estruturas aeroespaciais estabilidade estrutural 1 introdução falha da estrutura: falha do...

Estruturas Aeroespaciais Estabilidade Estrutural 1

Introdução

• Falha da estrutura: • Falha do material

– Deformação plástica

– Rotura

– Fadiga

– Aumento incontrolável de uma fractura

• Falha da estrutura

– “Flutter “

– Encurvadura


Introdução

• Definição : – Vigas são elementos estruturais que têm uma das

dimensões (o comprimento) muito maior do que as outras duas e que resistem a esforços de flexão.

• Objectivo :– Deduzir as equações de equilíbrio de uma viga

plana em termos gerais de 2º ordem, linearizando depois as equações para o caso de pequenas deflexões


Equações de equilíbrio

• Equilíbrio de um elemento de viga na sua configuração de deflectida, (viga falhou por encurvadura)

zP



• Equações de equilíbrio de forças nas direcções horizontais e verticais e o equilibro de momentos

00

00

00

dMMMdxdx

dzPdxdVVM

PPF

VdVVF

x

z



• Utilizando a equação de equilíbrio segundo z e substituindo na equação de equilíbrio dos momentos podemos obter:

2

2

2

2

0dx

zdP

dx

Mddx

dzP

dx

dMV


• Hipótese de Navier: “secções planas e perpendiculares ao eixo da viga, permanecem planas e perpendiculares após a deformação”:

x

z

R



• Comprimento da linha média:

• Extensão:

• Tensão

• Momento


RL

R

z

R

z

L

LL'

R

EzE

R

EIdAz

R

EdAzM 2


• Para pequenas deformações onde podemos negligenciar o encurtamento da barra e as deformações por corte e obter:

• Substituindo na equação encontrada para o equilibro da viga obtemos:

onde


2

2

dx

zdEIM

02

22

4

4

dx

zdk

dx

zdEI

Pk


• A solução da equação terá a seguinte forma:

• Sujeita às seguintes condições fronteiraApoio simples Encastramento Apoio Livre


4321 CxCkxcosCkxsinCz

0z

0dx

zd2

2

0z

0dx

dz

0V

0dx

zd2

2


Viga simplesmente apoiada

• Sujeita às seguintes condições fronteira

0dx

zdEIM

0z0x

2

2

0dx

zdEIM

0zLx

2

2



• Obtemos as seguintes equações :

• Para não obtermos a solução trivial (C1=C2=C3=C4=0):

0kLcoskCkLsinkC

0CLCkLcosCkLsinC

0C

0CC

22

21

4321

2

42

0kLsin



• As cargas que garentem a solução serão:

• A que correspondem a deflexões

......3,2,1n,L

EInP

2

22)n(

cr

xksinC)x(z )n(1

)n(


• Como podemos obter o 2º modo se há deflexão com a menor carga critica (1º modo)?

• Introduzindo um apoio a meio da viga


2

2)1(

crcr L

EIPP

L

xsinC)x(z 1


• Assim o primeiro modo de encurvadura é suprimido. Logo a menor carga crítica:

• Esta carga é quatro vezes a carga critica da viga quando esta não tem o suporte a meio vão.


2

2)2(

cr L

EI4P

L

x2sinC)x(z 1


• As condições

fronteira serão:

Viga encastrada livre

0

dx

dz0z

0x

0dx

dzP

dx

dMV

0dx

zdEIM

Lx2

2Em que V=0 pode ser escrito como

0dx

dzk

dx

zd 23

3


• Introduzindo as condições de fronteira acima descritas na Equação de equilíbrio:



0kC

0kLcoskCkLsinkC

0CkC

0CC

33

22

21

31

42

.....5,3,1n,L2

nk

sejaou0kLcos


• As cargas criticas de encurvadura e os modos de instabilidade serão:


2

22)n(

cr L4

EInP

1xL2

ncosC)x(z 2

)n(


• As condições

fronteira serão:

