EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 11Equaes diferenciais de 1a ordem 1.1Equaes diferenciais Definio1:Umaequaocujasincgnitassofunesequecontm,pelo menos,umaderivadaoudiferencialdessasfunesdenominadadeequao diferencial. Definio2:Seumaequaodiferencialscontmdiferenciaisouderivadas totais denominada de equao diferencial ordinria. Definio3:Seumaequaodiferencialcontm,pelomenos,umaderivada parcial denominada de equao diferencial parcial. Exemplos: a)2dxdydxy dx22= b)0 dx y dy x = ordinrias c) xe y y = + d)( ) y x, z z , 0yzxz2222= =+parciais e)( ) z y, x, u u , 0zuyuxu222222= =++ Definio 4: Chama-se ordem de uma equao diferencial a ordem da maior derivada que aparece na equao. Definio 5: O grau de uma equao diferencial o grau da derivada de maior ordem envolvida na equao. Exemplos: a)0 ydxdydxy d22= + +b)( ) 0dtx dt cos 2 2tdtdx33210= + |.|

\| c) x4322edxdyxdxy d=|.|

\| +||.|

\| d) 322223yuyy xux||.|

\| =||.|

\| e)0yuxu2222=+ EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 21.2Resoluo Resolverumaequaodiferencialsignificadeterminarasfunesque satisfazem tal equao. Dessa forma, pela integrao de uma diferencial que se d a soluoe,geometricamente,ascurvasquerepresentamsoluessochamadas curvas integrais. Existem 3 tipos de solues: 1.2.1Soluogeral:asoluodaequaoquecontmtantasconstantes arbitrrias quantas forem as unidades da ordem de integrao; 1.2.2Soluoparticular:asoluodeduzidadasoluogeralatribuindo-se valores particulares s constantes; 1.2.3Soluo singular: uma soluo no deduzida da soluo geral e que s existe em alguns casos. Exemplos: a)Dadaaequao2xdxdy= ,determineasoluogeralerepresente geometricamente. (esta famlia de curvas recebe o nome de curvas integrais) b) Sendo dadas as curvas seguintes determinar, para cada uma delas, a equao diferencial de menor ordem possvel que no contenha nenhuma constante arbitrria: i)( ) ( ) x cos c x sen c y2 1 + =ii) 2x c y =iii) 221c x c y + =iv)( ) b x cos a y + = , onde a e b so constantes v) 2x23x1e c e c y + = Definio 6: Uma condio inicial uma condio da soluo de uma equao diferencial num ponto. Definio7:Umacondiodecontornoumacondiodasoluodeuma equao diferencial em 2 ou mais pontos. Definio8:Umaequaodiferencialcomumacondioinicialchamada problemadevalorinicial(PVI).Aquelasqueenvolvemcondiesdecontornoso chamadas problema de valor de contorno (PVC). Exemplos: a)Sejaaequaodiferencial0 y y = + .Verifiquequeafuno ( ) ( ) x cos c x sen c y2 1 + = soluo da equao diferencial e determine o valor das constantes (a soluo particular) atravs do PVI ( )( )= =1 0 y2 0 y. EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 3b) Idem para0 6ydxdydxy d22= , 2x23x1e c e c y + = , ( )( ) = =10 0 y0 0 y. c) Idem para0 4y y = + ,( ) ( ) 2x sen c 2x cos c y2 1 + = , ( )( ) = =54y34y. 1.3Exerccios 1) Sendodadasascurvasseguintes,determinarparacadaumadelasaequao diferencialdemenorordempossvelquenocontenhanenhumaconstante arbitrria: a) 2 2 2c y x = + R:0 dy y dx x = + b) xe c y = R:0 ydxdy= c)( ) 0 x e yx , y x c x2 2 2 2 3 = R:( ) 0 dx 3y x dy 2xy2 2= + d)( ) ( ) 2x sen c 2x cos c y2 1 + = R:0 4ydxy d22= +e)( )3x2 1c e x c c y + + = R:0dxdydxy d2dxy d2233= + f) x22x1e c e c y + = R:0 2ydxdydxy d22= g)0 yx, , c a ; ay 1yxlnte + =||.|

\|R:0 dyyxln x dx y = ||.|

\| 2) Em cada caso, verificar que a funo dada constitui uma soluo da equao: a) -2xe c y ; 0 2y y = = + b)c bx ax y ; 0 y2+ + = = c)( ) ( ) x sen b x cos a y ; 0 y y + = = + d)x e c e c y ; x y yx2x1 + = = e)c x y ; 2x y2+ = = f) 2x c y ;x2yy = = g) 2x -e c y ; 0 2xy y = = + h)c yx ;yxy2 2= + = i) 2x x 2xe e c y ; e y y + = = j)( )= == + 4xyc x c y ; 0 y y x y22212 EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 4k)( ) x cos y ; 0 y y = = + l)( )( )( )( ) =+ === 54x sen y3 x sen yx sen y ; x cos y321 m) = === x3x2x1e56ye 2 ye y ; 0 y yn) + ==== + 3221 332212x c x c yx yx y ; 0 6y y 4x y x 3)Emcadacaso,determinar( )} = dx x f y eaconstantedeintegraoc,de modo que y satisfaa a condio dada: a)( ) ( ) 0 2 y ; x x f2= =R:( ) 8 x31y3 =b)( ) ( ) ( )2y ; x cos x f2 = = R:( ) 2x sen41x21y + =c)( ) ( ) ( ) 1 0 y ; 2x cos x f = = R: ( )122x seny + =d)( ) ( ) 0 0 y ; e x x f2x -= = R: |.|

