ejulio ddcosta betao armado

8/8/2019 EJulio DDCosta Betao Armado

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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVILFACULDADE DE CINCIAS E TECNOLOGIAUNIVERSIDADE DE COIMBRA

BETO ARMADO I

Mdulo 1: Dimensionamento Flexo de umaViga Simplesmente Apoiada de acordo com o

Eurocdigo 2 (Abril 2004)

Eduardo N B S Jlio


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1. BREVES CONSIDERAES INICIAIS

Com a iminente entrada em vigor dos eurocdigos de estruturas, considerou-se que os

regulamentos a seguir nas aulas da disciplina de Beto Armado I do Mestrado Integrado

em Engenharia Civil da FCTUC deveriam ser os Eurocdigos 0, 1 e 2, em lugar dos

regulamentos nacionais, ainda em vigor, RSA e REBAP.

Com este documento pretende-se fornecer aos alunos da disciplina, do ano lectivo

2007/2008, os elementos relevantes a ter em conta no dimensionamento flexo

simples de vigas de beto armado, de acordo com o Eurocdigo 2 (verso Portuguesa,

Abril 2004).

O exemplo seleccionado foi adoptado dos textos de apoio disciplina de Beto Armado I

da Licenciatura em Engenharia Civil da FCTUC, do ano lectivo 1996/1997, da autoria de

Eduardo Jlio e Joo Catarino.

Os autores solicitam que lhes sejam comunicadas todas as imprecises que,eventualmente, sejam detectadas.

Eduardo Jlio e Daniel Dias da Costa


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2. VIGA SIMPLESMENTE APOIADA

Considere-se a viga simplesmente apoiada, representada na Fig. 1, localizada no

interior da estrutura em que se insere, sujeita a uma aco permanente de 20 kN/m e a

uma sobrecarga de utilizao de 50 kN/m.

Os materiais a considerar no dimensionamento so o beto C 20/25 e o ao S 400.

Figura 1

clculo do vo efectivo

5.3.2.2 pg. 67

1eff nl l a a= + + 2 (5.8)

de acordo com a Figura 5.4 (a):0,40 0,50

9,70 10,152 2

effl m= + + =

aps o dimensionamento da altura da viga necessria a verificao do pressuposto de


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1,5

Q =

no caso em anlise, tem-se:

1, 35 20 1, 5 50 102 / p k= + = N m

clculo de esforos

2 2

,max

102 10,151313,5

8 8Sd

pl M kNm

= = =

pr-dimensionamento

considerando, na expresso do momento reduzido,2

RdRd

cd

M

bd f = ,

2b d= , Rd Sd

M M= e 0,25econ

= = , tem-se: 3

0,125

Sd

cd

Md

f

=

(nota: o valor de econ deve ser determinado com dados actualizados do custo do beto,

do ao, das cofragens e da mo-de-obra)

Quadro 3.1 pg. 34

C 20/25 fck = 20 N/mm2

Quadro 2.1N pg. 28

1,5c

=

3.1.620

13,31,5

cd f MPa= =

ento, ( )1/3

1313,5 0,125 13300 0,92d m= =


5/59

2

,max

1,35 12,5 10,15217,3

8Sd M kNm

= =

sendo, ento, o momento total:

MSd,max = 1313,5 + 217,3 =1530,8 kNm

estimativa da altura til

se se admitir que vai ser necessrio agrupar vares e que o dimetro escolhido ser o

25, o dimetro equivalente do agrupamento ser:

8.9.1 (2) pg. 162

55n b

n m = m (8.14)

2,5 2 3,54n cm = =

admitindo, ainda, que o dimetro dos estribos ser o 8, ento, o recobrimento (aoestribo), c, atendendo a que a viga interior, logo da classe de exposio XC1 (ver

Quadro 4.1 pg. 54), ser:

4.4.1 pg. 55

minnom devc c c= + (4.1)

min min, min, , , ,max( ; ;10 )b dur dur dur st dur add c c c c c c= + mm

mm

m

m

m

(4.2)

min max(35,4;15;10) 35,4c mm= =

4.4.1.3 (1) pg. 58

10devc m =

8 35, 4 10nomc m+ +

37,4nomc m


6/59

213,3

0, 321 0, 50 0, 927 56, 9348

s A cm= =

adopta-se 12 25 (As = 58,9 cm2)

dispensa da verificao da segurana ao estado limite de deformao

7.4.2 pg. 144

de acordo com (2), tem-se:

3

0 10 0, 45%ckf= =

4

0

58,9 101,27% 0,45%

0,5 0,927

sA

bd

= = = > =

1K = (Quadro 7.4N pg. 146)

0

0

111 1,5

12ck ck

lK f f

d

= + +

(7.16b)

0,45 1 01,0 11 1,5 20 20 13,4

1,27 0 12 0, 45

l

d

= + + =

este valor deve ser multiplicado por:

( ), ,310 500s yk s req s prov f A A = (7.17)tem-se ento:

( )310 500 400 56, 9 58, 9 1, 29s = =

como o vo superior a 7m , deve ainda multiplicar-se por 7/leff:

7 7 10,15 0,eff

l = = 69

tem-se ento uma relao limite de:

13,4 1,29 0,69 11,9l

d= =

sendo:


7/59

ctA a rea de beto traccionado imediatamente antes da formao da primeira fenda.

