARREGAMENTO C1 C2 f(x) LOCALIZAÇÃO DE Mmax Mmax

j

Lwj2

tan2 2wj

w−

Lx 5,0=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 1

j2Lsec2

max wjM

Lxx == e 0

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= 1

j2Ltan22

maxj

LwjM

2

wjL

j2

Ltan2wjL

w−

Lx 5,0= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= 1

j2Lsen22

maxj

LwjM

jLwj

jL

jL

jL

jL

wLj

2tan

tan22tan

2

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

2tantan

2tan2 wjjL

jL

jL

jL

jL

wLj +⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

w−

0=x

j

L

jL

jL

jL

jL

wLjM tantan

2tan2max

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

wLj

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

jLtansec2

jL

jLwj

w−

0=x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

jLtan1sec2

max jL

jLwjM

axj

LjWj

< para sen

bsen

0

0

2

>−=jbjLx ππ se

2

jL

jaWj

Msen

senmax =

axj

Lj

aWj>− para

tan

sen

jaWj sen

0

2

<=jbax π se j

b

jL

jaWj

M sensen

senmax =

ax

jL

jL

jL

jb

jL

jb

Wj <−

− para

sencos

sencos ax

jL

jL

jL

jL

jb

jb

jL

Wj <−

− para

sencos

sensen

0

0=x

sencos

sensen

max

jL

jL

jL

jL

jb

jb

jL

WjM−

−=

axjL

jL

jL

jb

ja

jL

jasin

jL

Wj

>

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

para

sencos

coscos

axjL

jL

jL

jb

ja

ja

jL

jL

Wj

>

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

para

sencos

sencossen

0

ax =

sencos

sencossenmax

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−=

jL

jL

jL

ja

jb

ja

jL

jbWjM

ba

x

WP

P

w

P

x

P w

P

x

P w

wP

x

P

a b

x

WP P

1

2

3

4

5

6

x

P

4.11

TABELA 4.1 Fórmulas para Viga-Coluna sob Cargas Combinadas Axial e Transversal (Continuação)

CARREGAMENTO C1 C2 f(x) LOCALIZAÇÃO DE Mmax Mmax

0=x

j

LWjM4

tan2max −=

2

para 2

LxWj<

2 para

4tan

2Lx

jLWj

<−

0

2/Lx =

jLWjM4

tan2max =

Wj

jLWj tan−

0

0=x

jLWjM tanmax −=

axjL

jb

M a

<− para sen

cos

0

0

2

se jbax <=

π

jL

jb

jaM

Ma

sen

cossenmax −=

axjL

ja

M a

>− para tan

cos

jaM a cos

0

2 se

2jbjLx

>

−=ππ

jL

jaM

Ma

sen

cos

max −=

sen

cos12

jL

jL

MM −

1M

0

jLM

jLMM

jxsen

costan arc

1

12 −=

ou x = 0 ou x = L

jL

MjLMMM

Msen

cos221

2121

22

max

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

ou M1 ou M2

jL

wj

sen

2

0

Lwx

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

jLjLjx sencosarc

Ache o valor de x e substitua

na equação geral

P P

L/2

W

w P P

x

M2 M1 P P

x

Ma

P P a b

a < b x

P P W

x

7

8

9

10

11

4.13

EXEMPLO

O projeto preliminar de uma viga simplesmente apoiada de 50 in de comprimento, submetida a momentos M1 e M2 em suas extremidades, uma carga W, a uma distância a de sua extremidade esquerda, e uma carga axial P, foi baseado na equação de interação para vigas-coluna dada por (vide seção 4.7):

( )[ ] 11

≤−

+crcr PPM

MPP

u

(a)

onde M é o momento máximo devido às cargas laterais atuando sozinhas (P = 0), P é a carga axial aplicada, Mu é o momento admissível para as cargas laterais agindo sozinhas e Pcr é a carga crítica de flambagem em torno de eixo compatível com as deflexões produzidas por M (y-y, no caso).

Inicialmente será mostrado que, de fato, a viga foi projetada com base na eq. (a). A carga crítica de flambagem em torno do eixo y é:

kips 712,21kips 50

514,0700.102

2

2

2

cr =×

==ππ

LEI

P y (b)

O momento admissível Mu é calculado de forma que a fibra extrema da viga atinja a tensão de escoamento Fy:

inkips 093,37in kips97,0

514,070 −=−×

==∴=cIF

MI

cMF yy

uy

uy (c)

O momento máximo na viga sujeita às cargas laterais atuando sozinhas pode ser calculado do diagrama de momentos. Sejam RA e RB as reações (positivas para cima), respectivamente, nas extremidades A e B. Nestas condições:

( ) kip 605,050

3575,0412 0 :B em 21 =×+−

=⇒=−++−=∑ AA RWbbaRMMM

kip 145,0 0 =⇒=−−=∑ BBAz RRRWF

O momento máximo é claramente no ponto de aplicação da carga W:

in-kip 075,1715605,081 =×+=+= aRMM A (d)

Usando os valores encontrados em (b), (c) e (d) na eq. (a), tem-se

( )[ ] =−

+712,2171093,37

075,17712,217

1,0018

4.14

O que se deseja, através de uma análise apurada, é conhecer o momento máximo que se desenvolverá na viga e a margem de segurança do projeto.

Passo 1: Determine se P > Pcr , considere P agindo sozinho:

( )kips 153,8762,07,10 ksi 7,10

4,99700.10

'

4,99503,050' in; 50' in; 503,0

762,0193,0

A

crcr2

2

2

2

cr

minmin

=×==⇒===

=======

AFPL

EF

LLLI

πρ

π

ρρ

(e)

Como P < Pcr , a coluna não flambará sob a carga P atuando sozinho

Passo 2: Determine o nível de tensão devido à carga P atuando sozinho e a margem de segurança em relação à flambagem

165,01186,9

7,101.. ; ksi 186,9762.07 cr +=−=−=⇒===

cc f

FSM

APf (f)

Passo 3: Determine as expressões para o momento ao longo da viga

03,287

514,0700.10=

×==

PEI

j y (g)

Use uma combinação dos casos (10) e (5) da Tabela 4.1 de modo que C = Ccaso 10 + Ccaso 5

Para x < a:

4100,34

03,2850sen

03,2835sen03,2875,0

03,2850cos812cos12

1 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=+−

=

jLsen

jbwjsen

JLsen

jLMM

C

8012 =+= MC , 000)( 2 =+=jxf de modo que

axjx

jxsenxM <+= ; cos841,34)( (h)

Para x > a:

3265,16

03,2850tan

03,281503.2875.0

03,2850

03,2850cos812

tan

cos12

1 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=−−

=sen

senjL

jbwjsen

JLsen

jLMM

C

7207,1803,28

15sen03,2875,0812 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×+=+=

jaWjsenMC , 000)( 2 =+=jxf , de modo que

axjx

jxxM >+= ; cos7207,18sen3265,16)( (i)

Passo 4: Determine o momento máximo

O momento máximo se dará ou numa das extremidades A e B, ou no ponto C de aplicação da carga, ou em algum ponto entre A e C, ou em algum ponto entre C e B.

in-kip 429,2403,28

15cos803,28

15sen41,34

;in -kip 12 ;in -kip 8 21

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

====

C

BA

M

MMMM

4.15

Verificação se está em algum ponto entre A e C:

63,37 rad 3424,1 3013,4841,34tan 0sen8cos41,34

=⇒=⇒==⇒=−= xjx

jx

jx

jjx

jdxdM

como x > a = 15, não há mínimo local no intervalo.

Verificação se está em algum ponto entre C e B:

in-kips 839,2403,2810,20cos7207,18

03,2810,20sen3265,16

10,20 rad 7172,0 8721,0tan 07207,18cos3265,16

max =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

=⇒=⇒=⇒=−=

M

xjx

jx

jxsen

jjx

jdxdM

O diagrama de momentos está esboçado na figura, podendo-se verificar que Mmax = 24,840 kips-in.

Passo 5: Calcule a tensão total e a margem de segurança

1. do passo 2, tensão de compressão: fc = - 9,186 ksi

2. tensão normal máxima de flexão: fb = Mc / I = 24,840x0,97/0,514 = ±46,877 ksi

3. tensão combinada: ftotal = | fc | + | fb| = 56,063 ksi

4. M.S. = Fy / ftotal – 1 = 70/56,063 – 1 = + 0,249

Como pode ser notado, o projeto da viga é mais crítico em relação à flambagem em torno do eixo z e a margem de segurança é + 0,165 .

4.5 VIGA-COLUNA CONTÍNUA Uma grande percentagem da estrutura primária de uma aeronave pode ser classificada nesta

categoria. Cargas aerodinâmicas, de combustível, pressurização, etc., dão origem às cargas laterais. As

nervuras e cavernas fornecem os suportes contínuos à estrutura primária.

Vigas-coluna contínuas com rigidez uniforme em cada vão podem ser resolvidas por uma adaptação

do teorema dos três momentos, como mostrado na Fig. 4-6.

A continuidade sobre quatro, ou mais vãos, pode ser resolvida escrevendo-se uma equação dos

três momentos para cada par de vãos e resolvendo-se o sistema de equações simultâneas decorrente.

Uma extremidade engastada pode ser tratada a partir da adição de um vão fictício com rigidez EI → ∞ e

fazendo P = 0 neste vão. Um sistema complexo de cargas em qualquer vão pode ser aproximado

através da aplicação repetida de cargas concentradas.

As funções ψφχ e , são conhecidas como funções de Berry. Tabelas de Ψ e φχ , em

função do parâmetro L / j podem ser encontradas em alguns textos, como a Ref. 4.2.

4.16

Fig. 4-6 Teorema dos Três Momentos Modificado com a Inclusão do Efeito da Carga Axial

EXEMPLO 1 – Viga-Coluna sobre três suportes

Considere a viga-coluna da figura, apoiada em três suportes. A viga está sujeita a uma carga axial constante ao longo de seu comprimento, momentos distintos em suas extremidades, uma carga

4.17

concentrada no primeiro vão e uma carga uniformemente distribuída no segundo vão. Solicita-se o valor do momento no suporte central. Os dados relevantes são dados na figura.

Passo 1: Inicie com os cálculos preliminares:

9171,071,32

30 ; 7643,071,32

25 ;in 71,325

5,0700.10=====

×==

jL

jL

PEIj RL

Passo 2: Calcule o valor das funções de Berry relevantes à solução do problema:

( ) ( )[ ]( )

( ) ( )[ ] 0919,19171,0

29171,029171,0tan24 22tan24

0610,1 ; 0412,17643,0tan

17643,01

7643,03

tan113

1076,1 ; 0726,17643,01

7643,0sen1

7643,06 116

33 =−

=∴−

=

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=∴⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=∴⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

R

RL

RL

jLjLjL

jLjLLj

jLjLsenLj

χχ

ψψψ

φφφ

Passo 3: Calcule as funções F:

4R

4 10346,95,0700.10

30 ; 10788,75,0700.10

25 6

−− ×=×

=×=×

=∴= FFEILF L

Passo 4: Calcule as funções H:

233

3

10592,45,0700.1024

0919,1302.024

10774,725

5,127643,0sen

27643,051

−

−

×−=××

××−==

×−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=∴⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

EIwLH

senHLb

jLsenjbsen

PWH

R

LL

χ

Passo 5: Substitua na fórmula geral e resolva para M2

[ ]

143,2810605,3

101456,10 103694,5107762,410605,3ou

10592,410774,71076,110346,930

0610,110346,90412,110788,720726,110788,720

3

2

222

23

234

442

4

−=×

×−=⇒×−=×+×

×−×−=×××+

+××+××+×××

−

−−−−

−−−

−−−

MM

M

M2 = - 28,143 kips-in

EXEMPLO 2 – Viga-Coluna sobre quatro suportes

Considere a viga-coluna da figura, sobre quatro suportes. Como no exemplo 1, há uma carga axial constante através de todo o comprimento da coluna e momentos distintos aplicados nas extremidades. A viga tem um carregamento distribuído que cresce linearmente no vão da esquerda, permanece uniforme no vão central e decresce linearmente no vão da direita. O procedimento de solução consiste em separar o problema de três vãos em dois problemas de dois vãos e resolver o sistema resultante para os momentos nos suportes 2 e 3, como realizado no exemplo 1. Duas equações, onde os dois momentos nos suportes centrais aparecem como incógnitas, são montadas e posteriormente resolvidas.

4.18

Passo 1: Separe a estrutura em duas equações dos três momentos (1-2-3 e 2-3-4) e faça os cálculos

preliminares

Vão 1-2 2-3 2-3 3-4

L / j 0,4586 0,6114 0,6114 0,7643

φ 1,0251 1,0454 1,0454 1,0726

ψ 1,0143 1,0258 1,0258 1,0412

χ - 1,0389 1,0389 -

F 4,673x10-4 6,231x10-4 6,231x10-4 7,788x10-4 H -7,153x10-3 -3,236x10-2 -3,236x10-2 -3,437x10-2

Passo 2: Monte as equações dos três momentos para cada lado:

Para o lado esquerdo:

20x4,673x10-4x1,0251 + 2M2 (4,673x10-4x1,0143 + 6,231x10-4x1,0258) +

+ M3x6,231x10-4x1,0454 = -(0,7153 + 3,236)x10-2

Para o lado direito:

M2x6,231x10-4x1,0454 + 2M3 (6,231x10-4x1,0258 + 7,788x10-4x1,0412) +

+ 30x7,788x10-4x1,0726 = -(3,236 + 3,437)x10-2

Passo 3: Resolva o sistema de equações para M2 e M3:

in -kips 575,28693,13

1792,99096,4

10002,29513,6

513,6263,22

3

22

3

2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡MM

MM

4.19

EXEMPLO 3 – Viga-Coluna com engastamento

Considere a viga-coluna do exemplo 1, onde o suporte da esquerda (e momento aplicado na extremidade da esquerda) foi substituído por um engaste. O procedimento de solução consiste em adicionar um vão fictício à esquerda da viga, com rigidez infinita e carga axial nula. O problema de três vãos resultante é depois separado em dois problemas de dois vãos, como no exercício anterior.

Passo 1: Adicione o vão virtual com rigidez infinita e carga axial nula

Passo 2: Separe a estrutura em duas equações dos três momentos (0-1-2 e 1-2-3) e faça os cálculos

preliminares

Vão 0-1 1-2 1-2 2-3

j ∞ 32,71 32,71 32,71

L / j 0 0,7643 0,7643 0,9171

φ 1 1,0726 1,0726 1,1076

ψ 1 1,0412 1,0412 1,0610

χ - - - 1,0919

F 0 7,788x10-4 7,788x10-4 9,346x10-4

H 0 -0,7774x10-2 -0,7774x10-2 -4,592x10-2

1 2 3

4.20

Passo 2: Monte as equações dos três momentos para cada lado:

Para o lado esquerdo:

0 + 2M1 (0 + 7,788x10-4x1,0412) + M2x7,788x10-4x1,0726= -(0 + 0,7774)x10-2

Para o lado direito:

M1x7,788x10-4x1,0726+ 2M2 (7,788x10-4x1,0412 + 9,346x10-4x1,0610) +

+ 30x9,346x10-4x1,1076 = -(0,7774 + 4,592)x10-2

Passo 3: Resolva o sistema de equações para M1 e M2:

in -kips 433,25

306,8

4749,87774,0

10050,36353,8

353,8218,16

3

22

2

1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡MM

MM

OBSERVAÇÃO: Em aplicações aeronáuticas, o número de suportes é normalmente grande e a solução

manual seria tediosa. Uma solução por computador seria mandatória. Para análise preliminar, entretanto,

a Ref. 4.6 apresenta figuras que permitem estimar o momento máximo no vão central de vigas contínuas

de 3, 5 e 7 vãos.

4.6 VIGAS COM CARGAS AXIAIS DE TRAÇÃO O tratamento de vigas submetidas a cargas transversais e cargas axiais de tração é realizado de

forma análoga. A equação de equilíbrio para o caso típico pode ser escrita como

)(" 2 xfwkw =− , com EIPk = (4.30)

A solução geral é da forma

)(coshsenh)( xwkxBkxAxw p++= (4.31)

onde wp(x) é uma solução particular e A, B constantes arbitrárias determinadas a partir das condições de

contorno. Tabelas de formulas para os casos mais comuns, semelhantes àquelas dispostas na Tab. 4-1,

podem ser encontradas nas Refs. 4.2, 4.3, 4.5 e 4.6. A diferença matemática entre os casos de carga

axial em compressão e tração é que este último envolve funções hiperbólicas em vez de funções

circulares. Fisicamente, a carga axial de tração, ao contrário daquela em compressão que diminui a

rigidez do membro, aumenta a rigidez do membro, tendo, em conseqüência, um efeito redutor sobre os

deslocamentos e momentos desenvolvidos sob o carregamento transversal.

4.7 EQUAÇÃO DE INTERAÇÃO PARA O PROJETO DE VIGA-COLUNA Quando um membro está sujeito a um carregamento combinado, tal como compressão axial e

flexão, uma equação de interação fornece um meio adequado para a aproximação do estado de falha.

Conhecendo-se a resistência do membro em compressão pura e em flexão pura e sabendo-se que o

membro pode suportar menor compressão e flexão quando estes carregamentos estiverem agindo de

forma combinada do que suportaria se qualquer um destes carregamentos estivesse agindo sozinho,

4.21

pode-se estimar quanto de compressão e flexão o membro pode resistir se ambos estiverem presentes.

Tal aproximação pode ser verificada experimentalmente.

Para desenvolver uma equação de interação para flexão e compressão combinadas, considere as

razões P/Pu e M/Mu, onde

P = carga axial agindo no membro no momento da falha quando ambas, a compressão axial e

flexão estão presentes;

Pu = carga última no membro quando somente a compressão axial está presente, isto é, a carga de

flambagem do membro;

M = momento primário máximo agindo no membro no instante da falha quando ambas, a

compressão axial e flexão estão presentes; este momento exclui a amplificação devido à

presença da carga axial, ou seja, é o momento devido ao carregamento transversal somente;

Mu = momento último do membro sob flexão somente; na condição final, este momento é o

momento plástico da seção; na condição limite, é o momento sob o qual a fibra extrema atinge

a tensão de escoamento.

A equação de interação mais simples que poderia ser derivada é a reta,

1≤+uu M

MPP

(4.32)

mostrada pela linha tracejada na Fig. 4.7. Como pode ser notado, entretanto, todas as cargas de falha

obtidas experimentalmente ou teoricamente (também mostradas na figura) caem abaixo desta reta. Em

conseqüência pode-se concluir que a Eq. (4.32) fornece uma estimativa não conservativa para o projeto

de vigas-coluna e não é, portanto, um critério satisfatório de projeto.

4.22

Ma

EI PP

Mb

A razão para a discrepância entre a Eq. (4.32) e as cargas reais de falha em vigas-coluna é que M,

na equação, é somente a parte primária do momento total que age no membro. Noutras palavras, M não

inclui o momento secundário produzido pela carga axial e deflexão lateral. Foi mostrado na seção 4.2

que a presença de uma carga axial amplifica o momento fletor primário, aproximadamente pela razão

1/[1-(P/Pcr)]. Se este fator é incorporado na Eq. (4.32) obtém-se

11

≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

crPPM

MPP

uu

(4.33)

Esta relação é mostrada pela linha cheia na Fig. 4-7. É evidente que a Eq. (4.33) se correlaciona muito

melhor com as cargas de falha reais e, de fato, parece oferecer um critério bastante satisfatório de

projeto. É evidente que a Eq. (4.33) nada mais é que a Eq. (4.32) onde os efeitos secundários no

momento Mu são considerados. Em alguns textos (como Ref. 4.6) a equação de interação é dada como

em (4.32). Neste caso, entretanto, a definição de Mu deve incorporar os efeitos da carga axial.

4.8 EXERCÍCIOS

EXERCÍCIO 4.1 Obtenha expressões para a deflexão máxima e momento

máximo de uma viga-coluna uniforme de comprimento L e rigidez a flexão EI, cujas extremidades estão engastadas e que está sujeita a uma carga concentrada transversal em seu ponto médio igual à carga de compressão P.

EXERCÍCIO 4.2 Obtenha expressões para a deflexão de uma viga-

coluna simplesmente apoiada, submetida a momentos nas extremidades;

Ache expressões para as derivadas da deflexão nas extremidades.

Ache o momento máximo na viga, quando: Mb = - Ma = M0 para

a) P/PE = 0,2 b) P/PE = 0,8

onde PE = π2EI/L2 EXERCÍCIO 4.3 Uma viga simplesmente apoiada em ambas as

extremidades está sujeita a um carregamento uniforme w /unidade de comprimento.

A força longitudinal de compressão P é aplicada à uma distância e do centróide da seção, e colocada de forma a se opor ao efeito de flexão do carregamento lateral, como mostrado na figura. A excentricidade e pode ser variada de forma a, dados valores de P e w, minimizar o momento fletor máximo na viga.

Ache, em função de P, w, EI e L, a expressão de e que minimiza este momento máximo.

P EI

P

L

P

L

e

P P

EI

L w

wL/2 wL/2

e

4.23

EXERCÍCIO 4.4 A carga P para a qual o escoamento inicia nas fibras

extremas da viga-coluna mostrada na figura, é dada pela relação implícita

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

EAPLec

APFy ρρ 2

sec1 2 (a)

Notando que

IcM

APFFy

maxmax +==

derive a relação (a). Os termos usados nas relações são definidos como: A = área da seção transversal c = distância da fibra extrema do eixo central ρ = raio de giração da seção Fy = tensão de escoamento Fmax = tensão máxima admissível

EXERCÍCIO 4.5 Calcule o momento máximo na viga-coluna da

figura. Dados: L = 40 in ; I = 0,64 in4 E = 10.700 ksi P = 10 kips; w = 0,4 kips/in; M = 30 kips-in

EXERCÍCIO 4.6 Calcule o momento máximo na viga-coluna da

figura. Dados: L = 60 in; a = 40 in; b = 20 in A = 0,81 in2 ; I = 0,64 in4 E = 10.700 ksi P = 10 kips; W = 5 kips M = 30 kips-in

EXERCÍCIO 4.7 Calcule os momentos atuantes no

engastamento e suportes. Dados: a = 40 in ; b = 60 in; c = 40 in; d = 20 in A = 0,81 in2 ; I = 0,64 in4 E = 10.700 ksi P = 10 kips; w = 0,4 kips/in; W = 5 kips M = 30 kips-in

δmax

e

P P EI

e

L

w

a b

PW M

d c

w

L

P

M

L

PW M

a

4.24

4.9 REFERÊNCIAS

4.1 Timoshenko, S.P. & Gere, J.M.: Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, New York, NY, 1961.

4.2 Boeing Design Manual, BDM-6255, Classical Beam Columns, The Boeing Co., Seattle, Jan 1994

4.3 Roark, J.R.: Formulas for Stress and Strain, 4th ed., McGraw-Hill, New York, 1965.

4.4 Niles, A.S. & Newell, J.S.: Airplane Structures, Vol II, 4th ed., John Wiley & Sons, 1954.

4.5 NASA, Astronautics Structures Manual, Vol. 1, Section B.4.6, Structures and Propulsion Laboratory, NASA Marshall Space Flight Center, AL 35812, August 1975 – também disponível para download em http://trs.msfc.nasa.gov/mtrs/75/tmx73305v1p6.pdf e http://trs.msfc.nasa.gov/mtrs/75/tmx73305v1p7.pdf

4.6 Structural Design Manual, Vol. I, Section B6.2.2, Beam Column, McDonnell Douglas Co., Aug 1982.

BIBLIOGRAFIA ADICIONAL

4.7 ESDU, Information on the Use of Data Sheets 01.06, ESDU Data Item no. 01.06.00, November, 1956.

4.8 ESDU, Struts with Lateral Loads, ESDU Data Item no. 78030, November, 1978.

4.9 ESDU, Form Factors for Circular Sections under Combined Bending and Axial Load, ESDU Data Item no. 01.06.01, October, 1956.

4.10 ESDU, Form Factors for Flanged Sections under Combined Bending and Axial Load., ESDU Data Item no. 01.06.02, October, 1956.

4.11 ESDU, Form Factors for Channel Sections under Combined Bending and Axial Load., ESDU Data Item no. 01.06.03, October, 1956.

CAPÍTULO 5

FLAMBAGEM DE PLACAS

5.2

ÍNDICE DE SEÇÕES 5.1 INTRODUÇÃO 5.4 5.2 TEORIA DE PEQUENAS DEFLEXÕES DE PLACAS FINAS 5.4 5.3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE EQUILÍBRIO DE PLACAS EM FLEXÃO: TEORIA LINEAR 5.6 5.4 CONDIÇÕES DE CONTORNO 5.8 5.5 CARGA CRÍTICA PARA COMPRESSÃO UNIAXIAL UNIFORME 5.9 5.6 COMPRESSÃO UNIAXIAL – BORDAS CARREGADAS SIMPLESMENTE APOIADAS 5.13 5.7 POTENCIAL TOTAL DE UMA PLACA EM FLEXÃO 5.21 5.8 A VARIAÇÃO DO POTENCIAL TOTAL 5.23 5.9 MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ: PLACA SOB COMPRESSÃO NÃO-UNIFORME 5.25 5.10 FLAMBAGEM DE PLACAS PLANAS SOB CARGAS DE FLEXÃO NO PLANO DA PLACA 5.28 5.11 MÉTODO DE GALERKIN – PLACAS PLANAS EM CISALHAMENTO 5.35 5.12 FLAMBAGEM DE PLACAS PLANAS SOB CARGAS DE CISALHAMENTO 5.38 5.13 PLACA EM COMPRESSÃO BIAXIAL 5.41 5.14 FLAMBAGEM DE PLACAS SOB CARREGAMENTOS COMBINADOS. CURVAS DE INTERAÇÃO 5.44 5.15 FLAMBAGEM DE PLACAS AFILADAS 5.56 5.16 FLAMBAGEM INELÁSTICA DE PLACAS 5.57 5.17 FATORES DE REDUÇÃO DEVIDO AO “CLADDING” 5.65 5.18 COMPORTAMENTO DE PLACAS APÓS A FLAMBAGEM E IMPERFEIÇÕES INICIAIS 5.66 5.19 LARGURA EFETIVA DE CHAPA 5.69 5.20 LARGURA EFETIVA DE VON KARMAN 5.71 5.21 A FALHA DE PLACAS 5.73 5.22 EXEMPLOS 5.76 5.23 EXERCÍCIOS 5.84 5.24 REFERÊNCIAS 5.89 ÍNDICE DE FIGURAS 5-1 COORDENADAS DE PLACAS E TENSÕES 5.5 5-2 FORÇAS NO PLANO DE UM ELEMENTO DE PLACA – PEQUENAS DEFLEXÕES 5.6 5-3 MOMENTOS FLETORES E TORSORES E FORÇAS DE CISALHAMENTO 5.6 5-4 PLACA SIMPLESMENTE APOIADA COM CARREGAMENTO UNIAXIAL 5.9 5-5 COEFICIENTE DE FLAMBAGEM PARA PLACA EM COMPRESSÃO UNIAXIAL 5.12 5-6 TENSÃO CRÍTICA PARA PLACAS-COLUNA 5.15 5-7 PLACA-COLUNA COM BORDAS CARREGADAS SIMPLESMENTE APOIADAS 5.16 5-7 FLANGES SIMPLESMENTE APOIADOS 5.16 5-9 COEFICIENTE DE FLAMBAGEM EM COMPRESSÃO 5.17 5-10 COEFICIENTES DE FLAMBAGEM DE PLACAS PARA VÁRIOS VALORES DE RESTRIÇÃO DE ROTACIONAL

NAS BORDAS DESCARREGADAS 5.18 5-11 COEFICIENTES DE FLAMBAGEM PARA PLACAS COM UMA BORDA LIVRE E OUTRA RESTRINGIDA

ELASTICAMENTE 5.19 5-12 COEFICIENTES DE FLAMBAGEM PARA FLANGES E PLACAS INFINITAMENTE LONGAS EM FUNÇÃO DA

RESTRIÇÃO ROTACIONAL NA BORDA 5.20 5-13 COEFICIENTE DE FLAMBAGEM PARA PAINÉIS REFORÇADOS LONGOS EM FUNÇÃO DE B/T E RIGIDEZ

TORSIONAL DO REFORÇADOR 5.20 5-14 TENSÃO MÉDIA DE FLAMBAGEM PARA PLACA RETANGULAR DE ESPESSURA CONSTANTE E CARGA

AXIAL VARIANDO LINEARMENTE 5.21 5-15 DESLOCAMENTO ELEMENTAR DAS FORÇAS NO PLANO DA PLACA 5.22 5-16 PLACA SIMPLESMENTE APOIADA SUBMETIDA À COMPRESSÃO NÃO-UNIFORME 5.25 5-17 PADRÃO DE FLAMBAGEM DE PLACA EM FLEXÃO 5.28 5-18 COEFICIENTE DE FLAMBAGEM DE PLACAS EM FLEXÃO PURA PARA VÁRIOS VALORES DE RESTRIÇÃO

5.3

ELÁSTICA NOS BORDOS DESCARREGADOS 5.29 5-19 COEFICIENTES DE FLAMBAGEM PARA PLACA PLANA SIMPLESMENTE APOIADA SUJEITA À FLEXÃO 5.30 5-20 COEFICIENTES DE FLAMBAGEM PARA PLACAS LONGAS (A/B > 4) SIMPLESMENTE APOIADAS NOS

QUATRO BORDOS 5.31 5-21 COEFICIENTE DE FLAMBAGEM PARA PLACAS PLANAS CURTAS EM FLEXÃO: LADO DA TRAÇÃO

SIMPLESMENTE APOIADO E LADO EM COMPRESSÃO ENGASTADO 5.32 5-22 COEFICIENTES DE FLAMBAGEM PARA PLACAS PLANAS LONGAS (A/B > 2.4) COM BORDOS

TRACIONADOS SIMPLESMENTE APOIADOS E BORDOS COMPRIMIDOS ENGASTADOS 5.33 5-23 COEFICIENTES DE FLAMBAGEM DE PLACA PLANA EM FLEXÃO: BORDO TRACIONADO SIMPLESMENTE

APOIADO E BORDO COMPRIMIDO LIVRE 5.34 5-24 COEFICIENTES DE FLAMBAGEM DE PLACA PLANA EM FLEXÃO: BORDO TRACIONADO ENGASTADO E

BORDO COMPRIMIDO LIVRE 5.35 5-25 CURVAS PARA ESTIMAR O COEFICIENTE DE FLAMBAGEM EM CISALHAMENTO PARA PLACAS

RESTRINGIDAS ELASTICAMENTE 5.39 5-26 COEFICIENTE DE FLAMBAGEM PARA PLACAS CARREGADAS EM CISALHAMENTO 5.40 5-27 GRÁFICOS PARA O CÁLCULO DE COEFICIENTES DE FLAMBAGEM EM ALMAS 5.40 5-28 FRONTEIRA DE ESTABILIDADE PARA COMPRESSÃO BI-AXIAL EM PLACA QUADRADA 5.42 5-29 COEFICIENTES DE FLAMBAGEM DE PLACAS PLANAS RESTRINGIDAS NA EXPANSÃO LATERAL.

COEFICIENTE DE POISSON IGUAL A 0.3 5.43 5-30 CURVA DE INTERAÇÃO PARA PLACAS QUADRADAS OU LONGAS EM COMPRESSÃO BI-AXIAL 5.45 5-31 PLACA PLANA SOB CARREGAMENTO COMBINADO: FLEXÃO PURA + COMPRESSÃO LONGITUDINAL 5.46 5-32 PLACA PLANA SOB CARREGAMENTO COMBINADO: FLEXÃO PURA + CISALHAMENTO 5.47 5-33 PLACA PLANA SOB CARREGAMENTO COMBINADO: TENSÃO LONGITUDINAL+CISALHAMENTO (A/B>1) 5.48 5-34 PLACA PLANA SOB CARREGAMENTO COMBINADO: TENSÃO LONGITUDINAL+CISALHAMENTO (A/B<1) 5.48 5-35 PLACA PLANA SOB CARREGAMENTO COMBINADO: FLEXÃO + COMPRESSÃO + CISALHAMENTO 5.49 5-36 PLACA PLANA SOB CARREGAMENTO COMBINADO: FLEXÃO + COMPRESSÃO + CISALHAMENTO 5.49 5-37 PLACA PLANA SOB CARREGAMENTO COMBINADO: FLEXÃO + COMPRESSÃO BI-AXIAL 5.50 5-38 PLACA PLANA SOB CARREGAMENTO COMBINADO: FLEXÃO + CISALHAMENTO + COMPRESSÃO

TRANSVERSAL: BORDOS DESCARREGADOS SIMPLESMENTE APOIADOS 5.52 5-39 PLACA PLANA SOB CARREGAMENTO COMBINADO: FLEXÃO + CISALHAMENTO + COMPRESSÃO

TRANSVERSAL: BORDO SUPERIOR SIMPLESMENTE APOIADO, INFERIOR ENGASTADO 5.52 5-40 TRANSIÇÃO NA FORMA DA CURVA DE INTERAÇÃO PARA CISALHAMENTO E COMPRESSÃO TRANSVER-

SAL PARA PLACA PLANA SIMPLESMENTE APOIADA À MEDIDA QUE A/B MUDA DE 1 PARA ∞ 5.53 5-41 PLACA PLANA SUBMETIDA À COMPRESSÃO BIAXIAL E CISALHAMENTO – BORDOS SIMPLESMENTE

APOIADOS 5.54 5-42 PLACA PLANA SUBMETIDA A CARREGAMENTO COMBINADO: CARGA AXIAL TRANSVERSAL E

COMPRESSÃO LONGITUDINAL – BORDOS SIMPLESMENTE APOIADOS 5.55 5-43 PLACA PLANA SUBMETIDA A CARREGAMENTO COMBINADO: CARGA AXIAL TRANSVERSAL E

COMPRESSÃO LONGITUDINAL – BORDOS ENGASTADOS 5.56 5-44 COEFICIENTE DE FLAMBAGEM PARA PLACA RETANGULAR SIMPLESMENTE APOIADA COM

AFILAMENTO EFICIENTE )CARGA E ESPESSURA VARIANDO EXPONENCIALMENTE) 5.57 5-45 VARIAÇÃO TÍPICA DOS FATORES INELÁSTICOS η/J COM A TENSÃO (LIGA DE ALUMÍNIO 2024-T3) 5.60 5-46 CURVAS DE CORREÇÃO DE PLASTICIDADE PARA PLACAS EM LIGAS ALCLAD 5.61 5-47 CURVAS DE CORREÇÃO DE PLASTICIDADE PARA FLAMBAGEM EM CISALHAMENTO (LIGAS ALCLAD) 5.61 5-48 TENSÃO CRÍTICA (LIGA AL 7075-T6 A TEMPERATURA AMBIENTE) COMO UTILIZADO PELA BOEING 5.62 5-49 GRÁFICO ADIMENSIONAL PARA TENSÃO DE FLAMBAGEM EM COMPRESSÃO OU FLEXÃO PARA

FLANGES LONGOS ENGASTADOS OU PLACAS APOIADAS COM RESTRIÇÕES ELÁSTICAS NAS BORDAS 5.63 5-50 GRÁFICO ADIMENSIONAL PARA TENSÃO DE FLAMBAGEM EM COMPRESSÃO DE FLANGES LONGOS

SIMPLESMENTE APOIADOS 5.63 5-51 GRÁFICO ADIMENSIONAL PARA TENSÃO DE FLAMBAGEM EM CISALHAMENTO DE PLACAS COM

RESTRIÇÕES ELÁSTICAS NAS BORDAS 5.64 5-57 CORTE DE UMA CHAPA ALCLAD 5.65 5-58 CURVAS TENSÃO-DEFORMAÇÃO PARA O CLAD: NÚCLEO E COMBINAÇÕES CLAD-NÚCLEO 5.65 5-59 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES E DESLOCAMENTOS EM PLACAS SUJEITAS A ENCURTAMENTO

UNIFORME NAS EXTREMIDADES 5.67 5-60 COMPORTAMENTO DE PLACAS PERFEITAS E IMPERFEITAS SUBMETIDAS A ENCURTAMENTO

UNIFORME NAS EXTREMIDADES 5.68 5-61 DISTRIBUIÇÕES DE TENSÃO EM PLACA FLAMBADA (REAL E ASSUMIDA) 5.69 5-62 LARGURAS EFETIVAS DE PLACAS EM COMPRESSÃO 5.70 5-63 VALORES DE KC VS. B/T PARA PAINÉIS REFORÇADOS 5.72

5.4

5 FLAMBAGEM DE PLACAS 5.1 INTRODUÇÃO

Nos capítulos precedentes tratou-se da flambagem de membros uni-dimensionais, tais como

colunas e vigas. A análise destes membros é relativamente simples, porque a flexão pode ser

considerada se dar num único plano. Em comparação, a flambagem de uma placa envolve flexão em

dois planos sendo, portanto, relativamente mais complexa. De um ponto de vista matemático, a maior

diferença entre colunas e placas é que quantidades tais como deflexões e momentos fletores, que são

funções de uma única variável independente em colunas, tornam funções de duas variáveis

independentes em placas. Em conseqüência, o comportamento de placas é descrito por equações

diferenciais parciais, enquanto que equações diferenciais ordinárias foram suficientes para descrever o

comportamento de colunas.

Uma diferença significativa entre placas e colunas também é evidente se as suas características de

flambagem são comparadas. Para uma coluna, a flambagem encerra a sua capacidade de resistir à

carga axial, e a carga crítica, portanto, é a carga de falha para o membro. O mesmo, entretanto, não é

verdadeiro em placas. Estes elementos estruturais podem, após ser atingida a carga crítica, continuar

resistindo forças axiais crescentes, e não falham antes que uma carga sensivelmente maior do que a

crítica é atingida. A carga crítica de uma placa não é, portanto, a sua carga de falha. Para se conhecer a

capacidade de carregamento de uma placa é necessário considerar o seu comportamento após a

flambagem.

A teoria da estabilidade desenvolvida neste capítulo é aplicável a dois grupos distintos de placas.

Um inclui os elementos de placa relativamente pequenos dos quais são compostas formas estruturais

tais como colunas de paredes finas em I, canal, ângulo, etc. Quando tal elemento flamba, somente

aquele elemento e não o membro como um todo se deforma. Isto normalmente é referido como

flambagem local. A outra categoria de placas à qual o material deste capítulo é aplicável é constituída

dos painéis planos ordinários, tais como aqueles que podem ser encontrados em qualquer estrutura que

tenha grandes superfícies planas.

5.2 TEORIA DE PEQUENAS DEFLEXÕES DE PLACAS FINAS

Considere a placa de espessura uniforme t, mostrada na Fig. 5-1a. Os eixos de coordenadas x e y

são direcionados ao longo das bordas da placa e o eixo z é direcionado verticalmente, para baixo. O

plano xy, à meia altura entre as duas faces da placa, é chamado de superfície média. A Fig. 5-1b mostra

um elemento diferencial da placa. Em cada lado do elemento pode existir uma tensão normal σ e duas

tensões de cisalhamento τ. Costuma-se designar planos num corpo físico pela direção de suas normais.

A tensão normal atuando num plano então carrega a mesma designação que o plano. A designação da

5.5

tensão de cisalhamento consiste de duas partes; a primeira denota o plano sobre o qual age e a

segunda, a direção da tensão.

Placas podem ser classificadas em três categorias: Placas espessas, placas finas e membranas. Se

a espessura da placa é considerável, se comparada às outras dimensões, deformações de cisalhamento

tendem a ser da mesma ordem de grandeza das deflexões de flexão e, portanto, têm de ser

consideradas na análise. Tais placas são denominadas de placas espessas. Por outro lado, placas finas

são aquelas em que a espessura é pequena comparada às outras dimensões e deformações de

cisalhamento são desprezíveis comparadas às deflexões de flexão. Um terceiro grupo conhecido por

membranas consiste de placas cuja espessura é tão fina que a rigidez em flexão tende a zero, e cargas

transversais devem ser resistidas quase que exclusivamente pela ação de membrana. Neste capítulo

somente placas finas serão consideradas.

Costuma-se fazer as duas hipóteses dispostas abaixo no que concerne o comportamento de placas

finas:

1. As deformações de cisalhamento γxz e γyz são desprezíveis, a linhas normais à superfície média

antes da flexão permanecem retas e normais à superfície média durante a flexão.

2. A tensão normal σz e a deformação correspondente εz são desprezíveis e, portanto, a deflexão

transversal de qualquer ponto (x, y, z) é igual à deflexão transversal do ponto correspondente

(x, y, 0) na superfície média.

Além de limitar a análise a placas finas, as seguintes idealizações são feitas aqui:

3. As deflexões transversais da placa são pequenas quando comparadas à espessura. Em

conseqüência a extensibilidade da superfície média pode ser desprezada; isto é, a ação de

membrana resultante da flexão é desprezível quando comparada com a aça da flexão

propriamente dita.

4. O material da placa é homogêneo, isotrópico e segue a lei de Hooke.

Como conseqüência das hipóteses 1 e 2, a placa pode ser tratada como um problema de estado

plano de tensão e as hipóteses 3 e 4 permitem descrever o comportamento da placa através de

equações diferenciais parciais lineares a coeficientes constantes.

5.6

5.3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE EQUILÍBRIO DE PLACAS EM FLEXÃO: TEORIA LINEAR

A derivação da equação diferencial de equilíbrio de placas em flexão a partir do equilíbrio de um

elemento de placa pode ser encontrada em textos como as Refs. 5.1 a 5.4. A derivação completa será

omitida aqui. Para fins de referência, alguns dos resultados intermediários e figuras para estabelecer a

convenção de sinais serão apresentados. Numa seção posterior será apresentada a expressão para o

potencial total de uma placa carregada em seu plano e sujeita à flexão. O cálculo de variações será

então empregado para re-derivar a equação de equilíbrio e possíveis condições de contorno.

A Fig. 5-2 mostra um elemento de placa deformado submetido às forças distribuídas em seu próprio

plano, Nx, Ny, Nxy e Nyx. O eixo z é dirigido para baixo e os sentidos positivos estão indicados.

5.7

A Fig. 5-3 mostra os momentos fletores e torsores, bem como as forças de cisalhamento. Estas

quantidades também são distribuídas, ou seja, por unidade de comprimento. Notando que, para

equilíbrio de momentos em torno do eixo z, Nxy = Nyx, a equação de equilíbrio na direção z pode ser

escrita como

022

2

2

2

2

=∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂

∂+

∂∂

yxwN

ywN

xwN

yQ

xQ

xyyxyx (5.1)

Se os termos de ordem superior são desprezados, o equilíbrio de momentos em torno dos eixos x e

y podem ser escritos, respectivamente, como

0=−∂

∂−

∂

∂y

xyy Qx

My

M (5.2)

0=−∂

∂−

∂∂

xxyx Q

yM

xM

(5.3)

As Eqs. (5.1) a (5.3) podem ser combinadas numa única. Basta derivar a Eq. (5.2) em relação a y,

(5.3) em relação a x e substituir na Eq. (5.1):

0222

2

2

2

2

2

22

2

2

=∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂

∂+

∂∂

∂−

∂∂

yxwN

ywN

xwN

yM

yxM

xM

xyyxyxyx (5.4)

A Eq. (5.4) contém 4 incógnitas: Mx, My, Mxy e w. Para obter-se uma solução, é óbvio que faltam

mais três relações. Uma vez que não há mais condições de equilíbrio a serem utilizadas, estas relações

adicionais terão que ser obtidas considerando-se a deformação da placa.

Os momentos são devidos às tensões, cuja magnitude é proporcional à distância da superfície

média

∫−

=2

2

t

txx zdzM σ , ∫

−

=2

2

t

tyy zdzM σ , ∫

−

−=2

2

t

tyxxy zdzM τ (5.5)

A relação entre tensões e deformações para o estado plano de tensões é

( )yxxE υεευ

σ −−

= 21 , ( )xyy

E υεευ

σ −−

= 21 , ( ) xyxy

E γυ

τ+

=12

(5.6)

As relações entre deformações e deslocamentos de flexão w são dadas por

2

2

xwzx ∂

∂−=ε , 2

2

ywzy ∂

∂−=ε ,

yxwzxy ∂∂

∂−=

2

2γ (5.7)

Substituindo nas Eqs. (5.6) resulta em

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

21 yw

xwEz

x υυ

σ , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

21 xw

ywEz

y υυ

σ , yx

wEzxy ∂∂

∂+

=2

1 υτ (5.8)

5.8

Na seqüência, a substituição das tensões de (5.8) nas Eqs. (5.5) resulta em

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

yw

xw

DM x υ , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

xw

ywDM y υ , ( )

yxwDM xy ∂∂

∂−−=

2

1 υ (5.9)

onde D, a rigidez em flexão por unidade de largura da placa é dada por

( )2

3

112 υ−=

EtD (5.10)

Substituindo, agora, as Eqs. (5.9) na equação de equilíbrio (5.4) resulta, finalmente, em

yxwN

ywN

xwN

yw

yxw

xwD xyyx ∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ 2

2

2

2

2

4

2

22

4

4

4

22 (5.11)

Esta é a equação diferencial para uma placa carregada em seu plano. Segundo a convenção de

sinais utilizada, as cargas de compressão são negativas. Como a flambagem está associada

primordialmente a cargas de compressão, seria tedioso representar cargas e tensões críticas por

quantidades negativas. Em conseqüência, da mesma forma que foi feito no estudo de colunas, a maioria

dos textos que estuda a flambagem de placas convenciona um sinal positivo para uma carga de

compressão, ou seja, os sinais das cargas no plano da placa são mudados em relação à convenção

apresentada na Fig. (5-1). Nestas condições, a Eq. (5.11) é rescrita na forma

02122

2

2

2

2

4

4

22

4

4

4

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

yxwN

ywN

xwN

Dyw

yxw

xw

xyyx (5.12)

A equação (5.12) é a equação diferencial de equilíbrio para a flambagem de uma placa de

espessura constante, as deformações são consideradas pequenas e o material, elástico linear.

5.4 CONDIÇÕES DE CONTORNO

Antes de considerar casos específicos, vale discutir alguns dos problemas envolvidos na imposição

das condições de contorno. Se as condições de contorno tivessem que ser satisfeitas exatamente, ou as

tensões têm de estar em equilíbrio com as forças por unidade de área, aplicadas na borda, ou os

deslocamentos têm de satisfazer as condições prescritas em todos os pontos da borda. O primeiro

requisito, entretanto, é incompatível com as condições de equilíbrio no interior da placa, onde foi imposto

o equilíbrio entre as resultantes de tensão e forças aplicadas. Além do mais, não se pode

arbitrariamente especificar deslocamentos em todos os pontos da borda da placa sem violar a hipótese

de que normais à superfície média permanecem normais e não mudam de comprimento quando a placa

deforma. Por esta razão, o equilíbrio é simplesmente requerido entre resultantes de tensão e forças

aplicadas na borda por unidade de comprimento e os deslocamentos são especificados somente na

borda da superfície média.

Especificando as condições de contorno nesta forma aproximada compromete a precisão das

tensões somente numa região estreita na borda da placa, pois, de acordo com o princípio de St. Venant,

5.9

as tensões a várias espessuras da borda dependem somente das resultantes de tensão e não de como

são distribuídas através da espessura. Como na teoria de vigas, erros grosseiros podem ser cometidos

no região da borda da placa ao se empregar a teoria simplificada. Se tensões são requeridas nesta área,

é necessário recorrer-se a uma teoria mais complicada para placas grossas, como aquela desenvolvida

por Reissner, ou à teoria tridimensional da elasticidade.

As condições de contorno usuais numa borda x = cte são:

a) engaste – deslocamento e rotação nulas, respectivamente:

00 =∂∂

=xww ; (5.13)

b) apoio simples – deslocamento e momento fletor distribuído Mx nulos, respectivamente:

00 2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

=yw

xww υ ; (5.14)

c) livre – momento fletor distribuído e cisalhamento efetivo distribuído nulos, respectivamente:

( ) 012 ; 0 2

3

3

3

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

∂−+

∂∂

=∂∂

+∂∂

yw

DN

xw

DN

yxw

xw

yw

xw xyxυυ (5.15)

Por outro lado, as condições de contorno usuais numa borda y = cte são:

00 =∂∂

=xww ; para engaste (5.16)

00 2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

=xw

yww υ ; para apoio simples (5.17)

( ) 012 ; 0 2

3

3

3

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

∂−+

∂∂

=∂∂

+∂∂

xw

DN

yw

DN

yxw

yw

xw

yw xyyυυ para borda livre (5.18)

5.5 CARGA CRÍTICA PARA COMPRESSÃO UNIAXIAL UNIFORME

Considere a placa retangular simplesmente apoiada com lados de comprimento a e b, como

mostrado na Fig. 5-4. A placa está sujeita a uma carga de compressão, Nx, por unidade de comprimento

5.10

uniformemente distribuída ao longo das bordas x = 0 e x = a. Considera-se que as bordas da placa são

livres para se mover no plano da placa e que, em conseqüência, cargas adicionais no plano da placa

além daquelas aplicadas nas bordas não podem se desenvolver (note que, devido ao efeito do

coeficiente de Poisson, se as bordas y=0 e y=b não fossem permitidas se afastar, forças axiais de

compressão na direção y se desenvolveriam na placa). Fazendo Ny = Nxy = 0, a Eq. 5.12 pode ser escrita

na forma:

02 2

2

4

4

22

4

4

4

=∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

xw

DN

yw

yxw

xw x (5.19)

Uma vez que todas as bordas são simplesmente apoiadas, a deflexão lateral, assim como o

momento fletor, se anulam em cada borda. Adotando o sistema de eixos da figura, as condições de

contorno são:

00 2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

=yw

xww υ ; em x = 0 , a (5.20)

00 2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

=xw

yww υ ; em y = 0, b (5.21)

Tendo em vista a condição de que a deflexão ao longo de cada uma das bordas é nula, é evidente que

02

2

=∂∂

yw

em x = 0 , a e 02

2

=∂∂

xw

em y = 0 , b (5.22)

Em conseqüência, as condições de contorno (5.20) podem ser simplificadas para

02

2

=∂∂

=xww em x = 0 , a (5.23)

02

2

=∂∂

=yww em y = 0, b (5.24)

Uma vez que a flexão da placa é limitada a pequenas deformações, somente as deformações de

flexão necessitam ser consideradas. As deformações no plano da placa causadas pela flexão são

consideradas desprezíveis. Diante deste fato, somente as condições de contorno que lidam com as

deformações transversais são necessárias. As condições de contorno no plano da placa foram

necessárias para determinar se, ou não, forças no plano da placa são induzidas durante a compressão

axial da placa.

Para determinar o carregamento crítico de um sistema através do uso do conceito do equilíbrio

neutro, é necessário determinar-se uma solução não trivial da equação de equilíbrio. No caso de uma

placa esta equação é uma equação diferencial parcial, e como ainda não se lidou com este tipo de

equação nos capítulos anteriores, algumas palavras introdutórias referentes à sua solução parecem em

ordem.

5.11

A maior diferença entre uma equação diferencial ordinária e uma equação diferencial parcial é que a

primeira pode ser satisfeita somente por uma função, enquanto que existem várias funções que

satisfazem a última. Como conseqüência, a solução geral de uma equação diferencial parcial é mais

difícil de ser obtida e de menor valor prático. Enquanto que a solução geral de uma equação diferencial

ordinária fornece a forma da variável dependente com uma ou mais constantes arbitrárias a determinar,

a solução geral de uma equação diferencial parcial somente descreve a variável dependente em termos

genéricos e não dá a sua forma específica. Em conseqüência, é usual resolver a equação na forma de

uma série.

Considere que a solução da Eq. (5-24) seja da forma

sensen),(1 1 b

yna

xmAyxwm n

mnππ∑∑

∞

=

∞

−

= , m = 1, 2, 3, ... n = 1, 2, 3, ... (5.25)

onde m e n representam o número de semi-ondas nas quais a placa flamba, respectivamente, nas

direções x e y. Está claro que a solução considerada, de fato, satisfaz todas as condições de contorno.

