equacoes e inequacoes exponenciais e logaritmicas

REPÚBLICA DE MOÇAMBIQUE AUTORIDADE NACIONAL DA FUNÇÃO PÚBLICA

DIRECÇÃO DE GESTÃO ESTRATÉGICA DE RECURSOS HUMANOS DO ESTADO

FICHA no2: BASES TEÓRICAS E EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA

UNIDADE DIDÁCTICA VII: EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS Abril de 2009

Caro Formando: A presente ficha contem bases teóricas e exercícios propostos de modo a dinamizar o processo de Aprendizagem Valorize a busca de soluções em grupos de trabalho, bem como interacção com o formador. As suas sugestões eCríticas serão bem vindas no intuito de melhorar a abordagem do presente tema.

7.1. Função ExponencialDefinição: Toda a função do tipo f(x) = ax, onde 0<a<1 ou a>1, chama-se exponencial. a - é a base e x - é o expoente.

7.1.1. Estudo completo de f(x) = ax

Função Base Df Zeros oy X<0 x>0 Sinal Monotonia

f(x) = axa>1 R Não P(0;1) 0<f(x)<1 f(x)>1 + Crescente

0<a<1 R Não P(0;1) F(x)>1 0<f(x)<1 + Decrescente

Gráficos:Os gráficos são curvas exponenciais simétricas em relação ao eixo das ordenadas (oy), passando pelo ponto P(0;1) que é a ordenada na origem

O contradomínio da função CDf(x) é y ; Se x , para a função exponencial crescente (a>1) e se x

, para a função exponencial decrescente (0<a<1). Portanto as curvas se aproximam ao eixo ox, sem contudo tocá-lo e a recta y = 0 denomina-se assímptota horizontal (AH) dos gráficos.

________________________________________________________________Textos de Apoio e Exercícios Seleccionados de Matemática – SIFAP

Abner Mutekuza Foia _____________

/Formador/

1

Nota: Se a = 1, f(x) = 1x= constante. As funções exponenciais são injectivas, sendo assim admitem função inversa - a função logarítmica.

Exemplos de funções exponenciais simples: f(x)=2x; f(x)=( )x; f(x)=10x; f(x)= x.

7.2. Equações Exponenciais

Definição: Toda a equação onde a incógnita figura no expoente de um número real positivo e diferente de 1, chama-se equação exponencial. A sua resolução exige formar as potências de ambos os membros com a mesma base e procede-se a igualdade dos expoentes donde se determina a incógnita. Finalmente efectua-se a substituição do resultado obtido na equação primitiva para verificar a veracidade da igualdade de ambos os membros.

Algumas propriedades úteis de potenciação:

Para são válidas as relações:

i. ax > 0;ii. a0 = 1;

iii. (ax)-1 = (a-1)x =

iv. (ax)y = axy = (ay)x

v. ax . ay = ax+y

vi.

vii.

Para quadrados perfeitos como por exemplo 4x, é válida a transformação:4x = (22)x = (2x)2 = 22x

Exemplos de casos simples

1) 5X = 53 ;

2)

3)



/Formador/

2

4)

5)

6)

Exemplos de casos mais gerais:

1)

Separemos as bases das potências aplicando as propriedades v e vi (ver pág. 2) e em seguida colocamos em evidência o factor comum membro a membro:

o menor múltiplo

comum dos denominadores da última igualdade é mmc(1;33;34;35) = 35

2)

Se após separação das bases, os expoentes que contêm a variável são diferentes, usa-se a mudança de variável; escreve-se em seguida a equação na forma canónica e determinam-se os valores da nova variável. Finalmente determinam-se os valores da variável inicial, tendo em atenção todas as condições da substituição efectuada.Tem-se: 3x = k>0, já que a função exponencial é sempre positiva na condição dada.



/Formador/

3

Então, k2 – 36k + 243 = 0. Podemos utilizar os métodos estudados para resolver a equação do segundo grau, por exemplo, a soma das raizes k1+ k2=36 e o produto delas

k1.k2=243 donde vem que ; com k1=9

com k2=27

Portanto, a equação tem as soluções x=2 ou x=3.

Exercícios1. Resolva em R, as equações exponenciais a seguir:

a)

7.3. Função Logarítmica

Definição1: Chama-se função logarítmica a toda a função do tipo y=

que é inversa da função exponencial com a mesma

base, isto é:

y=

Estudo Completo de f(x)=

Y=f(x) Base Df CDf Zeros 0<x<1 x>1 Monotonia



/Formador/

4

a>1 R P(1;0) Não - + Crescente

0<a<1 R P(1;0) Não + - Decrescente

Gráficos: Os gráficos chamam-se curvas

logarítmicas simétricas em relação ao eixo ox passando pelo ponto P(1;0) que é o zero da função.

Se

Propriedades dos Logaritmos

Fórmulas para mudança de base, (a,b,x>0)

Saída de uma base a para outra b, escolhida fora do logaritmo dado



/Formador/

5

Saída de uma base a para a base x, escolhida dentro do logaritmo dado

Resolução de Equações Logarítmicas

A resolução de equações logarítmicas passa em primeiro lugar pela determinação do domínio de existência das funções integrantes, seguindo-se a redução à mesma base. Aplicam-se as propriedades dos logaritmos, incluindo a mudança de base, se for necessário; finalmente igualam-se os argumentos (logaritmandos) e a solução é dada dentro do domínio de existência previamente determinado.

Exemplos:

1)

Domínio de existência: a função logarítmica não é definida para argumentos negativos. Sendo assim, a condição para o domínio é x>0, o mesmo que x

. Por definição de logaritmo, tem-se:

É solução admissível, pois 9 pertence ao Df.

2)

Podemos formar um sistema no qual teremos a condição para o Domínio e a resolução efectiva da equação por definição:

3)



/Formador/

6

Solução:

O domínio de existência é definido pelas duas primeiras condições do sistema, isto é,

4)

Solução:

Definição 2: Chama-se logaritmo de b na base a (a>0 e a 1), ao expoente c que é necessário elevar a base para se obter o número b>0. Simbolicamente,

Definição 3: Logarítmo decimal ou Briggs diz-se ao logaritmo de um número b>0 na base 10, que se anota,

Definição 4:Chama-se logaritmo natural de um número b, ao logaritmo desse número na base e (e=2,71828…, no irracional dito no de Nepper) e anota-se como

ln b=c

Exercícios Propostos________________________________________________________________

Textos de Apoio e Exercícios Seleccionados de Matemática – SIFAP Abner Mutekuza Foia

_____________ /Formador/

7

I. Calcule os logaritmos:

II.Calcule

III. Sejam dados:

IV. Resolva em R

V. Resolva aplicando as propriedades de logaritmos



/Formador/

8

VI. Resolva aplicando mudança de base dos logaritmos.

VII. Resolva as equações seguintes pelo método de substituição por nova variável.

VIII. Resolva em R as equações que se seguem:

VII.4. Inequações Exponenciais e Logarítmicas

A resolução de inequações exponenciais e Logarítmicas efectua-se obedecendo às mesmas propriedades aplicadas na resolução de equações exponenciais e logarítmicas tendo sempre em atenção que as soluções deverão ser apresentadas em função dos respectivos domínios de existência para cada caso concreto.

Exercícios Propostos1. Resolva as inequações exponenciais a seguir



/Formador/

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2. Resolva as inequações exponenciais duplas:

3. Resolva em R, as inequações logarítmicas e dê as soluções em função dos respectivos domínios de definição das funções dadas.

FIM

Bom Trabalho



/Formador/

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