A presena das armaduras desloca o eixo neutro na sua direco, pelo que ser

conservativo considera-lo a meia altura.Act = 0,50 0,50 = 0,25 m2

,2,2

ct eff ctm f f M = = Pa (quadro 3.1 pp. 34)

O dimetro deve ser corrigido em funo das hipteses de clculo

( )( )

*

, 2,9

2

c crs s ct eff

k hf

h d

=

(7.6N)

( )( )0,4 0,5

25 2,2 2,9 26,02 1 0,927

s mm

= =

interpolando a tenso no quadro 7.2N, para 0,4kw mm= (quadro 7.1N), obtm-se

s = 220 MPa

0,4ck =

0,65k =

4 2

,min 0, 4 0, 65 2, 2 0, 25 220 6, 5 10 6, 5s2

A m c= = = m

adicionalmente,

de 9.2.1.1 (1) pg. 171 tem-se:

,min0, 26 0,0013ctm

s t

yk

f A b d

f=


8/59

8.9.1 (3) pg. 164

a distncia entre agrupamentos deve ser superior ou igual ao dimetro equivalente. No

sendo, por isso, possvel colocar os 12 25 numa s camada sem efectuar

agrupamentos. Analise-se, ento, a seguinte distribuio:

2 4,8 7 2,5 6 50,0 x cm + + =

3,82 3,54 x cm cm = >

logo esta uma distribuio possvel

verificao da altura til

2,5 2,57 4,8 5 4,8 2,5

2 2

12h d

+ + + + =

100 - d = 7,09 cmd = 92,9 cm

como o valor estimado ligeiramente inferior ao valor exacto, est-se do lado da

segurana, pelo que o clculo est correcto (se o valor de d desse inferior ao arbitrado,

seria necessrio verificar se a armadura adoptada era suficiente e, caso no fosse, os

clculos teriam de ser repetidos)

verificao da segurana ao estado limite de fendilhao

7.3.3 pg. 140 (quadro 7.3N)

no caso em estudo no se coloca esta questo; a dificuldade respeitar o espaamento


9/59

d = 1,0 - 0,048 - 0,020/2 = 0,942 m

como se pode concluir a armadura respeita os mnimos e mximos impostos pela

regulamentao

interrupo da armadura longitudinal

9.2.1.4 (1) pg. 173

deve ser mantido at aos apoios das vigas pelo menos 25% da armadura de traco no

vo

9.2.1.3 (2) pg. 172

para a armadura transversal calculada pelo procedimento preconizado em (6.2.1 pg.

96),

( )cot cot 2 0la z = (9.2)

o valor de z pode ser considerado igual a 0,9d (6.2.3 (1) pg. 100); ento tem-se:

( )0, 9 0, 929 1 0 2 0, 42la m= =

os vares devem ser amarrados (a partir do ponto em que deixam de ser necessrios)

com um comprimento de amarrao, lbd;

8.4.3 pg. 152

,4

sdb rqd

bd

lf

= (8.3)

8.4.2 (2) pg. 151

1 22,25bd ctd f f = (8.2)

3.1.6 (2) pg. 39

1 5f


10/59

MRd = b d2 fcd = 1125 kNm

a equao de momentos :

2

603,29 118,88 2Sd

xM x=

ento (apenas sero indicados os valores esquerda do eixo de simetria), tem-se:

MSd = MRd = 1125 kNmx =2,46 m

tem-se:

As,prov = As(12 25) = 58,9 cm2

tem-se, ento, que sd poder ser aproximadamente obtido pela seguinte relao

(admitindo variao linear da fora 9.2.1.3 (3) pg. 173):

,

,

39,3348 232,2

58,9

s req

sd yd

s pro

A f MPa

A = =

,

0,025 232,2

0,654 2, 25b rqdl m= =

o comprimento de amarrao de clculo pode ento ser determinado

8.4.4 (1) pg. 153

1 2 3 4 5 , ,minbd b rqd bl l l = (8.4)

1 1,0 = - vares rectos

( 1min / 2, ,dc a c= )c

m cm

(figura 8.3 pg. 153)

( )min 3,82 / 2;4,8;4,8 1,91dc c= =

como ainda no se dimensionaram as cintas transversais pode assumir-se, pelo lado da

segurana, que sero as mnimas. Assim

31,0 =

1 0 = - no existem vares transversais soldados


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logo:

0,42 0,65 1,39x m =

armadura nos apoios

9.2.1.4 (2) pg. 173

lE E

aF V

z= (9.3)

o esforo pode habitualmente ser tomado na face do apoio e a altura til tambm

deveria ser corrigida. No entanto, por simplicidade e pelo lado da segurana

EV

0,42603,29 303,05

0,929 0,9E

F k= =

N

4 2303,05

8,71 10 8,71348000s2

A m

= = = cm a rea necessria para amarrar a armadura nos

apoios

8.4.3 pg. 152

,

4

sdb rqd

bd

l

f

= (8.3)

As,req = 8,71 cm2

As,prov = As(8 25) = 39,3 cm2

tem-se, ento quesd

poder ser aproximadamente obtido pela seguinte relao

(admitindo variao linear da fora 9.2.1.3 (3) pg. 173):

,

,

8,71348 77,1

39,3

s req

sd yd

s pro

A f MPa

A = =

uma vez que se pretende amarrar no apoio vares agrupados (neste caso o central)

deve-se considerar o dimetro equivalente


12/59

603, 29

2,410,5 0,5

p MPa= =

51,0 0,04p = (Quadro 8.2 pg. 154)

51, 0 0, 04 0, 9p = =

e assim

,min0,9 0,30 0,27 0,25 0,27bd b bd l m l m= = < = =/ l

8.9.2 (2) pg. 163os vares dos agrupamentos devem ser amarrados individualmente e desfasados de

uma distncia igual a 1,3 vezes (no caso de agrupamentos de dois vares) o

comprimento de amarrao dos vares isolados; tem-se ento:

14,1+1,214,1 = 31,7 cm

como este comprimento contado desde a face interior do elemento de apoio, o espaodisponvel superior ao necessrio:

40 cm (largura do apoio) menos 3,8 cm (recobrimento mais estribo) = 36 cm;

armadura de alma

9.2.4 (1) pg. 177

a armadura de pele necessria para agrupamentos 32n

mm > . Tambm pode ser

recomendvel em vigas com uma altura total de 1,0 m ou mais, em que a armadura

esteja concentrada apenas numa pequena poro da altura para controlar a fendilhao

nas faces laterais. As disposies construtivas a respeitar encontram-se no Anexo J.

J.1(2) pg. 255

, , min 0,01 ,s surf s surf ct ext A A A< =/

na seco de momento mximo a posio do eixo neutro dada por


13/59

da Figura J.1 tira-se que o valor do afastamento mximo entre os vares da armadura

de alma 150 mm

o permetro da seco transversal onde a armadura dever ser distribuda o seguinte

(considerando 10):

( ) ( )2 1 0, 369 0, 04 0, 5 0, 04 2 1, 602 m = + =

no total devero ser (1,602 / 0,15) 1 11+ = vares longitudinais, pelo que a armadura

poder ser materializada por 10 af.0,150, distribuda at uma altura mxima de

.( )1 0.369 0,65 m

J.1(4) pg. 255

necessrio verificar o recobrimento para as armaduras de pele.