Falta então verificar se também é capaz de satisfazer a equação diferencial. Substituição das derivadas

apropriadas na Eq. (5.19) leva a

0 sensen224224

1 1=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∑∑

∞

=

∞

− byn

axm

am

DN

bn

bn

am

amA x

m nmn

πππππππ (5.26)

A mão esquerda de (5.26) consiste de uma soma de um número infinito de funções independentes. A

única maneira de tal soma se anular, é todas as parcelas se anularem, ou seja,

0 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

2

2

22

2

2

2

24

am

DN

bn

amA x

mnππ (5.27)

Esta expressão pode ser satisfeita ou se Amn = 0 ou se o termo entre colchetes se anula. Se Amn = 0, Nx

pode assumir qualquer valor. Esta é a solução trivial a qualquer carga, desde que a placa permaneça

reta. A solução não-trivial é obtida fazendo o termo entre colchetes igual a zero.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 2

2

2

2

2

22

bn

am

mDaN x

π ou

22

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

mban

amb

bDN x

π (5.28)

De acordo com a Eq. (5.28), Nx depende das dimensões e das propriedades físicas da placa, bem

como de m e n, o número de semi-ondas nas quais a placa flamba. Como o valor crítico de Nx é o menor

valor que satisfaz a Eq. (5.28), é necessário determinar os valores de m e n que minimizam (5.28). É

óbvio que Nx aumenta com o aumento de n, de modo que n = 1, ou seja, a placa flamba numa única

semi-onda na direção y. O número de semi-ondas nas quais a placa flamba na direção x é determinada

minimizando-se a Eq. (5.28) com relação a m:

( )bam

bma

ab

mba

amb

bD

dmNd x =⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += 02

22

2π (5.29)

5.12

A substituição de (5.29) em (5.28) leva a

( ) 2

24b

DN xπ

=cr (5.30)

Uma vez que uma placa simplesmente apoiada é obrigada a flambar num número inteiro de semi-

ondas, a/b que, de acordo com (5.29) é igual a m, tem de ser um número inteiro. A carga crítica dada

pela Eq. (5.29) é, portanto, somente válida quando a/b é um inteiro. Para placas nesta categoria, o

padrão da flambagem consiste em ondas quadradas.

O caso mais geral, quando a/b não é um inteiro será agora considerado. A Eq. (5.28) pode ser

escrita na forma

2

2

bDkN x

π= , onde

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

mban

ambk (5.31)

O fator k depende do alongamento a/b, e de m e n , o número de semi-ondas nas quais a placa flamba.

Como já visto, n = 1 leva ao menor valor de Nx; isto é, a placa flamba numa única semi-onda na direção

y. Para determinar o padrão de flambagem na direção x, deve-se considerar como k varia com a/b para

diferentes valores de m. Quando m = 1 na Eq. (5.31), a variação de k com a/b está mostrada na Fig. 5-5.

De forma análoga, tomando m = 2, 3, .., as curvas indicadas na Fig. 5-5 são obtidas. É evidente destas

curvas que existe um número ilimitado de k, correspondendo a um valor particular de a/b, que satisfazem

a Eq. (5.31). Destes somente é de interesse aquele de menor valor. A curva sólida na Fig. 5-5, obtida

conectando os ramos inferiores das várias curvas, dá o valor crítico de k como uma função de a/b. Além

disto, a curva sólida indica o número de semi-ondas nas quais a placa flamba na direção x,

correspondente a um dado valor de a/b. Por exemplo, o coeficiente de flambagem critico k é dado para

m = 1 para todas as placas com 2<ba . Estas placas portanto flambam numa única semi-onda na

direção x. Para placas com 62 << ba prevalece m = 2 e a placa flamba em duas semi-ondas na

direção x.

Desde que a/b seja relativamente pequeno, k varia consideravelmente com o alongamento e uma curva

como aquela dada na Fig. 5-5 é necessária para a obtenção do valor correto de k. Para a/b > 4,

5.13

entretanto, a variação de k do valor 4 é desprezível, e k = 4 é, portanto, uma aproximação satisfatória

para placas longas, simplesmente apoiadas nos quatro bordos e submetidas à compressão uniaxial.

Tendo determinado a carga critica de uma placa carregada uniaxialmente, é interessante fazer a

comparação com a carga crítica de uma coluna. Para este fim é melhor substituir D por E/12(1-ν2) e Nx

por σcrt

( ) ( )22

2 1112 tb

Ekυ

πσ−

=cr (5.32)

A expressão equivalente para a coluna é

( )2

2

ρπσ

LEc

=cr (5.33)

onde c é uma constante que depende das condições de contorno. A comparação entre as equações

acima indica que a tensão crítica de ambas, placa e coluna, são diretamente proporcionais ao módulo de

elasticidade e inversamente proporcionais à razão de dois comprimentos. A tensão na placa varia

inversamente com o quadrado da razão entre a espessura e a largura, e a tensão na coluna varia com o

inverso do quadrado da razão de esbeltez. A tensão crítica da coluna, portanto, depende do

comprimento, enquanto que a da placa depende da largura e é independente do comprimento.

5.6 COMPRESSÃO UNIAXIAL – BORDAS CARREGADAS SIMPLESMENTE APOIADAS

Como visto na seção anterior, a equação diferencial de equilíbrio, e condições de contorno nas

bordas carregadas são dadas pelas Eqs. (5.19) e (5.23)

02 2

2

4

4

22

4

4

4

=∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

xw

DN

yw

yxw

xw x (5.19)

02

2

=∂∂

=xww em x = 0 , a (5.23)

Na seção anterior também foi visto que funções do tipo sen(mπx/a) , que satisfazem as condições de

contorno (5.23), são também capazes de satisfazer a Eq. (5.19). Seja

axmyfyxw πsen)(),( = (5.34)

Substituindo na Eq. (5.19) resulta em

0sen22

4

4

2

224

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

axmf

am

DN

dyfd

dyfd

amf

am x ππππ

que pode ser posta na forma

5.14

0224

2

22

4

4

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− f

am

DN

am

dyfd

am

dyfd x πππ

(5.35)

A solução geral desta equação é (Ref. 5.5):

byC

byC

byC

byCyf ββαα sencossenhcosh)( 4321 +++= (5.36)

onde

2121

21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ck

amb

ambπα (5.37)

2121

21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ck

amb

ambπβ (5.38)

( ) 2

2cr

2

c112

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=tb

Ek e

πσυ

(5.39)

O esboço abaixo mostra a transição do modo de flambagem de uma coluna para a placa, à medida

que os bordos descarregados vão sendo apoiadas. Quando ambas os bordos descarregados são livres,

o elemento estrutural é denominado de placa-coluna. Quando um dos bordos somente é livre, tem-se u

que é conhecido por flange. Uma placa propriamente dita não tem bordos livres.

Para a placa-coluna (wide column), as condições de contorno para o bordo descarregado são o

momento e o cisalhamento reduzido nulos, ou seja,

( ) ; 0120,0

2

3

3

3

,02

2

2

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂−+

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

== byby yxw

yw

xw

yw υυ (5.40)

A aplicação de (5.34) nas condições de contorno e posterior aplicação na solução (5.36) leva à seguinte

equação característica:

( ) ( ) 02tanh2tan 22 =+ ααββ qp (5.41)

5.15

onde

( )22 abmp πυα −= ( )22 abmq πυβ −= (5.42)

Para o flange simplesmente apoiado,

( ) ; ; 01200)0( 2

3

3

3

,02

2

2

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂−+

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=== byby yx

wyw

xw

yww υυ (5.43)

e a equação característica é dada por

0sencoshcossenh 22 =− βααβαβ qp (5.44)

O coeficiente de flambagem para colunas largas e flanges é mostrado como função de ν e a/b nas

Figs. 5-6 a 5-8. As soluções para colunas largas foram dadas por Hubolt e Stowell (Ref 5.6) usando a

equação diferencial para bordas carregadas simplesmente apoiadas e um método de energia para

bordas carregadas engastadas.

O coeficiente de flambagem para um flange simplesmente apoiado foi derivado por Lundquist e

Stowell (Ref. 5-7) na forma

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

616 2

2

abmk πυπc (5.45)

Quando a aresta descarregada é engastada,

5.16

22

c 10,034,193,083,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

abm

bmak ππ

υ (5.46)

Como pode ser visto a partir das soluções acima, o coeficiente de flambagem de uma placa

simplesmente apoiada depende somente de mb/a e não depende do coeficiente de Poisson ν. Por outro

lado os coeficientes da placa-coluna e flanges dependem também do coeficiente de Poisson. A influência

do coeficiente de Poisson sobre o coeficiente de flambagem é devida aos termos do cisalhamento

5.17

reduzido nas bordas livres de flanges e placas-coluna. Condições de contorno tais como apoio simples

não impõem requisitos de cisalhamento reduzido nulo, o que elimina a influência de ν .

O valor do coeficiente de flambagem para um elemento contendo uma borda descarregada livre

depende do grau de curvatura anticlástica desenvolvida. Para elementos muito estreitos tais como uma

viga, ocorre curvatura anticlástica completa e a rigidez em flexão é simplesmente EI. Para uma placa-

coluna relativamente larga, a curvatura anticlástica é suprimida, de forma que a seção transversal

permanece relativamente plana excetuando muito próximo das bordas livres. A restrição de curvatura

anticlástica resulta num aumento na rigidez em flexão. Para um elemento muito largo a rigidez em flexão

se aproxima de E/(1-ν2). Esta condição limite é conhecida por flexão cilíndrica.

Placas-Coluna podem freqüentemente ser relativamente estreitas, caso em que a rigidez estará

entre os dois valores limites discutidos. Este efeito pode ser notado nas Figs. 5-6 e 5-7.

5.18

A Fig. 5-9 mostra a variação do coeficiente de flambagem para placas retangulares em compressão

como função de a/b para várias condições de contorno. As curvas envolvendo bordas livres são

limitantes inferiores, válidos para a razão de Poisson entre 0,27 e 0,33. A letra C significa engaste, SS,

apoio simples e F, livre. É aparente que, para valores de a/b maiores do que 4, o efeito de engastamento

nas bordas carregadas torna-se desprezível, e uma placa engastada flamba, praticamente, sob a mesma

carga de uma placa simplesmente apoiada nos bordos carregados.

O comportamento de placas comprimidas com várias quantidades de restrição elástica rotacional ao

longo das bordas descarregadas é mostrado na Fig. 5-10. O coeficiente de restrição rotacional µ é dado

por

5.19

DbSv4

=µ (5.47)

onde Sv é a rigidez por unidade de comprimento do meio elástico resistente ou momento requerido para

girar um comprimento unitário do meio elástico através de um ângulo de um quarto de radiano.

A Fig. 5-10 também pode ser utilizada quando as restrições elásticas são desiguais em ambos os

bordos descarregados. Isto pode ser feito determinando o valor de kc para µ em cada bordo. O valor

efetivo pode então ser achado de

( ) 2121 ccc kkk = (5.48)

A Fig. 5-11 mostra as curvas para o coeficiente de flambagem de uma placa com uma borda

descarregada livre e outra submetida à restrição rotacional elástica.

5.20

As restrições elásticas são matematicamente equivalentes a uma série de molas torsionais não

conectadas entre si. Considerando que isto não conforma com o comportamento do membro de borda

ou reforçador usuais num painel plano, é necessário determinar a rigidez de mola efetiva para que se

possa fazer uso das Figs. 5-10 ou 5-11, como dado em (5.47). Entretanto, não é necessário determinar

esta rigidez com grande precisão, uma vez que a influência de µ sobre kc engloba uma grande gama de

razões de rigidez, como mostrado na Fig. 5-12 para placas infinitamente longas. Quando a rigidez

rotacional do reforçador foi achada, µ (ε na Fig. 5-12) pode ser computado fazendo-se a razão desta

rigidez com a rigidez rotacional da placa.

5.21

A partir de resultados de laboratório, Gerard construiu um gráfico para o coeficiente de flambagem

de placas longas como função de b/t para reforçadores fortes e fracos (Fig. 5-13). Acima de b/t = 200

pode-se ver que a maioria dos reforçadores de fato tem um efeito de engastar a paca.

A Fig. 5-14 ilustra o caso onde a tensão de compressão varia linearmente sobre o comprimento da

placa, um caso típico sendo aquele dos painéis na parte superior de uma asa em balanço sob condições

normais de vôo.

5.7 POTENCIAL TOTAL DE UMA PLACA EM FLEXÃO

A energia de deformação de um corpo em estado plano de tensões foi derivada no Capítulo 2:

( ){ }dVE

UV xyyyxxyyxx ∫ ++−+= 222 122

21 τνσνσσσ (2.65)

Substituindo as expressões 5.8 derivadas na Seção 5.3:

5.22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

21 yw

xwEz

x υυ

σ , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

21 xw

ywEz

y υυ

σ , yx

wEzxy ∂∂

∂+

=2

1 υτ (5.8)

tem-se

( )( ) ( ) dAdz

yxw

yw

xw

yw

xwzEU

A

t

t

∫∫⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−+

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−−

=−

22

2

2

2

22

2

22

2

22

2

2

222

122112

υυυυ

Integrando em z e notando que D = Et3/12(1-ν2) vem que

( ) dAyx

wyw

xw

yw

xwDU

A ∫ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−+

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=22

2

2

2

22

2

22

2

2

1222

υυ ou ainda (5.49)

( ) dAyw

xw

yxw

yw

xwDU

A ∫

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= 2

2

2

2222

2

2

2

2

122

υ (5.50)

Fig. 5-15 Deslocamento Elementar das Forças no Plano da Placa

Com referência à Fig. 5-15, os trabalhos elementares realizados pelas forças distribuídas são:

( ) dxxudyN x ∂

∂− trabalho elementar das forças normais na direção x

( ) dyyvdxN y ∂

∂− trabalho elementar das forças normais na direção y

( ) ( ) dxxvdyNdy

yudxN xyxy ∂

∂−

∂∂

− trabalho elementar das forças de cisalhamento

y, v

x, u

Ny

Ny

Nx Nx

dx

dy dxxu

∂∂

dyyv

∂∂

dx

dy

dyyu

∂∂

Nxy

Nxy

Nxy

Nxy

5.23

O potencial de todas as forças distribuídas no plano da placa é, portanto,

( ) ( ) ( ) ( ) dxxvdyNdy

yudxNdy

yvdxNdx

xudyNV

A xyA xyA yA x ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= ∫∫∫∫ (5.51)

Por outro lado, a relação entre os deslocamentos axiais e de flexão são (superfície média inextensível):

yw

xw

xv

yu

yw

yv

xw

xu

∂∂

∂∂

−=∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=∂∂ ; ;

22

21

21

(5.52)

de modo que

dAyw

xwN

ywN

xwNV

A xyyx ∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−= 221

22

(5.53)

O potencial total da placa em flexão, quando submetida a forças em seu plano é a soma de (5.50) e

(5.53).

5.8 A VARIAÇÃO DO POTENCIAL TOTAL

A variação da Eq. (5.50) fornece

( ) dxdyxw

yw

yw

xw

yxw

yxwD

dxdyyw

xw

yw

xwDU

a b

a b

∫ ∫

∫ ∫

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂∂

∂−+

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

0 02

2

2

2

2

2

2

222

0 02

2

2

2

2

2

2

2

21 δδδυ

δδδ

(5.54)

dxdywyw

xw

xwdy

yw

xw

x

dyxw

yw

xwdxdy

xw

yw

xw

a bba

aba b

∫ ∫∫

∫∫ ∫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

−

−∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

0 02

2

2

2

2

2

002

2

2

2

00

2

2

2

2

0 02

2

2

2

2

2

δδ

δδ

(a)

dxdywyw

xw

ywdx

yw

xw

y

dxyw

yw

xwdxdy

yw

yw

xw

a bab

baa b

∫ ∫∫

∫∫ ∫

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

−

−∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

0 02

2

2

2

2

2

002

2

2

2

00

2

2

2

2

0 02

2

2

2

2

2

δδ

δδ

(b)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) wdxdyyx

wwdyyxwwdxdy

yxwwdx

yxw

dxxw

yxwdy

yw

yxwdxdy

yxw

yxw

a bba

a bab

ab

ba

a b

δυδυδυδυ

δυδυδυ

∫ ∫∫∫ ∫∫

∫∫∫ ∫

∂∂∂

−+∂∂

∂−−

∂∂∂

−+∂∂

∂−−

∂∂

∂∂∂

−+∂

∂∂∂

∂−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂∂

∂−

0 022

4

002

3

0 022

4

002

3

00

2

00

2

0 0

22

1111

1112

Mas o termo no quadro em vermelho pode ser integrado por partes em y:

5.24

( ) ( ) ( )∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−−

∂∂∂

−=∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

babab

awdy

yxww

yxwdy

yw

yxw

002

3

00

2

00

2

111 δυδυδυ

e o termo enquadrado em azul pode ser integrado por partes em x:

( ) ( ) ( )∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−−

∂∂∂

−=∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

abbaa

bwdx

yxww

yxwdx

xw

yxw

002

3

00

2

00

2

111 δυδυδυ

de modo que (c) fica

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) wdxdyyx

wwdyyxwwdxdy

yxw

wdxyx

wwdxyx

wwyx

w

wdyyxww

yxwdxdy

yxw

yxw

a bba

a b

abb

aba

abbaa b

δυδυδυ

δυδυδυ

δυδυδυ

∫ ∫∫∫ ∫

∫∫

∫∫ ∫

∂∂∂

−+∂∂

∂−−

∂∂∂

−

+∂∂

∂−−

∂∂∂

−−∂∂

∂−+

∂∂∂

−−∂∂

∂−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

0 022

4

002

3

0 022

4

002

3

00

2

3

00

2

00

2

3

00

2

0 0

22

111

111

1112

(c)

( ) ( ) ( )

( ) dxdywyx

w

dxwyx

wdxyw

xwdxdy

yw

xw

a b

ba

baa b

∫ ∫

∫∫∫ ∫

∂∂∂

−−

∂∂∂

−+∂

∂∂∂

−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−−

0 022

4

00

2

3

00

2

2

0 02

2

2

2

1

111

δυ

δυδυδυ

(d)

( ) ( ) ( )

( ) dxdywyx

w

dywyxwdy

xw

ywdxdy

xw

yw

a b

ab

aba b

∫ ∫

∫∫∫ ∫

∂∂∂

−−

∂∂∂

−+∂

∂∂∂

−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−−

0 022

4

00

2

3

00

2

2

0 02

2

2

2

1

111

δυ

δυδυδυ

(e)

Da mesma forma, a variação do potencial das cargas produz

∫ ∫ ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=a b

xyyx dxdyxw

yw

yw

xwN

yw

ywN

xw

xwNV

0 0

δδδδδ (5.55)

∫ ∫∫∫ ∫ ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−a b

x

ba

x

a b

x wdxdyxwNwdy

xwNdxdy

xw

xwN

0 02

2

00

0 0

δδδ (f)

∫ ∫∫∫ ∫ ∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−a b

y

ab

y

a b

y wdxdyywNwdx

ywNdxdy

yw

ywN

0 02

2

00

0 0

δδδ (g)

∫ ∫∫∫ ∫ ∂∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−a b

xy

ab

xy

a b

xy wdxdyyx

wNwdxxwNdxdy

yw

xwN

0 0

2

00

0 0

δδδ (h)

5.25

∫ ∫∫∫ ∫ ∂∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−a b

xy

ba

xy

a b

xy wdxdyyx

wNwdyywNdxdy

xw

ywN

0 0

2

00

0 0

δδδ (i)

Colecionando os termos debaixo do sinal duplo de integral nas equações (a) a (i) vem que no

domínio, byax ≤≤≤≤ 00 ;

0222

2

2

2

2

4

4

22

4

4

4

=∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

yxwN

ywN

xwN

yw

yxw

xwD xyyx (5.56)

Colecionando os termos multiplicando xw ∂∂δ nos bordos x = 0, a

ou 0=∂

∂xwδ

ou 02

2

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

yw

xwD υ (5.57)

Colecionando os termos multiplicando wδ nos bordos x = 0, a

ou 0=wδ ou ( ) 02 2

3

3

3

=∂∂

+∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂−+

∂∂

ywN

xwN

yxw

xwD xyxυ (5.58)

Da mesma forma, nos bordos y = 0, b

ou 0=∂

∂ywδ

ou 02

2

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

xw

ywD υ (5.59)

e ou 0=wδ ou ( ) 02 2

3

3

3

=∂∂

+∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂−+

∂∂

xwN

ywN

yxw

ywD xyyυ (5.60)

Nos pontos (0,0), (0,b), (a,0) e (a,b)

ou 0=wδ ou ( ) 012

=∂∂

∂−

yxwDυ (5.61)

A Eq. (5.56) é a equação de equilíbrio para a flambagem de placas de espessura constante e as

Eqs. (5.57) a (5.61) referem-se as possíveis condições de contorno associadas.

5.9 MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ: PLACA SOB COMPRESSÃO NÃO-UNIFORME

Considere a placa da Fig. 5-16, simplesmente apoiada e submetida à compressão não uniforme.

Fig. 5-16 Placa Simplesmente Apoiada Submetida à Compressão não-Uniforme

b

ay

x Nx= Nxo(y/b)Nx= Nxo(y/b)

5.26

A Eq. (5.56) é válida também para carregamentos não-uniformes nos bordos da placa. A equação

de equilíbrio lateral para este caso seria

02 2

2

04

4

22

4

4

4

=∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

xw

byN

yw

yxw

xwD x (5.62)

A função de deflexão

byn

axmAyxw mn

ππ sensen),( = (5.63)

que é solução exata para o caso em que Nx é uniforme, não fornece não fornece um critério de

flambagem se substituída na Eq. (5.62). Na utilização do método de Rayleigh-Ritz, a função de deflexão

para a placa simplesmente apoiada deve ser tomada como

bynA

axmyxw

nmn

ππ sensen),(1

∑∞

=

= (5.64)

Esta função satisfaz todas as condições de contorno e a função sen(mπx/a) é capaz de satisfazer os

termos em x da equação diferencial.

As derivadas relevantes de (5.64) são

bynA

axm

am

xw

nmn

πππ sensen1

2

2

2

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∂∂

(5.65)

byn

bnA

axm

yw

nmn

πππ sensen2

12

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∂∂ ∑

∞

=

(5.66)

byn

bnA

axm

am

yxw

nmn

ππππ coscos1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂∂ ∑

∞

=

(5.67)

A substituição da função deflexão na expressão da energia de deformação (5.49) resulta em

∫ ∫ ∑∑⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∞

=

∞

=

a b

nmn

nmn dxdy

byn

bnA

axm

bynA

axm

amDU

0 0

22

1

2

1

2

sensensensen2

ππππππ +

( )∫ ∫ ∑⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

∞

=

a b

nmn dxdy

byn

bnA

axm

amD

0 0

2

1

22

coscos122

ππππυ + (5.68)

∫ ∫ ∑∑⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

∞

=

∞

=

a b

nmn

nmn dxdy

byn

bnA

axm

bynA

axm

amD

0 0

2

11

2

sensensensen22

ππππππυ

Integrando e simplificando vem que

5.27

42 1

222 ab

bn

amADU

nmn∑

∞

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ππ (5.69)

De forma análoga, o potencial da carga axial (5.51) é dado por

( ) ( )( ) ímparpn

pnpn

npAAaba

mb

N

abAa

mb

Ndxdy

bynA

axm

am

byN

V

n p

mpmnx

nmn

xa b

nmn

x

=++−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=

∑∑

∑∫ ∫ ∑∞ ∞

∞

=

∞

=

, 222

220

1

22

20

0 0

2

1

20

22

82sensen

2

ππ

ππππ

(5.70)

A variação do potencial total em relação a Amn fornece

( ) ( )ímparp) (n

pnpn

npAmbak

mbak

mbnaA

p

mpxxmn =+=

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ ∑

∞

, 08

21 22

2

20

20

22

π (5.71)

com 2

20

0 πDbN

k xx = (5.72)

Para uma dada razão a/b, utilizando-se as equações acima, pode-se determinar o coeficiente de

flambagem com a precisão que se desejar. Na primeira aproximação, n = 1, e o critério de flambagem

torna-se

mba

mbnankx ==

+=

+= β

ββ

ββ ; 2

22

2

222

0)1(2)1(2

(5.73)

Vê-se imediatamente que o valor mínimo de kx0 é dado para β = 1. Desta forma, (kx0)cr = 8. Este

resultado é duas vezes a magnitude do resultado para a compressão uniforme. É realista pois para uma

placa que flamba em semi-ondas quadradas (β = 1) o valor médio da distribuição linear de forças

aplicadas dá

( ) ( )( ) ( )2222

421

DπbDπbk

N xx == cr

médio

na flambagem, ou (kx)médio = 4, que é o (kx)cr para o caso da compressão uniforme.

Para se determinar a precisão da primeira aproximação é necessário considerar pelo menos mais

uma aproximação sucessiva. Para a Segunda aproximação, n é sucessivamente igual a 1 e 2; a

expressão geral da Eq. (5.71) dá

( )

( ) 09

282141

09

28211

12

20

20

222

22

20

20

221

=+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+

=+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+

mxxm

mxxm

AkkA

AkkA

πβββ

πβββ

(5.74)

5.28

Para valores não-triviais de Amn é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes Amn dos seja

nulo:

( )

( ) 0

2141

916

916

211

02

22

20

20

02

22

=

−+

−+

xx

xx

kk

kk

ββ

π

πββ

ou ( ) ( ) ( ) ( ) 0411411

21

8256

41

2

2222

02

2222202 =

+++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

βββ

βββ

π xx kk

Das soluções da quadrática, a que dá o menor valor é

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++++++−+++=2222

2

22222222220 411

814096411411

41 ββ

πββββ

βxk (5.75)

O valor mínimo de kx0 é dado para β = 1, de modo que (kx0)cr = 7,8.

Vê-se, desta forma, que para o presente problema (placa longa, simplesmente apoiada, sujeita à

compressão não-uniforme) uma solução precisa é obtida com somente dois termos na função de

deflexão. De fato, a aproximação de um termo é satisfatória visto que difere de 2,5% da segunda

aproximação. Com esta medida de convergência não há razões para considerar uma aproximação com

mais termos.

Deve ser notado que placas de comprimento finito com razões a/b não inteiras e para placas

carregadas em compressão e tração nos bordos (por exemplo, flexão pura) a exigência de precisão pode

ditar a inclusão da terceira aproximação.

5.10 FLAMBAGEM DE PLACAS PLANAS SOB CARGAS DE FLEXÃO NO PLANO DA PLACA

A flambagem de placas submetidas a cargas de flexão pode ser analisada a partir da solução da

equação de equilíbrio ou via um método de energia, como mostrado na Seção 5.9. Quando uma placa

em flexão flamba, o modo envolve um comprimento de onda relativamente curto. Para placas longas

simplesmente apoiadas este comprimento de onda é 2/3b, como mostrado na Fig. 5-17. Este

5.29

comprimento de onda menor faz com que o coeficiente de flambagem em flexão seja maior do que em

compressão.

A equação para flambagem elástica em flexão pura ou flexão + compressão axial é

( )2

2

2

112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

btEk

e

b

υπ

σ cr (5.79)

onde o coeficiente de flambagem kb é fornecido na próxima série de figuras

A Fig. 5-18 mostra o coeficiente de flambagem de placas planas em flexão para vários valores de

restrição elástica rotacional nos bordos descarregados. As curvas da Fig. 5-18 só devem ser aplicadas

para placas longas (a/b >4).

Quando uma compressão axial é aplicada à placa, em adição às tensões axiais da flexão pura no

plano da placa, o eixo neutro não coincide com o eixo dos centróides, ou seja, como mostrado no

esboço, c não é igual a y .

5.30

O coeficiente de flambagem para placas carregadas desta maneira depende da distância entre o

bordo em compressão e o eixo neutro (zero tensão), que é definido como ( )( )fbx tyffc −+= 1 onde

f0 = fx + fb = tensão no bordo em compressão, fx = tensão axial, fb = tensão de flexão máxima ao longo

da borda comprimida da placa = ItyM f /)( − . As figuras a seguir fornecem o coeficiente de

flambagem em função do parâmetro β = b/c.

5.31

A Fig. 5-19 mostra os coeficientes de flambagem para uma placa simplesmente apoiada nos quatro

bordos em função do parâmetro β. A Fig. 5-20 pode ser adotada para placas simplesmente apoiadas

longas, a/b > 4,

5.32

A Fig. 5-21 mostra os coeficientes de flambagem de placas planas em função do parâmetro β

quando o bordo submetido à tração é simplesmente apoiado e o bordo comprimido engastado.

5.33

A Fig 5-22 mostra os coeficientes de flambagem para placas planas longas (a/b > 2.4) em flexão,

com os bordos carregados e o bordo submetido à tração, simplesmente apoiados, e o bordo submetido à

compressão, engastado.

5.34

A Fig. 5-23 mostra os coeficientes de flambagem de placas planas em flexão quando o lado da

tração está simplesmente apoiado e o lado da compressão livre.

Finalmente, A Fig. 5-24 mostra os coeficientes de flambagem para Placas Planas em Flexão,

quando o lado da tração é engastado e o lado da compressão é livre.

5.35

5.11 MÉTODO DE GALERKIN – PLACAS PLANAS EM CISALHAMENTO

Para que ocorra a flambagem, não é necessário que o membro esteja submetido a uma carga axial.

Tudo o que é necessário é que se desenvolvam tensões de compressão em alguma parte do membro.

Por exemplo, foi visto que a instabilidade pode ocorrer em vigas carregadas transversalmente devido às

tensões de compressão que se desenvolvem no flange comprimido do membro. Um outro elemento

estrutural que não é carregado em compressão, mas assim mesmo torna-se instável, é uma placa

carregada em cisalhamento. Neste caso a compressão está presente nos planos que fazem 45o com as

bordas carregadas e quando estas tensões se tornam suficientemente altas, a flambagem ocorrerá.

a

b x

y

Nxy

Nxy

5.36

Considere a placa de espessura constante do esboço, simplesmente apoiada, e submetida a

esforços de cisalhamento uniformemente distribuídos nos bordos.

A Equação de equilíbrio lateral para o problema é dada por

02 2

4

4

22

4

4

4

=∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

yxw

DN

yw

yxw

xw xy (5.80)

Mesmo que o cisalhamento Nxy seja uniforme ao longo de todas as bordas e estas sejam

simplesmente apoiadas, é fácil verificar que a função de deflexão

byn

axmAyxw mn

ππ sensen),( =

que é a solução exata para compressão uniforme, não satisfaz a Eq. (5.80). Assim sendo, e

considerando que as cargas de cisalhamento são aplicadas em todas as arestas, deve-se assumir uma

forma de deflexão geral:

∑∑∞

=

∞

=

=1 1

sensen),(m n

mn byn

axmAyxw ππ

(5.81)

Noutras palavras, em vez de assumir que a chapa flamba num padrão retangular consistindo de m e n

meias ondas senoidais, respectivamente, nas direções x e y, escolhe-se uma função que permite um

padrão geral de flambagem, do qual o padrão retangular e caso particular. Infelizmente, a combinação

particular de termos da série infinita requerida para uma solução satisfatória depende da geometria da

placa.

Substituindo (5.81) na Eq. de equilíbrio (5.80) resulta

∑∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

1 11 1

222

),(coscossensenm n

mnxy

m nmn yxe

bxn

axm

bn

amA

DN

bxn

axm

bn

amA ππππππππ (5.82)

onde e(x,y) é o erro cometido na satisfação da equação de equilíbrio. O método de Galerkin procura

minimizar este erro tornando-o ortogonal às funções de base no domínio, ou seja

0sensen),(0 0

=∫ ∫ dydxb

yqa

xpyxea b ππ

para p = 1, 2, 3 ... e q = 1, 2, 3 ... (5.83)

Mas 222

0 0 1 1

222

4sensensensen

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∫ ∫∑∑∞

=

∞

= bn

amAabdydx

bxq

axp

bxn

axm

bn

amA mn

a b

m nmn

ππππππππ (5.84)

pois quando p ≠ m e/ou q ≠ n as funções são ortogonais e o resultado da integral é nulo.

Por outro lado,

( ) ( )ímparmp

mpmpmpmp

mpmpadx

axp

axma

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−

−++

+−−

−=∫ ; 11coscos2

sensen0

πππ

ππ ou

5.37

ímparmpmp

pamp

pampmpmpmp

adxa

xpa

xma

=+−

=−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−

−+−

+−−

−=∫ ; 22220

242

11112

sensenπππ

ππ

de modo que

( )( )222220 0 1 1

8sensencoscos2

nqmppqab

bn

amA

DN

dydxb

yqa

xpb

yna

xmb

na

mADN

p qpq

xya b

m nmn

xy

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑∑∫ ∫ ∑∑

∞ ∞∞

=

∞

= πππππππππ

ou

( )( )22220 0 1 1

8sensencoscos

2

nqmpmnpq

ADN

dydxb

yqa

xpb

yna

xmb

na

mADN

p qpq

xya b

m nmn

xy

−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑∑∫ ∫ ∑∑

∞ ∞∞

=

∞

=

ππππππ

(5.75)

Multiplicando as Eqs. (5.84) e (5.85) por 4

44πa

abe levando em consideração a Eq. (5.83) resulta em

( )( )ímparqnímparpmtodosnm

mpmpmnpqA

bak

banmA

p qpq

smn

=+=+=

=−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ ∑∑

∞ ∞,

032

2222

3

2

2222 ,

π (5.86)

pois

2

2

πDbN

k xys = (5.87)

O sistema de equações (5.87) corresponde a dois modos distintos de flambagem: um simétrico

(correspondendo a m + n = par) e outro anti-simétrico (correspondendo a m + n = ímpar).

Conseqüentemente, dois determinantes de estabilidade são formados. Para uma dada geometria da

placa e representação em série finita da forma defletida, podem-se determinar os coeficientes de

flambagem por cisalhamento correspondentes à flambagem simétrica e anti-simétrica. O coeficiente

menor assim obtido é, obviamente, aquele que governa.

Como exemplo, considere a flambagem por cisalhamento de uma placa quadrada. Se,

arbitrariamente, uma série de dois termos é assumida, e.g., A11 e A22, então o determinante de

estabilidade simétrica fica

1,11128

916064

964

964

4

449432

9432

12

2

2

223

2

3

2

22

≅×

=⇒==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

π

π

π

π

πs

s

s

s

s

kk

k

ba

bak

bak

ba

Adicionando mais um termo, por exemplo, A31, o determinante de estabilidade fica

5.38

( )

( )

( )

45,10

1512

920

810264

0

4415384

9128

15384

1909

128011

22

2

222

22

22

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

××=⇒=

+−

−+

+

π

ππ

π

π

s

ss

s

s

k

kk

k

k

A solução essencialmente exata para este caso é dada pela Ref. 5.7. Para a placa quadrada o

modo que prevalece é o simétrico e (ks)cr = 9,35, onde os 10 primeiros termos da função de deflexão

assumida foram utilizados para convergência satisfatória. Nesta referência é mostrado também que o

coeficiente crítico para flambagem anti-simétrica é e (ks)cr = 11,63 (anti-simétrico). A referência indica

também que para a>b:

1 ≤ a/b ≤ 2 ⇒ modo simétrico governa

2 ≤ a/b ≤ 3,5 ⇒ modo anti-simétrico governa

3,5 ≤ a/b ≤ ... ⇒ modo simétrico governa

e assim por diante. Quando a/b aumenta é cada vez mais difícil distinguir a diferença em magnitude

entre os coeficientes obtidos para flambagem simétrica e anti-simétrica. De fato, quanto a placa é

infinitamente longa o coeficiente de flambagem independe de considerações de simetria.

5.12 FLAMBAGEM DE PLACAS PLANAS SOB CARGAS DE CISALHAMENTO

A tensão crítica elástica de cisalhamento para placas planas sob várias condições de contorno é

dada pela Eq. (5.88)

( )2

2

2

112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

btEk

e

s

υπ

τ cr (5.88)

onde b é sempre a dimensão menor da placa uma vez que todas as bordas carregam o cisalhamento.

Uma placa longa retangular sujeita a cisalhamento puro produz tensões de compressão internas em

planos que estão a 45o com as bordas. São estas tensões de compressão que produzem a flambagem

do painel longo num padrão ilustrado no esboço abaixo. O comprimento de semi-onda na flambagem é

1,25b.

5.39

A Fig. 5-25 permite estimar o coeficiente de flambagem em cisalhamento para placas com restrições

elásticas. O parâmetro ε tem a mesma definição dada para µ em (5.47).

5.40

A Fig. 5-26 mostra os coeficientes de flambagem de uma placa plana em cisalhamento com as

condições de contorno de apoio simples ou engaste nos quatro bordos.

5.41

Kuhn (Ref. 5.8) obteve dados para possibilitar estimar o coeficiente de flambagem de uma placa

submetida ao cisalhamento entre os casos limites de apoio simples e engaste. Ele acha o coeficiente de

flambagem a partir de uma equação semi-empírica

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

3

21

c

chdh h

dRRRkk sss (5.89)

onde kss é o valor teórico do coeficiente de flambagem em cisalhamento em placas simplesmente

apoiadas (como dado na Fig. 5-26) e os coeficientes empíricos Rh e Rd dependem da restrição elástica

ao longo das bordas de comprimento hc e dc, respectivamente. Estes coeficientes empíricos podem ser

encontrados na Fig. 5-27. Como pode ser notado, os coeficientes dependem das razões tU/t e tF/t, onde

tU e tF são as espessuras dos reforçadores ao longo dimensões hc e dc da placa. Note que kss é definido,

na Fig. 5-27, de forma distinta do que ks fora definido na Fig. 5-26. De fato, kss = ks π2/12(1-νe2) .

5.13 PLACA EM COMPRESSÃO BIAXIAL

A equação de equilíbrio de uma placa plana sob compressão bi-axial é dada por

012

2

2

2

4

4

22

4

4

4

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

ywN

xwN

Dyw

yxw

xw

yx (5.90)

A solução exata do problema da placa simplesmente apoiada é do tipo

byn

axmAyxw mn

ππ sensen),( = (5.91)

Substituição na Eq. (5.90) leva a

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

yx Nb

nNa

mDb

na

m 22222 1 ππππ (5.92)

Dividindo ambos os lados por ( )22 abmπ resulta

2

2

2

2

2

2

222

2

22 1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

mbna

DbN

DbN

Nm

anNbDmb

ana

mb yxyx πππ

(5.93)

que pode ser posto na forma

1

2

22

2

22

2

222=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

bDn

nabm

N

bD

mban

amb

N yx

ππ (5.94)

Se os coeficientes de flambagem forem definidos como

, 2

2

2

2

ππ DbN

kD

bNk y

yx

x == (5.95)

5.42

a Eq. (5.94) pode ser colocada na forma

12

2

2222=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ n

nabm

k

mban

amb

k yx (5.96)

Para o caso particular da placa quadrada, tem-se

12222=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ n

nm

k

mnm

k yx (5.97)

Variando m e n é possível construir a região de estabilidade no domínio de kx e ky:

162,2

251,22542,1

41,1

=+⇒==

=+⇒==

=+⇒==

=+⇒==

yx

yx

yx

yx

kknm

kknmkknm

kknm

4

(5.98)

Fig. 5-28 Fronteira de Estabilidade para Compressão Bi-axial em Placa Quadrada

4 8 12 20-4

-4

4

8

12

16

16

m=2, n=2

m=1, n=2

m=2, n=1

m=1, n=1

ESTÁVEL

INSTÁVEL

FRONTEIRA DE ESTABILIDADE

kx

ky

5.43

Note que o modo de flambagem com uma semi-onda em cada direção prevalece para a maioria dos

casos encontrados na prática. Somente sob cargas consideráveis de tração numa das direções é que o

coeficiente de flambagem crítico é determinado por um modo de flambagem distinto. Utilizando as Eqs.

(5.98) é possível determinar-se o ponto de transição, por exemplo, de quando o modo com m = 2 e n = 1

passa a ser crítico:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

7254

1411

y

x

y

x

kk

kk

(5.99)

As condições para a transição do modo m = 2 e n = 1 para o modo m = 3 e n = 1 são

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡35

1510025

1914

y

x

y

x

kk

kk

(5.100)

Considere, agora, o caso de uma placa quadrada, simplesmente apoiada, carregada uniformemente

na direção x e cujas bordas y = cte. (no sentido da aplicação da carga) são impedidas de se deslocar

transversalmente (ao contrário da hipótese feita nas seções anteriores). Devido ao efeito de Poisson, o

impedimento de deslocamento transversal induzirá tensões de compressão no sentido y:

xy NN υ= (5.101)

Os esforços de compressão Ny terão o efeito de diminuir o coeficiente de flambagem da situação em

que as bordas são livres para se deslocarem transversalmente. Para ν = 0,3, tem-se

077,3 43,1 ; 3,0 3,0 =⇒==+=⇒= xxyxxyxy kkkkkkNN (5.102)

5.44

Noutras palavras, o coeficiente de flambagem que assumia o valor 4 para placas simplesmente apoiadas

com as bordas não carregadas livres para se deslocarem transversalmente passa a aproximadamente 3

se estas bordas são rigidamente fixadas. Entre estes dois casos limites, há uma gama de situações que

dependem da rigidez do elemento transversal sobre o qual a placa é fixada (elemento da nervura na asa

ou da caverna na fuselagem) . Seja Ar á área da seção transversal do elemento reforçante e assuma que

o material da placa e reforçador transversal seja o mesmo. Nestas condições, a relação entre o

carregamento induzido pelo carregamento longitudinal aplicado será

( )( )atA

atANN

r

r

x

y

+=

1υ

(5.103)

onde a e t são, respectivamente, o comprimento e espessura da placa. A Fig. 5-29 mostra os

coeficientes de flambagem para uma placa plana carregada uniaxilamente em compressão, com (Ar/at)

como parâmetro. As curvas são válidas para ν = 0,3.

5.14 FLAMBAGEM DE PLACAS SOB CARREGAMENTOS COMBINADOS. CURVAS DE INTERAÇÃO

Na seção 5.10 foi estudado o problema da flambagem de placas planas sujeitas a carregamentos

de flexão no plano da placa. Foram apresentadas curvas para permitir a determinação do coeficiente de

flambagem crítico de diversos casos de carregamento e condições de contorno. O caso geral da flexão

envolve uma distribuição linear de Nx em y, que pode ser obtida da soma de uma flexão pura e de uma

compressão uniforme. O problema, portanto, poderia ser visualizado como o de uma combinação de

carregamentos básicos: flexão pura + compressão uniforme.

Na seção 5.13 foi estudado o problema de flambagem de placas planas simplesmente apoiadas

submitidas à compressão bi-axial, ou seja, uma combinação de compressão ao longo do eixo x + uma

compressão ao longo do eixo y. Ficou claro, a partir da análise realizada na seção 5-13, que o problema

de carregamentos combinadas é relativamente mais complexo do que aquele que envolve tão somente

carregamentos básicos. Como caso particular foi estudado o caso da placa quadrada. Uma vez que o

padrão do modo de flambagem de placas longas também envolve semi-ondas quadradas, a solução

encontrada também é válida para placas longas. Para cada razão a/b, entretanto, um procedimento

como aquele adotado teria que ser repetido, ou seja, uma construção semelhante àquela da Fig. 5-28

teria que ser repetida.

Considere a Eq. (5.94)

1

2

22

2

22

2

222=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

bDn

nabm

N

bD

mban

amb

N yx

ππ (5.94)

aplicada a uma placa quadrada, na região em que a fronteira de estabilidade é produzida pelo modo com

m = 1 e n = 1. Nestas condições, a Eq. (5.94) pode ser escrita na forma

144 2

2

2

2 =+

bDN

bDN yx

ππ (5.104)

5.45

Lembrando que

( ) ( ) 2

2

2

2

44b

DNb

DN yxππ

==crcr ;

são as cargas críticas da placa quando submetida, respectivamente, aos carregamentos Nx e Ny atuando

sozinhos, a Eq. (5.104) pode ser colocada na forma

1=+ yx RR (5.105)

onde Rx = Nx / (Nx)cr, Ry = Ny / (Ny)cr onde (Nx)cr e (Ny)cr são os carregamentos uniaxiais críticos quando

cada um deles está agindo separadamente. Este mesmo método pode ser utilizado para determinar a

combinação crítica de cargas para outros valores de a/b. Como observado anteriormente, quando a/b é

grande, a placa flamba em painéis quadrados e a Eq. (5.105) vale novamente.

A Eq. (5.105) é conhecida como uma equação de interação porque descreve como os dois

carregamentos estão interagindo. A equação pode ser plotada como uma curva de interação, como

Fig. 5-30 Curva de Interação para Placas Quadradas ou Longas em Compressão Bi-axial

mostrado na Fig 5-30. A flambagem ocorre quando o ponto (Nx, Ny) está sobre ou acima da curva de

interação. Para determinar a margem de segurança em relação à flambagem para pontos que caem

abaixo ou acima da curva, assume-se que as cargas crescem proporcionalmente, ou seja, que Ny/Nx

permanece constante durante o carregamento. Como resultado, a razão Ry/Rx é constante, e o ponto de

projeto se desloca ao longo da linha ABC da Fig. 5-30 à medida que as cargas são aumentadas. A

margem de segurança em B é, portanto,

1−=xR

cMS (5.106)

Da semelhança de triângulos, Rx / c = Ry / d , e da Eq. (5.105), c + d = 1 para os pontos sobre a curva de

interação. Como resultado, c = Rx / (Rx + Ry ), e a Eq. (5.106) torna-se

11−

+=

yx RRMS (5.107)

1.0

1.0

Curva de Interação Rx + Ry = 1

C

Rx

Ry

0 A

Rx

Ry

c

d B

5.46

Equações de interação podem ser determinadas para outras combinações de cargas. Em geral,

estas equações podem tomar a forma

1... =+++ γβαcba RRR (5.108)

onde a razão de carga ou tensão Ri é definida como

sozinha atuando quando crítica tensão ou carga ésimaicombinado tocarregamen o com agindo carga ou tensão ésimaiRi −

−=

Os expoentes podem ser determinados teoricamente ou experimentalmente. No caso geral, os

expoentes dependem dos carregamentos, condições de restrição nas bordas, e a/b.

Infelizmente, são relativamente poucos os casos em que uma equação de interação simples como a

Eq. (5.108) se aplica e, em conseqüência, é possível derivar uma expressão para a margem de

segurança. Na maioria dos casos a margem de segurança tem de ser estimada diretamente dos gráficos

que fornecem as curvas de interação.

a) COMBINAÇÃO DE FLEXÃO E COMPRESSÃO LONGITUDINAL

A equação de interação que tem sido extensivamente utilizada no caso da combinação de flexão

pura e compressão longitudinal é

175.1 =+ cb RR (5.109)

Esta equação tem sido extensivamente utilizada na indústria aeroespacial e é mostrada, juntamente com

as curvas para várias margens de segurança, na Fig. 5.31.

5.47

b) COMBINAÇÃO DE FLEXÃO E CISALHAMENTO

A equação de interação para o caso da combinação de flexão pura e cisalhamento é

122 =+ sb RR (5.110)

A expressão para a margem de segurança é

1122

−+

=sb RR

MS (5.111)

A Fig. 5-32 mostra a equação (5.110) e curvas para diversas margens de segurança.

c) COMBINAÇÃO DE CISALHAMENTO E TENSÃO LONGITUDINAL

A equação de interação para o caso da combinação de tensão longitudinal e cisalhamento é

12 =+ sL RR (5.112)

A expressão para a margem de segurança é

14

222

−++

=sLL RRR

MS (5.113)

A Fig. 5-33 mostra a equação (5.112) e curvas para diversas margens de segurança. Esta equação

pode ser utilizada para placas simplesmente apoiadas com a/b > 1. Também pode ser utilizada para

placas longas com bordas restringidas elasticamente. O caso de placas curtas simplesmente apoiadas,

com a dimensão paralela ao carregamento axial menor do que a largura, é tratado na Fig. 5-34.

5.48

d) COMBINAÇÃO DE FLEXÃO, COMPRESSÃO LONGITUDINAL E CISALHAMENTO

As condições para flambagem sob compressão, flexão e cisalhamento combinados estão

representadas pelas curvas de interação da Fig. 5-35. Esta figura diz se a placa flambará mas não dá a

margem de segurança. Dadas as razões Rc, Rs e Rb: se o valor da curva Rc definida pelos valores dados

de Rs e Rb é menor, numericamente, do que o valor dado de Rc então o painel flambará.

5.49

A margem de segurança pode ser determinada da Fig. 3-36. As linhas tracejadas indicam uma

aplicação típica, onde Rc = 0.161, Rs = 0.23 e Rb = 0.38. O ponto 1 é inicialmente determinado para os

valores específicos de Rs e Rb . A linha tracejada diagonal da orígem através do ponto 1, interceptando a

curva Rc / Rb relevante no ponto 2, fornece o cisalhamento admissível para os desejados cálculos de

margem de segurança. (Nota: quando Rc < Rs use a parte direita da figura; nos outros casos use a

esquerda).

5.50

e) COMBINAÇÃO DE FLEXÃO E COMPRESSÃO BI-AXIAL

Uma investigação teórica por Noel (Ref 5.9) foi realizada sobre a flambagem de placas planas

retangulares simplesmente apoiadas sob combinações críticas de flexão longitudinal e compressão bi-

axial. As curvas de interação obtidas são apresentadas nas Figs. 5-37 vários alongamentos. Estas

curvas podem ser utilizadas no caso limite de dois carregamentos tornando uma das razões de tensão

igual a zero. Os resultados dos estudos que produziram estas curvas, e verificados pelas mesmas, indica

que uma redução na tensão admissível de flexão, devido à adição de compressão lateral, é

sensivelmente amplificada pela adição de pequenas cargas longitudinais.

5.51

f) COMBINAÇÃO DE FLEXÃO, CISALHAMENTO E COMPRESSÃO TRANSVERSAL

Superfícies de interação para flexão, cisalhamento e compressão transversal combinados foram

estabelecidas por Johnson e Buchert (Ref. 5.10) para placas infinitamente longas. Os dois tipos de

suportes considerados foram apoio simples ao longo de ambas as bordas descarregadas e apoio

simples ao longo da borda em tração e engaste ao longo da borda em compressão. As curvas são

apresentadas, respectivamente, nas Figs. 5-38 e 5-39.

No caso de compressão transversal e cisalhamento agindo sozinhas, Batdorf e Houbolt (Ref. 5.11)

examinaram placas longas com bordas restringidas elasticamente. Eles acharam que uma fração

apreciável da tensão crítica em cisalhamento puro pode ser aplicada à placa sem qualquer redução na

compressão transversal necessária para produzir flambagem. Batdorf e Stein (Ref. 5.12) examinaram

placas simplesmente apoiadas com alongamentos finitos e acharam que a curva para placas

infinitamente longas requer correção para alongamentos finitos. Esta condição está mostrada na Fig. 5-

40.

5.52

Bordos Descarregados Simplesmente Apoiados

Bordos: superior simplesmente apoiado; inferior engastado

5.53

g) COMBINAÇÃO DE CISALHAMENTO E COMPRESSÃO BI-AXIAL

Superfícies de interação para cisalhamento e compressão bi-axial são fornecidas na Fig. 5-41.

h) COMBINAÇÃO DE CISALHAMENTO E COMPRESSÃO LONGITUDINAL NÃO-UNIFORME

Bleich (Ref. 5.14) apresenta uma solução para a flambagem de uma placa sujeita à cisalhamento e

compressão longitudinal não-uniforme combinados, como mostrado no esboço. O coeficiente crítico de

flambagem é: ( ) :1 para7,7434,5 onde 411385,3

22222 ≥

+=++−+= ααγγβββγk e

121 para )1(227,7

34,54 3

2

≤≤−+

+= α

ααγ

5.54

5.55

i) COMPRESSÃO BI-AXIAL

As curvas de interação para compressão bi-axial são mostradas nas figs. 5-42 e 5-43,

respectivamente, para os casos de placas simplesmente apoiadas e engastadas.

