EE-214/2011

Métodos de Busca Aleatória

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Problema Básico

Sistema Dinâmico

u xu

J[u,xu]

Calculadorde Custo

Obter:

u J u xu U

u* arg min [ , ]

Dados:

1) Um sistema dinâmico

2) Um índice de desempenho

dx

dtf t x u

x t x

( , , )

( )0 0

ft uf

uu dt)u,x,t(c))t(x(]x,u[J0

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)t(bx)t(x)t(cxdt

)t(dx

)t(ux)t(kxdt

)t(dx

)t(x)t(px)t(ax)t(x)t(xedt

)t(dx

)t(x)t(x)t(dxdt

)t(dx

4424

323

42231)t(m2

3111

f

0

t

t

2f

2

dt2

)t(m

2

)t(v(.)]m[J

x1(t) quantidade de células CD4 sadiasx2(t) quantidade de células CD4 infectadasx3(t) vírus livresx4(t) linfócitos T citotóxicos

Minimizar

s.a.

Terapia da Infecção por HIV

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Métodos para Solução

1. Princípio do Máximo de Pontryaguin

2. Princípio da Otimalidade

3. Busca Direta por Soluções Sub-ótimas

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1. Princípio do Máximo de Pontryaguin

2. Princípio da Otimalidade

3. Busca Direta por Soluções Sub-ótimas

a. Escolher uma base para o Espaço de Controles Admissíveis:

U = span{b1,b2,b3,...}

b. Escrever u(t) como combinação linear truncada de bi(t):

u(t) = 1b1(t) + ... + nbn(t)

c. Truncar a série considerar otimização no Rn:

JSub-Ótimo(1,..., n) = J[u,xu]

Métodos para Solução

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1. Princípio do Máximo de Pontryaguin

2. Princípio da Otimalidade

3. Busca Direta por Soluções Sub-ótimas

a. Escolher uma base para o Espaço de Controles Admissíveis:

U = span{b1,b2,b3,...}

Senos, Cossenos, ExponenciaisHermite, Lagrange, Laguerre,...Wavelets

Métodos para Solução

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b1

t

b2

t

bn

t

u

t

+ ... +

+

=

1

2

n

Métodos para Solução

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Problema Básico Simplificado

Sistema Dinâmico

u xu

Calculadorde Custo

Dados:

1) Um sistema dinâmico

2) Um índice de desempenho

dx

dtf t x u

x t x

( , , )

( )0 0

Obter:

JSub-Ótimo(1,..., n)

u(t) = 1b1(t) + ... + nbn(t)

( ,..., ) arg min ( ,..., )* *

1 1nR

Sub Otimo nnJ

JSub-Ótimo(1,..., n)

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Busca no Rn

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Máxima Declividade Poliedros Flexíveis

Otimização no Rn

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Busca Aleatória no Rn

a. MSA (Most Stupid Algorithm)

b. Algoritmo Genético (Genetic Algorithm)

c. Têmpera Simulada (Simulated Annealing)

d. Enxame de Partículas (Particle Swarm)

e. etc...

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MSA

Considere o problema:

min ( , )[ , ]

0 1

1 22J

Passo 0: Escolher N e M inteiros positivos grandes, k := 1

Passo 1: Gerar N pares (1,2) onde , i ~ uniforme (0,1)

Passo 2: Selecionar o par (1,2)* que resulta menor valor de J,

Passo 4: Gerar mais um par (1,2)+ com i ~ uniforme em (0,1)

Passo 5: Se J(1,2)+ < J(1,2)* Então (1,2)* = (1,2)+ e k := 1 Senão k := k+1 Retorne ao Passo 3

Passo 3: Se k := M Então Imprimir (1,2)* e FIM

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Algoritmo Genético

Considere o problema:

min ( , )[ , ]

0 1

1 22J

Passo 0: Representar (1,2) [B0 B1 B2 B3 | B4 B5 B6 B7 ]

