2

Circuitos Elétricos em Corrente Alternada (CA) – Uma Breve Revisão

Conteúdo 2.1 Revisão de números complexos e exercícios ...................................................................................................................................... 1 2.2 Exercícios sobre circuitos CA monofásicos .......................................................................................................................................... 3 2.3 Exercícios sobre circuitos CA trifásicos equilibrados ..................................................................................................................... 4 Bibliografia ................................................................................................................................................................................................................ 6 Apêndice A – Problema (01) de CA monofásico no MATLAB.............................................................................................................. 7 Apêndice B – Observações úteis sobre CA trifásico ................................................................................................................................. 8 Algumas repostas dos exercícios ..................................................................................................................................................................... 9

De números complexos ................................................................................................................................................................................... 9 De CA Monofásico .............................................................................................................................................................................................. 9 De CA Trifásico .................................................................................................................................................................................................... 9

1

2.1 Revisão de números complexos e exercícios Os números complexos, devido as suas características, são bastante convenientes para aplicações na engenharia elétrica, por exemplo, em circuitos elétricos em corrente alternada (CA), em sistemas de potência, em sistemas de controle, na teoria de telecomunicações, entre outras.

Seja como exemplo um número complexo D expresso na forma retangular: D = a + jb.

Pode-se expressar: Funções no Matlab: Representação gráfica no

plano complexo (supondo a > 0 e b > 0):

Parte real de D: a real(D)

a

jb

-jb

D

D*

q-q real

imag

o

Parte imaginária de D: b imag(D)

Magnitude: 22 baD abs(D)

Ângulo: D = )/( abarctgq Theta = angle(D)*180/pi %para graus

Forma polar: D = |D|q -

Forma exponencial: D = |D|ejq D = abs(D)*exp(j*Theta*pi/180)

Conjugado: D* = a – jb ou, D* = |D|–q ou, D* = |D|e-jq conj(D)

Onde: o asterisco sobrescrito “ * ” denota o conjugado de um número complexo.

9011j

Exemplo. Dados os números complexos A = 3+j4 e B = -1+j1: a) Represente-os no plano complexo. b) Calcule: A+B; A-B; AB; A/B. c) Repita as letras (a) e (b) programando no Matlab e plotando os resultados. Solução: a) Na forma polar tem-se: A = 553,1 e B = 1,41135

A

B

real

imag

o

b) R1 = A+B = 3 + j4 + (-1 + j1) = 2 + j5 = 5,468,2 R2 = A–B = 3 + j4 – (-1 + j1) = 4 + j3 = 536,9 R3 = AB = (3 + j4) (-1 + j1) = -7 - j1 = 7,1-171,9 R4 = A/B = (3 + j4) (-1 + j1) = 0,5 - j3,5 = 3,5-81,9

c) Programa no Matlab:

A = 3 + 4j; B = -1+1j; R1 = A+B, R2 = A-B, R3 = A*B, R4 = A/B

figure, hold %plotando na mesma figura plot(A,'x'), plot(B,'x'), plot(R1,'x'), plot(R2,'x')

plot(R3,'x'), plot(R4,'x') set(gcf,'Color',[1 1 1])

xlabel('Eixo Real'), ylabel('Eixo Imaginario')

title('Plano Complexo') Resultados: R1 = 2.0000 + 5.0000i R2 = 4.0000 + 3.0000i R3 = -7.0000 - 1.0000i R4 = 0.5000 - 3.5000i

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Plano Complexo

Eixo Real

Eix

o Im

ag

ina

rio

B

A

R3

R1

R2

R4

Obs.: fórmula de Euler: ejq = cos(q) + jsen(q)

2

Exercícios de revisão de números complexos Resolver manualmente e com o MATLAB: 01) Seja A = 4 + j3, B = 3 - j2 e C = 2 + j1. Calcular e mostrar no plano complexo o resultado usando as formas retangular e polar:

a) A + B b) A – B c) AB d) A/B e) A+B+C f)CB

BA

02) Desenhar no plano complexo e calcular os ângulos (ou argumentos) de: a) A = 2 + j2 b) B = –3 + j3 c) C = –1 – j d) D = 5 – j5 03) Dado um número complexo na forma polar V = 100150o: a) Escreva-o na forma retangular e exponencial. b) Idem para seu conjugado. 04) Sejam os números A = 100; B = 1–1200; C = 11200. a) Esboce-os no plano complexo na forma polar (módulo e ângulo). b) Calcule as expressões: A-B; B-C; C-A e esboce os resultados, na forma polar, no mesmo plano complexo do item (a). 05) Demonstre que o produto de um número complexo por seu conjugado é igual ao seu módulo ao quadrado.