Viga encastrada apoiada

0

dx

dz0z

0x

0dx

zd0z

Lx2

2





0kLcosCkLsinC

0CLCkLcosCkLsinC

0CkC

0CC

21

4321

31

42

0kLkLtan


• A 1ª carga critica de encurvadura e o modo de instabilidade serão:


22

2

cr L

EI16.20

L

EI49.4P

1

L

x49.4cos

L

x49.4

L

x49.4sinC)x(z 1


• As condições

fronteira serão:

Viga duplamente encastrada

0

dx

dz0z

0x

0

dx

dz0z

Lx



• Solução possível


0CkLsinkCkLcoskC

0CLCkLcosCkLsinC

0CkC

0CC

321

4321

31

42

......3,2,1m,mxkL,0kLsin


• As cargas criticas de encurvadura e os modos de instabilidade serão:


......3,2,1n,L

EIn4P

2

22)n(

cr

z(x)=C2 cos kx + C4 = C2 (cos kx-1)

....3,2,1n,L

n2k


Comprimento equivalente

• Todas as cargas criticas encontradas podem ser descritas na forma:

• Le é o comprimento equivalente que seria necessário para uma coluna de Euler (simplesmente apoiada) ter a mesma carga crítica do que a coluna em questão

2

2

ecr

L

EIP


Comprimento equivalente

• Para os casos estudados:• Le=L Coluna de Euler (simplesmente apoiada)

• Le=0.5L Coluna duplamente encastrada

• Le=0.7L Coluna encastrada apoiada

• Le=2L Coluna encastrada livre


Exemplo

• Considere-se a coluna da figura abaixo, onde a rigidez da metade esquerda é quatro vezes maior que a rigidez de metade direita:


Exemplo Continuação

• Considere-se a coluna da figura abaixo, onde a rigidez da metade esquerda é quatro vezes maior que a rigidez de metade direita:


Exemplo

• Considere-se a coluna simplesmente apoiada, de rigidez EI e comprimento L, carregada a meio vão pela força axial P:


Exemplo continuação



Colunas com apoios elásticos

• Numa estrutura muitas vezes os apoios são da viga são elásticos e não rígidos:

• Em que os apoios de têm rigidez extensional ki (força por unidade de comprimento, N/m) e rigidez torcional hi (momento por radiano, Nm/rad).



• A equação de equilíbrio é a já encontrada para os casos anteriores.

• As condições de fronteira serão

dx

dzhhM

zVx

000

000

dx

dzhhM

zVLx

LLL

LL



• Pode-se então escrever para os momentos:

• Para o esforço transverso:

LzhMLzEI

zhMzEI

EI

Mz

LL'''

'00

'''' 00

LzVLzPLzEI

zVzPzEIzPzEIV

LL

''''00

'''''''' 000



• Introduzindo os parâmetros:

• Obtêm-se

EI

h

EIi

ii

i

0

0000

0

000

'2'''0

'2'''

'''

'0

''

LzLzkLz

zzkz

LzLz

zz

L

L



• Dado que a solução é a já encontrada :

• Podemos escrever:

4321 sincos CxCkxCkxCz

0sincos

cossincossin0

0cossinsincos

0

4321

32

2133

23

1

401032

23

23

321222

1

30202

1

CLCkLCkLC

CkkLCkLCkkLkCkLkCCCCkCkCk

CkLkCkLkCkLCkkLkC

CCkkC

LLLL

LLL



• Que simplificando dá o sistema:

• Cuja equação característica é

002

cos2

sin

0

003

005

00

2000

4000

60

k

kLkLkk

kLkLkLk

LL

LLLLLL

LLLLLLl

0sincos

0sincoscossin

0

0

432

21

322

12

4032

10

30202

1

CCLkCkLCkL

CCkLkkLkCkLkkLk

CCkC

CCkkC

LLLL

LLL



• Vamos agora aplicar este método às vigas já estudadas:– Coluna simplesmente apoiada

• Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita

• Rotação livre: Mola com rigidez zero

0

00

0

x

0L

LLx


Coluna simplesmente apoiada

• Introduzindo no sistema encontrado:

• Para não obter a solução trivial

2

2

0sinL

EIPnkLkL cr

0

0sin

0

0

0sin

0sin

00

0

3

2

4

1

43

2

2

22

430

2

4032

12

C

CkL

C

C

CCLk

CkL

CkLk

CCk

CCk

Ck

L


Coluna Encastrada-Livre

– Encastramento• Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita

• Não há Rotação: Mola com rigidez infinita

– Extremo livre• Deslocamento livre: Mola com rigidez zero

• Rotação Livre: Mola com rigidez zero

0

00

x

0

0

L

LLx


Coluna Encastrada-Livre

• Então o nosso sistema será:

• Com a solução não trivial:

2

2

22120cos

L

EIPnkLkL cr

0

0cos

0

0

0

0cos

00

00

3

12

41

2

32

12

41430

2

1

323210

2

C

CkLk

CC

C

Ck

CkLk

CCCCk

C

CkCCkCCk


Coluna Encastrada-Apoiada



– Apoiada• Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita

• Rotação Livre: Mola com rigidez zero

0

00

x

0L

LLx


Coluna Encastrada-Apoiada


• Com a solução não trivial:kLkL tan

0tan

tan

0

0sincos

0sincos

00

00

2

21

41

23

4321

22

12

41430

2

1

323210

2

CkLkL

CkLC

CC

kCC

CLCCkLCkL

CkLkCkLk

CCCCk

C

CkCCkCCk


Coluna Duplamente Encastrada



0

00

x

L

LLx




• Pode-se obter:

0

0

cos1sin

sincos1

4

2

C

C

kLkLkL

kLkL

0sincos

0cossin

0sincos

0cossin

0

0

4224

224

41

23

4321

321

41

32

CkLCCkLCkL

CCkLCkL

CC

kCC

CLCCkLCkL

CCkLkCkLk

CC

CkC



• Cuja equação característica é

0sincos12

0sinsincoscos21

0sinsincos122

22

kLkLkL

kLkLkLkLkL

kLLkkLkL


Exemplo

• Considere-se uma coluna uniforme, simplesmente apoiada em um dos apoios e tendo o outro apoio com elasticidade extensional de rigidez , conforme a figura abaixo.


Exemplo

• Considere-se agora a coluna do exemplo anterior mas à qual se substitui o apoio esquerdo por um encastramento, tal como demonstrado na figura abaixo:


• As colunas das estruturas porticadas são um exemplo muito comum de colunas com apoios elásticos.

• A rigidez extensional das vigas BC é igual a (EI)1/L1. Na maioria dos casos práticos esta rigidez costuma tomar-se como infinitamente grande.

Estabilidade de Pórticos



• Então o modelo para o cálculo das cargas críticas das colunas AB

• Onde a rigidez de rotação h do apoio B baseada nas propriedades de flexão das vigas BC



• Para deduzir estas rigidezes de rotação impõe-se um momento concentrado no apoio B da viga BC.

•

• Para o 1º caso:

432

23

1'''' 00 CxCxCxCzzk



• Onde são impostas as condições de fronteira:

1

32

4

1

'

11

'' 2

000

EI

hCC

C

EI

hz

EI

h

EI

Mz

zx

026

0

0

0

211

4132

123

11''1

CLC

CLCLCLC

z

zLx



• Obtém-se assim

• Ou seja a rigidez torcional para os casos 1,3 (viga apoiada no extremo C)

3211

1

311

3211

211

1

32

2

6

03

2

CLCEI

hCLC

CLCLCEI

hCC

1

13,1

3

L

EIh



• Para o segundo caso (viga encastrada na extremidade C)

• Com condições de fronteira43

22

31

'''' 00 CxCxCxCzzk

1

32

4

1

'