\|+ =1 e21y2x 4) Emcadacaso,verificarqueafunodadasoluodaequaodiferencial correspondenteedeterminarasconstantesdemodoqueasoluoparticular satisfaa a condio dada: a)3 y(0) ; e c y ; 0 y yx= = = + R: xe 3 y =b)6 y(1) ; 5 e c y ; 5 y yx= + = = + R:5 e yx 1+ = c)2 y(0) ; e c y ; 0 2xy y2x = = = + R: 2xe 2 y =d)3 y(1) ; x c y ;x2ydxdy2= = = R: 2x 3 y =e) ( )( )= =+ = = 4 1 y8 1 y ; c x c y ; 0dxdydxy dx22122R:10 2x y2 =f)( )( )( )= =+ = = +323y2a23y ; b x cos a y ; 0 ydxy d22R: |.|

\|+ =6x cos 2 y 5) Suponhaquer1er2soduasrazesreaisedistintasdaequao ( ) 0 c r a b ar2= + + . Verifique se a funo 2 1r2r1x d x d y + = , onde d1 e d2 so EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 5constantesarbitrrias,umasoluodaequaodiferencial 0 cy y bx y ax2= + + 1.4Equaes de 1a ordem e 1o grau So equaes do tipo( ) y x, fdxdy= . Se( )( )( ) y x, Ny x, My x, f = , com( ) 0 y x, N , podemos escrever: ( )( ) y x, Ny x, Mdxdy =0 Ndy Mdx = + 1.5Equaes de Variveis Separveis Seapresentamousotransformveisnumaequaodotipo0 Ndy Mdx = + , onde M e N podem ser: 1.5.1funes de uma varivel ou 1.5.2produtos com fatores de uma s varivel ou 1.5.3constantes. So equaes de fcil soluo, bastando isolar os termos de x e y e integrar. Exemplos: a)( ) ( ) 0 dy xy 2y dx 1 y2= + b)0 xdy ydx = c)( ) 0 dy x dx y 1 1 x2 2 2= d)1 3xdxdy =e)( ) ( ) ( ) ( ) 0 dy x sec y tg dx y sec x tg = 1.6Exerccios 1) Determine, se possvel, a soluo geral das seguintes equaes diferenciais: a)( ) 0 ydx dy 1 x = R:( ) 1 x k y =b) ( )xy x 1y 1dxdy22++= R:11 xkxy222+=c)( ) 0 x cos ydxdy= + R: ( ) x seneky =d)( ) ( ) ( ) ( ) 0 dy x tg y sec dx y tg x sec2 2= + R:( ) ( ) x cotg k y tg =e) dxdyxy 2ydxdyx a = |.|

\|+ R:( )a 2ay kx ln y =EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 6f)( ) ( ) 0 dy x y 1 dx y x 13 2 3 2= + + R:ky1x121yxln2 2=||.|

\|+ ||.|

\| g)( )( ) ( )( ) 0 dy b y a x dx b y a x2 2 2 2 2 2 2 2= + + +R:cbyarctg 2b ya xa xln xa=|.|

\| +|.|

\|++h)( ) 0dxdyy tgx1= R:( ) k y cos x = i)( ) 0 dy 1 x dx 4xy2 2= + + R:( ) cy11 x ln22= +j)( ) 0 dy 2 y 3 dx xy = R:( )12 2ky ln x 6y = k)0 dy ye xdx2x= +R:k y e2 x2= +l)( ) ( ) 0 dy x 3 dx y 2 = + R:( )( ) k x 3 y 2 = +m)( ) 0 dy x 1 dx xy2= + R:( )2 2x 1 k y + =n) 4 xedxdy22y+=R:k2xarctg e2y+ |.|

\|=o)( ) ( ) ( ) ( ) 0 dy x cos y sen dx x sen y cos2= + R:( ) ( ) ( ) k y sec x sec ln = + 2) Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI): a)( ) ( ) 2 0 y ; 0 dy dx y y2= = R: xe2111y=b)( ) 1 0 y ; 0 ydy dx ex= = R:1 2e yx 2 =c)( ) 4 1 y ; 0 dy x dx y = = R:( )21 x y + =d)( ) ( ) 1 0 y ; 0 dy 1 x dx y2= = + R: yy 1e x 1= e)( ) ( ) ( ) 3 ln 2 y ; 0 dy x x dx3= = + R: ||.|

\|=1 x 23xln y2 f)( ) ( ) ( ) 2 2 y ; 0 dy x 1 dx y 12 2= = + R: ( ) 1 x 91 x1 y1 y+=+ g)( ) ( ) 2 1 y ; 0 dy x dx y 13 2= = + R: ||.|

\| =+22xx 1e 31 y1 y h)( ) 1 1 y ; 0 dy x 1 dx y 12 2= = + R:( ) ( ) 0 y arccos x arccos = +i)( ) ( ) ( ) 1 1 y ; 0 dy x 1 dx y 12 2= = + + + R:( ) ( ) x arctg2y arctg = j)( ) ( ) ( ) 1 7 y ; 0 dy x 6x ydx 3 x2= = + + R: ( )x6 x 7y32= EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 7k)( ) ( ) 0 0 y ; 0 ydy 1 x 2 dx xe2 y= = + R:( ) ( ) 31 x11 x ln 1 y 2ey++ + = + l)( ) ( ) ( ) 1 1 y ; 0 dy 1 x dx x ln y2= = + R: ( ) 1 x x2xy1 x1+ =+ m)( ) ( ) 0 0 y ; 0 dy e 1 dx e2x x= = + R:( ) ( )214 ln1 e11 e ln e yx2x x ++ + =n)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ln3y ; 0 dy x tg ln ydx x tg x cotg = = + R:( ) ( )2x tg ln y =o)( ) ( ) ( )3 2y ; 0 dy 3y cos dx 2x sen = = + R:( ) ( ) 3 2x 3cos 3y 2sen + =p)( ) 1 0 y ; 0 dy ye xdxx= = +R:( ) 1 x 1 2e yx 2 =q)( ) 2 0 r ; rddr= =R: 2e r =r)( ) 2 0 y ;y x y2xdxdy2 =+= R:( ) [ ]22 2 2x 1 e ln y + =s)( ) ( ) 1 0 y ; x 1 xydxdy212 3= + =R: ( )2122x 1 2 31y+ =t)( ) 0 2 y ;2y 12xdxdy=+= R:( ) 4 x y 1 y2 = +u)( ) ( ) 0 0 y ; 0 dy 1 y dx xe5 x2= = + R:( ) 3 6 y y 3e5 x2= + 3) Observequeaequao y x4x ydxdy= noseparvel,masseavarivelyfor substitudaporumanovavarivelv,definidapor xyv = ,entoaequaose torna separvel em x e v. Ache a soluo da equao dada usando esta tcnica. R:( )( ) k 2x y 2x y3= + 1.7Equaes Homogneas Definio 9: Diz-se que uma funo( ) z y, x, f homognea se, substituindo-se x por kx, y por ky e z por kz, for verdadeira a igualdade( ) ( ) z y, x, f k kz ky, kx, fm = , onde m dito grau de homogeneidade. Exemplos: a)( )2 2y 2xy x y x, f + =EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 8b)( )5 3 3 2 3z xyz y xy x z y, x, f + + =c)( )|.|