3

2.2 Exercícios sobre circuitos CA monofásicos 01) Considere um circuito composto por uma fonte de tensão v(t) = 311,13sen(t+0) V, alimentado uma carga RL série composta por uma resistência de 3 e uma indutância de 10,61 mH. A frequência da rede é f = 60 Hz. O circuito opera em regime permanente e a corrente resultante já resolvida é i(t) = 62,23sen(t–53,1) A. a) Desenhar o circuito no domínio do tempo. Determinar: - os valores máximos e eficazes da tensão e da corrente; - determinar os ângulos de fase da tensão e da corrente e a frequência angular; - equacionar o circuito no domínio do tempo. Como é a expressão para o valor máximo da corrente em regime permanente? - esboce as formas de onda de v(t) e i(t). b) Obtenha o circuito fasorial correspondente (domínio da frequência) inserindo todas as suas grandezas. Expresse os fasores tensão e corrente (use valores eficazes). Calcule o módulo da impedância do circuito e expresse-a também na forma complexa. Trace o diagrama fasorial com os fasores tensão e corrente. c) Determine as potências ativa, reativa, aparente, o fator de potência da carga e o triângulo de potências. * Programa e simulação no MATLAB/Simulink, clique em:

Apêndice A – Problema (01) de CA monofásico no MATLAB 02) No circuito monofásico abaixo tem-se Z = 0,2 + j0,9 , Va = 12025 V e Vb = 100–5 V com respeito ao nó de referência mostrado. Obtenha Vab ( = Va – Vb), a corrente I e esboce o diagrama fasorial.

Va Vb

ZI

03) Um motor monofásico consome 1250 W em uma tensão de 220 V, FP = 0,75 atrasado (ou indutivo). Quanto é a magnitude da corrente que flui para o motor? Qual é a magnitude da potência aparente? Quanto de potência reativa ele "consome"? 04) Seja um circuito monofásico composto por uma impedância em série com uma fonte de tensão. Calcule P, Q, S, FP e desenhar o triângulo de potências para: a) com valores eficazes: V = 20060o V; I = 1030o A. Este circuito é predominantemente indutivo ou capacitivo? b) com V = 20030o V; I = 1060o A. Este circuito é predominantemente indutivo ou capacitivo? 05) Uma carga indutiva monofásica consome 500 kW com um fator de potência em atraso de 0,80. Desenhe o triângulo de potência e determine a potência reativa de um capacitor ligado em paralelo com a carga para elevar o fator de potência para 0,93. 06) Seja o grupo de cargas monofásicas abaixo, cujas potências são as nominais para funcionamento em 220 V / 60 Hz. A impedância dos cabos de ligação foi desprezada.

Vef = 220 + j0 V S = 150 kVA

Fp = 0,65 ind1

1

S = 50 kVA

Fp = 1,002

2

S = 50 + j50

kVA3 S = 10 + j20

kVA4

Calcule o total de potência ativa, reativa e aparente que é fornecida ao grupo de cargas. Determine também o fator de potência e a corrente resultantes. 07) Partindo dos fasores VV e II , demonstre que, no caso monofásico, a potência aparente

complexa dada por jQPS pode ser também expressa por *VIS .

08) Desenhe um circuito composto por uma tensão V aplicada a uma impedância série Z = R + jX. Mostre que a potência aparente complexa "consumida" pela impedância pode ser expressa por S = Z|I|2 e que para essa carga as potências ativa e reativa podem ser expressas por: P = R|I|2 e Q = X|I|2.

