em equilibrado (1)

8/15/2019 Em Equilibrado (1)

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eess ccuueellaa ttééccnniiccaa ss uuppeerr iioorr

ddee iinnggeenniieerr ooss iinndduuss ttrr iiaalleess

yy ddee tteelleeccoommuunniiccaacciióónn

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nn

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iinndduuss ttrr ii iinnggeenniiaarr iieennggooii mmaaiillaakkoo eess kkoollaa

APUNTES DE LA ASIGNATURA:

ASIGNATURA OPTATIVA DE 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

TEMA 6

EQUILIBRADO DE MÁQUINAS Y MECANISMOS


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DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE IINNGGEENNIIEERRÍ Í AA MMEECCÁÁNNIICCAA,,

EENNEERRGGÉÉTTIICCAA YY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESSINGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOAETA MATERIALEEN SAILA TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M

MECANISMOS

E LEMENTOS DE M ÁQUINAS Y V IBRACIONES - 6.2 -


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DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE IINNGGEENNIIEERR AA MMEECC NNIICCAA,,


MECANISMOS


INDICE

6.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

6.2 E

6.2.1 Ecuación del movimiento

6.2.2 Máquinas de equilibrado estático

6.3 D

6.4 A G

6.5 E

6.5.1 Bastidor basculante

6.5.2 Punto nodal6.5.3 Compensación mecánica

6.6 EQUILIBRADO “IN SITU” CON UNA CALCULADORA PROGRAMABLE

6.7 EQUILIBRADO DE MOTORES ALTERNATIVOS

6.7.1 Equilibrado de un motor de un solo cilindro

6.7.1.1 Método de la masa imaginaria

6.7.2 Equilibrado de motores con varios cilindros

6.7.2.1 Motor de cuatro cilindros

6.7.2.2 Motor de tres cilindros

6.7.2.3 Motor de seis cilindros

6.7.2.4 Otros motores

6.8 EQUILIBRADO DE MECANISMOS

6.8.1 Método de Berkof-Lowen de los vectores linealmente independientes

6.9 E


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MECANISMOS


6.1 Descripción del problema

Sabemos que los esfuerzos sobre el eslabón de referencia de un mecanismo, o sobre el soporte de

esfuerzos pueden provocar vibraciones que a veces pueden alcanzar amplitudes peligrosas.Incluso aunque no lo fueran, las vibraciones someten a los cojinetes a cargas repetidas queprovocan el fallo por fatiga de las piezas. Por tanto, en el diseño de maquinas no basta

o por lo menos reducir, en primera instancia, las fuerzas de inercia que producen estas vibraciones.

Cualquier eslabón o elemento que se encuentre en rotación pura puede, teóricamente, estar

menos que la vibración o sacudimiento sean necesarios.

Las partes en rotación pueden, y generalmente deben, ser diseñadas como inherentemente

tolerancias de producción hacen que haya algún pequeño desequilibrio en cada una. Por lo tanto,

magnitud y localización de cualquier desequilibrio pueden ser determinadas con bastante exactitud,y compensadas al agregar o quitar material en las ubicaciones correctas.

En este tema estudiaremos analíticamente cómo determinar y diseñar un estado de equilibrio

como motores alternativos o eslabonamientos de cuatro barras.


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MECANISMOS


+ Colocando una masa m en la periferia del disco (de radio r) según una dirección

ϕ

+

una masa m* = m / tgϕ.

6.2.1 ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO

Si se montan un disco y un ejedesequilibrados sobre unos cojinetes, y se hacen

mrGω2 que seilustra en la figura 2. Esta fuerza que actúa sobre eleje produce las reacciones giratorias en loscojinetes indicadas en la figura.

Para determinar la ecuación del movimiento delsistema se establece la siguiente notación:

+ m: masa total del sistema.

+ mu: masa no equilibrada.

+ k: rigidez del eje; un número que describela magnitud de la fuerza necesaria paraflectar al eje una distancia unitaria cuandose aplica en O. Por tanto, k tiene lasunidades de newton / metro.

+ c: coeficiente de amortiguamiento viscoso. Figura 2 – Eje con disco desequilibrados

Si se selecciona cualquier coordenada x normal al eje, ahora se puede escribir

∑ =ωω+−−−= 0tcosrmxmxckxF 2Gu0 (1)

( )

( ) 2222

2

Gu

cmk

tcosrmx

ω+ω−

φ−ωω= (2)

donde φ

murGω2

y la amplitud X de la vibración del eje;por tanto, φ es el ; y su valor es:

2

1

mk

ctanω−ω

=φ − (3)

ω2) del denominador de (2) fuera cero, la amplitud de x sería muy grandedebido a que sólo estaría limitada por la constante de amortiguamiento c, que por lo general es

ω

ω2) sea cero, recibe el nombre develocidad angular natural (ωn), velocidad crítica

frecuencia circular natural:

m

kn

=ω (4)


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MECANISMOS


En el estudio de las vibraciones libres, se demuestra que existe un valor del amortiguamientoc que no conduce a vibración alguna, sino a un desplazamiento amortiguado que tiende a cero.Este valor se conoce como amortiguamiento crítico y se expresa mediante la ecuación:

nm2c ω= (5)

A partir de este valor, se define la relación de amortiguamiento ξ, como el cociente entre elamortiguamiento real del sistema y el crítico; esto es:

nm2

c

c

c

ω==ξ (6)

amortiguamiento, ξ

≤ ξ ≤ 0.120.