\|++ ++ =xyseny xy xy xy xy x, f2 22 2 Definio10:Asequaeshomogneassodotipo,oupodemser transformadas, em0 Ndy Mdx = + , onde M e N so funes homogneas do mesmo grau. Exemplos: a)( ) 0 dy 2xy dx y x2 2= b)( ) ( ) 0 dy 4y x dx y 2x = + c)( ) ( ) 0 dy 4y x dx y x2 2= + Seja0 Ndy Mdx = +uma equao homognea. Ento,Ndy Mdx = NMdxdy = . Comoaequaohomognea,MeNtmomesmograudehomogeneidade m.Da,sedividirmosMeNporxm,transformaremos NM numafunodotipo |.|

\|xyF . Da, |.|

\|=xyFdxdy. (I) Se fizermostxy=outx y =e derivarmos em relao a x, teremos aequao dxdtx tdxdy+ = .(II) Substituindo (II) em (I),F(t)dxdtx t = + xdxt F(t)dt=, que uma equao de variveis separveis. Exemplos: a)( ) 0 dx x 2xy y dy 2x2 2 2= + b)( ) 0 dx y x dy xy3 3 2= + c)( ) 0 dy 2xy dx 3y x2 2= + 1.8Exerccios 1) Determine, se possvel, a soluo geral das seguintes equaes diferenciais: a)( ) 0 2xydy dx y x2 2= R:k 3xy x2 3= b)( ) 0 xydy dx y x2 2= + R: 222xye kx =c)( ) ( ) 0 dy y x dx y x = + R:k y 2xy x2 2= EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 9d)( ) ( ) 0 ydy y 2x dx y x2 2= + + + R:k y 3xy x3 2 3= + +e)( ) ( ) 0 dy x y dx y x = + + R:( ) [ ]|.|

\| = +xyarctg 2 y x k ln2 2 f)( ) ( ) 0 dy y x dx y 2 x x2 2= + + + R:k y y 3x x3 2 3= + +g)0x ; dx y x ydx xdy2 2> + = R: 2 2 2kx y y x = + +h)( ) 0 xydy dx y xy x2 2= + R:( ) kxyy x ln = + i) xyedxdyxy+ = R: ((

|.|

\| =xkln ln x yj)0 xdy dx y xxysen x = ||.|

\|+ +|.|

\|R:( )|.|

\| |.|

\|=xysecxytg kx lnk)( ) 0x ; 0 dy x xy 2 ydx > = +R:( ) k y lnyx= +l)( ) ( ) 0 dy x 3xy 4y dx y 3xy 4x2 2 2 2= + + + + +R:( ) ( ) k y x y x232 2= + +m)0 dyyxcos xyxsen y dxyxcos y =||.|

\|||.|

\| ||.|

\| +||.|

\| R: ||.|

\| =yxcossec k yn)( ) 0 ydx dy 2y x = + R:( ) k x y y = 2) Resolva os problemas de valor inicial (PVI) abaixo: a)( ) ( ) 2 y ; 1x ; 0 dy 4y x dx y 2x = = = + R:0 9 2y xy x2 2= + b)( ) 1 y ; 2x ; 0 2xydy dx 3y x2 2= = = + R: 3 2 2x83x y = c) ( )=+=1 1 yxxy xdxdy22R: xx ye x=d) ( )=|.|

\| =41 yxxycos x ydxdy2R:( ) x ln 1xytg = |.|

\| e) ( )=+=1 3 yx3xy 4ydxdy32 3R:( )( ) ( )554xy34x 4y x y = + 3) Dadas as equaes abaixo, verifique que a mudana para coordenadas polares, ( ) cos r x = e( ) sen r y = ,transformaasequaesemvariveisseparveis e, ento, resolva as equaes: a)( ) 0 xydy dx y x2 2= + R:( )222xykx ln =EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 10b) xyyxlnxydxdy+||.|

\| = R:kyxln x =||.|

\| 1.9Equaes Diferenciais Exatas Definio11:Umaequaonaforma,ouredutvelforma0 Ndy Mdx = + diferencial exata se existe( ) y x, Utal que: 0 Ndy Mdx dU = + =(como0 dU =ento( ) c y x, U = soluo da equao diferencial dada) Teorema:SejamMeNfunescontnuasederivveis.0 Ndy Mdx = + diferencial exata se, e somente se, xNyM=. Demonstrao: ()SejamMeNfunescontnuasederivveistaisque0 Ndy Mdx = + diferencial exata. Ento,( ) y x, U tal que( ) c y x, U =e0 Ndy Mdx dU = + = . Pela definio de diferencial total, dyy Udx x UdU+=dyy Udx x UNdy Mdx+= + x UM= ey UN= x y UyM2 =ey x U xN2 =. Pelo teorema de Schwartz, x y Uy x U2 2 = . Da, xNyM=. ()Sejam M e N funes contnuas e derivveis tais que xNyM=. Seja0 Ndy Mdx = + . Pelo teorema de Schwartz, ||.|

