Inequações do Primeiro Grau

Quando comparamos dois números reais a e b , somente uma das três afirmações é verdadeira: a < b ou a = b ou a > b Se os números a e b forem distintos, então a < b ou a > b e dizemos que a e b são desiguais, isto é, existe entre eles uma desigualdade. Vejamos alguns exemplos de desigualdades, todas ver dadeiras: 4 é menor que 7 4 < 7 32 é maior que 11 32 > 11 - 12 é menor que 0 - 12 < 0 7/2 é maior que 2/3 7/2 > 2/3 Vejamos agora algumas sentenças abertas representad as por desigualdades:

O dobro de um número é maior que 8 2x > 8

O consecutivo do triplo de um número é menor que m enos 14 3x + 1 < - 14

A metade do triplo de um número não é maior que 5

Se o número não é maior que cinco, ele pode se r menor ou igual a cinco

O quádruplo de um número adicionado a sua metade n ão é menor que 0

Se a expressão não é menor que zero, ela pode ser maior ou igual a zero A essas sentenças abertas denominamos

Inequação é uma sentença aberta expressa por uma desigualdade entre duas expressões algébricas.

A letra x em cada uma das desigualdades é denominada incógnita ou variável e cada expressão algébrica são os membros da inequação . O membro à direita é o 1º membro e a expressão si tuada à esquerda é o 2º membro da inequação. Todas as quatro inequações apresentadas são Inequações do primeiro grau , já que o grau da variável x é 1.

Solução de uma Inequação

Consideremos, como exemplo, a inequação Se a expressão 3x + 7 precisa ser maior que 16 3x precisa ser maior que 9. E dessa forma, x preci sa ser maior que 3. Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjun to dos naturais ou o conjunto dos números inteiros, x poderá ser qualquer inteiro maior que 3. { 4; 5; 6; 7; ... }

Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjun to dos números racionais, x poderá ser qualquer racional maior que 3.

{ 3,01; ... 3,012;..., 3,333...;.... 4;... 4, 3; . ... } Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjun to dos números reais, x poderá ser qualquer real ma ior que 3.

{ 3,01; ... 3,011 ;... 4;... ; ...7, 81; ... }

Sentido de uma Inequação

As inequações: 5x + 7 > 3 e 2 + 5x > 0 têm o mesmo sentido , pois possuem o mesmo sinal de desigualdade .

As inequações: 2x - 7 < - 2 e 4x < 7 têm o mesmo sentido , pois possuem o mesmo sinal de desigualdade .

As inequações: x + 11 > 1 e 1 - 7x < 1 têm sentidos contrários , pois possuem sinais diferentes de desigualdade .

As inequações: 8 - x < - 3x e 6x > 11 têm sentidos contrários , pois possuem sinais diferentes de desigualdade .

Propriedades das Desigualdades

Propriedade I - Uma desigualdade não se altera que quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número a

ambos de seus membros.

Consideremos a desigualdade 7 > 4. Se adicionarmos 3 unidades a cada membro, teremos : 7 + 3 > 4 + 3 10 > 7 Se diminuirmos 4 unidades de cada membro, teremos : 7 - 4 > 4 - 4 3 > 0 Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo s entido. Consideremos a desigualdade - 5 < 2. Se adicionarmos 1 unidade a cada membro, teremos : - 5 + 1 < 2 + 1 - 4 < 3 Se diminuirmos 2 unidades de cada membro, teremos : - 5 - 2 < 2 - 2 - 7 < 0 Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo s entido.

Propriedade II - Uma desigualdade não se altera que quando multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros

por um mesmo número positivo.

Consideremos a desigualdade 6 > 4. Se multiplicarmos cada membro por 8, teremos : 6 x 8 > 4 x 8 48 > 32 Se dividirmos cada membro por 2, teremos : 6 : 2 > 4 : 2 3 > 2 Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo s entido. Consideremos a desigualdade - 8 < 10. Se multiplicarmos cada membro por 3, teremos : - 8 x 3 < 10 x 3 - 24 < 30 Se dividirmos cada membro por 4, teremos : - 8 : 4 < 10 : 4 - 2 < 2,5 Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo s entido.

Propriedade III - Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros

por um mesmo número negativo.

Consideremos a desigualdade 12 > 5. Se multiplicarmos cada membro por - 7 , teremos : 1 2 x (- 7) > 5 x (- 7) - 84 < - 35 Se dividirmos cada membro por - 2, teremos : 12 : (- 2) > 5 : (- 2) - 6 < - 2,5 Em ambos os casos as desigualdades mudaram de senti do. Consideremos a desigualdade - 4 < 12. Se multiplicarmos cada membro por - 2, teremos : - 4 x ( - 2 ) < 12 x ( - 2 ) 8 > - 24 Se dividirmos cada membro por - 1 , teremos : - 4 : ( - 1 ) < 10 : ( - 1 ) 4 > - 10 Em ambos os casos as desigualdades mudaram de senti do.

Resolução de uma Inequação do Primeiro Grau.

Sistemas de Inequações do Primeiro Grau

Exercícios Propostos - Inequações

Respostas dos Exercícios Propostos

Inequações do Primeiro Grau

Inequações Fracionárias do Primeiro Grau

Uma inequação do primeiro grau é fracionária quando possuir incógnita em denominador. Sua resolução se rá feita de forma bastante diferenciada de uma equação fracionária do primeiro grau. Para resolvê-la precisamos analisar os sinai s da fração algébrica resultante. 1º Caso : O numerador é um número real qualquer e o denomina dor é uma expressão ou ( função ) do primeiro grau :

Resolução de uma Inequação Fracionária pela Quadro de Sinais

Montando o Quadro de Sinais

Na primeira linha analisaremos a variação de sin ais da função numerador, na segunda linha analisare mos a variação de sinais da função denominador e na terceira linha apresenta remos a variação de sinais do quociente resultante. No alto do quadro teremos as raízes da expressão algébrica numerador ( fun ção numerador ) e da expressão algébrica denominad or ( função denominador ), escritas como numa reta de números reais. E montando o quadro, teremos:

Exercícios Propostos - Inequações Fracionárias

Respostas dos Exercícios Propostos - Inequações Fracionárias