4

2.3 Exercícios sobre circuitos CA trifásicos equilibrados

* Ver observações, clique em: Apêndice B - observações úteis sobre CA trifásico

01) Considere um gerador trifásico elementar. Os terminais externos a, b, c dos enrolamentos do estator fornecem as seguintes tensões fase-neutro (ou simplesmente tensões de fase):

)(||2)( tsenVtv efan

)120(||2)( tsenVtv efbn

)120(||2)( tsenVtv efcn

onde: |Vef| é o modulo da tensão eficaz de fase; van(t) foi tomada como referência angular.

Gerador elementar: os terminais a', b', c' são conectados

num mesmo ponto comum, o neutro n.

a) Obtenha os fasores correspondentes às tensões de fase e desenhe o diagrama fasorial correspondente. b) Determine os fasores das tensões de linha e inclua no diagrama fasorial anterior. c) Obtenha as tensões de linha no domínio do tempo: vab(t), vbc(t) e vca(t). d) Esboce as formas de onda das tensões trifásicas de fase e de linha (ou plote com o auxílio de algum programa). 02) Seja o circuito trifásico equilibrado abaixo, 60 Hz, com ligação Y-Y, onde desprezou-se a impedância dos cabos da alimentação. Considere que o gerador mantém a tensão em seus terminais externos em 380 V. A impedância de cada fase da carga é ZY = 10 + j20 .

c

a

b

Zg

Zg

Egc

Egb

Zg

Ega

Modelo do GeradorTrifásico

Carga equilibradaligada em Estrela

Correntesde Linha:

Ia

Ib

Ic

Correntesde fase:

Vab

b

a

c

ZY

ZYZY

neutroda carga

a) Determine as tensões de fase e de linha na carga. Qual é sua relação (módulos e ângulos)? b) Determine as correntes de fase na carga e as correntes de linha. Qual é a relação entre elas? c) Inserindo um condutor ligando os neutros da fonte e da carga, qual seria a sua corrente? d) Esboçar diagrama fasorial. 03) Seja o circuito trifásico equilibrado abaixo, 60 Hz, com ligação Y-, onde desprezou-se a impedância dos cabos de alimentação. Considere que o gerador mantém a tensão em seus terminais externos em 380 V. A impedância de cada fase da carga é ZD = 3,0 + j8,0 .

c

c

ZD ZD

ZD

a

ab

bZg

Zg

Egc

Egb

Zg

Ega

Modelo do GeradorTrifásico

Carga equilibradaligada em Delta

Correntesde Linha:

Ia

Ib

Ic

Correntesde fase:

Vab

a) Determine as tensões de fase e de linha na carga. Qual é a sua relação? b) Determine as correntes de fase na carga e as correntes de linha. Qual é a sua relação (módulos e ângulos)? c) Esboçar diagrama fasorial.

5

04) Demonstre que em um circuito com sinais senoidais, trifásico equilibrado, independente de a ligação ser Y-Y ou Y-, as potências trifásicas nos terminais da carga podem ser expressas usualmente por:

Potência ativa trifásica: qcos||||3 LL IVP

Potência reativa trifásica: qsenIVQ LL ||||3

Potência aparente trifásica em módulo: 22 QPS ou, ||||3 LL IVS

Potência aparente trifásica complexa: *3 fasefaseIVjQPS

Fator de potência: qcosS

PFP

onde: |VL| e |IL| são módulos de grandezas de linha (valores eficazes); na expressão da potência aparente complexa, Vfase e Ifase são fasores (eficazes). 05) Um sistema trifásico a três condutores, alimenta uma carga em triângulo constituída por três impedâncias iguais de 17,2745 , com tensão terminal de 380 V. Despreze a impedância dos cabos de ligação. Determinar as correntes de linha Ia, IB e Ic e traçar o diagrama de fasores. Resolver de duas maneiras: a) Aplicando a Lei de Kirchhoff das Correntes aos nós da carga. b) Utilizando o circuito monofásico equivalente. c) Esboçar o diagrama fasorial das correntes. 06) Calcular as correntes de linha de um sistema trifásico a três condutores, 4,16 kV, que alimenta uma carga em , constituída por três impedâncias iguais de 2545o em paralelo com uma carga em Y de 3030o . Despreze a impedância dos condutores de ligação. 07) Seja o diagrama unifilar composto pelo barramento de saída de uma subestação de energia, uma linha de transmissão e uma carga trifásica em Y, que consiste de 3 impedâncias iguais a Zcarga em cada fase. Desejando manter a tensão na carga em 4,4 kV, pede-se:

Barramentoda Subestação

V=?