\|=|.|

\|y U x x Uy. Da, x UM= ey UN= . dx x UMdx= e dyy UNdy= . EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 110 dU dyy Udx x UNdy Mdx = =+= + . Logo,0 Ndy Mdx = + diferencial exata. Exemplo: Verificar se a equao( ) 0 dy 2xy dx y x2 2= diferencial exata. Resoluo: Sabemos que xNyM= e queremos determinar a funo( ) y x, Utal queNdy Mdx dU + = . Seja }= Mdx wa integral parcial deMdx , isto , a integral obtida quando se considera y constante( ) ( ) y x, M M = . Mostraremos que y wN funo apenas de y: ( ) =||.|

\|=||.|

\|wy x xNy wN x ( ) =||.|

\|=}Mdxy x xN ( ) = |.|

\|=}Mdx x y xN ( ) == My xN 0yM xN== . Se tomarmosdyy wN w U} ||.|

\| + = , teremos: =||.|

\| ++= dyy wN dyy wdx x wdU ( ) = ++=}dyy wNdy dyy wdx Mdx x Ndy Mdx + = . Logo,( ) c dyy wN w y x, U =||.|

\| + =}, ou ainda: ( ) ( ) c dy MdxyN Mdx y x, U =((

+ =} } } a soluo geral da equao. Exemplos: a)( ) 0 dy 2y xe dx ey y= + c)( ) 0 dy 2xydx y x2 2= b)( ) ( ) ( ) 0 dy y cos 2xy dx y x2 3= + + + EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 121.10Fator Integrante Quandoaequao( ) ( ) 0 dy y x, N dx y x, M = + nodiferencialexata,isto, xNyM,pode-setransform-laemumadiferencialexatamultiplicando-apor uma funo (a ser determinada)( ) y x, , denominado fator integrante. Exemplo:( )2y1 ; 0 xdy dx xy 1 y = = + . Pesquisa do Fator Integrante: Seja( ) y x, fator integrante de0 Ndy Mdx = + . Da, ( ) ( ) xNyM= (1) xNN x yMMy + = + ||.|

\| = yM xN x Ny M (2) Esta equao uma equao diferencial parcialde 1a ordem em e, portanto, sua soluo no poderia ser efetuada por enquanto. Assim, ela se simplifica supondo-se funo apenas de x ou apenas de y. Suponhamos( ) x = . Ento,0y = . Da e de (2), temos: ||.|

\| = yM xN x N ( ) N : ||.|

\| = yM xNN1 x1 ||.|

\| = xNyMN1 x1 (3) Como x1 funo apenas de x, seja( )||.|

\| = xNyMN1x R (4) ( ) x1x R = ( ) dx x1dx x R} }|.|

\| = ==dx x duu ( ) ( ) ( ) ln u ln duu1dx x R = = =} } ( )dx x Re}= oudx xNyMN1}=((

||.|

\|e EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 13Analogamente, se( ) y = , ( )dy y Re}= oudyyM xNM1}=((

||.|

\|e Observeque,peloprocessoadotado,pode-seobterumfatorintegranteeno todos os fatores, de modo que as restries adotadas no prejudicam a pesquisa deste fator. Exemplos: a)( ) 0 dy 1 xy dx y2= + + b)dx e x ydx xdyx 2= 1.11Exerccios 1) Determine, se possvel, a soluo geral das seguintes equaes diferenciais: a)( ) ( ) 0 dy 2 3y x dx 1 y 2x = + + R:k 4y 3y 2x 2xy 2x2 2= + + b)( ) ( ) 0 dyy1x 2 xy cos x dxxyxy cos y =((

+ + +((

+ R:( ) ( ) C y ln x 2y xy sen = + +c)0 dyy3x ydxy2x42 23=+ R:Cy1yx32= d)( ) ( ) 0 dy 4y y 6x dx 6xy 3x3 2 2 2= + + + R:C y y 3x x4 2 2 3= + +e) 2 2y xydx xdyydy xdx++= + R:( ) k 4xy y x22 2= +f)( ) ( ) ( ) ( ) 0 dy x cos 1 dx x sen y 1 = + + R:( ) C y x cos y x = + g)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 dw 2 t w tg w sec dt w t tg t sec = + + R:( ) ( ) k 2w w sec wt t sec = + + h)( ) ( ) ( ) 0dtdye 3y y cos t e y y sen 2tt 2 2 t 3= + + + R:( ) C e y y sen tt 3 2= + i)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dtdyt tg 2y t tg t sec t sec y2= + + + R:( ) ( ) C t sec t tg y y2= + +j) 2 2 2 2y x yxdyydyy xdx+ = ++R:k y x x2 2= + +k) y x yxy xdxdy22++ = R:k y y x x2 2 2 2= + +l)( ) 0 2xdy dx 2y x = R:( ) C 4y x x = m)( ) ( ) ( ) 0 dy x sen dx x cos y x = R:( ) k x sen 2y x2= n)( ) ( ) ( ) ( ) 0 dy x tg y sec dx y tg x sec2 2= + R:( ) ( ) C y tg x tg = EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 14o)0 dy y x y x dx y x x y2 2 2 2=|.|

\|+ +|.|

\|+ R:( ) K y x 3xy232 2= + p)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 dy xy cos x y sen dx xy cos y 2x 3x2= + + + +R:( ) ( ) c y cos xy sen x x2 3= + +q)( ) ( ) ( ) ( ) 0 dy 2y senh 2x senh dx 2y cosh 2x cosh = + R:( ) ( ) C 2y cosh 2x senh = r)0 dy 2y 2xye e x dx 2x e y 2xye2 2 2 2xy y x 2 xy 2 y x=|.|

\|+ + +|.|

\|+ + R:C y x e e2 2 xy y x2 2= + + +s) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 dy x cotg y cotg y cossec 2xye dx x cossec y cossec e2 2y 2 y=|.|