4.4.1 pg. 55minnom dev

c c c= + (4.1)

min min, min, , , ,max( ; ;10 )b dur dur dur st dur add c c c c c c= + mm

mm

m

mm

mm c

(4.2)

minmax(10;15;10) 15,0c mm= =

4.4.1.3 (1) pg. 58

10devc m =

15 10 25nomc mm + = se as armaduras de pele encostarem nos estribos, o

recobrimento real nominal verificado ser 40 10 10 20 25 nomc mm= = < = , pelo

que pode justificar-se um ajuste da seco ou alterao da posio das armaduras.

armadura transversal

6.2.3 (3) pg. 101


14/59

calcule-se, em primeiro lugar, a zona da viga onde suficiente colocar a armadura

mnima (avaliao da capacidade resistente sem armadura de transverso)

6.2.2 (1) pg. 98

( )1/3

, , 100 Rd c Rd c l ck wV C k f b= d

(6.2.a)

, 0,18 0,18 1,5 0,12 Rd c cC = = =

200 200

1 1 1,46929k d= + = + = 2,0 458,9 10

0,013 0,020,5 0,929

sll

w

A

b d

= = =

( )1/3 3

, 0,12 1,46 100 0,013 20 500 929 10 241,1 Rd cV k = = N

b d

sujeito a um mnimo de, min Rd c wV = (6.2.b)

3/ 2 1/ 2

min 0,035 ckk f = (6.3N)

3/2 1/2

min 0,035 1,46 20 0,276 = =

pelo que3

, 0,276 500 929 128,2 10 128,2 Rd cV N= = = kN

N

m

pelo que

, max(241,1;128,2) 241,1 Rd cV k= =

a localizao do ponto no diagrama de esforos transversos

603, 29 118,88 241,1 3,05SdV x kN x= = = para uniformizar as distncias medidas face do apoio, o comprimento ser assumido

de 3,30 m das extremidades dos apoios.3,303,30 4,00


15/59

calcule-se agora o valor da armadura mnima nessa seco

9.2.2 (5) pg. 175

Armaduras transversais mnimas

paraS 400 e C 20/25 tem-se:

( ),min 0,08w ck yk f f = (9.5N)

( ),min 0,08 20 400 0,00089443w = =

( )sin 0,00089443w sw w A sb = =

4 2

min

0,00089443 0,5 1 4,47 10 /swA

m ms

= =

determine-se agora qual o espaamento longitudinal mximo regulamentar na zona em

anlise

9.2.2 (6) pg. 176

( ),max 0,75 1 cotls d = +

,max 0,75 0,929 1 0,70ls m= =

logo:ento: ,max 0,70ls m=

determinao do espaamento transversal mximo regulamentar na zona em anlise

9.2.2 (8) pg. 176

,max ,max0,75 0,75 0,929 0,70 0,6 0,60t ts d m m s= = = = m

o espaamento transversal mximo implica que dois ramos sero suficientes.

para estribos 8 de 2 ramos:

E2r8 As = 1,01 cm2


16/59

6.2.3 (3) pg. 101

, cotsw

Rd s ywd

A

V zfs

= (6.8)

( ) 3, 0, 9 0, 929 348 10 1 469sw

Rd s

AV k

s

=

N

4 216,1 10 / swA

m ms


s = 1,51/16,1 =0,094 m

adopta-se E3r8af 0,075 m

analise-se a possibilidade de aplicar uma transio de afastamento entre estribos de

0,10 m

4 215,1 10 / swA

m ms

=

,cotsw

Rd s ywd

AV zf

s

=

(6.8)

( )4 3

, 15,10 10 0,9 0,929 348 10 1 439,35 Rd sV k

= N

m

a posio deste esforo pode ser encontrado a

603, 29 118,88 439,35 1,38SdV x kN x= = =

adopta-se ento o seguinte escalonamento de armaduras:

3,60

1,

00 3r8//0,075 3r8//0,10 2r8//0,20

1225825

1,75 1,75 1,75 1,75

3r8//0,10 3r8//0,075

825

320 312A' 320


17/59

8//0,075

320

Corta A-A'

1225

0,50

1,

00

8.7.4.1 (3) pg. 159

nas zonas de amarrao de vares, no caso de mais de 50% das armaduras estaremsobrepostas, dever respeitar-se 8.7.4.1 (4) pg. 159.


18/59

EXERCCIO 2

DIMENSIONAMENTO DE UMA VIGA CONTNUA SUJEITA A TORO

Considere-se a viga contnua, representada na Fig. 2, localizada no interior de

determinada estrutura e sujeita a uma sobrecarga de utilizao de 13,33 kN/m. A

sobrecarga referida apresenta uma excentricidade, relativamente ao centro de corte da

seco transversal da viga, de 0,96 m. Alm disso, deve ser considerada como actuandosempre simultaneamente nos dois troos da viga.

Os apoios A e C no oferecem qualquer resistncia toro, enquanto o apoio B pode

ser considerado como encastrado toro.

Os materiais a considerar no dimensionamento so o beto C 20/25 e o ao S 400.