Llamando X

( )φ−ω= tcosXx (7)

Si ahora se divide el numerador y el denominador de dicha amplitud X entre k , se designa laexcentricidad como e = rG, y se introducen las ecuaciones (4) y (6), se obtiene la razón

( )

( ) ( )2n22

n

2

2

n

u 21em

mX

ωξω+ωω−

ωω= (8)

ecuación que nos proporciona la razón de amplitudes de la vibración de un conjunto de disco y ejegirando. Si no se considera amortiguamiento, se hace m = mu, y se sustituye e con rG:

( )

( )2n

2

nG

1rXωω−ωω

= (9)

donde rG es la excentricidad y X es laamplitud de la vibración correspondiente a

cualquier razón de frecuencias nωω .Ahora, si en la figura 2 se designa O comoel centro del eje en el disco y G como elcentro de masa del disco, se puede llegara conclusiones interesantes al representar

aparece ilustrado en la figura 3, en donde

sobre el eje vertical y la razón defrecuencias a lo largo de la abscisa. Figura 3 – Amplitud del movimiento

centros de los cojinetes. De esta manera, la figura 3 proporciona información tanto sobre lasrelaciones de amplitud como sobre la fase.


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MECANISMOS


La frecuencia natural es ωn

ξ = 0) en la velocidad crítica (resonancia). Al pasar el

aumentando la velocidad.

-rG. En tal

línea central de los cojinetes.

generan vibraciones indeseables y reacciones giratorias en los cojinetes. A la hora de tratarde resolver este problema, se puede reducir la excentricidad rG utilizando equipos de equilibrado

rG,siempre se pueden esperar problemas cuando ω = ωn.

posible, con el fin de evitar que se desarrollen vibraciones peligrosas.

6.2.2 MÁQUINAS DE EQUILIBRADO ESTÁTICO

equilibrada. En caso de no estarlo, , indicando su

magnitud y ubicación.

sólo para piezas cuyas dimensiones

(tienen la forma general de un disco delgado), como por ejemplo: engranes,poleas, ruedas, levas, ventiladores, volantes e impulsores. Con frecuencia reciben el nombre de

planos; pero es importante hacer notar aquí que si se deben montar varias ruedas sobre un eje que

.

pieza una fuerza de gravedad o una fuerza centrífuga. Ya se ha visto que el conjunto disco-eje

velocidad predeterminada. Entonces, se podrían medir las reacciones en los cojinetes y utilizar sus

toman las mediciones, se usa un estroboscopio para indicar la ubicación de la corrección requerida.

que mida tanto la magnitud como la ubicación del desequilibrio, y proporcione la corrección de


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MECANISMOS


que puede inclinarse en cualquier dirección

(esquema 4.a). Cuando se monta en su plataforma

La dirección de la inclinación da la ubicación del

θ (figura 4.b) indica lamagnitud. Se suele recurrir a cierto amortiguamiento

En la figura 5, se muestra un nivel universal como el que se suele montar sobre la

onzas-pulgadas. Una burbuja, que semuestra en el centro, se mueve con el desequilibrio e indica tanto la ubicación como la magnitud de

la corrección que es necesario introducir.


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MECANISMOS


6.3

La figura 6 representa un rotor que se va a montar sobre los cojinetes A y B. Se podríasuponer que se colocan dos masas iguales m1 y m2 en los extremos opuestos del rotor, y adistancias iguales r1 y r2 del eje de rotación. Puesto que las masas son iguales, r1 = r2 y se

encuentran en lados opuestos del eje de rotación, se puede colocar el rotor sobre rieles, como se

posiciones angulares.

Si el rotor se hace girar a una velocidad angular ω

centrífugas m1r1ω2 y m2r2ω2, respectivamente, en m1 y m2 sobre los extremos del rotor. Estas

FA y FB, y todo el

ω. Por consiguiente, un rotor puede .

Figura 7 – Ejes desequilibrados


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MECANISMOS


Así, en la figura 7, se presentan los dos casos de desequilibrio:

+ En la figura 7.a, se presenta un eje con . Cuando el rotor gira, las

m

+

el rotor gira, el desequilibrio crea un par que tiene a voltear el rotor. El conjunto se

pueden provocar otros errores o desequilibrios en un calibrado inapropiado, por la existencia de

casi siempre

direcciones de estas reacciones giratorias en los cojinetes, sean diferentes.


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MECANISMOS


6.4desequilibrio

El objetivo de este apartado es mostrar cómo analizar cualquier sistema giratorio

Para determinar la magnitud y ubicación de las correcciones, se usan las dos ecuaciones del

0M0F

== ∑∑ (10)Sabemos que la fuerza centrífuga es proporcional al producto m·r

giratoria, siendo el factor de proporcionalidad el cuadrado de la velocidad angular ω2. Dadas lastres masas de la figura 8.a, se supone que giran en un solo plano y, por tanto, es un caso de

de las tres masas m1R1, m2R2, m3R3

iR

como se indica.

En este caso, la primera de las ecuaciones de (10) se aplica construyendo un polígono de

fuerzas (figura 8.b). Puesto que este polígono requiere de otro vector ccRm

para cerrarse, la

mcRc y su dirección paralela a cR

.

Figura 8 – Sistema de tres masas girando en un plano. Polígono de fuerzas centrífugas


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MECANISMOS


ecuaciones de (10). Así, la figura 9.a es una vista desde un extremo de un eje sobre el que se hanmontado las tres masas m1, m2 y m3 a las distancias radiales respectivas R1, R2 y R3. La figura 9.b

es una vista lateral del mismo eje mostrando los planos de corrección izquierdo y derecho, así como las distancias a las tres masas. Se desea hallar la magnitud y la posición angular de lascorrecciones a introducir en cada plano.