\| +|.|

\|R:( ) ( ) C x cotg y cossec xe2y= +t) ( )0 dy 2y 2xyy x1dx 2xy x xyy2=||.|

\|+ +++||.|

\|++ R:Kxy xln y x xy2 2 2= |.|

\| ++ + + 2) Determine os fatores integrantes para as seguintes equaes: a)( ) 0 xdy dx x y x2 3= + R: 3x3ex1 = b)( ) 0 dy y x ye ydx2 y= + R: yeey1 = c)( ) ( ) ( ) ( ) 0 dy x sen dx x tg x cos y = R:( ) x cossec2= d)( ) 0 dy x dx 2xy x2 3= + R: 4x1= 3) Determine, se possvel, a soluo geral das seguintes equaes diferenciais: a)( ) 0 2xydy dx y x2 2= + R:Cxy x2 2=+ b)xdy ydx dy y2= + R:Cy x y2= +c)( ) ( ) 0 dy x ln y dxxy3= + R:( ) ky y x ln3 2= +d)( ) 0 xydy dx y x x2 2= + R:( ) C 6y 4x 3x x2 2 2= +e)( ) ( ) 0 dy y x dx y 2xy y 3x2 2 3 2= + + + + R:( ) C 3x y ye2 2 3x= +f)1 y edxdy2x + = R:1 e k e yx 2x+ = g)( ) 0 dy y senyxdx =||.|

\| + R:( ) ( ) k y sen y cos y xy = +EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 15h)( ) 0 dy e 2xy ydx2y= +R:( ) c y ln xe2y= i)( ) ( ) ( ) 0 dy y cossec 2y y cotg e dx ex x= + + R:( ) K y y sen e2 x= +j)( ) ( ) 0 xdy dx x ln x y4= + R:( ) ( ) Cx x ln 1 x 9y3 4= +k)( ) 0 dy 3x 2y 2xydx2 2= + R: 3 2 2Ky 2y x = l)( ) ( ) 0 dy 4x 2y xy dx 2y y4 3 4= + + + R:( )2 3cy 2x y x y = + +m)0 dy 3xy dx 3xe 2y2 x 33= +|.|

\|+ R:K e y x3x 3 2= +n)( ) ( ) 0 dy xe dx e tg xe ey x y y= + + + R:( ) ( ) C e sec ln xex y x= ++ 4) Mostrequeasequaesabaixonosoexatas,mastornam-seexatasquando multiplicadas pelo fator integrante dado ao lado. Portanto, resolva as equaes: a)( ) ( )32 3 2xy1y x, ; 0 dy y 1 x dx y x = = + + R:( ) C y lny1x222= + b) ( )( )( ) ( )( )xxxye y x, ; 0 dyyx cos 2e y cosdx x sen 2eyy sen= =||.|

\|++||.|

\|R:( ) ( ) k x cos y 2 y sen ex= + 5) Achar a soluo particular para0 x =na equao: ( ) ( ) ( ) 0 dy y sen x dx e y cos 2x2 x= R:( ) 1 y cos x e2 x= 6) Resolver os seguintes problemas de valor inicial (PVI): a)( ) 1 1 y ; 0dtdyy 3t 2ty2 2 3= = + R: 32t y=b)( ) ( ) 1 0 y ; 0dtdy2t 2y 4ty 3t2 2= = + + +R:1 y y 2t t2 2 3= + +c)( ) 1 1 y ;2 4y 3x5 3y 2xdxdy=+ + = R:3 2y 2y 5x 3xy x2 2= + + d)( ) 2 0 y ;2y 12xy xe4y yedxdy2 xy3 xy= ++ = R:3 4xy e y3 xy 2= e) ( )( ) 5 1 y ;xy x x ln 3xdxdy2 2= += R:( ) 5 x ln x xy3= 7)Determinea constante ade modo quea equaoseja exata e, ento,resolva a equao resultante: a)0dxdyaxe ye x2xy 2xy= + + R:k e x2xy 2= +b)0dxdyy1 axy1x13 2 2=++ + R: 2 2 2cxy x 2y 2x = c)( ) 0dxdye y 2x y 3x ey ax 3 2 2 y ax= + + ++ + R:C y x e2 3 y x= ++ EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 16d)( ) ( ) 0 dy x y x dx y ax xy2 2 2= + + + R:( ) K x 2 y y x2= + 1.12Equaes Lineares Se apresentam, ou podem ser colocadas, na formaQ Pydxdy= + , onde P e Q so funes de x ou constantes. Observe que, neste tipo de equao, }Pdxe fator integrante. De fato,Q Pydxdy= + ( ) 0 dy dx Q Py = + ( ) 0 dy e dx Q Py ePdx Pdx=}+ }, onde( ) Q Py e MPdx}= e }=Pdxe N . ( )} = Pdxe PyM e ( )} = Pdxe P xN Da, transformamos a equao linear em outra diferencial exata. Vamos achar, ento, sua soluo: ( ) ( ) C dy dx Q Py eye dx Q Py ePdx Pdx Pdx=((

|.|

\|((

}}+((

}} } } (1) ( ) =((

}((

} =((

}} } }dx Q e dx e P y dx Q Py ePdx Pdx Pdx

}((

}} = dx Q e e yPdx Pdx(2) ( )}=|.|

\|((

}}Pdx Pdxe dx Q Py ey(3) De (1), (2) e (3), temos: } }=((

}}+((

}} C dy e e dx Q e e yPdx Pdx Pdx Pdx C dx Q e e yPdx Pdx+((

}=}} ((

+|.|

\|}}=}C dx Q e e yPdx Pdx que a soluo geral de uma equao linear de 1a ordem e 1o grau. Exemplos: a) 4x 2ydxdyx = + c)2 xxydxdy = b) xe ydxdy= EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 171.13Exerccios 1)Determine, se possvel, a soluo geral das seguintes equaes diferenciais: a)( ) ( ) x sen x tg ydxdy= R:( )( )||.|