5.56

5.15 FLAMBAGEM DE PLACAS AFILADAS

Quando uma placa afilada atinge o estado de equilíbrio instável, a instabilidade é caracterizada por

deflexões para fora do plano da placa numa região somente. As outras regiões da placa permanecem

essencialmente livres de tais deflexões. Esta condição de instabilidade constitui um projeto ineficiente,

uma vez que a mesma distribuição de cargas presumivelmente poderia ser sustentada por uma placa

mais leve, afilada de maneira tal que a instabilidade sob o carregamento especificado seja caracterizado

5.57

por deflexões ao longo de toda a placa. Por esta razão, uma placa simplesmente apoiada, cujo

afilamento é regido por uma lei exponencial, e submetida à cargas de compressão foi estudada e os

resultados são mostrados na Fig. 5-44. A variação do carregamento ao longo da placa foi considerado

ser produzido por tensões de cisalhamento suficientemente pequenas, de forma a ter influência

desprezível nas características de flambagem da placa. O coeficiente de flambagem resultante é

representado na figura em função do alongamento, para diversos valores do afilamento.

5.16 FLAMBAGEM INELÁSTICA DE PLACAS

Quando b/t é pequeno, σcr pode exceder o limite de proporcionalidade. A Eq. (5.32), aqui repetida,

( )2

2

2

cr 112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

btEk

υπσ (5.32)

não é diretamente aplicável nestes casos porque a) a tensão não é mais relacionada à deformação pelo

módulo de elasticidade E, b) porque ν depende da tensão, e c) porque num flange a condição de

contorno do bordo livre Eq. (5.15) contém ν, de modo que k também depende da tensão.

É prática comum incluir todos estes efeitos num único fator de correção de plasticidade η

5.58

( )elásticocr

cr

σσ

η = (5.114)

onde σcr é a tensão crítica corrigida para os efeitos de plasticidade e (σcr)elástico é a tensão crítica elástica

computada da Eq. (5.32). Nestas condições, pode-se escrever

( )2

2

2

cr 112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

btEk

eυπησ (5.115)

que é aplicável em todos os níveis de tensão, uma vez que η é igual a 1 na região elástica. A notação νe

é usada na Eq. (5.115) para tornar explícito que o valor elástico da razão de Poisson é utilizado uma vez

que o efeito inelástico de ν está contido em η.

Se, de um lado, há um consenso geral no que tange as equações tensão-deformação no regime

elástico, não há equações tensão-deformação comumente aceitas, no regime inelástico, para todas as

histórias e níveis de tensão. Dois métodos de ataque têm sido amplamente utilizados. Na teoria da

deformação, as tensões e deformações são relacionadas pela lei

isi E εσ = (5.116)

para tensões crescentes, enquanto na teoria incremental elas são relacionadas por

iti dEd εσ = (5117)

O descarregamento é considerado ocorrer elasticamente em ambos os casos. Os símbolos σi e εi

denotam intensidades efetivas de tensões e deformações. Várias equações para σi e εi têm sido

sugeridas por diferentes pesquisadores. Uma destas é a teoria da energia de distorção ou cisalhamento-

octaédrico de Huber, Mises e Henki, que para o estado plano de tensões fornece

222 3 xyyyxxyyxxi τσσσσσ +−+= (5.118)

222

232

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++= xy

yyxxyyxxi

γεεεεε (5.119)

Nota-se que para carregamento uniaxial, σyy = τxy = 0, εyy = -νεxx , e γxy = 0 e as Eqs. (5.1167) e (5.117)

ficam reduzidas, respectivamente, às Eqs. (1.2) e (1.3) se a razão de Poisson é tomada igual à νp = ½ , o

valor da razão de Poisson para um material isotrópico perfeitamente plástico.

As teorias de flambagem de placas baseadas na teoria da deformação da Eq (5.118) têm tido

melhor correspondência com resultados experimentais do que aquelas baseadas na teoria incremental.

A questão de qual módulo, o elástico ou o plástico, deve ser utilizado no lado convexo de uma placa

levemente flambada também aparece, como na teoria de flambagem inelástica de colunas. Se a placa

permanece perfeitamente plana até a tensão crítica, o descarregamento no lado convexo teria que

ocorrer elasticamente, e uma teoria de módulo reduzido seria aplicável. Por outro lado, se há pequenas

5.59

imperfeições iniciais, flexão e compressão precedem simultaneamente, e não há descarregamento

elástico. Como em colunas, a teoria que não considera a reversão de deformações no lado convexo tem

mostrado melhor correlação com dados experimentais. A teoria de flambagem inelástica de placas pode,

conseqüentemente, ser considerada como uma generalização bi-dimensional da teoria do módulo

tangente de colunas.

5.60

A Tabela 5-1 fornece as expressões dos fatores de correção de plasticidade aplicáveis para uma

série de situações. Para efeitos de comparação, os valores de η/j estão plotados na Fig. 5-45 para o

caso da Liga de Alumínio 2024-T3. Nesta figura, a curva G corresponde ao caso da coluna, como visto

no Cap. 2, e não o da placa-coluna (caso G na Tabela 5-1). Para placas, os dados experimentais estão

dispersos entre as curvas A e D.

A aplicação dos fatores de correção inelástica não é uniforme no setor aeroespacial. Cada

fabricante tem os seus próprios critérios. A Douglas, de acordo com o seu manual (Ref. 5.15), adota

EEt=η (5.120)

A curva correspondente está também representada na Fig. 5-45. Como pode ser notado, representa um

fator conservativo para todos os casos de placas longas. Uma vez que a Eq. (5.120) já é conservativa, a

Douglas não especifica a correção da razão de Poisson acima do limite de proporcionalidade.

A Boeing (Ref. 5.16) adota as expressões da Tab. 5-1 que são graficadas para cada

material/temperatura. A correção relativa à razão de Poisson não está incorporada. A Fig. 5-48 mostra

um caso típico (Liga AL 7075-T6 à temperatura ambiente). Nesta figura aparece o coeficiente de

flambagem K cuja definição é distinta daquela adotada para k neste texto:

kKbtKE

92,10

22

crπησ =⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (5.121)

Para situações onde ν ≠ 0,3 (inclusive no caso da flambagem plástica se o projetista desejar utilizar

a razão de Poisson plástica) é necessário fazer-se a correção K’ = 0,91 K / (1 – ν2).

5.61

5.62

A Nasa (Ref. 5.17) por sua vez, recomenda agrupar os casos B, C e D da Tab. 5-1 para num único,

utilizando a fórmula do caso C. Desta forma, placas longas simplesmente apoiadas ou engastadas, bem

como placas longas com restrições elásticas e flanges engastados e ainda placas em flexão são tratadas

por uma única expressão. Para o caso de flanges longos simplesmente apoiados recomenda o uso da

expressão do caso A da Tab. 5-1 e para placas sujeitas a cisalhamento, o caso H da referida tabela. A

correção da razão de Poisson acima do limite de proporcionalidade é incorporada em η. Para facilitar a

aplicação, a Nasa aplica as fórmulas de correção de plasticidade ao modelo de Ramberg-Osgood do

material. As Figs. 5-49 a 5.52 mostram os gráficos resultantes.

Uma última questão concerne a tensão de corte, ou seja, a máxima tensão admissível para

flambagem de placas. A Boeing especifica esta tensão como sendo a de escoamento. A Douglas permite

que se chegue à tensão máxima de suas curvas e a Nasa especifica as tensões de corte como na Tab.

5-2.

5.63

5.64

5.65

5.17 FATORES DE REDUÇÃO DEVIDO AO “CLADDING”

Placas de liga de alumínio são disponíveis cobertas com uma fina camada de, praticamente,

alumínio puro. Tal material é referido como Alclad ou liga de alumínio Clad. A resistência mecânica deste

material é consideravelmente menor do que a do material do núcleo. Uma vez que o Clad está localizado

nas fibras extremas da chapa, está também localizado onde são atingidas as deformações mais altas

durante a flambagem. A Fig. 5-52 mostra um corte da chapa Alclad e a Fig. 5-53 mostra qualitativamente

as curvas tensão-deformação para o Clad, núcleo e combinações de Clad-núcleo.

Uma correção adicional para placas Alclad, por causa da menor resistência do matéria do

revestimento, é portanto. A tensão de flambagem pode ser escrita na forma

crcr σησ = (5.122)

onde σcr é obtido da Eq. (5.115). A Ref. 5.5 fornece expressões simplificadas para os fatores de redução

de cladding, como resumidas na Tab. 5-3.

A tensão de escoamento do material Clad é de aproximadamente 6 ksi. Se a chapa tem

recobrimento Clad somente de um lado, a espessura do recobrimento deve ser subtraída da espessura

total. Isto porque não há meios de prever se o recobrimento Clad estará trabalhando em tração ou

compressão.

5.66

No caso de recobrimento Clad em ambas as faces da placa, nas curvas fornecidas pela Douglas, o

fator de redução já está incorporado. Nos outros casos, a tensão de flambagem é inicialmente

determinada para uma placa de mesma espessura da placa Alclad, mas com o material do núcleo. Esta

tensão é então reduzida pela Eq. (5.122).

As espessuras usuais dos recobrimentos Clad são fornecidos na Tab. 5-4.

5.18 COMPORTAMENTO DE PLACAS APÓS A FLAMBAGEM E IMPERFEIÇÕES INICIAIS

A única configuração possível de equilíbrio para uma placa inicialmente perfeita quando σ < σcr é a

posição plana estável. Existe estabilidade neutra em σ = σcr e a placa está em equilíbrio numa posição

plana ou levemente fletida. Grandes deslocamentos laterais da ordem da espessura ocorrem num nível

de tensões que são apenas um pouco superiores a σcr. Em conseqüência, é necessário utilizar a teoria

não-linear de grandes deformações em qualquer análise pós-flambagem. Isto introduz dificuldades

matemáticas a ponto de soluções exatas para a distribuição da deflexão e tensões não serem

5.67

conhecidas para σ > σcr. Soluções aproximadas foram obtidas por diversos investigadores, mas as

derivações são longas e não se tentará reproduzi-las neste texto. Nesta seção se procurará resumir os

resultados obtidos a partir de estudos teóricos e resultados experimentais para placas que estão sujeitas

à compressão, com encurtamento uniforme das bordas carregadas, e como estes resultados podem ser

utilizados para a derivação de uma metodologia a ser utilizada em projeto.

A placa pode sustentar cargas acima da carga de flambagem quando a flexão lateral nas bordas

descarregadas é prevenida, mas a distribuição das tensões de compressão não é uniforme através da

largura da placa, como é o caso quando σ < σcr. A distribuição de tensões depende da restrição no plano

da placa existente nas bordas descarregadas; a distribuição de tensões em placas cujas bordas

descarregadas são mantidas retas (mas que são livres para se deslocarem lateralmente de modo que a

resultante de forças na direção transversal seja nula) e bordas que são livres de tensão são mostradas

na Fig. 5-54. O primeiro é o caso típico de painéis do revestimento de estruturas em casca reforçada e o

segundo é representativo de almas de colunas de paredes finas.

Nota-se, da Fig. 5-54a, que tensões de tração são desenvolvidas na direção y, na porção central

dos bordos descarregados quando estes são obrigados a permanecer retos. Estas tensões de

membranas, adicionadas ao fato de que os bordos descarregados estão restringidos no que tange a

flexão lateral, explicam porque uma placa, de forma distinta de uma coluna, é capaz de carregar cargas

que são muito maiores do que a carga crítica. Uma contração ocorre no centro de uma placa cujas

bordas descarregadas são livres de tensão (Fig. 5-54b). A ausência de forças de membrana neste caso

é responsável pelo fato desta placa ter uma capacidade bastante menor em suportar cargas além da

carga de flambagem, quando comparada à placa com as bordas retas.

5.68

As deformações de flexão em placas perfeitas e imperfeitas são mostradas na Fig. 5-55. É

interessante comparar estas curvas com as curvas correspondentes para colunas apresentadas na Fig.

2-25. Em ambos casos, pode ser notado que o membro com imperfeições muito pequenas segue de

perto a teoria para o membro perfeito, nas regiões antes e logo a pós a flambagem. Em membros com

imperfeições usuais, somente na vizinhança imediata de σcr é que as deflexões diferem sensivelmente

daquelas do membro reto. Entretanto, como ocorre com o membro perfeito, as deflexões crescem

rapidamente no membro com imperfeições práticas na região de σcr. Disto conclui-se que imperfeições

da ordem daquelas encontradas na indústria aeronáutica têm pequena influência nas cargas de

flambagem e de falha de placas e colunas. Não se pode inferir, entretanto, que este seja sempre o caso

em problemas de estabilidade elástica, pois imperfeições iniciais muito pequenas têm um efeito muito

grande nas cargas de falha de cilindros de paredes finas submetidos à compressão.

Ao contrário do que ocorre em colunas, pode-se ver na Fig. 5-55 que tensões apreciáveis pós-

flambagem são possíveis. Embora a rigidez da placa decresce após a flambagem, a falha não ocorre até

que a tensão axial nas bordas descarregadas atinge a tensão de escoamento ou um pouco superior.

O comportamento de uma placa sob altas cargas pós-flambagem é complicado pelo fato de que o

padrão de flambagem pode se alterar, à medida em que a carga é aumentada, e o número de semi-

ondas pode mudar, numa placa longa. A porção central da placa se aproxima de uma superfície

desenvolvível com curvatura na direção da carga somente. Dupla curvatura é restrita à região dos

5.69

bordos descarregados, somente. Neste caso, a energia de deformação na porção central é devida

primariamente à flexão, enquanto que na região dos bordos descarregados é principalmente devida à

ação de membrana.

5.19 LARGURA EFETIVA DE CHAPA

É impraticável utilizar as distribuições reais e não-uniformes de tensões da Fig. 5-54, em análises

rotineiras de tensões após a flambagem. É mais conveniente considerar que a tensão σe nos bordos

descarregados é distribuída uniformemente sobre uma largura efetiva be fictícia, adjacente aos bordos

descarregados (Fig. 5-56). A largura efetiva é determinada da condição de que a força resultante

associada com as distribuições de tensão assumida e real seja a mesma. Desta condição,

∫∫ =⇒==b

xxe

b

exxee dybdyttbP00

1 σσ

σσ (5.123)

A distribuição de σxx depende das restrições rotacionais e no plano da placa impostas sobre os

bordos descarregados e a razão a/b da placa. Entretanto, quando a/b > 3, a distribuição da tensão e a

largura efetiva são independentes de a/b. Vários investigadores, baseados em trabalhos teóricos e

experimentas, derivaram equações para be. Argyris e Dunne (Ref. 5.18) fornecem a família de curvas

sólidas mostradas na Fig. 5-57, para placas longas simplesmente apoiadas, cujas bordas são obrigadas

a permanecerem retas. Mas com restrição elástica contra expansão no plano devido à razão de Poisson.

Numa estrutura real esta restrição é provida pelos membros reforçantes transversais, i.e., as nervuras e

cavernas. Este efeito está contido no parâmetro Ar/at, onde Ar é a área da seção transversal do membro

reforçante. Os casos limites de Ar/at = 0 e ∞ correspondem, respectivamente, aos casos de arestas retas

livres e completamente impedidas de se deslocarem transversalmente.

Ao fazer uso da Fig. 5-57 é necessário levar em consideração o efeito da restrição ao deslocamento

do bordo descarregado no cálculo de σcr. Como foi visto na seção 5.13, a resistência à expansão lateral

5.70

devida à razão de Poisson induz um campo de tensões de compressão no sentido transversal que reduz

o coeficiente de flambagem para compressão uniaxial.

As curvas de Argyris e Dunne são restritas a cargas pós-flambagem relativamente pequenas, na

gama σe/σcr ≤ 3, porque em sua derivação não foi levado em consideração o efeito da mudança da

geometria do modo de flambagem com a carga. Para placas longas, sujeitas a grandes cargas após a

flambagem, pode-se utilizar a equação de Koiter (Ref. 5.19).

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2,18,04,0

45,065,02,1e

cr

e

cr

e

cre bb

σσ

σσ

σσ

(5.124)

Esta equação, que é mostrada pontilhada na Fig. 5.57, considera Ar/at = 0. Esta equação provou ser

satisfatória para placas simplesmente apoiadas, engastadas e restringidas elasticamente em rotação. A

equação

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2/1

81,019,0e

cre bb

σσ

(5.125)

que foi desenvolvida por Marguerre (Ref. 5.20) para grandes cargas após a flambagem de placas

quadradas com Ar/at = 0, também é mostrada na Fig. 5-57. Os três métodos de determinação de be

podem ser vistos estarem razoavelmente de acordo quando Ar/at = 0, embora os mesmos se aplicam a

diferentes razões a/b e σcr/σe e diferentes condições de restrição na rotação das bordas.

5.71

Imperfeições iniciais têm pouca influência sobre a largura efetiva para grandes valores de σe/σcr,

mas podem sensivelmente reduzir a largura efetiva na região logo após a flambagem. O comportamento

após a flambagem de placas retangulares em cisalhamento foi investigado nas Refs. 5-8 e 5.21.

5.20 LARGURA EFETIVA DE VON KARMAN

O método para calcular a largura efetiva de placas flambadas em compressão mais utilizado na

indústria, entretanto, foi introduzido por Von Karman (Ref. 5.22) ao estimar a carga de falha de uma

placa em compressão (veja Seção 5.21). Considere a expressão geral para a tensão de flambagem de

placas em compressão:

( )2

2

2

cr 112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

btEk

eυπησ (5.115)

Adotando k = 4, ν = 0.3, be = b, e escrevendo σb, a tensão no bordo, no lugar de σcr, tem-se

be

e

EtbbtE

σηησ 90,1 615,3

2

b =⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (5.126)

Alguns ensaios antigos realizados por Newell indicaram que a constante 1,90 era muito alta e que,

para reforçadores leves, um valor de 1,7 era mais realista. Hoje, cada fabricante de aeronaves utiliza o

valor que julga mais apropriado para o tipo de reforçadores que mais utiliza. A Boeing faz η = 1 e utiliza o

valor 1,7. A Douglas faz η = (Et/E)1/2 e utiliza o valor 1,90.

Se for considerado que a rigidez do reforçador e a sua conexão à chapa é tal a prover uma

condição de borda engastada para a placa, então

be

e

EtbbtE

σηησ 52,2 35,6

2

b =⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (5.127)

Para flanges, tem-se

be

e

EtbbtE

σηησ 623,0 389,0

2

b =⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (5.128)

Observa-se, experimentalmente, que chapas espessas (em relação à distância entre reforçadores)

tende a flambar com bordos simplesmente apoiadas, enquanto placas finas tendem a flambar com

bordos simplesmente apoiados. Niu (Ref. 5.23) recomenda a seguinte expressão para o cálculo da

largura efetiva:

b

ce

EKtb

σ = (5.129)

onde Kc é dado pela Fig. 5.58.

Em construções chapa-reforçador práticas é comum usar reforçadores extrudados, que têm

propriedades de resistência, no regime inelástico, diferentes no daquelas da chapa à qual estão

conectados. Por exemplo, no esboço abaixo o material do reforçador poderia ter a curva tensão-

deformação representada pela curva 1 e a chapa pela curva 2. Quando o conjunto chapa-reforçador, as

5.72

Fig. 5-58 Valores de Kc vs. b/t para Painéis Reforçados

tensões na chapa e no reforçador, no ponto de conexão, serão dadas, respectivamente, pelos pontos A

e B representados na figura, porque têm de apresentar a mesma deformação. Este diferença nas

tensões influenciará a largura efetiva. A correção para esta condição pode ser feita multiplicando a

largura efetiva calculada (como se os materiais fossem iguais) por σsh /σb, onde σb é a tensão no

reforçador e σsh, a tensão na chapa. Como a deformação é a mesma, tem-se

(σsh /ε) / (σb /ε) = (Es)chapa / (Es)reforçador e a Eq. (5.126) fica

( )( ) bs

se

EEE

tbση

reforçador

chapa 90,1= (5.130)

onde Es é o módulo secante.

Na Eq. (5.130), o que está debaixo do radical refere-se à chapa. Em muitas aplicações, a tensão no

reforçador é conhecida. Considerando a relação entre a tensão no reforçador e na chapa,

5.73

reforçadorreforçadors

chapaschapa E

Eσσ =

a Eq. (5.130) fica

( )( )

( )( )

( )( ) reforçadors

s

sreforçador

s

s

se E

EEt

EEE

EE

tbσ

η

ση

reforçador

chapa

chapa

reforçador

reforçador

chapa 90,1 90,1 == (5.131)

A tabela 5-1 fornece as expressões para os fatores de correção de plasticidade para,

respectivamente, flange longo simplesmente apoiado, flange longo com lado descarregado engastado,

placa longa simplesmente apoiada e placa longa com bordos descarregados engastados:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )22

22

22

22

114341648,0352,0

1143412121

114341670,0330,0

11

ννη

ννη

ννη

ννη

−−++=

−−++=

−−++=

−−=

ests

ests

ests

es

EEEE

EEEE

EEEE

EE

(5.132)

Se forem feitas as aproximações

ts

e

EE ≅≅ νν

o fator de correção de plasticidade para os 4 casos acima pode ser aproximado por EEs=η , e a

largura efetiva em (5.131) pode ser escrita como

( )( )

( )( ) reforçadors

s

reforçadors

se E

Et

EEE

tbσσ

η

reforçador

chapa2

reforçador

chapa 90,190,1 ≅= (5.133)

Esta é a expressão recomendada pela Ref. 5.24. A Boeing, por outro lado, recomenda, em seu

manual, o uso da equação

( )( ) reforçadors

se

EEE

tbσreforçador

chapa70,1= (5.134)

5.21 A FALHA DE PLACAS

Foi visto que, ao contrário de uma coluna, uma placa pode carregar cargas consideravelmente

maiores do que a carga crítica. De fato, a carga última não é atingida antes que uma porção considerável

da placa não esteja plasticamente deformada. A previsão teórica da carga de falha é difícil, pois além da

não-linearidade que resulta das grandes deflexões, a relação tensão-deformação no regime plástico

também leva a comportamento não-linear.

5.74

Uma solução teórica para flanges que apresenta boa correlação com os dados experimentais existe,

mas foi necessário recorrer a métodos semi-empíricos para prever a carga de falha de placas

simplesmente apoiadas.

Von Karman (Ref. 5.22) sugeriu que a carga de falha de placas simplesmente apoiadas fosse

calculada pela seguinte relação aproximada:

cy

crecyeu bbtbP

σσ

σ == com (5.135)

Uma expressão um pouco diferente foi proposta por Winter (Ref. 5.25). Baseado em extensivos testes

ele sugere utilizar a expressão

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

cy

cr

cy

cre bb

σσ

σσ

25,01 (5.136)

que, se o coeficiente de flambagem em σcr é feito igual a 4 resulta em

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

cyyycyeu

Etb

EttbPσσ

σσ 475,019,1 2 (5.137)

O método descrito a seguir, que foi proposto por Gerard (Ref. 5.26), é suportado por um

impressionante número de ensaios à temperatura ambiente e à temperatura elevada, em placas de

diferentes materiais e proporções geométricas. Este método fornece uma base para um dos métodos de

previsão de falha de colunas de paredes finas e placas reforçadas que será apresentado no Cap. 6.

Pode-se verificar, ao examinar as Eqs. (5.124), (5.125), (5.136) e (5.137) que be/b é uma função de

σcr/σe. Pode-se, então, escrever a relação aproximada be/b = α(σcr/σe)r, onde α e r são constantes

empíricas a serem determinadas de ensaios. Designando a tensão média na placa por σ , acha-se que

( )rcreeee bb σσασσσ == / , de maneira que ( ) 1/ += r

crecr σσασσ . Resultados teóricos e

experimentais indicam que a carga última é atingida quando cye σσ ≈ , a tensão de escoamento em

compressão do material. Definindo a tensão de falha fσ como a tensão média na placa durante a falha,

acha-se ( )ncrcycrf σσασσ = , onde n = r + 1. Esta equação é aplicável a placas que flambam

elasticamente. Resultados experimentais indicam que crf σσ ≈ para placas que flambam no regime

plástico. Nesta base, Gerard sugere usar as equações

cyn

cr

n

cr

cy

cr

f σασσσ

ασσ 1 para ≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (5.138a)

cyn

crcr

f σασσσ 1 para 1 >= (5.138b)

5.75

Os parâmetros adimensionais crcycrf σσσσ e podem ser usados para correlacionar resultados

experimentais. Gerard achou que as Eqs. (5.138) podem ser usadas para prever a tensão de falha de

placas e flanges com um erro máximo de ±10% se os valores de α e n da Tab. 5-5 são utilizados. Pode

ser observado na tabela que restrições no plano da placa sobre as bordas descarregadas têm uma forte

influência sobre a tensão de falha de placas e flanges. Quando as bordas da placa são obrigadas a se

manterem retas, as forças de membrana resultantes ajudam a resistir os deslocamentos de flexão e, em

conseqüência, aumentam fσ . Quando as bordas da placa são livres para empenar, estas forças de

membrana não existem, e a falha se dá numa tensão média menor.

Seria de se esperar que quando uma placa é dividida em painéis por reforçadores longitudinais,

como no caso de revestimentos reforçados de superfícies aerodinâmicas e estruturas da fuselagem, as

bordas de painéis adjacentes constituiriam uma restrição recíproca para permanecerem retas.

Entretanto, como pode ser visto no caso da placa de três painéis, as bordas livres dos painéis externos

não deixam que a condição de aresta reta se desenvolva completamente. Nota-se que n, neste caso,

está entre os valores para o caso de bordas livres e bordas livres para empenar.

Tabela 5-5 Valores de α e n para Falha de Placas.

Condição α n

1. Teoria para placa simplesmente apoiada, com bordas descarregadas retas 0,78 0,80

2. Ensaios para placa simplesmente apoiada ou engastada, com bordas livres para empenar 0,80 0,58

3. Ensaios para placa de três painéis 0,80 0,65

4. Testes para flange simplesmente apoiado, com borda apoiada reta 0,81 0,80

5. Testes para flange simplesmente apoiado, com borda livre para empenar 0,68 0,58

É freqüentemente mais conveniente escrever a Eq. (5.138a) numa forma que contenha o parâmetro

adimensional t/b . Substituindo a expressão para σcr (5.32) na Eq. (5.138a) resulta em

( )( )

( )n

cy

n

e

n

cy

e

n

cr

cy

cy

fn

cr

cy

cr

f Ebtkb

tEk −−

−

−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

12211

2

2

12

2

2

1

112112

συπηα

συ

πη

ασσ

ασσ

σσ

ασσ

ou m

cycy

f Ebt

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

σβ

σσ

(5.139)

onde

5.76

( ) ( )nmkn

e

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−

12 e 112

1

2

2

υπηαβ (5.140)

Quando uma placa retangular é submetida a cisalhamento, a falha ocorre por rasgamento na

direção da tensão principal de tração na placa flambada. O problema é complicado pelo fato de que as

tensões de tração e compressão não são iguais, como o são antes da flambagem. Como resultado, os

membros que suportam as bordas da placa aplicam forças de membrana em tração à fronteira da placa.

Um método semi-empírico para predizer a carga de falha em cisalhamento é dado na Ref. 5.8.

A falha de placas em compressão e cisalhamento ocorre sob grandes deslocamentos laterais; por

esta razão, imperfeições iniciais têm influência desprezível sob a tensão média de falha.

5.22 EXEMPLOS

EXEMPLO 5.1

Considere um painel 3 x 9 x 0,094 in, simplesmente apoiado nos quatro bordos, manufaturado em liga de alumínio 2024-T3 (E = 10.700 ksi, σ0.7 = 39 ksi, n = 11,5, νe = 0,3), submetido à compressão uniaxial. Ache a tensão crítica σcr .

Solução:

Para a/b = 9/3 = 3, a curva C da Fig. 5-9 fornece kc = 4,0. A tensão crítica no regime elástico (η = 1) é dada por

ksi 0,383094,0

91,012700.104

)1(12

222

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−π

υπ

btEk

e

c

Esta tensão está acima do limite de proporcionalidade, ou seja, η < 1. Como não estão disponíveis, aqui, curvas para o material como aquelas apresentadas na Fig. 5-48, adotar-se-á as curvas adimensionalizadas baseadas no modelo de Ramberg-Osgood da Fig. 5-49. Esta figura, para n = 11,5 e

974,03094,0

3991,012700.104

)1(12

222

7.02

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

××=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−π

συπ

btEk

e

c fornece 84,07.0

=σσ cr , de modo que

σcr = 0,84 x 39 = 32,8 ksi

O fator de correção de plasticidade, para este caso, é 863,00,388,32 ==η .

A espessura de placa utilizada neste exemplo, de 0,094 in, é relativamente grande. Se esta espessura for modificada para 0,051 in, os cálculos indicariam: a Fig. 5-49 com n = 11,5 e

287,03051,0

3991,012700.104

)1(12

222

7.02

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

××=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−π

συπ

btEk

e

c fornece 287,07.0

=σσ cr , de modo que

σcr = 0,287 x 39 = 11,2 ksi, que é o mesmo valor obtido fazendo-se η = 1, ou seja, a flambagem se dá no regime elástico.

EXEMPLO 5.2

Considere um painel 12 x 3 x 0,094 in, simplesmente apoiado nos quatro bordos, manufaturado em liga de alumínio Clad 2024-T3 (E = 10.700 ksi, σ0.7 = 49 ksi, n = 11, νe = 0,3), submetido à compressão uniaxial. Ache a tensão crítica σcr .

Solução:

5.77

Para a/b = 12/3 = 4, a curva C da Fig. 5-9 fornece kc = 4,0. Resolvendo com o auxílio da Fig. 5-49, a curva para n = 11 e

775,03094,0

4991,012700.104

)1(12

222

7.02

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

××=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−π

συπ

btEk

e

c fornece 74,07.0

=σσ cr , de modo que

σcr = 0,74 x 49 = 36,3 ksi

Tratando-se de uma placa manufaturada em Clad, é necessário fazer a correção. De acordo com a Tab. 5-4, a espessura da camada de Clad em cada face é de 2.5%, de modo que f = 2 x 0,025 = 0,05 (Fig. 5-53). A Tab. 5-3 fornece as expressões simplificadas para o fator de redução. Neste caso (placa longa e tensão crítica maior do que o limite de proporcionalidade do material do núcleo) a expressão para o fator é )31(1 f+=η = 1 / (1 + 0,15) = 0,87, de modo que σcr = 0,87 x 36,3 = 31,6 ksi.

σcr = 31,6 ksi

A utilização da Fig. 5-46 (método Douglas) forneceria: passo 1 – cálculo da tensão crítica como se desse no regime elástico

( ) ksi 5,31 46-5 Fig. ksi 0,383094,0

91,012700.104

)1(12 cr

222

2

2

elástico =⇒⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= σπ

υπ

ησbtEk

e

ccr

que é, aproximadamente, o valor anteriormente obtido.

EXEMPLO 5.3

Uma placa 8 x 6,4 x 0,1 in , simplesmente apoiada nos quatro bordos e manufaturada em liga de alumínio 7075-T6 a 300oF (E = 9.400 ksi, σ0.7 = 55,8 ksi, n = 15,6, νe = 0,3), está sujeita a um fluxo de cisalhamento q = 1,6 kips/in. O requisito de projeto determina que esta placa não flambe sob o carregamento e temperatura dados. Qual o coeficiente de segurança?

Solução:

Para a/b = 8/6,4 = 1,25, a curva inferior da Fig. 5-26 fornece ks = 7,8. Resolvendo com o auxílio da Fig. 5-51, a curva para n = 15,6 e

29.04,61,0

8,5591,012400.98,7

)1(12

222

7.02

2

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛××

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−π

συπ

btEk

e

s fornece 29,07.0

cr =FFs ,

de modo que a tensão admissível em cisalhamento é (Fs)cr = 0,29 x 55,8 = 16,2 ksi.

A tensão de cisalhamento aplicada é dada por fs = q/t = 1,6 / 0,1 = 16 ksi. A margem de segurança é, então, dada por MS = (Fs)cr / fs - 1 = 16,2 / 16 – 1 = 0,013

EXEMPLO 5.4

O revestimento de 0,080 in de espessura, manufaturado de liga de magnésio HK31A-H24 (E = 6.500 ksi, σ0.7 = 17,3 ksi, n = 6,2, νe = 0,3) de uma fuselagem é dividido, por reforçadores de seção transversal em Z, em painéis longos de 4 in de largura. Determine a tensão de flambagem em compressão destes painéis.

Solução:

Tendo sido dado que o painel está apoiado em reforçadores com seção transversal em Z, pode-se utilizar a Fig. 5.13 para a obtenção de um valor mais preciso do coeficiente de flambagem em comparação com o valor conservativo, k = 4, correspondente à placa simplesmente apoiada nos bordos descarregados. Para b/t = 4,.0 / 0,08 = 50 a curva inferior da Fig. 5.13 fornece k = 5,2 . Como a flambagem pode ser inelástica, adotaremos aqui o procedimento baseado no modelo de Ramberg-Osgood para representação do material, representado na Fig. 5-49. Esta figura, para n = 6,2 e

5.78

706,00,4

08,03,1791,012

500.62,5)1(12

222

7.02

2

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛××

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−π

συπ

btEk

e

fornece 65,07.0

=σσ cr , de modo que

σcr = 0,65 x 17,3 = 11,2 ksi

Observação: Se a flambagem se dá elasticamente, o valor de da tensão crítica é dada por σcr = 0,706σ07 ou σcr = 0,706 x 17,3 = 12,2 ksi, possivelmente abaixo do limite de proporcionalidade que não foi fornecido. As curvas da Fig. 5-49 podem ser utilizadas no regime elástico. Os resultados serão tanto mais precisos quanto maior o valor de n. No presente exemplo, como n < 10 há uma introdução de pequeno erro.

EXEMPLO 5.5

Uma placa 6 x 3 x 0,06 in , simplesmente apoiada nos quatro bordos, manufaturada de liga de alumínio 7075-T6 a temperatura ambiente (E = 10.500 ksi, σ0.7 = 70 ksi, n = 9,2, νe = 0,3) está sujeita a tensões de compressão longitudinal, fc, e de flexão no plano da placa, fb, na razão fc / fb = 0,5 . (a) Qual a tensão de compressão na flambagem? (b) se fc = 13 ksi, fb = 26 ksi, qual é a margem de segurança?

Solução:

(a) A questão será resolvida através do uso da Fig. 5-19. Esta figura fornece curvas para o coeficiente de flambagem em flexão, kb, em função de a/b e β, onde β = b/c, c = (1 + fc / fb) y , onde y é a distância do bordo carregado em compressão ao eixo elástico. Neste caso, y = b/2.

Desta forma, c = (1 + 0,5)b / 2 , de modo que β = 2 / 1,5 = 1,33. Para este valor de β e a/b = 6/3 =2, a Fig. 15-19 fornece kb = 11. A equação para a flambagem é

ksi 8,41306,0

91,012500.1011

)1(12

222

2

20 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πυ

πη b

tEkf

e

b

cr

, que está abaixo do limite elástico.

Mas ( ) ( ) ( ) ksi 9,133/8,41 3 21 00 ==⇒=∴+=+=+= crcccccbcbc Fffffffffff

(b) A margem de segurança pode ser obtida diretamente do resultado acima

( ) 07,01-

139,131 ==−=

c

crc

fF

MS

Uma outra forma de achar a margem de segurança é através do uso da Fig. 5-31. Para tanto, deve-se calcular as razões Rc e Rb.

1) Cálculo da tensão crítica em compressão: Para a/b = 2, a curva C da Fig. 5-9 fornece kc = 4,0

( ) ksi 2,15306,0

91,012500.104

)1(12

222

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

πυ

πbtEk

Fe

ccrc

2) Cálculo da tensão crítica em flexão: Para a/b = 2 e β = 2, a Fig. 5-19 fornece kb = 23,9.

A Fig. 5-49, para n = 9.2 e 3.1306,0

7091,012500.109,23

)1(12

222

7.02

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

××=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−π

υπ

bt

FEk

e

b , fornece

93,07.0

=FF crb , de modo que (Fb)cr = 0,93 x 70 = 65,1 ksi

3) Cálculo das razões de carregamento

4,01,65

26 ; 855,015,213 ==== bc RR

5.79

4) Com estes valores, a Fig. 5.31 fornece uma margem de segurança de aproximadamente -0,04.

Observação: a discrepância entre as tensões fornecidas pelas curvas de interação da Fig. 5.31 é devida ao fato de que a flambagem em flexão sozinho se deu no regime inelástico. As curvas de interação foram derivadas com a hipótese que as flambagens se dessem no regime elástico. Em conseqüência, o resultado mais coerente é aquele dado pelo primeiro método apresentado.

EXEMPLO 5.6

Uma placa 16 x 8 x 0,16 in , simplesmente apoiada nos quatro bordos, manufaturada de liga de alumínio 2024-T3 a temperatura de 300oF (E = 10.300 ksi, σcy = 37 ksi, σ0.7 = 35,7 ksi, n = 15, νe = 0,3) está sujeita à tensão de compressão biaxial, fx = 6 ksi e fy = 1,6 ksi, e tensão de flexão, fb = 24 ksi. Ache a margem de segurança.

Solução:

Passo 1: Compressão na direção longitudinal, x

O coeficiente de flambagem para a/b = 2 é kx = 4 (Fig. 5-9, caso C). Supondo a flambagem no regime elástico

( ) ( ) ksi 9,14816,0

3,0112300.104 2

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−×

=π

crxF (que está abaixo do limite de proporcionalidade)

( ) 40,09,14

6===

crx

xx F

fR

Passo 2: Compressão na direção transversal, y

Para b/a = 0,5, o coeficiente de flambagem é ky = 6,25 (Fig. 5-9, caso C). Supondo a flambagem no regime elástico

( ) ( ) ksi 8,51616,0

3,0112300.1025,6 2

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−×

=π

cryF (que está abaixo do limite de proporcionalidade)

( ) 30,08,5

74,1===

cry

yy F

fR

Passo 3: Flexão

Para a/b = 2 e β = 2, o coeficiente de flambagem é kb = 23,9 (Fig. 5-26). Supondo a flambagem no regime elástico

( ) ( ) ksi 89816,0

3,0112300.109,23 2

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−×

=π

crbF , que está acima do limite de proporcionalidade,

sendo portanto necessária uma correção de plasticidade, fornecida pela Fig. 5.49. Entrando nesta figura com n = 15 e 49,2/35,7897.0 ==FE crε obtém-se ( ) 05,17.0 ≈FF crb de modo que

(Fb)cr = 35,7 x 1,05 = 37,1 ksi (que satisfaz os limites da tabela 5.2)

( ) 70,01,37

26===

crb

bb F

fR

Passo 4: Cargas Combinadas

Plote o ponto (Ry,Rb) = (0,3, 0,7) na Fig. 5.37b, para a/b = 2. Trace a reta da origem passando por este ponto até que intercepte a curva Rx (construção em vermelho). Um conjunto preliminar de margens de segurança é obtido de

MS(b) = 0,73/0,70 – 1 = 0,04 = MS(y)

5.80

MS(x) = 0,42/.40 – 1 = 0,05

A margem de segurança, portanto, é aproximadamente +0,04.

Se o cálculo da MS em x desse um valor substancialmente diferente das margens de segurança em b e y (que tem de ser iguais por causa da reta), uma iteração teria que ser feita. A margem de segurança verdadeira é aquela que multiplicando todas as cargas pelo fator (1 + MSreal) fornece uma margem de segurança zero para todas as cargas. Este fator é achado fazendo-se iterações sobre a linha que passa pela origem e verificando as MS(x), MS(y) e MS(b). Por exemplo, seja um problema com Rb = Ry = Rx = 0.4 . A construção está em azul na Fig. 5.37b. As margens de segurança são

MS(y) = MS(b) = 0,62/0,4 – 1 = 0,55 MS(x) = 0,70/0,4 –1 = 0,75

Estes valores são substancialmente distintos de modo que uma correção é necessária. Iterando sobre a linha que passa pela origem acha-se (em preto) Rb = Ry = Rx = 0,53 e

MS(y) = MS(b) = MS(x) = 0,53/0,4 – 1 = 0,325

EXEMPLO 5.7

Uma placa 6 x 3 x 0,06 in, simplesmente apoiada nos quatro bordos, manufaturada de liga de alumínio 7075-T6 à temperatura ambiente (E = 10.500 ksi, σcy = 67 ksi, σ0.7 = 70 ksi, n = 9,2, νe = 0,3) está sujeita à tensão de compressão longitudinal, fc = 7,3 ksi, tensão de cisalhamento fs = 8,8 ksi, e tensão de flexão, fb = 18,5 ksi. Ache a margem de segurança.

Solução:

Passo 1: Compressão longitudinal

O coeficiente de flambagem para a/b = 2 é kc = 4 (Fig. 5-9, caso C). Supondo a flambagem no regime elástico

480,02,153,7 ksi 2,15

306,0

91,012500.104

)1(12

222

2

2

==⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= c

e

ccr R

btEk

F πυ

π

Passo 2: Cisalhamento

O coeficiente de flambagem para a/b = 2 é ks = 5,7 (Fig. 5-26). Supondo a flambagem no regime elástico

407,06,218,8 ksi 6,21

306,0

91,012500.107,5

)1(12

222

2

2

==⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= c

e

scr R

btEk

F πυ

π

Passo 3: Flexão

O coeficiente de flambagem para a/b = 2, β = 2 é kb = 23,9 (Fig. 5-26). A flambagem se dará no regime inelástico. Usando os valores de n = 9,2 e

3,1306,0

7091,012500.109,23

)1(12

222

7.02

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

××=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−π

υπ

bt

FEk

e

b na Fig. 5-54 resulta em 97,07.0

=FFcr , de modo

que 272,09,675,18 ksi 9,67 ==⇒= bcr RF

Passo 4: Cargas combinadas

Para a solução será utilizado o ábaco da esquerda na Fig. 5-36. Plote o ponto (Rb,Rc) = (0,272; 0,48). Seja A, este ponto. Trace a reta AO e a estenda até interceptar a curva Rs/Rc = 0,407/0,48 = 0,848. Seja B, este ponto. Leia o valor de (Rc)crítico na régua de Rc: (Rc)crítico = 0,57. Ache a margem de segurança

187,0148,057,01

)( crítico +=−=−=c

c

RR

MS

5.81

EXEMPLO 5.8

5.82

EXEMPLO 5.9

Um painel de revestimento de uma asa de aeronave está sujeita a uma tensão de compressão longitudinal de 3 ksi e um fluxo de cisalhamento de 0,1 kips/in na carga limite. Determine a margem de segurança se, para preservar a suavidade aerodinâmica, é requerido que não ocorra flambagem na

5.83

carga limite. O painel, de dimensões 4 x 10 x 0,040 in , é manufaturado em liga de alumínio (E = 10.500 ksi, ν = 0,3)

Solução:

Considerando, de forma conservativa, que os bordos são simplesmente apoiados, obtém-se, das Figs. 5-9 e 5-26, com a/b = 10/4 = 2,5, kc = 4,1 e ks = 6,0 onde os subscritos referem-se a compressão e cisalhamento, respectivamente. As tensões críticas são dadas pela Eq. (5.32)

( )

( ) ksi 69,54040,0

)3,01(12500.100,6

ksi 89,34040,0

)3,01(12500.101,4

2

2

2

2

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−××

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−××

=

πσ

πσ

crs

crc

As razões de tensão são

( ) ( ) 440,069,5040,0

1,0 e 771,089,33

=×

=====crs

sc

crc

cc RR

σσ

σσ

A equação de interação é dada pela Eq. (5.93) 12 =+ sL RR e a margem de segurança, pela Eq. (5.94)

03,0144,04771,0771,0

214

22222

=−×++

=−++

=sLL RRR

MS

A margem de segurança também poderia ser obtida diretamente da Fig. 5-33 (menor precisão).

EXEMPLO 5.10

O revestimento de 0,064 in de espessura, manufaturado em liga de alumínio (E=10.500 ksi, ν = 0,3), de uma estrutura inter-estágios de um lançador de satélites é dividido em painéis de 5 x 15 in por reforçadores longitudinais e anéis transversais. O empuxo dos motores causa tensões axiais de compressão no revestimento e nos reforçadores. O anel transversal tem área de seção transversal de 0,8 in2, e a estrutura é proporcionada de forma que o revestimento flambe antes dos reforçadores e anéis. Determine a largura efetiva do revestimento e a força axial carregada pelo mesmo, quando a tensão nos reforçadores é 15 ksi. Considere, de forma conservativa, que os reforçadores e anéis dão uma condição de apoio simples aos painéis de revestimento.

Solução:

Devido à rigidez dos anéis, os reforçadores longitudinais não são livres para se afastarem, um do outro, na direção transversal. Em conseqüência, devido ao efeito da razão de Poisson, tensões de compressão serão induzidas na direção transversal. O coeficiente de flambagem para este caso é dado pela Fig. 5-29. Para a/b = 15/5 = 3 e Ar/at = 0,8/(15x0,064) = 0,.833, a Fig. 5-29 fornece kc = 3,55. A tensão de flambagem é, portanto

ksi 52,55064,0

)3,01(12500.1055,3 2

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−××

=πσ cr

de forma que σe/σcr = 15 / 5,52 = 2,72 . A placa é longa, simplesmente apoiada e σe/σcr ≤ 3. Portanto, as curvas de Argyris e Dunne da Fig. 5-57 podem ser utilizadas. Da figura, com σe/σcr = 2,72 e Ar/at = 0,833 obtém-se be/b = 0,75, de maneira que be = 0,75 x 5 = 3,75 in. A força axial carregada pelo painel de revestimento, portanto, é

kips 6,315064,075,3 =××== eetbP σ

EXEMPLO 5.11

Considere um painel 3 x 9 x 0,051 in, simplesmente apoiado nos quatro bordos, manufaturado em liga de alumínio 2024-T3 (E = 10.700 ksi, σcy = 40 ksi, σ0.7 = 39 ksi, n = 11,5, νe = 0,3), submetido à

5.84

compressão uniaxial. Ache a carga de falha deste painel se suas bordas são obrigadas a permanecerem retas.

Solução:

A tensão crítica deste painel é

ksi 2,113051,0

91,012700.104

)1(12

222

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−π

υπ

btEk

e

c , evidentemente no regime elástico.

Segundo Von Karman, a carga de falha é dada pela Eq. (5.135)

kips 24,3402,1140051,03 =××== ycrcyu FFbtFP

Segundo Gerard, a Eq. (5.138a) com α = 0,78 e n = 0,80 fornece

kips 7,3051,032,24

ksi 2,24 16,22,11

4078,08,0

=××==⇒

⇒=⇒=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

btFP

FFF

FF

uu

u

n

cr

cy

cr

u α

5.23 EXERCÍCIOS

EXERCÍCIO 5.1 Considere um painel 9 x 3 x 0,094 in, simplesmente apoiado nos quatro bordos.

a) Ache a tensão crítica em compressão.

b) Ache a tensão crítica em flexão

c) Ache a tensão crítica em cisalhamento

Dados do Material: Liga Al Clad 7075-T6 (Ec = 10.500 ksi, Fcy = 64ksi, F07 = 64,5 ksi, n = 19,5, νe = 0,3) EXERCÍCIO 5.2 Uma placa retangular é carregada uniaxialmente. Os lados carregados, de largura b, são engastados. Os lados descarregados, de comprimento a, são, respectivamente, simplesmente apoiado e livre. Nestas condições e para a/b = 1,4 estime o kcr utilizando o método de Rayleigh-Ritz (um só termo para não se perder nas contas!). Compare o seu resultado com o valor apresentado no texto (Fig. 5-9) e comente a diferença. EXERCÍCIO 5.3 A placa da figura é simplesmente apoiada em seus quatro bordos.

As arestas paralelas a y estão sujeitas a uma distribuição de tensões que ocasiona flexão pura, Nx = -Nx0 (1 - 2y/b). Usando a função adequada w(x,y) = Am1 sen (mπx/a) sen (πy/b) + Am2 sen (mπx/a) sen (2πy/b)e o método de Rayleigh-Ritz, a) ache uma expressão aproximada para (Nx0)cr; b) para o caso particular a = b, ache o número de semi-ondas

correspondente à flambagem; c) para o mesmo caso particular, ache kcr = (Nx0)cr b2 / (π2D) ; d) compare (e comente) o resultado com o valor essencialmente

exato fornecido por Timoshenko: (kcr)ex = 25,6 ; 2 semi-ondas

Nx0

-Nx0 -Nx0

Nx0

a

b

y

x

5.85

EXERCÍCIO 5.4 O painel retangular da figura é reforçado por reforçadores simples ao

longo das bordas de comprimento 5” e por reforçadores duplos ao longo das bordas de comprimento 10”. Os reforçadores são conformados em chapa Al 7075-T6 de espessura 0,063”. As distâncias entre as linhas de rebitagem dos reforçadores estão indicadas. Supondo a chapa de mesmo material e com espessura 0,042”, calcule (Nxy)cr a 300o F. propriedades do material a 300o F: E = 9.400 ksi, F07 = 58,5 ksi, Fcy = 54 ksi, n = 16,6, νe = 0,3.

EXERCÍCIO 5.5 Considere a placa retangular da figura, simplesmente

apoiada em seus quatro bordos e sujeita a um carregamento bi-axial.

Sejam: E = 10.800 ksi ν2 = 0,1 a = 20 in b = 10 in t = 0,1 in Ny = 5π2 lb/in

a) pede-se a carga crítica (Nx) cr de flambagem, ou seja, para Ny dado e fixo, para qual valor de Nx a placa perde estabilidade?

b) qual o modo de flambagem da placa para o (Nx) cr encontrado, ou seja, quantas semi-ondas aparecerão nas direções do comprimento e da largura?

EXERCÍCIO 5.6 Um painel 5 x 12.5 x 0.051 in tem todos os bordos simplesmente apoiados. O painel está sujeito a uma combinação cargas de compressão longitudinal (no sentido da dimensão mais longa) e cisalhamento que produz as seguintes tensões:

fc = 2,4 ksi (aplicada normal ao lado de 5 in) e fs = 2,8 ksi

a) Qual é a margem de segurança sob o sistema de cargas dado, se é manufaturado em chapa de liga de alumínio 2024-T3 (Ec = 10.700 ksi, F0.7 = 39 ksi, F0.7 = 40 ksi, n = 11,5, νe = 0,3)

b) Se o material é mudado para uma liga de aço AISI 4130 Normalizado (Ftu = 90 ksi, Ec = 29.000 ksi, F0.7 = 61,5 ksi, Fcy = 70 ksi, n = 6,8, νe = 0,3), qual seria a margem de segurança?

EXERCÍCIO 5.7 A viga da figura, de 100 in de comprimento, está sujeita a uma carga de 1.000 lb numa extremidade e fixa na outra extremidade. As mesas são compostas de perfis L de espessura 0,065in rebitados em ambos os lados da alma e têm seção de área 0,2in2 (de cada lado da alma). Os reforçadores transversais são perfis L de espessura 0,05in , num só lado da alma. A distância entre os centróides das mesas superiores e inferiores, bem como a distância entre as linhas de rebitagem das mesas à alma é 8in. A viga é reforçada por reforçadores transversais, formando 10 painéis iguais. Nestas condições, pede-se:

a) Se a alma a tiver espessura t = 0,05in, quais as tensões nas mesas e o estado de tensões no

painel A?

b) Nas mesmas condições, o painel A flamba? Qual a margem de segurança? c) Ache a espessura mínima dos painéis para que não ocorra flambagem (mantenha a geometria da

viga e as áreas das mesas).