11

'' 2

000

EI

hCC

C

EI

hz

EI

h

EI

Mz

zx



• E

• Obtendo-se o sistema

• De onde se pode finalmente obter a rigidez torcional para os casos 2 e 4 :

023

0

0

0

3122

11

3122

11' CLCLC

CLCLC

z

zLx

1

3

1

3

312

1

32 4

02

2

EI

hC

L

C

CLCEI

hCC

1

14,2

4

L

EIh



• Podemos agora aplicar ao pórtico 1 e 2:– Apoio simples (x=0)

• Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita α0= ∞

• Rotação Livre: Mola com rigidez zero β0= 0

– Apoio elástico (x=L) • Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita αl= ∞

• Rotação condicionada: Mola com rigidez βl= h1,2/EI



• Substituindo nas equações para a viga com apoios elásticos obtém-se:

• Ou seja

L

kLkLkkLk

LCkLC

CCkLkkLk

C

C

LLLL

sinsincos

0sin

0sincos

0

0

2

32

322

4

1

kLL

kLkL

L

1cot



• Dado que o nosso βL depende de h que por sua vez depende da condição fronteira em C obtém-se para os casos 1 e 2

1

1

1

1 4,

321 LEI

EI

LEI

EILL



• Podemos agora aplicar ao pórtico 3 e 4:– Encastramento (x=0)

• Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita α0= ∞

• Não há Rotação : Mola com rigidez infinita β0= ∞

– Apoio elástico (x=L) • Não há deslocamento : Mola com rigidez infinita αl= ∞

• Rotação condicionada: Mola com rigidez βl= h1,2/EI



• Substituindo nas equações para a viga com apoios elásticos obtém-se:

• Ou seja

0sincos

0sincoscossin

0

0

4321

322

12

41

32

CLCkLCkLC

CCkLkkLkCkLkkLk

CC

CkC

LLL

0sin1cos

sincoscossin

21

22

12

CkLkLCkL

CkkLkkLkCkLkkLk LLL



• E finalmente

• Dado que o nosso βL depende de h que por sua vez depende da condição fronteira em C obtém-se para os casos 3 e 4

02cos2sin1 22 LkLLkkLLk LLL

1

1

1

1 4,

343 LEI

EI

LEI

EILL


Exemplo

• Considerem-se agora os dois pórticos da figura abaixo, os quais se distinguem apenas pelas condições dos apoios. Determinar a carga crítica que provocará a instabilidade destes pórticos de modo anti-simétrico indicado na figura.


Coluna com carregamento descentrado

• Na prática as cargas axiais nunca se exercem segundo o eixo longitudinal da viga.

• Este factor pode ser devido a imperfeições geométricas, imperfeições do material ou mesmo desalinhamento da carga axial.

• Pode existir por isso uma excentricidade no carregamento axial.



• Continuamos a ter a mesma equação de flexão:

• Cuja solução continua a ser :

02

22

4

4

dx

zdk

dx

zdEI

Pk

4321 CxCkxcosCkxsinCz



• Condições de fronteira para este caso

ekCk

CCek

EI

eP

EI

Mz

zx 2

12

412''

000

ekkLCkkLCk

CLCkLCkLCek

EI

eP

EI

Mz

zLx 2

22

12

43212''

sincos

0sincos0



• Resolvendo o sistema obtém-se

• Deflexão completamente determinada

kL

kLeC

C

eC

eC

sin

cos10

2

3

4

1

1sin

sin

cos1cos kx

kL

kLkxez



• Estudando o ponto de deflexão máxima:

• Deflexão máxima é obtida a x=L/2

2sin

cos1tan

0cossin

cos1sin0

kLkx

kL

kLkx

kxkL

kLkx

dx

dz

ekLez 2secmax



• Carga crítica quando

• Ou seja

• O momento de Flexão máximo

• E a correspondente tensão máxima de compressão

maxz

2

2

22 L

EIP

kLcr

2secmaxmax

kLePezPM

I

cM

A

P maxmax


Efeitos de imperfeições iniciais

• Então para um determinado ponto da coluna já existe um momento flector dado por