\|+ = C2x senx sec y2 b)( ) ( ) ( ) 0 dx y cos dy 1 y sen x = + R:( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] C y y 2tg y 2sec y tg y sec x + + + =c)( ) ( ) x arctg ydxdyx 12= + + R:( )( ) x arctge k 1 x arctg y + =d) ( )0xx cotgxydxdy= + R:( ) ( ) [ ] C x sen lnx1y + =e)( ) ( ) x cos x tg ydxdy+ = R:( ) ( )|.|

\|+ + = C 2x sen41x21x sec yf) 2x ydxdyx = R: 2x Cx y + =g) 3xx2ydxdy= + R: 24Cx6xy+ =h)( ) 0 dy 3 2xy dx y2= + R: y1Cy x2 =i)x ydxdy= + R: xe k 1 x y + =j)( ) x sen ydxdy= + R: ( ) ( )xe k2x cos x seny +=k) 4x2e 314ydxdy+= + R:( )((

+ + =C 2e 3 ln e y814x 4x l)( )yy y ln xdydx= R:( )y ye k 1 y x + =m)( )x 2 2e x 2xydxdy1 x = + +R:( ) [ ] C 2 2x x e1 x1y2 x2+ + +=n)( ) dy y sec e 2xdy dx2 2y = +R:( ) [ ] C y tg e x2y+ = o) ( )42221 yyx1 y6ydydx+= ++ R: ( )( ) [ ] C y arctg y1 y1x32+ +=p)( ) x arctg x yx2dxdy2 = R:( )((

+ + = C x 1 ln x arctg x x y2 2 q)( ) ( ) ( ) 0 dx x ln 2 y dy x ln x = + R:( )( ) x lnCx ln y + =r)( ) ( ) 2y sen y cos xdydx= + R:( ) ( )( ) y sene C 1 y sen 2 x + =s) ( ) ( ) ( )( ) x senx cos y 1 x sendxdy =R:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] C x cossec x cotg x cossec ln x sen y + + =EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 18t)( ) ( ) 2 sen 5 cotg 3rddr = + R:( ) ( ) 3 2cossec k sen 2 r + =u)( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 dx 1 x cos x sen x y dy x cos x = + + R:( ) ( ) [ ] x cos k x senx1y + =v)( )1 xxydxdy1 x x222= + R: (((

+||.|

\|+= C1 x1 xln1 xxy2 w)( ) ( ) ( ) x sec x tg x sec ydxdy2 2 = + R:( )( ) x tge C 1 x tg y + =x)( ) ( ) ( ) x ln ln ydxdyx ln x = + R:( ) ( )( )1x lnkx ln ln y + =y)( ) ( ) 4 sen 2 cos 2rddr= + R:( )( )1 e k 2 sen r2 sen + = 2) Achar a soluo particular para0 y =e0 x =na equao: ( ) ( ) x sec x tg ydxdy= R:( ) x sec x y = 3) Achar a soluo particular parab y =ea x =na equao: 0 e ydxdyxx= + R:( )a xe ab ex1y + = 1.14Equaes Redutveis s de Variveis Separveis Equaes da forma ||.|

\|+ ++ +=2 2 21 1 1c y b x ac y b x aFdxdy (1) , onde a1, a2, b1, b2, c1, c2 so constanteseodeterminante0b ab a2 21 1= ,podemserredutveisavariveis separveis. Se o determinante acima zero, ento0 b a b a1 2 2 1= . Da, 1 2 2 1b a b a = mbbaa1212= = ,onde 12ccm (casofosseigualseria possvelumasimplificaonaformadaequao,nosendonecessrio,ento,o processo em descrio). Desta forma, = =1 21 2b m ba m a

(2). Levando (2) em (1), temos: ||.|

\|+ ++ +=2 1 11 1 1c y mb x mac y b x aFdxdy ( )||.|

\|+ ++ +=2 1 11 1 1c y b x a mc y b x aFdxdy

(3) EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 19Sejay b x a t1 1+ =(4) x a t y b1 1 = ( ) x a tb1y11 = |.|

\| =11adxdtb1dxdy (5) Levando (5) e (4) em (3), temos: G(t)c mtc tF adxdtb12111=||.|

\|++= |.|

\| G(t) adxdtb111=|.|

\| 1 1a G(t) bdxdt+ = dxa G(t) bdt1 1=+ , que uma equao de variveis separveis. Exemplos: a)( ) ( ) 0 dx 5 2y 4x dy 4 y 2x = + + + c) 1 3y 6x1 y 2xdxdy + =b)( ) ( ) 0 dy 1 2y 2x dx 1 y x = + + + + 1.15Equaes Redutveis s Homogneas Equaes da forma ||.|

\|+ ++ +=2 2 21 1 1c y b x ac y b x aFdxdy (1) , onde a1, a2, b1, b2, c1, c2 so constanteseodeterminante0b ab a2 21 1 ,podemserreduzidasformadas homogneas. Considerando o sistema = + += + +0 c y b x a0 c y b x a2 2 21 1 1

(2) , com soluo genrica = xe = y . Reintroduzindoxeynaequao(1)como = + == + =dy dv v ydx du u x

(geometricamenteequivaleaumatranslaodoseixoscoordenadosparaoponto ( ) ,que a interseo das retas componentes do sistema (2), o que verdadeiro, uma vez que o determinante considerado diferente de zero). ( ) ( )( ) ( )=||.|

\|+ + + ++ + + +=||.|

\|+ + + ++ + + +=2 2 2 2 21 1 1 1 12 2 21 1 1c b v b a u ac b v b a u aFc v b u ac v b u aFdudv ( )( )||.|

\|+ + + ++ + + +=2 2 2 2 21 1 1 1 1c b a v b u ac b a v b u aF (vemos, em (2), queeso solues do sistema) ||.|