Nos cálculos, considere o momento de inércia das mesas desprezível, quando comparado ao momento de área das mesas em torno do eixo neutro da viga. Considere flambagem elástica. Faça

Ny

Ny

b Nx

a

Nx

10”

Nxy

Nx

5”

5.86

as hipóteses que julgar necessárias para poder usar as informações disponíveis na apostila (média de tensões, etc.).

Dados: E = 10.000 ksi, ν = 0,3. EXERCÍCIO 5.8 Uma placa 3 x 12 x 0,040 in, simplesmente apoiada, está sujeita à seguinte combinação de tensões:

fc = 3 ksi, fb = 10 ksi, fs = 8 ksi.

As tensões de compressão e flexão, respectivamente, fc e fb , são normais ao lado de 3 in. Se os bordos são simplesmente apoiados:

a) Qual é a margem de segurança se o painel é manufaturado de liga de alumínio 7075-T6 (Ec = 10.700 ksi, F0.7 = 70 ksi, Fcy = 67 ksi, n = 9,2, νe = 0,3) ?

b) Qual seria a margem de segurança se o material do painel é mudado para Titânio Ti-8Mn (Ec = 15.500 ksi, F0.7 = 119,5 ksi, Fcy = 110 ksi, n = 13,7, νe = 0,3) ?

EXERCÍCIO 5.9 Uma longarina, cuja alma tem espessura de 0,04” e é confeccionada em liga de alumínio 7075-T6 (E=10.500ksi, ν=0,3), está dividida em painéis de 30”x 10”, através de reforçadores transversais. Tensões de flexão são aplicadas ao longo dos lados de 10” e tensões de cisalhamento, ao longo do painel.

a) determine a tensão crítica de flexão (flexão agindo sozinho) b) determine a tensão de cisalhamento crítica (cisalhamento agindo sozinho) c) supondo que a longarina esteja sujeita a uma tensão de cisalhamento igual á metade daquela

requerida para flambagem (50% do ítem b), determine a tensão de flexão que ocasionará a flambagem quando aplicada simultaneamente à tensão de cisalhamento.

Em todos os ítens, considere que a flambagem se dá elasticamente. Considere, também, que as mesas longitudinais da longarina, bem como os reforçadores transversais dão condições de apoio simples aos bordos dos painéis. EXERCÍCIO 5.10 Uma placa 16 x 8 x 0,16 in , simplesmente apoiada e manufaturada de liga Clad 2024-T3 (Ec = 10.700 ksi, F0.7 = 35,7 ksi, Fcy = 37 ksi, n = 12, νe = 0,3) está submetida a uma combinação de compressão bi-axial e cisalhamento:

fx = 5 ksi (longitudinal) fy = 1,5 ksi (transversal) fs = 11 ksi

Pede-se a margem de segurança

8 in

10 in

P=1.000 lb

A

Al 7075-T6 t = 0,04”

30” 30”

10”

5.87

EXERCÍCIO 5.11 Um painel com dimensões 12”x 3”x 0,040” está sujeito aos carregamentos combinados de compressão longitudinal, flexão longitudinal pura e cisalhamento, com: Nx = 0,12 kips/in; Nxb=0,4 kips/in; Nxy=0,32 kips/in. Se todos os lados forem simplesmente apoiados, determine se o painel flambará:

a) caso seja manufaturado em liga de alumínio 7075-T6; b) caso seja manufaturado em liga de titânio Ti-8Mn; c) determine as espessuras mínimas do painel para que não ocorra a flambagem em ambos os

casos (manufatura em liga de alumínio e em liga de titânio).

Dados: Al 7075-T6 (E = 10.500 ksi, F07 = 70 ksi, Fcy = 67 ksi, n = 9,2, νe = 0,3) Ti-8Mn (E = 15.500 ksi, F07 = 119,5 ksi, Fcy = 110 ksi, n = 13,7, νe = 0,3) EXERCÍCIO 5.12 Uma placa de AL 2024-T6 (Ec = 10.700 ksi, Fcy = 49 ksi, F0.7 = 49 ksi, n = 11, νe = 0,3) está sujeita a uma carga de compressão uniforme na direção de seu comprimento. A placa tem dimensões 10 x 3 in e os bordos carregados são simplesmente apoiados. Um dos bordos não carregados (longitudinais) é simplesmente apoiado e ou outro é livre, ou seja, constituindo um flange simplesmente apoiado. O bordo simplesmente apoiado permanece reto após o carregamento. Nestas condições:

a) qual é a espessura mínima da placa para que ela não flambe sob um carregamento Nx = 5 kips/in

b) considerando a espessura achada acima, qual é a tensão de falha da placa? Que carga poderia carregar nestas condições?

EXERCÍCIO 5.13 Uma placa de liga Al 2024-T3 (E = 10.700 ksi, ν = 0,3, F0.7 = 39 ksi, n = 11,5, Fcy = 40 ksi) simplesmente apoiada, de dimensões 15 x 3 x 0,04 in, está sujeita a um encurtamento uniforme ao longo de sua direção longitudinal (maior medida). As arestas descarregadas permanecem retas, mas podem deslocar transversalmente de forma livre e uniforme.

1) determine a força total carregada pela placa, quando a tensão de bordo for: (a) 4 ksi; (b) 24 ksi

2) determine a carga de falha da placa.

EXERCÍCIO 5.14 Dados:

a = 3”; t = 0,07”

Material: liga de magnésio HK31A-H24 E = 6.500ksi; Fy = 19ksi; F0.7 = 17,3ksi; n = 6,2; ν = 0,3

Uma placa simplesmente apoiada em seus quatro bordos é carregada uniaxialmente. O reforço, nos bordos carregados, é tal a impedir, totalmente, o movimento transversal dos bordos livres. Nestas condições,

a) qual a carga total suportada pela placa no instante da flambagem?

b) qual a carga total suportada pela placa quando a tensão de bordo é fb = 16 ksi?

c) qual a carga total suportada pela placa no momento da falha?

EXERCÍCIO 5.15 Um placa simplesmente apoiada, de dimensões 9 x 3in, está sujeita a um carregamento uniaxial (paralelo ao lado de 9 in) Nx = 3.000 lb/in. A placa está suportada transversalmente por reforçadores de área 0,8 in2 e os bordos descarregados permanecem retos (não empenam) sob a ação da carga. Calcule a espessura mínima para que esta placa não falhe sob o carregamento dado. Faça este cálculo empregando a formulação do Gerard. O material empregado é liga AL 2024-T3 (E=10.700 ksi, νe = 0,3, F0.7 = 39 ksi, Fcy = 40 ksi, n = 11,5). Calcule a tensão de flambagem para a placa com espessura mínima encontrada. Calcule a carga de falha desta mesma placa utilizando o método de Von Karman. Para todos os cálculos suponha que os reforçadores longitudinais e transversais não flambem.

4a

a Nx Nx

5.88

EXERCÍCIO 5.16 Considere uma placa simplesmente apoiada nos quatro

bordos (retos, sem empenamento), com a = 8”, b = 4” e t = 0,156”, confeccionada em liga de alumínio 2024-T4 (Ec = 10.700ksi, Fcy = 38ksi, F0.7 = 36,7ksi, n = 15,6, ν = 0,3). a) Qual a carga crítica de flambagem? c) Qual a carga de falha? d) Qual a espessura mínima para falha sob Nx = 4 kips/in

EXERCÍCIO 5.17 Considere uma placa engastada nos quatro bordos (livres

para empenar), com a = 12”, b = 4” e t = 0,156”, confeccionada em liga de alumínio 2024-T3 (Ec = 10.700ksi, Fcy = 40ksi, F0.7 = 39ksi, n = 11,5, ν = 0,3). a) Qual a carga crítica de flambagem? b) Qual a carga de falha?

EXERCÍCIO 5.18 Um flange simplesmente apoiado, com borda apoiada reta, tem dimensões 9in x 2in e está sujeito a um carregamento uniaxial Nx = 3.000 lb/in no sentido do comprimento. Calcule a espessura mínima para que este flange não falhe sob o carregamento dado.

O material empregado é liga AL 2024-T4 (E=10.700 ksi, νe = 0,3, F0.7 = 36,7 ksi, Fcy = 38 ksi, n = 15,6) EXERCÍCIO 5.19 Considere uma placa de liga AL 7075-T6, com dimensões 12” x 3” x 0,04”, submetida a um carregamento uni-axial no sentido de seu comprimento, simplesmente apoiada nos lados carregados e engastada nos lados descarregados. Considere que os lados descarregados são livres de se deslocar no sentido transversal. Nestas condições:

a) Qual é a tensão de flambagem? b) Qual é a largura efetiva quando a tensão de bordo é 35 ksi? c) Qual é a tensão média de falha?

dados: E=10.500 ksi, νe = 0,3, F0.7 = 70 ksi, Fcy = 67 ksi, n = 9,2 EXERCÍCIO 5.20 Considere o modelo de um grau de liberdade de

uma placa plana mostrado na figura. O modelo consiste de quatro barras rígidas em flexão, conectadas através de articulações entre si e aos suportes. No centro do modelo, duas molas lineares rotacionais de rigidez c = M/θ conectam barras opostas entre si. Além disto, cada uma das barras transversais contém uma mola linear extensional de rigidez k. Supondo que o comprimento das quatro barras quando o modelo está descarregado seja a, e que ka2/4c = 50:

a) determine a carga crítica

b) Para grandes deflexões laterais, obtenha e plote a relação da carga P/Pcr vs o deslocamento lateral d/a.

c) Que características fundamentais da flambagem de uma placa real são mostradas por este modelo?

b Nx

a

Nx

b Nx

a

Nx

k

d

c k

P

5.89

EXERCÍCIO 5.21 Um painel de 9 in de comprimento e 3 in de largura, manufaturado em liga AL 2024-T3 (E=10.700 ksi, νe = 0,3, F0.7 = 39 ksi, Fcy = 40 ksi, n = 11,5) está sujeito à compressão uniaxial. A placa, de espessura 0,070 in, está simplesmente apoiada nos bordos carregados e fixa a reforçadores tipo chapéu nos bordos descarregados. Estes podem mover livremente na direção transversal. Nestas condições, pede-se: a) Qual a tensão de flambagem da placa? b) Qual é a carga total (kips) que a placa carrega quando a tensão nos reforçadores chapéu,

manufaturados do mesmo material, for 50 ksi?

5.23 REFERÊNCIAS

5.1 Timoshenko, S.P. & Gere, J.M.: Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, New York, NY, 1961.

5.2 Chajes, A.: Principles of Structural Stability Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1974.

5.3 Rivello, R.M.: Theory and Analysis of Flight Structures, McGraw-Hill, New York, 1969.

5.4 Donnell, L.H.: Beams, Plates and Shells, McGraw-Hill, New York, 1976.

5.5 Gerard G. & Becker, H.: Handbook of Structural Stability, NACA Tech. Note 3781, 1957.

5.6 Hubolt, J.C. & Stowel, E.Z.: Critical Stress of Plate Columns, NACA Tech. Note 2163, 1950.

5.7 Stein M. & Neff, J.: Buckling Stresses of Simply Supported Rectangular Plates in Shear, NACA Tech. Note 1222, 1947.

5.8 Kuhn, P., Peterson, J.P. & Levin, L.R.: A Summary of Diagonal Tension, pt I, Vol. I: Methods of Analysis, NACA Tech. Note 2661, 1952.

5.9 Noel, R.G.: Elastic Stability of Simply Supported Flat Rectangular Plates Under Critical Combinations of Longitudinal Bending, Longitudinal Compression, and Lateral Compression. J. Aero. Sci., vol. 19, no. 12, Dec 1952, pp. 829-834.

5.10 Johnson, A.E.Jr. & Buchert, K.P.: Critical Combinations of Bending, Shear, and Transverse Compressive Stresses for Buckling of Infinitivelt Long Plates. NACA Tech. Note 2536, 1951.

5.11 Batdorf, S.B. & Houbolt, J.C.: Critical Combinations of Shear and Transverse Direct Stress for Infinitly Long Flat Plate with Edges Elastically Restrained Against Rotation, NACA Tech. Report 847, 1946.

5.12 Batdorf, S.B. & Stein, M.: Critical Combinations of Shear and Direct Stresses for Simply Supported Rectangular Plates, NACA Tech. Note 1223, 1947.

5.13 Johnson J.H., Jr.: Critical Buckling Stresses of Simply Supported Flat Rectangular Plates Under Combined Longitudinal Compression, and Shear. J. Aeron. Sci., June 1954.

5.14 Bleich, F.: Buckling Strength of Metal Structures, McGraw-Hill, New York, 1952.

5.15 Douglas Structural Design Manual, Vol. I, Section B-7 Plate Buckling, McDonnell Douglas Corporation, Aug. 1982.

5.16 Boeing Design Manual, BDM-6520, Buckling of Flat Plates, The Boeing Co., Seattle, Aug 1995

5.17 NASA, Astronautics Structures Manual, Vol. 2, Section C.1, Structures and Propulsion Laboratory, NASA Marshall Space Flight Center, AL 35812, August 1975 – também disponível para download em http://trs.msfc.nasa.gov/mtrs/75/tmx73306v2p7.pdf

5.18 Argyris, J.H. & Dunne, P.C.: Handbook of Aeronautics, no. 1, Structural Principles and Data, part 2: Structural Analysis, 4th ed., Pitman, New York, 1952.

5.19 Koiter, W.T.: The Effective Width of Flat Plates for Various Longitudinal Edge Conditions at Loads far Beyond the Buckling Load, Natl. Luchtvaart Lab (NLL) Rept. S287, 1946.

5.20 Marguerre, K.: The Apparent Width of the Plate in Compression, NACA Tech. Memorandum 833, 1937.

5.21 Van der Neut, A.: Post-buckling Behavior of Structures, AGARD Report 60, 1956.

5.90

5.22 Von Karman, T., Sechler, E.E. & Donnell, L.H.: The Strength of Thin Plates in Compression, Transactions, ASME, Vol. 54, 1932.

5.23 Niu, M. C.-Y.: Airframe Stress Analysis and Sizing, Conmilit Press, 2nd ed., Hong Kong, 2001

5.24 Flabel, J. C.: Practical Stress Analysis for Design Engineers: Design & Analysis of Aerospace Vehicle Structures, Lake City Pub Co., 1997.

5.25 Winter, G.: Strength of Thin Steel Compression Flanges, Transactions, ASCE, Vol. 112, 1947.

5.26 Gerard, G.: The Crippling Stress of Compression Elements, J. Aeronautical Sciences, Vol 25, no. 1, pp. 37-52, January 1958.

CAPÍTULO 6

ESTABILIDADE E FALHA DE COLUNAS DE PAREDES

FINAS E PAINÉIS REFORÇADOS

6.2

ÍNDICE DE SEÇÕES 6.1 INTRODUÇÃO 6.4 6.2 ESTABILIDADE SECUNDÁRIA DE COLUNAS 6.5 EXEMPLO 6.1 6.8 6.3 RESTRIÇÕES PROVIDAS POR LÁBIOS E BULBOS 6.10 6.4 FALHA LOCAL DE COLUNAS DE PAREDES FINAS 6.11 6.5 O MÉTODO DE NEEDHAM PARA FALHA LOCAL 6.14 6.6 O MÉTODO BOEING PARA FALHA LOCAL 6.16 EXEMPLO 6.2 6.18 6.7 O MÉTODO DE GERARD PARA FALHA LOCAL 6.21 EXEMPLO 6.3 6.23 EXEMPLO 6.4 6.24 EXEMPLO 6.5 6.24 6.8 FALHA DE COLUNAS DE PAREDES FINAS 6.25 EXEMPLO 6.6 6.27 6.9 FLAMBAGEM LOCAL DE PAINÉIS REFORÇADOS EM COMPRESSÃO 6.28 6.10 FALHA LOCAL DE PAINÉIS REFORÇADOS – MÉTODO DE GERARD 6.31 EXEMPLO 6.7 6.33 6.11 FALHA LOCAL DE PAINÉIS REFORÇADOS – MÉTODO BOEING 6.33 EXEMPLO 6.8 6.36 6.12 FLAMBAGEM ENTRE REBITES E ENRUGAMENTO DO REVESTIMENTO 6.37 EXEMPLO 6.9 6.47 EXEMPLO 6.10 6.48 6.13 FALHA DE PAINÉIS REFORÇADOS 6.50 EXEMPLO 6.11 6.62 EXEMPLO 6.12 6.63 6.14 EXERCÍCOS 6.64 6.15 REFERÊNCIAS 6.70

6.3

ÍNDICE DE FIGURAS 6-1 CURVA DE COLUNA TÍPICA PARA SEÇÃO DE PAREDES FINAS 6.4 6-2 REFORÇADORES EXTRUDADOS E CONFORMADOS TÍPICOS 6.5 6-3 COLUNA COM SEÇÃO TRANSVERSAL EM ÂNGULO 6.6 6-4 REFORÇADORES COM SEÇÃO EM CANAL E Z 6.7 6-5 REFORÇADORES COM SEÇÃO EM H 6.7 6-6 REFORÇADORES COM SEÇÃO TUBO-RETANGULAR 6.8 6-7 REFORÇADORES COM SEÇÃO CHAPÉU 6.8 5-54 GRÁFICO ADIMENSIONAL PARA TENSÃO DE FLAMBAGEM EM COMPRESSÃO OU FLEXÃO PARA FLANGES

LONGOS ENGASTADOS OU PLACAS APOIADAS COM RESTRIÇÕES ELÁSTICAS NOS BORDOS 6.9 5-55 GRÁFICO ADIMENSIONAL PARA TENSÃO DE FLAMBAGEM EM COMPRESSÃO OU FLEXÃO PARA FLANGES

LONGOS SIMPLESMENTE APOIADOS 6.9 6-8 LÁBIO E BULBOS TÍPICOS 6.10 6-9 DIMENSÕES GEOMÉTRICAS DE LÁBIO E BULBO 6.10 6-10 DIMENSÕES MÍNIMAS DE LÁBIO REQUERIDAS PARA QUE O FLANGE FLAMBE COMO PLACA

SIMPLESMENTE APOIADA 6.11 6-11 DIMENSÕES MÍNIMAS DE BULBO REQUERIDAS PARA QUE O FLANGE FLAMBE COMO PLACA

SIMPLESMENTE APOIADA 6.11 6-12 COMPRIMENTO DE LÁBIO MÍNIMO PARA PRODUZIR AÇÃO DE ALMA EM FLANGE 6.12 6-13 DIÂMETRO MÍNIMO DE BULBO PARA PRODUZIR AÇÃO DE ALMA EM FLANGES 6.12 6-14 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM COLUNA DE PAREDE FINAS 6.12 6-15 ÂNGULOS DE NEEDHAM COM DUAS, UMA E NENHUMA BORDA LIVRE 6.14 6-16 MÉTODO DE NEEDHAM – TENSÃO DE FALHA ADIMENSIONALIZADA 6.15 6-17 MÉTODO DE NEEDHAM – CARGA DE FALHA ADIMENSIONALIZADA 6.16 6-18 TENSÃO DE FALHA LOCAL PARA SEÇÕES CONFORMADAS. MÉTODO BOEING – MATERIAL CHAPA

AL CLAD 2024-T3 – T351 6.19 6-19 TENSÃO DE FALHA LOCAL PARA SEÇÕES EXTRUDADAS. MÉTODO BOEING – MATERIAL

AL BARE 2024-T4 - T351X 6.20 6-20 MÉTODO PARA DETERMINAR G DE SEÇÕES TÍPICAS 6.21 6-21 FATOR DE CORREÇÃO β PARA SEÇÕES CONFORMADAS 6.22 6-22 EVOLUÇÃO DAS PARÁBOLAS DE JOHNSON 6.27 6-23 COEFICIENTES DE FLAMBAGEM LOCAL – REFORÇADORES COM SEÇÃO SEM FLANGE 6.29 6-24/25 COEFICIENTES DE FLAMBAGEM LOCAL – REFORÇADORES COM SEÇÃO EM Z 6.30 6-26/27 COEFICIENTES DE FLAMBAGEM LOCAL – REFORÇADORES COM SEÇÃO EM T 6.30 6-28 EXEMPLOS DE DETERMINAÇÃO DO PARÂMETRO G 6.32 6-29 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM PAINÉIS REFORÇADOS SOB CARREGAMENTO DE COMPRESSÃO 6.34 6-30 COMPARAÇÃO ENTRE FLAMBAGEM ENTRE REBITES E ENRUGAMENTO DO REVESTIMENTO 6.38 6-31 IDEALIZAÇÃO DO ENRUGAMENTO DE UM PAINEL REFORÇADO LONGITUDINALMENTE 6.38 6-32 CURVAS ADIMENSIONALIZADAS DE RAMBERG-OSGOOD PARA DETERMINAÇÃO DA TENSÃO DE

FLAMBAGEM ENTRE REBITES 6.39 6-33 TENSÃO DE FLAMBAGEM ENTRE REBITES PARA COEFICIENTE DE FIXAÇÃO C = 4 6.40 6-34 DEFORMAÇÃO DO FLANGE E DA ALMA NA IDEALIZAÇÃO DO ENRUGAMENTO DE UM REFORÇADOR 6.42 6-35 GRÁFICOS PARA CÁLCULO DA TENSÃO DE FLAMBAGEM POR ENRUGAMENTO 6.43 6-36 CORREÇÃO DE PLASTICIDADE PARA AS TENSÕES CRÍTICA E DE FALHA POR ENRUGAMENTO DE

REVESTIMENTO CUJO MATERIAL É REPRESENTADO PELO MODELO DE RAMBERG-OSGOOD 6.44 6-37 VALORES EXPERIMENTAIS DE COEFICIENTES DE FALHA POR ENRUGAMENTO DE PAINÉIS

REFORÇADOS 6.44 6-38 DIMENSÕES DE UM PAINEL REVESTIMENTO-REFORÇADOR MONTADO 6.47 6-39 RELAÇÃO CARACTERÍSTICA ENTRE COMPRIMENTO DE FLAMBA E MODO DE FLAMBAGEM 6.51 6-41 RAIO DE GIRAÇÃO DA COMBINAÇÃO REFORÇADOR-ÁREA EFETIVA DE REVESTIMENTO 6.53 6-41 COEFICIENTE PARA CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA MODIFICADO DE REFORÇADOR 6.55 6-42 TENSÃO CRÍTICA PARA PAINÉIS SOB COMPRESSÃO LONGITUDINAL – UM REFORÇADOR

LONGITUDINAL 6.56 6-43 TENSÃO CRÍTICA PARA PAINÉIS SOB COMPRESSÃO LONGITUDINAL – DOIS REFORÇADORES

LONGITUDINAIS 6.57 6-44 TENSÃO CRÍTICA PARA PAINÉIS SOB COMPRESSÃO LONGITUDINAL – TRÊS REFORÇADORES

LONGITUDINAIS 6.58 6-45 TENSÃO CRÍTICA PARA PAINÉIS SOB COMPRESSÃO LONGITUDINAL – INFINITOS REFORÇADORES

LONGITUDINAIS 6.59 6-46 TENSÃO CRÍTICA DE PAINÉIS INFINITAMENTE LONGOS SOB COMPRESSÃO LONGITUDINAL 6.60 6-47 TENSÃO CRÍTICA PARA PAINÉIS SOB COMPRESSÃO TRANSVERSAL: TRÊS OU MAIS REFORÇADORES 6.61

6.4

6 ESTABILIDADE E FALHA DE COLUNAS DE PAREDES FINAS E PAINÉIS REFORÇADOS 6.1 INTRODUÇÃO

A teoria de colunas do Cap. 2 faz a hipótese que a seção transversal não distorce durante a

flambagem ou falha e que o comprimento de onda do modo de flambagem é da ordem do comprimento

da coluna (comprimento de semi-onda é L’, o comprimento efetivo). Esta teoria de estabilidade primária,

que descreve o comportamento de colunas de seção sólida ou de paredes grossas com precisão, tem de

ser re-examinada para colunas de paredes finas.

A carga de falha de colunas de paredes finas também pode ser prevista pela equação de Euler

quando L’/ρ é maior do que aproximadamente 80 (Fig. 16-1). Quando L’/ρ < 20, a coluna de paredes

finas flamba por instabilidade local, na qual a seção transversal é distorcida e o comprimento da “flamba”

é da ordem de grandeza das dimensões da seção transversal. A falha local ocorre por esmagamento

numa tensão abaixo daquela prevista pela teoria do módulo tangente. Este tipo de instabilidade e falha

está mais intimamente relacionado ao comportamento de placas do que à ação primária de colunas. Na

gama intermediária de , entre 20 e aproximadamente 80, a flambagem e a falha ocorrem por uma

combinação dos modos primário e secundário.

Placas com altos valores de b/t flambam e falham em baixos níveis de tensão, sendo, portanto,

ineficientes. Em conseqüência, reforçadores são normalmente utilizados para reduzir o tamanho do

painel e fornecer restrições rotacionais. A teoria de flambagem de placas do Cap. 5 considera que os

6.5

elementos de placa flambam e falham antes dos membros reforçantes. Entretanto, no projeto ótimo

todos os elementos flambam aproximadamente na mesma tensão, de modo que a placa e os

reforçadores têm de ser considerados simultaneamente para a previsão de falha.

Neste capítulo os métodos dos Caps. 2 e 5 serão estendidos para a análise da flambagem e da

falha de colunas de paredes finas e painéis reforçados. A literatura nestes assuntos é extensa, e um

tratamento completo dos tópicos não é o objetivo deste texto. Maiores informações podem ser

encontradas nas Ref. 6.1 a 6.9.

6.2 INSTABILIDADE SECUNDÁRIA DE COLUNAS Os reforçadores longitudinais são normalmente fabricados pelo processo de extrusão ou por

conformação de chapas. A seção transversal destes membros é normalmente composta de elementos

planos de placa, arranjados de forma a compor um ângulo, canal, Z, H ou seção em forma de chapéu,

como mostrado na Fig. 6-2. Os elementos de placa podem ser classificados em duas categorias: flanges,

que têm uma borda livre, e almas, que são suportadas em ambas as bordas pelos elementos adjacentes.

O modo de instabilidade secundária é totalmente distinto daquele primário em flexão. Os elementos

de flange e alma da coluna flambam como placas e, em conseqüência, a seção transversal é deformada.

O comprimento de onda das “flambas” é da ordem da largura dos elementos de placa que compõem a

seção transversal. A tensão sob a qual a instabilidade secundária, ou local, ocorre é essencialmente

independente do comprimento da coluna se o comprimento for maior do que três vezes a largura do

maior elemento de placa da seção transversal da coluna, porque nesta condição a placa pode ser

considerada longa, com o valor do coeficiente de flambagem praticamente independente de a/b.

Elementos de placa, adjacentes na seção transversal, são usualmente perpendiculares entre si. Em

conseqüência, a rigidez no plano do elemento restringe o deslocamento transversal das bordas dos

elementos adjacentes. Além disto, a rigidez em flexão de elementos adjacentes pode fornecer restrições

6.6

elásticas rotacionais nas bordas. O ângulo entre elementos adjacentes não é um fator crítico, pois uma

pesquisa revelou que as tensões de flambagem não se alteram para ângulos entre 30o e 120o.

A instabilidade local ocorre quando o elemento de placa mais fraco que compõe a seção atinge a

sua tensão crítica. Os casos mais simples de análise são aqueles em que as propriedades dos

elementos são tais que atingem as suas tensões de flambagem simultaneamente. Quando isto ocorre,

nenhum dos elementos pode prover restrição rotacional de borda para o elemento adjacente, e todos os

elementos se comportam como se fossem simplesmente apoiados ao longo das linhas de junção aos

outros elementos (veja Fig. 6-3). Esta situação ocorre para um ângulo, T e seção cruciforme com pernas

iguais. Também é o caso de um tubo de seção quadrada com espessura constante.

Nestes casos, a tensão de flambagem local σcr pode ser obtida da aplicação direta da teoria de

flambagem de placas apresentada no Cap. 5. A equação para flambagem elástica de placas em

compressão é

( )2

2

2

cr 112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

btEk

υπσ (5.32)

O coeficiente de flambagem para placas longas (a/b > 3) simplesmente apoiadas é k = 4. O coeficiente

de flambagem para flanges simplesmente apoiados é k = 0,43. Consequentemente, se a razão de

Poisson for fixada em 0,3, para reforçadores com seções em ângulo, T e cruciforme com pernas iguais, a

tensão de flambagem local é dada por

( )22

2

2

cr 388,011243,0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

btE

btE

υπσ (6.1)

A tensão de flambagem local de tubos de seção quadrada e espessura constante é dada por

( )22

2

2

cr 617,3112

4⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

btE

btE

υπσ (6.2)

Se a flambagem se der no regime inelástico, a Fig. 5-54 pode ser utilizada para a correção de

plasticidade em tubos e a Fig. 5-55 para flanges.

6.7

Seções extrudadas contém filetes na parte interior dos cantos, os quais fornecem uma pequena

restrição rotacional na borda, o que não ocorre em seções conformadas. Uma maneira de levar este fato

em consideração de forma aproximada é medir a largura b como uma dimensão interior para extrusões e

uma dimensão até a linha média para seções conformadas, como mostrado na Fig. 6-2.

Se a razão entre a espessura e largura de almas e flanges for tal que todos os elementos de placa

flambam simultaneamente, o cálculo da tensão de flambagem local de tal coluna também é simples. A

condição que deve ser satisfeita pelos elementos de placa que compõem a seção é:

2

alma

alma

2

flange

flange 617,3388,0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

bt

bt

(6.3)

Quando a relação 6.3 não é satisfeita, a flambagem dos elementos da seção não se dá

simultaneamente. Em conseqüência, os elementos mais fortes fornecem restrições rotacionais nas

bordas que têm em comum com os elementos mais fracos e a tensão de flambagem do elemento mais

fraco é aumentada (em relação à tensão de flambagem do elemento tomado de forma isolada). Se esta

restrição elástica rotacional, que é desconhecida, pudesse ser achada em termos dos coeficientes µ (ou

ε) como mostrado no Cap. 2, os coeficientes de flambagem poderiam ser obtidos das curvas

apresentadas naquele capítulo. De uma maneira geral, entretanto, as tensões de flambagem local neste

caso são difíceis de serem obtidas. Métodos teóricos para o cálculo da tensão de flambagem local de

seções alma-flange generalizadas podem ser encontradas na literatura.

6.8

Estes métodos são tediosos para análise de tensão rotineira de seções arbitrárias; entretanto, estes

métodos foram utilizados para desenvolver gráficos fáceis de usar. As Figs. 6-4 a 6-7 fornecem o

coeficiente de flambagem para reforçadores com seções em canal, Z, H, tubo retangular, e Z com lábios.

Nestas curvas está indicado se a alma, ou o flange flamba primeiro. Isto é necessário nos casos em

que a tensão de flambagem local calculada ultrapassa o limite de proporcionalidade, pois a correção de

plasticidade para um flange é diferente daquela para uma alma. Se uma correção de plasticidade é

necessária, basta dividir a tensão crítica calculada por F0.7 e utilizar as Figs. 5-54 e 5-55 (repetidas aqui

por conveniência), respectivamente, se a alma ou o flange flamba primeiro.

Exemplo 6-1

Determine a tensão de flambagem local da coluna com seção em H dada na figura e manufaturada em extrusão de liga de alumínio 7075-T6 (E = 10.500 ksi, F0.7 = 72 ksi, n = 16,6).

Solução:

Como a seção é extrudada, as dimensões das larguras têm de ser tomadas interiormente:

bf = 0,9375 in ; bw = 1,25 – 0,094 = 1,156 in

bf / bw = 0,9375/1,156 = 0,811 e tf / tw = 1 ⇒ Fig. 6-5 ⇒ kw ≈ 1,17

(flange flamba primeiro)

( )[ ]{ }( ) [ ]{ }( ) 21,1062,1094,07291,012500.1017,1112 2227.0

22 =××=− πυπ wwew btFEk

Com este valor e n = 16,6, a Fig. 5-55 (para flanges) fornece Fcr/F0.7 = 0,975, de modo que Fcr = 0,975 x 72 = 70,2 ksi .

1,875”

1,25”

0,094”

0,094”

1,062”

6.9

6.10

6.3 RESTRIÇÕES PROVIDAS POR LÁBIOS E BULBOS É muito comum, em seções conformadas de uso aeronáutico, o flange ser bastante estreito, como

mostrado na Fig. 6-8a. Por outro lado, bulbos são freqüentemente utilizados em seções extrudadas,

como mostrado na Fig. 6-8b. A questão que então é levantada é se o lábio, ou o bulbo, é suficientemente

grande para prover apoio simples ao elemento de placa adjacente. Uma vez que o coeficiente de

flambagem é 4.0 para almas e 0,43 para flanges, o uso de um pequeno lábio, ou bulbo, pode aumentar o

valor do coeficiente de flambagem substancialmente acima de 0,43 e assim produzir um projeto mais

eficiente. O problema da determinação das dimensões de um lábio ou bulbo para prover uma condição

de suporte pelo menos de apoio simples para o elemento adjacente foi investigado teoricamente por

Windenburg (Ref. 6-10). Os resultados deste estudo dão o seguinte critério de projeto:

573,2 3 ≥−tb

Atb

I

f

L

f

L (6.4)

onde IL e AL são, respectivamente, o momento de inércia e área, do lábio ou bulbo (veja Fig. 6-9).

Da Fig. 6-9a, para o lábio, vem que AL = bLt e IL = tbL3/3. A substituição destes valores na Eq. (6.4)

fornece uma relação entre as dimensões para o lábio

tb

tb

tb fLL 5910,0

3

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(6.5)

Para determinar bL e t, um requisito adicional é especificado, qual seja, que a tensão de flambagem

do lábio seja superior ou igual àquela do elemento de placa adjacente. Para ν = 0,3, pode-se usar a Eq.

6-3 para este fim

2

f

f

2

L

L 617,3388,0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≥⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛bt

bt

(6.6)

Das Eqs. (6.5) e (6.6) obtém-se a seguinte relação

f

f

L

L

tb

tb

328,0≤ (6.7)

A Fig. 6-10 mostra os resultados em forma de curva.

6.11

Um bulbo é freqüentemente utilizado em seções extrudadas para tornar um bordo livre mais rígido,

como ilustrado na Fig. 6-9b. O momento de inércia da área do bulbo em torno da linha central do

elemento de placa é

224

2464⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=tDDDI ππ

(6.8)

Como no caso do lábio, a tensão de flambagem do bulbo deve ser maior ou igual à tensão de

flambagem do elemento de placa adjacente, o que dá

tb

tD

tD

tD f44,7374,06,1

234

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

(6.9)

A Eq. (6.9) está representada graficamente na Fig. 6-11.

As curvas das Figs. 6-12 e 6-13 foram derivadas por Gerard, para o mesmo fim. Conhecido bf/t, as

curvas fornecem os valores de bL/bf e D/t necessários para que o flange adquira uma condição de alma.

As curvas também podem ser utilizadas para determinar εcr = {kπ2/[12(1-ν2)]}(t/bf)2 do flange quando as

proporções do lábio/bulbo não são suficientes para prover ação de alma.

6.4 FALHA LOCAL DE COLUNAS DE PAREDES FINAS Foi apontado, na seção 5.21, que quando uma placa flamba elasticamente, a tensão de falha é

maior do que σcr. Como seria de se esperar, o mesmo é verdadeiro para uma coluna de paredes finas

curta, quando a seção transversal consiste de elementos planos de placa. Quando os cantos de uma

seção de paredes finas em compressão são restritos de forma a não poderem se deslocar lateralmente,

o material no canto pode continuar a ser carregado após ter ocorrido a flambagem. Quando a tensão nos

cantos ultrapassa a tensão de falha, a seção perde a sua habilidade em resistir a qualquer carga

adicional. A tensão de falha de tal coluna é independente do comprimento quando este é maior do que

três vezes a largura do elemento de placa mais largo e L’/ρ < 20 (Fig. 6-1). A tensão média de falha

nestas condições é conhecida como tensão de falha local ou crippling e será designada aqui por Fcc. A

6.12

A Fig. 6-14a mostra a distorção da seção transversal ao longo de um comprimento de onda numa seção

de paredes finas típica. A Fig. 6-14b mostra a distribuição de tensões sobre a seção transversal um

pouco antes da falha.

Quando a carga na seção é aumentada, as “flambas” nas porções planas aumentam, mas a maior parte

da carga é transferida para a muito mais rígida região na vizinhança dos cantos, até que a intensidade

de tensão alcance um valor alto o bastante, para causar deformação suficiente para precipitar a falha.

6.13

A falha local em compressão é então definida como uma distorção inelástica da seção transversal

do elemento estrutural em seu próprio plano, resultando em deformação permanente. Este

comportamento é um dos mecanismos de falha mecânica mais comum encontrado em estruturas

submetidas a cargas de compressão. O conceito de tensão média de falha local é um artifício introduzido

para permitir um tratamento analítico simplista de um problema altamente complexo. A falha local

envolve flambagem elástica ou inelástica dos membros menos estáveis e sempre envolve a compressão

axial inelástica das porções mais estáveis da seção. Ao contrário do que ocorre na flambagem elástica

inicial, as deformações induzidas pela falha local não desaparecem quando o membro é descarregado.

Embora a falha local, por si, não necessariamente induz uma translação lateral da seção, a perda de

rigidez que ocorre à medida que as “flambas” associadas ao modo de falha local se desenvolvem,

tipicamente resultará em outros modos de falha que são iniciados sob cargas máximas menores

daquelas sob as quais ocorreria a falha por flambagem inelástica dos elementos individuais. Isto é

particularmente verdadeiro para formas da seção transversal como certos ângulos e Ts, que são

freqüentemente escolhidas como espécimens para ensaios de falha local, que tipicamente falham por

instabilidade torsional.

É significativo notar que uma seção estrutural constituída de elementos que flambam em

comprimentos iguais, falhará sob uma carga menor do que uma seção similar constituída de elementos

que flambam em comprimentos de onda distintos. Por outro lado, a carga sob a qual um elemento

flamba e a razão de mudança da amplitude do deslocamento em relação à carga, é influenciada pela

rigidez torsional provida pelos elementos adjacentes. Os tratamentos paramétricos hoje existentes para a

análise, entretanto, não dão indicações sobre estas características.

Uma solução teórica para a tensão de falha local para todos os tipos de formas não existe, uma vez

que a restrição de fronteira entre elementos de flange e placa é desconhecida, assim como é pouco

compreendida a forma como a tensão aumenta nas regiões dos cantos. Stowell (Ref. 6.11) desenvolveu

uma teoria para determinar Fcc para seções cruciformes que apresentou boa correlação com dados

experimentais. As deflexões de flexão tornam-se grandes depois que os flanges flambam, e a falha

ocorre quando a tensão no bordo apoiado dos flanges atinge a tensão de escoamento Fcy. O

comportamento não-linear, associado a grandes deslocamentos e plasticidade, impediu o

desenvolvimento de uma solução teórica geral satisfatória, para seções arbitrárias. Foram realizados

muitos trabalhos experimentais para a determinação de Fcc para seções transversais e materiais

específicos, e esta massa de dados tem sido utilizada para a derivação de métodos semi-empíricos.

Não há método de uso universal na indústria. De fato, cada indústria adapta os métodos existentes

para as seções transversais que mais utiliza (há indústrias que preferem trabalhar com perfis J, outras

com perfis Z, etc), efetuando seu próprio programa de ensaios para o ajuste semi-empírico.

Neste capítulo serão apresentados três métodos: o método de Gerard (Ref. 6.4, 6.5, 6.6 e 6.13),

que mais serve para fins acadêmicos e os métodos dos ângulos ou de Needham (Ref. 6-12) e da Boeing

(Ref. 6.14), praticados na indústria. Uma alternativa para estes últimos, entre várias disponíveis, pode

ser encontrada na Ref. 6.22.

6.14

6.5 O MÉTODO DE NEEDHAM PARA FALHA LOCAL

Este método, também conhecido como o Método dos Ângulos, foi derivado por Needham para

seções conformadas em alumínio. Neste método a seção é dividida em ângulos iguais ou desiguais

como ilustrado na Fig. 6-15. A resistência destes elementos de ângulo pode ser determinada

teoricamente ou através de ensaios. A resistência última ou resistência de falha pode então ser

determinada somando-se as resistências dos elementos de ângulo que compõem a seção.

Needham fez um grande número de ensaios em colunas com seções canal e ângulo. A partir de um

estudo dos resultados destes ensaios, bem como outros resultados de ensaios publicados para canais,

tubos quadrados e retangulares, etc., ele chegou à seguinte equação para a tensão de falha local para

seções em ângulo:

75,0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

=

tbC

EFF e

cy

cc (6.10)

onde Fcc = tensão de falha local da unidade

Fcy = tensão de escoamento em compressão

E = módulo de elasticidade

b’/t = b/t equivalente da unidade = (a + b)/2t

Ce = coeficiente que depende do grau de suporte ao longo das bordas de unidades de ângulo contíguas: Ce = 0,316 (duas bordas livres) ; Ce = 0,342 (uma borda livre) Ce = 0,366 (nenhuma bordas livre)

A tensão de falha local, para ângulos, canais, Zs e tubos retangulares, pode ser determinada

diretamente da Eq. (6.10). A carga de falha local de uma unidade ângulo é

AFP cccc = (6.11)

onde A é a área da unidade.

A tensão de falha local para outras seções estruturais conformadas pode ser determinada dividindo

a seção numa série de unidades de ângulo e computando as cargas de falha local para estas unidades

6.15

individuais usando a Eq. (6-10) e (6.11). A tensão média para a seção, como um todo, é obtida pela

equação

( )( )∑

∑=ângulos dos área

ângulos dos local falha de cargasccF (6.12)

A Fig. 6-16 fornece as curvas para a determinação da tensão de falha local das unidades ângulo, de

acordo com a Eq. (6-10) e a Fig. 6-17 fornece as cargas de falha local para estas unidades. Usando

estas curvas e a Eq. (6.12) a tensão crítica de formas compostas outras que ângulos, canais, Zs e tubos

retangulares, pode ser calculada sem problemas.

6.16

6.6 O MÉTODO BOEING PARA FALHA LOCAL

O tratamento paramétrico que a Boeing dá para o problema é simples e conservativo, uma vez que

os parâmetros empíricos foram fixados tipicamente na fronteira inferior das bandas de dispersão dos

resultados experimentais, bandas estas bastante largas. A largura das bandas de dispersão, bem como

pontos na curva de ensaio, bastante acima da tensão de escoamento em compressão, indicam que seria

possível, através de uma abordagem mais precisa para o projeto e análise, eficiênciais estruturais

maiores do que aquelas tipicamente sendo realizadas.

O método da Boeing consiste numa modificação do método de Needham, especificando a tensão

de escoamento em compressão como a tensão de corte, ou seja,

6.17

( )mfcy

cc

tgbB

EFF

1010= (6.13)

onde m = inclinação da reta ( ) ( )tgbEFF fcycc log vslog

B10 = valor de EFF cycc em 0,10=tgb f

b = largura do segmento t = espessura do segmento gf = termo que distingue as diferenças na estabilidade de segmentos com uma borda livre e segmentos com nenhuma borda livre (gf = 1,0 para uma borda livre) E = módulo de Young Fcy = tensão de escoamento em compressão Fcc = tensão de falha local

Os parâmetros m, B10 e gf tipicamente caem dentro de um intervalo limitado para a maioria dos

materiais. A resistência à falha local para materiais individuais varia de até 10 ou 15 por cento da

resistência calculada a partir dos valores médios de m, B10 e gf. Em conseqüência estes valores médios

devem ser utilizados para projeto preliminar, somente. Valores específicos de m, B10 e gf devem ser

estabelecidos, para cada material separadamente, quando o projeto final assim o exigir. Seções

extrudadas e usinadas e seções conformadas são analisadas de forma análoga. Os parâmetros,

entretanto, não são os mesmos.

As seções são analisadas da seguinte forma:

A seção é dividida em segmentos individuais, como mostrado no esboço abaixo

A tensão admissível de falha local de cada segmento é achada a partir da curva do material

associado

A tensão de falha local para a seção é computada através da equação

∑∑

=

iii

iiicci

cc tb

tbFF (6.14)

onde

b1, b2, ... = comprimentos dos segmentos individuais

t1, t2, ... = espessura dos segmentos individuais

Fcc1, Fcc2, ...= tensão de falha local correspondendo aos valores computados de b/t para os segmentos individuais.

A Tabela 6.1 fornece alguns conjuntos de valores para os parâmetros m, B10 e gf. Estes não variam

significativamente dentro das gamas normais de variação de temperatura, ou como resultado de

variações da tensão de escoamento em compressão de materiais individuais e gamas de tratamentos

térmicos. As variações dos coeficientes para diferentes materiais, seja para seções conformadas ou

extrudadas ou usinadas, não é grande. Isto permite utilizar valores médios dos coeficientes, para projeto

6.18

preliminar, para materiais para os quais os coeficientes ainda não tenham sido levantados a partir de

ensaios. Entretanto o usuário deve estar ciente que as tensões de falha local para materiais específicos

podem variar em até 15% em relação às estimativas baseadas nos valores médios.

Gráficos típicos para materiais específicos são apresentados nas Figs. 6-18 e 6-19, para seções

conformadas e extrudadas, respectivamente.

6.19

O tratamento dado a lábios e bulbos é o seguinte. Se as dimensões do lábio forem tais a

fornecerem uma condição de apoio simples para o segmento adjacente, o lábio deve ser considerado

como um segmento com uma borda livre e o elemento adjacente com nenhuma borda livre (veja o

Exemplo 6.2). Caso contrário, o segmento adjacente e o lábio são tratados ambos como segmentos com

uma borda livre. No caso do bulbo prover ação de alma, o segmento adjacente não tem borda livre e Fcc

do bulbo é tomado igual a Fcy. Caso contrário, bulbo e flange constituem um único segmento de

comprimento bF + D , área bF t + πD2/4 e espessura média (bF t + πD2/4)/(bF + D).

Baseado em experimentação extensiva de espécimens de seções extrudadas de liga específica de

6.20

titânio, a Boeing levantou curvas semelhantes aos gráficos das Figs. 6-18 e 6-19 para este material.

Duas características são, entretanto, diferentes; a curva não é reta e se estende muito acima da tensão

de escoamento em compressão. Acredita-se que este comportamento atípico é devido ao valor mais alto

da razão Fcy/E e envolve a estabilidade torsional desenvolvida na interseção dos elementos. Isto sugere

que outros materiais, que apresentem uma razão incomum entre a resistência e módulo, podem também

apresentar comportamento de falha local inesperado.

6.21

6.7 O MÉTODO DE GERARD PARA FALHA LOCAL

Provavelmente, a investigação semi-empírica mais completa foi conduzida por Gerard, que

estendeu o seu método de predição de cargas de falhas para placas (veja seção 5-21) para colunas de

paredes finas e painéis reforçados. Ele estudou os resultados dos testes para muitos materiais e seções

transversais à temperatura ambiente e elevada, e concluiu que os resultados poderiam ser

correlacionados por uma generalização da Eq. (5.114):

m

cyg

cy

cc

FE

Agt

FF

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

β (6.15)

onde A é a área da seção transversal. O parâmetro g nesta equação é o número de cortes que seriam

necessários para reduzir a seção transversal a uma série de flanges, adicionado ao número de flanges

que existiriam após os cortes terem sido feitos. A Fig. 6-20 mostra como g é determinado para algumas

seções típicas. Os parâmetros βg e m são constantes empíricas determinadas a partir dos dados de

ensaios.

Para placas com bordas apoiadas e flanges, A = bt, e das Eqs. (5.114) e (6.15) acha-se que βg =

β/gm. Botando que g = 3 para uma placa simplesmente apoiada (Fig. 6-20), acha-se da Tabela 5.5 e Eq.

(5.115) que a Eq. (6-15 pode ser utilizada para predizer Fcc para placas se m = 0,40 e βg = 0,65 para

placas com bordas descarregadas retas e m = 0,85 e βg = 0,56 para placas com bordas livres para

distorcer. De uma forma similar, para flanges simplesmente apoiados g = 1, de modo que m = 0,40 e βg =

0,67 para flange com borda suportada reta e m = 0,80 e βg = 0,56 para flange com borda apoiada livre

para distorcer.

Os flanges opostos de seções cruciformes, em T ou H, obrigam as bordas apoiadas a

permanecerem retas. Em conseqüência seria de se esperar que Fcc para estas seções seja a mesma do

flange com borda apoiada reta. Por outro lado, os flanges de um ângulo não se opõem, e a borda

apoiada é livre para distorcer. Seria, portanto, de se esperar que Fcc de um ângulo seja a mesma do

flange com borda livre para distorcer. Os membros adjacentes de um tubo retangular ou uma seção

multi-canto (seção com mais de dois cantos) são perpendiculares entre si e não podem restringir a

distorção entre si. Também seria de se esperar que Fcc para estas seções seja a mesma de um flange

com borda livre para distorcer. Gerard usou este raciocínio e descobriu que era verificado pelo resultado

6.22

dos ensaios em laboratório, realizados em seções extrudadas. Entretanto, ele que os dados dos testes

em seções de dois cantos, i.e., seções canal e em Z, não correlacionam com a Eq. (6-15). Ele sugeriu

que a equação

75,0312

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cycy

cc

FE

At

FF

β (6.16)

seja usada nestes casos.

Na discussão precedente, todos os efeitos do material estão contidos no parâmetro E/Fcy.

Resultados experimentais em extrusões com pequenos raios nos cantos se correlacionam bem com as

equações empíricas, mas os dados em testes realizados em seções conformadas indicam que o método

deve ser modificado para ser aplicado a tais seções. Quando seções conformadas são manufaturadas

ocorre um encruamento severo nos cantos, aumentando a tensão de escoamento em relação ao resto

da seção se não há tratamento térmico subseqüente. Isto afeta Fcc uma vez que a falha se dá quando a

tensão de escoamento em compressão nos cantos é atingida. Baseado em resultados de testes, Gerard

recomenda que β, na Eq. (6.15), seja multiplicado por um fator de correção de encruamento, dado na

Fig. 6-21. O fator de correção não é o mesmo para todos os materiais uma vez que as características de

encruamento sob trabalho a frio variam. As propriedades aumentadas nos cantos não parecem afetar Fcc

para seções multi-canto.

Seções conformadas são freqüentemente manufaturadas de chapas de liga Clad de alumínio.

Gerard sugere substituir E por Eη nestes casos, onde η é o fator de correção de cladding dado pela

Tab. 5-3. Quando a espessura de parede de uma seção extrudada não é constante, uma espessura

média

∑∑=

i

ii

btb

t (6.17)

6.23

deve ser utilizada no lugar de t nas Eq. (6-15) e (6.16). As equações para o método de Gerard, que

estão resumidas na Tabela 6-2 para várias seções, concordam com os resultados experimentais com

desvios de ±10%. Como no caso de placas, as Eqs. (6-15) e (6.16) devem ser aplicadas somente abaixo

do valor da tensão de corte, Fcut (também dada na Tab. 6-2). Quando o cálculo de Fcc a partir das Eqs.

(6-15) e (6.16) der um valor maior do que a tensão de corte, a tensão de falha local deve ser tomada

como o maior valor entre a tensão e corte e a tensão de flambagem local, como determinada na Seção

6.2

( )[ ]crcutcccc FFFF ,,minmax= [Fcc como calculado pelas Eqs. (6.15) e (6.16)] (6.18)

Valores de Fcc maiores do que determinados pelas Eqs. (6.15), (6.16) e (6.18) somente podem ser

utilizados se consubstanciados por testes experimentais específicos (seção e material).