El primer paso de la solución es tomar una suma de los momentos de las fuerzas centrífugas

A en elplano izquierdo de corrección, para eliminar el momento de la masa izquierda de corrección.Aplicando la segunda de las ecuaciones de (10):

0RImRlmRlmRlm RRR333222111

=+++ (11)Ecuación vectorial en la que las direcciones de los vectores son paralelas, respectivamente,

a los vectores iR

de la figura 9.a. Ello permite construir el polígono de momentos de la figura 9.c.

Ahora bien, aunque a la figura 9.c se la conoce como polígono de momentos, es conveniente

constatar que los vectores que componen este polígono poseen una magnitud proporcional (ω2) almomento en A asociado a cada una de las fuerzas centrífugas, pero la dirección del vector de

posición correspondiente iR

. El verdadero polígono de momentos se obtendría haciendo girar la

Rl

×

ω2. Sin

embargo, de esta manera el vector de cierre RRR Rlm

del polígono empleado proporciona de


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MECANISMOS


forma directa, no sólo la magnitud

dirección de la corrección requerida para elplano derecho. Ahora ya es factible hallar las cantidades mR y RR ya que, generalmente, lamagnitud de RR es un dato del problema. Por consiguiente, se puede escribir la ecuación:

0RmRmRmRmRmF LLRR332211 =++++=∑ (12)Puesto que, de la misma manera que RR, la magnitud de RL suele ser conocida, esta

ecuación se resuelve para la corrección izquierda mLRL, construyendo el polígono de fuerzas de lafigura 9.d.


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MECANISMOS


6.5

Las unidades en que se mide el desequilibrio por costumbre han sido la onza-pulgada(oz·pulg), el gramo-centímetro (g·cm) y la unidad híbrida de gramo-pulgada (g·pulg). Si se sigue la

SI

en este

sistema es el miligramo-metro (mg·m

1000; en consecuencia, no se recomienda el prefijo centi

nombrada debe tener prefijo. Por consiguiente, no se deben utilizar el gramo-centímetro ni elkilogramo-milímetro, aunque ambos tienen magnitudes aceptables.

Anteriormente, se ha constatado el hecho de que para discos,ruedas, engranes y elementos rotativos semejantes, situada en un solo plano de rotación

rotores de turbinas o motores, la presencia de fuerzas centrífugas desequilibradas dan lugar apares cuyo efecto es tender a que el rotor se voltee. El propósito del es

medir el par desequilibrado y agregar un nuevo par en la dirección opuesta y de la misma magnitud.Este nuevo par se introduce mediante la adición de masas en dos planos de correcciónpreseleccionados, o bien, la eliminación de masas (haciendo perforaciones) en dichos dos planos.

debe medir la magnitud y ubicación angular de la masa de corrección para cada uno de losdos planos de corrección.

tres métodos de uso general en la determinación de las correcciones

bastidor basculante, punto nodal y

.

6.5.1 BASTIDOR BASCULANTE

En la figura 10, se presenta un rotor a equilibrar montado sobre medios cojinetes o rodillos

conecta a un motor impulsor por medio de una articulación universal. Existe la posibilidad de hacerbascular el bastidor alrededor de cualquiera de los dos puntos (pivotes) que, a su vez, se ajustan

para coincidir con los planos de corrección del elemento que se va a equilibrar.


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MECANISMOS


En el caso de la figura, el pivote izquierdo se muestra en la posición liberada, y el bastidor yel rotor a equilibrar pueden bascular libremente en torno al pivote derecho. En cada extremo del

de un solo grado de libertad. En muchos casos, estos resortes y amortiguadores se hacenajustables de manera que se pueda hacer coincidir la frecuencia natural del sistema con la

desplazamiento situados en cada extremo del bastidor. Estos transductores de desplazamiento

bastidor que se mueve en relación con una bobina estacionaria, generando de esta manera unatensión proporcional al desequilibrio.

. Las lecturas

otro plano de corrección

alguno en torno al mismo. En efecto, un desequilibrio con el pivote de la derecha fijo es undesequilibrio corregible en el plano izquierdo de corrección y produce una vibración cuya amplitudse mide mediante el indicador izquierdo de amplitud. Cuando se introduce (o se mide) estacorrección, se libera el pivote de la derecha, se fija el de la izquierda y se hace otro conjunto demediciones para el plano de corrección de la derecha, empleando el indicador de amplitud de laderecha.

La relación ente la magnitud del desequilibrio y la amplitud medida viene dada por laecuación (8). Reordenando y sustituyendo e por r:

( )

( ) ( )2n22

n

2

2

nu

21m

rmX

ωξω+ωω−

ωω= (13)

expresión en la que:

+ mur es el desequilibrio

+ m es la masa del conjunto formado el bastidor y el rotor

+ X es la amplitud del movimiento medida


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MECANISMOS


Esta ecuación muestra que la amplitud del movimiento X es directamente proporcional aldesequilibrio mur

amortiguamiento determinada ξ

deliberadamente con el fin de filtrar ruidos y otras vibraciones que pudieran afectar a los resultados.

otras condiciones del medio ambiente. La figura muestra que

de la resonancia (ω = ωn), puesto que, para un desequilibrio dado, en esta región se registra la

Figura 11 – Amplitud de vibración vs Desequilibrio

conecta al eje impulsor. Si la onda senoidal generada se compara, con la onda establecida por uno

fasímetro

( )2n

n1

1

2tanωω−

ωωξ=φ − (14)

amortiguamiento ξ. Esta curva muestra que, en la resonancia, cuando la velocidad ω del eje y lafrecuencia natural ωn

φ = 90º

ω aumenta por encima de laresonancia.

