ae 213 - estabilidade de estruturas aeronÁuticas capítulo 5

AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS

Capítulo 5Capítulo 5

ESTABILIDADE DE PLACAS


Placas RetangularesPlacas Retangulares


Placas – CaracterísticasPlacas – Características

Colunas: Flexão pode ser considerada num único plano M, w, etc – Funções de uma única variável (x) Equações diferenciais ordinárias Carga de flambagem é a carga de falha

Placas: Flexão em dois planos M, w, etc – Funções de duas variáveis (x, y) Equações diferenciais parciais Carga de Flambagem não é a carga de falha

É necessário analisar o comportamento de placas após a flambagem para a determinação da carga de falha


Teorias de PlacasTeorias de Placas

Placas Espessas: se a espessura é considerável, deformações de cisalhamento são da mesma ordem de grandeza das deformações de flexão devendo, portanto, ser consideradas na análise.

Placas Finas: quando a espessura é pequena se comparada às outras dimensões, as deformações de cisalhamento podem ser desprezadas na análise.

Membranas: quando a placa é muito fina, a rigidez em flexão tende a zero e cargas transversais têm de ser resistida quase que exclusivamente pela ação de membrana.


Placas Finas - Teoria de Pequenas DeflexõesPlacas Finas - Teoria de Pequenas Deflexões


Teoria de Placas Finas - HipótesesTeoria de Placas Finas - Hipóteses 1. As deformações de cisalhamento xz e yz são desprezíveis, a linhas

normais à superfície média antes da flexão permanecem retas e normais à superfície média durante a flexão.

2. A tensão normal z e a deformação correspondente z são

desprezíveis e, portanto, a deflexão transversal de qualquer ponto (x, y, z) é igual à deflexão transversal do ponto correspondente (x, y, 0) na superfície média.

3. As deflexões transversais da placa são pequenas quando comparadas à espessura. Em consequência, a extensibilidade da superfície média pode ser desprezada; isto é, a ação de membrana resultante da flexão é desprezível quando comparada com a ação da flexão propriamente dita.

4. O material da placa é homogêneo, isotrópico e segue a lei de Hooke.


Forças no Plano de um Elemento de PlacaForças no Plano de um Elemento de Placa


Momentos e Forças TransversaisMomentos e Forças Transversais


Equilíbrio de um Elemento de PlacaEquilíbrio de um Elemento de Placa

022

2

2

2

2

yxw

Nyw

Nxw

Ny

Q

x

Qxyyx

yx

0

yxyy Q

x

M

y

M0

xxyx Q

y

M

x

M

0222

2

2

2

2

2

22

2

2

yxw

Nyw

Nxw

Ny

M

yx

M

x

Mxyyx

yxyx

Uma equação e 4 incógnitas

Mx, My, Mxy e w


Relações entre Momentos e DeslocamentosRelações entre Momentos e Deslocamentos

2

2

t

t

xx zdzM

2

2

t

t

yy zdzM

2

2

t

t

yxxy zdzM

yxx

E

21 xyy

E

21 xyxy

E

12

2

2

xw

zx

2

2

yw

zy

yxw

zxy

2

2

2

2

2

2

yw

xw

DM x

2

2

2

2

xw

yw

DM y yx

wDM xy

2

1

2

3

112 Et

D


Equação de Equilíbrio para o Estudo da EstabilidadeEquação de Equilíbrio para o Estudo da Estabilidade

0222

2

2

2

2

2

22

2

2

yxw

Nyw

Nxw

Ny

M

yx

M

xM

xyyxyxyx

2

2

2

2

yw

xw

DM x

2

2

2

2

xw

yw

DM y yx

wDM xy

2

1

2

3

112 Et

D

yxw

Nyw

Nxw

Nyw

yxw

xw

D xyyx

2

2

2

2

2

4

2

22

4

4

4

22

Estabilidade

021

22

2

2

2

2

4

4

22

4

4

4

yxw

Nyw

Nxw

NDy

wyx

wxw

xyyx


Condições de Contorno (borda x = constante)Condições de Contorno (borda x = constante)

00

xw

w ;

00 2

2

2

2

yw

xw

w ;

012 ; 02

3

3

3

2

2

2

2

x

w

D

N

y

w

D

N

yx

w

x

w

y

w

x

w xyy

a) engaste – deslocamento e rotação nulas:

b) apoio simples – deslocamento e momento fletor Mx nulos,

c) livre – momento fletor e cisalhamento efetivo nulos:


Compressão Axial Uniforme – Carga CríticaCompressão Axial Uniforme – Carga Crítica

00 2

2

2

2

yw

xw

w ;

em x = 0, a

00 2

2

2

2

xw

yw

w ;

em y = 0, b

Tendo em vista a condição de que a deflexão ao longo de cada uma das bordas é nula, é evidente que

em x = 0 , a e em y = 0 , b 02

2

yw

02

2

xw


Compressão Axial Uniforme – Carga CríticaCompressão Axial Uniforme – Carga Crítica

