SRIES EM GRADIENTE ARITMTICO (PLT pg.57) H muitas situaes em que a srie de fluxo de caixa no formada por um valor constante A, e sim por uma srie uniformemente crescente; Esta srie utilizada, algumas vezes, para se estimar gastos com manuteno, principalmente em equipamentos mecnicos, que com o passar do tempo, normalmente necessitam de maiores desembolsos da empresa, para mant-los funcionando adequadamente; O fluxo de caixa ilustrado a seguir:

E, pode ser resolvido em dois componentes:

Fazendo o valor do primeiro pagamento na srie de gradiente aritmtico igual a zero, temos uma equao para Pe P: P = P+ P; O gradiente aritmtico uma srie de fluxos de caixa crescentes (linear); A srie gradiente aritmtico pode ser vista como uma srie de fluxos de caixa individuais: F+ F + F +; ou: F = G(1+i)n-2 + 2G(1+i)n-3 + + (n-2)(G)(1+i)1 + (n-1)G Multiplicando {1} por (1+i) e colocando G em evidncia: (1+i)F = G[(1+i)n-1 + 2(1+i)n-2 + + (n-2)(1+i)2 + (n-1)(1+i)1 ] {2} {1}

Reescrevendo {1} e substitundo em {2}, temos: iF = G[(1+i)n-1 + (1+i)n-2 + +(1+i)2 + (1+i) + 1] - nG Na srie uniforme, na deduo de valor futuro [(1+i)n-1 + (1+i)n-2 + +(1+i)2 + (1+i)1 + 1] = [(1+i)n -1] / i Assim, temos:

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Multiplicando, pelo fator de valor presente de pagamento nico, temos o valor presente de srie em gradiente aritmtico ser dado por: (ix)

A srie uniforme de srie em gradiente aritmtico ser:

(viii)

Exerccios: 1. Uma pessoa comprou um automvel novo, e quer economizar o suficiente para pagar a manuteno do carro durante os cinco primeiros anos. Estima-se que o custo de manuteno de um carro seja:

Suponha que os custos de manuteno devam ser pagos ao fim de cada ano e que o banco pague a taxa de juro de 5% a.a. Quanto deve ser depositado no banco agora?

Resposta: P = P + P = 519,54 + 247,28 = 766,82 R.: Deve ser depositado no banco o valor de $766,82.

2. As despesas de manuteno de uma pea da mquina XYZ so:

Qual o custo de manuteno anual uniforme equivalente, com base na taxa de juros de 6% a.a.?

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3. Uma fbrica de mquinas para papel instalou novas mquinas de usinagem. O custo inicial de manuteno e reparos ser alto, mas deve diminuir no decorrer do tempo. O custo previsto para os quatro anos iniciais ser de: Ano 1 = $ 24.000, Ano 2 = $18.000, Ano 3 = $12.000 e Ano 4 = $6.000. Qual ser o custo de manuteno e reparos anual equivalente, se a taxa de juro de 10% a.a.?

4. Calcule o calor de P no diagrama abaixo, taxa de juros de 10% a.a.

SRIES EM GRADIENTE GEOMTRICO (PLT pg.63) O gradiente aritmtico aplicvel somente nos casos em que a variao de um recebimento ou de um pagamento, de um perodo para outro, uma quantia fixa; H situaes em que a variao de um perodo para outro uma taxa constante g. Essa srie chamada de srie gradiente geomtrico (exponencial);

An

An-1 A3 A1 A2

P

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Valor presente de uma srie em Gradiente Geomtrica: Temos: An = A1(1+g)n-1 e Pn = An(1+i)-n Assim, Pn = A1(1+g) n-1 (1+i)-n, que pode ser escrito:

Para toda a srie em gradiente geomtrico, para i g:

No caso especial em que i = g, temos

Exerccio: O custo de manuteno de um automvel de $100,00 no primeiro ano e cresce a taxa uniforme, g, de 10% ao ano. Qual o valor presente do custo dos cinco primeiros anos de manuteno, a uma taxa de juros de 8% a.a.? Tabela:Ano 1 2 3 4 5 Fluxo de Caixa $100,00 $110,00 $121,00 $133,10 $146,41

Resp.: $480,42.

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