6.5.2 PUNTO NODAL

La separación de los planos de equilibrado utilizando un punto de vibración cero o mínimarecibe el nombre de método del punto nodal de equilibrado. La figura 12 puede ayudar a


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MECANISMOS


Aquí el rotor que se va aequilibrar se muestra montado sobre

soporte que recibe el nombre debarra nodal. En principio, se supone

en el plano de corrección de laizquierda (plano A) y que todavíaexiste un desequilibrio en el planoderecho (plano B), tal como se indicaen la figura.

Debido a este desequilibrio, se produce una vibración en todo el conjunto, haciendo que la

O, ocupando alternativamente las posiciones CC y DD

O, deslizando un relojcomparador

punto nulo o nodal. Dicho punto constituye elcentro de oscilación para un centro de percusión situado en el plano de corrección de la derecha.

Hay que recordar que se ha supuesto como hipótesis de partida que no existía desequilibrio

la daría el reloj comparador ubicado en el punto nodal que se acaba de determinar. Por lo tanto, alsituar el reloj

sin interferencia alguna del que exista en el plano de la derecha. De manera semejante, se puedeencontrar otro punto nodal que sólo mida el desequilibrio en el plano de corrección de la derecha

sin interferencia alguna del que existe en el plano de la izquierda.

6.5.3 COMPENSACIÓN M

contrafuerzas en cada plano de correcciónque equilibren exactamente las fuerzas que provocan la vibración. El resultado de introducir estas

la contrafuerza, para obtener la corrección exacta que se requiere. Este método recibe el nombrede .

autoimpulsarse si se trata, por ejemplo, de un motor de gasolina. El equipo electrónico es simple,

directamente.

observar un extremo del rotor, se ve uno de los planos de corrección con el desequilibrio que se va

a corregir representado con ω·r.


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MECANISMOS


aumenta la vibración, (b) sistema compensado

dos pesos compensadores. Estos tres pesos deben girar

con la misma velocidad angular ω, pero se puede hacer variar la posición relativa entre ambospesos compensadores, y en relación con el peso no equilibrado, por medio de dos controles:

+ Un control hace varia

α entre los pesos compensadores. Es el control demagnitud, y da una lectura directa cuando se compensa el desequilibrio del rotor.

+

β, posición angular de los pesos compensadores en

relación con el desequilibrio. Es el control de ubicación y, cuando se compensa

desfase angularexacto del desequilibrio.

voltímetro, se aseguraría la compensación cuando la manipulación de los controles permitieraconseguir que la lectura en el voltímetro fuese cero.


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MECANISMOS


6.6 Equilibrado “in situ” con unacalculadora programable

sin embargo, los efectos cruzados y la interferencia de los planos de corrección a menudorequieren que se equilibre cada extremo del rotor dos o tres veces para alcanzar resultados

El equilibrado “in situ” es necesario para rotores muy grandes

rotores de alta velocidad seequilibren en el taller durante su fabricación, con frecuencia resulta necesario volverlos a equilibrar“in situ” debido a ligeras deformaciones producidas por el transporte, por fluencia o por altastemperaturas de operación.

Tanto Rathbone como Thearle han desarrollado métodos de equilibrado en dos planos“in situ” que se pueden expresar haciendo uso del

y se resuelven con unacalculadora programable. El tiempo que se ahorra en usar una calculadora programable es de

usando una calculadora científica ordinaria.

R = R/ θ =

iθ = x + iy (15)

Figura 14 – Equilibrado “in situ” en dos planos. Notación y referencia xy

En la figura 14, se supone que existen los desequilibrios desconocidos ML y MR en los planos

de corrección izquierdo y derecho, respectivamente. Las magnitudes de estos desequilibrios son ML


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MECANISMOS


y MR

φR y φL a partir de la referencia de la rotación. Una vez que se

y derecho para lograr el equilibrado.

Los desequilibrios giratorios ML y MR producen perturbaciones en los cojinetes A y B. Losequipos comerciales para equilibrado “in situ” permiten medir las amplitudes y los desfases

X = X/ φ, con los subíndices apropiados,para designar estas amplitudes.

En el equilibrado “in situ”, se llevan a cabo tres ensayos (Método de las tres carreras):

+ PRIMER ENSAYO. Se miden las amplitudes XA = AAX φ y XB = BBX φ en los cojinetes A y

B, debidas sólo a los desequilibrios originales ML = LLM φ y MR = RRM φ .

+ SEGUNDO ENSAYO. Se agrega la masa de ensayo mL = LLm θ al plano de corrección de la

izquierda y se miden las amplitudes XAL = ALALX φ y XBL = BLBLX φ en los cojinetes

izquierdo y derecho (A y B), respectivamente.

+ TERCER ENSAYO. Se elimina la masa de ensayo mL = LLm θ

ensayo mR = RRm θ

las amplitudes en los cojinetes: XAR = ARARX φ y XBR = BRBRX φ .

que desequilibrio de ensayo, si se utiliza una distancia unitaria desde el eje de rotación.

Para desarrollar las ecuaciones para el desequilibrio definamos primero el concepto derigidez compleja. Se entiende como tal a la amplitud que resultaría en cualquiera de los cojinetesdebida a un desequilibrio unitario ubicado en la intersección de la marca de referencia giratoria(desfase nulo) y uno de los planos de corrección. Por tanto, es necesario encontrar las rigidecescomplejas (AL, BL) y (AR, BR) debidas a un desequilibrio unitario ubicado en la intersección de lamarca de referencia giratoria los planos L y R, respectivamente.