02 2

2

4

4

22

4

4

4

xw

D

N

yw

yxw

xw x

02

2

xw

w 02

2

yw

w em x = 0 , a em y = 0 , b

, m = 1, 2, 3, ... n = 1, 2, 3, ... sensen),(1 1 b

yna

xmAyxw

m nmn

0 sensen224224

1 1

byn

axm

am

D

N

bn

bn

am

am

A x

m nmn

0

2

2

22

2

2

2

24

am

DN

bn

am

A xmn


Compressão Uniforme – Coeficiente de FlambagemCompressão Uniforme – Coeficiente de Flambagem

, onde

2

2

bDk

N x

22

mban

amb

k


Flambagem de Placas - Fórmula GeralFlambagem de Placas - Fórmula Geral

22

2

2

112

bt

KEbtkE

ecr

2

2

112 e

kK

a) Regime Elástico

k (ou K) disponível em gráficos ou tabelas em função de:

a) tipo de carregamento

b) condições de contorno

c) alongamento a/b

tbDk

t

N crxcr 2

2


Flambagem de Placas – Regime InelásticoFlambagem de Placas – Regime Inelástico

b) Regime Inelástico

2

2

2

112

btkE

ecr

elásticocrcr


Flambagem de Placas – Regime InelásticoFlambagem de Placas – Regime Inelástico


Compressão UniformeCompressão UniformeBordas Carregadas Simplesmente Apoiadas

02 2

2

4

4

22

4

4

4

xw

D

N

yw

yxw

xw x 02

2

xw

w em x = 0 , a

axm

yfyxw

sen)(),(

0sen22

4

4

2

224

axm

fa

mD

N

dyfd

dyfd

am

fa

m x

0224

2

22

4

4

f

am

D

N

am

dyfd

am

dyfd x


Compressão UniformeCompressão Uniforme

by

Cby

Cby

Cby

Cyf

sencossenhcosh)( 4321

0224

2

22

4

4

f

am

D

N

am

dyfd

am

dyfd x

2121

21

ck

amb

amb

2121

21

ck

amb

amb

2

2cr

2

c

112

tb

Ek e

Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas


Compressão UniformeCompressão UniformeBordas Carregadas Simplesmente Apoiadas


Compressão UniformeCompressão Uniforme

02tanh2tan 22 qp

Placa-Coluna

22 abmp 22 abmq

; ; 01200)0( 2

3

3

3

,02

2

2

2

bybyyx

wyw

xw

yw

w

0sencoshcossenh 22 qp

Flange

012 ; 0,0

2

3

3

3

,02

2

2

2

by

xyy

byxw

D

N

yw

D

N

yxw

xw

yw

xw


Placa Coluna – Tensão CríticaPlaca Coluna – Tensão Crítica


Flange – Coeficiente de FlambagemFlange – Coeficiente de Flambagem


Compressão Axial – Várias Condições de ContornoCompressão Axial – Várias Condições de Contorno


Compressão Axial – Restrição ElásticaCompressão Axial – Restrição Elástica


ExemploExemplo

O revestimento de 0.080 in de espessura, manufaturado de liga de magnésio HK31A-H24 (E = 6500 ksi, F0.7 = 17,3 ksi, n = 6,2, e = 0,3) de

uma fuselagem é dividido, por reforçadores de seção transversal em Z, em painéis longos de 4 in de largura. Determine a tensão de flambagem em compressão destes painéis.

Solução:

Tendo sido dado que o painel está apoiado em reforçadores com seção transversal em Z, pode-se utilizar a Fig. 5.13 para a obtenção de um valor mais preciso do coeficiente de flambagem em comparação com o valor conservativo, k = 4, correspondente à placa simplesmente apoiada nos bordos descarregados. Para b/t = 4,0 / 0,08 = 50 a curva inferior da Fig. 5.13 fornece k = 5,2 .

ksi 2,110,4

08,091,012

65002,5)1(12

222

2

2

btEk

Fe

cr


Coeficiente de Flambagem - Carga Axial VariávelCoeficiente de Flambagem - Carga Axial Variável


Energia de Deformação de Placa em FlexãoEnergia de Deformação de Placa em Flexão

dVE

UV xyyyxxyyxx 222 122

21

2

2

2

2

21 yw

xwEz

x

2

2

2

2

21 xw

ywEz

y

yxwEz

xy

2

1

dAdzyx

w

y

w

x

w

y

w

x

wz

EU

A

t

t

22

2

2

2

22

2

22

2

22

2

2

222

122112

dAyx

wyw

xw

yw

xwD

UA

22

2

2

2

22

2

22

2

2

1222

dAyw

xw

yxw

yw

xwD

UA

2

2

2

2222

2

2

2

2

122


Potencial das Cargas Aplicadas no Plano da PlacaPotencial das Cargas Aplicadas no Plano da Placa

y, v

x, u

Ny

Ny

Nx Nx

dx

dy dxxu

dyyv

dxxv

dyNdyyu

dxNdyyv

dxNdxxu

dyNVA xyA xyA yA x

yw

xw

xv

yu

yw

yv

xw

xu

; ; 22

21

21

dx

dy

dyyu

Nxy

Nxy

Nxy

Nxy

dAyw

xw

Nyw

Nxw

NVA xyyx

2

21

22


Método de Rayleigh-Ritz – Placa em FlexãoMétodo de Rayleigh-Ritz – Placa em Flexão