Tabela 6-2 Resumo das Equações e Constantes para o Método de Gerard

Seção Equação g βg ou β m Fcut

1. ângulo extrudado (6.15) 2 0,56 0,85 0,8Fcy

2. placa, bordas livres para empenar (6.15) 3 0,56 0,85 0,9Fcy

3. tubo retangular extrudado (6.15) 12 0,56 0,85 0,75Fcy

4. seção multi-canto conformada (6.15) * 0,55 0,85 0,75Fcy

5. placa, bordas retas (6.15) 3 0,65 0,40 0,8Fcy

6. T extrudado (6.15) 3 0,67 0,40 0,8Fcy

7. cruciforme extrudado (6.15) 4 0,67 0,40 0,8Fcy

8. H extrudado (6.15) 7 0,67 0,40 0,8Fcy

9. seções de dois cantos (6.16) - 3,2 0,75 ** * g = número de cortes mais número de flanges

** Fcut = 2 (t / bw)1/3 Fcy

Exemplo 6.3

Ache a tensão de falha local para a seção ângulo de pernas iguais da figura. O material é alumínio 2024-T3 (E = 10.700ksi, Fcy = 40 ksi)

a) Solução pelo Método de Needham

(a+b)/2t = (1 – 0,025 + 1– 0,025) / 0,1 = 19,5

Fig. 6-16, duas bordas livres ⇒ Fcc / (FcyE)1/2 = 0,033

Fcc = 0,033 (40 x 10.700)1/2 = 21,6 ksi

b) Solução pelo método de Gerard

Caso 4 da Tabela 6.2

ksi 7,19 493,040700.10

093,005,0255,0

85,022

=⇒<=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= cc

cy

cut

m

cyg

cy

cc FFF

FE

Agt

FF

β

6.24

Exemplo 6.4

Ache a tensão de falha local para a seção da figura. O material é alumínio 2024-T3 (E = 10.700ksi, Fcy = 40 ksi)

a) Solução pelo Método de Gerard

Caso 4 da Tabela 6.2 – g = 3 cortes + 8 flanges = 11

A = (0,25 + 1 + 1,5 + 1 + 0,25)x0,032 = 0,128 in2

ksi 30 750,040700.10

128,0032,01155,0

85,02

=⇒==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×= cc

cy

cut

cy

cc FFF

FF

b) Solução pelo Método de Needham

Como a seção é ponto-simétrica é necessário analisar somente a metade.

Unidade

tba

tb

2+

=′

Bordas

livres EFF

cy

cc

Fcc (ksi) A (in2)

(a + b) t

Pcc = Fcc A

1 72,11

032,025,025,0=

×+

1

0,054

35,33

0,024

0,848

2 53,19

032,0275,05,0

=×+

0

0,039

25,77

0,040

1,031

Σ 0,064 1,879

ksi 4,29064,0879,1

===∑∑

AP

F cccc

Exemplo 6.5

Ache a tensão de falha local para a seção da figura. O material é extrusão de alumínio 7075-T6 (E = 10.500ksi, Fcy = 70 ksi)

a) Solução pelo Método da Boeing

Da Tabela 6.1: m = 0,75, B10 = 0,061, gf = 2,3

1- Verificação se o bulbo fornece suporte completo:

bf/t = 0,78/0,05=15 ⇒ Fig. 6-11 : Dmin/t = 3,8

como D/t = 7/(32x0,05) =4,38 o bulbo fornece apoio completo, e o elemento de comprimento bf comporta-se como uma alma.

Segmento

A (in2)

Bordas

livres

gf

b/t ( ) 75.010061.0

tgbEFF

fcy

cc =

Fcc (ksi)

Pcc = Fcc A

bulbo 0376,042 =Dπ - - - - 70,0 2,632

2 0380,005,076,0 =× 0 2,3 15,2 0.0816 70,0 2,660

3 0238,005,0475,0 =× 1 1 9,5 0.0634 54,4 1,295

Σ 0,0994 6,587

ksi 3,66994,0587,6

===∑∑

AP

F cccc

6.25

Solução pelo Método de Gerard:

A questão que se levanta neste exemplo é se a seção em ângulo com bulbo deve ser classificada

como ângulo ou como seção de dois cantos, onde o bulbo funciona como uma curta perna grossa de

uma seção em C. Classificando a seção como um ângulo extrudado, aplica-se o caso 1 da Tabela 6.1. O

parâmetro g é dado pela soma de um corte mais 4 flanges, um dos quais é o bulbo, ou seja, g = 5.

ksi 2,54 774,070

105000994,0

066,0556,085,022

=⇒<=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= cc

cy

cut

m

cyg

cy

cc FFF

FE

Agt

FF

β

Na realidade, este cálculo está subestimado porque não foi utilizada a espessura média das paredes da seção, como dada pela Eq. (6.17). Neste caso, entretanto, devido ao fato de que a área do bulbo é substancial em relação à área total, o cálculo da espessura média conforme a Eq. (6.17) daria um valor demasiadamente alto, irreal ( ( ) 066,05,010994,0/ =+== ∑ ibAt in), e Fcc/Fcy dada pela expressão (6.15) seria maior do que 1, de modo que prevaleceria a tensão de corte Fcc = 56 ksi.

Se a seção é considerada de dois cantos, a Eq. (6.16) fornece

( ) ksi 5,56807,070807,076,005,022

ksi 9,7407,170500.10

0994,0066,02,3

calculado

3131

75,0275,031

2

=×==⇒>⇒=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cutcccutccwcy

cut

cccycy

cc

FFFFbt

FF

FFE

At

FF

β

Analisando os resultados obtidos, conclui-se que o método de Gerard deve ser evitado quando são

envolvidos bulbos cujas áreas são substanciais se comparadas à área total da seção. O método da

Boeing aparenta dar melhores resultados neste caso, porque é capaz de “isolar” a contribuição do bulbo.

No método de Gerard esta contribuição tem de ser “distribuída” na seção na forma da Eq. (6.17), que

parece ser ineficaz quando a razão entre a área do bulbo para a área total é alta.

6.8 FALHA DE COLUNAS DE PAREDES FINAS

Como mostrado na Fig. 6-1, o modo de falha de uma coluna de paredes finas depende de seu

comprimento. Quando L’/ρ < 20, ocorre a falha local; esta tensão é essencialmente independente de L’/ρ

e é igual a Fcc até que o comprimento seja tão curto que a/b < 1 para os elementos de placa. Neste

ponto, o aumento no coeficiente de flambagem faz com que a tensão de falha cresça como mostrado. Os

pequenos valores de L’/ρ nesta região são de pouco interesse prático, entretanto, e Fcc fornece uma

estimativa conservativa para toda a gama 0 ≤ L’/ρ ≤ 20.

Para altos valores de L’/ρ ocorre a instabilidade primária em flexão, onde a tensão de falha é dada

pela Equação de Euler. Resultados experimentais correlacionam bem nestas duas faixas, de grandes e

baixos valores de L’/ρ . Para razões de esbeltez intermediárias, entretanto, ambas as teorias, a de Euler

e a da Falha Local, fornecem valores que são maiores do que aqueles verificados experimentalmente.

6.26

Na região intermediária, a falha é uma combinação dos modos primário e secundário de

deformação. Na parte inferior da faixa, a falha pode ser iniciada pela flambagem local, que reduz o raio

de giração efetivo e causa o colapso da seção reduzida por flexão primária. Na parte superior da faixa, a

falha pode iniciar por flambagem primária em flexão, a flambagem local pode se desenvolver no lado

comprimido da coluna fletida, e precipitar a falha.

Um modo de instabilidade primária no qual a coluna flete e torce simultaneamente também pode

ocorrer nesta faixa intermediária, quando a seção tem baixa rigidez torsional (veja Cap. 3). O

comprimento de onda resultante é da ordem do comprimento da coluna; e embora a seção transversal

pode empenar para fora de seu plano, a sua forma geométrica em seu plano não muda. Se a seção é

duplamente simétrica (ou ponto-simétrica) de forma que o centro de torção e o centróide coincidem, a

flambagem pode ocorrer por torsão pura. Como no modo primário de instabilidade por flexão, as tensões

de flambagem e de falha no modo flexo-torsional são essencialmente as mesmas. Colunas de paredes

finas de seção aberta são particularmente suscetíveis a este tipo de instabilidade, e porque estas seções

estão, também, sujeitas à flambagem local, a falha pode ocorrer por uma combinação de flexão, torsão e

flambagem local.

A complexidade dos modos de flambagem e de falha que ocorrem na faixa intermediária de L’/ρ , é

responsável pela inexistência de desenvolvimento de uma teoria geral satisfatória para esta região. Em

conseqüência, na faixa intermediária são geralmente utilizadas equações empíricas. A parábola de

Johnson (seção 2.18) é freqüentemente utilizada de L’/ρ = 0 até a razão de esbeltez de transição onde

a parábola encontra a curva de Euler (Fig. 6-1). A equação da parábola de Johnson é dada por

4

12

2c⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′−=

ρπL

EF

FF coco (2.248a)

cotr FELL 2'' π

ρρ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (2.248b)

onde Fco é o valor da tensão em L’/ρ = 0 e (L’/ρ)tr é a razão de esbeltez de transição.

A definição do valor de Fco não é uniforme entre as indústrias aeroespaciais. A maioria define Fco

igual à Fcc para as seções sujeitas à flambagem local, de modo que as Eqs. (2.248) ficam

4

12

2c⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′−=

ρπL

EF

FF cccc (6.19)

cctr FELL 2'' π

ρρ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (6.20)

Pode ser notado na Fig. 6-1 que para L’/ρ < 20 a curva é praticamente constante. Por esta razão, a Eq.

(6.19) pode ser utilizada em todo o intervalo 0 ≤ L’/ρ ≤ (L’/ρ)tr .

Por outro lado, a Boeing utiliza uma parábola de Johnson levemente modificada:

6.27

ccc FFL

=⇒≤′

≤ 5,120ρ

(6.21a)

4

1 25,122

2c⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′−=⇒<

′<

ρππ

ρL

EF

FFFEL co

coco

(6.21b)

onde ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

φφ cc

coF

F2

11 com 2

5,122 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

πφ E (6.21c)

Um esboço das parábolas, padrão e modificada pela Boeing, é apresentado na Fig. 6-22.

Exemplo 6-6

A área da seção transversal da coluna do Exemplo 6.1 é 0,458 in2 e o momento de inércia mínimo é de 0,0971 in4. A tensão de escoamento do material em compressão é 70 ksi. Determine a carga de falha da coluna, para comprimentos de 20 in e 40 in, se o coeficiente de fixação (engastamento) é 1,5.

Calculando a tensão de falha local pelo método de Gerard

819,070500.10

458,0094,0767,0

4.02

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×=

cy

cc

FF

Isto excede o valor de corte de 0,8, de modo que, da Eq. (6.18) e do resultado do Exemplo 6.1,

Fcc = Fcr = 70,2 ksi.

O raio de giração é 460,0458,00971,0 === AIρ

e ( ) 3,542,70500.102 =×=′ πρ trL

a) Coluna de comprimento 20 in

O comprimento efetivo é in 33,165,120 ==′L e 0,29460,033,61 ==′ ρL < ( )trL ρ′ de modo que a parábola de Johnson é aplicável

ksi 2,600,29500.104

2,7012,70 22c =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

πF que fornece uma carga de falha de

Pc = 60,2 x 0,458 = 27,6 kips

1,875”

1,25”

0,094”

0,094”

1,062”

6.28

b) Coluna de comprimento 40 in

O comprimento efetivo é in 66,325,140 ==′L e 0,71=′ ρL > ( )trL ρ′ de modo que a equação de Euler é aplicável

kips 43,940

0971,0500.105,12

2

2

2

=×

==ππ

LEIcPc

6.9 FLAMABAGEM LOCAL DE PAINÉIS REFORÇADOS EM COMPRESSÃO

Um painel reforçado é uma estrutura composta de uma placa e membros reforçantes. Os

reforçadores podem ser usados para aumentar a tensão de flambagem da placa, carregar parte da carga

de compressão, ou efetuar ambas estas funções. A tensão de flambagem de uma placa pode ser

aumentada reduzindo-se a sua largura, de modo que funcione como uma placa longa com um baixo

valor de b/t. Alternativamente, a tensão de flambagem pode ser aumentada reduzindo-se o comprimento

da placa de modo que esta se comporte como uma placa-coluna, com um baixo valor de a/t.

Reforçadores longitudinais que são paralelos às cargas aplicadas subdividem a placa em painéis com

baixos valores de b/t e carregam parte do carregamento aplicado. Reforçadores transversais podem ser

usados para dividir a placa em painéis com baixos valores de a/t, mas estes membros são ineficazes no

que tange auxiliar na tarefa de resistir à carga aplicada. Reforçadores longitudinais e transversais podem

ser utilizados em combinação, para formar uma estrutura reforçada em grelha.

Em aplicações antigas da construção de painéis reforçados, as proporções do revestimento e dos

reforçadores eram tais, que os elementos reforçantes eram robustos comparados ao revestimento.

Como resultado, o revestimento flambava em tensões muito mais baixas do que os elementos

reforçantes e, excetuando a imposição de linhas nodais, a interação entre os reforçadores e o

revestimento era muito pequena. Em tais utilizações, a tensão de flambagem do revestimento pode ser

conservativamente predita considerando-se que os reforçadores dão condição de apoio simples nos

bordos. Estimativas melhoradas das condições de restrição nos bordos podem ser achadas com o

auxílio das Figs. 5-12 ou 5.13.

Projetos correntes, muito provavelmente têm o revestimento e os reforçadores dimensionados para

flambar aproximadamente na mesma tensão, visto que estruturas deste tipo são mais eficientes e

mantém a suavidade aerodinâmica até níveis mais altos de carga. Estes projetos são caracterizados por

reforçadores muito pouco espaçados entre si, e com espessuras comparáveis à do revestimento. Devido

ao fato que reforçadores e revestimento flambam em tensões comparáveis, há uma significativa

interação, e qualquer análise teórica deverá lidar com o revestimento e reforçadores trabalhando como

uma unidade. A flambagem poderá ocorrer por instabilidade primária, com um comprimento de onda da

ordem da largura da placa, ou por instabilidade local, com comprimento de onda da ordem da largura

dos elementos de placa dos reforçadores e revestimento.

Seide e Stein (Ref. 6.15) usaram o método de Rayleigh-Ritz para derivar curvas para o coeficiente

de flambagem para prever a tensão de flambagem primária em painéis com um, dois, três e um número

infinito de reforçadores. A teoria considera somente a rigidez em flexão dos reforçadores, desprezando a

rigidez torsional dos mesmos. Curvas semelhantes, que incluem a rigidez torsional, foram obtidas por

6.29

Budiansky e Seide (Ref. 6.16) para painéis com reforçadores transversais. Além de sua utilidade no

cômputo de tensões de flambagem, os resultados destas investigações ajudam na determinação da

rigidez mínima requerida nos reforçadores longitudinais ou transversais para prover condição de apoio

simples nos bordos da placa. As curvas da Ref. 6.15 são para placas reforçadas nas quais o centróide

dos refoçadores está no plano médio da placa. Este é raramente o caso na prática, uma vez que

reforçadores são normalmente conectados num único lado da placa. Seide (Ref. 6.17) apresentou um

método para corrigir os resultados da Ref. 6.15 quando os reforçadores estão num dos lados da placa.

Gerard e Becker (Refs. 6.2 e 6.7) resumiram estes e outros trabalhos. Os resultados mostram que a

tensão de flambagem com três ou mais reforçadores difere pouco daquela do painel reforçado com um

número infinito de refoçadores se a razão EI/dD não se aproxima de zero (onde EI é a rigidez em flexão

dos reforçadores, D a rigidez em flexão do recobrimento e d o espaçamento entre os reforçadores). Em

conseqüência, a tensão de flambagem primária de uma placa com três, ou mais, reforçadores, pode ser

determinada a partir da teoria de placas ortotrópicas.

Boughan, Baab e Gallagher (Refs. 6-18 e 6.19) usaram os métodos das Refs. 6-15 e 6.16 para

determinar as tensões de flambagem local para painéis reforçados idealizados. As geometrias

consideradas e resultados são mostrados nas Figs. 6-23 a 6.27. A teoria assume construção monolítica.

Se não ocorrer a flambagem entre rebites (seção 6.12), os resultados podem ser utilizados para fornecer

valores aproximados para painéis com reforçadores ângulo, Z ou H, rebitados ou conectados com pontos

6.30

de solda. Para determinar a tensão de flambagem, calcula-se ( )( )[ ]( )222 112 ssescr btk υπε −= que,

juntamente com o valor de n, do material, é inserido nas Figs. 5-54 e 5-55, respectivamente, se a chapa

ou o reforçador flamba primeiro, para a obtenção de Fcc/F0.7.

6.31

6.10 FALHA LOCAL DE PAINÉIS REFOÇADOS – MÉTODO DE GERARD

Gerard demonstrou que, com pequenas modificações, seu método para o cálculo da tensão de falha

de placas (seção 5.21) e de colunas de paredes finas (seção 6-7), pode também ser utilizado para

determinar a tensão de falha local de painéis longitudinais reforçados, quando L’/ρ < 20 (refs. 6-4 e 6-13).

O método é aplicável para construção monolítica, ou para painéis rebitados ou soldados quando as

tensões de flambagem entre rebites e de enrugamento são maiores do que a tensão de falha local.

O método é aplicado a uma seção do painel consistindo de um reforçador e uma largura do

revestimento igual ao espaçamento entre reforçadores. Esta seção é obtida imaginando um corte no

revestimento, no meio das linhas de conexão dos reforçadores ao revestimento. Se o reforçador tem

duas linhas de conexão, como no caso do reforçador tipo chapéu, um corte é imaginado entre cada uma

das linhas de conexão.

Considera-se que a conexão ao revestimento ao reforçador fornece a mesma restrição de borda

que um canto dá aos flanges de um ângulo. Cada uma das seções do revestimento que permanece após

os cortes, é considerada ser um flange. O parâmetro g, portanto, é igual ao g do reforçador, mais o

número de cortes no revestimento e o número de flanges equivalentes do revestimento. Para um

reforçador com uma única linha de conexão, a contribuição do revestimento para g é 3 (1 corte mais 2

flanges); para um reforçador com uma linha dupla de conexão, é 6 (2 cortes e 4 flanges). Exemplos são

mostrados na Fig. 6-28. Note que o corte para a esquerda do reforçador não é contado, porque este

corte é imputado ao reforçador que está à esquerda do corte. Se um painel é composto de p

reforçadores, o gpainel equivalente para o painel como um todo pode ser tomado igual a (pg – 1)/p , onde

g é computado como explicado acima. Isto porque não é necessário efetuar o corte no último reforçador

do lado direito do painel, uma vez que é onde está o bordo do revestimento.

Quando a espessura do revestimento ts é diferente daquela do reforçador tw, o parâmetro gt2/A é

substituído por gtstw/A Se a espessura do reforçador não é constante, uma espessura média wt

computada pela Eq. 6.17 é usada em vez de tw. A tensão de escoamento em compressão do

revestimento, Fcys, pode ser diferente daquela do reforçador, Fcyw .Neste caso, Fcy é substituído por uma

tensão de escoamento ponderada, cyF , dada por

( )s

scywcyscy tt

ttFFF

/1/ −+

= (6.22)

onde t é a espessura média do painel, ou seja, sbAt /= , onde bs é o espaçamento entre reforçadores.

A forma geral da Eq. (6-15) toma, então, a forma

m

cy

swg

cy

cc

FE

Attg

FF

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= β (6.23)

As constantes βg e m dependem do tipo de reforçadores e, em alguns casos, βg é também uma

função de sw tt / . Valores de βg, m e a tensão de corte para a Eq. (6.23) são listados na Tabela 6-3 para

6.32

diversos tipos de reforçadores. O reforçador generalizado tipo ângulo nesta tabela é um que consiste de

uma série de ângulos após terem sido feitos os cortes, e o reforçador generalizado tipo T é um que é

composto de elementos T após terem sido efetuados os cortes (como a seção H). O reforçador tipo Y,

que contém ambos, elementos em ângulo e em T, correlaciona com as seções tipo ângulo.

Como no caso de falha local de reforçadores, caso seja conhecida a tensão de flambagem local do

painel (seção 6.9), Fcr, e esta for maior do que a tensão de falha local calculada pela Eq. (6.23), a tensão

de falha local do painel deve ser tomada igual a Fcr , ou seja

( )[ ]cutcccrcc FFFF ,min,max calculado= (6.24)

6.33

Exemplo 6.7

Os reforçadores conformados tipo-chapéu no painel da figura são manufaturados em liga AL 7075-T6 (E = 10.500ksi, Fcy = 67 ksi) e o revestimento é de liga AL 2024-T3 (Fcy = 40 ksi). Determine a tensão de falha local

Solução

A área total do reforçador e do revestimento é

( ) 2in 348,075,02121032,04051,0 =×+×+×+×=A e ( )[ ] ksi 2,51

051,0087,01051,0087,06740 087,0

4348,0

=−+

=== cyFt

com 50,0 e 85,0 , 17 que 3,-6 Tab. da se,-acha ,63,0051,0032,0 ===== gsw mgtt β .

Substituindo na Eq. (6.23), obtém-se

ksi 7,282,51560,0560,02,51

500.10348,0

051,0032,01750,085,0

=×=⇒<=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ××= cc

cy

cut

cy

cc FFF

FF

6.11 FALHA LOCAL DE PAINÉIS REFOÇADOS – MÉTODO BOEING

O conceito de largura efetiva de chapa foi discutido nas seções 5.19 e 5.20. Viu-se que a

distribuição real, não-uniforme, de tensões agindo sobre uma largura típica, b, pode ser substituída por

uma tensão uniforme, equivalente àquela de compressão no reforçador, Fst, ao qual o revestimento está

conectado, e distribuída sobre uma largura efetiva reduzida, be (Fig. 6-29). Para reforçadores leves, viu-

se, também, que a Boeing utiliza a seguinte expressão para a largura efetiva:

st

c

st

ske F

EEE

tb 7,1= (6.25)

onde be = largura efetiva de chapa

t = espessura do revestimento

Ec = módulo de elasticidade do revestimento

Esk = módulo secante do revestimento na deformação (Fst/Est)

Est = módulo secante do reforçador na tensão Fst

Fst = tensão de compressão no reforçador

Se o revestimento e o reforçador forem manufaturados do mesmo material, Esk/Est = 1 na Eq. (6.25). A

tensão se refere à resistência em compressão do reforçador; esta pode ser governada ou por algum

modo de falha de instabilidade do reforçador (e.g., instabilidade em flexão ou lateral, por escoamento da

seção, ou pela resistência à falha local), Quando reforçadores que apresentam alta rigidez torsional são

6.34

utilizados em combinação com revestimentos relativamente finos (e.g., b/t ≥ 110), o fator 1,7 que

aparece na Eq. (6.25) pode ser aumentado para 1,9 .

Painéis são normalmente projetados com espaçamento de rebite que impede a flambagem do

revestimento entre rebites a tensões abaixo da tensão no reforçador (veja seção 6.12). Para projetos que

não seguem este critério, a largura efetiva de chapa deve ser reduzida como segue:

( )sk

st

st

irerede E

EFF

bb = (6.26)

onde Fir é a tensão de flambagem entre rebites.

A área efetiva do revestimento correspondente a um reforçador, Ae, para painéis montados com

conexões mecânicas, é mostrada na Tabela 6.4. A correspondente área efetiva do revestimento para

painéis integrais é mostrada na Tabela 6.5.

O método Boeing para o cálculo de falha local destes painéis consiste em determinar a tensão de

falha local do reforçador, adicionando a área efetiva do revestimento, correspondente a esta tensão. A

tensão média de falha local para o conjunto chapa-reforçador será, então, a carga total carregada pelo

conjunto dividido pela área total, ou seja

6.35

( )btA

AAFF

st

eststcc +

+= (6.27)

Em alguns casos, a espessura do flange conectado ao revestimento deve ser modificada para efeito do

cálculo da tensão de falha local do reforçador, como mostrado na tabela.

6.36

Exemplo 6.8

Considere o painel do Exemplo 6.7. Pede-se

a) a tensão de falha local do reforçador isolado

b) a largura efetiva do revestimento

c) a tensão média de falha local do conjunto

Reforçadores manufaturados em liga AL 7075-T6 (E = 10.500 ksi, Fcy = 67 ksi, F0.7 = 70 ksi, n = 9,2) e revestimento em liga AL 2024-T3 (E = 10.700ksi, Fcy = 40 ksi, F0.7 = 39 ksi, n = 11,5).

Solução

a) tensão média de falha local do reforçador (usando o método de Gerard)

( ) 2in 144,075,02121032,0 =×+×+×=stA

85,0 ; 55,0 ; 11 flanges 8 cortes 3 g 6.2 Tabela da 4 Caso ===+= mgβ .

ksi 2,366750,0540,067500.10

144,0032,01155,0

85,02

=×=⇒<=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×= st

cy

cut

cy

st FFF

FF

b) largura efetiva de revestimento; supondo que não haja flambagem entre rebites, a Eq. (6.25) fornece

st

c

st

ske F

EEE

tb 7,1=

Como os materiais são distintos, é necessário calcular-se a razão Esk/Est, compatível com uma tensão de 36,2 ksi no reforçador. O modelo de Ramberg-Osgood, para os materiais envolvidos, será aqui utilizado. As Eqs. (1.13) e (1.17) fornecem, respectivamente, para a liga 7075-T6

6.37

312,91

7.07.07.0

10453,3500.10

70518,0 518,070

2,36731

702,36

731 −

−−

×=×

=⇒=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

st

n

ststst

Ff

Ff

FE

εε

( )( ) ( )( )ksi 480.10

702,36731500.10

731 12,917.0

=+

=+

= −−nst FfEE

Para a liga 2024-T3, na mesma deformação,

ksi 8,33 947,36397

31ou

39731

3939700.1010453,3ou

731

5,10

15,1131

7.07.070

=⇒=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

××

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−−−

kk

k

n

.

k

ff

f

ffF

fF

fF

Eε

( )( ) ( )( )ksi 770.9

398,33731700.10

731 15,1117.0

=+

=+

= −−nk

ksk Ff

EE

de modo que

in) 1,39 rebitagens entre distância a que (supondo in 142,0051,039,122

in 39,12,36

700.10480.10770.9051,07,17,1

2 >=××==

=×==

tbA

FE

EE

tb

ee

st

c

st

ske

c) tensão média de falha local do painel

( ) ( ) ksi 8,29051,04144,0142,0144,02,36

=×++

=++

=btA

AAFF

st

eststcc

6.12 FLAMBAGEM ENTRE REBITES E ENRUGAMENTO DO REVESTIMENTO

O método de predição da tensão de falha local desenvolvido por Gerard é para painéis monolíticos.

Se, de um lado, esta forma de construção é eficiente, também é cara. Em consequência, freqüentemente

painéis são construídos conectando os reforçadores ao revestimento, por meio de rebites ou pontos de

solda. Nestes casos, o painel pode experimentar flambagem entre rebites ou falha por enrugamento do

revestimento numa tensão menor do que aquela calculada pela método de Gerard para o painel

monolítico. Em projeto ótimo, o reforçador, o revestimento e os rebites são dimensionados de forma a

que todos estes modos de falha ocorram aproximadamente no mesmo nível de tensão.

A flambagem entre rebites (ou entre conectores) é definida como uma flambagem de placa-coluna

do revestimento entre os conectores (rebites, pontos de solda, etc) que o fixam aos reforçadores. O

comprimento de onda da “flamba” é igual ao passo (ou espaçamento) dos conectores. A aparência do

enrugamento é de certa forma parecida com a da flambagem entre rebites, mas o comprimento de onda

das “flambas” e a interação com os reforçadores são diferentes. A aparência do revestimento e

reforçador nos dois tipos de instabilidade é mostrada na Fig. 6-30.

6.38

O enrugamento do revestimento é definido como uma flambagem do revestimento na qual o

reforçador fornece uma linha de suporte elástico, como mostrado na Fig. 6-31. O comprimento da

“flamba” do enrugamento é maior do que o passo dos conectores; e, enquanto que o revestimento se

separa do reforçador na flambagem entre rebites, ele permanece em contato e deforma o reforçador

durante o enrugamento. Por esta razão, o enrugamento é muitas vezes referido como falha local forçada.

A tensão de flambagem entre rebites, Fir, pode ser determinada a partir da equação da placa-coluna

dada na Fig. 5-6, fazendo φ = 1 (largura muito maior que o comprimento) e L = p, o passo dos rebites:

( ) ( )2

2

22

2

2

21124

112 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

ptcE

ptEc

F s

e

ts

e

tir υ

πυ

π (6.28)

onde c é o coeficiente de fixação nas extremidades, provido pelos conectores e Et o módulo tangente em

Fir. Exceto pelo fator 1 – νe2, esta equação é a mesma que foi derivada para colunas. Em conseqüência,

as curvas adimensionalizadas da Fig. 2-41, para colunas cujo material é representado pelo modelo de

Osgood, podem ser utilizadas desde que o parâmetro B naquelas curvas seja calculado como

EcF

tpB e

s

)1(121 27.0 υ

π−

= (6.29)

Estas curvas estão repetidas aqui por conveniência, na Fig. 6-32. A NASA recomenda as tensões de

corte listadas na Tabela 6.6.

6.39

A NASA recomenda ainda que o espaçamento

entre rebites, p, obedeça as relações

hghphghgp

22202

≥=≤≤+=

para para

(6.30)

onde g e h estão definidos no esboço ao lado.

6.40

A Eq. (6.28) pode ser graficada para materiais específicos. O resultado está mostrado na Fig. 6-33

para placas manufaturadas em liga de alumínio com e sem cladding. Estas curvas foram levantadas com

c = 4 (engastamento completo) de modo que para outros valores de c é necessário fazer uma correção.

Esta correção se manifesta no valor de p/t para entrada nas curvas, como mostrado na Eq. (6.24):

realgráfico

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

tp

ctp

(6.31)

Gerard (Ref. 6.5) efetuou uma série de ensaios para a determinação do coeficiente de fixação c

para diferentes conectores. Os resultados estão mostrados na Tabela 6-7.

6.41

O método exposto acima fornece uma tensão de flambagem nominal quando o material é clad e as

propriedades do núcleo são utilizadas. A tensão de flambagem entre rebites irF para material clad é

então determinada de

irir FF η= (6.32)

onde η é dado na Tabela 5.3

A Boeing recomenda a seus projetistas, para painéis conectados com rebites protuberantes ou

pontos de solda, a equação

, 9,22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

pt

EF s

t

ir (6.33)

e , 9,12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

pt

EF s

t

ir (6.34)

para os demais rebites. Isto corresponde a coeficientes de fixação c = 3,2 e c = 2,1, para os casos em

que Gerard recomenda 3-4 e 1, respectivamente.

Quando um painel é carregado além da capacidade de flambagem entre rebites de seu

revestimento, o revestimento continuará a carregar a carga correspondente ao início da flambagem.

Entretanto, o revestimento não será capaz de carregar cargas adicionais uma vez que se comporta como

uma placa-coluna que, por sua vez, se comporta de forma semelhante a uma coluna (Fig. 2-25), cujas

cargas de flambagem e de falha são essencialmente as mesmas. Se bei é a largura efetiva do

revestimento quando a tensão de bordo for a tensão de flambagem entre rebites, Fe = Fir, a carga que

será carregada pelo revestimento após a flambagem entre rebites é Firbei ts. O painel continuará a resistir

cargas adicionais até que seja atingida a tensão de falha local do reforçador, Fst, após o que o painel

falha. A carga na falha é, portanto, FstAst + Firbei ts , onde Ast é a área do reforçador, e a tensão média na

falha (referida à área total) é

sts

ststseiiru Abt

AFtbFF

++

=média)( (6.35)

Com o uso crescente de bitolas mais espessas de revestimento, que se aproximam ou ultrapassam

a espessura do reforçador, a flambagem entre rebites é raramente um fator de decréscimo na resistência

de painéis reforçados curtos. Tem sido observado, entretanto, que ambos, o espaçamento entre rebites

e o diâmetro, são fatores de importância considerável no que concerne atingir os de níveis de resistência

de painéis rebitados curtos, para que tenham índice de performance semelhante àquele dos painéis

reforçados integrais.

Resultados de ensaios em painéis reforçados com longitudinais em Z indicam que a resistência de

painéis de razão de esbeltez moderada (e.g., L’/ρp = 35, onde ρp é o raio de giração do painel

compreendendo ambos, o revestimento efetivo e os reforçadores) é consideravelmente menos afetado

6.42

pelo espaçamento entre rebites e diâmetro do que painéis mais curtos. Para painéis longos (L’/ρp = 60),

os efeitos das configurações dos rebites são praticamente desprezíveis.

No enrugamento, a constante de mola da linha de suporte elástico, provida pelos reforçadores, é

uma função das flexibilidades do flange e da alma do reforçador. É, também, dependente do tamanho e

espaçamento dos rebites. Semonian e Peterson (Ref. 6.20) derivaram curvas para o coeficiente de

flambagem por enrugamento, kw, que podem ser utilizados em conjunção com a Fig. 5-54 (para correção

do efeito de plasticidade) para a determinação da tensão crítica por enrugamento, Fw. A análise feita por

estes pesquisadores é baseada na idealização do reforçador, como mostrado na Fig. 6-34, onde o offset

efetivo do rebite, g, é definido como a distância efetiva da alma do reforçador à linha ao longo da qual o

revestimento pressiona o flange do reforçador. O valor de g pode ser determinado das curvas empíricas

da Fig. 6-35b, e kw pode ser achado a partir dos resultados teóricos graficados na Fig. 6-35c. Nestas

figuras, os valores das larguras bw, bf e b0 devem obedecer aos critérios estabelecidos na Fig. 6.2, ou

seja, dimensões internas para extrudados e até a superfície média, para seções conformadas.

Conhecido kw, pode-se calcular o parâmetro ( )[ ]{ }( )27.0

22 112 ssew btFEk υπ − . A tensão crítica de

flambagem por enrugamento é então obtida da Fig. 5-54 que, por conveniência, é repetida aqui na Fig.

6-36. Quando o material é clad, a tensão crítica computada a partir das propriedades do material do

núcleo deve ser corrigida multiplicando-se pelo parâmetro η . O método é válido para painéis reforçados

em Z, canal e ângulo.

Semonian e Peterson também trataram da falha do revestimento por enrugamento, que ocorre

devido ao crescimento da “flamba” após a flambagem por enrugamento e deformação plástica. A tensão

média de falha por enrugamento, wF , é obtida da mesma forma como visto acima para a tensão de

flambagem por enrugamento, incluindo o tratamento a ser dado a revestimentos com liga clad. O

coeficiente kw , entretanto, agora é dado pela Fig. 6-37. Uma comparação entre as Figs. 6-37 e 6-35c

mostra que, a menos que g/bw seja pequeno, há pouca diferença entre as tensões de instabilidade e de

falha por enrugamento do revestimento.

6.43

6.44

O enrugamento distorce o flange do reforçador que está conectado ao revestimento e normalmente

precipita a falha do painel como um todo. Entretanto, o reforçador continuará a carregar cargas

adicionais se é excepcionalmente muito resistente relativamente ao revestimento. Para determinar a

6.45

tensão média de falha do painel manufaturado a partir da conexão de reforçadores ao revestimento, aqui

designada por média)( uF , é necessário determinar se a tensão de falha local do reforçador isolado, aqui

designada por stF , é maior ou menor do que a tensão média de falha por enrugamento, wF . Isto é feito

a partir das magnitudes relativas de stF , wF e a tensão média de falha do painel, considerado

monolítico, ccF , como calculado pelas Eqs. (6.23) e (6.24).

Se stw FF ≤ , o enrugamento ocorre antes ou simultaneamente com a falha local do reforçador e

média)( uF é o maior dos valores obtidos das equações

wu FF =média)( (6.36)

ssst

ststu tbA

AFF

+=média)( (6.37)

A primeira equação acima considera que o enrugamento leva à falha local forçada do reforçador, e a

segunda leva em consideração a possibilidade do reforçador ser excepcionalmente forte, de modo a

suportar toda a carga sozinho.

Quando stw FF > , a falha local do reforçador se dá antes de ser atingida a tensão de falha por

enrugamento do revestimento. Isto significa que o revestimento poderia ter ainda alguma capacidade de

absorção de carga. Neste caso é feita a hipótese de que o reforçador continua a suportar a sua carga de

falha local. A falha ocorre quando o revestimento atinge a tensão de falha por enrugamento. A tensão

média na falha do painel é, portanto

ssst

sswststu tbA

tbFAFF

++

=média)( (6.38)

Em nenhum caso, as tensões médias de falha do painel composto, média)( uF , como dadas pelas Eqs.

(6.35) a (6.37), podem ser maiores do que a tensão média de falha local do painel monolítico, ccF .

A elasticidade dos rebites aumenta a flexibilidade da linha de apoio e reduz o valor de wF . As Figs.

6-35b e 6-37 são baseadas em ensaios nos quais foram utilizados rebites de liga de alumínio 2117-T4,

com diâmetros maiores do que 0,.9ts. Os resultados destas figuras devem ser utilizados com precaução

se diâmetros menores são utilizados.

Um critério para o espaçamento dos rebites que resulta num modo de falha em enrugamento,

determinado a partir de resultados experimentais, é

ws kbp 27,1

< (6.39)

6.46

A força lateral requerida para fazer o flange de conexão do reforçador conformar com o

revestimento enrugado, carrega o rebite em tração. Um critério aproximado para a resistência do rebite é

dado por (Refs. 6.5 e 6.20)

( )22

2

2

22

2 1127,07,0

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=>

s

s

e

wsw

sr b

tkd

pEbd

pEbF

νπ

ε (6.40)

A resistência em tração do rebite, Fr, é definida em termos da área da seção transversal do rebite de

diâmetro d, e pode ser associada seja pela falha do rebite ou pela falha da chapa permitindo a cabeça do

rebite atravessar.

Para rebites de liga de alumínio 2117-T4 cuja resistência em tração é 57 ksi, os critérios são:

( )67,1 se 160190

67,1 se ksi 57

médio2

médiomédio

médio

>−=

≤=

td

tdtdF

td

F

e

eer

er

(6.41)

onde tmédio é a espessura média da chapa e do flange do reforçador, e de é o diâmetro efetivo de um

rebite manufaturado de liga 2117-T4. O diâmetro efetivo de rebites manufaturados de outros materiais é

( )( ) 42117 Tr

materialre

FF

dd

−

= (6.42)

Os resultados da Fig. 6-35b foram obtidos de testes em painéis com reforçadores conformados. O

uso de reforçadores extrudados ou usinados normalmente elimina a possibilidade do enrugamento como

um modo de falha, por causa do apoio fornecido pelo canto vivo externo do flange e do filete do canto

externo. Além disto, o raio do filete de uma seção extrudada é normalmente menor do que o raio da

dobra de uma seção conformada, de modo que b0 (distância do rebite à alma) pode ser feita menor.

Unidades revestimento-reforçador podem ser projetadas como colunas se formas secundárias de

falha, tais como flambagem entre rebites e enrugamento da face são evitados. Com referência à Fig.

6.38, as seguintes regras de projeto normalmente evitarão estas fraquezas secundárias:

(1) 5,01 ≥s

f

tt

promove falha local global da unidade

(2) 5,04,0 2 <<w

f

bb

(3) 0b deve ser feito o menor possível para prevenir falha por enrugamento

(4) 5,0<sbp

para prevenir flambagem entre rebites

(5) 8<dp

para prevenir falha por enrugamento

6.47

(6) a resistência em tração da conexão, por polegada, deve ser maior ou igual a 0.05 Fcy ts , para

prevenir falha por enrugamento

(7) como diretriz grosseira, para prevenir contra falha por enrugamento, reforçadores conformados

devem ser evitados se bs/ts < 30

Exemplo 6.9

Uma estrutura de asa, de construção convencional, está mostrada no esboço. A asa é coberta por uma placa, geralmente referida como revestimento, e este revestimento é reforçado conectando elementos com seções conformadas ou extrudadas. Uma seção típica de uma asa envolve uma ou várias almas interiores e para conectar estas almas ao revestimento, um reforçador muitas vezes denominado de flange da alma ou mesa, é necessário para facilitar a conexão, como mostrado na figura.

O flange no caso deste exemplo é uma extrusão de liga de alumínio 7075-T6. O revestimento e a alma são manufaturados em liga de alumínio 7075-T6. O revestimento é conectado ao reforçador por duas fileiras de rebites de cabeça tipo Brazier de 1/8 in de diâmetro, com espaçamento de 7/8 in. A alma é conectada ao reforçador por uma fileira de rebites de cabeça chata de 3/16 in de diâmetro, espaçados de 1 in.

Pede-se determinar a tensão de falha local do reforçador, a área efetiva das chapas conectadas ao reforçador, e a carga total que é suportada pelo conjunto na condição de falha. Uma vez que o reforçador é apoiado lateralmente pela alma e revestimento, a ação de flexão de coluna é evitada, de modo que a verdadeira resistência a cargas longitudinais de compressão da unidade se dá por falha local (tensões adicionais são produzidas nestes cantos se a alma flamba em cisalhamento e forças de tração diagonal estão agindo; mas este assunto será tratado noutro capítulo).

Dados adicionais: área do reforçador Ast = 0,24 in2 propriedades da extrusão 7075-T6: Ec = 10.500 ksi e Fcy = 70 ksi propriedades das chapas 7075-T6: Ec = 10.500 ksi e Fcy = 70 ksi distância entre as conexões reforçador-revestimento = 0,875 in Solução:

a) O método de Gerard será utilizado para o cálculo da tensão de falha local do reforçador.

g = 1 corte + 5 flanges = 6; Tabela 6.2, caso 6: βg = 0,67, m = 0.4, Fcut = 0,8Fcy = 56 ksi

ksi 56F

806,070500.10

24,0072,0667,0 cut

cy

cut

4,022

==⇒>=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= FF

FFE

Agt

FF

st

m

cystg

cy

st β

6.48

b) A Eq. (6.25) fornece (para mesmo material reforçador-chapa)

in 16,156500.10050,07,17,1 =×==

st

c

st

ske F

EEE

tb para o revestimento e

in 50,156500.10064,07,17,1 =×==

st

c

st

ske F

EEE

tb para a alma.

A distância entre as linhas de rebitagem é, l = 0,875 in < 1,16. Portanto, a área efetiva do revestimento é (Ae)revestimento = (1,16 + 0,875) x 0,050 = 0,102 in2

Para a alma, de acordo com o caso 5 da tabela 6-4,

(Ae)alma = (0,365 + 0,5) be t = 0,865 x 1,5 x 0,064 = 0,083 in2

d) A carga total suportada pela unidade é

Pu = [ Ast + (Ae)revestimento + (Ae)alma ] Fst = (0,24 + 0,102 + 0,083) x 56 = 23,8 kips

Este resultado é o correto desde que não haja flambagem entre rebites em tensões abaixo da tensão de falha local do reforçador, de 56 ksi.

Os rebites do revestimento são do tipo Brazier com espaçamento p = 7/8 . De acordo com a Tabela 6.6, o coeficiente de fixação para este tipo de rebite é c = 3. Portanto, para uso da Fig. 6-33 é necessário fazer uso da Eq. (6.30):

2.20050,0

873

22

realgráfico

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

tp

ctp

e a Fig. 6-33 fornece Fir = 60 ksi > 56 ksi ,

portanto o revestimento não flambará entre rebites.

Os rebites da alma são do tipo cabeça chata, com c = 4. O espaçamento é de 1,00 in, de modo que, com

p/t = 1,00 / 0,064 = 15,6 , a Fig. 6-33 fornece Fir = 64,6 ksi > 56 ksi, que é consideravelmente maior do que a tensão de falha local do reforçador.

Na construção de asas, os rebites do revestimento normalmente são do tipo escareado. Para tal rebite, o coeficiente de fixação é c = 1. Neste caso, o parâmetro (p/ts) corrigido a ser utilizado na Fig. 6-33 seria

( ) 3505,0/875,021/2 =×=stp , que forneceria Fir = 29ksi, valor sensivelmente menor do que a tensão de falha local. Em conseqüência, o espaçamento entre rebites teria que ser reduzido. Usando um espaçamento de 9/16 in, ter-se-ia (p/ts) = 2 x 0,5625 / 0,05 = 22, e a Fig. 6-33 daria Fir = 57,4ksi, maior do que a tensão média de falha local e, portanto, satisfatório.

Exemplo 6.10

A figura mostra um painel reforçado composto de revestimento e reforçadores conformados. O material é liga de alumínio 2024-T3 (Ec = 10.700 ksi, F0.7 = 39 ksi, n = 11,5, Fcy = 40 ksi). O problema é

6.49

determinar a tensão de falha em compressão, para um pequeno comprimento da unidade. Os dados gerais do painel são:

in 3/4 oespaçament ,in 3/32 diâmero T3,-2117 AL emBrazier tiporebites ;in 00,2

;in 343,0 ;in 905,0 ;in 064,0 ;in 593,0 ;in 437,2 ;in 064,0 0

=

======

s

fsAww

b

bbtbbt

Solução:

a) tensão de falha do reforçador agindo sozinho

A área do reforçador é: ( ) 2in 252,0064,0905,0437,2593,0 =++=stA

Para o método de Gerard, a Tabela 6-2 e Eq. (6.16) fornecem,

ksi 6,23 594,0437,2064,02

40 589,0

40700.10

252,0064,02,3

40

3175,0312

=⇒=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=<=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= st

cutst FFF

b) tensão de falha local do painel, considerado monolítico

A Tabela 6-3 fornece, para o método de Gerard, g = (8x6-1)/6=7,83, m = 0,85, βg = 0,56 e Fcut = Fcy .

A área total é: 2in 38,0064,02252,0 =×+=A , de modo que a Eq. (6.23) fornece

ksi 5,29 1 737,040700.10

38,0064,0064,083,756,0

40

85,0

=⇒<=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ××= cc

cc FF

c) tensão de flambagem entre rebites

Para rebites tipo Brazier, c = 3. O espaçamento entre rebites é p = ¾ in. Em conseqüência, o parâmetro B, dado pela Eq. (6.29), é

( ) 430,03700.103,013912

064,075,01)1(121 22

7.0 =×

−×=

−=

πυ

π EcF

tpB e

s

Com este valor de B e n = 11,5, a Fig. 6-32 fornece Fir/F0.7 = 1,00 , de modo que Fir = 39 ksi, bastante acima das tensões de falha do reforçador e/ou painel monolítico.

d) falha por enrugamento do revestimento

Para 36,5064,0/343,0/ e 80937,0/75,0/ 0 ==== wtbdp , a Fig. 6-35b fornece g/tw = 6,5.

Para 17,0437,2/064,05,6/ e 22,1)064,000,2/()064,0437,2()//()/( =×==××= wssww bgtbtb , a Fig. 6-37 fornece kw = 4,5, de modo que, usando a Fig. 6-36,

( ) ksi 1,35 9,039

5,11 e 14,100,2

064,03991,012

700.105,4112

222

7.02

2

=⇒=⇒==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛××

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−w

w

s

s

e

w FF

nbt

FEk π

υπ

Como a tensão de falha por enrugamento é maior do que a tensão de falha local do painel monolítico, ela não é crítica.

Os resultados indicam que a tensão de falha local para o reforçador sozinho, de 23,6 ksi, é o menor valor, de maneira que o reforçador é instável, falhando primeiro. Em conseqüência, a tensão média última do painel é dada pela Eq. (6.38)

ksi 5,27128,0252,0

128,01,35252,06,23)( média =+

×+×=

++

=ssst

sswststu tbA

tbFAFF

Como este valor é menor do que a tensão de falha local do painel monolítico, ele representa a tensão média de falha do painel dado. A capacidade última de carregamento do painel é

6.50

Pu = 27,5 x 0,38 = 10,4 kips

a) verificação dos rebites

Verificando o critério dado pela Eq. (6.39):

ws kbp 27,1

< ou OK 60,05,4

27,127,1375,00,24/3

==<=wk

A tensão de tração admissível nos rebites é dada pela Eq. (6.41):

ksi 57 67,147,1064,032/3

médio

=⇒<== re F

td

Por outro lado, a Eq. (6.40) fornece um limitante inferior para Fr :

( )( )

( )OK ksi 2,22

0,2064,0

91,0125,4

323432107007,0

1127,0

57222

2

22

2

2

2 ⇒=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−>=

xxx

btk

dpEb

Fs

s

e

wsr

πν

π

6.13 FALHA DE PAINÉIS REFORÇADOS

A análise da falha de painéis reforçados longitudinalmente é relativamente complexa. O material

apresentado nas seções 6-9 a 6-12 pode ser utilizado para predizer as tensões de falha de painéis

curtos, quando L’/ρ ≤ 20. À medida que o comprimento do painel aumenta, a tensão de falha diminui. Há,

basicamente, três métodos de análise que podem ser considerados para a análise de falha de painéis

reforçados. A primeira considera uma coluna composta de um reforçador típico e a área efetiva do

revestimento associada a este reforçador. Nesta análise, usualmente, a resistência do reforçador é

limitada pela tensão admissível de falha local. A flambagem local do reforçador pode ocorrer antes de

ser atingida a carga última da unidade. O revestimento normalmente flamba antes de atingida a carga

última. O segundo método de análise considera o painel com reforçadores discretos. Nesta análise o

revestimento e os reforçadores são tratados como uma unidade. Usualmente, as tensões de flambagem

local dos reforçadores e revestimento são projetadas para serem iguais ou menores do que a resistência

última do painel. O terceiro método de análise é considerar o painel como uma placa ortotrópica

equivalente. As propriedades de rigidez dos reforçadores são distribuídas no revestimento. Também

aqui, normalmente, as tensões de flambagem local dos elementos são projetadas iguais ou maiores do

que a resistência última do painel.

a) Coluna Reforçador-Revestimento

Os três modos de falha “puros”, para a “coluna reforçador-revestimento”, são: 1) flexão; 2) torsão; e

3) local. A flambagem por flexão é caracterizada pela translação do painel numa direção normal ao plano

original do revestimento. A flambagem torsional envolve a torção dos reforçadores e a rotação do

revestimento em torno de um eixo no plano médio do revestimento. A flambagem local envolve uma

distorção dos elementos da seção transversal do reforçador, particularmente os flanges que não são

conectados ao revestimento e a falha local representa o limite superior deste modo. O comprimento de

semi-onda das “flambas” nos modos de flexão e torção é comparável à distância entre os suportes

transversais (e.g. nervuras e cavernas) enquanto que o comprimento de semi-onda para flambagem

6.51

local é comparável às dimensões da seção transversal do reforçador ou espaçamento entre

reforçadores.

Em geral, exceto para painéis cujos reforçadores possuem um eixo de simetria normal ao plano do

revestimento, os modos de torsão e flexão serão acoplados. A tensão crítica associada com este modo

acoplado é sempre menor daquela dos modos componentes tomados separadamente. Entretanto, em

muitos painéis construídos com reforçadores de seção aberta, o acoplamento entre os modos ocorre

com uma intensidade relativamente pequena. Para tais painéis, a tensão crítica correspondente a um

dos modos componentes normalmente é significativamente menor do que a tensão correspondente ao

outro modo componente, de maneira que o acoplamento entre os dois modos pode ser desprezado.

De uma maneira geral, o modo crítico em reforçadores de seção fechada, tendo em vista a sua alta

rigidez em torção, é o de “falha local – flexão”. Reforçadores simétricos e ponto-simétricos de seção

aberta são críticos em “falha local –flexão”, ou em torção pura. Reforçadores de seção aberta

assimétrica são críticos em “falha local – flexão” ou em flexo-torção.

Quando o comprimento de semi-onda da “flamba” é curto (da ordem de grandeza das dimensões da

seção do reforçador) a falha da “coluna reforçador-revestimento” resulta da falha local que sucede a

flambagem local. Ao ser aumentado o comprimento de semi-onda da “flamba”, o modo de torsão é

encontrado e eventualmente, com comprimentos crescentes, o modo de flambagem por flexão

predominará (veja Fig. 6-39).

Neste texto será apresentada a forma de analisar o modo “falha local – flexão” somente. Os modos

flexo-torção e torção pura são analisados na Ref. 6.21 como uma extensão da teoria apresentada no

Cap. 3. A presença do revestimento tem influência na análise, especialmente no que tange a localização

do centro de torção, e o fato de que a flexo-torção pode se apresentar formas alternativas, simétrica ou

anti-simétrica. A Ref. 6-21 apresenta a metodologia da análise passo-a-passo.