Conocidas las rigideces, y de acuerdo con los tres ensayos descritos anteriormente, sepodrían escribir las siguientes de ecuaciones complejas:

XAL = XA + AL mL (16)

XBL = XB + BL

mL (17)XAR = XA + AR mR (18)

XBR = XB + BR mR (19)

AL = (XAL – XA) / mL (20)

BL = (XBL – XB) / mL (21)

AR = (XAR – XA) / mR (22)

BR = (XBR – XB) / mR (23)


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MECANISMOS


De esta forma, una vez determinadas las rigideces en las ecuaciones (20) a (23), y deacuerdo con la definición de rigidez compleja, del primer ensayo se tiene:

XA = AL ML + AR MR (24)

XB = BL ML + BR MR (25)

desequilibrios incógnitas en ambos planos de equilibrado:

LRRL

LALBR

LRRL

RBRAL

BABA

BXAXM

BABA

AXBXM

−−

=−−

= (26)

rectangular compleja.


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MECANISMOS


6.7 Equilibrado de motoresalternativos

6.7.1 EQUILIBRADO DE UN MOTOR DE UN SOLO CILINDRO

En la figura 15.a, se representa el mecanismo de pistón-biela-manivela correspondiente a unmotor de un solo cilindro. En este caso, la manivela no se haya equilibrada, ya que su centro degravedad G2 se encuentra desplazado con respecto a su eje de rotación (punto O 2). Por otra parte,

determinación de las masas equivalentes del sistema (mA, mB) localizadas en el pasador (A) de lamanivela y en el pasador (B) de la corredera o pistón, respectivamente. La razón de esto es que el

pasador de la manivela se mueve sobre un círculo y el del pistón en línea recta; movimientos

Figura 15.a – Mecanismo pistón-biela-manivela

con manivela no equilibrada

Figura 15.b – Masas equivalentes en el

mecanismo pistón-biela-manivela

Considerando el mecanismo como mecanismo plano, las masas giratorias (mA) en un motor

capítulo, pero no así las masas con movimiento alternativo (mB); por lo tanto, en este apartadohablaremos, en realidad, del desequilibrio. No obstante, aunque las masas con movimientoalternativo no se pueden equilibrar usando un simple contrapeso, si es posible modificar las fuerzasde sacudimiento

desequilibrando las masas con movimiento rotativo.

la masa giratoria equivalente en la mitad de la masa equivalente con movimiento alternativo (por lo


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MECANISMOS


alternativo para alterar las características de equilibrado en los motores de un solo cilindro).Designando la masa del contrapeso por mC, la fuerza de inercia debida a este contrapeso es

jtsenrmitcosrmF 2C2

CC

ωω−ωω−= (27)

Nótese que tanto la masa empleada para equilibrar como el pasador de la manivela tienen el

mismo radio∗. Designando por mA y mB las masas equivalentes de los elementos con movimientorotativo y alternativo, respectivamente, se tiene:

2

mmm BAC += (28)

jtsenr2

mmitcosr2

mmF 2BA2BAC

ωω +−ωω +−=(29)

A su vez, la fuerza de inercia debida a las masas rotativas (FA) y a las masas con movimientoalternativo (FB) responde a la expresión:

( ) jtsenrmit2cosl

rrmtcosrmm jFiFF 2A

2B

2BA

yxBA,

ωω+

ωω+ωω+=+= (30)

Al sumar las ecuaciones (29) y (30), se obtiene la fuerza de inercia resultante como:

jtsenr

2

mit2cos

l

rrmtcosr

2

mF 2B2B

2B

ωω−

ωω+ωω= (31)

En dicha expresión (31) se suelen distinguir dos componentes vectoriales:

+ La componente primaria de la fuerza de inercia resultante: que tiene un módulo de

valor 2rm2

B ω

-ω,(girando “hacia atrás

) jtsenit(cosr2

m 2B

ω−ωω (32)

+ La componente secundaria: componente restante de la expresión (31) y que resulta ser

la proyección x de un vector cuyo módulo es ( )lrrm 2B ω y que gira (“hacia adelante ”) conuna velocidad angular 2ω.

La

se produce cuando ω

+ω=

2

1

l

rrmF 2Bmax (33)

ya que cosωt = cos2ωt = 1 cuando ωt = 0.

∗


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MECANISMOS


mC, la fuerza de inercia

+ω=1

lrrmF 2Bmax (34)

sacudimiento en un 50% de la componente primaria y agregar fuerzas de inercia verticales endonde antes no existían. En la figura 16, se representa un diagrama polar de la ecuación (31), paraun valor r/l de ¼:

+ El vector OA gira en sentidoopuesto al de las manecillas del

reloj con velocidad 2ω y suproyección horizontal, OA’, es lacomponente secundaria.

+ El vector OB, componenteprimaria, gira en el mismo sentido

de las manecillas del reloj con ω.

+ Se muestra la fuerza total desacudimiento F para la posición

OBy BB’ = OA’. Figura 16 - Fuerza total de sacudimiento

6.1.1.1 Método de la masa imaginaria

El método de la masa imaginaria

redefinido y ampliado por Stevensen.

método del rotor virtual,porque utiliza lo que se podría llamar un rotor virtual que gira en sentido contrario para recibir partedel efecto del pistón en un motor de movimiento alternativo.

Antes de entrar en detalles, esnecesario explicar un cambio en lanotación a la hora de ver el círculo de la

manivela de un motor. Al desarrollar el

sección y la que sigue, se utiliza elsistema coordenadas de la figura 17, en elque el eje y se localiza girando en elmismo sentido del movimiento de lasmanecillas del reloj a partir de x, y dondela rotación positiva se muestra con talsentido. Se adopta esta notación porquese ha utilizado desde hace mucho tiempoen la industria automovilística.