\|++=v b u av b u aFdudv2 21 1, que uma equao homognea. EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 20Exemplos: a)( ) ( ) 0 dy 5 y 2x dx 4 2y x = + +b)( ) ( ) 0 dy 4 y x dx 2 y x = + + + 1.16Exerccios Determine, se possvel, a soluo geral das seguintes equaes diferenciais: a)( ) ( ) 0 dy 2 3y 2x dx 1 3y 2x = + + + + R:( ) k 7 3y 2x ln 3y 3x9= + + +b) 1 y x1 3y 3xdxdy+ ++ = R:( ) k 1 y x ln y 3x2= + + +c) 3 y 4 2x1 2y xdxdy+ ++ += R:( ) k 5 8y x 4 ln 4 y 8 = + + + xd)( ) ( ) 0 dy 1 3y 9x dx 2 y 3x = + + + R:( ) k 1 y 2 x 6 ln y 6 2x = + + +e) 2 y 3x1 3y 2xdxdy + = R:k 4y 2x y 6xy 2x2 2= + f)( ) ( ) 0 dy 8 5y x dx x 3y = + + +R:( ) ( )( ) ( ) [ ]( )k 212 x4 y 52arctg 12 x 4 y 12 x 4 4 y 5 ln2 2= |.|

\|++ + + + + g)( ) ( ) 0 dx 5 y 2 x dy 4 y 2x = + + + R:( ) 3 x y 1 y x C3 = +h)( ) ( ) 0 dy 5 6y x dx 3 4y x = R:( ) 2 x 3y 1 x 2y C2+ = + 1.17Equao de Bernoulli Se apresentam, ou podem ser transformadas, na forma nQy Pydxdy= + , onde P e Q so funes de x ou constantes e n diferente de zero e de um( ) 1 n 0 n pois, nestes casos, teremos uma equao linear. A equao de Bernoulli se resolve atravs de sua reduo a uma linear. Seja a equao nQy Pydxdy= + , onde1 n e 0 n . Dividindo ambos os membros por ny , temos: Q Pydxdyyn 1 n= + (1) Fazendo a substituiot yn 1=, sendo t uma funo de x, teremos: ( )dxdtn 11dxdyydxdtdxdyy n 1n n= = Substituindo na equao (1): Q Ptdxdtn 11= + ( ) ( ) n 1 Q t n 1 Pdxdt = + , que uma equao linear. EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 21Exemplos: a) 23xyxy2dxdy= b) 3xy 2xydxdy= c)( ) x ln y ydxdyx2 = + 1.18Exerccios Determine, se possvel, a soluo geral das seguintes equaes diferenciais: a) 3 3y x ydxdyx = + R:1 y Cx y 2x2 2 2 3= + b) 3 3y x xydxdy= + R: 2x 22Ce 1 x1y+ +=c)y x yx4dxdy+ = R:( )24C x ln21x y|.|

\|+ =d)0 x ydxdy2xy2= + R: |.|

\| =xCln x y2 e) 22yx2ydxdy= + R:0 1 2xy y Cx2= +f)( ) dx 1 y y dy x2+ = R: 222x Cxy=g)( )2 2xy xydxdyx 1 + = R: 1 x 1 C1y2 = 1.19Equao de Riccati Seapresentam,oupodemsertransformadas,naformaR Qy Pydxdy2+ + =(2), onde P, Q e R so funes de x ou constantes. Observemos que a equao linear e a de Bernoulli so casos particulares desta (a primeira quando P=0 e a segunda quando R=0). Comprovou-sequeasoluodessaequaospossvelquandoseconhece uma soluo particular 0y . Admitamos, ento, uma soluo particular 0yda equaoR Qy Pydxdy2+ + = . Sejaz y y0 + =(3), onde z uma funo a determinar. Da, dxdzdxdydxdy0+ =(4). Se 0y soluo da equao, podemos escrever: R Qy Pydxdy0200+ + =(5) Substituindo (3) e (4) na equao (2), temos: EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 22( ) ( ) R z y Q z y Pdxdzdxdy0200+ + + + = +R Qz Qy Pz z 2Py Pydxdzdxdy020200+ + + + + = +( ) R Qy Py z Q 2Py Pzdxdzdxdy020 02 0+ + + + + = +Da e da equao (5), temos: ( ) R Qy Py z Q 2Py PzdxdzR Qy Py020 02020+ + + + + = + + +( )z Q 2Py Pzdxdz02+ + =( )20Pz z Q 2Pydxdz= + , que uma equao de Bernoulli em z. Exemplos: 1) Verificarsex y = soluoparticulardaequao3xyxydxdy22= + + .Em caso afirmativo, calcular a soluo geral. 2) Verificarquex y = soluoparticulardaequao ( ) 0 1 y x 2xydxdyx 12 2 3= + + + +e determinar a sua soluo geral. 3) Sabendoque1 y = soluoparticulardaequao(verifique) ( ) 1 x xy y 1 2xdxdy2 = + , calcular a sua soluo geral. 1.20Exerccios Mostrarque 0y soluoparticulardaequaodadaecalcularsuasoluo geral: a) x1y0 =e 22x2ydxdy = R: C x3xx1y32+ =b)x y0 =e1 x yx11 2 yx1dxdy2 + |.|

\| = R: 23 2x Cx 2x Cxy +=c)1 y0 =e0 2 3y ydxdy2= + + + R: 1 CeCe 2yxx=d) x0e y =e( )2x 2 xe y y 2e 1dxdy = + + R: C eCe e eyxx x 2x++ +=EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 23e)( ) x sen y0 =e( ) ( ) ( ) x sen y y x cossec x cotgdxdy2+ =R: ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( )xxCe x sen x cosCe x sen x cos x seny+ + + = 1.21Equao de Clairaut a equao da forma|.|