Figura 2


19/59

Resoluo

quantificao do peso prprio

pp = 0,750,8025 = 15 kN/m

combinao de aces

actuando a sobrecarga sempre simultaneamente nos dois troos da viga, no se tem de

efectuar variaes de sobrecarga e s h, consequentemente, uma combinao de

aces a considerar; os esforos devem ento ser calculados para a carga:

p = 1,3515+1,513,33 = 40,25 kN/m

determinao de esforos

momentos na estrutura base isosttica

aplicando o teorema dos 3 momentos, tem-se:

( )

2 2181,125 6 3 181,125 6 3

3 32 6 6 6 181,1256 6

B B M M k

+ = + =

Nm


20/59


21/59

6.3 - Toro

arbitra-se a posio do centro de gravidade dos vares da armadura longitudinal a 5 cm

das faces:

espessura da seco oca equivalente, t

6.3.2 (1) pg. 108

At

u= espessura real

t 2c

em que A a rea da seco, u o permetro da seco e c a distncia entre a face

exterior da seco e o centro de gravidade das armaduras

A = 0,750,80 = 0,6 m2

u = = 3,1 m( )2 0,75 0,80+

,ef i

At

u= = 0,19 m

,2 0,05 0,10 0,19

ef it m =

adoptada uma espessura de 0, 10 m

seco crtica B

181 125M kN


22/59

para um beto C20/25 vem

200,6 1 0,552

250

= =

considerando t = 0,10 m vem

( ) ( ) 20,75 0,10 0,80 0,10 0,455kA m= =

ento3

,max2 0,552 13,3 10 0,455 0,10 sin 45 cos 45RdT =

,max 334,04RdT k= NmNm

TSd = 115,2 kNm < , verifica,max 334,04RdT k=

6.2.3 (3) pg. 101

( ),max 1 cot tan Rd w cd V b z f = + (6.9)

10,6 1

250

ckf =

(6.6N)

tem-se, para estribos verticais,

1

200,6 1 0,552

250

= =

( ),max 0,75 0,9 0,75 0,552 13300 2RdV =

,max1858,34RdV = kN > 150,94 kN = VSd, verifica

necessrio ainda efectuar a verificao

6.3.2 (4)

,max ,max

1Sd Sd

Rd Rd

T V

T V

+

(6.29)

tem-se


23/59

32 0, 455 348 10 1 115, 2sw

Rd

AT k

s

=

Nm

4 2

3,64 10 /

swA

m ms

=

9.2.3 (3) pg. 177

Afastamento longitudinal das armaduras transversais

( )2 0,75 0,80,3875

8 8

us m

+ = =

0,75ws b m =

9.2.2 (6) pg. 176

(,max 0,75 1 cotls d )= + (9.6N)

,max0,75 0,75 1 0,5625

ls m= =

logo:

ento:,max

min(0,3875;0,5625) 0,3875l

s m= = m

d

Determinao da armadura transversal

6.2.2 (1) pg. 98

Avaliao da capacidade resistente sem armadura de transverso

( )1/3

, ,100 Rd c Rd c l ck wV C k f b= (6.2.a)

,0,18 0,18 1,5 0,12 Rd c cC = = =

200 2001 1 1,52

750k

d= + = + = 2,0

0,02sll

A

b d =


24/59

cot2

sl yd Sd

k k

A f T

u A= (6.28)

3

115,2 112 0, 455 348 10

sl

k

A

u =

4 23,64 10

sl

k

Am m

u

=

pelo que a armadura longitudinal total na face inferior:2

7,09 3,64 0,65 9,46sl A cm

= + =

agora possvel a avaliao a armadura que suporta o esforo transverso

1 =4

9,46 100,17%

0,75 0,75

=

( )1/3 3

,0,12 1,52 100 0,0017 20 750 750 10 154,3 Rd cV k

= = N

b d

sujeito a um mnimo de

, min Rd c wV = (6.2.b)

3/ 2 1/ 2

min0,035

ckk f = (6.3N)

3/2 1/2

min0,035 1,52 20 0,293 = =

pelo que3

,0,293 750 750 10 164,8 k Rd cV N

= =

pelo que

,max(154,3;164,8) 164,8

Rd cV k= = N

como VSd = 150,94 kN < 164,8 kN = VRd,c

s necessria armadura mnima

Armaduras mnimas


25/59

9.2.2 (8) pg. 176

,max0, 75 0, 6

ts d= m

m

(9.8N)

,max0,75 0,75 0,5625 0,6

ts m= =

o espaamento transversal mximo implica a necessidade de ter mais de dois ramos.

ramos laterais

226, 7 2 3, 64 11, 75 /

3

sA cm ms

+ =

E2r8 As = 1,01 cm2

s 0,086 m

adopta-se s = 7,5 cm

ramo central

216,7 2, 23 /

3

sA cm ms

=

s = 7,5 cmAs 0,17 cm26

embora 6 fosse suficiente para o ramo central, adopta-se igualmente 8

emendas da armadura de toro8.7 pg. 156

8.7.3 pg. 157

o comprimento de sobreposio pode ser avaliado pela expresso seguinte

1 2 3 4 5 6 , 0,minbd b rqd l l l = (8.10)

,4

sdb rqd

bd

lf= (8.3)

8.4.2 (2) pg. 151


26/59

220,13 / s

prov

Acm m

s

=

tem-se, ento, que sd poder ser aproximadamente obtido pela seguinte relao:

,

,

13,98348 242

20,13

s req

sd yd

s pro

A f MPa

A = =

,

0,008 2420,22

4 2, 25b rqd

l m= =

por simplicidade assume-se que os vrios coeficientes1 2 3 4 5

1,0 = = = = = . Verifica-

se se o comprimento disponvel de sobreposio suficiente. Caso o no seja, os

coeficientes devero ser avaliados. De acordo com o quadro 8.3, para percentagem de

vares sobrepostos superior a 50%,6

1,5 =

1 1,5 0,22 0,33bdl m= =

( )0,min 6 ,max 0, 3 ;15 ; 200b rqdl l > mm

m mm

(8.11)

( )0,min max 0,3 1,5 220;15 8;200 200l m= =

soluo adoptada

8 af.0,075

dimensionamento da armadura

longitudinal

de acordo com o clculo j efectuado atrs


27/59

de acordo com os clculos atrs realizados,

slA = 7,0910-4m2

(armadura superior mxima devido a momento flector)

MSd,max = 101,88 kNm

(momento flector nas seces a 2,25 m das seces dos apoios laterais)

2 2

101,880,018

0,75 0,75 13300

SdSd

cd

M

bd f = = =

= 0,018

As = 0,0180,750,7513,3/348

As = 3,8710-4m2

(armadura inferior mxima devido a momento flector)

a percentagem de armadura inferior em apoios intermdios a indicada em

9.2.1.4 (1), isto , deve-se manter no apoio pelo menos um quarto da armaduraexistente no vo. Ento, na seco B, a armadura necessria em cada uma das quatro

faces :3,64x0,65+7,09=9,46cm 2

3,64x0,70=2,55 cm 2

3,64x0,65+3,87/4=3,33cm2

3,64x0,70=2,55 cm 2

seco a 4,0 m do apoio A

=

=

kNT

kN,V

kNm,M

Sd

Sd

876

4470

2440


28/59

sendo

,max0,3875

ls = m

kN

(j determinado para a seco B)