20

2

0 dx

zdEIM



• Ao ser aplicada a carga axial P o momento flector terá um acréscimo:

20

22

2

22

20

2

2

2

20

2

2

2

0

dx

zdzk

dx

zdzk

dx

zd

dx

zd

zPdx

zdEI

dx

zdEIzPMMM



• Dado que a deformada inicial também tem que respeitar as condições de fronteira z0(0)=z0(L)=z’’0(0)=z’’0(L)=0 a sua forma pode ser dado por:

• Então a equação de equilíbrio é:

1

0 sinn

n L

xnAz

1

22

22

2

2

sinn

n L

xnAn

Lzk

dx

zd



• A solução da equação anterior é:

• Introduzindo as condições de fronteira z(0)=0=z(L) (ou seja C1=0=C2)

12

2

21 sinsincosn

n

L

xn

n

AnkxCkxCz

)(2

22

EulerP

PLk

cr

12

2

sinn

n

L

xn

n

Anz



• Se P=Pcr, onde estamos numa situação de equilíbrio neutro, onde a deformada encontra-se perfeitamente definida. Logo

• E então pode-se escrever

1

2

11

ncr nPP

L

xAzPP cr

sin1

1



• A maior flecha será a meio vão da coluna:

crPPAA

z

11

11max


Vigas sujeitas a carregamentos axiais e transversais

• Vamos agora estudar a viga com carregamentos transversais para além da carga axial de compressão



• Analisando uma secção da coluna

a

LxxEI

wzk

dx

zd

PzxwLx

wdx

zdEI

PzxwLx

wxM

222

2

2

2

2

2

022

022



• Com a solução

• A que são impostas as condições de fronteira

22

21

2

2sincos

kLxx

P

wkxCkxCz

kLkLPk

wC

Pk

wC

kLL

P

wkLCkL

Pk

wLz

Pk

wCz

cos1sin

02

2sincos0)(

00)0(

22

21

222

22

21



• Obtendo-se a equação da deformada

• Dado que se assumiu que o carregamento é simétrico tem-se que a meio vão

2

22

2

2sin

sin

cos1cos

kLxx

P

wkx

kL

kLkx

Pk

wz

P

wLkL

Pk

wz

Lx

81

2sec:

2

2

2max



• Temos também

• Que também se pode escrever

1

2sec

222:

2 2max

2

max

2

max

kL

k

wPz

LwPz

Lxw

xwM

Lx

1

2sec

2

2

maxcr

cr

P

P

P

PwLM



aW

AB

L

aWR

L

aLWR

LRaWM

WRRF

A

B

AB

BAx

0

0



• Fazendo o equilíbrio de momentos na parte à direita e à esquerda da coluna

• Com solução

LEI

xLaLWzkz

LEI

axWzkz

xLRPzMxMaLx

xRPzMxMaLx

B

A

22''

2

12''

1

00

00

LEI

xLaLWkxCkxCz

PL

axWkxCkxCz

sincos

sincos

432

211



• Aplicando as condições de fronteira e continuidade

PL

aWaLkkLaLkkC

PL

aWaLkkCaLzaLz

aLPL

aWaLkkLaLkC

aLPL

aWaLkCaLzaLz

kLCCkLCkLCLz

Cz

sintancos

cos)()(

sintansin

sin)()(

tan0sincos0)(

00)0(

4

2'

2'

1

4

221

43432

11



• De onde se obtém

• Pode-se considerar o caso particular da carga aplicada a meio vão x=L/2.

kLkP

aLkWC

kLkP

kaWC

tansin

sinsin

4

2

2

22

221max

cos

1

2sin

sin

,42

sin22

L

L

kPk

W

kLPk

kWC

P

LW

LkCLzLzz

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