6.52

O modo “falha local – flexão” é mostrado no esboço. O acoplamento entre o modo de flambagem

em flexão (Euler) e o modo de falha local pode ocorrer quando a tensão de compressão ultrapassar

aproximadamente a metade da tensão de falha local do reforçador, Fcc. Em níveis menores de tensão, o

modo de falha pode ser considerado como de flexão pura.

A tensão de instabilidade para o modo “falha local – flexão” de um painel modelado como coluna

reforçador-revestimento é obtida por uma adaptação da parábola modificada de Johnson (seção 6.9)

como segue:

Se ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ′−=⇒≤≤

c

cococccc

co

ELF

FFFFF

2

2

41

2 πρ

(6.43a)

Se ( )2

2

2 ρ

πL

EFF

F cco

c ′=⇒≤ (6.43b)

Onde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

φφ cc

coF

F 211 ; 2

2

5,122 cEπ

φ =

Fcc = tensão média de falha local do reforçador

Ec = módulo de Young em compressão

L’ = comprimento efetivo do painel = cL /

c = coeficiente de fixação nas extremidades do painel

ρ = raio de giração do reforçador mais a área efetiva de revestimento

O procedimento de análise é dado a seguir:

Passo 1: Determine a tensão de falha local, Fcc, do reforçador sem a largura efetiva de revestimento, e

calcule o parâmetro φ;

Passo 2: Estime a tensão de falha, Fc, da coluna composta do reforçador e área efetiva de revestimento

Passo 3: Determine a área efetiva de revestimento, baseada no valor estimado de Fc, como mostrado na

seção 6.11;

Passo 4: Compute r e L’/r usando a Fig. 6-40 ou

( )[ ]( ) st

est

st AAe

=+

++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ

ξρξ

ρρ onde ,

1/11

2

22

, e = distância entre o centróide do reforçador e

superfície média do revestimento; Ae = área efetiva do revestimento, Ast = área da seção

transversal do reforçador; ρst e ρ = raios de giração, respectivamente, do reforçador e da

combinação reforçador-revestimento.

6.53

Passo 5: Compute Fc usando as Eqs. (6.43)

Passo 6: Compare a Fc computada no Passo 5 com aquela do Passo 2; se diferente, itere a partir do

Passo 2 com o novo valor de Fc.

Passo 7: Compute a tensão média no painel ( )

ssst

estcc tbA

AAFF

++

=

Passo 8: Compute a margem de segurança em tensões

1−=c

c

fF

MS

onde fc é a tensão de compressão aplicada no painel.

6.54

b) Painéis com reforçadores discretos

O método de análise para painéis com reforçadores discretos (veja Refs. 6-15 e 6-17) trata o

revestimento e reforçadores como uma unidade integral, sem que ocorra a flambagem local de

reforçadores ou flambagem entre rebites antes da falha do painel. Em conseqüência, deve ser feita uma

análise da flambagem local do reforçador para assegurar que não ocorra em tensões abaixo da tensão

de instabilidade geral do painel. O método de análise apresentado aqui considera a rigidez axial e a

rigidez em flexão do reforçador na determinação na tensão crítica do painel; a rigidez torsional do

reforçador é considerada somente no caso de painéis sujeitos a carregamentos transversais (Ref. 6-16).

Dois tipos de instabilidade são indicados para este tipo de painel:

Flambagem simultânea do revestimento e dos reforçadores para painéis cujos reforçadores

apresentam momento de inércia relativamente pequeno; e

Flambagem do revestimento entre reforçadores para painéis cujos reforçadores apresentam

momento de inércia relativamente grande.

Os gráficos apresentados nas Figs. 6-42 a 6-46 são derivados de uma análise em que os centróides

dos reforçadores foram assumidos estarem localizados no plano médio do revestimento. Para permitir

uma leitura direta destas curvas no caso em que os reforçadores estão colocados de um só lado do

revestimento, o momento de inércia do reforçador tem de ser primeiro modificado pela expressão

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

ss

st

st

tbKAZA

II

1

2

0

1 (6.44)

onde

I0 é o momento de inércia dos reforçadores em torno do eixo centroidal paralelo ao revestimento;

Z é a distância do centróide do reforçador ao plano médio do revestimento;

K1 é um coeficiente para modificação do momento de inércia do reforçador dado pela Fig. 6-41; este

coeficiente depende do alongamento L/bs, e o número de semi-ondas n, na direção longitudinal do

painel.

Ast é a área da seção transversal do reforçador

bs é a distância entre reforçadores

ts é a espessura do revestimento

L é o comprimento do painel

A tensão crítica do painel, Fx, para painéis sujeitos à compressão longitudinal é determinada pelas

Figs. 6-42 a 6-46. Em todos os casos os painéis são assumidos simplesmente apoiados.

O procedimento de análise envolve os seguintes passos:

Passo 1: Calcule L/bsn, com n = 1 como primeira aproximação (para painéis de comprimento infinito,

L/bsn = ∞);

Passo 2: Determine o coeficiente K1, da Fig. 5-41;

Passo 3: Calcule o momento de inércia modificado do reforçador, usando a Eq. (6.44)

6.55

Passo 4: Calcule )()( DbIE sstt , usando um valor assumido para o módulo tangente do reforçador e o

valor de I calculado no Passo 3; na expressão acima, ( )[ ]23 112 esr tED υ−= é a rigidez em

flexão do revestimento, cujo módulo reduzido Er é dado, ou por Et, o módulo tangente do

revestimento, ou por tEE como mostrado nas curvas de análise;

Passo 5: Do gráfico apropriado para tensões críticas (Figs. 6-42 a 6-45), determine n na interseção da

curva )()( DbIE sstt apropriada com a vertical passando pelo valor L/bs. Use a Fig. 6-45

para painéis com 4 ou mais reforçadores;

Passo 6: Se o n mostrado no gráfico tem o mesmo valor que foi assumido, proceda para o Passo 7; se é

diferente, itere do Passo 1 com um novo valor de n;

Passo 7: Determine )( 22 DbF sx π das Figs. 6-42-6-45 (Fig. 6-46 para painéis infinitamente longos)

Passo 8: Compute a tensão crítica de compressão, Fx;

Passo 9: Determine os módulos tangentes Et para os materiais do reforçador e para do revestimento

correspondente à tensão Fx; se estes módulos assim determinados estiverem razoavelmente

perto dos módulos assumidos no Passo 4 (dentro de ± 3%) proceda para o Passo 10; de

outra forma, itere a partir do Passo 4 com novos valores de Et.

Passo 10: Verifique se as tensões de flambagem local do reforçador e de flambagem entre rebites do

revestimento são realmente maiores do que Fx;

Passo 11: Compute a margem de segurança para a tensão de compressão uniaxial longitudinal

1−= xx fFMS , onde fx é a tensão longitudinal de compressão uniaxial aplicada, i.e.

( )∑ +=

isist

x WtAPf , onde W é a largura do painel

6.56

6.57

6.58

6.59

6.60

A tensão crítica Fy para painéis sujeitos a carregamentos de compressão transversal é determinada

a partir da Fig. 6-47. Os bordos do painel são assumidos simplesmente apoiados, com a restrição

elástica de rotação nas bordas assumida igual a (GJ)st/2.

O procedimento de análise, passo-a-passo é:

Passo 1: Calcule L/bsn, com n = 1 e obtenha K1 da Fig. 6-41;

Passo 2: Calcule o momento de inércia modificado do reforçador, como anteriormente;

Passo 3: Calcule os dois parâmetros adimensionais independentes

( )DL

EILbDL

GJb stssts )( e

)( 34

2

2 ππβ =

Passo 4: Determine DtbF ssy /2 da Fig. 6-47, para o alongamento L/bs aplicável;

Passo 5: Calcule a tensão crítica de compressão Fy ;

Passo 6: Calcule a margem de segurança em tensões

1/ −= yy fFMS

onde fy é a tensão média de compressão aplicada, i.e., fy = P / L ts

Para carregamentos biaxiais de compressão, recomenda-se a seguinte equação de interação para

painéis reforçados longitudinalmente e simplesmente apoiados:

125,1 ≤+ yx RR (6.45)

onde Rx é a razão das tensões de compressão longitudinais, fx/Fx e Ry, a razão das tensões de

compressão transversais fy/Fy . A equação de interação acima é suportada por dados experimentais

realizados em painéis com três reforçadores, L/bs ≈ 3,5 e (EcI)st / (bsD) > 60, onde I é o momento de

inércia do reforçador em torno da superfície média do revestimento.

6.61

6.62

Exemplo 6-11

O reforçador da figura, manufaturado de chapa conformada de liga de alumínio 7075-T6 (Ec = 10.500 ksi; Fcy = 67 ksi), é um de quatro reforçadores rebitados a uma placa de espessura 0,025 in, do mesmo material. O painel tem comprimento de 30 in e o coeficiente de fixação é c = 1,5, ou seja, in 49,245,130 ===′ cLL

Ache a carga que o painel suporta na condição de falha.

Suponha que o espaçamento entre os rebites seja tal a prevenir a flambagem entre rebites.

Solução:

Passo 1: Calculando a tensão de falha local do reforçador pelo Método da Boeing, da Tabela 6.1, m = 0,80; B10 = 0,05275; gf = 2,65

Os dois flanges têm uma borda livre, bn = 0,75 – 0,02 = 0,73 in, tn = 0,04 in , de modo que a Eq. (6.13) dá

( )[ ] ( )[ ]0326,0

04,011073,005275,0

1075,838500.1067 80,01

10111 =××

===×

= mf

cccc

cy

cc

tgbBFF

EFF

ou Fcc1 = Fcc3 = 0,0326 x 838,75 = 27.34 ksi ; Pcc1 = P cc3 = 27,34 x 0,73 x 0,04 = 0,798 kips

A alma tem zero bordas livres, bn = 1,5 – 0,04 = 1,46 in, tn = 0,04 in , de modo que a Eq. (6.13) dá

( )[ ]kips 000,2P ksi 25,340408,0

04,065,21046,105275,0

75,838 cc2280,02 =⇒=⇒=

××= cc

cc FF

( )

ksi 17,3147,326.1

8,3021147,326.1211

47,326.15,12

500.1025,12

2 ksi 8,30

04,046,173,02000,2798,02

2

2

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

===⇒=+×

+×=

φφ

ππφ

ccco

ccc

FF

EF

Passo 2: Seja Fc = 25 ksi;

Passo 3: in 871,025500.10025,07,17,1 =×==

c

cse F

Etb

Passo 4: ( ) ( ) 43

23

in 0415,012

08,05,104,002,075,004,075,012

04,075,02 =−×

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−××+

×=stI

in 596,0117,00415,0 in 117,004,0)08,05,1(04,075,02 2 ===⇒=×−+××=

st

ststst A

IA ρ

in 7625,00125,075,0 ; 186,0117,0

025,0871,0=+==

×== e

AA

st

eξ

( )[ ]( )

( )[ ]( )

in 614,0060,1186,01

596,07625,01186,01111

2

2

2

22

=⇒=+++

=+

++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

ξρξ

ρρ st

st

e

Passo 5: ( ) ( ) ksi 4,27

500.104614,049,2417,31117,31

41 2

2

2

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ′−=

ππρ

c

cococ E

LFFF

Passo 2a: Seja Fc = 27,4 ksi;

6.63

Passo 3a: in 832,04,27

500.10025,07,17,1 =×==c

cse F

Etb

Passo 4a: in 7625,00125,075,0 ; 178,0117,0

025,0832,0=+==

×== e

AA

st

eξ

( )[ ]( )

( )[ ]( )

in 613,0059,1178,01

596,07625,01178,01111

2

2

2

22

=⇒=+++

=+

++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

ξρξ

ρρ st

st

e

Passo 5a: ( ) ( ) ksi 4,27

500.104613,049,2417,31117,31

41 2

2

2

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ′−=

ππρ

c

cococ E

LFFF

Passo 6: ( ) ( ) kips 1,15025,0832,0117,04,2744 =×+×=+= estcc AAFP

Exemplo 6-12

O painel integral da figura, simplesmente apoiado, é usinado em liga de alumínio 7075-T6. O comprimento do painel é 10 in.

Qual é a tensão de falha do referido painel para compressão uniaxial?

Dados do material: Ec = 10.500 ksi, Fcy = 70 ksi, n = 16,6, F0.7 = 72 ksi

Solução:

Passo 1: n = 1; L/bsn = 10/2 = 5

Passo 2: para L/bsn = 5, a Fig. 6-41 dá K1 = 1,04

Passo 3: I0 = 0,125 x 0,83 / 12 = 0,005333 in4 ; Ast = 0,125 x 0,8 = 0,1 in2 ; Z = 0,4 + 0,0625 = 0,4625 in

Da Eq. (6.44), 22

in 02078,0

125,0204,11,01

4625,01,0005333,0 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛××

+

×+=I

Passo 4: Seja Et = 9.000 ksi ; ( )

( ) 09,5891,012/125,0000.92

02078,0000.93 =

××××

=DbIE

s

stt

Passo 5: Para Ast/bst = 0,1/(2x0,125) = 0,4; L/bs = 5 e o valor acima, a curva apropriada da Fig. 6-45

fornece n = 1

Passo 6: n mostrado no gráfico é o mesmo assumido inicialmente – OK

Passo 7: da curva apropriada da Fig. 6-45, Fxbs2t/π2D = 1,7

Passo 8: ksi 5491,012125,0000.9

125,027,1 3

2

2

=××

×=

πxF

Passo 9: Usando a representação de Ramberg-Osgood para calcular o módulo tangente em Fx = 54 ksi

ksi 722.9

7254

76,1631

500.106,15 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×

+

=tE

Este valor é 8% superior ao valor assumido, de modo que uma iteração é necessária

2”

0.125”

0.125” 0.8”

6.64

Passo 4a: Seja Et = 9.300 ksi ; ( )

( ) 09,5891,012/125,0300.92

02078,0300.93 =

××××

=DbIE

s

stt

Passo 5a: Para Ast/bst = 0,1/(2x0,125) = 0,4; L/bs = 5 e o valor acima, a curva apropriada da Fig. 6-45 fornece n = 1

Passo 6a: n mostrado no gráfico é o mesmo assumido inicialmente – OK

Passo 7a: da curva apropriada da Fig. 6-45, Fxbs2t/π2D = 1,7

Passo 8a: ksi 8,5591,012125,0300.9

125,027,1 3

2

2

=××

×=

πxF

Passo 9a: Calculando o módulo tangente em Fx = 55,8 ksi

ksi 263.9

728,55

76,1631

500.106,.15 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×

+

=tE

Este valor está dentro do desvio de ±3% permitido

Passo 10: A tensão de flambagem local do painel será calculada com o auxílio da Fig. 6-23. bw = 0,8 in; bs = 2 – 0,125 = 1,875 in; bw/bs = 0,8/1,875 = 0,43; tw/ts = 1 ⇒ ks = 3,8 (flambagem do reforçador restringido pelo revestimento)

( ) 23,2875,1125,0

7291,012500.108,3

112

222

7.02

2

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛××

××=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−π

υπ

s

s

e

s

bt

FEk

Fig. 5-55 ⇒ Fcr/F0.7 = 1,1 ⇒ Fcr = 1,1 x 72 = 79,2 ksi

Da Tabela 5.2, o valor de corte é Fcut = 1,075 Fcy = 1,075 x 70 = 75,3 ksi de modo que a tensão de flambagem local é Fcr = 75,3, muito acima da tensão de falha do painel.

6.14 EXERCÍCIOS EXERCÍCIO 6.1 Considere o ângulo extrudado, de lados iguais, da figura. O material é

liga AL 7075-T6 (E = 10.500 ksi, Fcy = 70ksi, F0.7 = 72ksi, n = 16,6).

a) Determine a tensão de flambagem local;

b) Determine a tensão de falha local;

c) Determine o diâmetro mínimo requerido do bulbo necessário para fazer com que o lado vertical se comporte como uma alma em vez de flange.

Dados: a = 3/4 in, t = 1/16 in, R = 1/8 in, y = 0,199 in, Area = 0,089 in2 EXERCÍCIO 6.2 Considere a seção da figura, extrudada em liga de alumínio

7075-T6 (E = 10.500 ksi, Fcy = 70ksi, F0.7 = 72ksi, n = 16,6).

a) Determine a tensão de flambagem local;

b) Determine a tensão de falha local;

Dados: a = 1 3/8 in, b = 11/16 in, D = 1/8 in, R = 1/16 in, t = 1/16 in,

t1 = 1/16 in, y = 0,133 in, Area = 0,137 in2

t a

y x x 6.1

a

b t1

t

R D

x x

y

6.65

EXERCÍCIO 6.3 Considere o perfil da figura, extrudado em liga 7075-T6.

a) estime a tensão de flambagem local

b) calcule a tensão média de falha local na temperatura ambiente, usando o método da Boeing

c) idem, usando o método de Gerard

d) qual o diâmetro de bulbo que torna fornece condição de apoio completa para o flange horizontal?

e) calcule a tensão média de falha local do perfil com bulbos como calculado no item c (use o método da Boeing)

f) calcule a tensão média de falha local de ambas as seções, com e sem bulbos, sob temperatura de 450o F (Boeing)

Dados do material:

T.A.: E = 10.500 ksi ; Fcy = 70 ksi; F0.7 = 72 ksi; ν = 0,3; n = 16,6

450o F: E = 7.800 ksi ; Fcy = 22,5 ksi; F0.7 = 21,3 ksi; ν = 0,3; n = 7,2

EXERCÍCIO 6.4 Considere a seção conformada mostrada na figura. O material é a liga

de alumínio 7075-T6 (E = 10.500 ksi, Fy = 70 ksi, F0.7 = 72 ksi, n = 16,6). a) Determine a tensão de flambagem local b) Determine a tensão de falha local; c) Determine o comprimento dos lábios necessários para que as abas

se comportem como almas; d) Determine a tensão de falha local da seção como calculada em c),

acima (ambos os flanges com os lábios)

EXERCÍCIO 6.5

Considere a seção conformada mostrada na figura. O material é a liga de alumínio clad 2024-T6 (E=10.700 ksi, νe = 0,3, F0.7 = 47 ksi, Fcy = 47 ksi, n = 10,6). a) Determine a tensão de flambagem local b) Determine a tensão de falha local;

EXERCÍCIO 6.6 Considere uma coluna com a seção extrudada da figura. O material é a

liga de alumínio 7075-T6 (E = 10.500 ksi, Fcy = 70ksi, F0.7 = 72ksi, n = 16,6).

a) Determine a tensão de flambagem local;

b) Determine a tensão de falha local;

c) Determine a tensão de falha da coluna se o coeficiente de fixação é c = 2 e o comprimento é 10 in;

d) Idem, se o comprimento é 60 in.

1in

1.5in 0.051in

1in

1in

1,5in 0,051in

1in

0,4in

0,094in

1,75in

1,00in

3/32”

1,625”

1,25”

1/8”

3/32”

6.66

EXERCÍCIO 6.7 Considere o perfil da figura, conformado em liga 2024-T4.

a) Calcule a tensão média de falha local pelo método de Needham;

b) Calcule a tensão média de falha local pelo método da Boeing;

c) Calcule a tensão média de falha local pelo método de Gerard

Dados do material: E = 10.700 ksi ; Fcy = 38 ksi; F0.7 = 36,7 ksi; ν = 0,3; n = 15,6

EXERCÍCIO 6.8

Uma seção conformada em Z, como mostrado na figura, é usada como coluna, simplesmente apoiada numa extremidade e engastada na outra. O comprimento é L = 30”. Esta coluna é amarrada de forma a fazer com que a flambagem se dê em torno do eixo x-x.

O material é liga de alumínio 7075-T6 (E = 10.500 ksi; Fcy = 67 ksi; F07 = 70 ksi; n = 9,2)

a) Ache a carga total que a coluna pode carregar sem falhar.

b) Suponha, agora, que esta coluna é um de vários reforçadores rebitados a uma chapa de 0,025” de espessura, manufaturada do mesmo material. Qual seria, então, a carga total que cada combinação reforçador-chapa pode carregar?

EXERCÍCIO 6.9

Considere a coluna com a seção em cruz dada na figura (dupla simetria), extrudada em liga de alumínio 7075-T6, cujas propriedades são:

Ec = 10.500 ksi, Fcy = 70 ksi, F0.7 = 72 ksi, νe = 0,3, n = 16.6

A coluna, engastada em ambas as extremidades, tem comprimento L = 40 in e está submetida a uma carga axial central (pressão uniforme sobre a seção transversal).

Nestas condições, pede-se:

a) Qual a tensão de flambagem local?

b) Qual a tensão média de falha local?

c) Qual a tensão de falha da coluna? Desconsidere possibilidade de falha por torção.

0,75”

0,04”

1,5” x x

0,025”

0.064” i

0.064” i

1.0” i

1.0” i

1 in

0,125 in

1,25 in

0,375 in

0,05 in 1,5 in

6.67

EXERCÍCIO 6.10 Considere uma coluna de comprimento 25in, extrudada em liga de alumínio

7075-T6 (E=10.500ksi; F07=72ksi; n=16,6; Fcy=70ksi;νe =0,3), simplesmente apoiada em ambas as extremidades, e com seção transversal dada na figura. a) qual a tensão de flambagem local? b) qual a tensão média de falha local? c) qual a tensão média de colapso da coluna? Desconsidere possibilidade de flambagem primária torsional.

EXERCÍCIO 6.11 A coluna da figura é manufaturada a partir de uma chapa de

liga AL 2414-T6, de espessura 0,05 in, com seção quadrada.

a) Ache a carga de flambagem local da coluna

b) Ache a carga de falha local da coluna

c) Ache a carga de falha da coluna, quando L = 20 in

E=10.700 ksi, νe = 0,3, F0.7 = 39 ksi, Fcy = 40 ksi, n = 11,5

EXERCÍCIO 6.12 Uma coluna bi-engastada, de comprimento L = 10”, tem

seção como mostrado na figura, extrudada em liga de alumínio 7075-T6 (Ec = 10.500ksi, Fcy = 70ksi, F0.7 = 72ksi, n = 16,6, ν = 0,3).

Ache:

a) a tensão de flambagem local

b) a tensão de falha local

c) a carga que carrega no colapso

Nota: as dimensões dadas são internas à seção

EXERCÍCIO 6.13 Deseja-se manufaturar uma coluna de comprimento L = 20 in, simplesmente

apoiada em ambas as extremidades, que suporte, sem falhar, uma carga de compressão central P = 8.000 lb. Para tanto, decidiu-se manufaturar a coluna a partir do dobramento de chapa de alumínio com espessura t e seção quadrada de lado a, conforme mostrado na figura.

No almoxarifado, há disponibilidade de chapas de liga de alumínio 2024-T3, nas bitolas: 0,032” - 0,040” - 0,050” - 0,064” - 0,072”.

a) Qual deve ser a espessura t, da chapa, e o lado a, da seção, para que a coluna satisfaça o requisito imposto e para que o volume do material empregado seja mínimo?

b) Qual a carga de flambagem local para a coluna encontrada em a)?

c) Qual a carga de falha local para a coluna encontrada em a)?

Propriedades do material:

Fcy = 40 ksi, Ec = 10.700 ksi, Fp = 24 ksi, F07 = 39 ksi, ν = 1/3, n = 11,5

1”

0,05”

1” L

P

2,0 in

0,08 in

0,08 in

2,0 in

a

t

a

1”

1,25”

0,055” 0,033”

6.68

EXERCÍCIO 6.14 Chapa Liga Al 2024-T3: E=10.700ksi, Fcy=40ksi, F0.7=39 ksi, n=11,5 Extrusão Liga Al 7075-T6:

E=10.500ksi, Fcy=70ksi, F0.7=72ksi, n=16,6

Considere a região da junção “mesa da longarina - alma da longarina - recobrimento” de uma asa, conforme mostrado na figura. A mesa, extrudada em liga Al 7075-T6, tem seção de área Ast e momentos principais de inércia, respectivamente, Ixx e Iyy. Os flanges horizontais, de espessura 3/32”, tem bulbos de diâmetro 3/16”, nas extremidades livres. O flange vertical tem espessura 1/8”. O centro de área está indicado. O recobrimento (espessura 0,035”) e a alma (espessura 0,025”), ambos em liga Al 2024-T3, estão rebitados à mesa, como indicado, através de rebites tipo Brazier com 3/32” de diâmetro. a) supondo que não ocorra flambagem das chapas entre rebites e que não ocorra falha por enrugamento, calcule a carga máxima que o elemento composto (mesa + chapas) pode suportar. b) calcule o espaçamento máximo entre os rebites da ligação mesa-recobrimento para que não ocorra flambagem entre rebites. c) calcule o espaçamento máximo entre os rebites da ligação mesa-alma para que não ocorra flambagem entre rebites.

EXERCÍCIO 6.15 A figura mostra um membro de canto, numa seção reforçada de asa.

A mesa é extrudada em liga de alumínio 7075

(E = 10.500 ksi, Fy = 70ksi, F0.7 = 72ksi, n = 16,6).

O recobrimento, de espessura 0,032” é fixado num reforçador T, através de duas linhas de rebitagem, como indicado. A alma, de espessura 0,050” é fixada por uma linha de rebitagem.

Pede-se calcular

1) o espaçamento máximo entre os rebites da ligação mesa-recobrimento para que não ocorra flambagem entre rebites;

2) a carga total máxima que a unidade pode suportar (sem falha).

Quando:

a) as placas são manufaturadas em liga clad de alumínio 2024-T3 (E = 10.700 ksi, Fy = 37ksi, F0.7 = 35,7ksi, n = 12).

b) as placas são manufaturadas em liga clad de alumínio 7075-T6 (E = 10.500 ksi, Fy = 64ksi, F0.7 = 64,5ksi, n = 19,5).

EXERCÍCIO 6.16 Uma chapa de liga de alumínimo 2024-T3 de espessura

0,064” é reforçada por reforçadores Y com espaçamento 5” entre reforçadores. Os reforçadores são extrudados em liga de alumínio 7075-T6 e as dimensões da seção transversal são dadas na figura. Nestas condições:

a) determine a tensão de falha local do painel monolítico (não há flambagem entre rebites).

b) qual a tensão de flambagem entre rebites se as linhas de rebitagem estão espaçadas de 1,5” e os rebites são do tipo Brazier?

Dados: 2024-T3 (E = 10.700 ksi, Fy = 40ksi, F0.7 = 39ksi, n = 10,5). 7075-T6 (E = 10.500 ksi, Fy = 70ksi, F0.7 = 72ksi, n = 16,6).

Iyy = 0,0827 in4 Ixx = 0,0475 in4 Ast = 0,359 in2

5/4”x

x 0,035”

1/2”

1/8”

0,3” 3/32”

1”

0,025”

3/16” 2”

2,0” 0,6”

0,125”

0,5”

0,125”

0,032”

0,050”

0,6” 0,6” 1,25” 1,25”

0,875”

1,2”

0,6” 0,064”

1,6” 0,064”

0,086”

0,136”

1,8”

1,6”

0,064”Y

5,0”

Y YY

6.69

EXERCÍCIO 6.17

Considere a seção chapéu da figura, de um reforçador conformado em chapa de liga de alumínio 7075-T6

Ec = 10.500 ksi, Fcy = 67 ksi, F0.7 = 70 ksi, n = 9,2, νe = 0,3 Este reforçador é um de vários rebitados ao revestimento de espessura ts = 0,032, manufaturado em liga de alumínio 2024-T3

Ec = 10.700 ksi, Fcy = 40 ksi, F0.7 = 39 ksi, n = 11,5, νe = 0,3

a) Qual é a tensão média de falha local do reforçador? (use o método de Needham)

b) Qual é a carga que uma unidade reforçador/área efetiva de revestimento pode suportar na falha, se o painel tem comprimento L = 20 in e o coeficiente de fixação nas extremidades é c = 2? (use o método das larguras efetivas e suponha que não haja flambagem entre rebites e/ou falha por enrugamento)

c) Qual é o espaçamento mínimo entre os rebites, se estes são de cabeça tipo Brazier com diâmetro D = 3/32 in, para que não ocorra flambagem entre rebites?

EXERCÍCIO 6.18 Considere um painel de construção integral de 35 in

de comprimento e seção dada na figura, usinado em liga de alumínio 7075-T6.

a) ache a tensão de flambagem local; b) ache a tensão de falha local; c) ache a carga que o painel carrega no momento da

falha global considerando que está simplesmente apoiado em ambas as extremidades.

Dados: bw = 1 in; bs = 2 in; tw = 0,040 in; ts = 0,050 in E = 10.500 ksi, Fy = 70ksi, F0.7 = 72ksi, n = 16,6

EXERCÍCIO 6.19

Para simplificar o cálculo das propriedades

da seção, assuma que a espessura é pequena em relação às outras dimensões.

A figura mostra parte de um painel em compressão extrudado de uma construção interna. O painel, de comprimento L= 1000 mm, é engastado em ambas as extremidades. O material é elástico linear, com módulo de Young de 70.000 N/mm2, perfeitamente plástico, com tensão de escoamento de 300 N/mm2 e ν = 0,308. a) Qual é a carga por unidade de largura do painel em que se verifica a flambagem inicial do painel? b) Qual é a carga por unidade de largura do painel em que se verifica a falha do painel?

EXERCÍCIO 6.20 Considere um painel de construção integral com 25in de

comprimento e cuja seção é dada na figura, usinado em liga de alumínio 7075-T6.

Ache a carga que o painel carrega no momento da falha global considerando que está engastado em ambas as extremidades.

Dados: bw = 1 in; bs = 2 in; tw = 0,060 in; ts = 0,050 in E = 10.500 ksi, Fy = 70ksi, F0.7 = 72ksi, n = 16,6

Linhas de rebitagem

1,64” 0,032”

ts

t

bs

bw

3,5 mm

120 mm

30 mm

3 mm

bs bs/2

ts

tw bw

6.70

EXERCÍCIO 6.21

A figura mostra um painel reforçado composto de revestimento e reforçadores conformados. O material é liga de alumínio 2024-T3 (Ec = 10.700 ksi, F0.7 = 39 ksi, n = 11,5, Fcy = 40 ksi). Os dados gerais do painel são:

in 7/8 p ,in 1/8 D T3,-2117 AL emBrazier tiporebites

;in 50,2 ;in 375,0 ;in 0,1 ;in 072,0 ;in 625,0 ;in 50,2 ;in 072,0 0

==

======= sfsAww bbbtbbt

a) qual a tensão de falha local? b) qual a carga total na falha, se o painel está simplesmente apoiado e tem comprimento L = 20 in?

EXERCÍCIO 6.22 Considere um painel montado, com revestimento de espessura 0,05”,

em liga de alumínio 2024-T3 (E = 10.700 ksi, Fcy = 40 ksi, F0.7 = 39 ksi, n = 11,5, νe = 0,33) e reforçadores conformados em chapa 7075-T6 de espessura 0,063” (E = 10.500 ksi, Fcy = 67 ksi, F0.7 = 70 ksi, n = 9,2 , νe = 0,33). A distância entre as linhas de rebitagem (rebites Brazier AL 2117, p = 7/8, D = 1/8) dos reforçadores é bs = 2,0”. a) Estime a tensão de flambagem local do painel; b) Determine a tensão média de falha local; c) Determine a carga por unidade de largura que será suportada na falha, se o painel tem comprimento 15” e está simplesmente apoiado. d) critique o projeto

6.14 REFERÊNCIAS

6.1 Gerard, G. & Becker, H.: Handbook of Structural Stability, pt. I: Buckling of Flat Plates, NACA Tech. Note 3781, 1957. Disponível em http://naca.larc.nasa.gov/reports/1957/naca-tn-3781/

6.2 Becker, H.: Handbook of Structural Stability, pt. II: Buckling of Composite Elements, NACA Tech. Note 3782, 1957.

6.3 Gerard, G. & Becker, H.: Handbook of Structural Stability, pt. III: Buckling of Curved Plates and Shells, NACA Tech. Note 3783, 1957. Disponível em http://naca.larc.nasa.gov/reports/1957/naca-tn-3783/

6.4 Gerard, G. & Becker, H.: Handbook of Structural Stability, pt. IV: Failure of Plates and Composite Elements, NACA Tech. Note 3784, 1957.

6.5 Gerard, G.: Handbook of Structural Stability, pt. V: Compressive Strength of Flat Stiffened Elements, NACA Tech. Note 3785, 1957.

6.6 Becker, H.: Handbook of Structural Stability, pt. VI: Strength of Stiffened Curved Plates and Shells, NACA Tech. Note 3786, 1957.

6.7 Gerard, G. & Becker, H.: Handbook of Structural Stability, pt. VII: Strength of Thin-Wing Construction, NACA Tech. Note D-162, 1959.

0,625”

1”

0,063”

0,05”

0,375”

6.71

6.8 Argyris, D.E. & Dunne, P.C.: Handbook of Aeronautics, pt. 2: Structural Analysis, 4th ed., Pitman, New York, 1952.

6.9 Heller, C.O.: Behavior of Stiffened Plates, vol.1, Analysis, U.S. Naval Acad. Eng. Dept. Report, 67-1, 1967.

6.10 Windenberg, D.F.: Proc. 5th International Congress for Applied Mechanics, pp. 54-61, 1939.

6.11 Stowell, E.Z.: Compressive Strength of Flanges, NACA Tech. Note 2020, 1950.

6.12 Needham, R.A.: The Ultimate Strength of Aluminum-alloy Formed Structural Shapes in Compression, J. Aeronaut. Scienc., 21 (4), pp. 217-229, 1954.

6.13 Gerard, G.: The Crippling Strength of Compression Elements, J. Aeronaut. Scienc., 25 (1), pp. 37-52, 1958.

6.14 Boeing Design Manual, BDM-6220, Compression Crippling, The Boeing Co., Seattle, Sep 1988.

6.15 Seide, P. & Stein, M.: Compressive Buckling of Simply Supported Plates with Longitudinal Stiffeners, NACA Tech. Note 1825, 1949.

6.16 Budiansky, B. & Seide, P.: Compressive Buckling of Simply Supported Plates with Transverse Stiffeners, NACA Tech. Note 1557, 1948.

6.17 Seide, P.: The Effect of Longitudinal Stiffeners Located on One Side of a Plate on the Compressive Buckling Stress of the Plate-Stiffener Combination, NACA Tech. Note 2873, 1953.

6.18 Boughan, R.B. & Baab, G.H.: Charts for Calculation of the Critical Compressive Stress for Local Instability of Idealized Web- and T-stiffened Panels, NACA Wartime Report L-204, 1944.

6.19 Gallaher, G.L. & Boughan, R.B.: A Method of Calculating the Compressive Strength of Z-stiffened Panels that Develop Local Instability, NACA Tech. Note 1482, 1947.

6.20 Semonian, J.W. & Peterson, J.P: An Analysis of the Stability of Short Sheet-stringer Panels with Special Reference to the Influence of Riveted Connection between Sheet and Stringer, NACA Tech. Note 3431, 1955.

6.21 Boeing Design Manual, BDM-6540, Stability of Flat Stiffened Panels, The Boeing Co., Seattle, Jan 1995.

6.22 McCombs, W.F.: A Supplement to Analysis and Design of Flight Vehicle Structures – Bruhn – for Increased Scope and Usefulness, Daltec, Dalas, pp. 41-44, 1998

CAPÍTULO 8

VIGAS EM CAMPO DE TRAÇÃO DIAGONAL

8.2

ÍNDICE DE SEÇÕES 8.1 INTRODUÇÃO 8.4 8.2 VIGA DE ALMA PLANA EM CAMPO DE TRAÇÃO DIAGONAL PURA 8.4 8.3 VIGA DE ALMA PLANA EM CAMPO DE TRAÇÃO DIAGONAL PARCIAL 8.11 8.3.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS 8.11 8.3.2 TEORIA BÁSICA DE TENSÕES 8.11 8.4 MÉTODO NACA PARA ANÁLISE DE VIGAS EM CAMPO DE TRAÇÃO DIAGONAL PARCIAL 8.14 8.4.1 LIMITAÇÕES DAS FÓRMULAS 8.14 8.4.2 TENSÃO CRÍTICA DA ALMA EM CISALHAMENTO 8.15 8.4.3 RAZÃO DE CARREGAMENTO 8.21 8.4.4 ÁREA EFETIVA DO REFORÇADOR 8.23 8.4.5 ÂNGULO DE TRAÇÃO DIAGONAL 8.23 8.4.6 TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NA ALMA 8.26 8.4.7 TENSÃO DE CISALHAMENTO ADMISSÍVEL NA ALMA 8.27 8.4.8 TENSÃO MÉDIA NOS REFORÇADORES 8.29 8.4.9 TENSÃO MÁXIMA NOS REFORÇADORES 8.30 8.4.10 TENSÕES ADMISSÍVEIS NOS REFORÇADORES 8.31 8.4.11 TENSÕES ATUANTES NOS FLANGES 8.35 8.4.12 PROJETO DE FIXAÇÕES 8.37 8.5 EXEMPLO 1 8.40 8.6 TRAÇÃO DIAGONAL EM SISTEMAS DE ALMA CURVA 8.47 8.6.1 INTRODUÇÃO 8.47 8.6.2 DISCUSSÃO GERAL 8.47 8.7 SISTEMAS DE REFORÇADORES: ANÁLISE DE TRAÇÃO DIAGONAL 8.52 8.7.1 DETERMINAÇÃO DA TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM DOS PAINÉIS DO REVESTIMENTO 8.52 8.7.2 FATOR DE TRAÇÃO DIAGONAL 8.55 8.7.3 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NOS REFORÇADORES 8.56 8.7.4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NOS ANÉIS 8.57 8.7.5 DEFORMAÇÕES NO REVESTIMENTO 8.59 8.7.6 DETERMINAÇÃO DO ÂNGULO α 8.59 8.7.7 CARGAS NOS REBITES 8.61 8.7.8 TENSÕES APLICADAS E ADMISSÍVEIS NO REVESTIMENTO 8.62 8.7.9 TENSÕES MÁXIMA E ADMISSÍVEIS NO REFORÇADOR 8.63 8.7.10 TENSÕES MÁXIMA E ADMISSÍVEIS NO ANEL 8.67 8.7.11 INSTABILIDADE GERAL 8.68 8.8 REFERÊNCIAS 8.69 ÍNDICE DE FIGURAS 8-1 PRINCÍPIO DA TRAÇÃO DIAGONA 8.5 8-2 FORÇAS E TENSÕES NA VIGA EM TRAÇÃO DIAGONAL 8.5 8-3 CARGAS NOS REFORÇADORES E NA LINHA DE REBITAGEM ALMA-FLANGE 8.6 8-4 MOMENTOS SECONDÁRIOS NAS MESAS 8.8 8-5 CARGA CRÍTICA DE REFORÇADOR CONECTADO À ALMA EM CAMPO DE TRAÇÃO DIAGONAL 8.9 8-6 SISTEMAS DE TENSÃO EM ALMA SUBMETIDA À TRAÇÃO DIAGONAL 8.12 8-7 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES VERTICAIS NA ALMA LOGO APÓS A FLAMBAGEM 8.13 8-8 COEFICIENTE TEÓRICO DE FLAMBAGEM POR CISALHAMENTO – PLACAS SIMPLESMENTE APOIADAS 8.15 8-9 COEFICIENTES DE RESTRIÇÕES NAS BORDAS 8.15 8-10 CORREÇÃO DE PLASTICIDADE 8.16 8-11A FATOR DE REDUÇÃO PARA FLAMBAGEM DE PLACAS PLANAS SOB CISALHAMENTO COM FURO

CIRCULAR CENTRAL – BORDOS SIMPLESMENTE APOIADOS 8.17 8-11B FATOR DE REDUÇÃO PARA FLAMBAGEM DE PLACAS PLANAS SOB CISALHAMENTO COM FURO

CIRCULAR CENTRAL – BORDOS ENGASTADOS 8.18

8.3

8-11C FATOR DE REDUÇÃO PARA FLAMBAGEM DE PLACAS PLANAS SOB CISALHAMENTO COM FURO CIRCULAR CENTRAL – BORDOS LONGOS ENGASTADOS E CURTOS SIMPLESMENTE APOIADOS 8.18

8-11D FATOR DE REDUÇÃO PARA FLAMBAGEM DE PLACAS PLANAS SOB CISALHAMENTO COM FURO CIRCULAR CENTRAL – BORDOS LONGOS SIMPLESMENTE APOIADOS E CURTOS ENGASTADOS 8.19

8-11E FATOR DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO PARA PLACAS PLANAS SOB CISALHAMENTO COM FURO CIRCULAR CENTRAL 8.19 8-12 RAZÃO DE TENSÃO MÉDIA EXATA DE CISALHAMENTO PELA TENSÃO MÉDIA APROXIMADA 8.22 8-13 FATOR DE TRAÇÃO DIAGONAL 8.23 8-14 VALOR DE TANα FORNECIDO PELO MÉTODO APROXIMADO 8.25 8-15 TENSÃO MÉDIA NO REFORÇADOR 8.25 8-16 FATOR DE ÂNGULO C1 8.26 8-17 FATORES DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES C2 E C3 8.27 8-18 VALORES ADMISSÍVEIS PARA TENSÃO NOMINAL DE CISALHAMENTO NA ALMA 8.27 8-19 TENSÕES ADMISSÍVEIS DE CISALHAMENTO EM ALMAS BASEADAS NA ÁREA TOTAL 8.28 8-20 TENSÃO ADMISSÍVEL PARA ONDULAÇÃO PERMANENTE 8.29 8-21 RAZÃO ENTRE AS TENSÕES MÁXIMA E MÉDIA NO REFORÇADOR 8.30 8-22 COLAPSO DE REFORÇADOR POR FALHA LOCAL FORÇADA 8.32 8-23 FALHA LOCAL FORÇADA – REFORÇADOR SIMPLES 8.34 8-24 TENSÕES ADMISSÍVEIS EM FALHA LOCAL FORÇADA – REFORÇADORES SIMPLES 8.34 8-25 VALORES EXPERIMENTAIS PARA OFFSET EFETIVO DE REBITE 8.39 8-26 ESTRUTURA CILÍNDRICA SEMI-MONOCOQUE SUBMETIDA A UM TORQUE 8.47 8-27 EFEITOS DA TRAÇÃO DIAGONAL EM PAINÉIS CURVOS 8.48 8-28 CASCA MONOCOQUE SUBMETIDA À TORÇÃO E COMPRESSÃO 8.49 8-29 CASCA MONOCOQUE SUBMETIDA À TORÇÃO E FLEXÃO 8.50 8-30 GEOMETRIA DOS SISTEMAS DE REFORÇADORES E LONGERONS 8.51 8-31 COEFICIENTE DE FLAMBAGEM DE PAINEL CURVO EM CISALHAMENTO 8.53 8-32 COEFICIENTES DE FLAMBAGEM EM COMPRESSÃO PARA PAINEL LONGO CURVO E SIMPLESMENTE

APOIADO 8.54 8-33 CORREÇÃO PARA TENSÃO AMISSÍVEL EM ALMAS CURVAS 8.62 8-33 CRITÉRIO EMPÍRICO PARA FALHA POR INSTABILIDADE GERAL DE CILÍNDROS REFORÇADOS

MANUFATURADOS EM AL 2024-T3 E SUJEITOS À TORÇÃO PURA 8.69

8.4

8 VIGAS EM CAMPO DE TRAÇÃO DIAGONAL 8.1 INTRODUÇÃO

O desenvolvimento de vigas, com almas planas ou curvas em tração diagonal, é um dos mais

marcantes exemplos de novos caminhos trilhados pelo projeto aeronáutico, quando comparado aquele

da engenharia estrutural “padrão”. A prática estrutural padrão considerava que a capacidade de

absorção de carga de uma alma em cisalhamento se exauria quando a mesma flambava; a menos que a

alma fosse muito grossa, reforçadores eram utilizados para majorar a tensão de flambagem. Wagner

(Ref. 8.1) mostrou que uma alma fina com reforçadores transversais não “falha” quando flamba, porque

são desenvolvidas ondulações diagonais e a alma passa a funcionar como uma série de diagonais em

tração, enquanto que os reforçadores agem com colunas em compressão, mantendo a integridade do

conjunto. O sistema alma-reforçadores, desta forma, age como uma treliça, e é capaz de carregar cargas

muito maiores do que aquelas que produzem a flambagem inicial.

Durante vários anos era costume considerar, ou almas resistentes ao cisalhamento, nas quais não

ocorre a flambagem antes da falha, ou almas em tração diagonal, obedecendo as leis da tração diagonal

“pura”. Na realidade, a tração diagonal pura é uma idealização teórica e só pode ser atingida

asintoticamente. Na prática, a maioria das almas trabalham num campo intermediário, o da tração

diagonal parcial, ou incompleta.

Neste capítulo será apresentada uma metodologia para a análise de almas, planas e curvas. Esta

metodologia, apresentada na Ref. 8.2, é baseada numa teoria bastante simples, complementada por

dados empíricos.

8.2 VIGA DE ALMA PLANA EM CAMPO DE TRAÇÃO DIAGONAL PURA

Uma viga em tração diagonal é semelhante, em construção, a uma placa em grelha, mas com uma

alma fina de modo a flambar numa carga muito abaixo da carga de projeto. Uma viga em tração diagonal

pura é o caso teórico limite, no qual a flambagem da alma se dá sob uma carga infinitesimal. Embora

estruturas práticas dificilmente se aproximarão desta condição limite, a teoria da tração diagonal pura é

importante porque fornece a base do método que será apresentado mais adiante.

A ação de uma alma em tração diagonal pode ser explicada com referência à estrutura simples

mostrada na Fig. 8-1a, consistindo de um pórtico de barras rígidas, articuladas nas extremidades e

escoradas internamente por duas diagonais muito esbeltas e de mesmo tamanho. Enquanto a carga P é

muito pequena, as duas diagonais carregam tensões iguais e de sinais opostos. A uma dada carga P, a

diagonal em compressão flamba (Fig. 8-1b), perdendo a sua habilidade de suportar incrementos

adicionais de tensão. Em conseqüência, se P for aumentado acima da carga de flambagem, a força de

escoramento diagonal tem de ser provida pela diagonal em tração. Quando a carga P for muito alta, a

8.5

tensão na diagonal em tração será grande a ponto da tensão na diagonal em compressão ser

comparativamente desprezível.

Uma mudança análoga no estado de tensão ocorrerá num pórtico semelhante onde o escoramento

interno é provido por uma chapa (Fig. 8-1c). A baixos valores da carga P, a chapa está (praticamente)

submetida a um estado de cisalhamento puro, que é estaticamente equivalente a tensões de tração e

compressão iguais e a 45o . A placa flambará quando P atingir o valor crítico, e se a carga for aumentada

além deste valor, a tensão de tração na chapa rapidamente acabará predominando, em relação à tensão

de compressão. Quando a tensão de tração for grande a ponto da tensão de compressão, em

comparação, ser desprezível, a placa é dita estar num campo de tração diagonal completamente

desenvolvido ou tração diagonal “pura”.

Fig. 8-2 Forças e Tensões na Viga em Tração Diagonal

Com referência à Fig. 8-2, onde h é a altura da alma e he a distância entre centróides das mesas, a

tensão de tração diagonal fn age num elemento de superfície de área dytdA αcos= . O equilíbrio de

forças na direção vertical fornece

( )α

ααααα

2sen2

22sen

cossencossen0 ht

Sfhtf

htfdytfS nn

n

h

n =⇒=== ∫ (8.1)

Por outro lado, o equilíbrio de momentos em torno do ponto B fornece:

x

α

STP

nf

d

h

A

B

dyαsf

αcosdy

0=cfnf

nfα

BP

eh

8.6

( )

αα

αα

cot2

cos21

02

coscos2

2

0

ShSxhtf

hSxP

hdytfhhPSx

nT

h

ne

T

−−=−−≈⇒

⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++ ∫

(8.3)

supondo h ≈ he . De forma análoga,

αcot2S

hSxPB −= (8.4)

Fig. 8-3 Cargas nos Reforçadores e na Linha de Rebitagem Alma-Flange

A carga nos reforçadores é

( ) ααα

αααα tancossen

sensensensen2

2

0 hSd

htSdtdtfdxtfP n

d

nu −=−=−=−= ∫ (8.5)

e a carga por unidade de comprimento de rebitagem é

( )ααα

αααcoscossen

sensensen1

0 hS

htSttfdxtf

dq n

d

nF ==== ∫ (8.6)

Como o ângulo de tração diagonal α é normalmente algo menor do que 45o , um valor levemente

conservativo para a maioria dos casos é

h

Sh

SqF414,1

707,0=≈ (8.7)

Desta forma, as tensões devidas ao campo de tração diagonal são:

(8.11) tan

(8.10) cot2

(8.9) 2sen

2

(8.8)

α

α

α

eu

su

F

sF

sn

s

Adtf

f

Ahtf

f

ff

htSf

−=

−=

=

=

d

nfPu

8.7

O subscrito e em Au é necessário somente nos casos de reforçadores simples (de um lado da alma) e

será explicado mais adiante. Todas as tensões são conhecidas em termos da tensão nominal de

cisalhamento fs, das dimensões h e d da viga, e do ângulo α . Para completar a solução é necessário

achar o ângulo α .

A determinação do ângulo α será feita usando-se o princípio do valor estacionário da energia de

deformação, ou seja, minimizando-se a energia armazenada no sistema. A energia de deformação para

o painel composto da chapa, mesas e reforçador pode ser escrita como

( ) hAfE

dAfAfE

dhtfE

U euuLFLFUFUFn2222

21

21

21

+++= (8.12)

Substituindo as expressões para as tensões, Eqs. (8.9), (8.10) e (8.11), derivando em relação a α e

igualando a zero resulta em

0cossen

sencos11

42sen2cos8 333 =+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

αα

αα

αα

euLFUF Adt

AAht

(8.13)

que pode ser posto na forma

αααα 4422 sencos114

cosseneuLFUF A

dtAA

ht−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−

A multiplicação da mão esquerda por 1cossen 22 =+ αα não altera o resultado, de modo que

eu

LFUF

Adt

AAht

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=1

114

1tan 4 α (8.14)

Por outro lado,

n

s

s

u

eus

LFUF

LFUF ff

ff

Adt

fff

AAht 2sen2 e

tan ,

cot2111

4=−=

+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ α

αα

Substituindo na Eq. (8.13) resulta em

( )

( ) ( ) 0sencos21cossen

sencos21

2sen2cos2

ou , 0cossen

tansencos

cot21

2sen2cos8

2222

22

333

=−++−

=−++−

=−+

+−

αααα

ααα

ααα

ααα

ααα

uLFUFn

uLFUFs

s

u

s

LFUF

ffff

fffff

ff

ff

de modo que

8.8

( )un

LFUFn

ff

fff

−

+−= 2

1

tan2 α (8.15)

As Eqs. (8.9), (8.10) e (8.11) definem as tensões primárias causadas diretamente pela tração

diagonal. Há também tensões secundárias que devem ser levadas em consideração. A componente

vertical das tensões de fn, agindo nas mesas, causa a flexão das mesmas entre os reforçadores, como

mostrado na Fig. 8-4. A mesa (ou flange) pode ser considerado como uma viga contínua, apoiada nos

reforçadores; a carga total de flexão num vão é igual a Pu, e se esta carga for considerada

uniformemente distribuída, o momento primário máximo ocorre no reforçador (compressão nas fibras

internas e tração nas fibras externas) e o seu valor é wd 2/12, onde w é a carga por unidade de

comprimento, ou seja

αα tan12

tan2

max hSdM

hS

dP

w u =⇒== (8.16)

No centro do vão ocorre um momento com a metade da intensidade, com tração nas fibras internas e

compressão nas fibras externas.