y

b

a

xNx= Nxo(y/b)Nx= Nxo(y/b)

byn

Aa

xmyxw

nmn

sensen),(

1

42 1

222 ab

bn

am

AD

Un

mn

ímparpn

pnpn

npAAaba

mb

N

abA

am

b

Ndxdy

byn

Aa

xma

mbyN

V

n p

mpmnx

nmn

xa b

nmn

x

, 222

22

0

1

22

2

0

0 0

2

1

2

0

22

82sensen

2


Método de Rayleigh-Ritz – Placa em FlexãoMétodo de Rayleigh-Ritz – Placa em Flexão

ímparp) (n

pnpn

npA

mbak

mbak

mbna

Ap

mpxxmn

, 08

21 22

2

20

2

0

22

2

20

0 D

bNk x

x

0

2141

916

916

211

02

22

20

20

02

22

xx

xx

kk

kk

0

41141121

8256

41

2

2222

02

2222202

xx kk

(kx0)cr = 7,8

mba

mbnan

kx

; 2

22

2

222

0

)1(2)1(2


Placa em FlexãoPlaca em Flexão

2

2

2

112

btEk

e

b

cr

fbx tyffc 1

= b/c.


Coeficientes de Flambagem - FlexãoCoeficientes de Flambagem - Flexão


ExemploExemplo Uma placa 6 x 3 x 0,06 in , simplesmente apoiada nos quatro bordos, manufaturada de liga de alumínio 7075-T6 a temperatura ambiente (E = 10500 ksi) está sujeita a tensões de compressão longitudinal, fc, e de flexão no plano da placa, fb, na razão fc / fb = 0,5 . (a) Qual a tensão de compressão na flambagem? (b) se fc = 13ksi, fb = 26 ksi, qual é a margem de segurança?A questão será resolvida através do uso da Fig. 5-19. Esta figura fornece curvas para o coeficiente de flambagem em flexão, kb, em função de a/b e , onde = b/c, c = (1 + fc / fb) , onde é a distância do bordo descarregado da placa ao eixo elástico. Neste caso, = b/2. Desta forma, c = (1 + 0,5)b / 2 , de modo que = 2 / 1,5 = 1,33. Para este valor de e a/b = 6/3 =2, a Fig. 15-19 fornece kb = 11.

yy y

ksi 8,41306,0

91,0121050011

)1(12

222

2

2

0

btEk

fe

bcr

ksi 9,133/8,41 3

21

0

0

crcc

cccbcbc

Fff

ffffffff 07,01-139,13

1

ccrc fFMS


Coeficientes de Flambagem - FlexãoCoeficientes de Flambagem - Flexão


Método de Galerkin – Placas sob CisalhamentoMétodo de Galerkin – Placas sob Cisalhamento

a

bx

y

Nxy

Nxy

02 2

4

4

22

4

4

4

yxw

D

N

yw

yxw

xw xy

1 1

sensen),(m n

mn byn

axm

Ayxw

1 1

1 1

222

),(coscos

sensen

m nmn

xy

m nmn

yxeb

xna

xmb

na

mA

D

N

bxn

axm

bn

am

A

0sensen),(0 0

dydxb

yqa

xpyxe

a b

ímparqn

ímparpm

todosnm

mpmp

mnpqA

b

ak

b

anmA

p q

pqs

mn

,

032

2222

3

2

2222 ,

2

2

D

bNk xy

s



1,11128

9160

64964

964

4

449432

9432

12

2

2

223

2

3

2

22

s

s

s

s

s

kk

k

ba

bak

bak

ba

45,10

1512

920

810264

0

4415384

9128

15384

190

9128

011

22

2

2

22

2

2

2

2

s

ss

s

s

k

kk

k

k

Modo simétrico: A11 e A22 para a = b

Modo simétrico: A11 , A13 e A22



A solução essencialmente exata para este caso é dada pela Ref. 5.7. Para a placa quadrada o modo que prevalece é o simétrico e (ks)cr = 9,35, onde os 10 primeiros termos da função de deflexão

assumida foram utilizados para convergência satisfatória. Nesta referência é mostrado também que o coeficiente crítico para flambagem anti-simétrica é e (ks)cr = 11,63 (anti-simétrico). A

referência indica também que para a>b:

1 a/b 2 modo simétrico governa2 a/b 3,5 modo anti-simétrico governa3,5 a/b ... modo simétrico governa

e assim por diante. Quando a/b aumenta é cada vez mais difícil distinguir a diferença em magnitude entre os coeficientes obtidos para flambagem simétrica e anti-simétrica. De fato, quanto a placa é infinitamente longa o coeficiente de flambagem independe de considerações de simetria.


Coeficiente de Flambagem - CisalhamentoCoeficiente de Flambagem - Cisalhamento

2

2

2

112

btEk

e

s

cr

ae 213 - estabilidade de estruturas aeronÁuticas capítulo 5

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