4.3.2.3(1)

,max(154,3;164,8) 164,8

Rd cV = = (j determinado para a seco B)

como VSd = 70.44 kN < 164,8 kN = ,, Rd cV

s necessria armadura mnima


9.2.2 (8) pg. 176

,max0,5625

ts m=


ramos laterais

226,7 2 2, 43 9,33 /

3

sA cm ms

+ =

E2r8 Asw = 1,01 cm2

s 0,11 m

adopta-se s = 10 cm

ramo central

216,7 2, 23 /

3

sA cm ms

=

s = 10 cmAs 0,22 cm28 (pela razo anteriormente referida de uniformizao)

s = 10,0 cm e E3r8, uma vez que respeita indicados para a seco B

8 af.0,10


29/59

dimensionamento da armadura longitudinal

2

90,56 40,25

2

sd

xM x=

9.2.1.3 (2) pg. 172

para a armadura transversal calculada pelo procedimento preconizado em (6.2.1 pg.

96),

( )cot cot 2 0la z = (9.2)

o valor de z pode ser considerado igual a 0,9d (6.2.3 (1) pg. 100); ento tem-se:

( )0, 9 0, 75 1 0 2 0, 34la m= =

4,0 0,34 4,34x m= + = 13,96sd M kNm=

nesta seco torna-se desnecessria armadura superior de flexo.

4,0 0,34 3,66x m= =

61,86sd M kNm= das tabelas Barros e Figueiras (2007) tem-se:

2

61,860,011

0,75 0,75 13300 = =

213,30,011 0,011 0,75 0,75 2,36

348s A cm= = =

6.3.2 (3) pg. 109

115 2


30/59

a armadura necessria em cada uma das faces :

2,43x0,65=1,58 cm2

2,43x0,70=1,70 cm2

2,43x0,65+2,36=3,94 cm2

2,43x0,70=1,70 cm2

seco a 2,0 m do apoio A

100,62

10,06

38,40

Sd

Sd

Sd

M kNm

V kN

T kNm

= =

=

dimensionamento da armadura transversal

6.3.2 (1) pg. 108

a armadura transversal de toro pode ser obtida a partir da expresso 6.26 pg. 108,obtendo-se

( )2 c Rd k ywd swT A f A s ot=

32 0,455 348 10 1 38,4sw

Rd

AT k

s

=

Nm

4 21,21 10 / swA m m

s

=

9.2.3 (3) pg. 177 e 9.2.2 (6) pg. 176


31/59

Armaduras mnimas

9.2.2 (5) pg. 175

4 2

min

6,7 10 / swA

m ms

=

9.2.2 (8) pg. 176

,max 0,5625ts m=


adoptando estribos de 8

ramos laterais

226, 7 2 1, 21 6,89 /

3

sA cm m

s

+ =

E2r8 As = 1,01 cm2

s 0,147 m


ramo central21

6,7 2, 23 / 3

sA cm ms

=

s = 12,5 cmAs 0,28 cm26

dimensionamento da armadura longitudinal2

90,56 40,252

sd

xM x=

a armadura longitudinal de flexo j foi dispensada na seco a 4 0m do apoio A a


32/59

4 238,40 11,21 10 /

348000 2 0,455

sl

k

Am m

u

= =

a armadura necessria em cada uma das faces :

1,21x0,65=0,79 cm2

1,21x0,70=0,85 cm2

1,21x0,65+3,87=4,65 cm2

1,21x0,70=0,85 cm2

seco do apoio A 0

90,56

0

Sd

Sd

Sd

M kNm

V kN

T kNm

=

= =

dimensionamento da armadura transversal6.2.2 (1) pg. 98

Avaliao da capacidade resistente sem armadura de transverso

,164,8 Rd cV k= N

como VSd = 90,56 kN < 164,8 kN = VRd,c,s necessria armadura mnima

Armaduras mnimas


33/59

ramos laterais

26,7 / s

Acm m

s

E2r8 As = 1,01 cm2

s 0,151 m


dimensionamento da armadura longitudinal

considerou-se a armadura da seco a 2,0m de A:

1,21x0,65=0,79 cm2

1,21x0,70=0,85 cm2

1,21x0,65+3,87=4,65 cm2

1,21x0,70=0,85 cm2

Tem-se ento:

Seco A e seco a 2,0m de A:


34/59

Seco B:

amarraes

9.2.1.3 pg. 172

os vares dimensionados devem ser amarrados com um comprimento de bdl

8.4.4 (1) pg. 153

1 2 3 4 5 , ,minbd b rqd bl l l = (8.4)

11,0 = - vares rectos

31,0 =

41,0 = - no existem vares transversais soldados

5 1,0 = - ausncia de compresso transversal no estado limite ltimo ao longo de bdl

2 3 51,0 0,7 = (8.5)

8.4.3 pg. 152

,

4

sd

b rqdbd

lf

= (8.3)

8.4.2 (2) pg. 151

1 22,25bd ctd f f = (8.2)


35/59

1 34837,8

4 4 2.3

yd

b

bd

fl c

f

= = = m

considerando ms condies de aderncia e armaduras de 12

para condies de m aderncia1

0,7 =

1,2 34864,8

4 4 0,7 2.3

yd

b

bd

fl c

f

= = =

m

para armaduras de 10

1 34854

4 4 0,7 2.3

yd

b

bd

fl c

f

= = =

m

temos ento para as diversas seces:

seco a 4,0m do apoio A

amarrao dos 2 10

das faces laterais

As,req = 1,70 cm2

As,prov = 3,14 cm2

1,701 37,8 20,5

3,14bdl c= = m

m

com um mnimo de,0,3 11,34

10 10

10

b rqdl ccm

cm

==

amarrao dos 6 12 da face superior

As,req = 1,58 cm2

As,prov = 9,93 cm2

1,581 64,8 10,3

9,93bdl c= = m

0 3 19 4l


36/59

4,50 0,34 4,16l x a m = =

4,16 0,75 3,41l bd x a l m = =

adopta-se 60 cm para comprimento de amarrao dos vares desta seco.