Exemplo: (10/15,07/15) [ 1 0 1 0 | 0 1 1 1 ]

(05/15,09/15) [ 0 1 0 1 | 1 0 0 1 ]

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Considere o problema:

min ( , )[ , ]

0 1

1 22J

Passo 0: Representar (1,2) [B0 B1 B2 B3 | B4 B5 B6 B7 ]

Passo 1: Gerar população com N pares (1,2),, i ~ uniforme (0,1) e representar na forma [B0 B1 B2 B3 | B4 B5 B6 B7 ]

1: [ 1 0 1 0 | 0 1 1 1 ] 2: [ 0 0 0 1 | 1 1 1 0 ] 3: [ 0 1 0 1 | 1 0 0 1 ]

- - -

N: [ 0 1 1 1 | 1 0 1 1 ]

Algoritmo Genético

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Considere o problema:

min ( , )[ , ]

0 1

1 22J

Passo 0: Representar (1,2) [B0 B1 B2 B3 | B4 B5 B6 B7 ]

Passo 1: Gerar população com N pares (1,2),, i ~ uniforme (0,1) e representar na forma [B0 B1 B2 B3 | B4 B5 B6 B7 ]

Passo 2: Selecionar dois pares (1,2) e gerar proles mediante permuta

m: (10,07) [ 1 0 1 | 0 0 1 1 1 ] p: (05,09) [ 0 1 0 | 1 1 0 0 1 ]

f1: [ 1 0 1 | 1 1 0 0 1 ] (11,09)f2: [ 0 1 0 | 0 0 1 1 1 ] (04,07)

Algoritmo Genético

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Considere o problema:

min ( , )[ , ]

0 1

1 22J

Passo 0: Representar (1,2) [B0 B1 B2 B3 | B4 B5 B6 B7 ]

Passo 1: Gerar população com N pares (1,2),, i ~ uniforme (0,1) e representar na forma [B0 B1 B2 B3 | B4 B5 B6 B7 ]

Passo 2: Selecionar dois pares (1,2) e gerar proles mediante permuta

Passo 3: Introduzir mutação nos proles

f1: [ 1 0 1 | 1 1 0 0 1 ] (11,09)f2: [ 0 1 0 | 0 0 1 1 1 ] (04,07)

f1m: [ 1 0 1 | 1 1 1 0 1 ] (11,13)f2m: [ 0 1 0 | 0 0 1 1 0 ] (04,06)

Algoritmo Genético

EE-214/2011

Considere o problema:

min ( , )[ , ]

0 1

1 22J

Passo 0:

Passo 1:

Passo 2:

Passo 3:

Passo 4: Realizar seleção natural

1: [ 1 0 1 0 | 0 1 1 1 ] J1 2: [ 0 0 0 1 | 1 1 1 0 ] J2 3: [ 0 1 0 1 | 1 0 0 1 ] J3

- - -

N: [ 0 1 1 1 | 1 0 1 1 ] JN

N+1: [ 0 1 1 1 | 1 0 1 1 ] JN+1 †N+2: [ 0 1 1 1 | 1 0 1 1 ] JN+2 †

J1 < J2 < .... < JN+1< JN+2

Algoritmo Genético

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Considere o problema:

min ( , )[ , ]

0 1

1 22J

Têmpera Simulada

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Têmpera Simulada

Considere o problema:

min ( , )[ , ]

0 1

1 22J

Passo 0: Fazer k := 1

Passo 1: Gerar uma direção de decréscimo (1,2)k

Se critério_de_parada = OK, Então FIM

Passo 2: Gerar uma direção aleatória (1,2)

Passo 3: Calcular V = J (1+ 1, 2 +2) - J (1+ 1,2 +2)

Passo 4: Se V < 0 Então (1,2) := (1,2) Senão (1,2) := (1,2) com probabilidade exp(-/k)

Passo 5: Otimizar na direção (1,2)k, k := k +1 e Retornar ao Passo 1

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Enxame de Partículas

Considere o problema:

min ( , )[ , ]