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MECANISMOS


a la mitad de la masa equivalente con movimiento alternativo en el armónico particular estudiado. Elpropósito de estas masas ficticias es reemplazar los efectos de la masa con movimiento alternativo.

Estas masas imaginarias giran alrededor del centro de la manivela, en direcciones opuestas y con

punto muerto superior

(PMS) como en el punto muerto inferior (PMI) como se ve en la figura 17. La masa +mB /2 gira conel movimiento de la manivela y la otra masa -mB /2 en sentido opuesto. La masa que gira con la

opuesta, con un signo menos. La definición y distribución establecida para ambas masas permiteasegurar que el centro de masa de las dos masas giratorias queda siempre sobre el eje del pistón ocilindro.

el movimiento del pistón y la fuerza deinercia resultante siempre se pueden representar mediante una serie de Fourier. Este tipo de serie

presentes los armónicos impares (tercero, quinto, etc.) por la simetría del movimiento del pistón.

Por lo tanto, cada armónico, primero, segundo, cuarto, etc., se representa mediante un par

de masas imaginarias. Las velocidades angulares de estas masas son ±ω para el primer armónico,±2ω para el segundo, ±4ω

cuenta del sexto armónico en adelante.

Stevensen sugiere las siguientes reglas para ubicar las masas imaginarias:

- Para cualquier posición dada de las manivelas, las posiciones de las masas imaginarias

punto muerto superior y moviendo las masas imaginarias, en sentidos opuestos, unos

considerado.

-

motor de un solocilindro, considerando únicamente el primer armónico.

+ En la figura 18, la masa +mB /2 localizada en Agira a la velocidad ω con la manivela, en tantoque la masa -mB /2 en B gira a la velocidad -ωopuesta a la rotación de la manivela.

+ Se puede equilibrar la masa imaginaria en Aagregando una masa igual en A’, para que gire

+

puede equilibrar por la adición ni por lasustracción de masas en cualquier parte del

imaginaria


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MECANISMOS


Cuando la mitad de la masa equivalente de partes con movimiento alternativo se equilibra deesta manera, es decir, agregando la masa en A’, la parte no equilibrada del primer armónico, debidaa la masa en B, hace que el motor vibre en el plano de rotación en forma igual en todas las

direcciones, como una verdadera masa giratoria no equilibrada.

En este sentido, resulta interesante saber que en los motores de motocicleta de un solo

sobreequilibrados utilizando un contrapeso cuya

.

Sin embargo, resulta imposible equilibrar el segundo armónico y armónicos superiores con

(como en el caso del motor Plymouth Arrow de 1976), pero al costo de una complicación tremendaque hace que no resulte una solución habitual.

6.7.2 EQUILIBRADO DE MOTORES CON VARIOS CILINDROS

cilindros, consideremos un motor de dos cilindros en línea cuyas manivelas tiene una separación de

Figura 19 – Esquema de un motor de dos cilindros en línea

diagrama de la figura 19.a. En ella se muestra que las masas +1 y +2, que giran en el mismosentido del movimiento de las manecillas del reloj, se equilibran entre sí, como lo hacen las masas–1 y –2, que giran en sentido opuesto al de las manecillas del reloj. Por consiguiente, las fuerzas de

.


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MECANISMOS


alrededor del eje y. Se pueden determinar los valores de estos pares, siendo posible equilibrar el

par debido a las masas giratorias reales, lo mismo que a las semimasas imaginarias que giran conel motor; sin embargo, no se puede equilibrar el par debido a la semimasa del primer armónico que

En la figura 20.a, se muestrala ubicación de las masasimaginarias para el segundoarmónico, empleando la regla deStevensen. En este diagrama, seobserva que

las fuerzas de los segundos

armónicos. Puesto que los

presentan en los puntos muertos,casi siempre se trazan losdiagramas para esta posiciónextrema, colocando la manivela 1en el PMS, como en la figura 20.b.

Figura 20 – Masas imaginarias para el segundo armónico.

Este desequilibrio produce una vibración en el plano xz de frecuencia 2ω. El diagramapara los cuartos armónicos, sería el mismo que el de la figura 20.b, sólo que con velocidad es 4ω.

6.7.2.1 Motor de cuatro cilindros

La figura 21.c muestra el esquema de un motor de cuatro cilindros en línea cuyas manivelas

se puede tratar como si fueran dos motores de doscilindros uno contra el otro. Por consiguiente, las fuerzas del primer armónico siguen equilibradas

arriba y hacia abajo, y a doblar el centro de un eje de dos cojinetes, en la misma forma.

Figura 21 – Esquema de un motor de cuatro cilindros en línea


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MECANISMOS


En la figura 21.b, se constata el hecho de que cuando las manivelas 1 y 4 se encuentran enel punto muerto superior (PMS), todas las masas que representan al segundo armónico y que sedesplazan en ambas direcciones, se acumulan en ese punto muerto, produciendo una fuerza

x y, por tanto, lossegundos armónicos desequilibrados provocan una vibración vertical con una frecuencia igual aldoble de la velocidad del motor. Esta característica es típica de todos los motores de cuatrocilindros con esta disposición de las manivelas.

6.7.2.2 Motor de tres cilindros

En la figura 22, se ilustra unmotor de tres cilindros en línea con

con el orden en el que llegan al puntomuerto superior. En la figura 23, seobserva como las fuerzas de losprimeros, segundos y cuartos

equilibradas y sólo las fuerzas de los

completamente desequilibradas; noobstante, la magnitud de estas fuerzas

despreciar por lo que respecta a lavibración que introducen en el sistema.