Se a rigidez das mesas em flexão é pequena, as deflexões mostradas na Fig. 8-4a são suficientes

para aliviar a tração diagonal nas faixas diagonais que estão conectadas à mesa, na região central do

vão. As diagonais conectadas entre reforçadores devem balancear esta deficiência e, portanto, carregar

tensões mais altas do que aquelas calculadas sob a hipótese de que todas as diagonais estão

igualmente carregadas. As diagonais que são mais solicitadas estão mostradas esquematicamente na

Fig. 8-4b. A redistribuição da tensão na alma causa também uma redução no momento secundário nas

mesas. Usando hipóteses simplificadoras, Wagner (Ref. 8.1) estimou estes efeitos de acordo com as

expressões

nn fCf )1( 2max += (8.17)

hSdCM

12tan2

3maxα

= (8.18)

8.9

onde os fatores C2 e C3 serão discutidos mais adiante. Estes fatores são funções do parâmetro ω d, que

mede a flexibilidade das mesas:

44

11 sen ht

IIdd

CT⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= αω (8.19)

onde os subscritos T e C denotam, respectivamente, as mesas em tração e compressão. Para os fins

práticos, pode-se considerar que o ângulo α é um pouco inferior a 45o, e que a soma dos recíprocos é

aproximadamente igual à quatros vezes o recíproco da soma, de modo que

( )4 7,0 CT IIh

tdd+

≈ω (8.20)

Os reforçadores numa viga em campo de tração diagonal podem ser duplos (em ambos os lados

da alma) ou simples. Ambos os tipos são sempre conectados à alma. A resistência à flambagem dos

reforçadores não pode ser calculada através de uma aplicação simples da teoria do Capítulo 2, porque a

alma fornece uma restrição à flambagem. Tão logo um reforçador começa a flambar para fora do plano

da alma, as diagonais em tração que cruzam o reforçador se quebram num ângulo e as forças de tração

nestas diagonais desenvolvem uma componente normal à alma, componente esta que tende a forçar o

reforçador de volta à sua posição original no plano da alma. Esta força restauradora é proporcional à

deflexão para fora do plano, do ponto em que a diagonal em tração cruza o reforçador. O reforçador,

portanto, está sujeito à uma força restauradora distribuída que é proporcional à deflexão. O problema do

cálculo da carga crítica de tal membro em compressão é bastante conhecido (colunas sobre fundações

elásticas). Wagner deu resultados dos cálculos para reforçadores duplos com extremidades engastadas

e simplesmente apoiadas na forma de curvas como aquelas da Fig. 8-5, mostrando a razão Pucr/PuE

como função da razão d/h, onde Pucr é a carga de flambagem do reforçador e PuE, a carga de Euler, i.e.,

a carga de flambagem que o mesmo reforçador suportaria se fosse simplesmente apoiado e não

conectado à alma.

8.10

A hipótese de extremidades engastadas seria justificada somente nos casos em que as

extremidades dos reforçadores fossem rigidamente conectadas às mesas e se estas fossem

infinitamente rígidas em torção. Este não é usualmente o caso, principalmente porque as mesas das

vigas apresentam normalmente baixa rigidez torsional. Ensaios em vigas com almas muito finas

mostraram, além disto, que a curva de Wagner para reforçadores duplos simplesmente apoiados

também são otimistas para baixos valores de d/hu. A linha reta da Fig. 8-5 é levemente conservativa para

a média dos ensaios realizados e corresponde ao comprimento efetivo de coluna

( )hdhL

hdhd

hL

ue

u

ue

5,1 para

5,1 para /24

>=

<−

= (8.21)

Na prática, d é raramente escolhido maior do que hu, objetivando manter baixo o fator de flexibilidade do

flange, ωd.

Reforçadores simples (de um lado da alma somente) comportam-se como colunas carregadas

excentricamente. Sob cargas muito pequenas, a excentricidade e do carregamento é evidentemente a

distância do centróide do reforçador ao plano médio da alma. Se o espaçamento dos reforçadores for

pequeno, a deflexão da alma entre os reforçadores será a mesma, na média. Em conseqüência, a

excentricidade é constante e igual a e ao longo do reforçador, e invariável com o aumento de carga. O

reforçador, portanto, pode ser dimensionado como uma coluna carregada excentricamente, com

deflexão desprezível:

eu

u

u

u

u

u

u

u

u

uu A

PeAP

AeP

AP

IMe

AP

f =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=+= 2

2

2

2

1ρρ

(8.22)

onde, evidentemente,

2

2

1ρe

AA u

eu

+= (8.23)

Deve ser notado que a alma não contribui com uma “largura efetiva” para o reforçador sob a condição de

tração diagonal pura. É evidente que a Eq. (8.22) também se aplica a um reforçador duplo não simétrico

em relação à alma. Para reforçadores duplos simétricos em relação à alma (o caso mais usual) e = 0 ,

donde Aue = Au .

Se os reforçadores são muito espaçados, a maior parte da alma permaneceria, na média, em seu

plano original. Em conseqüência, a carga de compressão agindo nos reforçadores permaneceria no

plano original e o reforçador funcionaria como uma coluna carregada excentricamente e sobre uma

fundação elástica. Entretanto, um espaçamento muito grande entre reforçadores resultaria numa

distribuição de tração diagonal não-uniforme (veja a Fig. 8.4b). Nesta configuração, a direção da carga

de compressão, como vista num plano transversal ao plano da alma, é determinada essencialmente pela

configuração da alma na vizinhança da conexão do reforçador à mesa; as condições são, portanto, mais

8.11

uma vez semelhantes ao caso dos reforçadores pouco espaçados. Diante destas considerações, as

Eqs. (8.22) e (8.23) têm sido utilizadas para reforçadores simples, independentemente do espaçamento.

Evidência experimental indica que esta prática é aceitável diante do presente estágio do

desenvolvimento da teoria.

8.3 VIGA DE ALMA PLANA EM CAMPO DE TRAÇÃO DIAGONAL PARCIAL

Nesta seção é discutida a “teoria de engenharia” desenvolvida por Kuhn e outros (Ref. 8.2) que

pode ser considerada como uma interpolação entre a teoria de vigas com almas resistentes ao

cisalhamento (não há flambagem da alma) e a teoria de vigas em campo de tração diagonal pura. O

método decorrente da teoria de Kuhn, com equenas modificações, será apresentado na seção 8.4.

8.3.1 Considerações Gerais

Quando uma carga gradualmente crescente é aplicada a uma viga de alma plana, reforçada

transversalmente e livre de imperfeições substanciais, as seguintes observações podem ser feitas:

Quando submetida a cargas baixas, a viga se comporta de acordo com a teoria da viga

resistente em cisalhamento; a alma permanece plana e não há tensões nos reforçadores;

Numa determinada carga crítica, a alma começa a flambar; as ondulações são quase

imperceptíveis e medidas muito cuidadosas são necessárias para estabelecer o seu padrão;

à medida que a carga é aumentada, as ondulações tornam-se mais profundas e mais distintas e

o padrão muda lentamente para o padrão de dobras paralelas, característico de um campo de

tração diagonal bem desenvolvido.

• O processo da formação e desenvolvimento das ondulações é acompanhado do aparecimento

e desenvolvimento de tensões axiais de compressão nos reforçadores.

A intuição física sugere que o estado de tração diagonal pura é aproximado bastante bem se a

carga aplicada é algumas centenas de vezes maiores do que a carga de flambagem. Para a grande

maioria das almas, entretanto, a razão entre a carga de falha e a de flambagem é muito menor e a

teoria de tração diagonal pura fornece aproximações tanto mais pobres quanto menor esta razão.

8.3.2 Teoria Básica de Tensões

Wagner (Ref. 8.3) foi o primeiro a sugerir um melhoramento da teoria para a análise de campos de

tração diagonal parcial. Ele sugeriu que quando a tensão nominal aplicada fs é maior do que a tensão

crítica, Fscr, somente o excesso acima da tensão crítica (fs – Fscr) deve ser considerado na determinação

dos efeitos de tração diagonal.

Seja fsDT a parcela da tensão nominal aplicada fs que é carregada pela ação de tração diagonal. A

formulação matemática da hipótese, então, seria

)1(s

crsscrssDTs f

FfFff −=−= (8.24)

8.12

O uso da Eq. (8.24) melhora a predição das tensões nos reforçadores, mas esta melhora é

significativa somente para uma faixa estreita de proporções geométricas. Kuhn e seus colaboradores

(Ref. 8.2) estabeleceram a meta de desenvolver uma teoria melhorada que fosse aplicável no espectro

completo de proporções geométricas (da viga com alma resistente ao cisalhamento, à viga com alma em

campo de tração diagonal pura) e que fosse o mais simples possível, uma vez que uma aeronave tem

centenas de elementos que devem ser projetados, levando-se a ação de tração diagonal em

consideração.

A tensão nominal de cisalhamento fs é dividida em duas partes: uma tensão fS carregada por ação

verdadeira de cisalhamento da alma, e a porção fDT , carregada pela ação de tração diagonal. Desta

forma,

sSsDTDTSs fkfkfffff )1( ; ou −==+= (8.25)

onde k é chamado de fator de tração diagonal. Deve ser notado que a Eq. (8.24) é um caso particular

desta formulação mais geral, com o fator k definido como

crs

s

Ff

k −= 1 (8.26)

Na teoria melhorada de Kuhn, o fator k é também considerado uma função de fs/Fscr, mas foi

determinado empiricamente a partir de uma série de ensaios. A expressão empírica é

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

crs

s

Ff

k 10log5,0tanh (8.27)

A Fig. 8-6 mostra o estado de tensões na alma para o casos limites (k = 0 e k = 1) e para o caso

geral intermediário. A superposição dos dois sistemas de tensões no caso geral fornece,

respectivamente, para tensões f1 ao longo da direção α e tensões f2 perpendiculares a esta direção,

αα

2sen)1(2sen

2 1 kf

kff s

s −+= (8.28)

α2sen)1(2 kff s −−= (8.29)

Para estas equações (e para todas as outras nesta seção) é considerado que os flanges não são

suficientemente flexíveis para produzir uma não-uniformidade significativa de tensões.

8.13

O valor de k dado pela Eq. (8.27) é menor do que aquele dado pela Eq. (8.26), exceto para os casos

limites (fs/Fscr = 1 e fs/Fscr → ∞). Isto implica em que a tensão de cisalhamento verdadeira na chapa tem

que desenvolver valores maiores do que Fscr, ao contrário da hipótese na qual é baseada a Eq. (8.24). À

primeira vista, a hipótese de que a tensão diagonal de compressão não aumenta acima da tensão crítica

parece plausível, particularmente quando se tem em mente o esquema das barras da Fig. 8-1.

Entretanto, é de amplo conhecimento que chapas profundamente corrugadas podem carregar tensões

muito altas antes de falhar. Não parece portanto razoável considerar que ondulações quase

imperceptíveis, que se formam quando a chapa é carregada pouco acima da tensão crítica, sejam

capazes de imediatamente privar a chapa de toda a capacidade de suportar qualquer incremento em

tensões diagonais de compressão e, consequentemente, qualquer aumento de tensão de cisalhamento

verdadeira.

Por outro lado, se a chapa é considerada ser capaz de carregar tensões diagonais de compressão,

não há porque não considerar que pode, também, carregar tensões de compressão paralelas aos

reforçadores ou às mesas. Noutras palavras, uma certa largura efetiva da alma deve ser considerada

como cooperando com os reforçadores e mesas. Cálculos tentativos para as tensões desenvolvidas nos

reforçadores durante a bateria de ensaios deram resultados satisfatórios quando a largura efetiva

trabalhando com os reforçadores foi considerada ser dada pela expressão

)1(5,0 kdde −= (8.30)

A largura efetiva de 0.5d imediatamente após a flambagem pode ser considerada como produzida por

uma distribuição cosenoidal de tensões, com a tensão nos bordos o dobro da tensão critica, como

indicado na Fig. 8-7. A hipótese de decréscimo linear com k foi feita como expediente mais simples

possível.

Sob as hipóteses feitas, a tensão num reforçador é obtida modificando-se a Eq. (8.11), válida para

tração diagonal pura:

)1(5,0

tan

kdtA

kff

eu

su

−+−=

α (8.31a)

De forma análoga, a tensões nos flanges produzidas pela tração diagonal tornam-se

8.14

)1(5,02cot

khtA

kff

F

sF

−+−=

α (8.31b)

A Eq. (8.15) para o ângulo α pode ser escrita na forma modificada

( )

un

LFUFn

εε

εεεα

−

+−= 2

1

tan 2 (8.31c)

Esta forma é mais geral do que a Eq. (8.15) porque é aplicável quando a alma, flanges e reforçadores

são maufaturados de materiais com módulos de elasticidade distintos. As deformações que aparecem na

Eq. (8.31c) são definidas por

( )21,

, 1 ; ; ffEE

fE

fu

uLUF

LUF υεεε −=== (8.31d)

com as tensões f1 e f2 definidas pelas Eqs. (8.28) e (8.29), de modo que

( )( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+= αυ

αε 2sen11

2sen2 kk

Ef s (8.31e)

Para determinar o ângulo α é necessário um processo de aproximações sucessivas: estimar α, calcular

as tensões e deformações, e verificar se o ângulo calculado pela Eq. (8.31c) coincide com o ângulo

inicialmente estimado

Para fins práticos, sen2α pode ser feito igual a um, uma vez que 38o < α < 45o . Em consequência,

( )[ ]υυε −++≈ 11 kEf s (8.31f)

Todos os gráficos para o campo de tração diagonal de almas planas, apresentados na seção 8.4,

foram levantados sob esta hipótese, com ν = 0,32 , e ainda considerando que as mesas são

suficientemente rígidas, em comparação com a alma e reforçadores, para tornar εF desprezível na

Eq. (8.31c).

8.4 MÉTODO NACA PARA ANÁLISE DE VIGAS EM CAMPO DE TRAÇÃO DIAGONAL PARCIAL 8.4.1 Limitações das Fórmulas

A NACA acredita que as fórmulas que seguem fornecerão predições de resistência razoáveis se

práticas normais de projeto forem utilizadas. As seguintes limitações devem ser observadas:

a) Os reforçadores não devem ser demasiadamente finos. Especificamente, tu/t > 0,6.

b) O espaçamente entre reforçadores d não deve estar muito fora do intervalo 0,2 < d/he < 1 .

c) Os ensaios conduzidos pela NACA não cobriram vigas com almas muito finas e muito

espessas; resultados não-conservativos podem existir foram do intervalo 200 < he/t < 1500.

8.15

d) A Boeing (Ref. 8.4) estabelece Au/dt > 0,25, onde Au é a área do refoçador (total no caso de

reforçador duplo). A Douglas (Ref. 8.5) estabelece o intervalo 0.3 < Au/dt < 0,5 , primariamente

visando projeto de peso mínimo.

8.4.2 Tensão Crítica da Alma em Cisalhamento

8.16

No regime elástico, a tensão crítica da alma entre dois reforçadores é dada pela expressão

( ) ( )

( ) ( ) ccc

cdhd

ce

sss

ccc

chdh

ce

sss

hddh

RRRhtEkF

hdhd

RRRdtEkF

>⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

≤⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

para 21

112

para 21

11232

2

2cr

32

2

2cr

υπ

η

υπ

η (8.32)

onde

kss = coeficiente de falmbagem teórico para painel simplesmente apoiado, dado pela Fig. 8-8

dc = largura da placa entre reforçadores, medida entre as linhas médias de rebitagem para

reforçadores simples e igual ao vão livre entre reforçadores para reforçadores duplos

hc = altura da placa medida entre as linhas médias de rebitagem para mesas simples e igual ao

vão livre entre mesas para mesas duplas (ambos os lados da alma)

Rh = coeficiente de restrição para bordas ao longo de reforçadores

Rd = coeficiente de restrição para bordas ao longo de mesas

Quando os reforçadores são muito mais finos do que a alma, o coeficiente Rh é muito baixo. Neste caso,

o termo entre colchetes pode tomar valores menores do que a unidade, significando que o valor da

tensão crítica dada pela Eq. (8.32) seria menor do que a tensão crítica teórica para uma placa

simplesmente apoiada. Isto, evidentemente, seria um absurdo. Neste caso, o termo entre colchetes deve

ser tomado como igual à unidade.

A Eq. (8.32) é válida no regime elástico, para placas sem cladding. No regime inelástico e/ou placas

com cladding, as devidas correções devem ser realizadas (veja Cap. 5):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ηηη crs

crs

FF onde

( )( )2

2

11

υυ

η−−

= es

EE

(8.33)

A Fig. 8-10 fornece a correção necessária para duas ligas típicas de alumínio.

8.17

Visando a minimização do peso estrutural, é comum pelo menos parte dos painéis planos numa

viga serem projetados com furos circulares. Para o cálculo da tensão crítica de flambagem por

cisalhamento destes painéis podem ser utilizados os subsídios fornecidos pelas Refs. 8-6 e 8-7. A

Boeing (Ref. 8-8) desenvolveu gráficos para o cálculo da tensão crítica de flambagem de placas planas

com um furo circular central, quando submetidas a carregamento de cisalhamento puro. A presença do

furo na placa causa uma distribuição não-uniforme que resulta em tensões de pico na vizinhança do furo.

Os gráficos apresentam fatores de correção para as tensões de flambagem da mesma placa sem o furo.

Os resultados são baseados em simulações por elementos finitos realizadas no regime elástico, de

modo que a tensão de pico deve permanecer abaixo do limite de proporcionalidade:

( )2

2

2

112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

btEk

Fe

scrs υ

πβ (8.34)

somente se pcrstg FFKF <=pico (8.35)

onde β = fator de redução devido à presença do furo

ks = coeficiente de flambagem em cisalhamento para a placa sem o furo (vide Cap. 5)

Fpico = tensão efetiva de pico na placa

Ktg = fator de concentração de tensão para a tensão efetiva de pico

8.18

8.19

8.20

O fator β é dado pelas Figs. 8-11a-d , e o fator Ktg, pela Fig. 8-11e. Uma estimativa do limite de

proporcionalidade é fornecida pela expressão

11

398,0

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡≈

nncy

p nEF

F (8.35)

onde n é o parâmetro de forma de Ramberg-Osgood. A expressão acima, para o limite de

proporcionalidade, é baseada num critério de redução de 0,5% no módulo tangente Et , que parece

bastante razoável na falta de dados mais específicos.

Painéis planos em tração diagonal parcial podem estar submetidos a outras cargas, além daquelas

de cisalhamento. A alma de uma viga, por exemplo, está também carregada em flexão. Por outro lado,

um painel do revestimento normalmente também está carregado por tensões de compressão (ou tração).

Como foi visto no Cap. 5, de uma maneira geral, a combinação de carregamentos tem o efeito de

abaixar a carga crítica (em cisalhamento, no caso) do painel que está submetido a cisalhamento puro.

É, entretanto, importante ressaltar que os ensaios experimentais realizados por Kuhn foram

realizados em vigas submetidas a cisalhamento puro. Se, por um lado, não se pode duvidar de que um

carregamento combinado com o cisalhamento terá influência no desenvolvimento do campo de tração

diagonal, também não se pode garantir que os resultados relativos ao campo geral de tensões

desenvolvido estejam nos mesmos níveis de precisão.

a) painel submetido a cisalhamento e flexão

A equação de interação para este caso é (Cap. 5)

122

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

crs

s

crb

b

Ff

Ff

(8.36)

onde crscrb FF e são as tensões de flambagem do painel, respectivamente, com cargas de flexão e

cisalhamento agindo sozinhas, e fb e fs são tomadas sempre positivas. Para qualquer painel particular,

pode-se escrever

sbs

b

crscrbcrs

crb

BffBff

AFFAFF

=⇒=

=⇒=

(8.37)

Substituindo estas expressões na equação de interação (8.36), e resolvendo-se para sf , obtém-se

2

1

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

AB

FF crscrs (8.38)

8.21

crsF é a tensão crítica do painel em cisalhamento, sob tensões combinadas de cisalhamento e flexão

cuja proporção é a mesma das cargas efetivamente aplicadas.

b) painel submetido a cisalhamento e compressão/tração

A equação de interação para este caso é (Cap. 5)

12

=±⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

crc

c

crs

s

Ff

Ff

(8.39)

onde crscrc FF e são as tensões de flambagem do painel, respectivamente, com cargas de compressão

e cisalhamento agindo sozinhas, fc e fs são tomadas sempre com o valor positivo e o sinal para

compressão e tração é, respectivamente, positivo e negativo. Para qualquer painel particular, pode-se

escrever

scs

c

crscrccrs

crc

BffBff

AFFAFF

=⇒=

=⇒=

(8.40)

Substituindo estas expressões na equação de interação (8.36), e resolvendo-se a equação do 2o grau

resultante para sf , obtém-se

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−

=2

42

AB

AB

FF crscrs (para compressão) (8.41)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

=2

42

AB

AB

FF crscrs (para tração) (8.42)

8.4.3 Razão de Carregamento

A razão de carregamento é a razão crss Ff / (no caso de carregamentos combinados, a barra sobre

crscrs FF ≡ será suprimida, por comodidade), onde fs é a tensão de cisalhamento nominal, i.e., a tensão

média no sentido da altura.

Se a altura dos flanges (mesas) é pequena quando comparada com a altura da viga e os flanges

são compostos de seções em ângulo, a tensão fs pode ser computada pela expressão

8.22

thS

fe

ws = (8.43)

Em vigas com outras seções transversais, a tensão média nominal deve ser computada pela

expressão

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

F

wFws Q

QItQS

f321 (8.44)

onde QF é o momento estático em torno do eixo neutro do material dos flanges, e Qw é o momento

estático em torno do eixo neutro, do material efetivo da alma acima do eixo. Para o cômputo de I e Q, a

efetividade da alma deve ser estimada numa primeira aproximação. Numa segunda e última

aproximação, a efetividade da alma pode ser tomada igual a (1-k), onde k é o fator de tração diagonal

determinado no próximo passo. Portanto, no cômputo de I e Q, a espessura efetiva da alma é (1-k)t. A

razão entre as Eqs. (8.44) e (8.43) para uma viga em I, em função de Aw/AF, e para razões constantes de

h1/he de 0,8 e 1,0 , representativas dos limites práticos de projeto, está plotada na Fig. 8-12. Observa-se

que valores de Aw/AF maiores do que 1.0 levam a estimativas conservativas (mais de 10%) das tensões

de cisalhamento na alma baseadas na equação simplificada 8.43.

8.4.3 Fator de Tração Diagonal

O fator de tração diagonal é dado pela Eq. (8.27)

8.23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

crs

s

Ff

k 10log5,0tanh (8.27)

ou pode ser lido diretamente da Fig. 8-13. Para evitar o enrugamento excessivo e vincos permanentes

na alma, na condição de carregamento limite, condições propícias para falha por fadiga, é recomendado

que o fator de tração diagonal na condição última não ultrapasse o valor máximo de

012,078,0max −−= tk (8.45)

com a espessura dada em in.

8.4.4 Área Efetiva do Reforçador

A área efetiva do reforçador isolado (sem contribuição da alma) é dada pela Eq. (8.23). Para

reforçadores duplos e simétricos em relação ao plano da alma, e = 0.

2

2

1ρe

AA u

eu

+= (8.23)

8.4.5 Ângulo de Tração Diagonal

O ângulo de tração diagonal pode ser determinado pelo processo iterativo discutido na seção 8.3.2

ou através de curvas baseadas na aproximação discutida na mesma seção.

Método Iterativo:

Passo 1: estime um valor α

8.24

Passo 2: calcule

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−=)1(5,0

tan

kdtA

E

kf

eu

su

αε

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−=

)1(5,02

cot

,,

kht

AE

kf

LUF

sLUF

αε ( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−+= αυ

αε 2sen11

2sen2 kk

Ef s

Passo 3: calcule

( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+−=

un

LFUFn

εε

εεεα 2

1

atan

Passo 4: compare o ângulo estimado no Passo 1 com aquele calculado no Passo 3 e itere, se

necessário.

Método Aproximado:

Como visto na seção 8.3.2, o método aproximado considera que sen2α = 1, que as deformações no

flange são desprezíveis em relação aquelas na alma e no reforçador, que o módulo elástico é o mesmo

para alma e reforçador e um valor de 0.32 para o coeficiente de Poisson. Nestas condições,

( )[ ] ( )kEf

kEf ss

n 68,032,111 +=−++≈ υυε e Efu

u =ε , de modo que

susuun

n

ffkk

ffkk

−++

=⇒−+

+=

−=

68,032,168,032,1tan

68,032,168,032,1tan 2 α

εεε

α (8.46)

Esta equação está graficada na Fig. 8-14 (observe que fu é negativo; se feito positivo, como na figura, o

sinal em baixo do radical tem de ser também positivo). Por outro lado,

( )k

dtA

kff

eus

u

−+−=

15,0

tanα

ou ( )su

eu

s

u

ffkkk

dtA

ff

k −++

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

68,032,168,032,115,01tan

2

2 α

de modo que

( )kffk

kff

kdtA

susu

eu −−−+

+−= 15,0

68,032,168,032,1

(8.47)

Esta equação está graficada na Fig. 8-15.

8.25

8.26

8.4.6 Tensão de Cisalhamento Máxima na Alma

É sabido que a teoria do engenheiro para vigas não é inteiramente capaz de prever a falha de vigas,

mesmo com seções transversais mais simples; tem de ser suplementada por módulos de ruptura

determinados experimentalmente. De uma maneira análoga, a teoria de engenharia do campo de tração

diagonal parcial deve ser suplementada por módulos de falha determinados de forma empírica.

A tensão na alma pode ser expressa, ou como uma tensão nominal de cisalhamento, ou como uma

tensão nominal de tração diagonal; a primeira alternativa é adotada aqui. A tensão nominal de pico num

painel pode ser definida pela expressão:

( )( )212

max 11 kCCkff ss ++= (8.48)

Nesta equação, C1 é um fator de correção devido ao fato de que o ângulo de tração diagonal não é 45o .

Para uma alma em tração diagonal pura (k = 1) e α = 45o , a tensão de cisalhamento é

2n

sf

f =

Para um ângulo α ≠ 45o, a expressão para a tensão de cisalhamento fornece

222sen nn

sff

f <=α

Igualando a tensão de cisalhamento máxima a fn/2 resulta em

12sen

1 2

)1(2

2sen)1( 111max −=⇒=+=+=

αα

Cf

Cf

Cff nnss (8.49)

Esta curva está graficada na Fig. 8-16.

O fator C2 é um fator de concentração de tensões que surge devido à flexibilidade dos flanges e que

foi introduzido na Eq. (8.17). É considerado que o efeito do fator C2 varia linearmente com k na

expressão (8.48) por falta de melhores dados. O efeito do fator C1 foi considerado variar com k2 baseado

nos ensaios realizados em painéis curvos, nos quais o ângulo α varia numa gama maior do que em

8.27

almas planas. De qualquer forma, nas almas planas consideradas aqui, o ângulo toma um valor perto de

40o, e o efeito de C1 não é importante. O fator C2 está graficado na Fig. 8-17.

8.4.7 Tensão de Cisalhamento Admissível na Alma

A tensão admissível na alma, Fs, é determinada por testes e depende do valor do fator de tração

diagonal k, bem como dos detalhes das conexões da alma ao flange e aos reforçadores. A Fig. 8-18

fornece curvas empíricas de tensões admissíveis para duas ligas de alumínio. Deve ser notado que

estas curvas contém uma previsão para o fator de rebite; a inclusão deste fator nestas curvas é possível

porque os testes indicaram que a tensão de cisalhamento última, baseada na área bruta (i.e., sem a

redução devido aos furos dos rebites) da seção, é quase constante dentro doa faixa normal do fator de

rebite (CR > 0,6) . Tensões admissíveis para outros materiais podem ser obtidas da Fig. 8-19.

8.28

A alma deve satisfazer quatro critérios de resistência:

a) 1 max

max −=≤s

sss f

FMSFf (8.50)

b) suFIt

SQ≤ no eixo neutro (8.51)

onde Q e I são, respectivamente, o primeiro e segundo momentos de área em torno do eixo neutro

(inclua a alma efetiva na determinação de Q e I)

c) A tensão de cisalhamento (área líquida) ao longo da linha interna da rebitagem alma-flanges, não

pode exceder a tensão de cisalhamento última admissível:

susp

Fftt

Dpp

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

(8.52)

onde D = diâmetro do rebite, p = passo de rebitagem e tp = espessura do “pad up”

8.29

d) Uma verificação de tensões combinadas deve ser feita na interseção da linha interna de

rebitagem alma-flange e a linha de rebitagem do reforçador. A seguinte equação de interação deve ser

satisfeita pelas tensões de tração e cisalhamento (área líquida):

12

max

2

≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− Dss

cy

Ff

Ff

tt

Dss

tu

t

su

s

p

(8.53)

onde ftmax = tensão de tração na fibra extrema do flange, c = distância do eixo neutro à fibra extrema, y =

distância do eixo neutro ao ponto de interseção das linhas de rebitagem, definido acima e s = passo da

rebitagem alma-reforçador.

Finalmente, uma verificação em relação ao desenvolvimento de ondulações permanentes pode ser

feita com o auxílio da Fig. 8-20. Nesta figura, ..BPsF é a tensão admissível na alma (área bruta) para que

não se desenvolvam ondulações permanentes. A Força Aérea Americana, por exemplo, especifica em

seus requisitos a não ocorrência de ondulações permanentes na condição limite.

8.4.8 Tensão Média nos Reforçadores

A tensão média ao longo do comprimento do reforçador é dada pela Eq. (8.31a)

)1(5,0

tan

kdtA

kff

eu

su

−+−=

α (8.31a)

ou pela Fig. 8.15, no caso do cálculo aproximado de tanα. Para reforçadores duplos simétricos em

relação à superfície média da alma, esta tensão média age no centróide do reforçador. É uniformemente

distribuída sobre a seção transversal iniciar a flambagem do reforçador.

8.30

A Eq. (8-31a) considera que os valores de fs, k e tanα são os mesmos nos painéis de ambos os

lados do reforçador. Se esta não for a situação, valores médios devem ser usados (média dos valores

dos dois painéis). Alternativamente, uma verificação conservativa poderia ser feita tomando-se o maior

valor da tensão nominal de cisalhamento.

Para um reforçador simples (ou reforçador duplo não-simétrico), a tensão dada pela Eq. (8.31a)

ainda é uma tensão média ao longo do comprimento do reforçador, mas é aplicada somente no plano

médio da alma, ao longo da linha de rebitagem alma-reforçador. Em qualquer seção transversal do

reforçador, a tensão de compressão decresce com o aumento da distância da alma, porque o reforçador

é uma coluna carregada excentricamente pela tração na alma. Em conseqüência, fórmulas para falha

local baseadas em distribuições de tensões uniformes sobre a seção transversal não se aplicam.

A tensão média sobre a seção do reforçador, aplicada no centróide, é

u

euuu A

Aff =cent (8.54)

Para reforçadores duplos simétricos, evidentemente, esta tensão média é simplesmente fu. Para

reforçadores simples, visto que Aue < Au, esta tensão é menor do que fu .

8.4.9 Tensão Máxima nos Reforçadores

8.31

Sob a condição de tração diagonal pura (e carga de cisalhamento constante ao longo da viga) a

tensão fu no reforçador é constante ao longo de seu comprimento. Entretanto, ensaios experimentais

mostram que esta tensão de fato apresenta um máximo no meio do reforçador, decrescendo para as

extremidades. Como também foi observado que a maioria das falhas em reforçadores são de natureza

local, parece razoável supor que a tensão máxima, fumax, seja um índice melhor para tal tipo de falha do

que a tensão média fu.

A variabilidade de fu, ou da razão fumax/fu, é maior logo após a flambagem da alma e decresce à

media que a tração diagonal se desenvolve. Diante a escassez de subsídios teóricos e experimentais,

Kuhn (Ref. 8.2) optou por uma variação linear de fumax/fu com d/h. A Fig. 8-21 mostra esta variação

graficamente.

8.4.10 Tensões Admissíveis nos Reforçadores

Há quatro tipos de falhas concebíveis nos reforçadores:

(1) Falha como coluna

(2) Falha local forçada

(3) Falha local natural

(4) Falha por instabilidade geral da alma e reforçadores

Falha como coluna:

Como discutido anteriormente, a alma age como um meio que restringe a ação de coluna do

reforçador, modificando e seu comprimento efetivo. Uma vez que ensaios experimentais mostraram que

as fórmulas teóricas desenvolvidas para a ação de restrição são muito otimistas (Fig. 8-5), Kuhn

desenvolveu a expressão empírica introduzida nas Eqs. (8-21).

A falha como coluna por instabilidade elástica no sentido de Euler só é possível para reforçadores

duplos e simétricos. O reforçador simples é um membro em compressão carregado excentricamente.

Uma teoria para reforçadores simples é difícil de ser desenvolvida porque a excentricidade da carga é

uma função das deformações do reforçador e da alma, bem como das propriedades do reforçador.

Tendo como base as observações experimentais (e.g., reforçadores simples tendem a flambar em duas

semi-ondas), Kuhn recomenda que os reforçadores sejam analisados como colunas, com os seguintes

comprimentos efetivos:

hdhL

hd

hdk

hL

ue

u

ue

5,1

5,1

231 2

>=

<

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

para reforçadores duplos (8.55)

2u

eh

L = para reforçadores simples (8.56)

8.32

onde hu é o comprimento do reforçador medido entre os centróides das fixações de reforçador-flanges.

A tensão admissível e margem de segurança para o modo de falha como coluna são,

respectivamente,

( )1 ;

cent2

2

−=−=u

cru

e

tcru f

FMS

LE

Fρ

π (8.57)

Para reforçadores simples, além disto, a tensão média deve obedecer à inequação

1 ; −=<u

cocou f

FMSFf (8.58)

onde Fco é a tensão admissível de compressão (<0) para Le/ρ → 0, ou seja, o menor valor absoluto entre

Fcy e Fcc. Isto é uma tentativa de considerar o efeito da carga excêntrica sobre a coluna.

Falha local forçada:

Quase todas as falhas de reforçadores transversais de seção aberta podem ser explicadas pela

falha local forçada. O quadro da deformação pode ser descrito com base na Fig. 8-22, que mostra uma

seção em ângulo representando a parte do reforçador conectada à alma. A ondulação da alma, devida à

flambagem por cisalhamento, força o bordo livre A-A da aba conectada à alma a desenvolver, também,

uma forma ondulada. A amplitude desta ondulação é máxima no bordo livre e zero ao longo da dobra do

ângulo, B-B. Se as deformações são grandes, uma onda semelhante aparecerá no bordo livre C-C da

aba adjacente, mas a amplitude é muito menor, porque esta aba está sob tração, uma vez que o

reforçador está sujeito à flexão excêntrica. Se o reforçador fosse uma seção em Z, a linha C-C também

permaneceria reta, e somente uma amplitude extremamente pequena seria observada ao longo do bordo

livre da aba livre.

8.33

A ação de uma tira ao longo da borda A-A do reforçador é análoga àquela de uma viga-coluna. A

tira está sob a tensão de compressão fu criada pela tração diagonal, e sob uma pressão lateral exercida

pela ondulação da alma. O problema não é, portanto, de estabilidade elástica no sentido estrito do

termo, como o são os problemas de flambagem local. Podem ocorrer (e ocorrem) grandes deformações,

enquanto a tensão de compressão no reforçador ainda permanece pequena. As ondulações da alma

fornecem um braço de alavanca para as forças de compressão agindo na aba, produzindo uma condição

severa de tensões. As ondulações da aba conectada à alma, por seu turno, induzem a flambagem da

aba livre do reforçador.

Em reforçadores simples, a aba externa livre é consideravelmente aliviada, tendo em vista ser a

tensão de compressão decrescente com a distância à superfície média da alma. Em conseqüência, as

tensões admissíveis para reforçadores transversais simples são maiores do que aquelas para

reforçadores duplos. Devido à natureza local da falha forçada, ela depende muito mais da tensão de pico

do que da tensão média.

A tensão de colapso por falha local forçada é dada pela seguinte fórmula empírica:

1) Calcule o valor admissível de fumax, considerando o material do reforçador perfeitamente

elástico:

a) Para liga de alumínio 2024-T3

31

320 21000 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

tt

kF u

η para reforçadores duplos (8.59a)

31

320 26000 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

tt

kF u

η para reforçadores simples (8.59b)

b) Para liga de alumínio 7075-T6

31

320 26000 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

tt

kF u

η para reforçadores duplos (8.59c)

31

320 32500 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

tt

kF u

η para reforçadores simples (8.59d)

2) Se F0/η exceder o limite de proporcionalidade, use como tensão admissível a tensão

correspondente à deformação de compressão F0/E, ou seja

EEs=η (8.60)

As equações acima estão representadas graficamente na Fig. 8-23. As tensões admissíveis para

outros materiais podem ser obtidas com o auxílio da Fig. 8-24.

8.34

8.35

A margem de segurança é calculada através da expressão

1max

0 −=ufF

MS (8.61)

Falha local natural:

O termo “falha local natural” é usado para denotar uma falha local resultante da tensão de compressão

uniformemente distribuída sobre a seção transversal do reforçador. Pela definição, pode ocorrer somente

em reforçadores duplos. Para evitar a falha local natural, a tensão de pico no reforçador, fumax, deve ser

menor do que a tensão de falha local da seção com L’/r → 0. Aparentemente, a falha local natural não

parece ser um fator relevante a ser considerado em projeto.

Instabilidade elástica geral da alma e reforçadores:

Dados experimentais disponíveis até o momento não indicam que a instabilidade geral da alma e

reforçadores necessita ser considerada no projeto. Aparentemente, o sistema alma-reforçadores estará

livre da instabilidade se os reforçadores forem projetados de modo a falhar por ação de coluna, ou falha

local forçada, numa tensão de cisalhamento não muito menor do que a resistência da alma ao

cisalhamento.

8.4.11 Tensões Atuantes nos Flanges

As tensões normais atuantes nos flanges são de três tipos: (a) tensões primárias, devidas às cargas

externas aplicadas, (b) tensões de compressão, devidas à ação de tração diagonal e, (c) tensões

devidas ao momento fletor secundário nos flanges.

a) Tensões primárias

A parcela do momento, aplicado na seção, que é absorvido pela alma, é

( )kMI

IM w

w −= 1 (8.62)

onde Iw é o momento de inércia da alma em torno do eixo neutro da viga, I é o momento de inércia total

em torno do eixo neutro e M é o momento aplicado.

A parcela do momento absorvido pelas mesas é, portanto,

( ) ( )I

kIIMkIIMMMM ww

wF−−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=−=

111 (8.63)

A carga axial primária nos flanges é,

e

FF h

MP ±=1 ⇒ eF

FF hA

Mf ±=1 (8.64)

onde he é a distância entre os centróides dos flanges e 1Ff é a tensão primária média nos flanges.

As tensões primárias nas fibras extremas dos flanges são dadas por

8.36

IcM

IIcMf ww

w

FFF +

−=1 (8.65)

onde cF é a distância entre a fibra extrema e o eixo neutro da viga sem alma e cw é a distância entre a

fibra extrema e o eixo neutro da viga com alma.

b) Tensões devidas à ação de tração diagonal

As tensões devidas à ação da tração diagonal são uniformes através da seção e são dadas pela Eq.

(8-31b)

)1(5.02cot

khtA

kff

F

sF

−+−=

α (8.31b)

c) Tensões devidas ao momento secundário nos flanges

O momento secundário num flange, causado pela componente vertical da tração diagonal, pode ser

determinado pela expressão

32

sec tan121 CtdkfM s α= (8.66)

onde C3 é um fator de concentração de tensões dado pela Fig. 8-17. O momento dado pela Eq. (8.66) é

o valor máximo, e ocorre nas extremidades do vão, junto aos reforçadores transversais. Este momento

causa tensões de tração nas fibras externas e tensões de compressão nas fibras internas. Se C3 e k

tiverem valores próximos da unidade, o momento no meio do vão tem a metade do valor dado pela Eq.

(8.66) e sinal oposto (causando compressão nas fibras externas). Devido ao fato destes momentos

serem altamente localizados (tensão média de compressão na seção é nula), a resistência à

compressão do flange é provavelmente aceitável como valor admissível. Acredita-se que os momentos

calculados pela expressão (8.66) sejam conservativos e muitas vezes são desprezados na prática.

A tensão nas fibras extremas causada por este momento é

FF I

cMf sec

2 = (8.67)

onde IF é o momento de inércia do flange em torno de seu eixo neutro e c a distância entre este eixo

neutro e a fibra extrema.

A margem de segurança do flange é determinada da equação

( ) 11

21

−++

=BMFFF FfFff

MS (8.68)

onde F é a tensão admissível apropriada para o material (falha local, falha como coluna Euler-Johnson

ou escoamento em compressão, para 01 <+ FF ff ; ou tensão última de tração, para 01 >+ FF ff ) e

FBM é o módulo de ruptura para a seção do flange.

Um critério geral a ser satisfeito pelo flange é que a espessura de sua aba conectada à alma deve

ser maior ou igual a 1.5t .

8.37

8.4.12 Projeto de Fixações

a) Rebitagem alma-flanges

A carga por unidade de comprimento, na linha de rebitagem alma-flanges, para uma viga com alma

resistente ao cisalhamento é

0 para ==′ khSqR

F

A carga por unidade de comprimento para uma viga com alma em tração diagonal pura é (Eq. 8.7)

1 para 414,1 ==′′ khSqR

F

Uma interpolação linear para estes dois casos extremos resulta em

( ) 0,414k1+=R

F hSq (8.69)

onde hR é a distância entre os centróides das linhas de rebitagem, superior e inferior. Kuhn (Ref. 2) alerta

que há um costume quase universal de se utilizar he (distância entre os centróides dos flanges), uma

prática que se mostrou não-conservativa em algumas vigas testadas.

Uma interpretação literal do conceito básico da tração diagonal parcial demandaria que a carga no

rebite fosse composta de duas componentes: uma força (1 – k) S/h, agindo horizontalmente, causada

pela componente de cisalhamento da carga, e a força kS/hcosα, agindo na direção α . A composição

vetorial destas duas componentes daria uma expressão mais complicada do que a Eq. (8.69) e

forneceria valores menores (exceto, é claro, em k = 0 e k = 1). Esta fórmula, em primeira análise, poderia

ser considerada mais racional, mas esta suposta maior racionalidade seria espúria, uma vez que o fator

k expressa condições de tensão médias no painel, e as condições ao longo da borda rebitada não são

médias. De fato, dados experimentais mostraram que a fórmula “mais racional” é um tanto quanto não-

conservativa.

b) Rebitagem alma-reforcadores transversais

b1) Reforçadores duplos

Quando o projeto envolve reforçadores duplos, os rebites devem ter resistência ao cisalhamento

longitudinal suficiente para permitir que os dois reforçadores ajam como uma unidade integral,

desenvolvendo todo o potencial de resistência como coluna. A resistência total ao cisalhamento

(resistência ao cisalhamento simples de todos os rebites) requerida é dada por

e

uco

Lh

bQF

R2

total = (8.70)

onde Fco = tensão de falha de coluna para o material do reforçador, com L/ρ → 0

Q = momento estático da seção tranversal de um reforçador em torno de um eixo no plano médio

da alma

b = largura da aba externa do reforçador (normal à alma)

8.38

hu/Le = razão entre a altura do reforçador e seu coprimento efetivo, obtido da Eq. (8.55)

Os rebites também devem ter resistência à tração suficiente para impedir que a placa flambada se

separe do reforçador. Kuhn estabeleceu um critério tentativo dado por

Resistência à tração dos rebites, por unidade de comprimento > 0,15 Ftu t (8.71)

onde Ftu é a resistência à tração do material da alma.

b2) Reforçadores simples

Para reforçadores simples, a resistência à tração necessária para não permitir que as dobras da

alma se separem do reforçador foi estabelecida tentativamente por Kuhn no critério

Resistência à tração dos rebites, por unidade de comprimento > 0,22 Ftu t (8.72)

Não custa lembrar aqui que a resistência à tração de um rebite é definida como a carga que causa

qualquer falha; se a chapa é fina demais, a falha será caracterizada pela cabeça do rebite atravessando

o furo.

Kuhn afirma que, à época da publicação de seu trabalho, não havia um critério para resistência ao

cisalhamento estabelecido para o caso de reforçadores simples e que o critério de resistência à tração

representado pela Eq. (8.72) provavelmente era adequado para assegurar um projeto satisfatório.

O espaçamento entre rebites para reforçadores simples deve ser pequeno o suficiente para que não

ocorra flambagem entre rebites da alma (ou da aba conectada do reforçador se esta for mais fina) sob

uma tensão igual a fumax. O espaçamento entre rebites também deve ser menor do que d/4 para justificar

a hipótese feita sobre as condições de apoio na determiação de Fscr. .

B3) Desenvolvimentos mais recentes

De uma maneira geral, tudo indica que os critérios tentativos de Kuhn representados pelas Eqs.

(8.71) e (8.72) são conservativos demais, especialmente para almas mais finas. Em conseqüência,

algumas indústrias aeronáuticas desenvolveram critérios para uso interno.

A Boeing (Ref. 8.4) estabelece a seguinte tabela de cargas por unidade de comprimento a serem

consideradas no projeto da fixação:

Tab. 8.1 CARGAS A SEREM RESISTIDAS PELAS CONEXÕES ALMA-REFORÇADOR Reforçador Simples Reforçador Duplo

Alumínio h/t > 300 tFtu15,0 tFtu10,0

Alumínio h/t < 300 tFtu22,0 tFtu15,0

Tração (lb/in)

Titânio tFtu22,0 tFtu15,0

Cisalhamento (lb/in)

Todos os Materiais d

AF us85,0

dAF us60,0

A Boeing também especifica que o passo de rebitagem deve ficar entre 4D e 6D para satisfazer os

requisitos de fadiga.

8.39

A Douglas (Ref. 8.5) também considerou os critérios de Kuhn conservativos demais. Nos testes que

realizou, entretanto, verificou que a razão 0,15 / 0,22 = 0,68 é válida para uso. O problema da resistência

em tração do rebite necessária para que uma placa flambada permaneça em contato com o reforçador, é

o mesmo abordado no Cap. 6 em relação à falha por enrugamento, que envolve o parâmetro g/tw

determinado experimentalmente para painéis reforçados com perfis em Z, C e ângulo, conectados de um

só lado da chapa, ou seja, reforçadores simples. Para reforçadores duplos a Douglas recomenda o

cálculo para o reforçador de um lado da chapa e a aplicação da razão 0,68 estabelecida acima:

pt

tb

tg

tb

tg

tg

ER s

w

w

w

w

w

w

w

R 543

31

1 32

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

υ (8.73)

onde g/tw é dado pela Fig. 8-25.

c) Rebitagem flanges-reforçadores transversais

Estas conexões devem suportar a carga entre o reforçador e o flange da viga. Estas cargas são

euuu AfP = (8.74)

onde, evidentemente, Aue = Au para reforçadores duplos simétricos em relação à alma. Esta expressão

desconsidera o fato de que a carga nos reforçadores decresce do centro para as extremidades e é,

portanto, algo conservativa. Dois conectores devem ser utilizados para conectar o reforçador ao flange.

8.40

8.5 EXEMPLO 1

Dados da Alma:

in 2,345 ;in 1,0 ;in 5,8 ;in 6,34

5,11 ; ksi 39 ; 30,0

; ksi 39 ; ksi 5,63 ; ksi 40 ; ksi 700.10 :bare T3-2024 AL Liga

47.0

====

===

====

w

sutucy

Itdh

nF

FFFE

υ

Dados das Mesas:

in 31,9 :rebitangem da centróides entre Distância

in 31,0 internas rebitagens entre Distânciain 6,34 :mesas das centróides entre Distância

in 16/5 ;in 42,1 XZK, rebites staggered, fileiras 2 :Flanges-Alma Rebitagem

in 15,0 ; in 715,0 ; in 15,1

12 ; ksi 7,35 ; 30,0 ; ksi 39 ; ksi 60

; ksi 37 ; ksi 10700:T3511-2024 AL Liga Extrusão

427.0

==

===

===

=====

==

u

e

FFF

sutu

cy

h

hDp

tIA

nFFF

FE

υ

Dados dos Reforçadores:

in 16/5 XZK, rebites 2 :Flange-Reforçador Rebitagemin 16/5 ;in 29,1

XZK, rebites fileira, 1 :esReforçador-Alma Rebitagemin 481,005,0431,0 ;in 9,31

in 443,0 ;in 188,0 ; in 102,0 ; in 521,0

12 ; ksi 7,35 ; 30,0 ; ksi 39 ; ksi 60

; ksi 37 ; ksi 10700:T3511-2024 AL Liga Extrusão

427.0

===

=+======

=====

==

DDs

ehtIA

nFFF

FE

u

uuu

sutu

cy

ρ

υ

Dados do Carregamento:

(último) kips-in 900 ; (último) kips 5,87 == MS

a) Limitações das Fórmulas

Douglas) da critério o passa (não 5,0OK 25,06,01,05,8

521,0

OK 15002003461,06,34

OK 0,12,0246,06,34

5,8

OK 6,088,11,0

188,0

±>>⇒=×

=

<<⇒==

<<⇒==

>⇒==

dtA

dtA

dtA

th

th

hd

hd

tt

tt

uuu

ee

ee

uu

8.41

b) Tensão Crítica da Alma em Cisalhamento

Nota: no que segue, visando simplificar o exemplo, será deconsiderada a influência da flexão na

carga crítica por cisalhamento. Esta simplificação não pode ser normalmente aplicada em

casos práticos de análise.

26,1 9-8 Fig. 5,11,0

15,0

21,1 9-8 Fig. 88,1

6,5 8-8 Fig. 266,09,315,8

=⇒⇒==

=⇒⇒=

=⇒⇒==

dF

hu

ssc

c

Rt

t

Rtt

khd

( ) ( ) ksi 07,99,315,821,126,1

2121,1

5,81,0

3,0112107006,5

32

2

2

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=π

ηcrsF

regime elástico ⇒ η = 1 ⇒ Fscr = 9,07 ksi

c) Razão de carregamento

788,207,9289,25 ksi 289,25

1,06,345.87

==⇒=×

≈crs

ss F

ff

d) Fator de Tração Diagonal

( ) 219,0788,2log5.0tanh 10 ==k

e) Cálculo mais Apurado de fs

ksi 251,25895,193687,1121

1,038,959895,195,87

in 38,95912

6,340781,02

6,3415,12715,02

in 895,192

6,3415,1 ; in 687,114

6,342

6,340781,0

0781,01,0)219,01()1(

432

33

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛××

+×

×=

=×

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛××+×=

=×==××=

=−=−=

s

Fw

s

f

I

QQ

tkt

Na prática, o mesmo valor anterior, portanto, admitamos que fs = 25,3 ksi e k = 0,219

f) Área Efetiva do Reforçador

22 in 239,0

443,0481,01

521,0=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=euA Aue = 0,239 in2

g) Ângulo de Tração Diagonal

1. Método aproximado:

8.42

905,0tan 14-8 Fig. 219,0 e 3,0

3,0 15-8 Fig. 215,0 e 281,01,05,8

239,0

=⇒⇒==

=⇒⇒==×

=

αkff

ff

kdtA

s

u

s

ueu

2. Método iterativo: 1ª iteração

( )[ ]

( )

981,0979,6296,34422,5296,34tan

10296,34995039,0)3,01)(219,01(995039,0

219,02700.10

3,25

10422,5219,015,0

1.06,3415,12700.10905,0

3,25219,0

10979,6219,015,0281,0700.10

905,03,25219,0rad 736,0905,0tan

4

4

4

=++

=

×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+

×=

×−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

××

×

×−==

×−=−+

××−=

=⇒=

−

−

−

α

ε

εε

ε

αα

n

LFUF

u

2ª iteração

( )[ ]

( )

969,0557,7360,34007,5360,34tan

10360,34999796,0)3,01)(219,01(999796,0

219,02700.10

3,25

10007,5219,015,0

1,06,3415,12700.1098,0

3,25219,0

10557,7219,015,0281,0700.10

98,03,25219,0rad 775,098,0tan

4

4

4

=++

=

×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+

×=

×−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

××

×

×−==

×−=−+

××−=

=⇒=

−

−

−

α

ε

εε

ε

αα

n

LFUF

u

3ª iteração

( )[ ]

( )

971,0480,7357,34059,5357,34tan

10357,34999536,0)3,01)(219,01(999536,0

219,02700.10

3,25

10059,5219,015,0

1,06,3415,12700.1097,0

3,25219,0

10480,7219,015,0281,0700.10

97,03,25219,0rad 77,0970,0tan

4

4

4

=++

=

×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+

×=

×−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

××

×

×−==

×−=−+

××−=

=⇒=

−

−

−

α

ε

εε

ε

αα

n

LFUF

u

α = 44,1o

8.43

h) Tensão de Cisalhamento Máxima na Alma

Fig. 8-16 ⇒ tanα = 0,.970 ⇒ C1 = 0

( ) 262,1715,026,34

1,05,87,05,87,0

254,146,34715,0

1,02696,05,84

11

44

44

=××

×=+

×=

=××

××=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

CT

CT

IIhtd

ht

IIdsend

ϖ

αϖ

Note a diferença entre a expressão exata e aproximada ...