0 1

1 22J

EE-214/2011

Considere o problema:

min ( , )[ , ]

0 1

1 22J

Passo 0: Gerar N partículas onde, JPrev = J(1,2)

)J,v,v,,(),...,J,v,v,,( NevPr

NNNNevPr 2121

112

11

12

11

1

2

v

Enxame de Partículas

EE-214/2011

Considere o problema:

min ( , )[ , ]

0 1

1 22J

Passo 0: Gerar N partículas onde, JPrev = J(1,2)

)J,v,v,,(),...,J,v,v,,( NevPr

NNNNevPr 2121

112

11

12

11

Passo 2: Evoluir as partículas i = 1,...,N: 21,jv: ij

ij

ij

Passo 1: Obter o melhor ponto global atual:

N,...,kJ),(J.q.t),( kevPr

**** 12121

Passo 3: Se Então ievPr

ii J),(J 21 ),(JJ iiievPr 21

Passo 4: Atualizar a velocidade 21,j)(v:v ij

*jj

ij

ij

Passo 5: Se critério_de_parada = OK Então FIM Senão Retornar ao Passo 1

Enxame de Partículas

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EE-214/2011

EE-214/2011

１２

５

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EE-214/2011

EE-214/2011

EE-214/2011

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Enxame de Partículas

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a. Natureza Heurística

Características da Busca Aleatória

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a. Natureza Heurística

b. Computacionalmente onerosa

Características da Busca Aleatória

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a. Natureza Heurística

b. Computacionalmente onerosa

c. Exibe probabilidade não-nula de encontrar o mínimo global

Características da Busca Aleatória

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a. Natureza Heurística

b. Computacionalmente onerosa

c. Exibe probabilidade não-nula de encontrar o mínimo global

d. Não requer suavidade de J(.)

Características da Busca Aleatória

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-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Enxame de Partículas

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dt)}t(u)t(u)t(x{(.)]u(.),u[J 22E

t

0

21F

23D21

f

d x

d tt x t x t u tR M

14 1 11 [ ( s i n ( ) ) ( ) ] ( ) ( )

)t(u)t(x)]t(x)t(x[

)t(x)]t(x))tsin(1([dt

dx

1321

24MR2

d x

d tx t x t P x t3

3 2 3 ( ) ( ) [ ( ) ]

d x

d tx t x u t4

4 3 2 ( ) ( )

x1(t) densidade de mosquitosx2(t) densidade de mosquitos carregando vírusx3(t) número de pessoas com denguex4(t) grau de motivação popular para combater mosquitos

Minimizar

s.a.

Otimização de Investimentosno Controle da Dengue

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0 20 40 60 80 100 120 1400

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09Investiments in Educational Campaigns

Time (weeks)

u2

Optimal

Sub-Optimal

Otimização de Investimentosno Controle da Dengue

EE-214/2011

0 20 40 60 80 100 120 140-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Density of M osquitoes

Time (w eeks)

x1

Optimal

Sub-Optimal

Breteau Threshold

No Control

Otimização de Investimentosno Controle da Dengue

EE-214/2011

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Infected Mosquitoes

Time (weeks)

x2

No Control

Sub-Optimal

Optimal

Breteau Threshold

Otimização de Investimentosno Controle da Dengue

EE-214/2011

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35Affected Individuals

Time (weeks)

x3

No Control

Breteau Threshold

Optimal

Sub-Optimal

Otimização de Investimentosno Controle da Dengue

EE-214/2011

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45Goodwill

Time (weeks)

x4

Sub-Optimal

OptimalNo Control

Breteau Threshold

Otimização de Investimentosno Controle da Dengue

EE-214/2011

0 20 40 60 80 100 120 1400

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5A ccum ulated C ost

Tim e (w eeks)

J

N o C ontro l

B reteau Threshold

Sub-O ptim al

O ptim al

Otimização de Investimentosno Controle da Dengue

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Muito Obrigado!