\|+ =dxdydxdyx y (6). Fazendo dxdyp = , temos: ( ) p xp y + =(7) ( )dxdppdxdpx p pdxdy + + = = ( ) [ ] 0dxdpp x = +(8) 0dxdp= C p =A soluo geral dada substituindo-se, em (7), p pelo seu valor C. Assim,( ) C Cx y + = asoluogeraldaequaodeClairaut(famliade retas). De (8), tem-se que: ( ) 0 p x = +(9) ( ) x p = Eliminando-se p entre (7) e (9) tem-se uma relao( ) 0 y x, F =que representa a soluo singular. De fato, essa eliminao equivale a eliminar C entre a soluo geral ( ) C Cx y + = eaequao( ) 0 C x = + ,oqueconduzenvoltriadafamliade curvas definida pela soluo geral. Exemplos: Determine,sepossvel,asoluogeraleasoluosingulardasseguintes equaes de Clairaut: a) |.|

\| =dxdylndxdyx yb)0 ydxdyxdxdy2= + |.|

\| c) 2dxdy3dxdyx y|.|

\|= d)0 1dxdyydxdyx2 3= +|.|

\||.|

\| e)0 4 5 ydxdyxdxdy= + |.|

\|+ f) 2dxdy4dxdyx y|.|

\|+ + = 1.22Exerccios Determine,sepossvel,asoluogeraleasoluosingulardasseguintes equaes de Clairaut: EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 24a) 2dxdydxdyx y|.|

\| = R: = =2 32x427yC1Cx y b) 2dxdy1dxdyx y|.|

\|+ + = R: =+ + =22x 1 yC 1 Cx y c) dxdydxdyx y + =R: + =singular soluo h NoC Cx y d) |.|

\|+ =dxdysendxdyx y R: ( )( ) +|.|

\| = + =+ =2 22x 1 x 1 arcsen x yOUx 1 x arccos x yC sen Cx y 1.23Aplicaes Problemas,fenmenos,processos,etc.,quedependem(sofunes)deuma varivelcontnua(independente)podemsempreserrepresentados(modelados)por umaequaodiferencial.Geralmenteavarivel(contnua)independentetempo, distncia, tamanho, velocidade, volume, etc. A varivel dependente (funo) deve ser aquelaquemelhorcaracteriza(descreve)ofenmenoouprocessoquesedeseja modelar. A modelagem representao matemtica de um enunciado em palavras de umfenmeno,processo,etc.,facilitadaseforemlevadasemconsideraoas seguintes sugestes: a)No enunciado do problema reconhea a varivel dependente e represente-a por uma funo (f) da varivel independente (x); b)Representeumataxadevariaopeladerivadadafunoemrelao varivel independente ( )|.|

\|dxx df; c)Represente a frase proporcional a ... por g(x) k = onde g(x) pode ser a prpriaf(x)ouoxouumaoutrafuno(g)defe/oudex,conforme especificado no enunciado; d)Aconstantedeproporcionalidadekpodeserpositivaounegativa, dependendo se f(x) cresce ou decresce, de acordo com o enunciado. Aps a montagem da equao diferencial esta deve ser resolvida. Os valores da constante k e da constante arbitrria (provenientes da soluo da equao diferencial) sero determinados pelas condies iniciais dadas no enunciado do problema. EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 25Exemplos: 1) Ataxadecrescimentodeuminvestimentonabolsadevalores proporcional ao investimento a cada instante. Determine a equao (modelo matemtico) que rege o investimento com o tempo. Soluo: Sejam: t tempo (varivel independente); f(t) valor do investimento no instante t (varivel dependente); ( )dtt df taxa de crescimento do investimento com o tempo; f(t) k representando o proporcional ao investimento. Logo, do enunciado temos a equao diferencial que modela o problema: ( )f(t) kdtt df =onde0 k > ,porserataxadeinvestimentocrescente(peloenunciadodo problema). 2) Experinciasmostramqueumasubstnciaradioativasedecompeauma taxaproporcionalquantidadedematerialradioativopresenteacada instante. Obtenha a equao diferencial que modela o fenmeno. Soluo: Sejam: t tempo (varivel independente); f(t) quantidade (massa) de substncia presente no instante t; ( )dtt df taxa de variao da quantidade de substncia; f(t) k representando o proporcional quantidade de substncia. Logo, do enunciado temos a equao diferencial que modela o problema: ( )f(t) kdtt df =onde0 k < , por haver decaimento (pelo enunciado do problema). 3) Qualaequaodiferencialquevaipermitirdeterminaravelocidadeinicial mnimadeumcorpooqualdisparadonadireoradialdaTerraeque suposto escapar desta. Desprezar a resistncia do ar e a atrao gravitacional de outros corpos celestes. Soluo: Sejam: t tempo (varivel independente); v(t) velocidade do corpo no instante t. Aquioproblemamaiscomplexopornoenunciaraproporcionalidade. Mas, sabemos da Fsica Clssica (Lei de Newton) que a acelerao radial a umadistnciardocentrodaTerra(a(r))inversamenteproporcionalao quadrado da distncia (r) do corpo ao centro da Terra. EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 26Temos,ento,que( )2r1k r a = ,onde0 k < porseraaceleraodirigida para o centro da Terra. A constante k facilmente determinada, lembrando que: ( )2s m 9,81 g R a = = , onde R o raio da Terra( ) m 10 6,38 R6 = . Assim, 22R g kR1k g = = . Por outro lado, sabemos que( )dtdvr a = , onde( )dtdrt v =(taxa de variao da distncia radial em relao ao tempo). Juntandoasinformaesanterioreseverificandoquedesejamosavariao de v em relao r (e no a t), temos: ( )222r1R gr1k vdrdvdtdrdrdvr a = = = = . Da, a equao procurada : 22r1R g vdrdv = 4) Sabendoqueovolumedeumagota,supostaesfrica,decrescepor evaporaoaumataxaproporcionalreadesuasuperfcie,determinea equao do raio da gota em funo do tempo. Soluo: Sejam: t tempo (varivel independente); V(t) volume da gota no instante t; S(t) superfcie da gota no instante t. Do enunciado do problema, temos: S kdtdV = , onde0 k