seco a 2,0m do apoio A

amarrao dos 2 10 das faces laterais

As,req = 0,85 cm2

As,prov = 2,36 cm2

0,851 54,0 19,45

2,36bdl c= = m

m

com um mnimo de,

0,3 16,2

10 10

10

b rqdl c

cm

cm

= =

amarrao dos 2 10 da face superior

As,req = 0,79 cm2

As,prov = 3,14 cm2

0,791 54,0 13,6

3,14bdl c= = m

m

com um mnimo de,

0,3 16,2

10 10

10

b rqdl c

cm

cm

=

=

adopta-se 20 cm para do varo desta seco.bdl

seco A

9.2.1.4 (2) pg. 173

lE E

aF V= (9.3)


37/59

0,3 0,3 54,0 16,2

10 12

10

bl c

cm

cm

= =

=

m

m

e na face inferior, de

0,3 0,3 45,4 13,6

10 12

10

bl c

cm

cm

= =

=

todos os vares, desta seco, sero levados at face da viga

Esquema de armaduras da resoluo pelo EC2


38/59

EXERCCIO 3

DIMENSIONAMENTO DE UMA VIGA CONTNUA

Objectivos do estudo e conceitos apresentados:

- Redistribuio de esforos

- Estado limite ltimo de flexo e esforo transverso

- Foras de desvio

- Armadura de suspenso

- Apoios indirectos

- Viga de seco varivel

Dados


39/59

Resoluo

Combinao de acesConsidera-se que a nica combinao de aces a considerar a seguinte:

( )1,35 1,5Qsd AP Sob Em toda a Estrutura= +

Caso se permitisse a variao da sobrecarga nos diversos tramos, ao longo do

vo, obtinham-se outras combinaes que apenas alteravam os esforos em

termos de envolvente mas que no acrescentava nada em termos dos objectivosdo problema.

Diagramas de esforos


40/59

Pretende-se efectuar uma redistribuio de esforos que baixe o momento

negativo sobre o apoio intermdio e o torne da ordem de grandeza do valorpositivo.

5.5 pag. 69

A redistribuio pode ser efectuada no caso de lajes e vigas contnuas solicitadas

predominantemente flexo em que a relao entre vos adjacentes esteja entre

0,5 e 2.

Admitindo que os pilares dispensam a verificao da segurana em relao

encurvadura, vai-se proceder a uma redistribuio do momento negativo

sobre o apoio intermdio para um valor que iguale o valor do

momento positivo mximo no tramo direito.

( 305,72 )

Adicionalmente, a capacidade de rotao no precisa de ser verificada se:5.5 (4) pag. 69

1 2

ux

k kd

+ (5.10a)

10,44k =

2

2

0,00141,25 0,6cu

k

= +

a extenso ltima 2cu obtida do quadro 3.1 pg. 34

3

23,5 10cu

=

2

0,00141,25 0,6 1,25

0,0035k

= + =

a posio do eixo neutro, no estado limite ltimo, aps a redistribuio

determinada seguidamente

5


41/59

2850,93 0,73

305,72

= = (no necessrio verificar a capacidade de rotao)

Obtm-se os seguintes diagramas de esforos aps a redistribuio:

Armadura longitudinal

2

sdsd

cd

Mem flexo simples

bd f =


42/59

SdM [kNm] 225 43 69,69 23 285 284,06

SdN [kN] 0 27,71 0 36,65 0 0

SdsM [kNm] - 51,6 - 11,6 - -

0,129 0,030 0,040 0,007 0,164 0,164

x

d

0,172 0,055 0,066 0,0258 0,226 0,226

0,139 0,0305 0,041 0,007 0,183 0,183

sA [cm2

] 10,52 ,minsA< 3,10 ,minsA< 13,85 13,85

2 12 3 20 +

3 12 3 12 3 12 2 12 4 20 +

2 12 4 20 +

armaduras mnima e mxima7.3.2 pg. 137

,min ,s s c ct eff ct A k kf A = (7.1)

ctA a rea de beto traccionado imediatamente antes da formao da primeira

fenda. A presena das armaduras desloca o eixo neutro na sua direco, pelo que

ser conservativo considera-lo a meia altura.

Act = 0,30 0,35 = 0,105 cm2

,2,2

ct eff ctm f f M = = Pa (quadro 3.1 pp. 34)


43/59

0,4c

k =

1,0k = 4 2

,min0, 4 1, 0 2, 2 0,105 236 3, 9 10 3, 9

s

2 A m c= = = m

adicionalmente,

de 9.2.1.1 (1) pg. 171 tem-se:

,min 0,26 0,0013

ctm

s tyk

f

t A b d b d f=


44/59

Verificao da compresso mxima na biela de beto

6.2.3 (3) pg. 101( ),max 1 cot tan Rd w cd V b z f = + (6.9)

10,6 1

250

ckf =

(6.6N pg. 100)

1

200,6 1 0,552

250

= =

( ),max 0,3 0,9 0,46 0,552 13300 2 455,9RdV k= = N

=,max

112,5Sd

kN

como > V,max

455,9Rd

V kN = , no necessrio alterar as dimenses

da seco transversal

9.2.1.3 (2) pg. 172

para a armadura transversal calculada pelo procedimento preconizado em (6.2.1

pg. 96),

( )cot cot 2 0la z = (9.2)

o valor de z pode ser considerado igual a 0,9d (6.2.3 (1) pg. 100); ento tem-

se:

( )0, 9 0, 46 1 0 2 0, 21la m= =

os vares devem ser amarrados (a partir do ponto em que deixam de ser

necessrios) com um comprimento de amarrao, lbd;

8.4.3 pg. 152

,4

sdb rqd

bd

lf

= (8.3)


45/59

para avaliar a tenso nos vares a partir da zona onde medido o comprimento

da amarrao, preciso analisar o diagrama de momentosAs,req = 5,06 cm2

As,prov = 14,83 cm2

tem-se, ento, que sd poder ser obtido pela seguinte relao:

,

,

5,06348 118,7

14,83

s req

sd yd

s pro

A f MPa

A

= =

,

0,020 118,70,38

4 1, 58b rqd

l m= =

o comprimento de amarrao de clculo pode ento ser determinado

8.4.4 (1) pg. 1531 2 3 4 5 , ,minbd b rqd b

l l l = (8.4)

11,0 = - vares rectos

21,0 = - por simplicidade, enquanto no se verifica a constituio da seco

transversal

uma vez que as cintas transversais ainda no foram dimensionadas, pode

assumir-se, pelo lado da segurana, que sero as mnimas. Assim:

31,0 =

4 1,0 = - no existem vares transversais soldados

5

1,0 = - ausncia de compresso transversal no estado limite ltimo ao longo de

2 3 51,0 0,7 = (8.5)

logo

1 0 0 38l l


46/59

Vo Quebrado

0,7 0,66h m d= m

2

'

2 12 2,26s

A cm = e assume-se que'

1,0A

A=

42,26 10 348000

0,0300,3 0,66 13300

= =

e

das tabelas Barros e Figueiras (2007) tem-se:0,030 52,1 1,02 4,70

Rd M kNm x m x m= = = =

( ) ( )1,02 132,56 e 4,70 132, 40sd sd V x m kN V x m kN = = = =

Verificao da compresso mxima na biela de beto

6.2.3 (3) pg. 101

( ),max 1 cot tan Rd w cd V b z f = + (6.9)

10,6 1

250

ckf =

(6.6N pg. 100)

1

20

0,6 1 0,552250

= =

( ),max 0,3 0,9 0,66 0,552 13300 2 654,1RdV k= = N

=,max

297,25Sd

kN

como > V,max

654,1Rd

V kN = , no necessrio alterar as dimenses

da seco transversal, que se encontra verificada para o vo quebrado e extremo

direito.

seguindo passos idnticos aos j efectuados para a consola

( )cot cot 2 0la z = (9.2)


47/59

,

0,020 53,00,17

4 1,58b rqd

l m= =

,min1,0 0,17

bd bl l=

( ),min ,max 0,3 ;10 ;100b b rqd l l = mm

m mm

(8.6)

( ),min max 0,3 170;10 20;100 200bl m= =

pelo que 0,20bd

l m=

1,02 0,30 0,20 1,52 1,55x m= + + =

4.70 0,30 0,20 4,20x m= =

Tramo externo direitoArmadura negativa

0,7 0,66h m d= m

' 22 12 2,26

s A cm =

0,030=

das tabelas Barros e Figueiras (2007) tem-se:

0,029 50,4 0,88Rd

M kNm x m= = =

233,89sd

V k= N

seguindo os passos j efectuados para o vo quebrado0,30

la m=

0,20bd

l m=


48/59

0,107 186,0 2,14Rd

M kNm x m= = =

seguindo os passos j efectuados para o vo quebrado

0,30l

a m=

as condies de aderncia so consideradas boas pelo que preciso corrigir o

comprimento de amarrao lbd

2,25 1,0 1,0 1,0 2,25bd f MPa= =

para avaliar a tenso nos vares a partir da zona onde medido o comprimento

da amarrao, preciso analisar o diagrama de momentos

As,req = 8,54 cm2

As,prov = 14,83 cm2

tem-se, ento, que sd poder ser obtido pela seguinte relao:

,

,

8,54348 200,4

14,83

s req

sd yd

s pro

A f MPa

A = =

,

0,020 200,40,45

4 2, 25b rqd

l m= =

,min1,0 0,45

bd bl l=


m mm

(8.6)

( ),min max 0,3 450;10 20;100 200bl m= =

ento

0,45bdl m=

2,14 0,30 0,45 1,39 1,35x m= =


49/59

armadura nos apoios

9.2.1.4 (2) pg. 173 l

E E

aF V

z= (9.3)

0,30202, 25 102,15

0,9 0,66E

F k= =

N

4 2102,15

2,9 10 2,9348000s2

A m c

= = = m a rea necessria para amarrar a armadura

nos apoios

As,req = 2,9 cm2

As,prov = 14,83 cm2

tem-se, ento que sd poder ser obtido pela seguinte relao:

,

,

2,9348 68,1

14,83

s req

sd yd

s pro

A f MPa

A = =

,

0,020 68,10,15

4 2, 25b rqd

l m= =


m mm

(8.6)

( ),min max 0,3 150;10 20;100 200bl m= =

ento

,0,20

b rqdl m=

Planta


50/59

Dimensionamento ao Esforo Transverso

Avaliao da capacidade resistente ao esforo transverso sem armaduratransversal

6.2.2 (1) pg. 98

( )1/3

, ,100 Rd c Rd c l ck wV C k f b= d

(6.2.a)

,0,18 0,18 1,5 0,12

Rd c cC = = =

200 2001 1 1,55

660k

d= + = + = 2,0

43,39 10

0,0017 0,020,3 0,66

sl

l

w

A

b d

= = =

( )

1/3 3

,0,12 1,55 100 0,0017 20 300 660 10 55,4

Rd cV k

= = N

b d

sujeito a um mnimo de

, min Rd c wV = (6.2.b)

3/ 2 1/ 2

min 0,035 ckk f = (6.3N)

3/2 1/2

min0,035 1,55 20 0,302 = =

pelo que3

,0,302 300 660 59,8 10 59,8 Rd cV N= = = kN

N

pelo que

,max(55,4;59,8) 59,8

Rd cV k= =

9.2.2 (5) pg. 175


para S 400 e C 20/25 tem se:


51/59

determine-se agora qual o espaamento longitudinal mximo regulamentar na

zona em anlise9.2.2 (6) pg. 176

( ),max 0,75 1 cotls d = +

,max0,75 0,66 1 0,50ls m= =

logo:

ento: ,max 0,50ls m=

determinao do espaamento transversal mximo regulamentar na zona em

anlise

9.2.2 (8) pg. 176

,max ,max0,75 0,75 0,66 0,50 0,6 0,50t ts d m m s= = = = m

o espaamento transversal mximo implica que dois ramos sero suficientes.