Cargapassiva

|V| =4,4 kVCarga

ZLinha= 1,4 75

Zcarga = 20 30

Linha de transmissão Y

a) Desenhe o circuito trifásico que representa o sistema. b) Obtenha o circuito monofásico equivalente. c) A partir daí, calcule a tensão de fase na barra de saída da subestação e obtenha a tensão de linha. d) Trace o diagrama fasorial para uma fase com: a tensão obtida, a tensão na carga e a queda de tensão na linha. e) Calcule as potências trifásicas fornecidas pela subestação S, P, Q e o fator de potência em sua saída. f) Calcule a perda de potência ativa (efeito Joule) na linha de transmissão. 08) Este problema traz uma interessante reflexão a respeito da relação entre fator de potência e perdas de potência por efeito Joule nos condutores. Considere uma carga trifásica em Y, 300 kW, no final de uma linha de distribuição alimentada em 13,75 kV. Suponha que a resistência de cada condutor da linha seja 10 . Se o fator de potência da carga é 0,60 atrasado, calcule: a) As perdas totais na linha por efeito Joule. b) Quanto de redução de perdas na linha é obtida com a correção do fator de potência para 0,93? Para simplificar assuma que a tensão da carga se mantém praticamente constante, assim como sua potência ativa. c) Com um ano de operação de operação contínua, quantos kWh seriam poupados somente nesse circuito? d) Analise e conclua sobre os resultados. O que mais pode ser dito a respeito dos benefícios para o sistema advindos da correção do fator de potência?

6

Bibliografia STEVENSON, W. D. Jr., Elementos de Análise de Sistemas de Potência, McGraw-Hill, 2a Ed. em Português (4a Ed. Americana), São Paulo–SP, 1986. JR. CASTRO, C. A., TANAKA, M. R., Circuitos de Corrente Alternada – Um Curso Introdutório, Editora da Unicamp, Campinas-SP, 1995. JOHNSON, D. E., et al., Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, Prentice Hall do Brasil, 4a Ed., Rio de Janeiro–RJ, 1994. MEIER, A. V., Electric Power Systems – A Conceptual Introduction, IEEE PRESS, WILEY INTERSCIENCE, USA, 2006.

7

Apêndice A – Problema (01) de CA monofásico no MATLAB

%Programa no MATLAB para plotar f = 60; T = 1/f; w = 2*pi*f; Vmax = 311.13; Imax = 62.23; t = 0:T/1e3:1.5*T; %um ciclo e meio v = Vmax*sin(w*t); i = Imax*sin(w*t-53.1*pi/180); % angulo de fase em radianos figure,plot(t,v,t,i), legend('v(t)','i(t)'), grid set(gcf,'Color',[1 1 1]) xlabel('Tempo (s)'), ylabel('Sinais')

Formas de onda obtidas:

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Tempo (s)

Sin

ais

v(t)

i(t)

Simulação no Simulink (MATLAB versão 6.5): Alteração nos parâmetros de simulação:

Start time: 0.0 Stop time: 3/60 (três ciclos). Solver options: Type: Fixed-step ode5 Fixed step size: 1e-4 (ou seja, 10-4).

(Veja figura ao lado)

Resultados:

Para voltar tecle: Alt–seta da esquerda (Alt )

8

Apêndice B – Observações úteis sobre CA trifásico

Tensão de fase = tensão fase-neutro. Usualmente: Va ou Van, Vb ou Vbn, Vc ou Vcn. Tensão de linha = tensão fase-fase. Usualmente: Vab, Vbc, Vca. A menos que seja dito o contrário, nos sistemas trifásicos as grandezas dadas são tensões de linha e as potências (ativa, reativa, aparente) são as totais trifásicas.