A Fig. 8-17 fornece C2 = 0,06

( )( ) ksi 6,2506,0219,01013,25max =×++=sf fsmax = 25,6 ksi

i) Tensão de Cisalhamento Admissível na Alma

Para k = 0.219 a fig. 8-19 fornece Fs = 24,3 ksi (base Ftu = 62 ksi)

Como o material da alma tem Ftu = 63,5 ksi, a correção dá

ksi 9,243,2462

5,63==sF Fs = 24,9 ksi

03,016,259,24

−=−=MS MS = -0,03

As curvas da Fig. 8-19 são pelo menos 10% conservativas se os rebites forem justos (ou se arruelas

forem empregadas) de modo que não é necessário aumentar a espessura da alma.

35,018,28

39 ksi 39 ksi 8,281,038,959

582,315,87in 582,31895,19687,11 3

=−=⇒=<=×

×=

=+=+=

MSFIt

SQQQQ

su

Fw

20,014,32

39 4,323,2516542,1

42,1=−=⇒=

−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

MSftt

Dpp

sp

sutu

t

su

s

p

FDs

scy

Ff

Ff

tt

Dss

≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

2

max

2

Distância entre o eixo neutro e a fibra extrema c = 17,3 + 3,2 – 2,47 = 18 in ; y = 31/2 = 15,5 in

ksi 89,1638,95918900

max =×

=≈I

Mcft

8.44

076,01863,01

863,0302,0879,016/529,1

29.118

5,155,63

89,1638

3,2516529,1

29,1 2222

=−=

=+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

MS

j) Tensão Média nos Reforçadores

ksi 7,3521,0

238,00,8

ksi 0,8)219,01(5,0281,0

.97,03,25219,0

cent =×

=

=−+××

−=

u

u

f

f fu = 8,0 ksi fucent = 3,7 ksi

k) Tensão Máxima nos Reforçadores

d/he = 8,5 / 31,9 = 0,266 e k = 0,219 ⇒ Fig. 8-21 ⇒ fumax / fu = 1,44 ⇒ fumax = 11,5 ksi

l) Tensões Admissíveis nos Reforçadores

in 6,152

2,312

=== ue

hL

ksi 372,460734,0

188,0102/188,05,1

059,0700.1037 75,0 ==⇒>=⇒=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×

−=

×cycccycc

cc FFFFF

Falha como Coluna: Parábola de Johnson e Verificação de Falha Local

6,310,8

37

9,717,3

33 ksi 33443,0

6,15700.104

371372

2

=−=⇒<

=−=⇒=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

MSFf

MSF

cou

c π

Falha Local Forçada

03,014,117,11 ksi 7,11

1,0188,0219,026

31320 =−=⇒=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛×= MS

Fη

m) Tensões Atuantes nos Flanges

a) tensões primárias

( ) ( )

( ) ( ) 4in 79,689219,0118,34538,9591

kips-in 1,6479,252900 kips-in 9,252219,0190038,95918,3451

=−−=−−=

=−=⇒=−=−=

kIII

MkMI

IM

wF

Fw

w

8.45

Tensões primárias no centróide

ksi 3,166,3415,1

1,6471 ±=

×±=Ff

Tensões nas fibras extremas:

fibras externas: c = 17,3 + 3,2 – 2,47 = 18,03 in fibras internas: c = 17,3 – 2,47 = 14,83 in

Flange em compressão – fibra externa: ksi 9,1679,689/03,181,6471 −=×−=Ff

fibra interna: ksi 9,1379,689/83,141,6471 −=×−=Ff

Flange em tração – fibra externa: ksi 9,1679,689/03,181,6471 =×=Ff

fibra interna: ksi 9,1379,689/83,141,6471 =×=Ff

b) tensões devidas à ação de tração diagonal

( )ksi 4,5

219,015,01,06,34

15,1297,0

3,25219,0−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

××

×−=Ff

c) tensões devidas ao momento secundário no flange

Para ωd = 1.254, a Fig. 8-17 fornece C3 = 1

kip-in 24,3970,00,15,81,03,25219,0121 2

sec =×××××=M

fibras internas: c = 2,47 fibras externas: c = 3,2 – 2,47 = 0,.73

ksi 3,3715,0

73,024,3 ksi 2,11715,0

47,224,322 =

×=−=

×−= FF ff nas extremidades do vão

No centro do vão, as tensões são a metade e com sinais trocados.

n) Tensões Totais Atuantes nos Flanges

Tensão total no centróide do flange em compressão = – 16,3 – 5,4 = – 21,7 ksi

Tensão de compressão máxima nas fibras externas = – 16,9 – 5,4 – 1,7 = – 24,0 ksi no meio do vão

Tensão de compressão máxima nas fibras internas = – 13,9 – 5,4 – 11,2 = – 30,5 ksi no reforçador

Tensão de tração máxima nas fibras externas = 16,9 – 5,4 + 3,3 = 14,8 ksi no reforçador

Tensão de tração máxima nas fibras internas = 13,9 – 5,4 + 5,6 = 14,1 ksi no meio do vão

o) Tensões Admissíveis nos Flanges

Tensão de falha local das abas livres:

8.46

63,0124,039MS

ksi 394,420674,0

2,010075,075,1

059,0700.1037 75,0

=−=

=⇒>=⇒=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×−

≈×

cccycccc FFF

F

Falha como coluna (desconsiderando totalmente o fato da alma dar suporte):

in 789,015,1715,0

==ρ considerando suporte simples nos reforçadores: L’ = 8,5

69,017,216,36 ksi 6,36

789.05,8

700.10437137

2

2 =−=⇒=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= MSFc π

Tensões nas fibras extremas: Fcu = Ftu = 60 ksi

97,015,30

60=−

−−

=MS (esta fibra está em compressão e nem chega a escoar!)

p) Verificação das Fixações (suponha resistência à tração dos rebites de 5/16” = 2,890 kips)

1) Rebitagem alma-flanges A carga por unidade de comprimento é

( )

25,01992,2740,3 kips/in 740,3

5,8890,211 11

1,428,52 rebites número

kips/in 992,20,2190,41419,315,87

=−=⇒=×

=⇒=×=

=×+=

MSq

q

allF

reqF

2) Rebitagem alma-reforçadores Usando os valores da Boeing:

kips/in 292,15,8

521,08,2485,0

kips/in 953,01,05,6315,0

reqshear

reqtension

=××

=

=××=

q

q

73,01292,124,2 kips/in 24,2

29,1890,2

05,01953,00,1 kips/in 0,1

29,1290,1

allshear

alltension

=−=⇒==

=−=⇒==

MSq

MSq

3) Rebitagem flange-reforçador

kips 956,02

239,00,8=

×=uP kips 312,2

115,8992,2

=×

=hP

kips 502,2312,2956,0 22 =+=totalP ⇒ 16,01502,2890,2

=−=MS

8.47

8.6 TRAÇÃO DIAGONAL EM SISTEMAS DE ALMA CURVA 8.6.1 Introdução

Este tipo de estrutura tem um lugar de destaque no projeto de estruturas metálicas leves. O

engenheiro estrutural deve ter um bom entendimento do mesmo, assim como deve ter do sistema

relativamente mais simples de almas planas. De fato, a maioria dos sistemas de almas em cisalhamento

numa estrutura de aeronave são curvos, e não planos. A estrutura da fuselagem de uma aeronave

moderna é o exemplo mais marcante. Projetar todo o revestimento da fuselagem como resistente à

flambagem requereria chapas muito grossas e/ou uma subestrutura de suporte (cavernas e reforçadores

longitudinais) muito pouco espaçada. Isto envolveria uma penalidade considerável, em relação ao peso

estrutural, quando comparada com a alternativa de se projetar um arranjo para revestimento que permita

a flambagem. O revestimento metálico típico de aeronaves modernas de combate ou transporte suporta

as cargas limites e últimas com um grau considerável de flambagem. Diante deste fato, a necessidade

de se entender os efeitos da tração diagonal em sistemas de alma curva é óbvia. O que segue, é uma

tradução, adaptada, do tratamento dado pelas Refs. 8.8 e 8.9 ao assunto.

8.6.2 Discussão Geral

Antes de entrar em detalhes, é útil discutir, de forma geral, o que acorre num sistema de alma curva

quando flamba. Considere uma estrutura semi-monocoque, com uma seção transversal circular ou

elíptica, como mostrado na Fig. 8-26a.

A estrutura consiste de um número de elementos axiais, chamados de reforçadores (stringers) se

são em grande número e de longerons se são poucos (de 3 a 8), que são suportados por cavernas ou

anéis e recobertos por um revestimento. As cavernas podem ser conectadas ao revestimento, com

entalhes para deixar os reforçadores passar, como na Fig. 8-26b, ou podem estar situadas inteiramente

sob os reforçadores e, portanto, não conectadas ao revestimento. Neste último caso são chamadas de

cavernas flutuantes, como mostrado na Fig. 8-26c. Em algumas situações ambos os tipos de cavernas

estão presentes. Comparando esta estrutura com uma viga de alma plana, os reforçadores

correspondem aos flanges, as cavernas correspondem aos reforçadores transversais e o revestimento à

alma. Portanto, os reforçadores carregam e devem resistir cargas axiais. As cavernas suportam os

reforçadores e, no caso de anéis não flutuantes, também encurtam o comprimento dos painéis. O

revestimento carrega (ou resiste) às cargas de cisalhamento.

8.48

Considere, agora, a estrutura sujeita a um torque puro T, como mostrado na Fig. 8-26a. Antes que o

revestimento flambe, a torção produz um fluxo de cisalhamento nos painéis do revestimento dado pela

expressão connhecida

ATq2

=

Somente o revestimento é carregado. Como no caso dos reforçadores transversais da viga de alma

plana, as cavernas não são carregadas e não há cargas nos reforçadores.

À medida que o torque é aumentado, entretanto, a tensão de cisalhamento no revestimento fica

maior do que a tensão crítica, e os painéis flambam. Qualquer incremento adicional de carga tem de ser

agora carregado em tração diagonal. Pode-se listar cinco eventos que ocorrem quando a torsão é

aumentada além da carga crítica, como ilustrado na fig. 8-27:

1- Os painéis do revestimento flambam e tendem a perder a sua forma curva original na região do

centro do vão formados pelos anéis conectados ao revestimento. Isto resulta numa seção poligonal

nas regiões afastadas dos anéis. O ângulo de tração diagonal é menor do que aquele para uma viga

de alma plana, algo no intervalo de 20o a 30o ;

2- Os reforçadores agora sentem uma carga axial, devido à compressão de suas extremidades

resultante da componente da tração diagonal naquela direção (Fig. 8-27b), como no caso da viga de

alma plana;

3- Os reforçadores também sentem uma carga distribuída normal que tende a fletí-los para dentro, no

sentido radial, na região entre os anéis (Fig. 8-27c);

4- Os anéis sentem um carregamento para dentro, que os coloca em compressão no sentido

tangencial. Para anéis conectados ao revestimento, esta carga é aplicada pelos reforçadores e pelo

revestimento, e é portanto “distribuída”. Para anéis flutuantes, esta carga é aplicada somente pelos

reforçadores, vindo exclusivamente de 3- acima, e é, portanto, concentrada nos pontos em que os

reforçadores são conectados aos anéis. Estas cargas concentradas, além da compressão

tangencial, também resultam em flexão dos anéis, como mostrado na Fig. 8-27e;

8.49

5- Quaisquer rebites que sejam utilizados para juntar placas de revestimento ou utilizados nos anéis

das extremidades (i.e., em linhas onde a chapa é descontínua) sentem não somente uma carga do

tipo de cisalhamento, mas também uma carga normal, como no caso da viga de alma plana. Os

rebites também sentem uma carga de tração devida às ondulações do revestimento, o qual tende a

separar dos anéis e reforçadores.

O que é importante observar aqui é que, embora tenha sido aplicado uma torção pura, cargas axiais

de compressão consideráveis foram geradas nos reforçadores e cavernas. E até momentos fletores

foram introduzidos em reforçadores e em anéis do tipo flutuante.

Considere, agora, que ao mesmo tempo em que a carga de torção é aplicada, uma carga de

compressão crescente P é aplicada simultâneamente, como mostrado na Fig. 8-28. O que segue

ocorrerá devdo à presença de P:

1- Os reforçadores, é claro, terão que dividir entre si, a tarefa de suportar a carga P. Haverá algum

revestimento “efetivo” para ajudar;

2- Menos óbvio, mas muito importante, é o fato de que as cargas da tração diagonal devidas ao torque

T serão consideravelmente afetadas pela presença da carga axial, P. Quanto maior for P, em relação

a T, maior será seu efeito sobre os efeitos da tração diagonal. Isto é como segue:

a) Os painéis do revestimento irão agora flambar num valor menor do torque, uma vez que

tensões axiais também estão presentes. Na realidade, há uma flambagem “combinada”

consistindo de flamabagem em cisalhamento e compressão. Isto pode ser obtido da equação de

interação entre estes dois tipos de flambagem;

b) Uma vez que a tensão crítica agora é menor, o fator de tração diagonal, k, será maior;

c) Todos os efeitos de tração diagonal que dependem de k serão majorados. Estes incluem as

cargas axiais induzidas nos reforçadores, as cargas normais que fletem os reforçadores para

dentro, as cargas induzidas nos anéis e as cargas sentidas pelos rebites;

d) O ângulo de tração diagonal será maior, perto de 45o; e

e) O momento fletor nos reforçadores, aumentará

Vê-se, portanto, que o efeito da compressão é ampliar as cargas devidas à tração diagonal.

Considere, agora, que em vez de ser de compressão, a carga axial é de tração. Neste caso, os

efeitos da tração diagonal, devidas ao torque T, são reduzidos:

8.50

1- Os reforçadores e o revestimento sentem a tração devida à P, que se opõe à carga de compressão

devida à tração diagonal;

2- Os painéis do revestimento podem carregar uma tensão maior de cisalhamento antes de flambar. De

fato, uma tensão relativamente pequena de tração pode fazer com que não ocorra flambagem nos

painéis, e se não há flambagem, não há tração diagonal!

3- fator de tração diagonal k será menor (ou zero, se não ocorrer a flambagem).

4- Todos os efeitos da tração diagonal dependentes de k serão reduzidos, e o ângulo de tração

diagonal será menor.

Finalmente, considere que em vez de uma carga axial P, o momento fletor é aplicado

simultaneamente com a torção, como mostrado da Fig. 8-29. Neste caso, quando a torção é aumentada,

a flexão também o é, mantendo constante a razão M/T, como no caso da carga axial P. Então, da teoria

do engenheiro f = Mz/I, e ocorrerá o seguinte:

1- Os reforçadores (e revestimento) acima do eixo neutro sentirão cargas de compressão, quanto mais

distantes do eixo neutro, maior a carga. Os painéis do revestimento mais acima do eixo neutro,

portanto, flambarão primeiro, numa combinação de cisalhamento e compressão e irão produzir os

maiores efeitos de tração diagonal sobre reforçadores e anéis;

2- Os revestimentos abaixo do eixo neutro flambarão depois (ou simplesmente não flambarão) devido à

tração produzida por M. Portanto, os efeitos da tração diagonal serão menores (ou não-existentes)

nos reforçadores e anéis nesta região;

3- Os revestimentos perto do eixo neutro praticamente não sentirão os efeitos das tensões devidas à

flexão, de modo que flambarão aproximadamente como no caso da torção pura, produzindo efeitos

equivalentes.

Em estruturas aeronáuticas reais, como uma fuselagem, o carregamento aplicado é mais complexo.

No lugar de uma torção pura há, normalmente, um conjunto de cargas verticais (e talvez laterais) que

produzem cisalhamentos que podem variar de painel a painel. E pode haver não somente um momento

fletor, mudando ao longo da fuselagem, mas também cargas axiais devidas a pousos, requisitos de

catapulta, etc. Obviamente, tudo isto complica os cálculos, de modo que experiência e bom senso

ajudam muito; mas o método de ataque ao problema é fundamental, e será discutido agora.

8.51

A NACA conduziu um extenso programa de ensaios experimentais ao longo dos anos, com o

objetivo de determinar um sistema para o projeto de estruturas com almas curvas em tração diagonal. A

teoria para este sistema, como no caso da viga com alma plana, foi dada por Wagner (Ref. 8.3) e outros,

e modificada como necessário a partir dos resultados dos ensaios experimentais. O método de análise e

projeto é apresentado e discutido na Ref. 8.2, e os programas de ensaio de consubstanciação são

apresentados na Ref. 8.6. Para o caso de reforçadores, um método alternativo mais direto é apresentado

na Ref. 8.7 e discutido aqui. É aconselhável ao engenheiro de estruturas aeronáuticas consultar estas

referências para uma apresentação mais completa do desenvolvimento teórico e dos resultados

experimentais.

Como mencionado anteriormente, sistemas de almas curvas são de dois tipos. Um destes tem um

arranjo que resulta em painéis de alma, ou revestimento, mais longos na direção axial, d, do que na

direção circumferencial, h. Isto é típico de um sistema de reforçadores numa fuselagem, como mostrado

na fig. 8.30a. Isto é, a geometria do espaçamento de reforçadores, h, e o espaçamento das cavernas, d,

é tal que

1>hd

Anéis flutuantes, não sendo conectados ao revestimento, não determinam o espaçamento d.

Um segundo tipo de estrutura com alma curva pode ser referido como sistema de longerons. Sua

principal característica é que os painéis do revestimento são longos na direção circumferencial. Este tipo

de estrutura, numa fuselagem, tipicamente consistiria de uns poucos membros axiais (mínimo de 3, mas

normalmente de 4 a 8 para um projeto fail-safe) e um grande número de cavernas pouco espaçadas. O

espaçamento típico das cavernas neste sistema é de 4 in a 6 in, comparado com o espaçamento de 15-

20 in no sistema de reforçadores. Isto dá

1<hd

como indicado na Fig. 8-30b.

No sistema de longerons, as cavernas são conectadas ao revestimento e longerons; não há anéis

flutuantes.

8.52

8.7 SISTEMAS DE REFORÇADORES: ANÁLISE DE TRAÇÃO DIAGONAL

Antes que os efeitos da tração diagonal possam ser calculados, as cargas internas primárias da

estrutura (forças axiais nos reforçadores, fluxo de cisalhamento no revestimento, etc), devido aos

carregamentos aplicados, têm de ser determinadas. Uma determinação mais acurada do cisalhamento

nos painéis do revestimento pode ser obtida, se desejado, considerando o revestimento plano, em vez

de curvo, entre reforçadores. Isto porque os painéis, após a flambagem, de fato perdem curvatura,

assumindo uma configuração poligonal, exceto na região imediatamente adjacente aos anéis não-

flutuantes.

8.7.1 Determinação da Tensão Crítica de Flambagem dos Painéis do Revestimento

A resistência à flambagem de painéis curvos sob cisalhamento puro e compressão foi coberta no

cap. VII. A equação para a tensão crítica de flambagem Fscr é

( )2

2

2

112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

htEkF

e

scrs

υπ

η

onde apoio simples é usualmente adotado, de forma conservativa, para a determinação de ks. A Fig. 8-

31 fornece o coeficiente de flambagem em função do parâmetro Z e de a/b (d/h no caso em questão)

Quando o raio de curvatura é muito grande, ou seja, quando os painéis são praticamente planos, um

julgamento deve ser excercido no sentido de decidir se não é o caso de adotar o procedimento explicado

na seção 8.4.

Quando existirem tensões axiais além do cisalhamento, praticamente sempre o caso em estruturas

práticas sujeitas à flexão, a situação é mais complicada. Como discutido no Cap. VII, a presença de

tensões de compressão combinadas com tensões de cisalhamento, causam o painel a flambar num

menor valor de cisalhamento do que flambaria se a tensão de compressão não estivesse presente. A

presença de tensões de tração, além do cisalhamento, permite que o painel suporte tensões de

cisalhamento maiores do que suportaria se as tensões de tração não estivessem presentes.

É importante determinar a tensão real de flambagem do painel na presença de tensões de

compressão. A razão é que isto afeta o fator de tração diagonal k e, em conseqüência, as tensões

decorrentes, afetadas por k.

Inicialmente, considere um painel sujeito à tensão de cisalhamento fs e de compressão fc. Foi

demonstrado experimentalmente na NACA que um painel curvo carregado desta forma flamba de acordo

com a equação de interação

12

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

crs

s

crc

c

Ff

Ff

(8.75)

onde Fccr e Fscr são as tensões críticas para compressão pura e cisalhamento puro, respectivamente.

8.53

Do Cap. VII, a tensão crítica de um painel curvo submetido à compressão uniforme é dado pela equação

( )2

2

2

112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

htEkF

e

ccrs

υπ

η

onde o coeficiente de flambagem é dado pela Fig. 8-32.

Para qualquer painel específico, tem-se

crscrccrs

crc AFFAFF

=⇒= (8.76)

Para qualquer condição dada de carregamento sendo verificada, pode-se calcular fc = (Mz/I) no centro

dos painéis ou, melhor, a 70% da distância entre o bordo menos tensionado (reforçador) e o bordo mais

tensionado (reforçador), assumindo que não haja flambagem, e também fs. Estas tensões manterão uma

razão constante entre si, até que a flambagem ocorra, após o que a tensão de compressão aumenta

mais lentamente. Em conseqüência, pode-se escrever

scs

c BffBff

=⇒= (8.77)

8.54

Substituindo as expressões (8.76) e (8.77) na Eq. (8.75) obtém-se a equação quadrática

12

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

crs

s

crs

s

Ff

Ff

AB

que resolvida para ( )crss Ff fornece

Ccrs

crs RAB

AB

Ff

=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−

=2

42

(8.78)

onde fscr é a tensão real de cisalhamento sob a qual o painel flamba devido à presença das tensões de

compressão. A Eq. (8.78) fornece

crsCcrs FRf = (8.79)

onde RC é sempre menor do que 1. Quando não há tensões de compressão, B = 0 e a Eq. (8.78) fornece

RC = 1, de modo que fscr = Fscr, como era de se esperar. RC deve ser calculado para cada painel.

Considere, agora, que o painel está sujeito à tensão de cisalhamento fs e de tração ft. Para este

caso, foi determinado experimentalmente que a equação de interação é

8.55

121

=−crc

t

crs

s

Ff

Ff

(8.80)

A tensão de cisalhamento fscr, na qual o painel vai flambar na presença da tensão de tração ft é

dada diretamente da equação (8.80)

crsTcrscrc

tcrs FRF

Ff

f =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

211 (8.81)

Uma vez que RT é sempre maior do que 1, a tensão de flambagem na presença de tensões de

tração será sempre maior do que Fscr, a tensão de flambagem quando o painel está sujeito somente ao

cisalhamento.

Da mesma forma que a tensão de compressão reduz a tensão crítica de cisalhamento do painel, a

presença de cisalhamento reduz a tensão crítica de compressão. Em conseqüência, um fator R´C deve

ser aplicado à área efetiva do painel, ao se analisar as cargas primárias, pois a carga total resistida por

um painel em compressão é composta de duas parcelas: a carga carregada pelos bordos do painel + a

carga carregada pela porção central, ou seja

CCcrcCcrcCcrsCcrscrc RABRFRFR

ABFBRBff ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=′⇒′=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=== (8.79a)

( ) ( )[ ]´)( tbbtbff

tFRbbtbftbbftbfP eep

p

crcCeepecrceppainel −+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ′−+=−+=

onde b é a largura do painel, be a largura efetriva (e.g., calculada pela Eq. 6.25) e fp a tensão primária no

reforçador. A contribuição da parte central pode ser levada em consideração através de uma “espessura

efetiva” t´ referida, também, à tensão de bordo fp.

8.7.2 Fator de Tração Diagonal, k

O fator de tração diagonal k é uma função da razão de carregamento fs/fscr onde, como discutido

acima, fscr = FscrRC ou fscr = FscrRT, dependendo se tensões de compressão ou tração estiverem

presentes.

Para um painel curvo, a fórmula para k, determinada a partir de um intenso programa de ensaios

experimentais, é a relação empírica

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

crs

s

ff

Rhtdk 10log3005,0tanh (8.82)

onde fs > fscr (de outra forma não há flambagem e, em conseqüência, não há tração diagonal), R é o raio

de curvatura do painel, e com as seguintes condições subsidiárias

8.56

a) se d/h > 2, use d/h = 2;

b) se h > d, troque d/h por h/d (sistema de longerons) e, neste caso, se h/d > 2, use h/d = 2.

O fator de tração diagonal k pode, também, ser obtido diretamente da Fig. 8-13.

8.7.3 Tensões e Deformações nos Reforçadores

Como no caso do sistema de tração diagonal em almas planas, a carga total no reforçador

consistirá das cargas axiais primárias, PP (positivas se produzem tração), devidas a momentos fletores

e/ou cargas axiais aplicados, adicionadas das cargas induzidas pela tração diagonal, PDT :

DTPst PPP += (8.83)

Como mostrado no esboço acima, PDT é a carga de tração diagonal no reforçador na fronteira de

dois painéis, (a) e (b), adjacentes. De uma maneira geral, a carga de compressão devida à trção

diagonal é

2cot

2cot bbbbaaaa

DThqkhqk

Pαα

−−= (8.84)

onde qa e qb são os fluxos de cisalhamento nos painéis.

Na Ref. 8-2 é mostrado que a área efetiva do painel, resistente à tração diagonal (em cada um dos

reforçadores nos bordos) é

( )2

15,0 CDTe

RkhtA −= (8.85)

A tensão, no reforçador, é dada por,

DTPst fff += (8.86)

onde fp é negativo, em compressão. Desta forma

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]bCaCst

bsaspst RkhtRkhtA

htkfhtkfff

−+−++

−=15,015,02

cotcot αα (8.87)

Nas Eqs. (8.85) e (8.87), se o painel estiver tracionado, RC deve ser substituído por RT.

Se os dois painéis têm parâmetros idênticos, ou se valores médios são tomados para um cálculo

simplificado em ante-projeto, a Eq. (8.87) se reduz a

8.57

( ) Cst

spst

RkhtA

kfff

−+−=

15,0

cotα (8.88)

Os dois painéis podem ter parâmetros idênticos somente quando são partes de uma casca cilíndrica

circular submetida à torção e compressão puras. Se a casca é submetida à flexão (inclusive pura) e

cisalhamento, as tensões não serão constantes e, em conseqüência, k e RC,T também não serão

constantes. Entretanto, se os reforçadores forem pouco espaçados, o uso de valores médios em

associação à Eq. (8.88) é razoável.

Todos os termos nas Eqs. (8.87) e (8.88) são conhecidos, com a exceção de α, que será discutido

mais adiante.

A deformação no reforçador será

c

stst E

f=ε (8.89)

Se fst é maior do que o limite de proporcionalidade, a deformação deve ser lida diretamente da curva do

material, ou calculada através do modelo de Ramberg-Osgood. fst (e consequentemente εst) não pode

ser determinado a não ser que α seja conhecido.

A tração diagonal gera um carregamento secundário no reforçador, tendendo a fletí-lo para “dentro”,

como visto anteriormente. Este carregamento não é uniformemente distribuído; é maior no centro do

reforçador e menor nas extremidades. Recomenda-se que este carregamento seja considerado tal a

causar momentos secundários no reforçador dados por

Rkhtdf

M sst 24

tan2 α= (8.90)

onde R é o raio de curvatura.

Este valor representa o momento de “pico” no centro do reforçador e nos apoios dos anéis.

Produzirá tração no lado interno do reforçador no centro e compressão no lado interno nos anéis. O valor

recomendado de Mst é resultado de extenso progama de ensaios, de modo que é de natureza semi-

empírica. Este momento de flexão, devido à tração diagonal, quando na presença de cargas primárias de

compressão, é amplificado (efeito de viga-coluna).

8.7.4 Tensões e Deformações nos Anéis

Como mencionado anteriormente, há dois tipos de anéis: aqueles conectados ao revestimento e

aqueles denominados de “flutuantes”, que suportam e, em conseqüência, são carregados somente pelos

reforçadores.

Os anéis conectados ao revestimento normalmente são chanfrados para permitir a passagem dos

reforçadores. Estes são conectados aos anéis localmente, através de “shear clips”. Os anéis sentem

uma carregamento que age para dentro, no sentido radial, que os colocam em compressão. Este

8.58

carregamento vem dos reforçadores e do revestimento. O reforçador que é puxado para dentro pelo

revestimento, por sua vez, transmite esta carga aos anéis em pontos discretos, através dos “shear

clips”. O revestimento também puxa os anéis para dentro. O resultado destes dois carregamentos sobre

os anéis de um cilindro submetido à torsão pura, de acordo com a Ref. 8.2, é essencialmente uma

compressão do anel, porque o carregamento é aproximadamente equivalente a uma carga radial

uniformemente distribuída agindo para dentro. Assim como a tração diagonal produz uma tensão de

compressão nos reforçadores, produz, também, uma trensão de compressão nos anéis. Para cascas

cilíndricas circulares, esta tensão é dada por (Ref. 8.2):

( )kdtA

kfffrg

sprgrg

−+−=

15,0

tanα (8.91)

Como para os reforçadores, a Eq. (8.91) assume que os painéis de cada lado do anel têm os mesmos

parâmetros (k, fs, d, t, α) e que não há cargas primárias agindo diretamente sobre o anel. Se este não for

o caso, a Eq. (8.91) tem uma forma semelhante à Eq. (8.87):

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]barg

bsasprgrg dtkdtkA

dtkfdtkfff

−+−++

−=15,015,02

tantan αα (8.92)

A tensão nos anéis, devida à tração diagonal, foi calculada dividindo-se a carga radial sobre o anel,

pela área total, incluindo a área efetiva de revestimento que age juntamente com o anel. A carga radial

de compressão, por unidade de comprimento, é

rg

srg R

dtkfp

αtan−=

A carga de compressão no anel será, então,

αtandtkfRpP srgrgrg −== (8.93)

Não há justificativa teórica para que a área efetiva de revestimento no anel não seja também “corrigida”

pelo fator RC,T, nos moldes das Eqs. (8.87) e (8.88) para a tensão no reforçador. Entretanto, Kuhn (Ref.

8.2) não encontrou evidência experimental de que isto seja necessário. Isto provavelmente é devido ao

fato de que a área dos anéis, nos ensaios realizados, eram grandes quando comparadas à área efetiva

do revestimento, de modo que o erro cometido pela não inclusão do fator de “correção” era pequeno.

Todos os termos da Eq. (8.91) são conhecidos, exceto o ângulo α.

A deformação axial nos anéis é dada por

c

rgrg E

f=ε (8.94)

onde frg e, consequentemente, εrg são desconhecidos até que α seja determinado.

8.59

Quando cargas outras que torsão pura são aplicadas, fs e k variam de painel para painel e a tensão

de compressão não será constante ao longo da circumferência do anel. Há, também, tensões

secundárias de cisalhamento, que variam no painel. Isto é devido ao fato de que, de cada lado do painel,

no reforçador, a ação da alma flambada não é uniforme.

Quando anéis flutuantes são utilizados, as cargas transmitidas pelos reforçadores são

concentradas. Isto produz compressão nos anéis, bem como momentos fletores. É claro que não há

revestimento efetivo agindo com tais aneís. A carga de compressão axial é dada por

αtandtkfP srg −=

e a tensão de compressão (na ausência de tensões primárias), neste caso, é

dtA

kff

rg

srg

αtan−= (8.95)

O momento fletor máximo presente num anel flutuante é dado por

rg

srg R

dthkfM

12tan2 α

−= (8.96)

ocorrendo na junção do anel com o reforçador, e produzindo compressão no flange externo. Há um

momento secundário produzindo tração no flange externo, cuja intensidade é a metade deste valor, no

meio do vão demarcado por dois reforçadores.

8.7.5 Deformações no Revestimento

A deformação, no revestimento, é dada por

( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+= υα

αε 112sen

2sen2 kk

Ef s

n (8.97)

8.7.6 Determinação do Ângulo α

A Ref. 8.2 mostra que, para um sistema de reforçadores em campo de tração diagonal (d > h), α

está relacionado com as deformações no revestimento, reforçador e anel, através da equação

2

241

tan

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

−=

Rh

rgn

stn

εε

εεα (8.98)

onde εst e εrg devem ser fornecidos com valores negativos (compressão), somando, portanto, com a

deformação de tração εn (prositiva) do revestimento.

Para o cálculo do ângulo α é necessário utilizar um processo iterativo, estimando o valor de α ou

tanα na entrada (Eqs. 8.89, 8.94 e 8.97) e verificando o valor de tanα fornecido pela Eq. (8.98).

8.60

A equação (8.98) deve ser utilizada com discrição. Ela pressupõe que o campo de tração diagonal

seja plenamente desenvolvido, i.e., que a superfície originalmente curva entre anéis, passa para uma

geometria poligonal. O termo que envolve o raio, no denominador da Eq. (8.98) representa uma

aproximação da ação da alma ao passar de curva para plana. Por outro lado, a Eq. (.8.98) foi derivada

sem considerar as tensões primárias.

No caso geral, o ângulo de tração diagonal deve ser determinado a partir da minimização da energia

de deformação. A energia de deformação pode ser escrita como

( )[ ]21221

22

21

22 12222

12

1 fffffE

hdthfAE

dfAE

U rgrgrg

ststst

νν ++−+++= (8.99)

onde fst, frg, f1 e f2 são dadas, respectivamente, pelas equações (8.88), (8.91), (8.28) e (8.29),

e ( ) α2cos112 kff s −= . A Eq. (8.99) considera desprezível a contribuição dos efeitos secundários, não

leva em consideração a distribuição não uniforme de tensões e deformações, assim como não considera

as não linearidades geométricas e do material. Além disto, a expressão da energia de deformação do

revestimento despreza a contribuição das tensões primárias, de compressão ou tração, no mesmo. Foi

ignorada, também, a ação do revestimento ao passar de curvo para plano.

A minimização da energia de deformação resulta em

( ) 01211 1212

122

211 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+∂

∂+

∂∂

αν

αν

ααν

αααffffffff

Ehdtf

hfAE

fdfAE

rgrgrg

rg

ststst

st

(8.100)

com

( ) Cst

sst

RkhtA

kff

−+=

∂∂

15,0

cosec2 αα

(8.101a)

( )kdtA

kff

rg

srg

−+−=

∂

∂

15,0

sec2αα

(8.101b)

ααα

α2cos)1(2

2sen2cos4

21 kf

kffs

s −+−=∂∂

(8.101c)

αα

2cos)1(22 kffs −−=

∂∂

(8.101d)

αα

2sen)1(212 kffs −−=

∂∂

(8.101e)

A solução da Eq. (8.100) tem que ser feita por um processo numérico iterativo, por exemplo,

variando o valor de α na entrada até que o erro na satisfação de (8.100) seja nulo.

8.61

8.7.7 Cargas nos Rebites

Há dois tipos de cargas agindo nos rebites

a) as cargas primárias, no plano do revestimento, que agem no sentido de cisalhar rebites ou

ovalizar o furo na chapa, como em qualquer revestimento com emenda;

b) cargas secundárias devidas às ondulações do revestimento, que tendem a “descolar” o

revestimento dos reforçadores e anéis, ou seja, que agem no sentido de romper rebites por

tração, ou fazer com que a cabeça do rebite (especialmente no caso de rebites escareados)

atravesse o furo na chapa.

As cargas primárias nos rebites ocorrem sempre que há uma emenda no revestimento, que

normalmente (mas não sempre) está localizada sobre um reforçador ou anel. Estas cargas também

estão presentes num painel de extremidade ou “cut-out”, onde a área a ser coberta pelo revestimento

termina.

Numa emenda paralela aos reforçadores, a carga por unidade de comprimento, ao longo da linha de

rebitagem, é devida às mesmas causas discutidas no caso do sistema plano de tração diagonal:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= 1

cos11α

ktfq sst (8.102)

Numa emenda (ou abertura) ao longo de um anel, o carregamento é

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= 1

sen11α

ktfq srg (8.103)

Note que se os painéis envolvidos não flambam (em ambos os lados da emenda) k = 0, e a carga por

unidade de comprimento é a mesma para a alma que não flamba (diferença no fluxo de cisalhamento em

ambos os lados da emenda). Em torno de um “cut-out” ou abertura, painéis são projetados ou para não

flambar, ou para flambar com tensão mais alta, objetivando aliviar a carga no elemento estrutural da

borda (e não nos rebites).

O segundo tipo de carga nos rebites não é determinável a partir de um modelo analítico. Um critério

arbitrário, baseado em testes, é recomendado pela Ref. 8.2:

a) quando o revestimento é contínuo através de um anel ou reforçador

Resistência à tração dos rebites, por unidade de comprimento > 0.22 Ftu t (8.104a)

b) quando o revestimento termina ao longo de um anel ou reforçador (devido a um cut-out)

Resistência à tração dos rebites, por unidade de comprimento > 0.15 Ftu t (8.104b)

onde Ftu é a resistência em tração do material do revestimento.

Estes critérios são, sem dúvida, conservativos. A Douglas recomenda que a resistência à tração dos

rebites seja maior do que o valor dado pela Eq. (8.73).

8.62

8.7.8 Tensões Aplicadas e Admissíveis no Revestimento

Para sistemas de almas planas, a tensào máxima é dada pela Eq. (8.48)

( )( )212

max 11 kCCkff ss ++=

Para sistemas curvos, não foi desenvolvida uma teoria correspondente. Os fatores C1 e C2 são

considerados nulos, de modo que fsmax = fs. Para compensar pelo erro introduzido por esta hipótese, a

tensão admissível determinada para painéis planos deve ser multiplicada por um fator empírico, para

painéis curvos, dado por

( )∆+= 65,0salls FF (8.105)

onde

htA

dtA strg tanh10,0tanh3,0 +=∆ (8.106)

A Eq. (8.106) está graficada na Fig. 8-33. A tensão admissível para almas planas, Fs, pode ser obtida

pelas Figs. 8-18 ou 8-19.

A margem de segurança é dada por

8.63

1−=s

alls

fF

MS (8.107)

Note que a tensão admissível é baseada na área bruta. A tensão de cisalhamento líquida carregada

entre os furos dos rebites pode ser elevada até a tensão admissível última do material, Fsu.

8.7.9 Tensões Máxima e Admissíveis no Reforçador

O efeito ao qual está submetido um reforçador, num sistema de tração diagonal plano, se aplica

também no sistema curvo. Desta forma, a Fig. 8-21 também se aplica aos sistemas curvos, e a tensão

máxima no reforçador, devido ao campo de tração diagonal, é

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

DT

DTDTDT f

fff max

max (8.108)

onde

TCst

sDT

RkhtA

kff

,)1(5,0

cot

−+−=

α (8.109)

Os modos possíveis de falha dos reforçadores são a falha local e a falha como coluna. Ambos os

modos de falha são causados pelas tensões de compressão e são difíceis de analizar. A seguir, são

apresentados quatro métodos de análise:

i) um “Método Rápido”, conveniente para dimensionamento preliminar e verificações imediatas;

ii) o Método Douglas, variante do Método Rápido e recomendado para uma análise mais apurada;

iii) o Método NACA, bastante tedioso e, em conseqüência, não recomendado; e

iv) o Método Melcon-Ensrud, uma alternativa mais apurada para o Método Rápido.

MÉTODO RÁPIDO

a) Verificação da resistência local

Em sistemas planos, a compressão nos reforçadores é devida exclusivamente à tração diagonal.

Em sistemas curvos, tensões de flexão também podem estar presentes. Assim como há dois tipos de

cargas básicas (e tensões) nos reforçadores e anéis (as cargas primárias e as cargas devidas ao campo

de tração diagonal) há também dois tipos de tensões admissíveis para falha local. Uma equação de

interação é então utilizada para prever a resistência necessária:

15,1

0

max =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Ff

Ff DT

cc

p (8.110a)

onde fp é a tensão primária. A largura efetiva do revestimento para efeito de cálculo das tensões fp pode

ser tomada igual a 30 t. Fcc é a tensão de falha local do reforçador, tomado sozinho, e F0 é a tensão

admissível para falha local forçada devida à tração diagonal, já discutida anteriormente:

8.64

Para liga de alumínio 2024-T3

31

320 26000 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

tt

kF st

η (8.59b)

Para liga de alumínio 7075-T6

31

320 32500 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

tt

kF st

η (8.59d)

1) Se F0/η exceder o limite de proporcionalidade, use como tensão admissível a tensão

correspondente à deformação de compressão F0/E, ou seja

EEs=η (8.60)

As equações acima estão representadas graficamente na Fig. 8-23. As tensões admissíveis para

outros materiais podem ser obtidas com o auxílio da Fig. 8-24.

b) Falha como Coluna

A análise de flambagem como coluna usa a seguinte equação de interação:

1=+crDT

DT

cr

p

Ff

Ff

(8.110b)

Aqui, Fcr é a tensão de flambagem do reforçador (Euler-Johnson), usando a área efetiva do revestimento

no cálculo de ρ , e comprimento efetivo igual a d. Flambagem torsional, entretanto, é, às vezes, crítica; e

FDTcr é a tensão de flambagem devido à tração diagonal, usando uma área efetiva de revestimento igual

a 0,5ht(1-k)RC, no cálculo de ρ , e 2dL =′ quando o reforçador é contínuo em ambas extremidades,

ou 5,1dL =′ , quando é contínuo somente numa das extremidades. Em ambos os casos, entretanto,

devido ao fato de que o revestimento flambado resulta num efeito redutor, não quantificado, da

resistência à flambagem do reforçador, a área efetiva de revestimento não é utilizada no cálculo de ρ, se

o resultado resulta num raio de giração maior do que aquele do reforçador atuando sozinho.

MÉTODO DOUGLAS

A Douglas (Ref. 8.5) sugere os seguintes procedimentos:

a) Verificação da resistência local

11

0

max

−+

+=

Ff

Fff

MSDT

cc

bstp (8.111a)

8.65

onde fstb é a tensão devida ao momento secundário dado pela Eq. (8.90). A largura efetiva do

revestimento para efeito de cálculo das tensões fp e fstb pode ser tomada igual a 30 t.

a) Falha como coluna

Os reforçadores devem ser verificados quanto à falha como coluna, com base nas seguintes

equações:

11−

+=

c

bstst

Fff

MS (entre anéis) (8.111b)

onde fst é dado pela Eq. (8.88); fstb é a tensão devida ao momento secundário Mst, dado pela Eq. (8.90),

e calculada na cota do revestimento, e Fc é a tensão admissível (Euler-Johnson) para o reforçador e

revestimento efetivo, considerados como uma coluna bi-engastada (c = 4); para simplificar os cálculos

(evitar o processo iterativo de cálculo), a largura efetiva de revestimento pode ser admitida como 30 t; e

11

1

−+

=

cc

bstst

Fff

MS (nos anéis) (8.111c)

onde fst é dado pela Eq. (8.88); fstb é a tensão devida ao momento secundário Mst, dado pela Eq. (8.90),

e calculada na cota da aba livre do reforçador (não conectada ao revestimento), e Fcc1 é a tensão

admissível de falha local para a aba do reforçador não conectada ao revestimento.

MÉTODO NACA

a) Verificação da resistência local

Considere a estrutura sujeita a cargas axiais (ou de flexão) somente, sem qualquer cisalhamento, e

calcule a tensão primária fp e tensão de falha local Fcc para os reforçadores. Depois considere que a

estrutura esteja sujeita exclusivamente aos carregamentos de cisalhamento e torção (sem cargas axiais

ou de flexão) tal que as tensões primárias nos reforçadores sejam nulas. Para qualquer reforçador,

suponha que a tensão de cisalhamento média nos dois painéis adjacentes sejs fs. Usando o último termo

(fDT) da Eq. (8-88), ache, por tentativas sucessivas, o valor de fs que resulta em fDTmax = F0. O processo

exige um esforço considerável, uma vez que para cada valor assumido de fs é necessário determinar

numerosos parâmetros (k, as deformações, processo iterativo para determinar α, etc.). Denomine o valor

de fs assim encontrado, de Fs0. A margem de segurança é então calculada pela equação de interação

15,1

0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

s

s

cc

p

Ff

Ff

(8.112a)

Nesta equação, fs é a tensão de cisalhamento média real, nos dois painéis adjacentes ao reforçador.

b) Falha como coluna

8.66

O mesmo procedimento utilizado em a) é aplicado, exceto que as tensões admissíveis são Fcr, em

vez de Fcc, e F’s0, em vez de Fs0. A tensão admissível Fcr é determinada como na Eq. (8.107b). Como em

a), através de tentativas sucessivas, ache o valor de fs que resulta em fDT = FDTcr , onde FDTcr é definido

como na Eq. (8.110b). Denomine o valor de fs, assim encontrado, de F’s0 , e determine a margem de

segurança a partir da equação de interação

15,1

0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

+s

s

cr

p

Ff

Ff

(8.112b)

MÉTODO MELCON-ENSRUD

Este método foi apresentado na Ref. 8.7. É mais direto do que o Método NACA, considera, também,

a rigidez torsional do reforçador, e independe do ângulo de tração diagonal. A margem de segurança é

calculada pela expressão

1180,025,125,1−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′′+′

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

c

cc

cr

p

Fff

Ff

MS (8.113)

onde

=pf tensão de compressão primária no reforçador;

=crF tensão crítica do reforçador, calculada como discutido na Eq. (8.110b);

=′cF tensão de flambagem do reforçador sozinho, considerando a falha local, e usando um

coeficiente de fixação = 2 quando o reforçador é contínuo, nos anéis, em ambas as

extremidades e 1,5, quando é contínuo em somente uma extremidade;

0=′cf quando crss Ff λ< (não há flambagem)

( )st

crssc A

htFfvf

λ−=′ quando crss Ff λ≥

0=′′cf quando fs < λ F’s

333,053,0⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′′−

=′′d

hA

dtFF

Fff

st

s

s

ssc

λλ quando crsss FfF <<′λ

333,053,0⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′=′′

dh

AdtF

fst

sc

λ quando crss Ff ≥

com os seguintes parâmetros

8.67

25,0

1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ht

JI

Rdv

st

st

com Jst = fator de rigidez torsional 3

3ii tb∑= para seções abertas, e Jst p

tA st24

≈ para seções

fechadas, com A = área incluída e p = perímetro;

25,0

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

s

cg

ff

λ

com fcg = tensão primária baseada na área do reforçador + área total do revestimento (efetividade total),

ou seja,

totaltotalcg A

PIMcf +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′

hEt

SFs 25,04

π com

RtdS

2

=

2

25,5 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′′

htEFs

sscrs FFF ′′+′=

Quando o valor de fs varia nos painéis acima e abaixo do reforçador, use a média ou, mais

conservativamente, use o maior valor. Se h ou t varia, use a média.

O que segue é aplicável aos 4 métodos. Se um reforçador apresentar margem de segurança

negativa, não quer necessariamente dizer que este reforçador falhará. Se os outros reforçadores podem

carregar uma parcela suficiente da carga, a deformação no reforçador flambado é limitada, prevenindo a

falha (veja Art. A19.11 da Ref. 8-8). O reforçador, entretanto, deve ser capaz de carregar a sua própria

carga de tração diagonal. Por outro lado, como as cargas de tração diagonal não variam linearmente

com as cargas aplicadas, as margens de segurança são, na realidade, aparentes.

Recomenda-se o uso do método da Douglas, por ser o único que leva em consideração as tensões

devidas ao momento secundário, as quais podem atingir valores consideráveis.

8.7.10 Tensões Máxima e Admissíveis no Anel

Os anéis têm tensões admissíveis semelhantes, em natureza, às dos reforçadores. A margem de

segurança é dada por

11

0

max

−

+

=

rg

rg

ccrg

prg

Ff

F

fMS (8.114)

8.68

onde frgp é a máxima tensão de compressão no flange do anel, devidas às cargas primárias, e frgmax é a

tensão máxima no anel, devida à tração diagonal, obtida de forma similar como para o caso do

reforçador, através da Fig. 8-21 (note que, usualmente, d/h > 1, de modo que frgmax = frg):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

rg

rgrgrg f

fff max

max (8.115)

onde

( )kdtA

kfAA

Pf

rg

s

reverg

rgrg

−+−=

+=

15,0

tanα (8.95)

Frgcc é a tensão de falha local do anel, e Frg0 é a tensão admissível para falha local forçada devida à

tração diagonal, já discutida anteriormente:

Anéis flutuantes, não sendo sujeitos à falha local forçada pelo revestimento, são analisados na

forma usual, devendo satisfazer, nas junções com os reforçadores e entre reforçadores, o critério

1−++

=brgrgprg

ccrg

fffF

MS (8.116)

onde frgb são as tensões devidas aos momentos dados pela Eq. (8.96) e propriedades da seção do anel.

Note que frg é constante entre reforçadores, não ocorrendo um pico como nos anéis conectados

diretamente ao revestimento (para d/h < 1).

8.7.11 Instabilidade Geral

Uma verificação em relação à instabilidade geral para reforçadores e revestimento pode ser

realizada usando-se o critério empírico representado pela Fig. 8-34. As tensões admissíveis são

baseadas em ensaios realizados sob torção pura. A adequacidade da estrutura é verificada pela

expressão

01inst

≤−s

s

Ff

(8.117)

É sugerido que uma respeitável margem de segurança seja garantida (MS > 0.15). Os raios de giração

na Fig. 8-34 devem ser calculados considerando-se a largura total do revestimento agindo com o

reforçador, ou anel, respectivamente, e que o revestimento seja considerado plano, porque o critério foi

desenvolvido nestas condições de ensaio.

8.69

8.8 Referências

8.1 Wagner, H.: Flat Sheet Metal Girders with very Thin Metal Web, Parts I to III, NACA TM 604 to 606,

1931.

8.2 Kuhn, P., Petersen, J.P. & Levin, L.R: A Summary of Diagonal Tension – Part 1 – Methods of

Analysis, NACA TN 2661, May 1952.

8.3 Wagner, H. & Ballerstedt, W.: Tension Fields in Originally Curved, Thin Sheets during Shearing

Stresses, NACA TM 774, 1935.

8.4 Boeing Design Manual, Vol. III, BDM 6320, Intermediate Tension Beams, The Boeing Co., Jan 1993.

8.5 Douglas Structural Design Manual, Vol. I, B-5, Shear Webs, McDonnell Douglas Corporation, Aug

1982.

8.6 Kuhn, P., Peterson, J.P. & Levin, L.R.: A Summary of Diagonal Tension – Part II – Experimental

Evidence, NACA TN 2662, 1952.

8.7 Melcon, M.A. & Ensrud, A.F.: Analysis of Stiffened Curved Panels Under Shear and Compression,

Journal of the Aeronautical Sciences, Fev 1953, pp. 111-126.

8.8 Bruhn, E.F.: Analysis and Design of Flight Vehicle Structures, Tri-State Offset Co., 1973.

8.9 McCombs, W.F.: A Supplement to Analysis and Design of Flight Vehicle Structures – Bruhn – for

Increased Scope and Usefulness, Datatec, Dalas, 1998.