Figura 22 – Esquema de un motor de tres cilindros en

línea

1 se encuentra en el punto muerto superior (figura 22), existe una componente vertical de lasfuerzas en las manivelas 2 y 3, cuya magnitud es igual a la mitad de la fuerza sobre la manivela 1.La resultante de estas dos componentes hacia abajo es equivalente a una fuerza hacia abajo, conigual magnitud a la de la fuerza sobre la manivela 1 y localizada a la mitad entre las manivelas 2 y3. Así pues, se establece un par con un brazo igual a la distancia entre el centro de la manivela 1 y

la línea central entre las manivelas 2 y 3. Al mismo tiempo, las componentes horizontales de las


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MECANISMOS


fuerzas +2 y –2 se cancelan entre sí, al igual que las fuerzas +3 y –3 (figura 22). Por lo tanto, noexiste par horizontal. Se encuentran pares similares para los segundos y cuartos armónicos. Por lo

las fuerzas de los primeros, segundos y cuartos armónicos, no queda todavía libre de vibracionesdebido a la presencia de pares en estos armónicos.

6.7.2.3 Motor de seis cilindros

Si se concibe un motor de seis cilindros en línea como una combinación de dos motores de

inherente de los primeros, segundos y cuartos armónicos. Y, en virtud de la simetría, los pares de

vibración en el plano vertical, con una frecuencia de 6ω. Sin embargo, la magnitud de estas fuerzas

6.7.2.4 Otros motores

Tomando en consideración la disposición de los cilindros y el espaciamiento de lasmanivelas, se pueden obtener una gran cantidad de configuraciones. Para cualquier combinación,

que se han descrito.

apropiados a partir de ese mismo punto muerto superior. Esto es particularmente importantecuando se investigan motores radiales y de pistones opuestos.

+ En un motor radial de tres cilindros con una manivela y tres bielas que tienen elmismo pasador

de los primeros armónicos, en tanto que las masas positivas se localizan siempre en elpasador de la manivela. Estos dos hallazgos son inherentemente verdaderos para todoslos motores radiales. Asimismo, puesto que el motor radial tiene sus cilindros en un soloplano, no se producen pares desequilibrados. En cualquier caso, el motor de tres cilindros

+ Un motor de dos cilindros con pistones opuestos, con un espaciamiento de las

+ Un motor de cuatro cilindros en línea con manivelas a 90º

.


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MECANISMOS


+ Un motor de ocho cilindros en línea con manivelas a 90º

equilibrado tanto para las fuerzas como para los pares en el primer y segundo armónicos;

+ Un motor de ocho cilindros en V con manivelas a 90º

para las fuerzas en el primer y segundo armónico y para los pares en el segundo. A suvez, los pares no equilibrados en el primer armónico se pueden equilibrar por medio de

para las fuerzas en el cuarto armónico.


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MECANISMOS


6.8 Equilibrado demecanismos

reacciones que se ejercen sobre el eslabón de referencia del mecanismo, o el soporte de la

son el equilibrado de la fuerza de sacudimiento y el del momento de sacudimiento.

En el equilibrado de fuerzas es importante la posición del centro total de masa. Si sepuede encontrar una manera de hacer que este centro total de masa se mantenga

.

Lowen y Berkof llegaron a catalogar

sacudimiento en un mecanismo:

- El , en el que las masas concentradas de los eslabones

- El , en el que se obtiene una expresión analíticapara el centro de masa y luego se manipula para saber cómo se puede influir en sutrayectoria.

- El , en el que el centro de masa deun mecanismo se hace estacionario, provocando que se anulen los coeficientes de los

total de masa.

- El uso de masas impulsadas por levas para mantener estacionario el centro de masa.

- La adición de un mecanismo duplicado axialmente mediante el cual se haceestacionario el nuevo centro total combinado.

Sin embargo, en lo que al problema del equilibrado del momento de sacudimiento se refiere,Lowen y Berkof apenas encontraron unos cuantos estudios sobre el problema.

6.8.1 MÉTODO DE BERKOF-LOWEN DE LOS VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

barras típico. El procedimiento seguido es el siguiente:


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MECANISMOS


+ Determinar la ecuación de la trayectoria del centro total de masa del eslabonamiento.

+ Hacer estacionario el centro total de masa cambiando la posición de las masas de los

dependen del tiempo.

+

unitarios que dependen del tiempo contenidos en la ecuación sean linealmenteindependientes.

En la figura 24, se representa

que tiene las masas de loseslabones mi localizadas en los

puntos Gi. A su vez, las

coordenadas (ai, φi,) describen lasposiciones de cada uno de estospuntos dentro de cada eslabón.

posición del centro total de masa

del eslabonamiento por vector sr

:

( )4s4s33s22s rmrmrmM

1r

++= (35)

en donde ( )4ss3s2 r,r,r

son los vectores que describen las posiciones de m2, m3 y m4,

respectivamente, en el sistema de coordenadas xy

)22(i

2s2 ear φ+θ=

(36)

)33(i

32i

2s3 eaerr φ+θθ +=

(37)

)44(i

41i

1s4 eaerr φ+θθ +=

(38)

Por otro lado, la masa total del mecanismo M es:M = m2 + m3 + m4(39)

Al sustituir la (36), (37) y (38) en la expresión (35):

1i

144i4i

443i3i

332i

232i

22s erme)eam(e)eam(e)rmeam(rM θθφθφθφ ++++=

(39)

en donde se ha usado la identidad βαβ+α = ii)(i eee

vectorial de cierre del circuito tiene la forma:

0erererer 1i

1

4i

4

3i

3

2i

2

=−−+ θθθθ (40)


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MECANISMOS


2ie θ , 3ie θ

y 4ie θ

de la expresión (39) noson linealmente independientes. Para hacer que lo sean, se resuelve (40) para uno de los vectores

unitarios, por ejemplo 3ie θ , y se sustituye el resultado en (39). De donde:

)ererer(r

1e 4i4

2i

21i

1

3

3i θθθθ +−= (41)

Con lo que ahora (39) se convierte en:

1i3i

3

13314

4i3i

3

433

4i

442i3i

3

23323

2i

22s

eer

ramrm

eer

rameamee

r

ramrmeamrM

θφ

θφφθφφ

++

++

−+=

(42)

La expresión (42) nos muestra que el centro total de masa puede hacerse estacionario en laposición

1i3i

3334

3

1s e)eamrm(

Mr

rr θφ+=

(43)

0er

ramrmeam 3

i

3

23323

2i

22 =−+ φφ

(44)

0errameam 3i3

433

4i44 =+ φφ (45)

Pero la ecuación (44) se puede simplificar localizando G3 respecto al punto B, en lugar dehacerlo en relación con el punto A (figura 24). En tal caso,

3'i

33

3i

3e'area φφ += (46)

Y con esta sustitución, la ecuación (44) se convierte en:

0er

r'ameam 3

'i

3

233

2i

22 =− φφ

(47)

Por lo tanto, para obtener el equilibrio total de las fuerzas de sacudimiento se deben

compleja, conducen a dos conjuntos de condiciones (igualdad en módulo e igualdad en fase):

3

23322

r

r'amam = y 32 'φ=φ (48-49)

3

43344

r

ramam = y π+φ=φ 34 (50-51)


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MECANISMOS


Un estudio de estas condiciones permite comprobar que se pueden especificar deantemano la masa y su ubicación para cualquier eslabón individual; y luego se puedeobtener el equilibrio completo reacomodando la masa de los otros dos eslabones.

El problema usual en el equilibrado de un eslabonamiento de cuatro barras es que laslongitudes de los eslabones ri vienen normalmente definidas por la resolución del problema de

entrada y salida, con el objeto de redistribuir sus masas, sin que por ello se altere la geometría deltercer eslabón móvil (acoplador).

*i

*i

*i

0i

0i

0iiii amamam φ+φ=φ (52)

en donde0

im ,0

ia y0

iφ *

im ,*

ia y*

iφ son los im , ia y iφ

(48) a (51).

Una segunda condición que es preciso satisfacer en general es

*i

0ii mmm += (53)

Si la solución para un problema de equilibrado puede permanecer como el producto masa-

distancia *i*i am , no es necesario usar la ecuación (53), y se puede resolver la (52) para llegar a

( ) ( ) ( ) ( )[ ]0ii

0

i

0

iii

20

i

0

i

2

ii

*

i

*

i

cosamam2amamam φ−φ−+=(54)

0i

0i

0iiii

0i

0i

0iiii1*

icosamcosam

senamsenamtan

φ−φφ−φ

=φ − (55)

En la figura 25, se ilustra un eslabonamiento típico de seis barras y la notacióncorrespondiente.

Figura 25 – Eslabonamiento de seis barras


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MECANISMOS


Para este caso, las condiciones de Berkof-Lowen para que exista un equilibrado total son:

6i

6

66

5i

5

55

)43i(

3

33

6'i

4

4

6

66

4i

4

54

3'i

3

33

)25'(i

2

2

5

55

2i

2

22

er

ame

r

am

er

ame

r

b

r

ame

r

am

e

r

ame

r

b

r

ame

r

am

φφ

α+φφφ

φα+φφ

−=

−=

+=

(56-58)

Se pueden idear relaciones similares para otros eslabonamientos de seis barras para elequilibrado total. Las ecuaciones (56) a (58) muestran que es preciso satisfacer una determinadarelación masa-geometría entre los eslabones 5 y 6

masas de dos eslabones cualesquiera así como sus ubicaciones. Entonces se logra el equilibrado

mediante una redistribución de las masas de los tres eslabones móviles restantes.

Es importante hacer notar que la adición de contrapesos para equilibrar las fuerzas de

de sacudimiento. Por consiguiente,

adecuada posible entre estos tres efectos.


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MECANISMOS


6.9

En el apartado anterior, se explicó la forma de equilibrar las fuerzas de un eslabonamiento

Por desgracia, esto no equilibra los momentos de sacudimiento y, de hecho, es probable que los

compuesta de varios mecanismos, se podría considerar el equilibrado de la misma, equilibrandocada mecanismo por separado. Sin embargo, pudiera ser que esto no conduzca al mejor

desequilibrio de un mecanismo puede contrarrestar el desequilibrio de otro, eliminando en primerainstancia la necesidad de algunos contrapesos.

En este sentido, Stevensen demostró que cualquier armónico simple de fuerzas,

equilibrar agregando seis contrapesos. Estos se disponen sobre tres rotores, dos por rotor,

impulsados a la velocidad constante del armónico, y definidos de forma que tengan los ejesparalelos, respectivamente, a cada uno de los tres ejes mutuamente perpendiculares que pasan por

en este curso, vale la pena examinar el planteamiento general:

+

aceleraciones lineales y angulares de cada uno de los centros de masa

+ Calculo, o determinación experimental, de las masas y los momentos de inercia de los

+ Calculo de las fuerzas de inercia, momentos de torsión de inercia y momentos de las

fuerzas; tomando como sistema de referencia los tres ejes de coordenadas mutuamente

para los momentos.

+

fuerzas no equilibradas, paralelas a los tres ejes, y los momentos no equilibrados en tornoa estos tres ejes.

+

ωt +

ωt, con los subíndices apropiados. Entonces,


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MECANISMOS

ωt y senωt queden multiplicados por grupos

+

mr

em equilibrado (1)

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