Transformação Y para cargas trifásicas equilibradas: A partir dos terminais externos a, b, c, as cargas abaixo são equivalentes fazendo: ZY = ZD/3.

ba

c

ZY

ZYZY

a

b c

ZD

ZD

ZD

<=>

Circuito monofásico equivalente: Levante-se a questão: por quê fazer cálculos considerando as três fases, se em circuitos equilibrados o que ocorre em uma das fases é o mesmo com as outras, exceto pela defasagem angular de 120o? De fato, é mais fácil realizar os estudos considerando somente uma fase, usando o que se denomina de circuito monofásico equivalente. Neste circuito o condutor de retorno é representado pelo condutor neutro com impedância zero. Usualmente é conveniente realizar os cálculos com base em uma única fase (Y por fase, tensão de fase), porque então as impedâncias dos transformadores podem ser somadas diretamente em série com as da linha de transmissão. Quando há transformadores -Y ou Y-, todas as grandezas podem ser referidas ao lado conectado em Y. Nos casos de conexões - em série com linhas de transmissão, é conveniente substituir as impedâncias conectadas em do transformador por impedâncias equivalentes em Y. Depois de obter as grandezas monofásicas torna-se fácil obter as outras tensões e correntes de linha, respeitando as suas relações quanto à magnitude e as defasagens angulares de 120. As potências trifásicas são simplesmente três vezes as monofásicas. Como exemplo, observe o circuito trifásico abaixo e seu monofásico equivalente.

Zcarga

Zlinha

Zg

Ega

Ia

neutro

Va

Zlinha

Zlinha

Zlinha

c

a

b

Zg

Zg

Egc

Egb

Zg

Ega

Ia

Ib

Ic

Zcarga

ZcargaZcarga

É comum tomar como referência a tensão da fase a atribuindo ao seu ângulo de fase o valor zero graus, isto é: 0|| Fa VV . Onde |VF| é a magnitude em valor eficaz sendo: |VF| = |Va| = |Vb| = |Vc|. Após a solução do

circuito monofásico equivalente, pode-se determinar diretamente as outras grandezas, tanto de fase como de linha, bastando aplicar os defasamentos angulares e as relações entre as magnitudes corretamente.

Para voltar tecle: Alt–seta da esquerda (Alt )

9

Algumas repostas dos exercícios De números complexos 01) (e) Resp = 3,4231 + j0,8846, ou na forma polar, Resp = 3.535514,4898. 02) (c) C = 1,4142–135.

04) Por exemplo A – B = 1 – (–0,5000 + j0,8660) = 1,5000 + j0,8660 = 303 .

De CA Monofásico 01) (c) S = 9,6853,1 kVA. FP = 0,60. 02) I = 65,223,8 A 03) |I| = 7,58 A. |S| = 1,67 kVA. Q = 1,10 kVAr. 04) (a) S = 2,0030 kVA. FP = 0,87. 05) QBancoCap = 177,39 kVAr. 06) Ptotal = 207,50 kW. Qtotal = 183,99 kVAr. FP = 0,75 (indutivo). I = 1,26–41,6 kA. De CA Trifásico 02) Tomando Va como referência angular, isto é, fazendo: Va = |Vef|0, sendo |Vef| o módulo da tensão de fase. Correntes de linha: Ia = 9,81–63,4 A; Ib = 9,81–183,4 A; Ic = 9,8156,6 A. 03) Tomando Va como referência angular, isto é, fazendo: Va = |Vef|0. Correntes nas fases da carga: Iab = 44,48–39,4 A; Ibc = 44,48–159,4 A; Ica = 44,4880,6 A Correntes de linha: Ia = 77,03–69,4 A; Ib = 77,03170,6 A; Ic = 77,0350,6 A. 05) Correntes de linha: Ia = 38,11–45,0 A; Ib = 38,11–165,0 A; Ic = 38,1175,0 A. 06) Correntes de linha: Ia = 366,13–41,8 A; Ib = 366,13–161,8 A; Ic = 366,1378,2 A.

07) Adotando como referência angular a tensão na fase A da carga como: kVVa 03

40,4

A tensão da fase A na barra da SE é: 2,6692,7 kV. A tensão Vab na barra da SE é: 4,62332,7 kV. S = 1,01732,7 MVA; P = 0,856 MW; Q = 0,550 MVAr; FP = 0,842. Perdas na linha: 17,538 kW. 08) Perdas totais na linha antes da correção do FP: 13,223 kW Perdas totais na linha após correção do FP: 5,5039 kW Redução = 7,7192 kW. Redução percentual = 58,3767% Energia poupada em kWh em um ano (considerando 8760 horas): 67620 kWh.