E2r8 As = 1,01 cm2

s 0,377 m


6.2.3 (3) pg. 101

,cotsw Rd s ywd

AV zf

s

=

(6.8)

Para uniformizar a colocao de estribos ao longo dos tramos da viga definem-seseguidamente tipos de armadura transversal escolhidos de forma a uniformizar a

variao da armadura transversal ao longo da viga.


52/59

( )4 3, 6,73 10 0,9 0,66 348 10 1 139,12 Rd sV k= = N

N

N

N

E2 r8af 0.125 mA s = 8,08 c m2/ m( )4 3, 8,08 10 0,9 0,66 348 10 1 167,02 Rd sV k

= =

E2 r8af 0.10 mA s = 10,1 c m2/ m( )4 3, 10,1 10 0,9 0,66 348 10 1 208,78 Rd sV k= =

E3 r8af 0.125 mA s = 12,08 c m2/ m( )4 3, 12,08 10 0,9 0 ,66 348 10 1 249,71 Rd sV k

= =

a representao da localizao da zona dos estribos pode ser encontrada na figura

seguinte:

116,32 kN

40,50 kN

208,78 kN

104,39 kN

104,39 kN

104,39 kN

249,71 kN

167,02 kN

69,66 kN

69,66 kN

139,12 kN

139,12 kN

2r8//0,15 2r8//0,20 2r8//0,30 2r8//0,10 2r8//0,125 2r8//0,20 2r8//0,10

167,02 kN

3r8//0,125 2r8//0,125

na figura anterior as zonas assinaladas com espessura maior correspondem a


53/59

6.2.1 (1) pg. 96

Para elementos com altura varivel, deve ser tida em conta as componentes deesforo transverso da fora de compresso, no caso de um banzo comprimido

inclinado, e de traco na armadura de traco.

6.2.1 (2) pg. 96

( )' 72 40,5 [sdV x x kN = + ]

a contribuio das escoras comprimidas para a resistncia ao esforo transverso

pode ser avaliada por:

( )ccdM

V tgd

=

( ) 0,2tg = 0,26 0,2d x +

( )

2 236 40,5 7, 2 8,10,2 [kN]

0,26 0,2 0,26 0,2ccd

x x x xV

x x

+ += =

+ +

pelo que o esforo transverso actuante de clculo pode ser corrigido, isto ,

decrescido de . Fica assim determinada a parcelaccdV 'sdV que dever ser

suportada pelas armaduras transversais.


54/59

9.2.2 (5) pg. 175


4 2

min

2,68 10 / swA

m ms

=

determine-se agora qual o espaamento longitudinal mximo regulamentar na

zona em anlise

9.2.2 (6) pg. 176

( ),max 0,75 1 cotls d = +

,max0,75 0,26 1 0,20ls m= =

determinao do espaamento transversal mximo regulamentar na zona em

anlise

9.2.2 (8) pg. 176

,max ,max0,75 0,75 0,26 0,20 0,6 0,20t ts d m m s= = = = m

o espaamento transversal mximo implica que sero necessrios 3 ramos.

armadura transversal

,cotsw Rd s ywd

AV zf

s

=

(6.8)

( )2

3

,

7, 2 8,10,9 0, 26 0, 2 348 10 1 72 40,5

0,26 0,2

sw Rd s

A x xV x x

s x

+ = + + + kN

pelo que a armadura transversal ao longo da consola ter de ser

( )

( )( )

2

2

4 2

23

7, 2 8,172 40, 5

2,6 1,46250,26 0,25,747 10 /

0, 9 0, 26 0, 2 348 10 1,3

sw

x xx

x xA xm m

s x x

++ + + + + +


55/59

se x=0,0 m

4 24,97 10 / swA m ms

=

verifica-se que no haver necessidade de proceder variao do espaamento

dos estribos ao longo da consola uma vez que a variao da rea necessria

reduzida. No entanto, na extremidade livre preciso ter em ateno a necessidade

de armadura de suspenso:

9.2.5 pg. 177

Armadura de suspenso para fazer face ao apoio indirecto

- Na extremidade da consola

1,35 30 40,5sd

F k= = N

240,51,16

348000s A cm= =

a armadura dever ser distribuda numa faixa que poder ser exterior ao volume

de beto comum s duas vigas de acordo com 9.2.5 (2). Assim sendo, na viga

principal esta distncia dever

Planta


56/59

0,15 0,10 0,25s m= + =

21,16 4,64 / 0,25

sA cm ms

= =

Armadura transversal total

24,97 4, 64 9, 61 / sw

total

Acm m

s

= + =

E3r8 As = 1,508 cm2

s 0,157 m

adopta-se s = 15,0 cm para respeitar o espaamento transversal

No tramo direito

1,35 50 67,5sd

F k= = N

267,51,94

348000s A cm= =

Planta

a armadura pode assim ser distribuda numa largura s

0,35 2 0,70s m= =

1 94A


57/59

Foras de desvio Art 99 (REBAP)

( )1

43 4372,39

0, 9 0, 9 0, 66

sdM

F kz d

= = = =

N

N

ou

( )4

2348000 3,39 10 117,97

syd sF f A k = = =

( )1F - fora de traco (igual compresso)

( )2F - fora mxima de traco instalvel

Fora de desvio na zona comprimida:

233,272 sin 33,27 0,95

2 348000

sd sd

syd

FF F A cm

f

= = = = =


58/59

Como a rea desta armadura pequena vai-se acrescentar , um de cada

lado do que quebra. Normalmente devia-se somar localmente as reas.

2Est6

total

sw sw sd A A A

s s

= + s

De notar que se uma seco estiver sujeita a esforo transverso, toro, foras de

desvio e de suspenso nessa zona da viga temos quatro contribuies para a

armadura transversal.

Esquema das armaduras de flexo e transversais


59/59

420+212 420+212

420+212420+212420+212

420+212420+212

420+212

420+212420+212

2r8//0,15 2r8//0,20 2r8//0,30 2r8//0,10 2r8//0,125 2r8//0,20 2r8//0,103r8//0,125 2r8//0,1252r8//0,153r8//0,15

ejulio ddcosta betao armado

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